Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση

Transcript

1 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµι κι δευτεροβάθµι εκπίδευση Κυριζής Χρήστος M.Sc. Μθηµτικός 5o ΓΕΛ Αχρνών address: Πρωτοππάς Ελευθέριος Ph.D., M.Sc. Μθηµτικός 7o ΓΕΛ Περιστερίου address: Περίληψη Οι ολοκληρωτικές εξισώσεις εµφνίζοντι στη µθηµτική µοντελοποίηση σηµντικών προβληµάτων στη φυσική κι στη ιτρική, όπως η διάδοση κι η σκέδση ηλεκτροµγνητικών κυµάτων κι η διάδοση κουστικών κι ελστικών κυµάτων. Επίσης, έχουν θεµελιώδη ρόλο στην νάπτυξη της συνρτησικής νάλυσης κι πρέχουν το θεωρητικό πλίσιο γι τη µθηµτική έρευν. Μι µεγάλη κλάση προβληµάτων ρχικών κι συνορικών τιµών που εµπλέκουν διφορικές εξισώσεις (συνήθεις ή µερικές) µπορούν ν µετσχηµτιστούν σε ολοκληρωτικές, οπότε µι κριβής ή µι προσεγγιστική λύση µπορεί ν βρεθεί πιο εύκολ. Αρκετά συχνά ολοκληρωτικές εξισώσεις έχουν τεθεί ως θέµ στις εξετάσεις γι την εισγωγή στ ελληνικά πνεπιστήµι. Abstract Integral equations arise in mathematical modeling of important problems in physical sciences, engineering and medicine, such as propagation and scattering of electromagnetic waves and propagation of acoustical and elastic waves. They also play a fundamental role in the development of the functional analysis and provide a theoretical framework for mathematical research. A large class of initial and boundary problems involving differential equations (ordinary or partial) can be translated to integral equations and thus an eact or an approimate solution can be often obtained easier. Quite often, integral equations can serve as eam questions of the entry procedure to the Greek Universities. Εισγωγή

2 Ολοκληρωτική εξίσωση (Σιφρίκς 3, Logan 5, άσιος, Ντούγις ) ονοµάζετι κάθε εξίσωση που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση µέσ στο ολοκλήρωµ, όπως η t y(t) = + y(s)ds. () Η θεωρί των ολοκληρωτικών εξισώσεων ποτελεί σηµντικό κοµµάτι της Μθηµτικής Ανάλυσης, λόγω των εφρµογών της σε προβλήµτ συνορικών τιµών στις διφορικές εξισώσεις. Εφρµογές της εµφνίζοντι (Σιφρίκς 3) στην ιτρική, στη διάδοση µάζς κι θερµότητς, στη θεωρί πιγνίων, στη θεωρί ελέγχου, στην οικονοµί, στη θεωρί δυνµικού, στην ηλεκτροδυνµική, στην κουστική κ.τ.λ. Πολλά πό τ προβλήµτ που εµφνίζοντι στη Φυσική µπορούν ν προτυποποιηθούν µε δύο διφορετικούς ισοδύνµους τρόπους άµεσ συνδεδεµένους µετξύ τους, τις διφορικές κι τις ολοκληρωτικές εξισώσεις. Αυτό δεν σηµίνει ότι οι δύο τρόποι έκφρσης έχουν πρόµοιες ιδιότητες. Συγκεκριµέν, οι διφορικές εξισώσεις περιγράφοντι µε µη φργµένους τελεστές, ενώ οι ολοκληρωτικές εξισώσεις µε φργµένους τελεστές ( άσιος ). Επίσης, οι διφορικές εξισώσεις δίνουν έν σηµεικό χρκτηρισµό των λύσεων, ενώ οι ολοκληρωτικές εξισώσεις χρκτηρίζουν ολικά τις λύσεις. Επιπλέον, έν σηµντικό πλεονέκτηµ των ολοκληρωτικών εξισώσεων ένντι των διφορικών εξισώσεων είνι ότι υτές περιέχουν τις ρχικές ή τις συνορικές συνθήκες ( άσιος ). Σηµειώνουµε πως υπάρχουν προβλήµτ τ οποί οδηγούν άµεσ σε ολοκληρωτικές εξισώσεις, λλά δε µπορούν ν εκφρστούν µε τη βοήθει των διφορικών εξισώσεων (Ντούγις ). Οι ολοκληρωτικές εξισώσεις χωρίζοντι σε δύο µεγάλες κτηγορίες (Σιφρίκς 3, Logan 5, άσιος, Ντούγις ), στις εξισώσεις Fredholm, όπου τ άκρ ολοκλήρωσης είνι στθερά κι στις εξισώσεις τύπου Volterra, όπου έν πό τ άκρ ολοκλήρωσης είνι µετβλητό, προς τιµήν του Σουηδού µθηµτικού I. Fredholm κι του Ιτλού µθηµτικού V. Volterra, ντίστοιχ, οι οποίοι πρώτοι τις µελέτησν συστηµτικά. Στη συνέχει ορίζουµε µερικές ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπου Volterra ή Fredholm. Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις u, f στο [, β ] κι η συνάρτηση Κ, που ονοµάζετι ολοκληρωτικός πυρήνς, µε: K :[, β ] [, β] R. () Ορίζουµε ως ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Volterra πρώτου είδους την εξίσωση µε µορφή:

3 K(, t)u(t)dt= f (), [, β], (3) ως ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Volterra δευτέρου είδους την εξίσωση µε µορφή: u() = K(, t)u(t)dt+ f (), [, β], (4) ως ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Fredholm πρώτου είδους την εξίσωση µε µορφή: β K(, t)u(t)dt= f (), [, β], (5) ως ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Fredholm δευτέρου είδους την εξίσωση µε µορφή: β u() = K(, t)u(t)dt+ f (), [, β], (6) ως ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Fredholm δευτέρου είδους µε πράµετρο την εξίσωση µε µορφή: β u() =λ K(, t)u(t)dt+ f (), [, β], λ R, (7) κι ως ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Fredholm τρίτου είδους την εξίσωση µε µορφή: β g()u() = K(, t)u(t)dt+ f (), [, β], λ R. (8) Είνι εύκολο κάποιος ν δικρίνει ότι οι εξισώσεις (3) κι (5) είνι πρώτου είδους, επειδή η άγνωστη συνάρτηση u εµφνίζετι µόνο στο ολοκλήρωµ, ενώ οι (4) κι (6) είνι δευτέρου είδους, φού η άγνωστη συνάρτηση u βρίσκετι κι εκτός του ολοκληρώµτος. Σε κάθε µί πό τις εξισώσεις (3) ως (8) ν η συνάρτηση f µηδενίζετι τυτοτικά, τότε οι ντίστοιχες εξισώσεις τύπου Volterra ή Fredholm λέγοντι οµογενείς. Οι κυριότερες µέθοδοι γι την επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων (Σιφρίκς 3, Ντούγις ) είνι: η µέθοδος των διδοχικών προσεγγίσεων γι οµλές µη γρµµικές κι γρµµικές ολοκληρωτικές εξισώσεις, η µέθοδος των επνληπτικών πυρήνων γι οµλές γρµµικές ολοκληρωτικές εξισώσεις, η µέθοδος Fredholm γι οµλές γρµµικές ολοκληρωτικές εξισώσεις, 3

4 η µέθοδος Hilbert-Schmidt γι γρµµικές ολοκληρωτικές εξισώσεις µε συµµετρικό πυρήν, η µέθοδος των ολοκληρωτικών µετσχηµτισµών κι η µεττροπή της ολοκληρωτικής εξίσωσης σε ισοδύνµο πρόβληµ ρχικών ή συνορικών τιµών κι η επίλυσή του. Οι µθητές δεν συνντούν γι πρώτη φορά ολοκληρωτικές εξισώσεις στην τριτοβάθµι εκπίδευση. Στην θετική κι στην τεχνολογική κτεύθυνση της Γ Λυκείου υπάρχει πληθώρ σκήσεων µε ολοκληρωτικές εξισώσεις (οι οποίες δεν χρκτηρίζοντι έτσι) σε βοηθήµτ κι στο διδίκτυο, ότν στο σχολικό βιβλίο δεν υπάρχει ούτε µι ολοκληρωτική εξίσωση. Αξιοσηµείωτο είνι ότι ολοκληρωτικές εξισώσεις έχουν τεθεί ως θέµτ κι στις πνελλήνιες εξετάσεις, µε ιδιίτερ δηµοφιλές θέµ τις εξισώσεις τύπου Volterra. Οι µθητές µθίνουν ν νγνωρίζουν µοντέλ µέσ στις δοσµένες εξισώσεις, ώστε ν εφρµόσουν οικείες τεχνικές επίλυσης. Η πιο συχνά εµφνιζόµενη τεχνική είνι ν µεττρέπουν τη δοσµένη ολοκληρωτική εξίσωση σε έν ισοδύνµο πρόβληµ ρχικών ή συνορικών τιµών, δεδοµένου του γεγονότος ότι οι µθητές έχουν διδχθεί τρόπους επίλυσης διφορικών εξισώσεων. Ολοκληρωτικές εξισώσεις κι πνελλδικές εξετάσεις Στο 4ο θέµ στις εξετάσεις του έπρεπε ν λυθεί η εξίσωση: f () = t f (t)dt, (9) η οποί ισοδύνµ µετσχηµτίζετι στην: f () = u f (u)du, () που είνι ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Volterra δεύτερου είδους. Ένς µθητής της Γ Λυκείου πργωγίζει τη σχέση (), οπότε κτλήγει στην ισοδύνµη διφορική εξίσωση: f '() = f (), µε f () =. () Η λύση της εξίσωσης () είνι: f () = +. () Στο 4ο θέµ στις εξετάσεις του 8 τέθηκε η ολοκληρωτική εξίσωση: 3 f () = ( + 3) f (t)dt 45, (3) που είνι ολοκληρωτική εξίσωση τύπου Fredholm δεύτερου είδους. Η συγκεκριµένη νήκει κι σε µι ειδική κτηγορί κι ονοµάζετι εξίσωση 4

5 Hammerstein. Ο τρόπος ντιµετώπισης µις εξίσωσης Hammerstein είνι ο ίδιος στην δευτεροβάθµι κι την τριτοβάθµι εκπίδευση. Από τη στιγµή που το ολοκλήρωµ έχει στθερά άκρ κι εξρτάτι πό µι µετβλητή, θέτουµε: c= f (t)dt, (4) οπότε η (3) γίνετι: 3 f () = c + 3c 45, (5) κι ντικθιστώντς την (5) στην (4) προκύπτει ότι: c=, (6) άρ η λύση της (3) είνι: 3 f () = (7) Οι πρπάνω ολοκληρωτικές εξισώσεις είνι γρµµικές. Στις εξετάσεις έχουν τεθεί κι µη γρµµικές ολοκληρωτικές εξισώσεις. Θ νφέρουµε ότι στο θέµ στις εξετάσεις του δινότν η ολοκληρωτική εξίσωση Volterra µε: t f () = + 3+ dt, (8) f (t) t στο θέµ στις εξετάσεις του δινότν το σύστηµ των ολοκληρωτικών εξισώσεων Volterra µε: t f () e = dt e g(+ t), (9) t g() e = dt e f (+ t) ενώ στο θέµ στις εξετάσεις του δινότν η ολοκληρωτική εξίσωση Volterra µε: ln t t ln = dt+ e f (). () f (t) Μεττροπές ολοκληρωτικών κι διφορικών εξισώσεων Γι την νδιτύπωση διφορικών εξισώσεων ως ολοκληρωτικών, η συνήθης διδικσί είνι η επνλµβνόµενη ολοκλήρωση της εξίσωσης µέχρι της εξφάνισης πργώγων. Με το κόλουθο λήµµ (Logan 5, Ντούγις ) µπορούµε ν δουλέψουµε γι εξισώσεις δεύτερης τάξης. Λήµµ Γι κάθε συνεχή συνάρτηση f µε, ισχύει: 5

6 s ( ) f (y)dyds= f (y) y dy. () Η πόδειξη του πρπάνω λήµµτος γίνετι εύκολ µε πργοντική ολοκλήρωση. Η γενίκευσή του γι εξισώσεις νιοστής τάξης (Ντούγις ) είνι: t t t tn t n... f (t n )dtndt n...dt dt= ( t t) f (t )dt. n! () ( ) Στο κόλουθο πράδειγµ δείχνουµε πως µεττρέπετι σε ολοκληρωτική εξίσωση έν πρόβληµ ρχικών τιµών δεύτερης τάξης (Logan 5). Έστω το πρόβληµ ρχικών τιµών δεύτερης τάξης: u ''() + p()u '() + q()u() = f (), γι > u() = u. (3) u '() = u Επιλύοντς τη διφορική εξίσωση ως προς τη δεύτερη πράγωγο κι ολοκληρώνοντς πό το έως το, λµβάνουµε: u '() u = p()u p()u() ( ) q(y) p '(y) u(y) f (y) dy. (4) Ολοκληρώνοντς ξνά πό το έως το κι µε χρήση της (), προκύπτει ότι: { [ ]} u() = p(y) + ( y) q(y) p'(y) u(y)dy ( ) ( )( ) y f (y)dy p()u u u (5) Η εξίσωση υτή είνι Volterra δεύτερου είδους, όπως η εξίσωση (4). Γι τον µετσχηµτισµό µις ολοκληρωτικής εξίσωσης η πορεί είνι διφορετική (Collins 6, Corduneanu 8). Γι πράδειγµ, ν στην εξίσωση: t y(t) = + y(s)ds, (6) θέσουµε: t w(t) = y(s)ds, (7) προκύπτει η ισοδύνµή της: 6

7 w '(t) = + w(t), µε w '() =. (8) Αξίζει εδώ ν νφερθεί ότι µι διφορική εξίσωση µπορεί ν γρφεί σε κάποιες περιπτώσεις ως ολοκληρωδιφορική εξίσωση (Collins 6, Corduneanu 8). Η εξίσωση του προβλήµτος (3) µπορεί ν γρφεί: w '() + p()w() + q() w(s)ds= f (), γι >, (9) ν θέσουµε: u() = w(s)ds. (3) Επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων µε διδικσίες που διδάσκοντι στην τριτοβάθµι εκπίδευση Στη συγκεκριµένη ενότητ θ επιλύσουµε τρεις ολοκληρωτικές εξισώσεις µε κάποιους πό τους έξι τρόπους που νφέρµε στην εισγωγή. Οι εξισώσεις υτές λύνοντι κι µε γνώσεις Λυκείου. Ο στόχος µς είνι ν νδείξουµε σε κάθε περίπτωση την ντίστοιχη µέθοδο. Αρχικά, θ λύσουµε µε διδοχικές προσεγγίσεις την ολοκληρωτική εξίσωση Volterra ου είδους: f () = + (t )f (t)dt. (3) Θέτουµε: Af () = + (t )f (t)dt (3) κι επιλέγουµε: f () =. (33) Τότε έχουµε ότι: Af () =, (34) 4 A f () = +,! 4! (35) οπότε µε µθηµτική επγωγή ποδεικνύετι ότι: n k n k A f () = ( ). k= (k)! (36) Εποµένως η λύση της εξίσωσης (3) είνι: n f () = lim A f () = cos. (37) n { } 7

8 Επίσης, µε ύλη Λυκείου η εξίσωση (3) ισοδύνµ γράφετι: f () = + tf (t)dt f (t)dt, (38) η οποί πργωγίζετι δύο φορές κι δίνει το ισοδύνµο πρόβληµ f ''() f (), f (),f '() = µε = =. (39) Θεωρούµε τη συνάρτηση g στο R µε: ( ) ( ) g() = f () cos + f '() + sin, (4) η οποί είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο R µε: g '() = ( f '() + sin )( f () cos + f ''() + cos ), (4) όπου λόγω της εξίσωσης της (39) γίνετι: g '() =, γικάθε R, (4) οπότε η g είνι στθερή, άρ ισχύει: g() = c, γικάθε R, (43) ή ( ) ( ) f () cos + f '() + sin = c, γικάθε R. (44) Θέτουµε στην (44) όπου = κι λόγω της (38) προκύπτει: c=. (45) Συνεπώς, λόγω της (44) βρίσκουµε ότι: f () = cos, (46) όπως βρήκµε κι στην (37). Έστω, επίσης, η ολοκληρωτική εξίσωση: / u() = + u(t)dt, (47) η οποί είνι εξίσωση Fredholm ου είδους µε πράµετρο κι θ τη λύσουµε µε τη βοήθει των επνληπτικών πυρήνων. Θεωρούµε: K (, t) =, (48) οπότε: K (, t) =, K 3(, t) = (49) 4 κι µε επγωγή ποδεικνύετι ότι: * K (, t) =, n N. (5) n n Τότε, ο Fredholm επιλύων πυρήνς του πυρήν K(, t) είνι: 8

9 i R(, t; λ ) = λ Κ i+ (, t) = i=. (5) Τότε, η εξίσωση (47) έχει µονδική λύση την: / u() = + tdt= +. (5) 4 Επιπλέον µε γνώσεις Λυκείου, η ολοκληρωτική εξίσωση (47) γράφετι: u() = + c, (53) µε: / c= u(t)dt. (54) Αντικθιστώντς την (5) στην (53) βρίσκουµε ότι: c=, (55) 4 οπότε προκύπτει η ίδι λύση που βρήκµε στην (5). Τέλος, έστω η ολοκληρωτική εξίσωση Volterra δευτέρου είδους f () = ( t)f (t)dt. (56) Πίρνουµε τον µετσχηµτισµό Laplace της εξίσωσης (56), οπότε λόγω της γρµµικότητς του τελεστή έχουµε ότι: L{f ()} = L() L ( t)f (t)dt (57) ή F(s) = F(s) s s (58) ή F(s) = s +, (59) όπου ντιστρέφοντς τον µετσχηµτισµό προκύπτει η συνάρτηση f: f () = L sin =. (6) s + Γι ν επιλύσουµε την (56) µε γνώσεις δευτεροβάθµις εκπίδευσης, την µετσχηµτίζουµε ισοδύνµ στην: f () = + tf (t)dt f (t)dt, (6) 9

10 η οποί πργωγίζετι δύο φορές κι δίνει το ισοδύνµο πρόβληµ: f ''() f (), f (),f '() = µε = =. (6) Θεωρούµε τη συνάρτηση g στο R µε: ( ) ( ) g() = f () sin + f '() cos, (63) η οποί ποδεικνύετι ότι είνι µηδενική κολουθώντς την διδικσί που περιγράψµε πρπάνω πό την (4) µέχρι την (45), οπότε: f () = sin. (64) Συµπεράσµτ Οι ολοκληρωτικές εξισώσεις ποτελούν έν σηµντικόττο τοµέ της Μθηµτικής Ανάλυσης, µε µεγάλο φάσµ εφρµογών κι σε άλλες θετικές επιστήµες γι τη µελέτη προβληµάτων κι φινοµένων. Η ευρύτητ µεθόδων κι η ευκολί (τις περισσότερες φορές) στη µετάβση σε διφορικές εξισώσεις κι ντιστρόφως, τις κθιστά σηµντικές γι τη µθηµτική επιστήµη. Η σηµντικότητ τους τονίζετι µάλιστ κι στη δευτεροβάθµι εκπίδευση φού ποτελούν, ρκετές φορές κιόλς, περιεχόµενο θεµάτων πνελλδικών εξετάσεων, όπου έµµεσ ζητούντι πό τους µθητές προβλήµτ που τις χρησιµοποιούν. Ενδεικτική βιβλιογρφί. Σιφρίκς, Π. (3). Ολοκληρωτικές εξισώσεις. Εκδόσεις Πνεπιστηµίου Πτρών.. Logan, J. D. (5). Εφρµοσµέν Μθηµτικά. Πνεπιστηµικές εκδόσεις Κρήτης. 3. άσιος, Γ. (). έκ διλέξεις Εφρµοσµένων Μθηµτικών. Πνεπιστηµικές εκδόσεις Κρήτης. 4. Ντούγις, Κ. Σ. (). Ολοκληρωτικές εξισώσεις. Εκδόσεις Συµµετρί.. 5. Collins, J. P. (6). Differential and Integral Equations. Oford University Press. 6. Corduneanu, C. (8). Integral equations and applications. Cambridge University Press.