Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Transcript

1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας σφβ = = ίάά έάά Α γ Β Τριγωνομετρικοί αριθμοί οοιασδήοτε γωνίας Ας υοθέσουμε ότι ο ημιάξονας Ox ενός συστήματος συντεταγμένων Ox εριστρέφεται γύρω αό το Ο κατά τη θετική φορά (αντίθετη με τη φορά των δεικτών του ρολογιού). Με τον τρόο αυτό μορεί να γραφεί μια οοιαδήοτε γωνία αό 0 0 ως 60 0 αλλά και μεγαλύτερη κάνοντας μια ή ερισσότερες εριστροφές ου η καθεμιά αντιστοιχεί σε Με αντίστοιχο τρόο κινούμενος κατά την αρνητική φορά μορούμε να διαγράψουμε μια οοιαδήοτε αρνητική γωνία. Πάνω στην τελική λευρά της γωνίας ω αίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(x, y) και υολογίζουμε την αόσταση (ΟΜ) ου είναι (ΟΜ)=ρ= x y. Τότε ορίζουμε: ημω = y έ ό συνω = x έ ό εφω = y x έ σφω = x έ έ y έ 9

2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Ζ(σφθ,) Β(0,) M(x,y) 0,8 ημθ 0,6 0,4 0, θ Γ(-,0) Α(,0) - -0,5 0,5 συνθ -0, -0,4-0,6-0,8 - Δ(0,-) -, Ε(,εφθ) Τριγωνομετρικός κύκλος λέγεται ο κύκλος με κέντρο την αρχή ενός συστήματος αξόνων Οxy και ακτίνα ρ=. Αν Μ(x,y)είναι το σημείο στο οοίο η τελική λευρά της γωνίας θ τέμνει τον τριγ. κύκλο τότε ισχύει: συνθ = x = τετμημένη του Μ ημθ = y = τεταγμένη του Μ εφθ = x y =τεταγμένη του Ε σφθ = y x =τετμημένη του Ζ Προφανώς ισχύουν οι σχέσεις : -συνθ και -ημθ Ακτίνιο (rad) είναι η γωνία ου, όταν γίνει είκεντρη κύκλου (Ο,ρ), βαίνει σε τόξο ου έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου αυτού, δηλαδή σε τόξο rad. Aν α είναι το μέτρο μιας γωνίας σε rad και μ σε μοίρες τότε ισχύει η σχέση: α, όου,4. (άρρητος). 80 0

3 Γωνία ω σε μοίρες rad ημω 0 συνω εφω 0 σφω Δεν ορίζεται ΤΡΙΓ. ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Δεν ορίζεται 0 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓ. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ εφω = ημω σφω = συνω εφω. σφω = συνω ημω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ημ ω + συν ω = συν ω = εφ ημ ω = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝ/ΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΤΡΙΓΩΝ/ΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Με βάση τα στοιχεία ου σημειώνονται στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο και τις ααραίτητες ευθείες ου ρέει να χαράξετε, να βρείτε: συν0 συν0 συν90 συν80 συν0 συν40 συν70 συν0 -. Στον τριγωνομετρικό κύκλο: α) Να σχεδιάσετε τις γωνίες: /, /,, 4/, 5/,. β) Ποιες αό τις αραάνω γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο; γ) Ποιες αό τις αραάνω γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο;

4 . Να συμληρωθεί ο ίνακας : Γωνία σε μοίρες Γωνία σε ακτίνια 4. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα. γωνία θ ρόσημο ημθ ρόσημο συνθ ρόσημο εφθ ρόσημο σφθ 5. Αό τις αρακάτω τιμές δεν μορεί να είναι ημίτονο γωνίας: Α. B. - Γ. Δ. - Ε. 6. Για οοιαδήοτε γωνία x: Α. συνx < - Β. συνx > Γ. - συνx Δ. το συνx δεν ορίζεται Ε. δεν ισχύει κανένα αό τα ροηγούμενα. 7. Το ημω: Α. μετριέται με μοίρες B. μετριέται με rad Γ. μετριέται με m Δ. μετριέται με cm Ε. δεν μετριέται με καμιά μονάδα. 8. Υολογίστε την τιμή της αράστασης: συν 0 + συν + συν + συν + συν Αν ημx + συνx = 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας x βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο B. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στο 4 ο τεταρτημόριο Ε. δεν υάρχει γωνία x ου να ικανοοιεί αυτή τη σχέση.

5 0. Η τιμή του γινομένου: συν0. συν90. συν80. συν70. συν60 είναι: Α. - Β. Γ. 0 Δ. Ε.. Σε καθεμία αό τις αρακάτω εριτώσεις να υολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χ : α) ημχ = 0, και 90 0 <χ<80 0 β) συνχ = - 0, και <χ< γ) εφχ = 0 και 0 0 <χ<90 0 δ) σφχ = 0,5 και 80 0 <χ<70 0. Αν 6ημ x + ημx - = 0 και < x <, να βρεθεί το συνx.. Αν συν x - 5συνx + = 0 και 70 < x < 60, να βρεθεί η εφx. 4. Αοδείξτε ότι α) ( + ημx + συνx) = ( + συνx) ( + ημx) β) ημ α ( + σφ α) + συν α ( + εφ α) =. 5. Να δείξετε ότι: α) x + x 5 β) x -0x.

6 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ: χ, χ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ -χ, χ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ +χ, χ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ -χ, χ ημ(-χ)= -ημχ ημ(-χ)=ημχ ημ(+χ)=-ημχ ημ = συνχ συν(-χ)=συνχ συν(-χ)=-συνχ συν(+χ)=-συνχ συν = ημχ εφ(-χ)=-εφχ εφ(-χ)=-εφχ εφ(+χ)=εφχ εφ = σφχ σφ(-χ)=-σφχ σφ(-χ)=-σφχ σφ(+χ)=σφχ σφ = εφχ Γενικά για την αναγωγή στο τεταρτημόριο αν έχουμε: i) γωνία της μορφής κω, αυτό γίνεται αίρνοντας τον ομώνυμο τριγ. αριθμό και βάζοντας του το ρόσημο + ή ανάλογα το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η γωνία αν λάβουμε την ω σαν θετική οξεία γωνία. Π.χ. ημ(5+ω)= -ημω εφ(5+ω)=εφω συν(-ω)=συνω σφ(7-ω)=-σφω ii) γωνία της μορφής κ ω, όου κ είναι εριττός ακέραιος, κάνουμε εναλλαγή του ημ με συν και της εφ με σφ και αντίστροφα, βάζοντας το ρόσημο + ή όως ροηγουμένως. Π.χ. ημ( 5 / +ω)=συνω συν( / -ω)= -ημω εφ( 7 / +ω)= -σφω σφ( / -ω)= εφω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 7 780, 0,. Το ημ660 ισούται με το: Α. ημ0 Β. συν60 Γ. συν0 Δ. ημ (-60 ) Ε. ημ60. Να εκφράσετε συναρτήσει του συνx και του ημx την αράσταση: Α = συν (- x) + ημ (- x) + ημ ( + x) + συν ( - x) 4

7 4. Εάν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου, να αοδείξετε ότι: α) ημ (Β + Γ) = ημα β) συν (Β + Γ) = - συνα γ) εφ (Β + Γ) = - εφα 5. Συμληρώστε τον ίνακα: Γωνία ημ συν εφ (00 ) (007 ) 6. Να αλοοιηθεί η αράταση: Α=. 7 9 (99 ) 7. Αν α-β= να δειχθεί ότι: i) ημα=συνβ και ii) ημ (-α)+ημ (+β)=. 8. Να δείξετε ότι: ημ(-χ) + ημ + ημ(χ-) - ημ =0. 9. Να αοδείξετε ότι : ημ εφ0 0 +σφ40 0 = +εφ40 0. ( ) 0. Να αοδείξετε ότι : ( ) 0. ( ) ( ). Να αοδείξετε ότι : σφ 0. σφ 0. σφ 0 σφ88 0. σφ89 0 =.. Να αοδείξετε ότι : συν 0 +συν 0 +συν 0 + +συν78 0 +συν79 0 =0.. Να υολογιστεί η τιμή της αράστασης : Α=

8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f(x)=ημχ f(χ)=συνχ Πεδίο ορισμού : Α= R Περιοδική με ερίοδο: Τ= Πεδίο ορισμού A=R Περιοδική με ερίοδο Τ= Μονοτονία-ακρότατα Μονοτονία-ακρότατα χ y=ημχ χ y=συνχ Σύνολο τιμών Σύνολο τιμών f(a)=[-,] f(a)=[-,] ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ y y=ημχ y y=συνχ O x O x 6

9 f(χ)=εφχ f(χ)=σφχ Πεδίο ορισμού A= x R / x k Περιοδική με Τ= Πεδίο ορισμού A=x R / x k Περιοδική με Τ= ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Γν. αύξουσα στα διαστήματα της μορφής : (κ-, κ+ ),όου κζ Δεν έχει ακρότατα ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Γν. φθίνουσα στα διαστήματα της μορφής : (κ, (κ+)),όου κζ Δεν έχει ακρότατα. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ f(a)=r ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ f(a)=r ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 7

10 Συναρτήσεις της μορφής f(x)=ρημωx, με ρ,ω>0. Πεδίο ορισμού το Α=R Περιοδικές με ερίοδο Τ= ω Έχουν ελάχιστο το ρ και μέγιστο το ρ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ y=ημx y=ημx y=ημx y=ημx 6 y=ημx

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) ψ=ημχ ψ=+ημχ ψ=ημ 4 iii) ψ=συνχ ψ= -+συνχ ψ=συν. 9

12 . Να κάνετε τη γραφική αράσταση των f (x) x και g(x ) x διάστημα [-, ]. στο. Να κάνετε τη γραφική αράσταση της f ( x ) x και f (x ) x στο διάστημα [-, ]. 40

13 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΥΣΕΙΣ ημχ=ημθ συνχ=συνθ εφχ=εφθ χ=κ+θ ή χ=κ+-θ χ=κ+θ ή χ=κ-θ χ=κ+θ σφχ=σφθ χ=κ+θ όου κζ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημχ= ii) συνχ= iii) εφχ= iv) σφχ=. Ααντήσεις i) Εειδή ημ/6=/ η εξίσωση γίνεται: ημχ=ημ/6 χ=κ+/6 ή χ=κ+-/6 χ=κ+/6 ή χ=κ+5/6 με κζ. ii) Εειδή συν/4= η εξίσωση γίνεται συνχ=συν/4 χ=κ+/4 ή χ=κ-/4. iii) Εειδή εφ/4= γίνεται: εφχ=εφ/4 χ=κ+/4,κζ iv) Εειδή σφ/6= γίνεται: σφχ=σφ/6 χ=κ+/6, κζ. ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Στην ερίτωση κατά την οοία έχουμε να λύσουμε τριγ. εξισώσεις των μορφών ημχ=,συνχ=,ημχ=0, συνχ=0, εφχ=0, σφχ=0,η διαδικασία αλοοιείται αν λάβουμε υ όψιν μας τα αρακάτω: Γωνίες των οοίων η τελική λευρά τέμνει τον τριγ. κύκλο: Γ, 0,8 0,6 0,4 0, Β Α - -0,5 0,5-0, i) στο σημείο Α είναι της μορφής χ=κ ii) στο σημείο Β είναι της μορφής χ=κ + / iii) στο σημείο Γ είναι της μορφής χ=(κ+) iv) στο σημείο Δ είναι της μορφής χ=κ - / v) στα σημεία Α ή Γ είναι της μορφής χ=κ vi) στα σημεία Β ή Δ είναι της μορφής χ=κ + / vii) στα σημεία Α ή Β ή Γ ή Δ είναι της μορφής χ=κ /,όου κζ. -0,4-0,6-0,8 - -, Δ.χ. ημχ= χ=κ + /, αφού η τελική λευρά της γωνίας είναι στο Β συνχ=0 χ=κ + /, αφού η τελική λευρά της γωνίας είναι στα Β ή Δ ημχ=0 χ=κ, αφού η τελική λευρά της γωνίας είναι στα Α ή Γ. 4

14 . Να λυθούν οι εξισώσεις: ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) -ημχ=0 ii) -συνχ=0 iii) συνχ-=0 iv) εφχ-=0 v) 5σφχ=0 vi) +σφχ=0 vii) 5(+ημχ)(+συνχ)=0 viii) (εφχ+ )(-συν χ)=0 ix) -συν =0 x) 5 5 xi) συνχ-συν5χ=0 xii) Να λυθούν οι εξισώσεις i. εφ(x- )+εφx=0 ii. συνx+συνx=0 5x iii. ημx=συν(x- ) iv. εφx+σφ =0. -. Να λυθούν οι εξισώσεις i. σφx- συνx=συνx σφx- ii. συν x+=5ημx iii. -ημ x=5ημx-συν x iv. εφ5xσφ0x= - 4. Να λυθούν οι εξισώσεις i. εφ x+εφx=0 ii. εφ x-(- )εφx- =0 iii. ημxσυνx=συνx iv. ημxσυνx-=συνx-ημx v. εφ x-σφ x=0 vi. ημx= συνx Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημχ=-ημχ ii) συνχ=-συνχ iii) ημχ+συνχ=0 iv) ημ χ+5ημχ=0 v) vii) (-ημχ) -4(-ημχ)(-ημχ)=0 0 vi) ημχσυνχ= συν χ viii) ημ χ-συνχ-= Να λυθεί στο [0,) η εξίσωση: συν (x ) =