ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Αργύριος Κ. Δημητριάδης ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Συμπληρωματικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-tme) Αθήνα Ιούλιος 04

2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω καταρχήν τον καθηγητή κ. Αθανάσιο Γιαννακόπουλο τόσο για την ευκαιρία που μου έδωσε να εκπονήσω διπλωματική εργασία στον τομέα της Εξελικτικής Θεωρίας Παιγνίων όσο και για τη συμβολή του στην ολοκλήρωσή της. Ήταν πάντοτε διαθέσιμος να απαντήσει σε όλες μου τις ερωτήσεις και η καθοδήγησή του πραγματικά με βοήθησε να εμβαθύνω στην κατανόηση του τομέα αυτού της Θεωρίας Παιγνίων. Η συνεργασία μας πιστεύω υπήρξε εξαιρετική. Παράλληλα, θα ήθελα να ευχαριστήσω φίλους και συναδέλφους που, με το δικό τους τρόπο, βοήθησαν να αντιμετωπίσω με μεγαλύτερη ευκολία τις όποιες δυσκολίες μου παρουσιάστηκαν κατά την εκπόνηση της εργασίας αυτής.

4 II

5 ABSTRACT Argyros Dmtrads EVOLUTIONARY GAME THEORY DETERMINISTIC AND STOCHASTIC MODELS July 04 In ths thess, determnstc and stochastc models of Evolutonary Game Theory are analyzed. Intally, there s an ntroducton to the basc concepts and defntons of Game Theory for normal form games. Afterwards, t follows an analyss of dynamc determnstc models, such as the replcator dynamcs n contnuous and dscrete tme, the mtaton dynamcs and best response dynamcs. The thess concludes by analyzng a stochastc model, whch takes nto account perturbatons and stochastc effects that take place durng a game. As part of ths thess, computer programs were developed to study the behavour of the dynamc system of replcator dynamcs, as well as the behavour of the correspondng stochastc system over the course of tme. III

6 IV

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αργύριος Δημητριάδης ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ιούλιος 04 Στην εργασία αυτή αναλύονται ντετερμινιστικά και στοχαστικά μοντέλα της Εξελικτικής Θεωρίας Παιγνίων. Αρχικά, πραγματοποιείται μία εισαγωγή στις βασικές έννοιες και ορισμούς της Θεωρίας Παιγνίων για παίγνια κανονικής μορφής. Έπειτα, ακολουθεί η ανάλυση της δυναμικής ντετερμινιστικών μοντέλων, όπως των replcator dynamcs σε συνεχή και διακριτό χρόνο, των mtaton dynamcs και των best response dynamcs. Η εργασία ολοκληρώνεται με την ανάλυση ενός στοχαστικού μοντέλου, όπου λαμβάνονται υπόψη οι διαταραχές και οι στοχαστικές επιδράσεις που συμβαίνουν κατά τη διεξαγωγή ενός παιγνίου. Στα πλαίσια της εργασίας αυτής, αναπτύχθηκαν υπολογιστικά προγράμματα για τη μελέτη της συμπεριφοράς του δυναμικού συστήματος των replcator dynamcs, όπως και για τη συμπεριφορά αντίστοιχα του στοχαστικού συστήματος κατά την πάροδο του χρόνου. V

8 VI

9 Περιεχόμενα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ..... Οι Απαρχές των Εξελικτικών Παιγνίων..... Εξέλιξη και Περιορισμένη Ορθολογικότητα ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Στρατηγικές και Συναρτήσεις Απόδοσης Η Γεωμετρία του Χώρου των Μεικτών-Στρατηγικών Συναρτήσεις Απόδοσης Μεικτών Στρατηγικών Βέλτιστες Αποκρίσεις (Best Reples) Ισορροπία Κατά Nash (Nash Equlbrum) Αυστηρή Ισορροπία κατά Nash (Strct Nash Equlbrum) Διατήρηση των Σημείων Ισορροπίας κατά Nash Συμμετρικά Παίγνια Δύο Παικτών (B T =A) Διπλά Συμμετρικά Παίγνια (A T =A) Συμμετρική Ισορροπία κατά Nash Κατηγοριοποίηση Συμμετρικών x Παιγνίων ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Εξελικτικά Ευσταθείς Στρατηγικές (ESS) Εξελικτικά Ευσταθείς Στρατηγικές και Ισορροπία κατά Nash Κατηγοριοποίηση Συμμετρικών x Παιγνίων Μη Ύπαρξη ESS REPLICATOR DYNAMICS Βασικές Αρχές Replcator Equaton Σχέση μεταξύ Ισορροπίας κατά Nash και Replcator Equaton Συμμετρία της Εξίσωσης των Replcator Dynamcs Συμμετρικά x Παίγνια ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΙΜΗΣΗΣ IMITATION DYNAMICS Καθαρή Μίμηση Βάσει Δυσαρέσκειας Μίμηση Πετυχημένων Δρώντων: Μοντέλο Μίμηση Πετυχημένων Δρώντων: Μοντέλο ΜΟΝΤΕΛΑ REPLICATOR DYNAMICS ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Επικαλυπτόμενες Γενεές ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ Περιορισμοί της Εξελικτικά Ευσταθούς Στρατηγικής Στοχαστικά Ευσταθής Ισορροπίας (SSE)... 6 VII

10 8.3. Στοχαστικά Ευσταθές Σύνολο (SSS) Δυναμική Στοχαστικά Εξελικτικών Παιγνίων ΣΥΝΟΨΗ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ΑΝΑΦΟΡΕΣ... 9 VIII

11 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία παιγνίων αναπτύχθηκε ως μία θεωρία που αναλύει την στρατηγική συμπεριφορά των ανθρώπων βασιζόμενη στην ιδεατή, πλήρως ορθολογική, συμπεριφορά τους. Αντιθέτως, η εξελικτική θεωρία παιγνίων χωρίς να στηρίζεται σε υποθέσεις ορθολογικότητας, αλλά στην Δαρβινική «φυσική επιλογή» (natural selecton), μας παραθέτει το μηχανισμό που οδηγεί στην βέλτιστη συμπεριφορά. Το αντικείμενο ανάλυσης των εξελικτικών παιγνίων είναι η ανάλυση των συγκρούσεων ή των συνεργασιών που παρατηρούνται ανάμεσα σε ζώα ή φυτά... Οι Απαρχές των Εξελικτικών Παιγνίων Σημείο εκκίνησης για τη χρήση των τεχνικών και της ορολογίας της εξελικτικής θεώρησης στη θεωρία παιγνίων αποτέλεσε η εργασία των John Maynard Smth και George Prce (973). Ως πρόδρομοι όμως της χρήσης της παιγνιο-θεωρητικής σκέψης σε βιολογικά ή εξελικτικά θέματα μπορούν να θεωρηθούν οι Fsher (958) και Hamlton (967), με τον πρώτο να ασχολείται με θέματα γύρω από την αναλογία μεταξύ των φύλων και τον δεύτερο να ασχολείται με την έννοια της «ανίκητης στρατηγικής» (unbeatable strategy). Επίσης, στην εργασία του Trvers (97) εισάγονται παίγνια που αναφερόταν σε καταστάσεις αμοιβαίου αλτρουισμού. Παρόλα αυτά όμως, όλες αυτές οι εργασίες παρέμειναν απομονωμένες, με την έννοια ότι δεν τροφοδότησαν κάποια μεγάλη ροή εφαρμογών ή περαιτέρω έρευνας. Κάτι τέτοιο έγινε μόνο μετά την εργασία των Maynard Smth και Prce. Αρχικά, υπήρχε ελάχιστη αλληλεπίδραση μεταξύ βιολόγων και παιγνιοθεωρητικών, πλέον όμως η έννοια της εξελικτικά ευσταθούς στρατηγικής και η μαθηματική επεξήγησή της έχει ενσωματωθεί στο ευρύτερο αντικείμενο των ανταγωνιστικών παιγνίων (non-cooperatve games). Αξίζει βέβαια να τονίσουμε την διαφοροποίηση των ερμηνειών ανάμεσα στα παιγνιοθεωρητικά υποδείγματα των βιολόγων και σε αυτά των οικονομολόγων.

12 Από βιολογικής σκοπιάς, ως στρατηγικές (strateges) θεωρούμε μεταβιβάσιμες (ή κληρονομήσιμες) συμπεριφορές που καθορίζουν την ατομική συμπεριφορά. Τυπικά, παρατηρούμε ένα πληθυσμό ατόμων του ίδιου είδους (speces) που τα μέλη του αλληλεπιδρούν ανά γενεά και αποτυπώνουμε την αλληλεπίδραση αυτή στη μορφή κάποιου (παρόμοιου για όλες τις γενεές) παιγνίου. Η ανά ζεύγος αυτή αλληλεπίδραση, μέσω των μεταλλάξεων (mutatons) και των επιλογών, αντικαθιστά τις υπάρχουσες στρατηγικές με άλλες που έχουν μεγαλύτερη επιτυχία (payoff). Η απόδοση αυτή ορίζεται, στα βιολογικά παίγνια, σε όρους καλής κατάστασης της υγείας (ftness) και μπορεί να μετρηθεί μέσω της αναπαραγωγικής επιτυχίας. Βάση της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων αποτελεί η Δαρβινική θεωρία της «φυσικής επιλογής» (natural selecton). Η συνήθης παρανόηση ως προς τη δαρβινική θεωρία, είναι ότι η φυσική επιλογή βελτιστοποιεί την ευημερία των ειδών. Ποια όμως θα πρέπει να είναι η ευημερία των ειδών είναι αδύνατο να καθοριστεί. Η δυναμική ανάλυση ως προς τη φυσική επιλογή ανάμεσα στα άτομα του ίδιου είδους είναι γρηγορότερη από τη διαδικασία δημιουργίας νέων ειδών και την εξαφάνιση κάποιων άλλων. Για τους σκοπούς λοιπόν της έρευνας, η αλληλεπίδραση ανάμεσα σε άτομα του ίδιου είδους μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπερέχει. Αυτό καταδεικνύει την ανάγκη να κατανοήσουμε πρώτα πλήρως τη διαδικασία επιλογής με αλληλεξάρτηση σε μονομορφικούς πληθυσμούς και μετά ανάμεσα σε άτομα από διαφορετικά είδη. Στην ανάλυσή μας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αντί για ζώα ή φυτά (και συνεπώς αντικείμενα ενασχόλησης της επιστήμης της βιολογίας) έχουμε ομάδες ανθρώπων οι οποίοι καλούνται να επιλέξουν τις άριστες στρατηγικές τους προκειμένου να μεγιστοποιήσουν την ωφέλειά τους. Η κύρια διαφορά που παρατηρείται στην εξελικτική θεωρία παιγνίων σε σχέση με την παραδοσιακή θεώρησή της είναι αυτή της «περιορισμένης ορθολογικότητας» (bounded ratonalty) η οποία κάνει τα άτομα να συμπεριφέρονται παρόμοια με τα παραπάνω είδη.

13 .. Εξέλιξη και Περιορισμένη Ορθολογικότητα Στην συνήθη εφαρμογή της, η θεωρία παιγνίων υποθέτει ότι οι παίκτες έχουν την ικανότητα να υπολογίζουν τις βέλτιστες αποκρίσεις τους (best responses) ενάντια σε κάθε στρατηγική των υπολοίπων παικτών. Σε πολλές όμως περιπτώσεις, η υπόθεση αυτή είναι αρκετά ισχυρή μιας και απαιτεί πέρα από τη γνώση όλων των δυνατών στρατηγικών και την ωφέλεια που μπορεί να προκύψει από κάθε μία από αυτές. Η αλήθεια όμως είναι ότι, στις περισσότερες περιπτώσεις, οι παίκτες δεν γνωρίζουν καν ότι καλούνται να ανταποκριθούν σε μία κατάσταση που μπορεί να περιγραφεί ως παίγνιο. Σε αυτό ακριβώς το πλαίσιο εντάσσεται και η έννοια της «περιορισμένης ορθολογικότητας» (bounded ratonalty). Η παρατηρούμενη ιστορία ενός παιγνίου (hstory of a game) είναι απαραίτητη για δύο κυρίως λόγους. Πρώτον, η ιστορία παρέχει πληροφόρηση σχετικά με τον τρόπο που αναμένεται να παίξει ο αντίπαλος και δεύτερον, η παρατηρούμενη επιτυχία ή αποτυχία των διαφόρων στρατηγικών επιλογών βοηθά τους παίκτες να προσδιορίσουν τις δυνατές αποτελεσματικές στρατηγικές τους στο μέλλον. Η μίμηση (mtaton), άλλωστε, αποτελεί βασικό στοιχείο της γνώσης (learnng) υπό την έννοια ότι η επιτυχημένη συμπεριφορά τείνει να αντιγράφεται (replcaton). Επιπροσθέτως, η επιτυχημένη συμπεριφορά είναι δυνατό να διδαχθεί. Υπό αυτό το πρίσμα, κάθε φορά που οι παίκτες μιμούνται τις επιτυχημένες συμπεριφορές αντί να υπολογίζουν τις βέλτιστες αποκρίσεις τους, δεν απαιτείται να γνωρίζουν ούτε την πλήρη δομή του παιγνίου, ούτε το σύνολο των στρατηγικών των αντιπάλων τους. Το μόνο που απαιτείται από τους παίκτες να γνωρίζουν είναι ποια ήταν η επιτυχημένη στρατηγική (συμπεριφορά) και όχι γιατί αυτή είναι, αν είναι, βέλτιστη. Τα εξελικτικά υποδείγματα, όχι μόνο μας παρέχουν ένα άριστο περιβάλλον ως προς τη μελέτη της περιορισμένης ορθολογικότητας, αλλά συνάμα την προϋποθέτουν. Και αυτό επειδή οι παίκτες εξ υποθέσεως είναι «αφελείς» (unsophstcated). Η υπόθεση αυτή είναι μία πολύ συγκεκριμένη μορφή περιορισμένης ορθολογικότητας και απαιτεί οι παίκτες να συμπεριφέρονται 3

14 ως αν το στρατηγικό περιβάλλον στο οποίο κινούνται παραμένει αμετάβλητο στον χρόνο. Σε αυτό ακριβώς το σημείο βέβαια μπορούμε να βρούμε αρκετό έδαφος κριτικής ως προς πολλά υποδείγματα που υποθέτουν περιορισμένη ορθολογικότητα. To γεγονός ότι οι παίκτες στα υποδείγματα αυτά παρουσιάζονται ούτε λίγο ούτε πολύ ως ανόητοι, σε βαθμό που δεν μπορούν να συνειδητοποιήσουν κυκλικές συμπεριφορές που ενδεχομένως να δημιουργούνται σε δυναμική ανάλυση, δεν μπορεί παρά να ξενίζει. To κύριο ερώτημα είναι γιατί οι παίκτες δεν μπορούν να δουν κάτι που ο κατασκευαστής του υποδείγματος μπορεί. Η κριτική αυτή μπορεί να παρακαμφθεί στην ανάλυσή μας υποθέτοντας ότι, στην πράξη, οι λήπτες αποφάσεων (agents) δεν είναι τόσο έξυπνοι όσο αρχικά θεωρούσαμε. Στην συνέχεια θα χρησιμοποιούμε την περίπτωση που ζεύγη παικτών θα επιλέγονται από ένα (ομοιογενές συνήθως) σύνολο πληθυσμού και θα καλούνται να παίξουν ένα παίγνιο, στο οποίο θα ισχύουν οι παραδοχές: Inerta Hypothess (Αδράνεια) με την έννοια ότι δεν αντιδρούν όλοι οι παίκτες στιγμιαία στα ερεθίσματα του περιβάλλοντος τους. Myopa Hypothess (Μυωπικές Αντιδράσεις) δηλαδή τα άτομα δεν λαμβάνουν υπόψη τις μακροχρόνιες συνέπειες των στρατηγικών επιλογών τους. Mutaton or Expermentaton Hypothess δηλαδή τυχαία πιθανότητα αλλαγής στρατηγικών από τα άτομα. H στρατηγική ενός παιγνίου είναι μία περίπλοκη έννοια και καθορίζει τις εκάστοτε ενέργειες που δύναται να επιλέξει ο κάθε παίκτης δεδομένου του περιβάλλοντος στο οποίο καλείται να δράσει. Παρόλα αυτά, ενδέχεται οι παρατηρήσεις των παικτών να μην είναι τέλειες, η γνώση τους για τις αποδόσεις να είναι περιορισμένη ή η αλλαγή στρατηγικής συμπεριφοράς να είναι δαπανηρή (costly). Η ιδιότητα της αδράνειας λοιπόν προτείνεται ως περιγραφή της αβεβαιότητας ή του κόστους προσαρμογής. Η υπόθεση της μυωπίας επίσης συνδέεται με την έννοια της εκμάθησης (learnng) που στην περίπτωσή μας προκύπτει μέσα από τη μίμηση (mtaton 4

15 ή emulaton). Η κύρια ιδέα είναι ότι ο κόσμος είναι αρκετά περίπλοκος και τα άτομα αδυνατούν να υπολογίσουν τις βέλτιστες αποκρίσεις τους. Έτσι λοιπόν, αναγκάζονται να βρίσκουν τις βέλτιστες στρατηγικές παρατηρώντας το αποτέλεσμά τους στους υπολοίπους. Η υπόθεση της μυωπίας λέει ότι την ίδια στιγμή που τα άτομα μαθαίνουν, δε λαμβάνουν υπόψη τους τις μακροχρόνιες συνέπειες των επιλογών τους. Οι λήπτες αποφάσεων (agents) δηλαδή συμπεριφέρονται σαν κάθε παίγνιο να είναι το τελευταίο που καλούνται να παίξουν. Τέλος, η υπόθεση της μετάλλαξης (mutaton) διαφοροποιείται ανάλογα με το περιβάλλον και τις υποθέσεις στις οποίες κινούμαστε. Το πως μάλιστα συντελούνται οι μεταλλάξεις αυτές, όπως θα δούμε παρακάτω, διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στην ανάλυσή μας. 5

16 6

17 . ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΙΓΝΙΩΝ.. Στρατηγικές και Συναρτήσεις Απόδοσης Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί μία εισαγωγή στις έννοιες και τους ορισμούς της θεωρίας παιγνίων με έμφαση στα στοιχεία που θα χρειαστούν για την ανάλυση της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων. Η ανάλυση περιορίζεται σε πεπερασμένα παίγνια κανονικής μορφής. Θεωρούμε πως Ι = {,,..., n} το σύνολο των παικτών σε ένα παίγνιο, όπου η θετικός ακέραιος. Για κάθε παίκτη I ορίζουμε ως S = {,,...,m }, όπου m, το πεπερασμένο σύνολο των καθαρών στρατηγικών του. Το διάνυσμα s = (s l, s,..., s n ), όπου s είναι μια καθαρή στρατηγική για τον παίκτη, ονομάζεται προφίλ καθαρής στρατηγικής (pure strategy profle). Επομένως, το σύνολο των προφίλ καθαρής στρατηγικής σε ένα παίγνιο είναι το καρτεσιανό γινόμενο S = S που αποτελείται από τα προφίλ καθαρής στρατηγικής όλων των παικτών και ονομάζεται Χώρος Καθαρών Στρατηγικών (pure-strategy space). Για οποιοδήποτε προφίλ καθαρής στρατηγικής s S και για κάθε παίκτη I, έστω π (s) R η απόδοση (payoff) του παίκτη. Στην οικονομική θεωρία, οι αποδόσεις είναι συνήθως τα κέρδη της εταιρίας είτε η ωφελιμότητα των καταναλωτών (consumer s utlty) (von Neumann - Morgenstern), ενώ στη βιολογία συνήθως αντιπροσωπεύουν τον αναμενόμενο αριθμό των επιζώντων απογόνων (αναφέρονται ως ftness). Το πεπερασμένο σύνολο των αποδόσεων π (s) για κάθε παίκτη I ορίζει τη συνάρτηση απόδοσης π : S R της καθαρής στρατηγικής του. Ο συνδυασμός των συναρτήσεων απόδοσης του παιγνίου, π: S R n, αναθέτει σε κάθε προφίλ καθαρής στρατηγική το πλήρες διάνυσμα των αποδόσεων π(s) = (π (s),..., π n (s)). Ένα παίγνιο σε κανονική μορφή μπορεί να περιγραφεί από μια τριάδα G = (I, S, π), όπου Ι είναι σύνολο των παικτών, S ο χώρος καθαρών στρατηγικών και π η συνάρτηση απόδοσης του παιγνίου. Στην ειδική περίπτωση, όπου υπάρχουν μόνο δύο παίκτες, οι συναρτήσεις απόδοσης π και π μπορούν να γραφτούν υπό μορφή πίνακα [m x m ]. Ο πίνακας απόδοσης του πρώτου 7

18 παίκτη θα αναγράφεται ως Α = (a hk ), όπου a hk = π (h, k) για κάθε h S και κάθε k S και αντίστοιχα o πίνακας απόδοσης του δεύτερου παίκτη ως Β = (a hk ), όπου b hk = π (h, k). Κάθε γραμμή και στους δύο πίνακες αντιστοιχεί επομένως σε καθαρή στρατηγική για τον παίκτη και κάθε στήλη σε μια καθαρή στρατηγική για τον παίκτη. Επομένως, κάθε παίγνιο δύο παικτών, μπορεί να αναπαρασταθεί πλήρως από το ζεύγος των πινάκων απόδοσης (Α, Β), όπου ο παίκτης είναι ο «παίκτης σειρά» και ο παίκτης είναι ο «παίκτης στήλης». Παράδειγμα. Το πιο ευρέως γνωστό παίγνιο είναι πιθανότατα το «Δίλημμα του Φυλακισμένου». Είναι ένα παίγνιο δύο παικτών, στο οποίο κάθε παίκτης έχει μόνο δύο καθαρές στρατηγικές: ) Καμία συνεργασία με τις αρχές, και ) Συνεργασία με τις αρχές. Μια τυπική διαμόρφωση των αποδόσεων δίνεται από το παρακάτω ζεύγος πινάκων: A 4 5 0, 3 B Κάθε καταχώρηση στη δεύτερη σειρά του πίνακα A υπερβαίνει την αντίστοιχη καταχώρηση στην πρώτη γραμμή (όπου οι καταχωρήσεις αντιστοιχούν σε αποδόσεις). Ομοίως, κάθε καταχώρηση στη δεύτερη στήλη του πίνακα Β υπερβαίνει την αντίστοιχη καταχώρηση στην πρώτη στήλη. Όπως φαίνεται, η δεύτερη καθαρή στρατηγική του παίκτη (συνεργασία με τις αρχές) δίνει υψηλότερη απόδοση από την πρώτη καθαρή στρατηγική της (καμία συνεργασία με τις αρχές), ανεξάρτητα από το ποια στρατηγική χρησιμοποιείται από τον άλλον παίκτη. Ως εκ τούτου, η ατομική ορθολογικότητα οδηγεί κάθε παίκτη να επιλέξει τη δεύτερη καθαρή στρατηγική (συνεργασία με τις αρχές). Το δίλημμα συνίσταται στο γεγονός ότι και οι δύο παίκτες θα είχαν κερδίσει υψηλότερες αποδόσεις, αν επέλεγαν και οι δύο την καθαρή στρατηγική (καμία συνεργασία με τις αρχές)! 8

19 .. Η Γεωμετρία του Χώρου των Μεικτών-Στρατηγικών Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη είναι η κατανομή πιθανοτήτων πάνω στο σύνολο S των καθαρών στρατηγικών του. Δεδομένου ότι για κάθε παίκτη το σύνολο S είναι πεπερασμένο, μπορούμε να αναπαραστήσουμε οποιαδήποτε μεικτή x στρατηγική για τον παίκτη ως διάνυσμα x σε m -διαστάσεων ευκλείδειο χώρο m R. Η h-ιοστή συνιστώσα x h R της στρατηγικής x είναι η πιθανότητα που ανατίθεται στην h-ιοστή καθαρή στρατηγική. Το σύνολο των καθαρών στρατηγικών στις οποίες ανατίθεται θετική πιθανότητα μέσω της μεικτής στρατηγικής x καλείται ο φορέας (support or carrer) της x και συμβολίζεται ως: C(x ) = {h S : x h >0} (.) Εφόσον όλες οι πιθανότητες x h (για h =,,..., m ) είναι μη αρνητικοί αριθμοί και αθροίζουν στη μονάδα, το διάνυσμα x m R μοναδιαίο πολύεδρο (unt smplex) Δ στο m - χώρο και ορίζεται ως: ανήκει στο x R m m : x h (.) h Στο σχήμα. απεικονίζονται οι περιπτώσεις για m = και m = 3 αντίστοιχα. Σχήμα -: Το μοναδιαίο πολύεδρο Δ για m = (a) και m = 3 (b). 9

20 Το πολύεδρο μεικτής στρατηγικής Δ του παίκτη έχει διαστάσεις m - (η μία πιθανότητα x h που λείπει μπορεί να υπολογιστεί ως μείον τις υπόλοιπες πιθανότητες). Χωρίς απώλεια της πληροφορίας επομένως, μπορούμε να μελετήσουμε την προβολή του πολύεδρου Δ m R σε ευκλείδειο χώρο διαστάσεων m -. Στο σχήμα. απεικονίζονται οι προβολές στις περιπτώσεις m = (στο x -άξονα) και m = 3 (στο x -x επίπεδο), αντίστοιχα. Σχήμα -: Προβολή του μοναδιαίου πολύεδρου Δ για m = (a) και για m = 3 (b). Οι κορυφές (ή γωνίες) του πολυέδρου Δ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στον m -χώρο, και συμβολίζονται ως: e (,0,..., 0), (0,,..., m e 0), (0,0,..., ) Κάθε τέτοια κορυφή e. h e αναπαριστά τη μεικτή στρατηγική για τον παίκτη που αναθέτει πιθανότητα μονάδα στην h-ιοστή καθαρή στρατηγική του. Από αυτή την σκοπιά, οι καθαρές στρατηγικές είναι απλώς "ακραίες" περιπτώσεις μεικτής στρατηγικής, βρίσκονται δηλαδή στο σύνορο του Δ. Το πολύεδρο μεικτής στρατηγικής Δ είναι το κυρτό περίβλημα (convex hull) των κορυφών του. Κάθε μεικτή στρατηγική x Δ είναι ένας κυρτός 0

21 συνδυασμός (convex combnaton) των μοναδιαίων διανυσμάτων (ή αλλιώς των καθαρών στρατηγικών) h e : x m h x e h h (.3) Το υποσύνολο nt(δ ) = {x Δ : x h >0, για κάθε h} (.4) αποτελεί το εσωτερικό του Δ. Αντίστοιχα οι μεικτές στρατηγικές σε αυτό το υποσύνολο ονομάζονται εσωτερικές ή πλήρως μεικτές. Αυτές οι στρατηγικές αναθέτουν θετικές πιθανότητες σε όλες τις καθαρές στρατηγικές, επομένως έχουν πλήρη φορέα C(x ) = S για όλα τα I. Το σύνολο των μη-εσωτερικών στρατηγικών στο Δ καλείται το σύνορο (boundary) του Δ και συμβολίζεται ως: x : x nt( )} (.5) { Ένα προφίλ μεικτής στρατηγικής είναι ένα διάνυσμα x = ( x, x,..., x n ), όπου κάθε συνιστώσα x Δ είναι μια μεικτή στρατηγική για τον παίκτη I. Ένα προφίλ μεικτής στρατηγικής x είναι ως εκ τούτου ένα σημείο στο Χώρο Μεικτής Στρατηγικής του παιγνίου (.6) I Ένα προφίλ στρατηγικής x ονομάζεται εσωτερικό (ή πλήρως μεικτό) αν κάθε μία από τις επιμέρους στρατηγικές x είναι εσωτερική (nteror). Το υποσύνολο αυτών των προφίλ συμβολίζεται ως: nt( ) nt( ) (.7) I Θα συμβολίζουμε ως (x, y - ) την περίπτωση όπου ένας παίκτης I ακολουθεί τη στρατηγική x Δ, ενώ όλοι οι υπόλοιποι παίκτες j παίζουν σύμφωνα με το προφίλ y Θ. Πιο συγκριμένα, το προφίλ στρατηγικής z = (x, y - ) Θ ορίζεται για z = x και z j = y j για όλα τα j.

22 .3. Συναρτήσεις Απόδοσης Μεικτών Στρατηγικών Στην κλασική προσέγγιση της ανταγωνιστικής θεωρίας παιγνίων, οι τυχαιοποιήσεις όλων των παικτών είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα ότι ένα προφίλ καθαρής στρατηγικής s = (s, s,, s n ) S θα επιλεχθεί, όταν παίζεται ένα προφίλ μεικτής στρατηγικής x Θ, είναι το γινόμενο: n x( s) x s (.8) των πιθανοτήτων που αναθέτει ο κάθε παίκτης στην καθαρή στρατηγική του s S όταν επιλέγει μία μεικτή στρατηγική x Δ. Κατά συνέπεια, η (στατιστικά) αναμενόμενη τιμή της απόδοσης του παίκτη σε ένα προφίλ μεικτής στρατηγικής x Θ είναι u ( x) x( s) ( s) (.9) ss Ο πραγματικός αριθμός u (x) θα αποκαλείται ως η απόδοση του -παίκτη από το προφίλ στρατηγικής x. Η απόδοση αυτή είναι μία γραμμική συνάρτηση της μεικτής στρατηγικής του κάθε παίκτη (που λαμβάνεται ξεχωριστά). Ως εκ τούτου, για κάθε x Θ και, j I η απόδοση είναι: m j u ( x) u ( e, x ) x (.0) k k j j jk k όπου u e, x ) είναι η απόδοση που κερδίζει ο παίκτης όταν παίκτης j ( j j χρησιμοποιεί την k-ιοστή καθαρή στρατηγική. Με άλλα λόγια, η απόδοση u (x) μπορεί να υπολογιστεί ως το σταθμισμένο άθροισμα (weghted sum) των αποδόσεων που ο παίκτης λαμβάνει για κάθε καθαρή στρατηγική του παίκτη j (οι μεικτές στρατηγικές όλων των υπολοίπων παικτών θεωρούνται σταθερές), όπου οι σταθμίσεις (βάρη) είναι οι πιθανότητες που αναθέτει ο παίκτης j σε κάθε καθαρή στρατηγική οι οποίες συνθέτουν τη μεικτή στρατηγική του. Η εξίσωση (.0) δείχνει ότι η απόδοση u (x) είναι γραμμική στο x j Δ j.

23 Η συνάρτηση u : R m R ονομάζεται συνάρτηση απόδοσης (μεικτής στρατηγικής) του παίκτη. Η συνδυαστική συνάρτηση u: R m R n, που ορίζεται ως u(x) = (u l (x), u (x),..., u n (x)), ονομάζεται αντίστοιχα συνδυασμένη συνάρτηση απόδοσης της μεικτής στρατηγικής του παιγνίου. Ως εναλλακτική στην αναπαράσταση της μεικτής στρατηγικής από την τριάδα G = (I, S, π), μπορεί να είναι και η επέκταση της μεικτής στρατηγικής (Ι Θ, u), όπου Θ είναι ο χώρος της μεικτής στρατηγικής και u η συνδυασμένη απόδοση μεικτής στρατηγικής. Ένα παίγνιο με δύο παίκτες μπορεί να αναπαρασταθεί από τους πίνακες αποδόσεων (Α, Β), όπου Α είναι ο πίνακας απόδοσης του παίκτη και Β ο πίνακας απόδοσης του παίκτη. Ως εκ τούτου, για κάθε ζεύγος μεικτών στρατηγικών στο x Δ, και x Δ, θα έχουμε: h u ( x x a x x Ax (.) και ) m m k h hk k m h m T u ( x) x b x x B x x B x k h hk k () Παράδειγμα. Η συνδυασμένη απόδοση μεικτής στρατηγικής u: R 4 R στο Δίλημμα του Φυλακισμένου από το παράδειγμα. ορίζεται από τις εξισώσεις κατωτέρω: u (x) = x Ax = 4x x + x (5x +3x ) u (x) = x Bx = x (4x + 5x ) + 3x x Όμως x + x =, συνεπώς η u (x), δίνει: u (x) = ( + x ) x + 4x, δηλαδή βλέπουμε πως η u (x) είναι αύξουσα συνάρτηση του x και μεγιστοποιείται στο Δ με τη στρατηγική x e. 3

24 .4. Βέλτιστες Αποκρίσεις (Best Reples) Ως καθαρή βέλτιστη απόκριση (pure best reply) για τον παίκτη έναντι ενός προφίλ στρατηγικής y Θ θεωρούμε την καθαρή στρατηγική s S, τέτοια ώστε καμία άλλη διαθέσιμη καθαρή στρατηγική του παίκτη να του δίνει υψηλότερη απόδοση ενάντια στην y. Η καθαρή βέλτιστη απόκριση καθαρής στρατηγικής β : Θ S του -παίκτη, αντιστοιχίζει κάθε προφίλ μεικτής στρατηγικής y Θ στο μη κενό και πεπερασμένο σύνολο: h k y) { hs : u ( e, y ) u ( e, y ), k S } (.3) ( των καθαρών βέλτιστων αποκρίσεων του παίκτη ενάντια στη στρατηγική y. Δεδομένου ότι κάθε μεικτή στρατηγική είναι ένας κυρτός (convex) καθαρών στρατηγικών και η απόδοση u (x, y - ) είναι γραμμική για x, καμία μεικτή στρατηγική x Δ δεν μπορεί να δώσει υψηλότερη απόδοση στον παίκτη ενάντια στην y Θ, από τις καθαρές βέλτιστες αποκρίσεις του παίκτη έναντι στην y. Επομένως, για κάθε y Θ, x Δ και h β (y) u ( x, y Επομένως: m k h h ) u ( e, y) xk u ( e, y) xk u ( e, y) (.4) k m k h y) { hs :u (e,y ) u (x,y ), x Δ } (.5) ( Μια μεικτή βέλτιστη απόκριση για τον παίκτη σε ένα προφίλ στρατηγικής y Θ είναι μία στρατηγική x Δ, τέτοια ώστε καμία άλλη μεικτή στρατηγική δεν δίνει υψηλότερη απόδοση στο παίκτη έναντι στη στρατηγική y. Κάθε καθαρή βέλτιστη απόκριση αν θεωρηθεί ως μεικτή στρατηγική είναι επίσης και μεικτή βέλτιστη απόκριση. Από τη γραμμικότητα του u (x, y - ) στην x, κάθε κυρτός συνδυασμός καθαρών βέλτιστων αποκρίσεων αποτελεί μία μεικτή βέλτιστη απόκριση. Αντίστοιχα, η μεικτή στρατηγική βέλτιστων 4

25 αποκρίσεων ~ : αντιστοιχίζει κάθε προφίλ μεικτής στρατηγικής y Θ στην όψη του Δ η οποία καλύπτεται από καθαρές βέλτιστες αποκρίσεις της y. ~ β(y) { x Δ:u(x,y ) u(z,y { x : x 0, h ( y)} h ) z Δ} { x : C( x ) ( y) (.6).5. Ισορροπία Κατά Nash (Nash Equlbrum) Μία από τους ακρογωνιαίους λίθους της θεωρίας παιγνίων, που συνδέεται με τις περισσότερες οικονομικές θεωρίες, είναι η έννοια της ισορροπίας κατά Nash (Nash 950 a, b, 95). Κατ ουσία η ισορροπία κατά Nash απαιτεί από ένα προφίλ στρατηγικής x Θ κάθε x συνιστώσα της στρατηγικής να είναι η βέλτιστη όχι μόνο σε κάποια πεποίθηση του παίκτη- σχετικά με τις στρατηγικές των άλλων, αλλά να είναι η βέλτιστη και υπό την υπόθεση ότι η x θα επιλεχθεί. Ορισμός Με βάση την ανάλυση που έγινε για τις βέλτιστες αποκρίσεις ένα προφίλ ~ x στρατηγικής x Θ αποτελεί σημείο ισορροπίας κατά Nash, αν ( ). x.6. Αυστηρή Ισορροπία κατά Nash (Strct Nash Equlbrum) Η ισορροπία κατά Nash x Θ καλείται αυστηρή αν κάθε στοιχείο της στρατηγικής x είναι η μοναδική βέλτιστη απόκριση στο x, δηλαδή αν ~ ( x) { x}. Ενώ το κριτήριο ισορροπίας κατά Nash απαιτεί καμιά μονομερής απόκλιση να μην είναι επικερδής, η αυστηρή ισορροπία απαιτεί όλες οι αποκλίσεις να έχουν κόστος. Μία αυστηρή ισορροπία δεν μπορεί επομένως να περιλαμβάνει καμιά τυχαιοποίηση, εφόσον τότε θα υπήρχε ένας 5

26 τουλάχιστον παίκτης για τον οποίο τουλάχιστον δύο καθαρές στρατηγικές δίνουν την ίδια μέγιστη απόδοση. Επομένως κάθε αυστηρή ισορροπία είναι προφίλ καθαρής στρατηγικής (μια κορυφή του πολυέδρου Θ). Στο Δίλημμα του Φυλακισμένου το προφίλ καθαρής στρατηγικής s = (, ) αποτελεί αυστηρό σημείο ισορροπίας κατά Nash..7. Διατήρηση των Σημείων Ισορροπίας κατά Nash Οι υπολογισμοί σε ένα παίγνιο μπορεί να απλοποιηθούν σημαντικά κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων διατήρησης του συνόλου Θ NE των σημείων ισορροπίας κατά Nash, με βάση τις εξής δύο παρακάτω ιδιότητες. Πρώτον, οποιαδήποτε δύο παίγνια G = (I, S, π) και G = (I, S, π ) διαφέρουν μεταξύ τους κατά μία θετική μεταβολή (postve affne transformaton) της συνάρτησης απόδοσης κάθε παίκτη είναι ισοδύναμα. Αν για κάθε παίκτη I, υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός λ και μ έτσι ώστε π (s) = λ π (s) + μ για όλα τα προφίλ s S, τότε τα δύο παίγνια έχουν τις ίδιες βέλτιστες αποκρίσεις και τις ίδιες σχέσεις κυριαρχίας μεταξύ των στρατηγικών. Ειδικότερα, το σύνολο Θ NE των σημείων ισορροπίας κατά Nash είναι αναλλοίωτο κάτω από τέτοιες μεταβολές των αποδόσεων. Δεύτερον, το σύνολο των βέλτιστων αποκρίσεων και η σειρά κυριαρχίας των στρατηγικών παραμένουν αμετάβλητες από την πρόσθεση της ίδιας σταθεράς σε όλες τις αποδόσεις του παίκτη που σχετίζονται με οποιονδήποτε σταθερό καθαρό συνδυασμό s- των άλλων παικτών. Ειδικότερα, για I, s s s j S j και v R, ορίζουμε π ι (s) = π (s) + v αν, αλλιώς π ι (s) = π (s). Τότε για όλα τα προφίλ και τις στρατηγικές του παίκτη ισχύει: u x, y ) u( z, y ) u ( x, y ) u ( z, y ) (.7) ( Επομένως όποτε ο παίκτης συγκρίνει οποιεσδήποτε δύο μεικτές ή καθαρές στρατηγικές, θα καταλήγει στην ίδια διαφορά απόδοσης, ασχέτως από της τιμής της σταθεράς v και τις στρατηγικές των άλλων παικτών 6

27 Παράδειγμα.3 Έστω ένα παίγνιο δύο παικτών με πίνακες απόδοσης: A 0, B Με την αφαίρεση μίας () μονάδας από κάθε στοιχείο στην πρώτη στήλη του Α η βέλτιστη απόκριση του πρώτου παίκτη δεν αλλάζει. Ομοίως, με την αφαίρεση τεσσάρων (4) μονάδων από κάθε στοιχείο από τη δεύτερη γραμμή του πίνακα Β, οι βέλτιστες αποκρίσεις παραμένουν αναλλοίωτες. Με την εφαρμογή αυτών των μεταβολών καταλήγουμε στους πίνακες Α και Β. Επιπλέον, μπορούμε να διαιρέσουμε διά δύο () όλα τα στοιχεία του Β' χωρίς να επηρεάζονται και πάλι οι βέλτιστες αποκρίσεις του παίκτη (εφαρμογή postve affne transformaton) και έτσι καταλήγουμε σε δύο πίνακες αποδόσεων (Α, Β ) μόνο με μηδενικά και μονάδες. Το σύνολο του σημείων ισορροπίας κατά Nash δεν επηρεάζεται, αλλά οι υπολογισμοί απλοποιούνται σημαντικά. A ' 0 0, B' 0 0, 0 B'' Συμμετρικά Παίγνια Δύο Παικτών (B T =A) Η υποκατηγορία των συμμετρικών παιγνίων δύο παικτών παρέχει τη βάση για το μεγαλύτερο μέρος της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων, και μάλιστα πολλές από τις πιο σημαντικές γνώσεις μπορεί να γίνουν αντιληπτές από αυτήν την ειδική υποκατηγορία. Πιο συγκεκριμένα, ένα παίγνιο G = (I, S, p) είναι συμμετρικό παίγνιο δύο παικτών αν I = {, }, S = S και π (s, s ) = π (s, s ) για όλα τα (s, s ) S. Η απαίτηση αυτή στη συμμετρία των αποδόσεων για τις καθαρές στρατηγικές είναι ισοδύναμη με την απαίτηση ότι ο πίνακας απόδοσης του δεύτερου παίκτη είναι ο ανάστροφος του πρώτου παίκτη: B = A T. 7

28 Με άλλα λόγια, η απόδοση b j στον παίκτη, όταν παίκτης χρησιμοποιεί καθαρή στρατηγική και ο παίκτης χρησιμοποιεί καθαρή στρατηγική j, είναι ίση με την απόδοση a j στον παίκτη όταν ο παίκτης χρησιμοποιεί καθαρή στρατηγική j και ο παίκτης χρησιμοποιεί καθαρή στρατηγική. Το γνωστό παίγνιο, το Δίλημμα του Φυλακισμένου είναι ένα συμμετρικό παίγνιο..9. Διπλά Συμμετρικά Παίγνια (A T =A) Ένα συμμετρικό παίγνιο δύο παικτών είναι διπλά-συμμετρικό, αν A T =A. Εφόσον για τη συμμετρία απαιτείται B T =A, ένα παίγνιο είναι διπλά συμμετρικό αν και μόνο αν B=A ή ισοδύναμα αν u(x,y) = u(y,x). Παράδειγμα.4 Το x παίγνιο που περιγράφεται από τους παρακάτω πίνακες απόδοσης A 0 0 B 0 0 είναι διπλά συμμετρικό (ονομάζεται παίγνιο Συντονισμού ή Συνεργασίας). Οι δύο παίκτες εδώ προτιμούν (αυστηρά) το προφίλ στρατηγικής s = (,) που δίνει απόδοση. Το s είναι ένα αυστηρό σημείο ισορροπίας κατά Nash. Εντούτοις, η καθαρή στρατηγική s = (, ) είναι επίσης αυστηρή ισορροπία κατά Nash με απόδοση για κάθε παίκτη. Το παίγνιο έχει και ένα τρίτο σημείο ισορροπίας κατά Nash, το οποίο είναι μεικτό. Είναι το συμμετρικό ζεύγος (x, x) Δ, όπου x = (/3, /3). Η απόδοση σε κάθε παίκτη σε αυτό το σημείο ισορροπίας είναι /3 και είναι μικρότερη από τις υπόλοιπες. Τα σημεία ισορροπίας κατά Nash είναι επομένως τρία: δύο αυστηρά και ένα εσωτερικό. 8

29 .0. Συμμετρική Ισορροπία κατά Nash Στα συμμετρικά παίγνια ένα ζεύγος στρατηγικής (x, y) Θ = Δ αποτελεί σημείο ισορροπίας κατά Nash (x, y) Θ αν και μόνο αν x β * (y) και y β * (x). Ένα σημείο ισορροπίας κατά Nash καλείται συμμετρικό αν x=y, δηλαδή αν και οι δύο παίκτες χρησιμοποιούν την ίδια στρατηγική (καθαρή ή μεικτή). Το υποσύνολο των στρατηγικών x Δ που είναι σε ισορροπία κατά Nash θα συμβολίζεται ως: Δ NE = { x Δ: (x, y) Θ NE }. (.8) Όλες οι ισορροπίας κατά Nash ενός συμμετρικού παιγνίου δεν είναι απαραίτητο να είναι συμμετρικές. Παρόλα αυτά, κάθε συμμετρικό παίγνιο έχει μία τουλάχιστον ισορροπία κατά Nash... Κατηγοριοποίηση Συμμετρικών x Παιγνίων Ακόμη και στα πολύ απλά παίγνια δύο παικτών, με μόνο δύο καθαρές στρατηγικές για κάθε παίκτη, εμφανίζονται ορισμένες ομοιότητες και διαφορές μεταξύ της ορθολογιστικής και της εξελικτικής προσέγγισης. Με την παρακάτω ανάλυση θα φανεί πως αναφορικά με τις σχέσεις κυριαρχίας και τις βέλτιστες αποκρίσεις, υπάρχουν μόνο τρεις γενικές κατηγορίες τέτοιων παιγνίων. Με τον όρο "γενική" εννοούνται παίγνια στα οποία δεν υπάρχουν αποδόσεις που να είναι οι ίδιες. Ας θεωρήσουμε ένα συμμετρικό παίγνιο με τον παρακάτω πίνακα απόδοσης: a A a a a Αφαιρώντας το a από τη στήλη και το α από τη στήλη, παίρνουμε τον ισοδύναμο πίνακα A ' a a 0 a 0 a 9

30 Ο νέος πίνακας είναι συμμετρικός και έχουμε επιπλέον καταλήξει σε διπλά συμμετρικό παίγνιο με πίνακα απόδοσης: A ' a 0 0 a όπου a = a - a και a = a - a. Επομένως, κάθε συμμετρικό x παίγνιο, μπορεί μετά από την κανονικοποίηση να προσδιοριστεί ως ένα σημείο a = (a, a ) R στο επίπεδο. Αποδεικνύεται ότι τα παίγνια σε κάθε κατηγορία έχουν τις ίδιες ποιοτικά βέλτιστες αποκρίσεις και αυτές της κατηγορίας IV είναι απλώς κατοπτρικές της κατηγορίας I. Από αυτήν την άποψη, υπάρχουν μόνο τρεις κατηγορίες στα συμμετρικά x παίγνια, όπου και οι τέσσερεις αποδόσεις είναι a j είναι διακριτές. Σε ένα τέτοιο παίγνιο τα a και a είναι πάντοτε μη μηδενικά. Κατηγορία Ι Στα παίγνια αυτής της κατηγορίας, όπου a <0 και a >0, είναι προφανές ότι η στρατηγική κυριαρχεί επί της στρατηγικής. Επομένως, σε όλα αυτά τα παίγνια Θ NE = {(e, e )} και Δ NE = {e }. Το Δίλημμα του Φυλακισμένου του παραδείγματος. ανήκει σε αυτήν την κατηγορία των παιγνίων. 0

31 Κατηγορία ΙI Τα παίγνια αυτής της κατηγορίας, όπου a >0 και a >0, έχουν δύο συμμετρικές ισορροπίες Nash και μία μεικτή την x = {(a /(a +a ), a /( a +a ) Δ} που είναι σε ισορροπία κατά Nash με την ίδια. Επομένως, έχουμε Θ NE = {(e, e ), (e, e ), (x, x)} και Δ NE = {e, e, x}. Τα παίγνια αυτής της κατηγορίας ονομάζονται και παίγνια Συνεργασίας ή Συντονισμού. Κατηγορία ΙII Στα παίγνια αυτής της κατηγορίας, όπου a <0 και a <0, καμία στρατηγική δεν κυριαρχείται από καμιά άλλη, αλλά η βέλτιστη απόκριση σε μία καθαρή στρατηγική είναι η άλλη καθαρή στρατηγική. Επομένως, αυτά τα παίγνια έχουν δύο ασύμμετρες αυστηρές ισορροπίες Nash και μία συμμετρική μεικτήστρατηγική Nash: Θ NE = {(e, e ), (e, e ), (x, x)} και Δ NE = {x}, όπου το x είναι αυτό που υπολογίστηκε στην κατηγορία II. Ένα παίγνιο που ανήκει σε αυτήν την κατηγορία είναι το παίγνιο Γεράκι-Περιστέρι. Κατηγορία IV Σε όλα τα παίγνια αυτής της κατηγορίας, όπου a >0 και a <0, έχουμε Θ NE = {(e, e )} και Δ NE = {e }. Αυτή η κατηγορία είναι συνεπώς όμοια με την κατηγορία I και μπορεί να παραληφθεί χωρίς απώλεια στις γενικές κατηγορίες.

32

33 3. ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ 3.. Εξελικτικά Ευσταθείς Στρατηγικές (ESS) Μια βασική έννοια στην εξελικτική θεωρία παιγνίων εκείνη της Εξελικτικά Ευσταθής Στρατηγικής (Evolutonary Stable Strategy, ESS) (Maynard Smth and Prce 973, Maynard Smth 974, 98). Μια τέτοια στρατηγική είναι ανθεκτική (robust) στις εξελικτικές πιέσεις επιλογής, κατά την ακριβή έννοια του όρου. Έστω ότι άτομα επιλέγονται επανειλημμένως τυχαία από έναν μεγάλο πληθυσμό να παίξουν ένα συμμετρικό παίγνιο δύο ατόμων, και ας υποθέσουμε ότι αρχικά όλα τα άτομα είναι γενετικά ή με άλλο τρόπο «προγραμματισμένα» να επιλέξουν μία συγκεκριμένη καθαρή ή μεικτή στρατηγική σε αυτό το παίγνιο. Σε αυτόν τον πληθυσμό, θεωρούμε ότι παρεισφρέει (nvade) ένα πλήθος ατόμων (σε μικρό ποσοστό σε σχέση με το συνολικό πληθυσμό) που έχουν προγραμματιστεί να παίξουν κάποια άλλη καθαρή ή μεικτή στρατηγική. Η ήδη υφιστάμενη κυρίαρχη στρατηγική λέγεται ότι είναι εξελικτικά σταθερή (evolutonary stable) αν, για κάθε μεταλλαγμένη στρατηγική, υπάρχει ένα θετικό όριο εισβολής τέτοιο ώστε εάν το ποσοστό στον πληθυσμό των ατόμων που παίζει τη μεταλλαγμένη στρατηγική είναι μικρότερο από αυτό το όριο, η υφιστάμενη κυρίαρχη στρατηγική κερδίζει υψηλότερη απόδοση σε σχέση με την μεταλλαγμένη στρατηγική. Αυτή η προσέγγιση επικεντρώνεται σε αλληλεπιδράσεις συμμετρικών ζευγών μέσα σε ένα ενιαίο μεγάλο πληθυσμό. Δεν ασχολείται με τις αλληλεπιδράσεις που πραγματοποιούνται μεταξύ περισσοτέρων από δύο άτομα σε μια στιγμή. Επιπλέον το κριτήριο της εξελικτικής σταθερότητας αναφέρεται έμμεσα σε μια στενή σχέση ανάμεσα στις αποδόσεις στο παίγνιο και στην εξάπλωση μιας στρατηγικής σε έναν πληθυσμό. Οι αποδόσεις στο παίγνιο υποτίθεται ότι αφορούν είτε το κέρδος στην βιολογική ικανότητα (bologcal ftnesss) είτε την αναπαραγωγική αξία από την εν λόγω αλληλεπίδρασης (Ο όρος ftness είναι μια λεπτή έννοια η οποία εδώ σημαίνει απλά τον αριθμό των απογόνων που επιβιώνουν για την αναπαραγωγή (Maynard Smth (98)). Αυτή η βιολογική ερμηνεία στο κριτήριο της εξελικτικής σταθερότητας μπορεί να 3

34 ειπωθεί ότι γενικεύει την έννοια του Δαρβίνου για την επιβίωση του ισχυρότερου από ένα εξωγενές περιβάλλον σε ένα στρατηγικό περιβάλλον όπου η καταλληλότητα (ftness) μιας συγκεκριμένης συμπεριφοράς (στρατηγικής) εξαρτάται από τιw συμπεριφορές (στρατηγικές) των άλλων. Ωστόσο, όπως και με την ισορροπία κατά Nash, η ιδιότητα της εξελικτικής ευστάθειας δεν εξηγεί πως καταλήγει ένας πληθυσμός σε μια τέτοια στρατηγική. Αντ 'αυτού, διερευνά αν αυτή η στρατηγική είναι σταθερή (robust) ενάντια σε εξελικτικές πιέσεις. Κατά την ανωτέρω περιγραφή της συνθήκης της εξελικτικής ευστάθειας, ειπώθηκε ότι ο πληθυσμός των ατόμων που παίζουν το παιχνίδι είναι μεγάλος. Παρακάτω, θα αναλύσουμε το ρόλο του μεγέθους του πληθυσμού. Το μέγεθος του πληθυσμού είναι σχετικό με δύο διαφορετικούς τρόπους, ένα μάλλον μηχανικό και ένα στρατηγικό. Πρώτον, προκειμένου τα όρια εισβολής (εκφρασμένα σε ποσοστά του πληθυσμού) να είναι αποτελεσματικό ενάντια στις μεταλλάξεις, είναι σημαντικό το μικρότερο όριο να μην υπερβαίνει το l/n, όπου n είναι το μέγεθος του πληθυσμού. Δεύτερον, ο πληθυσμός θα πρέπει να είναι μεγάλος έτσι ώστε οι επιδράσεις από μεμονωμένες ενέργειες να μπορούν να αγνοηθούν σε μελλοντικές ενέργειες. Τέτοιου είδους θέματα που εμφανίζονται σε επαναλαμβανόμενα παίγνια, αγνοούνται στην ανάλυση της εξελικτικής ευστάθειας. Αντίθετα, αν κάποιος θέλει να μελετήσει τις ιδιότητες της εξελικτικής ευστάθειας των στρατηγικών σε ένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο, μπορεί κανείς να θεωρήσει ως παίγνιο την αλληλεπίδραση των τυχαία επιλεγομένων ζευγών. Ο τρέχων μηχανισμός εφαρμόζεται χωρίς τροποποίηση σε κάθε πεπερασμένο επαναλαμβανόμενο παίγνιο, ενώ απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια απαιτούν ειδική αντιμετώπιση (Fudenberg και Maskn (990)). Η εξελικτική ευστάθεια είναι ένα τεστ ανθεκτικότητας ενάντια σε μια μόνο μετάλλαξη σε μια στιγμή. Είναι ως εάν οι μεταλλάξεις είναι σπάνιες με την έννοια ότι ο πληθυσμός έχει χρόνο για να προσαρμοστεί πίσω στο status quo πριν η επόμενη μετάλλαξη συμβεί. Παρά τη βιολογική ανάλυση, η εξελικτική ευστάθεια παρέχει επίσης ένα σχετικό κριτήριο ευρωστίας για την ανθρώπινη συμπεριφορά σε ένα ευρύ 4

35 φάσμα καταστάσεων, συμπεριλαμβανομένων πολλών αλληλεπιδράσεων στην σφαίρα της οικονομίας. Σε ένα τέτοιο κοινωνικό ή οικονομικό περιβάλλον, η εξελικτική σταθερότητα προϋποθέτει ότι κάθε μικρή ομάδα ατόμων που προσπαθεί να εφαρμόσει κάποια εναλλακτική στρατηγική, τα καταφέρνει λιγότερο καλά από ό, τι τα άτομα που κολλούν με την υφιστάμενη στρατηγική. Κατά συνέπεια, τα άτομα που χρησιμοποιούν την επικρατούσα στρατηγική δεν έχουν κανένα κίνητρο να αλλάξουν τη στρατηγική τους, αφού τα καταφέρνουν καλύτερα από τους πειραματιστές, και οι τελευταίοι έχουν κίνητρο να επιστρέψουν στην επικρατούσα στρατηγική. Μια εξελικτικά ευσταθής στρατηγική σε ένα τέτοιο κοινωνικό ή οικονομικό περιβάλλον μπορεί να θεωρηθεί ως σύμβαση. 3.. Εξελικτικά Ευσταθείς Στρατηγικές και Ισορροπία κατά Nash Ας υποθέσουμε ότι μια μικρή ομάδα μεταλλαγμένων (άτομα που δεν χρησιμοποιούν την επικρατούσα στρατηγική) εμφανίζεται σε ένα μεγάλο πληθυσμός ατόμων, όπου όλοι είναι προγραμματισμένοι να παίξουν την ίδια (μεικτή ή καθαρή) επικρατούσα στρατηγική x Δ. Ας υποθέσουμε, επίσης, ότι οι μεταλλαγμένοι είναι όλοι προγραμματισμένοι να παίξουν διαφορετική (καθαρή ή μεικτή) στρατηγική y Δ από την επικρατούσα. Το ποσοστό ε των μεταλλαγμένων στην νέα κατάσταση του πληθυσμού ε (0, ). Ζεύγη των ατόμων σε αυτόν τον βιομορφικό πληθυσμό (δύο ξεχωριστές στρατηγικές παρούσες) επανειλημμένα κληρώνονται τυχαία για να παίξουν το παίγνιο με κάθε άτομο να επιλέγεται με την ίδια πιθανότητα. Ως εκ τούτου, εάν ένα άτομο επιλέγεται να παίξει στο παίγνιο, τότε η πιθανότητα ότι ο αντίπαλος θα παίξει την μεταλλαγμένη στρατηγική y είναι ε ενώ ότι θα παίξει την επικρατούσα είναι x είναι -ε. Η απόδοση σε έναν αγώνα σε αυτόν το βιομορφικό πληθυσμό είναι η ίδια όπως με ένα άτομο που παίζει τη μεικτή στρατηγική w = εy + (-ε)x Δ. Η νέα απόδοση της επικρατούσας στρατηγικής είναι u(x, w), ενώ της μεταλλαγμένης είναι u(y, w). Η βιολογική διαίσθηση υποδεικνύει ότι οι εξελικτικές δυνάμεις πιέζουν έναντι της μεταλλαγμένης στρατηγικής, αν και μόνο αν η νέα απόδοση είναι χαμηλότερη από αυτήν της επικρατούσας στρατηγικής, δηλαδή εάν: 5

36 u [x, εy + (-ε) x] > u [y, εy + (-ε) x] (3.) Μια στρατηγική x Δ λέγεται ότι είναι εξελικτικά ευσταθής εάν αυτή η ανισότητα ισχύει για κάθε "μεταλλαγμένη" στρατηγική, δεδομένου ότι το ποσοστό των μεταλλαγμένων στο σύνολο του πληθυσμού είναι επαρκώς μικρό (Maynard Smth and Prce 973, Maynard Smth 974). Ισοδύναμα, μπορούμε να πούμε ότι μία στρατηγική είναι εξελικτικά ευσταθής αν ικανοποιεί τις δύο παρακάτω συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης: ) Συνθήκης Ισορροπίας u( x, y) u( x, x), y (3.) ) Συνθήκης Ευστάθειας u( y, x) u( x, x) u( y, y) u( x, y), y x (3.3) Η πρώτη συνθήκη δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο ορισμός της Ισορροπίας κατά Nash. Δείχνει πως αν η x είναι ESS, τότε πρέπει να αποτελεί και συμμετρική ισορροπία κατά Nash. Επομένως η εξελικτική ευστάθεια υπονοεί Ισορροπία κατά Nash ή αλλιώς Δ ESS Δ NE. Η πρώτη συνθήκη από μόνη της δεν αρκεί για να εγγυηθεί ότι η μεταλλαγμένη στρατηγική y δεν θα κυριαρχήσει. Η συνθήκη ευστάθειας απαιτεί η κυριαρχούσα στρατηγική x να αποδίδει καλύτερα έναντι στην y απ ότι η y στον εαυτό της. Λόγω της δεύτερης συνθήκης δεν είναι όλες οι συμμετρικές ισορροπίες Nash εξελικτικά ευσταθείς. Όμως αν η x είναι μια αυστηρή ισορροπία κατά Nash τότε η x είναι ESS. Μαζί, αυτές οι δύο παραπάνω συνθήκες χαρακτηρίζουν την εξελικτική ευστάθεια που έτσι είχε αρχικά ορισθεί (Maynard Smth and Prce 973, Maynard Smth 974). Τέλος, ένας ακόμη ισοδύναμος τρόπος για να εκφραστούν οι παραπάνω εξισώσεις εξελικτικής ευστάθειας είναι ο εξής: ESS NE * { x : u( y, y) u( x, y) y ( x), y x} (3.4) 6

37 Παράδειγμα 3. Έστω το παίγνιο Γερακιού Περιστεριού με πίνακα απόδοσης A 0 4 H μοναδική συμμετρική ισορροπία κατά Nash είναι η x = (/3, /3) Δ. Είναι επομένως και η μοναδική υποψήφια για τη στρατηγική ESS. Εφόσον η x δεν είναι καθαρή στρατηγική, κάθε στρατηγική y Δ είναι βέλτιστη απόκριση στην x. Επομένως για όλα τα y x έχουμε: u ( y, y) u( x, y) u( x, y) u( y, y) 0 xay yay 0 ( x y) Ay 0 u ( x y, y) 0 Επομένως για κάθε x, y Δ έχουμε: u (x-y, y) = (x y )( 3y ). Για x = (/3, /3), έχουμε: u (x-y, y) = (/3)( 3y ), που είναι μια μη αρνητική ποσότητα που μηδενίζεται μόνο όταν x = y, το οποίο και μας αποδεικνύει ότι η x Δ. Επομένως η εξελικτική ευστάθεια απορρίπτει τις περιπτώσεις να υπάρχουν μόνο γεράκια ή μόνο περιστέρια. Αυτές οι περιπτώσεις θα ήταν ευάλωτες στην εισβολή (nvason) μικρού πληθυσμού που χρησιμοποιεί τη μη επικρατούσα στρατηγική Κατηγοριοποίηση Συμμετρικών x Παιγνίων Στην παράγραφο.7 αποδείχθηκε ότι οι διαφορές στις αποδόσεις ανάμεσα σε δύο στρατηγικές ενός παίκτη, με δεδομένες τις στρατηγικές του άλλη παίκτη, είναι αμετάβλητες σε τοπικές μεταβολές (local shfts) των συναρτήσεων 7

38 απόδοσης. Εφόσον η ισορροπία κατά Nash ορίζεται με βάση αυτές τις διαφορές στην απόδοση, το σύνολο Δ NE είναι κι αυτό αμετάβλητο κάτω από αυτές τις μεταβολές. Επίσης και η εξελικτική ευστάθεια ορίζεται με βάση αυτές τις μεμονωμένες διαφορές κι επομένως το σύνολο Δ ESS είναι κι αυτό αμετάβλητο κάτω από αυτές τις μεταβολές. Συνεπώς, στο πλαίσιο των εξελικτικών παιγνίων, ο πίνακας απόδοσης A για όποιο x παίγνιο μπορεί να κανονικοποιηθεί στην παρακάτω μορφή: a A 0 0 a όπου a l = a - a and a = a - a. Για την κατηγοριοποίηση των συμμετρικών x παιγνίων, επικεντρωνόμαστε στην γενική περίπτωση, όπου a a 0, με βάση τη μορφή που ακολουθήσαμε στην παράγραφο.. Κατηγορίες I και IV Αν a a < 0 τότε έχουμε παίγνιο όπως αυτό με το Δίλημμα του Φυλακισμένου και το παίγνιο έχει μόνο ένα σημείο ισορροπίας κατά Nash. Αυτή η ισορροπία είναι αυστηρή και συμμετρική. Επομένως αυτά τα παίγνια έχουν ακριβώς μία ESS, όπου: Δ ESS = Δ NE = {e } αν a l <<0 (κατηγορία I) και Δ ESS = Δ NE = {e } αν a <<0 (κατηγορία IV). Κατηγορίες II Αν a και a είναι θετικά, τότε έχουμε παίγνιο Συνεργασίας, και υπάρχουν τρεις ισορροπίες Nash οι οποίες είναι όλες συμμετρικές, όπου: Δ NE = {e l, e, x}, όπου x = λe + ( - λ)e, με λ = a /(a l + a ). Κάθε μία από τις καθαρές ισορροπίες είναι αυστηρή, επομένως οι e και e είναι εξελικτικά ευσταθείς. Εντούτοις, η στρατηγική x δεν είναι, εφόσον όλες οι y Δ είναι βέλτιστες αποκρίσεις στο x, π.χ. Η y = e κερδίζει περισσότερο έναντι στον εαυτό της απ ότι η x έναντι σε αυτήν: u(e, e ) = a > λa = u (x, e ). Τελικά, Δ ESS ={e, e } 8

39 Κατηγορίες III Αν a και a είναι αρνητικά, τότε έχουμε παίγνιο όπως αυτό με το Γεράκι- Περιστέρι. Τέτοιο παίγνιο έχει δύο αυστηρές μη συμμετρικές ισορροπίας κατά Nash και μία συμμετρική: Δ NE = {x}, όπου το x ορίζεται όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Εντούτοις, αυτή τη φορά η x είναι εξελικτικά ευσταθής εφόσον για κάθε y Δ, έχουμε: u( x, y) a y ( a ) και για όλα τα y x, έχουμε: y aa a a u( y, y) a y a y aa a a Εντέλει, Δ ESS ={x} για όλα τα παίγνια αυτής της κατηγορίας Μη Ύπαρξη ESS Υπάρχουν παίγνια που δεν έχουν καμία εξελικτικά ευσταθής στρατηγική. Αυτή είναι η περίπτωση του Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί (Rock-Scssors-Paper, RSP). Η μοναδική συμμετρική ισορροπία κατά Nash είναι η x (,, ). Εφόσον αυτή είναι εσωτερική (nteror), όλες οι στρατηγικές y Δ είναι βέλτιστες αποκρίσεις στη x. Εντούτοις η μεταλλαγμένη y = e έχει απόδοση ενάντια στον εαυτό της, που είναι ακριβώς όσο η x κερδίζει ενάντια στην y. Συνεπώς η x δεν ικανοποιεί το κριτήριο δεύτερης τάξης

40 30

41 4. REPLICATOR DYNAMICS Σε γενικές γραμμές, μια εξελικτική διαδικασία συνδυάζει δύο βασικά στοιχεία: ένα μηχανισμό μετάλλαξης που παρέχει την ποικιλία και ένα μηχανισμό επιλογής που ευνοεί ορισμένες ποικιλίες σε σχέση με άλλες. Ενώ το κριτήριο της εξελικτικής ευστάθειας δίνει έμφαση στο ρόλο των μεταλλάξεων, τα replcator dynamcs αναδεικνύουν το ρόλο της επιλογής. Στην τυπική τους σύνθεση τα replcator dynamcs σχηματίζονται ως ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που δεν περιλαμβάνουν κανέναν μηχανισμό μετάλλαξης. Αντιθέτως, η σταθερότητα ενάντια στις μεταλλάξεις έχει έμμεσα ληφθεί υπόψη τα κριτήρια δυναμικής σταθερότητας. Στα κριτήρια εξελικτικής ευστάθειας όπως αυτά εξετάστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο, τα άτομα είχαν θεωρηθεί ότι μπορούσαν να εκτελέσουν καθαρές ή μεικτές στρατηγικές. Αντιθέτως, με τα (συνήθη) replcator dynamcs τα άτομα μπορούν να επιλέγουν μόνο καθαρές στρατηγικές. Έτσι, αντί μια μεικτή στρατηγική που επιλέγεται από κάθε άτομο να ερμηνεύεται ως συγκεκριμένη τυχαιοποίηση, σε αυτήν την περίπτωση μια μεικτή στρατηγική x θεωρείται ως μία του πληθυσμού, όπου κάθε x στοιχείο αντιπροσωπεύει ένα ποσοστό του πληθυσμού που επιλέγουν την αντίστοιχη καθαρή στρατηγική. Ισχύει και εδώ βέβαια, η τυχαία σύγκρισή ζευγών ατόμων, όπου οι αποδόσεις εξοφλήσεις αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των απογόνων (ftness) και κάθε απόγονος κληρονομεί τη γονική στρατηγική. Αν η αναπαραγωγή συμβαίνει συνεχώς (contnuously) στο χρόνο τότε αυτή καταλήγει σε συγκεκριμένη δυναμική πληθυσμού σε συνεχές χρόνο (Taylor and Jonker 978). Τα Replcators είναι κατ ουσίαν οι καθαρές στρατηγικές. Αντιγράφονται από τον γονέα στον απόγονο χωρίς λάθη και τα άτομα στον πληθυσμό είναι οι φορείς αυτών. Καθώς η κατάσταση του πληθυσμού αλλάζει, έτσι αλλάζουν και οι αποδόσεις στις καθαρές στρατηγικές όπως και το αντίστοιχο ftness. 3

42 4.. Βασικές Αρχές Για την ανάλυση των replcators dynamcs αρχικά θεωρούμε μεγάλο αλλά πεπερασμένο πληθυσμό, με δυνατότητα να επιλέξει καθαρές στρατηγικές K σε συμμετρικό παίγνιο δύο ατόμων με πολύεδρο μεικτής στρατηγικής Δ και συνάρτηση απόδοσης u. Ο ίδιος μηχανισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για replcator dynamcs μεικτής στρατηγικής, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν πεπερασμένες μεικτές στρατηγικές. Για κάθε χρονική στιγμή t, ορίζουμε ως p (t) 0 τον αριθμό των ατόμων που επιλέγουν την καθαρή στρατηγική K και p t) p ( t) 0 ( ο συνολικός πληθυσμός. Η κατάσταση του K πληθυσμού (populaton state) ορίζεται ως το διάνυσμα x(t) = (x (t),, x k (t)) όπου η κάθε συνιστώσα x (t) αποτελεί το ποσοστό του πληθυσμού (η αλλιώς φαινότυπος) που επιλέγει τη στρατηγική σε χρόνο t και ισχύει x (t)=p (t)/p(t). Επομένως x(t) Δ ή αλλιώς η κατάσταση του πληθυσμού είναι ταυτόσημη με τη μεικτή στρατηγική του παιγνίου. Η αναμενόμενη απόδοση κάθε καθαρής στρατηγικής σε οποιαδήποτε τυχαία αντιπαραβολή, όταν ο πληθυσμός είναι σε κατάσταση x Δ είναι αντίστοιχα u(e, x). Η αντίστοιχη μέση απόδοση πληθυσμού u(x, x), η απόδοση δηλαδή ενός ατόμου που επιλέγεται τυχαία από έναν τέτοιον πολυμορφικό πληθυσμό είναι η ίδια με την απόδοση της μεικτής στρατηγικής x όταν παίζεται εναντίον της ίδιας, όπου: k u( x, x) xu( e, x) (4.) 4.. Replcator Equaton Ας θεωρήσουμε ότι οι αποδόσεις παριστάνουν το αυξητικό φαινόμενο της ftness ενός ατόμου από την συμμετοχή του στο παίγνιο, μετρημένο σε αριθμό απογόνων ανά χρονική μονάδα, όπως επίσης ότι κάθε απόγονος κληρονομεί τη στρατηγική του γονέα. Αν η αναπαραγωγή συμβαίνει συνεχώς μέσα σε ένα χρονικό διάστημα, όταν ο ρυθμός γεννήσεων σε χρόνο t, των ατόμων που 3

43 επιλέγουν την καθαρή στρατηγική, είναι: β+(e, x), όπου β 0 είναι η υπάρχουσα ftness των ατόμων και είναι ανεξάρτητη από τα αποτελέσματα του παιγνίου. Υποθέτουμε επίσης ότι και ο ρυθμός θανάτων δ 0 είναι ίδιος για όλα τα άτομα του πληθυσμού. Με βάση τα παραπάνω καταλήγουμε στην παρακάτω εξίσωση, που περιγράφει τη δυναμική του πληθυσμού (populaton dynamcs): p (4.) p [ u( e, x) ] Η αντίστοιχη εξίσωση για τη δυναμική του ποσοστού του πληθυσμού x προκύπτει ως εξής: x ( t) p( t) p ( t) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη ως προς t, έχουμε: px px px px p p px [ u( e, x) ] p [ u( x, x) ] px Διαιρώντας και τα δύο μέλη ως προς p, έχουμε: x (4.3) x [( e, x) u( x, x)] Με άλλα λόγια, ο ρυθμός ανάπτυξης (growth rate) x x του ποσοστού του πληθυσμού που χρησιμοποιεί τη στρατηγική ισούται με τη διαφορά της παρούσας απόδοσης της στρατηγικής με την παρούσα μέση απόδοση του πληθυσμού, ή αλλιώς: x x = ftness of p average ftness Ο ρυθμός ανάπτυξης είναι ανεξάρτητος από τον υφιστάμενο ρυθμό γεννήσεων και θανάτων β και δ, εφόσον είναι αυτοί είναι ίδιοι για όλον τον πληθυσμό. Η εξίσωση (4.3) λοιπόν μας δίνει το δυναμικό σύστημα των replcators (Taylor and Jonker 978). Με βάση και τη γραμμικότητα της απόδοσης u(x, y) στη x, η δυναμική του συστήματος μπορεί να γραφτεί ως 33

44 x (4.4) x ( e x, x) Συνεπώς, τα άτομα που επιλέγουν στρατηγική με απόδοση που είναι καλύτερη από τη μέση απόδοση θα πολλαπλασιαστούν, ενώ αυτοί που επιλέγουν στρατηγική με απόδοση χειρότερη από τον μέσο όρο θα μειωθούν. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι ο λόγος ανάμεσα σε δύο ποσοστά του πληθυσμού, έστω x και x j, αυξάνεται στο χρόνο αν η στρατηγική έχει μεγαλύτερη απόδοση από τη στρατηγική j. Αντίστοιχα ο λόγος μειώνεται αν η στρατηγική έχει μικρότερη απόδοση από τη στρατηγική j. Μαθηματικά αυτό αποτυπώνεται ως εξής: d dt x x j x x j x x j x x j j [ u( e, x) u( e j x, x)] x j (4.5) 4.3. Σχέση μεταξύ Ισορροπίας κατά Nash και Replcator Equaton Τα σημεία ισορροπίας (rest ponts) της εξίσωσης των replcator dynamcs, δηλαδή τα σημεία μηδενισμού του διανύσματος του δεξιού όρου της εξίσωσης (4.3) είναι τα σημεία x S n και ικανοποιούν την (Ax) = x T Ax για όλα τα supp(x). Έτσι, ένα σημείο ισορροπίας που ανήκει στην nts n (εσωτερικό σημείο ισορροπίας) είναι μία λύση του συστήματος γραμμικών εξισώσεων (Ax) =. = (Ax) n (γενικά, υπάρχει το πολύ μία τέτοια λύση). Ειδικότερα, να προσθέσουμε ότι οι κορυφές e του πολυέδρου (smplex) είναι πάντοτε σημεία ισορροπίας. Υπάρχει στενή σχέση μεταξύ των σημείων ισορροπίας της εξίσωσης των replcator dynamcs και των ισορροπιών κατά Nash σε συμμετρικό παίγνιο με πίνακα απόδοσης Α. Ισχύει ότι: ) αν z είναι ισορροπία κατά Nash, τότε είναι σημείο ισορροπίας. ) αν z είναι μια αυστηρή ισορροπία κατά Nash, τότε είναι ασυμπτωτικά ευσταθής. 34