Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ, ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Λίγγα Καρολίνας-Αικατερίνης του Παύλου Αριθμός Μητρώου: 5678 Θέμα «Προσαρμοστικός έλεγχος για μη γραμμικά δεύτερης τάξης συστήματα με αβεβαιότητα» Επιβλέπων Αλεξανδρίδης Αντώνιος, Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιούλιος

2

3 3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Προσαρμοστικός έλεγχος για μη γραμμικά δεύτερης τάξης συστήματα με αβεβαιότητα» Της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Λίγγα Καρολίνας-Αικατερίνης του Παύλου Αριθμός Μητρώου: 5678 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 8/7/ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Αλεξανδρίδης Αντώνιος Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος Καθηγητής

4 4 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Προσαρμοστικός έλεγχος για μη γραμμικά δεύτερης τάξης συστήματα με αβεβαιότητα» Φοιτήτρια: Λίγγα Καρολίνα-Αικατερίνη Επιβλέπων: Αλεξανδρίδης Αντώνιος Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων και τη σχεδίαση ενός προσαρμοστικού ελεγκτή για συστήματα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα. Αρχικά παρουσιάζονται η μορφή και οι ιδιότητες των μη γραμμικών συστημάτων τονίζοντας την ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο. Στη συνέχεια προτείνεται ένα προσαρμοστικός ελεγκτής κατάλληλος για μη γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης ο οποίος εγγυάται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Η μορφή του ελεγκτή βελτιώνεται σε περίπτωση που οι συναρτήσεις απόσβεσης και δυσκαμψίας είναι πολυωνυμικές και η αποδοτικότητά του επιβεβαιώνεται σε κάθε περίπτωση με εκτενείς προσομοιώσεις. Τέλος, ο προτεινόμενος ελεγκτής εφαρμόζεται σε δύο πραγματικά συστήματα (μηχανικός ταλαντωτής του Duffing, απλό εκκρεμές) και συγκρίνεται με την τεχνική του feedback linearization δίνοντας καλύτερες αποκρίσεις σε περιπτώσεις ύπαρξης αβέβαιων παραμέτρων.

5 5 Abstract his diploma thesis includes the analysis of nonlinear systems and the design of an adaptive controller suitable for second order nonlinear systems. In the beginning, we present the structure and the properties of nonlinear systems underlining the need for adaptive control design. Furthermore, we propose an adaptive control law suitable for second order nonlinear systems which guarantees asymptotic stability for the closed-loop system. he control structure is improved in cases where the damping and stiffness functions include polynomials and the efficiency of the proposed scheme is shown using extended simulation results. Finally, the proposed controller is applied in two real systems (Duffing s mechanical oscillator, pendulum) and compared with the feedback linearization technique, resulting better responses in cases where the system includes uncertain parameters.

6 6 Ευχαριστίες Αρχικά, θα ήθελα να αναφέρω κάποια άτομα τα οποία συνέβαλαν στη διεκπεραίωση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Πρωτίστως, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Αλεξανδρίδη Αντώνιο για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε, αναθέτοντάς μου την συγκεκριμένη εργασία η οποία ταιριάζει πλήρως στα ενδιαφέροντά μου. Οι πολύτιμες συμβουλές του και η διάθεση που έδειξε όλο αυτό το διάστημα σε συνδυασμό με τις γνώσεις του πάνω στο συγκεκριμένο αντικείμενο, αποτέλεσαν πηγή έμπνευσης για εμένα και συντέλεσαν στην πραγματοποίηση μιας επιτυχημένης συνεργασίας. Επιπλέον, θέλω να ευχαριστήσω τον συνεπιβλέποντα καθηγητή κ. Καζάκο Δημοσθένη για τις εύστοχες παρατηρήσεις του και τη βοήθεια που μου προσέφερε σε όλο το διάστημα των σπουδών μου. Επίσης, δεν πρέπει να παραλείψω τον υποψήφιο διδάκτορα Κωνσταντόπουλο Γεώργιο Κ. ο οποίος έδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον και προθυμία να με βοηθήσει για να έλθει εις πέρας η εργασία αυτή. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τον Γιώργο που χωρίς αυτόν τίποτε από όλα αυτά δεν θα είχε γίνει.

7 7 Αφιερώνεται στην οικογένειά μου και στον Γιώργο

8 8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη μη γραμμικών συστημάτων δεύτερης τάξης και η σχεδίαση ενός κατάλληλου προσαρμοστικού ελεγκτή. Ο έλεγχος αυτός βρίσκει εφαρμογή σε συστήματα που περιλαμβάνουν αβέβαιες παραμέτρους στις συναρτήσεις απόσβεσης και δυσκαμψίας. Καθώς στη φύση τα περισσότερα συστήματα είναι μη γραμμικά, η ανάγκη για σχεδίαση μη γραμμικών νόμων ελέγχου γίνεται επιτακτική. Η μελέτη τέτοιων ελεγκτών συνήθως βασίζεται σε τεχνικές Lyapunov ή τεχνικές γραμμικοποίησης οι οποίες εγγυώνται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Όμως, όταν στο σύστημα υπάρχουν αβέβαιες παράμετροι, οι ελεγκτές αυτοί υστερούν σε απόδοση και δεν μπορούν πλέον να εγγυηθούν ευστάθεια. Συγκεκριμένα σε σύστημα με ισχυρές μη γραμμικότητες και αβέβαιες παραμέτρους, οι καταστάσεις είναι πιθανόν να οδηγηθούν σε αστάθεια. Για τον σκοπό αυτό, προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής κατάλληλος για μη γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητες. Ο ελεγκτής αυτός βασίζεται σε ένα πλήρες θεωρητικό υπόβαθρο εγγυώντας ασυμπτωτική ευστάθεια για το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόχου. Η γενική μορφή του δίνει τη δυνατότητα να εφαρμοστεί σε πραγματικά συστήματα όπου και γίνεται καλύτερα αντιληπτή η χρησιμότητά του καθώς συγκρίνεται με τις κλασσικές μη γραμμικές τεχνικές.

9 9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΘΕΩΡΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Είδη μη γραμμικοτήτων Μη γραμμικά συστήματα Θεωρήματα ευστάθειας Έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων Η ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο Σύνοψη κεφαλαίου... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Εισαγωγή Προσαρμοστικός έλεγχος μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων δεύτερης τάξης Πολυωνυμική αβεβαιότητα με άγνωστους συντελεστές και άγνωστη τάξη Παραδείγματα εφαρμογής του προσαρμοστικού ελέγχου... 44

10 .5. Σύνοψη κεφαλαίου... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή Ο μηχανικός ταλαντωτής του Duffing Το απλό εκκρεμές Σύνοψη κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. ΣΥΝΟΨΗ, ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΕΤΑΙΡΩ ΕΡΕΥΝΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Υλοποίηση Παραδείγματος Υλοποίηση Παραδείγματος Υλοποίηση Παραδείγματος Υλοποίηση Παραδείγματος Υλοποίηση μηχανικού ταλαντωτή του Duffing Υλοποίηση απλού εκκρεμούς... 95

11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι βασικές αρχές των μη γραμμικών συστημάτων. Δίνονται κατάλληλοι ορισμοί για τα είδη των μη γραμμικοτήτων, παρουσιάζεται η δυναμική σχέση που τα περιγράφει καθώς και ο τρόπος υπολογισμού των σημείων ισορροπίας. Στη συνέχεια τονίζονται τα βασικά θεωρήματα ευστάθειας που βασίζονται στην τεχνική Lyapunov. Τέλος, περιγράφεται η βασική θεωρία του μη γραμμικού ελέγχου και τονίζεται η αναγκαιότητα των προσαρμοστικών ελεγκτών σε περιπτώσεις ύπαρξης αβεβαιοτήτων. Στο κεφάλαιο, προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής για μη γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα. Η σχεδίασή του γίνεται κατάλληλα ώστε να εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Σε περιπτώσεις με πολυωνυμικές αβεβαιότητες, προτείνεται μια βελτίωση του ελεγκτή αυτού αναλόγως με τη γνώση που διαθέτει ο χρήστης σχετικά με τα αβέβαια πολυώνυμα. Έπειτα, παρουσιάζονται 4 παραδείγματα μη γραμμικών συστημάτων όπου ο έλεγχος αποδεικνύει το θεωρητικό του υπόβαθρο και η αποδοτικότητά του επιβεβαιώνεται από τις αντίστοιχες χρονικές αποκρίσεις. Στο κεφάλαιο 3, ο προσαρμοστικός ελεγκτής εφαρμόζεται σε δύο πραγματικά συστήματα: στον μηχανικό ταλαντωτή του Duffing και στο απλό εκκρεμές. Γίνεται εκτενής συγκριτική ανάλυση για τον προσδιορισμό της βέλτιστης μορφής του ελεγκτή αυτού και ύστερα συγκρίνεται με την τεχνική feedback linearization από όπου και φαίνεται η αναγκαιότητά του. Ιδιαίτερα για το απλό εκκρεμές, ο όρος του ημιτόνου αναπτύσσεται σε σειρά aylor για να ικανοποιήσει τις απαραίτητες προδιαγραφές για την εφαρμογή του ελεγκτή. Η προσέγγιση αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και κρίνεται ικανοποιητική από τις προσομοιώσεις που ακολουθούν. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζεται μια σύνοψη της διπλωματικής εργασίας και συλλέγονται τα τελικά συμπεράσματα. Τα συμπεράσματα ακολουθούνται από προτάσεις για περαιτέρω έρευνα οι οποίες μπορούν να ληφθούν υπόψη σε μελλοντικές διπλωματικές εργασίες.

12 Τέλος, το κεφάλαιο 5 περιλαμβάνει το παράρτημα της εργασίας όπου παρουσιάζονται οι κώδικες που χρησιμοποιήθηκαν για την προσομοίωση καθενός από τα συστήματα. Οι προσομοιώσεις έγιναν σε περιβάλλον MALAB/SIMULINK και τα συστήματα σχεδιάστηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να παρέχουν μια καλά δομημένη και ευανάγνωστη μορφή.

13 3 Κεφάλαιο Θεωρία μη γραμμικών συστημάτων.. Εισαγωγή Τα περισσότερα συστήματα που συναντώνται στη φύση είναι μη γραμμικά, δηλαδή περιγράφονται από μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση με τα γραμμικά συστήματα, όπου ο έλεγχός τους γίνεται με χρήση γραμμικών ελεγκτών, η ύπαρξη μη γραμμικοτήτων στο δυναμικό μοντέλο κάνει την εφαρμογή συμβατικών νόμων ελέγχου να υστερεί. Ωστόσο, εάν το εύρος λειτουργίας ενός μη γραμμικού συστήματος είναι μικρό και εάν οι υπάρχουσες μη γραμμικότητες είναι ομαλές, τότε το σύστημα αυτό μπορεί να προσεγγιστεί από ένα γραμμικό, το οποίο περιλαμβάνει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, όμως, σπάνια συμβαίνει αυτό, γεγονός που ωθεί τους μηχανικούς ελέγχου να σχεδιάσουν μη γραμμικούς ελεγκτές που βασίζονται στο ακριβές μοντέλο. Επιπλέον, πολλές φορές οι παράμετροι του μοντέλου δεν είναι πάντα γνωστοί, με αποτέλεσμα η ανάγκη για εφαρμογή τεχνικών ελέγχου, που δεν χρησιμοποιούν τις παραμέτρους αυτές ή αντίθετα που προσαρμόζουν τα κέρδη τους ανάλογα με το σύστημα, να γίνεται επιτακτική. Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουμε εισαγωγικά στοιχεία για τη θεωρία των μη γραμμικών συστημάτων και τα θεωρήματα ευστάθειας, ενώ θα αναφέρουμε τις πιο συνήθεις μεθόδους ελέγχου των συστημάτων αυτών που βασίζονται στην

14 4 τεχνική του feedback linearization. Τέλος, θα τονίσουμε την ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο σε περίπτωση ύπαρξης αβέβαιων παραμέτρων, στοιχείο που αποτελεί τον βασικό άξονα αυτής της διπλωματικής εργασίας... Είδη μη γραμμικοτήτων Με τον όρο «μη γραμμικά συστήματα» θεωρούμε οποιοδήποτε σύστημα περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα μη γραμμικό όρο στις δυναμικές εξισώσεις που το περιγράφουν. Η ύπαρξη μη γραμμικών στοιχείων δυσχεράνει τόσο την ανάλυση της ευστάθειας όσο και την σχεδίαση κατάλληλου νόμου ελέγχου. Οι μη γραμμικότητες χωρίζονται σε δύο είδη: τις υπάρχουσες (ή φυσικές) και τις επιβαλλόμενες (ή τεχνητές) μη γραμμικότητες. Οι υπάρχουσες είναι αυτές που σχετίζονται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, όπως για παράδειγμα με την κίνηση. Παραδείγματα υπαρχουσών μη γραμμικοτήτων περιλαμβάνονται σε περιστροφικές κινήσεις ή σε τριβές Coulomb κατά την επαφή δύο επιφανειών. Συνήθως, τέτοιες μη γραμμικότητες έχουν ανεπιθύμητα αποτελέσματα και τα συστήματα ελέγχου πρέπει να τις αντισταθμίσουν κατάλληλα. Αντίθετα, οι επιβαλλόμενες μη γραμμικότητες προκαλούνται με τεχνητό τρόπο από την μηχανικό ελέγχου. Παραδείγματα επιβαλλόμενων μη γραμμικοτήτων είναι η εφαρμογή μη γραμμικών ελεγκτών είναι οι προσαρμοστικοί και οι βέλτιστοι bang-bang νόμοι ελέγχου. Επιπλέον, οι μη γραμμικότητες χωρίζονται και με βάση τις μαθηματικές τους ιδιότητες ως συνεχείς ή ασυνεχείς. Επειδή οι ασυνεχείς μη γραμμικότητες δεν μπορούν να προσεγγιστούν από γραμμικές συναρτήσεις, συνήθως ονομάζονται και ισχυρές μη γραμμικότητες. Οι ισχυρές μη γραμμικότητες (πχ. υστέρησης) εμφανίζονται συχνά στα συστήματα ελέγχου είτε η περιοχή λειτουργίας τους είναι μικρή είτε όχι. Στην περίπτωση μικρής περιοχής λειτουργίας, η προσέγγιση του μη γραμμικού συστήματος από γραμμικό εξαρτάται από το μέγεθος (πλάτος) αυτής της μη γραμμικότητας.

15 5.3. Μη γραμμικά συστήματα Ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σετ μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων της μορφής: x& = f( x, t) (.) όπου f είναι ένα n διάνυσμα συναρτήσεων και x ένα n διάνυσμα καταστάσεων. Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης n εκφράζει την τάξη του συστήματος. Η λύση x() t της εξίσωσης (.) αντιστοιχεί σε μια καμπύλη στον χώρο κατάστασης καθώς το t μεταβάλλεται από το μηδέν έως το άπειρο. Ο καμπύλη αυτή συνήθως ονομάζεται τροχιά καταστάσεων ή τροχιά συστήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι παρόλο που η εξίσωση (.) δεν περιλαμβάνει την είσοδο ελέγχου ως μεταβλητή, είναι άμεσα εφαρμόσιμη για συστήματα κλειστού βρόχου. Ειδικότερα, αν η δυναμική του ανοικτού συστήματος είναι: x& = f( x, u, t) (.) και εφαρμοστεί ένας νόμος ελέγχου της μορφής: u = g( x, t) τότε το σύστημα κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: ( ) x& = f x, g x, t, t το οποίο μπορεί να γραφεί στη μορφή της (.). Επίσης, η εξίσωση (.) μπορεί να περιγράφει και συστήματα με μηδενική είσοδο, όπως για παράδειγμα ένα ελεύθερο εκκρεμές. Όσον αφορά την τροχιά του συστήματος x() t, είναι πιθανόν να αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο ισορροπίας. Όπως θα περιγραφεί στην επόμενη παράγραφο, πολλά προβλήματα ευστάθειας ορίζονται με βάση τα σημεία ισορροπίας. Ο ορισμός του σημείου ισορροπίας φαίνεται παρακάτω:

16 6 Ορισμός.: Μια κατάσταση x * ονομάζεται κατάσταση ισορροπίας (ή σημείο ισορροπίας) του συστήματος εάν η τροχιά x() t γίνει ίση με x * και παραμείνει ίση με x * για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή. Ο παραπάνω ορισμός εκφράζεται με μαθηματικό τρόπο ως: = f ( x*) (.3) Με βάση τα σημεία ισορροπίας, στην παράγραφο που ακολουθεί, δίνονται τα απαραίτητα θεωρήματα ευστάθειας για οποιοδήποτε μη γραμμικό σύστημα..4. Θεωρήματα ευστάθειας Η ευστάθεια ενός συστήματος ελέγχου αποτελεί την βασικότερη ιδιότητά του, καθώς ένα ασταθές σύστημα είναι άχρηστο και πολλές φορές επικίνδυνο. Κάθε τέτοιο σύστημα, γραμμικό ή μη γραμμικό, περιλαμβάνει ένα πρόβλημα ευστάθειας το οποίο πρέπει να μελετηθεί με προσοχή. Συγκεκριμένα, ένα σύστημα θεωρείται ευσταθές εάν ξεκινώντας από ένα σημείο κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας παραμένει σε μια περιοχή γύρω από αυτό για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή. Τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας αντιστοιχούν στα θεωρήματα Lyapunov, αλλά πριν τα αναφέρουμε πρέπει να δώσουμε πρώτα τους απαραίτητους ορισμούς. Ορισμός.: Το σημείο ισορροπίας x = ονομάζεται ευσταθές εάν για οποιοδήποτε R > υπάρχει r > τέτοιο ώστε εάν x() < r, τότε ισχύει x() t < R για κάθε t >. Σε αντίθετη περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές.

17 7 Ο παραπάνω ορισμός εκφράζει την ευστάθεια κατά Lyapunov, η οποία με απλά λόγια δηλώνει ότι η τροχιά του συστήματος παραμένει αρκετά κοντά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας εάν ξεκινήσει αρκετά κοντά σε αυτό. Όμως, σε πολλά προβλήματα η ευστάθεια κατά Lyapunov δεν είναι αρκετή, καθώς όταν ένα σύστημα διαταραχθεί από τη μηδενική θέση ισορροπίας, δεν επιθυμούμε απλώς να παραμείνει κοντά σε αυτή αλλά να επιστρέψει πλήρως στην αρχική θέση. Η απαίτηση αυτή περιγράφεται με τον ορισμό της ασυμπτωτικής ευστάθειας. Ορισμός.3: Το σημείο ισορροπίας x = είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εάν είναι ευσταθές και επιπλέον υπάρχει κάποιο r > τέτοιο ώστε εάν x() < r, τότε ισχύει xt () καθώς t. Οι ορισμοί της ευστάθειας κατά Lyapunov, της ασυμπτωτικής ευστάθειας και της αστάθειας γίνονται κατανοητοί από το γράφημα που ακολουθεί. Σχήμα.: Ασυμπτωτική ευστάθεια () Ευστάθεια κατά Lyapunov () Αστάθεια (3)

18 8 Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, γίνονται κατανοητά τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας, τα οποία είναι γνωστά ως θεωρήματα Lyapunov. Το πρώτο θεώρημα ονομάζεται μέθοδος γραμμικοποίησης Lyapunov ή τοπική ευστάθεια ενός μη γραμμικού συστήματος. Βασίζεται στην υπόθεση ότι ένα μη γραμμικό σύστημα συμπεριφέρεται σαν γραμμικό σε μια μικρή περιοχή του σημείου ισορροπίας. Θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα (.) όπου η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Τότε, η δυναμική του συστήματος μπορεί να γραφεί ως: f x& = x+ fhot...( x) (.4) x x= όπου η f hot... αντιπροσωπεύει τους όρους υψηλότερης τάξης της f όταν αναπτυχθεί σε σειρά aylor γύρω από το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η σειρά aylor ξεκινά από τον πρώτο όρο καθώς f () =, αφού το είναι το σημείο ισορροπίας. Μπορούμε, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε έναν σταθερό πίνακα A ο οποίος να ισοδυναμεί με τον ιακωβιανό πίνακα της f στο x = (δηλ. ένας πίνακας n n με στοιχεία f / x ): i j f A = x x= (.5) Τότε το σύστημα: x& = Ax (.6) ονομάζεται γραμμικοποίηση (ή γραμμική προσέγγιση) του αρχικού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το. Αντίστοιχα για ένα μη γραμμικό σύστημα με είσοδο της μορφής (.), η γραμμική του προσέγγιση γίνεται: f f x& = x + u = Ax + Bu (.7) x u x= x=

19 9 Κάνοντας χρήση των γραμμικοποιημένων συστημάτων, μπορούμε να δώσουμε την έκφραση του πρώτου θεωρήματος Lyapunov. Θεώρημα.: Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι αυστηρώς ευσταθές (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του A είναι αυστηρά στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (για το μη γραμμικό σύστημα). Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές (δηλ. τουλάχιστον μία ιδιοτιμή του A είναι αυστηρά στο δεξί μιγαδικό επίπεδο), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές (για το μη γραμμικό σύστημα). Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι οριακά ευσταθές (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του A είναι στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο, αλλά τουλάχιστον μία είναι πάνω στον φανταστικό άξονα), τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την ευστάθεια του μη γραμμικού συστήματος από την γραμμική του προσέγγιση. Σε πολλά συστήματα, η γραμμική προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού συστήματος δεν μπορεί να υπολογιστεί, ή όπως είδαμε από το παραπάνω θεώρημα, δεν μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για την ευστάθεια. Για τον λόγο αυτό, θα αναπτύξουμε το δεύτερο θεώρημα Lyapunov που βασίζεται στην απόδειξη τοπικής καθώς και πλήρης ευστάθειας του συστήματος. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή και ως άμεση μέθοδος Lyapunov. Θεώρημα.: Εάν σε μια περιοχή B R υπάρχει μια συνάρτηση V( x) με συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης τέτοιες ώστε: η V( x ) να είναι θετικά ορισμένη (τοπικά στο R η V& ( x) να είναι αρνητικά ημι-ορισμένη (τοπικά στο R B ) B )

20 τότε το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές. Εάν, επιπλέον, η αρνητικά ορισμένη στο B R, τότε η ευστάθεια είναι ασυμπτωτική. V& ( x) είναι Το θεώρημα αυτό, για ένα μη γραμμικό σύστημα καταστάσεων, γίνεται κατανοητό από το σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα.: Η άμεση μέθοδος Lyapunov Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να γενικευτεί ώστε να αποδεικνύει πλήρη ευστάθεια του μη γραμμικού συστήματος. Το γεγονός αυτό περιγράφει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα.3: Θεωρούμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση πρώτες παραγώγους, τέτοια ώστε: η V( x ) να είναι θετικά ορισμένη η V& ( x) να είναι αρνητικά ορισμένη V( x) καθώς x V( x) με συνεχείς Τότε το μηδενικό σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.

21 Το Θεώρημα.3 αποτελεί ένα από τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων, ενώ επιπλέον αποτελεί τη βάση για την απόδειξη της ευστάθειας των προτεινόμενων ελεγκτών που θα παρουσιαστούν στην παρούσα εργασία..5. Έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων Όπως αναλύσαμε στις προηγούμενες παραγράφους, η μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων γίνεται με διαφορετική προσέγγιση από ότι στα γραμμικά. Το γεγονός αυτό οδηγεί στην ανάγκη για σχεδίαση κατάλληλων μη γραμμικών νόμων ελέγχου. Τα τελευταία χρόνια γίνεται μεγάλη έρευνα για την ανάπτυξη μη γραμμικών ελεγκτών που βασίζονται σε τεχνικές Lyapunov, παθητικότητας είτε χρησιμοποιούν ενεργειακές μεθόδους. Ωστόσο, οι βασικότερες τεχνικές ελέγχου για μη γραμμικά συστήματα, οι οποίες αποτελούν και τις θεμελιώδεις μεθόδους, βασίζονται στην θεωρία του feedback linearization. Η κεντρική ιδέα του feedback linearization βασίζεται στην αλγεβρική μετατροπή του μη γραμμικού συστήματος σε ένα πλήρως ή μερικώς γραμμικό, ώστε μπορούν να εφαρμοστούν οι κλασσικοί γραμμικοί ελεγκτές. Η τεχνική αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση των δυναμικών μοντέλων για την σχεδίαση σθεναρών ή προσαρμοστικών μη γραμμικών ελεγκτών. Υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις του feedback linearization: η input-state linearization και η input-output linearization. Αρχικά θα παρουσιάσουμε τη θεωρία του input-state linearization. Θεωρούμε το πρόβλημα σχεδίασης της εισόδου ελέγχου u ενός μη γραμμικού συστήματος της μορφής: x& = f( x, u) Το input-state linearization λύνει το πρόβλημα σε δύο βήματα. Πρώτα, αναζητούμε έναν μετασχηματισμό κατάστασης z = w( x) και έναν μετασχηματισμό εισόδου u = g( x, v) ώστε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα να μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο σύστημα

22 της μορφής z& = Az+ Bv. Στο δεύτερο βήμα, σχεδιάζουμε έναν γραμμικό νόμο ελέγχου (όπως τοποθέτηση πόλων) για την καινούργια είσοδο v. Πολλές φορές δεν είναι δυνατή η εφαρμογή του input-state linearization επειδή δεν μπορεί να βρεθεί κατάλληλος μετασχηματισμός κατάστασης ή εισόδου. Στις περιπτώσεις αυτές, μπορούμε να καταφύγουμε στην τεχνική input-output linearization. Θεωρούμε, λοιπόν, το παρακάτω σύστημα: x& = f( x, u) y = h( x) (.8) Έστω ότι στόχος είναι η έξοδος yt () να παρακολουθεί μια επιθυμητή τροχιά yd ( t ), όπου οι παράγωγοί της είναι φραγμένες, ενώ ταυτόχρονα όλες οι καταστάσεις επιβάλλεται να είναι φραγμένες. Η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι η έξοδος y δεν είναι άμεσα συνδεδεμένη με την είσοδο ελέγχου u. Για να άρουμε αυτή τη δυσκολία παραγωγίζουμε την έξοδο y έως ότου εμφανιστεί μια άμεση μαθηματική σχέση εισόδου-εξόδου. Μόλις συμβεί αυτό, εφαρμόζουμε στην είσοδο ένα μετασχηματισμό u = g( x, v) ώστε να διώξουμε όλες τις μη γραμμικότητες και να καταλήξουμε, στις περισσότερες περιπτώσεις σε ένα γραμμικό σύστημα της μορφής: ( r ) y = v (.9) όπου r είναι ο αριθμός των παραγωγίσεων που κάναμε για να δημιουργήσουμε άμεση σχέση εισόδου-εξόδου και v είναι η καινούργια είσοδος. Τώρα, όπως και στην προηγούμενη μέθοδο, εφαρμόζουμε έναν γραμμικό ελεγκτή παρακολούθησης για το σύστημα (.9). Στην περίπτωση του input-output linearization αξίζει να τονίσουμε ότι μετά τη σχεδίαση του ελεγκτή, δεν είμαστε πάντοτε σίγουροι για την ευστάθεια του κλειστού συστήματος. Σε περίπτωση που r< n, όπου n είναι η τάξη του συστήματος, τότε οι n r καταστάσεις είναι μη παρατηρήσιμες κατά το input-output linearization. Ο έλεγχος της ευστάθειας αυτών των καταστάσεων (internal dynamics) ολοκληρώνει την τεχνική αυτή, ενώ σε αντίθετη περίπτωση το σύστημα οδηγείται σε αστάθεια.

23 3.6. Η ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο Πολλά από τα δυναμικά συστήματα που επιθυμούμε να ελέγξουμε, περιλαμβάνουν αργά μεταβαλλόμενες αβέβαιες παραμέτρους. Για παράδειγμα, οι ρομποτικοί βραχίονες μπορεί να μεταφέρουν μεγάλα αντικείμενα με άγνωστες αρχικές παραμέτρους, ενώ τα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας είναι πιθανόν να οδηγούν φορτία που παρουσιάζουν μεγάλες και συνεχείς μεταβολές. Οι περιπτώσεις αυτές οδήγησαν στην αναζήτηση ενός διαφορετικού είδους ελέγχου ο οποίος ονομάζεται προσαρμοστικός έλεγχος και μπορεί να οδηγεί κατάλληλα το υπό έλεγχο σύστημα παρά την ύπαρξη αβέβαιων παραμέτρων. Η βασική ιδέα του προσαρμοστικού ελέγχου είναι η on-line εκτίμηση των αβέβαιων παραμέτρων του μοντέλου, βασιζόμενη στις μετρήσεις του συστήματος, και η χρησιμοποίηση των εκτιμούμενων παραμέτρων στο σχεδιασμό της εισόδου ελέγχου. Έτσι, ένα προσαρμοστικό σύστημα ελέγχου μπορεί να θεωρηθεί ένα σύστημα με on-line εκτίμηση παραμέτρων. Καθώς τα προσαρμοστικά συστήματα ελέγχου είναι κατά βάση μη γραμμικά, είτε εφαρμόζονται σε γραμμικά είτε σε μη γραμμικά μοντέλα, η ανάλυση και ο σχεδιασμός τους συνδέεται άμεσα με τη θεωρία των μη γραμμικών συστημάτων και κυρίως τη θεωρία Lyapunov. Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις για τη σχεδίαση ενός προσαρμοστικού ελεγκτή: ο προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς και ο αυτοσυντονιζόμενος ελεγκτής. Ο προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς περιλαμβάνει 4 μέρη: ένα μοντέλο που περιέχει άγνωστες παραμέτρους, ένα μοντέλο αναφοράς που προσδιορίζει την επιθυμητή έξοδο του συστήματος, ένα νόμο ελέγχου με προσαρμοζόμενες παραμέτρους και έναν μηχανισμό προσαρμογής για την on-line ενημέρωση των παραμέτρων αυτών. Το σχηματικό διάγραμμα του προσαρμοστικού ελέγχου με μοντέλο αναφοράς φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

24 4 Σχήμα.3: Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς Η δεύτερη βασική προσαρμοστική μέθοδος ελέγχου, η οποία καλείται αυτοσυντονιζόμενος έλεγχος, περιλαμβάνει έναν κατάλληλο εκτιμητή ο οποίος εκτιμά τις αβέβαιες παραμέτρους του μοντέλου και προσαρμόζει κατάλληλα τον ελεγκτή. Η βασική ιδέα του αυτοσυντονιζόμενου ελεγκτή είναι η εξής: σε κάθε χρονική στιγμή ο εκτιμητής στέλνει στον ελεγκτή μια ομάδα των εκτιμούμενων παραμέτρων στου συστήματος, οι οποίες προσδιορίζονται με βάσει τις μετρήσεις της εισόδου u και της εξόδου y του αβέβαιου συστήματος. Ο υπολογιστής υπολογίζει τις αντίστοιχες παραμέτρους του ελεγκτή ο οποίος δημιουργεί την είσοδο ελέγχου u η οποία προκαλεί μια νέα έξοδο y του συστήματος και ο κύκλος επαναλαμβάνεται. Το διάγραμμα του αυτοσυντονιζόμενου ελεγκτή φαίνεται στο Σχήμα.4.

25 5 Σχήμα.4: Αυτοσυντονιζόμενος ελεγκτής Όμως, η μη γραμμική μορφή των συστημάτων οδήγησε στην αναζήτηση νέων προσαρμοστικών μεθόδων οι οποίες βασίζονται στο αρχικό μη γραμμικό σύστημα. Διάφοροι μη γραμμικοί προσαρμοστικοί ελεγκτές έχουν προταθεί κατά καιρούς, οι οποίοι περιλαμβάνουν κατάλληλους εκτιμητές που βασίζονται στην τεχνική Lyapunov. Στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε ένα καινούργιο είδος μη γραμμικού προσαρμοστικού ελέγχου ο οποίος δεν θα χρησιμοποιεί εκτιμητές ενώ ταυτόχρονα θα εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια για το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόχου. Ένας τέτοιος ελεγκτής θα παρουσιαστεί στο επόμενο κεφάλαιο..7. Σύνοψη κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν οι βασικές αρχές των μη γραμμικών συστημάτων. Τονίστηκε η ανάγκη για μελέτη των ακριβών μοντέλων καθώς και τα βασικά θεωρήματα ευστάθειας κατά Lyapunov για την απόδειξη τοπικής και πλήρης ευστάθειας. Στη συνέχεια αναφέραμε την πιο βασική μέθοδο μη γραμμικού ελέγχου που βασίζεται στην τεχνική του feedback linearization ενώ τέλος, η ύπαρξη αβέβαιων παραμέτρων στο ελεγχόμενο σύστημα οδήγησε στην ανάγκη για σχεδίαση προσαρμοστικών ελεγκτών οι οποίοι μπορεί να περιλαμβάνουν κατάλληλους εκτιμητές για τον προσδιορισμό των παραμέτρων αυτών.

26 6

27 7 Κεφάλαιο Προσαρμοστικός έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων δεύτερης τάξης.. Εισαγωγή Στη σύγχρονη εποχή, εξαιτίας της σύνθετης και αβέβαιης φύσης των συστημάτων που συναντώνται σε βιομηχανικές εφαρμογές, δεν είναι πάντοτε διαθέσιμα αξιόπιστα μοντέλα για την περιγραφή τους. Κατάλληλοι για την αντιμετώπιση τέτοιων αβεβαιοτήτων είναι οι προσαρμοστικοί ελεγκτές αφού αντιμετωπίζουν τα υψηλά επίπεδα των σφαλμάτων του συστήματος βελτιώνοντας με τον τρόπο αυτό την απόδοσή του. Ωστόσο ένας βασικός περιορισμός των προσαρμοστικών ελεγκτών είναι ότι οι παράμετροι του συστήματος χαρακτηρίζονται από γνωστή δομή (π.χ πολυώνυμα γνωστής τάξης) αλλά η πλήρης μορφή τους παραμένει άγνωστη [4, 6, 7, 8]. Αν η αβεβαιότητα των παραμέτρων του συστήματος είναι μη γραμμική ή αν είναι μη γραμμικώς εξαρτημένη από τις καταστάσεις του, τότε οι προσαρμοστικοί ελεγκτές που βασίζονται σε γραμμικά μοντέλα μπορούν πιθανότατα να μειώσουν την απόδοση του συστήματος, ακόμα και να το οδηγήσουν στην αστάθεια. Στην παρούσα εργασία για ένα μη γραμμικό πολυμεταβλητό δυναμικό σύστημα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα, αναπτύσσουμε έναν μη γραμμικό

28 8 προσαρμοστικό ελεγκτή που εγγυάται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόγχου. Αυτό επιτυγχάνεται χωρίς να γνωρίζουμε τις μη γραμμικότητες του συστήματος παρά μόνο έχοντας υποθέσει ότι είναι συνεχείς και κάτω φραγμένες. Έπειτα επεκτείνουμε τα αποτελέσματα σε συστήματα όπου οι μη γραμμικότητες δεν είναι φραγμένες. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα αυτά, καταλήγουμε σε έναν ολοκληρωμένο προσαρμοστικό ελεγκτή ο οποίος εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια σε συστήματα δεύτερης τάξης με πολυωνυμικές μη γραμμικότητες, οι οποίες περιλαμβάνουν άγνωστες παραμέτρους και άγνωστη τάξη. Αξίζει να τονίσουμε ότι ο ελεγκτής αυτός διαφέρει από τους συνήθεις προσαρμοστικούς ελεγκτές που περιλαμβάνουν εκτίμηση παραμέτρων για συστήματα με πολυωνυμικές μη γραμμικότητες. Ο λόγος που διαφέρει είναι ότι ο προτεινόμενος ελεγκτής δεν εξαρτάται από τις παραμέτρους και δεν απαιτεί γνώση της τάξης των μη γραμμικών πολυωνύμων. Ως εκ τούτου, η μεθοδολογία μας είναι βασισμένη στη σχεδίαση ενός απλού ελεγκτή ο οποίος θα ελαχιστοποιεί την πολυπλοκότητα ενός συστήματος που περιλαμβάνει αβεβαιότητα και θα εγγυάται ευστάθεια κατά την εφαρμογή του. Με τον όρο απλό αναφερόμαστε στη μη χρησιμοποίηση εκτιμητών για τις παραμέτρους του συστήματος κατά τη σχεδίαση του προσαρμοστικού αυτού ελεγκτή... Προσαρμοστικός έλεγχος μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων δεύτερης τάξης Στο κεφάλαιο εξετάζουμε το πρόβλημα της ευστάθειας ενός μη γραμμικού δυναμικού συστήματος δεύτερης τάξης με εξωγενής διαταραχές κάτω από την επίδραση ενός μη γραμμικού ελεγκτή. Συγκεκριμένα θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα δεύτερης τάξης Σ με αβεβαιότητα που δίνεται από την παρακάτω μορφή: && & με q() q, Mq() t + Cqt ( ()) qt () + Kqt ( ()) qt () = ut () + Dwt (), & & = q() = q και t (.)

29 9 όπου n qt (), qt &(), qt &&() R, t, την επιτάχυνση αντίστοιχα, ενώ αντιπροσωπεύουν την θέση, την ταχύτητα και n ut () R, t, είναι η είσοδος του ελέγχου, wt () d n n R είναι γνωστό φραγμένο σήμα, M R n n, C: R R n, n n n n d K : R R, D R Υποθέτουμε ότι, πίνακες, όπου S είναι M > C(), K() S είναι συνεχείς n n F( k, j) F n n n ( k, i) S = F: R R : F( q) = F ( q), qk ( q) = qk ( q), i, j =,..., n k= qi k= qj και τα στοιχείο του και D() i (.) δείχνουν το i στοιχείο του q ενώ το q F () (, ) (). Σε διαφορετική περίπτωση θεωρούμε ότι τα k j δηλώνει το (k,j) F M, C(), K() μπορεί να είναι άγνωστα. Πρέπει να τονίσουμε ότι αν και το θεωρείται γνωστό, το σήμα wt (), t Dw(), t t φραγμένη διαταραχή. Η είσοδος ελέγχου u() είναι μια άγνωστη ανήκει στην τάξη αποδεκτών ελεγκτών που αποτελούνται από μετρήσιμες συναρτήσεις, n ut () R, t. Επιπλέον, για το δυναμικό σύστημα Σ με αβεβαιότητα, υποθέτουμε ότι οι απαραίτητες ιδιότητες για την ύπαρξη και την μοναδικότητα της λύσης ικανοποιούνται, δηλαδή C(), K(), u( t), και w () ικανοποιούν επαρκείς συνθήκες ώστε η (.) να έχει μοναδική λύση καθώς t. των Στην συνέχεια, με x = q, x = q& και x = x, x, η (.) υπό την μορφή καταστατικών εξισώσεων δίνεται ως εξής : x& () t x() t, x() t = & M ( K( x()) t x() t + C( x()) t x() t u() t Dw()) t x () q, t. x() = q & (.3) Για την διατύπωση του παρακάτω θεωρήματος ορίζουμε B [ I ] =,. n n

30 3 Θεώρημα.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). n Υποθέτουμε ότι υπάρχει ε R τέτοιο ώστε Cx ( ) ε In και K( x ) ε In, q R. n n Έστω, n n d d Q Q R, Y R, Z R και P R είναι θετικά ορισμένα, με p p P p p την σχέση: = και. Τότε ο προσαρμοστικός έλεγχος που δίνεται από p > ut () =Ψ () txt () +Φ () twt () (.4) όπου () n n n d Ψ t R, t και Φ() t R, t με νόμους αναπροσαρμογής: & () t QB ( P In ) x() t x () t Y, Ψ = & () t QB ( P In ) x() t w () t Z, Φ = Ψ () =Ψ, (.5) Φ () =Φ, (.6) n n εγγυάται ότι η λύση ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) (, K, D), με K R, του κλειστού συστήματος που δίνεται από τις (.3)-(.6) είναι ευσταθής κατά Lyapunov n και ότι x καθώς t για όλα τα x R. g g Απόδειξη: Έστω α, β R τέτοια ώστε am β q R n, (.7) K( q), M Cq ( ), και k, k R g g τέτοια ώστε k g < a, (.8) k g p (4 p p ( a kg ) < β + p ). (.9) Επίσης έστω K g = [ kgm, kgm] και ορίζουμε Ψ % () t =Ψ() t K g, Φ % () t =Φ () t + D, Cx % ( ) = Cx ( ) kgm και K% ( x) = K( x) kg M τέτοια ώστε το κλειστό σύστημα με είσοδο ut (), t που δίνεται από τις (.3), (.4) γίνεται:

31 3 x& () t x() t, x() t = M ( K( x()) t x() t + C( x()) t x() t Ψ() t x() t Φ() t w()) t & % % % % x () t x() = q & q,. (.) Για να δείξουμε ευστάθεια Lyapunov για το κλειστό σύστημα (.5), (.6) και (.), θεωρούμε την υποψήφια συνάρτηση Lyapunov x x %, path, path V( x, ΨΦ, ) = x ( P M) x+ p σ K( σ) dσ + p σ C% ( σ) dσ + + trq Ψ% Y Ψ % + trq ΦΖ % Φ% Τ (.) όπου τα όρια των ολοκληρωμάτων στην (.) είναι τέτοια ώστε η n ολοκλήρωση να γίνεται από το μέχρι το x R. Επίσης τα όρια αυτά είναι καλώς ορισμένα αφού τέτοιες ώστε οι f k x C(), K() S και και k f c x f ( x ) = x K% ( x ), f ( x) xc( x) c = % είναι να είναι συμμετρικές και να εκφράζουν τις παραγώγους πραγματικών συναρτήσεων [7]. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό σ = θ x οπού θ [,] παίρνουμε: x = =, path σ K % ( σ) dσ θx K % ( θx ) xdθ [ x K % ( θx ) x ] θdθ n x R (.) Μια αντίστοιχη ανάλυση δείχνει ότι x, path σ C% n ( σ) dσ, x R. (.3) Επίσης σημειώνουμε ότι V(, K, D) = και ορισμένα και V( x, ΨΦ, ) g για όλα τα P, M, Q, Q, Y, Z V( x, ΨΦ, ) > ( x,, ) (, K, D). g είναι θετικά Ψ Φ Αντίστοιχα, η είναι μη φραγμένη συνάρτηση. Θεωρώντας, τώρα, xt (), t λύση του (.) και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.5)-(.7), καταλήγουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης Lyapunov κατά μήκος των τροχιών του κλειστού συστήματος δίνεται από τη σχέση: ως

32 3 V& ( x(), t Ψ(), t Φ ()) t = x ()( t P M) x& () t + x ()[ t pk% ( x()) t + pc% ( x())] t x& () t + trq Ψ% () t Y Ψ %& + trq Φ% () t Z Φ% & () t = [ px ( t) + px( t)] Mx( t) + x ()[ t pk% ( x()) t + pc% ( x())] t x() t [ px ( t) + px ( t)][ K% ( x()) t x() t + C% ( x()) t x() t Ψ% () t x() t Φ %() twt ()] + trq Ψ% () ty Ψ %& + trq Φ% () tz Φ &% () t = px () t K% ( x ()) t x () t + px () t Mx () t x ()( t pc% ( x ()) t Τ pm) x() t + trψ% ()[ t x() t x ()( t P In ) B + Y Ψ& () t Q ] Τ + trφ% ()[ t w() t x ()( t P In ) B + Z Φ& () t Q ] = px () t K% ( x ()) t x () t + px () t Mx () t x ()( t p C% ( x ()) t p M) x () t p ( a k ) x() tmx() t + px() tmx() t g ( p ( β k ) p ) x ( t) Mx ( t) g = x ()( t R M) x(), t t, (.4) όπου R p ( a k ) g = p p( β kg ) p p. Τώρα προκύπτει από τις (.8), (.9) ότι R > και αφού M >, η σχέση n n n n d (.4) δηλώνει ότι V& ( x( t), Ψ( t), Φ( t)), ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) R R R, t που αποδεικνύει ότι η λύση ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) (, K, D) (.) είναι ευσταθής κατά Lyapunov. Επιπλέον, αφού R M >, συνεπάγεται από Θεώρημα του [4] ότι xt () καθώς t για όλα τα x n. g για τις (.5), (.6) και R Παρατήρηση.: Αξίζει να σημειώσουμε ότι στο προηγούμενο θεώρημα αποδεικνύεται ότι xt () καθώς t κι έτσι προκύπτει από τις (.5) και

33 33 (.6) ότι καθώς t. n n n n d ( xt ( ), Ψ( t), Φ( t)) M= {( x, Ψ, Φ) R R R : x=, Ψ =, Φ = } & & Παρατήρηση.: Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι τα όρια των n K( q) και Cq ( ), q R, δεν χρειάζεται να είναι γνωστά για να εφαρμόσουμε τον προσαρμοστικό ελεγκτή (.4)-(.6). Το μόνο που χρειάζεται είναι τα K (), C( ) S και K (), C() να είναι συνεχή και κάτω φραγμένα αλλά κατά τα n n άλλα άγνωστα. Επιπλέον, ο M R πρέπει να είναι θετικά ορισμένος αλλά μπορεί να είναι και αυτός άγνωστος. Παρατήρηση.3: Φαίνεται από την απόδειξη του Θεωρήματος. ότι το n θεώρημα αυτό ισχύει και για την περίπτωση όπου qkqq ( ) ε qq, q R. Η συνθήκη αυτή είναι πιο ασθενής από την απαίτηση ότι K( q) ε I, q R Αυτή η παρατήρηση αποτελεί κλειδί για την ανάπτυξη μερικών αποτελεσμάτων που θα συναντήσουμε παρακάτω. Όμως μια παρόμοια με αυτήν παρατήρηση για την C() δεν θα ισχύει γιατί ο απαραίτητος όρος που πρέπει να είναι φραγμένος είναι ο qcqq & ( )& και όχι ο qcqq ( ). n n. Το Θεώρημα. μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση όπου τα K( q) n και Cq ( ), q R είναι κάτω φραγμένα. Στην πράξη όμως, τα K( q) και n Cq, ( ) q R συχνά δεν είναι φραγμένα. Έτσι στην συνέχεια θα δώσουμε ένα πόρισμα του Θεωρήματος. που μας δείχνει τι θα συμβεί στην περίπτωση n που τα K( q ) και Cq ( ), q R είναι μη φραγμένες συναρτήσεις. Πόρισμα.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι υπάρχουν γνωστές συναρτήσεις πίνακα K ( ) b q, Cb ( q) S και ένα ε R τέτοιο n ώστε Cx ( ) C( x) ει και K ( x) Kb( x) ειn, x R. Επίσης έστω b n

34 34 Q Q R Y R Z R P R με n n n n d d,,,, θετικά ορισμένα όπου P p p = p p p >. Τότε ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου που είναι της μορφής: ut () = K( x()) t x() t + C( x()) t x() t + Ψ tx() t +Φ () twt () (.5) b b () n n t R n d όπου Ψ, t και Φ() t R, t με νόμους αναπροσαρμογής (.5) και (.6), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος n n ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) (, K, D), όπου η K R, που δίνεται από τις σχέσεις g (.3), (.5), (.6) και (.5), είναι ευσταθής κατά Lyapunov και καθώς t για όλα τα x R n. g xt () Απόδειξη: Ξαναγράφουμε την (.) σαν Mq&& () t + Cqt ˆ( ()) qt &() + Kqt ˆ ( ()) qt () = ut ˆ() Dwt (), + q() = q, q& () = q& t (.6) Cq ˆ( ) = Cq ( ) C ( ) ( ) b q Kq ˆ ( ) = Kq ( ) Kb ( q ) ˆ = Cb( q) q& Kb q q. όπου, και u u Με τον τρόπο αυτό παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι ένα απευθείας συμπέρασμα του Θεωρήματος (.). Παρατήρηση.4: Σημειώνουμε ότι το Πόρισμα. δίνει έναν προσαρμοστικό ελεγκτή που εγγυάται ευστάθεια για συστήματα με υψηλές μη γραμμικότητες στους συντελεστές απόσβεσης και δυσκαμψίας Cq ( ) και n Kq ( ), q R. Για παράδειγμα, στην ειδική περίπτωση όπου το n=, θεωρούμε ότι τα C() και K () ανήκουν σε ένα σύνολο από μη γραμμικότητες που δίνονται από: { } N = n: R R: n( q) as q. (.7)

35 35 Μια τέτοια μη γραμμικότητα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα.: Απεικόνιση μη γραμμικότητας n() N Σε αυτήν την περίπτωση, με Cb ( q) = q και Kb( q) = q, το Πόρισμα. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κατασκευάσουμε σθεναρούς ελεγκτές που εγγυώνται ευστάθεια λαμβάνοντας υπόψη την τάξη της μη γραμμικότητας. Επιπλέον, σε αντίθεση με την θεωρία απόλυτης ευστάθειας, εδώ οι μη γραμμικότητες n() N δεν απαιτείται να είναι φραγμένες ούτε να ικανοποιούν n () =. Στην συνέχεια, γενικεύουμε το Θεώρημα. και το Πόρισμα. στην περίπτωση που τα Cq ( ) ( θc In) Cb( q) και K ( q) ( θk In) Kb( q ) είναι κάτω p pn n φραγμένα και θc, θk R είναι άγνωστες παράμετροι, ενώ C, : R b Kb είναι γνωστές συναρτήσεις.

36 36 Θεώρημα.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι p υπάρχει σταθερό ε R, παράμετροι θ, θ, και συμμετρικές συναρτήσεις c k R n pn πίνακα, : τέτοια ώστε R θ ε και Cb Kb R n Cx ( ) ( c In) Cb( x) In Κ. Επιπλέον, έστω C ( ), K ( ) S, i =,..., p ( x ) ( θ I ) K ( x ) εi, x R n όπου k n b n C bi (), K C ( ) ( ),..., ( ) bi ( ) είναι τέτοια ώστε b x = Cb x Cbp x ( ), ) n n K ( x ) = K x..., K ( x, και ακόμα έστω Q, Q R, b b bp n n R d d Q3, Q p p 4 R, Y, Z R P p p και P R bi bi και θετικά ορισμένα με = p p με p >. Τότε ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου της μορφής: ( ) ( ) ut () = Θ () t I K( x()) t x() t + Θ () t I C( x()) t x() t +Ψ () txt () +Φ () twt ()(.8) όπου k n b c n b p n d Θ (), t Θ () t R, t και Φ() t R, t, με νόμους αναπροσαρμογής (.5), (.6) και k c Θ & () t = Q ( I x ()) t K ( x ()) t B ( P I ) x(), t k 3 p b n Θ & ( t) = Q ( I x ( t)) C ( x ( t)) B ( P I ) x( t), c 4 p b n Θ () =Θ, k k Θ () =Θ, c c (.9)-(.) εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος n n ( ( ), Ψ( ), Φ( ), Θ ( ), Θ ( )) (,,, θ, θ ), με K R, είναι ευσταθής xt t t c t k t Kg D c k κατά Lyapunov και xt () καθώς t για όλα τα g x n R. Απόδειξη: Έστω a, b R τέτοια ώστε am K( q) ( θ I ) K ( q), βm Cq ( ) ( θ I) C( q). k n b c n b και έστω k, k Rτέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις (.8) και (.9). g g Επίσης ορίζουμε Cx % ( ) = Cx ( ) ( θ I) C( x) k M, Kx %( ) = Kx ( ) ( θ I) K( x) k M, c n b g k n b g Θ % k() t =Θk() t θ και () () k Θ % c t =Θc t θ και θεωρούμε την υποψήφια συνάρτηση c Lyapunov

37 37 x x %, path, path V( x, ΨΦΘ,, k, Θ c) = x ( P M) x+ p σ K( σ) dσ + p σ C% ( σ) dσ + Τ Τ + trq ΨΥ % Ψ % + trq ΦΖ % Φ % + Θ% kq3 Θ % k + Θ% cq4 Θ% c, (.) όπου τα όρια του ολοκληρώματος στην παραπάνω σχέση λαμβάνονται για n οποιαδήποτε διαδρομή ολοκλήρωσης από το μηδέν έως το x R. Στη συνέχεια, η απόδειξή είναι ίδια με αυτήν που πραγματοποιήθηκε για το Θεώρημα.. Παρατήρηση.5: Το Θεώρημα. μας δίνει μια γενίκευση του Πορίσματος. αφού τώρα το Cq ( ) ( θc In) Cb( q) και K ( q) ( θk In) Kb( q ) είναι κάτω φραγμένα αντίθετα με την περίπτωση του πορίσματος όπου τα Cq ( ) Cb ( q) και Kq ( ) Kb( q) ήταν κάτω φραγμένα. Αυτό επιτρέπει την ύπαρξη υψηλότερων μη γραμμικοτήτων για τα C() και K(). Για να γίνει αυτό κατανοητό, ανατρέχουμε στην Παρατήρηση.4 όπου έστω n= και τα C(), K() να ανήκουν σε ένα σύνολο μη γραμμικοτήτων που δίνονται από: { : : lim ( ) q } N = n R R n q exists. (.) Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν θk, θc R τέτοια ώστε Cq ( ) θcq και Kq ( ) θkq να είναι κάτω φραγμένα. Τέλος, να σημειώσουμε επίσης ότι Nc N..3. Πολυωνυμική αβεβαιότητα με άγνωστους συντελεστές και άγνωστη τάξη Σε αυτήν την παράγραφο παρέχουμε ειδικές περιπτώσεις του Πορίσματος. και του Θεωρήματος. που απευθύνονται σε μη γραμμικότητες για τις οποίες πάντοτε υπάρχουν C() και K () που ικανοποιούν τις συνθήκες του Πορίσματος. και του Θεωρήματος.. Τα πρώτα αποτελέσματα αφορούν συστήματα δεύτερης τάξης.

38 38 Πρόταση.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι n= και έστω τα C() και K() είναι άγνωστα πολυώνυμα. Έστω Q, Q R, Y R, Z R, P R n n n n d d είναι θετικά ορισμένα όπου p p P = p p με p >. Τέλος, έστω α, β > και Cb : R R (αντίστοιχα K : R R) να δίνονται από μία από τις παρακάτω συνθήκες : b ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( ) (αντίστοιχα Kq) ( ) είναι γνωστή, N τότε επιλέγουμε C ( q) = aq + N + είναι περιττός, ή C ( q) aq b b N (αντίστοιχα ( )= + Kb q βq ) αν ο Ν N = (αντίστοιχα K ( q ) = βq + ) αν ο N είναι άρτιος. Εάν ο Ν είναι άρτιος και το πρόσημο του πρώτου συντελεστή του πολυωνύμου είναι θετικό τότε επιλέγω C ( ) b q = (αντίστοιχα Kb ( q ) = ). ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( )(αντίστοιχα Kq) ( ) είναι άγνωστη αλλά το πρόσημο σ = sgn a= a/ a, πολυωνύμου είναι γνωστό τότε επιλέγουμε C ( b q ) = α cosh( βq ) + ασsinh( β q) (αντίστοιχα Kb () q = αcosh( βq) + ασsinh( βq) ) αν το N είναι περιττός, ή Cb ( q) = α( σ ) cosh( βq) (αντίστοιχα b του πρώτου συντελεστή α του K ( ) ( )cosh( b q = α σ β q) ) αν το N είναι άρτιος. 3) Αν δεν είναι γνωστά ούτε η τάξη Ν του πολυωνύμου αλλά ούτε και το πρόσημο του σ του πρώτου συντελεστή του πολυωνύμου, τότε επιλέγουμε C ( q) = α cosh( βq) (αντίστοιχα K ( q) = α cosh( βq) ). b Στη περίπτωση αυτή ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου: ut () = K( x()) t x() t + C( x()) t x() t +Ψ () txt () +Φ () twt () (.3) b b όπου () t R d Ψ, t και Φ() t R, t νόμους αναπροσαρμογής (.5) και (.6), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος ( x( t) t t, ), όπου η K R, που δίνεται από τις σχέσεις, Ψ( ), Φ( )) (, Kg D g (.3), (.5), (.6) και (.3), είναι ευσταθής κατά Lyapunov και καθώς t για όλα τα x R. b xt ()

39 39 Απόδειξη: Η απόδειξή είναι μια άμεση συνέπεια του Πορίσματος. σημειώνοντας ότι τα C ( b q ) και Kb( q), q R που δίνονται από τις )-3) αποτελούν όρια των Cq ( ) και K ( q), q R, αντιστοίχως, σε καθεμιά από τις 3 περιπτώσεις. Εδώ θα δώσουμε την απόδειξη για το πολυώνυμο με Cq ( ) α = β =. Αντίστοιχα επιχειρήματα ισχύουν και για το πολυώνυμο K( q ) καθώς και στην περίπτωση α, β >. Ειδικότερα, να σημειώσουμε ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο περιττής τάξης με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου τη μονάδα N είναι κάτω φραγμένο. Ως εκ τούτου, για όλα τα q R, το Cq ( ) + q + είναι N κάτω φραγμένο αν το N είναι περιττός και το Cq ( ) + q + είναι κάτω φραγμένο αν το N είναι άρτιος. Επιπλέον, αν το N είναι άρτιος και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός τότε το Cq ( ), q R είναι κάτω φραγμένο κάτι που αποδεικνύει το αποτέλεσμα της συνθήκης ). Για να αποδείξουμε το αποτέλεσμα της δεύτερης συνθήκης, να σημειώσουμε ότι για όλα τα q R, το Cq ( ) είναι κάτω φραγμένο εάν το N είναι άρτιος και ο πρώτος συντελεστής είναι θετικός, το είναι κάτω φραγμένο εάν το N είναι άρτιος και ο πρώτος συντελεστής είναι q αρνητικός, το Cq ( ) + e είναι κάτω φραγμένο εάν N είναι περιττός και ο πρώτος συντελεστής είναι θετικός και το Cq ( ) Cq+ ( ) cosh( q) + e q είναι κάτω φραγμένο εάν το N είναι περιττός και ο πρώτος συντελεστής είναι αρνητικός. Τέλος, για να αποδείξουμε το αποτέλεσμα της τρίτης συνθήκης πρέπει να σημειωθεί ότι για όλα τα q R, το Cq ( ) + cosh( q) είναι κάτω φραγμένο ανεξαρτήτως του N και του πρόσημου του πρώτου συντελεστή. Παρατήρηση.6: Η Πρόταση. παρέχει έναν καθολικό προσαρμοστικό ελεγκτή χωρίς παραμέτρους για δευτεροβάθμια συστήματα με πολυωνυμικές μη γραμμικότητες των οποίων οι συντελεστές καθώς και ο βαθμός είναι άγνωστοι. Τονίζουμε ότι η (.3) διαφέρει από τους συνήθεις προσαρμοστικούς ελεγκτές που περιλαμβάνουν Ν νόμους αναπροσαρμογής για την εκτίμηση των συντελεστών των αβέβαιων πολυωνύμων. Σε

40 4 αντίθεση, η (.3) παρέχει έναν προσαρμοστικό ελεγκτή με ελάχιστη πολυπλοκότητα που περιλαμβάνει τις παραμέτρους K ( b x ) και C ( b x ). Μια πολυμεταβλητή γενίκευση της Πρότασης. δεν είναι τόσο εύκολα επιτεύξιμη. Για να γίνει αυτό κατανοητό, έστω Cq ( ) και K( q ) πολυμεταβλητές πολυωνυμικές συναρτήσεις πίνακα με q [ q, q ] =..., n. Έτσι παρόλο που μπορεί να δειχθεί ότι Cq ( ) Cb( q) ε In και Kq ( ) Kb( q) ε In n όπου Cb( q) = Kb( q) = n n cosh( q ) και i i U U R είναι ένας πίνακας με όλα τα = n στοιχεία μονάδα, τα C ( ) b q και K ( q), q R b δεν ανήκουν στο S που δίνεται από την (.). Βέβαια, μια επέκταση της Πρότασης. είναι η περίπτωση όπου τα Cq ( ) και K( q) είναι διαγώνια και αποσυζευγμένα, δηλαδή C( q ) = diag C(,) ( q ), C(,) ( q ),..., C( nn, ) ( q n) και παρόμοια ισχύει για το K( q ). Στην συνέχεια, θεωρούμε μια μερική γενίκευση της Πρότασης. για συστήματα δεύτερης τάξης. Για να δείξουμε αυτό το αποτέλεσμα το παρακάτω λήμμα είναι απαραίτητο. n Λήμμα.: Έστω f : R R συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησή τέτοια ώστε f( q) καθώς q, f () = και Τότε υπάρχει ε (,] τέτοιο ώστε f ( q) εq q. f q q = =. Απόδειξη: Από την μη φραγμένη συνθήκη προκύπτει ότι υπάρχει n n { } { } F = q R : f( q) q R : q r, r > τέτοιο ώστε: που δηλώνει ότι η F είναι συμπαγής. Έτσι αφού η f () είναι συνεχής προκύπτει ότι υπάρχει ε (,] τέτοιο ώστε f ( q), q F. Τώρα αφού η n f ( q) >, q R \ F συνεπάγεται ότι:

41 4 n f ( q) ε, q R. (.4) Στην συνέχεια ορίζουμε H ˆ ει > έτσι αφού f () = και n f ( q) ˆ εq q = q ( H ˆ ει ) q+ο ( q), όπου O: R R n f H = f είναι τέτοιο ώστε q q= q q = n υπάρχει δ ˆ ε > τέτοιο ώστε: ( ) ˆ ε,, δ. n f q q q q R q ˆ ε και έστω ˆ ε R τέτοιο ώστε = προκύπτει ότι Oq ( ) q καθώς το q. Επιπλέον Στην συνέχεια προκύπτει από την (.4) ότι: f( q) ε ε n, q R, q > δ ˆ ε. qq qq δ ˆ ε n ε Ως εκ τούτου, f ( q) εq q, q R όπου ε ˆ ε δ = min{, }. ˆ ε Πρόταση.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Έστω C(), K() είναι συναρτήσεις πίνακα που περιλαμβάνουν άγνωστα πολυώνυμα. Επιπλέον, υποθέτουμε C() είναι τέτοιο ώστε C(, i j) ( q) = C(, i j), i j και C(, i j) ( q) = C(, i j) ( qi) όπου C ( ) (, i j) q i, i =,..., n, είναι άγνωστα πολυώνυμα. Έστω n n n n d d Q, Q R, Y R, Z R και P R είναι θετικά ορισμένα όπου p p P = p p και p >. Τέλος έστω a, i βι >, ι =,..., n και έστω n n n C : R R n n n (αντίστοιχα K : R R ) δίνεται από μία από τις παρακάτω b συνθήκες: b

42 4 ) Αν η υψηλότερη τάξη N των πολυωνυμικών συναρτήσεων Cq ( ) (αντίστοιχα K( q )) είναι γνωστή, τότε επιλέγουμε M M M M C ( q) = diag[ a q,..., a q ] (αντίστοιχα K ( q) = diag[ a q,..., a n ] ) b n n όπου M είναι η μικρότερη άρτια παράγωγος τέτοια ώστε M > N. ) Αν η υψηλότερη τάξη N των πολυωνυμικών συναρτήσεων Cq(αντίστοιχα ( ) K( q )) είναι άγνωστη, τότε επιλέγουμε C, q ), b( q) = diag[ acosh( β..., a n cosh( β n, qn)] (αντίστοιχα K ( q) = diag[ a cosh( β, q ),..., a cosh( β, q )]). b Τότε ο προσαρμοστικός νομός ελέγχου ανάδρασης b n ut () = K( x()) t x() t + C( x()) t x() t +Ψ () txt () +Φ () txt () (.6) b όπου () n n Ψ t R, t και () n Φ t R d, t με νόμους αναπροσαρμογής (.5) και (.6), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος n n ( x( t), ( t), ( t)) (, K, ), όπου η K R, που δίνεται από τις σχέσεις Ψ Φ D g g (.3), (.5), (.6) και (.6), είναι ευσταθής κατά Lyapunov και καθώς t για όλα τα x R n. n n b n q xt () Απόδειξη: Η απόδειξή είναι μια άμεση συνέπεια του Πορίσματος. και της Παρατήρησης.3 σημειώνοντας ότι τα C ( ) b q και Kb ( q), q R που δίνονται από τις )-3) ανήκουν στο S και υπάρχει ε R τέτοιο ώστε Cq ( ) Cb( q) ειn και q ( K( q) Kb ( q)) q ε q q, q R, για κάθε μια από τις περιπτώσεις. Η πρώτη ανισότητα είναι άμεση από την Πρόταση. δοθείσας της δομής της C(). Για να δείξουμε την δεύτερη ανισότητα, ορίζουμε f ( q) = f( q) + f( q), όπου ( ) f ( ) q = q K q q και f ( q) = q Kb ( q) q. Ας σημειώσουμε ότι για την συνθήκη ), η f ( ) q είναι μια αρνητικά ορισμένη συνάρτηση για όλα τα n q R και έχει τάξη M +. Επιπλέον, αφού η f ( q) είναι μη φραγμένη και έχει τάξη μεγαλύτερη της f ( ) q, τότε προκύπτει ότι και η f ( q ) είναι μη

43 43 φραγμένη. Στην συνέχεια, ας σημειώσουμε ότι f( q ) = και f q q = = και το αποτέλεσμα λαμβάνεται από το Λήμμα.. Για να δείξουμε το αποτέλεσμα για την δεύτερη συνθήκη, ας σημειώσουμε ότι η f ( q) είναι μη φραγμένη, n = b = i i i= αφού η f ( q) q K ( q) q a cosh( β, q ) q i i είναι μια υπερβολική και μη φραγμένη συνάρτηση. Για ακόμη μια φορά το αποτέλεσμα είναι μια συνέπεια του Λήμμα.. Παρατήρηση.7: Η Πρόταση. αποτελεί μια μερική γενίκευση της Πρότασης. για πολυμεταβλητά συστήματα δεύτερης τάξης. Είναι σημαντικό εδώ να τονίσουμε ότι το K () είναι μια γενική συνάρτηση πίνακα με άγνωστα πολυωνυμικά στοιχεία ενώ δεν υπάρχει περιορισμός για τη δομή του. Ωστόσο σε αντίθεση με το K(), υποθέτουμε ότι το C() είναι μια συνάρτηση πίνακα με συγκεκριμένη δομή καθώς περιλαμβάνει άγνωστα πολυώνυμα στην κύρια διαγώνιο και άγνωστες σταθερές στα μη διαγώνια στοιχεία. Όπως φαίνεται από την απόδειξη της Πρότασης., ο περιορισμός αυτός εγγυάται την ύπαρξη ενός ε R τέτοιο ώστε Cq ( ) Cb( q) ε In. Πρόταση.3: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι n = και έστω C() και K() άγνωστα πολυώνυμα. Έστω d d Q, Q R, Y R, Z R και P R είναι θετικά ορισμένα όπου p p P = p p και p >. Τέλος, έστω ai, βι >, ι =,..., n και έστω C : R R (αντιστοίχως K : R R ) να δίνεται από μία από τις παρακάτω b συνθήκες: b ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( )(αντίστοιχα K( q )) είναι άρτια και N + N+ γνωστή, τότε επιλέγουμε ( ) [, C q = q q ] (αντιστοίχως K ( q) = [ q, q b N + N+ ]). b

44 44 ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( ) (αντίστοιχα K( q )) είναι άγνωστη, τότε επιλέγουμε β q ). Κ ( q ) = [cosh( βq), sinh( )] b Τότε ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου: k b c b C ( q) = [cosh( aq),sinh( aq)] b (αντίστοιχα u() t =Θ () t K ( x ()) t x () t +Θ () t C ( x ()) t x () t +Ψ () t x() t +Φ () t w() t (.7) όπου Θ t Θ t R t Ψ t R t k(), c(),, (), και Φ d () t R, t c k g c, με νόμους αναπροσαρμογής (.5), (.6), (.9) και (.), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος ( xt ( ), Ψ( t), Φ( t ), Θ ( t), Θ ( t)) (, K, D, θ, θ ), όπου K g R, (.7) είναι ευσταθής κατά Lyapunov και xt () καθώς t για κάθε x R. που δίνεται από τις σχέσεις (.3), (.5), (.6), (.9), (.) και k Απόδειξη: Το αποτέλεσμα αυτό είναι μια άμεση συνέπεια του Θεωρήματος.. Ειδικότερα, όπως τονίστηκε στην απόδειξη της Πρότασης., αν η τάξη N του πολυωνύμου Cq ( ) (αντίστοιχα K( q )) είναι άρτια και γνωστή, τότε υπάρχουν θc, θc {,, } (αντίστοιχα θk, θk {,, } ) τέτοια ώστε το N+ N+ N+ N+ Cq ( ) θ q θ q (αντίστοιχα K( q) θ q θ q ) να είναι κάτω c c k k φραγμένο. Εναλλακτικά, αν η τάξη N του πολυωνύμου Cq ( )(αντίστοιχα K( q )) είναι άγνωστη, τότε υπάρχουν θc, θc {,,} (αντίστοιχα θk, θk {,,} ) τέτοια ώστε για κάθε a >, το C( q) θc cos(aq ) θcsinh( aq) (αντίστοιχα για κάθε β >, Kq ( ) θkcos( βq) θksinh( βq) ) να είναι κάτω φραγμένο..4. Παραδείγματα εφαρμογής του προσαρμοστικού ελέγχου Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μερικά αριθμητικά παραδείγματα χρησιμοποίησης του προσαρμοστικού νόμου ελέγχου για σταθεροποίηση των παρακάτω συστημάτων.

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ, ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού (και στην Τεχνολογία Υπολογιστών;)

Εισαγωγή στην Επιστήμη του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού (και στην Τεχνολογία Υπολογιστών;) Εισαγωγή στην Επιστήμη του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού (και στην Τεχνολογία Υπολογιστών;) Τι είναι αυτό; 1. Διαλέξεις; 2. Σεμινάριο; 3. Μάθημα; 4. Αλλο; Θεωρία Συστημάτων, Θεωρία Αποφάσεων και (αυτόματος) Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 6: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα βέλτιστης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov)

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov) Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Έστω ότι στη γενική περίπτωση το σύστημα περιγράφεται στο χώρο κατάστασης με το μαθηματικό πρότυπο: = f(, t), (t 0 ) = 0 () όπου είναι ένα διάστατο διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

1) Τι είναι ένα Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου 2) Παραδείγματα εφαρμογών Συστημάτων Ελέγχου 3) Τι είναι ανατροφοδότηση (Feedback) και ποιες είναι οι

1) Τι είναι ένα Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου 2) Παραδείγματα εφαρμογών Συστημάτων Ελέγχου 3) Τι είναι ανατροφοδότηση (Feedback) και ποιες είναι οι 1) Τι είναι ένα Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου 2) Παραδείγματα εφαρμογών Συστημάτων Ελέγχου 3) Τι είναι ανατροφοδότηση (Feedback) και ποιες είναι οι επιπτώσεις της 4) Μαθηματικό υπόβαθρο για την μελέτη των

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 9

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 9 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 9 Πάτρα 2008 Ρύθμιση ελαχίστης διασποράς Η στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Αυτόματος Έλεγχος Συστημάτων Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος

Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 011-1 Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ (Μη-Γραμμικός Ρομποτικός Έλεγχος Κων/νος Τζαφέστας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος 1.Ορισμοί και Χρήσιμες Ιδιότητες (Π1) λ(a) είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π) x = x 1 + x +... + xn (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ Εφαρμ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π2)

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π2) Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος.Ορισμοί και Χρήσιμες Ιδιότητες (Π) (A) είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π) x x x... xn (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι x

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Ανάστροφο εκκρεμές (ανάδραση κατάστασης) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ, ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Άσκηση 3 Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα όπως γνωρίζουμε, μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου μέσω

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πάτρα 2008 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications)

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Idetificatios) Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση μεθοδολογίας για την ανεύρεση ενός αξιόπιστου μοντέλου πριν ή κατά την λειτουργία της

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Συστήματα Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγικές Κυκλωμάτων Έννοιες Ανάλυσης Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις

Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Λοΐζος Ραουνάς Επιβλέπων: Ιωάννης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 7

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 7 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 7 Πάτρα 2008 Τοποθέτηση Επιλογή πόλων Θεωρούμε ένα (Σ)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα