Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE

Transcript

1 Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE Η δημοσίευση του Γιάννη Φιορεντίνου γι το πρόβλημ της βρχυστόχρονου ήτν μι πρό(σ)κληση. Διβάζοντς την εκφώνηση του προβλήμτος ποφάσισ ν δώσω μι πλήρη υτοτελή λύση χωρίς ν ντρέξω στην βιβλιογρφί. Στην συνέχει θεώρησ σκόπιμο ν μοιρστώ με τους κλούς φίλους του likonet την λύση κθώς κι το κύριο εργλείο που χρησιμοποίησ : Τις εξισώσεις Euler Lagrange. Η προυσίση ποτελείτι πό τρί μέρη Τις εξισώσεις της κυκλοειδούς κμπύλης Την διτύπωση του προβλήμτος της βρχυστόχρονου κμπύλης. Τις εξισώσεις Euler Lagrange Την επίλυση του προβλήμτος Α) Η κυκλοειδής κμπύλη ωt x Θεωρούμε έν κύλινδρο κτίνς R, ο οποίος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει σε οριζόντιο επίπεδο με στθερή τχύτητ. Ζητάμε την εξίσωση της τροχιάς που διγράφει έν συγκεκριμένο σημείο του. Έστω ότι την στιγμή t= το σημείο βρίσκετι στην ρχή του συστήμτος συντετγμένων. Την στιγμή t ο κύλινδρος έχει στρφεί κτά γωνί φ=ωt. Οι συντετγμένες του σημείου είνι: 3π x =υ cmt+ R συν( ϕ ) =ωtr Rημϕ= R( ϕ ημϕ ) 3π = R+ R ημ( ϕ ) = R( συνϕ ) Επομένως το διάνυσμ θέσης του σημείου είνι (x,) = ( R( ϕ ημϕ),r( συνϕ )) (Α.) Η σχέση () είνι η εξίσωση της τροχιάς του σημείου σε πρμετρική μορφή. Από την σχέση () έχουμε γι τ διφορικά των συντετγμένων: = R( συνϕ)dϕ d ημϕ d R = + = = d = Rημϕdϕ συνϕ συνϕ d + = R (Α.)

2 Β) Η βρχυστόχρονη κμπύλη Έστω Ο κι Α στθερά σημεί τ οποί βρίσκοντι στο ίδιο κτκόρυφο επίπεδο. Έστω ότι έν σφιρίδιο μάζς m φήνετι πό το σημείο Ο ν ολισθήσει χωρίς τριβές κτά μήκος της κμπύλης ΟΑ του σχήμτος. Ζητάμε ν βρούμε την εξίσωση της κμπύλης ΟΑ έτσι ώστε ο χρόνος πό το Ο στο Α ν είνι ο ελάχιστος δυντός. Ο x β Α Υποθέτουμε ότι η κμπύλη ΟΑ είνι πργωγίσιμη με εξίσωση =f(x) όπου f : [,β] πργωγίσιμη συνάρτηση με πρώτη πράγωγο συνεχή κι ικνοποιεί τις συνθήκες f()=, f()=β. Ζητάμε την f ώστε το χρονικό διάστημ πό το Ο στο Α ν είνι το ελάχιστο δυντό. Το πρόγρμμ εύρεσης της f ποτελείτι πό δύο στάδι: Στο πρώτο στάδιο θεωρούμε δεδομένη την f κι υπολογίζουμε το χρονικό διάστημ πό το Ο στο Α. Στο δεύτερο στάδιο νζητούμε την f ώστε το χρονικό διάστημ ν είνι το ελάχιστο δυντό. Στάδιο : Με δεδομένη την f υπολογίζουμε το χρονικό διάστημ πό το Ο στο Α. Σε μι τυχί θέση με συντετγμένες (x,) το υλικό σημείο έχει τχύτητ υ. Έστω ds το στοιχείο μήκους της κμπύλης ΟΑ. Ισχύει ότι ds ds + d d + υ= dt = = = + = (Β.) dt υ υ υ υ Από την ρχή διτήρησης της ενέργεις προκύπτει ότι υ= g (Β.) Από τις (Β.) κι (Β.) έχουμε: + dt = gf (x) + Δ t = g (B.3) f (x) Εφρμογή : Υποθέτουμε ότι =β κι η κμπύλη ΟΑ είνι τετρτοκύκλιο κτίνς. Τότε (x ) + = = (x ) f(x) = (x ) Αντικθιστώντς στην σχέση (Β.3) βρίσκουμε ότι:

3 Δ t = Θέτοντς 4 g ( x) x 3 =συνϕ εύκολ βρίσκουμε ότι π/ dϕ Δ t =.6 g = ημϕ g Εφρμογή : Υποθέτουμε ότι =β κι η κμπύλη ΟΑ είνι ευθεί με εξίσωση = x f(x) = x. Τότε dz Δ t =.8 g = z g Γ) Οι εξισώσεις Euler - Lagrange Η (B.3) έχει την μορφή Δt=I με [ ] I= L f(x),f (x),x (Γ.) όπου f( )=β κι f( )=β. Ζητάμε ν βρούμε εκείνη την f γι την οποί το Ι είνι το ελάχιστο δυντό. Έστω ότι την βρήκμε κι είνι η f(x). Θεωρούμε ε> κι τυχί συνάρτηση g με g( )= κι g( )=. Η συνάρτηση h με h()=f()+εg() ικνοποιεί τις ρχικές συνθήκες. h( )=β κι h( )=β. Ορίζετι η συνάρτηση [ ] [ ] I( ε ) = L h(x),h (x),x = L f(x) +ε g(x),f (x) +εg (x),x Επειδή η f ελχιστοποιεί το Ι, η συνάρτηση Ι(ε) προυσιάζει ελάχιστο γι ε=. Άρ I () = g(x) + g (x) = h h h= f h= f g(x) + g (x) = f (Γ.) f Εκτελώντς ολοκλήρωση κτά πράγοντες στο δεύτερο ολοκλήρωμ της (Γ.) έχουμε: d g (x) = g(x) g(x) g(x) f f x= f x= f Επειδή g( )=g( )= έχουμε ότι d g (x) = g(x) f f Η σχέση (Γ.) γίνετι: d g(x) = f f (Γ.3) Επειδή η σχέση (Γ.) πρέπει ν ισχύει γι κάθε g προκύπτει ότι:

4 d = (Γ.4) f f Η εξίσωση (Γ.4) είνι γνωστή ως εξίσωση Euler-Lagrange. Η εξίσωση (Γ.4) είνι μι διφορική εξίσωση ης τάξης γι την άγνωστη συνάρτηση f με ρχικές συνθήκες f( )=β κι f( )=β. Υπάρχει μι ενδιφέρουσ περίπτωση στην οποί η εξίσωση (Γ.4) ολοκληρώνετι άμεσ μεττρεπόμενη σε μι ΔΕ ης τάξης. Η περίπτωση υτή είνι η περίπτωση εκείνη στην οποί η L δεν εξρτάτι ρητώς πό το x. Δηλδή L= L(f(x),). Ορίζουμε την ποσότητ (Hamiltonian) H= f L (Γ.5) f Θ ποδείξουμε ότι η Η είνι στθερά Πράγμτι: dh d L L L L d L L f f f f f = + = = f f f f f f Στο πρόβλημ που εξετάζουμε f + L(f,f, ) = (Γ.6) f L f Ισχύει ότι = f f f + L f f + H= f L= = (Γ.7) f f f + f f + f Επειδή η L δεν εξρτάτι ρητώς πό το x, η Η είνι στθερή. Επομένως d f(+ f ) = c + = c. (Γ.8) Δ) Η λύση του προβλήμτος Στάδιο : Εύρεση εκείνης της f γι την οποί το Δt είνι το ελάχιστο δυντό. Συγκρίνοντς την σχέση (Γ.8) με την (Α.) είνι πρπάνω πό προφνές ότι η λύση της (Γ.8) είνι η κυκλοειδής κμπύλη. Όμως ς προσπθήσουμε ν λύσουμε την (Γ.8). Ισχύει ότι d d c + + c c c c c Επομένως υπάρχει γωνί φ τέτοι ώστε c = συνϕ = c( συνϕ ) (Δ.) c d = cημϕdϕ (Δ.) Αντικθιστώντς την (Δ.) στην (Γ.8) έχουμε:

5 d + συνϕ d dϕ + συνϕ dϕ + συνϕ = = c = συνϕ dϕ συνϕ συνϕημ ϕ dϕ +συνϕ c = = c ( συνϕ ) συνϕ( συνϕ )( +συνϕ) dϕ = c( συνϕ) x = c( ϕ ημϕ) d ϕ Εφρμογή 3: Υποθέτουμε ότι =β κι η κμπύλη ΟΑ είνι κυκλοειδής με εξίσωση (x,) = R( ϕ ημϕ),r( συνϕ ) ( ) Ανζητούμε γωνί θ κι κτίν R έτσι ώστε (, ) = R( θ ημθ),r( συνθ ) ( ) Επομένως θ ημθ= συνθ θ=.4 = R( θ ημθ) =.74R d + Δ t = g Από την (Α.) d d R + = R + = θ θ R R R R( συνϕ)dϕ R R Δ t = = d g g = g = ϕ=θ R( συνϕ) g g Δ t =.58 g Ε.Κορφιάτης korfiatis@sch.gr