13. AEROTRIANGULÁCIA Prístrojová aerotriangulácia
|
|
- Εἰρήνη Αλεξανδρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 13. AEROTRIANGULÁCIA Pod pojmom aerotriangulácia rozumieme zhusťovanie bodového poľa s využitím leteckých fotogrametrických snímok. K prvému už absolútne orientovanému optickému modelu priradíme orientáciou ďalšiu snímku, a tak postupne zostavíme rad optických modelov celého snímkového pásu (obr. 13.1). Obr Princíp aerotriangulácie V takomto celkovom modeli môžeme na vhodných miestach určiť potrebný počet nových vlícovacích bodov. Pri priestorovej aerotriangulácii súčasne určujeme všetky tri priestorové súradnice nových bodov. Aerotrianguláciu aplikujeme: na priestorových vyhodnocovacích prístrojoch univerzálneho typu; vtedy je to tzv. prístrojová (analógová) aerotriangulácia, na podklade analytického vyjadrenia vzťahov medzi snímkovými a modelovými súradnicami; vtedy je to tzv. analytická aerotriangulácia, pri použití digitálnych snímok aplikujeme digitálnu aerotrianguláciu. Pre zostavenie celkového modelu snímkového pása z čiastkových modelov môžeme použiť buď metódu nezávislých snímkových dvojíc, alebo metódu priraďovania snímok. Pri metóde nezávislých snímkových dvojíc (obr. 13.1a) zostavujeme celkový model z jednotlivých nezávislých modelov vzniknutých z dvojíc snímok 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4 atď. Spojenie medzi modelmi zaisťujú spoločné body v pásme spoločného prekrytu modelov. Aby sa modely prekrývali asi o 60 % musia mať snímky prekryt asi 80 %. Všeobecne sa dáva prednosť postupnému priraďovaniu snímok (obr. 13.1b), keď pri 60 %nom prekryte snímok každý čiastkový model vznikne bezprostredným priradením snímky na predchádzajúci model Prístrojová aerotriangulácia Pre prístrojovú aerotrianguláciu sú potrebné projekčné analógové priestorové vyhodnocovacie prístroje. Celkový model je zostavený z čiastkových modelov. Vytvára sa postupným priraďovaním snímok k predchádzajúcej snímke poslednej dvojice snímok. Základnice nastavujeme v príslušnom zmenšení. Základnice majú potom takú polohu v priestore, akú mali spojnice expozičných miest 159
2 (vzdušné základnice) pri vyhotovení snímky. Prístrojovú aerotrianguláciu aplikujeme na univerzálnych priestorových vyhodnocovacích prístrojoch, akými sú napr. stereometrograf alebo Wildov autograf A7. Nakoľko ide o dvojprojektorové prístroje, musia byť upravené na tzv. zmenu pozície snímky. Po orientácii prvého modelu (obr. 13.2a) je potrebné snímku 1, ktorá sa nachádza napr. v ľavom projektore, nahradiť snímkou 3. Aby nevznikol pseudoskopický efekt, je potrebné navzájom vymeniť chod svetelných lúčov prichádzajúcich do ľavého a pravého oka pozorovateľa. Pre zachovanie geometrických pomerov je potrebné okrem toho základnicovú zložku bx nastaviť nie smerom "dnu", ale smerom "von", t.j. v opačnom smere od nulového bodu. Pri obidvoch týchto opatreniach získame zo snímok 2 a 3 stranovo a hĺbkovo správny čiastkový model. Obr Aerotriangulácia na dvojprojektorovom vyhodnocovacom prístroji Prístrojovú aerotrianguláciu môžeme vyhodnotiť polografickým alebo numerickýcm spôsobom. Pri polografickom spôsobe aerotriangulácie, polohu nových bodov priamo kartírujeme a ich výšky čítame na výškovej stupnici. Pri numerickom spôsobe aerotriangulácie priestorovú polohu triangulovaných bodov vyjadríme čítaním (registrovaním) prístrojových súradníc. V rámci prípravných prác sa prehliadnu a zhodnotia jednotlivé stereogramy a zvolia sa spojovacie vlícovacie body. Spojovacie body sú body v spoločnom prekryte susedných optických modelov. Ďalej sa vykoná montáž snímkového pásu z kontaktných kópií, pomocou ktorého získame obraz o priebehu prípadného vybočenia snímkového pásu. Na podklade montáže, môžeme dostatočne presne nastaviť pootočenie prvej snímky tak, aby sa neprekročil existujúci rozsah základnicovej zložky by vo vyhodnocovacom prístroji. Obr Rozloženie vlícovacích bodov pri prístrorovej aerotriangulácii 160
3 Sled prác pri projektorovej aerotriangulácii: 1. Vzájomná orientácia prvého modelu (snímky 1 a 2). 2. Absolútna orientácia prvého bodu podľa daných vlícovacích bodov. 3. Priradenie 3. snímky k 2. snímke zmenou pozície snímky (zmenou chodu svetelných lúčov). 4. Prispôsobenie mierky druhého čiastkového modelu opravou bx na podklade porovnania modelových výšok terénnych bodov ležiacich v pásme prekrytu modelov. 5. Pokračovanie v úkonoch uvedených v bodoch 3. a 4. pri všetkých ostatných snímkach. 6. Úprava mierky celkového modelu na podklade kontroly pri daných vlícovacích bodoch v poslednom modeli (obr. 13.3). Mierka sa upraví počtársky. Mierka sa účelne prenesie pomocou troch prenášacích bodov S1, S2, S3, ležiacich na okraji optického modelu. Pri optimálnom nastavení základnice suma štvorcov odchýlok S1, S2, a S3 je minimálna. Súradnice totožných bodov v prvom a druhom modeli (aj v ďalších modeloch) zapíšeme a napokon jednotlivé modely spojíme v súvislý celok. Zistené odchýlky v polohe a výškach na vlícovacích bodoch na poslednom optickom modeli vyrovnáme počtársky. Pri voľbe metódy vyrovnania zohľadníme odchýlky na kontrolných vlícovacích bodoch v strede snímkového pásu. Výsledkom aerotriangulácie je zoznam prístrojových súradníc nových bodov doplnený prípadne polohopisným plánom bodového poľa so zoznamom výšok Analytická aerotriangulácia Výpočtová technika podnietila rozvoj metód analytickej aerotriangulácie. Vstupné hodnoty analytickej aerotriangulácie sú snímkové súradnice. Merajú sa na precíznych monokomparátoroch alebo stereokomparátoroch s presnosťou ±1 až 2 µm. Po oprave systematických snímkových chýb prichádzajú do úvahy v analytickej aerotriangulácii len nepravidelné zvyškové chyby snímkového materiálu a chyby v meraní snímkových súradníc. Skúsenosti z využitia analytickej aerotriangulácie potvrdzujú jej vysokú efektívnosť pri zhusťovaní v jednotlivých pásoch, ale najmä v blokoch zložených z viacerých pásov, pričom stačí menší počet a všeobecnejšie rozloženie daných bodov ako pri prístrojovej aerotriangulácii. Metódy analytickej aerotriangulácie sa využívajú v prevádzkových podmienkach pre účely zhusťovania bodového poľa pre mapovanie vo veľkých mierkach. Metódy analytickej aerotriangulácie delíme na: 1. Etapové riešenie. 2. Komplexné riešenie. 1. Etapové riešenie je z hľadiska pracovného postupu podobné prístrojovej aerotriangulácii. Jednotlivé etapy riešenia sú: a) vzájomná orientácia snímok a výpočet základnej jednotky vo zvolenom nezávislom súradnicovom systéme. Základnou jednotkou môže byť snímková dvojica, dvojmodel a pod. b) spojenie základných jednotiek do spoločného súradnicového systému. c) vyrovnanie pása alebo spojeného bloku vzhľadom na dané geodetické body. Z hľadiska matematického modelu riešenia sa metódy etapového riešenia rozdeľujú podľa prístupu k riešeniu vzájomnej a absolútnej orientácie (napr. podmienky komplanárnosti, kolineárnosti, 161
4 alebo pre prenášanie mierky), alebo podľa spôsobov vyrovnania pása alebo bloku (iteračny spôsob vyrovnania s určitým počtom rovníc, priame riešenia a pod.). Postupy etapového riešenia: a) aeropolygónom sa analyticky riešia jednotlivé úkony, ktoré zodpovedajú úkonom pri prístrojovej aerotriangulácii. Postup začína výpočtom piatich orientačných prvkov vzájomnej orientácie, pričom sa vo všeobecnosti používa podmienka komplanárnosti, podľa ktorej zodpovedajúce určovacie lúče musia ležať v jednej rovine s projekčnými centrami. Ďalším krokom je mierkové priradenie modelu bez porušenia vzájomnej orientácie k predchádzajúcemu modelu. Pri druhom pracovnom postupe sa súčasne vypočíta všetkých šesť orientačných prvkov snímky. V prípade nadbytočných meraných prvkov sa meranie vyrovná. Pre vlícovacie lúče spojovacích bodov, ktoré sú spoločné s predchádzajúcim modelom, sa použije podmienka komplanárnosti so zodpovedajúcim lúčom z prvej snímky na vyrovnanie všetkých orientačných prvkov. 2. Komplexné riešenie je založené na súčasnom vyrovnaní potrebných parametrov všetkých snímok v páse alebo bloku, a to priamo alebo s použitím iteračnej metódy. Táto metóda zaručuje najvyššiu presnosť výsledkov. Hlavnou požiadavkou komplexného riešenia je určiť približnú polohu projekčných centier a predbežné hodnoty orientačných prvkov. Nutnosť poznať uvedené približné hodnoty predpokladá použitie vhodnej metódy na ich získanie, pričom sa používa podmienka kolineárnosti. Takmer všetky metódy analytickej aerotriangulácie majú nadbytočný počet meraných hodnôt, ktorý dovoľuje vyrovnanie podľa metódy najmenších štvorcov. Určenie prvkov vzájomnej, vonkajšej alebo absolútnej orientácie vždy vychádza zo sústavy nelineárnych rovníc. Preto sa využíva aproximatívne (iteračné) riešenie rovníc linearizovaných rozvojom do Taylorovho radu a každou iteráciou sa spresňujú vstupné údaje riešenia, a tým aj hodnoty neznámych prvkov. Princíp aerotriangulácie je v postupnom priraďovaní modelov prenášaním mierky a priestorovej orientácie prvého modelu na ďalšie modely spojené do pásu. Jednotlivé pracovné úkony sú zaťažené chybami, ktoré majú prevažne systematický a nepravidelný charakter. V priebehu aerotriangulácie sa prejavia pri jednotlivých pracovných úkonoch vplyvy nasledujúcich zdrojov chýb. a) v každej snímke vplyv chýb vnútornej orientácie, b) v prvom modeli pása vplyv chýb vzájomnej a absolútnej orientácie, c) v druhom a ďalších modeloch chyby z priradenia modelu vzájomnou orientáciou a z prenášania mierky, d) vo všetkých modeloch merané hodnoty sú zaťažené chybou z nastavenia meracej značky. Obsah meračskej snímky je zaťažený systematickými chybami a nepravidelnými chybami fyzikálneho charakteru. Snímkové chyby spôsobujú: chyby emulzného podkladu, skreslenie objektívu, vplyv zakrivenia Zeme, účinok refrakcie. Presnosť výsledkov aerotriangulácie ovplyvňujú: vyhodnocovateľ (osobná chyba, chyba z nastavovania meracej značky) justážny stav prístroja, kvalita a kartografické zobrazenie daného bodového poľa. 162
5 Etapové riešenie analytickej aerotriangulácie Výsledkom metód analytickej aerotriangulácie sú súradnice určovaných bodov v geodetickom súradnicovom systéme. Počítajú sa z odmeraných snímkových súradníc a súradníc daných (vlícovacích) bodov. Postup riešenia pre metódu etapového riešenia vyjadruje schéma P (xm,ym ck) RO P (x,y,z ) k P(x,y,z) AO P(xG,yG,zG) IT kde (13.1) xm, ym sú merané snímkové súradnice, RO je relatívna orientácia snímok, x, y, z sú pretvorené snímkové súradnice vo zvolenom systéme, k je mierkový koeficient, x, y, z sú modelové súradnice alebo priestorové súradnice, IT iteračné spresňovanie jednotlivých parametrov, AO absolútna orientácia modelového pásu, xg, yg, zg sú výsledné súradnice v geodetickom súradnicovom systéme. Postup etapového riešenia prakticky zodpovedá postupu pri prístrojovej aerotrangulácii. Riešenie má časť na získavanie dát a spracovanie dát. Do časti získavania dát patrí: príprava snímkového materiálu, stereoskopické označenie spojovacích, prípadne určovaných bodov, meranie snímkových súradníc x, y a x", y" na monokomparátore alebo x, y, p a q na stereokomparátore. Spracovanie dát zahrňuje opravy snímkových súradníc, predbežné riešenie v páse a definitívne v bloku. 1. Opravy vstupných hodnôt meraných snímkových súradníc sú: a) oprava z kalibrácie systematických chýb monokomparátora, b) oprava zo zrážky filmu, c) oprava zo skreslenia objektívu, d) oprava z atmosférickej refrakcie a zo zakrivenia Zeme. 2. Predbežné riešenie v páse: a) orientácia troch snímok alebo dvojmodelov, čím sa určuje poloha všetkých dôležitých bodov v priestorovom súradnicovom systéme približne v snímkovej mierke. b) zostavenie modelov do pásu a vyrovnanie pásu, c) oprava súradníc pásu zo zakrivenia Zeme, d) transformácia pása do geodetického súradnicového systému a vyrovnanie s využitím metódy najmenších štvorcov. Výsledkom sú predbežné súradnice všetkých bodov. 3. Definitívne riešenie v bloku: a) geocentrická transformácia súradníc s vyrovnaním a s uvažovaním zakrivenia Zeme. Vyrovnané geocentrické súradnice sa transformujú späť do geodetického súradnicového systému, 163
6 b) vyrovnanie v bloku. Súčasné riešenie absolútnej orientácie, t. j. tri translácie dx0, dy0, a dz0 a tri rotácie dϕ, dω, a dκ všetkých snímok. Opravy predbežných súradníc každého bodu. Vyrovnanie v bloku zahŕňa tri časti: a) priestorové pretínanie nazad, čím sa prispôsobia snímkové údaje každej snímky zodpovedajúcim predbežným geodetickým súradniciam na určenie počiatočných hodnôt prvkov vnútornej a vonkajšej orientácie snímky, b) absolútna orientácia bloku, t. j. všetkých snímok spolu s výpočtom výsledných geodetických súradníc určovaných vlícovacích bodov, ako aj projekčných centier, c) určenie podrobných bodov nerovnomerne rozložených na snímkach. V súčasnosti existuje mnoho variánt metód postupného riešenia od rôznych autorov, ako sú napr. Schut, Tomsa a iní. Jeden z najdôležitejších úkonov všetkých uvedených metód je spôsob vytvorenia jednotlivých modelov zo snímkových dvojíc. Je to úkon, ktorý nahrádza vzájomnú orientáciu pri prístrojovej aerotriangulácii. Klasifikácia jednotlivých metód vychádza z matematickej definície nasledujúcich podmienok: 1. zodpovedajúce určovacie lúče musia byť komplanárne, t.j. musia ležať v rovine preloženej základnicou a príslušným bodom, 2. vertikálne paralaxy pretvorených snímok musia byť rovné nule, 3. modelové vertikálne paralaxy musia byť rovné nule, 4. predmetové uhly medzi určovacími lúčmi musia byť rovné zodpovedajúcim uhlom v obrazovom priestore. Matematicky sú uvedené podmienky vyjadrené nelineárnymi funkciami príslušných orientačných prvkov a po ich linearizácii rozvojom do Taylorovho radu pri zanedbaní členov druhého a vyšších rádov dostaneme sústavu lineárnych rovníc, ktoré sa riešia iteračným spôsobom. Obr Podmienka komplanárnosti 164
7 Schutovo riešenie Vzájomná orientácia snímok vychádza z podmienky komplanárnosti, podľa ktorej základnica a zodpovedajúca dvojica určovacích lúčov musia ležať v jednej rovine (obr. 13.4). Podmienkou vzájomnej orientácie je odstrániť vertikálne paralaxy. Potom sa vektory určujúcich lúčov r1 a r2 pretínajú v bode P a spolu so základnicou b spĺňajú podmienku komplanárnosti, t.j. zložený vektorový súčin je rovný nule: b r1 r2 = 0, (13.2) x 02 x 01 bx pričom vektor b = by = y 02 y 01. bz z 02 z 01 Rovnica (13.2) v tvare determinantu je bx by bz x y z = 0. x y z (13.3) Vzťah (13.3) vyjadruje súčin súradnicových zložiek vektorov základnice a určovacích lúčov. Z hľadiska vzájomnej orientácie ide vždy o priradenie pravého zväzku určovacích lúčov k pevnému ľavému zväzku. Neznámymi prvkami vzájomnej orientácie sú základnicové zložky by a bz z prvého riadku determinantu a rotácie ω, ϕ, κ skryté v pretvorených súradniciach x", y" a z" tretieho riadku. Hodnota základnicovej zložky sa zvolí približne vopred. Pretvorenie súradníc pravej snímky je vyjadrené vzťahom x x y = A y, z z (13.4) pričom A je rotačná matica vytvorená 9 smerovými kosínusmi (tab. 11.1). Linearizáciou rovnice (13.3) dostaneme rovnicu pre určenie prvkov vzájomnej orientácie: bx by bz bx by bz bx by bz bx by bz z x x y x y z dκ + x y z dϕ + x y z dω + dby + dbz + x y z = 0. (13.5) z x x y y x 0 z 0 x 0 z y x y z Pri opakovanom výpočte spresnených hodnôt dϕ, dω, dκ je potrebné ich zlúčiť s prvkami predchádzajúcej iterácie maticovým súčinom Anová = Aoprav. Astará. (13.6) V dôsledku zvyškových vertikálnych paraláx nie je splnená podmienka pretínania sa piatich párov zodpovedajúcich určovacích lúčov podľa obr Preto je potrebné definovať bod P, ktorý ako náhrada za priesečník je v strede najkratšej vzdialenosti, v ktorej zodpovedajúce lúče prechádzajú najbližšie vedľa seba. Smer vektora q (nie je dĺžka), ktorý je kolmý na obidva určujúce lúče, je daný vektorovým súčinom (obr. 13.5) q = r1 r2. (13.7) Mierkové pripojenie modelu môže sprostredkovať ľubovoľný bod v pásme trojnásobného pozdĺžneho prekrytu snímok a vyjadruje ho podmienka priesečníka troch určovacích lúčov 12 a 23 podľa vzťahu 165
8 Obr Podmienka pretínania zodpovedajúcich lúčov bx bz x z x z x z = bx bz x z x z x z, (13.8) pričom x, z sú pretvorené súradnice z tretej snímky v súradnicovom systéme s osou Z vo vertikále (obr. 13.6). Obr Súradnicové systémy Modelové súradnice celého snímkového pása sa transformujú do geodetického súradnicového systému priestorovou podobnostnou transformáciou xg yg zg x0 x = k A y + y0, z z0 kde k je mierkový koeficient. 166 (13.9)
9 Tomsovo riešenie Jeho riešenie vzájomnej orientácie vychádza z podmienky komplanárnosti a postupným priraďovaním snímok do pásu. Základnú rovnicu (13.3) upravil delením hodnotou bx do tvaru 1 by bz x y z = 0, x y z pričom by = (13.10) by bz, bz =. bx bx Pri linearizácii vzťahu (13.10) sa vychádza z pretvorenia súradníc pravej snímky podľa (13.4) s maticou (13.6), definovanou podľa Eulerových uhlov (tab. 11.1). Linearizovaný vzťah má tvar c k ( x m x m ) dby + x m y m x m y m dbz c k x m dκ x m y m dϕ ( c k2 1 by bz + y m y m dω + x y z = 0. (13.11) x y z ) Konštanta komory ck má v súlade so základnou definíciou súradnicového systému vždy záporné znamienko. Koeficienty pri neznámych v rovnici (13.11) zostávajú v priebehu iteračného riešenia nezmenené, spresňuje sa len absolútny člen Komplexné riešenie analytickej aerotriangulácie Komplexné metódy analytickej aerotriangulácie kladú minimálne požiadavky na počet a rozloženie daných (vlícovacích) bodov. Jednou z hlavných predností komplexného riešenia je, že vo výpočtoch sa súčasne uvažuje súbor všetkých podmienok, ktorými je možné analyticky vyjadriť vzťah medzi meranými snímkovými súradnicami a zodpovedajúcimi geodetickými súradnicami ako daných, tak aj určovaných bodov. Obr Podmienka kolineárnosti 167
10 Základnou podmienkou, z ktorej komplexné riešenie vychádza, je podmienka kolineárnosti (obr. 13.7), ktorá znamená, že projekčné centrum, snímkový bod a zodpovedajúci bod na teréne leží na jednej priamke (kap. 11.1). Schmidovo riešenie Podmienku kolineárnosti vyjadrujú dva determinanty druhého stupňa x G x0 x y G y0 y = 0... pre rovinu X G, Z G z z G z0. = 0... pre rovinu YG, Z G z z G z0 (13.12) Snímkové súradnice x y, z = ck sa získajú pretvorením meraných snímkových súradníc x m, y m podľa vzťahu (11.26) ( xg x0 ) cos α x + ( yg y 0 ) cos β x + ( z G z 0 ) cos γ x, ( xg x0 ) cos α z + ( y G y 0 ) cos β z + ( z G z 0 ) cos γ z ( xg x0 ) cos α y + ( yg y 0 ) cos β y + ( z G z 0 ) cos γ y ck, ( xg x0 ) cos α z + ( y G y 0 ) cos β z + ( z G z 0 ) cos γ z x = x H c k y = y H (13.13) ktorý zjednodušene zapíšeme x m x y = A y m, z ck (13.14) pričom matica A má tvar podľa tab Neznámymi v týchto rovniciach sú prvky vonkajšej orientácie snímok x0, y0, z0, ϕ, ω, κ a geodetické súradnice určovaných bodov xg, yg, zg. Neznáme rotácie sú skryté v pretvorených snímkových súradniciach x, y a z = ck. Pred vlastným riešením rovníc je potrebné ich linearizovať, t. j. parciálne derivovať príslušnú funkciu podľa jednotlivých neznámych. Linearizáciou podmienky kolineárnosti je možné odvodiť dva základné vzťahy, v ktorých neznámymi sú prvky vonkajšej aj vnútornej orientácie snímok a geodetické súradnice bodov. Podmienkové rovnice vychádzajú z linearizovaných základných vzťahov (13.13) a pre každý určovací lúč platia dve rovnice typu: a1v x + a 2 v y + a 3 v x + a 4 v y + a5 v z + a 6 dx + a 7 dy + a8 dz + a 9 dx 0 + a10 dy a11 dz 0 + a12 dκ + a13 dϕ + a14 dω + a15 dx H + a16 dy H + a17 dc k + l x = 0, b1v x + b2 v y + b3 v x + b4 v y + b5 v z + b6 dx + b7 dy + b8 dz + b9 dx 0 + b10 dy 0 + (13.15) + b11 dz 0 + b12 dκ + b13 dϕ + b14 dω + b15 dx H + b16 dy H + b17 dc k + l y = 0. Zostavením rovníc (13.15) pre jednotlivé určovacie lúče vznikne sústava pretvorených rovníc závislosti A v + Bg + l = 0, pričom v je vektor opráv, g je vektor neznámych (dx, dy, dz, dϕ, dω, dκ), 168 (13.16)
11 l vektor absolútnych členov, A, B sú matice príslušných koeficientov. Normálne rovnice sa vytvoria s použitím pomocných korelát. Zostavenie matice sústavy normálnych rovníc. Uvažujeme malý blok troch snímkových pásov po 5 snímkach s pozdĺžnym prekrytom p = 60 % a s priečnym prekrytom q = 30 %. V každej snímke je vymeraných 15 bodov, čím vznikne pravidelná sieť 7 radov po 9 bodov (obr. 13.8). Obr Príklad malého bloku Obr Matica sústavy normálnych rovníc podľa bodových radov Pri danej metóde riešenia sú neznámymi súradnice určovaných bodov. Základná matica je postupne vytvorená podľa vhodného poradia týchto bodov (x1, y1, z1), (x2, y2, z2),... (xn, yn, zn). Počet bodov v jednom rade je n = 2i + 1, počet bodových radov m = 2 r + 1, pričom i je počet modelov, r počer snímkových pásov. Zostavenie matice sústavy normálnych rovníc podľa pozdĺžnych bodových radov. Stavbu výslednej matice sústavy normálnych rovníc schématicky predstavuje obr Každá matica sústavy normálnych rovníc je vždy štvorcová a symetrická. Z obr vyplývajú tri druhy korelácie, a to medzi súradnicami, bodmi a bodovými radmi. Prvé dva druhy korelácie vyjadruje submatica s rozmerom 3 n = 27 na obr Základné korelácie medzi súradnicami troch bodov zobrazených na dvoch snímkach vystihuje submatica typu 3/3 ohraničená na obr bodkami. Vyššie korelácie vystihujú vzájomnú väzbu bodov v bodových 169
12 radoch, napr. pre piaty bod prvého radu, zobrazený na troch snímkach je zrejmá korelácia medzi 1. až 9. bodom v rade Digitálna aerotriangulácia Digitálna automatická aerotriangulácia (DAA) využíva vzťahy analytickej aerotriangulácie v spojení s aplikáciou obrazovej korelácie a digitálneho obrazového priraďovania. DAA je založená na komplexnom riešení analytickej aerotriangulácie (Schmidovo riešenie kap. 13.3) s vytvorením bloku snímok. Metóda využíva priamy prevod snímkových súradníc na geodetické súradnice s vyrovnaním zväzku lúčov MNŠ, ktoré vytvárajú celý blok snímok. Analytické riešenie predstavuje kolineárnu transformáciu snímkových súradníc do geodetického súradnicového systému. Postup DAA využíva automatické riešenie vzájomnej orientácie v bloku snímok, pri ktorom sa automaticky vytvárajú spojovacie body v pásmach dvojnásobného a trojnásobného pozdĺžneho prekrytu a v priečnom prekryte. Spojovacie body sa automaticky priraďujú do susedných snímok. V riešení sa zavádzajú opravy z refrakcie, distorzie objektívu a zakrivenia Zeme. Vstupné dáta pre digitálnu aerotrianguláciu sú digitálne snímky (naskenované analógové snímky), súradnice vlícovacích bodov a prvky vonkajšej orientácie snímky. Digitálna aerotriangulácia je riešena programovo. Postupnosť programových krokov obsahuje: automatickú vnútornú orientáciu snímok na základe odmeraných a kalibráciou určených súradníc rámových značiek, automatický výber spojovacích bodov v bloku (pass/tie points), ktoré sú vhodné na aerotrianguláciu. Výber bodov využíva digitálnu obrazovú koreláciu. Počet a kvalitu spojovacích bodov je možné ovplyvniť. Signalizované vlícovacie body sa automaticky vyhľadávajú podľa definovaného vzoru, nesignalizované vlícovacie body identifikuje a zadáva fotogrameter, automatický prenos spojovacích bodov v rámci stereoskopického, trojnásobného pozdĺžneho prekrytu a priečneho prekrytu snímok. Prenos je spojený s blokovým vyrovnaním spojovacích a vlícovacích bodov. Zvýšenie spoľahlivosti blokového vyrovnania sa dá zaistiť zväčšením počtu spojovacích bodov, zhustenie vlícovacích bodov. Program počas výpočtu podáva správu o kvalite a stave výpočtu. Automaticky analyzuje priebeh aerotriangulácie a odhaľuje výskyt hrubých chýb. Cieľom blokovej aerotriangulácie je vytvoriť ortofotomozaiku snímok a z nej odvodzovať digitálne ortofotomapy v sekčných čiarach mapových listov Vlícovacie body Na absolútnu orientáciu bloku sú potrebné najmenej 4vlícovacie body. Ich optimálne rozmiestnenie je v rohoch bloku. Okrem vlícovacích bodov dôležitú úlohu majú kontrolné body na ktorých sa kontroluje výsledok aerotiangulácie. Kontrolné body sú v podstate vlícovacie body, ktoré nezapájame do vyrovnania bloku. Do vyrovnania je možné zapojiť vlícovacie body určené súradnicami y, x, z (3D), súradnicami y, x (2D) a body určené iba výškou (z). Do rohov bloku sa umiestňujú 3D vlícovacie body. Na okrajoch a po stranách pásov stačia vlícovacie body určené iba výškou (obr ). Vo vnútri bloku stačí 1 bod určený výškou na 4 až 6 snímok. Naznačený ideálny stav rozmiestnenia vlícovacích bodov je obtiažne docieliť. Rozmiestnenie vlícovacích bodov, kvalita ich zobrazenia na snímkach v bloku a presnosť ich geodetického určenia významne ovplyvňuje kvalitu výsledku aerotriangulácie. 170
13 Obr Rozmiestnenie vlícovacích bodov v bloku s 30% priečnym prekrytom. Vlícovacie body môžu byť prirodzene alebo umele signalizované (obr.9.10). Prirodzene signalizované body sa vyberajú tak, aby boli jednoznačne identifikované v teréne a na snímkach. Na geodetické určenie súradníc vlícovacích bodov sa požívaju terestrické a GPS metódy merania Program na automatickú aerotrianguláciu Program ImageStation Automatic Triangulation (ISAT 04.02) je produkt firmy Z/I Imaging, vykonáva automatickú aerotrianguláciu na digitálnych leteckých snímkach (obr ). Obr Hlavné menu programu ISAT Programový pracovný postup obsahuje: zadanie vstupných dát, vytvorenie východiskovej štruktúry bloku obrazmi, vytvorenie spresneného pokrytia obrazmi, určenie východiskových bodov bloku, určenie spresnených bodov bloku, 171
14 výstupné dáta aerotriangulácie. Vstupnými dátami na DAA sú digitálne snímky so známou vnútornou orientáciou, informácie o usporiadaní snímok v pásoch a bloku, parametre fotogrametrickej komory a súradnice vlícovacích bodov. Najlepším postupom je spracovávanie snímok po jednotlivých radách. Vlícovacie body sa merajú pred vytvorením bloku. Blok obrazov sa vytvára postupným pripájaním jednotlivých obrazov pomocou automatickej digitálnej vzájomnej orientácie a spojením jednotlivých modelov do pásu. Úlohou bloku je vytvoriť vzťažný systém pre všetky obrazy v projekte digitálnej aerotriangulácie, pomocou ktorého sa uskutoční automatický výber spojovacích bodov. Pracovným postupom DAA je postupne generovať blok od najnižšej po najvyššiu hierarchickú úroveň obrazovej pyramídy. Hrubý blok na najnižšej úrovni sa vytvára výberom bodov podľa základných prvkov obrazu. Obsahuje schému obrazov, východiskové parametre vonkajšej orientácie a približný DMR daného územia. Z týchto informácií sa v následnom kroku vytvára spresnený blok. Prenos bodov medzi obrazmi a meranie sa postupne vykonáva až po najvyššiu úroveň rozlíšenia. DAA sa vykonáva zväzkovým blokovým vyrovnaním, v ktorom sú určené body bloku. Automatická vzájomná orientácia. Štartuje na najvyššej úrovni pyramídy, kde sa hľadajú spojovacie body. Obraz má najmenšiu veľkosť a najnižšiu úroveň rozlíšenia. Automatická vzájomná orientácia končí najnižšou úrovňou pyramídy v originálnej veľkosti obrazu a originálnom rozlíšení. Obr Meranie spojovacích bodov V každej úrovni riešenia sa vyberajú v prekrytovej časti každého obrazu charakteristické obrazové prvky, z ktorých sa počítajú parametre vzájomnej orientácie. Následne sú prvky prenesené do nasledujúcej nižšej úrovne pyramídy. Spojovacie body a parametre vzájomnej orientácie určené v riešenej úrovni sa využijú ako vstupné informácie pre ďalší cyklus riešenia. Každá dvojica bodov získaná z predchádzajúcej úrovne sa zaregistruje do nasledujúcej nižšej úrovne. Následne sa určuje okolo každého zaregistrovaného bodu hľadacie okno a nové prvky sa zberajú z takto určených 172
15 spojovacích okien. Identifikované spojovacie okna sa vzájomne priraďujú. Tento programový postup sa nazýva trasovanie oknami. Hľadanie spojovacích bodov sa vykonáva v oblastiach, ktorých sa očakávajú vhodné definované prvky. Vyhľadanie spojovacích bodov (prvkov) môžeme vykonať manuálne. V okne Multiphoto sa otvoria všetky snímky v ktorých sa nachádza editovaná oblasť (obr ). Každá snímka je zobrazená v dvoch úrovniach v základnom areále a detaile. Na každej snímke sa vyberie vhodný identický bod (prvok) a zameria sa. Po zameraní spojovacieho bodu vyberie sa ďalšia oblasť na editáciu bodu. Výber prvkov sa uskutočňuje v základných areáloch obrazov, základných prvkoch obrazov. Korelácia výberu základných areálov obrazov má spoľahlivú presnosť v oblastiach s dobrou textúrou obrazov. Pri korelačných algoritmoch výberu základných prvkov obrazu sa vyberajú body, línie alebo plochy. Úlohou priraďovania prvkov v automatickej vzájomnej orientácii je nájdenie zodpovedajúcich si dvojíc prvkov na dvojiciach snímok. Dosahuje sa to matematickým riešením rovníc priesekov určujúcich lúčov. Riešenie prebieha metódou kolineárnej transformácie. Po priradení prvkov sa vypočítajú parametre vzájomnej orientácie snímok a vyrovnaním MNŠ sa určia modelové súradnice spojovacích bodov. V priebehu vyrovnania sa identifikujú hrubé chyby v odpovedajúcich si bodoch. Za hrubú chybu sa považuje odchýlka väčšia ako je veľkosť obrazového elementu na príslušnom stupni úrovne pyramídy. Na záver riešenia v príslušnej úrovni pyramídy sa určia vyrovnaním MNŠ snímkové súradnice, parametre vzájomnej orientácie a modelové súradnice spojovacích bodov. Obr Spojovacie body Spojenie vytvorených pásov do bloku sa vykoná prostredeníctvom spojovacích bodov medzi susednými pásmi (obr.13.13). Priečny prekryt 2030% dovoľuje automaticky vybrať niekoľko desiatok spojovacích bodov. 173
16 Algoritmus DAA končí zväzkovým blokovým vyrovnaním. Je to digitálne riešenie vonkajšej orientácie bloku snímok s vyrovnaním MNŠ. Matematickým modelom vyrovnania lúčov bloku je analytická formulácia kolineárnosti snímkového r a obrazového vektora rp (kap. 11.1). Podmienkové rovníce kolineárnych vzťahov (13.13) linearizujeme rozvojom do Taylorovho radu (13.15) pre počiatočné hodnoty projekčných centier x0, y0, z0 a počiatočné hodnoty rotačných uhlov ϕ = ω = κ = 0. Neznáme zmeny prvkov vonkajšej orientácie dx 0, dy 0, dz 0, dϕ, dω, dκ vzhľadom na uvedené počiatočné hodnoty a vektor l priestorových súradníc bodu objektu dx, dy, dz sú vyjadrené pomocou parciálnych derivácií funkcií (13.13). Pretvorené rovnice opráv pre snímkový bod, resp. fotogrametrický lúč majú tvar (13.15). Súčasné riešenie a vyrovnanie fotogrametrických zväzkov lúčov sa realizuje vyrovnaním bloku snímok. Riešenie automatickej aerotriangulácie vyžaduje znalosť približných hodnôt parametrov vonkajšej orientácie. Niektoré parametre sú približne známe: dĺžka základnice, priemerná výška terénneho reliéfu, priemerná výška letu. Ďalšie vyžadované parametre nie sú známe s dostatočnou presnosťou. Kvalita obrazového priraďovania závisí od pozdĺžneho a priečneho prekrytu a rozsahu triangulovaného územia. Dobrá stabilita bloku je zaručená len vtedy, ak je vyhľadaný veľký počet spojovacích bodov rádovo 100 až 300 bodov na snímku. Hrubé chyby sa dajú identifikovať z titulu vyrovnania MNŠ iba vtedy, ak je ich počet malý. Pri malom počte spojovacích bodov, môže byť triangulovaný blok deformovaný. Obr Blok snímok Pri väčších blokoch (obr ) geometrická stabilita bloku závisí od počtu, vhodného rozloženia, presnosti geodetického určenia a identifikovateľnosti vlícovacích bodov. Presné informácie o priestorovej polohe vlícovacích bodov pri ich geodetickom určení dovoľuje redukovať počet spojovacích bodov na jednej snímke. Za dobrých podmienok, v otvorenom a plochom teréne s dobrou textúrou obrazu, presnosť určenia súradníc spojovacích bodov dosahuje strednú chybu 0,15 až 0,20 veľkosti obrazového elementu (pixelu). 174
17 Presnosť digitálnej automatickej aerotriangulácie Presnosť DAA hodnotíme vo dvoch úrovniach. Odchýlkami na vlícovacích bodoch spracovávaného bloku a odchýlkami na kontrolných bodoch. V bloku 6ich snímok Mgr. Kožuch uvádza stredné chyby odchýlok súradníc na 16ich m x = 0,16m, m y = 0,15m, m z = 0,09m. vlícovacích bodoch Rozdiely súradníc bodov odmeraných geodeticky a zhustené metódou DAA na 11ich bodoch vyjadrujú stredné chyby m x = 0,49m, m y = 0,35m, m z = 0,64m. Výsledky boli získané pri DAA snímok mierky 1: Ortofotomapa bola vyhotovená v mierke 1 : Výsledky DAA vyhovujú presnosti ortofotomapy v mierke 1 : V záveroch experimentálnych prác Mgr. Kožuch uvádza, že na presnosť vytvorenej ortofotomapy vplýva faktor presnosti určenia vlícovacích bodov a ich jednoznačná identifikácia v teréne a na digitálnom obraze. 175
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC
8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC V geodetickej pra je častou úlohou zmeniť súradnice bodov bez toho aby sa zmenila ich poloha na zemskom povrchu. Zmenu súradníc označujeme pojmom transformácia. Transformácia
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα12. VYHODNOTENIE DIGITÁLNYCH LETECKÝCH SNÍNOK
12. VYHODNOTENIE DIGITÁLNYCH LETECKÝCH SNÍNOK Predovšetkým si musíme uvies o je výsledkom vyhodnotenia digitálnych leteckých snímok. Výsledkom vyhodnotenia je ortofotomapa, produkt ortogonálneho prekreslenia
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI
ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραAk je uhol γ malý, platí približný vzorec:
3. STEREOSKOPICKÉ VIDENIE A MERANIE 3.1 Prirodzené priestorové (stereoskopické) videnie Pozorovanie dvoma očami (binokulárne pozorovanie), pri ktorom sa obrazy skutočného predmetu vnímajú priestorovo,
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραRozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky
Veľkosť Varablta Rozdelene 0 00 80 n 60 40 0 0 0 4 6 8 Tredy 0 Rozdely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakterstky I CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI Artmetcký premer Vzťahy pre výpočet artmetckého
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραURČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA
54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.
Διαβάστε περισσότεραS ohadom na popis vektorov a matíc napr. v kap. 5.1, majú normálne rovnice tvar
6. STREDNÁ ELIPSA CHÝ Na rozdiel od kaitoly 4.4 uebnice itterer L.: Vyrovnávací oet kde ú araetre eliy trednej chyby odvodené alikáciou zákona hroadenia tredných chýb v tejto kaitole odvodíe araetre trednej
Διαβάστε περισσότεραη = 1,0-(f ck -50)/200 pre 50 < f ck 90 MPa
1.4.1. Návrh priečneho rezu a pozĺžnej výstuže prierezu ateriálové charakteristiky: - betón: napr. C 0/5 f ck [Pa]; f ctm [Pa]; fck f α [Pa]; γ cc C pričom: α cc 1,00; γ C 1,50; η 1,0 pre f ck 50 Pa η
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραRozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003
Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραRiešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave
iešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave Lineárne elektrické obvody s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave riešime (určujeme prúdy
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραPodmienenost problému a stabilita algoritmu
Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMonitoring zvislých posunov a pretvorení pri rekonštrukcii objektu Východoslovenskej galérie v Košiciach
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Monitoring zvislých posunov a pretvorení pri rekonštrukcii objektu Východoslovenskej galérie v Košiciach Zemen Marián Prírodné vedy 24.02.2014 Článok sa
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραModel redistribúcie krvi
.xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότερα15. Matlab Lineárna algebra
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 15. Matlab Lineárna algebra Blaho Michal MATLAB/Comsol 18.09.2009 Matlab pracuje s dátami vo forme vektorov a matíc. Základnej práci s vektormi a maticami
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα6. VYHOTOVENIE SNÍMOK V POZEMNEJ FOTOGRAMETRII
6. VYHOTOVENIE SNÍMOK V POZEMNEJ FOTOGRAMETRII Fotografické snímky rozdeľujeme na fotografické a fotogrametrické. Podľa spôsobu vyhotovenia snímok (obrazov, záznamov) rozdeľujeme ich na analógové (pôsobením
Διαβάστε περισσότεραMeranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Διαβάστε περισσότεραMatematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότερα