CAPITULO 5 ELASTICIDAD PLANA

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1 CAPITULO 5 ELASTICIDAD PLANA

2 Supongamos el sólido de la figua, que posee foma cilíndica con sus geneatices paalelas al eje z, que se encuenta sometido a la acción de las cagas indicadas. El valo de dichas cagas es independiente de la coodenada z, así como sus componentes en dicha diección (fuezas distibuidas de supeficie paalelas al plano -). z Las ecuaciones de la Elasticidad, la coespondiente solución del poblema, se pueden plantea utilizando, solamente, las coodenadas (,).

3 d d Tensiones en el plano -

4 ε ε γ u v u v Defomaciones en el plano -

5 Y qué tensiones defomaciones apaecen en un plano pependicula al eje z? Muchos poblemas de elasticidad bidimensional se esuelven haciendo una de estas dos hipótesis: z 0 γ z 0 z 0 γ z 0 z 0 ε z 0 TENSIÓN PLANA DEFORMACIÓN PLANA

6 TENSIÓN PLANA: Sólo son distintas de ceo las componentes, en el Plano, del tenso de tensiones. da h Componentes tensionales no nulas:,, L da z Hipótesis: -h<<l - Las dos caas del sólido se encuentan libes de fuezas - Las fuezas inteioes po unidad de volumen las aplicadas en el contono peimetal del sólido no dependen de la coodenada z

7 DEFORMACIÓN PLANA: Sólo son distintas de ceos las componentes en el plano, del tenso de defomaciones. Componentes defomacionales no nulas: ε, ε, γ z da da z z Hipótesis: - w0 -Las dos caas del sólido no sufen desplazamientos según z - Las fuezas inteioes po unidad de volumen las aplicadas en el contono peimetal del sólido no dependen de la coodenada z - u,v son funciones de sólo e

8 TENSIÓN PLANA ) Un estado tensional en el que la tensión nomal las tensiones tangenciales actuantes sobe las caas de la pieza son nulas. ) Si - es el plano del sólido bidimensional, las únicas componentes del tenso de tensiones no nulas son:,, 3)Las componentes: z, z, z seían nulas Desplazamientos Tenso de defomaciones Tenso de tensiones u u(,) v v(,) w 0 [ D] γ ε 0 γ ε ε z [ T]

9 DEFORMACIÓN PLANA ) Un estado defomacional en el que la defomación longitudinal las defomaciones angulaes coespondientes a un plano paalelo a la sección tansvesal de la pieza son nulas. ) Si - es el plano de la sección tansvesal de la pieza las únicas componentes del tenso de defomaciones no nulas son: ε, ε, γ 3) Las componentes : ε z, γ z, γ z seían nulas. Desplazamientos Tenso de defomaciones Tenso de tensiones u u (,) v v (,) w0 γ ε 0 γ [ D] ε [ T] z

10 ε ε ε DEFORMACIÓN PLANA: Ecuaciones de equilibio inteno: X 0 Y 0 Ecuaciones de equilibio en el contono: X l m Y l m Ecuaciones de compatibilidad: Ecuaciones constitutivas: z ν E E ν E E ν 0 z E E z ( ) ( ) ( ) z z ( ) ν ε ε γ [ ] ε ( E ν ) ν ( ν) [ ] ε ( E ν ) ν ( ν) γ G ( ) X ν Y

11 TENSIÓN PLANA: Las Ecuaciones de equilibio inteno de equilibio en el contono son las mismas que en el caso de defomación plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son: Estas tes ecuaciones no se han utilizado. La ecuación deducida es sólo apoimada. Ecuaciones constitutivas: ε ε ε z 0 ε z 0 ε z 0 ε ν E ε ν E γ G γ ( ) ( ν) X Y

12 DEFORMACIÓN PLANA: ( ) ν X Y TENSIÓN PLANA: ( ) ( ν) X Y Aspectos de inteés: - Sólo una popiedad del mateial inteviene en estas ecuaciones (el coeficiente de Poisson, ν) - Si la fueza po unidad de volumen que actúa sobe el sólido fuese constante (po ejemplo, la de la gavedad), las dos ecuaciones anteioes se convetiían en la siguiente: ( ) 0

13 FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY Si Geoge Biddell Ai (80-89) La función de tensión de Ai pemite una fácil esolución de los poblemas elásticos bidimensionales. Una vez conocida esta función, que la epesentaemos po φ(,) po se función de estas dos coodenadas, pueden obtenese las tensiones mediante un poceso de deivación de la misma.

14 FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY Ecuaciones de equilibio inteno (X e Y son valoes constantes): X 0 Y 0 Deivando especto de Deivando especto de φ Si definimos una función φ (función de tensión o de Ai) de la que se pudiese obtene las tensiones actuantes en el sólido, de tal manea que: φ φ - φ ( ) 0 - X - Y paa que estas tensiones fuesen la solución de un poblema plano, se tendía que cumpli: φ φ φ 0 φ φ 0 ó φ0 La función φ debe se biamónica!

15 FORMAS POLINÓMICAS DE LA FUNCIÓN DE AIRY Baise Pascal (63-66) No inteesan : no dan luga a tensiones Funciones 3 3 biamónicas 3 3 Funciones biamónicas con condiciones soluciones

16 POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO φ a b c a 0 bc0 b 0 ac0 c a b a b c a b c 0 ab0 c c

17 POLINOMIO DE TERCER GRADO φ a 3 b c d 3 6d c 6a b b c d 0 a b c 0 a 0 b c d 0 b 0 a c d 0

18 POLINOMIO DE CUARTO GRADO φa b 3 c d 3 e φ φ φ φ a 8c e 0 3a c 3e 0 c -3(a e) POLINOMIO DE QUINTO GRADO φ a 5 b c 3 d 3 e f 5 φ ( 0a e c) ( 0f b d) 0 5a e c 0 5f b d 0

19 CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA ISOSTÁTICAS Cuvas envolventes de las tensiones pincipales Ι (, ) Ι (, ) El ángulo que foma la diección pincipal mao con el eje seá: tg tg -tg tg 0 ± Las dos familias de isostáticas

20 Puntos singulaes: -Punto singula, cicula o isotópo 0 - Punto neuto 0 En las poimidades de estos punto singulaes, las isostáticas pueden toma estas fomas: TIPO INTERSECTIVO TIPO ASINTOTICO

21 EJEMPLO: 0 MPa C B 50 cm 60 MPa A 60º D 50 cm B C Isostáticas tipo I Isostáticas tipo II A D 9,5º

22 ISOCLINAS: Luga geomético de los puntos en los que las tensiones pincipales son paalelas a una diección pefijada, que se denomina paámeto de la isoclina. tg cte ISOCLINA DE PARAMETRO ISOSTATICA Las popiedades de las isoclinas son las siguientes: - Todas las isoclinas pasan po un punto isotópo. - Sólo puede pasa una isoclina po un punto que no sea isotópo. - Una isoclina de paámeto es idéntica a ota de paámeto ± π - Si un sólido tiene un eje de simetía, está siméticamente cagado especto a dicho eje, el eje de simetía es una isoclina. - En un bode sobe el que no actúan tensiones tangenciales, el paámeto de una isoclina que lo cota, coincide con el del ángulo de inclinación de la tangente al bode en el punto de cote.

23 CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de las diecciones en las que la tensión tangencial es máima en cada uno de sus puntos. (, ) (, ) tg tg - tg 0,, tg ± dos familias

24 ISOCROMÁTICAS: aquellas cuvas en las que la difeencia ente los valoes de las tensiones pincipales toma un deteminado valo: - cte ma - ISOBARAS: luga geomético de los puntos en los que: cte ó cte ± cte

25 PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES El punto elástico en coodenadas polaes: Coodenadas catesianas Coodenadas polaes : tensión adial : tensión cicunfeencial : tensión tangencial o cotante

26 DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS POR UNIDAD DE VOLUMEN: v, f u, f Campo de desplazamientos: u u (,) v v (,) Fuezas intenas po unidad de volumen: f f (,) f q f q (,) o TENSIONES EN UN PUNTO ELASTICO Se sigue veificando el teoema de ecipocidad de las tensiones tangenciales: TENSOR DE TENSIONES z Tensión plana: z 0 Defomación plana z 0

27 ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO: ( ) 0 d d f d d d d d d d d d ( ) 0 d d f d d d d d d d d d Según : Según : d d

28 ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO (Cont.): f 0 f 0

29 DEFORMACIONES: ε P A PA PA ε P B PB PB γ Φ Φ d u u d u d d u v v ddv d u d v d v d u d d d v u ε u ε v u γ v u v

30 ECUACIONES CONSTITUTIVAS: ( ) ( ) G E E z z γ ν ε ν ε E - E - ( ) 0 z z ε ν ( ) ν ε z z E 0 Tensión plana: Defomación plana: z z 0 γ z γ z 0

31 PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA ELÁSTICO: I z cte ( ) D.P. Z ν T.P. Z 0 cte ( ) ( ) DEFORMACIÓN PLANA: ( ) div f v div f ν f f f ( ) 0 v f 0 f cte. TENSIÓN PLANA: ( ) ( ν) div fv ( ) 0

32 FUNCIÓN DE TENSIÓN O DE AIRY φ φ(,) φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ 0

33 sen cos sen ln cos cos ln sen ln ln n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h g f e n d c b a g f e c d c b a e d c b a φ EXPRESIÓN GENERAL DE LA FUNCIÓN DE TENSIÓN O DE AIRY:

34 DISCO GIRATORIO f ρω Ecuación de equilibio inteno: ω d f 0 d ( ) ρ ω 0 F df d ρω C C 3 ν 8 C C 3ν 8 ρω ρω

35 DISCO MACIZO SIN TENSIONES SOBRE SU CONTORNO 3 ν 8 3 ν 8 ρω (R ) ρω R 3ν 8 ρω 0, ( ) ma ( ) ma DISCO CON UN AGUJERO DE RADIO a 3 ν 8 ρω R a ω ( ) a 0 ( ) R 0 3 ν 8 3 ν 8 ρω R a a R ρω R a a R 3ν 3 ν ( ) ma ar ( ) ma 3 ν 8 ( ) ma a ( ) ma 3 ν ρω ( R a) ρω b ν 3 ν a ( ) ma >( ) ma disco macizo Si a 0 ( ) ma ( ) ma

36 TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION p φ φ( ) A ln B ln C D p p p p p ( ) p p p p ( ) 0

37 p 0 p 0 p 0 p (estado equitensional) ( ) ( ) ( ) 0 e p p e AGUJERO EN MACIZO INDEFINIDO RODILLO TUDO DE PARED DELGADA

38 CUÑA CON CARGA EN LA PUNTA FUNCIÓN DE AIRY: φ φ N φ P φ M φ N A sen φ P B cos φ M C sen cosα φ φ 0 CAMPO TENSIONAL: φ Acos B sen C sen N P M α α α α α α CONDICIONES DE CONTORNO: ±α 0 0 ( cos sen) d ( sen cos) d d N A αsenα -P B α senα M C senα -α cosα φ c ( cos cosα)

39 CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGAS A LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS (PROBLEMA DE HERTZ) Heinich Rudolf HERTZ (857-89) P π P π P π cos sen cos sen cos 3 cos3 D cos sen cos sen D

40 PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR En puntos mu alejados del agujeo (Pincipio de Saint-Venant): t 0 0 t t t cos t t cos t sen

41 t t cos t t cos t sen Del Estado I (tubo sometido a pesiones) conocemos su solución: I t I I t 0 R R

42 La solución Estado II es algo más complicada. La función de Ai de este poblema se conoce de ella pueden obtenese las tensiones: φ A B C D cos II φ φ 6C A D cos II φ A B 6C cos II φ A 6B 6C D sen ρ

43 φ A B C D cos I II I II I II I t I I t 0 R R II φ φ 6C A D cos II φ A B 6C cos II φ A 6B 6C D sen ρ Las constantes A, B, C D se deteminan imponiendo las siguientes condiciones de contono: R 0 0 t 0

44 ( ) ( ) ( ) sen R R 3 cos R 3 R cos R R 3 R t t t t t 0 t t cos 0 Paa R: ( ) ma 3 t cuando π Paa : π 3 t R R t R 3 R 0

45 sen 3 cos 3 cos 3 R R R R R R R t t t t t ( ) ( ) ( ) sen R R 3 cos R 3 R cos R R 3 R t t t t t t 3 R R cos - t 3 R cos t -3 R R sen

46 PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO SOMETIDA A TENSIONES CORTANTE EN SU CONTORNO: c c

47 PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO ELÍPTICO t B A b ( ) A ( ) t B t a b a t Si b 0 (el talado elíptico se conviete en una fisua): t A ( ) A t a