qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Β Λυκείου xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzxασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopσ

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διανύσματα Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να προσδιορίσετε το σημείο Μ του επιπέδου για το οποίο ισχύει A B Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε BP P Να αποδείξετε ότι 8 AP AB 5A 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε Αν Ε είναι το μέσο της ΑΔ και Μ το σημείο τομής των ΑΓ, ΒΕ, να δείξετε ότι AM A 4 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Σε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχίζουμε το διάνυσμα A B Να δείξετε ότι ο φορέας του διέρχεται από σταθερό σημείο 5 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ του επιπέδου και τους αριθμούς κ, λ, μ τέτοιοι ώστε κ+λ+μ= Να δείξετε ότι το διάνυσμα A B είναι ανεξάρτητο του Μ 6 Δίνονται τα διανύσματα x ( )y τα οποία ισχύουν : ( )x y, και έστω μ R Nα βρείτε τα διανύσματα x, y για 7 Να δείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο, η διάμεσός του είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους 8 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα Να δείξετε ότι η διαγώνιος ΒΔ τριχοτομείται από τις ΑΛ και ΓΚ 9 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ με διανύσματα θέσης,, αντίστοιχα ως προς την αρχή των αξόνων Ο α) Να βρείτε συναρτήσει των, το διάνυσμα θέσης σημείου Κ για το οποίο ισχύει AB BK β) Να βρείτε συναρτήσει των, το διάνυσμα θέσης σημείου Λ για το οποίο

3 ισχύει B γ) Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ, να δείξετε ότι τα Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και μία ευθεία ε που τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ στα σημεία Ε, Ζ, Η αντίστοιχα Αν να δείξετε ότι AB, A και A, Έστω ότι το σημείο Μ είναι το μέσον της πλευράς ΑΓ, τριγώνου ΟΑΓ όπου Ο η αρχή των αξόνων Το σημείο Β βρίσκεται πάνω στην ΟΓ και ισχύει ότι ΟΓ=ΟΒ, OA = α, OB = β α) Να εκφράσετε τα διανύσματα A Β, ΟΓ, ΓΑκαι ΟΜ συναρτήσει των διανυσμάτων και β β) Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΜ και ΑΒ τέμνονται στο σημείο Κ, να δείξετε ότι O Κ = (- λ)α+ λβ, λ R γ) Αν επιπλέον ισχύει η σχέση OK = μομ, να εκφράσετε το OK συναρτήσει των μ,, β και να χρησιμοποιήσετε τις δύο εκφράσεις που βρήκατε για το διάνυσμα Θεωρούμε τραπέζιο ΟΑΒΓ με OK έτσι ώστε να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ OA = α, σημείο τομής των διαγωνίων του Θεωρούμε αποδείξετε ότι : λ α) O Κ = α+ λβ β) γ) O Κ = (- μ)α+ μβ O Κ = α+ β ΓΒ = α και O Κ = λοβ και Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ πάνω στην πλευρά ΒΓ έτσι ώστε AP AB A, κ, λ R * Να δείξετε ότι κ + λ = O Γ = β και έστω Κ το A Κ = μαγ Αντιστρόφως : Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση AP AB A, κ, λr*, με κ + λ =, τότε το σημείο Ρ είναι πάνω στην πλευρά ΒΓ 4 Δίνεται ότι OA, OA, OB, OB Να όπου, μη συγγραμμικά διανύσματα του επιπέδου και κ,λ Να δείξετε ότι : α) AB // A B β) Αν κλ και Ρ το σημείο που τέμνονται οι φορείς των AB, A B τότε ισχύει :

4 OP ( ) ( ) 5 Τα διανύσματα θέσης τριών σημείων Α, Β, Γ ως προς την αρχή των αξόνων Ο είναι j, i - j και 9 i - 5 j αντίστοιχα ΑΒ α) Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και να βρείτε το λόγο ΒΓ β) Αν Δ είναι ένα σημείο τέτοιο ώστε το ΟΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο και Ε είναι ένα σημείο της ημιευθείας ΔΒ, τέτοιο ώστε ΔΒ = ΔΕ, να βρείτε τα διανύσματα θέσης των Δ και Ε ως προς το σημείο Ο 6 Για τα διανύσματα, 4 7, ισχύουν οι σχέσεις και ότι Να δείξετε ότι και 7 Θεωρούμε κύκλο (Κ,R) και τις κάθετες χορδές του ΑΒ, ΓΔ που τέμνονται στο Μ Να δείξετε ότι A B 8 Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ με κέντρο Ο Να δείξετε ότι OA OB O O OE 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει MB M, λ R Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία τα διανύσματα A και είναι συγγραμμικά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει M ( )M, λ [,] 4

5 Συντεταγμένες στο επίπεδο Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, δίνονται τα διανύσματα OA (,), OB (, ) και O (, ) Να βρείτε σημείο Μ στον άξονα x x ώστε η παράσταση d MA MB M, να παίρνει ελάχιστη τιμή Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A(,), Β(7,) και Γ(,4) Αν Δ είναι το μέσο της διαμέσου ΑΜ και για το σημείο Ε ισχύει AE E τότε : α) να βρείτε τα σημεία Δ και Ε β) να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά 4 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με (x, y ) A, B(x, y) και ( x, y ) Nα βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του Ο και της κορυφής Δ 5 Δίνεται τμήμα ΑΒ το οποίο τριχοτομείται από τα σημεία Κ(,) και Λ(5,) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β 6 Δίνονται τα σημεία Α(ημθ, συνθ), Β( ημθ, συνθ) και Γ(συνθ, ημθ), θ [,π) α) Να δείξετε ότι το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι σταθερό o β) Να δείξετε ότι ˆ 9 γ) Να βρείτε την τιμή του θ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ 7 Η αρχή Ο(,) ενός συστήματος αξόνων, παριστάνει έναν σταθμό εκπομπής σημάτων, ενώ τα σημεία Α(,) και Β(5,) παριστάνουν τις θέσεις δύο πλοίων Η θέση ενός τρίτου πλοίου παριστάνεται από το σημείο Γ για το οποίο ισχύει α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ β) Αν η εμβέλεια του σταθμού εκπομπής είναι 5 μονάδες μήκους των αξόνων, να βρείτε με ποια από τα πλοία μπορεί να επικοινωνήσει ο σταθμός 8 Δίνονται τα σημεία Α(λ 5, ) και Β(λ,λ) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το διάνυσμα AB να σχηματίζει με τον x x γωνία : 4 5 α) β) γ) δ) 9 Δίνονται τα σημεία Α(x,y+) και Β(y, ) με x y και x,y R Το σημείο Α ανήκει στο ο τεταρτημόριο, ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι 5

6 και το μέτρο του είναι 5 Να υπολογίσετε τις τιμές των x, y Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(x,y), B(x,y), Γ(x,y) έτσι ώστε x = x + x Να δείξετε ότι Έστω, β ) ( και β ( 4, ) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των,β β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα β με τον άξονα x x Έστω α, 4) ( και β (x, y) β και το διάνυσμα u Αν 5 5 σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία Τότε : 4 α) Να δείξετε ότι α 5 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του β o Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â 9 και ΑΒ < ΑΓ Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΓΔ=ΑΒ Έστω επίσης Μ το μέσο του ΑΔ και Ν το μέσο του ΒΓ α) Να σχεδιάσετε το ΑΒΓ στο καρτεσιανό επίπεδο με κατάλληλο σύστημα αξόνων β) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες των σημείων Δ, Μ και Ν ως συνάρτηση των συντεταγμένων των Β, Γ γ) Να βρείτε το διάνυσμα MN και στη συνέχεια το συντελεστή διεύθυνσής του MN δ) Με τη βοήθεια του συντελεστή διεύθυνσής MN να βρείτε τη γωνία ˆ 4 Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ με Α(λ, ), Β(λ, λ) Γ(λ, ), Δ(λ+, λ+), λr Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ έτσι ώστε το ΑΒΓΔ να είναι τραπέζιο με βάσεις τις ΑΒ, ΓΔ (Υπόδειξη : Αρκεί σημεία) AB //, // 5 Δίνονται τα διανύσματα β, γ, β γ A ή AB και Α, Β, Γ μη συνευθειακά τέτοια ώστε, και Αν ισχύει, να υπολογίσετε την παράσταση A 6

7 6 Για τα διανύσματα, β ( 7,8) ισχύουν οι σχέσεις (4, ) α) Να δείξετε ότι (,) και (, ) β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός k, ώστε τα διανύσματα k και να είναι κάθετα γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα (, ) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα (Προαγωγικές εξετάσεις ) και δίνεται ότι :, και u Να υπολογίσετε : 7 Για τα διανύσματα, β διανύσματα, v α) το εσωτερικό γινόμενο β β) Τα μέτρα u και v των διανυσμάτων u και v γ) το εσωτερικό γινόμενο u v δ) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v (Προαγωγικές εξετάσεις ) (, ) Έστω τα 8 Δίνονται τα διανύσματα, β με, και (, ), καθώς και τα x β και y β τέτοια ώστε να ισχύει ( x, y) 7 α) Να βρείτε τη γωνία (, α ) των διανυσμάτων, β β) Αν τα διανύσματα λ ( ) β και β είναι κάθετα, να βρείτε : β) τον αριθμό λ β) το μέτρο του διανύσματος γ, γ 9 Έστω, δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου με ίσα μέτρα Αν τα διανύσματα x και υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν τα, (Εξετάσεις ΑΣΕΠ 6 Μαθηματικών) 4 Δίνονται τα διανύσματα, β y 5 4 είναι κάθετα μεταξύ τους, να με, και α) Να βρείτε τη γωνία (, α ) των διανυσμάτων, β β) Θεωρούμε τα διανύσματα x 4β β, y β τα οποία είναι κά- θετα β) να βρείτε τον αριθμό κ β) αν ισχύουν OA, O, O λ y, να βρείτε την τιμή του αριθμού λ, ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά 7

8 4 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ με OA OB, 4, και Ο=6 Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας που σχηματίζει η διάμεσος ΟΜ με την ΑΒ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι AB 4, A 6 και η γωνία των διανυ- σμάτων AB και A είναι Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε : α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος AM β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος 4 είναι το διάνυσμα AM 9 (Γενικές Εξετάσεις 999) 4 Έστω διάνυσμα με, ισχύει ότι (, ) π 6 AB πάνω στο διάνυσμα AM π και (, ) Επίσης για το διάνυσμα Να υπολογίσετε το 44 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει A, να δείξετε ότι η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι κάθετη στην ΑΓ 45 Δίνονται τα διανύσματα, β τέτοια ώστε :, και (, ) Θεωρούμε επίσης τα διανύσματα u x και w y, x, y R α) Aν τα u, w έχουν το ελάχιστο δυνατό μέτρο, να βρείτε τους αριθμούς x και y β) Για τις παραπάνω τιμές των x, y να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων u και w 46 Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι διάμεσοι ΑΔ και ΓΕ είναι κάθετες Να δείξετε ότι B 4 5 τέτοια ώστε και α) Να δείξετε ότι γ β) Υποθέτουμε επιπλέον ότι ισχύει και έστω διάνυσμα για το οποίο ισχύουν (, ) και β) Να δείξετε ότι και β) Αν x 4, να βρείτε το μέτρο x 47 Δίνονται τα διανύσματα β, γ, το 8

9 48 Δίνονται τα διανύσματα β, γ, 6 5 α) Να βρείτε το μέτρο β) Να δείξετε ότι με 5,, τέτοια ώστε 49 Δίνονται τα διανύσματα, β 7 α) Να δείξετε ότι τέτοια ώστε, β) Θεωρούμε διάνυσμα v τέτοιο ώστε v v v 8 β) να δείξετε ότι v // β) να βρείτε το διάνυσμα v συναρτήσει του β) να βρείτε το συνφ όπου (, v - ) ( α, ) και 5 Να βρείτε την προβολή του διανύσματος (,) πάνω στο (, ) 5 Αν, ) ( και (, ), να βρείτε τον αριθμό λ ώστε 5 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα 4 α) Να δείξετε ότι β) Να βρείτε τη γωνία (, ), τέτοια ώστε και 5 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα Να βρείτε : α) Το μέτρο του διανύσματος, β) Την ως συνάρτηση του διανύσματος γ) Το μέτρο του διανύσματος, όπου, τέτοια ώστε, (, ) 54 Αν A B, A 6,, να δείξετε ότι : α) Τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 9

10 o β) AKˆ B 9 γ) Το διάνυσμα u B είναι κάθετο στο, τέτοια ώστε, 4 Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα w τέτοιο ώστε ( w) w 8 w 4 α) Να δείξετε ότι w 4 β) Να γράψετε το διάνυσμα w ως γραμμικό συνδυασμό των α, γ) Αν επιπλέον ισχύει w ( ) 8, να βρείτε τη γωνία (, ) 55 Δίνονται τα διανύσματα A, x, y ) Να δείξετε ότι 56 Έστω x, y ) ( ( det(, ) ημ (, ) 57 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα ( ) ( ) Να δείξετε ότι // (Υπόδειξη : Να θέσετε λ R ) 58 Για τους αριθμούς x και y ισχύει ότι x y 6 α) Να αποδείξετε ότι x 4y x 4y, τέτοια ώστε β) Να βρείτε τις τιμές των x και y ώστε : i) και ii) x 4y 59 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β ΝΑ βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει MA MB MA 4MB 6 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του ΑΔ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει AM A M A

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 6 Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε : 5x+y+7= και ε : x+y+8= α 6 Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε : y = αx+ και ε : y x, - α α R {} 6 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,) και σχηματίζει γωνία φ = 45 με την ευθεία x y = 64 Δίνεται η εξίσωση ( )x ( )y ( ) (), κ R α) Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η () παριστάνει ευθεία β) Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η () παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x x 65 Δίνεται η εξίσωση ( )x ( )y 8 (), α R α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε α R β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής () διέρχονται από το ίδιο σημείο γ) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η () να παριστάνει ευθεία η οποία να σχηματίζει με τον x x γωνία 4 66 Δίνεται η εξίσωση ( x y 6) (x y 4) (), λ R α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ R β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής () διέρχονται από το ίδιο σημείο 67 Δίνονται δύο τυχαία μη μηδενικά διανύσματα ( ) x ( 4) y (),β και η εξίσωση α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής () διέρχονται από το ίδιο σημείο γ) Αν μία ευθεία της μορφής () τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Μ(κ,), να βρείτε τη μικρότερη τιμή του κ 68 Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ )x+(λ+)y (λ+)=, λ R, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Α(-,5), Β(,), και, Εάν τα πλοία κινούνται ευθύγραμμα με την ίδια ταχύτητα όλα, να βρείτε ποιο πλοίο θα φτάσει γρηγορότερα στο φάρο Φ, εάν ξεκινήσουν ταυτόχρονα από τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα

12 69 Δύο σημεία Α(α,), Β(,β), α,β > κινούνται στους θετικούς ημιάξονες Οx και Οy έτσι ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται (OA) (OB) από σταθερό σημείο 7 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( αx y) ( x y) (), α, β R *, παριστάνει δύο ευθείες (ε), (ε) των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις β) Να δείξετε ότι οι ευθείες (ε), (ε) του α) ερωτήματος και η ευθεία (ε) : αx + βy+γ=, γ R *, σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο 7 Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε : x+4y+8= και ε : x+4y+6= 7 Δίνεται η εξίσωση x 4y 4xy x 6y () α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ε, ε β) Να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ε και ε γ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε, ε 7 Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες x y = και x + y = 74 Δίνονται τα διανύσματα,β και η εξίσωση 6 x 4 y () α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει πάντοτε μία ευθεία (ε) β) Αν η παραπάνω ευθεία (ε) διέρχεται από το σημείο Μ(, ), να δείξετε ότι γ) Αν η παραπάνω ευθεία (ε) διέρχεται από το σημείο Λ(, ), να βρείτε : i) τη γωνία (, ) ii) την απόσταση d(a,ε) όπου A, 75 Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(,) Θεωρούμε το τυχαίο σημείο Γ(t,4t ), t R Να δείξετε ότι για κάθε σημείο Γ, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει σταθερό εμβαδό 76 Δίνονται οι κάθετες ευθείες x+αy= και βx 6y=γ οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(,) α) Να βρείτε τα α, β, γ β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και τέμνει τους ημιάξονες Ox και Οy σχηματίζοντας με αυτούς τρίγωνο με εμβαδό Ε=4 τμ 77 Έστω τα σημεία Α(,), Β(4,6) και τυχαίο Μ της ευθείας ε : y=x+ α) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Α, Β είναι κορυφές τριγώνου με σταθερό εμβαδό

13 β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Ν της πλευράς ΜΑ 78 Έστω τα σημεία Α(λ,) και Β(,λ), λr τα οποία θεωρούνται τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, το μέσο του οποίου ανήκει στην ευθεία ε : 8x 4y = α) Να βρείτε την τιμή του λ β) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ΑΒ και ε 79 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με A (4,) και A (, ) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος Γ β) Να βρείτε τη γωνία ˆ γ) Αν το σημείο Α ανήκει στην ευθεία x+y = 4, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Β 8 Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση y = x+ και το σημείο Α(,) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Α ως προς την ευθεία (ε) (Εξετάσεις ΑΣΕΠ Μαθηματικών 9) 8 Να αποδείξετε ότι αν το Ρ ανήκει στην ευθεία y=x τότε το συμμετρικό του Ρ ως προς την ευθεία x+y =, ανήκει στην ευθεία 7x y = 8 Δίνονται τα διανύσματα =(κ,8), β =(λ,λ+), κ, λ R, τέτοια ώστε προβ β α =( 5,5) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των, β β) Αν η ευθεία (ε)//, τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα και το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες M(x, x ), x R, να βρείτε την εξίσωση της (ε) γ) Αν β, να βρείτε το συμμετρικό του Κ ως προς την ευθεία (ε) 8 Θεωρούμε τις ευθείες ε : x y, ε : y x, ε : (λ )x+(λ 4)y 8 =, ε4 : λx + (λ )y = Αν ε // ε4, να βρείτε : α) τον αριθμό λ β) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες ε, ε, ε 84 Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία με εξίσωση x 7y+7= και η πλευρά ΑΔ στην ευθεία με εξίσωση 4x+y+5= Οι διαγώνιοι 5 ΑΓ, ΒΔ του παραλληλογράμμου τέμνονται στο σημείο K (, ) α Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες (6,) β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ γ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος ΒΔ (Προαγωγικές Εξετάσεις ) 85 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(,), Β(,4) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Γ, Δ

14 86 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,4), Γ(, ) και η εξίσωση του φορέα του ύψους του ΑΔ είναι x+y=5 Αν (ΑΒΓ)=5 τμ, να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Β 87 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,) Η διάμεσός του ΒΚ έχει εξίσωση y=x+4 και το ύψος του ΓΛ έχει εξίσωση y= x+4 Nα βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ 88 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A (, ), A (8, 7) α) Να βρείτε το διάνυσμα και το συντελεστή διεύθυνσης του ύψους ΑΔ β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του και στη συνέχεια το εμβαδόν (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ γ) Εάν Β( 5,7), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(8, ) Φέρουμε τη διχοτόμο ΒΔ και τη διάμεσο ΒΜ του ΑΒΓ που έχουν αντίστοιχα εξισώσεις x+y= και x+6y=58 Να βρείτε : α) την εξίσωση της ευθείας ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ 9 Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, δίνεται τρίγωνο ΟΒΓ με (,7) και B (4,) α) Να βρείτε το διάνυσμα της διχοτόμου β) Να γράψετε το διάνυσμα της διχοτόμου, διανυσμάτων OB και γ) Να βρείτε το ύψος B OH και το μέτρο B και το μέτρο B B OH ως γραμμικό συνδυασμό των 9 Δίνονται οι ευθείες (ε) : x+μy = και (ε) : μx+y = λ με λ, μ (,+ ) Οι ευθείες (ε), (ε) είναι παράλληλες και ισχύει d(ε,ε ) α) Να βρείτε τις τιμές των αριθμών λ, μ β) Δίνονται τα σημεία Β(α,α+), Γ(α,9 α), α(,+ ) και έστω Β, Γ οι προβολές τους στην ευθεία (ε) Αν το εμβαδόν του τραπεζίου ΒΒ Γ Γ είναι τμ να βρείτε την τιμή του α 9 Δίνεται η εξίσωση x x xy xy 8x () α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει τρεις ευθείες από τις οποίες οι δύο είναι παράλληλες β) Αν (ε), (ε) είναι οι δύο παράλληλες ευθείες του προηγούμενου ερωτήματος και αυτές τέμνουν τους άξονες x x και y y στα σημεία Α, Β, Γ, Δ (τον x x οι ε, ε στα σημεία Β, Δ και τον y y στα σημεία Α, Γ), να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ 4

15 9 Δίνεται η εξίσωση x+y ( x y)λ 5 = (), λ R α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ R β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής () διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α καθώς το λ διατρέχει το R γ) Αν ΑΒΓΔ τετράγωνο, όπου Α το σταθερό σημείο του ερωτήματος β) και η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι η 5x+y+=, να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ 94 Δίνονται οι ευθείες (ε) : y=x+ και (ε) : x+y = και το σημείο Λ(, ) Έστω Α το σημείο τομής των (ε) και (ε) α) Να βρείτε την εξίσωση των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες (ε), (ε) β) Έστω (ε) μια ευθεία που διέρχεται από το Λ(, ) και τέμνει την (ε) στο Β και την (ε) στο Γ Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, να βρείτε την εξίσωση της (ε) 95 Δίνονται τα μεταβλητά σημεία Α(α,), Β(,β) με α,β που κινούνται αντίστοιχα στους άξονες x x, y y ενός συστήματος συντεταγμένων Οxy, τέτοια ώστε 4 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι η : β) Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από ένα σταθερό σημείο γ) Αν (ΟΑΒ) = 4 τμ να βρείτε τις τιμές των α,β δ) Αν d(o,ab) = 5 4 να βρείτε τις τιμές των α,β 96 Από δύο λιμάνια Λ( 6,7), Λ(, 4) αναχωρούν ταυτόχρονα στις 6 πμ δύο πλοία Α, Β αντίστοιχα Οι συντεταγμένες των πλοίων προσδιορίζονται από ένα ραντάρ και είναι Α(4t 6, 7 t) και B(t+, 4t 4), όπου t είναι ο χρόνος σε ώρες μετρημένος από τις 6 πμ Η απόσταση των πλοίων μετριέται σε ναυτικά μίλια α) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα πλοία στις 7 πμ ; β) Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών που αντιστοιχούν στις πορείες των πλοίων γ) Τα πλοία διέρχονται από ένα σταθμό ανεφοδιασμού Σ Να βρείτε τις συντεταγμένες του Σ και την ώρα άφιξης των πλοίων στον σταθμό Σ 97 Δίνονται οι ευθείες (ε) : x y, (η) : x+y = όπου και Αν (ε) (η), τότε : α) Να δείξετε ότι β) Να βρείτε την απόσταση d(α,ε) όπου Α(,) 98 Το παρακάτω σχήμα παρουσιάζει τα οικονομικά δεδομένα μιας επιχείρησης Η ευθεία (ε) παριστάνει τα έσοδα και η ευθεία (δ) τις δαπάνες (έξοδα) της επιχείρησης Ο χρόνος t μετριέται σε χρόνια και τα έσοδα y υπολογίζονται σε εκατοντάδες εκατομμύρια ευρώ Να βρείτε : 5

16 α) τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και (δ) β) από ποια χρονική στιγμή και μετά η επιχείρηση αρχίζει να έχει κέρδη γ) τα κέρδη της επιχείρησης τον ο χρόνο λειτουργίας της δ) ποια χρονική στιγμή η επιχείρηση θα έχει κέρδη 5 εκατομμύρια ευρώ y 5 4 Α ε δ 99 Ο 4 t 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Αν (x, y ) Ο κύκλος A είναι ένα σημείο του κύκλου (C) : ( x x ) (y y), να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α είναι η ( x x )(x x ) (y y )(y y ) Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η εξίσωση x y x (α )y να παριστάνει κύκλο Στη συνέχεια να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού Να δείξετε ότι η ευθεία x+4y 75= εφάπτεται στον κύκλο (C) : x y x 6y 75 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(9,9) και εφάπτεται στον άξονα x x 4 Να δείξετε ότι η εξίσωση x y yx xy x y 4xy παριστάνει έναν κύκλο και μια ευθεία που εφάπτεται σ αυτόν 5 α) Δίνεται η εξίσωση (λ - )x + (λ -)y + (λ + )x - 8y + 4 = () Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε η () να παριστάνει κύκλο (C) β) Να δείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται στον άξονα x x γ) Να γράψετε την εξίσωση ενός δεύτερου κύκλου C που είναι ομόκεντρος του C και εφάπτεται στην ευθεία ε : y=x+ 6 Να δείξετε ότι οι κύκλοι (C) : 8x 9 και (C) : x y 9 τέμνονται Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της ευθείας της διακέντρου των δύο κύκλων 7 Δίνεται η εξίσωση ( )x (4 )y ( ) (), λ R α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο (Cλ) για κάθε λ R β) Να βρείτε το κέντρο Κλ του κύκλου (Cλ) και την ακτίνα του R γ) Να δείξετε ότι, καθώς το λ διατρέχει το R, τα κέντρα Κλ των κύκλων (Cλ) κινούνται σε μία ευθεία (η) δ) Να δείξετε ότι, οι κύκλοι (Cλ) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α, Β για κάθε λ R ε) Να δείξετε ότι το σημείο Ρ(,) ανήκει στην ευθεία ΑΒ όπου Α, Β τα σημεία του προηγούμενου ερωτήματος στ) Αν ΡΓ, ΡΔ τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Ρ(,) προς τους κύκλους (C), (C) αντίστοιχα, να δείξετε ότι ΡΓ=ΡΔ ζ) Αν ο κύκλος (Cλ) εφάπτεται της ευθείας (ε) : x+y=7, να βρείτε τις τιμές του λ R 7

18 8 Τα σημεία Α, Β κινούνται αντίστοιχα στους άξονες x x, y y έτσι ώστε (ΑΒ)=8 Να δείξετε ότι το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ κινείται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση 9 Δίνεται ο κύκλος (C) : x (y ) και Α(α,β) ένα σημείο του C Θεωρούμε το σημείο Μ του επιπέδου για το οποίο ισχύει AM 4 AK () Να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Δίνεται ο κύκλος (C) : (x ) (y ) 8 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου από τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο (C) είναι κάθετες Δίνονται οι κάθετες ευθείες ε : λx (λ )y = και ε : (λ+)x+(λ+4)y =, λr α) Να βρείτε την τιμή του λ β) Έστω (C) ο κύκλος με κέντρο Κ(,) ο οποίος αποκόπτει από την ευθεία (ε) χορδή μήκους 8 Να βρείτε : i) την εξίσωση του κύκλου (C) ii) τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου (C) που διέρχονται από το σημείο Σ(6,7) Δίνεται ο κύκλος (C) : 4 και το σημείο Ρ(4ημφ, 4συνφ), φ R α) Να δείξετε ότι το σημείο Ρ είναι εξωτερικό του κύκλου (C) β) Έστω ΡΑ, ΡΒ τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το Ρ προς τον κύκλο (C) i) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ ii) Να βρείτε τo εμβαδόν του τριγώνου ΡΑΒ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ(, ) Αν η εξίσωση της πλευράς ΑΒ είναι x=7y 8 και του ύψους ΑΔ είναι x= y+, να βρείτε : α) τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β β) την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου (C) του τριγώνου ΑΒΓ γ) την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου (C) στο σημείο Α 4 Δίνεται κύκλος (C) ο οποίος εφάπτεται στον άξονα y y Αν Α(α,β) και Β(γ,δ) αποτελούν τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου (C), να δείξετε ότι ( ) 4 5 Δίνονται οι κύκλοι (C) : x y, (C) : x y, (C) : x εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ προς τον κύκλο (C) Αν η χορδή ΑΒ εφάπτεται στον κύκλο (C), να δείξετε ότι : y με α>β>γ Από το σημείο Μ(x,y) του (C) φέρνουμε τις 8

19 6 Δίνεται η ευθεία (ε) : x y+ = και ο κύκλος (C) : x y x - y, λ R * α) Αν η (ε) τέμνει τον κύκλο (C), να βρείτε τις τιμές του λ β) Αν Α, Β τα σημεία τομής της (ε) με τον κύκλο (C) (όταν τον τέμνει), να βρείτε το λ έτσι ώστε o AÔB 9 όπου Ο η αρχή των αξόνων 7 Δίνεται κύκλος (C) με κέντρο Κ(,) ο οποίος εφάπτεται στον άξονα x x α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (C) β) Από το σημείο Ρ(, ) φέρνουμε τις εφαπτόμενες (ε), (ε) του κύκλου (C) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι (ε), (ε) 8 Δίνονται οι εξισώσεις (C) : 6x y και (C) : x y 4x 4y 4, λ R με < λ α) Να δείξετε ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν κύκλους, των οποίων να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να δείξετε ότι οι (C), (C) τέμνονται γ) Αν οι εφαπτόμενες των (C), (C) σε ένα κοινό σημείο τους, τέμνονται κάθετα, να βρείτε την τιμή του λ 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με σταθερές τις κορυφές Β και Γ, ενώ η κορυφή Α(x,y) κινείται έτσι ώστε η διάμεσος ΒΔ να έχει σταθερό μήκος α> Να δείξετε ότι η κορυφή Α κινείται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Από ένα σημείο (x, y ) P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ, ΡΒ προς τον κύκλο (C) : x y και στη συνέχεια από τυχαίο σημείο ( x, y) της ευθείας ΑΒ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΓ, ΣΔ προς τον κύκλος (C) Να δείξετε ότι τα σημεία Γ, Δ, Ρ είναι συνευθειακά Δίνεται η εξίσωση : ( ) x y (), λ R * α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο (Cλ) για κάθε λ R * β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων (Cλ) ανήκουν σε μία ημιευθεία την οποία και να βρείτε γ) Αν οι παραπάνω κύκλοι (Cλ) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ Οι κύκλοι (C), (C) διέρχονται από το σημείο Α(,) και έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία (ε) : y x και εφάπτονται στον άξονα x x α) Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων (C) και (C) β) Να δείξετε ότι οι κύκλοι (C) και (C) τέμνονται γ) Να βρείτε τις εξισώσεις της άλλης κοινής εφαπτομένης τους Δίνονται τα διανύσματα, β x y x β y β () με, β και (, β) π και η εξίσωση 9

20 α) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο (C) του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Αν Κ(,) είναι το κέντρο του (C) να δείξετε ότι ο κύκλος (C) εφάπτεται στην ευθεία (ε) : x+4y= 4 Στο σημείο Π(,6) ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων Οxy είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας Η λήψη σε ένα σημείο της περιοχής του πομπού θεωρείται «άριστη», αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο ( C ) με κέντρο το Π(,6) και ακτίνα, ενώ θεωρείται «καλή», αν αυτό βρίσκεται εξωτερικά του( C ) και εσωτερικά του κύκλου ( C ), κέντρου Π(,6) και ακτίνας 4 α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κύκλων ( C ) και ( C ) β) Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής του πομπού έχει εξίσωση (ε) : y = x Να βρείτε το μήκος του τμήματος του αυτοκινητόδρομου αυτού, στο οποίο η λήψη είναι : i) καλή ii) άριστη ( ) : λx y 5 5 Δίνονται οι ευθείες :, λ R * ( ) : x λy 5λ α) Να δείξετε ότι ε ε β) Να δείξετε ότι το σημείο τομής Μ των (ε), (ε) κινείται σε έναν κύκλο (C) του οποίου να βρείτε την εξίσωση 6 Δίνεται το σημείο Μ(+ημθ, συνθ), θ [,π) α) Να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σε έναν κύκλο (C) του οποίου να βρείτε την εξίσωση β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου που άγονται από το σημείο Ο(,) γ) Να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας ω, εφω, όπου ω η γωνία των εφαπτομένων του ερωτήματος β) δ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο, όπου Α, Β τα σημεία επαφής του κύκλου (C) με τις εφαπτόμενες του ερωτήματος β) 7 α) Δίνεται η εξίσωση (x )(x )+(y )(y 5) = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του β) Σε τοπογραφικό σχεδιάγραμμα, με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, τα σημεία Α(,), Β(,), Γ(,5) και Δ(,5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήμων Να αποδείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόμος που να διέρχεται από τους τέσσερις δήμους γ) Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος β, οι συντεταγμένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t (t>) είναι (t, t+), να βρείτε αν η γραμμή, στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ, συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο και αν ναι, σε ποια σημεία; (Προαγωγικές εξετάσεις )

21 8 Α Δίνεται η εξίσωση x y 6x 8y, όπου μ,λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ,λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο Β Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση μ+λ = α Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x y 6x 8y για τις διάφορες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων β Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x+y+=, να ισχύει OA OB γ Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ (Προαγωγικές εξετάσεις ) 9 Δίνεται η εξίσωση x y x y, θ<π Α Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα Β Αν,να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(,) Γ Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ= (Προαγωγικές εξετάσεις )

22 Η παραβολή Δίνεται η παραβολή (C) : 4x y Να βρείτε : α) την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής β) τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με γ) την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x (Προαγωγικές Εξετάσεις ) Να δείξετε ότι η ευθεία y = x+4 εφάπτεται στην παραβολή (C) : y 6x Γενικά : Η ευθεία y = λx+κ, κλ εφάπτεται στην παραβολή (C) : Να βρείτε το σημείο επαφής Θεωρούμε την παραβολή C : y 5x y 4x και το σημείο Μ(,-) α) Να δείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο της (C) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που τέμνει την παραβολή στα Α, Β και το Μ είναι μέσο του ΑΒ Θεωρούμε την παραβολή C : y px Το άθροισμα των τεταγμένων δύο σημεί-ων Α και Β της C είναι ίσο με το άθροισμα των τεταγμένων δύο άλλων σημείων Γ και Δ της C Να δείξετε ότι ΑΒ//ΓΔ 4 Δίνεται η παραβολή (C) : 4x y και μια μεταβλητή ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής (C) και την τέμνει σε δύο σημεία Α(x, y) B(x, y) (A B) α) αν λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε), λ R *, να δείξετε ότι τα x, x είναι ρίζες της εξίσωσης : x ( )x β) να δείξετε ότι (EA) (EB) 5 Δίνεται η παραβολή (C) : px y με p > και η ευθεία (ε) που διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής (C) και σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία θ 9 Έστω Α(x, y) B(x, y) τα σημεία τομής της παραβολής (C) και της ευθείας (ε) α) Να εκφράσετε τα x+x και xx ως συνάρτηση των p και θ p β) Να δείξετε ότι ( AB) γ) Έστω (ε) η ευθεία που διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής (C) και είναι κάθετη στην (ε) και έστω Γ(x, y), Δ(x4, y4) τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με την παραβολή (C) Αν ισχύει, να δείξετε ότι p= (AB) ( ) 4

23 6 Δίνεται η παραβολή (C) : y 8x Από το σημείο Κ(,) φέρνουμε ευθεία που τέμνει την παραβολή (C) στα σημεία Α(x, y) και B(x, y) α) Να δείξετε ότι yy = 4 β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο OA OB γ) Εάν (ε), (ε) είναι οι εφαπτόμενες της παραβολής (C) στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, να δείξετε ότι η τετμημένη του σημείου τομής των (ε), (ε) είναι 7 Δίνεται η παραβολή (C) : y px p (x, ) Η εφαπτομένη της (C) στο σημείο της A διέρχεται από το σημείο Β(, ) Να βρείτε : α) τον αριθμό p β) τις εφαπτόμενες της παραβολής (C) που σχηματίζουν με την ευθεία (ζ) : y=x+ γωνία 45 8 Δίνεται η παραβολή (C) : 8y x και ο κύκλος (C) : x y α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ζ) που διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής (C) και σχηματίζει γωνία με τον άξονα x x 4 β) Αν ο κύκλος (C) εφάπτεται στην ευθεία (ζ) του α) ερωτήματος, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (C) γ) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των (C), (C) 9 Δίνεται η παραβολή (C) : 8x y και έστω ΑΒ χορδή της (C) που έχει μέσο το σημείο Μ(, ) Να βρείτε την εξίσωση της ΑΒ με δύο τρόπους 4 Δίνεται η παραβολή (C) : y px, p > και τα σημεία της Α(x, y), B(x, y) τα οποία είναι συνευθειακά με την εστία Ε Να δείξετε ότι : α) y y p β) (EA) (EB) p γ) ο κύκλος που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ εφάπτεται στη διευθετούσα (δ) της (C) 4 Δίνεται η παραβολή (C) : y px, p > και έστω (ε) η εφαπτομένη της (C) σε ένα σημείο της Α(x, y), διαφορετικό από το Ο(,) Από την αρχή των αξόνων Ο φέρνουμε ευθεία (ζ) (ε) η οποία τέμνει την παραβολή (C) στο σημείο B, διαφορετικό από το Ο(,) και την ευθεία (ε) στο σημείο Γ Να δείξετε ότι ( OB) (O) p 4 Δίνεται η παραβολή (C) : px y, p > και σημείο x, y ) (C) ( διαφορε-τικό από το Ο(,) Έστω (ε) η εφαπτομένη της (C) στο Μ Από την εστία Ε της (C) φέρνουμε ευθεία (η) // (ε) η οποία τέμνει την παραβολή (C) στα σημεία Α(x, y), B(x, y) Να δείξετε ότι :

24 y y α) (AB) p y y β) y γ) ( AB) 4(ME) 4 Δίνεται ο κύκλος (C) : 6x η παραβολή (C) : y 4x α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των (C) και (C) β) Να δείξετε ότι ο κύκλος (C) και η παραβολή (C) έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά τους σημεία 44 Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων του κύκλου (C) : x y 4 και της παραβολής (C) : y x 45 Δίνεται η παραβολή (C) : y px, p > και Α, Β δύο σημεία του άξονα x x συμμετρικά ως προς την εστία Ε της παραβολής (C) Φέρνουμε τυχαία εφαπτομένη (ε) της (C) και έστω d, d οι αποστάσεις των Α, Β αντίστοιχα από την (ε) Να δείξετε ότι η παράσταση d d είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη της (ε) 46 Δίνεται η παραβολή (C) : 4x y και η ευθεία (ε) : y=λx+β, λ τέτοια ώστε λβ < Να δείξετε ότι : i) Η ευθεία (ε) τέμνει την παραβολή (C) σε δύο διαφορετικά σημεία Α, Β ii) Το μέσο του ΑΒ είναι το M, λ λ iii) Αν β= και λ R * τότε το Μ κινείται σε μία παραβολή 47 Δίνεται η παραβολή (C) : px y, p > και τυχαίο σημείο της ( x, y) διαφορετικό από το Ο(,) Από το Μ φέρνουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα x x που τέμνει τη διευθετούσα (δ) της (C) στο σημείο Κ Επίσης φέρνουμε την εφαπτομένη της (C) στο Μ Να δείξετε ότι η εφαπτομένη αυτή είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΕΑ όπου Ε η εστία της παραβολής (C) (Υπόδειξη : Να κάνετε χρήση της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής) 48 Δίνεται η παραβολή (C) : px y, p > και έστω P(x, y ) ένα τυχαίο σημείο της διευθετούσας (δ) της (C) Από το Ρ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα τμήματα ΡΑ και ΡΒ προς τη (C) Να δείξετε ότι η χορδή ΑΒ της (C) διέρχεται από την εστία Ε της (C) και αντίστροφα, δηλαδή εάν η χορδή ΑΒ διέρχεται από την εστία Ε τότε οι εφαπτόμενες της (C) στα Α, Β τέμνονται σε σημείο της διευθετούσας (δ) 49 Δίνεται η παραβολή (C) : px y και ένα σημείο της Α Έστω η Β η προβολή του Α στον άξονα x x Να βρείτε τo γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ όταν το Α διαγράφει την παραβολή 4

25 5 Δίνεται η παραβολή (C) : y px Να βρείτε τo γεωμετρικό τόπο των μέσων Μ των χορδών της (C) που διέρχονται από την κορυφή της 5 Δίνεται η παραβολή (C) : 4x y και η ευθεία (ε) : y=x Να δείξετε ότι o γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της (C) που είναι παράλληλες στην (ε), είναι μια ημιευθεία την οποία και να βρείτε 5 Δίνεται η παραβολή (C) : px y και δύο ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους και τέμνουν την παραβολή (C) στα σημεία Β και Γ, Β Γ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Β, Γ β) Να γράψετε την εξίσωση της ΒΓ γ) Να δείξετε ότι η ευθεία ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο 5 Δίνεται η παραβολή C: y px, p και οι ευθείες : y = λx και : y = λx, λ θετικός ακέραιος α) Να δείξετε ότι οι ευθείες και τέμνουν την παραβολή σε σημεία Α, Β συμμετρικά ως προς τον άξονα x x β) Να βρείτε το λ όταν η ΑΒ διέρχεται από την εστία της C γ) Όταν το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ γίνεται μέγιστο, όπου Ο η αρχή των αξό- νων, να δείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες 5

26 Η έλλειψη 54 Δίνεται η έλλειψη (C) : 9, Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(,-), τέμνει τη (C) σε δύο σημεία Γ και Δ και το μέσο της χορδής ΓΔ είναι το Μ 55 Αν το σημείο (x, y ) P ανήκει στον κύκλο (C) : x y, να δείξετε ότι το σημείο Μ(x,y) με x x και y y ανήκει σε έλλειψη της οποίας να βρείτε την εκκεντρότητα 56 Να δείξετε ότι το σημείο Μ(συνt, ημt), t R, ανήκει σε έλλειψη της οποίας να βρείτε την εκκεντρότητα 57 Θεωρούμε τις ελλείψεις (C) : + = α β α>β> Να δείξετε ότι : α) οι (C) και (C) έχουν τις ίδιες εστίες και (C): β) όπου ε, ε οι εκκεντρότητες των (C) και (C) αντίστοιχα με y 58 Δίνεται η έλλειψη C : x + = και η ευθεία ε : y=λx+ α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η (ε) τέμνει τη (C) σε δύο σημεία β) Αν Κ και Λ τα κοινά σημεία της (ε) και της (C), να βρείτε την εξίσωση της (ε) όταν K Ô = 9 59 Δίνεται η έλλειψη C : + = α β με α>β> α) Aν M τυχαίο σημείο της έλλειψης και Ε, Ε οι εστίες της, να βρείτε τα (ΜΕ ) και (ΜΕ) β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία Μ της έλλειψης τέτοια ώστε ˆ =9 6 Δίνονται οι ελλείψεις (C) :, (C) : με α>β Να δείξετε ότι τα κοινά σημεία των (C) και (C) ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα 6 Δίνεται η έλλειψη (C) :, με α>β και ΑΒ μία χορδή τής (C) που δεν είναι παράλληλη στους άξονες Να δείξετε ότι : α) Αν Μ είναι το μέσο της χορδής ΑΒ, τότε, όπου ε η OM 6

27 εκκεντρότητα της (C) β) Τα μέσα των παραλλήλων χορδών μιας έλλειψης είναι συνευθειακά σημεία 6 Δίνεται η έλλειψη (C) : με α>β, και οι κορυφές της Α(α,), Α (- α,), Β(,β), Β (,-β) Να δείξετε ότι τα σημεία Β και Β είναι τα πλησιέστερα προς το κέντρο Ο της (C), ενώ τα Α και Α είναι τα πιο απομακρυσμένα από το Ο σημεία της (C) 6 Δίνεται η έλλειψη ( C ) της οποίας οι εστίες Ε και Ε ανήκουν στον άξονα x x και η οποία διέρχεται από τα σημεία Μ(6,) και N (, 7) α) Να βρείτε την εξίσωση της ( C ) β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της ( C ) στο σημείο Μ(6,) γ) Έστω ( C ) η έλλειψη που είναι όμοια με τη ( C ) και έχει μία εστία την E ( 6,) Να βρείτε : i) την εξίσωση της ( C ) ii) τις εφαπτόμενες της ( C ) που είναι παράλληλες στην εφαπτομένη (ε) της ( C ) στο σημείο Μ(6,) 64 Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου (C ) : (x ) y 5 έλλειψης (C ) : x 4y 48 και της 65 Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε οι δύο κοινές εφαπτόμενες του κύκλου C : (x ) (y ) 5 και της έλλειψης C :, να διέρχονται 4 9 από το σημείο Μ(,5) 66 Δίνεται η έλλειψη (C) : + = α β με α>β> και εστίες Ε(γ,) και Ε (-γ,) δ x α δ y β α) Να δείξετε ότι η έλλειψη (C) και η έλλειψη (C ) : + = με δ> έχουν την ίδια εκκεντρότητα β) Έστω σημείο M(γ,y ) που ανήκει στην έλλειψη C με y > Αν η κάθετη (η) στην εφαπτομένη της C στο Μ, διέρχεται από την κορυφή Β (,-β), να 4 αποδείξετε ότι ε + ε = 67 Δίνεται η έλλειψη (C) : x, και οι ευθείες δ : x, δ : που λέγονται διευθετούσες της έλλειψης Να δείξετε ότι : α) οι δ και δ δεν τέμνουν την έλλειψη 7

28 β) Ο λόγος των αποστάσεων του τυχαίου σημείου της έλλειψης από την εστία Ε και τη διευθετούσα δ (ή από την εστία Ε και τη διευθετούσα δ ) είναι ίσος με την εκκεντρότητα της έλλειψης 68 Έστω (ε) η εφαπτομένη της έλλειψης (C) : σε ένα σημείο της Ρ διαφορετικό των κορυφών της έλλειψης Να δείξετε ότι η ευθεία ΟΡ και η κάθετη (ε ) από την εστία Ε(γ,) της έλλειψης (C) στην (ε) τέμνονται σε ένα σημείο Μ της ευθείας δ : x 69 Δίνεται η έλλειψη (C) : x 4y 6 και η ευθεία (ε) : y=λx+4, λ> Φέρνουμε τις εφαπτόμενες της (C), στις κορυφές Α και Α που τέμνουν την ευθεία (ε) στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα Έστω (C) ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα ΓΔ α) Να βρείτε την εξίσωση του (C) σε συνάρτηση με το λ β) Αν ο κύκλος (C) διέρχεται από τις εστίες Ε και Ε της (C), να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) τις εφαπτόμενες της (C) που είναι παράλληλες στην (ε) 7 Δίνεται η έλλειψη (C) : x y και η εφαπτομένη (ε) της (C) στο σημείο της M(x, y ) του ου τεταρτημορίου Να βρείτε την εξίσωση της (ε) έτσι ώστε να σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες ισοσκελές τρίγωνο 7 Δίνεται η έλλειψη (C) : 4 8 και ένα σημείο της (x, y ) M διαφορετικό από τις 4 κορυφές της Η εφαπτομένη (ε) της (C) στο σημείο Μ τέμνει της ευθεία (δ) : x=6 στο σημείο Ν Να δείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο την ΜΝ διέρχεται από την εστία Ε της (C) 7 Δίνονται δύο κωνικές τομές : η παραβολή y px 4x y p, p > α) Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε της έλλειψης είναι τα σημεία και η έλλειψη E, p p και E, β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και Λ των δύο κωνικών τομών είναι τα p p σημεία K,p και, p γ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο σημείο p K,p είναι κάθετες (Προαγωγικές εξετάσεις - ) 8

29 7 Δίνεται η έλλειψη ( C) : σημείο της (C) τέτοιο ώστε ˆ με α>β και έστω M(x, y ) τυχαίο =, όπου Ε, Ε οι εστίες της (C) Αν (ε) η εφαπτομένη της (C) στο Μ και d, d οι αποστάσεις των Ε, Ε αντίστοιχα από την (ε) να δείξετε ότι d + d = α (Υπόδειξη : Ανακλαστική ιδιότητα) 74 Δίνεται η έλλειψη (C) : με α>β Σε τυχαίο σημείο της (x, y ) P φέρνουμε την εφαπτομένη (ε) της (C) Αν Μ είναι το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς την ευθεία (ε), να δείξετε ότι : α) τα σημεία Ρ, Μ, Ε είναι συνευθειακά όπου Ε η άλλη εστία της έλλειψης β) το σημείο Μ κινείται σε σταθερό κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση (Υπόδειξη : Ανακλαστική ιδιότητα) 75 Να δείξετε ότι τα σημεία τομής του γεωμετρικού τόπου (C) των σημείων M(, ), φ R με την έλλειψη (C) :, ανήκουν σε 4 κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων 76 Να δείξετε ότι για κάθε σημείο Μ(x,y) της έλλειψης (C) : ισχύει x y Για ποια σημεία της παραπάνω έλλειψης ισχύει το «ίσον»; 77 Αν ω είναι η οξεία γωνία των εφαπτομένων της έλλειψης (C) : 6 οποίες άγονται από το σημείο Μ(4,), να δείξετε ότι συνω=,, οι 78 Έστω (x, y ) ένα από τα κοινά σημεία της έλλειψης (C) : με M α> β και του κύκλου (C) : x y αβ 4 4 α) Να δείξετε ότι y x ( ) β) Αν ω είναι η οξεία γωνία των εφαπτομένων των (C) και (C) στο (x, y ) να δείξετε ότι 79 Δίνεται η έλλειψη (C) : 9x y 8 M, Να δείξετε ότι τα σημεία του επιπέδου από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς την (C) κινούνται σε κύκλο 9

30 8 Δίνεται ο κύκλος (C) : (x ) y 8 και το σημείο του Α(,) α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου (C) στο σημείο του Α(,) β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, των οποίων η απόστασή τους από το κέντρο Κ του κύκλου (C) είναι ίση με το μισό της απόστασή τους από την εφαπτομένη (ε) του ερωτήματος α) 8 Έστω (ε) η εφαπτομένη της έλλειψης (C) :, (α>β>) σε ένα σημείο διαφορετικό από τις κορυφές της Η κάθετη (ε ) της (ε) στο Μ τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ και τον άξονα y y στο σημείο Δ Να δείξετε ότι : α) Η ευθεία (ε ) δεν διέρχεται από το κέντρο Ο της έλλειψης (C) β) Ο λόγος παραμένει σταθερός καθώς το Μ διαγράφει την έλλειψη (C) (εκτός των κορυφών της) 8 Δίνεται η έλλειψη (C) : με α>β, και έστω Α(α,), Α (-α,) οι κορυφές της και M(x, y ) με y, μεταβλητό σημείο της (C) διαφορετικό από τις Α και Α Αν Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΜΑΑ, να δείξετε ότι : y α) Το Η έχει συντεταγμένες H x, β β) Το Β κινείται σε μία έλλειψη της οποίας οι εστίες βρίσκονται στον άξονα y y 8 Δίνονται οι κύκλοι (C) : (x ) y και (C) : (x ) y 49 α) Να βρείτε τη σχετική θέση των (C), (C) β) Εάν (Μ,ρ) είναι ένας μεταβλητός κύκλος (C) (μεταβλητός ως προς το κέντρο Μ αλλά και την ακτίνα ρ) ο οποίος εφάπτεται εξωτερικά του (C) και εσωτερικά του (C), να δείξετε το Μ ανήκει σε έλλειψη της οποίας να βρείτε την εξίσωση

31 Η υπερβολή 84 Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη 5 6 x 85 Δίνεται η υπερβολή (C) : y και το σημείο του Γ( (, ) Αν η ημιευθεία ΓΕ, όπου (,), τέμνει την υπερβολή στο σημείο Β και Δ είναι το συμμετρικό του Β ως προς την αρχή των αξόνων, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΓΔ 86 Δίνεται η υπερβολή ( C) :, με, 4, α Αν γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της C στο είναι η ευθεία : y x 5, να βρείτε τα, και το σημείο της β Αν και 5, να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής και να εξετάσετε αν η ευθεία y x είναι μια ασύμπτωτη της υπερβολής αυτής 87 Να βρείτε τα σημεία της υπερβολής (C) : σημείο Α(,) την ελάχιστη απόσταση 88 Έστω Β x, y ) τα οποία απέχουν από το ( και Γ ( x, y ) με x x δύο σημεία του δεξιού κλάδου της υπερβολής (C) : Αν Δ είναι το συμμετρικό του Β ως προς την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι λβγ λγδ = διεύθυνσης των ευθειών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα 89 Δίνεται η υπερβολή (C) :, όπου λβγ, λγδ οι συντελεστές με κορυφές Α και Α και μία ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και τέμνει τους δύο κλάδους της υπερβολής (C) στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα τα οποία είναι διαφορετικά από τις κορυφές της Α και Α Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της (C) στα σημεία Μ και Ν είναι παράλληλες 9 Αν d και d είναι οι αποστάσεις των εστιών Ε και Ε της υπερβολής (C) : από μία εφαπτομένη της, να δείξετε ότι dd = β

32 9 Δίνεται ο κύκλος (C ) : 4 και η ισοσκελής υπερβολή (C ) : x y 4 Έστω τυχαίο σημείο Μ ( x, y ) (C) με x, y Φέρνουμε την εφαπτομένη (ε) του (C) στο σημείο Μ ( x, y ) η οποία τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Ν Από το Ν φέρνουμε παράλληλη στον y y που τέμνει την (C) στα σημεία Α, Β Να δείξετε ότι ΜΑ ΑΒ 9 Δίνεται ο κύκλος (C ) : x (y 4) 8 και η ισοσκελής υπερβολή ( C ) που έχει ως εστίες τα σημεία τομής του κύκλου (C) με τον άξονα x x α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής ( C ) β) Αν (ε) η εφαπτομένη του κύκλου ( C ) στο σημείο του A(4, 4) και (ε) η εφαπτομένη της υπερβολής ( C ) που διέρχεται από το A(4, 4), να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι (ε), (ε) 9 Δίνεται η υπερβολή (C) : και τυχαίο σημείο M(x, y ) με y του επιπέδου της (C) Από το M(x, y ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ προς την (C) Αν η ευθεία ΑΒ τέμνει την ευθεία (δ) : x, στο σημείο Κ, να δείξετε ότι ΕΜ ΕΚ, όπου Ε(γ,) είναι η εστία της (C) 94 Δίνεται η υπερβολή (C) : Να δείξετε ότι : α) Από το σημείο Ο(,) δεν άγονται εφαπτόμενες της (C) β) Από κάθε σημείο μιας ασύμπτωτης της (C), εκτός του Ο(,), άγεται μία εφαπτόμενη της (C) y 95 Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση x 4 και ένα σημείο M(x, y ) της υπερβολής με x Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τις ασύμπτωτες της υπερβολής και τις παράλληλες από το σημείο Μ προς τις ασύμπτωτες αυτές (Εξετάσεις ΑΣΕΠ Μαθηματικών 9) 96 Δίνεται η υπερβολή (C) : και το σημείο της Ρ x, y ) ( α) Να βρείτε τα σημεία τομής της εφαπτομένης της (C) στο Ρ με τις ασύμπτωτες της (C) β) Αν Α και Β τα σημεία του προηγούμενου ερωτήματος, να δείξετε ότι το Ρ είναι το μέσον του ΑΒ 97 Δίνονται οι υπερβολές (C) : και (C) :, με εκκεντρότητες ε και ε αντίστοιχα Να δείξετε ότι

33 98 Δίνεται η έλλειψη (C) : x α y και η υπερβολή (C) : x y ( ) με α>β> α) Να δείξετε ότι οι (C) και (C) έχουν τις ίδιες εστίες 4 β) Να δείξετε ότι όπου ε, ε είναι οι εκκεντρότητες των (C), (C) αντίστοιχα γ) Αν Μ ( x, y ) είναι ένα από τα κοινά σημεία των (C), (C) να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες (η) της (C) και (η) της (C) στο σημείο αυτό είναι κάθετες 99 Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή (C) : x y και Μ ( x, y ) τυχαίο σημείο της με x και y Φέρνουμε την εφαπτομένη (ε) της (C) στο σημείο Μ ( x, y ) η οποία τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, καθώς επίσης και την ευθεία (η)(ε) στο σημείο Μ ( x, y ) η οποία τέμνει τις ασύμπτωτες της (C) στα σημεία Γ, Δ Αν (ΟΑΒ)=Ε και (ΟΓΔ)=Ε, να 6 δείξετε ότι E E Δίνεται η υπερβολή (C) : Μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο τέμνει την υπερβολή στα σημεία Μ και Ν Από τα σημεία αυτά φέρνουμε παράλληλες προς τις ασύμπτωτες της υπερβολής που τέμνονται στα σημεία Ρ και Ρ Να δείξετε ότι τα Ρ και Ρ ανήκουν στην υπερβολή y x (C ) : Αν η εκκεντρότητα της υπερβολής (C) : την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες της (C) είναι ε=, να βρείτε Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της παραβολής (C) : y 8x και της υπερ- βολής (C) : 7x y 4 Να δείξετε ότι το ορθόκεντρο τριγώνου με κορυφές τα σημεία Α(α,), Α (-α,) και B(, ) της ισοσκελούς υπερβολής x y = α, βρίσκεται πάνω στην υπερβολή αυτή (Η άσκηση αληθεύει για οποιοδήποτε τρίγωνο που είναι εγγεγραμμένο στην υπερβολή) 4 Κύκλος (C) έχει το κέντρο του στο θετικό ημιάξονα Οx και η ακτίνα του είναι ρ Η ευθεία ε : y=x είναι ασύμπτωτη της υπερβολής ( C ) : 6 και εφάπτεται του κύκλου (C) Να βρείτε τις εξισώσεις των (C), ( C ) και τα κοινά τους σημεία

34 5 Δίνεται η υπερβολή (C) : με εστίες τα σημεία Ε (-γ,) και Ε(γ,), γ> και οι ευθείες (δ ) : x και (δ) : x, που λέγονται διευθετούσες της υπερβολής Να δείξετε ότι : α) Οι (δ ) και (δ) δεν τέμνουν την υπερβολή β) Ο λόγος των αποστάσεων του τυχαίου σημείου της υπερβολής από την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ ) (ή από την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ)) είναι ίσος με την εκκεντρότητα της υπερβολής γ) Αν από σημείο Μ ( x, y ) της ευθείας (δ) φέρουμε τις δύο εφαπτόμενες (ε) και (ε) της υπερβολής (C) και Μ, Μ είναι τα σημεία επαφής των (ε) και (ε) με την υπερβολή (C) αντίστοιχα τότε : i) Η ευθεία ΜΜ έχει εξίσωση x yy ii) H ευθεία ΜΜ διέρχεται από την εστία Ε(γ,) iii) ΜE ΜΜ 6 Να δείξετε ότι τα σημεία M, υπερβολή της οποίας να βρείτε την εξίσωση, λr * κινούνται σε 7 Μια μεταβλητή ευθεία (η) παράλληλη στην (ε) : y=x+5 τέμνει το θετικό κλάδο της υπερβολής (C) : στα σημεία ( x, y) και ( x, y ) Να 9 4 δείξετε ότι το μέσο του τμήματος ΓΔ κινείται σε ευθεία, την οποία και να βρείτε 8 Δίνεται η υπερβολή (C) : 5x 4y = και Ρ ένα μεταβλητό σημείο της (C) που κινείται στο θετικό κλάδο της Έστω (ε) η εφαπτομένη της (C) στο σημείο Ρ Η κάθετη από την εστία Ε προς την (ε) τέμνει την ευθεία Ε Ρ (Ε η άλλη εστία της (C)) στο σημείο Να δείξετε ότι : α) ΡΕ = ΡΜ β) το σημείο Μ κινείται σε κύκλο καθώς το σημείο Ρ κινείται στην υπερβολή (C) 9 Έστω τα σημεία Α (-α,) και Α(α,) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) με x α για τα οποία ισχύει λμα λμα = κ, κ, όπου λμα, λμα οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΜΑ και ΜΑ αντίστοιχα, ανήκουν : α) σε έλλειψη αν κ < β) σε υπερβολή αν κ > Δίνονται οι ευθείες (ε) : y = κx και (ε) : y = κx Θεωρούμε Μ μεταβλητό σημείο του επιπέδου Από το Μ φέρνουμε παράλληλη στην (ε), που τέμνει την (ε) στο Α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ έτσι ώστε (ΟΑΜ) = Δίνεται ο κύκλος x +y =α και η ισοσκελής υπερβολή x y =α Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο A(x, y ) τέμνει τον άξονα x x στο Μ και η κάθετη στον x x στο Μ τέμνει την υπερβολή στα Β και Γ Να δείξετε ότι : 4

35 (ΜΑ)=(ΜΒ)=(ΜΓ) Δίνεται η υπερβολή (C) : και δύο παράλληλες χορδές αυτής ΑΒ και ΓΔ (όχι παράλληλες στον y y) Οι εφαπτόμενες της (C) στα Α, Β τέμνονται στο σημείο Κ και οι εφαπτόμενες της (C) στα Γ, Δ τέμνονται στο Λ Να δείξετε τα σημεία Κ, Λ, Ο είναι συνευθειακά, όπου Ο η αρχή των αξόνων Σημείο (x, y ) P κινείται στον κύκλο (C) : x y Αν Β, Γ οι προβολές του Ρ στις ασύμπτωτες της υπερβολής (C ) : και Μ το μέσον του τμήματος ΒΓ, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι μία έλλειψη της οποίας να βρείτε την εξίσωση 4 Μεταβλητή ευθεία (ε) τέμνει τις ευθείες ( ): y x και ( ): y x στα σημεία Α, Β αντίστοιχα έτσι ώστε (ΟΑΒ) = τμ Να δείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ κινείται πάνω σε δύο υπερβολές 5