ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Transcript

1 015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

2 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Περιεχόμεα 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΔΥΟ ΑΚΕΡΑΙΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΡΙΩΝ Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

3 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ α) Οομάζουμε σύολο τω φυσικώ αριθμώ και συμβολίζουμε με το σύολο τω αριθμώ 0,1,... Δηλ = {0,1,,,4,... } και *= {1,,,4,... } β) Στο σύολο τω φυσικώ αριθμώ η εξίσωση x + α = β δε έχει πάτοτε λύση (π.χ. α x + 5=1 τότε x = - 4 που δε αήκει στο ). Έτσι κάουμε επέκταση στο σύολο τω φυσικώ αριθμώ έτσι ώστε η εξίσωση x + α = β α έχει πάτοτε λύση, και δημιουργούμε το σύολο Ζ τω ακεραίω αριθμώ. Δηλ Ζ={0,1,,,... } και Ζ*={1,,,....} γ) Επειδή στο σύολο τω ακεραίω αριθμώ η εξίσωση α x= β δε έχει πάτοτε λύση (π.χ. α x= τότε x=/ που δε αήκει στο Ζ ).Έτσι κάουμε επέκταση στο σύολο Ζ τω ακεραίω αριθμώ έτσι ώστε η εξίσωση α x=β α έχει πάτοτε λύση, και δημιουργούμε το σύολο Q τω ρητώ αριθμώ. Δηλ Q ={α / β, με α Ζ και β Ζ* } δ) Τέλος επειδή η εξίσωση x=α με α Q δε έχει πάτοτε λύση στο Q ( π.χ η εξίσωση x =, δε έχει λύση στο Q, αφού x= Q ).Έτσι κάουμε επέκταση στο σύολο Q τω ρητώ αριθμώ έτσι ώστε η εξίσωση x =α α έχει πάτοτε λύση, και δημιουργούμε το σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Εδώ α πούμε ότι το σύολο -Q οομάζεται το σύολο τω άρρητω αριθμώ και περιέχει αριθμούς όπως τους,, π = , e =,718..., δηλαδή μπορούμε α πούμε ότι το σύολο τω πραγματικώ αριθμώ αποτελείται από τα σύολα τω ρητώ αριθμώ και τω άρρητω αριθμώ. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

4 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τα σύολα τω φυσικώ και τα σύολα τω ακεραίω αριθμώ Για όσα θα ακολουθήσου είαι σκόπιμο α έχουμε υπόψη μας τις ακόλουθες ιδιότητες τω ακεραίω αριθμώ και φυσικώ αριθμώ γιατί με τα σύολα αυτά θα ασχοληθούμε ιδιαίτερα από εδώ και στο εξής 1. Α α,βζ τότε α+β, α-β, α β Ζ a. Α αζ, βζ* τότε το πηλίκο π = δε είαι πάτα ακέραιος αλλά β ρητός αριθμός. Ακέραιος είαι το π ότα το α είαι πολλαπλάσιο του β. Μια δύαμη α, αζ* και Ν είαι α) ακέραιος ότα ο είαι φυσικός αριθμός π.χ, (-) 5,5 0 β) κλασματικός αριθμός ότα α0,+1,-1 και ακέραιος αρητικός π.χ =, - = Οι ακέραιοι χωρίζοται σε σύολα. Τους άρτιους και τους περιττούς. Οπότε α δοθεί έας ακέραιος α αυτός θα είαι άρτιος ( θα έχει τη μορφή α =.κ, κζ ) ή θα είαι περιττός (θα έχει τη μορφή α = κ+1 ή α = κ-1) Παρακάτω υπάρχου κάποιες βασικές σχέσεις που πρέπει α γωρίζουμε για τους άρτιους και τους περιττούς ( Σημ : Οι I, IV, V, VI, VII, IX, X, XII μπορού εύκολα α αποδειχθού σα άσκηση ) I. Το άθροισμα άρτιω αριθμώ είαι άρτιος αριθμός ( +6= 8, = 6) II. Το άθροισμα άρτιου πλήθους περιττώ αριθμώ είαι άρτιος ( =0) ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

5 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ III. Το άθροισμα περιττού πλήθους περιττώ αριθμώ είαι περιττός ( =0) IV. Το άθροισμα ή η διαφορά περιττού και άρτιου είαι περιττός ( 9+8 = 17) V. Το γιόμεο άρτιω είαι άρτιος VI. VII. VIII. Το γιόμεο περιττώ είαι περιττός Το γιόμεο άρτιου με περιττό είαι περιττός Το γιόμεο ακεραίω με έα τουλάχιστο άρτιο παράγοτα είαι άρτιος IX. Α α άρτιος τότε α άρτιος, για Ν* X. Α α περιττός τότε α περιττός για Ν ( για = 0 α 0 =1 περιττός ) XI. Α το γιόμεο ακεραίω είαι περιττός τότε όλοι είαι περιττοί. XII. Εά έχω δυο διαδοχικούς ακέραιους ο έας θα είαι άρτιος και ο άλλος περιττός άρα το γιόμεό τους θα είαι περιττός δηλ κ(κ+1) = ρ, ρζ 5. Α έα γιόμεο παραγότω ακεραίω α1,α,α,.,α είαι ίσο με 1 ή -1 τότε κάθε παράγοτάς του θα είαι ίσος με 1 ή 1 π.χ α β=1 τότε α=β=1 ή α = β= -1 εώ α β = -1 τότε α = 1, β = - 1 ή α = - 1, β = 1 6. Α α, ακέραιοι τότε α > α Α α ακέραιος και α0 τότε α 1 8. Το πλήθος τω ακεραίω μεταξύ τω ακεραίω μ, με μ< είαι -μ+1 Έτσι το πλήθος τω ακεραίω μεταξύ το και του 8 είαι 8-(-)+1 = 1 9. διαδοχικούς ακεραίους τους συμβολίζω α,α+1,α+,.α+-1 πχ 5 διαδοχικούς ακεραίους τους συμβολίζω α,α+1,α+,α+,α Αρχή του ελαχίστου φυσικού ή αρχή καλής διάταξης Κάθε μη κεό υποσύολο του Ν τω φυσικώ αριθμώ περιέχει έα και μοαδικό ελάχιστο στοιχείο ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4

6 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ Μαθηματική ή τέλεια επαγωγή οομάζεται εκείη η αποδεικτική μέθοδος, τη οποία χρησιμοποιούμε για α αποδείξουμε ότι έας ισχυρισμός P(v), ο οποίος εξαρτάται από έα θετικό ακέραιο, ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στη Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής : Έστω P(v) έας ισχυρισμός που ααφέρεται στους θετικούς ακεραίους Α : i) Ο ισχυρισμός ισχύει για = 1 δηλαδή ο Ρ(1) είαι αληθής ii) Α το γεγοός ότι ισχύει για το δηλαδή o Ρ() είαι αληθής δίει ότι ισχύει για +1 δηλαδή ο Ρ(+1) είαι αληθής τότε ο ισχυρισμός ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους Σημείωση : Πολλές φορές πρέπει α αποδείξουμε ότι έας ισχυρισμός Ρ() ισχύει για κάθε μεγαλύτερο ή ίσο από κάποιο ορισμέο φυσικό 0.Στη περίπτωση αυτή το πρώτο βήμα είαι α αποδείξουμε τη αλήθεια του ισχυρισμού για το ακέραιο 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει = (+1) Για =1 : Ισχύει, αφού 1 = 1 (1+1) =1=1 Για = κ : Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση κ = κ(κ+1) [1] Για = κ+1 : Θα δείξουμε ότι ισχύει η σχέση ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 5

7 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Πράγματι (κ+1) = (κ+1)(κ+) [] [ 1] (κ+1) = κ+ (κ+1) κ(κ+1) +(κ+1) = = (κ+1) [(κ+).. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει ( 1)( 1) (1 1)( 11) Για =1 : Ισχύει, αφού 1 = Για = κ : Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση ( 1)( 1) 1... k [1] 6 Για = κ+1 : Θα δείξουμε ότι ισχύει η σχέση ( k 1)( k 11)(( k 1) 1) ( k 1)( k )(k ) 1... ( 1) [] 6 6 Πράγματι 1... ( 1) = 1... k ( 1) ( 1)( 1) +(κ+1) = 6 k( k 1)(k 1) 6( k 1) 6 (*) ( k 1)(k k 6k 6) ( k 1)( k )(k ), άρα δείχθηκε 6 6 [1] ( k 1)[ k(k 1) 6( k 1) = 6 (*) Για το τριώυμο k +7k+6 είαι Δ = (7) - 46 = =1 άρα έχει ρίζες κ 1, = 7 1 οπότε k +7k+6 = (κ+ ) ( κ +)= (κ +)(κ+1). Να αποδείξετε ότι για κάθε 4 είαι > Για = 4 : Ισχύει, αφού 4 > 4 81 >16 Για = κ : Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση k > k [1] Για = κ+1 : Θα δείξουμε ότι ισχύει η σχέση k+1 > (k+1) [] ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 6

8 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Πράγματι k+1 = k [ 1] k Aρκεί λοιπό α δείξουμε ότι κ >(κ+1) κ > κ +κ+1 κ -κ-1 > 0 κ(κ-1) -1 > 0 πράγμα που ισχύει για κ > 4 4. Αισότητα Bernoulli Α α > -1 τότε για κάθε * είαι (1+α) 1+α Για =1 : Ισχύει, αφού (1+α) 1 1+1α 1+α 1 + α Για = κ : Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση (1+α) κ 1+κα [1] Για = κ+1 : Θα δείξουμε ότι ισχύει η σχέση Πράγματι (1+α) κ+1 1+(κ+1) α [] [ 1] (1+α) κ+1 = (1+α) κ (1+α) (1+κα)(1+α) = 1+α+κα+κα = 1+ (κ+1)α+κα >1+(κ+1)α άρα δείχθηκε 5. Να αποδειχθεί ότι για κάθε * είαι > 4 Είαι 7 =(1+6) > 1+6 [1] ( από αισότητα Bernoulli) 9 =(1+8) > 1+8 [] ( από αισότητα Bernoulli) 11 =(1+10) > 1+10 [] ( από αισότητα Bernoulli) Με πρόσθεση κατά μέλη > = +4 > 4 6. Να αποδειχθεί ότι για κάθε * είαι 5 > 5-1 Για = 1 : Ισχύει, αφού 5 1 > >4 Για = κ : Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση 5 k > 5k -1 [1] Για = κ+1 : Θα δείξουμε ότι ισχύει η σχέση 5 k+1 > 5(k+1)-1 5 k+1 > 5 k+4 [] Πράγματι 5 k+1 = 5 k 5 [ 1] (5κ-1) 5 = 5κ -5 9 Aρκεί λοιπό α δείξουμε ότι 5κ-5 > 5κ+4 0κ>9 κ> που ισχύει 0 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 7

9 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 4 7. Να αποδειχθεί ότι για κάθε * είαι ( ) >, 7 4 Για = 7 : Ισχύει, αφού ( ) 7 > >7 1684> Για = κ : Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση 4 ( ) k > k [1] Για = κ+1 : Θα δείξουμε ότι ισχύει η σχέση 4 ( ) k+1 > k+1 [] Πράγματι ( ) k+1 = ( ) k ( ) 4 ( = [ 1] κ ) 4k Aρκεί λοιπό α δείξουμε ότι 4k >κ+1 4κ >κ+ κ> που ισχύει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( 1) 1.1. Έστω ο ισχυρισμός Ρ() : = ισχυρισμοί Ρ(1), Ρ(), Ρ(-1). Να γραφτού οι v( v 1) 1.. Α ισχύει (-) = α υπολογίσετε το άθροισμα (-) + [ (+1)-] 1.. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει ( 1) = 1.4. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει 1 ( 1)... ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 8

10 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.5. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει v( v 1) (-) = 1.6. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει ( 1)( ) 1... ( 1) 1.7. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει ( 1) Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει (-1) + (+1 ) = (+1) 1.9. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει = Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει = 1 (4 1) Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό 1 ισχύει ο αριθμός α = παίρει τη μορφή 9λ για κάθε *, λζ Να αποδείξετε ότι για κάθε * ο αριθμός x = v +56v+ 17 είαι πολλαπλάσιο του Να αποδείξετε ότι για κάθε * είαι ( 1) x ημx+ημx+ +ημx = x x Να αποδείξετε ότι για κάθε * είαι ημx ημx Α α 1,α,.,α είαι θετικοί αριθμοί με α 1α α α = 1 α αποδειχθεί ότι α 1+α + +α για κάθε * Να αποδείξετε ότι για κάθε 4 είαι > Να αποδείξετε ότι για κάθε 4 είαι > Α α < 1 τότε για κάθε * είαι (1-α) 1-α Να αποδειχθεί ότι για κάθε * είαι > Να αποδειχθεί ότι για κάθε * είαι α +β >(α β ), α,β > 1 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 9

11 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.1. Να αποδειχθεί ότι για κάθε είαι 10 (1+)(1+4) 1.. Να αποδειχθεί ότι για κάθε είαι 7 (1+) 1.. Με τη βοήθεια της αισότητας Bernoulli α δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει 1 1 ( ) v v v1 1 1 v Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει +1 > (+1) 1.5. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 4 ισχύει (+1) 1.6. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 4 ισχύει Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του Ν* για τη οποία ισχύει η σχέση >. Στη συέχεια α αποδειχθεί η σχέση για κάθε μεγαλύτερο ή ίσο από τη τιμή που βρέθηκε Μετράμε το αριθμό τω διαγωίω μερικώ πολυγώω: Αριθμός πλευρώ Αριθμός διαγωίω τετράπλευρο ( = 4) 4 ( 4 ) πετάγωο ( = 5) εξάγωο ( = 6) 5 5 (5 ) 9 6 ( 6 ) επτάγωο ( = 7) 14 7 ( 7 ) Ποιος ομίζετε ότι θα είαι ο αριθμός τω διαγωίω εός πολυγώου με πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συμπεράατε με μαθηματική επαγωγή Α α, β ακέραιοι δείξτε ότι (α+β) = α + λβ, λ Ζ και Ν Α α, β ακέραιοι δείξτε ότι (α - β) = (-1) α + λβ, λ Ζ και Ν Α α, β ακέραιοι δείξτε ότι α - β = λ (α β), λ Ζ* και Ν. 1.. Α α, β ακέραιοι δείξτε ότι α +1 - β +1 = λ (α + β), λ Ζ* και Ν.. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 10

12 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.. Α α, β ακέραιοι με α -β δείξτε ότι α + β = λ (α + β), λ Ζ* και περιττός 1.4. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε Ν* ισχύει 4 6 = ( +1) ii) Να δείξετε ότι η ισότητα 4 = ( +1) -1 α αληθεύει για, τότε αληθεύει και για + 1. Μπορούμε α ισχυριστούμε ότι η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε Ν*; Να τη συγκρίετε με τη ισότητα (i) και α δικαιολογήσετε τη απάτησή σας i) Αποδείξτε ότι. ii) Έστω ότι ισχύει για κ το πλήθος ριζικώ, αποδείξτε ότι ισχύει και για κ + 1 πλήθος ριζικώ. Μπορούμε α ισχυριστούμε ότι η παραπάω αισότητα ισχύει για οποιοδήποτε πλήθος ριζικώ; Δικαιολογήστε τη απάτησή σας Να αποδειχθεί ότι: 4 ( -1) για κάθε Ν με Να αποδείξετε ότι για κάθε Ν* ισχύει: (+1)(+)( ) α) 1 4 (+1)(+) 4 β) 4 6 ( ) ( +1) 1.8. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο αριθμός v 4 5 x = v είαι ακέραιος Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο ο αριθμός x = v 1 ;έχει τελευταίο ψηφίο το 7 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 11

13 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Θεώρημα της Ευκλείδειας διαίρεσης Α α, β ακέραιοι αριθμοί με β 0 τότε υπάρχού μοαδικοί ακέραιοι π και υ τέτοιοι ώστε α = π β + υ με 0 υ β. Η διαδικασία εύρεσης τω π και υ λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση του α με το β. Το π οομάζεται πηλίκο της ευκλείδειας διαίρεσης και το υ υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης. Παρατηρήσεις Π.1. Το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης είαι πάτα μη αρητικός Π.. Α υ = 0 τότε η ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέλεια. Π.. Το υπόλοιπο υ της ευκλείδειας διαίρεσης είαι μικρότερο από τη απόλυτη τιμή του διαιρέτη β. Οπότε τα πιθαά υπόλοιπα της διαίρεσης α : β είαι τα 0,1,,..., β - 1. π.χ τα πιθαά υπόλοιπα της διαίρεσης 9 : (-4) είαι υ = 0,1,, Π.4. Κάθε ισότητα της μορφής α=κ β+λ δε υποδηλώει τη Ευκλείδια διαίρεση του α με το β αφού πρέπει 0 λ β.π.χ η ισότητα 7 = 1+1 δε υποδηλώει τη Ευκλείδια διαίρεση του 7 με το 1 αφού πρέπει δε ισχύει Π.5. Α με οποιοδήποτε τρόπο έας ακέραιο γραφεί στη μορφή α=β κ +x με 0 x β τότε ή ισότητα α=β κ+x ατιπροσωπεύει τη Ευκλείδια διαίρεση του α με το β Π.6. Εά έχω Eυκλείδεια διαίρεση εός ακεραίου α με β= τότε τα πιθαά υπόλοιπα είαι υ = 0,1. Εά υ = 0 τότε α =.π π Ζ και οομάζεται άρτιος. Εά υ = 0 τότε α =.π+1 π Ζ και οομάζεται περιττός. Ιδιότητες για τους άρτιους και τους περιττούς είδαμε στη εισαγωγή. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

14 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Π.7. Εά θέλω α δείξω ότι έας ακέραιος είαι άρτιος πρέπει α το φέρω στη μορφή α = κ (κζ ) ( η κάω χρήση τω βασικώ σχέσεω. Βλέπε βασικές εφαρμογές ) π.χ ο α= 4 λ ++10λ, λ Ζ είαι άρτιος αφού α= ( 4 λ + +10λ ) = κ με κ = 4 λ + +10λ Ζ Π.8. Εά θέλω α δείξω ότι έας ακέραιος είαι περιττός πρέπει α το φέρω στη μορφή α = κ +1 (κζ ) ( η κάω χρήση τω βασικώ σχέσεω. Βλέπε βασικές εφαρμογές) π.χ ο α= 8λ + 5, λ Ζ είαι περιττός αφού α = 8λ+4+1 = ( 4λ+) +1 =κ+1 με κ= 4 λ+ Ζ Π.9. Εά θέλω α δείξω ότι μια παράσταση είαι ακέραιος αρκεί α δείξω ότι δε γράφεται σε κλασματική μορφή ή α δείξω ότι γράφεται σα γιόμεο ή άθροισμα ακεραίω ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Το γιόμεο δυο διαδοχικώ ακεραίω είαι άρτιος Έστω α,α+1 δυο διαδοχικοί ακέραιοι τότε Α α άρτιος τότε α= κ, κζ α(α+1) = k (k 1) = λ άρα άρτιος Α α περιττός τότε α= κ+1, κζ α(α+1)=(κ+1) (κ+1+1)=(κ+1) (κ+)= (k )( k 1) =λ άρα άρτιος λ λ. Το τετράγωο κάθε περιττού ακεραίου α είαι της μορφής α = 8λ+1, λζ ή α = 4λ+1, λζ Α α περιττός τότε α= κ+1, κζ άρα α =(κ+1) = 4κ +4κ+1= 4k ( k 1) 1=4 λ+1=8λ+1 λ. Α ο ακέραιος α δε είαι πολλαπλάσιο του τότε ο α είαι της μορφής λ+1, λζ Αφού ο α δε είαι πολλαπλάσιο του άρα α ο α διαιρεθεί με το θα αφήει υπόλοιπο 1 ή ( όχι 0 δηλαδή) Άρα α=κ+1 ή α=κ+ Α α=κ+1 τότε α = (κ+1) =9κ +6κ+1 = k (k ) 1=λ+1 λ Α α=κ+ τότε α = (κ+) =9κ +6κ+4=9κ +6κ++1= (κ κ 1) 1=λ+1 λ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

15 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 4. Να δείξετε ότι το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το Αυτή η άσκηση θα μπορούσε α διατυπωθεί και ως εξής α( α 1)( α ) " Να δείξετε ότι ο αριθμός Α= Ζ" Σε τέτοιες περιπτώσεις επειδή έχουμε διαιρεση με το (παροομαστής) διακρίω τις περιπτώσεις κ(κ 1)(κ ) α) α=κ τότε Α= κ(κ 1)(κ ) Ζ β) α=κ+1τότε Α= (k 1)(k )(k ) (k 1)(k )( k 1) (k 1)(k )( k 1) Ζ γ) α=κ+1τότε Α= (k )(k )(k 4) (k 1)( k 1)(k 4) (k 1)(k 4)( k 1) Ζ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να γίει η ευκλείδεια διαίρεση του με το 7 άρα = Άρα π = 4 και υ = 5 >0. Να γίει η ευκλείδεια διαίρεση του με το -7 7 Κάω τη ευκλείδεια διαίρεση του με το 7 είαι άρα 5 4 = Όμως = (-7)(-4) +5 ( Το κάω αυτό γιατί θέλω α εμφαίσω το β = - 7 ). Άρα π = - 4 και υ = 5. Να γίει η ευκλείδεια διαίρεση του - με το 7 Είαι = = ( Το κάω αυτό γιατί θέλω α εμφαίσω το α = - ) - = 7(-4) - 5 (επειδή υ= -5 < 0 προσθέτω και αφαιρώ στο β μέλος το β= 7) - = 7(-4) = 7( - 4-1) + - = 7(-5) +. Άρα π = - 5 και υ = >0 4. Να γίει η ευκλείδεια διαίρεση του - με το 7 Είαι = = = (-7)4-5 - = (-7) = (-7) ( 4+1) + - = (-7) 5 +. Άρα π = 5 και υ = >0 5. Έστω α,β Ζ και Ν*. Α οι α, β διαιρούμεοι με το αφήου το ίδιο a β υπόλοιπο α δείξετε ότι ο αριθμός είαι ακέραιος. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 14

16 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Από τη υπόθεση α = κ +υ και β = λ +υ άρα α-β = (κ +υ)-(λ +υ) α β = κ +υ-λ -υ = (κ-λ), άρα α-β = (κ-λ) = κ-λ. Όμως ο κ-λ Ζ ως διαφορά ακεραίω. 6. Έστω α,β,γ Ζ με γ 0. Α α-β = λ γ με λ Ζ α δείξετε ότι οι αριθμοί α και β διαιρούμεοι με το γ δίου το ίδιο υπόλοιπο. Έστω ότι υπάρχου κ 1, κ Ζ με α = κ 1 γ + υ 1 και β = κ γ + υ. Θέλω α δείξω ότι υ 1=υ Όμως α - β = λ γ α = β + λ γ α = κ γ + υ +λγ α = ( λ+ κ ) γ+υ. Άρα υ 1=υ. 7. Να βρεθού οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι διαιρούμεοι με το 5 δίου πηλίκο και υπόλοιπο ίσους ακέραιους αριθμούς Έστω α > 0 τότε από τη εκφώηση θα είαι α = 5. π + υ με π = υ και 0 υ < 5.Άρα α = 5. π + π με 0 π < 5. Έτσι α= 5(π+1) με 0 π < 5. Δηλαδή π = 0,1,,,4. Για π= 0 α = 5. Για π= 1 α = 10. Για π= α = 15. Για π= α = 0. Για π= 4 α = 5. Τελικά α = 5 ή 10ή 15 ή 0 ή 5 8. Το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας διαίρεσης α: β είαι ατίστοιχα 8 και 11. Να βρεθού οι α και β εά γωρίζουμε ότι α <150 Από τη εκφώηση είαι α = 8 β +11 με υ =11 < β. Όμως α < 150. Άρα 8 β+11<150 8 β < 19 β < Έτσι 11 < β < άρα και αφού βζ είαι β = 1,1,14,15,16,17.οπότε α = 107, 115, 1, 11, 19, Α α, β, γ είαι περιττοί ακέραιοι τότε η εξίσωση αχ +βχ+γ=0 δε έχει ακέραιες λύσεις Έστω ότι έχει ακέραια λύση x.τότε ή x=κ ( άρτιος) ή x=κ+1 ( περιττός) Είαι Α x άρτιος τότε x άρτιος οπότε αx άρτιος, βx άρτιος, γ περιττός Άρα αχ βχ γ = περιττός Άτοπο αφού αx +βx+γ = 0 ( = άρτιος ) ό Α χ περιττός τότε x περιττός οπότε αx περιττός, βx περιττός, γ περιττός Άρα αχ βχ γ = περιττός Άτοπο αφού αx +βx+γ=0 ( = άρτιος ) ό ό 10. Μπορεί ο αριθμός 5 α γραφεί σα άθροισμα 10 προσθετέω καθέας από τους οποίους α είαι ίσος με 1 ή ή 5 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 15

17 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Από τη βασική σχέση είαι Το άθροισμα άρτιου πλήθους περιττώ αριθμώ είαι άρτιος. Επειδή οι 1,, 5 είαι περιττοί το άθροισμα 10 τέτοιω προσθετέω θα είαι άρτιος. Όμως ο 5 είαι περιττός άρα δε γίεται. ( ) ( 4) 11. Α ο α είαι περιττός ακέραιος α δείξατε ότι 1 ( ) ( 4) Ο α είαι περιττός ακέραιος άρα α = κ+1,κζ άρα 1 ( 1) ( 1 ) ( 1 4) 1 = = 1 1 1( ) Ζ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ' ΟΜΑΔΑ 1 Ζ 1 =.1. Α π και υ είαι το πηλίκο και το υπόλοιπο ατίστοιχα της διαίρεσης του α δια του β > 0, τότε α βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του -α δια - β... Έστω α = βκ + υ, 0 υ < β, β 0. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α + λβ) με το β είαι πάλι υ... Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις α) α =11, β =85 β) α =-145, β = 1 γ) α =117, β = -7 δ) α =-9, β = -1 ε) α =0, β =-.4. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είαι άρτιοι ή περιττοί κ+ κ +, κ, Ν..5. Α α, β είαι άρτιοι και γ,δ είαι περιττοί,α εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είαι άρτιοι ή περιττοί α+β γ+δ αβ γδ α+γ α+ β 5 γ+7δ α β 000 γ Α α = 7κ+ τότε α βρεθεί το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το 7 16 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

18 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ.7. Α α = λ+1 τότε α βρεθεί το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το 8.8. Να βρεθεί το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α = 4 +1 με το..9. Α η διαίρεση του ακεραίου α με το δε είαι τέλεια α δείξετε ότι ο α διαιρούμεος με το δίει υπόλοιπο Α α = κ+, β = 6κ+7 α αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού β-α με το 10 είαι το..11. Να βρείτε ποιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί ότα διαιρεθού με το δίου πηλίκο διπλάσιο του υπολοίπου..1. Να βρεθού οι ακέραιοι οι οποίοι ότα διαιρούται με το 1 δίου πηλίκο ίσο με το υπόλοιπο..1. Για το ακέραιο α το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 1 είαι 7. Να βρείτε τα υπόλοιπα τω διαιρέσεω α : α : 4 α : Έας ακέραιος κ διαιρούμεος με το 4 δίει υπόλοιπο 1. Να αποδείξετε ότι η διαίρεση του α =κ +κ+1 με το 4 είαι τέλεια..15. Ο αριθμός 60 διαιρούμεος με το θετικό ακέραιο δ δίει πηλίκο π και υπόλοιπο 1. Να βρεθού οι δυατές τιμές τω δ και π..16. Α α= κ+, κζ α δείξετε ότι η διαίρεση (α α ) : 7 είαι τέλεια..17. Να δείξετε ότι η διαφορά τω κύβω διαδοχικώ ακεραίω είαι περιττός αριθμός.18. Α α, β, γ Ζ με γ0.και α-β= λγ, λζ α δείξετε ότι οι αριθμοί α, β διαιρούμεοι με το γ δίου το ίδιο υπόλοιπο..19. Να βρεθεί ο ακέραιος α ο οποίος α διαιρεθεί με το 7 δίει υπόλοιπο ίσο με το τετράγωο του πηλίκου.0. Η διαίρεση εός ακεραίου α με το 65 δίει πηλίκο έα άρτιο αριθμό λ και υπόλοιπο λ. Ποιες τιμές μπορεί α πάρει ο α;.1. Α η ευκλείδεια διαίρεση του α με το 5 δίει υπόλοιπο και η ευκλείδεια διαίρεση του β με το 5 δίει υπόλοιπο 4 α βρεθεί το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α+β με το 5.. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος ακέραιος δ, ο οποίος ότα διαιρεί το 85 αφήει υπόλοιπο 8 και ότα διαιρεί το 977 αφήει υπόλοιπο 5... α) Να δείξετε ότι κάθε ακέραιος είαι της μορφής κ ή κ + 1 (κ Z). ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 17

19 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ β) Για κάθε ακέραιο α ισχύει: α = 4κ ή α = 4κ + 1. γ) Για κάθε ακέραιο α δείξτε ότι ο αριθμός α + α + 1 είαι περιττός..4. Να αποδείξετε ότι α διαιρέσουμε το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω με το το υπόλοιπο είαι 0 ή.5. Α α έας ακέραιος αριθμός α δείξετε ότι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το 5 μπορεί α είαι 0 ή 1 ή 4.6. Να αποδείξετε ότι α το τετράγωο εός ακεραίου α διαιρεθεί με το 4, τότε το υπόλοιπο είαι 0 ή Σε μια Ευκλείδια διαίρεση θετικώ ακεραίω το πηλίκο είαι 7 και το υπόλοιπο 5. Να βρείτε το διαιρετέο και το διαιρέτη α είαι γωστό ότι ο διαιρετέος είαι μικρότερος κατά 5.8. Έστω α,β φυσικοί αριθμοί με α>β. Α το άθροισμά τους είαι 661 και η ευκλείδεια διαίρεση του α με το β δίει πηλίκο 75 α βρείτε τους α,β.9. Να δείξετε ότι ο αριθμός (5 x+)( x+7) είαι άρτιος.0. Να δείξετε ότι ο αριθμός ( x+)(x + 5) είαι άρτιος.1. Εά δύο ακέραιοι αριθμοί έχου διαφορά άρτιο και γιόμεο άρτιο αριθμό α αποδείξετε ότι είαι και οι δύο άρτιοι... Να δείξετε ότι το γιόμεο δυο διαδοχικώ αρτίω είαι πολλαπλάσιο του 8 (δηλ είαι της μορφής 8λ, λζ. ).. Να αποδείξετε ότι κάθε περιττός φυσικός αριθμός διάφορος του 1 μπορεί α τεθεί με τη μορφή διαφοράς δύο τετραγώω διαδοχικώ φυσικώ αριθμώ..4. Να δείξετε ότι το γιόμεο τριώ διαδοχικώ ακεραίω είαι πολλαπλάσιο του 6.5. Να αποδείξετε ότι το τετράγωο κάθε ακεραίου είαι της μορφής 5λ ή 5λ+1 ή 5λ Να δείξετε ότι το γιόμεο τεσσάρω διαδοχικώ ακεραίω είαι πολλαπλάσιο του 8.7. Α α είαι περιττός ακέραιος α δείξετε ότι.8. Α α είαι περιττός ακέραιος α δείξετε ότι α 1 Ζ 8 α 4 1 Ζ 16 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 18

20 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ.9. Α α, β Ζ και α β = α δείξετε ότι ο αριθμός α 4 +β 4 - διαιρείται με το Να εξετασθεί εά ο αριθμός 75 μπορεί α γραφεί σα άθροισμα 0 προσθετέω καθέας από τους οποίους α είαι ίσος με 1ή ή 5ή 7 ή 9. α( α 1)(α 1).41. Α α Ζ α δείξετε ότι ο αριθμός Α= είαι ακέραιος. 6 α( a 1).4. Α α Ζ α δείξετε ότι ο αριθμός Α= είαι ακέραιος. α a.4. Α α Ζ α δείξετε ότι ο αριθμός Α= είαι ακέραιος Α α Ζ α δείξετε ότι ο αριθμός Α= a a διαιρείται με το 5 a a Α α Ζ α δείξετε ότι ο αριθμός Α= a είαι ακέραιος Α α Ζ α δείξετε ότι ο αριθμός Α= a 1 δε είαι ακέραιος..47. Για ποιες τιμές του κ ( ζητείται η μορφή τους) ο αριθμοί Α= k 1 Β= k Να βρεθού οι ακέραιοι ώστε ο αριθμός k 4 Γ= είαι ακέραιοι; 1 α είαι ακέραιος Α α, β, γ είαι περιττοί ακέραιοι α δείξετε ότι η εξίσωση ax βx γ 0 δε έχει ακέραιες ρίζες. Β ' ΟΜΑΔΑ.50. Να δείξετε ότι δε υπάρχει ακέραιος περιττός χ τέτοιος ώστε x = (Υπόδειξη : Ξέρουμε ότι ά χ περιττός ακέραιος τότε x = 8λ+1).51. Α α = , Ζ α βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το..5. Υπάρχου α και β ακέραιοι ώστε α +β =. 4 a.5. Α α άρτιος α δείξετε ότι ο αριθμός β= 8 μπορεί α γραφεί σα άθροισμα τετραγώω δυο ακεραίω. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 19

21 . ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ.54. Α α,β,χ ακέραιοι και α - β άρτιος α δείξετε ότι ο αριθμός γραφεί σα άθροισμα τετραγώω δυο ακεραίω..55. Να αποδείξετε ότι α για το ακέραιο χ ισχύει a β μπορεί α x 1 x 1 Ζ τότε και Ζ.56. Α κ φυσικός αριθμός α δείξετε ότι ο αριθμός α= 4k είαι άρρητος (απαγωγή σε άτοπο).57. Δίοται οι ακέραιοι α, β με α> β.τα υπόλοιπα τω διαιρέσεω α : ( α-β) και β: ( α-β ) είαι ίσα. Να δείξετε ότι τα πηλίκα τους διαφέρου κατά 1 μοάδα..58. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού α= με το.59. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού α = με το Α α= 5 1 α βρεθεί το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το 7. Υπόδειξη 5 1 = ( ) 8 1 = Βρείτε τους θετικούς ακέραιους α,β,γ με 0α<6 και 0β< έτσι ώστε α+6β+18γ=45.6. Βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α,β,γ,δ με α<1 και β<6, γ<5 έτσι ώστε α+4β+4γ+10δ= Να δείξετε ότι κάθε ακέραιος α της μορφής α= 4λ+ παίρει τη μορφή α =κ+1. Ισχύει το ατίστροφο; ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0

22 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ορισμός Δίοται δυο ακέραιοι α,β με β0. Τότε λέμε ότι ο ακέραιος α διαιρεί το β και συμβολίζουμε α / β ότα η διαίρεση β: α είαι τέλεια. Αυτό σημαίει ότι υπάρχει λ Ζ τέτοιος ώστε β = λ α Δηλαδή έχουμε ότι β / α α = λ β για κάποιο λζ. Η ΕΚΦΡΑΣΗ Α / Β ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ Ο Β ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΤΟΥ Α Ο Β ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΟΥ Α Ο Α ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ ΜΕ ΤΟΝ Β Ο Α ΕΙΝΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΤΟΥ Β ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΖΟΥΜΕ Α = ΠΟΛ.Β. Ότα ο β δε διαιρεί το α τότε γράφουμε α / β ή ότι α πολ.β ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1. Α α, βζ και β0 με β /α τότε ( β) / α Πράγματι β / α α = λ βα = (-λ) (-β) (-β) /α.. 1/α Για κάθε αζ. α / α Για κάθε αζ 4. Α α, βζ και κζ* τότε α β / α έχουμε ότι κ β/κ α. 5. Α α, βζ και κζ* τότε α κ β/ κ α έχουμε ότι β/α. 6. β/0 Για κάθε βζ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. Α α,β,γ ακέραιοι αριθμοί. Ισχύου ότι 1. α/β και β/α τότε α = β. α/β και β/γ τότε α/γ. α/β και λζ τότε α/ λβ ( Άρα και α/β α/β = β β και α/β ) 4. α/β και α/γ τότε α/(βγ) 5. α/β και α/γ και κ, λ Ζ τότε α/ (κβ+λγ) ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

23 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 6. α/β και β0 τότε α β 7. α/β και γ/δ τότε α γ/β δ (Να αποδειχθεί ) 8. βγ/α τότε β/α και γ/α (Να αποδειχθεί ) 9. α/(β+γ) και α/γ τότε α/β (Να αποδειχθεί ) Τέλος γωρίζουμε από τη άλγεβρα ότι Α περιττός τότε α +β -1 1 = ( α+β) (α α β... β ) = λ (α+β) λ Α φυσικός τότε α -β -1 1 = (α-β) (α α β... β ) = λ (α-β) λ Άρα α +β = πολ (α+β) [10] και α -β = πολ.(α-β) [11] Σημ : Οι παραπάω σχέσεις αποδεικύοται κα με επαγωγή (αφήεται σα άσκηση) Επίσης μπορούμε επίσης με τη μέθοδο της επαγωγής α αποδείξουμε τις παρακάτω αρκετά χρήσιμες σχέσεις. (α+β) = α πολ.β [1] και (α-β) = α πολ.β [1] Πράγματι η [1]: Για =1 Για =κ ισχύει αφού (α+β) 1 = α+β =α 1 +1 β υποθέτω ότι ισχύει δηλαδή ( α+β) κ =α κ + μ β, μζ Για = κ + 1 θα δείξω ότι ισχύει δηλαδή ( α+β) κ+1 =α κ+1 + λ β, λζ Είαι (α+β) κ+1 = (α+β) κ (α+β) = (α κ +μ β ) (α+β) = α κ+1 +β α κ +μ α β+μ β = α κ+1 + β ( α κ +μ α + μ β ) = α κ+1 +λ β, με λ = α κ +μ α + μ β. Προσοχή δέ ισχύου οι ιδιότητες 1. α/β γ τότε α/β ή α/γ ( 8/6 4 αλλά 8 /6 και 8/4). α/β γ και α / β τότε α/γ ( 6/ 15 αλλά 6 / και 6/ 15. α/γ και β/γ τότε α β / γ ( 4/16 και 8/16 αλλά / 16 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

24 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Α α,β,γ Ζ και γ/(5 α + 17 β) και γ/ ( α+7 β ) α δείξετε ότι γ/α Αφού γ/(5 α + 17 β) άρα γ/ 7 (5 α + 17 β) [1],ακόμη αφού γ/ ( α+7 β ) άρα γ/ 17 ( α+7 β ) [] Έτσι : γ / 7 (5 α + 17 β) - 17 ( α+7 β ) γ/ 5 α β 14 α -119 β γ / α ( Όμοια α δειχθεί ότι γ / β ) Σε πολλές περιπτώσεις διαιρετότητας χρησιμοποιούμε τη συμπλ. ιδιότητα 5 του γραμμικού συδυασμού. Α α, β ακέραιοι με β/α και β> α δείξετε ότι ο β δε διαιρεί το α+ Έστω β/α+ τότε αφού β/α θα είαι β/α+-αβ/ άτοπο αφού β>. Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο ότι ισχύει = πολ9 Είαι ( με επαγωγή ) Για = 1 είαι = 9 = πολ9 Για =κ υποθέτω ότι ισχύει δηλαδή 4 κ +6 κ-1= πολ9 = λ 9 ( άρα 4 κ = 9 λ -6 κ+1 ) Για =κ+1 θα δείξω ότι ισχύει δηλαδή 4 κ+1 +6 (κ+1)-1= πολ9 = μ 9 Πράγματι : 4 κ+1 +6 (κ+1)-1 = 4 κ 4 +6 κ+6-1 = (9 λ -6 κ+1) 4 +6 κ+6-1 = 4 9 λ - 4 κ k+5 = 4 9 λ -18 κ +9 = 9 ( 4 λ - κ + 1) = πολ Να βρείτε τις θετικές τιμές του ακεραίου α για τις οποίες είαι α/α +6 Είαι a / a a / a 6 a α / 6 α=1 ή α= ή α= ή α=6 a / a 6 5. Να βρείτε τις θετικές τιμές του ακεραίου α για τις οποίες είαι α-1 / α +6 Είαι a 1/ a 6 a 1/ a 6 α/α +6 α +1 a 1/ a 1 a 1/( a 1)( a 1) a 1 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

25 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ α / 7 α =1ή α=7 6. Α α, β Ζ και / (5 α+4 β ) α δείξετε ότι / ( α +7 β ) / 5a 4β / 5a 4β / 5a 4β / 4(5a 4β) Είαι / / ( α β) / α β / α β / ( α+ β ) -4 (5 α +7 β ) / α + 7 β 7. Να δείξετε ότι = πολ11 Είαι = ( 5 ) = = [ 10] πολ (+1) = πολ = πολ Α α και β ακέραιοι και β/α, β> α δείξετε ότι β / (α+) Έστω ότι β/α+ τοτε αφού β/α θα είαι β/α+-α β/ άτοπο αφού β> 9. Να αποδείξετε ότι α) το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το 6.[ 6/α(α+1)(α+)] β) 6/α(α+1)(4α+14) α) Για το ερώτημα αυτό θα δουλέψουμε όπως μάθαμε στη παράγραφο 1 του παρότος κεφαλαίου διακρίοτας περιπτώσεις για το α. α= 6κ+υ, υ = 0, 5 Ισχύει λοιπό ότι 6/α(α+1)(α+) β) Είαι α(α+1)(4 α+14) =α(α+1)[(α +8)+6] = α(α+1)( α+8) +α(α+1) 6 = 4α(α 1)(α ) 6α(α1) =4 6λ+6μ=6 (4λ μ) = 6ρ =πολ6, άρα 6/α(α+1)(4α+14) 6λ 6μ ρ 10. Α α Ζ και /α α δείξετε ότι 6/( α 1) Είαι Α α=0 τότε ισχύει Α α 0 τότε αφού /α άρα α=λ, οπότε α -1 = λ -1=( ) λ -1 = 7 λ -1 = πολ (7-1) = πολ6 άρα 6/( α 1) 11. Έστω α,β Ζ και 7/ α + 4 β α δείξετε ότι 7/4 α+ β Είαι 7 / α 4β 7 / α 4β 7 / 7 α+7 β-( α+4 β)7/4 α+ β 7 / 7( α β) 7 / 7α 7β) 1. Α α θετικός ακέραιος και α / +1 και α / - α βρεθεί ο α ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4

26 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 5 1 /1 1 / / 1 / / / 1 / / 1) ( / 1 / / 1 / / / 1 / 1) ( / / 1 / / 1 / α α α α a α α a α α a α a α α a α α a α a ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑ.1. Να αποδείξετε ότι το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το... Να αποδείξετε ότι το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το... Να αποδείξετε ότι το γιόμεο 5 διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το Να αποδείξετε ότι το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το..5. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το..6. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 4 διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 5 διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το Να αποδείξετε ότι μεταξύ κ διαδοχικώ ακεραίω α, α+1, α+,,α + κ 1, υπάρχει έας ο οποίος διαιρείται με το κ..9. Nα αποδείξετε ότι από διαδοχικούς περιττούς ακεραίους υπάρχει έας ο οποίος διαιρείται με το [ Υπόδειξη: θεωρείστε τους κ+1,κ+, κ+5 και εξετάστε τις περιπτώσεις κ=λ,κ=λ+1, κ=λ+ ].10. α) Να αποδείξετε ότι το γιόμεο διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το 6 β) Να αποδείξετε ότι 6/ α(α+1)(4 α+14 ) γ) Να αποδείξετε ότι 6/ α(α+1)( α+1 ) δ) Να αποδείξετε ότι 6 / α(α+1)(α+5 ) ε) Να αποδείξετε ότι 6 / α +6 α +11 α + 6 στ) Να αποδείξετε ότι 6/ α +5 α. [Υπόδειξη: α +5α=α +α 6α =. ] ***

27 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ.11. Α α, β περιττοί ακέραιοι α δείξετε ότι 8 / α -β..1. Έστω α, β δύο ακέραιοι που δε είαι πολλαπλάσια του. Να δείξετε ότι το άθροισμα α + β ή η διαφορά α - β διαιρείται με το..1. Α τα ψηφία εός τριψήφιου αριθμού είαι διαδοχικοί αριθμοί, αποδείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με το..14. Εά = 1 + πολ5 α αποδείξετε ότι: = πολ5.15. Εά = + πολ5 α αποδείξετε ότι: α) + 1 = πολ5 β) + = πολ5.16. Α = + πολ5 ή = 1 + πολ5, α αποδείξετε ότι ο 5 διαιρεί το ***.17. Να αποδείξετε ότι 5 / 5 - για κάθε ακέραιο..18. Να αποδείξετε ότι /α (α +) για κάθε ακέραιο α..19. Να αποδείξετε ότι /α (α+1) (7 α+1) για κάθε ακέραιο α0..0. Να βρεθεί η τιμή τω ακεραίω κ ώστε ο αριθμός α=κ -1 α διαιρείται με το ***.1. Α α, β Ζ α δείξετε ότι : α 7 / 45+α και 7/ -β τότε 7 / α+β... Α 7/α+ και 7 / 4-β α δείξετε ότι 7/α+β, α, β Ζ.. Α 7/α+5 και 7 / β+47 α δείξετε ότι 7/α - β, α, β Ζ.4. Α α, β Ζ α δείξετε ότι : α 11 / 5 α+6 β 11 / 6 α+5 β..5. Α α, β Ζ α δείξετε ότι α 7 / α + β τότε 7 / 17 α + β.6. Α α, β Ζ α δείξετε ότι α 17 / α + β τότε 7 / 9 α + 5 β.7. Α α, β Ζ α δείξετε ότι α / α +8 β τότε / 4 α + β.8. Α α, β Ζ α δείξετε ότι α / 5 α +4 β τότε / α +7 β.9. Α α, β Ζ α δείξετε ότι α 7 / α - 5 β τότε 49 / (α+ β) (α -11 β).0. Α x, y Ζ α δείξετε ότι α 17 / 5 x + y τότε 17 / x + 11 y.1. Α x, y Ζ α δείξετε ότι α 1 / x + y τότε 1 / x +5 y.. Α x, y Ζ α δείξετε ότι α 11 / x +5 y τότε 11 / 7 x + y.. Α α,βζ και 1 / 8 α+5 β α δείξετε ότι 1/5 α+8 β.4. Α α,β,γ,δ,κ,λ Ζ α δείξετε ότι α λ / γκ+δ και λ ακ+β τότε λ / (αδ-βγ )..5. Α δ / ++1 και δ/ α δείξετε ότι δ=1 ή δ = Α δ,ν* και δ / 5 + και δ/8 +5 α δείξετε ότι δ=1. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 6

28 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ.7. Α δ Ν* και δ / 4κ+ και δ/ κ + κ, κζ α δείξετε ότι α) Οι αριθμοί 4κ+ και κ +κ είαι άρτιοι β) δ =.8. Α Ζ α δείξετε ότι το κλάσμα 1 δε απλοποιείται 1.9. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος φυσικός ο οποίος διαιρεί ταυτοχρόως τους αριθμούς α = ++ και β = Α α,βζ και / ( α +β) και / ( 5 α+ β ) α δείξετε ότι 9/α β [Υπόδειξη: αποδείξτε ότι /α και /β ].41. Α α,β,γ Ζ και γ/5 α+17 β και γ/ α+7 β α δείξετε ότι γ/α και γ/β.4. Α α,β,γ Ζ και γ / α και γ / (α+β) α δείξετε ότι α) γ / α +β β) γ / β. ***.4. Να βρεθού οι φυσικοί αριθμοί α για τους οποίους α+/α Να βρεθού οι φυσικοί αριθμοί α για τους οποίους α+1/ α Α α και β ακέραιοι και β / α +1 και β / 4 α α βρεθού οι πιθαές τιμές του β..46. Α α και β ακέραιοι και Α α / 5 β και α/ β+8 α βρεθού οι πιθαές τιμές του β..47. Α α και β ακέραιοι και Α β / 4 α +1 και β / α α βρεθού οι πιθαές τιμές του β..48. Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους α, β με α - β = 6. ***.49. Να διαπιστώσετε ότι ο αριθμός 4-1 για = 1,,, 4 είαι πολλαπλάσιο του 15. Να αποδείξετε με μαθηματική επαγωγή ότι 4-1 = πολ15, Ν*. Υπάρχει άλλος τρόπος απόδειξης;.50. Να αποδείξετε ότι με επαγωγή τα παρακάτω α) = πολ1 β) = πολ19 γ) 16 / δ) 6/( +5) ε) 7/ στ) 6 / ζ) 9 / η) Α άρτιος 48/ Να αποδείξετε χωρίς επαγωγή ότι 1 / (Απ α= 1 6 ) ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 7

29 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ.5. Να αποδείξετε χωρίς επαγωγή ότι α) 1 / β) = πολ9 = πολ45 γ) 7 / δ) +7 = πολ 8 ε) 6 / Για κάθε Ν*, α αποδείξετε ότι = πολ Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είαι πολλαπλάσιο του για κάθε Ν*..55. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είαι πολλαπλάσιο του 6 για κάθε Ν, με..56. Για κάθε Ν* α αποδείξετε ότι ισχύει: ( + 1) ( + ) ( + ) ( - 1) = πολ.57. Να δείξετε ότι : α) Α = κ α δείξετε ότι / 1, κ* β) Α = 4κ α δείξετε ότι 15 / -1, κ*.58. α) Να δείξετε ότι = πολ = πολ= πολ6. β) Να δείξετε ότι i) v / 1 ii) v 7/ 1,, >1,, >1 v iii) 6/ v 1,, >1 Β ' ΟΜΑΔΑ.59. Να αποδείξετε ότι α) α / (β+γ) και α/γ τότε α/β β) β γ/α τότε β/α και γ/α γ) α/β και γ/δ τότε α β/γ δ γ) Α / 4α α δείξετε ότι /α, α Ζ δ) Α α - β+8 γ=0 α δείξετε ότι 6/ β (α+γ) ε) Α 15 α +9 β 4 γ=0 α δείξετε ότι 1/ γ ( α+β) στ) Α α,β,γ Ζ με α 10 β γ= 0 και 11/ β γ α δείξετε ότι 11/α. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 8

30 . ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ.60. Α το άθροισμα ακεραίω είαι άρτιος α δείξετε ότι η διαφορά τω τετραγώω τους είαι πολλαπλάσιο του Α α,β περιττοί ακέραιοι α δείξετε ότι 16/ α 4 +β 4.6. Α α,β,γζ α δείξετε ότι ο Α= ( a β)( β γ)( γ α) είαι ακέραιος.6. Να βρείτε τις τιμές του ακεραίου α 1, -1 για τις οποίες ο αριθμός 4a a 1 1 είαι ακέραιος..64. Α / α α δείξετε ότι /α [Υπόδειξη: θεωρείστε ότι ο δε διαιρεί το α άρα α = κ+1.].65. Α α, β ακέραιοι με β> και β/α +1 α δείξετε ότι ο β δε διαιρεί το α 4 +1 [Υπόδειξη: Έστω β / α 4 +1 άρα α 4 +1= κβ, ακόμη β/α +1 άρα α +1=λβ α =1-λβ και άτοπο ].66. Α αζ α δείξετε ότι ο Α= α(α -1)(4α -1) διαιρείται με το Α α, β περιττοί ακέραιοι και 7/ α +β α δείξετε ότι 7 /α και 7 /β..68. Να αποδείξετε ότι α /α και /β τότε /α +β και ατίστροφα.69. Να αποδείξετε ότι ο 5 δε διαιρεί το + για κάθε ακέραιο.70. Α / (α β ) ( α +β ), α,βζ α δείξετε ότι 4/ (α β ) ( α +β ).71. Α α είαι διψήφιος ακέραιος αριθμός και β ο ακέραιος, ο οποίος προκύπτει από το α, ότα εαλλάξουμε τα ψηφία του α αποδείξετε ότι η διαφορά α - β διαιρείται με το Γράφουμε έα τριψήφιο αριθμό αβγ. Μετά επααλαμβάουμε το ίδιο αριθμό δίπλα στο πρώτο, ώστε α πάρουμε έα εξαψήφιο της μορφής αβγαβγ. Να αποδείξετε ότι: i) αβγαβγ = 1001 (100α +10β + γ) ii) O αριθμός αβγαβγ διαιρείται δια του 7 του 11 και του Α ο δε διαιρεί το xψ, τότε α αποδείξετε ότι: i) x, ψ περιττοί αριθμοί ii) o διαιρεί το x + ψ iii) o 4 δε διαιρεί το x + ψ.74. Να λυθεί η εξίσωση x + = y (x+), x,y θετικοί ακέραιοι..75. Να λυθεί στο Ζ η εξίσωση x + y = x y. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 9

31 4. ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 4. ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΘΕΩΡΙΑ 4.1 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΔΥΟ ΑΚΕΡΑΙΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Ορισμός Κοιός Διαιρέτης τω ακεραίω αριθμώ α και β οομάζεται ο ακέραιος που είαι διαιρέτης ( διαρεί τέλεια) και του α και του β. Έτσι για παράδειγμα οι κοιοί διαιρέτες του 18 και του 7 είαι οι 1,, 6, 9. Οι θετικοί κοιοί διαιρέτες δυο ακεραίω α και β όπου κάποιος από τους δυο είαι διάφορος του 0 δημιουργού έα μη κεό σύολο με πεπερασμέα στοιχεία αφού ας μη ξεχάμε ότι : Κάθε αριθμός διαιρείται από το 1. Το 0 διαιρείται από οποιοδήποτε αριθμό αλλά δε διαρεί καέα. Ο μεγαλύτερος διαιρέτης εός ακεραίου α είαι ο α. Επομέως εά κάποιος από τους α και β είαι διάφορος του 0 χρησιμοποιώτας έα θεώρημα σύμφωα με το οποίο : «Κάθε πεπερασμέο υποσύολο του έχει μέγιστο στοιχείο «συμπεραίουμε ότι το σύολο τω θετικώ διαιρετώ του α και β έχει μέγιστο στοιχείο. Α όμως και οι δύο ακέραιοι είαι μηδέ, α = β = 0 τότε έχου άπειρους ( όσοι και οι θετικοί ακέραιοι ) διαιρέτες ο καθέας οπότε το σύολο τω θετικώ διαιρετώ του α και β έχει και πάλι μέγιστο στοιχείο. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0

32 4.1 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΔΥΟ ΑΚΕΡΑΙΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Έχουμε λοιπό το εξής ορισμό Ορισμός Έστω α, β δυο ακέραιοι, από τους οποίους έας τουλάχιστο είαι διαφορετικός από το 0. Οομάζουμε Μέγιστο Κοιό Διαιρέτη (Μ. Κ.Δ ) τω α και β και σμβ (α,β) το μεγαλύτερο από τους θετικούς κοιούς διαιρέτες τους. Επομέως ο ακέραιος δ είαι ο ΜΚΔ δύο ακεραίω α,β α και μόο α : Είαι θετικός Είαι διαιρέτης και του α και του β. Κάθε άλλος διαιρέτης του α και του β είαι μικρότερος ή ίσος του δ. Δηλαδή δ 0 δ ( α, β) δ / α, δ / β Ά χ/α και χ/β τότε χ δ Παράδειγμα Έστω α = 8, β = - 4 Οι θετικοί διαιρέτες του 4 είαι οι : 1,,,4,6,8,1,4 Οι θετικοί διαιρέτες του 8 είαι οι : 1,,4,7,14,8 Οι κοιοί διαιρέτες είαι οι : 1,,4 Άρα ( 8,-4 ) = 4 Βασικές Ιδιότητες του ΜΚΔ 1) Είαι προφαές από τα παραπάω ότι ( -8,4) = ( α,β ) = ( α, β ) (8,4) = 4 ) Για κάθε θετικό ακέραιο α ισχύει i) (α,α) = α (9,9)=9 ii) (α,0) = α (17,0)=17 iii) (α,1) = 1 (6,1)=1 ) Α α, β θετικοί ακέραιοι και β / α ( α =πολβ ) τότε (α,β) =β (1,4)=1 Τέλος έας ορισμός ακόμη Ορισμός Οι ακέραιοι α και β λέγοται πρώτοι μεταξύ τους α και μόο α (α, β) =1 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

33 4.1 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΔΥΟ ΑΚΕΡΑΙΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Παράδειγμα Είαι (5,19) = 1 άρα οι 5 και 9 είαι πρώτοι μεταξύ τους Πώς όμως βρίσκουμε το ΜΚΔ δυο μεγάλω αριθμώ ; Προφαώς όχι όπως στο παραπάω παράδειγμα γιατί θα ήτα πολύ χροοβόρο. Σε αυτό μας βοηθάει το παρακάτω θεώρημα : ΘΕΩΡΗΜΑ 1 ( ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ) Α α, β φυσικοί αριθμοί και α = κ β +υ τότε ισχύει ( α,β) = (β,υ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι δ = (α,β) και δ =(β,υ ). Θα δείξουμε ότι δ =δ. Καταρχάς είαι υ = α-κ β και ακόμη Είαι δ / α δ / α δ / β δ / β δ ( α, β) δ ( β, υ) δ' [1] δ / β δ / κβ δ / α κβ δ / υ δ' / β δ' / κβ δ' / β δ' / β Επίσης δ' ( β, υ) δ' ( α, β) δ [] δ' / υ δ' / υ δ' / υ κβ δ' / α Από [1] και [] είαι δ= δ Η διαδικασία εύρεσης του ΜΚΔ δυο ακεραίω με το παραπάω τρόπο οομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω α = 1 και β=75 Εκτελούμε τις διαδοχικές ευκλείδειες διαιρέσεις α = π β + υ Συεπώς θα έχουμε 1 = = (1,75) = 48 = = = (75,48) = 1 = = + 0 = (48,7) = = Τελικά (15,7 ) = ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

34 4.1 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΔΥΟ ΑΚΕΡΑΙΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Γεικεύοτας τώρα για ακεραίους α, β με α>β είαι α = κ 1 β+υ 1 0 υ 1 <β β= κ υ 1 +υ 0 υ <υ 1 υ 1 = κ υ +υ 0 υ <υ υ - = κ υ -1 + υ 0 υ -1 <υ υ -1 = κ +1 υ + 0 ( Για κάποιο θα έχουμε τέλεια διαίρεση ) Οπότε (α,β) = ( β,υ1) = ( υ1,υ ) = (υ, 0 ) = υ, δηλαδή ο (α,β) θα είαι το τελευταίο μη μηδεικό υπόλοιπο τω παραπάω αλγοριθμικώ διαιρέσεω. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

35 4. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ 4. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Τα παρακάτω Θεωρήματα είαι συέπειες του Ευκλείδειου Αλγόριθμού ΘΕΩΡΗΜΑ Α δ= (α,β) τότε υπάρχου κ, λ ακέραιοι ( όχι μοαδικοί ) με δ = κ α+λ β (ΧΑ) Παράδειγμα Σε παραπάω παράδειγμα είδαμε τη εύρεση του ( 15,7) Επιλύοτας κάθε μια από τις ευκλείδειες διαιρέσεις ως προς το υπόλοιπο είαι 48= = = =7-1 1 =1-6 Αρχίζοτας από το τέλος είαι : (1,75) = = =1-6 = =1- (7-1 1) = = = =- 7+4(48-1 7)= = = ( ) = = = 11 (1-1 75) -7 75= ΘΕΩΡΗΜΑ Οι κοιοί διαιρέτες ακεραίω είαι και διαιρέτες του ΜΚΔ τους δηλαδή Α δ =(α,β) και χ/α και χ/β τότε χ/δ και ατίστροφα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ευθύ : Α δ =(α,β) και χ/α και χ/β τότε χ/δ Είαι δ=(α,β) οπότε από Θεώρημα υπάρχου κ,λ ακέραιοι με δ= κ α+λ β ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4

36 4. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Ακόμη χ/α και χ/β άρα χ/ κ α+λ β=δ Άρα χ/δ Ατίστροφο : Α χ/δ, δ =(α,β) τότε χ/α και χ/β Είαι χ/δ άλλα δ/α και δ/β ( ορισμός του ΜΚΔ) οπότε χ/α και χ/β ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Α α,β ακέραιοι και (α,β) =1 τότε υπάρχου κ,λ ακέραιοι με κ α+λ β=1 και ατίστροφα Απόδειξη Ευθύ : Α α,β ακέραιοι και (α,β) =1 τότε υπάρχου κ,λ ακέραιοι με κ α+λ β=1 Αφού (α,β)=δ=1 από θεώρημα υπάρχου κ, λ ακέραιοι με κ α+λ β=1 Ατίστροφο Α α,β ακέραιοι και υπάρχου κ,λ ακέραιοι με κ α+λ β=1 τότε (α,β)=1 Έστω δ= (α,β) Θα δείξουμε ότι δ=1 Είαι δ/α και δ/β άρα δ/κ α+λ β Άρα δ/1. Όμως δ>0 ( ορισμός του ΜΚΔ) Άρα δ=1 Άμεση συέπεια της παραπάω πρότασης είαι και η εξής ΠΟΡΙΣΜΑ 4.1 Α διαιρέσουμε δυο ακεραίους με το ΜΚΔ τους τότε προκύπτου αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους α β Πράγματι α (α,β) = δ τότε υπάρχου κ,λ ακέραιοι με κ α+λ β=δ κ λ 1 δ δ α β οπότε (, ) 1 δ δ Γεικότερα ισχύει ( α β, ) 1 ( α, β) ( α, β) για κάθε ακέραιους α,β 8 4 Οπότε για παράδειγμα αφού ( 8,4)=4 έχουμε ότι (, ) (7,6) Μια τελευταία συέπεια είαι και το εξής Θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Α α,β,γ ακέραιοι και α/β γ και (α,β)=1 τότε α/γ Απόδειξη Αφού (α,β)=1 υπάρχου κ,λ ακέραιοι με κ α+λ β=1 [1] Από τη [1] είαι κ α+λ β=1 κ α γ+λ β γ= γ Ακόμη α/β γ και α/α γ άρα α / κ α γ +λ β γ =γ άρα α/γ. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 5

37 4.. ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΡΙΩΝ Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ 4.. ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΡΙΩΝ Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Η έοια του ΜΚΔ γεικεύεται και για περισσότερους από ακεραίους Έτσι ως ΜΚΔ τω α1,α, α : (α1,α, α) οομάζουμε το μεγαλύτερο από τους κοιούς θετικούς διαιρέτες τω α1,α, α. Για τη εύρεση του ΜΚΔ τω α1,α, α κάουμε χρήση της εξής πρότασης ; Ο ΜΚΔ ή περισσοτέρω αριθμώ Δε μεταβάλλεται α ατικαταστήσουμε δυο από αυτούς με το ΜΚΔ τους Δηλαδή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (α,β,γ) = ((α,β),γ) ( 9, 7,1) = ( (9,7),1) = (9,1) = Επίσης ισχύου ως γεικεύσεις οι ιδιότητες που είδαμε στο ΜΚΔ ακεραίω Δηλαδή Α δ=(α,β,γ) τότε υπάρχου κ, λ,μ ακέραιοι με κ α+λ β +μ γ=δ α β γ Α δ=(α,β,γ) τότε (,, ) 1 δ δ δ Ορισμός 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Κοιό Πολλαπλάσιο τω ακεραίω αριθμώ α και β οομάζεται ο ακέραιος που είαι πολλαπλάσιο και του α και του β. Έτσι για παράδειγμα τα πολλαπλάσιο του και του 4 είαι του :,6,9,1,15,18,1,4,7. του 4: 4,8,1,16,18, 4,7 Οπότε τρία κοιά τους πολλαπλάσια είαι τα 1, 18 και 4 Τα θετικά κοιά πολλαπλάσιο δυο ακεραίω α και β όπου και οι δυο είαι διάφοροι του 0 δημιουργού έα μη κεό σύολο με πεπερασμέα στοιχεία αφού ας μη ξεχάμε ότι :το α β είαι κοιό πολλαπλάσιο τω α,β Το ελάχιστο στοιχείο αυτού του συόλου είαι το Ελάχιστο κοιό πολαπλλάσιο τω α, β Άρα Ορισμός Έστω α, β δυο ακέραιοι, διαφορετικοί από το 0. Οομάζουμε Ελάχιστο Κοιό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π ) τω α και β και σμβ [α,β] το μικρότερο από τους θετικά κοιά πολλαπλάσιά τους. ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 6

38 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Επομέως ο ακέραιος ε είαι το ΕΚΠ δύο ακεραίω α,β α και μόο α : Είαι θετικός Είαι πολλαπλάσιο και του α και του β. Κάθε άλλο πολλαπλάσιο του α και του β είαι μεγαλύτερος ή ίσος του ε Δηλαδή ε 0 ε [ α, β] ε πολα, ε πολβ Ά χ πολα και χ πολβ τότε χ ε του :,6,9,1,15,18,1,4,7. του 4: 4,8,1,16,18, 4,7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω α =, β = 4 Τα θετικά πολλαπλάσια του :,6,9,1,15,18,1,4,7. Τα θετικά πολλαπλάσια του 4 : 4,8,1,16,18, 4,7 Τα κοιά πολλαπλάσια Άρα [,4 ] = 1 : 1,18,4,. ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΚΠ 1) Είαι προφαές από τα παραπάω ότι [-4,] = [ α,β ] = [ α, β ] [4,] = 1 ) Για κάθε ακέραιο α ισχύει i) [α,1] = α [9,1]=9 ii) Α β/α τότε [α,β] = α [18,]=18 ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Α α, β είαι θετικοί ακέραιοι τότε (α,β) [α,β]=α β Γεικότερα Α α, β είαι ακέραιοι τότε (α,β) [α,β]= α β Τα παρακάτω Θεωρήματα είαι συέπειες του Θεωρήματος 6 ΘΕΩΡΗΜΑ 7 Α (α,β)=1 δηλαδή οι α,β είαι πρώτοι μεταξύ τους τότε [α,β] = α β ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 7

39 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Απόδειξη : Είαι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος 6 ΘΕΩΡΗΜΑ 8 Το ΕΚΠ τω α,β διαιρεί κάθε κοιό πολλαπλάσιο τους δηλαδή α χ= πολα και χ=πολβ τότε χ= πολ[α,β] Η έοια του ΕΚΠ γεικεύεται και για περισσότερους από ακεραίους Έτσι ως ΕΚΠ τω α1,α, α : [α1,α, α] οομάζουμε το μικρότερο από τα κοιά θετικά πολλαπλάσια τω α1,α, α. Για τη εύρεση του ΕΚΠ τω α1,α, α κάουμε χρήση της εξής πρότασης ; το ΕΚΠ ή περισσοτέρω αριθμώ Δε μεταβάλλεται α ατικαταστήσουμε δυο από αυτούς με το ΕΚΠ τους Δηλαδή [α,β,γ] = [[α,β],γ] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ [9,,4] = [[9,],4] = (9,4) = 9 4 = 6 αφού (4,9)=1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1) Α α,β,κ ακέραιοι τότε (α,β) = ( α-κ β,β) Έστω δ= (α,β) και δ =(α-κ β,β) δ / α δ / α δ / β Είαι δ ( α, β) δ /( β, a kβ) δ' δ / β δ / κβ δ / α κβ Άρα δ/δ έτσι δ δ και δ' / κβ δ' / β δ' / β δ' / β δ' ( α κβ, β) δ' / β δ' δ δ' / α κβ δ α κβ κβ δ α δ α κβ '/ '/ '/ Άρα δ /δ έτσι δ δ οπότε δ=δ ) Α α ακέραιος τότε (α,α+1) = 1. Δηλαδή δυο διαδοχικοί ακέραιοι είαι πρώτοι μεταξύ τους Από 1) είαι ( α+1,α) = (α+1-1 α,α) = (1,α)=1 ) Α α,β,κ ακέραιοι και κ>0 τότε ( κ α,κ β)= κ (α,β) Έστω δ=(α,β) και δ =(κ α,κ β) Καταρχάς υπάρχου ακέραιοι λ,μ με λ α+μ β=δ κ λ α+κ μ β=κ δ Είαι ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 8

40 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ δ / α κδ / κα δ ( α, β) κδ /( κα, κβ) κδ / δ' δ / β κδ / κβ Ακόμη δ' / κα δ' / κμα δ ' ( kα, kβ) δ' /( κμα κλβ) δ' / κδ δ' / κβ δ' / κλβ άρα δ =κδ ( κ α,κ β)= κ (α,β) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (10,160) = (10 1, 10 16)=10 (1,16)=10 ( 4,4 4 ) =10 4 (,4)=10 4 1= 40 4) Α α,β,κ ακέραιοι και κ>0 τότε [ κ α,κ β]= κ [α,β] ( κα)( κβ) [ a, β] Είαι ( κα, κβ) κ αβ κ( α, β) αβ κ ( α, β) κ[ α, β] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ [10,160] = = [10 1, 10 16]=10 [1,16]=10 [ 4,4 4 ] =10 4 [,4]=10 4 1= 480 5) Έστω α,β ακέραιοι με (α,β)= δ. Α α=κδ και β=λδ α δείξετε ότι (κ,λ)=1. κ,λ Ζ Αφού (α,β)=δ άρα χα + ψβ = δ χ(κδ) + ψ(λδ) = δ (χκ)δ+(ψλ)δ =δ χκ+ψλ=1 (κ,λ)=1 ( επίσης (χ,ψ)=1 ) 6) Έστω α,β,γ ακέραιοι ά α/γ, β/γ και (α,β)=1 τότε αβ / γ Είαι α/γ άρα γ= λα και β/γ άρα γ = κ β Επίσης (α,β)=1 άρα υπάρχου ακέραιοι χ, ψ με χα+ψβ=1 χαγ+ψβγ=γ χκβ+ψβλα = γ (χκ)(αβ)+ψλ(αβ)=γ (χκ+ψλ)αβ=γ αβ/γ 7) Έστω α,β,γ ακέραιοι α δείξετε ότι (α,β) = [α,β] α = β Ευθύ (α,β) = [α,β] α = β Έστω (α,β) = [α,β] =δ Άρα δ/α και δ/β αφού δ=(α,β) και α/δ και β/δ αφού δ=[α,β] Άρα α/δ και δ/β α/β και β/δ και δ/α β/α οπότε β/α και α/β α=β ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 9

41 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Ατίστροφο α=β (α,β) = [α,β] Α α=β τότε (α,β)=(α,α) = α και [α,β]= [α,α] =α οπότε (α,β)=[α,β] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1) Να αποδείξετε τα παρακάτω i) ( κ+, κ)= κζ Είαι ( κ+, κ) = ( κ+- κ, κ) = (, κ)= (1,κ) = 1= ii) ( -1, +1) = 1 * Είαι ( -1, +1) =( -1-( +1), +1) = (, +1) =(, +1- ) = (,1) =1 iii) (+,) /, * (+,) = (+-,) = (,). Αλλά (,) / Επομέως (+,)/ iv) ( α - β),4 α-5 β ) /β Έστω δ=( α-β, 4 α-5β) άρα (δ/ α-β και δ/4 α-5β) (δ/4 α-6β και δ/4 α 5β) (δ/ /4 α - 5β (4 α 6β )) δ/1 δ=1 (αφού δ>0 ) v) ( α+, 4 α+5) =1 Έστω δ=( α+, 4 α+5) άρα (δ/ α+ και δ/4 α+5) (δ/4 α+6 και δ/4 α+5) ( δ/ 4 α+6 (4 α+5)) δ/1 δ=1 (αφού δ>0 ) vi) (5 α+,7 α+)=1 Έστω δ=(5 α+, 7 α+) άρα (δ/5 α+ και δ / 7 α+) (δ/5 α+14 και δ/5 α+15) (δ / 5 α+15 (5 α+14) δ/1 δ=1 (αφού δ>0 ) κ(κ 1) vii) (κ 1, ) 1 κζ κ( κ 1) Έστω δ= (κ 1, ) οπότε (δ/κ+1 και δ/ (δ/(κ+1) κ και δ/ k( k 1) k( k 1) ) άρα 8 ) (δ/4κ +1 και δ/4κ +4κ ) δ/4κ +4κ -4κ -κ δ/κ Επίσης όμως δ/κ+1 άρα δ/κ+1-κ δ/1δ=1 viii) Α (α,β)=1 α δείξετε ότι (α, β, α +β)=1 Είαι (α,β,α+β) = (α, (β,α+β)) = (α, (β, α+β-β)) =(α, (β,α) ) =(α,β,α)=(α,β) ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 40

42 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ) Να δείξετε ότι (α,β) (α+β,α-β) Έστω δ=(α,β) άρα δ/α και δ/β άρα δ/α+β και δ/α-β οπότε δ/(α+β,α-β) άρα δ (α+β,α-β) ) Α (α,β)=1 α δείξετε ότι (α+β,α-β)=1 ή Είαι δ= (α+β,α-β) οπότε δ/α+β και δ/α-β άρα δ/ α+β-α+β και δ/α-β+α-β άρα δ/β και δ/ α οπότε δ/( α, β) Αλλά ( α, β) = (α,β) = δ/ δ =1 ή δ= i) 4) Α (α,4) = και (β,4) = α δείξετε ότι (α+β,4)=4 Είαι α= 4 κ+υ, υ = 0,1,, Όμως (α,4)=(4,υ)= άρα υ= Όμοια β= 4 π+ρ, ρ = 0,1,, Όμως (α,4)=(4,ρ)= άρα ρ= Όπότε (α+β,4) = (4κ++ 4π+,4) = (4κ+4π+4,4) = 4(κ+π+1,1) = 4 1=1 5) Να εξετάσετε α υπάρχου θετικοί ακέραιοι για τους οποίου το κλάσμα είαι αάγωγο. 5 7 Έστω δ= (+,5+7) και είαι δ/+ και δ/5+7 άρα δ/5+7 (+) δ/ +1 Οπότε δ/+1 και δ/+ άρα δ/ + (+1) δ / 1 άρα δ=1 οπότε το κλάσμα είαι αάγωγο 6) Α (α, κ)=1 α δείξετε ότι (α, κ β)=( α,β), α,β,κ, * Έστω δ = (α,β) και δ =(α,κβ ). δ=(α,β) δ/α και δ/β δ/α και δ/κβ δ/(α,κβ) δ/δ [1] Είαι (α,κ)=1 άρα υπάρχου μ, ακέραιοι με μα +κ=1 μαβ +κβ=β Όμως δ /α και δ /κβ Άρα δ / μβα και δ / κβ δ /α και δ /μβα +κβ=β δ /α και δ / β άρα δ / (α,β) δ /δ [] Από [1] και [] δ =δ 7) Έστω α,β,x,y Ζ με αx-βy=1 α δείξετε ότι (α+β,x+y)=1 Έστω δ= (α+β,χ+ψ) οπότε δ/α+β και δ/χ+ψ δ/αχ+βχ και δ/ βχ+βψ δ/αχ+βχ-βχ-βψ δ/αχ-βψδ/1δ=1 8) Να δείξετε ότι 6 /Α = + + Είαι Α= + + = ( ++) = (+1)(+) Όμως / (+1) /Α (γιατί; ) και /(+1)(+) /Α (γιατί; ) ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 41

43 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ και επειδή (,)=1 άρα / Α 6 / Α 9) Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους α,β για τους οποίους αβ=500 και (α,β)=10 ( α,β)=10 άρα α=10λ και β= 10κ με (λ,μ)=1 Οπότε αβ=50010κ 10λ= κλ=500 κλ=5 με (κ,λ)=1 Άρα κ=1 και λ=5 οπότε α = 10 και β =50 ή κ=5 και λ=1 οπότε α = 50 και β =10 10) Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους α,β α >β για τους οποίους α+β =9(α,β) και [α,β]=70 Έστω δ=(α,β) άρα α = κδ και β= λδ με (κ,λ)=1 και κ>λ ( αφού α>β) Οπότε α+β=9(α,β) κδ+λδ=9δ κ+λ=9 με (κ,λ)=1 και κ>λ Άρα (κ,λ)= ( 1,8) ή (4,5) ή(5,4) ή (,7) ή (7,)ή (,7) Όμως α> β άρα (κ,λ) = (5,4) ή (7,) Ακόμη [α.β] =70 [κδ,λδ]=10 δ[κ.λ]=70 δκλ =70 Α (κ,λ)= (5, 4) τότε δ 0 =70 δ=,5 που βε είαι ακέραιος άρα απορρίπτεται Α (κ,λ)= (7, ) τότε δ 14 =70 δ=5 άρα α= κδ= 7 5 = 5 και β=λδ= 5=10 τελικά α=5 και β =10 ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4

44 4.4 ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.1. Να βρεθεί το πλήθος τω θετικώ ακεραίω αριθμώ που δε υπερβαίου το 1000 και α ) Διαιρούται με το 6 β) Διαιρούται με το 8 γ ) Διαιρούται με το 6 ή το 8 δ) δε διαιρούται με το 6 ή το 8 ε ) Διαιρούται με το 6 και δε διαιρούται με το Να βρεθεί ο ( 05,115 ) και α εκφραστεί σα γραμμικός συδυασμός τους 4.. Να αποδείξετε ότι ( 7,17) = 1 και κατόπι α βρείτε κ,λ τέτοιους ώστε 7κ+17λ= Να βρεθεί ο ( 68,18 ) και στη συέχεια α προσδιορίσετε τους ακεραίους x, y ώστε 68 x+18 y = (68,18) Οι αριθμοί 6 και 50 διαιρούμεοι με το θετικό ακέραιο χ δίου υπόλοιπο 1. Να βρεθεί ο χ 4.6. Οι αριθμοί 81 και 674 διαιρούμεοι με το θετικό ακέραιο χ δίου υπόλοιπα 4 και 7. Να βρεθεί ο χ Οι αριθμοί 87 και 87 διαιρούμεοι με το θετικό ακέραιο χ δίου υπόλοιπο1. Να βρεθεί ο χ Με ποιο θετικό ακέραιο πρέπει α διαιρεθού οι 4 και 4078 για α πάρουμε υπόλοιπα και 19 ατίστοιχα; 4.9. Ά α,βζ και (α,10) = (β,10 ) =5 α δείξετε ότι (α+β,10 ) = Να βρεθεί ο ( 15,1,5 ) και α εκφραστεί σα γραμμικός συδυασμός τους Κατά τη εφαρμογή του αλγόριθμου του Ευκλείδη για το υπολογισμό του (α,β) βρίσκουμε διαδοχικά τα πηλίκα,,1,1,1,. Να βρεθού οι α,β α(α,β)= 4.1. Έστω ο ακέραιος α με α > 0 Να δείξετε ότι α) α/1 α = 1 β) α/ α =1 ή α = 4.1. Να βρεθού α) (,5) β) (6,) γ) (1,5) δ) ( α, α ) ε) (4, 4+) στ) ( α + α, α+1 ) Να βρείτε τα α) ( , ) β) [ 60,0,4,80] Α α θετικός ακέραιος με α 1 α δείξετε ότι (α 18 1, α 1 1 ) = α Α α περιττός ακέραιος α δείξετε ότι (α + α,α+1) = Α α περιττός ακέραιος α βρεθεί ο (α +α,α +) Α αζ α δείξετε ότι ( α 1, α+) = 1 ή Α αζ α δείξετε ότι ( α 1, α+) =11 α=11 ρ Α κν α δείξετε ότι ( κ +5κ +κ+1, κ +κ+) = 1 ή Α α, β ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι: (α, β) = (5 α + 4β, α + β) Να αποδειχθεί ότι (α, β) = (α + βγ, β). ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4