ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI

Transcript

1 Bab 3 ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 3.1 Bendalir Tak Boleh Mampat dan Boleh Mampat Bendalir tak boleh mampat tidak wujud dalam praktis. Sebutan ini sebenarnya digunakan untuk merujuk kepada bendalir yang, apabila dikenakan tekanan, mengalami perubahan ketumpatan yang terlalu kecil sehingga boleh diabaikan. Ini berlaku dalam hampir semua kes yang melibatkan cecair. Gas juga boleh dianggap tidak boleh mampat sekiranya perubahan tekanan kecil dibandingkan dengan tekanan mutlak. Aliran udara di dalam sistem pengalihudaraan adalah contoh kes gas yang dikira tak boleh mampat kerana perubahan tekanannya begitu kecil untuk memberikan sebarang kesan ke atas ketumpatannya. Begitu juga dengan pesawat udara yang terbang pada kelajuan 400 km/j; ketumpatan udara masih boleh dikira malar. Tetapi bagi objek yang bergerak di dalam udara yang menghampiri laju bunyi (1150 km/j), tekanan dan ketumpatan bendalir yang bersebelahan dengannya mengalami perubahan yang ketara dibandingkan dengan udara yang berada jauh dari objek; dalam keadaan sebegini, udara mestilah dianggap sebagai bendalir boleh mampat Haba Tentu Haba tentu ditakrif sebagai kuantiti haba yang diperlukan untuk meninggikan satu unit suhu satu unit jisim bendalir, c = dq dt dengan dq adalah haba yang ditambah ke satu unit jisim bendalir dan dt pula ialah pertambahan suhu yang terhasil. Nilai haba tentu bergantung kepada proses pertambahan haba; dua proses yang akan 50

2 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 51 kita temui ialah pertambahan haba tentu pada isipadu malar dan tekanan malar. Jadi ( ) dq c v = (3.1a) dt isipadu malar ( ) dq c p = (3.1b) dt tekanan malar Hubungan-hubungandiantarahabatentu,c p,c v,nisbahdiantarakedua-duanya, γ,dan pemalar gas, R, diberikan oleh c p c v = γ (3.) c p c v = R (3.3) c p = γ γ 1 R (3.4) c v = 1 γ 1 R (3.5) 3.1. Persamaan Keadaan Gas Sempurna Gas sempurna ditakrif sebagai bendalir yang mempunyai haba tentu yang malar dan mematuhi hukum p = ρrt (3.6) dengan p dan T masing-masing adalah tekanan dan suhu mutlak, ρ ketumpatan bendalir dan R pula ialah pemalar gas. Persamaan (3.6) dikenali sebagai persamaan keadaan untuk gas sempurna Proses-proses Termodinamik Gas Sempurna Proses isotermal. Mampatan dan pengembangan gas boleh berlaku dengan mematuhi berbagai hukum termodinamik. Jika suhu dikekal malar, proses ini dikenali sebagai isotermal dan hubungan tekanan-ketumpatan diberikan oleh hukum Boyle p ρ = pemalar (3.7) Proses adiabatik. Jika proses berlaku tanpa haba ditambah atau dikeluarkan daripada bendalir (iaitu pemindahan haba adalah sifar), proses ini dinamai adiabatik. Jika proses adiabatik ini juga bolehbalik (iaitu tanpa geseran), ia disebut isentropik kerana proses tidak mengalami perubahan entropi. Hubungan tekanan-ketumpatan bagi proses isentropik diberikan oleh p = pemalar (3.8) ργ dengan γ = c p /c v ; nisbah haba tentu.

3 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 5 Proses politropik. Kita boleh mengungkapkan satu hubungan umum di antara tekanan dan ketumpatan untuk setiap proses di atas menerusi satu persamaan umum, p = pemalar (3.9) ρn dengan indeks n berbeza untuk setiap proses. Jika 1. n = 0, p = pemalar,prosesisobarik,. n = 1, T = pemalar, prosesisotermal, 3. n = γ, s = pemalar,prosesisentropik. 3. Kebolehmampatan Kebolehmampatan adalah ukuran perubahan isipadu (atau ketumpatan) apabila tekanan bertindak ke atas sesuatu bahan. Ukuran ini diwakili oleh pekali kebolehmampatan, β. Sementara itu, bendalir mungkin dimampatkan apabila tekanan bertindak ke atasnya dan ini mengurangkan isipadu di samping menghasilkan terikan isipadu. Bendalir yang termampat begini akan kembali kembang kepada isipadu asalnya sebaik sahaja tindakan tekanan dihilangkan. Sifat kebolehmampatan sesuatu bendalir ini dirumuskan oleh modulus keanjalan pukal, κ, yang juga merupakan kebalikan pekali kebolehmampatan; κ = 1 β Sekiranya tokokan tekanan dp menyebabkan berlaku kesusutan isipadu dv, maka modulus keanjalan pukal boleh ditulis sebagai κ = dp dv/v (3.10) dengan V sebagai isipadu asal bendalir. Modulus keanjalan pukal tidak malar tetapi bertambah dengan bertambahnya tekanan. Daripada takrif ketumpatan kita memperolehi ρ = m V Oleh kerana jisim m bagi sesuatu isipadu V malar, ρ boleh dibezakan menjadi ( m ) dρ = d = mdv V V = ρ dv V atau dv V = dρ ρ (3.11) Daripada persamaan (3.10) and(3.11), κ = ρ dp dρ (3.1)

4 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 53 Untuk proses isotermal, Oleh itu p ρ = pemalar dp dρ = pemalar = ρ p dan modulus keanjalan pukal κ = p (3.13) Untuk proses isentropik, p ρ γ = pemalar Bezakan, dp = pemalar Oleh itu γρ γ 1 dρ = γρ γ 1 dρ p ρ γ = γdρ ρ p dp dρ = γ ( ) p ρ dan modulus keanjalan pukal ( ) p κ = ργ = γp (3.14) ρ Halaju bunyi menerusi bendalir diungkapkan oleh a = dp dρ (3.15) Jadual 3.1: Modulus pukal air dan udara. κ Bendalir ( 10 3 N/m ) Udara(proses isotermal) 100 Udara(proses isentropik) 140 Air.11 Gangguan-gangguan tekanan kecil bergerak menerusi bendalir pada kelajuan yang bergantung kepada modulus keanjalan pukal dan ketumpatan bendalir. Menerusi persama-

5 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 54 an (3.1) dan(3.15), κ a = ρ (3.16) dengan a adalah halaju bunyi di dalam bendalir. Nilai-nilai modulus pukal κ untuk udara dan air pada keadaan-keadaan piawai dijadualkan di dalam Jadual Beberapa Konsep Asas Termodinamik Proses Bolehbalik dan Tak Bolehbalik Apabila sifat-sifat fizikal sesuatu bendalir (seperti tekanan, suhu dan ketumpatan) diubah, sistem dikatakan telah mengalami satu proses. Proses ini dikatakan bolehbalik sekiranya bendalir dan persekitarannya dapat dikembalikan sepenuhnya kepada keadaankeadaan asal dengan menambah (atau mengeluarkan balik) jumlah haba dan kerja yang telah dikeluarkan(atau ditambah) semasa proses tadi berlaku. Proses bolehbalik adalah satu proses unggul yang sama sekali tidak mungkin dicapai dalam praktis. Kesan-kesan likat dan geseran melesapkan tenaga mekanikal sebagai haba yang tidak boleh ditukar kembali kepada tenaga mekanikal tanpa perubahan-perubahan lain turut berlaku. Oleh yang demikian, dalam praktis semua proses adalah tak bolehbalik Tenaga Dalaman dan Entalpi Tenaga molekul bendalir boleh mampat terhasil disebabkan oleh aktiviti molekul yang bertambah dengan bertambahnya suhu. Di dalam sesuatu gas aktiviti molekul ini juga menghasilkan tekanan yang mewakili sebahagian daripada tenaga molekul yang biasanya ditukarkan kepada kerja mekanikal. Dalam termodinamik, tenaga molekul ini dikenali sebagai entalpi h = u + pv = u + p ρ (3.17) dengan h adalah entalpi atau tenaga molekul seunit jisim, v ialah isipadu tentu(= V/m), u ialah tenaga dalaman seunit unit jisim, iaitu sebahagian tenaga molekul yang bukan terhasil daripada tenaga tekanan seunit jisim p/ρ. Tenaga dalaman adalah tenaga kinetik molekul dan daya-daya di antara molekul yang bergantung kepada suhu; suhu rendah atau tinggi memberikan tenaga dalaman sepadan yang rendah atau tinggi Hukum Pertama Termodinamik Hukum ini mewakili prinsip keabadian tenaga. Ia menyatakan bahawa tenaga tidak boleh dicipta atau dimusnahkan tanpa proses nuklear, tetapi boleh diubah bentuknya.

6 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 55 Ujikaji telah menunjukkan bahawa haba adalah satu bentuk tenaga yang boleh diungkap dalam unit-unit tenaga mekanikal menerusi tenaga mekanikal yang setara dengan haba. Jika satu kuantiti kecil tenaga ditambah kepada satu sistem homogeneous mudah (iaitu satu sistem yang terdiri daripada satu bendalir yang sifat-sifat termodinamiknya seragam), tenaga ini, menerusi hukum pertama termodinamik, boleh ditukarkan kepada pelbagai bentuk tenaga seperti pertambahan tenaga kinetik molekul(iaitu tenaga dalaman), pertambahan tenaga kinetik sistem, dan kerja(mekanikal) terlaku luaran. Sekiranya sistem bendalir ini statik, hukum pertama termodinamik menyatakan bahawa kuantiti kecil haba yang ditambah ke dalam sesuatu sistem mudah adalah sama dengan perubahan tenaga kinetik molekul campur kerja mekanikal yang dilakukan oleh sistem. Jadi dq = du +dw (3.18) dengan dq adalah kuantiti tenaga yang ditambah ke dalam sistem, du ialah tenaga dalaman se unit jisim bendalir, dan dw kerja mekanikal terlaku oleh sistem. Jika p tekanan dan v isipadu per unit jisim, persamaan (3.18) boleh ditulis dalam bentuk ( ) 1 dq = du + pdv = du + pd (3.19) ρ Entropi Entropi sesuatu gas boleh ditakrif sebagai ukuran kebolehsediaan tenaga haba untuk ditukarkan kepada kerja mekanikal. Jika dq adalah kuantiti haba yang diberikan kepada bendalir per unit jisim, dan s adalah entropi per unit jisim bendalir, maka perubahan dalam entropi per unit jisim disebabkan oleh haba yang diserap oleh bendalir ialah ds = dq T (3.0) dengan T adalah suhu mutlak bendalir. Jika dq e adalah tenaga haba per unit jisim yang ditambah dari luar dan dq i pula ialah tenaga haba per unit jisim yang terbentuk di dalam sistem bendalir, maka jumlah tenaga yang diterima oleh bendalir ialah dq = dq e +dq i (3.1) Daripada persamaan (3.0) dan(3.1), kita memperolehi ds = dq e T + dq i T (3.) Entropi yang malar (iaitu ds = 0) memerlukan dq = 0. Keadaan ini boleh dicapai sekiranyatiada haba menembusidiantara bendalir dan persekitarannya(iaitu dq e = 0), dan tiadatenagamekanikalyangditukarkankepadatenagahabaolehgeseran(iaitudq i = 0).

7 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 56 Dalam praktisprosestanpageseransukardidapatijadi dq i 0danjikatenagahabadari sumberluar samadengansifar (iaitu dq e = 0), maka untukprosesadiabatik ds = dq i T > 0 (3.3) Hukum Kedua Termodinamik Hukum kedua termodinamik adalah hasil pemerhatian dan ujian ujikaji yang boleh disimpulkan dalam bentuk fakta-fakta berikut: Haba tidak boleh dipindahkan daripada jasad suhu rendah kepada jasad suhu tinggi tanpa perubahan-perubahan lain di dalam kedua-dua sistem berlaku serentak. Haba daripada satu sumber tunggal tidak boleh ditukarkan kepada kerja mekanikal tanpa perubahan-perubahan lain di dalam sistem dan persekitaran berlaku serentak. Pemindahan tenaga daripada kerja mekanikal kepada tenaga haba adalah tak bolehbalik. Di dalam sesuatu sistem yang terasing(iaitu tiada pemindahan haba), entropi tidak boleh susut. Entropi selalu bertambah jika proses tak bolehbalik. 3.4 Parameter yang Mengawal Aliran Boleh Mampat Terdapat empat parameter yang mengawal fenomena aliran bendalir likat boleh mampat, iaitu 1. nisbah haba tentu,. nombormach, 3. nombor Reynolds, dan 4. nomborprandtl. Nisbah haba, γ, ialah nisbah atau haba tentu bendalir pada tekanan malar haba tentu bendalir pada isipadu malar γ = c p c v (3.4) yang merupakan ukuran kekusutan zarah-zarah bendalir.

8 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 57 Nombor Mach, M, mewakili ukuran kesan kebolehmampatan dan ditakrif sebagai nisbah halaju arus bebas (atau halaju jasad menerusi bendalir) dan halaju bunyi di dalam bendalir. Ia diungkapkan sebagai M = v a (3.5) dengan v adalah halaju bendalir(atau halaju jasad yang bergerak) dan a pula ialah halaju bunyi di dalam bendalir. Untuk aliran isentropik, persamaan (3.1) dan (3.13) menghasilkan γp a = ρ = γrt (3.6) Nombor Reynolds, Re, adalah satu ukuran kesan likat bendalir, sementara nombor Prandtl, Pr, pula adalah ukuran peri mustahaknya pengaliran haba dan kelikatan bendalir. Ia adalah nisbah kelikatankinematik dankemeresapan haba 1 bendalir, Pr = µ/ρ K/ρc p (3.7) dengan K adalah keberaliran haba. Bagi pemodelan aliran boleh mampat di sekitar dua jasad yang serupa, kedua-dua jasad mestilah serupa secara geometri dan keempat-empat paramater yang dihuraikan di atas mestilah sama; γ model = γ prototaip M model = M prototaip Pr model = Pr prototaip Re model = Re prototaip Bagi aliran boleh mampat yang tak likat, faktor nombor Reynolds dan nombor Prandtl boleh diabaikan; yang perlu diambilkira ialah nisbah haba tentu dan nombor Mach. 3.5 Regim-regim Aliran Boleh Mampat Berdasarkan nilai nombor Mach, lima regim aliran biasanya dikelaskan seperti berikut (Hodge& Koenig, 1995): Aliran Tak Boleh Mampat: Nombor Mach kecil berbanding dengan satu, biasanya (0 < M < 0.3) untuk gas sempurna. Dalam julat ini, kesan kebolehmampatan selalunya abaikan. Aliran Subsonik: Nombor Mach masih lagi kurang daripada satu tetapi berada di luar julat aliran tak bolehmampat, julat (0.3 < M < 1.0). 1 thermal diffusivity thermal conductivity

9 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 58 Aliran Transonik: Nombor Mach adalah di sekitar satu, iaitu kurang sedikit atau lebih sedikit, menurut julatnya(0.8 < M < 1.). Aliran Supersonik: Nombor Mach melebihi satu,(m > 1). Aliran Hipersonik: Nombor Mach jauh melebihi satu, (M >> 1.0). Nilai nombor Mach yang memisahkan regim supersonik daripada regim hipersonik adalah dalam sekitar Kon Mach, Garis Mach dan Gelombang Kejutan Sesuatu gangguan tekanan (atau denyutan tekanan) di dalam bendalir boleh mampat yang pegun diperambatkan pada kelajuan bunyi secara seragam dalam semua arah. Dengan itu kita boleh menyatakan bahawa gangguan tekanan diperambatkan sebagai satu permukaan gelombang yang berbentuk sfera. Pertimbangkan satu objek kecil (misalnya, projektil) yang bergerak dari kanan ke kiri di dalam bendalir pegundengan halaju yang lebih kecil dari halaju bunyi (0 < v < a). Gerakan objek ini menghasilkan gangguan tekanan yang diperambatkan, secara sfera, menuju keluar daripada objek dengan halaju bunyi a. Jika objek ini tidak bergerak(relatif ke bendalir), muka gelombang akan tersebar secara sfera dan akan mempunyai kedudukan yangditunjukkandidalamrajah3.1bagijedamasaberturutandt = (t t 1 ) = (t 3 t ). Kedudukanmukagelombanguntuk0 < v < aditunjukkandidalamrajah3.1. Bahagian gelombang di hadapan objek bergerak lebih perlahan dari bahagian belakang; halaju di hadapan objekialah (a v). Jika halaju objek bertambah sehingga nilai halaju bunyi, v = a, rujuk Rajah 3.1, muka gelombang tidak bergerak terlebih ke hadapan daripada objek itu sendiri tetapi tampak seolah-olah pegun. Muka-muka gelombang bergabung untuk membentuk satah muka gelombang yang tangen ke bahagian hulu sementara gelombang hilir bergerak pada kelajuan(v + a). Dalam kes ini, gelombang tekanan tidak berupaya bergerak ke hulu melawan aliran yang menghampiri objek, dan bendalir di hadapan satah muka gelombang ini tidak terpengaruh oleh gerakan objek. Apabila halaju objekmelebihihalaju bunyi, v > a dan M > 1, setiapgelombangtekanan bergabung untuk membentuk muka gelombang yang berbentuk kon. Bentuk kon muka gelombang ini dikenali sebagai kon Mach, Rajah 3.1. Bendalir di hadapan kon ini tidak terganggu tetapi secara mendadak mengalami perubahan tekanan, suhu dan ketumpatan apabila ia melewati kon Mach. Garis pemisah di antara bendalir di hulu yang belum terganggu dan bendalir yang mengalami perubahan mendadak ini membentuk satu garisan maya yang dikenali sebagai garisan gelombang kejutan. Sudut separuh-vertek kon Mach, dikenali juga sebagai sudut Mach, diberikan oleh hubungan sin α = a v (3.8)

10 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 59 Rajah 3.1: Kon Mach, Fox& McDonald (1985). Dalam dua dimensi, kon Mach menjadi sepasang garisan, setiap satu dipanggil garis Mach atau gelombang Mach, yang saling memintas. Daripada persamaan(3.8), jelas bahawa nombor Mach, M = v a = 1 sin α 3.7 Persamaan-persamaan Menakluk Aliran Boleh Mampat (3.9) Dalam kajian aliran tak boleh mampat kita hanya perlu mencari halaju dan tekanan di setiap titik dalam ruang yang dikaji. Dalam aliran boleh mampat kita perlu menentukan halaju, tekanan, ketumpatan dan suhu bendalir (satu kuantiti vektor dan tiga kuantiti skalar). Untuk menentukan keempat-empat kuantiti ini kita memerlukan satu persamaan vektor dan tiga persamaan skalar. Kesemua persamaan yang diperlukan ini dibekalkan oleh 1. persamaan keadaan untuk gas sempurna,. persamaan keterusan,

11 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI persamaan momentum, dan 4. persamaan tenaga Persamaan keadaan Untuk gas sempurna, persamaan keadaan diberikan oleh persamaan (3.6) p = ρrt 3.7. Persamaan keterusan Persamaan keterusan umum di dalam koordinat kartesan bagi aliran bendalir boleh mampat boleh ditulis sebagai p t + (ρu) + (ρv) + (ρw) x y z = 0 (3.30) Kadar aliran jisim sepanjang satu tiub arus yang sempit boleh diungkapkan sebagai ρav = pemalar (3.31) Dengan membezakan persamaan (3.31) dan membahagikannya dengan ρav, kita mendapat dρ ρ + da A + dv v = 0 (3.3) Persamaan momentum(persamaan Euler) Persamaan Euler diperolehi menerusi hukum pengabadian momentum. Daya bersih ke atas isipadu kawalan dalam arah-x ialah F x = pa (p +dp)(a +da) + 1 [p + (p +dp)][(a +da) A] df µ (3.33) Sebutan 1 [p + (p +dp)][(a +da) A] mewakili komponen daya disebabkan tekanan yang bertindak ke atas permukaan luar yang melengkung dalam arah-x. Susun semula persamaan(3.33) sambil mengabaikan sebutan-sebutan order tinggi seperti (dp da) bagi mendapat F x = Adp df µ (3.34) Perbezaandiantarakadarmomentumyangmeninggalkanisipadukawalan,Ṁ keluar,dan kadar momentumyangmemasukiisipadukawalan, Ṁ masuk, diberikanoleh Ṁ keluar Ṁ masuk = Ṁ = ρva[(v +dv) v] = ρvadv (3.35)

12 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 61 Hukum pengabadian momentum memerlukan supaya daya bersih, F x, yang bertindak ke atas isipadu kawalan sama dengan kadar perubahan momentum Ṁ, jadi atau F x = Ṁ Adp df µ = ρvadv (3.36) Jika kesangeserandiabaikan, iaitu df µ = 0, persamaan (3.36) menjadi dp ρ +vdv = 0 (3.37) Persamaan tenaga Sungguh pun persamaan momentum bebas daripada kesan kebolehmampatan, persamaan tenaga amat bergantung kepada perubahan ketumpatan. Persamaan tenaga yang umum untuk aliran mantap sebarang bendalir diberikan sebagai ( ) ( ) p q = + v ρ +gz p1 + v 1 ρ 1 +gz 1 + (u u 1 ) +w (3.38) dengan q adalah haba yang dibekalkan kepada sistem bendalir per unit jisim, w ialah kerja terlaku oleh bendalir per unit jisim, q = w = Q ρ 1 A 1 v 1 W ρ 1 A 1 v 1 danqialahhabapersaatyangdibekalkankepadasistemdanw adalahkerjaterlakuper saat. Persamaan (3.38) boleh digunakan di sebarang dua titik sepanjang satu garisarus. Jika tiada haba ditambah ke dalam (atau disari keluar) bendalir di antara dua titik ini, dan tiadakerjamekanikaldilakukan,kitabolehmeletak q = 0dan w = 0kedalam persamaan (3.38) dan mendapat ( ) ( ) p 0 = + v ρ +gz p1 + v 1 ρ 1 +gz 1 + (u u 1 ) (3.39) Oleh kerana entalpi per unit jisim diberikan oleh persamaan (3.17) sebagai h = u + p ρ persamaan (3.39) boleh dipermudahkan kepada h + v +gz = pemalar (3.40)

13 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 6 Persamaan (3.40) mewakili bentuk am persamaan tenaga untuk sistem aliran adiabatik, mantap yang bendalirnya (cecair, gas atau wap) tidak melakukan kerja ke atas persekitaran atau sebaliknya. Jika bendalir adalah gas sempurna, h = c p T persamaan (3.40) menjadi c p T + v +gz = pemalar (3.41) Dari persamaan keadaan untuk gas sempurna, p = ρrt atau T = p ρr = Gantikan untuk T di dalam persamaan (3.41) p ρ(c p c v ) c p p c p c v ρ + v +gz = pemalar (3.4) Menerusic p /c v = γ,persamaan (3.4) menjadi γ p γ 1 ρ + v +gz = pemalar (3.43) Tenaga upaya wujud kerana ketinggian aras bendalir. Jika bendalir yang mengalir adalah sejenis gas, sebutan tenaga upaya biasanya terlalu kecil dibandingkan dengan sebutansebutan lain kerana berat tentu gas yang sangat kecil. Jadi sebutan tenaga upaya, gz, di dalam persamaan (3.43) selalunya diabaikan, menjadikan γ p γ 1 ρ + v dan persamaan (3.40) menjadi = pemalar (3.44) h + v = pemalar (3.45) Persamaan (3.44) lebih bermakna apabila diungkapkan dalam sebutan suhu, menerusi p = ρrt untuk menjadikannya γ v RT + γ 1 = pemalar (3.46)

14 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI Pembolehubah Aliran dalam Sebutan Nombor Mach Dari rumus halaju bunyi kita tahu a = dp dρ dan darinya dρ = 1 a dp (3.47) Jika kita hadkan analisis berikut kepada aliran isentropik gas sempurna dengan p = pemalar ρ γ dan p = ρrt kita mendapat T = pemalar p (γ 1)/γ Bezakan dan hapuskan pemalar, dt T = γ 1 γ dp p (3.48) Perubahan-perubahan dalam halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan boleh dirumus dalam sebutan nombor Mach. Untuk mendapatkan hubungan-hubungan ini persamaanpersamaan keterusan, keadaan untuk gas sempurna, aliran isentropik dan tenaga digunakan. Bagi perubahan tekanan, kita boleh menulis dp p = γm 1 + γ 1 dan perubahan suhu, dt T = M (γ 1)M 1 + γ 1 M dm M dm M Perubahan ketumpatan diberikan oleh dρ ρ = M 1 + γ 1 M dm M (3.49) (3.50) (3.51)

15 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 64 sementara perubahan luas pula oleh da A = (1 M ) 1 + γ 1 M dm M (3.5) Persamaan (3.5) boleh dikamil bagi mendapatkan satu hubungan di antara luas leher genting, A (iaitu titik nombor Mach bernilai satu) dan luas A di sebarang keratan di mana M <> 1. A A = 1 M ( + (γ 1)M γ +1 ) γ+1 (γ 1) (3.53) Persamaan (3.53) unik kerana nombor Mach ditentukan oleh nisbah luas dan γ sahaja. 3.9 Titik Genangan Titik genangan adalah titik halaju sifar. Oleh kerana tekanan, suhu dan ketumpatan saling berkait di dalam aliran boleh mampat, sebarang perubahan tekanan akan memberi kesan ke atas suhu. Tekanan di titik genangan dikenali sebagai tekanan genangan, p 0. Persamaan(3.44) dikenali sebagai persamaan tekanan untuk aliran nirputaran yang malar. Jika p 0 dan ρ 0 adalah tekanan dan ketumpatan di titik yang bendalirnya pegun, persamaan (3.44) boleh diungkapkan sebagai γ p γ 1 ρ + v = γ p 0 (3.54) γ 1 ρ 0 Persamaan(3.54) selalunya dirujuk sebagai persamaan tekanan atau persamaan Bernoulli bagi aliran adiabatik boleh mampat. Sementara itu persamaan(3.45) menghubungkan entalpi dan halaju. Jika digantikan sebutan entalpi di dalam persamaan ini dengan sebutan suhu(h = c p T), persamaan (3.45) menjadi c p T + v = pemalar (3.55) Jikatekanan,suhudanketumpatandititikgenanganinimasing-masingialah p 0, T 0,dan ρ 0, persamaan (3.55) boleh ditulissebagai c p T + v = c pt 0 (3.56) Bahagikan persamaan (3.56) denganc p T, kitamemperolehi 1 + v c p T = T 0 T (3.57)

16 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI Aliran isentropik gas sempurna Terdahulu, kita telah pun menerbitkan untuk aliran isentropik gas sempurna, p = ρrt (3.6) p = pemalar (3.8) ργ dan dengan menghilangkan ρ dari persamaan (3.6) dan(3.8), kita boleh menulis T T 1 = ( p p 1 ) γ 1 γ (3.58) Juga c p = γ γ 1 R (3.4) a = γrt (3.6) dan dengan itu, persamaan (3.57) kini mengambil bentuk 1 + γ 1 v a = T 0 T (3.59) dan seterusnya, dari takrif nombor Mach, kita boleh menulis T 0 T = 1 + γ 1 M (3.60) Menerusipersamaan (3.58),nisbah tekanan genangan p 0 ketekanan arusyang tidakterganggu p (disebut juga tekanan statik boleh dikaitkan dengan nisbah suhu, T 0 /T dalam persamaan (3.60): p 0 p = ( ) γ T0 T γ 1 = (1 + γ 1 ) γ M γ 1 (3.61) Akhirsekali,nisbahketumpatangenangan ρ 0 keketumpatanstatik ρ bagialiran isentropik ialah ρ 0 ρ = ( )1 p0 p γ = (1 + γ 1 ) 1 M γ 1 (3.6)

17 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI Keadaan-keadaan genting Sungguhpun keadaan genangan amat berguna sebagai keadaan rujukan bagi ciri-ciri termodinamik, ia tidak begitu sesuai untuk situasi v = 0. Satu nilai rujukan yang sesuai untuk halaju ialah laju genting laju pada nombor Mach sama dengan satu. Walaupun tidak ada sebarang titik di dalam aliran itu yang mengalami keadaan M = 1, keadaan hipotesis ini amat baik dijadikan sebagai keadaan rujukan. Jika kita gunakan bintang(*) sebagai mewakili keadaan-keadaan pada M = 1, kita boleh mentakrif v = a (3.63) Bagi gas sempurna dengan γ = 1.4, persamaan-persamaan (3.60), (3.61) dan (3.6) masing-masing menjadi ( T 0 T = 1 + γ 1 ) = 1. (3.64) ( p 0 p = 1 + γ 1 ) γ/(γ 1) = (3.65) dan ( ρ 0 ρ = 1 + γ 1 ) 1/(γ 1) = (3.66) 3.10 Aliran Menerusi Salur yang Berubah Luas Dalam konsep aliran satu dimensi semua kuantiti aliran seperti halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan dianggap malar di sesuatu keratan rentas pembuluh aliran. Oleh yang demikian aliran boleh dihurai dalam sebutan satu koordinat, iaitu jarak di sepanjang paksi pembuluh, katalah x, dan masa t. Tanpa geseran (iaitu aliran isentropik) halaju aliran tidak berubah. Kehadiran lapisan sempadan membuatkan aliran bendalir yang sebenar bukan satu dimensi. Sungguh pun demikian, bagi aliran yang tidak membentuk lapisan sempadan yang tebal, anggapan aliran satu dimensi masih dapat memberikan penyelesaian yang baik. Oleh kerana halaju dan tekanan malar di sesuatu keratan rentas, suhu dan ketumpatan turut malar menerusi persamaaan (3.58) (3.6). Bagi keratan rentas yang luasnya A dan halaju v serta ketumpatan ρ malar, persamaan keterusan aliran mantap ρav = pemalar boleh dibezakan dan kemudiannya dibahagikannya dengan ρav, untuk mendapat dρ ρ + da A + dv v = 0

18 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 67 Jika perubahan luas keratan rentas yang ketara berlaku lalu mempengaruhi perubahan dalam v dan ρ sepanjang jarak pembuluh yang pendek (seperti nozel), kesan geseran boleh diabaikan. Persamaan gerakan Euler untuk aliran mantap tanpa geseran yang mengabaikan graviti dan daya jasad, boleh ditulis sebagai vdv + dp ρ = 0 (3.67) Darabkan persamaan (3.67) dengan dρ/dp, dan ambil halaju bunyi sebagai a = dp/dρ, persamaan (3.67) menjadi dρ ρ + vdv a = 0 Gantikan untuk dρ/ρ, dari persamaan (3.3), da A + dv v = vdv a atau yang boleh diungkap dalam sebutan nombor Mach da A = dv ( ) v v a 1 da A = dv v (M 1) (3.68) Satu persamaan yang serupa dengan persamaan (3.68) untuk perubahan tekanan dp boleh ditentukan menerusi persamaan (3.3) dan (3.67). Dari persamaan (3.67) dv v = dp ρv Gantikan nilai dv/v ini ke dalam persamaan (3.3) dρ ρ dp ρv + da A = 0 yang menghasilkan Oleh kerana da A = dp ρv dρ ρ = dp ρv dp dρ = a kita mendapat da A = dp ρv ( 1 M ) Selesaikan untuk dp ( ) 1 v dρ dp dp = 1 ρv 1 M da (3.69) A

19 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 68 Dari analisis yang dibuat setakat ini kita dapat melihat perubahan halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan dengan perubahan luas aliran untuk keadaan-keadaan aliran subsonik dan supersonik. Rajah 3. menunjukkan perubahan pembolehubah aliran dengan luas bagi aliran isentropik gas sempurna. Rajah 3.: Perubahan halaju dan tekanan dengan luas bagi aliran subsonik dan supersonik, John (1969). Dalam aliran subsonik, pembaur atau peresap adalah salur mencapah sedangkan untuk aliran supersonik pula pembaur mempunyai laluan menumpu Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu Pertimbangkan gas yang mengalir menerusi satu nozel, Rajah 3.3. Jet bendalir bergerak kerana wujud perbezaan tekanan yang bertindak ke atas bendalir. Apabila nilai p hampir dengan nilai p 1, aliran adalah subsonik keseluruhannya. Sekiranya nilai p dikurangkan, halaju jet bertambah. Selagi aliran kekal subsonik, halaju jet akan bertambah disebabkan oleh kesusutan tekanan p. Apabila jet mencapai halaju bunyi di leher (M = 1), sebarang kesusutan tekanan hilir p tidak boleh diperambatkan ke hulu; aliran menerusi nozel ketika ini menjadi bebas dari dipengaruhi oleh tekanan p dan keadaanini dinamai aliran tercekik. Bagi aliran adiabatik bolehbalik yang mengalir dari keadaan-keadaan takungan p 1, ρ 1 dan v 1 = 0, persamaan (3.44) membawa kesatu ungkapanbagi halaju v dikeratan yang nilai tekanannya p sebagai [ ( ( ) )] v = γ p 1 p (γ 1)/γ 1 (3.70) γ 1 ρ 1 p 1 Persamaan (3.70) boleh diguna untuk menentukan halaju leher bagi keadaan-keadaan

20 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 69 subsonik. Kadar aliran jisim yang sepadan m = ρav Rajah 3.3: Aliran gas menerusi nozel menumpu, John(1969). Bagi aliran adiabatik bolehbalik ρ = ρ 1 ( p p 1 ) 1/γ dan dengan itu ( ) p 1/γ m = ρ 1 Av p 1 [ ( ) ( = A γ p /γ ( ) )] p (γ 1)/γ γ 1 p 1ρ 1 1 p 1 p 1 (3.71) Dalam persamaan (3.71), tekanan di leher ialah p = p selama keadaan belum mencapai tahap genting. Apabila nombor Mach di leher mencapai nilai satu, halaju, tekanan dan ketumpatan di leher masing-masing menjadi nilai genting v c, p c dan ρ c bagi aliran tercekik. Oleh itu [ ( ( ) )] v c = γ p (γ 1)/γ c pc 1 (3.7) γ 1 ρ 1 p 1

21 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 70 dan [ m c = A γ γ 1 p 1ρ 1 ( pc p 1 ) /γ ( 1 ( pc p 1 ) (γ 1)/γ )] (3.73) Rajah 3.4: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu, John(1969). Oleh kerana bagi aliran tercekik, nombor Mach tempatan mencapai nilai satu, dan p = p c,persamaan (3.61) apabila digunakanuntukkeadaan-keadaan ini menghasilkan ( ) p c γ/(γ 1) = (3.74) p 1 γ +1 Bagiudaradengan γ = 1.4, nisbah genting ( ) p c 3.5 = = 0.58 p Dengan itu kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu diberikan oleh persamaan(3.71) selama (p > 0.58p 1 ), dan olehpersamaan (3.73) apabila (p < 0.58p 1 ),Rajah Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu-Mencapah Di dalam kebanyakan bahan rujukan aliran boleh mampat, nozel menumpu-mencapah dinamai juga nozel de Laval sebagai mengambil sempena nama jurutera bangsa Sweden, Carl de Laval, yang banyak membuat kajian ke atasnya. Pertimbangkan satu nozel menumpu-mencapah, Rajah 3.5. Bendalir disimpan di dalam takungan besar dan diluah keluar menerusi satu nozel menumpu-mencapah. Tekanan p 1 di dalam takungan adalah malar. Aliran di dalam nozel dianggap aliran isentropik satu dimensi.

22 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 71 Rajah 3.5: Aliran gas menerusi nozel menumpu-mencapah, John(1969). Untuk p = p 1,rujuklengkung1Rajah3.5,tiadaalirandidalamnozeldantekanantidak berubah dengan jarak x. Untuk p < p 1, rujuklengkungrajah 3.5, aliran teraruh menerusinozeldenganhalaju subsonik di dalam kedua-dua bahagian, menumpu dan mencapah, nozel. Rajah 3.5 menerangkan kepada kita bahawa untuk aliran subsonik, tekanan susut di dalam bahagian menumpu dan bertambah di dalam bahagian mencapah. Rajah 3.6: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu-mencapah, John(1969).

23 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 7 Apabila tekanan p terus dikurangkan lagi, lengkung3rajah 3.5, kadar aliran jisim menerusi nozel bertambah sehingga aliran sonik berlaku di kerongkongan, lengkung 4 Rajah 3.5. Selepas ini, sebarang pengurangan tekanan p tidak boleh dikesan di hulu daripada kerongkongan; jadi bagi semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung 4, takungan akan terus menghantar bendalir pada kadar aliran jisim yang sama dengan kadar aliran jisim lengkung 4, rujuk Rajah 3.6, dan taburan tekanan di dalam bahagian menumpu tidak berubah. Untuk semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung 4, aliran di dalam nozel menumpu-mencapah menjadi tercekik. Bagi tekanan di dalam takungan yang sama nilainya, nozel menumpu-mencapah tercekik pada tekanan belakang, p, yang lebih tinggi dibandingkan dengan nozel menumpu. Jelas kepada kita setakat ini bahawa aliran supersonik boleh dicapai dengan menyambung satu nozel menumpu-mencapah ke takungan bendalir yang besar (agar keadaan genangan terhasil di dalamnya). Bendalir dalam keadaan genangan ini memasuki bahagian menumpu nozel secara subsonik lalu dipecut di dalam bahagian ini. Titik sonik mestilah berada di titik luas minimum, iaitu di kerongkongan. Aliran seterusnya memasuki bahagian mencapah nozel pada M = 1 dan dipecut secara supersonik di dalam bahagian mencapah. Hanya nozel menumpu-mencapah yang berkeupayaan memecut aliran dari keadaan pegun kepada keadaan supersonik. Terdapatduapenyelesaianuntuksesuatunisbah luas A/A c ;satusubsonikdansatulagi supersonik. Bagi nombor Mach kerongkongan sama dengan 1, aliran isentropik boleh direncatkan ke halaju keluaran subsonik atau terus dipecut ke halaju supersonik di keluaran nozel. Lengkung 4 adalah bersepadan dengan aliran subsonik di satah keluaran nozel. Lengkung 5 pula bersepadanan dengan aliran supersonik di satah keluaran, iaitujikatekananbelakang, p,direndahkankenilaitekanankeluaranlengkung5,tekanan menyusut di dalam kedua-dua bahagian, menumpu dan mencapah, nozel dengan halaju supersonik dikeluaran nozel. Bagitekananbelakang, p,yangbernilaidiantaratekanankeluaranlengkung4danlengkung 5, penyelesaian isentropik satu dimensi kepada persamaan gerakan tidak mungkin diperolehi kerana aliran dalam julat ini melibatkan gelombang kejutan yang merupakan suatu proses tak boleh balik Kejutan Normal Perubahan mendadak dari keadaan-keadaan supersonik ke keadaan-keadaan subsonik berlaku menerusi suatu gelombang. Nombor Mach dan halaju susut merentasi sesuatu kejutan, tetapi tekanan, ketumpatan, suhu dan entropi mengalami pertambahan mendadak. Dua jenis kejutan: 1. kejutan normal yang serenjang ke arah aliran, dan

24 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 73. kejutanserong 3 yang menyendengkearah aliran. Kejutan-kejutan normal dan serong boleh berinteraksi bagi membentuk pola kejutan. Gelombang yang terjadi juga mungkin melekat atau terpisah dari jasad. Kejutan normal mungkin berlaku di dalam paip, nozel mencapah, pembaur terowong angin supersonik atau di hadapan jasad yang berhidung tumpul seperti space shuttle. Aliran di hulu adalah supersonik (M 1 > 1) dengan halaju v 1, tekanan p 1, ketumpatan ρ 1 dan suhu T 1. Setelah melepasi gelombang kejutan, aliran menjadi subsonik (M < 1) denganhalaju v, tekanan p,ketumpatan ρ dansuhu T. Berikut diperkenalkan analisis kejutan normal menggunakan persamaan- persamaan keterusan, momentum, tenaga serta persamaan keadaan gas sempurna. Gelombang kejutan melibatkan lesapan tenaga; oleh itu ia bukan proses isentropik. Untuk analisis kejutan normal berikut, kita menganggap bendalir adalah gas sempurna yang mengalami aliran adiabatik didalam salur yangluasnyamalar (iaitu A 1 = A = A) Persamaan keterusan Bagi aliran mantap, persamaan keterusan memberikan ρ 1 A 1 v 1 = ρ A v Oleh kerana A 1 = A,kitamemperolehi ρ 1 v 1 = ρ v (3.75) Dengan menggunakan persamaan keadaan untuk gas sempurna dan menggantikan halaju dengan nombor Mach v = am = M γrt persamaan (3.75) boleh ditulis semula sebagai atau p 1 M 1 γrt1 = p M γrt RT 1 RT p 1 M 1 T1 = p M T (3.76) Persamaan momentum Dengan mengabaikan kesan geseran sempadan, persamaan momentum memberikan daya tekanan = kadar aliran jisim perubahan halaju (p 1 p )A = ρ 1 Av 1 (v v 1 ) (p 1 p ) = ρ v ρ 1 v 1 3 obliqueshock

25 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 74 atau p 1 + ρ 1 v 1 = p + ρ v p 1 + p 1v 1 RT 1 = p + p v RT Gantikan v = am, dengan a = γrt, kitamendapat atau p 1 + γm 1 p 1 = p + γm p p p 1 = 1 + γm γm (3.77) Persamaan (3.77) mewakili nisbah tekanan statik menerusi kejutan normal. Oleh kerana M 1 > 1 dan M < 1, jelas dari persamaan (3.77) bahawa p > p 1, iaitu tekanan statik aliran yang merentas kejutan normal bertambah Persamaan tenaga Bagi keadaan adiabatik kita boleh menulis c p T 1 + v 1 = c pt + v dan T 01 = T 0 yang menunjukkan bahawa suhu genangan kekal malar menerusi kejutan normal. Dari persamaan (3.60) T 0 T = 1 + γ 1 M Samakan suhu genangan di hulu dan hilir kejutan ( T γ 1 ) ( M1 = T 1 + γ 1 ) M atau T T 1 = 1 + γ 1 M1 1 + γ 1 M (3.78) Oleh kerana M 1 > 1 dan M < 1, persamaan (3.78) menunjukkanbahawa T > T 1, iaitu suhu statik aliran yang merentas kejutan normal bertambah. Dari persamaan (3.76) p = M 1 T p 1 M = M 1 M T γ γ 1 M 1 M 1/ (3.79)

26 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 75 Jika disamakan persamaan(3.77) dan persamaan(3.79), kita memperolehi satu hubungan kuadratik di antara M 1 dan M. Dengan mengabaikan penyelesaian mudah yang jelas, iaitu M 1 = M bagi keadaanbebas kejutan,kitabolehmenulis M = + (γ 1)M 1 γm 1 (γ 1) (3.80) iaitu apabila M 1 bertambah, penyebut 4 persamaan (3.80) membesar lalu menyebabkan nilai M susut. Denganmenggantikannilai M,persamaan-persamaanberikutdiperolehi p = γm 1 (γ 1) p 1 γ +1 (3.81) T = [(γ 1)M 1 +][γm 1 (γ 1)] T 1 (γ +1) M1 (3.8) ρ ρ 1 = p /p 1 T /T 1 = (γ +1)M 1 (γ 1)M 1 + (3.83) Kekuatan kejutan Kekuatan kejutan ditakrif sebagai nisbah iaitu pertambahan tekanan merentasi kejutan tekanan hulu kekuatankejutan = p p 1 p 1 = p p 1 1 = γ γ +1 (M 1 1) (3.84) 4 denominator