ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

2 Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015

3 Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

4 Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 65 Βιβλία 65. Ιστοσελίδες 65 Ιστοσελίδες 65

5 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Εστω οξεία γωνία ω. Πώς ορίζεται το ηµίτονο, συνηµίτονο, η εφαπτόµενη και η συνεφαπτόµενη της γωνίας ω ; Εστω γωνία ω. Ισχύει ότι : Σχήµα 1.1: Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας (M M1 ) υποτείνουσα (OM ) (0M1 ) προσκείµενη κάθετη συνω = = υποτείνουσα (OM ) απέναντι κάθετη (M M1 ) φω = = προσκείµενη κάθετη (OM1 ) προσκείµενη κάθετη (OM1 ) σφω = = απέναντι κάθετη (M M1 ) ηµω = απέναντι κάθετη = Ερώτηση 1. Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε 0 ω 360 ; Εστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο, Ot µία ηµιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ηµιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη ϑετική ϕορά γύρω

6 από το O µέχρι να συµπέσει για πρώτη ϕορά µε την ηµιευθεία Ot (Σχ. α,β ). Ο ϑετικός ηµιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ηµιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της w. Τότε ισχύει : Σχήµα 1.: Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οποιασδήποτε γωνίας, από 0 o έως 360 o ηµω = (MM 1) (OM) = y ρ ɛφω = (MM 1) (OM 1 ) = y x σφω = (OM 1) (MM 1 ) = x y όπου ρ = x + y > 0 συνω = (0M 1) (OM) = x ρ (εφόσον x 0) (εφόσον y 0) Ερώτηση 1.3 Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών µεγαλύτερων των 360 και αρνητικών γωνιών ; Για κάθε γωνία ϑετική ή αρνητική ισχύει ότι : ηµω = y ρ ɛφω = y x σφω = x y συνω = x ρ (εφόσον x 0) (εφόσον y 0) όπου ρ = x + y > 0 Εστω ω µια οξεία γωνία. Οι γωνίες που είναι µεγαλύτερες των 360 ϑα είναι της µορφής : k ω, k Z και ϑα ισχύει για κάθε k Z: ηµ(k ω) = ηµω συν(k ω) = συνω, ɛφ(k ω) = ɛφω σφ(k ω) = σφω Ερώτηση 1.4 Τι ονοµάζουµε τριγωνοµετρικό κύκλο ; Με κέντρο την αρχή O(0, 0) ενός συστήµατος συντεταγµένων και ακτίνα ρ = 1 γράφουµε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονοµάζεται τριγωνοµετρικός κύκλος. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

7 Ερώτηση 1.5 Πώς ορίζονται το ηµω και το συνω στον τριγωνοµετρικό κύκλο ; Γενικότερα, αν η τελική πλευρά µιας γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο στο σηµείο M(x, y), τότε ισχύει : Σχήµα 1.3: Τριγωνοµετρικός κύκλος συνω = x = τετµηµένη του σηµείου Μ ηµω = y = τεταγµένη του σηµείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας x x λέγεται και άξονας των συνηµίτονων, ενώ ο άξονας y y λέγεται και άξονας των ηµίτονων. Ερώτηση 1.6 Τι τιµές µπορούν να πάρουν το ηµω και το συνω ; Οι τιµές του συνω και του ηµω µιας γωνίας ω δεν µπορούν να υπερβούν κατ απόλυτη τιµή την ακτίνα του τριγωνοµετρικού κύκλου, που είναι ίση µε 1. ηλαδή ισχύει : 1 συνω 1 και 1 ηµω 1 Ερώτηση 1.7 Πώς ορίζεται η εφω στον τριγωνοµετρικό κύκλο ; Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο και µια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέµνει στο σηµείο Μ(ξ, ψ). Φέρνουµε την εφαπτοµένη ε του τριγωνοµετρικού κύκλου στο σηµείο Α. Τότε ισχύει : ɛφω = y E = τεταγµένη του σηµείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x = 1, λέγεται άξονας των εφαπτοµένων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

8 Σχήµα 1.4: Άξονας εφαπτόµενων Ερώτηση 1.8 Πώς ορίζονται τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω ανάλογα µε το τεταρτηµόριο ; Τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω, ανάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας ηµω συνω ɛφω σφω Ερώτηση 1.9 Τι ορίζουµε ως ακτίνιο ; Ακτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, ϐαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad). Ο µόνος λόγος για τη χρήση ακτινίων είναι ότι απλοποιεί τους τύπους. Ερώτηση 1.10 Ποια σχέση συνδέει τη µοίρα µε το ακτίνιο ; Εστω ότι µια γωνία ω είναι µ και α rad. Τότε ισχύει : α π = µ 180 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

9 Σχήµα 1.5: Ακτίνιο Ερώτηση 1.11 Ποιος είναι ο πίνακας των τριγωνοµετρικών αριθµών των ϐασικών γωνιών ; µοίρες rad 0 ηµ 0 συν +1 ɛφ 0 σφ - π π π π Ρ Προσοχή : Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνοµετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει µήκος x, αντί να γράφουµε ηµ(x rad), συν(x rad), ɛφ(x rad) και σφ(x rad), ϑα γράφουµε απλά ηµx, συνx, ɛφx, και σφx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

10 1.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.1 ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 360 (π) 1. Αν η γωνία δίνεται σε µοίρες : Γνωρίζουµε ότι οι γωνίες ω και θ = κ ω, κ Z έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Άρα, διαιρούµε την γωνία µας µε το 360 και προκύπτει πηλίκο κ και υ- πόλοιπο ω.. Αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια (rad): Γνωρίζουµε ότι οι γωνίες ω και θ = κπ + θ, κ Z έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Εκφράζουµε τη γωνία ώστε να εµφανιστεί ο παράγοντας π ιαιρούµε (ϑα είναι σε µορφή κλάσµατος) τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή και προκύπτει πηλίκο κ π και υπόλοιπο ω. Θέµα 1.1 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 115 Λύση 1.1 Επειδή η γωνία ξεπερνά τις 360 ϑα προσπαθήσουµε να τη γράψουµε στη µορφή κ360 + ω, κ R. ιαιρούµε τη γωνία 115 µε την 360 και έχουµε : 115 = Άρα οι τριγωνοµετρικοί της αριθµοί είναι : ηµ115 = ηµ( ) = ηµ45 =. συν115 = συν( ) = συν45 = ɛφ115 = ɛφ45 = 1. σφ115 = σφ45 = 1.. Θέµα 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5π 3 rad. Λύση 1. Θα γράψουµε τη γωνία 5π 3 στη µορφή (κ π + α) ακτίνια. 5π 3 = 5 ( ) π = π = 6 6 ( ) π π = 4 π = 4 π + π 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

11 Συνεπώς οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 5π ϑα είναι 3 ηµ 5π 3 = ηµ(4 π + π 3 3 ) = ηµπ 3 =. συν 5π 3 = συν π 3 = 1. ɛφ 5π 3 = ɛφπ 3 = 3. σφ 5π 3 3 = σφπ 3 = 3. Μεθοδολογία 1. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΜΙΚΡΟ- ΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 360 (π) Εκφράζουµε τη γωνία ω ως άθροισµα ή διαφορά, µε τις ϐασικές γωνίες των 90 ( π ), 180 (π), 70 o 3π ή 360o π ηλαδή γράφουµε ω = 90 + θ(ω = π + θ) ή ω = 180 ± θ(ω = π ± θ) ή ω = 70 ± θ(ω = 3grp ± θ) ή ω = 3600 θ(ω = π θ) και κάνουµε αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο. Στο π και το π ο τριγωνοµετρικός αριθµός µένει ο ίδιος ενώ στο π και στο 3π αλλάζει. Το ηµίτονο γίνεται συνηµίτονο (και ανάποδα) Η εφαπτοµένη γίνεται συνεφαπτοµένη (και ανάποδα). Το πρόσηµο το προσδιορίζω από τον ΟΗΕΣ. Στο 1ο τερτηµόριο Ολοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί είναι ϑετικοί, στο ο είναι µόνο τα Ηµίτονα, στο 3ο οι Εϕαπτοµένες και οι συνεφαπτοµένες και στο 4ο τα Συνηµίτονα. Θέµα 1.3 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 Λύση 1.3 ηµ5 = ηµ( ) = ηµ45 = συν5 = συν( ) = συν45 = ɛφ5 = ɛφ( ) = ɛφ45 = 1. σφ5 = σφ( ) = σφ45 = 1.. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

12 Θέµα 1.4 Να αποδείξετε ότι : σφ(π + x) ηµ(π x) ηµ( 13π + x) συν(π x) ηµ( x) ɛφ( 17π = 1. + x) Λύση 1.4 Υπολογίζουµε κάθε παράσταση ξεχωριστά. σφ(π + x) = σφx ηµ(π x) = ηµ[π + ( x)] = ηµ( x) = ηµx. ηµ( 13π + x) = ηµ(6π + π + x) = ηµ(π + x) = συνx. συν(π x) = συνx. ηµ( x) = ηµx. ɛφ( 17π + x) = ɛφ(8π + π + x) = ɛφ(π + x) = σφx. Εποµένως έχουµε : σφ(π + x) ηµ(π x) ηµ( 13π + x) συν(π x) ηµ( x) ɛφ( 17π + x) = σφx ( ηµx) συνx ( συνx) ( ηµx) ( σφx) = 1 Μεθοδολογία 1.3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Οταν οι γωνίες που µας δίνονται είναι γωνίες τριγώνου, τότε ισχύει ότι Â + ˆB + ˆΓ = 180, άρα Â = 180 ( ˆB + ˆΓ) ή ˆB = 180 (Â + ˆΓ) ή ˆΓ = 180 (Â + ˆB) ˆB + ˆΓ = 90 Â ή Â + ˆΓ = 90 ˆB Â + ˆB ή = 90 ˆΓ και χρησιµοποιούµε τους τύπους αθροίσµατος -διαφοράς γωνιών 90 ( π ) ή 180 (π). Θέµα 1.5 Σε κάθε τρίγωνο ABΓ να αποδείξετε ότι : i. σφâ + σφ( ˆB + ˆΓ) = 0. ii. συν Â + ˆB + ˆΓ συν = 1 Λύση 1.5 i. Σε κάθε τρίγωνο ABΓ έχουµε Â + ˆB + ˆΓ = 180, οπότε Â = 180 ( ˆB + ˆΓ) άρα σφâ = σφ[180 ( ˆB + ˆΓ)] ή αλλιώς σφâ = σφ( ˆB + ˆΓ) σφâ + σφ( ˆB + ˆΓ) = 0. ii. Είναι Â + ˆB + ˆΓ = 180, Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 1

13  άρα + ˆB + ˆΓ = 90 ˆB + ˆΓ = 90  οπότε συν ˆB + ˆΓ = συν(90  ) = ηµâ. Ετσι το πρώτο µέλος της σχέσης γράφεται : συν  + ˆB + ˆΓ συν = συν  + Â ηµ = 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

14 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να µετατρέψετε σε µοίρες τα τόξα : π i. 6, π 4, π 3, π π ii. 3, 5π 6, 3π 4, π π iii. 1, π 18, 5π 1, 5π 18. Να µετατρέψετε σε ακτίνια τις γωνίες : i. 10, 150, 135, 70 ii. 10, 15, 1 3. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : i. A = ηµ30 + ɛφ30 ηµ60 + ɛφ45 συν60 σφ30 συν30 + σφ45 ii. B = ηµ π 6 + συν π 4 + συν π 3 ɛφ π σφ π 3 + σφ π 4 4. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : 9 i. A = 4ηµ 60 + συν ɛφ 60 ii. B = 3ɛφ συν ηµ ηµ 60 iii. Γ = 3ɛφ 45 ηµ 60 1 ɛφ (συν 45 ) 1 iv. = ηµ30 + συν45 + συν60 ɛφ ɛφ Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : i. A = ηµ π 6 + συν π 4 + συν π 3 ɛφ π σφ π 3 + σφ π 4 αηµ90 βσυν0 + (α + β)ɛφ45 α + 1 ii. B = α σφ45 αβσυν180 + β ηµ90 (α + β) ɛφ ɛφ60 + ηµ60 3σφ συν60 iii. Γ = σφ30 + ɛφ60 3 συν30 + 6ηµ45 συν45 6. Να ϐρείτε το τεταρτηµόριο στο οποίο καταλήγουν οι γωνίες i) ω = 73π ii) φ = 93π iii) t = 65π iv) s = 185π Να τοποθετήσετε στον τριγωνοµετρικό κύκλο τις παρακάτω γωνίες : i) 0π ii) 50π iii) 71π iv) 60π + π v) 30π + π 4 vi) 10π π 6 vii) κπ + π 3, κ Z viii) (λ + 1)π π, λ Z ix) κπ + π, κ Z 8. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i) ω = 41π 4 ii) φ = 601π 6 iii) α = 901π 3 iv) β = 61π v) γ = 49π vi) δ = 301π Να ϐρείτε τις τιµές των παραστάσεων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

15 i. A = ii. B = iii. Γ = 6ηµ(π + π 6 ) + συν(4π + π 3 ) 3 ɛφ(6π + π 3 ) + συν(8π + π 4 ) ηµ 13π 6 + συν 17π 61π + συν 4 3 ɛφ 17π σφ 5π 3 + σφ33π 4 ηµ 13π 6 + συν 17π 61π + συν 4 3 ɛφ 17π σφ 5π 3 + σφ33π Να ϐρείτε τις γωνίες φ, ω [0, π ] για τις οποίες ισχύει : i. ηµφ + 3συνω = 4 ii. ηµφ + 3συνω = Να ϐρείτε όλες τις γωνίες α και β για τις οποίες ισχύει ηµα + συνβ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

16 1. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο 1..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των αντίθετων γωνιών ; Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ηλαδή : συν( ω) = συνω ɛφ( ω) = ɛφω ηµ( ω) = ηµω σφ( ω) = σφω Ερώτηση 1.13 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών µε άθροισµα 180 ; Οι γωνίες µε άθροισµα 180 έχουν το ίδιο ηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ηµ(180 ω) = ηµω ɛφ(180 ω) = ɛφω συν(180 ω) = συνω σφ(180 ω) = σφω Ερώτηση 1.14 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών που διαφέρουν κατά 180 ; Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180 έχουν αντίθετο ηµίτονο και συνηµίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτοµένη και συνεφαπτοµένη. ηµ(180 + ω) = ηµω ɛφ(180 + ω) = ɛφω συν(180 + ω) = συνω σφ(180 + ω) = σφω Ερώτηση 1.15 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών µε άθροισµα 90 ; Αν δύο γωνίες έχουν άθροισµα 90, τότε το ηµίτονο της µιας ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης και η εφαπτοµένη της µιας ισούται µε τη συνεφαπτοµένη της άλλης. ηµ(90 ω) = συνω ɛφ(90 ω) = σφω συν(90 ω) = ηµω σφ(90 ω) = ɛφω Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

17 1.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω, όταν : i.) ω = 330 ii.) ω = 660 iii.) ω = 405 iv.) ω = 30. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i) 80π ii) 101π iii) 011π iv) 11π v) 43π vi) 181π 6 3. Να αποδείξετε ότι : i) ηµ0 συν50 ηµ40 συν70 = 1 ii) συν100 ηµ40 συν800 ηµ140 = 1 iii) ɛφ3 σφ85 ɛφ5 σφ87 = 1 iv) ɛφ110 σφ145 ɛφ70 σφ35 = 1 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : (αʹ) A = ɛφ50 συν50 ɛφ130 συν130 (ϐʹ) B = ɛφ 0 συν 0 + συν 160 (γʹ) Γ = ηµ10 συν80 + συν10 ηµ80 (δʹ) = συν5 συν155 ηµ5 ηµ Να αποδείξετε ότι : (αʹ) συν10 συν150 συν135 + ηµ10 ηµ150 ηµ135 = 0 (ϐʹ) ɛφ10 ɛφ150 ɛφ135 ɛφ10 ɛφ5 ɛφ40 = 6. Να αποδείξετε ότι : 7. Να αποδείξετε ότι : ηµ(90 α) ɛφ13 συν31 ηµ90 συν(180 + α) ηµ ɛφ48 συν180 = 1. ηµ40 συν70 ηµ0 συν50 + ηµ10 συν55 ηµ35 συν80 + ɛφ15 σφ65 ɛφ5 σφ75 = 3 8. Να αποδείξετε ότι : i. ɛφω ɛφ(90 ω) = 1 ii. ɛφ1 ɛφ ɛφ3 ɛφ89 = Να αποδείξετε ότι : i. ηµ1 + ηµ + ηµ3 + + ηµ89 = συν1 + συν + συν3 + + συν89 ii. σφ1 σφ σφ3 σφ89 = Να αποδείξετε ότι : i. ηµ(7 + α β) συν(18 + β α) = 0 ii. ɛφ(110 + α β) σφ(β α 0 ) = 0. iii. ηµ(171 + α β) ηµ(9 + β α) = 0 iv. συν(171 + α β) + συν(9 + β α) = 0 v. ɛφ(19 + α β) + ɛφ(β α 1 ) = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

18 vi. ηµ(05 + α β) + ηµ(5 + α β) = 0 vii. ɛφ(190 + α β) ɛφ(10 + α β) = Να αποδείξετε ότι : ηµ(70 α) ɛφ(180 β) σφ(70 β) συν(540 + α) + σφ(450 α) ηµ(90 γ) συν(180 + γ) ɛφ(540 + α) = 1. Να αποδείξετε ότι : ηµ 7π 3 ηµ( π 1 συν 31π 1 ) συν 17π 3 15π 3π ɛφ( 4 ) σφ 10 ɛφ 6π 5 σφ( 19π 6 ) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

19 1.3 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.16 Να αποδείξετε ότι ηµ ω + συν ω = 1. Αν M(x, y) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε ϑα είναι : Επειδή όµως, (OM) = 1 και (OM) = x + y = x + y Σχήµα 1.6: x = συνω και y = ηµω ϑα ισχύει : οπότε ϑα έχουµε : ηµ ω + συν ω = 1. x + y = 1 Ερώτηση 1.17 Να αποδείξετε ότι ɛφω = ηµω συνω Στο ίδιο σχήµα έχουµε : ɛφω = y x = ηµω συνω σφω = x y = συνω ηµω (εφόσον x = συνω 0) (εφόσον y = ηµω 0) Ερώτηση 1.18 Να αποδείξετε ότι ɛφω σφω = 1. και σφω = συνω ηµω Είναι : ɛφω = ηµω συνω και σφω = συνω ηµω (εφόσον συνω 0 και ηµω 0) Εποµένως : ɛφω σφω = ηµω συνω συνω ηµω = 1. Ερώτηση 1.19 Να αποδείξετε ότι συν ω = ɛφ ω ιαιρούµε και τα δύο µέλη της ταυτότητας ηµ ω + συν ω = 1 µε συν ω 0 και έχουµε : ηµ ω συν ω + συν ω συν ω 1 συν ω = ɛφ ω + 1 = 1 συν ω 1 συν ω = ɛφ ω + 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

20 Ερώτηση 1.0 Να αποδείξετε ότι ηµ ω = ɛφ ω 1 + ɛφ ω Αν στην ταυτότητα ηµ ω + συν ω = 1 ϑέσουµε συν 1 ω = 1 + ɛφ ω έχουµε : ηµ ω + συν ω = 1 ηµ 1 ω ɛφ ω = 1 ηµ ω = ɛφ ω ɛφ ω ηµ ω = ɛφ ω 1 + ɛφ ω ɛφ ω ηµ ω = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 0

21 1.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Οταν δίνεται ένας τριγωνοµετρικός αριθµός και το τεταρτηµόριο που ϐρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας, τότε χρησιµοποιούµε τις ταυτότητες : ηµ ω + συν ω = 1, αν µας δίνεται το ηµω ή συνω ɛφω σφω = 1 αν µας δίνεται η σφω συν 1 ω = 1 + ɛφ ω και ηµ ω = ɛφ ω 1 + ɛφ αν µας δίνεται η ɛφω ω και υπολογίζουµε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Θέµα 1.6 Αν συνx = 4 5 και π < x < 3π, να ϐρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad. Λύση 1.6 Από την ταυτότητα ηµ x + συν x = 1 έχουµε : ηµ x = 1 συν x = 1 ( 4 5 ) = = 9 5 Άρα ϑα είναι ηµx = 3 5 ή ηµx = 3 5. Οµως δίνεται ότι π < x < 3π οπότε ηµx < 0 και συνεπώς ηµx = Η ɛφx = ηµx συνx = 5 4 = και σφ 1 ɛφx = 4 3 Θέµα 1.7 Αν ɛφx = και π < x < π να ϐρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad Λύση 1.7 Από τη σχέση : ηµ x = ɛφ x 1 + ɛφ x έχουµε : ηµ x = ɛφ x 1 + ɛφ x = ( ) 1 + ( ) = Άρα ϑα είναι ηµx = 5 = ή ηµx = 5 5 αλλά έχουµε ότι π < x < π οπότε ηµx > 0 συνεπώς ηµx = = Επίσης, από την ταυτότητα συν 1 x = 1 + ɛφ υπολογίζουµε το συνx. x Μεθοδολογία 1.5 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ Για να αποδείξουµε µια τριγωνοµετρική ταυτότητα,εργαζόµαστε µε έναν από τους πα- ϱακάτω τρόπους : Αρχίζουµε από το ένα µέλος, εκείνο που είναι πιο πολύπλοκο και προσπαθούµε κάνοντας πράξεις και εφαρµόζοντας τις ϐασικές ταυτότητες να καταλήξουµε στο άλλο µέλος. Παίρνουµε ξεχωριστά τα δύο µέλη και µε πράξεις προσπαθούµε να καταλήξουµε στη ίδια παράσταση. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 1

22 Αρχίζουµε από γνωστή ταυτότητα και µε µετασχηµατισµούς προσπαθούµε να εµ- ϕανίσουµε την ταυτότητα που µας Ϲητάνε να αποδείξουµε. Θέµα 1.8 Να αποδείξετε ότι : συν α 1 = 1 ηµ α Λύση 1.8 Εχουµε ότι : συν α + ηµ α = 1 συν α = 1 ηµ α οπότε : συν α 1 = (1 ηµ α) 1 = ηµ α 1 = 1 ηµ α. Θέµα 1.9 Να αποδείξετε ότι : συν α + σφ α = 1 ηµ4 α ηµ α Λύση 1.9 Από το πρώτο µέλος έχουµε ότι : συν α + σφ α = συν α + συν α ηµ α συν α ηµ α + συν α ηµ = συν α(ηµ α + 1) α ηµ α (1 ηµ α)(1 + ηµ α) ηµ α = 1 ηµ4 α ηµ α. Θέµα 1.10 Να αποδείξετε ότι : 1 ɛφ α + ɛφ 4 α 1 σφ α + σφ 4 α = ɛφ4 α Λύση 1.10 Εστω ότι : 1 ɛφ α + ɛφ 4 α 1 σφ α + σφ 4 α = ɛφ4 α 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = (1 σφ α + σφ 4 α) ɛφ 4 α που ισχύει. 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 4 α σφ α + σφ 4 α ɛφ 4 α 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α ɛφ α σφ α + (σφα ɛφα) 4 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α (ɛφα σφα) + (σφα ɛφα) 4 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α + 1. Θέµα 1.11 Να αποδείξετε ότι : 1 συν 4 θ 1 συν θ = ɛφ θ + ɛφ 4 θ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός

23 Λύση 1.11 Από το πρώτο µέλος έχουµε ότι : 1 συν 4 θ 1 συν 4 θ = 1 συν 4 θ συν θ συν 4 θ = 1 συν θ συν 4 = ηµ θ θ συν 4 θ = ηµ θ συν θ 1 συν θ = ɛφ θ (ηµ θ + συν θ ) = συν θ ɛφ θ ( ηµ θ συν θ + συν θ ) = συν θ ɛφ θ(ɛφ θ + 1) = ɛφ 4 θ + ɛφ θ. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 3

24 1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε ηµω = 1 3 και συνω = 3. Αν είναι α = ηµω και β = συνω, να αποδείξετε ότι : i. αηµω + βσυνω = ii. α + β = 4 3. Να αποδείξετε ότι : i. συν 4 x + συν x ηµ x + ηµ x = 1 ii. συν 4 x + ηµ x ηµ 4 x = Να αποδείξετε ότι : i. (ηµα ηµβ συνα συνβ) + (ηµα συνβ + συνα ηµβ) = 1 ii. (συνα συνβ + ηµα ηµβ) + (ηµα συνβ συνα ηµβ) = 1 5. Να αποδείξετε ότι : i. 1 + ηµx συνx = (ηµx + συνx) ii. ηµx συνx 1 = (ηµx συνx) 1 + ηµx συνx ηµx συνx 1 iii. ηµx + συνx = 1 ηµx + συνx ηµx συνx 6. Να αποδείξετε ότι : i. ηµ x συν y + ηµ x ηµ y + συν x = 1 ii. συν x + ηµ x συν y + ηµ x ηµ y συν ω + ηµ x ηµ y ηµ ω = 1 7. Να αποδείξετε ότι : 1 i. ηµ x + 1 συν x = 1 ηµ x συν x ii. 1 + ɛφ x = 1 συν x 1 + ɛφ 4 x iii. ɛφ x + σφ x = ɛφ x iv. ηµ 4 x συν 4 x = 1 συν x 8. Να αποδείξετε ότι : i) ɛφx + συνx 1 + ηµx = 1 συνx iii) ηµx ɛφx + συνx = 1 συνx ii) σφx + ηµx 1 + συνx = 1 ηµx iv) ηµ x (1 + σφ x) = 1 9. Να αποδείξετε ότι : i. ηµα (1 + ɛφα) + συνα (1 + σφα) = 1 ηµα + 1 συνα ɛφ 3 α ii. 1 + ɛφ α + σφ3 α 1 + σφ + ηµα συνα = ɛφα + σφα α 10. Να αποδείξετε ότι : ηµ 3 x συν 3 x i. = ηµx συνx 1 + ηµx συνx ηµ 3 x + συν 3 x ii. ηµx + συνx ηµ3 x συν 3 x συνx ηµx = 11. Να αποδείξετε ότι : i. (1 + ηµx + συνx) = (1 + ηµx)(1 + συνx) 1 + συνx ii. + ηµx ηµx 1 + συνx = ηµx 1 συν x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 4

25 iii. ηµx ɛφx + συνx = 1 συνx iv. (1 + ɛφ x)(ηµ x συν x) = ɛφ x 1 v. ɛφx + συνx 1 + ηµx = 1 συνx vi. 1 + συν α συν β ηµ α ηµ β = συν α + συν β. 1. Να αποδείξετε ότι : ηµx 1 + ηµx συνx ηµx + συνx + συνx ηµx 1 συνx ɛφx Να αποδείξετε ότι η παρακάτω παράσταση είναι ανεξάρτητη του x = 1 A = ηµ 8 x συν 8 x + συν x (1 + ηµ 4 x) ηµ x συν 4 x. 14. Να αποδείξετε ότι, για κάθε x R, ισχύει : ηµ 4 x + 4συν x + συν 4 x + 4ηµ x = Αν x [0, π], να αποδείξετε ότι : 1 + συνx + 1 συνx = (1 + ηµx). 16. Να αποδείξετε ότι : i. (ηµx + συνx) + (ηµx συνx) = ii. ηµ 4 x + συν x ηµ x = συν 4 x iii. συν 4 x + ηµ x ηµ 4 x = 1 iv. (ɛφx + σφx) (ɛφx σφx) = Να αποδείξετε ότι : ηµ x i. 1 συνx συν x = ηµx + συνx 1 + ηµx 1 + ɛφ 4 x ii. ɛφ x + σφ x = ɛφ x (1 + ηµx + συνx) iii. (1 + ηµx)(1 + συνx) = ηµ x iv. ηµx συνx 18. Να αποδείξετε ότι : i. ɛφ x + σφ x + = ( 1 ηµx + συνx ɛφ x 1 = ηµx + συνx. ηµx συνx (1 + ɛφx)συν 3 x + (1 + σφx)ηµ 3 x ii. = 1 ηµx + συνx 19. Να αποδείξετε ότι : i. συν x(ηµ x + ɛφ x + συν x) = 1 ηµ x ii. + ɛφ x + συν x + σφ x = 1. ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 5

26 1.4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε περιοδική συνάρτηση ; Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το A λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγµατικός αριθµός T > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει : i. x + T A, x T A ii. f(x + T ) = f(x T ) = f(x) Ο πραγµατικός αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης ϕ. Ερώτηση 1. Πως ορίζονται οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής ορίζονται ως εξής : i. Η συνάρτηση µε την οποία κάθε πραγµατικός αριθµός x αντιστοιχίζεται στο ηµ(x rad) λέγεται συνάρτηση ηµίτονο και συµβολίζεται µε ηµ. Ορίζουµε δηλαδή ότι ηµx = ηµ(x rad) ii. Η συνάρτηση µε την οποία κάθε πραγµατικός αριθµός x αντιστοιχίζεται στο συν(x rad) λέγεται συνάρτηση συνηµίτονο και συµβολίζεται µε συν. Ορίζουµε δηλαδή ότι συνx = συν(x rad) iii. Η συνάρτηση εφαπτοµένη που συµβολίζεται µε εφ, ορίζεται ως εξής : ɛφx = ηµx συνx. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο : R 1 = {x συνx 0} iv. Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη που συµβολίζεται µε σφ, ορίζεται ως εξής : σφx = συνx ηµx. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο : R = {x ηµx 0} Ερώτηση 1.3 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = ηµx; Η συνάρτηση f(x) = ηµx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R. ii. Είναι περιοδική µε περίοδο T = π Πράγµατι ισχύει ότι : x + T, x T A = R για κάθε x R και f(x + T ) = f(x + π) = ηµ(x + π) = ηµx = f(x), για κάθε x A f(x T ) = f(x π) = ηµ(x π) = ηµx = f(x), για κάθε x A iii. Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα [0, π ] και [3π, π]. Είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [ π, 3π ]. iv. Η συνάρτηση παρουσιάζει : µέγιστο για x = π το ηµπ = 1 και ελάχιστο για x = 3π το ηµ3π = 1 Τα συµπεράσµατα αυτά συνοψίζονται ως εξής : v. Η γραφική παράσταση της f(x) = ηµx είναι µια ηµιτονοειδής καµπύλη και έχει την εξής µορφή : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

27 Σχήµα 1.7: Πίνακας µεταβολών της f(x) = ηµx Σχήµα 1.8: f(x) = ηµx vi. Τέλος, η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι περιττή (αφού ηµ( x) = ηµx για κάθε x R) και εποµένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O(0, 0) των αξόνων. Ερώτηση 1.4 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = συνx; Η συνάρτηση f(x) = συνx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R. ii. Είναι περιοδική µε περίοδο T = π Πράγµατι ισχύει ότι : x + T, x T A = R για κάθε x R και f(x + T ) = f(x + π) = συν(x + π) = συνx = f(x), για κάθε x A f(x T ) = f(x π) = συν(x π) = συνx = f(x), για κάθε x A iii. Είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [0, π]. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [π, π]. iv. Η συνάρτηση παρουσιάζει : µέγιστο για x = 0 το συν0 = 1 και για x = π το συνπ = 1 ελάχιστο για x = π το συνπ = 1 Τα συµπεράσµατα αυτά συνοψίζονται ως εξής : v. Η γραφική παράσταση της f(x) = συνx έχει την εξής µορφή : vi. Τέλος, η συνάρτηση f(x) = συνx είναι άρτια (αφού συν( x) = συνx για κάθε x R) και εποµένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

28 Σχήµα 1.9: Πίνακας µεταβολών της f(x) = συνx Σχήµα 1.10: f(x) = συνx Ερώτηση 1.5 Τι µπορούµε να παρατηρήσουµε για τις συναρτήσεις της µορφής f(x) = ρηµωx και f(x) = ρσυνωx; Σε µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρηµωx, όπου ρ, ω > 0: i. Το ρ καθορίζει τη µέγιστη τιµή της, που είναι ίση µε ρ και την ελάχιστη τιµή της που είναι ίση µε ρ. ii. Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση µε π ω Τα ίδια συµπεράσµατα ισχύουν και για µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρσυνωx, όπου ρ, ω > 0. Ερώτηση 1.6 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = ɛφx; Η συνάρτηση f(x) = ɛφx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R x : x = κπ + π, k Z ii. Είναι περιοδική µε περίοδο Τ = π iii. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( π, π ). iv. εν έχει ακρότατα (δηλαδή δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο). ϱάσταση της f(x) = ɛφx έχει την εξής µορφή : Η γραφική πα- Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

29 Σχήµα 1.11: f(x) = ɛφx v. Είναι περιττή συνάρτηση, (αφού f( x) = ɛφ( x) = ɛφx = f(x), για κάθε x A οπότε η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O(0, 0) των αξόνων. vi. Οταν ο x «τείνει» στο π από µεγαλύτερες τιµές η ɛφx «τείνει» στο. Γι αυτό λέµε ότι η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Οταν ο x «τείνει» στο π από µικρότερες τιµές η ɛφx «τείνει» στο +. Γι αυτό λέµε ότι η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

30 1.4. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.6 Οι συναρτήσεις της µορφής αηµ(ωx) ή ασυν(ωx) µε ω > 0, έχουν µέγιστη τιµή α, ελάχιστη τιµή α και περίοδος T = π ω Θέµα 1.1 ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = συν( 3x ), g(x) = 3ηµ( x) και h(x) = 3συν x. Να ϐρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή καθώς και η περίοδος π για κάθε µια από τις παραπάνω συναρτήσεις. Λύση 1.1 Εχουµε τον ακόλουθο πίνακα : Συνάρτηση Μέγιστο Ελάχιστο Περίοδος f(x) = συν( 3 x) T = π 3 = 4π 3 g(x) = 3ηµ( x) 3 3 T = π = π h(x) = 3συν x π 3 3 T = π 1 π = 4π Μεθοδολογία 1.7 Για τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, ε- ϕαρµόζω τους γενικούς κανόνες των µετατοπίσεων, όπως τους έχουµε δει στο σχετικό κεφάλαιο. 1. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) + c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) + c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα πάνω.(σχήµα α ). Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα κάτω (Σχήµα ϐ ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30

31 3. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε : όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα δεξιά (Σχήµα γ ). 4. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x + c), µε c > 0; γραφική παράσταση της συνάρτησης ϕ, µε : f(x) = φ(x + c), όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά (Σχήµα δ ). 5. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c, µε c 1, c > 0; Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουµε για να παραστήσουµε γραφικά τις συναρτήσεις της µορφής : f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c, µε c 1, c > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31

32 ηλαδή, αξιοποιούµε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη µετατόπιση κα- µπύλης. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 3

33 1.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµx ii. f(x) = συν(x + π 3 ) iii. f(x) = 3ηµx 5συν4x + iv. f(x) = ɛφx 1 v. f(x) = ɛφ(x π 3 ). Να ϐρείτε την περίοδο των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ 3x 4 ii. g(x) = συν(3x + π 4 ) iii. h(x) = ɛφ x iv. f(x) = σφ(4x) 3. Να ϐρείτε την περίοδο των συναρτήσεων : i. f(x) = 1 3 ηµx ii. f(x) = 5συν x iii. f(x) = 3 5 ηµx 7 iv. f(x) = συν πx v. f(x) = ɛφx vi. f(x) = ɛφx 4. Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ(x π ) ii. iii. g(x) = 4συνx Να ϐρείτε, αν υπάρχουν, τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 8ηµ3x ii. f(x) = 3συνx iii. 1 ɛφx 6. Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 3ηµx ii. f(x) = 5 συνx iii. f(x) = ηµ x ίνεται η συνάρτηση f(x) = 3συν x 3. Να ϐρείτε : 3 i. το µέγιστο και το ελάχιστο της, ii. την περίοδο της 8. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις : i. f(x) = x ηµ3x ii. f(x) = 5συν x iii. f(x) = ηµx συνx iv. f(x) = ηµx + xσφx v. f(x) = (x + 1)συνx xɛφx vi. f(x) = ηµ(x + π 6 ) + ηµ(x π 6 ) 9. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ3x ii. f(x) = 3συνx iii. f(x) = ɛφx Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3συν(x + π ) 11. Αν η συνάρτηση f(x) = ασυν βx, α, β > 0 έχει περίοδο 4π και µέγιστη τιµή, να ϐρείτε τα α, β. 1. Αν η συνάρτηση g(x) = ɛφ( 3β x), β R, έχει περίοδο π, να ϐρείτε το β Ποια είναι η µέγιστη τιµή και ποια η ελάχιστη τιµής της συνάρτησης : f(x) = ηµ(3x π 4 ) 3συν(3π 4 3x). 14. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = ɛφx Να µελετήσετε και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = σφx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33

34 16. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = ɛφ x. 17. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (3λ )ηµx, λ R διέρχεται από το σηµείο A( π, 5). Να ϐρείτε : 1 i. την τιµή του λ, ii. την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή της f. 18. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = α+βσυνx περνάει από τα σηµεία A( π, 0) και B(π 6, 3 ), να αποδειχθεί ότι ϑα περνάει και από το σηµείο Γ(0, ). 19. Να συγκρίνετε τους αριθµούς : i. ηµ18 και ηµ147 ii. συν00 και συν0 iii. ɛφ300 και ɛφ ίνεται η συνάρτηση f(x) = αηµx, α > 0 η οποία έχει µέγιστη τιµή το. i. Να ϐρείτε το α ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 4 είναι αδύνατη. 1. ίνεται η συνάρτηση f(x) = (3λ 11)ηµ(µ )x, λ > 11 3, µ >, η οποία έχει περίοδο T = π και µέγιστη τιµή το 4. Να ϐρείτε τα λ, µ. 3. Να ϐρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµπύλων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34

35 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35

36 3. Να ϐρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµπύλων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 36

37 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 37

38 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 38

39 1.5 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.7 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ηµx = ηµθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους : x = κπ + θ ή x = κπ + (π θ), κ Z Ερώτηση 1.8 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης συνx = συνθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους : x = κπ + θ ή x = κπ θ, κ Z Ερώτηση 1.9 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ɛφx = ɛφθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο : x = κπ + θ, κ Z Ερώτηση 1.30 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης σφx = σφθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο : x = κπ + θ, κ Z Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39

40 1.5. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.8 Τριγωνοµετρικές είναι οι εξισώσεις, στις οποίες η άγνωστη µεταβλητή είναι µια γωνία, η οποία ϐρίσκεται µέσα σ ένα τριγωνοµετρικό αριθµό. Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω : ηµx = ηµα x = { κπ + α κπ + π α, κɛz συνx = συνα x = κπ ± α, κɛz ɛφx = ɛφα x = κπ + α, κɛz σφx = σφα x = κπ + α, κɛz Παρατηρούµε στους τύπους ότι, ϑα πρέπει και στα δύο µέλη της εξίσωσης, να έχω τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό. Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των ϐασικών γωνιών. µοίρες rad ηµ συν ɛφ σφ π 30 6 π π π Οταν έχω αρνητικό ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη διαδικασία απ την αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο. ηλαδή : ηµ(x) = ηµ( x) συν(x) = συν(π x) ɛφ(x) = ɛφ( x) σφ(x) = σφ( x) Παρατηρούµε ότι στο ηµίτονο,την εφαπτοµένη και την συνεφαπτοµένη, το - πάει µέσα στη γωνία, ενώ στο συνηµίτονο το - ϕεύγει και η γωνία αντικαθίσταται από την παραπληρωµατική της Θέµα 1.13 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(x) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40

41 {κπ Λύση 1.13 ηµ(x) = 1 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) x = + π 6 κπ + π { π 6, κɛz κπ + π x = 6 κπ + 5π 6, κɛz Θέµα 1.14 Να λυθεί η εξίσωση : συν(x) = 1 Λύση 1.14 συν(x) = 1 συν(x) = συν( π 3 ) x = {κπ + π 3 κπ π 3, κɛz Θέµα 1.15 Να λυθεί η εξίσωση : ɛφ(x) = 1 Λύση 1.15 ɛφ(x) = 1 ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) x = κπ + π 4, κɛz Θέµα 1.16 Να λυθεί η εξίσωση : σφ(x) = 3 Λύση 1.16 σφ(x) = 3 σφ(x) = σφ( π 6 ) x = κπ + π 6, κɛz Θέµα 1.17 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(x) = 1 Λύση 1.17 { ηµ(x) = 1 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) ηµ(x) = ηµ( π 6 ) κπ + ( π x = 6 ) κπ + π ( π 6 ), κɛz { x = κπ π 6 κπ + 7π 6, κɛz Θέµα 1.18 Να λυθεί η εξίσωση : συν(x) = 1 Λύση 1.18 { συν(x) = 1 συν(x) = συν(π π 3 ) συν(x) = συν( π 3 ) κπ + π x = 3 κπ π 3, κɛz Θέµα 1.19 Να λυθεί η εξίσωση : ɛφ(x) = 1 Λύση 1.19 ɛφ(x) = 1 ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) x = κπ π 4, κɛz Θέµα 1.0 Να λυθεί η εξίσωση : σφ(x) = 3 Λύση 1.0 σφ(x) = 3 σφ(x) = σφ( π 6 ) σφ(x) = σφ( π 6 ) x = κπ π 6, κɛz Θέµα 1.1 Να λυθούν οι εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41

42 i. συνx = 3. ii. 3 + ɛφx = 0. Λύση 1.1 i. ii. συνx = 3 συνx = συν π 6 συνx = συν π 6 συνx = συν(π π 6 ) x = κπ + 5π 6 ή κ Z κπ 5π ɛφx = 0 ɛφx = 3 ɛφx = ɛφ π 3 ɛφx = ɛφ( π 3 ) x = κπ π 3, κ Z. Θέµα 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. ɛφ(x π ) + ɛφx = 0. 3 ii. συν(x π ) = 1. µε 0 x < π 5 Λύση 1. i. ɛφ(x π 3 ) + ɛφx = 0 ɛφ(x π 3 ) = ɛφx ɛφ(x π 3 ) = ɛφ( x) x π 3 = κπ x x = κπ + π 3 x = κπ + π 6 κ Z. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 4

43 ii. συν(x π 5 ) = 1 συν(x π 5 ) = 1 συν(x π 5 ) = συν π 3 x π 5 = κπ + π 3 ή x π 5 = κπ π 3 x = κπ + 4π 15 ή x = κπ π 15, κ Z Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 x < π έτσι ϑα έχουµε : 0 x < π 0 κπ + 4π 15 < π 0 (κ )π < π οπότε x = 4π 15 0 κ < κ κ κ = 0 (αφούκ Z) Θέµα 1.3 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ (x) 5ηµ(x) + = 0 Λύση 1.3 ηµ (x) 5ηµ(x) + = 0 ϑέτω ηµ(x) = w και έχω : w 5w + = 0 οι ϱίζες της οποίας είναι : και 1 άρα έχω : ηµ(x) = που είναι αδύνατη και ηµ(x) = 1 ηµ(x) = 1 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) x = {κπ + π 6 κπ + π π 6, κɛz x = { κπ + π 6 κπ + 5π 6, κɛz Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43

44 1.5.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = ηµ π 7 ii. συνx = συν π 10 iii. ɛφx = ɛφ π iv. σφx = σφ 3π 9 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ(x π 3 ) = ηµ(x + π 4 ) ii. συν(x + π 3 ) = συν(3x π 6 ) iii. ɛφ(5x + π 4 ) ɛφ(x π 1 ) = 0 iv. σφπx = σφ(πx π 4 ) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = 1 ii. συνx = iii. ɛφx = 3 3 iv. σφx = 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx 3 = 0 ii. συνx = 1 iii. ɛφx = 6 iv. 7σφx 3 = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = ii. ɛφx = 1 iii. σφx = 3 iv. συνx = 1 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx συνx = 0 ii. (ηµx 3)(1 συνx) = 0 iii. (ηµx 1)(συνx 1) = 0 iv. ɛφx (1 ɛφx) 0 v. (σφx 3) (3σφx 3)σφx = 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. (ηµx + 1)(συνx + 3) = 0 ii. συνx ηµx = συνx iii. ɛφ x = ɛφx iv. (ηµx 1) + (ηµx 1) = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ x = 1 ii. συν x 1 = 0 iii. 3ɛφ x = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ x 5ηµx + = 0 ii. 4συν x ( + 3)συνx + 6 = 0 iii. 3ɛφ x 4 3ɛφx + 3 = 0 iv. σφ x 3σφx + 3 = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 3συν x = ηµ x ii. 3ηµx συν x + ηµ x = 1 iii. ɛφx 3σφx = 1 3 iv. συν 4 x 1 = 0 v. ɛφ 3 x = ɛφx vi. ηµ 4 x 7ηµ x + 3 = 0 vii. συν 3 x συν x συνx + 1 = 0 viii. ηµ 3 x + συν 3 x = Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα που δίνεται : i. ɛφx = 1 στο [π, 3π] ii. συνx = 0 στο [0, π] ηµx 1 iii. ηµx + 1 = 11 στο [0, π] Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα που δίνεται : i. 3ɛφ(4x π 3 ) = 3 στο [π, 3π ] ii. ηµ (x + π 3 ) + ηµ (x π ) = 0 στο [0, π] 3 iii. ηµ x + συν x = 1 στο [π, 3π] 13. Να λύσετε τις εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44

45 i. ηµx + ηµx = 0 ii. συνx + συνx = 0 iii. ɛφx + ɛφx = 0 iv. ηµx = συν( π 6 x) v. ηµx + συν3x = 0 vi. ɛφ( π 3 3x) + σφ(π x) = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. συνx = σφx ii. ɛφx = 3 συνx iii. ɛφ x = σφx iv. συνx (1 + ɛφ x) = ɛφx + συνx v. ηµx 1 σφx = συνx ɛφx 1 vi. ηµx + συνx = 1 συνx vii. ηµ 4 x = ηµx viii. ɛφx ηµx ηµx ɛφx + 1 = Να λύσετε τις εξισώσεις : = 1 x. ηµ(π ηµx) = 1 ix. ηµ x + συν x 3 xi. ηµ 3 x + συν 3 x = συνx xii. ηµ x συνx 4(1 συνx) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45

46 1.6 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.31 Με τι ισούται το συνηµίτονο της διαφοράς δύο γωνιών α και β; Ας ϑεωρήσουµε δυο γωνίες α, β. Τότε συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ Η ισότητα αυτή ισχύει για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Ερώτηση 1.3 Να αποδείξετε ότι συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ. Ισχύει ότι : συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε το β, έχουµε : συν(α ( β)) = συνα συν( β) + ηµα ηµ( β) Εποµένως : συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ Ερώτηση 1.33 Να αποδείξετε ότι ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Ισχύει ότι : συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ (σχέση 1) Επειδή συν( π x) = ηµx και ηµ(π x) = συνx, και µε τη ϐοήθεια της σχέσης 1 έχουµε : ηµ(α + β) = συν( π (α + β)) = συν(π α) + β)) = συν( π α)συνβ + ηµ(π α)ηµβ = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Ερώτηση 1.34 Να αποδείξετε ότι ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. Ισχύει ότι ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε β έχουµε : ηµ(α + ( β)) = ηµα συν( β) + συνα ηµ( β) Εποµένως : ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. Ερώτηση 1.35 Να αποδείξετε ότι ɛφ(α + β) = Για να ορίζονται οι ɛφ(α + β), ɛφα και ɛφβ, πρέπει : Με την προϋπόθεση αυτή έχουµε : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ. συν(α + β) 0, συνα 0 και συνβ 0. ηµ(α + β) ηµα συνβ + συνα ηµβ = συν(α + β) συνα συνβ ηµα ηµβ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46

47 ιαιρούµε αριθµητή και παρανοµαστή µε συνα συνβ 0 και έχουµε : ηµα συνβ συνα ηµβ + συνα συνβ συνα συνβ = συνα συνβ συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ Ερώτηση 1.36 Να αποδείξετε ότι ɛφ(α β) = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ. ɛφα + ɛφβ Ισχύει ότι ɛφ(α + β) = 1 ɛφα ɛφβ. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε β έχουµε : ɛφ(α + ( β)) = ɛφα + ɛφ( β) 1 ɛφα ɛφ( β). Εποµένως : ɛφ(α β) = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ. Ερώτηση 1.37 Τι ισχύει για την συνεφαπτοµένη αθροίσµατος και διαφοράς δύο γωνιών ; σφ(α + β) = σφα σφβ 1 σφβ + σφα και σφ(α β) = σφα σφβ + 1 σφβ σφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47

48 1.6. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.9 Γράφουµε τη γωνία σαν άθροισµα ή διαφορά ϐασικών γωνιών του 1ου τεταρτηµορίου Θέµα 1.4 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 75 o Λύση 1.4 Είναι : ηµ75 o = ηµ(30 o + 45 o ) = ηµ30 o συν45 o + συν30 o ηµ45 o = = 4 συν75 o = συν(30 o + 45 o ) = συν30 o συν45 o ηµ30 o ηµ45 o 3 = = 4 ɛφ75 o = ηµ75o συν75 o = = o = = 1 ɛφ75 o = 3 Μεθοδολογία 1.10 Χρησιµοποιούµε τους τύπους αθροίσµατος και διαφοράς συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48

49 ɛφα + ɛφβ ɛφ(α + β) = 1 ɛφα ɛφβ ɛφα ɛφβ ɛφ(α β) = 1 + ɛφα ɛφβ σφα σφβ 1 σφ(α + β) = σφβ + σφα σφα σφβ + 1 σφ(α β) = σφβ σφα Θέµα 1.5 Να αποδείξετε ότι : ηµ(α + β)ηµ(α β) = ηµ α ηµ β Λύση 1.5 ηµ(α + β)ηµ(α β) = (ηµασυνβ + συναηµβ)(ηµασυνβ συναηµβ) = (ηµασυνβ) (συναηµβ) = ηµ ασυν β συν αηµ β = ηµ α(1 ηµ β) (1 ηµ α)ηµ β = ηµ α ηµ αηµ β ηµ β + ηµ βηµ α = ηµ α ηµ β Μεθοδολογία 1.11 Μας δίνει κάποια από τα ηµα, ηµβ, συνα, συνβ, ɛφα, ɛφβ, 1ον Υπολογίζουµε τους υπόλοιπους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µε τους τύπους ηµ α = 1 συν α συν α = 1 ηµ α ɛφα = ηµα συνα σφα = 1 ɛφα 1 + ɛφ α = 1 συν α ον Λαµβάνοντας υπόψιν µας και το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται η γωνία, προσδιορίζουµε το πρόσηµο 3ον Προσδιορίζουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς του αθροίσµατος και της διαφοράς των γωνιών α και ϐ, από τους τύπους Θέµα 1.6 Αν συνα = 3 5, µε π 15 < α < π και ηµβ = 17 µε 0 < β < π να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων ηµ(α + β) και ɛφ(α β) Λύση 1.6 Από το συνα = 3 5, µε π < α < π ϑα υπολογίσω το ηµα και την ɛφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 49

50 ηµ α = 1 συν α = 1 ( 3 5 ) = 16 5 ηµα = 4 5, επειδή π < α < π 4 ɛφα = ηµα συνα = 5 3 = Από το ηµβ = 15 17, µε 0 < β < π ϑα υπολογίσω το συνβ και την ɛφβ συν β = 1 ηµ β = 1 ( ) = ɛφβ = ηµβ συνβ = Οπότε, συνβ = 8 17, επειδή 0 < β < π = 15 8 ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ = ( 3 5 ) = ɛφ(α β) = = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ = ( 4 3 )15 8 Μεθοδολογία 1.1 Οταν έχουµε να αποδείξουµε µια ισότητα µε τριγωνοµετρικούς αριθ- µούς, δεδοµένου ότι ισχύει και µια σχέση µεταξύ των γωνιών, τότε µπορούµε να το αντιµετωπίσουµε µε τρόπους. 1ον Να κάνω πράξεις στη σχέση που έχω να αποδείξω, να χρησιµοποιήσω τη συνθήκη µε τη ϐοήθεια τριγωνοµετρικών αριθµών και να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 50

51 ισχύει, ή ον Να λύσω τη συνθήκη ως προς τη µια γωνία, να αντικαταστήσω στον τύπο και να κάνω πράξεις, χρησιµοποιώντας τύπους αθροίσµατος και διαφοράς Θέµα 1.7 Αν α + β = π 4 να αποδείξετε ότι (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = Λύση 1.7 1ος τροπος α + β = π 4 ɛφ(α + β) = ɛφ( π 4 ) ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ = 1 ɛφα + ɛφβ = 1 ɛφα ɛφβ ɛφα + ɛφβ + ɛφα ɛφβ = 1 (1) Η σχέση (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = που ϑέλουµε ν αποδείξουµε, γράφεται : (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 1 + ɛφα + ɛφβ + ɛφα ɛφβ = ος τρόπος = λόγω της (1) = ισχύει α + β = π 4 α = β + π 4 Αντικαθιστώντας στην (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = έχουµε : (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = [ 1 + ɛφ( β + π 4 )] (1 + ɛφβ) = ɛφ π ɛφβ 1 + ɛφ π (1 + ɛφβ) = ɛφβ 4 ( ɛφβ ) (1 + ɛφβ) = 1 + ɛφβ 1 + ɛφβ + 1 ɛφβ (1 + ɛφβ) = 1 + ɛφβ = ισχύει Μεθοδολογία 1.13 Οταν έχουµε να λύσουµε τριγωνοµετρικές εξισώσεις οι οποίες περιέχουν αθροίσµατα και διαφορές γωνιών, κάνουµε πρώτα τα αναπτύγµατα των τύπων και στη συνέχεια µε κατάλληλες παραγοντοποιήσεις και πράξεις λύνουµε τις εξισώσεις Θέµα 1.8 Να λυθεί η εξίσωση : ηµx = συν(x π 6 ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 51

52 Λύση 1.8 ηµx = συν(x π 6 ) ηµx = συνxσυν π 6 ηµxηµπ 6 3 ηµx = συνx ηµx1 4ηµx = 3συνx ηµx 3ηµx = 3συνx (1) Αν συνx = 0 από την (1) έχουµε ότι και ηµx = 0 άρα : ηµ x + συν x = = 0, ΑΤΟΠΟ Άρα συνx 0 οπότε : (1) ηµx 3 συνx = 3 ɛφx = ɛφπ 6 x = kπ + π 6, k Z Μεθοδολογία 1.14 Οταν µας δίνουν τις γωνιες A, B, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε ισχύουν τα παρακάτω : A + B + Γ = π όποτε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις : A + B = π Γ, A + Γ = π B B + Γ = π A δηλαδή : ηµ(a + B) = ηµ(π Γ) = ηµγ ή συν(a + B) = συν(π Γ) = συνγ κ.ο.κ. A + B + Γ = π όποτε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις : A + B = π Γ, B + Γ = π A, A + Γ = π B δηλαδή : ηµ( A + B ) = ηµ(π Γ ) = συν Γ ή συν(a + B ) = συν(π Γ ) = ηµγ κ.ο.κ. Επειδή έχουµε 0 < A < π προκύπτουν τα παρακάτω : 1. ηµa > 0. ηµa = 1 A = π 3. συνa = 0 A = π 4. οµοίως για τς γωνίες Β και Γ Ισχύει ακόµα ότι 0 < A < π 1. ηµ A > 0. συν A > 0 3. ɛφ A > 0 άρα έχουµε : 4. οµοίως για τς γωνίες Β και Γ Ακόµα, επειδή 0 < A < π και 0 < B < π έχουµε π < A B < π όποτε άµεσα προκύπτουν και οι παρακάτω σχέσεις : 1. ηµ(a B) = 0 A B = 0 A = B. συν(a B) = 1 A B = 0 A = B 3. οµοίως για Β-Γ και Γ-Α Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 5

53 Θέµα 1.9 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση : συν(b Γ) = ηµbηµγ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Λύση 1.9 συν(b Γ) = ηµbηµγ συνbσυνγ + ηµbηµγ = ηµbηµγ συνbσυνγ + ηµbηµγ ηµbηµγ = 0 συνbσυνγ ηµbηµγ = 0 συν(b + Γ) = 0 A+B+Γ=π συν(π A) = 0 συνa = 0 A = 90 o Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 53

54 1.6.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. συν π 18 συν π 9 ηµ π 18 ηµπ 9 iii. συν10 o συν30 o + ηµ10 o ηµ30 o ii. συν 19π 0 συν π 5 + ηµ19π 0 ηµπ 5 iv. ηµ80 o ηµ40 o συν80 o συν40 o. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. ηµ 13π 7π 13π συν συν ηµ7π ii. ηµ40 o συν5 o + συν40 o ηµ5 o 1 iii. ɛφ 3π 0 + ɛφ π 10 1 ɛφ 3π 0 ɛφ π 10 iv. ɛφ45 o ɛφ15 o 1 + ɛφ45 o ɛφ15 o 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A = συν70 o συν10 o + συν0 o συν80 o 4. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ x συν 3x + συν x ηµ3x ii. ηµ(x + π 4 )συνx συν(x + π 4 )ηµx iii. ɛφ(x + y) + ɛφ(x y) 1 ɛφ(x + y)ɛφ(x y) 5. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : ɛφ( 3π iv. 4 3x) + ɛφ(π 4 x) 1 ɛφ( 3π 4 3x)ɛφ(π 4 x) i. συν( 4x)συνx ηµ4xηµ( x) ii. συν(x + π 3 )συνx + ηµ(xπ 3 )ηµx συν π ηµ ( π ) 6. Να δείξετε ότι : 7 ηµ 3π + 7 ηµ 3π = Να δείξετε ότι : συν(x + π 6 ) + συν(x π 6 ) = 3συνx 8. Να δείξετε ότι : συν (x + π 4 ) + συν (x π 4 ) = 1 9. Να δείξετε ότι :(συνα + συνβ) + (ηµα ηµβ) = [1 + συν(α + β)] 10. Να δείξετε ότι : i. ηµ(α β)συνβ + ηµβσυν(α β) = ηµα ii. ηµ( π 3 x)ηµ(π 6 + x) + ηµ(π 6 + x)ηµ(π 3 x) = Να δείξετε ότι οι παρακάτω παραστάσεις είναι ανεξάρτητη του x ηµ(α + x) ηµ(α x) (αʹ) A = συν(β x) συν(β + x) (ϐʹ) B = ηµx + ηµ(x + 10 o ) + ηµ(x + 40 o ) (γʹ) Γ = συν (x + 60 o ) + syn (x 60 o ) + syn x 1. Να δείξετε ότι : i. συν(α + β)συν(α β) = συν α ηµ β ii. συν(α + β)συνγ συν(β + γ)συνα = ηµβηµ(γ α) συν(α β) iii. ɛφα + β = συναηµβ ηµ(β α) iv. σφα β = ηµαηµβ 13. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α + β όταν : ηµα = 15 1, συνβ = µε π < α < π και 3π < β < π Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 54

55 14. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α β όταν : ηµα = 5 13, ɛφβ = 3 π µε 4 < α < π και π < β < π 15. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 15 o και των 75 o 16. Να λυθούν οι εξισώσεις i. ηµx = συν(x π 6 ) ii. ɛφ(x π 4 ) + σφx = 1 iii. συν3xσυνx + ηµ3xηµx = 1 iv. ηµ(x π 7 )συνx + ηµxσυν(x π 7 ) = συνx 17. Αν α + β = 135 o και ɛφβ =, να ϐρείτε την ɛφα και την ɛφ(α β) 18. Αν α + β = π να δείξετε ότι, (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = Αν σε τρίγωνο ABΓ ισχύει συν(b Γ) = ηµbηµγ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 0. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, ν αποδείξετε ότι : (αʹ) ηµ A + ηµ B + ηµ Γ = + συνaσυνbσυνγ (ϐʹ) Αν επιπλέον ισχύει ότι ηµ A + ηµ B + ηµ Γ = Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 55

56 1.7 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.38 Να γράψετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του διπλασίου τόξου α ηµα = ηµασυνα συνα = συν α ηµ α = συν α 1 = 1 ηµ α ɛφα = ɛφα 1 ɛφ α Ερώτηση 1.39 Να γράψετε τους τύπους αποτετραγωνισµού ηµ α = 1 συνα συν α = 1 + συνα ɛφ α = 1 συνα 1 + συνα Ερώτηση 1.40 Να γράψετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του µισού τόξου α ηµ α = 1 συνα συν α = 1 + συνα ɛφ α = 1 συνα 1 + συνα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 56

57 1.7. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.15 Ασκήσεις µε απλή εφαρµογή των τύπων ηµα = ηµασυνα συνα = συν α ηµ α = συν α 1 = 1 ηµ α ɛφα = ɛφα 1 ɛφ α Θέµα 1.30 Να απλοποιήσετε το κλάσµα A = συνx ηµx + συνx Λύση 1.30 συνx ηµx + συνx = συν x ηµ x ηµx + συνx (συνx ηµx)(συνx + ηµx) = ηµx + συνx = συνx ηµx Μεθοδολογία 1.16 Ασκήσεις στις οποίες υπάρχει το 1 ή το -1 και το συνx. Οταν έχουµε το 1, αντικαθιστούµε το συνx = συν x 1 ώστε να απλοποιηθούν τα 1 και -1 Οταν έχουµε το -1, αντικαθιστούµε το συνx = 1 ηµ x ώστε να απλοποιηθούν τα 1 και -1 Θέµα 1.31 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες ηµα i. 1 + συνα = ɛφα ηµα ii. 1 συνα = σφα Λύση 1.31 i. ηµα 1 + συνα = ηµασυνα 1 + συν α 1 = ηµασυνα συν α = ηµα συνα = ɛφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 57

58 ii. ηµα 1 συνα = ηµασυνα 1 (1 ηµ α ) = ηµασυνα ηµ α = ηµασυνα ηµ α = συνα ηµα = σφα Θέµα 1.3 Να αποδείξετε ότι : i. ηµ3x = 3ηµx 4ηµ 3 x ii. συν3x = 3συν 3 x 3συνx Λύση 1.3 i. ηµ3x = ηµ(x + x) = ηµxσυνx + ηµxσυνx από τον τύπο ηµ(x + y) = ηµxσυνy + ηµyσυνx = ηµxσυνxσυνx + ηµx(1 ηµ x) από τον τύπο συνx = συν x 1 = ηµxσυν x + ηµx ηµ 3 x = ηµx(1 ηµ x) + ηµx ηµ 3 x από τον τύπο συν x = 1 ηµ x = ηµx1 ηµ 3 x) + ηµx ηµ 3 x = 3ηµx 4ηµ 3 x ii. Οµοίως Μεθοδολογία 1.17 Ασκήσεις στις οποίες πρέπει να υπολογίσουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς από τις µισές γωνίες των ϐασικών, του 1ου τεταρτηµορίου. Για να τις υπολογίσουµε αυτές, πρώτα κάνουµε αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο και µετά χρησιµοποιούµε τους τύπους τετραγωνισµού για το µισό τόξο ηµ α = 1 συνα συν α = 1 + συνα ɛφ α = 1 συνα 1 + συνα Θέµα 1.33 Να υπολογίσετε το συν 3π 8 Λύση 1.33 Είναι : συν 3π 8 = 1 + συν 3π 8 = 1 + συν 3π 4 = 1 + συν(π π 4 ) = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 58

59 1 συν π 1 = 4 = = 4 Άρα συν 3π 8 = επειδή 0 < 3π 4 8 < π Μεθοδολογία 1.18 Ασκήσεις στις οποίες ϑέλω από γωνίες ω να πάω σε γωνίες ω, γράφω ηµω = ηµ ω συν ω συνω = 1 ηµ ω = συν ω 1 ɛφω = ɛφ ω 1 ɛφ ω χρησιµοποιώντας και τις παραπάνω µεθοδολογίες Θέµα 1.34 Να αποδείξετε ότι : ηµα 1 + συνα συνα 1 + συνα = ɛφα Λύση 1.34 ηµα 1 + συνα συνα 1 + συνα = ηµασυνα 1 + συν α 1 ηµα = 1 + συνα = ηµ α συν α 1 + συν α συνα έκανα όλες τις γωνίες α 1 + συνα έκανα όλες τις γωνίες α = ηµ α συν α = ɛφ α Μεθοδολογία 1.19 Για να υπολογίσουµε ένα γινόµενο από συνηµίτονα, γράφουµε το κάθε συνα = ηµα ηµα το οποίο προκύπτει εύκολα από τον τύπο ηµα = ηµασυνα Θέµα 1.35 Να αποδείξετε ότι : συν0 o συν40 o συν60 o συν80 o = 1 16 Λύση 1.35 Κάνοντας χρήση του τύπου συνα = ηµα ηµα, έχουµε : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 59

60 συν0 o συν40 o συν60 o συν80 o = ηµ40o ηµ80 o ηµ10 o ηµ160 o ηµ0 o ηµ40 o ηµ60 o ηµ80 o = ηµ10o ηµ160 o 16ηµ0 o ηµ60 o = ηµ(180o 60 o )ηµ(180 o 0 o ) 16ηµ0 o ηµ60 o = ηµ60o ηµ0 o 16ηµ0 o ηµ60 o = 1 16 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 60

61 1.7.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. ηµ π 1 συν π 1 ii. συν 75 o 1 iii. 1 ηµ π 8 iv. ɛφ67, 5 o 1 ɛφ67, 5 o. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ɛφ(α β), όταν ɛφα = 3 και ɛφβ = 3. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ3xσυν3x ii. 1 ηµ x 3π ɛφ α iii. 4 1 ɛφ α 4 4. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ α συν α ii. 4ηµασυνα iii. συν α 1 iv. 1 ηµ ( π 4 α ) v. συν ( π 4 α) ηµ ( π 4 α) ɛφα vi. 1 ef α 5. Να δείξετε ότι : i. ηµ15 o ηµ75 o = 1 ii. συν 10 o συν 80 o = συν0 o iii. συν 4 α ηµ 4 α = συνα 1 συνα iv. = ɛφα ηµα συνα + ηµα συνα ηµα v. συνα ηµα συνα + ηµα = ɛφα 1 ηµα vi. συνα = 1 ɛφα 1 + ɛφα vii. 8ηµ 4 x = 3 4συνx + συν4x 6. Να δείξετε ότι : i. (ηµα + συνα) = 1 + ηµα ηµα ii. 1 συν α = σφα iii. ɛφα + σφα = ηµα iv. 4ηµασυν 3 α 4ηµ 3 ασυνα = ηµ4α v. συν α 4ηµ α α συν = συνα 1 συνα + ηµα vi. 1 + συνα + ηµα = ɛφα ηµα + ηµα vii. 1 + συνα + συνα = ɛφα ηµ3α viii. ηµα συν3α συνα = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 61

62 7. Να αποδείξετε ότι : 1 + συνα + ηµα i. 1 + ηµα συνα = συν α ηµα συνα ii. 1 + συνα 1 + συνα = ɛφα 8. Να αποδείξετε ότι, ɛφ ( π 4 x) 1 ηµx 1 + ηµx 9. Αν 0 < α < π 4 να αποδείξετε ότι, συνα ηµα = 1 ηµα ηµ α + 1 συν α 10. Να αποδείξετε ότι, = ɛφα ηµα(1 + συνα) 11. ίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx + ηµ x 1 + συνx, x ( π, π ) i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή π ii. Να ϐρείτε το f( 015 ) 1. Αν ɛφα = 3 4 και π < α < π, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α 13. Αν ɛφα = 1 4 και ɛφβ = 1 να υπολογίσετε την ɛφ(α + β) Αν συνx = 4 5 και π < x < π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. x ii. 3x iii. 4x x iv. 15. Αν ηµx = 3 και π < x < 3π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. x ii. 3x iii. 4x iv. x 16. Αν ɛφx = 3π και < x < π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. x ii. 3x iii. 4x x iv. π 17. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Αν 3συν x 13συνx+4 = 0, µε 0 < x < π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x 19. 3συν x 16συνx 1 = 0, π < x < π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. συνx + ηµ x = 0 ii. 1 + συνx = 6ηµ x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

63 iii. συνx + 3ηµ x = iv. ηµx = συνx v. συνx = + 3συν x vi. (συν x ηµx ) = 1 συνx 1. Να λυθεί η εξίσωση ηµ x = συν x. Να λυθούν οι εξισώσεις i. συνx + συν x = 0 ii. συνx ηµ x = 0 iii. συν x = 4ηµ x iv. συν x 1 = συν x v. συνx ηµx 1 = 0 vi. ηµx συνx + ηµx 1 = 0 3. Να λυθούν οι εξισώσεις i. ɛφx = συνx ii. ɛφxɛφx = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 63

64

65 Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες. Βιβλιογραφία.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω Αν πάνω στη µία από τις δύο πλευρές της γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι.1 έως και.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 1. 1. 1 1 1. 4. 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 6. 1 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.

ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Τ Ε Τ Α Ρ Τ Ο Θ Ε Μ Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα