OPTIKA. obsah prednášok EMO

Transcript

1 OPTIKA obsah prednášok EMO Peter Markoš zimný semester 208/209

2 Obsah Prednáška 5. Elektromagnetické vlny vo vákuu I Prednáška Elektromagnetické pole vo vákuu II Polarizácia Energetická bilancia Prednáška Elektromagnetické pole v materiálovom prostredí I Elektrická permitivita Magnetická permeabilita δ-funkcia Prednáška Elektromagnetické pole v materiálovom prostredí II EM vlny na rozhraní Prechod EM vlny rozhraním EM vlna na rozhraní úplný odraz, tunelovanie Prechod EM vlny rozhraním - Fresnelove vzťahy Prechod EM vlny cez tenkú vrstvu Optické javy na tenkej vrstve Interferencia a koherencia Interferencia Interferencia na tenkej vrstve Interferometre Koherencia Difrakcia Všeobecné poznámky Fresnelova difrakcia Fraunhofferova difrakcia Difrakcia na mriežke Elektromagnetické žiarenie Vznik elektromagnetického žiarenia Pole oscilujúceho dipólu

3 0 Elektromagnetické vlny a atómy Rozptyl EM na malých objektoch Prechod svetla atmosférou Atóm ako zdroj elektromagnetického vlnenia Geometrická optika 62. Princípy geometrickej optiky Zrkadlá a šošovky Optické zobrazovanie Elektromagnetické vlny v anizotrópnych materiáloch 66 3 Optické javy v moderných materiáloch 68 4

4 Úvod Toto je veľmi stručný súhrn obsahu prednášok - skôr pripomenutie, o čom to ktorý deň bolo. Ku každej prednáške je uvedený: názov termín prednášky literatúra, kde môžete nájsť podrobnejšíe vysvetlenie súhrm o čom sa na prednáške hovorilo. niekedy aj základné vzťahy V závere je zoznam literatúry, určite po nej siahnite. Hoci sa nemusíte učiť nič, čo neodznelo na prednáškach, text v knihe vám skytne viac informácií v kompaktnejšej forme. Vystačíte si s knihou P. Malého [3], z nej preberieme kapitoly, 2, 3, 5, 6, 8, 0, 3 a 4. V niektorých častiach nepôjdeme do podrobností, ktoré Malý uvádza (napr. opis Fresnelovej difrakcie). Prednášky 0 a budú robené podľa Feynmana (kapitoly Elektromagnetické žiarenie a Radiačný útlm). Z Feynmana je užitočné (nie nutné) prečitať si aj ďalšie kapitoly (v českom vydaní,. diel) - od Optika: princíp najkratšieho času po kapitolu Radiačný útlm. Ako doplnenie môžete použiť učebnicu [8] (s množstvom príkladov), resp. knihy [4, 6]. Všetky ostatné tituly sú uvedené len pre prípad, že sa vo veci chcete ďalej vzdelávať. Zbierka [7] je zdrojom príkladov, podobne ako učebnica [8]. 5

5 Prednáška. Elektromagnetické vlny vo vákuu I. Literatúra: [, 6], [3], kap., [4], kap november 208. Sumarizácia Maxwellových rovníc v diferenciálnom tvare div D = ρ, div B = 0 (.) kde ρ je hustota voľného náboja. rot E = B t, rot H = j + D t (.2) s hustotou voľných prúdov j. Vysvetlenie jednotlivých veličín, overenie ich fyzikálnych jednotiek. [E] = V/m = N/C [D] = C/m 2 [H] = A/m [B] = T (.3) Pri všetkých veličinách potrebujeme vedieť nielen ich fyzikálny význam, ale aj ich jednotku v sústave SI 2. Maxwellove rovnice vo vákuu: D = ɛ 0 E, B = µ0 H definícia permitivity a permeability vákua. ɛ 0 = 8, Nm 2 /C 2 µ 0 = c 2 ɛ 0 = 4π 0 7 H/m (.4) Tieto hodnoty sú presné (definované v sústave SI). 3. Predpokladajme ρ = 0, j = 0, a hľadajme riešenie Maxwellovych rovníc vo vákuu bez vonkajších nábojov a prúdov. 4. Vlnová rovnica odvodená z Maxwellových rovníc: aplikácia rotácie na rovnicu rot E = µ 0 H t, (.5) [ rot rote ] = µ 0 t rot H 2 E = ɛ 0 µ 0 (.6) t 2 Ľavú stranu vieme upraviť: [ rot rote ] [ = grad dive ] E (.7) 6

6 ale div E = 0, takže dostaneme vlnovú rovnicu E = ɛ 0 µ 0 2 E t 2 (.8) všeobecné riešenie: E = f(t r s/c) + g(t + r s/c) (.9) nie je funkciou dvoch premenných: času a polohy, ale len jednej premennej: alebo t r s/c, alebo t + r s/c. Smer šírenia je daný jednotkovým vektorom s: s = k/k (.0) Vlna f sa šíri v smere + s Vlna g sa šíri v smere s. Vektor k je vlnový vektor. Rýchlosť svetla: c = / ɛ 0 µ 0 = m/s (presne). Riešenie vlnovej rovnice: rovinná vlna: E = E 0 e i[ k r ωt] (.) ω... uhlová frekvencia, ω = ck. Ešte jednoduchšie riešenie: E = E 0 sin(kx ωt + φ) (.2) pre vlnu šíriacu sa v smere kladnej osi x (vlnový vektor k = (k x, 0, 0)). 5. Vektorový charakter poľa: orientácia vektora E. 6. Disperzný vzťah: vzťah medzi vlnovým vektorom a frekvenciou. V prípade vlny vo vákuu je jednoduchý: k 2 = ω 2 /c 2 (.3) v materiálovom prostredí bude komplikovanejší. Parametre, ktoré charakterizujú rovinnú vlnu: vlnová dĺžka λ = 2π/k, perióda T = 2π/ω, frekvencia f = ω/2π. 7. Tak isto odvodíme vlnovú rovnicu pre H s riešením H = H 0 e i[ k r ωt] (.4) 8. Fyzikálne konštanty Z 0 a c ako základné konštanty, z ktorých odvodíme ɛ 0 = /Z 0 c, µ 0 = Z 0 /c 9. Prehľad elektromagnetických vĺn: typické vlnové dĺžky pre viditeľné svetlo, RTG, infračervené, mikrovlny, reliktné žiarenie, rádiové vlny Univerzálnosť: Všetky elektromagnetické vlny majú vo vákuu tie isté vlastnosti, nezávisle od frekvencie (vlnovej dĺžky). 7

7 2 Prednáška 2 2. Elektromagnetické pole vo vákuu II Literatúra: [3], kap.,2, [6] 5. november 208. Rovinná vlna ako riešenie Maxwellových rovníc po dosadení vzťahu (.) dostaneme pre elektrické pole div E = k E (2.) rot E = k E (2.2) Z prvej Maxwellovej rovnice máme div E = k E = 0 (2.3) a teda E k - vektor E je teda kolmý na smer šírenia (vlna je priečna (transverzálna), nemáme pozdĺžne vlny). 2. Z Maxwellovych rovníc dostaneme k E = +µ0 ωh k H = ɛ0 ωe (2.4) Preto E H k (2.5) 3. Impedancia vákua Pre absolútne hodnoty vektorov E a H dostaneme z rovníc 2.4 dva vzťahy medzi amplitúdami elektrickej a magnetickej intenzity: E 0 ω = µ 0 H 0 k, H 0 ω = ɛ 0 E 0 k (2.6) a teda E 0 = Z 0 H 0 (2.7) 8

8 kde Z 0 je impedancia vákua Z 0 = µ 0 /ɛ 0 20π [Ω] (2.8) a definuje vzťah medzi amplitúdami E 0 a H 0. Ak namiesto H 0 uvažujeme B 0 = µ 0 H 0, dostaneme z rovnice (2.7 často používaný vzťah E 0 = cb 0 (2.9) Ak namiesto H 0 uvažujeme B 0 = µ 0 H 0, dostaneme z rovnice (2.7 často používaný vzťah E 0 = cb 0 (2.0) 4. Principiálny rozdiel medzi mechanickými kmitmi a elektromagnetickou vlnou: elektromagnetická vlna nepotrebuje prostredie, v ktorom sa šíri. Zvuková vlna sa vo vákuu šíriť nebude, pretože nemá kto kmitať. Šírenie elektromagnetických vĺn vo vákuu bolo dôvodom, prečo ľudia v 9. storočí zaviedli éter ako hmotné nehybné prostredie, v ktorom sa EM vlny môžu šíriť. Éter ale neprežil teóriu relativity. 9

9 2.2 Polarizácia. Polarizácia: orientácia vektora E v rovine kolmej na k = (0, 0, k z ): Vektor E môže byť orientovaný v smere x, alebo v smere y. Vo všeobecnosti má E obe zložky: E = (E x, E y, 0) (2.) E x = E x0 sin ωt, E y = E y0 sin (ωt + φ) (2.2) Výsledná intenzita je (princíp superpozície!) E = ie x + je y (2.3) s rôznymi amplitúdami a rôznym fázovým posuvom φ. 2. Špeciálne prípady: () φ = 0: pole osciluje v rovine danej uhlom tan α = E 0y /E 0x. + = (2) φ = π/2. Teraz E x = E x0 sin (ωt), E y = E y0 cos (ωt). Koncový bod vektora E opisuje elipsu s polosami E x0 a E y0. Pohybuje sa v zápornom smere - t.j. v smere pohybu hodinových ručičiek. (2.) φ = π/2, E x0 = E yo : Koncový bod opisuje kružnicu - vlna je kruhovo polarizovaná. (3) φ = π/2: koncový bod sa pohybuje po elipse (kružnici) v kladnom smere - proti smeru hodinových ručičiek. (4) Všeobecný prípad: koncový bod sa pohybuje po elipse s poloosami, ktoré zvierajú s osami x, y uhol daný fázovým rozdielom φ. 3. Všeobecná rovnica: Zložky el. poľa spĺňajú v každom časovom okamihu rovnicu ( Ex E x0 ) 2 + ( Ey E y0 ) 2 ( ) ( ) Ex Ey 2 cos φ = sin 2 φ (2.4) E x0 E y0 čo je vo všeobecnosti rovnica elipsy. Ukážte, že v závislosti od rozdielu fáz φ pozorujeme polarizáciu: lineárnu φ = 0 eliptickú vo všeobecnom prípade. kruhovú ak amplitúdy E x0 = E y0 a φ = ±π/2. Dôležité prípady: Lineárne polarizované svetlo φ = 0 alebo φ = π - vektor E kmitá v jednej rovine. Kruhovo polarizované svetlo - koncový bod vektora E sa pohybuje po kružnici. Kruhovo polarizované svetlo: pravotočivé (φ = π/2), ľavotočivé (φ = π/2). 0

10 Cvičenia: superpozícia dvoch kruhovo polarizovaných vĺn (kladne a záporne) vytvorí lineárne polarizovanú vlnu. 4. Odvodenie rovnice (2.4) Napíšme E x E x0 = sin(ωt), E y E y0 = sin(ωt + φ y ) (2.5) Preto E x E x0 sin φ y = sin(ωt) sin φ y (2.6) E x E x0 cos φ y E y E y0 = sin ωt cos φ y sin(ωt + φ y ) = cos ωt sin φ y (2.7) teraz stačí spočítať druhé mocniny pravých strán rovníc (2.6,2.7) a dostaneme rovnicu (2.4).

11 2.3 Energetická bilancia. Z Maxwellovej rovnice rot H = j + D t (2.8) po skalárnom vynásobení vektorom E dostaneme j E = E rot H E D t Využijeme vzťah (2.9) div[ E H] = H rot E E rot H (2.20) a Maxwellovu rovnicu rot E = B t Po dosadení do rovnice (2.9) dostaneme Poyntingov teorém: (2.2) j E = div S t u (2.22) kde máme: Poyntingov vektor S = E H u... hustota energie EM poľa, zatiaľ len vo vákuu: u = 2 ɛ 0 E µ 0 H 2 (2.23) (využili sme vzťahy pre vákuum: D = ɛ 0 E a B = µ0 H). 2. Zákon zachovania energie: prepíšeme Poyntingov teorém: t u = div S j E (2.24) Túto rovnicu prepíšeme do integrálneho tvaru. Definujme U = dv u je celková energia elektromagnetického poľa v objeme V a využijeme vzťah d V div[ E H] = ds [ E H]. (2.25) Dostaneme t U = S S ds [ E H] dv j E (2.26) čo je zákon zachovania energie: Energia elektromagnetického poľa v objeme V sa môže meniť () vyžarovaním cez plochu, ktorá ohraničuje daný objem, alebo (2) premenou energie na iné formy ( j E je Joulovo teplo). 2

12 3. Fyzikálny význam Poyntingovho vektora: tok energie poľa cez jednotkovú plochu za jednotku času. Fyzikálna jednotka: [S] = W m 2 (2.27) 4. Rovinná elektromagentická vlna: komplexný formalizmus, reálne hodnoty. Energia musí byť reálnou veličinou, preto definujme Poyntingov vektor len pomocou reálnych polí: S = Re E Re H (2.28) a vyjadrime komplexné polia v tvare E = Re E 0 e i[ k r ωt+φ E ], H = Re H0 e i[ k r ωt+φ H ] (2.29) fázy φ E a φ H sú zvolené tak, aby amplitúdy polí boli reálne. 5. Poyntingov vektor pre rovinnú vlnu - ustrednený cez jednu časovú periódu T : Pri obrovských frekvenciách optických vĺn je možné Poyntingov vektor ustredniť cez jednu periódu poľa T = 2π/ω: S = T T 0 dt Re E Re H (2.30) S = E 0 H 0 T S = 2T T 0 T 0 dt cos( k r ωt + φ E ) + cos( k r ωt + φ H ) (2.3) dt cos(2 k r 2ω T + φ E + φ H ) + cos(φ E φ H ) (2.32) Prvý integrál je rovný nule, preto celkový výsledok je S == 2 E 0 H 0 cos[φ E φ H ] = 2 Re E 0 H 0 (2.33) posledný výraz je často používaný v literatúre. Špeciálny prípad pre rovinnú elektromagnetickú vlnu, a pre prípad φ E = φ H : S = 2 E 0H 0 (2.34) pretože polia sú na seba kolmé. 3

13 Príklady: Mikrovlnka s príkonom 000 W. laserové ukazovátko, energia dopadajúca na Zem zo Slnka. Z Poyntingovho vektora vieme odhadnúť intenzitu elektrického poľa, pretože magnetického poľa sa zbavíme vďaka vzťahu E 0 = Z 0 H 0. S = 2Z 0 E 0 2 (2.35) Podobne môžeme odvodiť pre hustotu energie: u = 4 E D + 4 H B (2.36) opäť stredujeme cez jednu periódu T. 6. Princíp superpozície... dôsledkom linearity Maxwellových rovníc: ak E a E 2 sú riešeniami MR (bez prúdov a nábojov), tak aj ich lineárna kombinácia E = α E + α 2 E2 (2.37) je riešením. Energia poľa, Poyntingov vektor sú ale kvadratickými funkciami intenzity poľa (pozri neskôr interferenciu a difrakciu). 4

14 3 Prednáška 3 3. Elektromagnetické pole v materiálovom prostredí I Literatúra: [3], kap. 4, [6], [4], kap november 208 V druhej časti je opísaný jednoduchý model pre permitivitu dielektrík. V tretej časti je krátky opis δ-funkcie, ktorá sa vyskytuje v teórii Fourierovej transformácie.. V statickej limite ω = 0 poznáme vzťah D = ɛ 0 ɛ r E (3.) Relatívna permitivita ɛ r je materiálový parameter - pole vo vnútri materiálu je ɛ r -krát menšie, ako pole v okolí. Vzťah (3.) musíme zovšeobecniť, pretože v prípade elektromagnetickej vlny elektrické pole E závisí od času - mení orientáciu s časovou periódou T = 2π/ω. Materiál určite ovplyvňuje hodnoty elektrickej intenzity, pretože pozostáva z nabitých častíc - elektrónov, iónov apod., na ktoré elektrické pole silovo pôsobí. 2. Ak D(t) je dôsledkom pôsobenia elektrického poľa v rôznych časoch τ < t, tak vzťah el. indukcie D a elektrickej intenzity E má tvar D(t) = ɛ 0 t dτ ɛ r (t τ) E(τ) (3.2) Princíp kauzality: E(τ) je príčina, D(t) je následok, preto ɛ r (t τ) 0 ak τ > t. Funkcia ɛ(τ) obyčajne rýchlo klesá ako funkcia τ - materiál si pamätá vonkajšie podnety len nejaký čas, potom zabudne. 3. Ak je elektrické pole E(τ) = E 0 e iωτ. tak sa dá očakávať, že časová závislosť elektrickej indukcie bude D(t) = D 0 e iωt. Po dosadení dostaneme D 0 = ɛ 0 E0 dτɛ r (t τ)e iω(t τ) (3.3) resp. vzťah (3. s relatívnou permitivitou ɛ r (ω) = dτɛ r (t τ)e iω(t τ) (3.4) Relatívna permitivita je teda funkciou frekvencie. To je fyzikálne pochopiteľné, pretože frekvencia určuje rýchlosť, akou sa dipóly v látke musia preorientovať, ke sa zmení polarita elektrického poľa. Pre malé frekvencie majú na preorientáciu dosť času, pre vysoké frekvencie sa ale nemusia stačiť preorientovať a relatívna permitivita bude klesať. Príklady frekvenčne závislej permitivity: permitivita vody, rozklad svetla na Newtonovom hranole. 5

15 4. Všimnime si, že keby relatívna permitivita nezávisela na frekvencii, bola by ɛ r (t τ) = δ(t τ). Materiál by teda mal okamžitú odozvu na elektrické pole, čo je nefyzikálne. 5. Fourierova transformácia: vo všeobecnosti predpokladajme, E(t) je superpozíciou všetkých možných rovinných vĺn E(t) = dωe iωt E(ω) (3.5) každá má amplitúdy E(ω). Tak isto vyjadríme všetky časovo závislé funkcie: D(t) = dωe iωt D(ω) ɛ r (t) = dωe iωt ɛ r (ω) (3.6) Po dosadení do rovnice 3. dostaneme vzťah medzi Fourierovymi komponentami: D(ω) = ɛ 0 ɛ r (ω) E(ω) (3.7) Relatívna permitivita teda závisí od frekvencie. 6. Jednoduchý fyzikálny model permitivity z predstavy oscilujúcich častíc s nábojom Q a hmotnosťou m: ɛ(ω) = + ω 2 p ω 2 0 ω 2 iωγ (3.8) Plazmová frekvencia ω 2 p = nq2 ɛ 0 m (3.9) rezonančná frekvencia ω 0, stratový člen γ. n je koncentrácia nabitých častíc v látke. 7. Permitivita ako komplexná veličina: ɛ = ɛ + iɛ. Imaginárna časť je nenulová len keď v materiáli dochádza ku stratám. 8. Dielektriká: vlastné frekvencie ω 0 dané štruktúrou, rezonančné správanie permitivity. 9. Kovy: ω voľné elektróny. Drudeho formula pre permitivitu ɛ(ω) = ω 2 p ω 2 + iωγ (3.0) Permitivita kovov je v oblasti viditeľného svetla záporná - v kovoch sa EM vlny nemôžu šíriť. 6

16 3.2 Elektrická permitivita Elektrická odozva homogénneho prostredia závisí od jeho štruktúry. Nás predovšetkým zaujíma, ako permitivita závisí od frekvencie dopadajúcej EM vlny. Lorentzov model dielektrického prostredia Najjednoduchší klasický model opisujúci rezonančnú frekvenčnú závislosť permitivity je založený na predstave oscilujúcich nabitých častíc v materiáli. Uvažujme rovinnú elektromagnetickú vlnu s intenzitou elektrického poľa E x (t) = E 0 e iωt (3.) orientovanou v smere osi x. Ak vlna prechádza materiálom, vyvolá v ňom elektrické pole oscilácie nabitých častíc. Pohybová rovnica častice s hmotnosťou m a nábojom Q bude pohybovou rovnicou tlmeného harmonického oscilátora s budiacou silou m 2 x t 2 + mω2 0x + mγ x t = QE x(t) (3.2) kde ω 0 je vlastná frekvencia oscilácií častice okolo jej rovnovážnej polohy, a γ je stratový člen. Riešenie rovnice (3.2) hľadáme v tvare x(t) = x 0 e iωt (3.3) Pre amplitúdu x 0 dostaneme x 0 = QE 0 /m ω 2 0 ω(ω + iγ) (3.4) γ = 0. γ = ω / ω ω / ω 0 Obr. 3.. Permitivita ako funkcia frekvencie, daná rovnicou (3.6), pre ω p = a pre dve hodnoty parametra γ. Vľavo reálna časť, vpravo imaginárna časť. 7

17 Ak N je koncentrácia nábojov (počet nábojov na jednotku objemu), potom polarizácia P = N Qx definuje relatívnu permitivitu materiálu ɛ vzťahom P = ɛ 0 (ɛ r )E (3.5) Kombináciou týchto rovníc dostaneme frekvenčne závislú relatívnu permitivitu ɛ r (ω) = + ω 2 p ω 2 0 ω(ω + iγ) (3.6) kde ω 2 p = NQ 2 /ɛ 0 m. Vzťah (3.6) opisuje frekvenčnú závislosť relatívnej permitivity v okolí rezonancie (obr. 3.). Kovy V kovoch sú voľné elektróny s nábojom Q = e, preto zo vzťahu (3.6) s rezonančnou frekvenciou ω 0 = 0 dostaneme Drudeho vzťah pre relatívnu permitivitu kovu ɛ r (ω) = ω 2 p ω(ω + iγ) (3.7) kde ω 2 p = ne2 ɛ 0 m (3.8) 2 0 ν=ν p ν=ν p 0 ε i ε i ε r ε r ν [THz] ν [THz] Obr Frekvenčná závislosť permitivity kovu podľa Drudeho modelu (rovnica 3.7). Vyznačená je plazmová frekvencia ν THz, oblasť viditeľného svetla ( THz) a oblasť mikrovĺn, kde má reálna časť permitivity typickú hodnotu ɛ r 0 5 a imaginárna časť ɛ i 0 7. Pravý obrázok zobrazuje permitivitu v oblasti viditeľného svetla a jej okolí. Imaginárna časť permitivity je vždy kladná. Reálna časť permitivity mení znamienko zo zápornej na kladnú keď frekvencia prekročí hodnotu ν = νp 2 + γ0 2. 8

18 je plazmová frekvencia a stratový člen γ definuje absorpčné straty. Typické hodnoty plazmovej frekvencie a stratového člena pre najpoužívanejšie kovy - striebro, zlato, meď sú ν p = ω p 2π 2000 THz, γ 0 = γ 2π 4 0 THz (3.9) Napríklad pre striebro ν p = 275 THz, a γ 0 = 4, 35 THz. Ako vidíme na obr. 3.2, reálna časť permitivity kovov je pre frekvencie ω < ω 0 záporná. Preto sa EM vlny s frekvenciami ν < ν p vo vnútri kovu nešíria. Voľné elektróny sú schopné odtieniť dopadajúce elektromagnetické vlnenie. Pre frekvencie vyššie ako plazmová frekvencia, ν > ν p je ɛ kladná, a odozva kovu zodpovedá odozve stratového dielektrika. V kovoch nemôžeme v žiadnej oblasti frekvencií zanedbať imaginárnu časť permitivity. V oblasti viditeľného svetla je ɛ. Pre nižšie frekvencie dosahuje ɛ hodnoty 0 7. Drudeho model dáva len približné hodnoty permitivity kovu. Pre kvantitatívne výpočty je potrebné uvážiť podrobnejšie modely. V prípade kovových nanočastíc závisí permitivita aj od ich veľkosti. Dielektriká Aj v dielektrikách dochádza k absorpčným stratám. Ďaleko od rezonancií je však imaginárna časť permitivity taká malá, že ju v mnohých aplikáciách môžeme zanedbať: ɛ ɛ r. Relatívna permitivita dielektrika ɛ je kladná. V oblasti viditeľného svetla sa typické hodnoty reálnej časti ɛ pohybujú v intervale < ɛ < 2 (3.20) a hoci mierne závisia od frekvencie, môžeme túto frekvenčnú závislosť zanedbať. 3.3 Magnetická permeabilita Relatívna magnetická permeabilita µ je pre všetky materiály dostupné v prírode kladná. Pre diamagnetické materiály je µ <, pre paramagnetické materiály µ >. Podobne ako permitivita aj magnetická permeabilita závisí od frekvencie. Landau ukázal, že pre vysoké frekvencie je µ. To znamená, že žiadny prírodný materiál nie je schopný ovplyvniť vysokofrekvenčné magnetické pole. Preto sa v optike a priori uvažuje len elektrická odozva materiálov a index lomu n = ɛ. Absencia magnetickej odozvy bola najsilnejším argumentom proti možnosti konštrukcie metamateriálov. Ukázalo sa však, že Landauova limita sa týkala prírodných materiálov, v ktorých typickou dĺžkovou škálou je medziatómová vzdialenosť. Ako uvidíme v neskôr, v metamateriáloch túto úlohu preberá mriežková konštanta periodickej štruktúry, ktorá je o niekoľko rádov väčšia, ako vzdialenosť atómov. Preto môžeme predpokladať, že magnetická odozva metamateriálov bude rôzna od jednotky aj pre podstatne vyššie frekvencie než v prípade prirodzených materiálov. 9

19 3.4 δ-funkcia V mnohých fyzikálnych problémoch sa vyskytuje funkcia δ(x). Presná matematická definícia tejto funkcie presahuje tento text, podáme preto aspoň základné informácie o jej vlastnostiach. Uvažujme Gaussovo rozdelenie P G (x) = 2πσ e x2 2σ (3.2) Na ľavom obrázku 3.3 je ukázaná P G (x) pre štyri hodnoty σ. Vidíme, že rozdelenie sa s klesajúcou hodnotou σ zužuje. Definujme δ-funkciu ako limitu δ(x) = lim e x2 2σ (3.22) σ 0 2πσ Intuitívne je zrejmé, že pre nekonečne malú hodnotu σ je Gaussovo rozdelenie nekonečne úzke a nekonečne vysoké. Rovnako platí + dx δ(x) = (3.23) Funkciu δ(x) môžeme definovať aj inými spôsobmi. Vo fyzike sa často používa Lorentzova funkcia P L (x) = γ/π x 2 + γ 2 (3.24) Ako vidieť z pravého obrázku (3.3), Lorentzova funkcia je stále užšia a má vyššie maximum, keď γ klesá. Dá sa ukázať, že platí limita γ/π δ(x) = lim (3.25) γ 0 x 2 + γ 2 2,5 P G (x) σ = 0,05 3 P L (x) γ = 0,0 2 σ = 0,0 0,5 σ = 0,50 σ =,00 γ = 0,50 γ =, x x Obr Na ľavom obrázku je Gaussovo rozdelenie P G (x) definované rovnicou (3.2) pre štyri rôzne hodnoty σ. Rozdelenie sa zužuje, keď σ klesá. V limite σ 0 Gaussovo rozdelenie konverguje do δ-funkcie. Pravý obrázok ukazuje Lorentzovu funkciu P L (x), definovanú rovnicou (3.24) pre tri rôzne hodnoty γ. Rozdelenie sa zužuje, keď γ klesá a v limite γ 0 tiež konverguje do δ-funkcie. 20

20 Uvedieme bez dôkazu niekoľko dôležitých vlastností δ-funkcie: + dx e ix(k q) = 2πδ(k q) (3.26) + dk δ(k k 0 )F (k) = F (k 0 ) (3.27) + dx δ[f(x)] = δ(x x 0) f (x 0 ) (3.28) V menovateli je derivácia funkcie f(x) v bode x 0, pre ktorý platí f(x 0 ) = 0. Ak má rovnica f(x) = 0 viac riešení, f(x n ) = 0 pre n =, 2,... N, potom má rovnica (3.28) tvar + dx δ[f(x)] = N n= δ(x x n ) f (x n ) (3.29) Vlastnosti δ-funkcií nájde čitateľ v špecializovaných učebniciach kvantovej mechaniky. (napr. zelena kniha ). 2

21 4 Prednáška 4 4. Elektromagnetické pole v materiálovom prostredí II Literatúra: [3], kap. 4, [6, 8], [4], kap november 208. Maxwellove rovnice v materiálovom prostredí. Uvažujeme len monochromatickú vlnu E = E 0 e i( k r ωt) (4.) Pre ktoré platí D = ɛ 0 ɛ r (ω) E. Zložitejšie polia zostrojíme ako superpozíciu monochromatických vĺn. rot E = i k E (4.2) Preto Maxwellove rovnice majú tvar k E = +ωµ0 µ r (ω) H (4.3) k H = ωɛ0 ɛ r (ω) E (4.4) 2. Relatívna impedancia Z = µr ɛ r (4.5) je číslo (tak, ako relatívna permitivita ɛ a relatívna permeabilita µ). Pomer amplitúd E 0 H 0 = Z 0 Z = µ0 3. Elektromagentická vlna v materiálovom prostredí. Disperzný zákon má všeobecnejší tvar ɛ 0 µr ɛ r (4.6) k 2 = ω2 ɛ(ω)µ(ω) (4.7) c2 µ(ω) v oblasti optických frekvencií. 22

22 4. Index lomu n = ɛ r µ r (4.8) závisí od frekvencie a je vo všeobecnosti komplexný. (rozklad svetla na hranole demonštruje, že n závisí od frekvencie). 5. Komplexný index lomu n r = n + in. Tvar EM vlny v absorbujúcom prostredí: Vlnový vektor k = ω c n = k r + iκ (4.9) κ definuje exponenciálny pokles EM vlny v materiáli. spôsobený absorpciou E = E 0 e ikrz e κz e iωt (4.0) Exponenciálny pokles EM vlny charakterizuje κ = ω c n (4.) Typická dĺžka, na ktorej je vlna absorbovaná: a = κ = c ωn (4.2) Pre viditeľné svetlo je c/ω 0 6 m. n musí byť veľmi malé, inak EM vlna zanikne na pomerne malých vzdialenostiach: ak je n = 0 3, svetlo prenikne do hĺbky cca m. 6. Príklad absorpcie: absorpcia EM vĺn vo vode. 7. Fázová a grupová rýchlosť: v f = ω k s, (rýchlosť zmeny fázy) s = k k (4.3) v g = grad k ω( k) (4.4) rýchlosť a smer šírenia energie. Grupová rýchlosť má fyzikálny význam len v oblasti frekvencií, kde sa relatívna permitivita ɛ(ω) nemení príliš rýchlo s frekvenciou. 8. Všeobecnejší tvar pre hustotu energie (pre reálnu permitivitu ɛ) u = [ωɛ(ω)] ω E 2 + [ωµ(ω)] H 2 (4.5) ω Energia musí byť kladná, aj keď je permitivita záporná, (ωɛ)/ ω > 0. 23

23 9. Zovšeobecnená Poyntingova veta (na prednáške nebola) u t = j E div S Q (4.6) Stratový člen Q predstavuje absorbovanú energiu v jednotke objemu za jednu časovú periódu kmitov poľa: Q = ɛ 0 ωɛ E 2 + µ 0 ωµ H 2 (4.7) Vidíme teda, že imaginárna zložka permitivity určuje absorpčné straty v látke. 0. Absorpcia: užitočná pre spektrálnu analýzu: z frekvencií, pri ktorých materiál absorbuje elektromagnetické vlny, môžeme usudzovať na vlastné módy (elektrónové, vibračné spektrá materiálu).. Komentár: rovnice (4.5,4.7) sú len približné, boli odvodené za predpokladu, že permitivita sa len pomaly mení s frekvenciou. 2. Poznámka: v neskorších prednáškach budete preberať všeobecné vzťahy medzi reálnou a imaginárnou časťou permitivity (Kramers-Kronig). Z nich vyplýva, že ak ɛ závisí od frekvencie, potom ɛ musí byť nenulové, a teda v látke dochádza k absorpčným stratám. 24

24 4.2 EM vlny na rozhraní Literatúra: [3], kap. 3, [6], [4], kap. 2. Rovinné rozhranie medzi dvoma prostrediami s indexami lomu n a n 2 (pozri obrázok). 2. Okrajové podmienky na rozhraní: spojitosť tangenciálnych zložiek E a H. 3. Čo sa zachováva pri prechode EM rovinným rozhraním? frekvencia ω tangenciálna zložka vlnového vektora k x amplitúdy tangenciálnych zložiek polí 4. Snellov zákon ako dôsledok spojitosti k x : k x = k x2 (4.8) Ale k x = k sin θ = ω c n sin θ (4.9) k x2 = k 2 sin θ 2 = ω c n 2 sin θ 2 (4.20) Preto n sin θ = n 2 sin θ 2 (4.2) x ǫ µ ǫ 2 µ 2 x ǫ µ ǫ 2 µ 2 E k k + H E k k + E H H E + θ 2 θ k 2 k + E 2 H + 2 H 2 z H + θ 2 θ k 2 k + H 2 E + 2 E 2 z H + E + Obr. 4.. Prechod elektromagnetickej vlny rovinným rozhraním pre dve rôzne polarizácie dopadajúcej vlny. Rozhraním je rovina z = 0. na rozhraní sa skokom mení permitivita a permeabilita. Ľavý a pravý obrázok sa líšia polarizáciou vlny: vľavo je E rovnobežné s rozhraním, E = (0, Ey, 0), a H má dve zložky: H = (Hx, 0, H z ). Na pravom obrázku je vlna polarizovaná s H rovnobežným s rozhraním. Elektromagentická vlna dopadá zľava pod uhlom θ alebo sprava pod uhlom θ 2. 25

25 5. Úloha polarizácie - prechod vlny rozhraním závisí od polarizácie vlny. Lineárne polarizovaná vlna môže mať: E rovnobežné s rozhraním, alebo H rovnobežné s rozhraním. 26

26 5 Prechod EM vlny rozhraním 5. EM vlna na rozhraní úplný odraz, tunelovanie Literatúra: [3], kap. 3, [6], [4], kap november 208. Podmienky spojitosti (opakovanie) 2. Disperzný vzťah pre elektromagnetickú vlnu v prostredí a v prostredí 2: Zanedbajme pre imaginárne časti permitivity - ɛ aj ɛ 2 sú reálne. k 2 x + k 2 z = ω2 c 2 ɛ k 2 x + k 2 2z = ω2 c 2 ɛ 2 (5.) k x je rovnaké, zložka vlnového vektora v smere z je iná, lebo je iná permitivita. Uhol dopadu: sin θ = k z /k x. Ak teda poznáme uhol dopadu, poznáme obe zložky vektora k v prostredí, a dopočítame si zložku k 2z odčítaním rovníc (5.): k 2z = ω 2 c 2 [ɛ 2 ɛ ] + k 2 z (5.2) 3. Úplný odraz Ak je výraz pod odmocninou kladný, je k 2z reálne, a vlna sa v prostredí 2 môže šíriť v smere z. Vidíme ale, že pod odmocninou môžeme dostať aj záporné číslo, ak: ɛ 2 < ɛ (vlna prechádza do prostredia s menším indexom lomu) ɛ 2 < 0 (druhé prostredie je kov) V oboch prípadoch dochádza k úplnému odrazu: k 2z = iκ 2 (5.3) Vlnový vektor je rýdzo imaginárny, EM vlna v prostredí dva klesá exponenciálne so vzdialenosťou od rozhrania: E 2 (z) = E 2 (z = 0)e κ 2z (5.4) Nie je ale v prostredí 2 nulová! Pozor - na rozdiel od absorpcie EM exponenciálne klesá, ale neabsorbuje sa! Uvidíme neskôr, že koeficient odrazu R =. 27

27 4. Vysvetlenie: Zaujíma nás tok energie v smere z: S z = E x H y E y H x (5.5) Predpokladajme, že E 0 je reálny. Z Maxwellovej rovnice k E = µ0 µ r ω H (5.6) vyjadríme zložky vektora H a dostaneme S z = µ 0 µ r ωrek z (E 2 x + E 2 y) (5.7) Ak je teda k 2z rýdzo imaginárne, je Re k 2z 0 a energia sa v smere z nešíri. 5. Tunelovanie: pozri obr. 5.: Pre veľmi úzku štrbinu dokáže EM vlna pretunelovať cez prostredie, v ktorom sa nemôže šíriť. Viac uvidíme pri analýze prechodu EM vlny cez tenkú vrstvu. 6. Svetelný kužeľ: Toto len pre ďalšie info: závislosť k x (resp. zložky vlnového vektora rovnobežnej s rozhraním) od frekvencie pre daný uhol dopadu: Pretože k x = k sin θ, je k x ω, pokiaľ index lomu (permitivita) nezávisí od frekvencie. Pozri obr. 5.2 Θ n l n 2 n Obr. 5.. Tunelovanie EM vlny cez úzku štrbinu. Pokiaľ je šírka štrbiny malá (porovnateľná s vlnovou dĺžkou), dokáže svetlo cez ňu pretunelovať a bude sa šíriť ďalej. Intenzita pretunelovaného svetla závisí od hrúbky štrbiny a samozrejme aj od uhla dopadu pôvodnej vlny. 28

28 ω /c 0.6 θ = π / 6 θ = π / 3 ω /c 0.6 n = n = 2 n = k / n k Obr Ľavý obrázok: disperzné vzťahy pre rovinnú elektromagnetickú vlnu šíriacu sa v nedisperznom prostredí s indexom lomu n. Index lomu nezávisí od frekvencie, preto je disperzný vzťah (??) lineárny. Uhol θ definuje smer šírenia vlny vzhľadom na os z: k = (ω/c)n sin θ je zložka vlnového vektora kolmá na os z. Vyšrafovaná oblasť ukazuje oblasť parametrov (k, ω), pre ktoré sa EM vlna v prostredí môže šíriť v smere osi z s reálnou zložkou vlnového vektora k z. Nazýva sa preto svetelný kužeľ. V oblasti mimo svetelného kužeľa je k z imaginárne a EM vlna exponenciálne klesá. Na pravom obrázku vidíme svetelný kužeľ pre tri prostredia s indexami lomu n =, 2 a Prechod EM vlny rozhraním - Fresnelove vzťahy. Amplitúda odrazu r = E E + (5.8) a koeficient odrazu R = r 2 (5.9) x ǫ µ ǫ 2 µ 2 x ǫ µ ǫ 2 µ 2 E k k + H E k k + E H H E + θ 2 θ k 2 k + E 2 H + 2 H 2 z H + θ 2 θ k 2 k + H 2 E + 2 E 2 z H + E + Obr Prechod elektromagnetickej vlny rovinným rozhraním pre dve rôzne polarizácie dopadajúcej vlny. 29

29 2. Amplitúda prechodu t = E+ 2 E + (5.0) a koeficient prechodu T = S 2z S z, Poyntingov vektor S = 2 Re k E 2 ωɛ 0 ɛ (5.) je vo všeobecnosti rôzny od t 2. t je pomer intenzít prejdeného poľa k dopadajúcemu, a je vždy nenulový - aj v prípade úplného odrazu! 3. Odvodenie Fresnelovych vzťahov z podmienky spojitosti polí na rozhraní: pre vlnu polarizovanú s E rovnobežnú s rozhraním (TE vlnu) - predpokladáme µ = µ 2 r E = k 2z k z k 2z + k z (5.2) t E = 2k z k 2z + k z (5.3) Pre vlnu polarizovanú s H rovnobežnú s rozhraním (TM vlnu): r H = k 2z/ɛ 2 k z /ɛ k 2z /ɛ 2 + k z /ɛ = ɛ 2k z ɛ 2 k 2z ɛ 2 k z + ɛ k 2z (5.4) t H = 2k z /ɛ k 2z /ɛ 2 + k z /ɛ (5.5) 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8 r E r H - 0 0,2 0,4 0,6 0,8 θ / (π/2) Obr Amplitúda odrazu na rozhraní dvoch dielektrík (n =, n 2 = 3) ako funkcia uhlu dopadu θ pre E a H polarizovanú vlnu. Amplitúdy sú reálne, ale môžu byť záporné. Všimnime si, že r H = 0 pre Brewsterov uhol. Vidíme tiež, že pre kolmý dopad, θ = 0, platí r E = r H. 30

30 4. Koeficient prechodu: pre reálne hodnoty k a k 2 : T E = k 2z k z t E 2 = 4k zk 2z (k z + k 2z ) 2 (5.6) a podobne pre T H, ak nahradíme k z k z /ɛ a k 2z k 2z /ɛ 2. Vidíme, že T je symetrická: koeficient prechodu z prostredia do prostredia 2 je taký istý, ako v opačnom smere. 5. Koeficient odrazu: R E = r E 2, R H = r H 2 (5.7) 6. Fresnelove vzťahy: ak dosadíme k z = k cos θ k 2z = k 2 cos θ 2 vyjadríme amplitúdy prechodu a odrazu pomocou indexov lomu a uhlov dopadu/prechodu. Špeciálny prípad: kolmý dopad na rozhranie: θ = θ 2 = 0, k z = k = (ω/c)n k 2z = k 2 = (ω/c)n 2 r H = n 2 n n 2 + n r E = n n 2 n + n 2 (5.8) Dostávame teda r H = r E kolmý dopad (5.9) Zdanlivý paradox: pri kolmom dopade sú obe polarizácie rovnocenné - prečo sú amplitúdy odrazu rôzne? Vysvetlenie: pri odraze musí jedna zo zložiek vlny ( E alebo H zmeniť znamienko. Ktorá to je, závisí od indexov lomu jednotlivých prostredí: pri dopade na opticky hustejšie prostredie (n 2 > n ) zmení znamienko intenzita elektrického poľa, pri dopade na opticky redšie prostredie (n > n 2 intenzita magnetického poľa. 7. Brewsterov uhol: pre určitý uhol dopadu je r H 0 a teda aj R H = 0. H-polarizovaná vlna sa pri dopade pod Brewsterovým uhlom neodráža (obr. 5.4). Pre E-polarizovanú vlnu taký uhol neexistuje. 8. Polarizácia odrazenej vlny: pretože R E R H, bude odrazená vlna čiastočne polarizovaná. V prípade dopadu pod Brewsterovým uhlom sa bude odrážať len E-polarizovaná vlna - odrazená vlna je lineárne polarizovaná. 9. Odraz od kovu: k 2z = iκ je imaginárne vždy, pretože ɛ 2 < 0. Ak zanedbáme absorpciu, dostaneme R = lebo r E = iκ k z iκ k z (5.20) Hĺbka vniku: δ = 2π/k 2z závisí od frekvencie, pretože ɛ 2 je funkciou frekvencie. Pre kolmý dopad je hĺbka vniku viditeľného svetla δ 22 nm. 3

31 0. Úplný odraz II. Vyjadrime najprv k z = ω 2 c 2 ɛ k 2 x, k 2z = ω 2 c 2 ɛ 2 k 2 x (5.2) pre ɛ > ɛ 2 sa pre dostatočne veľký uhol dopadu sa k 2z stane imaginárnym; výraz pod odmocninou je záporný, preto k 2z = iκ a vlna za rozhraním exponenciálne klesá (evanescentná vlna): E 2 = E 20 e i(kzz ωt) e κz (5.22) To vidíme aj z vyjadrenia pre amplitúdu odrazu, pretože k z r E a r H. podobne ako v rovnici (5.20) sú amplitúdy vyjadrené ako zlomok komplexného čísla a čísla s ním komplexne združeného. Exponenciálny pokles intenzity nie je daný absorpciou, ale úplným odrazom. Prítomnosť poľa za rozhraním sa prejavuje napr. pri tunelovaní dopadajúcej vlny a najčastejšie pri úniku vĺn viazaných na prostredie s vyšším indexom lomu (napr. z vlnovodu). Všimnime si, že T = 0, pretože k 2z je rýdzo imaginárne, ale t 0, pretože intenzita poľa za rozhraním je nenulová. 32

32 6 Prechod EM vlny cez tenkú vrstvu 6. Optické javy na tenkej vrstve Literatúra: [3], kap. 5, [6], kap., kap november 208. Prechod EM vlny cez tenkú dielektrickú vrstvu. Odvodíme vzťah pre koeficient prechodu v prípade kolmého dopadu: T = + α sin 2 k 2 l, α = 4R 0 ( R 0 ) 2 (6.) R 0 je koeficient odrazu od rozhrania, k je vlnový vektor vo vrstve, k = (ω/c)n 2 (obr. 6.. Maximálna transmisia T = nastáva, keď k 2 l = mπ (6.2) a teda l = m λ 2 (6.3) (m je celé číslo). Vrstva je pre tieto frekvencie totálne transparentná. 0.8 t ε 2 µ 2 r 0.6 T l l / λ Obr. 6.. Prechod elektromagnetickej vlny cez rovinnú homogénnu vrstvu hrúbky l. EM vlna dopadá sprava, amplitúda prechádzajúcej vlny je t, amplitúda odrazenej vlny je r. Na pravom obrázku vidíme, že koeficient prechodu T osciluje ako funkcia pomeru hrúbky vrstvy l a vlnovej dĺžky dopadajúcej vlny λ (Fabry-Perotove oscilácie). Vrstva má permitivitu ɛ 2 = 4, prostredie na oboch stranách vrstvy má rovnakú permitivitu ɛ =. 33

33 2. Všeobecný výsledok pre transmisiu pre dopad pod Ľubovoľným uhlom dopadu (neodvodili sme, ale je užitočný) T = + α sin 2 k 2z l, α = [ kz k ] 2 2z (6.4) 4 k 2z k z Všimnime si, že T je daná len z-ovými zložkami vlnových vektorov k z a k 2z. 3. Závislosť koeficientu prechodu od R 0 : pre veľké hodnoty R 0 dostaneme veľmi úzke maximá transmisie - frekvenčný filter. 4. Koeficient prechodu cez kovovú vrstvu - tunelovanie EM vlny: dostaneme z rovnice (6.4) ak ɛ 2 < 0 a teda k 2z = iκ. Rovnica (6.4) má potom tvar T = + α sinh 2 κl, α = [ kz 4 κ + κ ] 2 (6.5) k z Pre dostatočne hrubú vrstvu sinh κl e +κl transmisia exponenciálne klesá s hrúbkou vrstvy. n = 2 n = 7 0 k 8 ε = 6 ω a / c ε 2 = x k a Obr Vľavo: elektromagnetické vlny viazané v tenkej vrstve s permitivitou ɛ 2 = 9 a hrúbkou a. Vektor elektrickej intenzity je rovnobežný s povrchom vrstvy. Profil EM vlny v priečnom smere (os x) ukazuje, že EM vlna exponenciálne klesá mimo vrstvy, a osciluje vo vrstve. Takéto stavy existujú len pre niektoré hodnoty frekvencie a vlnového vektora k, ukázané na pravom obrázku. Pravý obrázok zobrazuje disperzné vzťahy vlastných stavov EM poľa viazaných v dielektrickej vrstve hrúbky a. Všetky disperzné krivky ležia mimo svetelného kužeľa vonkajšieho prostredia, pretože k > ɛ ω/c. Pre danú frekvenciu ω existuje konečný počet viazaných stavov N. Stavy sú alebo párne (plná čiara), alebo nepárne (prerušovaná čiara) tzn. symetrické alebo antisymetrické vzhľadom na rovinu zrkadlenia prechádzajúcu stredom vrstvy. 34

34 5. V tenkej dielektrickej vrstve sa môžu šíriť EM vlny, ktoré nemôžu existovať mimo vrstvy (obr. 6.2). Disperzný vzťah ω = ω(k ) nájdeme opäť zo spojitosti intenzít poľa na hranici vrstvy: Predpokladáme, že vlna v smere osi x exponenciálne klesá. Disperzné vzťahy pre EM vlnu vo vrstve a mimo vrstvy sú a ω 2 c 2 ɛ 2 = k 2 + k 2 2z vo vnútri vrstvy (6.6) ω 2 c 2 = k2 κ 2 (6.7) mimo vrstvu. Závislosť ω(k ) je na obr Uväznenie EM vlny vo vrstve s vyšším indexom lomu fyzikálne vysvetľuje šírenie optického signálu v optickom vlákne. 6. Odvodenie vzťahu (6.). Podľa obrázku 6.3 je amplitúda vlny za tenkou vrstvou rovná t = t t 2 e ik 2l [ + r 2 r 2 e i2k 2l + (r 2 r 2 e i2k 2l ) 2 + ] (6.8) (q = k 2 ), r 2 je amplitúda odrazu vlny, šíriacej sa vo vnútri vrstvy, od jej okraja. Geometrický rad na pravej strane sčítame: t = t t 2 e ik 2l r 2 r 2 e i2k 2l (6.9) t t 2 e iql t t 2 r 2 e i3ql t t 2 r 4 e i5ql Obr Vlna, ktorá prejde cez vrstvu, je súčtom vĺn, ktoré prekonali vo vrstve rôzne dráhy. Ukázané sú len prvé tri príspevky. (Pozn. q = k 2.) 35

35 a hľadáme T = t 2. Využijeme r 2 2 = R 0, T = t 2, T 2 = t 2 2 a T = T 2 = R 2 0, dosadíme T = t 2 = ( R 0 ) 2 + R 2 0 2R 0 cos k 2 l (6.0) T = + 2R 0 ( R 0 ( cos 2k ) 2 2 l) (6.) a pretože cos 2k 2 l = 2 sin 2 k 2 l, dostaneme z posledného vzťahu vzťah (6.). 7. Podmienka maximálnej transmisie je k 2 l = mπ. Fyzikálne znamená, že všetky príspevky, z ktorých pozostáva prejdená vlna, opúšťajú dielektrickú vrstvu vo fáze, pretože vo vrstve absolvovali akurát celočíselný násobok vlnovej dĺžky. Líšia sa len svojou amplitúdou. Podobne podmienka k 2 l = (m + )π (6.2) 2 zodpovedá minimu transmisie, pretože jednotlivé príspevky sa od seba líšia znamienkom. 8. Podmienka maximálnej transmisie: k z l = mπ je zároveň podmienkou minimálneho odrazu. Dôvod: odrazená vlna je opäť zložená z nekonečného počtu príspevkov, ktoré prešli vo vrstve dráhu 2l, 4l atď. Na rozdiel od prechádzajúcich vĺn je ale fáza odrazených vĺn posunutá o π, pretože pri výpočte odrazu musíme uvažovať odraz od prednej aj od zadnej strany vrstvy: r = r + t r 2 t e i2k 2l + t r 2 r r 2 t e i4k 2l +... (6.3) r je amplitúda odrazu od prednej strany vrstvy, r 2 od zadnej strany vrstvy a platí preto r = r 2 (6.4) Prvý a druhy člen sa teda líšia dodatočným faktorom π daným opaćnými znamienkami amplitúd odrazu. Najväčší odraz teda dostaneme vtedy, keď vlna, odrazená od zadnej steny, prejde vo vrstve dráhu λ/2, aby vykompenzovala zmenu znamienka spôsobenú odrazom. To je ale zároveň podmienka minimálnej transmisie. 36

36 7 Interferencia a koherencia Literatúra: [3], kap. 5,6 28. a 29. november Interferencia. Podstata interferencie - skladanie dvoch vlnení Maxwellove rovnice sú lineárne v intenzitách E, energia je ale kvadratickou funkciou E. Súčtom dvoch vlnení v danom bode priestoru r je vlnenie s intenzitou elektrického poľa E( r, t) = E ( r, t) + E 2 ( r, t) (7.) Predpokladajme, že obe EM vlny majú rovnakú frekvenciu ω a E E 2 : E = E 0 e i( k r ωt) E 2 = E 20 e i( k r ωt+δ) (7.2) (7.3) δ je fázový rozdiel vlnení. Potom intenzita I (pozor na to isté meno pre dve rôzne veličiny!) výsledného vlnenia je I = E 2 = I + I I I 2 cos δ (7.4) kde I = E 0 2 a I 2 = E Je teda I I + I Interferenciu pozorujeme pri skladaní vlnení s rovnakou frekvenciou. Ideálnym príkladom je skladanie dvoch rovinných vĺn v predchádzajúcom prípade. Podmienky pozorovania interferencie v reálnom svete budeme diskutovať neskôr v prednáške Koherencia. 8 I δ / π Obr. 7.. Intenzita I = I + I I I 2 cos δ ako funkcia fázového rozdielu δ pre I = a I 2 = 4, teda E 0 = a E 20 = 2. Maximálna hodnota I max = E 0 + E 20 2 = 9, minimálna hodnota I min = E 0 E 20 2 =. 37

37 3. Interferenciu môžeme pozorovať, ak jedno vlnenie rozdelíme na dve (alebo viac) vlnenia, ktoré po rozdelení prejdú rôzne dlhé dráhy a následne spojíme. Ak sa stretnú vo fáze, môžu interferovať. Príkladom interferencie bol prechod EM vlny cez dielektrickú vrstvu v predchádzajúcej prednáške. 4. Interferencia: dvojzväzková (rozdelenie pôvodnej vlny na dve) alebo mnohozväzková (pôvodná vlna sa rozdelí na N 2 vlnení, ktoré sa následne interferujú. 5. Youngov experiment na dvojštrbine (obr. 7.2). Ideálny monochromatický zdroj vyžaruje elektromagnetickú vlnu, ktorá prechádza cez dva malé otvory v tienidle. Tieto otvory môžeme považovať a dva ideálne monochromatické zdroje dvoch EM vĺn, ktoré interferujú na druhom tienidle. V závislosti od vzdialenosti zdrojov od daného bodu tienidla pozorujeme na zadnom tienidle oblasti s vysokou, resp.nízkou intenzitou. Ak sa majú dve vlny stretnúť v danom bode a v danom mieste. musí byť E z nich vyžiarená skôr, pretože L > L 2 ; časový rozdiel t t 2 spôsobí, že medzi vlnami je fázový rozdiel δ = ω(t t 2 ) = ω (L L 2 ) c δ = 2π L L 2 λ = k(l L 2 ) (7.5) (7.6) Fázový rozdiel medzi vlnami teda závisí od pomeru rozdielu dráh k vlnovej dĺžke. Intenzitu v danom mieste nájdeme zo vzťahu I(z) = 2I ( + cos δ) (7.7) pretože oba zdroje majú rovnakú intenzitu. Intenzita je najväčšia, ak L 2 L = mλ, teda ak sa vlnenia stretnú vo fáze. Ak L 2 L = (m + /2)λ, vlnenia sa stretnú v protifáze a intenzita je minimálna. 6. Iné príklady dvojzväzkovej interferencie: princíp je ten istý, ako pri Youngovom experimente: je treba nájsť mechanizmus ako vytvoriť dva zdroje rovnakého vlnenia. Možností je veľa, napríklad Lloydovo zrkadlo (obr. 7.3) Fresnelove zrkadlá (obr 7.4) Odrazmi od dvoch zrkadiel imitujú Youngov interferenčný experiment; na rozdiel do neho ale využijú celú energiu zdroja (v Youngovom experimente sa väčšina energie odrazí od nepriepustnej prekážky a k interferencii neprispieva). Interferencia na kline a na Newtonových sklách (obr 7.5) Interferencia v prírode: tenká mydlová blana, tenká vrstva oleja na vode, motýlie krídlo. Interferencia na tenkej vrstve (pozri časť 7.2) Interferometre (pozri časť 7.3) 38

38 L 2 Z z L d Obr Youngov experiment: monochromatická vlna zo zdroja Z sa šíri všetkými smermi; cez prvú prekážku prechádza dvoma malými otvormi, ktoré sa stávajú dvoma novými zdrojmi žiarenia. Pred dopadom na tienidlo vlny prejdú rôzne dráhy L a L 2, preto sú vzájomne posunuté o fázu δ = k(l L 2 ) = 2π(L 2 L )/λ. Výsledná intenzita na tienitku preto závisí od polohy - pozorujeme interferenčný obraz. Z Z, zrkadlo Obr Lloydovo zrkadlo vytvára zdanlivý obraz zdroja Z; na tienidle vpravo vzniká interferenčný obraz, pretože lúče odrazené od zrkadla sa chovajú tak, ako keby boli vyžiarené zo zdroja Z. Princíp interferencie je ten istý, ako pri Youngovej interferencii. 7.2 Interferencia na tenkej vrstve. Skladanie dvoch vlnení: v praxi nám stačí uvažovať len prvé dva príspevky geometrického radu (obr. 7.6). Podmienka zosilnenia zloženého vlnenia je opäť k 2z l = mπ (7.8) V niektorých knihách ju prepíšu do tvaru = 4π λ 0 nl cos θ 2 = 2mπ (7.9) lebo = 2k 2z l a k 2z = k 2 cos θ 2 = (2π/λ 0 )n 2 cos θ 2 (λ 0 je vlnová dĺžka v prostredí mimo vrstvy - vzduch, resp. vákuum). Analogicky, podmienka zoslabenia odrazenej vlny je 2k 2z l = (2m + )π (7.0) 39

39 Z Zdroj Zrkadlo 2 Tienidlo 2 Tienidlo Z Zrkadlo 2 Zdroj Tienidlo 2 Tienidlo Z 2 Zrkadlo Z 2 Zrkadlo Obr Vľavo: Fresnelove zrkadlá: dve zrkadlá, ktoré zvierajú medzi sebou malý uhol. Zdroj svetla sa zobrazí v dvoch zdrojoch Z a Z 2. Svetlo vychádzajúce zo zdroja, sa odráža od dvoch zrkadiel a dopadá na tienidlo ako keby bolo vyžiarené zo zdrojov Z a Z 2. Na tienidle vytvára interferenčný obraz rovnaký ako v prípade Youngovej interferencie. Úlohou Tienidla 2 je eliminovať lúče, vychádzajúce zo zdroja, ktoré sa neodrážajú od žiadneho zo zrkadiel. Pravý obrázok ukazuje dva lúče, vychádzajúce zo zdroja, ktoré po odraze od zrkadiel spolu interferujú na tienidle. Obr Vľavo: Newtonove sklá; interferencia nastáva na vzduchovej vrstve, ktorej hrúbka závisí od vzdialenosti od stredu. Pozorujeme interferenčné krúžky. Pravý obrázok ukazuje interferenciu na tenkej vzduchovej vrstve, vytvorenej sklenenou doskou, položenou na vodorovnej podložke a na jednej strane podloženou (napr. zrnkom prachu). Dopadajúca vlna má vlnovú dĺžku Λ; čo sa stane, ak na takéto systémy dopadá biele svetlo? Pre m = 0 dostaneme k 2z l = π 2 (7.) Hrúbka vrstvy je preto l = 2π = λ 2 k 2z 4 (7.2) Odtiaľ názov štvrťvlnová platnička. 2. Interferencia na mydlovej bubline, na vrstve oleja rozliateho na hladine. 40

40 E E 2 E + E 2 n 0 θ n θ 2 Obr Dva lúče, dopadajúce na tenkú vrstvu. 3. Antireflexné vrstvy: Minimalizácia odrazu od rozhrania dvoch materiálov s indexami lomu n 0 a n s. Na materiál s indexom lomu n s nanesieme tenkú vrstvu s indexom lomu n: n 0 < n < n s. Aby bol odraz od rozhrania minimálny, potrebujeme, aby: () hrúbka vrstvy l = λ 2 /4, aby vlnenie odrazené od zadnej strany vrstvy bolo v protifáze s vlnením odrazeným od prednej strany (rovnica 7.2) (2) vzťah medzi indexami lomu bol n = n 0 n s (7.3) aby obe odrazené vlnenia mali približne rovnakú amplitúdu. naozaj, pre najjednoduchší prípad kolmého dopadu je vlna odrazená od predného okraja tenkej vrstvy E = r E 0, r = n 0 n n 0 + n (7.4) a vlna odrazená od spodného okraja vrstvy E 2 r 2 E 0, r 2 = n n s n + n s (7.5) (E 0 je amplitúda dopadajúcej vlny). Obe odrazené amplitúdy sú rovnaké, ak r = r 2 z čoho plynie vzťah (7.3). Využitie: v každej optickej sústave - typický odraz od povrchu skla je 4% - v prípade, že svetlo prechádza 0 šošovkami, neprešlo by takouto sústavou skoro nič. 4

41 + Permitivita dvoch kovovych vrstiev Transmisia 0 T e-20 R 0,000 e-40 e-08 - x 0,8 0,85 0, Frekvencia f/c Obr Prechod EM vlny cez dve tenké kovové vrstvy. Štruktúra je na ľavom obrázku. Na pravom je koeficient prechodu ako funkcia frekvencie EM vlny. (Vertikálna os je logaritmická!). Transmisia klesá exponenciálne, ale pre vybrané frekvencie prudko narastá až dosahuje hodnotu T =. Takéto maximá sú veľmi úzke (dané parametrami štruktúry, napr. hrúbkou kovových vrstiev). Preto sa numericky nepodarilo dosiahnuť maximálnu hodnotu (jedno maximum je ukázané na vloženom obrázku). Pre porovnanie: modrá bodkovaná čiara je prechod cez jednu kovovú vrstvu. Zdroj: Pokročilé programovanie, prednášky pre 2r. bc fyzika. 7.3 Interferometre. Fabry-Perotov rezonátor - obr Princíp: interferencia na dvoch kovových vrstvách. V experimente sú kovové vrstvy naparené na sklených podložkách. Svetlo, ktoré zavedieme medzi kovové vrstvy, sa od nich bude mnohonásobne odrážať; jednotlivé zložky budú interferovať, a pre vhodnú frekvenciu f (resp. vlnový dĺžku) dôjde k dokonalej transmisii (T = ) podobne ako na tenkej vrstve. Výpočet je o niečo zložitejší, efekt sa dá ľahko dokázať numerickým riešením vlnovej rovnice. 2. Michelsonov interferometer - neexistencia éteru 42

42 7.4 Koherencia. Koherencia: žiadny zdroj elektromagnetickej vlny nevyžaruje kontinuálne. Vyžiarená vlna preto nie je monochromatická. Za takú ju môžeme považovať len na krátkych vzdialenostiach l c (koherenčná dĺžka, resp. počas krátkej doby τ c (koherenčný čas). l c = cτ c (7.6) 2. Konečný koherenčný čas znamená neurčitosť vo frekvencii: f = τ c (7.7) Preto l c = cτ c = c f = λ ( λ) 2 (7.8) 3. Nutná podmienka interferencie dvoch vlnení s vlnovou dĺžkou λ: rozdiel dráh, ktoré vlnenia prejdú pred interferenciou musí byť menší ako korelačná dĺžka l c : l l c (7.9) 4. Experimentálne realizovateľná interferencia: delením amplitúdy alebo delením vlnoplochy. V oboch prípadoch je potrebné zachovať koherenciu dvoch zložiek vlny. Interferencia je možná, len ak sa skladajú dve koherentné vlnenia. Ak sú koherentné len čiastočne, musia sa stretnúť skôr, ako sa vplyvom dekoherencie rozfázujú : Ak tak E = Ee i[ωt+φ(t)[, E 2 = Ee i[ω(t+δt)+φ(t+δt)] (7.20) I = I 0 + I I 0 I 0 Re e iωδt+i(φ(t+δt) φ(t)) (7.2) (I 0 = E 2 ). Funkcia γ(t) = e i[ φ(t+δt) φ(t)] = e iωδt Γ(δt) (7.22) závisí od času t. Pretože meranie trvá istý čas T, hľadajme strednú hodnotu Γ(δt) = T T Potom výsledná intenzita je 0 dte i[ φ(t+δt) φ(t)] (T τ c ) (7.23) I = I 0 + I 0 + 2I 0 Γ(δt) cos ωδt (7.24) Ak Γ, dostaneme rovnicu (7.7) pre interferenciu v ideálnom prípade dokonale koherentných vlnení (rovinných vĺn). Funkcia Γ teda meria mieru koherencie dvoch vlnení. Dá sa ukázať, že Γ(δt) klesá rýchlo do nuly, keď δt > τ c. Ak Γ 0, interferencia sa stráca. Nekoherentné vlnenia preto neinterferujú (preto neinterferuje svetlo sviečky, lampa apod.). 43

43 5. Meranie koherencie. Z rovnice (7.24) vidíme, že I nadobúda hodnoty medzi maximálnou hodnotou I max a minimálnou hodnotou I min. V špeciálnom prípade I = I 2 dostaneme a teda I max = 2I 0 ( + Γ(δt)) (7.25) I min = 2I 0 ( Γ(δt)) (7.26) Γ(δt) = I max I min I max + I min (7.27) čo umožňuje experimentálne stanoviť mieru koherencie. 6. Koherencia vnáša nároky na stavbu interferenčných experimentov: dráhy dvoch vĺn sa nesmú líšiť o viac ako je koherenčná dĺžka. Preto potrebujeme koherentné zdroje svetla. 7. Koherenčné dĺžky známych zdrojov svetla: slnečné svetlo l c 800 nm LED l c 20 µm sodíková lampa l c 600 µm ortuťová výbojka l c cm He-Ne laser l c 300 m Koherenčná dĺžka je daná fyzikálnymi procesmi, pri ktorých svetlo vzniká - viac sa dozvieme v kapitole zdroje svetla. 8. Krátka koherenčná dĺžka kladie veľké nároky na konštrukciu interferometrov: rozdiel dráh dvoch vlnení musí byť L 2 L < l c (7.28) Pred konštrukciou laserov boli maximálne dosažiteľné koherenčné dĺžky rádov milimetrov, pri čom dĺžky ramien L, L 2 dosahovali desiatky metrov. Podmienka (7.28) vysvetľuje, prečo pozorujeme interferenciu len na tenkých vrstvách (a nie napr. na obločnom skle hrúbky niekoľko mm). 9. Interferenčný obraz od veľkých zdrojov - priestorová koherencia. Veľký zdroj (napr. povrch Slnka, hviezdy) pozostáva z veľkého počtu bodových zdrojov. Pre každý bodový zdroj môžeme uvažovať interferenčný experiment. Svetlo prichádzajúce z hviezdy môže podrobiť Youngovmu interferenčnému experimentu a pozorovať interferenciu, ak sa interferenčné obrazy jednotlivých zdrojov nebudú prekrývať - pre dva zdroje pozri obr Pre θ môžeme aproximovať L 2 L = (a/2 + s) 2 + r 2 (a/2 s) 2 + r 2 (7.29) 44

44 Za predpokladu r a, r s dostaneme L 2 L as r (7.30) (Taylorov rozvoj). Interferenčný obraz vidíme, ak L 2 L < λ/2, teda ak a < 2 r s λ (7.3) Povrch hviezdy pozostáva z veľkého množstva bodových zdrojov, čo ale len zmení koeficient /2 na pravej strane rovnice 7.3. Je preto možné z pozorovania interferencie odhadnúť rozmer hviezdy s, ak poznáme jej vzdialenosť: stačí zväčšovať vzdialenosť štrbín a dovtedy, kým sa interferencia nestratí. Príklad: Slnko má priemer km, vzdialenosť Slnko-Zem je km, takže r/s 5. Interferenciu slnečného svetla teda vidíme v Youngovom experimente, v ktorom sú štrbiny vzdialené menej ako 00λ. V prípade vzdialených hviezd ale táto vzdialenosť môže byť rádovo metre (stelárny Michelsonov interferometer). 0. Holografia s Z L 2 θ a z Z 2 L r d Obr Youngov experiment s dvoma zdrojmi Z a Z 2, ktoré vidíme pod priestorovým uhlom θ. Predpokladáme, že θ (čo sa do obrázku ťažko nakreslí). Ak pozorujeme interferenciu vo vzdialenosti z od osi, vidíme, že optické dráhy zo zdrojov Z a Z)2 sa líšia len rozdielom L 2 L. Ak L 2 L = λ/2, potom sa interferenčné obrazy vytvorené jednotlivým zdrojmi budú rušiť, pretože maximum jedného bude tam, kde minimum druhého. Podmienka pozorovania interferencie je preto L 2 L < λ/2. 45

45 8 Difrakcia 8. Všeobecné poznámky Literatúra: [3], kap. 8, [4], kap. 4, [8] 3. december 208. Rovnica vlnenia vo sféricky symetrickom modeli má riešenie E(r, t) = E 0 r ei[kr ωt] (8.) (guľové vlny). Vlna odchádza zo stredu (zo zdroja) a osciluje s vlnovou dĺžkou λ = 2π/k. Amplitúda vlny klesá /r, pretože tok energie, ktorá odchádza zo zdroja, nezávisí od vzdialenosti r, ale plocha, cez ktorú tok prechádza, rastie ako 4πr 2. Poyntingov vektor (energia cez jednotkovú plochu za jednotku času) preto klesá ako /r 2 a intenzita poľa E(r) /r. 2. Huyghensov princíp: vlna v čase t dosiahne nejakú plochu (vlnoplochu). Každý bod tejto vlnoplochy sa stáva novým zdrojom vlnenia. Všetky tieto vlnenia sú koherentné, lebo pochádzajú z jediného pôvodného zdroja. 3. Hughensov - Fresnelov princíp: nové vlnenia navzájom interferujú. 4. História: Difrakcia ako dôkaz vlnovej podstaty svetla (začiatok 9. storočia). 5. Geometria difrakcie: svetlo zo zdroja Z je pozorované pozorovateľom P; ak medzi zdroj a pozorovateľa umiestnim prekážku (tienidlo s otvorom, alebo terč, pozorujem difrakčné javy. Zdroj Prekazka d Tienidlo r L Obr. 8.. Geometrické usporiadanie, na ktorom pozorujeme difrakciu, obsahuje štyri dĺžkové škály: okrem vlnovej dĺžky λ veľkosť otvoru v prekážke d, vzdialenosť zdroja od prekážky r a L- vzdialenosť prekážky od tienidla, na ktorom pozorujeme difrakčný obrazec. Fraunhofferova difrakcia predpokladá, že r a L sú nekonečne ďaleko, preto dopadajúcu vlnu môžeme považovať za rovinnú, a prechádzajúce lúče považujeme za rovnobežné. 46

46 6. Kirchhoffov princíp: predpoklad, že tienidlo len tieni - teda samotné nevyžaruje ani nijako neovplyvňuje šírenie pôvodného svetla. 7. Difrakcia: Fresnelova: zdroj svetla aj tienidlo sú blízko Fraunhofferova: zdroj svetla aj tienidlo sú ďaleko vlna zo zdroja sa dá považovať za rovinnú. Fresnelovo číslo (obr. 8.). N F = d2 rλ (8.2) d... rozmer otvoru, r... vzdialenosť zdroja svetla od otvoru, λ... vlnová dĺžka. Fraunhofferova difrakcia: N F. 47

47 8.2 Fresnelova difrakcia. Fresnelova difrakcia na otvore a na kruhovom terčíku Diskusia o vlnovej povahe svetla (86), Arago-Fresnelov opis difrakcie Fresnelove zóny, Cornuova špirála (obr. 8.2). Difrakčný obraz závisí od toho, kam položím prekážku, resp. koľko Fresnelovych zón prekážka zakryje. 2. Babinetov princíp: E = E + E 2 (8.3) E je intenzita na tienitku, pozorovaná pri difrakcii na terčíku E 2 je intenzita na tienitku, pozorovaná pri difrakcii na otvore ktorý zodpovedá veľkosťou a tvarom terčíku E je intenzita, akú by sme namerali, keby medzi zdrojom a tienidlom nebola žiadna Zdroj P b b + 5 λ/ 2 Obr Fresnelove zóny. Čierna (pol)kružnica je vlnoplocha vychádzajúca zo zdroja. Nakreslených je prvých 5 Fresnelových zón, ohraničených kružnicami s polomerom b + nλ/2. Príspevky jednotlivých zón budú mať opačné znamienka, ako vidieť z obr Obr Výsledná intenzita v bode P. Príspevky jednotlivých zón sú farebne odlíšené. Prvé tri obrázky demonštrujú Babinetov princíp: zľava doprava: (i) len pre prvú zónu (medzi zdrojom a tienidlom je prekážka s kruhovým tvorom, do ktorého práve vojde prvá FZ); (ii) pre všetky zóny okrem prvej (prekážku s otvorom nahradíme komplementárnou prekážkou - kruhovým terčom, ktorý zakryje akurát prvú FZ); (iii) pre všetky Fresnelove zóny (v systéme nie je žiadna prekážka); (iv) len pre prvé dve zóny. Červená šípka ukazuje výslednú intenzitu. 48

48 prekážka. Babinetov princíp vidíme na prvých troch obrázkoch Difrakcia na hrane - len kvalitatívny opis, príklad použitia Cornuovej špirály. 49

49 8.3 Fraunhofferova difrakcia Literatúra [3], kap. 8, [2], kap december 208. Franuhofferova difrakcia - difrakcia v nekonečne 2. Difrakcia na otvore: jednorozmerný prípad: šírka otvoru je b. Intenzita svetla závisí od uhla: [ ] 2 sin β I(θ) = I 0, β = kb sin θ (8.4) β b θ D θ β Obr Fraunhofferova difrakcia na štrbine: zľava dopadá rovinná vlna, vpravo vidíme jednu difragovanú vlnu, odchádzajúcu pod uhlo θ. Tienidlo je v nekonečne, preto intenzita na tienidle je daná vzťahom (8.4). Najväčší dráhový rozdiel medzi odchádzajúcimi vlnami je D = b sin θ. Ak D = λ, tak sa všetky príspevky vyrušia a na tienidle pozorujeme minimum intenzity, v súlade s rovnicou (8.4), lebo β = π ak b sin θ = λ. Pravý obrázok ukazuje I(β) ako funkciu parametra β θ Obr Intenzita I(θ) ako funkcia uhla θ pre rôzne pomery b/λ. Pretože β = π(b/λ) sin θ, môže I oscilovať len keď b > λ (prvé minimum I(θ) nastáva, keď β = π). Veľmi malý otvor b λ, sa chová ako bodový zdroj, vyžarujúci do celej polroviny. V opačnej limite, pre b λ vidíme na tienidle jasné maximum sprevádzané malými bočnými maximami. Maximum je tým užšie, čím je pomer b/λ väčší. 50

50 Odvodenie (obr. 8.4). Intenzita elektrického poľa za štrbinou je E(θ) = E 0 b b 0 dze ikz sin θ = eikb sin θ 2ikb sin θ sin θ)/2 sin β = ei(kb β (8.5) Faktor /b pochádza z normovania dopadajúceho poľa na jednotku plochy. Pomer prejdenej vlny k dopadajúcej je E(θ)/E 0 a I(θ) I 0 = E(θ) E Tvar difrakčného obrazca závisí od pomeru b/λ: V limite b 0 sa štrbina správa ako bodový zdroj. (8.6) Pre b > λ = 2π/k vidíme na tienidle viac maxím oddelených minimami (obr. 8.5). 4. Difrakcia na štvorcovom otvore: I(θ x, θ y ) = I 0 sin 2 β x β 2 x sin 2 β y β 2 y (8.7) 5. Difrakcia na kruhovom otvore s polomerom b: I(θ) = I 0 J 2 (β) β 2 (8.8) J (x)... Besselova funkcia, β = kb sin θ. 6. Rozlišovacia schopnosť: V prípade bodového zdroja nevidím za štrbinou samotný zdroj, ale machuľu - obraz sa rozmazáva. Tomuto sa nedá vyhnúť, pretože svetlo má vlnovú podstatu. Ak sú zdrojmi svetla dva objekty, ktoré vidím pod uhlom θ, difrakčný obraz je superpozíciou dvoch difrakčných obrazov. Jednotlivé zdroje odlíšim, ak maximá jedného obrazu neležia v minimách druhého (Raylighovo kritérium). Ako vidieť z obr. 8.4, prvé difrakčné minimum nastáva, keď π b sin θ = π podmienka difrakčného minima (8.9) λ teda sin θ = λ/b. Pre b λ tomu zodpovedá podmienka θ λ b (8.0) Dva bodové zdroje teda odlíšime, ak ich vidíme pod uhlom λ/b. Dôsledok: Rozlišovaciu schopnosť teleskopu, šošovky, zlepšíme nárastom ich polomeru alebo zmenšením vlnovej dĺžky. Rozlišovacia schopnosť ale nikdy nemôže byť ideálna. 5

51 8.4 Difrakcia na mriežke. Difrakcia na N štrbinách s periódou a (obr. 8.6). 2. Intenzitu I(θ) nájdeme integrovaním podobne ako v predchádzajúcom prípade: I(θ) = I 0 [ sin β β ] 2 [ ] 2 sin Nα (8.) sin α α = 2 ka sin θ, β = kb sin θ (8.2) 2 a... priestorová perióda, b... šírka jednotlivej štrbiny. Hlavné maximá funkcie I(θ) nájdeme pre uhly θ m (pozri obr. 8.7) sin θ m = m λ a (α = mπ) (8.3) pre ktoré je v rovnici (8.) sin α v menovateli rovný nule. Pre tieto hodnoty θ je druhý člen [ ] 2 sin Nα lim = N 2 (8.4) θ θ m sin α Maximá budú užšie a vyššie, keď počet štrbín N narastie. Podmienka existencie vyšších difrakčných rádoch: a > λ (8.5) Poloha maxím je daná pomerom a/λ. Ak zmenšíme vlnovú dĺžku, budú maximá hustejšie (obr. 8.7). m = + θ m = 0 b a m = - Obr Difrakcia na periodickej štruktúre pozostávajúcej z N = 6 rovnakých štrbín. Štrbiny majú šírku b a sú rozmiestnené s periódou a. 52

52 3. Okrem hlavných maxím existujú aj podstatne menšie vedľajšie maximá, dané podmienkou α = [ ] m + m + /2 π, m =, 2,..., N (8.6) N a minimá, v ktorých I(θ) = 0 pre α = ] [m + m π, m =, 2,..., N (8.7) N Tieto maximá aj minimá sú viditeľné na obr Difrakčná mriežka: rozklad svetla na jednotlivé farby: pri dopade bieleho svetla na difrakčnú mriežku dostaneme za mriežkou jednotlivé farby šíriace sa pod rôznymi uhlami (obr. 8.7). 5. Rozlišovacia schopnosť difrakčnej mriežky: Ak chceme rozlíšiť od seba dve farby, definované vlnovými dĺžkami λ a λ, potrebujeme, aby sa ich hlavné maximá neprekrývali. Minimálna požiadavka na rozlíšenie je, aby hlavné maximum pre λ ležalo tam, kde prvé minimum pre λ, teda aby zároveň platilo mλ = a sin θ (m + )λ = a sin θ (8.8) N b = b = b = θ / π θ / π Obr Ľavý obrázok: funkcia [sin(nα)/ sin α] 2, α = π(a/λ) sin θ pre tri vlnové dĺžky červená: λ = 700 nm, zelená: λ = 623 nm, fialová: λ = 45 nm. Difrakcia nastáva na mriežke s N = 0 štrbinami. Štrbiny majú veľkosť b = 00 nm a vzdialenosť a = 2000 nm. Maximá zodpovedajú uhlom daným rovnicou (8.3). Hustota maxím rastie, keď vlnová dĺžka klesá. Pravý obrázok ukazuje vplyv šírky štrbiny na difrakčný obraz: pre fialové svetlo sa použila mriežka s troma rôznymi šírkami štrbiny (hodnoty b sú dané v obrázkoch). 53

53 z čoho dostaneme λ λ = mn (8.9) Pre rozlíšenie je teda lepšie, ak mriežka obsahuje čo najviac štrbín (N je veľké). Rozlíšenie je zároveň lepšie vo vyšších difrakčných rádoch (m veľké). 6. Zovšeobecnenie okrajovej podmienky: Vďaka priestorovej periodicite sa pozdĺžna zložka k nemusí zachovávať. Platí všeobecnejší vzťah: k 2 = k + mg, G = 2π a, m... celé číslo (8.20) Rovnako dopadajúca vlna sa pod rôznymi uhlami (vyššie difrakčné rády). Okrajová podmienka (8.20) platí pre všetky priestorovo periodické štruktúry. 7. Difrakcia na kryštáloch Kryštál predstavuje trojrozmernú periodickú štruktúru s typickou priestorovou periódou a 0.2 nm = m (táto, samozrejme, môže byť v jednotlivých smeroch rôzna). Ak na kryštál dopadá elektromagnetické vlnenie zodpovedajúcej vlnovej dĺžky λ a, vlnenie odchádza pod rozličnými smermi - difraguje na mriežke. Vlnové dĺžky λ 0 0 m zodpovedajú RTG žiareniu - preto sa hovorí o RTG difrakcii. RTG difrakcia je jednou zo základných metód skúmania štruktúry kryštálov. 54

54 9 Elektromagnetické žiarenie Literatúra: [2] 6. december Vznik elektromagnetického žiarenia. Feynmanov príklad vzniku EM poľa: Feynman, 8.4 (Putujúce pole) elektromagnetické pole v okolí nekonečného vodiča, ktorým v čase 0 < t < T prechádza elektrický prúd. Vznik elektromagnetickej vlny. 2. Vektorový potenciál: B = rot A (9.) A nie je presne určený, napríklad ak zmeníme vektorový potenciál A A + gradf (9.2) dostaneme tú istú indukciu magnetického poľa. 3. Dosaďme do Maxwellovej rovnice: a teda rote = B t = rot A t rot [ Musí teda platiť (9.3) E + A ] = 0 (9.4) t E + A t = grad φ (9.5) φ... skalárny potenciál. 4. Ak zmeníme vektorový potenciál A podľa rovnice (9.2), musíme zároveň zmeniť skalárny potenciál: φ φ f/ t. 5. Vyjadríme E a B pomocou potenciálov: E = grad φ A t B = rot A (9.6) (9.7) 55

55 Dosaďme do Maxwellovej rovnice rot B = µ 0 j E c 2 t rot rota = grad diva A = µ 0 j c grad φ 2 t 2 A c 2 t 2 (9.8) čo sa dá upraviť na tvar [ grad diva + ] φ = A c 2 t 2 A c 2 t + µ 2 0j (9.9) Pretože A a φ nie sú jednoznačne určené, zvolíme funkciu f tak, aby platilo div A + c 2 φ t = 0 (9.0) (Lorenzova kalibrácia). Vektorový potenciál potom spĺňa rovnicu A c 2 2 A t 2 = µ 0 j (9.) Analogicky odvodíme rovnicu pre skalárny potenciál φ c 2 2 φ t 2 = ρ ɛ 0 (9.2) Náboje a prúdy v týchto rovniciach vystupujú ako zdroje elektromagnetického poľa. 6. Všeobecné riešenie: A(t, r) = µ 0 4π φ(t, r) = 4πɛ 0 j( r, t R/c) d r R, R = r r (9.3) ρ( r, t R/c) d r R (9.4) kde R = r r je vzdialenosť medzi pozorovateľom ( r) a zdrojom poľa ( r ). Zdroj musel pôsobiť už v čase t R/c, aby EM pole mohlo prekonať vzdialenosť R od zdroja k pozorovateľovi. Integrujeme cez celý priestor, lebo zdroj môže byť hocikde. 7. Retardované potenciály: EM pole v bode r a čase t pochádza od nábojov a prúdov v čase t R/c ( signál musí prekonať vzdialenosť R rýchlosťou c). 56

56 9.2 Pole oscilujúceho dipólu. Riešenie (9.3,9.4) môžeme použiť na nájdenie elektromagnetického poľa v ľubovoľnom prípade. Aplikujeme ho na elektrický dipól: napr. ľahký náboj (elektrón) s nábojom q oscilujúci okolo ťažkého jadra. Ak je dipól orientovaný v smere z, tak p = (0, 0, p z ), p z = qz (9.5) Časová zmena dipólu môže vzniknúť tak, že náboj osciluje v smere z s amplitúdou d (dipól periodicky mení svoju osciláciu). Potom p z t = qv z = j z (9.6) Pohybujúci sa náboj je zdrojom poľa (rovnica 9.3). Priamym výpočtom vieme nájsť vyžarované elektrické a magnetické pole v mieste r a čase t. 2. Obmedzíme sa na prípad r λ d: dipól je malý v porovnaní s vlnovou dĺžkou (λ d) vyžiareného žiarenia, teda osciluje veľmi pomaly - rýchlosť náboja v malá v porovnaní s rýchlosťou svetla. zaujímame sa o elektromagnetické pole ďaleko od dipólu 3. Vyžiarené elektrické pole v okolí dipólu (obr odvodenie pozri Feynman) E( r, t) = [ ] 2 p(t r/c) r r (9.7) 4πɛ 0 c 2 r 3 t 2 Po dosadení p = (0, 0, p z ) dostaneme E(t, r) = q a(t r/c) sin θ (9.8) 4πɛ 0 c 2 r a = 2 z/ t 2 je zrýchlenie náboja. 4. El. pole je úmerné zrýchleniu náboja a: urýchľované náboje vyžarujú EM. pole. 5. Elektrické pole žiariaceho dipólu klesá ako /r (v prípade statického dipólu klesalo ako /r 3 ). 6. Poyntingov vektor vo vzdialenosti r od dipólu: S(r, t) = Z 0 E 2 = q2 a(t r/c) 2 sin 2 θ 6π 2 ɛ 0 r 2 c 3 (9.9) Výkon vyžiarený cez guľovú plochu s polomerom r je P = r 2 sin θ dθ dφs = q2 a 2 (9.20) 6πɛ 0 c 3 (element povrchu gule je r 2 sin θ dθ dφ). 57

57 E r θ a z Obr. 9.. Oscilujúci náboj (jeho zrýchlenie je a) a vyžiarené el. pole vo vzdialenosti r pod uhlom θ. Obrázok je kruhovo symetrický okolo vertikálnej osi z. Pravý obrázok je z internetu stiahnutý profil elektrického poľa vyžiareného dipólom. 7. Dipól: elektrický náboj oscilujúci s amplitúdou d a frekvenciou ω. Potom zrýchlenie a = ω 2 z (9.2) a po ustrednení cez jednu periódu oscilácií: a 2 = 2 ω4 d 2 (9.22) (/2 pochádza z ustrednenia cez jednu periódu) 8. Žiarivý výkon oscilujúceho dipólu dostaneme z rovnice (9.20): P = q2 ω 4 d 2 (9.23) 2πɛ 0 c 3 q... náboj kmitajúceho náboja. 9. Výkon rastie so štvrtou mocninou frekvencie dipólu! 58