ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση : Ρολέν 4 Τχ. Κώδικς Πληροφορίες : ΗΡΑΚΛΕΙΟ : Κ. Κργιωργάκη, Κ. Βρεράκης Τηλ. : dimitrmp@sch.gr Κινητό : Ιστοσελίδ : Προς : Τους κ. κ. Kθηγητές Μθηµτικών των Λυκείων των Νοµών Χνίων, Ρεθύµνου κι Ηρκλείου ρµοδιότητάς µου. Κοιν.: Προϊστάµενο Επιστηµονικής & Πιδγωγικής Κθοδήγησης /θµις Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» Συνάδελφοι, Σς στέλνω το πέµπτο κι τελευτίο ρχείο µε το ελτιωµένο διδκτικό υλικό γι τ Μθηµτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου, το οποίο νφέρετι στο 3 ο Κεφάλιο (Ολοκληρωτικός λογισµός). Ελπίζω κι στις σηµειώσεις υτές ν ρείτε ιδέες, προτάσεις, φορµές, σκήσεις κι θέµτ που θ εµπλουτίσουν το µθηµτικό κι το διδκτικό σς έργο. Υπενθυµίζω ότι οι σηµειώσεις υτές πευθύνοντι µόνο σε σς κι προπάντων σε όσους διδάσκουν το µάθηµ. Ευπρόσδεκτες είνι κι δικές σς σχετικές πρτηρήσεις κι σχόλι που θ µπορούσν ν εµπλουτίσουν τις σηµειώσεις υτές. Έν ντίγρφο του ρχείου υτού ν µείνει όπως πάντ στο σχετικό φάκελο (υλικό κι ηλεκτρονικό) του σχολείου. Με την ευκιρί της ολοκλήρωσης των σηµειώσεων υτών, θέλω ν ευχριστήσω όσους ένιωσν το χρέος ν πουν έν κλό ή κριτικό λόγο κι οήθησν έτσι ν ολοκληρωθεί το έργο υτό. Κλή δύνµη

2 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός Συµπληρώσεις, Πρτηρήσεις, Επισηµάνσεις κι Ασκήσεις στο 3 ο κεφάλιο της Ανάλυσης ( 3., 3., 3.4, 3.5, 3.7) Ι. ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( 3.). Κτ ρχήν πρέπει ν έχουµε υπόψη ότι φέτος προστέθηκε στην εξετστέ ύλη η πόδειξη του θεωρήµτος της σελίδς 6 (κριτήριο κρόττων), ενώ φιρέθηκν η εντός της ενότητς 3., πράγρφος Αόριστο ολοκλήρωµ, κθώς κι η ενότητ 3. (Μέθοδοι όριστης ολοκλήρωσης). Γι την διδσκλί της πργράφου 3. (κι έι όχι µόνο ) πρέπει ν έχουµε υπόψη, ειδικά φέτος, τις σχετικές φετινές οδηγίες του Π. Ι. Σύµφων µε υτές, εξιρείτι η έννοι του όριστου ολοκληρώµτος, λλά όχι κριώς όλη η ύλη της σελίδς 35, η οποί υφίσττι τις εξής λλγές: Α. Αντί του πίνκ όριστων ολοκληρωµάτων (σελ. 35) θ πρέπει ν δοθεί ο πίνκς των πργουσών µερικών σικών συνρτήσεων που νφέροντι στις οδηγίες. Β. Οι δύο ιδιότητες των όριστων ολοκληρωµάτων στο τέλος της σελίδς 35 ν νδιτυπωθούν ως εξής: Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι ρχικές των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, σ' έν διάστηµ κι ο είνι ένς πργµτικός ριθµός, τότε: i) Η συνάρτηση F + G είνι µι ρχική της συνάρτησης f + g στο κι ii) Η συνάρτηση F είνι µι ρχική της συνάρτησης f στο Πόρισµ (ξιοσηµείωτο): Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν ρχική στο, τότε κι οι συνρτήσεις f + g, f, f - g έχουν ρχική στο. 3. Ν δοθεί έµφση στ προλήµτ που διτυπώνοντι στο σχολικό ιλίο στην ρχή της ενότητς κι ν τονιστεί η σηµσί της ντίστροφης διδικσίς της πργώγισης. Θ ήτν κλό ν συζητηθούν διεξοδικά ορισµέν πό υτά ή άλλ νάλογ, ώστε ν προκύψει η σηµσί της ρχικής συνάρτησης. 4. Πρόλο που έχουµε «συνηθίσει» στον όρο όριστο ολοκλήρωµ, προτείνω ν µην τον νφέρουµε κθόλου, φού δεν είνι στην εξετστέ ύλη κι υπάρχει ο κίνδυνος ν χρησιµοποιηθεί λνθσµέν ή ν υπάρξει κι σύγχυση πό τους µθητές. Επίσης γι την ποφυγή σύγχυσης µε την πράγωγο προτείνω ν χρησιµοποιείτι ο όρος ρχική πρά πράγουσ. 5. Στον ορισµό της ρχικής συνάρτησης πρέπει ν επισηµάνουµε ότι ορίζουµε ρχική µις συνάρτησης f (µις ορισµένης µετλητής) σε έν διάστηµ (οποισδήποτε µορφής) κι όχι άλλης µορφής σύνολο (π.χ. ένωση διστηµάτων). Επίσης, επειδή ορισµένοι µθητές πό συνήθει χρησιµοποιούν συχνά τον συµολισµό F() γι µι συνάρτηση, ντί του «συνήθους» f(), ίσως µπερδευτούν στο σηµείο υτό, φού το ιλίο χρησιµοποιεί το συµολισµό F() γι µι ρχική της f(). Απιτείτι ειδική επισήµνση ή κι ποφυγή υτού του συµολισµού. Ένς πιο πρσττικός ίσως ορισµός της ρχικής είνι:

3 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 3 ΟΡΙΣΜΟΣ Ονοµάζουµε ρχική (ή πράγουσ συνάρτηση ή ντιπράγωγο ή... «µάνν») µις συνάρτησης f (... «κόρης») ορισµένης σ' έν διάστηµ, µε νεξάρτητη µετλητή, κάθε συνάρτηση Σ(), πργωγίσιµη στο, γι την οποί ισχύει Σ () = f() γι κάθε 6. Το θεώρηµ της σελίδς 34 µπορεί ν διτυπωθεί κι διφορετικά : Έστω F() µι ρχική της συνάρτησης f () σ' έν διάστηµ. Μι συνάρτηση G ορισµένη στο, ίδις µετλητής, είνι ρχική της f στο, ν κι µόνο ν υπάρχει c R τέτοιος ώστε G() = F() + c γι κάθε. Ας σηµειωθεί ότι η στθερά c εξρτάτι κι πό το διάστηµ. 7. Το θεώρηµ της σελίδς 34 ισχύει µόνο γι συνάρτηση f ορισµένη σε διάστηµ κι όχι άλλης µορφής σύνολο (είνι κληρονοµιά πό την ντίστοιχη πρότση συνέπει του Θ.Μ.Τ.- στις πργώγους : f = g f = g + c, που ισχύει σε διάστηµ). Γι πράδειγµ, η συνάρτηση f ( ) =, (, ) (, + ) = A Έχει ως µι ρχική την συνάρτηση F ( ) = +, A Όµως κι η συνάρτηση + G() = 9+ +,>,<, φού F () = f(), A. όπως εύκολ προκύπτει είνι µι ρχική της f στο Α, λλά η διφορά των ρχικών F, G :, > G () F() = δεν είνι στθερή συνάρτηση. 9, < 8. Πρκάτω θ δούµε (θεµελιώδες θεώρηµ του Ο. Λ.) ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ έχει µι ρχική. Όµως κι µι συνάρτηση f που δεν είνι συνεχής σ' έν διάστηµ, µπορεί ίσως νά 'χει ρχική συνάρτηση (η οποί έι είνι πάντοτε πργωγίσιµη, άρ κι συνεχής). Άλλωστε η πράγωγος µις συνάρτησης δεν είνι πάντ συνεχής συνάρτηση. Πράδειγµ : Η πράγωγος της συνάρτησης Σ() είνι η συνάρτηση f () : ηµ, Σ() =,, = (όπως εύκολ επληθεύουµε) f () η οποί f δεν είνι συνεχής στο = (το όριο του ηµ συν, =, = Σ είνι µι ρχική συνάρτηση στο διάστηµ R = + συν στο δεν υπάρχει). Έτσι η (, ) της µη συνεχούς

4 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 4 συνάρτησης f (ς πρτηρηθεί εδώ ότι η συνέχει της Σ = f δεν είνι πλή: «ιροµένη» ή µε «πήδηµ» κι υτό δεν είνι τυχίο ). 9. Α. Η ύπρξη ρχικής γι µι συνάρτηση φ, προσδίδει στην συνάρτηση φ ιδιότητες πργώγου συνάρτησης, όπως είνι η ιδιότητ Darbou λλά κι µι άλλη ιδιότητ: ν δεν είνι συνεχής η φ, τότε οι συνέχειες της δεν είνι πλές (είνι µόνο δευτέρου είδους: έν τουλάχιστον πό τ πλευρικά όρι δεν υπάρχει ή πειρίζετι). Αυτές οι ιδιότητες ποτελούν νγκίες µόνο- συνθήκες γι ν έχει ρχική η φ. Επόµενο είνι λοιπόν ν µι συνάρτηση φ δεν έχει κάποι πό τις ιδιότητες υτές, ν µην έχει ρχική. Έτσι υπάρχουν κι συνρτήσεις που δεν έχουν ρχική. Ειδικότερ: σύµφων µε το Θεώρηµ του Darbou (λ. σκ.44(γ) σελ., ιφορικός λογισµός Α ) η πράγωγος µις συνάρτησης σε έν διάστηµ, πίρνει ως τιµή της, κάθε ριθµό µετξύ δυο τιµών της (κόµη κι ν δεν είνι συνεχής, δηλδή ισχύει κάτι νάλογο µε το Θ. Ενδιµέσων τιµών γι την πράγωγο). Εποµένως, ν µι συνάρτηση φ δεν έχει υτή την ιδιότητ, δεν µπορεί ν έχει ρχική, έστω F, φού F = φ. Έτσι π.χ. οι συνρτήσεις t+, t, λ, λ R N φ(t) =, f() =, (λ) =, t<, = λ+, λ N µε πεδίο ορισµού το διάστηµ (-, + ) δεν έχουν ρχική (η πρώτη κι δεύτερη δεν έχουν τιµή το /, ενώ η τρίτη το (που ρίσκετι µετξύ δυο τιµών τους). Μάλιστ υπάρχει κι άλλος λόγος : δεν είνι συνεχείς κι έχουν πλή συνέχει (τ πλευρικά όρι στ σηµεί συνέχεις είνι πργµτικοί ριθµοί που είτε είνι διάφοροι µετξύ τους, είτε διφέρουν πό την τιµή της συνάρτησης). Πάντως η πόδειξη ότι δεν έχουν ρχική, µπορεί ν δοθεί κι π ευθείς χωρίς τις ιδιότητες της πργώγου που νφέρµε πρπάνω. Ας δούµε π.χ. την f(). Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει συνάρτηση (πργωγίσιµη) Φ() ώστε Φ () = f() γι κάθε R.Tότε πρέπει Φ () = f() = (επικεντρώσµε την προσοχή µς στο, επειδή γι < κι > υπάρχει προφνώς ρχική). Επειδή η Φ είνι πργωγίσιµη (κι συνεχής στο ) έχουµε ( ) Φ() Φ() Φ () = lim = limφ () = limf () = =, δύντο. Άρ δεν έχει ρχική η f(). Μι άλλη συνάρτηση που έχει ρχική ενώ δεν είνι συνεχής, είνι η f () = ηµ γι < (ή ) κι f() = (ν f() = τότε έχει ρχική!) (Η πόδειξη στηρίζετι σε µι σχετική µεθοδολογί, λ. τέλος, άσκηση 6, σελ.8 ) Β. Ας σηµειώσουµε κόµη ότι υπάρχουν συνρτήσεις που έχουν ρχική λλά υτή δεν µπορεί ν εκφρστεί µε στοιχειώδεις συνρτήσεις. Αυτό σηµίνει ότι µε τ γνωστά στοιχειώδη µέσ, µεθόδους κι συνρτήσεις δεν µπορούµε ν ρούµε µι ρχική τους, όπως π.χ. e ηµ συν,,, 3, e, εφ,,, +, ηµ,. ln 4 + Στοιχειώδεις συνρτήσεις (µις µετλητής) : είνι υτές που σχηµτίζοντι χρησιµοποιώντς τις 4 πράξεις του R κθώς κι δυνάµεις κι ρίζες µετξύ

5 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 5 πολυωνυµικών, ρητών, τριγωνοµετρικών κι υπερτικών (e, ln κλπ) συνρτήσεων.. Συνέπει του θεωρήµτος της σελίδς 34 κι της πρπάνω πρτήρησης 7, είνι ότι οι ρχικές συνρτήσεων νφέροντι πάντοτε σε διστήµτ του πεδίου ορισµού µις συνάρτησης. Έτσι ν η f ορίζετι σε ένωση διστηµάτων, τότε µι ρχική της f δεν πρέπει ν την θεωρούµε ορισµένη στην ένωση υτή, λλά σε κάθε έν διάστηµ χωριστά. Γι την συνάρτηση π.χ. f ( )=, + (, ) (, ), το σωστό είνι ν πούµε : Οι ρχικές της f στο διάστηµ (-, ) είνι οι συνρτήσεις + + κ, (-, ), κ R, Οι ρχικές της f στο διάστηµ (, + ) είνι οι συνρτήσεις, + + c (ή κόµη κι οι συνρτήσεις c, γιτί; ) (, + ), c R.. Στο πίνκ των ρχικών σχ. ιλίου (σελ. 35) πρέπει ν επισηµάνουµε υτό που νφέρµε κι προηγουµένως κι νφέρετι κι στις οδηγίες: ότι οι τύποι των ρχικών των συνρτήσεων ισχύουν σε κάποιο διάστηµ στο οποίο έχουν έννοι οι συνρτήσεις, µε την συµπλήρωση ότι η στθερά c εξρτάτι πό το διάστηµ υτό.. Αντί του πίνκ όριστων ολοκληρωµάτων (σελ. 35), όπως νφέρµε, ν δοθεί ο πίνκς των πργουσών µερικών σικών συνρτήσεων όπως νφέρετι στις οδηγίες. Ο πίνκς υτός κρίνω σκόπιµο, ιδιίτερ φέτος, ν συµπληρωθεί µε τις πρκάτω ντίστοιχες περιπτώσεις σύνθετων συνρτήσεων: Α/Α Συνάρτηση Aρχικές f () (f()) + (f()) + + c, -, c R f ()e f() e f() + c, c R 3 4 f ( ) f( ) f ( ) f ( ) ln f( ) +c, c R - f(), c R 5 f ()συν f() nµf() + c, c R 6 f ()ηµ f() -συνf() + c, c R f () 7 συν f() εφf() + c, c R

6 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 6 (Οι πρπάνω συνρτήσεις κι τύποι θεωρούµε ότι ορίζοντι σε κτάλληλ διστήµτ. Με f() = έχουµε τις πλές γνωστές περιπτώσεις ρχικών) 3. Φέτος επίσης ξίζει ν προσεχτούν σκήσεις που φορούν ρχικές, όπως π.χ. τις σκήσεις σελ. 3, (,, δ),, σελ.4, 3, σελ.6, 3, σελ.7, 6, σελ.8, 6, σελ.9,, 3 (λ. τέλος σηµειώσεων). Οι εφρµογές των σελίδων 36 κι 37 ν γίνουν µε τη χρήση των ρχικών συνρτήσεων. Ν λυθούν, σύµφων µε τις οδηγίες του Π.Ι., µόνο οι σκήσεις, 4, 5 κι 7 της Α Οµάδς. Ας δούµε π.χ. την λύση του προλήµτος 5. Α τρόπος Ρυθµός µετολής, Ν (t) = e t / εκ. νά λεπτό. Ζητούµε τον N(6) - N(). t / t / Μι ρχική της συνάρτησης e είνι η e, λλά κι η N(t) λόγω υπόθεσης. Έτσι πό το θεώρηµ της σελίδς 34, έχουµε ότι, υπάρχει µι στθερά c R ώστε t / N(t) = e + c γι κάθε t. 6/ Άρ Ν(6) - N() = e + c (+c) = e 3 ( ) εκτοµµύρι κτηρίδι. Β τρόπος Έχουµε Ν (t) = ( e t / ) γι t [, + ), άρ πό γνωστό θεώρηµ υπάρχει c R µε t / Ν(t) = e + c γι κάθε t κ.τ.λ. 4. Γι την ποσφήνιση σχετικών εννοιών, η άσκηση 7 (σελ.38) κλό είνι ν συµπληρωθεί µε το ερώτηµ: Ν ρείτε πόσ ρέλι θ ντληθούν τον 8 ο µήν. ΙΙ. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ( 3.4). Έννοι του Ορισµένου Ολοκληρώµτος Α. Ο ορισµός του ορισµένου ολοκληρώµτος όπως δίνετι στο σχ. ιλίο, είνι το κτά Riemann ολοκλήρωµ µις συνεχούς συνάρτησης f στο διάστηµ [, ]. Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστηµ [, ] κι µι διµέριση του [, ] σε ν =, 3, ισοµήκη διστήµτ = < < <. ν- < ν =, µε κ - κ- =, κ =,,,,ν. ν Υπάρχει κι ο άλλος, ισοδύνµος, ορισµός µέσω του κτώτερου κι νώτερου θροίσµτος, όµως το ορισµένο ολοκλήρωµ υπολογίζετι ευκολότερ ως ολοκλήρωµ Riemann. Αυτό συµίνει γιτί ως ενδιάµεσ σηµεί ξ, ξ,., ξ κ στην πρπάνω διµέριση, µπορούµε ν πάρουµε τ ριστερά ή τ δεξιά άκρ των διστηµάτων της διµέρισης: κ, ] = [+ (κ ), + κ ], κ =,,...., ν ν ν [ κ

7 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 7 ενώ µε το νώτερο ή κτώτερο άθροισµ χρειζόµστε τ σηµεί των πρπάνω διστηµάτων που η f πίρνει την µέγιστη (ντίστοιχ ελάχιστη) τιµή της σε κάθε έν πό υτά. (Πάντως ν η f είνι κι µονότονη, τότε οι θέσεις µέγιστων ή ελχίστων της f συµπίπτουν µε άκρ των πρπάνω διστηµάτων, οπότε ουσιστικά το νώτερο ή κτώτερο άθροισµ είνι κι άθροισµ Riemann της f). Αν επιλέξουµε ως ξ κ = + κ, κ =,, 3,,ν (δεξιά άκρ) ν έχουµε f ()d= lim v + ν ν κ= f (+ κ ) ν ενώ ν επιλέξουµε ως ξ κ = + (κ ), κ=,, 3,,ν (ριστερά άκρ) ν έχουµε f ()d= lim v + ν ν κ= f (+ (κ ) ) ν Πράδειγµ Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ (Riemann) της συνάρτησης f() =, στο διάστηµ [, 3]. Θεωρούµε τη διµέριση του διστήµτος [, 3]: 3 Pí : = < <... < v < v = 3 µε = = v v Κι επιλέγουµε ως ενδιάµεσ σηµεί ξ κ τ δεξιά άκρ των διστηµάτων (κ ) κ [ κ, κ ] = [+ (κ ), + κ ] = ν ν +, +, κ =,,...,ν ν ν κ δηλδή ξ κ = +, κ =,,,ν. ν Έτσι το άθροισµ Riemann της f στο [, 3] γι την πρπάνω διµέριση είνι S v κ ν = (+ ) ν κ= ν, ν =,, οπότε 3 v κ) v d= lim Sv= lim (+ ) = ν + ν κ= ν lim (v+ κ) = ν + ν ν κ= = 4 v(v+ ) lim + v ν + v ν(ν+ ) κ = κ= = 3 lim + (+ ) = 4, άρ d 4 v =. ν + Προσοχή: νεξάρτητ ν θ τεθεί στις εξετάσεις άσκηση σχετική µε τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµτος, έν τουλάχιστον πράδειγµ σν το πρπάνω

8 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 8 είνι κλό ν γίνει. Ακόµη κι ν δεν µπει άσκηση, µπορεί ν τεθεί σχετική ερώτηση θεωρίς κλειστού ή µη τύπου. Β. Σύµφων µε την πρότση που νφέρετι στο σχ. ιλίο (σελ.39-33), γι κάθε συνεχή συνάρτηση f σ' έν διάστηµ [, ], υπάρχει το ολοκλήρωµά της στο διάστηµ [, ], είνι δηλδή όπως λέµε η f ολοκληρώσιµη στο διάστηµ [, ]. Το σχολικό ιλίο νφέρετι πάντ σε συνεχείς συνρτήσεις. Αποδεικνύετι πάντως στην Ανάλυση ότι υπάρχουν κι µη συνεχείς συνρτήσεις που είνι ολοκληρώσιµες (πχ. µονότονες). Γ. Το ολοκλήρωµ µις συνάρτησης f στο [, ] δεν εξρτάτι πό τ ενδιάµεσ σηµεί ξ κ που επιλέγουµε, ούτε πό το γράµµ - µετλητή (που επιλέγουµε γι πρστήσουµε την νεξάρτητη µετλητή). Το ολοκλήρωµ εξρτάτι µόνο πό τη συνάρτηση f κι το διάστηµ [. ]. Μπορούµε λοιπόν ν γράφοµε f ()d = f (t)dt = f (u)du =... Γι' υτό κι η µετλητή λέγετι πλσµτική ή ουή µετλητή. Αντίστοιχ δεν ισχύουν στο όριστο ολοκλήρωµ (λ. πρπάνω Ι.7.Ε ). Ιδιότητες του Ορισµένου Ολοκληρώµτος Α. Θεώρηµ ο (γρµµικότητ του ολοκληρώµτος) Η συνέχει των συνρτήσεων f, g στο διάστηµ [, ] έχει ως συνέπει (πό γνωστές προτάσεις στην συνέχει των συνρτήσεων) κι την συνέχει των συνρτήσεων λf(), µg(), λf() + µg() στο [, ], οπότε οι συνρτήσεις υτές είνι κι ολοκληρώσιµες. Β. Στο θεώρηµ επισηµίνουµε ότι το είνι διάστηµ (οποισδήποτε µορφής) κι ότι τ,, γ είνι οποιδήποτε σηµεί του νεξρτήτου διάτξης. Επίσης ότι η ιδιότητ υτή γενικεύετι γι οποιδήποτε σηµεί του, π.χ. γ ()d= f ()d+ f ()d+ κ f f ()d κτλ. Γ. Θεώρηµ 3 ο (Μονοτονί ολοκληρώµτος) γ κ i. Κτ ρχή µπορεί ν ποδειχθεί ως άσκηση ότι: ν f, g συνεχείς στο [, ] κι f() g() γι κάθε [, ] τότε f ()d g() d. ii. Το θεώρηµ 3 είνι ιδιίτερ σηµντικό κι χρήσιµο σε πολλές σκήσεις.. Το «δεν είνι πντού µηδέν» ς δοθεί ισοδύνµ : υπάρχει ξ [, ] µε f(ξ) >. Άµεση κι χρήσιµη γενίκευση, που κλό είνι ν δοθεί ως άσκηση, µε την σηµείωση ν την έχουν υπόψη στις σκήσεις(λλά που πρέπει ν την ποδείξουν ή τουλάχιστον ν κάνουν µι σχετική νφορά στο θεώρηµ 3, ν την χρησιµοποιήσουν) : Αν f, g συνεχείς συνρτήσεις σ' έν διάστηµ [, ] τότε ισχύει:

9 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 9 Αν f() g() γι κάθε [, ] κι υπάρχει ξ [, ], µε f(ξ) > g(ξ) τότε f ()d > g()d. iii. Όλες οι πρπάνω ιδιότητες της µονοτονίς ολοκληρώµτος ισχύουν µόνο ν το κάτω άκρο είνι µικρότερο ή ίσο του άνω άκρου. π.χ. είνι ηµ στο διάστηµ [, π] κι ηµ< στο [, π] εκτός του π/, λλά είνι ηµd = [ συν] = =, d = [ ] = π = π π iv. Πργωγή νισοτήτων µε τη οήθει του Θεωρήµτος 3. π π π ηµd Πράδειγµ. Ν δειχτεί ότι συν > - γι >. Έστω >. Επειδή ηµt - γι κάθε t [, ] κι υπάρχουν µε ηµt <, λόγω κι του ότι οι συνρτήσεις f() = ηµt, g()= είνι συνεχείς στο [, ], έχοµε σύµφων µε το θεώρηµ 3: (ηµt )dt< ή tdt < dt Άσκηση Ισχύει t συν ή [ ] [ ] συνt ή συν -, >. f ()d f () d όπου f συνεχής στο [, ] ή στο [, ]. (Υπ: ισχύει - f() f() f() ) ΙΙΙ. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = f (t) dt ( 3.5 ). Θεώρηµ σελ. 334 (ολοκλήρωµ µε µετλητό άνω άκρο). Α. Εισγωγικά : Πριν την διτύπωση του θεωρήµτος κλό είνι ν γίνει µι «κτινογρφί»-ποσφήνιση της «περίεργης» συνάρτησης- ολοκληρώµτος = φ () f (t)dt,. Έστω µι συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ κι τυχόν σηµείο του, λλά µόλις επιλεγεί θεωρείτι στθερό στη συνέχει. Αν, τότε έχουµε τις περιπτώσεις = ) =, οπότε φ() f (t)dt = ) >, οπότε η συνάρτηση f, µετλητής t, είνι συνεχής στο διάστηµ [, ], άρ ορίζετι το (ορισµένο) ολοκλήρωµ f (t)dt ριθµός, κι είνι έν πργµτικός

10 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός γ) Αν < τότε η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ], άρ ορίζετι το (ορισµένο) ολοκλήρωµ f (t)dt = f (t)dt κι είνι έν πργµτικός ριθµός. Εποµένως, κθώς το µετάλλετι στο διάστηµ κι µε δεδοµένη την συνεχή συνάρτηση f κι στθερό το, ορίζετι πάντοτε ο ριθµός f (t)dt εξρτώµενος πό το, δηλδή είνι συνάρτηση του, έστω λοιπόν φ () = f (t)dt,. Η νεξάρτητη µετλητή της συνάρτησης φ είνι η, ενώ η µετλητή t είνι η µετλητή ολοκλήρωσης η οποί «ζει» κάθε φορά µέσ στο διάστηµ [, ] ή [, ]. Οι δυο υτές µετλητές δεν πρέπει ν συγχέοντι, άρ πρέπει τουλάχιστον ν πριστάνοντι µε διφορετικά γράµµτ. Πρώτ επιλέγετι το, κι στθεροποιείτι προσωρινά. Στη συνέχει λειτουργεί η µετλητή t µέσ στο διάστηµ [, ] ή [, ] γι ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ, δηλδή ο ριθµός φ(). Μετά επιλέγετι άλλο κ.ο.κ. Γενικότερ, µπορούµε ν έχουµε κι µετολή του, δηλδή η φ ν είνι συνάρτηση δυο µετλητών, λλά πάντ τ, θ τ πίρνουµε στο ίδιο διάστηµ στο οποίο η f είνι συνεχής. Β. Η πλήρης διτύπωση του Θεωρήµτος της σελ.334 (έπρεπε ν) είνι : Αν f είνι µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ (κλειστό ή όχι, φργµένο ή όχι) τότε η συνάρτηση F() = f (t)dt,, όπου (τυχόν λλά στθερό) είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F () = f() γι κάθε. Γ. Η µεγάλη σηµσί του θεωρήµτος, είνι ότι συνδέει τις έννοιες της πργώγου κι του ολοκληρώµτος που έχουν οριστεί νεξάρτητ η µι πό την άλλη. Έτσι υτό δεν είνι έν πλό θεώρηµ: είνι έν «θεϊκό θεώρηµ» κι ποτελεί έν πό τους θριάµους της νθρώπινης δινόησης!. Αυτό είνι κνονικά το Πρώτο Θεµελιώδες Θεώρηµ του Ολοκληρωτικού λογισµού (Ο. Λ.) κι υτό που νφέρετι στο σχ. ιλίο ως θεµελιώδες, είνι το εύτερο (λ. π.χ.. Κάππου, Απειροστικός Λογισµός σελ.96, 3). Όµως γι ν µην υπάρξει σύγχυση ς µην νφερθεί υτό στους µθητές.. Σύµφων µε το πρπάνω θεώρηµ εξσφλίζετι πάντ η ύπρξη µις ρχικής συνάρτησης γι µι οποιδήποτε συνάρτηση f συνεχή σ' έν διάστηµ (η οποί µάλιστ είνι κι συνεχής, ως πργωγίσιµη), η οποί διέρχετι πό το σηµείο (, F() = ). Η ρχική υτή συνάρτηση δεν είνι πάντ εύκολο ν ρεθεί. Ε. Στον τύπο της ρχικής F() του θεωρήµτος, η F είνι συνάρτηση της µετλητής, που ; ίνι το άνω άκρο ολοκλήρωσης (συνάρτηση µε µετλητό άνω άκρο). Το θεώρηµ δεν ισχύει ν στον τύπο της f(t) υπάρχει κι η µετλητή. Πράδειγµ: ν εφρµοστεί, επιπόλι, το θεώρηµ γι την συνάρτηση g () = ( t)dt, (-, + ), θ δώσει g () = =, δηλδή g στθερή. Όµως είνι g() = /. Aν µέσ στην συνάρτηση f(t) υπάρχει το, ή άλλο γράµµ εκτός του t, θεωρείτι στθερά, δεν εφρµόζετι τότε το πρπάνω θεώρηµ γι την f(t), λλά ίσως κάποι ιδιότητ του ορισµένου ολοκληρώµτος.

11 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός ΣΤ. Αν f συνεχής σ έν διάστηµ,, τότε η συνάρτηση ορίζετι γι κάθε κι είνι G () = f (t)dt = f (t)dt G() = f (t) dt οπότε σύµφων µε το πρπάνω θεώρηµ η G() είνι πργωγίσιµη κι ισχύει - G ( = f() ή G () = -f(),, G() =. d Ζ. Σύµφων µε το πρπάνω θεώρηµ ισχύει f (t)dt = f () d,, δηλδή η πράγωγος του ολοκληρώµτος συνάρτησης δίνει την ίδι συνάρτηση, δηλδή κτά κάποιο τρόπο η πργώγιση κι η ολοκλήρωση είνι πράξεις ντίθετες, η µι νιρεί την άλλη (όπως π.χ. πρόσθεση - φίρεση, τετράγωνο - ρίζ κτλ.) Η. Αν ως κάτω άκρο ολοκλήρωσης, στον τύπο της F, πάρουµε έν άλλο ριθµό, τότε θ ρούµε µι άλλη ρχική της f (η οποί έι θ διφέρει πό την προηγούµενη κτά έν (στθερό) ριθµό - συνάρτηση. Υπάρχουν όµως κι ρχικές µις συνάρτησης που δεν προκύπτουν µε τον τρόπο υτό: π.χ. tdt =. Μετάλλοντς το R πίρνουµε µόνο τις ρχικές + c, της µε c. Θ. Αν η f είνι κι πργωγίσιµη, τότε η F είνι διπλά πργωγίσιµη. Γενικά ν η f έχει ν-ιοστή πράγωγο τότε η F έχει (ν+) τάξης πράγωγο. Ι. Μι χρήσιµη εφρµογή του (Θεµελιώδους) Θεωρήµτος του Ο. Λ. Αν γνωρίζουµε την ρχική τιµή του Qo = Q(t ) ενός µεγέθους Q(t), τον ρυθµό dq( t) µετολής Q ( t ) = του µεγέθους υτού, κθώς κι ότι η συνάρτηση Q (t) dt είνι συνεχής, τότε µπορούµε ν προσδιορίσουµε το άγνωστο µέγεθος Q(t) κι φυσικά τις τιµές του, φού ισχύει + t t Q(t) = Q Q (u)du () Πράδειγµ Ν ρεθεί η τχύτητ κινητού που κινείτι ευθύγρµµ µε οµλή επιτχυνόµενη κίνηση ν την χρονική στιγµή t = to το κινητό είχε τχύτητ υ(t ) = υ. Eπειδή η επιτάχυνση = (t) = υ (t) είνι στθερή, πό τον πρπάνω τύπο () µε Q(t) = υ(t), έχουµε, t t υ(t) = υ + υ (u)du = υ + [u] = υ + (t t ) t Αν t o = τότε πίρνουµε τον γνωστό τύπο υ = υ + t της οµλής επιτχυνόµενης κίνησης. Άσκηση κτνόησης : Αν f συνεχής στο [, ] τότε ισχύει lim f (t)dt+ lim f (t)dt =.

12 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός g(). Σχετικά µε το τύπο: f (t) dt = f (g())g ()) () g() Α. H συνάρτηση Σ() = f (t) dt είνι σύνθεση των συνρτήσεων u = g() κι F(u)= u f (t) dt, Σ = Fog. Έτσι, υποθέτoντς ότι η f είνι συνεχής σ έν διάστηµ µε κι ότι η u = g() είνι πργωγίσιµη σε έν σύνολο Α, η Σ() έχει πεδίο ορισµού το σύνολο D Σ = { A: g() } Α στο οποίο είνι κι πργωγίσιµη κι ισχύει η (). Το σύνολο υτό δεν είνι πάντ διάστηµ. Γι πράδειγµ / η συνάρτηση Σ() = dt έχει πεδίο ορισµού το σύνολο A=R*. + t Με την ευκιρί ν σηµειώσουµε ότι, στην άσκηση 5, σελ. 339, η συνάρτηση T() = dt + t + / t dt + έχει πεδίο ορισµού το R*, λλά ζητείτι ν δειχθεί ότι είνι στθερή στο διάστηµ (, + ). Πράγµτι, εύκολ προκύπτει ότι Τ () = γι >, λλά κι γι <. Όµως δεν µπορούµε ν ισχυριστούµε ότι η Τ είνι στθερή στο σύνολο (-, ) (, + ), φού το σχετικό θεώρηµ ισχύει µόνο σε διάστηµ. Απλά µπορούµε ν πούµε ότι: Τ() = c = γι > κι Τ() = κ γι < (ποδεικνύετι ότι κ = Τ(-) = -π). g() Β. Ολοκληρώµτ της µορφής f (t) dt νάγοντι στην προηγούµενη µορφή : g() g() h() f (t) dt = f (t) dt+ f (t) dt µε, g(), h() στο διάστηµ ορισµού της f. h() h() 3. Θεµελιώδες Θεώρηµ του Ο. Λ. Α. Το θεώρηµ ισχύει κι στην περίπτωση που το κάτω άκρο ολοκλήρωσης είνι µεγλύτερο πό το πάνω άκρο, όπως εύκολ ποδεικνύετι. ηλδή, γι µι συνεχή συνάρτηση f στο διάστηµ [, ] κι F µι (οποιδήποτε) ρχική της στο [, ] ισχύει f ()d= F() F(). Γενικότερ (ως άσκηση) : Αν φ() συνεχής συνάρτηση σ έν διάστηµ κι Σ() µι οποιδήποτε- ρχική της φ στο, τότε γι κάθε κ, λ ισχύει λ κ φ() d = Σ(λ) Σ(κ) Β. Επισηµίνουµε (κι ποδεικνύουµε) ότι το θεώρηµ ισχύει κι γι µι άλλη ρχική της f, άρ γι οποιδήποτε ρχική της f Γ. Συχνό λάθος των µθητών είνι: f ()d= f () f (). Μπορούµε ν δείξουµε µε έν πλό πράδειγµ ότι δεν ισχύει υτό.

13 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 3. Το θεώρηµ υτό µς δίνει τη δυντότητ ν υπολογίσουµε έν ορισµένο ολοκλήρωµ µις συνεχούς συνάρτησης f σ' έν διάστηµ [, ] (<) ν πρώτ ρούµε µι ρχική της f στο διάστηµ υτό. Ε. Η γεωµετρική σηµσί του θεωρήµτος υτού είνι ότι, το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γ. π. της f, ( f() ) τον άξον των κι τις ευθείες =, = είνι ίσο µε την διφορά F() - F() τιµών µις ρχικής της f. Αν f(), [, ], τότε F () = f(), οπότε η F είνι (πλά) ύξουσ άρ F() - F(), δηλ. εξσφλίζετι η µη ρνητικότητ του εµδού). ΣΤ. Aν f συνεχής στο διάστηµ (, ] κι γι την τιµή f() = κ (που δεν προκύπτει πό τον τύπο της f στο (, ]-άλλος κλάδος), η f γίνετι συνεχής στο [, ], τότε γι τον υπολογισµό του ολοκληρώµτος εργστούµε ως εξής: Η συνάρτηση F() = Ι f (t)dt µπορούµε ν = f (t)dt= πργωγίσιµη στο [, ], είνι κι συνεχής στο, οπότε = f (t)dt, [, ], ως lim F() = F() f (t)dt. Έτσι ρκεί ν υπολογίσουµε την ρχική F() = + f (t)dt, (, ], της f στο διάστηµ (, ]. Ένς άλλος τρόπος είνι ν ρούµε µι ρχική της f στο διάστηµ (, ], έστω F κι ν την επεκτείνουµε στο µε F() = lim F() (λ. άσκηση 7, σελ. 7) + 4. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Oρισµένων Ολοκληρωµάτων. Α. Υπάρχουν τρεις µέθοδοι, (ντίστοιχες των µεθόδων ολοκλήρωσης των ορίστων ολοκληρωµάτων, οι οποίες φέτος δεν είνι στην εξετστέ ύλη!). Η µέθοδος της άµεσης ολοκλήρωσης χρησιµοποιεί το θεµελιώδες θεώρηµ του Ο. Λ. κι ενδείκνυτι πολλές φορές σε (λογιστικούς) υπολογισµούς ολοκληρωµάτων. Οι µέθοδοι της πργοντικής ολοκλήρωσης κι της ντικτάστσης στ ορισµέν ολοκληρώµτ είνι συνήθως χρήσιµοι κυρίως σε θεωρητικά θέµτ, όπου έν ολοκλήρωµ µεττρέπετι σε άλλο. Ο λογιστικός υπολογισµός ενός ορισµένου ολοκληρώµτος µε τις µεθόδους υτές, κι κυρίως µε την πργοντική ολοκλήρωση, είνι συχνά επίπονος κι υξάνει τις πιθνότητες γι ριθµητικά λάθη. Γι υτό, στις περιπτώσεις υτές, είνι προτιµότερο ν ρίσκουµε πρώτ µι ρχική της συνάρτησης χρησιµοποιώντς κυρίως τον πίνκ των ρχικών κι µετά ν χρησιµοποιούµε το θεµελιώδες θεώρηµ του Ο. Λ.. Όµως, επειδή φέτος δεν είνι στην ύλη οι µέθοδοι όριστης ολοκλήρωσης κι δυσκολεύετι η εύρεση ρχικών, συνιστάτι ν γίνουν περισσότερ υπολογιστικά πρδείγµτ εφρµογής των µεθόδων πργοντικής κι ντικτάστσης µε ορισµέν ολοκληρώµτ. Μέθοδοι κι πρδείγµτ µπορούν ν ντληθούν πό τις σελίδες 3, 33, 34, 35 (των ορίστων). Πιο συγκεκριµέν, µπορούν ν δοθούν ως σκήσεις, στην κτά πράγοντες ολοκλήρωση κι ντικτάστσης, ολοκληρώµτ, όπως : Α. e d= (e ) d =... u t Όµοι τ (u + )e du, te dt.

14 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 4 Πρόµοι υπολογίζοντι τ ολοκληρώµτ της µορφής Ρ()e πολυώνυµο (δηλδή, κτά πράγοντες ολοκλήρωση ως προς το εκθετικό µέρος e λ ) λ d, όπου P() Β. π/ π/ ηµd = ( συν) dt =... Όµοι τ π π uσυνudu, (t + )ηµ(t)dt. Πρόµοι υπολογίζοντι τ ολοκληρώµτ της µορφής Ρ()ηµ(λ)d, Ρ()συν(λ)d, όπου P() πολυώνυµο, λ R. (δηλδή, κτά πράγοντες ολοκλήρωση ως προς το τριγωνοµετρικό µέρος) Γ. e e 3 u u ln udu= ln udu =... Όµοι τ 3 πρόµοι υπολογίζοντι τ ολοκληρώµτ της µορφής π ln d, t ln(t)dt e κι Ρ(u) ln(λu)du (δηλδή, κτά πράγοντες ολοκλήρωση ως προς το πολυώνυµο P() ) π/ π/ π/. Ι= e συνd = ( e ) συνd =... = + e Ι. Άρ Ι= κι πρόµοι υπολογίζοντι τ ολοκληρώµτ της µορφής π/ e κ κu e ηµ(λ)d, e συν(λu)du. Ε. Απλά ολοκληρώµτ ρητών (µε πρνοµστή µεγλύτερου θµού, διφορετικά 3 ( )d εκτελούµε την διίρεση), π.χ. I = Η διίρεση ( ): ( -5+6): δίνει πηλίκο κι υπόλοιπο, οπότε I= + d = d+ d = + d Πργοντοποιούµε τον πρνοµστή κι νζητούµε ριθµούς, ώστε = + ( )( 3) 3 γι κάθε,3. ρίσκουµε = -, =, κ.τ.λ. Πάντως, όπως κι πλιά, ς έχουµε υπόψη ότι δεν είνι στους στόχους του µθήµτος ο λογιστικός υπολογισµός δύσκολων ή πολύπλοκων ολοκληρωµάτων.

15 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 5 Β. Σχετικά µε το θεώρηµ λλγής µετλητής (σελ. 337), () f(g()) g()d = u u f(u)du, u = g(), u = g(), u = g(), Β. Το θεώρηµ µς δίνει την δυντότητ ν νχθούµε σε ολοκλήρωµ άλλης µετλητής (κι άλλων άκρων ολοκλήρωσης) που ίσως είνι ευκολότερο. Β. Επισηµίνουµε ότι πρέπει η συνάρτηση ντικτάστσης g ν έχει συνεχή πράγωγο στο διάστηµ [, ] κι η f ν είνι συνεχής (τουλάχιστον) στο σύνολο (διάστηµ, λόγω συνέχεις σε κλειστό) g([, ]), το οποίο δεν έχει πάντ άκρ τ g(), g() (κι δεν είνι πρίτητο ν είνι -). Γενικά είνι [g(), g()] ή [g(), g()] g([, ]). Οι ριθµοί g(), g() µπορεί ν είνι κι ίσοι ή άνισοι. Μι περίπτωση το διάστηµ g([, ]) ν έχει άκρ τ g(), g(), είνι ότν η g είνι -, οπότε λόγω της συνέχειάς της είνι γν. µονότονη στο [, ] (είνι τότε g([, ]) = [u, u ] ή [u, u ]). Βέι µπορεί ν έχει υτά τ άκρ κι ν µην είνι µονότονη. Αν g() = g() τότε το ολοκλήρωµ δεν είνι πάντ ίσο µε : πιτείτι κι η προς ολοκλήρωση συνάρτηση ν εκφράζετι µόνο µε τη νέ µετλητή u (δηλδή ν µην υπάρχει η πλιά ). Β3. Αν προσέξουµε τη ισότητ f(g()) g()d = u u f(u)du, πρλέποντς τ άκρ, λέπουµε ότι είνι «εντελώς υτονόητη»: Αφού u = g() κι (πό συµολισµό) du = g () ή du = g () d λλά κι τ d άκρ ολοκλήρωσης λλάζουν «νλογικά». Αυτό πλά µς λέει ότι το θεώρηµ επληθεύετι µε υτή την «χονδροειδή» κίνηση, που δεν ποτελεί, προφνώς, πόδειξη, είνι όµως ολική στην πράξη. Η πόδειξή του θεωρήµτος στηρίζετι στη θεώρηση µις ρχικής της συνεχούς f στο διάστηµ g([, ]) κι χρησιµοποίηση του Θ. Θ. του Ο. Λ. Β4. Στην πράξη σπάνι η συνάρτηση φ(), σ έν ολοκλήρωµ φ() d, είνι φνερά της µορφής f(g())g () Επιµένουµε όµως κι επιλέγουµε u = g(), όπου g() είνι συνήθως έν «περίεργο», συνήθως «ρύ» µέρος εντός του τύπου της προς ολοκλήρωσης συνάρτησης φ(), κι προσπθούµε (γράφοντς τυπικά du = g ()d κ.τ.λ.) ν το µεττρέψουµε σε ολοκλήρωµ (µόνο) της νές (πλσµτικής) µετλητής u µε νέ όρι ολοκλήρωσης g(), g() κλπ Υπάρχει όµως περίπτωση η ντικτάστση u = g() κι οι συνκόλουθες ενέργειες, ν µην οδηγούν άµεσ σε προς ολοκλήρωση συνάρτηση f(u) (χωρίς την µετλητή ), λλά ν χρειάζετι η συνάρτηση u = g() ν λυθεί ως προς = Σ(u) γι ν γίνει υτό. Άρ πρέπει η g ν είνι κι - στο [, ] γι ν έχει ντίστροφη. Αν µάλιστ θέλουµε κι την συνέχει της πργώγου της ντίστροφης Σ, τότε ρκεί ν έχουµε g (), [, ] (τότε λόγω κι της συνέχεις της g, η g είνι γν. µονότονη κι η Σ έχει συνεχή πράγωγο στο διάστηµ µε άκρ g(), g(), το οποίο τυτίζετι τότε µε το g([, ]) κλπ (:εκτός σχ. ύλης τ θεωρήµτ υτά!) Αν η g δεν είνι - στο διάστηµ ολοκλήρωσης, ίσως ν είνι σε κάποι υποδιστήµτά του, οπότε σε υτά µπορούµε ν δουλέψουµε µε την ντίστροφη, ν έι οι πράξεις µετά στ ολοκληρώµτ είνι... υποφερτές. ιφορετικά νζητούµε άλλη, κλύτερη ντικτάστση.

16 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 6 Β5. Έν άλλος δρόµος γι τον υπολογισµό (ή την µεττροπή) ενός ολοκληρώµτος f()d, είνι ν χρησιµοποιήσουµε έν πρπλήσιο µε το πρπάνω θεώρηµ («εσωτερικής µετλητής» θ λέγµε: πό το δεύτερο προς το πρώτο µέλος του πρπάνω θεωρήµτος): Αν f συνεχής στο διάστηµ [, ] κι u = g() συνάρτηση µε συνεχή πράγωγο σ έν διάστηµ = [κ, λ] ή [λ, κ] ώστε = g(κ), = g(λ), [, ] = g( ), τότε ισχύει () λ f(u)du = κ f(g()) g()d (3) (ή λ f()d = f(g(u)) g(u)du µε = g(u), = g(κ), = g(λ) κ.τ.λ.) κ Σχόλιο : Επειδή < είνι κι κ λ (νεξάρτητ ν g είνι -). Γ. Οι πρπάνω µέθοδοι ολοκλήρωσης µε ντικτάστση εφρµόζοντ σε δυο περιπτώσεις:. Η ντικτάστση u = g() (ή = g(u) γι την περίπτωση (3)) κ.τ.λ., οδηγεί «φυσιολογικά» σε µετάση πό το έν µέλος στο άλλο (στους τύπους των θεωρηµάτων), δηλδή κθ oλοκληρί στη νέ µετλητή (u ή ). Σε υτή δηλδή την περίπτωση τ θεωρήµτ εφρµόζοντι οµλά, άµεσ, χωρίς ν χρειάζετι ν ρεθεί η ντίστροφη της συνάρτησης ντικτάστσης. Είνι φνερό ότι στην περίπτωση υτή το - δεν µς ενδιφέρει φού δεν το πιτούν τ θεωρήµτ. Στην περίπτωση υτή ν είνι ίσ τ νέ άκρ ολολήρωσης το ολοκλήρωµ είνι ίσο µηδέν. Πράδειγµ Γι το ολοκλήρωµ Λ = - ( - )( - + )d. Θέτουµε u = + (όχι - στο [-, ]), µε νέ όρι ολοκλήρωσης,, du = (-)d, οπότε Λ = udu = (γενικά ( - )f( - + )d =, µε f συνεχή, - R) Πράδειγµ Γι το ολοκλήρωµ Κ= d, θέτουµε u = g() = +, µε όρι ολοκλήρωσης +,. Αυτό δεν σηµίνει ότι το ολοκλήρωµ είνι. Γι ν συµεί υτό πρέπει το Κ ν οδηγείτι µε την ντικτάστση υτή σε νέ µετλητή u, όπως έγινε στο προηγούµενο πράδειγµ. Αυτό όπως πρτηρούµε δεν συµίνει εδώ, φού πιτείτι ν λυθεί ως προς, η u= +, πράγµ που δεν δίνει µονδικότητ στη λύση, φού η g() δεν έχει ντίστροφη στο [-, ].Αν κι εδώ µπορούµε ν δισπάσουµε το ολοκλήρωµ στ διστήµτ [-, ], [, ] κι ν λάουµε ντίστοιχ =- u, = u, γενικά ότν ρεθούµε σε υτή την κτάστση, νζητούµε µήπως υπάρχει µι κλή ντικτάστση, π.χ. γι το ολοκλήρωµ υτό µι κλή ντικτάστση είνι η = εφt, t [-π/4, π/4], φού οδηγεί άµεσ σε νέ µετλητή κ.τ.λ.

17 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 7 K= d Πράδειγµ 3 : Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ. Θέτουµε = g(u)= ηµu, u [, π/] (µπορούµε ν επιλέξουµε κι το διάστηµ [, π]). Το σύνολο τιµών της g κι γι τ δυο διστήµτ είνι [, ] (στο πρώτο είνι -, ενώ δεν είνι στο δεύτερο). Η ντικτάστση = g()= ηµu οδηγεί άµεσ το ολοκλήρωµ στην νέ µετλητή u (κι στ δυο διστήµτ). Το ολοκλήρωµ Κ ν επιλέξουµε u [, π/], γίνετι ηµπ) K π/ K= συν udu, ενώ στο άλλο διάστηµ (µε = π/ = συν udu κι τ δυο όµως έχουν τελικά τιµή π/4. π (Σηµείωση: Η τιµή π/4 του πρπάνω ολοκληρώµτος µπορεί ν θεωρηθεί κι προφνής σε σχολικό επίπεδο, φού δηλώνει το έν τέτρτο του εµδού κύκλου κτίνς!). Η ντικτάστση u = g() ή = g(u) κ.τ.λ., δεν οδηγεί άµεσ στη νέ (µονδική) µετλητή, λλά χρειάζετι ν ρεθεί η ντίστροφη της συνάρτησης ντικτάστσης. Φυσικά η πίτηση ν οδηγηθούµε στη νέ (µονδική) µετλητή πορρέει πό τ πρπάνω θεωρήµτ, µόνο που δεν είνι άµεσ ορτή η εφρµογή τους. Σε υτή την περίπτωση πιτείτι η συνάρτηση υτή ν είνι -, διφορετικά θ ρεθούµε σε διέξοδο ποι συνάρτηση θ επιλέξουµε ή µπορεί ν οδηγηθούµε σε λάθος (λ. πράδειγµ 5). Πράδειγµ 4 : Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ µε την µέθοδο J= + d ντικτάστσης. Θέτουµε: u = g() = +, [, ], du = d.η ντικτάστση υτή δεν + οδηγεί άµεσ σε ολοκλήρωµ συνάρτησης µε την νέ µετλητή u. Αυτό θ το πετύχουµε ν λύσουµε ως προς την εξίσωση u = +, δηλδή ν ρούµε την ντίστροφη της συνάρτησης g στο διάστηµ [, ], υπό την προϋπόθεση έι ότι υπάρχει. Εδώ g () = > οπότε η g είνι - στο [, ] µε ντίστροφη: + = u -, u [, ]. Έτσι το ολοκλήρωµ γίνετι J= u (u )du κλπ. Πράδειγµ 5 e K= d /e (+ ln ) Αν θέσoυµε u = + ln, η ντικτάστση υτή ποτυγχάνει ν οδηγήσει το ολοκλήρωµ άµεσ στην νέ µετλητή u κι πιτείτι ν ρεθεί η ντίστροφή u της, που δεν υπάρχει: = e ± u ) Αν λάουµε την = e u ή την = e (υπάρχουν κι άλλες!) θ έχουµε νέ όρι ολοκλήρωσης,, οπότε Κ =. Όµως το ολοκλήρωµ Κ είνι θετικός ριθµός, φού η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είνι θετική στο [/e, e], άτοπο. Αν κι µπορούµε ν δισπάσουµε το συγκεκριµένο ολοκλήρωµ στ διστήµτ [/e, ],[, e] κι ν πρoυµε γι το πρώτο διάστηµ την u = e u κι γι το δεύτερο την = e (- στο [, ]), επειδή προκύπτουν πολύπλοκ ολοκληρώµτ, θ νζητήσουµε µι κλύτερη ντικτάστση. Πράγµτι, η u = ln οδηγεί το ολοκλήρωµ στην νέ µετλητή u κι στην συνέχει µε την

18 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 8 u = εφω, ω [-π/4, π.4], προκύπτει Κ = π/.. Στην πράξη σε υπολογισµούς ορισµένων (κι όριστων) ολοκληρωµάτων συνήθως προτιµούµε, γι ν ποφύγουµε πολλές πράξεις ή κι λάθη, ν επιλέξουµε (λ. Β5, σχέση ()) την ντικτάστση u = g() κι το διάστηµ, ώστε η g ν είνι γν. µονότονη (άρ κι -) στο διάστηµ (εξσφλίζουµε έτσι το [, ] = g( ) λλά κι την ντίστροφη της g ν χρειστεί). Αυτό το εξσφλίζουµε, µε δεδοµένη την συνέχει της g, µε το ν ελέγξουµε (ή κι ν πιτήσουµε) ν g (u), u (που ελέγχετι εύκολ), οπότε έχουµε κι την πργωγισιµότητ της ντίστροφης λλά κι την συνέχειά της πργώγου της. Ε. Υπάρχει περίπτωση µε µι ντικτάστση ν γούµε έξω πό το διάστηµ ορισµού του ολοκληρώµτος. Πράδειγµ : Γι το ολοκλήρωµ 4 =, θέτουµε u=, [, 4]. J e d du = d κι η πράγωγος της u δεν είνι συνεχής στο [, 4]. Στην περίπτωση υτή ένς τρόπος είνι ν πρτηρήσουµε ότι 4 4 e d = lim e d κι στην συνέχει ν εργστούµε µε την προηγούµενη ντικτάστση στο [, 9], < < 9, (τελικά Ι = 4e 3 +). Ο άλλος τρόπος είνι ν χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµ ντικτάστσης πό το δεύτερο προς το πρώτο µέλος (λ. 4. Β5): Θέτουµε = g(u) = u, d = udu, οπότε προχωρούµε κνονικά. 5. Προσοχή: Φέτος που δεν είνι στην εξετστέ ύλη οι µέθοδοι όριστης ολοκλήρωσης, µπορούµε ν ρούµε µι ρχική µε άση το πρώτο θεώρηµ της 3.5 (µετλητό άνω άκρο) σε συνδυσµό µε µι πό τις µεθόδους ολοκλήρωσης στ ορισµέν. Γι πράδειγµ: Μι ρχική της (συνεχούς) συνάρτησης f() = e στο διάστηµ (-, + ). είνι π.χ. η F() = t t t e dt= t (e ) dt =... = e ( - - ) (Γενικά ν θέλουµε η γ. π. της F() ν διέρχετι πό το σηµείο (, ) τότε έχουµε ) t t την ρχική F() = + t e dt = + t (e ) dt =... Μι ρχική της (συνεχούς) συνάρτησης φ() = είνι π.χ η συνάρτηση Φ()= t + στο διάστηµ [, + ), dt,. Θέτουµε u= t.. oπότε + t u u + Φ() = udu = du =... + u + u = - + ln(+ ). 6. Το θεώρηµ µέσης τιµής του Ο. Λ. ν κι δεν είνι στη εξετστέ ύλη, συνιστάτι ν δοθεί ως άσκηση: είνι µι κλή επνληπτική θεωρητική εφρµογή

19 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 9 του Θ.Μ.Τ του. Λ. κι του πρώτου θεωρήµτος της σελ.334 (µετλητό άνω άκρο). Άσκηση κτνόησης : Έστω > κι f συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [-, ].Τότε ισχύουν ) Αν f άρτι, f (t) dt= f (t) dt, ) Αν f περιττή, ()d = f( ) d = 9 f, π.χ. ηµ( )d =, γ). ΙV. ΕΜΒΑ ΟΝ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ( 3.7) Α. Όλοι οι τύποι των εµδών είνι επιστηµονικά κι διδκτικά σωστό ν διδχθούν µε την σειρά που υπάρχει στο ιλίο, επγωγικά, κι όχι ν δοθεί π ευθείς ο τελικός τύπος (ο οποίος έι θ πρέπει ν τονιστεί ότι κλύπτει όλες τις περιπτώσεις). Χρήσιµο είνι ν τονίσουµε κι ν υπενθυµίσουµε την µέγιστη κι ελάχιστη τιµή µις συνεχούς σε κλειστό διάστηµ που χρησιµοποιούµε στη σελίδ 344, θέµ που σχετίζετι πολύ κι µε διάφορες θεωρητικές σκήσεις µε όρι στ ολοκληρώµτ. Β. Η εφρµογή 3 της σελίδς 348, σύµφων µε την εξετστέ ύλη, έχει πρλειφθεί. Συνιστάτι όµως διδχθεί ως άσκηση, επισηµίνοντς την συνάρτηση ντικτάστσης - λλγής µετλητής κι ν δοθεί ως άσκηση η εύρεση του εµδού της έλλειψης. Εκτός πό υτό, το ποτέλεσµ της εφρµογής, Εµδόν ηµικυκλίου Ε=πρ /, µπορεί ν θεωρηθεί γνωστό σε σχολικό επίπεδο(π.χ. σε µι εξέτση) ν πρτηρήσουµε ότι υτό εκφράζετι στον ολοκληρωτικό λογισµό πό τον ριθµό d (y =, [-, ]) Γ. Σχετικά µε τ σηµεί τοµής της γ. π. µις συνάρτησης µε την ντίστροφή της, πρόληµ που µπορεί ν εµφνιστεί στ προλήµτ υπολογισµού εµδών. Έχει γίνει πολύ συζήτηση τ τελευτί -3 χρόνι, κυρίως στο διδίκτυο, ν ρίσκοντι ή όχι όλ πάνω στην διχοτόµο y =. Όλοι σχεδόν οι συνάδελφοι που έχουν σχοληθεί µε το θέµ, όπως κι εγώ πλιότερ, πιστεύουν ότι δεν υπάρχει επιστηµονικός ή διδκτικός λόγος γι ν µην εργζόµστε όπως µέχρι σήµερ κι εν πάση περιπτώσει υπάρχει πολύ µικρή ποδοχή της «άλλης θεώρησης της ντίστροφης» (η οποί είνι ξιοπρόσεκτη κι χρήζει περιτέρω έρευνς, όχι κτ νάγκη σε σχολικά πλίσι ή µε σχολική προοπτική). Εκείνο που πρέπει όµως ν έχουµε υπόψη κι ν επισηµάνουµε στους µθητές, είνι ότι: Αν ρούµε κτά τ γνωστά την ντίστροφη µις συνάρτησης y = f(), A, έστω την = g(y) (ή = f - (y)), y f(a), δεν πρέπει ν ενλλάξουµε τις µετλητές, y, χωρίς ουσιστικό λόγο Το «επιχείρηµ» ότι την νεξάρτητη µετλητή την «πριστάνουµε συνήθως µε» είνι νεπρκές κι µπορεί ν οδηγήσει κι σε σύγχυση. Αυτή είνι η µθηµτική (λγερική) πορεί των µετλητών-µεγεθών, λλά κι η φυσική πορεί (δηλδή ν, y πριστάνουν

20 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός συγκεκριµέν µεγέθη). Υπάρχουν έι κι περιπτώσεις, π.χ. σε έν ορισµένο ολοκλήρωµ που είνι διάφορο πως θ ονοµστεί η νεξάρτητη µετλητή, όµως σε µι ρχική (ή όριστο ολοκλήρωµ) δεν πρέπει ν γίνει ενλλγή, όπως κι σε θέµτ πργωγίσεων. Μι περίπτωση που πρέπει ν γίνει ενλλγή των, y είνι ότν κάνουµε την γρφική πράστση της y = f() κι της ντίστροφής της στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων, όπου κτά πάγι τκτική τοποθετούµε την νεξάρτητη µετλητή (νεξάρτητ πως την συµολίζουµε κάθε φορά) στον οριζόντιο άξον. Στη περίπτωση φυσικά υτή οι τετµηµένες των κοινών σηµείων της f κι της ντίστροφής της, προκύπτουν πό τη λύση της εξίσωσης f(t) = f - (t), t A f(a), ν την κοινή νεξάρτητη µετλητή συµολίσουµε π. χ µε t. V. Πράδοξ - Ερωτήσεις π. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ Λ = d. + συν Θέτουµε θ = εφ, [, π], οπότε d = dθ + θ κι π d = dθ= + συν. 3+ θ ηλδή µι θετική συνάρτηση στο διάστηµ [, π] έχει ολοκλήρωµ ίσο µε µηδέν, άτοπο. Το λάθος οφείλετι στο ότι η συνάρτηση ντικτάστσης θ δεν ορίζετι στο διάστηµ του [, π] (στον ριθµό π).. Συχνές είνι οι ερωτήσεις κθηγητών, ν στ Μθηµτικά Γενικής πιδείς µπορούν οι µθητές στις εξετάσεις ν χρησιµοποιήσουν τον τύπο της εφπτοµένης κι τον κνόν De L' Hospital πό τ Μθηµτικά κτεύθυνσης. Σχετικά έχω ν πρτηρήσω τ εξής: Τ ερωτήµτ υτά είνι πλιά κι δεν υπάρχει επίσηµη πάντηση πό το Π. Ι. ή το Υ ΒΜΘ, πρά τις σχετικές ερωτήσεις που έχουν γίνει. Έτσι κάποιοι κθηγητές είνι υπέρ της µις κι κάποιοι υπέρ της άλλη άποψης. Πιστεύω ότι οι µθητές οφείλουν ν πντούν µε την θεωρί του µθήµτος που εξετάζοντι κθώς κι µε γνώσεις προηγούµενων τάξεων κι µόνο. Αν χρησιµοποιήσουν κάτι εκτός εξετστές ύλης ή που δεν έχει διδχθεί σε προηγούµενες τάξεις, οφείλουν ν το ποδείξουν. Πλιότερ υπήρχε η ρχή, ό,τι χρησιµοποιήσει ο µθητής εκτός ύλης εξετζόµενου µθήµτος πρέπει ν το ποδείξει. Στις µέρες µς µερικοί κθηγητές, κυρίως νέοι, ισχυρίζοντι ότι τους κλύπτει το: "κάθε επιστηµονικά τεκµηριωµένη πάντηση είνι ποδεκτή" (που τίθετι κάθε χρόνο κάτω πό τ θέµτ των εξετάσεων). Αυτοί που κάθε χρόνο το νγράφουν υτό, τουλάχιστον γι τ Μθηµτικά, οφείλουν ν ξεκθρίσουν τι εννοούν κριώς, ώστε ν ξεκθριστούν οι όροι των εξετάσεων κι µην δηµιουργούντι προλήµτ στ θµολογικά κέντρ. Μπορεί κάλλιστ ένς θµολογητής ν µην θεωρήσει σωστή µι λύση που θ χρησιµοποιεί π.χ. τον κνόν De L' Hospital στ Μθηµτικά Γενικής πιδείς, ή στην κτεύθυνση π.χ. το δεύτερο κριτήριο κροτάτων ή το Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισµού κι άλλος ν το θεωρήσει σωστό.

21 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός Το κύριο επιχείρηµά µου είνι η νισότητ που δηµιουργείτι µε τους µθητές της θεωρητικής κτεύθυνσης, λλά κι στους µθητές της κτεύθυνσης που δεν έχουν την άνεση ή την δυντότητ ν διάσουν ή ν διδχθούν επί πλέον ύλη. Εξ άλλου κι η µθηµτική πειθρχί κι επινόηση είνι µέσ στους στόχους του µθήµτος. VI. Μεθοδολογικές κι γενικές πρτηρήσεις. εν είνι στους σκοπούς του µθήµτος πολύπλοκοι υπολογισµοί ολοκληρωµάτων κι ειδικές τεχνικές κι τεχνάσµτ ολοκλήρωσης, όπως γίνετι συνήθως στο Πνεπιστήµιο ή στ ΤΕΙ. Οι υπολογισµοί ν περιοριστούν σε πλές περιπτώσεις, στο επίπεδο του σχ. ιλίου, σχετιζόµενες κυρίως µε τ εµδά... Οι µέθοδοι ολοκλήρωσης ορισµένων ολοκληρωµάτων χρησιµοποιούντι ότν υπάρχει άµεση νάγκη υπολογισµού του ολοκληρώµτος. Στην περίπτωση π.χ. πόδειξης µις νισότητς ή υπολογισµού ορίου ολοκληρώµτος, πρώτ θ προσπθήσουµε ν εφρµόσουµε γνωστές ιδιότητες της διάτξης του ολοκληρώµτος ή των ορίων κι τελευτί θ σκεφτούµε γι άµεσο υπολογισµό του ολοκληρώµτος. Άλλωστε ο υπολογισµός ενός (όριστου κι κτ επέκτση ορισµένου) ολοκληρώµτος είνι γενικά δύσκολο πρόληµ κι πρέπει ν γίνετι ότν έχουν εξντληθεί άλλοι τρόποι κι ιδιότητες. 3. Oι ερωτήσεις κτνόησης κι οι σκήσεις του ιλίου πρέπει ν προηγούντι των άλλων σκήσεων που ενδεχοµένως θ δώσουµε στους µθητές. Οι επνληπτικές ερωτήσεις κτνόησης των σελ επιάλλετι ν µην λησµονηθούν κι ν ελεγχθούν οι πντήσεις τους µε σχετική δικιολόγηση στη τάξη. 4. Σε πολλά θεωρητικά θέµτ ολοκληρωµάτων, κυρίως µε όρι, που νφέροντι σε µι συνεχή συνάρτηση φ σε διάστηµ [. ] είνι ρκετά χρήσιµο ν έχουµε υπόψη το θεώρηµ της µέγιστης κι ελάχιστης τιµής γι την συνάρτηση φ ή την φ ν δίνετι ότι είνι συνεχής. 5. Προλήµτ εύρεσης συνάρτησης µε ολοκλήρωµ («ολοκληρωτικές εξισώσεις») Αφού ελέγξουµε την πργωγισιµότητ των εµφνιζόµενων συνρτήσεων, συνήθως πργωγίζουµε κι τ δυο µέλη κι προχωρώντς µε συνεπγωγές, ρίσκουµε µι ή περισσότερες συνρτήσεις. Επειδή δεν προχωρήσµε µε ισοδυνµίες (τουλάχιστον στο ήµ της πργώγισης), είµστε υποχρεωµένοι ν κάνουµε επλήθευση των υποψηφίων λύσεων -συνρτήσεων, ρίσκοντς ίσως έτσι κι την στθερά που ίσως υπάρχει σε υτές. Αν όµως δίνετι ή µπορούµε ν ρούµε µι ρχική συνθήκη πό τη δεδοµένη εξίσωση γι την άγνωστη συνάρτηση φ, π.χ. φ(κ) = ή τ(κ) = φ(κ) - κι έχουµε υπόψη την σχεδόν προφνή ή ευκόλως ποδεικνυόµενη ιδιότητ: τ() = φ() ν κι µόνο (τ () = φ () κι τ(κ) = φ(κ)), σε κτάλληλ διστήµτ - τότε δεν χρειάζετι επλήθευση. Συνιστάτι ν διδχθούν κι οι δυο τρόποι. 6. Ν τονίζουµε σε κάθε ευκιρί το «πνεύµ των θεµάτων µε πολλά ερωτήµτ». Οι µθητές έχουν την τάση ν στοχεύουν π ευθείς έν ερώτηµ, γνοώντς τ προηγούµεν (τ οποί µπορούν ν χρησιµοποιήσουν κόµη κι ν δεν τ πέδειξν!).

22 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 7. Το γενικό επνληπτικό διγώνισµ που συνιστάτι ν γίνει στο τέλος, -τρίωροπρέπει ν έχει κύριους στόχους τον έλεγχο σικών γνώσεων κι δεξιοτήτων, ν δίνει µι πρόγευση των πνελληνίων εξετάσεων, λλά προπάντων κι ν ενθρρύνει, στο µέτρο του δυντού, τους µθητές: είνι λοιπόν κλό τ πρώτ θέµτ ν φορούν τον έλεγχο της κτνόησης της διδγµένης ύλης κι των σχετικών δεξιοτήτων µέσω κλειστών ερωτήσεων (κλύτερ πολλπλής επιλογής-όχι Σ-Λ) κι πλών σκήσεων κτνόησης κι εφρµογής. Τ υπόλοιπ θέµτ µπορούν ν πλησιάζουν στο πνεύµ του 3 ου κι 4 ου των πνελλδικών εξετάσεων µε τις εξής προϋποθέσεις: ν έχουν διδχθεί πρόµοι ή κι ίδι ή κι πιο δύσκολ στη τάξη κι ν είνι στο επίπεδο των δυντοτήτων των µθητών. Κλύτερ λίγο «φτωχά θέµτ» κι ν πάνε οι µθητές µε θάρρος κι υτοπεποίθηση στις εξετάσεις πρά µε «πλούσιο Μθηµτικό περιεχόµενο» κι ν υπάρξει πικρί, πογοήτευση κι πτώση του ηθικού. Άλλωστε τ περιθώρι ελτίωσης στο σηµείο υτό είνι πι πολύ περιορισµέν.- * * *

23 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠAΝΑΛΗΨΗΣ ΟΛΟΚΛ/ΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Eρωτήσεις κλειστού τύπου.. Μι ρχική της συνάρτησης φ(t) = είνι η Α. + c Β. t c + Γ. t+c. t + c. Μι ρχική της συνάρτησης φ(y) = e y είνι A. 9+e y B. ye y Γ. + e y. +ye y E.+e y γ. Aν f()= te dt τότε f () = A. B. e Γ 4e.. e δ. Αν () ρχική της φ στο R κι φ () < γι κάθε R, τότε η () είνι Α. Γνησίως ύξουσ Β. Γνησίως φθίνουσ Γ. Κυρτή. Κοίλη ε. Η διφορά f ()dt f (t)d = Α. Β. - Γ. f()- f().(-)(f()-f(t)) Στ. Η συνάρτηση f () = dt, [, ], έχει 4 + t Α. µέγιστη τιµή Β. Ελάχιστη τιµή Γ. Άλλο ζ. Αν η συνάρτηση = dt f (), < <, είνι µι ρχική της συνάρτησης k ln t g(t) = στο διάστηµ (, ), τότε πρέπει : ln t Α. k = B. k < Γ k >. < k < Ε. k R η. Το ολοκλήρωµ e dt = θ. Ο ριθµός φ (θ) dθ= φ(θ) Α. φ(θ) Β. Γ. φ(θ) Α. Β. Γ. e. φ(θ) ln φ(θ).. [ ] t e Ε. e -. Α. Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f µε f e ( )= γι κι f() = είνι µι ρχική της συνάρτησης g µε g() = e ( ) + γι κι g() =. Β. Ν ρεθεί µι ρχική της συνάρτησης φ, µε φ(y) = 3y γι y <, κι φ(y) = 3 γι y.

24 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 4 3. Α. Αν Φ ρχική µις συνάρτησης f στο διάστηµ [, ] κι Σ ρχική της f στο διάστηµ [, γ], ν ρεθεί µι ρχική της f στο διάστηµ [, γ]. Β. Έστω η συνάρτηση f µε f() = - γι [-, ) κι f() = γι [, ]. Ν ρεθεί µι ρχική της σε κάθε έν διάστηµ [-, ), [,] κι ν δειχθεί ότι δεν έχει ρχική. 4. Έστω η συνάρτηση (t) = t + + t. ) είξετε ότι ) είξετε ότι η (t) είνι γνησίως ύξουσ στο R. γ) N ρεθεί µι ρχική της συνάρτησης φ(t) = + t 5. είξετε, µε την οήθει του ορισµού του ολοκληρώµτος, ότι 3 3 ) d = 4, ) d 6 3 =, γ) d 3 = 4 ( ίνετι ότι ν κ= ν(ν+ ) κ=, ν κ= κ ν(ν+ )(ν = 6 + ), ν (t) (t) =, t R, + t κ= 6. N ρεθούν τ πεδί ορισµού των συνρτήσεων dt du φ() =, S() = t (Απ. (, 6), (3, + )) e ln u. κ 3 ν(ν+ ) = ) 7. είξετε ότι η συνάρτηση λ () = dt είνι πργωγίσιµη στο R κι + t ν ρεθεί η εφπτοµένη της στην θέση =. (Aπ. -y+3=) 8. Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g() = t + dt, R είνι πργωγίσιµη κι ν t e εξετστεί ως προς την µονοτονί κι τ κρόττ. 9. Αν f συνεχής στο R, τότε ισχύει, f () = f (t)dt γι κάθε R, ν κι µόνο ν η f είνι η µηδενική συνάρτηση.. Ν ρεθούν οι συνεχείς συνρτήσεις στο R, µε την ιδιότητ e t ( ) + + = f( u) du) dt, R. (Απ: e ). Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f() =. ) Ν εξετστεί ως προς την µονοτονί κι ν ρεθεί το σύνολο τιµών της. + ) Ν ρεθεί το όριο lim f(t) dt,γ) Ν ρεθεί µι ρχική της f.. Ν εξετάσετε ως προς την κυρτότητ την συνάρτηση φ() = e dt, > κι ν t ρείτε τ σηµεί κµπής της συνάρτησης φ. t 3*. N εξετάσετε ως προς την µονοτονί την συνάρτηση τ(y) = e dt κι ν y t (+ e ) ρείτε την ντίστροφή της ν υπάρχει. t

25 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 5 4. Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση φ(), >, µε την ιδιότητ φ(t) e+ dt= φ() γι κάθε > κι στην συνέχει ν εξετστεί ως προς την t µονοτονί κι τ κρόττ. 5. Ν δείξετε ότι: ) ν τότε +, ) 4 6 d + 3 <. 6. Αν φ() = ( + 4)e - ν υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου που ορίζετι πό τ σηµεί Σ(, y) µε, y φ(). (Aπ.4e-6/e) 7. Θεωρούµε την συνάρτηση φ() = - +,. ) Ν ρεθεί η ντίστροφή της, ) Ν λυθεί η εξίσωση φ() = φ - (), γ) Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων φ, φ -. (Απ./3) 8. Α. Αν f συνεχής στο [-, ] ν ποδειχθεί ότι Β. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ Ι = ηµ 3 8+ συν ηµ f(συν) d = Γ. Έστω φ συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ] µε φ () + φ()< γι κάθε (, ) κι φ()d+ 5=. Ν εξετστεί η µονοτονί της συνάρτησης g() = φ(t) dt, [, ] κι ν ρεθεί το σύνολο τιµών της. 9*. Έστω φ συνάρτηση συνεχής στο R κι πργωγίσιµη στο µε την ιδιότητ 3 d tφt)dt = + 6 φ(t)dt γι κάθε R ) Ν δείξετε ότι η φ είνι πργωγίσιµη στο R, )Ν ρείτε την συνάρτηση φ ν η γρφική της πράστση διέρχετι πό το σηµείο (, 9). *. Α. Αν φ συνεχής στο διάστηµ [, + ) κι κ > τότε κ κ φ( )d =. Β. Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση φ(λ) = συν (λt)dt είνι συνεχής στο R κι ν εξετστεί ως προς την µονοτονί στο διάστηµ [, π/]. *. ) Ν ποδειχθεί ότι lim dt = +. + e ln t ) Ν ρεθεί ο ριθµός µε τον οποίο µπορούµε ν προσεγγίσουµε την πράστση ln P= dt e ότν το πίρνει πολύ µεγάλες τιµές. (Aπ. ) ln t ln 3 γ) Ν ρεθεί το όριο της συνάρτησης Σ() = dt στο +. (Aπ. -) lnt. Έστω φ άρτι κι συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [-, ]. ) Ν ποδειχθεί ότι φ(t) dt = t + e ηµ t φ(t)dt, ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ dt. t + e

26 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 6 3. Έστω η συνάρτηση φ µε φ() = e + λ ν < κι φ() = ν, όπου λ R στθερά. ) Ν δειχθεί ότι, ν λ = η φ δεν έχει ρχική. ) Ν ρεθεί η τιµή του λ γι την οποί η φ έχει ρχική κι ν ρεθεί. (Απ. -) 4*. Αν γι την πργωγίσιµη στο R συνάρτηση φ ισχύει φ () = ν δείξετε ότι + (+ ) / φ (t)dt+ φ(t) dt φ(t)dt γι κάθε R. ` e γι κάθε R, 5. Α. Έστω φ συνάρτηση γνησίως µονότονη µε συνεχή πρώτη πράγωγο στο διάστηµ [, + ). N ποδειχθεί ότι φ(t)dt + φ() φ() φ (t)dt = φ() γι κάθε [, + ). Ποι είνι η γεωµετρική ερµηνεί της σχέσης υτής; B. N υπολογίσετε το ολοκλήρωµ Ι = e - φ (t)dt, όπου φ(t) = te t. * * * ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ. Έστω φ συνάρτηση συνεχής στο R. ) N εξετάσετε ν εφρµόζετι το θεώρηµ Bolzano γι την συνάρτηση φ(λ) = λ λ ( φ() )d+ (φ() )d, λ [, ]. ) N δείξετε ότι υπάρχει ξ [, ] τέτοιο ώστε φ()d φ(u)du+ + = ξ.. Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R ώστε η συνάρτηση g () = f () f (t)dt, R ν είνι γνησίως ύξουσ. Ν ποδειχθεί ότι f() = γι κάθε R. 3. A. Αν γι έν µιγδικό z ισχύει z + i + z - i = z + + z - ν ποδείξετε ότι Re(z) = Im(z) Β. Ν ρεθούν τ κρόττ κι τ σηµεί κµπής της συνάρτησης φ () = tηµ( t)dt, [, π]. 4. Έστω η συνάρτηση = t F () dt, e. e ln t ) Ν εξετστεί η µονοτονί κι η κυρτότητά της. ) Ν δειχθεί ότι lim F() = +. + γ) Ν ρεθούν οι τιµές του λ γι τις οποίες έχει λύση η εξίσωση λ-f() =, e. 5. ) Ν ρεθεί µι συνάρτηση f ορισµένη κι πργωγίσιµη στο R µε την ιδιότητ 3 f () = f() ë κι f(-) = 5-λ, όπου λ πράµετρος, λ R. ) Γι τις διάφορες τιµές του λ ν ρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() =. ξ + ξ

27 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. - Γ Λυκείου : Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισµός 7 6. Α. Έστω f µι ρχική της συνεχούς συνάρτησης g στο R µε g()=, f() =. i) Αν g() γι κάθε R, ν δειχθεί ότι η f είνι γνησίως µονότονη κι ν εξετστεί ν έχει κρόττ. ii) N ρεθεί η εφπτοµένη της γ. π. της f στη θέση =. Β. Έστω η συνάρτηση = t f() t e dt,. ) Ν δειχτεί ότι η f είνι γνησίως ύξουσ. ) Ν δειχθεί ότι κάθε ρχική της f είνι γνησίως ύξουσ κι κυρτή. γ) Ν ρεθεί µι ρχική της f της οποίς η γ. π. ν διέρχετι πό το σηµείο (, ). δ) Ν ρεθεί το όριο της f στο + κι το σύνολο τιµών της. ηµ 7. ) Ν µελετηθεί ως προς την µονοτονί η συνάρτηση f()=, (, π]= πηµt ) Ν εξετστεί ως προς την κυρτότητ η συνάρτηση F() = dt (,π] t γ) Ν δειχτεί ότι η F είνι γνησίως φθίνουσ. 8. Α* Aν z C, τότε z = z + = ν κι µόνο ν z +z + =. Β. Ν ρεθούν τ κρόττ κι τ σηµεί κµπής της συνάρτησης f() tηµ( t)dt. = 9. Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο R. θεωρούµε την συνάρτηση h() = f (t)dt, R. ) Ν δειχτεί ότι η h είνι πργωγίσιµη στο R. ) Αν η f είνι γνησίως µονότονη, ν δειχτεί ότι κι η h είνι οµοίως µονότονη. γ) Αν η f είνι πργωγίσιµη κι κυρτή ν δειχτεί ότι η h είνι επίσης κυρτή συνάρτηση.. Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη στο R µε f () = τέτοι ώστε f( + y) = f()e y + f(y)e γι κάθε, y R. Ν ποδειχτεί ότι: f ) f() = κι lim ( ) = ) f ( ) = f ( ) + e κι (3) f () = 8f () + e, R. γ) f ( )= e, R.. Έστω συνάρτηση φ µε την ιδιότητ φ (t) > t γι κάθε >. ) Ν εξετστεί η µονοτονί της συνάρτησης γ(t) = φ(t) lnt, t > ) Έστω f συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµ [, + ) µε tf(t) > γι κάθε t >. Ν δειχθεί ότι η f δεν έχει ρχική στο διάστηµ [, + ).. ) Ν ρεθούν οι πργωγίσιµες στο R συνρτήσεις f µε την ιδιότητ f (λ) + λ= f (λ) γι κάθε λ R. ) Ν δειχτεί ότι µι πό τις προηγούµενες συνρτήσεις είνι κοινή σύµπτωτη (γι λ - ) όλων των υπολοίπων.