Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z

Transcript

1 Έν εξιρετικό υποψήφιο ο ή 4 ο θέµ Ν µελετηθεί προσεκτικά ίνοντι οι µη µηδενικοί µιγδικοί ριθµοί,, των οποίων οι εικόνες A, Β, Γ στο µιγδικό επίπεδο είνι σηµεί του κύκλου y ( ( ( Ν ποδείξετε ότι Ν ποδείξετε ότι Ν ποδείξετε ότι ( 9 4 Ν υπολογίσετε το ότν ισχύει ότι e e d Θέµ A( C(, ρ Ας δούµε τη λύση κι τ όποι σχόλι: ( B( C Ο, ρ ( C(, Γ ρ Έχουµε: ( (,, ( ( (4 Από τη σχέση (4 έχουµε: (,, ( ( ( Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ

2 ( ( (5 Όµως πό τη τριγωνική νισότητ έχουµε : 9 (6 Η (5 λόγω της (6 µς δίνει: ( 9 4 Έχουµε: λ ό γω ερωτ I e d e d I e d I Ι e d( I e I e Όµως I e e e e e ( ( e d, οπότε έχουµε την ισότητ: e e e e Θέµ Μι άσκηση σχετικά δύσκολη, γι ψύχριµους κι κλά διβσµένους µθητές Μς διδάσκει πρώτ πό όλ ψυχριµί κι ν µην ξεχνάµε ότι είνι πιθνόν η λύση κάθε ερωτήµτος ν µς κρύβετι σε κάποιο προηγούµενο ερώτηµ Ας τη µελετήσουµε Έστω οι δυο πργωγίσιµ µες συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το διάστηµ [, ], µε (,, γι τις οποίες ισχύουν: f( g( κι f( g( f(tg(tdt Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ

3 Α Το γι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι: Α g( f( Β Υπάρχει (, τέτοιο ώστε ν ισχύει f( g( Γ f ( g( Η εξίσωση f ( g ( έχει λύση στο (, Η εξίσωση [f( ] ] έχει λύση στο (, Ε έχουµε: Ας δούµε τη λύση κι τ όποι σχόλι: f(tg(tdt είνι στθερός ριθµός Αν θέσουµε στην δοσµ µένη σχέση, f(tg(tdt f( g( f(tg(tdt f (tg(tdt, οπότε f( g( g( f( Β Έστω Η( µι ρχική της f( g( H ( f(g( ( γι Έχουµε ότι f(tg(tdt > f (tg(tdt H H( H( H( H( H( H( ( Η συνάρτηση Η( σν ρχική είνι πργωγίσιµη στο [,], άρ ισχύει το θεώρηµ µέσης τιµής, οπότε υπάρχε, ώστε ν ισχύει: H( H( Η (, κι σε συνδυσµό των σχέσεων ( κι ( έχουµε: f( g( f( g( Γ Ανζητάµε λύση της εξίσωσης f ( g ( στο διάστηµ µ (, ή ισοδύνµ της εξίσωσης f( g( f( g( f( g( f( g( ( ( f ( g( f( g( f( g( ( ( ( στο [ ] κάθε [, ] ει ( ( ( ( ( ( ( (,, δηλδή θ ισχύει Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ

4 Θεωρούµε λοιπόν τη συνάρτηση ( ( W( f( g( η οποί είνι πργωγίσιµ µη στο [,] κι ισχύουν: W( ( f( g( ( ( ( λλά κι W( ( f( g( (, άρ γι τη συνάρτηση W ισχύει το θεώρηµ του Rolle, οπότε υπάρχει ξ (, ( ξ ( ( ξ µε W ( ξ f ( g ( ξ f( ξ g( ξ f( ξ g( ξ f ( ξ g ( ξ ξ (, ξ Αποδείξµε στο Β ερώτηµ ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε ν ισχύει f( g( κι πό το ερώτηµ Α γνωρίζουµε ότι g( f(, οπότε ντικθιστώντς έχουµε: f( ( f( f( f ( f ( f( f ( f( ( f( ( f(, άρ η εξίσωση [f( ] έχει γι λύση στο (, το του Β ερωτήµτος Ε είξµε στο ερώτηµ ότι ( f( Όµως ( f(, άρ κι > ΣΤ είξµε στο ερώτηµ Α ότι f( g(, οπότε ολοκληρώνοντς έχουµε: ( f( g( d d κι επειδή πό το Ε ερώτηµ γνωρίζουµε ότι ( f ( g( d 4, [, ], [ ] ( 4, έχουµ µε τελικά ότι, οπότε ( ( Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ 4

5 Θέµ Έν πολύ περιεκτικό θέµ που µς υπενθυµίζει: - το ΘΜΤ, - το ολοκλήρωµ ντίστροφης συνάρτησης, - το πώς βρίσκουµε τον τύπο συνάρτησης πό την πλή διφορική εξίσωση g( g ( f( στην οποί χρησιµοποιούµε το τέχνσµ του πολλπλσισµού µε το e - το ότι ν δεν µπορούµε εύκολ ν βρούµε την ρχική µις συνάρτησης θ πρέπει ν περάσουµε στο όριστο ολοκλήρωµ κι τέλος - την πργοντική ολοκλήρωση Έστω η συνάρτηση f :[, µε f( e Ν δείξετε ότι γι κάθ β Ν δείξετε ότι e f ( γ Ν βρείτε την πργω g( κι g( g ( f(, γι κάθε Ας δούµε τη λύση κι τ όποι σχόλι: Γι β η ζητούµενηη σχέση ισχύει σν ισότητ Έστω, β [,, µε < β Εφρµόζουµε το ΘΜΤ γι την f στο [,β] έχουµε ότι υπάρχει ξ (, β ώστε: f( β f ( f ( ξ, όµ µως f ( e >, άρ β e ξ> e ξ > e θε, β [, β ισχύει f ( β f( β d ωγίσιµη συνάρτηση g :[, ξ ξ Είνι ξ> > e > e >, άρ f( β f ( > f( β f( > β β [ Τελικά γι κάθε, β, ισχύει f ( β f( β γι την οποί ισχύουν: f( β f( e ξ β β Θέτουµε f(t, οπότε: Γι είνι f(t f(t f( t Γι e είνι f(t e f(t f( t Επίσης είνι d d( f(t d f (tdt Το ολοκλήρωµ γίνετι: e I f (d f (f (tf(tdt Γνωρίζουµε όµως ότι άρ έχουµε f f(t t, Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ 5

6 I t f (tdt πργοντικ t f( t e e ή t [ ] [ ] ( tf(t f (tdt tf(t t e dt ( e γ Έχουµε: g( g ( f( g( g ( e τ χνσµ g( e g ( e όριστο ολοκλήρωµ έχουµε: g( e d e e d g( e e d e d ( ( ( έ του e e e g( e e e κι g( e e ee d e d e g( e e e c e Γι έχουµε g( e e c c c, οπότε έχουµε e e g( e e e g( Έχουµε: e e e e g( g ( e f(, άρ η συνάρτηση g επληθεύει την ρχική σχέση g( g ( f(, γι κάθε, οπότε είνι δεκτή Σηµείωση: Η επλήθευση είνι νγκί, κάτι που δεν είχε γίνει στην ρχική λύση της άσκησης Με υπόδειξη όµως του Αντώνη Κυρικόπουλου ολοκληρώθηκε το τµήµ υτό περνώντς στο Θέµ 4 Έν πολύ ωρίο υποψήφιο ο θέµ που µς υπενθυµίζει: - Ότι γι κάθε R ισχύει e - το πώς κτλβίνουµε ότι πρέπει ν κάνουµε λλγή της µετβλητής σε έν ορισµένο ολοκλήρωµ - το πώς µπορούµε ν κτλάβουµε ότι µι συνάρτηση που βρίσκετι µέσ σε ορισµένο ολοκλήρωµ, µελετώντς το πρόσηµό της, ότι είνι στθερή Θεωρούµε τη συνεχή κι γνησίως φθίνουσ συνάρτηση f :[, ] R γι την οποί ισχύει: Ν δείξετε ότι γι κάθε R ισχύει e β Ν δείξετε ότι f (d f(e d f (e d d f (d Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ 6

7 γ Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f είνι στθερή στο [,] Ας δούµε τη λύση κι τ όποι σχόλι: Θεωρούµε τη συνάρτηση g( e, R Είνι g ( e, µε g ( e e Το πρόσηµο της g δίνετι πό τον πίνκ g ( g( - - Γνήσι φθίνουσ Γνήσι ύξουσ Οπότε gmin g(, άρ γι κάθε R ισχύει β Γι κάθε [,] ισχύει: ( f e f e f( Θέτουµε u, οπότε: g( g( e e ( ( f e d f( d Γι - είνι u κι γι είνι u κι du d, άρ, ( f e d f(udu ή ισοδύνµ f( e d f(d ( γ Από την υπόθεση κι f (d f(e άρ f (d f(d ( f ( f ( d f( d ( επειδή ( ( f( f( f( λόγω της ( έχουµε: d f(d d f (d d f(d ( γι κάθε [,] γι κάθε [,] γι ν ισχύειι η ( πρέπει Θωμάς Ρϊκόφτσλης Σελίδ 7