COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii."

Transcript

1 FitVisible

2 Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX scris de Donald Knuth. Versiunea electronică foloseşte formatul Portable Document Format (PDF) elaborat de Adobe Systems. Traducerea formatului L A TEX în PDF a fost realizată cu programul pdflatex elaborat de Han The Thanh. Hiperlegăturile din versiunea electronică au fost generate automat folosind pachetul hyperref al lui Sebastian Rahtz. COPYRIGHT c 1998, Corneliu Berbente, Sorin Mitran, Silviu Zancu Toate drepturile asupra ediţiei electronice sunt rezervate autorilor. Nu este permisă tipărirea conţinutului acestei ediţii fără consimţământul scris al autorilor. COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. Adresa: EDITURA TEHNICĂ Piaţa Presei Libere, 1 33 Bucureşti, România cod Redactor: ing. Vasile Buzatu Tehnoredactor: Diana Jilavu Coperta: Sorin Mitran Bun de tipar: ; Coli tipo: 17,75 CZU: ISBN X

3 PREFAŢĂ Extraordinara dezvoltare a tehnicii de calcul din ultima perioadă permite simularea unui tot mai mare număr de probleme fizice, inginereşti sau economice. În paralel, a avut loc o dezvoltare a programelor disponibile fizicianului, inginerului sau economistului, oferindu-le o bogată gamă de algoritmi pentru rezolvarea unor aplicaţii concrete. Utilizarea acestei bogăţii de tehnici şi informaţii necesită însă, o bază teoretică solidă pentru a fi efectiv folosite. Reprezentarea printr-un număr finit de cifre semnificative a numerelor în calculator introduce dificultăţi extrem de mari în asigurarea condiţiilor pentru aplicarea unora din noţiunile fundamentale ale matematicilor moderne, legate de procesul de trecere la limită, amendând astfel utilizarea eficientă a unor teoreme de bază din analiză. În schimb, se introduc erorile de rotunjire a căror propagare, în interacţie cu alte tipuri de erori (inerente sau de metodă) este greu de urmărit. Prinre consecinţe, se poate întâmpla ca varainate echivalente teoretic (spre exemplu pe baza unor teoreme privind unicitatea soluţiei) să ducă, numeric, la rezultate foarte diferite. Ca urmare, este explicabilă tendinţa de a se descoperi noi şi noi formule de calcul numeric, chiar dacă în esenţă (matematic) acestea diferă foarte puţin. Această carte prezintă o viziune detaliată asupra teoriei şi practicii metodelor numerice, rod al unei activităţi de aproape 20 de ani în acest domeniu. Algoritmii cei mai utilizaţi sunt prezentaţi integral. O serie de algoritmi avansaţi, de largă aplicabilitate sunt de asemenea incluşi. Autorii au încercat o prezentare intuitivă a teoriei ce stă la baza metodelor numerice considerate, urmărindu-se mai mult uşurinţa înţelegerii materialului. Locul demonstraţiilor riguroase de altfel dificile şi nu întotdeauna eficiente didactic e luat, într-o serie de cazuri, de observaţii critice şi de bun simţ. O observaţie de bun simţ este şi aceea de a face apel la mai multă teorie atunci când modalităţile cunoscute au fost epuizate. Ca atare, se vor regăsi în carte şi o serie de cunoştinţe mai avansate necesare dezvoltării unor metode numerice performante. Sunt incluse capitole privind: aproximarea funcţiilor, derivarea şi integrarea numerică, problemele algebrei liniare, ecuaţii şi sisteme de ecuaţii neliniare, optimizare, ecuaţii diferenţiale. În prezentarea algoritmilor s-a optat pentru folosirea unui meta-limbaj, asemănător celui din programul Matlab. Cititorul poate transcrie un algoritm în limbajul de programare preferat cu uşurinţă. Pentru a preîntimpina cererile unor utilizatori ce doresc programe sursă sau direct executabile, cartea este suplimentată de un bogat material oferit pe Internet la adresa La acest sit se pot regăsi implementări în Pascal, FORTRAN şi C++ ale celor mai utilizaţi algoritmi, exemple extinse, legături la alte situri de pe Internet de interes pentru analiza numerică. Cei cu acces la Internet pot beneficia de programele de instruire asistată de calculator ce sunt disponibile la acest sit, unde este disponibilă o versiune electronică a

4 acestei cărţi, o serie de lucrări de laborator şi numeroase aplicaţii mici ce pot fi rulate direct din browser-ul preferat. Pe tot parcursul prezentării, elementele teoretice sunt completate cu numeroase exemple detaliat rezolvate. Acestea provin din cele mai variate domenii: ingineria mecanică, ingineria electrică, fizică şi chimie. S-a încercat formularea unor exemple iniţiale simple, ce să se concentreze pe aspectele strict numerice, iar apoi, a unor exemple apropriate problemelor reale. Se speră ca această modalitate de prezentare să fie utilă atât studentului cât şi practicianului metodelor numerice Autorii

5 CUPRINS V Cuprins 1 Aproximarea funcţiilor de o variabilă Aproximarea prin interpolare Interpolarea polinomială globală Interpolare cu funcţii spline Interpolare cu funcţii trigonometrice Interpolare în planul complex Aproximarea mini-max Polinoamele Cebâşev Minimizarea erorii la interpolarea polinomială Aproximarea aproape mini-max a unei funcţii Aproximarea în sensul celor mai mici pătrate Elemente de teoria aproximării Spaţii vectoriale Produsul scalar şi ortogonalitate Norme, operatori şi funcţionale Problema generală a celei mai bune aproximări Derivarea şi integrarea numerică Derivarea numerică Derivate folosind polinoame de interpolare Formularea operatorială Polinoame de interpolare în funcţie şi derivată Derivate folosind funcţii spline Derivate folosind diverse aproximaţii Integrarea numerică Formule Newton-Cotes închise Formule de integrare deschise Tehnici de atingere a unei precizii impuse Rezolvarea ecuaţiilor neliniare Metoda înjumătăţirii intervalelor Procedee iterative Iteraţia simplă Metoda Newton-Raphson

6 VI CUPRINS Metoda secantei Metoda parabolelor tangente Determinarea rădăcinilor polinoamelor Metoda Lobacevschi-Graeffe Metode de factorizare a polinoamelor Erorile de calcul numeric Surse de erori Propagarea erorilor în calcule Rezolvarea sistemelor liniare Metode directe Metoda eliminării a lui Gauss Metoda Gauss-Jordan Propagarea erorilor la metodele de eliminare. Rafinarea soluţiei Interpretarea matriceală a metodelor de eliminare Calculul matricei inverse Relaţia Sherman-Morisson Rafinarea matricei inverse Efectele erorilor din datele iniţiale Factorizarea L U Descompunerea SV D Sisteme cu matrice rare Metode iterative Metoda iterativă Jacobi Metoda iterativă Gauss-Seidel Accelerarea convergenţei metodelor iterative Comparaţii între metode Elemente de calcul matriceal Vectori şi valori proprii Elemente introductive Metode pentru câteva valori proprii Metoda puterii directe Metoda puterii inverse Metoda deplasării Determinarea tuturor valorilor şi vectorilor proprii Metoda Danilevschi Metodele QR şi LR Rezultate teoretice preliminarii Algoritmi auxiliari Formularea metodelor QR şi LR Reducerea numărului de operaţii la factorizare Accelerarea metodelor QR şi LR Calculul vectorilor proprii

7 CUPRINS VII 7 Metode de optimizare Minimizarea în lungul unei direcţii Metode de minimizare fără calculul derivatelor Metoda gradientului Metoda Newton Metode cvasi-newton Metode de gradient conjugat Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare folosind metode de optimizare Metode specifice de optimizare Probleme de optimizare cu restricţii Rezolvarea sistemelor neliniare Iteraţia simplă Metoda iterativă Newton Metode cvasi-newton Metoda gradientului Metoda hibridă Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale Consideraţii generale Metode cu paşi separaţi Formule Euler Formule Runge-Kutta Formule Runge-Kutta-Gill Alegerea pasului la rezolvarea ecuaţiei diferenţiale Extrapolare Richardson. Metoda Bulirsch-Stoer Metode cu paşi legaţi Formule explicite Formule implicite Propagarea erorilor. Stabilitate Sisteme de ecuaţii diferenţiale. Ecuaţii de ordin superior Probleme cu valori iniţiale Probleme cu valori la limite Ecuaţii diferenţiale de ordin superior Sisteme cu scări disparate Ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul I Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul II Ecuaţii cu derivate parţiale de tip parabolic Ecuaţii cu derivate parţiale de tip eliptic Ecuaţii cu derivate parţiale de tip hiperbolic Metoda caracteristicilor Scheme cu diferenţe finite

8 1 Capitolul 1 Aproximarea funcţiilor de o variabilă Problema aproximării unei funcţii de o variabilă se poate pune în situaţii diverse, următoarele două fiind mai frecvente: 1. funcţia este cunoscută, dar are o formă complicată, dificil de manipulat în calcule (spre exemplu pentru operaţii de derivare, integrare, etc.); 2. funcţia nu este complet cunoscută, fiind date numai valorile ei pe o mulţime discretă şi finită de puncte. În primul caz, aproximarea se poate face, în principiu, oricât de exact, restricţiile fiind legate de condiţia ca funcţia care aproximează să fie cât mai simplă. În al doilea caz informaţiile sunt reduse şi se completează cu presupuneri suplimentare, privind gradul de regularitate al funcţiei (continuitatea funcţiei şi a derivatelor sale, etc.). În ambele cazuri, este importantă alegerea unui criteriu de aproximare. Fie [a, b] R un interval pe dreapta reală şi x i, i {1, 2,..., N}, N N, o reţea de puncte de diviziune ale acestui interval, x i [a, b], x 1 = a, x N = b. Punctele de diviziune se numesc noduri. Presupunem date valorile în noduri ale

9 2 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă unei funcţii reale f y i = f(x i ), i 1, N. (1.1) Notăm cu g(x) funcţia cu care vrem să aproximăm pe f(x) pe intervalul dat. Iată câteva criterii de aproximare: a) Interpolare. În acest caz, funcţia mai simplă g(x) este determinată din condiţia ca să ia aceleaşi valori în noduri g(x i ) = y i, i 1, N. (1.2) Criteriul de aproximare prin interpolare presupune tacit că nodurile (x i, y i ) sunt cunoscute exact. Dacă din diverse motive cel mai adesea datorită unui procedeu de măsurare nodurile sunt afectate de erori atunci criteriul de interpolare este inadecvat. b) Minimizarea abaterii maxime. Se impune condiţia ca abaterea maximă să fie minimă pe intervalul ales, adică Relaţia (1.3) are analogul discret max f(x) g(x) = minim. (1.3) x [a,b] max y i g(x i ) = minim. (1.4) i 1,N Aproximarea făcută pe baza criteriului de mai sus se numeşte aproximare mini-max. c) Minimizarea sumei pătratelor abaterilor în noduri. În acest caz se impune ca S = n (y i g(x i )) 2 = minim. (1.5) i=1 Se observă că, în cazul interpolării, această sumă este chiar nulă, adică are cea mai mică valoare posibilă. Totuşi, această observaţie nu face superfluu criteriul (1.5) care este mai general şi permite tratarea datelor cunoscute incert, aşa cum se va vedea mai departe. Metoda care foloseşte acest criteriu este întâlnită sub numele de metoda celor mai mici pătrate. 1.1 Aproximarea prin interpolare Presupunând că nodurile x i sunt distincte, condiţia de interpolare (1.1) reprezintă un sistem de N condiţii şi va duce în general la un sistem de N ecuaţii cu N necunoscute. Considerentele de simplitate amintite mai sus ne sugerează

10 1.1. Aproximarea prin interpolare 3 c-alegerea formei funcţiei de aproximare să fie făcută astfel încât sistemul de condiţii să conducă la ecuaţii liniare. O posibilă alegere este următoarea: se ia un set de N funcţii simple, cunoscute, g k (x), k {1, 2,..., N} şi un set de N parametrii nedeterminaţi (scalari) a k, k {1, 2,..., N}, în funcţie de care se scrie aproximanta g(x) g(x) = N a k g k (x). (1.6) k=1 Deoarece nu ne-am înscris într-un formalism riguros, vom face unele observaţii de bun simţ. Astfel, am ales N parametri nedeterminaţi a k, deoarece avem N condiţii. Pe de altă parte, setul de funcţii g k (x) trebuie să conţină elemente distincte, astfel încât introduse în forma (1.6), numărul de parametri să nu se reducă 1. Într-un limbaj mai riguros, se spune că cele N funcţii cunoscute g k trebuie să fie liniar independente. În lipsa altei analize, ne putem limita la funcţii despre care ştim că au această proprietate. Un astfel de set îl reprezintă monoamele x k 1, k {1, 2,..., N}, în care caz funcţia de interpolare este un polinom de gradul N 1 g(x) = N a k x k 1. (1.7) k=1 Alte seturi de funcţii pot fi funcţiile trigonometrice, exponenţiale, etc., pe care le vom trata ulterior Interpolarea polinomială globală Revenind la forma (1.7) se pune problema găsirii coeficienţilor a k din condiţia de interpolare, adică a rezolvării sistemului de ecuaţii liniare N a k x k 1 = y i, i 1, N. (1.8) k=1 Dacă N este mare, rezolvarea sistemului (1.8) este dificilă sau cel puţin neconvenabilă. În orice caz, nodurile x i fiind distincte, sistemul de ecuaţii (1.8) este un sistem cu determinant Vandermonde diferit de zero şi are o soluţie unică, bine determinată pentru coeficienţii a k. În consecinţă, oricare ar fi calea pe care se construieşte efectiv polinomul de interpolare (1.7), acesta este unic pentru o funcţie şi o diviziune dată. Aproximarea efectuată este o interpolare globală în sensul că se foloseşte un singur polinom pe tot intervalul [a, b]. Forma Newton a polinomului de interpolare. O modalitate convenabilă de construcţie a polinomului de interpolare îl constituie polinomul lui Newton cu diferenţe divizate. Fiind date perechile de puncte 1 Spre exemplu, dacă g 2 = αg 1, α 0 atunci a 1 g 1 + a 2 g 2 = (a 1 + αa 2 )g 1, deci în loc de doi parametri independenţi a 1 şi a 2 ar apare doar o combinaţie a 1 = a 1 + αa 2.

11 4 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă (x i, y i ), se introduc următoarele rapoarte denumite diferenţe divizate (DD) DD(x 2, x 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 1, DD(x 3, x 2, x 1 ) = DD(x 3, x 2 ) DD(x 2, x 1 ) x 3 x 1, DD(x N, x N 1,..., x 1 ) = DD(x N,..., x 2 ) DD(x N 1,..., x 1 ) x N x 1. (1.9) Diferenţele divizate care se construiesc folosind k + 1 puncte se numesc diferenţe divizate de ordinul k. Se poate demonstra prin inducţie matematică, următoarea expresie a diferenţei divizate de ordinul N 1: N DD(x N, x N 1,..., x 1 ) = y i Œ i=1 N j=1 (x i x j ). (1.10) Semnul denotă omiterea factorului j = i din produs. Relaţia (1.10) fiind simetrică, rezultă că valoarea diferenţei divizate nu depinde de ordinea în care luăm punctele x i. Din punct de vedere practic, este mai comod ca diferenţele divizate să nu se calculeze cu formula (1.10) ci recursiv, alcătuindu-se un tabel (Tab. 1.1). Funcţia de aproximare g(x) este un polinom de gradul N 1, pe care îl vom nota cu p N 1 (x). Vom scrie f(x) = p N 1 (x) + R N 1 (x), (1.11) unde R N 1 (x) este restul sau eroarea de aproximare la interpolarea polinomială. Pe de altă parte, ţinând seama de definiţia diferenţelor divizate, se poate scrie f(x) = y 1 + (x x 1 ) DD(x, x 1 ) = y 1 + (x x 1 ) DD(x 2, x 1 ) + (x x 1 )(x x 2 ) DD(x, x 2, x 1 ). (1.12) În relaţia (1.12) ultima diferenţă divizată este formată cu punctul curent x. Continuând procedeul (1.12) până se iau în consideraţie toate nodurile, rezultă p N 1 (x) = y 1 + (x x 1 ) DD(x 2, x 1 ) + (x x 1 )(x x 2 ) DD(x, x 2, x 1 ) + (1.13)... + (x x 1 )(x x 2 )... (x x N 1 ) DD(x N, x N 1,..., x 1 ), N R N 1 = (x x i ) DD(x, x N, x N 1,..., x 1 ). (1.14) i=1

12 1.1. Aproximarea prin interpolare 5 Se verifică direct din (1.14) că restul se anulează în noduri (R N 1 (x i ) = 0, i = 1, 2,..., N) şi deci p N 1 (x) dat de (1.13) este polinomul de interpolare corespunzător celor N puncte date. Forma (1.13) se numeşte polinomul lui Newton cu diferenţe divizate. Pentru scrierea polinomului (1.13) se alcătuieşte mai intâi tabloul diferenţelor divizate de diverse ordine. Nu este necesar ca tabloul să cuprindă toate diferenţele divizate posibile. Este suficient să procedăm în ordinea nodurilor, din aproape în aproape, conform definiţiilor (1.9). Un exemplu de calcul este prezentat în tabelul 1.1 unde s-a notat cu DD i diferenţa divizată de ordinul i (i = 1, 2, 3). Polinomul obţinut este p 3 (x) = 2 + (x 1) (1) + (x 1)(x 2) ( 2) + (x 1)(x 2)(x 3) (1). În ceea ce priveşte restul R N 1 (x) (eroarea la interpolare), se poate face o evaluare dacă avem informaţii suplimentare referitoare la funcţia aproximată f(x) şi la derivatele sale. În acest scop, considerăm funcţia ajutătoare Q(t) definită prin relaţia Q(t) = f(t) p N 1 (t) N (t x i ) DD(x, x N, x N 1,..., x 1 ). (1.15) i=1 Se observă că funcţia Q(t) se anulează pentru t = x şi t = x i, i = 1, 2,...N, adică are N + 1 zerouri. Presupunând că f(t) este derivabilă de un număr convenabil de ori, putem aplica funcţiei Q(t) şi derivatelor sale teorema lui Rolle. Rezultă, succesiv, că derivata Q (t) are cel puţin N zerouri, derivata Q (t) are cel puţin N 1 zerouri ş.a.m.d., astfel că derivata de ordinul N are cel puţin un zero pe intervalul (a, b). Fie t = ξ acest zero. Derivând relaţia (1.15) de N ori, şi făcând t = ξ, se obţine f (N) (ξ) = N! DD(x, x N, x N 1,..., x 1 ), relaţie din care putem deduce expresia diferenţei divizate de ordinul N în funcţie de derivata de ordinul N. În acest fel, restul la interpolare (1.14) capătă forma R N 1 (x) = N (x x i ) f (N) (ξ)/n!. (1.16) i=1 Prezenţa produselor (x x i ), sugerează că restul este mai mic (în modul) când punctul curent x este centrat pe intervalul care conţine diviziunea şi mai mare când x este luat spre marginile intervalului sau în afara lui acest ultim caz este denumit extrapolare. Deoarece derivata de ordinul N a funcţiei în punctul ξ nu este accesibilă (din diverse motive), evaluări ale restului se pot face presupunând că, la schimbarea diviziunii, punctul ξ (necunoscut) nu se deplasează mult, astfel încât derivata respectivă să fie aproximativ constantă, şi refăcând calculul pentru o nouă diviziune a intervalului se poate testa astfel şi sensibilitatea erorii la includerea de noi puncte de interpolare.

13 6 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Tabelul 1.1: Un tabel de diferenţe divizate x i y i DD 1 DD 2 DD 3 DD /2-5/6 De regulă, este nerecomandabilă utilizarea unui număr mare de noduri la interpolare, mai ales dacă se intenţionează calcularea unor derivate cu ajutorul acestui polinom. Uzual, nu se folosesc toate cele N noduri, ci doar 3-5 noduri cele mai apropriate de punctul în care se cere valoarea funcţiei. În consecinţă, există posibilitatea unor variante chiar când nu putem îndesi reţeaua prin alegerea altor noduri. Interpolarea polinomială apare deseori ca o componentă a altor algoritmi numerici cum ar fi integrarea sau derivarea numerică a unor funcţii. În aceste aplicaţii se consideră deseori cazul diviziunilor egale x i+1 x i = h, i = 1, 2,..., N 1, h fiind pasul reţelei. Se introduc operatorii şi denumiţi diferenţă la dreapta respectiv, diferenţă la stânga, prin relaţiile f(x) = f(x + h) f(x), (1.17) f(x) = f(x) f(x h). (1.18) Rezultatul aplicării operatorului sau asupra lui f(x) se numeşte diferenţă finită (de ordinul I). Pentru n întreg, se defineşte un operator de translaţie, E, prin relaţia E n f(x) = f(x + nh), n Z. (1.19) Avem E 1 f(x) = f(x + h), E 0 f(x) = f(x), E 1 f(x) = f(x h). Se observă că între operatorii, şi E există relaţiile = E E 0, = E 0 E 1. (1.20) Diferenţele divizate se pot exprima în funcţie de diferenţele finite şi de pasul h DD(x 2, x 1 ) = [f(x 1 + h) f(x 1 )] /h = [ f(x 1 )] /h, (1.21) DD(x N, x N 1 ) = [f(x N ) f(x N h)] /h = [ f(x N )] /h. (1.22) Prin inducţie, se demonstrează uşor că DD(x N, x N 1,..., x 1 ) = N 1 f(x 1 ) (N 1)!h N 1 = N 1 f(x N ), (1.23) (N 1)!hN 1

14 1.1. Aproximarea prin interpolare 7 unde exponentul indică aplicarea repetată a operatorului. Punând variabila curentă x sub forma x = x i + αh, α [0, N 1], (1.24) se poate obţine expresia polinomul de interpolare Newton cu diferenţe finite la dreapta p N 1 (x) = y 1 + α y α(α 1) 2 y C N 1 α N 1 y 1, (1.25) unde C k α, k = 0, 1,..., N 1 sunt coeficienţii binomiali. Restul R N 1 (x) capătă forma R N 1 (x 1 + αh) = h N C N α f (N) (ξ). (1.26) Calculul se face alcătuind un tablou al diferenţelor finite, similar cu tabloul diferenţelor divizate. În mod asemănător, notând se obţin expresii cu diferenţe la stânga x = x N + βh, β [ N + 1, 0], (1.27) p N 1 (x) = y N + β y N β(β + 1) 2 y N ( 1) N 1 C N 1 β N 1 y N R N 1 (x N + βh) = ( 1) N h N C N β f (N) (ξ). (1.28) Forma Lagrange a polinomului de interpolare. Polinomul de interpolare Lagrange se scrie alegând funcţiile g k (x) din relaţia (1.6) sub forma unor polinoame denumite polinoame Lagrange şi notate cu L k (x), k = 1, 2,..., N. Aceste polinoame au expresiile L k (x) = N j=1 x x j x k x j, k 1, N, (1.29) unde produsul se ia pentru j k. Se observă direct din (1.29) că L k (x j ) = 0 dacă x j x k ; L k (x j ) = 1 dacă x j = x k. (1.30) Polinomul de interpolare Lagrange se scrie p N 1 (x) = N y k L k (x), (1.31) k=1 deci coeficienţii a k din expresia (1.6) sunt chiar valorile funcţiei f(x) în noduri, a k = y k. Se verifică direct, ţinând cont de proprietăţile (1.30) că p N 1 (x i ) = y i, i = 1, 2,..., N.

15 8 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Exemplu. sunt Utilizând primele patru noduri din tabelul 1, polinoamele Lagrange L 1 (x) = (x 2)(x 3)(x 5) (1 2)(1 3)(1 5) = 1 (x 2)(x 3)(x 5), 8 L 2 (x) = (x 1)(x 3)(x 5) (2 1)(2 3)(2 5) = 1 (x 1)(x 3)(x 5), 3 L 3 (x) = (x 1)(x 2)(x 5) (3 1)(3 2)(3 5) = 1 (x 1)(x 2)(x 5), 4 L 4 (x) = iar polinomul de interpolare este (x 1)(x 2)(x 3) (5 1)(5 2)(5 3) = 1 (x 1)(x 2)(x 3), 24 p 3 (x) = 2L 1 (x) + 3L 2 (x) + 0L 3 (x) + 6L 4 (x) = x 3 8x x 9, identic cu polinomul obţinut prin metoda diferenţelor divizate. Aducerea polinomului la forma canonică a fost făcută numai pentru compararea celor două metode, nefiind în general necesară în calculul numeric. Convergenţa interpolării polinomiale globale. Expresiile restului R N 1 (x) obţinute la interpolarea polinomială sugerează o creştere a preciziei atunci când numărul N de noduri creşte. Spre exemplu, în cazul diviziunilor egale, expresiile (1.26) şi (1.28) indică proporţionalitatea abaterii cu h N (h fiind pasul diviziunii) dar şi cu alţi factori cum ar fi derivata de ordinul N. Interpolarea ar fi convergentă dacă atunci când numărul de puncte de interpolare creşte indefinit N, restul scade oricât de mult R N 1 0. Se pune întrebarea: este interpolarea polinomială întotdeauna convergentă? Răspunsul la această întrebare este negativ. Încă din 1901, Runge a dat exemplul funcţiei f(x) = 1/(1 + x 2 ), x [ 5, 5]. Se poate verifica faptul că R N 1 (x) când N, diviziunile intervalului [ 5, 5] fiind luate egale. Comportarea interpolării pentru N = 6 şi N = 11 este redată în figura 1.1. Mai general, acest rezultat negativ se exprimă prin teorema lui Faber care spune că pentru orice diviziune a intervalului [a, b] există o funcţie, chiar continuă, faţă de care abaterea polinomului de interpolare creşte oricât de mult când N. Faptul că există sigur cel puţin o funcţie pentru care interpolarea polinomială globală nu converge reduce aplicabilitatea practică a procedeului, acesta folosindu-se îndeosebi ca o componentă a altor algoritmi numerici, pentru valori mici ale lui N.

16 1.1. Aproximarea prin interpolare 9 Figura 1.1: Polinoamele de interpolare p N 1 (x) cu N = 6, 11 suprapuse peste f(x). Aspecte practice ale interpolării polinomiale. Evident, polinoamele Newton şi Lagrange diferă numai prin formă, pentru aceeaşi reţea restul fiind acelaşi în ambele cazuri. Din punct de vedere al calculului numeric, este preferată folosirea polinomului Newton ce necesită un număr de operaţii aritmetice mai mic, de O(3N 2 /2) faţă de O(4N 2 ) pentru polinomul Lagrange. Necesarul de memorie este acelaşi pentru ambii algoritmi. Pentru polinomul Newton ar părea că este nevoie de o matrice suplimentară pentru tabelul de diferenţe divizate. Însă din tabelul de diferenţe divizate se folosesc efectiv doar N coeficienţi existând posibilitatea refolosirii celulelor de memorie precum în algoritmul 2 d y j = 2 : N [ k = N : 1 : j [d k (d k d k 1 )/(x k x k j 1 ) (1.32) în urma căruia diferenţele divizate de pe diagonala tabelului se obţin în vectorul d ce a fost iniţializat cu ordonatele y. Aceasta este partea cea mai costisitoare a interpolării Newton necesitând O(3N 2 /2) operaţii aritmetice. Evaluarea polinomului într-un punct u se face eficient prin schema lui Horner S d N j = (N 1) : 1 : 1 [S d j + (u x j ) S (1.33) 2 Am folosit notaţia Matlab j = j ini : pas : j fin pentru bucle: variabila j este iniţializată la valoarea j ini şi apoi incrementată cu pas. Instrucţiunile din buclă, delimitate de [ se execută repetat până când j > j fin Dacă pas nu este precizat, precum în j = j ini : j fin, se subînţelege pas = 1.

17 10 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Figura 1.2: Aproximarea funcţiei lui Runge f(x) printr-o linie poligonală s(x). necesitând numai O(3N) operaţii. punct u necesită O(4N 2 ) prin S 0 k = 1 : N P 1 j = 1 : k 1 [P P (u x j )/(x k x j ) Evaluarea polinomului Lagrange într-un j = k + 1 : N [P P (u x j )/(x k x j ) S S + y k P Interpolare cu funcţii spline Am văzut că interpolarea polinomială globală, pe tot intervalul [a, b], nu converge întotdeauna. Desigur, dacă am reuşi să micşorăm diviziunea fără a modifica gradul polinomului de interpolare, rezultatul ar putea fi modificat. Spre exemplu, aproximarea unei funcţii derivabile cu o linie poligonală se poate face oricât de bine când numărul de laturi ale poligonului creşte infinit (fig. 1.2). Evident, funcţia poligonală nu se identifică cu o funcţie de gradul 1 deoarece depinde şi de diviziunea aleasă. Acest exemplu conduce la ideea de interpolare polinomială pe porţiuni, la care pe fiecare subdiviziune a intervalului [a, b] definim un alt polinom de interpolare. Funcţia poligonală este unul dintre exemplele cele mai simple ale acestui tip de interpolare prin funcţii spline 3. Aceste funcţii sunt caracterizate prin formele lor pe subintervalele dintre două noduri (care pot fi diverse funcţii cunoscute) şi prin anumite condiţii de racordare în noduri. În cele ce urmează, vom considera doar cazul funcţiilor spline polinomiale fără deficienţă. 3 Se citeşte splain.

18 1.1. Aproximarea prin interpolare 11 Figura 1.3: Subintervalele de definire a unei funcţii spline. Definiţie. Fie [a, b] R un interval pe dreapta reală şi x i, i = 1, 2,..., N o reţea de puncte de diviziune (x 1 = a, x N = b). Notăm cu I i subintervalele [x i, x i+1 ). Funcţia s : [a, b] R se numeşte funcţie spline polinomială de ordinul m dacă 1. restricţiile ei pe subintervalele I i sunt polinoame de gradul m, s Ii = p m,i ; 2. s este derivabilă de m 1 ori pe intervalul [a, b], s C (m 1) [a, b]. A doua condiţie conţine în sine condiţia de racordare în noduri p (k) m,i (x i+1) = p (k) m,i+1 (x i+1), k = 0, 1,..., m 1, (1.34) adică la frontiera x i+1 dintre două subintervale, polinomul din stânga p m,i şi primele sale m 1 derivate trebuie să aibe aceleaşi valori cu ale polinomului din dreapta, p m,i+1. În afara intervalului [a, b] funcţia s se poate prelungi prin polinoame de grad m. Condiţiile de racordare în noduri pot fi slăbite, astfel încât funcţia s să nu mai fie de clasă C (m 1) pe tot intervalul [a, b], ci să fie derivabilă de mai puţine ori pe diverse subintervale. În acest caz, obţinem funcţii spline cu deficienţă. Funcţia spline de ordinul întâi (linia poligonală). Funcţia spline este formată din segmente de ecuaţie p 1,i (x) = y i + m i (x x i ), x [x i, x i+1 ), (1.35) m i = (y i+1 y i )/h i, h i x i+1 x i, (1.36) m i reprezentând panta pe intervalul I i (vezi fig. 1.3). Funcţia spline de ordinul întâi este simplă, dar nu furnizează derivata funcţiei interpolate.

19 12 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Funcţia spline de ordinul doi. Funcţia este formată din segmente de parabolă, racordate în noduri până la derivata de ordinul 1, inclusiv p 2,i (x) = y i + m i (x x i ) + a i (x x i ) 2, x [x i, x i+1 ), i 1, N 1. (1.37) Forma polinomială (1.37) satisface automat condiţia p 2,i (x i ) = y i prin modul de scriere. Condiţiile de racordare conduc la următoarele ecuaţii pentru coeficienţii a i p 2,i (x i+1 ) = y i+1 (1.38) a i = (y i+1 y i )/h 2 i m i /h i, i 1, N 1. (1.39) Eliminarea lui a i din condiţiile de racordare p 2,i (x i+1 ) = y i+1, p 2,i (x i+1) = p 2,i+1 (x i+1), (1.40) care se pot scrie în nodurile x i, i = 1, 2, 3,..., N 2 conduce la sistemul m i + m i+1 = 2(y i+1 y i )/h i, i 2, N 1, (1.41) ce trebuie completat cu o singură condiţie. Spre exemplu, se poate da panta la unul din capetele intervalului (m 1 sau m N ). Necesitatea condiţiei suplimentare provine din faptul că nu mai putem impune condiţia de racordare în derivată în nodul x N. În ambele cazuri, sistemul devine determinat: 1. m 1 dat duce la substituirea m i+1 = 2(y i+1 y i )/h i m i, i 1, N 1 ; (1.42) 2. m N dat permite retrosubstituirea m i = 2(y i+1 y i )/h i m i+1, i N 1, 1. (1.43) Funcţia spline de ordinul trei sau cubică. Este una din cele mai utilizate funcţii spline, având derivate continue până la ordinul doi inclusiv, ceea ce permite calculul razei de curbură. Din condiţiile de continuitate pe noduri până la derivata de ordinul 2 inclusiv p 3,i (x i+1 ) = y i+1, p 3,i (x i+1) = p 3,i+1 (x i+1), p 3,i (x i+1) = p 3,i+1 (x i+1), (1.44)

20 1.1. Aproximarea prin interpolare 13 pentru i = 1, 2, 3,..., N 2, se deduc coeficienţii polinomului de gradul 3 p 3,i (x) = y i + m i (x x i ) + b i (x x i ) 2 + a i (x x i ) 3 (1.45) care reprezintă comportarea funcţiei spline pe fiecare subinterval (x i, x i+1 ), i 1, N 1 a i = (m i+1 + m i )/h 2 i 2(y i+1 y i )/h 3 i, (1.46) b i = 3(y i+1 y i )/h 2 i (m i+1 + 2m i )/h i. (1.47) Pantele pe noduri, m i, sunt date în acest caz de sistemul ρ i m i 1 + 2m i + λ i m i = d i, i 2, N 2 (1.48) ce trebuie completat cu două condiţii, pentru a suplini condiţiile de racordare în prima şi a doua derivată ce nu mai pot fi scrise în x N. S-au făcut notaţiile ρ i h i /(h i 1 + h i ), λ i 1 ρ i, h i x i+1 x i, (1.49) d i 3 [λ i (y i+1 y i )/h i + ρ i (y i y i 1 )/h i 1 ]. Sistemul de condiţii de racordare impuse lasă de data aceasta două grade de libertate, ce pot fi precizarea pantelor la capete, m 1 şi m N, sau, mai general, precizarea unei relaţii, în general liniară, ale acestor pante cu pantele vecine, de forma { 2m 1 + λ 1 m 2 = d 1. (1.50) ρ N m N 1 + 2m N = d N. În relaţiile (1.50), coeficienţii λ 1, d 1, ρ N, d N sunt daţi prin natura condiţiilor puse la capetele intervalului, deci nu sunt deduşi din relaţiile (1.49) care nu sunt definite pentru i = 1 şi i = N. Spre exemplu, a da pantele m 1 şi m N revine la a impune λ 1 = 0, d 1 = 2m 1, ρ N = 0, d N = 2m N. Sistemul de N ecuaţii cu N necunoscute Am = d, obţinut prin reuniunea egalităţilor (1.48) şi (1.50), are matrice tridiagonală. Ne punem mai întâi problema existenţei unei soluţii. Elementele din matricea A rezultate din condiţiile de racordare (1.48) sunt diagonal dominante pe linii, adică 2 > ρ i + λ i = 1. Cum o matrice diagonal dominantă este, în general, inversabilă, este suficient ca şi condiţiile suplimentare (1.50) să păstreze această proprietate. Practic, problema este rezolvabilă dacă impunem condiţii necontradictorii şi distincte. Forma tridiagonală a matricei A permite o rezolvare foarte eficientă prin descompunerea matricei într-un produs de două matrice bidiagonale 4 A = L R 4 Un caz particular al factorizării Doolittle ce va fi prezentată în capitolul 5, cunoscut ca algoritmul lui Thomas.

21 14 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă sau explicit l A =. 0 l l N 1 r 1 λ r λ N r N 1 λ N r N. Coeficienţii necunoscuţi r i, i = 1, 2,..., N şi l i, i = 2, 3,..., N se determină prin identificarea elementelor din A şi din matricea produs. Elementele supradiagonalei din matricea R au fost deja identificate. Determinarea pantelor se bazează pe asociativitatea produsului de matrice (L R) m = L (R m) = d. Introducem vectorul z = R m. Etapele algoritmului sunt 1. factorizarea A = L R r 1 2; i = 2 : N [l i ρ i /r i 1 ; r i 2 l i λ i 1 2. rezolvarea sistemului bidiagonal L z = d z 1 d 1 i = 2 : N [z i d i l i z i 1 3. rezolvarea sistemului bidiagonal R m = z m N z N /r N i = (N 1) : 1 : 1 [m i (z i λ i m i+1 )/r i Observaţii. 1. Un caz particular important de funcţie spline de ordinul trei este cel al interpolării spline cubice naturale definit prin condiţiile în capete ceea ce conduce la s (x 1 ) = s (x N ) = 0 2m 1 + m 2 = 3(y 2 y 1 )/h 1, m N 1 + 2m N = 3(y N y N 1 )/h N 1, (1.51)

22 1.1. Aproximarea prin interpolare 15 adică λ 1 = 1, d 1 = 3(y 2 y 1 )/h 1, ρ N = 1, d N = 3(y N y N 1 )/h N 1, (1.52) cu notaţiile anterioare. Se poate demonstra că impunerea acestor condiţii de capăt minimizează integrala I = xn x 1 [f (x)] 2 dx, (1.53) unde f(x) este funcţia exactă, necunoscută, de clasă C (2) [a, b] ce este aproximată de interpolarea spline. Minimizarea integralei (1.53) prin impunerea condiţiilor naturale (1.51) conduce la cea mai netedă interpolare spline cubică. În absenţa unor informaţii precise asupra pantelor în capete m 1, m N, se recomandă folosirea condiţiilor naturale ce conduc de regulă la minizarea erorii de interpolare. 2. Folosită pentru reprezentarea unor curbe date (traiectorii ale unei scule, profile aerodinamice, etc.), funcţia spline cubică poate avea abateri în zonele cu pante mari. De aceea, se recomandă verificări mai atente în vecinătatea nodurilor cu pante mari, m i Restricţiile unei funcţii spline s(x) pe intervalele I i nu trebuie să fie obligatoriu polinoame. Se pot racorda alte funcţii, sau polinoame cu alte funcţii spre exemplu, cercuri cu polinoame. Aceste combinaţii pot fi avantajoase în cazul când pantele pe noduri sunt mari. 4. Pentru interpolarea spline nu s-a dedus o expresie a erorii de aproximare, de o manieră directă ca la interpolarea polinomială. S-a reţinut doar afirmaţia că, o funcţie continuă poate fi aproximată oricât de bine pe tot intervalul [x 1, x N ] atunci când numărul de diviziuni creşte, adică interpolarea spline este întotdeauna convergentă. Deoarece derivata de ordinul m, s (m), a unei funcţii spline polinomiale este o funcţie treaptă (constantă pe porţiuni), iar o funcţie treaptă aproximează oricât de bine o funcţie continuă pe interval când numărul de diviziuni creşte, se poate da o evaluare a erorii în funcţie de abaterea maximă între derivatele f (m) (x) şi s (m) (x), presupunând că f (m) (x) există şi este continuă max f(x) s(x) (b a) m max f (m) (x) s (m) (x) /m!. Pentru m = 1, marginea erorii reprezintă tocmai produsul dintre mărimea intervalului şi diferenţa maximă de pante între funcţia f şi linia poligonală. Această evaluare nu corespunde însă neapărat funcţiei spline de interpolare, dar sugerează o anumită relaţie cu modul în care funcţia treapta s (m) (x) aproximează derivata de ordinul m a funcţiei f(x). Exemplu. Vom considera problema interpolării spline a funcţiei lui Runge f(x) = 1/(1+x 2 ) pe intervalul [ 5, 5] pentru care am văzut că interpolarea polinomială globală eşuează. Se adoptă o diviziune echidistantă a intervalului cu h = [5 ( 5)]/(N 1), x k = x 1 + (k 1)h, k 1, N. Se vor considera trei tipuri de condiţii în capete: 1. precizarea valorilor exacte ale pantei m 1 = f ( 5), m N = f (5) ceea ce conduce la λ 1 = 0, d 1 = 2f ( 5), ρ N = 0, d N = 2f (5) ;

23 16 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Figura 1.4: Logaritmul zecimal al erorii relative la interpolarea spline a f, f, f. 2. extrapolarea liniară a pantelor adiacente m 1 = m 2, m N 1 = m N ceea ce conduce la λ 1 = 2, d 1 = 0, ρ N = 2, d N = 0 ; 3. condiţii naturale (1.52). Calitatea aproximării se apreciază prin evaluarea erorilor relative 1000 ε k = f (k) (u i ) s (k) (u i ) / f (k) (u i ), k = 0, 1, 2 i=1 pentru diverse valori ale lui N unde {u i, i 1, 1000} este o diviziune echidistantă fină a intervalului [ 5, 5]. Rezultatele sunt prezentate în figura (1.4). Se observă că interpolarea este convergentă, eroarea relativă scăzând rapid cu creşterea lui N. Pentru un număr mic de puncte toate condiţiile de capăt dau rezultate comparabile. Pe măsură ce diviziunea devine suficient de fină pentru a descrie precis variaţiile funcţiei, condiţiile exacte dau eroarea minimă după cum era de aşteptat, urmate de condiţiile naturale şi apoi de cele de extrapolare a pantei. Se remarcă pierderea a 1,2 ordine de precizie a aproximării în urma derivării Interpolare cu funcţii trigonometrice Interpolarea polinomială nu este adecvată aproximării tuturor tipurilor de funcţii. Vom considera acum o altă alegere a funcţiilor liniar independente din (1.6), anume funcţiile trigonometrice (fig. 1.5) cos(2πkx), k 0, N; sin(2πmx), m 1, N 1. (1.54) Această bază este deosebit de eficace în aproximarea funcţiilor periodice f(x) = f(x + 1). Funcţiile periodice cu o altă perioadă f(z) = f(z + T ) pot fi aduse la forma anterioară prin transformarea x = z/t. În cazul interpolării cu funcţii

24 1.1. Aproximarea prin interpolare 17 Figura 1.5: Primele 11 funcţii din baza trigonometrică. trigonometrice, funcţiile sinus şi cosinus împreună formează o bază 5. Avem un număr de 2N funcţii în această bază. Ca atare, vom considera un număr par 2N de puncte de diviziune echidistante pe intervalul [0, 1] x j = j/2n, j 0, 2N 1. (1.55) Se verifică direct că setul (1.54) prezintă următoarele proprietăţi de ortogonalitate pe mulţimea discretă de puncte {x i } = {0, 1/2N, 2/2N,..., (2N 1)/2N} 2N 1 j=0 cos 2πkx j cos 2πmx j = 0, k m N, k = m 0, N 2N, k = m = 0, N (1.56) 2N 1 j=0 { 2N 1 0, k m sin 2πkx j sin 2πmx j = N, k = m ; cos 2πkx j sin 2πmx j = 0, k 0, N, m 1, N 1. Demonstraţia se construieşte prin transformarea produselor de funcţii trigonometrice în sume de sinus şi cosinus. Acestea se pot înlocui cu funcţii exponenţiale, sin x = (e ix e ix )/2i, cos x = (e ix + e ix )/2, rezultând progresii geometrice simplu de însumat (vezi şi 1.1.4). 5 Strict vorbind doar mulţimea infinită {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... } formează o bază a spaţiului de funcţii. Păstrarea unui număr finit de funcţii conduce la apariţia unor erori ce vor fi considerate mai jos. j=0

25 18 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Utilizând setul de funcţii de bază (1.54), aproximanta prin interpolare se scrie sub forma polinomului Fourier N 1 g(x) = 1 2 a 0 + [a k cos(2πkx) + b k sin(2πkx)] a N cos 2πNx, (1.57) k=1 ce satisface 2N condiţii de interpolare g(x j ) = f(x j ) y j, j 0, 2N 1. Coeficienţii a k, b k se determină prin utilizarea proprietăţilor de ortogonalitate (1.56). Prezentăm calculul doar pentru coeficienţii b k. Polinomul (1.57) se evaluează în punctele x j, relaţia obţinută se amplifică cu sin 2πmx j iar apoi se calculează suma de la j = 0 la j = 2N 1 2N 1 j=0 y j sin 2πmx j = a 0 2 2N 1 b k j=0 2N 1 j=0 (sin 2πkx j sin 2πmx j ) sin 2πmx j + N 1 ] + a N 2 k=1 [ 2N 1 j=0 a k 2N 1 j=0 (cos 2πkx j sin 2πmx j ) + (cos 2πNx j sin 2πmx j ). Se poate observa schimbarea ordinii de însumare din relaţia de mai sus ce permite aplicarea (1.56) obţinându-se 2N 1 j=0 g(x j ) sin(2πmx j ) = 2N 1 j=0 y j sin(2πmx j ) = b m N. Un calcul analog pentru ceilalţi coeficienţi conduce la relaţiile a k = 1 N 2N 1 j=0 y j cos 2πkx j, b m = 1 N 2N 1 j=0 y j sin 2πmx j (1.58) cu k 0, N, m 1, N 1. În aplicaţii, coeficienţii a k, b k se evalueză mult mai economic decât prin calculul direct al sumelor de mai sus prin folosirea transformării Fourier rapide prezentate în Se poate lesne observa din (1.58) că vom avea toţi a k = 0 pentru funcţii impare f( x) = f(x) şi toţi b m = 0 pentru funcţii pare f( x) = f(x). Apariţia unei oarecare asimetrii termenii în cos sunt mai numeroşi decât cei în sin este legată de alegerea unui număr par de 2N intervale în care se divide perioada funcţiei. Dacă se aleg 2N + 1 intervale, forma funcţiei de interpolare este g(x) = 1 2 a 0 + N [a k cos(2πkx) + b k sin(2πkx)], k=1

26 1.1. Aproximarea prin interpolare 19 coeficienţii a k şi b k fiind daţi de a k = 2 2N + 1 2N j=0 y j cos 2πkx j, b m = cu k 0, N, m 1, N, x j = j/(2n + 1). Convergenţa interpolării trigonometrice. 2 2N + 1 2N j=0 y j sin 2πmx j, Se pot determina exprimări ale erorii de interpolare în genul restului R N 1 (x) de la interpolarea polinomială şi pentru interpolarea trigonometrică. Expresiile obţinute sunt însă sub o formă integrală greu utilizabilă practic. Vom prefera o discuţie mai puţin formală a erorii şi convergenţei procedeului. Dacă funcţia f admite o dezvoltare în serie Fourier mărirea numărului de noduri conduce la aproximaţii din ce în ce mai bune. Într-adevăr, ridicând expresia (1.57) la pătrat membru cu membru, însumând valorile pe noduri şi ţinând seama de relaţiile de ortogonalitate (1.56), se obţine 1 4 a N 1 2 k=1 (a 2 k + b 2 k) a2 N = 1 2N 2N 1 j=0 y 2 j (1.59) relaţie denumită egalitatea lui Parseval discretă. Când N creşte, suma din membrul drept se aproprie de integrala 1 0 y2 dx. Dacă integrala este mărginită 6 suma este de asemenea mărginită. Ca urmare, seria pătratelor coeficienţilor este convergentă, ceea ce arată că a 2 k, b2 k devin din ce în ce mai mici când N creşte. Interpolarea trigonometrică este aşadar convergentă pentru funcţii f continue sau cu un număr finit de discontinuităţi acestea fiind condiţii suficiente pentru a asigura existenţa integralei anterioare. Stabilirea convergenţei este importantă pentru validarea interpolării trigonometrice. În aplicaţii însă mai apar şi alte aspecte ale comportării erorii la interpolare. Vom considera doar două mai importante: rapiditatea convergenţei şi efectul considerării doar a unui număr finit de funcţii trigonometrice în dezvoltarea (1.57). Fără a încerca o definiţie formală, vom spune că o interpolare trigonometrică este rapid convergentă dacă numărul de termeni N necesar realizării unei precizii impuse a aproximării este mic. Înţelesul cuvântului mic depinde de aplicaţie, dar un domeniu orientativ ar fi 2 N 128. Urmărirea fig. 1.5 sugerează că includerea mai multor termeni în polinomul Fourier (1.57) permite descrierea unei funcţii cu variaţii mai rapide pe intervalul [0, 1]. Fie x cea mai mică distanţă de pe abscisă pe care funcţia f are o variaţie semnificativă. Deoarece f are perioada 1, spunem că ν = 1/ x este frecvenţa variaţiilor celor mai rapide ale funcţiei. Pentru a descrie variaţiile date de frecvenţa cea mai rapidă a funcţiei f polinomul (1.57) trebuie să conţină un număr de termeni N ν. Acest rezultat este cunoscut sub numele de criteriul Nyquist ce rezultă dintrun rezultat mai general denumit teorema de eşantionare Shannon. Observaţi că 6 Într-o formulare riguroasă dacă y = f(x) este pătrat integrabilă pe [0, 1], ceea ce se scrie f L 2 [0, 1].

27 20 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Figura 1.6: Comportarea polinoamelor trigonometrice cu N = 8, 16, 32, 64 la interpolarea funcţiei treaptă. Pe măsură ce N creşte, interpolarea se aproprie mai mult de funcţia exactă fără însă a elimina oscilaţiile în zona punctelor de discontinuitate. pentru a avea N frecvenţe în polinomul (1.57) este nevoie de 2N puncte (x j, y j ). De aici o formulare echivalentă a criteriului Nyquist este ca numărul de noduri să fie minim de două ori frecvenţa cea mai rapidă. Dacă f are variaţii lente atunci ν este mic şi numărul de termeni din polinomul (1.57) este de asemenea mic. Funcţiile cu variaţii rapide au însă ν mare necesitând un număr mare de termeni în polinomul (1.57). Cea mai rapidă frecvenţă de variaţie posibilă a unei funcţii ar fi ν ceea ce corespunde la x = 0, adică f să prezinte discontinuităţi. Cum nu vom putea îndeplini niciodată criteriul Nyquist N pentru funcţii discontinue, interpolarea trigonometrică va avea erori mai mari în asemenea cazuri. Erorile ce apar sunt concentrate în jurul discontinuităţilor, comportare cunoscută sub denumirea de fenomenul Gibbs. Un exemplu faimos al fenomenul Gibbs este aproximarea unui semnal dreptunghiular y(x) = 1 pentru n < x < n + 1/2, y(x) = 1 pentru n + 1/2 < x < n + 1 şi y(n + 1/2) = 0 cu n N, exemplu prezentat în fig Ne aşteptăm aşadar ca interpolarea trigonometrică să fie lent convergentă pentru funcţii discontinue şi rapid convergentă pentru funcţii netede, cu variaţii lente. Să presupunem acum că nu este îndeplinit criteriul Nyquist 7 şi am luat un număr prea mic N < ν de termeni în dezvoltarea (1.57). Ne punem problema dacă coeficienţii a k, b k k N determinaţi prin relaţiile (1.58) sunt corecţi, adică au aceleaşi valori ca în cazul în care criteriul Nyquist ar fi satisfăcut. Răspunsul este negativ. Să refacem calculul anterior ce a furnizat valorile coeficienţilor b k, de data aceasta pentru dezvoltarea Fourier completă a funcţiei f ce are 7 Deoarece funcţia f este în general necunoscută şi ca atare nu cunoaştem frecvenţa ν.

28 1.1. Aproximarea prin interpolare 21 coeficienţii exacţi α k, β k f(x) = 1 2 α 0 + [α k cos(2πkx) + β k sin(2πkx)]. (1.60) k=1 Ca mai înainte, evaluăm (1.60) în x j, înmulţim cu sin 2πmx j şi însumăm de la j = 0 la j = 2N 1. Urmărim doar termenii cu produse de funcţii sinus ceilalţi dau contribuţii nule conform (1.56) 2N 1 j=0 f(x j ) sin 2πmx j = [ 2N 1 ] 2N 1 k=1 β k j=0 (sin 2πkx j sin 2πmx j ) + [ ] 4N 1 k=2n 2(p+1)N 1 k=2pn 2N 1 β k j=0 (sin 2πkx j sin 2πmx j ) [ ] 2N 1 β k j=0 (sin 2πkx j sin 2πmx j ) Însă sin 2π(2pN + k)x j = sin 2πkx j pentru x j = j/(2n). Se obţine aşadar b m = β m + β m+2n + β m+4n +..., altfel spus contribuţiile frecvenţelor mari m + 2N, m + 4N,... apar mascate în coeficientul b m. Fenomenul de mascare 8 impune să urmărim în aplicaţii variaţia coeficienţilor a k, b k la dublarea lui N. Fie a (2N) k, b (2N) k coeficienţii determinaţi folosindu-se 2N puncte şi a (4N) k, b (4N) k coeficienţii determinaţi folosindu-se 4N puncte. Dacă a (2N) k = a (4N) k, b (2N) k = b (4N) k pentru k N atunci numărul de puncte a fost considerat suficient de mare pentru a elimina fenomenul de mascare. Exemplu. Folosind interpolarea trigonometrică să se aproximeze poziţia punctelor situate pe elipsa x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Rezolvare. Ca în orice problemă de aproximare, alegerea variabilelor este importantă. Reprezentarea în coordonate carteziene x, y este dezavantajoasă, conducând la două funcţii y = ±b 1 x 2 /a 2. De aceea se preferă coordonatele polare r, φ sau coordonatele paramametrice r, t. În coordonatele polare x = r cos φ, y = r sin φ, elipsa este dată de funcţia r(φ) = ab [ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ ] 1/2, cu φ [0, 2π]. Funcţia r(φ) are perioada 2π. O aducem la perioada 1 prin transformarea s = φ/2π, r(s) = ab [ a 2 sin 2 2πs + b 2 cos 2 2πs ] 1/2. 8 Comportarea este descrisă deseori prin denumirea din engleză de aliasing.

29 22 1. Aproximarea funcţiilor de o variabilă Figura 1.7: Variaţia erorii relative la interpolarea trigonometrică a unor elipse. Rezultatele pentru reprezentarea parametrică sunt unite cu linii. În reprezentarea parametrică, elipsa este descrisă de x = a cos t, y = b sin t, astfel încât obţinem r(t) = [ a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ] 1/2 cu t [0, 2π]. Aducem funcţia la perioada 1 prin s = t/2π şi avem o a doua reprezentare r(s) = [ a 2 sin 2 2πs + b 2 cos 2 2πs ] 1/2 Vom nota prin g N (s) polinomul trigonometric ce interpolează r(s) în 2N puncte echidistant repartizate în intervalul [0, 1]. Evaluăm calitatea interpolării pentru diverse valori ale lui N = 4, 8,..., 256 prin calculul erorii relative pe o diviziune mai deasă {σ j = j/2048, j 0, 2048} ε N = 4N j=0 r(σ j ) g N (σ j ) / r(σ j ). Presupunem că a = 1 şi vom studia comportarea erorii relative pentru mai multe valori ale lui b, în cele două reprezentări adoptate. Rezultatele sunt prezentate în fig În toate cazurile, interpolarea este convergentă: pe măsură ce N creşte eroarea se aproprie de zero. Cea mai rapidă convergenţă se obţine pentru a/b = 1/2 deoarece funcţia ce descrie elipsa are variaţii lente pe intervalul [0, 1]. Odată cu scăderea raportului a/b, observăm că este nevoie de un număr mai mare de termeni în polinomul trigonometric pentru a se obţine o precizie dată. Elipsa are variaţii rapide în punctele (±1, 0) şi este nevoie de mai mulţi termeni pentru a satisface criteriul Nyquist. În plus, este de aşteptat ca aproximarea să fie afectată şi de fenomenul Gibbs în zona punctelor (±1, 0) variaţiile funcţiilor sunt într-atât de

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Interpolare. O metodă de aproximare. Universitatea,,Babeş-Bolyai. Martie 2011

Interpolare. O metodă de aproximare. Universitatea,,Babeş-Bolyai. Martie 2011 Interpolare O metodă de aproximare Radu T. Trîmbiţaş Universitatea,,Babeş-Bolyai Martie 2011 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 1 / 69 Un spaţiu util Pentru n N, definim

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Noţiuni introductive

Noţiuni introductive Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?

CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă? CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Sisteme de ecuaţii diferenţiale Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Metodele numerice de integrare se clasifică după tipul funcţiei de integrat şi valoarea limitelor de integrare.

Metodele numerice de integrare se clasifică după tipul funcţiei de integrat şi valoarea limitelor de integrare. INTEGRAREA NUMERICĂ 1. SCOPUL LUCRĂRII Prezentarea principiului integrării numerice precum şi a unor algoritmi consacraţi de integrare numerică, implementarea acestora în limbaje de nivel înalt (în particular

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate

Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina i Numerici, 2016-2017 1/60

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Noțiunea de sistem dinamic Clasificări Noțiunea de simulare Un sistem dinamic este o entitate care se caracterizează printr-un mod specific

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα