Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού"

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό πραγματεύεται ένα πολύ σημαντικό θέμα για τα συστήματα γραφικών. Ο φωτισμός είναι η σημαντικότερη ίσως παράμετρος, η οποία αποδίδει αίσθηση ρεαλισμού και αληθοφάνειας στην εμφάνιση των εικονικών αντικειμένων. Το ίδιο ακριβώς αντικείμενο με την ίδια ακριβώς πολυπλοκότητα αναπαράστασης (π.χ. αριθμός πολυγώνων) έχει τελείως διαφορετική εμφάνιση ανάλογα με τη μέθοδο και τον αλγόριθμο που θα χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί η αλληλεπίδρασή του με το φως. Το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει αρχικά τα μοντέλα των κύριων πηγών φωτός που χρησιμοποιούνται στα γραφικά και συνεχίζει με την ανάλυση του μοντέλου Phong που χρησιμοποιείται, ευρέως, στα γραφικά πραγματικού χρόνου. Τέλος περιγράφονται και οι αλγόριθμοι σταθερής φωτοσκίασης, φωτοσκίασης Gouraud και φωτοσκίασης Phong μαζί με αντίστοιχα παραδείγματα. Προαπαιτούμενη γνώση Γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Διανυσματικής Ανάλυσης και Γεωμετρίας-Τριγωνομετρίας ως γνώσεις υποβάθρου. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές από το Κεφ. 3. Αναπαράσταση 3Δ αντικειμένων από το Κεφ. 4. Χρώματος και υφής από το Κεφ Εισαγωγή Ο ρεαλισμός μιας φωτιζόμενης σκηνής σε συστήματα γραφικών εξαρτάται εν γένει από δύο βασικές παραμέτρους: α) Την ακρίβεια των ιδιοτήτων υλικού των αντικειμένων της σκηνής, β) Την ακρίβεια του συστήματος φωτισμού που χρησιμοποιείται για την απόδοση της σκηνής. Ο φωτισμός αναφορικά με τα συστήματα γραφικών είναι μία θεμελιώδης διεργασία και έχει ως στόχο τον υπολογισμό με ακρίβεια της παρατηρούμενης φωτεινότητας ενός σημείου της σκηνής, το οποίο φωτίζεται από ένα σύνολο φωτεινών πηγών. Ένα μοντέλο φωτισμού αποτελείται από ένα σύνολο κανόνων που έχουν ως στόχο την πρακτική υλοποίηση των τμημάτων της θεωρίας της οπτικής. Τα τμήματα αυτά έχουν τη μεγαλύτερη σημασία και δεν εμπλέκουν υπολογιστικά χρονοβόρες διεργασίες. Είναι σημαντικό να γίνει σαφής διαχωρισμός ανάμεσα σε ένα μοντέλο φωτισμού (illumination model) και έναν αλγόριθμο φωτοσκίασης (shading). Ενώ ένα μοντέλο φωτισμού αποτελείται πρακτικά από απλουστεύσεις των νόμων της οπτικής, ένας αλγόριθμος φωτοσκίασης περιγράφει μία αποδοτική διαδικασίααλγόριθμο υλοποίησης ενός συγκεκριμένου μοντέλου φωτισμού. Πρακτικά, η διαδικασία της φωτοσκίασης έχει ως στόχο να μεταβάλλει τη φωτεινότητα ενός παρατηρούμενου σημείου υπό την επίδραση συγκεκριμένων πηγών φωτός. Οπότε, όσον αφορά την αλληλουχία των διεργασιών σε ένα σύστημα γραφικών (σωλήνωση γραφικών), η διαδικασία της φωτοσκίασης έπεται των διεργασιών απόδοσης υφής και χρώματος γενικότερα. 6.. Ιδιότητες Μοντέλων Φωτισμού Οι βασικότερες και πιο απαραίτητες φυσικές ιδιότητες της αλληλεπίδρασης φωτός-αντικειμένων για ένα σύστημα γραφικών είναι η διάχυση, η κατοπτρική ανάκλαση, η διάθλαση και η απορρόφηση φωτεινής ενέργειας. Παρατηρώντας την Εικόνα 6-, έστω πηγή φωτός L που φωτίζει ένα παρατηρούμενο σημείο S υπό γωνία θ L. Έστω τώρα το σημείο V από το οποίο παρατηρούμε το S υπό γωνία θ V. Η κατοπτρική ανάκλαση, λαμβάνει χώρα και είναι παρατηρήσιμη μόνο για την κατεύθυνση παρατήρησης για την οποία η γωνία πρόσπτωσης του φωτός στην επιφάνεια στο σημείο S, είναι ίση με τη γωνία παρατήρησης θl=θv. Με άλλα λόγια, όταν η γωνία παρατήρησης συμπίπτει με τη γωνία ανάκλασης, η κατοπτρική ανάκλαση προσομοιώνει απόλυτα λείες επιφάνειες με τέλεια ανακλαστικότητα. Κατά τη διάχυτη ανάκλαση, το φως μεταδίδεται ομοιόμορφα προς όλες της κατευθύνσεις ανάκλασης. Η διάχυτη ανάκλαση προσομοιώνει τραχείες επιφάνειες με μηδαμινή κατοπτρική ανακλαστικότητα. 6-

2 Κατά την αλληλεπίδραση του φωτός με ένα αντικείμενο, ένα τμήμα της φωτεινής ενέργειας μπορεί να απορροφηθεί από το αντικείμενο. Το φως αυτό είτε μετατρέπεται σε θερμότητα αυξάνοντας τη θερμοκρασία του αντικειμένου είτε διαθλάται μέσω του αντικειμένου. Ο εκπεμπόμενος φωτισμός αφορά τα αυτόφωτα αντικείμενα, τα οποία θα ονομάζουμε εφεξής και πηγές φωτός. Τα αυτόφωτα αντικείμενα έχουν την ιδιότητα να εκπέμπουν τα ίδια φωτεινή ενέργεια χωρίς αυτή να προέρχεται από κάποιας μορφής ανάκλαση. Εικόνα 6.. Αντικείμενο φωτίζεται από φωτεινή πηγή L. Ο παρατηρητής V δέχεται φωτισμό από κατοπτρική ανάκλαση Ι S (κόκκινη ακτίνα) και από διάχυτη ανάκλαση Ι D (πράσινη ακτίνα). Τμήμα του προσπίπτοντος φωτισμού Ι R διαθλάται (μπλε ακτίνα) μέσω του αντικειμένου. Στα συστήματα γραφικών, άμεσος φωτισμός καλείται ο φωτισμός που οφείλεται στην άμεση έκθεση ενός σημείου στην πηγή φωτός. Για να προκύψει άμεσος φωτισμός ενός σημείου από μία πηγή φωτός θα πρέπει να βρίσκονται σε οπτική επαφή. Έμμεσος φωτισμός ονομάζεται ο φωτισμός που δέχεται ένα σημείο μίας επιφάνειας, χωρίς να βρίσκεται σε άμεση έκθεση στην πηγή φωτός, αλλά σε έμμεση μέσω ενός ανακλαστικού αντικειμένου. Με άλλα λόγια κάθε αντικείμενο που αντανακλά είτε διάχυτα είτε κατοπτρικά το φως, μπορεί να γίνει δυνητικά πηγή έμμεσου φωτισμού για τα υπόλοιπα αντικείμενα της σκηνής. Τα μοντέλα φωτισμού μπορούν χωριστούν σε δύο κύριες και πολύ σημαντικές κατηγορίες ανάλογα με το εάν υποστηρίζουν ή όχι τον έμμεσο φωτισμό. Τα μοντέλα που μοντελοποιούν μόνο τον άμεσο φωτισμό ονομάζονται μοντέλα τοπικού φωτισμού (local illumination), ενώ αυτά που μοντελοποιούν και τον έμμεσο φωτισμό ονομάζονται μοντέλα ολικού φωτισμού (global illumination). Τα μοντέλα τοπικού φωτισμού είναι δημοφιλή σε συστήματα γραφικών πραγματικού χρόνου λόγω της περιορισμένης υπολογιστικής πολυπλοκότητάς τους, διότι μπορούν να οδηγήσουν σε σύνθεση σχετικά ρεαλιστικών σκηνών σε πραγματικό χρόνο. Τα μοντέλα ολικού φωτισμού, τα οποία μπορούν να οδηγήσουν σε φωτορεαλιστικές σκηνές, χρησιμοποιούνται ευρέως στον κινηματογράφο και γενικότερα σε εφαρμογές όπου δεν υπάρχει απαίτηση εκτέλεσης σε πραγματικό χρόνο Πηγές Φωτός Κάθε αντικείμενο που εκπέμπει φως ονομάζεται πηγή φωτός και επηρεάζει τα εφέ φωτισμού των αντικειμένων της σκηνής. Μία πηγή φωτός μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα και να εκπέμπει φως οποιουδήποτε χρώματος. Ως πηγή φωτός μπορεί να οριστεί ένα αντικείμενο, το οποίο πέρα από το φως που εκπέμπει μπορεί και να δεχτεί/ανακλάσει φως, όπως και συμβαίνει στα φυσικά περιβάλλοντα. Για λόγους απλοποίησης των υπολογισμών, στα συστήματα γραφικών πραγματικού χρόνου όσον αφορά τις πηγές φωτός γίνονται οι παρακάτω υποθέσεις: Απλοποιημένη γεωμετρία: Για τη γεωμετρική αναπαράσταση των πηγών φωτός χρησιμοποιούνται πολύ απλά γεωμετρικά αντικείμενα έτσι ώστε να μειώνεται η υπολογιστική πολυπλοκότητα της διαδικασίας υπολογισμού του εκπεμπόμενου φωτός. Μάλιστα, είναι πολύ 6-

3 σύνηθες να μη χρησιμοποιούνται καθόλου γεωμετρικά αντικείμενα για την αναπαράσταση των πηγών φωτός. Μη αντανάκλαση φωτός: Ακόμα και όταν χρησιμοποιείται κάποια γεωμετρία για την αναπαράσταση της πηγής αυτή, συνήθως, θεωρείται ότι δεν αντανακλά το φως που προσπίπτει πάνω της. Τριχρωματική εκπομπή φωτός: Οι πηγές εκπέμπουν φως σε τριχρωματική μορφή ακολουθώντας το χρωματικό μοντέλο RGB. Πρακτικά θεωρείται ότι η πηγή αποτελείται από τρεις ανεξάρτητες πηγές φωτός, μία για κάθε συνιστώσα του μοντέλου RGB, και καθεμία από τις οποίες έχει τα δικά της χαρακτηριστικά Σημειακή Πηγή Φωτός Η απλούστερη μορφή πηγής φωτός είναι η σημειακή πηγή φωτός (point light), η οποία βρίσκεται σε συγκεκριμένο σημείο του χώρου και εκπέμπει φως ενός χρώματος RGB προς όλες τις κατευθύνσεις. Η Εικόνα 6- απεικονίζει μία σημειακή πηγή φωτός, η οποία μπορεί να οριστεί με τη θέση της στο χώρο και με το χρώμα φωτός που εκπέμπει. Εικόνα 6.. Σημειακή πηγή, φωτίζει αντικείμενο σε απόσταση d Εάν το σχετικό μέγεθος της πηγής φωτός είναι αμελητέο σε σχέση με το μέγεθος των αντικειμένων της σκηνής μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πηγή είναι αδιάστατη. Οι νοητές ακτίνες φωτός μίας σημειακής πηγής φωτός είναι αποκλίνουσες ευθείες, όπως απεικονίζεται στην Εικόνα 6.. Έστω τώρα ότι η σημειακή πηγή φωτός τοποθετείται στο σημείο L. Η ένταση με την οποία το φως φτάνει στο σημείο P δίνεται από την παρακάτω σχέση: = k + kd+ kd 0 0 {Εξ. 6.} όπου 0 είναι η ένταση φωτισμού της πηγής, d η απόσταση μεταξύ της πηγής L και του σημείου P και οι k 0, k, k σταθερές τιμές. Είναι προφανές ότι ανάλογα με την επιλογή των σταθερών k μπορούν να μοντελοποιηθούν πηγές φωτός των οποίων η ένταση να αποσβένει με σταθερό, γραμμικό ή τετραγωνικό τρόπο Κατευθυντική Πηγή Φωτός Σε μια κατευθυντική πηγή φωτός (directional light) οι νοητές ακτίνες φωτός κινούνται πάνω σε παράλληλες ευθείες (Εικόνα 6-3). Αν και είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς μια πραγματική πηγή φωτός με τις ιδιότητες της κατευθυντικής πηγής, ωστόσο αυτές χρησιμοποιούνται ευρύτατα στα γραφικά λόγω της απλότητας των υπολογισμών που απαιτούνται, στα πλαίσια χρήσης αλγορίθμων φωτοσκίασης. Εάν υποτεθεί ότι οι διαστάσεις μίας σκηνής είναι αμελητέες σε σχέση με την απόσταση μίας σημειακής πηγής φωτός από τη σκηνή, τότε η τελευταία εκφυλίζεται σε κατευθυντική πηγή φωτός, διότι τοπικά οι ακτίνες φωτός μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες. Μια τέτοια πρακτική περίπτωση πηγής φωτός είναι ο ήλιος, του οποίου οι ακτίνες μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες σε μία πεπερασμένη περιοχή πάνω 6-3

4 στη γη. Η κατευθυντική πηγή φωτός συνήθως είναι μία και μοναδική μέσα σε μια σκηνή και χρησιμοποιείται ως βάση για προσθήκη επιπλέον πηγών φωτισμού Πηγή Προβολέα Εικόνα 6.3. Κατευθυντική Πηγή Φωτός Μία πολύ ενδιαφέρουσα πηγή φωτισμού, η οποία μπορεί να προσομοιώσει ιδιαίτερα ρεαλιστικά εφέ φωτισμού είναι η πηγή προβολέα (spotlight). Ένας προβολέας φωτίζει μόνο τα αντικείμενα που βρίσκονται εντός του κώνου φωτισμού του (Εικόνα 6-4), ο οποίος ορίζεται από τη θέση τoυ προβολέα (κορυφή), την κατεύθυνση φωτισμού v L και τη γωνία φωτισμού ω L. Εικόνα 6-4. Παράδειγμα Πηγής Προβολέα Έστω ένα αντικείμενο που βρίσκεται στη θέση P και έστω το μοναδιαίο διάνυσμα v P με αρχή τον προβολέα L και κατεύθυνση προς το P που σχηματίζει γωνία ω P με την κατεύθυνση φωτισμού v L. Τότε ο έλεγχος, εάν το σημείο αυτό φωτίζεται από τον προβολέα, εκφυλίζεται στον έλεγχο ενός εσωτερικού γινομένου. Έτσι ο φωτισμός του σημείου από την πηγή προκύπτει από την παρακάτω σχέση: P L, εν ά ωp = arccos( vp vl) < ωl = 0, αλλιώς {Εξ. 6.} Σε περίπτωση που είναι επιθυμητό η ένταση του φωτισμού να αποσβένει με την απόσταση, τότε κατά αντιστοιχία με τη σημειακή πηγή φωτός προκύπτει: = k + kd+ kd 0 0 {Εξ. 6.3} όπου d είναι η απόσταση πηγής-σημείου. 6-4

5 Ειδικά για την περίπτωση της πηγής προβολέα, είναι συνήθως επιθυμητό το φως να αποσβένει όσο η γωνία ω P μεγαλώνει. Με αυτόν τον τρόπο η δέσμη φωτός είναι πιο έντονη στο κέντρο της και πιο αχνή στην περιφέρεια του κώνου φωτισμού. Η γωνιακή απόσβεση δίνεται από την παρακάτω σχέση: { v p vl } max,0 m = k + kd+ kd 0 P {Εξ.6.4} όπου ο εκθέτης m επηρεάζει το πόσο συγκεντρωμένος είναι ο προβολέας. Όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα 6.5) μικρές τιμές του εκθέτη δίνουν δέσμη φωτισμού χωρίς σαφή όρια, ενώ για μεγάλες τιμές προκύπτουν δέσμες με απότομη μετάβαση από τις φωτεινές προς στις σκοτεινές περιοχές. Εικόνα 6.5. Παράδειγμα πηγής προβολέα με διαδοχικά μεγαλύτερο εκθέτη m 6.4. Το μοντέλο τοπικού φωτισμού Phong Τα ρεαλιστικά φυσικά μοντέλα που περιγράφουν τον τρόπο που μία επιφάνεια αντανακλά το φως είναι ιδιαίτερα πολύπλοκα για να χρησιμοποιηθούν σε συστήματα γραφικών πραγματικού χρόνου. Αυτό έχει οδηγήσει στην ευρύτατη χρήση του προσεγγιστικού μοντέλου τοπικού φωτισμού Phong, το οποίο μπορεί να αποδώσει ικανοποιητικές αντανακλάσεις έχοντας πολύ μικρό υπολογιστικό κόστος. Στο μοντέλο Phong ένα υλικό περιγράφεται καθορίζοντας τρεις διακριτές παραμέτρους ανάκλασης: Περιβάλλουσα ανάκλαση: Ανακλά μία σταθερή ποσότητα φωτός και χρησιμοποιείται για να εξισορροπήσει την έλλειψη φωτισμού λόγω του γεγονότος ότι ο τοπικός φωτισμός δεν υλοποιεί έμμεσο φωτισμό. Διάχυτη ανάκλαση: Αντιστοιχεί σε ανάκλαση φωτός ανεξάρτητη της γωνίας θέασης. Το φως ανακλάται με την ίδια ένταση σε όλες τις κατευθύνσεις. Κατοπτρική ανάκλαση: Αντιστοιχεί σε ανάκλαση φωτός λείων επιφανειών, η οποία μεγιστοποιείται όταν η γωνία ανάκλασης είναι ίδια με τη γωνία θέασης, όπως θα δούμε και στη συνέχεια. Οι τιμές φωτισμού που υπολογίζονται από τις παραπάνω συνιστώσες αθροίζονται ώστε να πάρουμε το τελικό αποτέλεσμα Περιβάλλων Φωτισμός Ο περιβάλλων φωτισμός έχει σταθερή ένταση L a σε όλη τη σκηνή και κατά συνέπεια και σε κάθε σημείο της υπό φωτισμό επιφάνειας. Ένα τμήμα του φωτισμού αυτού απορροφάται και το υπόλοιπο αντανακλάται. Το ποσοστό του φωτισμού που αντανακλάται, δίνεται από το συντελεστή περιβάλλουσας ανάκλασης k a. Οπότε ο φωτισμός δίνεται από τη σχέση:, {Εξ. 6.5} 6-5

6 φωτισμού Στην περίπτωση τριχρωματικού φωτισμού κάθε χρωματική συνιστώσα έχει τη δική της ένταση περιβάλλουσας ανάκλασης Διάχυτη Ανάκλαση. Ομοίως το υλικό του αντικειμένου περιγράφεται με τους αντίστοιχους συντελεστές Στην περίπτωση της διάχυτης ανάκλασης, το φως που προσπίπτει σε μία επιφάνεια διαχέεται ομοίως σε όλες τις κατευθύνσεις, οπότε έχει και όμοια εμφάνιση ανεξαρτήτως της γωνίας θέασης. Ο διάχυτος φωτισμός χαρακτηρίζει τις τραχείες επιφάνειες. Το ποσό του φωτισμού που ανακλάται εξαρτάται τόσο από τις ιδιότητες του υλικού (ένα τμήμα του απορροφάται), αλλά και από τη σχετική θέση της πηγής φωτισμού ως προς τη φωτιζόμενη επιφάνεια. Στην πράξη είναι εξαιρετικά απίθανο μία επιφάνεια να αντανακλά το φως εξίσου σε όλες τις κατευθύνσεις. Μία τέτοια θεωρητική επιφάνεια ονομάζεται επιφάνεια Lambert. Το μοντέλο τοπικού φωτισμού Phong υποθέτει επιφάνεια Lambert κατά τον υπολογισμό της διάχυτης ανάκλασης, λόγω του χαμηλού υπολογιστικού κόστους που αυτό συνεπάγεται. Εικόνα 6.6. Φωτισμός επιφάνειας που διαχέει το φως όταν η κατεύθυνση φωτισμού είναι κάθετη στην επιφάνεια (αριστερά) και υπό γωνία (δεξιά). Έστω τώρα μία επιφάνεια που διαχέει το φωτισμό που δέχεται, όπως απεικονίζεται στην Εικόνα 6.6. Η επιφάνεια είναι πιο φωτεινή το μεσημέρι σε σχέση με το βράδυ, διότι σύμφωνα με το νόμο του Lambert, μόνο η κάθετη συνιστώσα του φωτός συνεισφέρει στο φωτισμό της επιφάνειας. Έστω θ η γωνία μεταξύ του κανονικοποιημένου διανύσματος φωτισμού l και του κανονικού διανύσματος n της επιφάνειας. Ο διάχυτος φωτισμός της επιφάνειας υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: cos( θ ) ( ln) = kl = k L d d d d d {Εξ. 6.6} όπου k d ο συντελεστής διάχυτης ανάκλασης και L d ο προσπίπτων φωτισμός που συμμετέχει στη διάχυτη ανάκλαση. Προσθέτοντας απόσβεση φωτισμού σε σχέση με την απόσταση από την πηγή φωτός προκύπτει η παρακάτω σχέση διάχυτης ανάκλασης: d ( ln ) kd = k + kd+ kd 0 L d {Εξ. 6.7} Κατοπτρική Ανάκλαση Εάν χρησιμοποιήσουμε μόνο περιβάλλουσα και διάχυτη ανάκλαση για το φωτισμό ενός αντικειμένου τότε τα αντικείμενα θα φαίνονται θαμπά («ματ» επιφάνειες). Αυτό που λείπει από το μοντέλο είναι τα γυαλιστερά τμήματα της επιφάνειας που αντανακλούν κατοπτρικά το φωτισμό, όπως φαίνεται στην Εικόνα

7 Η τέλεια κατοπτρική ανάκλαση αντιστοιχεί σε λείες και στιλπνές επιφάνειες για τις οποίες ισχύει ότι η γωνία πρόσπτωσης του φωτός ισούται με τη γωνία ανάκλασης. Στην πράξη, όμως, δεν είναι όλες οι ανακλαστικές επιφάνειες τέλειοι καθρέπτες και δεν ισχύει αυτός ο κανόνας στην αυστηρή αυτή μορφή του. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι η ένταση του ανακλώμενου φωτισμού είναι μεγαλύτερη για τη γωνία αυτή σε σχέση με τις υπόλοιπες. Εικόνα 6.7. Απεικόνιση του ίδιου αντικειμένου με διαφορετικές παραμέτρους υλικού. Προς τα δεξιά αυξάνει ο εκθέτης κατοπτρικής ανάκλασης. Προς τα κάτω μειώνεται ο συντελεστής κατοπτρικής ανακλαστικότητας k s. Ο Phong πρότεινε ένα απλοποιημένο προσεγγιστικό μοντέλο κατοπτρικής ανάκλασης, το οποίο περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: {Εξ. 6.8} όπου φ είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος θέασης v και τέλειας ανάκλασης r, k s είναι ο συντελεστής κατοπτρικής ανάκλασης που εκφράζει το ποσοστό του φωτός που αντανακλάται κατοπτρικά, ενώ το υπόλοιπο απορροφάται. Όπου L s είναι ο προσπίπτων φωτισμός που συμμετέχει στην κατοπτρική ανάκλαση. Ο εκθέτης α είναι ο συντελεστής γυαλάδας (shininess) και εκφράζει το βαθμό που ο ανακλώμενος φωτισμός είναι συγκεντρωμένος στην κατεύθυνση τέλειας ανάκλασης. Εικόνα 6.8. Διανύσματα Κατοπτρικής Ανάκλασης 6-7

8 Ένα πλεονέκτημα του μοντέλου κατοπτρικής ανάκλασης Phong είναι ότι το συνημίτονο της γωνίας φ μπορεί να υπολογιστεί απλά ως το εσωτερικό γινόμενο των κανονικοποιημένων διανυσμάτων θέασης v και τέλειας ανάκλασης r, όπως αυτά απεικονίζονται στην Εικόνα 6.8. s s s ( r v) a = kl {Εξ. 6.9} Προσθέτοντας απόσβεση φωτισμού σε σχέση με την απόσταση από την πηγή φωτός προκύπτει η παρακάτω σχέση διάχυτης ανάκλασης: s ( r v) ks = k + kd+ kd a 0 L s {Εξ. 6.0} Εκπεμπόμενος φωτισμός Πολλά συστήματα γραφικών επιτρέπουν στις επιφάνειες να ανακλούν φως που δεν προσπίπτει από κάποια εξωτερική πηγή. Τέτοιες επιφάνειες, μπορούν να θεωρηθούν ως αυτόφωτες. Ο εκπεμπόμενος φωτισμός είναι ανεξάρτητος της γεωμετρίας και δεν υπόκειται σε εξασθένηση. Ορίζεται ως μία τιμή έντασης φωτισμού e, που προστίθεται στις υπόλοιπες ώστε να υπολογιστεί η τελική τιμή φωτισμού της επιφάνειας Μοντέλο Phong Το μοντέλο φωτισμού Phong προσθέτει όλες τις επιμέρους συνιστώσες του ώστε να υπολογιστεί η τελική τιμή ανάκλασης: ( ( ln) ( rv) ) a e a a d d s s k0 + kd + kd = L+ kl k L + k L {Εξ. 6.} Στην περίπτωση που στο φωτισμό μίας επιφάνειας συμμετέχουν πολλές πηγές φωτισμού, τότε η συνεισφορά τους αθροίζεται σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: ( ( ) ( ) ) a e a a d ln d s rv j s k0 + kd + kd = L+ kl k L + k L {Εξ. 6.} Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πηγές συνεισφέρουν μόνο στο διάχυτο και στον κατοπτρικό φωτισμό. Στη συνήθη περίπτωση τριχρωματικού φωτός οι παραπάνω εξισώσεις εφαρμόζονται ξεχωριστά και ανεξάρτητα σε κάθε χρωματική συνιστώσα: ( ( ln) ( rv) ) a er ar ar dr dr s sr k0 + kd + kd = L + k L k L + k L ( ( ln) ( rv) ) a eg ag ag dg dg s sg k0 + kd + kd = L + k L k L + k L ( ( ln) ( rv) ) a eb ab ab db db s sb k0 + kd + kd = L + k L k L + k L {Εξ. 6.3} {Εξ. 6.4} {Εξ. 6.5} Αυτό που πρέπει να παρατηρήσουμε στις παραπάνω εξισώσεις είναι ότι ο συντελεστής κατοπτρικής ανάκλασης k s είναι ο ίδιος για κάθε χρωματική συνιστώσα. Αυτό συμβαίνει διότι κατά την κατοπτρική 6-8

9 ανάκλαση το χρώμα του φωτισμού που ανακλάται είναι αυτό της πηγής και δεν εξαρτάται από την επιφάνεια πάνω στην οποία λαμβάνει χώρα η ανάκλαση Υπολογισμός Διανυσμάτων Τα μοντέλα φωτισμού και φωτοσκίασης που παρουσιάστηκαν στις παραπάνω ενότητες είναι αρκετά γενικά, ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε επιφάνειες οποιουδήποτε τύπου (καμπύλες, επίπεδες), σε μοντέλα προοπτικής ή ορθογραφικής προβολής καθώς και σε κοντινές ή απομακρυσμένες επιφάνειες. Όπως αποτυπώνεται και στις παραπάνω εξισώσεις, απαραίτητη για τους υπολογισμούς είναι η εκτίμηση κάποιων συγκεκριμένων διανυσμάτων και εσωτερικών γινομένων, όπως το κανονικό διάνυσμα επιφάνειας και η κατεύθυνση φωτισμού. Μπορούν, βέβαια, να γίνουν και συγκεκριμένες απλοποιήσεις ανάλογα με την υλοποίηση, όπως η χρήση σταθερού- κανονικού διανύσματος για επίπεδες επιφάνειες ή σταθερού διανύσματος φωτισμού για απομακρυσμένες πηγές. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πώς μπορούν να υπολογιστούν όλα τα απαραίτητα διανύσματα Κανονικό Διάνυσμα Στην περίπτωση λείων επιφανειών, το κανονικό διάνυσμα ορίζεται σε κάθε σημείο και εκφράζει τον προσανατολισμό της τοπικής επιφάνειας. Ο τρόπος υπολογισμού του εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται μαθηματικά η επιφάνεια. Έστω η απλή περίπτωση ενός επιπέδου, το οποίο περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση: ax + by + cz + d = 0 {Εξ. 6.6} Μία άλλη περιγραφή της εξίσωσης του επιπέδου, η οποία εμπλέκει και το κανονικό διάνυσμα είναι η παρακάτω: ( p ) np = 0 0 {Εξ. 6.7} όπου n είναι το κανονικό διάνυσμα και p 0 είναι σημείο της επιφάνειας. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούμε ότι το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια είναι το παρακάτω: n = [ abc,, ] T {Εξ. 6.8} Στην πράξη είναι σύνηθες τα στοιχειώδη επίπεδα να μη δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή, αλλά απλά μέσω τριών συνεπίπεδων σημείων τους, όπως στην περίπτωση τριγωνοποιημένων πλεγμάτων. Εδώ το κανονικό διάνυσμα προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο δύο συνεπίπεδων διανυσμάτων. Έστω, λοιπόν, τα τρία μη συνευθειακά σημεία p 0, p, p, τα οποία ορίζουν μονοσήμαντα ένα επίπεδο. Τα τρία αυτά σημεία θα μπορούσαν στην πράξη να είναι οι κορυφές ενός τριγώνου. Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου μπορεί να προκύψει από το παρακάτω εσωτερικό γινόμενο: ( ) ( ) n= p p p p 0 0 {Εξ. 6.9} Λόγω του ότι στο εξωτερικό γινόμενο δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, πρέπει να είναι κανείς ιδιαίτερα προσεκτικός στη σειρά με την οποία παραθέτει τα διανύσματα. Εάν αλλάξει η σειρά τότε το διάνυσμα θα έχει αντίθετη φορά κάτι που μπορεί να επηρεάσει τον υπολογισμό του φωτισμού. Έστω τώρα ότι μας δίνεται η συνάρτηση της επιφάνειας σε πεπλεγμένη μορφή: f( xyz,, ) = 0 {Εξ. 6.0} και πιο συγκεκριμένα, έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση ενός ελλειψοειδούς: 6-9

10 f x y z,, = + + = 0 a b c ( xyz) {Εξ. 6.} Το κανονικό διάνυσμα προκύπτει από την κλίση της συνάρτησης και μπορεί να περιγραφεί από το παρακάτω διάνυσμα: f x x a f y n = {Εξ. 6.} = y b f z z c Εκτός, όμως, από την πεπλεγμένη τους μορφή, οι επιφάνειες μπορούν να εκφραστούν και σε παραμετρική μορφή, όπου οι τιμές των καρτεσιανών συντεταγμένων των σημείων της επιφάνειας εκφράζονται συναρτήσει των ανεξάρτητων μεταβλητών u,v. (, ) (, ) (, ) x= xuv y= y uv z= z uv {Εξ. 6.3} Για την περίπτωση του ελλειψοειδούς έχουμε: x= acosusin v [ π) [ π] y = bsin usin v u 0,, v 0, z = ccos v {Εξ. 6.4} Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να πάρουμε το κανονικό διάνυσμα από το εξωτερικό γινόμενο των παραγώγων της θέσης του σημείου ως προς u και v. p p n = u v {Εξ. 6.5} Όπου τα εφαπτόμενα στην επιφάνεια διανύσματα είναι: Διανύσματα φωτισμού και θέασης x x u v p y p y =, = u u v v z z u v Το διάνυσμα φωτισμού που έχουμε χρησιμοποιήσει και στις προηγούμενες παραγράφους μπορεί εύκολα να υπολογιστεί εάν είναι γνωστή η θέση P L της πηγής φωτός και η θέση P x του φωτιζόμενου σημείου: 6-0

11 l = P P X L {Εξ. 6.6} Σε περιπτώσεις όπου θεωρείται ότι οι διαστάσεις του αντικειμένου είναι αμελητέες σε σχέση με την απόσταση της πηγής φωτός από το αντικείμενο, τότε το διάνυσμα φωτισμού μπορεί να θεωρηθεί σταθερό και είναι απαραίτητο να δοθεί η κατεύθυνσή του (κατευθυντική πηγή φωτός). Το διάνυσμα θέασης v προκύπτει με όμοιο τρόπο αντικαθιστώντας τη θέση της πηγής φωτός με τη θέση του παρατηρητή P v. v= P P X V {Εξ. 6.7} Διάνυσμα Ανάκλασης Για τον υπολογισμό της κατοπτρικής συνιστώσας του μοντέλου Phong είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του διανύσματος κατοπτρικής ανάκλασης r. Έστω, λοιπόν, σημείο σε επιφάνεια με κανονικό διάνυσμα n που φωτίζεται από μία πηγή με κατεύθυνση φωτισμού l (Εικόνα 6-9). Θέλουμε να υπολογίσουμε το διάνυσμα κατοπτρικής ανάκλασης r. Εικόνα 6.9. Διανύσματα κατοπτρικής ανάκλασης Ο γενικός κανόνας που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι ότι η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης. Στις δύο διαστάσεις ο περιορισμός αυτός θα ήταν αρκετός για τον υπολογισμό του διανύσματος r. Στις τρεις, όμως, διαστάσεις υπάρχουν άπειρα διανύσματα που ικανοποιούν τον περιορισμό αυτόν. Ο επιπλέον περιορισμός που πρέπει να θέσουμε είναι ότι τα διανύσματα l, n και r είναι συνεπίπεδα. Με αναφορά, λοιπόν, στα διανύσματα που παρουσιάζονται στην Εικόνα 6-9, έχουμε: ( ) w= lcosθ = l nl = nl {Εξ. 6.8} Ακόμα είναι: w= nw= n( n l) {Εξ. 6.9} Επίσης, ισχύουν οι εξής διανυσματικές σχέσεις: r = w+ s s= w l {Εξ. 6.30} Οπότε συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι: ( ) r= w l= nnl l {Εξ. 6.3} 6-

12 6.6. Φωτοσκίαση Το μοντέλο φωτισμού του Phong μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την ένταση του φωτισμού σε ένα συγκεκριμένο σημείο μίας επιφάνειας δοσμένης πηγής φωτός με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Πώς θα μπορούσαμε, όμως, να εφαρμόσουμε το μοντέλο αυτό στην πρακτική και δημοφιλή περίπτωση όπου ένα αντικείμενο αναπαρίσταται με ένα τριγωνοποιημένο πλέγμα; Είναι πρακτικά υπολογιστικά αδύνατο να υπολογίσουμε τις εξισώσεις του μοντέλου σε κάθε σημείο στο εσωτερικό κάθε τριγώνου. Αυτό που μπορούμε, όμως, να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε το φωτισμό σε κάθε κορυφή του μοντέλου και να χρησιμοποιήσουμε μία εξειδικευμένη μέθοδο για να «φωτίσουμε» και το εσωτερικό των τριγώνων που το απαρτίζουν. Οι εξειδικευμένες αυτές μέθοδοι ονομάζονται αλγόριθμοι φωτοσκίασης και στη συνέχεια θα αναλύσουμε τις τρεις δημοφιλέστερες από αυτές Σταθερή Φωτοσκίαση Τα κύρια διανύσματα που εμπλέκονται στον υπολογισμό της εξίσωσης φωτισμού, δηλαδή, τα διανύσματα θέασης v, φωτισμού l, και κανονικό διάνυσμα n, μεταβάλλονται καθώς κινούμαστε πάνω στην επιφάνεια. Εάν υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε πάνω σε ένα πολύγωνο της επιφάνειας, τότε το κανονικό διάνυσμα είναι σταθερό σε όλη την επιφάνειά του. Εάν υποθέσουμε ότι ο παρατηρητής αλλά και η πηγή φωτισμού βρίσκονται στο άπειρο, τότε και τα αντίστοιχα διανύσματα v και l είναι σταθερά σε όλη την επιφάνεια του πολυγώνου. Έτσι έχοντας και τα τρία διανύσματα σταθερά, αρκεί να υπολογίσουμε την εξίσωση φωτισμού μία φορά και να εφαρμόσουμε τον φωτισμό που προκύπτει, σε όλη την επιφάνεια του πολυγώνου. Αυτή η τεχνική ονομάζεται σταθερή ή επίπεδη φωτοσκίαση και είναι μία από τις απλούστερες μεθόδους φωτοσκίασης. Η τεχνική αυτή παρουσιάζει ξεκάθαρα τα όρια των πολυγώνων (τις ακμές του πολυγωνικού μοντέλου) διότι το κανονικό διάνυσμα μεταβάλλεται ασυνεχώς πάνω στα όρια των ακμών, οδηγώντας έτσι σε διαφορετική τιμή φωτισμού στις εκατέρωθεν έδρες μίας ακμής. Στην περίπτωση που το πολυγωνικό πλέγμα μοντελοποιεί μία συνεχή επιφάνεια, όπως φαίνεται στην Εικόνα 6-0 τότε το αποτέλεσμα της μεθόδου αυτής είναι απογοητευτικό. (α) Σταθερή φωτοσκίαση όπου αποδίδεται η ίδια τιμή φωτισμού σε όλα τα σημεία του πολυγώνου (β) Φωτοσκίαση Gouraud κατά την οποία η τιμή του φωτισμού σε κάθε πολύγωνο μεταβάλλεται Εικόνα 6.0. Διαφορές μοντέλων σκίασης Φωτοσκίαση Gouraud Η φωτοσκίαση Gouraud (97) επιχειρεί να λύσει το πρόβλημα της σταθερής φωτοσκίασης κατά μήκος μίας επιφάνειας υπολογίζοντας αρχικά την τιμή του φωτισμού στις κορυφές ενός τριγώνου και στη συνέχεια εφαρμόζοντας παρεμβολή για τον υπολογισμό του φωτισμού σε κάθε εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Πώς μπορούμε, όμως, να υπολογίσουμε την τιμή φωτισμού σε ένα σημείο του τριγωνοποιημένου πλέγματος. Ενώ τα διανύσματα φωτισμού v και θέασης l μπορούν να υπολογιστούν, το κανονικό διάνυσμα δεν μπορεί να οριστεί διότι στις κορυφές δεν μπορεί να οριστεί η κλίση της επιφάνειας, οπότε θεωρητικά δεν ορίζεται κανονικό διάνυσμα. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε μία προσέγγιση του κανονικού διανύσματος. 6-

13 Το κανονικό διάνυσμα κορυφής στην Εικόνα 6. μπορεί να υπολογιστεί απλά ως ο μέσος όρος των κανονικών διανυσμάτων των τριγώνων που προσπίπτουν στην κορυφή: N ni N i = n= {Εξ. 6.3} Εικόνα 6.. Υπολογισμός κανονικού διανύσματος κορυφής από τα κανονικά διανύσματα εδρών Εναλλακτικά μπορεί να υπολογιστεί ως σταθμισμένο άθροισμα των κανονικών διανυσμάτων των εδρών, όπου οι συντελεστές βάρους είναι είτε ανάλογοι της επιφάνειας της έδρας (area i ) στην οποία αντιστοιχεί κάθε διάνυσμα: i= N n = area N i ni area = i i {Εξ. 6.33} είτε ανάλογοι της γωνίας θi του κάθε τριγώνου (Εικόνα 6-): N n= θi ni π i = {Εξ. 6.34} Από τη στιγμή που μπορεί να υπολογιστεί το κανονικό διάνυσμα κορυφής, μπορεί να υπολογιστεί και ο φωτισμός που της αντιστοιχεί. Εικόνα 6.. Διγραμμική παρεμβολή στη φωτοσκίαση Gouraud. 6-3

14 Έστω τώρα το τρίγωνο στην Εικόνα 6.. Υπολογίζοντας τα κανονικά διανύσματα κορυφής n A, n B, n C μπορεί να υπολογιστεί όπως είδαμε και ο φωτισμός των αντίστοιχων κορυφών A, B, C. H φωτοσκίαση Gouraud υπολογίζει αρχικά με γραμμική παρεμβολή το φωτισμό D, E στα σημεία D και E: {Εξ. 6.35} Στη συνέχεια υπολογίζεται η τιμή φωτισμού για το σημείο P πάλι με γραμμική παρεμβολή των τιμών Ι D και Ι C : {Εξ. 6.36} Φωτοσκίαση Phong Παρά τη σημαντικά βελτιωμένη απόδοση φωτισμού της φωτοσκίασης Gouraud, αυτή παρουσιάζει ικανοποιητικά αποτελέσματα μόνον όταν η πυκνότητα δειγματοληψίας είναι υψηλή. Ο Phong εναλλακτικά πρότεινε ότι αντί να παρεμβάλλουμε την τιμή φωτισμού, μπορούμε να παρεμβάλλουμε τα ίδια τα κανονικά διανύσματα χρησιμοποιώντας διγραμμική παρεμβολή όμοια με αυτή που εκτελείται κατά τη φωτοσκίαση Gouraud. Εικόνα 6.3. Διγραμμική παρεμβολή στη φωτοσκίαση Phong Πιο συγκεκριμένα μπορούν να υπολογιστούν τα κανονικά διανύσματα στα σημεία D, E και P ως εξής (Εικόνα 6.3): ( ) ( ) n = λn + λ n, λ = B D D n = λn + λ n, λ = C E E Α Α Β C {Εξ. 6.37} και αντίστοιχα: ( ) n = vn + v n, v= E P P D E {Εξ. 6.38} Η σημαντικότερη και ευκολότερα αντιληπτή διαφορά της φωτοσκίασης Phong και της Gouraud είναι ότι η πρώτη μπορεί να αποδώσει καλύτερα τη λάμψη της κατοπτρικής ανάκλασης. Με αναφορά στην Εικόνα 6.4, παρατηρούμε ότι η φωτοσκίαση Gouraud δεν οδηγεί στη σωστή απόδοση των λάμψεων της κατοπτρικής ανάκλασης. Αυτό συμβαίνει όταν η λάμψη βρίσκεται στο εσωτερικό της επιφάνειας ενός τριγώνου. Ο φωτισμός στις κορυφές είναι χαμηλός διότι η γωνία είναι μεγάλη. 6-4

15 Οπότε και η παρεμβολή των τιμών φωτεινότητας θα δώσει χαμηλές τιμές φωτισμού και στο εσωτερικό του τριγώνου. Αντίθετα, όταν εκτελεστεί παρεμβολή των κανονικών διανυσμάτων, τότε για κάποιο σημείο τα διανύσματα κατοπτρικής ανάκλασης και θέασης θα συμπέσουν οπότε και η τιμή φωτισμού λόγω κατοπτρικής ανάκλασης θα μεγιστοποιηθεί και θα παρατηρήσουμε τη χαρακτηριστική λάμψη. Εικόνα 6.4. Φωτοσκίαση Gouraud (αριστερά) και φωτοσκίαση Phong (δεξιά) 6.7. Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Άσκηση ) Έστω μία σημειακή πηγή φωτισμού η οποία φωτίζει το τρισδιάστατο αντικείμενο της τσαγιέρας (teapot) από την κατεύθυνση παρατήρησης. Υλοποιήστε πρόγραμμα που να φωτίζει το αντικείμενο σύμφωνα με το μοντέλο και τον αλγόριθμο Phong. Δώστε στο χρήστη τη δυνατότητα να μεταβάλλει τις τιμές του μοντέλου και να βλέπει το αποτέλεσμα. Άσκηση ) Επαναλάβετε την Άσκηση με τη διαφορά ότι έχουμε μία πηγή φωτός ραβδόμορφη, η οποία προσεγγίζεται από πεπερασμένο αριθμό Ν σημειακών συνευθειακών πηγών. Άσκηση 3) Επαναλάβετε την Άσκηση με τη διαφορά ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε φωτοσκίαση Gouraud. Άσκηση 4) Πολλές φορές όταν φωτίζεται ένα μεγάλο πολύγωνο, για το οποίο αναμένουμε να προκύψει ομοιόμορφος φωτισμός, παρατηρούμε ότι η μία πλευρά του φωτίζεται έντονα ενώ οι άλλες πιο αμυδρά. Περιγράψτε γιατί συμβαίνει αυτό και πως μπορούμε να το αποφύγουμε. Βιβλιογραφία/Αναφορές Avro J. (995). Analytic Methods for Simulated Light Transport. PhD Thesis, Yale University. Dorsey J., Rushmeier H., Sillion F. (008). Digital Modeling of Material Appearance. Morgan Kaufman. Gouraud H. (97). Continuous Shading of Curved Surfaces, EEE transactions on Computers, 0(6), pp Phong BT. (975). llumination for Computer Generated Pictures, Communications of the ACM, 8(6), pp

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Φωτισμός

Γραφικά Υπολογιστών: Φωτισμός 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Φωτισμός (llumination) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Μοντέλα φωτισμού στα γραφικά υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

I λ de cos b (8.3) de = cos b, (8.4)

I λ de cos b (8.3) de = cos b, (8.4) Κεφάλαιο 8 Φωτισµός (Illumination) 8.1 Βασικοί ορισµοί και παραδοχές Με τον όρο Φωτισµός εννοούµε τι διαδικασία υπολογισµού της έντασης της ϕωτεινής ακτινοβολίας που προσλαµβάνει ο ϑεατής (π.χ. µία κάµερα)

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, φωτισμός και χρωματισμός

Υλικά, φωτισμός και χρωματισμός Υλικά, φωτισμός και χρωματισμός Ζωγραφίζουμε, που; Είπαμε ότι ζωγραφίζουμε την σκηνή παίρνοντας κάθε σημείο και προβάλλοντας το στην οθόνη. Στην πραγματικότητα το αποθηκεύουμε σε μια περιοχή της μνήμης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού

ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Μοντέλα και Αλγόριθμοι Φωτισμού Φωτισμός Για την ρεαλιστική παράσταση γραφικών χρειάζονται τα εξής: Ένα μοντέλο φωτισμού απλοποιημένη αναπαράσταση των φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 4η - 3Δ γραφικά

Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 4η - 3Δ γραφικά Τεχνολογία Ψυχαγωγικού Λογισμικού και Εικονικοί Κόσμοι Ενότητα 4η - 3Δ γραφικά Ιόνιο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Πληροφορικής, 2015 Κωνσταντίνος Οικονόμου, Επίκουρος Καθηγητής Βασίλειος Κομιανός, Υποψήφιος Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού

Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλο φωτισµού: συγκεκριµένη και απλοποιηµένη παράσταση φυσικών νόµων που διέπουν τον φωτισµό. Τοπικό: λαµβάνει υπ όψη µόνο άµεση πρόσπτωση φωτός (π.χ. Phog). Γενικό: λαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ 1 ΦΩΣ Στο μικρόκοσμο θεωρούμε ότι το φως έχει δυο μορφές. Άλλοτε το αντιμετωπίζουμε με τη μορφή σωματιδίων που ονομάζουμε φωτόνια. Τα φωτόνια δεν έχουν μάζα αλλά μόνον ενέργεια. Άλλοτε πάλι αντιμετωπίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος Ο1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος 1. Εισαγωγή Όταν δέσµη λευκού φωτός προσπέσει σε ένα πρίσµα τότε κάθε µήκος κύµατος διαθλάται σύµφωνα µε τον αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. H γραφική αναπαράσταση ενός κύματος φωτός δίνεται στο Σχήμα 1(α) που ακολουθεί: ΣΧΗΜΑ 1

ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. H γραφική αναπαράσταση ενός κύματος φωτός δίνεται στο Σχήμα 1(α) που ακολουθεί: ΣΧΗΜΑ 1 ΠΟΛΩΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ Το φως είναι ένα σύνθετο κύμα. Με εξαίρεση την ακτινοβολία LASER, τα κύματα φωτός δεν είναι επίπεδα κύματα. Κάθε κύμα φωτός είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο οποίο τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµερινό Μάθηµα! Γραφικά. Επιφάνεια µεκάθεταδιανύσµατα. Προσέγγιση εφαπτόµενου επιπέδου. Μοντέλα φωτισµού (Illumination models)

Σηµερινό Μάθηµα! Γραφικά. Επιφάνεια µεκάθεταδιανύσµατα. Προσέγγιση εφαπτόµενου επιπέδου. Μοντέλα φωτισµού (Illumination models) Σηµερινό Μάθηµα! Γραφικά Μοντέλα φωτισµού (Illumination models) Έµµεσος φωτισµός (Ambient Light) Είδη ανακλάσεων Κατευθυνόµενη ανάκλαση (Specularity) ιάχυτη ανάκλαση Κανόνας του Lambert Πολλαπλέςφωτεινέςπηγές

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση 12 η. Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση 12 η. Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Παρουσίαση 12 η Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Εισαγωγή (1) Το χρώμα είναι ένας πολύ σημαντικός παράγοντας περιγραφής, που συχνά απλουστεύει κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ 17/12/24 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 34 24-5 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσμία παράδοσης 31/1/25 Άσκηση 1 α) Το ηλεκτρικό πεδίο ενός επιπέδου ηλεκτρομαγνητικού κύματος έχει 2 1 πλάτος 1 Vm. Βρείτε (i) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΜΟΝΑΔΕΣ:

25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΜΟΝΑΔΕΣ: ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗ 25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:..... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1.. 2..... 3..... ΜΟΝΑΔΕΣ: Το πρόβλημα Ένας φίλος σας βρήκε ένα μικρό, πολύ όμορφο τεμάχιο διαφανούς στερεού και ζητά τη γνώμη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση και εικόνα περίθλασης

Περίθλαση και εικόνα περίθλασης Περίθλαση και εικόνα περίθλασης Η περίθλαση αναφέρεται στη γενική συμπεριφορά των κυμάτων, τα οποία διαδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις καθώς περνούν μέσα από μια σχισμή. Ο όρος εικόνα περίθλασης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Οπτική. Γεωμετρική Οπτική

Εφαρμοσμένη Οπτική. Γεωμετρική Οπτική Εφαρμοσμένη Οπτική Γεωμετρική Οπτική Κύρια σημεία του μαθήματος Η προσέγγιση της γεωμετρικής οπτικής Νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης Αρχή του Huygens Αρχή του Fermat Αρχή της αντιστρεψιμότητας (principle

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου dpapa@materials.uoc.gr Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γεωμετρική Οπτική

Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου dpapa@materials.uoc.gr Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γεωμετρική Οπτική Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου dpapa@maerals.uoc.gr Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γεωμετρική Οπτική Η ιδέα την απεικόνισης Σημειακή πηγή Στιγματική απεικόνιση Η ανακατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγεθυντικός φακός. 1. Σκοπός. 2. Θεωρία. θ 1

Μεγεθυντικός φακός. 1. Σκοπός. 2. Θεωρία. θ 1 Μεγεθυντικός φακός 1. Σκοπός Οι μεγεθυντικοί φακοί ή απλά μικροσκόπια (magnifiers) χρησιμοποιούνται για την παρατήρηση μικροσκοπικών αντικειμένων ώστε να γίνουν καθαρά παρατηρήσιμες οι λεπτομέρειες τους.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές διαδικασίες παραγωγής πολωμένου φωτός

Βασικές διαδικασίες παραγωγής πολωμένου φωτός Πόλωση του φωτός Βασικές διαδικασίες παραγωγής πολωμένου φωτός πόλωση λόγω επιλεκτικής απορρόφησης - διχρωισμός πόλωση λόγω ανάκλασης από μια διηλεκτρική επιφάνεια πόλωση λόγω ύπαρξης δύο δεικτών διάθλασης

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 1. Εισαγωγή. Η ενέργεια, όπως είναι γνωστό από τη φυσική, διαδίδεται με τρεις τρόπους: Α) δι' αγωγής Β) δια μεταφοράς Γ) δι'ακτινοβολίας Ο τελευταίος τρόπος διάδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)

Διαβάστε περισσότερα

Η Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3)

Η Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3) Η Επιτάχυνση η τα- Έστω r ( t ) ( t ) i ( t ) j z ( t ) k το διάνυσμα θέσης του κινητού Μ και ( t ) χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει r ( t ) r ( t ) ή πιο απλά (1) t t Άρα

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φωτομετρία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φωτομετρία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Φωτοτεχνία Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φωτομετρία Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μελέτη μοντέλων φωτισμού και μεθόδων απόδοσης επιφανειών Study of illumination models and surface rendering

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Προβολικοί Μετασχηματισμοί Γενικός Ορισμός Μετασχηματισμός των σημείων ενός σημειακού χώρου διάστασης n σε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση Κυματική οπτική Η κυματική οπτική ασχολείται με τη μελέτη φαινομένων τα οποία δεν μπορούμε να εξηγήσουμε επαρκώς με τις αρχές της γεωμετρικής οπτικής. Στα φαινόμενα αυτά περιλαμβάνονται τα εξής: Συμβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ.Π. Γ Λυκείου / Το Φως 1. Η υπεριώδης ακτινοβολία : a) δεν προκαλεί αμαύρωση της φωτογραφικής πλάκας. b) είναι ορατή. c) χρησιμοποιείται για την αποστείρωση ιατρικών εργαλείων. d) έχει μήκος κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας ΙΙ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ: ΗΛΙΑΚΟΙ ΘΕΡΜΙΚΟΙ ΣΥΛΛΕΚΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Α) Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη 9:00 12:00. Αίθουσα: Υδραυλική

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας ΙΙ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ: ΗΛΙΑΚΟΙ ΘΕΡΜΙΚΟΙ ΣΥΛΛΕΚΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Α) Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη 9:00 12:00. Αίθουσα: Υδραυλική Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας ΙΙ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ: ΗΛΙΑΚΟΙ ΘΕΡΜΙΚΟΙ ΣΥΛΛΕΚΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Α) Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη 9:00 12:00 Αίθουσα: Υδραυλική Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Σουλιώτης, Φυσικός Επικοινωνία: msouliot@hotmail.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Απεικόνιση

Κεφάλαιο 2: Απεικόνιση Κεφάλαιο 2: Απεικόνιση Σύνοψη Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι η διαδικασία οπτικής απεικόνισης του εικονικού κόσμου, τόσο από την τεχνολογική όσο και από τη σχεδιαστική σκοπιά. Γίνεται μια εισαγωγική επισκόπηση

Διαβάστε περισσότερα

#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως # Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=0.20 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,20 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων

ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα 3: Μηχανισμοί Διάδοσης ΗΜ Κυμάτων Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Αλγόριθμοι απόδοσης Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Αλγόριθμοι απόδοσης Εισαγωγή Κεφάλαιο 2: Αλγόριθμοι απόδοσης Εισαγωγή Για τους περισσότερους χρήστες, η γραφική με υπολογιστές είναι συνώνυμη με την απόδοση στιγμιοτύπων του κόσμου που μας περιβάλλει με τρόπο τέτοιο που, κατά το δυνατό,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2010 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 n = sin A 2 sin 2 2 n = sin A = sin = cos

sin 2 n = sin A 2 sin 2 2 n = sin A = sin = cos 1 Σκοπός Βαθμός 9.5. Ηθελε να γραψω καλύτερα το 9 ερωτημα. Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι η μελέτη της ανάκλασης, διάθλασης και πόλωσης του φωτός. Προσδιορίζουμε επίσης τον δείκτη διάθλασης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΑΠΕ I. Ενότητα 3: Ηλιακοί Συλλέκτες: Μέρος Α. Πολυζάκης Απόστολος / Καλογήρου Ιωάννης / Σουλιώτης Εμμανουήλ

Εργαστήριο ΑΠΕ I. Ενότητα 3: Ηλιακοί Συλλέκτες: Μέρος Α. Πολυζάκης Απόστολος / Καλογήρου Ιωάννης / Σουλιώτης Εμμανουήλ Εργαστήριο ΑΠΕ I Ενότητα 3: Ηλιακοί Συλλέκτες: Μέρος Α Πολυζάκης Απόστολος / Καλογήρου Ιωάννης / Σουλιώτης Εμμανουήλ Ηλιακή Ενέργεια ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. 2 Αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και συνολικότερα τα προϊόντα της πληροφορικής έχουν μεταμορφώσει (με τρόπο ο οποίος γίνεται άμεσα ή έμμεσα αντιληπτός) τη ζωή δισεκατομμυρίων ανθρώπων στον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11Α «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Εισαγωγή - Ανάκλαση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11Α «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Εισαγωγή - Ανάκλαση ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Εισαγωγή - Ανάκλαση Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Ηφύσητουφωτός 643-77 Netwon Huygens 69-695 Το φως είναι δέσμη σωματιδίων Το φως

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο φως. Εισαγωγή

Εισαγωγή στο φως. Εισαγωγή Εισαγωγή στο φως Το φως είναι απαραίτητο για όλες σχεδόν τις μορφές ζωής στη Γη. (Σήμερα γνωρίζουμε ότι) Το φως είναι μια μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Μέσω του φωτός μεταφέρεται ενέργεια από την

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSc) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΜΕΡΟΣ 1 0 Τι είναι φωτοαποδοση: Εννοούμε τη διαδικασία καθορισμού όλων εκείνων των στοιχείων και παραμέτρων ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας

Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας Η αρχιτεκτονική αλυσίδας γραφικών (κάθε πολύγωνο περνάει χωριστά από την αλυσίδα) σε συνδυασμό με τοπικά μοντέλα σκίασης έχει

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση =0.0 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,0 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές φωτίζεται

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα