Προταθηκε απ τον Αντωνη Μαρκακη (01/09/2015)

Transcript

1

2 ΐ

3 Α.Μαρκακης Η.Ζωβοιλης - Α.Πατσης - Θ.Παγωνης Η.Ζωβοιλης - Θ.Παγωνης Α.Πατσης - Π.Τρυφων Η.Ζωβοιλης - Ν.Αντωνοπουλος Κ.Κουτσοβασιλης - Η.Ζωβοιλης - Δ.Χατζακης - Τ.Καταραχιας Η.Ζωβοιλης - Μ.Ματζαρης - Δ.Χατζακης - Κ.Δεββες - Τ.Καταραχιας Η.Ζωβοιλης - Δ.Χατζακης - Μ.Ματζαρης Β.Νικολακακης - Ν.Αντωνοπουλος Η.Ζωβοιλης - Τ.Καταραχιας - Μ.Ματζαρης Δ.Χατζακης - Τ.Καταραχιας - Η.Ζωβοιλης - Μ.Ματζαρης Η.Ζωβοιλης - Μ.Ματζαρης - Δ.Χατζακης Η.Ζωβοιλης - Μ.Ματζαρης Δ.Χατζακης - Η.Ζωβοιλης - Κ.Δεββες - Τ.Καταραχιας - Μ.Ματζαρης Η.Ζωβοιλης - Π.Τρυφων - Δ.Χατζακης - Κ.Δεββες - Μ.Ματζαρης Η.Ζωβοιλης - Τ.Καταραχιας - Μ.Ματζαρης - Κ.Δεββες Π.Τρυφων - Η.Ζωβοιλης - Κ.Δεββες - Δ.Χατζακης - Τ.Καταραχιας - Μ.Ματζαρης Η.Ζωβοιλης - Π.Δετσιος - Τ.Καταραχιας - Κ.Δεββες - Μ.Ματζαρης Μ.Βωβος - Δ.Ρουμελιωτης - Τ.Καταραχιας - Κ.Δεββες - Δ.Χατζακης - Μ.Ματζαρης Η.Ζωβοιλης - Π.Τρυφων - Δ.Πλατωνη - Π.Δετσιος - Μ.Ματζαρης - Τ.Καταραχιας - Κ.Δεββες Δ.Χατζακης - Η.Ζωβοιλης - Κ.Δεββες - Μ.Ματζαρης Μ.Βωβος - Π.Τρυφων - Τ.Καταραχιας - Κ.Δεββες - Μ.Ματζαρης - Π.Δετσιος Π.Τρυφων - (Α.Πατσης) - Δ.Πλατωνη - Δ.Χατζακης - Π.Δετσιος - Τ.Καταραχιας - Α.Μανωλης - Κ.Δεββες - Μ.Ματζαρης Χ.Κουστερης - Κ.Δεββες Π.Τρυφων - Τ.Καταραχιας - Κ.Δεββες - Μ.Ματζαρης - Θ.Καραγιαννης Ν.Γαρυφαλλιδης - Δ.Ζαχαριαδης - Κ.Δεββες - Θ.Καραγιαννης Μ.Ματζαρης - Κ.Δεββες Κ.Δεββες - Τ.Καταραχιας - Μ.Ματζαρης Σ.Μπρινιας - Π.Τρυφων - Α.Πατσης - Δ.Χατζακης - Κ.Δεββες - Η.Ζωβοιλης Μ.Βωβος - Κ.Δεββες - Τ.Καταραχιας

4

5 Προταθηκε απ τον Αντωνη Μαρκακη (/9/5) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () = ln στο σημείο (α,lnα), α > και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() στο σημείο + - ln =. - β (β, ), β ταυτίζονται, αποδείξτε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης Λύνει ο : Αντώνης Μαρκάκης Έστω (Ε) η προς μελέτη εξίσωση με άγνωστο τον. Αρχικά, θέτουμε τους περιορισμούς : - και > Τελικά, συναληθεύοντας τους πιο πάνω περιορισμούς, θα πρέπει : (, ) (, + ) - + Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης είναι ο αριθμός που, όταν τοποθετηθεί στη θέση του αγνώ- στου, επαληθεύει την εξίσωση. Συνεπώς, για να δείξουμε ότι ο αριθμός α > είναι ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (Ε), αρκεί να καταλήξουμε στα ακόλουθα δύο συμπεράσματα: α (, ) (, + ), και επειδή α (, + ) από υπόθεση, αρκεί να βρούμε ότι α, κ α + - lnα = α - Σ χ ό λ ι ο Για μια τυχαία συνάρτηση φ(), η οποία είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, η εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής της παράστασης (Cφ) στο σημείο Η συνάρτηση () = ln (λογαριθμική συνάρτηση με βάση το ) ανήκει στην κατηγορία των βασικών συναρτήσεων, έχει πεδίο ορισμού το στο πεδίο ορισμού της (στο μη φραγμένο διάστημα με άκρο το () = (ln) =. Σ(, φ( )) Cφ είναι η: y-φ( ) = φ ( ) (- ) (). Είναι όμως: y-φ( ) = φ ( ) (- ) φ ( ) - y + φ( )- φ ( ) = Δηλαδή η () παίρνει, ισοδύναμα, τη γενική μορφή εξίσωσης ευθείας Α + By + Γ = με Α = φ ( ), B = - και Γ = φ( )- φ ( ). Επομένως, από την εξίσωση () δεν είναι δυνατόν να προκύψει κατακόρυφη ευθεία. Η (), λοιπόν, θα περιγράφει τη Α Γ γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης (της y = - - ), η οποία Β Β (συνάρτηση) θα είναι πρώτου βαθμού (αν Α ), μηδενικού βαθμού (αν Α = και Γ ) ή δεν θα έχει βαθμό (στην περίπτωση που Α = και Γ = ). D = (, + ), και είναι παραγωγίσιμη (, + )) με:

6 Προταθηκε απ τον Αντωνη Μαρκακη (/9/5) Η εφαπτομένη εα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (C) στο σημείο (α, lnα) (α, (α)) C έχει εξίσωση: y - (α) = (α) ( - α) y - lnα = ( - α) y - lnα = - α y = + lnα - α α α α Δηλαδή, (εα): y = + lnα - α Αντίστοιχα, η συνάρτηση g() = (εκθετική συνάρτηση με βάση το ) ανήκει επίσης στην κατηγορία των βασικών συναρτήσεων, έχει πεδίο ορισμού το παραγωγί- σιμη στο πεδίο ορισμού της (σε όλο το ) με : g () = ( )' = D = g Η εφαπτομένη εβ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g (Cg) στο σημείο β (β, ) (β, g(β)) Cg έχει εξίσωση: β β β β β β β β y - g(β) = g (β) ( -β) y - = ( -β) y - = - β y = + -β Δηλαδή, (εβ): y = + -β β β β, και είναι Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω, οι ευθείες εα και εβ αποτελούν γραφικές παρα-στάσεις πολυωνυμικών συναρτήσεων (πολυωνύμων). Συγκεκριμένα: η ευθεία εα είναι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P() = + lnα -, και α η ευθεία εβ είναι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Q() = β + β -β, β. Όμως, από υπόθεση, οι ευθείες εα και εβ ταυτίζονται. Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των πολυωνυμικών συναρτήσεων P() και Q() ταυτίζονται. Σ χ ό λ ι ο Έστω h μια τυχαία πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής. Συμβολίζουμε με D h το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h. Γραφική παράσταση της h (Ch) λέγεται το σύνολο των σημείων Μ(, y) για τα οποία ισχύει y = h(). Δηλαδή, είναι: h h C = Μ(, y) y = h() και D. Δύο συναρτήσεις h και h λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού ( D = D ) και για κάθε h h D = D ισχύει h () = h (). h h Από τους παραπάνω ορισμούς («της γραφικής παράστασης συνάρτησης» και «της ισότητας συναρτήσεων»), προκύπτει άμεσα η εξής θεμελιώδης πρόταση: Δύο συναρτήσεις είναι ίσες αν, και μόνο αν, οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.

7 Προταθηκε απ τον Αντωνη Μαρκακη (/9/5) Η άσκηση, τώρα, μας ρωτάει με έμμεσο τρόπο: «Πότε δύο πολυώνυμα είναι ίσα;» Δύο πολυώνυμα του, λοιπόν, είναι ίσα όταν: (αληθεύουν συγχρόνως όλα τα παρακάτω) είναι του ίδιου βαθμού (για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζουμε βαθμό), οι συντελεστές των ομοβάθμιων δυνάμεων του είναι ίσοι, οι σταθεροί όροι τους είναι ίσοι. Σ χ ό λ ι ο Συνεπώς, η άσκηση απαιτεί τον εξής συλλογισμό: ισότητα συναρτήσεων ισότητα πολυωνύμων. Επειδή τα πολυώνυμα P() και Q() είναι ίσα, θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο παρακάτω ισότητες: η ισότητα η ισότητα = β α (I) και β β lnα - = -β (II) Παρατηρούμε ότι, για α = : η ισότητα (Ι) δίνει = β β = β = ln β =. β β β β β β και η ισότητα (II) δίνει ln- = -β - = -β + = β β > (γιατί το ο μέλος της τελευταίας ισότητας β β + = β, ως αυστηρά θετικός αριθμός, «υπαγορεύει» και στο ο μέλος της να είναι αυστηρά θετικός αριθμός). Μάλιστα, αποδεικνύεται ότι ο θετικός πραγματικός αριθμός β που ικανοποιεί τη σχέση β β + = β είναι μοναδικός και ανήκει στο ανοικτό διάστημα (, ). Συνεπώς, δεν είναι δυνατόν να αληθεύουν ταυτόχρονα οι ισότητες (I) και (II) για την τιμή αυτή του α ( α = ). Άρα είναι: Από την σχέση (Ι) έχουμε διαδοχικά: α, επομένως: α (, ) (, + ). β β = = β = ln β = ln- lnα β = - lnα β = - lnα α α α Αντικαθιστώντας, τέλος, στην ισότητα (II) όπου β = α και όπου β = - lnα παίρνουμε: + lnα lnα - = -(- lnα) lnα - = + lnα lnα - = α lnα - α = + lnα α α α α α α + + lnα - α lnα = α + + lnα (- α) = α + - lnα (α -) = α + - lnα (α -) α + lnα (α -) α + = - = - lnα = α - α - α - α - α α -

8 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Έστω συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γν.φθίνουσα στο. Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή στο. Γ. Να βρείτε τους α,β, για τους οποίους ισχύει: Δ. Να λύσετε την ανίσωση: () + >. Ε. Να λύσετε την εξίσωση: () + () + =. () + () + =, για κάθε. (α +β ) + (α - 4β + 5) =. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Στόχος της συγκεκριμένης άσκησης, είναι να αναδείξει τη χρησιμότητα και κυρίως τη δύναμη της βοηθητικής συνάρτησης. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο : g() = +,. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση g είναι περιττή και γνησίως αύξουσα στο, επομένως και - στο. Ισχύει : g() = -,. Α. Έστω, με >. Τότε g γν.αύξουσα - < - g ( ) < g ( ) ( ) < ( ) γν.φθίνουσα στο. g περιττή Β. Είναι g(-) = = - g() = g- (). g - Επομένως: g(-) = g-() (-) = - () περιττή στο. περιττή - Γ. (α +β ) + (α - 4β + 5) = (α +β ) = -(α - 4β + 5) (α +β ) = (-α + 4β - 5) α +β = -α + 4β - 5 α + α + +β - 4β + 4 = (α + ) + (β - ) = α = - και β =. g γν.αύξουσα () + > - () - + > () < g () < g() - < + Δ. + > ( + ) > >, καθώς + >, για κάθε. Ε. Για = η αρχική ισότητα μας δίνει εύκολα () = (θα μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί το γεγονός ότι περιττή στο ). Η δοσμένη εξίσωση δεν έχει λύση το, αφού για = προκύπτει =. Έτσι για () και επομένως διαιρώντας δια + + = + = - g = g() () () () () () () = ή g - () έχουμε: g - = () () = () () = -g () = g() ή g () = g(-) - = ή - = - = - ή =.

9 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Λύνει ο : Aνδρέας Πάτσης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Eστω, : - > - () Άρα, ( ) + ( ) + = - = ( ) + ( ) και () + () + =, για κάθε. ( ) + ( ) + = - = ( ) + ( ) () (), () - ( )) ( ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ) > (Α) ( ) ( ) ( ) + Η () ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) - ( ) + ( ) - ( ) (( ) Όμως, ( ) + ( ) ( ) + ( ) + = Άρα απ'την (Α) : ( ) > ( ), δηλαδή η είναι γν.φθίνουσα. () Δ. Το πεδίο ορισμού της ανίσωσης είναι το. () + > - () - + > () < (B) [ Τον τύπο της δεν τον έχω, αλλά μπορώ να βρώ τον τύπο της - () η οποία θα είναι και αυτή γν. φθίνουσα, όπως η. ] + Θέτω g() = - με πεδίο ορισμού το. Φανερα γν.φθίνουσα, άρα και "- ", οπότε αντιστρέψιμη. () + () - () + () + = = - g(()) = () = g (), για κάθε. - Άρα, το σύνολο τιμών της () είναι ίδιο με το σύνολο τιμών της g (), που είναι το πεδίο ορισμού της g(), δηλαδή το. Επομένως, για κάθε y, υπάρχει : () = y και () + () Άρα, () = -,, που είναι φανερά γν.φθίνουσα. = = - y + y (Με ορισμό, μονοτονία ή με την χρήση της πρότασης ότι η αντίστροφη έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την αφού κάνουμε την ανάλογη απόδειξη). Επομένως έχουμε : - () < (και επειδή (), ανήκουν στο πεδίο ορισμού της () που είναι το ) + >, για κάθε (()) > () > - ( + ) > > Ε. Από την αρχική εύκολα βρίσκουμε () =. Aν υπήρχε άλλη ρίζα της () =, η δεν θα ήταν -. Άρα (), για κάθε. Επίσης H εξίσωση - - (-) = () = - και () = - (- ) = () + () + = έχει πεδίο ορισμού το. Η = δεν αποτελεί ρίζα.

10 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Για έχω : () + () + = () + = -. Επομένως () () 4 () + () + = () - = () - = ( () - )( () + ) = () - = () - = () = () = (-) = ή ή ή ή () + = () = - () = () = - Λύνει ο : Θοδωρής Παγώνης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Έστω ότι συνάρτηση δεν είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε υπάρχουν, με < τέτοια ώστε ( ) ( ), άρα και Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε Υποθ ( ) + ( ) ( ) + ( ) - -, άτοπο. Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και. ( ) ( ). Β. Προφανώς,-. Στην σχέση () + () + = θέτουμε όπου το - και έχουμε Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε () + () + (-) + (-) = () + (-) + () + (-) = () + (-) () - ()(-) + (-) + () + (-) = () + (-) () - ()(-) + (-) + =, από όπου έχουμε () + (-) = (η (-) + (-) - =. () - ()(-) + (-) + = θεωρώντας το τριώνυμο ως προς () ή με μέθοδο συμ- πλήρωσης τετραγώνου προκύπτει αδύνατη). Άρα η είναι περιττή. Δ. Στην σχέση () + () + = για = έχω () + () = () () + = () = (ή από περιττή () = ) Η δοθείσα ανίσωση από την υπόθεση γίνεται () + > - () - + > - () > (). Θεωρώ την συνάρτηση g() = - () η οποία είναι γνησίως αύξουσα, αφού για κάθε, με ( < ( ) > ( ) - ( ) < - ( ) άρα - ( ) < - ( ) g( ) < g( ) και επιπλέον g() = και <, Η ανίσωση () γίνεται g ' g() > g() >

11 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Ε. H δοθείσα εξίσωση από την υπόθεση γίνεται 4 () + () + = - () - () () + () + = - () + () + () + = 4 4 () + - () = () = () = ± Η υπόθεσης για = γίνεται (-) = ( είναι περιττή) Οπότε η εξίσωση 4 () = () = ± = () + () + = () = -, οπότε και

12 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Έστω συνάρτηση συνεχής στο [-,], για την οποία ισχύουν: () >, για κάθε [-,] m < () < M, όπου m και Μ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή, αντίστοιχα, της στο [-,] Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται. Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () - () () + () = (), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-, ). Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ (-, ), τέτοιο ώστε: (ρ) = mm Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-, ) () + m + M, τέτοιο ώστε: (ξ) =. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης A. Η συνάρτηση ως συνεχής σε κλειστό διάστημα, δέχεται ελάχιστη και μέγιστη τιμή m και Μ αντίστοιχα. Επομένως υπάρχουν α,β [-,) και α β, τέτοια δ = ma α,β. ώστε (α) = m > και (β) = M >. Έστω γ = minα,β και Θ.Ε.Τ Είναι (α) < () < (β) υπάρχει (γ,δ), τέτοιο ώστε: ( ) = () και επειδή - γ < < δ <, συμπεραίνουμε ότι η δεν είναι -, άρα δεν αντιστρέφεται. ( ) = () Β. Για = έχουμε: ( ) - () ( ) + ( ) = () - () () + () = (). Αποδείξαμε λοιπόν ότι η δοσμένη εξίσωση, έχει ως ρίζα τον αριθμό (-,). Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g() = () - m M, Η συνάρτηση g είναι προφανώς συνεχής στο [γ,δ] με [γ,δ].. g(γ) g(δ) = (γ) - m M (δ) - m M = (α) - m M (β) - m M = = m - m M M - m M = - m M M - m < Παρατηρούμε λοιπόν, ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Bolzano για τη συνάρτηση g στο [γ,δ], επομένως υπάρχει ρ (-,), τέτοιο ώστε: g(ρ) = (ρ) - m M = (ρ) > (ρ) = m M (ρ) = m M (ρ) = m M. Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο h() = () - () - m - M, [κ, λ], όπου κ = minα, β, και Είναι : λ = ma α, β,. (α) = m h(α) = (α) - () - m - M = m - () - M (β) =M h(β) = (β) - () - m - M = M- () - m h() = () - () - m - M = () - m - M

13 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες προκύπτει : h(α) + h(β) + h() =. Αν υποθέσουμε ότι h(), για κάθε [κ, λ], τότε επειδή η συνάρτηση h είναι προφανώς συνεχής στο [κ, λ], θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [κ, λ] δηλαδή θα είναι: ή h() >, για κάθε [κ, λ], ή h() <, για κάθε [κ, λ]. Αν h() >, για κάθε [κ, λ], τότε h(α) + h(β) + h() >, που είναι ΑΤΟΠΟ. Αν h() <, για κάθε [κ, λ], τότε h(α) + h(β) + h() <, που είναι ΑΤΟΠΟ. Επομένως υπάρχει ξ (κ, λ), τέτοιο ώστε και επειδή - κ < ξ < λ <, θα είναι ξ (-, ). () + m + M h(ξ) = (ξ) = Λύνει ο : Θοδωρής Παγώνης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Επειδή m και Μ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη της συνεχούς στο [-,] αντίστοιχα, θα υπάρχουν, [-,] τέτοια ώστε ( ) = m και ( ) = M. Επομένως, λόγω της υπόθεσης θα ισχύει ( ) < () < ( ). Θεωρώ τη συνάρτηση g() = () - () ορισμένη και συνεχής στο (, ) (-, ) για την οποία έχω g( ) = ( ) - () < και g( ) = ( ) - () >, οπότε από θ. Bolzano, θα υπάρ- χει (, ) τέτοιο ώστε g( ) = ( )- () = ( ) = (). Όμως (, ) και ( ) = () άρα δεν είναι και δεν αντιστρέφεται. Β. Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γίνεται () - () () + () = () () - () () + () - () = () - () () + = η οποία έχει προφανή λύση το (, ) του A ερωτήματος. () () - () + () - () = Γ. Επειδή () > θα είναι και ( ) = m >, ( ) = M > και m < Mοπότε θα έχουμε m M < < M m m < mm < M m < m M < M. Επομένως ο αριθμός mm [m,m], οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (-,) τέτοιο ώστε (ρ) = m M Δ. Για κάθε [-,], θα ισχύει m () M. Επομένως ισχύουν m ( ) M m m M m () M m ( ) M m M M

14 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (/9/5) Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε : m m + () + M M m + () + M m M m + () + M [m,m], Οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (-, ) τέτοιο ώστε () + m + M (ξ) =.

15 Προταθηκε απ τον Ανδρεα Πατση (/9/5) Α. Είναι σωστό ή λάθος το παρακάτω; Αν για μια συνάρτηση : ισχύει lim + = τότε (σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντηση σας) Β. Αν για μια συνάρτηση : ισχύουν lim() = Γ. Υπολογίστε (αν υπάρχει) το Λύνει ο : Ανδρέας Πάτσης lim lim + = και lim() = lim =, αποδείξτε ότι Α. Για τον υπολογισμό του ορίου lim () θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της σύνθεσης: Βήμα : κάνουμε την αντικατάσταση u= - Βήμα : υπολογίζουμε το Βήμα : υπολογίζουμε το lim u = = u + lim(u), αν υπάρχει! u o Στην περίπτωσή μας όμως δε γνωρίζουμε αν υπάρχει το παραπάνω όριο, οπότε δεν ισχύει πάντα lim() =. Ας το δούμε με συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα : Για τη συνάρτηση : με τύπο () = 6, αν - -, αν > εύκολα διαπιστώνουμε ότι lim = + και ότι δεν υπάρχει το lim() Β) Για >, θέτουμε u=. Τότε lim u = lim = + = u και δίνεται ότι + + o lim = u u + άρα από τον κανόνα της σύνθεσης lim () = () + Παρόμοια, για <, θέτουμε u=. Τότε lim u = lim = - = u και δίνεται ότι - - o lim = u + u άρα από τον κανόνα της σύνθεσης lim () () - Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι lim() =. Γ) Για κοντά στο θέτουμε () = Τότε =

16 Προταθηκε απ τον Ανδρεα Πατση (/9/5) - + Για τον υπολογισμό του ορίου lim είναι της μορφής ' = ' 4 αντικατάσταση έχουμε ότι : ' u = - + Άρα lim = lim = lim = 4 4 ± ± - + u + u ' - + u + καθώς ± Ικανοποιούνται οι δύο υποθέσεις του θεωρήματος DLH, άρα lim - + lim ' = = 4 4 ± - + ± - + ' Συνεπώς lim = ± έτσι, από το προηγούμενο ερώτημα Β) προκύπτει ότι lim() =. Λύνει ο : Παύλος Τρύφων (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Γ) Το ζητούμενο όριο μπορεί να υπολογιστεί και με τον «κλασικό» τρόπο, ως εξής. Όταν το τείνει στο γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει το όριο του. Θα αποφύγουμε τη χρήση πλευρικών ορίων κάνοντας την παρακάτω παραγοντοποίηση : - + = ( - + ), για κοντά στο 4 4 Όμως lim ( - + ) = +, 4 (διότι lim 4 4 = + ( > για κοντά στο )) Άρα αντικατάσταση ' u= lim = lim = lim = lim =. u + u + u καθώς '

17 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με τύπο: όπου α, β, για την οποία ισχύει: (), για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι : α = - και β = - -α, < () =, () +β - ln( + ), ( + h) + ( - h) - () Β. Να αποδείξετε ότι: lim < (), για κάθε h h Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε, ισχύει: < () < () + α (α) (β) - Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β, η εξίσωση: + = έχει ακριβώς - + μια λύση στο (-,). - Ε. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) = - +. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. παραγωγίσιμη στο συνεχής στο - lim () = () lim( - α) = () () = - - Είναι () () ().. συνεχής στο Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο =. Το = είναι εσωτερικό σημείο του. Η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =. Σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat, θα ισχύει: - () - () () - () -α - +β-ln( + ) - () = lim = lim = - + lim = lim = ln( + ) lim - α = lim β - = -- α = β - = α = - και β =, καθώς ' - lim = lim = lim - = - - DLH - - () και DLH ln( + ) ln( + ) ' lim = lim = lim = () + Β , < Είναι () =, =, > + Για < - > > - < - - < Για > είναι. < < + και αφού () =, συμπεραίνουμε ότι () <, για κάθε. Είναι: ( + h) + ( - h) - () ( + h) - () ( - h) - () lim = lim + = h h h h h

18 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) ( + h) - () ( - h) - () = lim + lim = () - () = (), καθώς h h h h h = H H = - h ( + h) - () ( + H) - () ( - h) - () ( + H) - () lim = lim = () και lim = lim = - () h h H H H h h H H -H Έτσι ισοδύναμα προκύπτει () < (), που ισχύει αφού για κάθε είναι () και () <. Γ. Εύκολα βρίσκουμε ότι : και επειδή συνεχής στο γνησίως αύξουσα στο. -, < () = Προφανώς () > για κάθε, > ( + ) - =, αφού lim - + = lim =, προκύπτει ότι Κάνοντας εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. για την στο [, ] με <, προκύπτει ότι υπάρχει () - () () - ξ (, ) με (ξ ) = =. Όμως γν.αύξουσα < () - <ξ < () < (ξ ) () < () > () - () < () +. Κάνοντας εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. για την στο [, ] με >, προκύπτει ότι υπάρχει () - () () - ξ (, ) με (ξ ) = =. Όμως γν.αύξουσα > () - <ξ < () > (ξ ) () > () > () - () < () +. Από το πρόσημο της προκύπτει ότι γν.φθίνουσα στο (-,] και γν.αύξουσα στο [, + ), οπότε για <() > () () > και για () > () () >. Επομένως : για κάθε, ισχύει : < () < () +. Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g() = (α (α))( + ) + ((β) -)( -), [-,], η οποία είναι συνεχής στο [-,] ως πολυωνυμική με g(-) = -(β) - <, αφού (β) > και g() = α (α) >, σύμφωνα με το Γ. Επίσης είναι g () α (α) + (β) - > g γν.αύξουσα στο [-,]. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano και επειδή g γν.αύξουσα στο [-,] συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση g() =, έχει μοναδική λύση στο (-,), οπότε ισοδύναμα η εξίσωση: α (α) (β) - + =, έχει ακριβώς μια λύση στο (-,). - + Ε. Για κάθε είναι Οπότε:, οπότε ( ) = + - ln( + ).

19 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) ( ) = ln( + ) = - + ln( + ) - + =. Θεωρούμε τη συνάρτηση m με τύπο Είναι m () = Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : Αν, τότε προφανώς m () >. - m() = ln( + ) - +,. - - Αν <, τότε + -+ > m () >, καθώς -, για κάθε. + + Άρα m () για κάθε, οπότε η συνάρτηση m είναι γνησίως αύξουσα στο και επομένως -. m - Έχουμε: m() = m() = m() =. Λύνει ο : Νίκος Αντωνόπουλος (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Γ. Αφού () < για κάθε (, ) η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] τότε για κάθε < ισχύει () > () () > Γνωρίζουμε ότι για κάθε > ισχύει ln - με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν = Η παραπάνω σχέση βάζοντας όπου το + > γίνεται ln( +) +- - ln( +) + - ln( +) () με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν + = = Συνεπώς για κάθε ισχύει: () > () Είναι. () = ( + ) -, <, > Επειδή () > στο (, )(, +) και () συνεχής στο ( η είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η είναι: συνεχής στο [, ] και στο [, ] παραγωγίσιμη στο (, ) και στο (, ) lim () = lim () = () ) - + Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, ) και ένα () - () - () () - () () - τουλάχιστον ξ(, ) τέτοια ώστε (ξ ) = = και (ξ ) = = Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο - () για < ξ < ισχύει : () < (ξ ) () < - () < - () () < () + - () - για < ξ < ισχύει : ξ < (ξ ) < () < () () - < () () < () + Συνεπώς για κάθε ισχύει: () < () + ()

20 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Από (), () για κάθε ισχύει: < () < () + Ε. Είναι ( ) = Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι - ln( +) = - φ() = - ln( + ) ( + ) - φ () = - - = - - = - = ( + ) + ( -) ( + ) = - < ln( +)- = ( + ) - = Αφού για κάθε < < < < τότε ( ) > και για κάθε > > > > τότε ( ) > Συνεπώς για κάθε ισχύει ( ) > Και για κάθε ισχύει ( + ) ( + ) Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο Είναι - ( ) = - + φ() = φ () > = (αφού φ ως γνησίως μονότονη)

21 Προταθηκε απ τον Κωστα Κουτσοβασιλη (//5) Έστω η συνεχής συνάρτηση : με συνάρτηση g() = () - ln( + ) (). (()) = ln(4 + ) () για κάθε και η Να αποδείξετε ότι: α. Η συνάρτηση είναι - β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον έτσι ώστε g( ) = γ. Η εξίσωση g() = έχει ρίζα τον αριθμό ( ) δ. Αν επιπλέον η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε υπάρχει ξ έτσι ώστε ξ (ξ) = + ξ Πηγή: Μαθηματικά για τη Θετική -Τεχνολογική Κατεύθυνση Γ Λυκείου Β Τόμος Ιωάννης Γαρατζιώτης-Παύλος Μάστακας Λύνει ο : Κώστας Κουτσοβασίλης α. Αν, με ( ) = ( ) τότε (( )) = (( )) ln(4 + ) = ln(4 + ) 4 + = 4 + = = άρα η είναι -. β. Έστω ότι για κάθε είναι g() > ή g() <. Αν g() > από τη σχέση () έχουμε Θέτουμε στην () όπου το () και έχουμε () 4 + > + ή ναι άτοπο από την () Όμοια αν g() < () + > ή () > ln( + ) () για κάθε () ln( + ) > ln ή Επομένως υπάρχουν, με g( ) g( ) < Τότε: () (()) > ln( + ) ή ln( + ) > () ή Η g είναι συνεχής στο [, ](ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων) g( ) g( ) <. () ln(4 + ) > ln( + ) ή () < ln( + ) που εί- Άρα ισχύει Θ.Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) έτσι ώστε g( ) = γ. Από το β. ερώτημα είναι g( ) = ( ) - ln( + ) = ( ) = ln( + ) + = 4 + = + ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ln(4 + ) = ln( + ) (( )) = ln( + ) (( )) - ln( + ) = g(( )) = Άρα το ( ) ρίζα της εξίσωσης g() = + δ. Επειδή και () ρίζες της εξίσωσης g() = και η g είναι παραγωγίσιμη (πράξεις παραγωγίσιμων) ισχύει για την g στο διάστημα [, ()] ή [(), ] το θεώρημα Roll,

22 Προταθηκε απ τον Κωστα Κουτσοβασιλη (//5) οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ώστεg(ξ) =. Είναι g () = () - (4) + Άρα (4) ξ g(ξ) = (ξ) - = (ξ) = ξ ξ + + ξ Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) β. Έστω g() για κάθε. Τότε επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο είναι :g() > για κάθε ή g() < για κάθε. Υποθέτουμε ότι g() > για κάθε αντικαθιστώντας το με () προκύπτει. Τότε: () > ln( + ), για κάθε () () () () () > ln + ln 4 + > ln > + + > () < ln( + ) που είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της υπόθεσης. Ομοίως καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ αν υποθέσουμε ότι, g() < για κάθε, δηλαδή θα, οπότε Άρα η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα, που σημαίνει ότι υ- πάρχει ένας τουλάχιστον, τέτοιος ώστε g( ) =. ( ) δ. = + ( ) >. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτή- σεων με g () = () -, και επειδή g( ) = g ( ) =, ισχύει το θεώρημα + Roll για την g στο [, ( )], επομένως υπάρχει ξ (, ( )), τέτοιο ώστε ξ g(ξ) = (ξ) =. ξ + Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) γ. Έχουμε ότι g( ) = ( ) = ln( + ) ( ) ln(+ ) g ( ) = ( ) - ln + = ln(4 + ) - ln + g ( ) = ln(4 + ) - ln(4 + ) = g ( ) =

23 Προταθηκε απ τον Κωστα Κουτσοβασιλη (//5) Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων β. Θέτω () = y. Τότε (y) = ln(4 + ) (y) = 4 + = (y) - 4. Συνεπώς (y) - 4 > (y) > 4 (y) > ln4 και - () = ln( () - 4) με () > 4 (). Επίσης : (()) = ln(4 + ). Για = έχω (()) = ln5 οπότε : g(()) = (()) - ln( + () ) = ln5 - ln( + () ) < διότι από () () > ln4 () > 4 + () > 6 ln( + () ) > ln6 ln5 - ln( + () ) < ln5 - ln6 <, g(ln) = (ln) ln4 > από () και επειδή g συνεχής ως άθροισμα συνεχών, από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει (ln, ()) ώστε g() =.

24 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Έστω συνάρτηση συνεχής στο () () = για κάθε γνησίως αύξουσα στο Α. Να λύσετε την εξίσωση : () =,, για την οποία ισχύουν: Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (, 4), τέτοιο ώστε: ( ) (4 - ) = Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,4), τέτοιο ώστε: ξ - 6ξ + 8 = () (ξ - 6ξ + 8) () = Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο =. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Είναι: = = ή = 4. Επομένως για κάθε -,4 () () (). Για =, η αρχική συναρτησιακή γίνεται : () () = () = ή () =. () Για = 4, η αρχική συναρτησιακή γίνεται: (4) (4) = (4) = ή (4) =. () Αν (4) =, τότε επειδή γνησίως αύξουσα στο, θα είναι: ισχύει < < 4 () < () < (4) = () < (4) = () < και έτσι έχουμε () < και () < που είναι ΑΤΟΠΟ λόγω (). Επομένως (4) και (4) =, λόγω (). Χρησιμοποιώντας επίσης τη μονοτονία της συνάρτησης έχουμε : < 4 () < (4) () < (4) = () <, οπότε λόγω () θα είναι () =. Άρα (4) =. (4) = = () και επειδή η συνάρτηση είναι - (λόγω μονοτονίας), θα ισχύει: Β. Έστω συνάρτηση g με g() = () + - 4, [,4]. Είναι: g συνεχής στο [,4], ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. g() = () = - και g(4) = (4) =. g γν.αύξουσα στο [,4], ως άθροισμα γν.αυξουσών συναρτήσεων. Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Bolzano στο [,4], επομένως υπάρχει (,4), τέτοιο ώστε : g( ) = ( ) + = 4. Επειδή η συνάρτηση g είναι γν.αύξουσα στο [,4], θα είναι και -, οπότε το είναι μοναδικό. Επομένως ( ) = 4 - (( )) = (4- ) ( ) (4 - ) = ( ) (( )) =

25 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) () = Γ. (4) = Θ.Ε.Τ υπάρχει ξ (,4), τέτοιο ώστε : (ξ) =. Για =ξ, η αρχική συναρτησιακή γίνεται: (ξ) = (ξ) (ξ) = ξ - 6ξ + 8 ξ - 6ξ + 8 = (). Για =, η αρχική συναρτησιακή γίνεται : () = ξ - 6ξ+8 () () = () (ξ - 6ξ + 8) =. Δ. Είναι :. () () - () () () () lim = lim = lim = lim = lim = () - () - () = lim = = () () Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Είναι () () = , για κάθε (), και "-" ως γν.αύξουσα για = είναι () (()) = () = ή (()) = για = 4 είναι (4) ((4)) = (4) = ή ((4)) = αν () = και (4) = τότε () = (4), άτοπο αφού "-" αν () = και (4) = τότε πάλι άτοπο αφού "- " αν (4) = και () = τότε (4) = () - () = 4, όμως ' < 4 () < (4) 4 <,άτοπο, άρα () = και (4) = και εφόσον - () = (4) (4) = Συνεπώς η = είναι η μοναδική ρίζα της () = αφού "-" Β. Έστω g() = () - 4 +, [, 4] συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Έστω ' <, [, 4] με < ( ) < ( ) ( ) + < ( ) + ( ) < ( ) g( ) < g( ) g γν.αύξουσα στο,4 g "- " στο,4 είναι g() g(4) = - = - 4 <. Συνεπώς από Θ.Bolzano και λόγω της ιδιότητας «-» υπάρχει μοναδικό (,4) : g( ) = υπάρχει μοναδικό (,4) : ( ) = μοναδική ριζα της υπάρχει μοναδικό (,4) : (( )) = (4 - )

26 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) υπάρχει μοναδικό (,4) : ( ) (( )) = ( ) (4 - ) υπάρχει μοναδικό (,4) : = ( ) (4 - ) () Δ. ' για < () < () = (()) < () < () = ' ' για < < 4() < () < (4) = (()) < (()) < () = άρα κοντά στο και για είναι (()) και (()) η (()) είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων οπότε, ' () - () () () (()) ( - )( - 4) - 4 = = = = = - - ( - ) (()) ( - ) (()) ( - ) (()) (()) () - () lim = lim =, άρα παραγωγίσιμη στο. - (()) (()) και Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Αφού γν.αύξουσα τότε και - στο άρα η εξίσωση () = έχει το πολύ μια ρίζα στο. ()(()) = , () Για = στην () : () (()) = 8() Για = στην () : () (()) = () = ή (()) = Για = 4 στην () : (4) ((4)) = (4) = ή ((4)) = Έστω (4) = ' < 4 () < (4) () < () - (4) = ((4)) = () ((4)) οπότε (()) = Τελικά, () = ((4)) =. - (4) = (()) 4 = () όμως () < άρα άτοπο, οπότε (4) και Επίσης - () = ((4)) = (4) Δ. Στην περιοχή του είναι : ( - )( - 4) (()) () = = (()) (()) ( - )( - 4) () - () () (()) () = lim = lim = lim = lim = (()) (())

27 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Για = και 4 στην αρχική έχω : () (()) = = (4) ((4)). Aν () (4) άρα (()) = ((4)) = άρα () = (4) (-) άρα = 4 άτοπο. Τελικά () = ή (4) = αποκλειστικά. Αν (4) = τότε () < άρα (()) < () < άτοπο αφού () (()) = - από αρχική, άρα (), (()) ετερόσημοι. Άρα () = και ((4)) = και (4) = Β. h() = () (4 - ) - (()), [,4] και φ() = (4 - ) - (()) συνεχής στο [, 4] με φ() = - () >, φ(4) = () <, από Βοlzano η φ έχει ρίζα στο (, 4) άρα και η h. Δ. Η αρχική () (()) = - 4, κοντά. - Τότε (()) αφού ((4)) = και γν. αύξουσα. Άρα () = (()) και li m (()) = ( ) γιατί lim() = ( Άρα lim ) = - - () και lim() = (). Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) B. Έστω g()= (()) - (4-). Oι συναρτήσεις και (4-) είναι συνεχείς ως συνθέσεις συνεχών συναρτήσεων, οπότε και η g είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσε- ων και g γν.αύξουσα ως άθροισμα γν. αυξουσών, ( γν. αύξουσα - (4 - ) γν. αύξουσα). γν. αύξουσα, Επίσης g(4) = ((4)) () = () () = () > διότι < () < () () <. g() = (()) () = () <. Επόμενα από θ.bolzano υπάρχει (, 4) ώστε g() = (()) = (4-) = ( ) (4 - ) ( ) (4 - ) = Λόγω της μονοτονίας της g το είναι μοναδική ρίζα της g() =. Γ. Είναι ()=<<=(4) οπότε από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει ξ (, 4 ) ώστε (ξ) =. Θέτω h() = () (()) (). Τότε h(ξ) = (ξ) ((ξ)) () = () - () =, δηλ. ξ - 6ξ + 8 = (). Συνεπώς (ξ - 6ξ + 8) = (()) (ξ - 6ξ + 8)() = ()(()). Όμως από την αρχική σχέση για = έχω ότι: ()(()) =. Αρά (ξ - 6ξ + 8)() =.

28 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Έστω συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [, ], για την οποία ισχύουν: + - () -, για κάθε [, ] κυρτή στο [, ] Οι ευθείες με εξισώσεις: ψ = + λ και ψ = +μ, εφάπτονται της Α. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών λ και μ. Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μοναδική ρίζα, που βρίσκεται στο,. Γ. Να αποδείξετε ότι ()d < Δ. Να υπολογίσετε το όριο ()d ln () + lim + ( - ) - Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν α,β [,], με α β, τέτοια ώστε: C (α) + α + α = (β) + β. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Για = έχουμε : - () - () = -. Οπότε: () + () + > + () + + lim + lim lim Για = έχουμε : () () =. Οπότε: () - () < + - () lim lim lim (). Επειδή η ευθεία με εξίσωση : ψ = + λ εφάπτεται της γ [,], τέτοιο ώστε (γ) =. (). C, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει Η συνάρτηση είναι κυρτή στο [, ], επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], οπότε : () (γ) (). Επειδή η ευθεία με εξίσωση : ψ = + μ εφάπτεται της χει δ [,], τέτοιο ώστε (δ) =. C, συμπεραίνουμε ότι υπάρ Η συνάρτηση είναι κυρτή στο [, ], επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], οπότε : = (δ) () () =. Άρα οι παραπάνω ευθείες εφάπτονται της οπότε () = + λ λ = - και () = +μ μ = -. C στα σημεία (,-) και (,) αντίστοιχα, Β. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], θα ισχύει () () = γν.αύξουσα στο [, ], οπότε συνεχής ([,]) = [(),()] = [-,]. Προφανώς (-,), οπότε υπάρχει μοναδικό ρ (,), τέτοιο ώστε (ρ). Η μοναδικότητα του ρ είναι απόρροια της μονοτονίας. Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα [, ρ] και [ρ, ], οπότε

29 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) υπάρχουν ξ (, ρ) και ξ (ρ, ), τέτοια ώστε: (ρ) - () () - (ρ) (ξ ) = = και (ξ ) = =. ρ ρ -ρ - ρ Όμως Επίσης γν.αύξουσα ξ < ξ (ξ ) < (ξ ) < - ρ < ρ ρ >. ρ - ρ γν.αύξουσα ξ < (ξ ) < () < - ρ > ρ <. -ρ Γ. Για κάθε, έχουμε : < ρ γν.αύξουσα () < (ρ) = ()d < ()d + ()d < ()d < - ()d = ()d. Δ. lim [() + ] ln(() + ) ln(() + ) [() + ] ln(() + ) + lim = lim = = + + (- ) - () + (- ) - () + (- ) - lim lim ψ = ()+ lnψ + ψ lim [() + ] ln(() + ) = lim (ψ lnψ) = lim = lim = ψ ψ + ψ ψ DLH ψ () + lim = () =. + - = u (- ) - (u) - lim = lim = - () = u u (-) =, καθώς: Ε. Θεωρούμε τις συναρτήσεις g και h με τύπους : g() = () + +, [,] h() = () +, [,] Είναι :g() = () = - και g() = () + =. Επειδή g προφανώς συνεχής στο [, ], σύμ- φωνα με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει α (,), τέτοιο ώστε g(α) = (α) + α + α =. () Είναι : h() = () = - και h() = () + =. Επειδή h προφανώς συνεχής στο [, ], σύμ- φωνα με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει β (,), τέτοιο ώστε h(β) = (β) + β =. () Από () και () προκύπτει : Έστω ότι α = β. Τότε θα ήταν : είναι ΑΤΟΠΟ, καθώς α (,). Άρα α β. (α) + α + α = (β) + β. (α) + α + α = (α) + α α - α = α = ή α =, που

30 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Έστω ε : y = + λ η εφαπτόμενη C στο Α(,() ) άρα ( ) = και ( ) = + λ. Επίσης, επειδή κυρτή τότε γνησιως αύξουσα για κάθε [,]. Είναι ' ( ) () Έστω η : y = +μ η εφαπτόμενη C στο Β(,( )) άρα ( ) = και ( ) = +μ. Επίσης, επειδή κυρτή τότε γνησιως αύξουσα για κάθε [,]. Είναι ' ( ) () + - () -, () για κάθε [,] Για = στην () : - () - () = - Για = στην () : () () = παραγωγιση στο άρα παραγωγιση στο άρα () + () = lim + () - () = lim - - () () - + () + + Άρα, Έχουμε : Είναι : () + lim ( + ) lim lim () () () - και () = () = ( ) = () ( ) = + λ = () = + λ λ = () () () Άρα, Έχουμε : Είναι : - () lim - lim - lim () () - και () = () = ( ) = () = ( ) = +μ () = +μ μ = () () Β. Έστω, =. Θεωρούμε h() = () - + για κάθε [,] () - () - + h() h. Επομένως η h παρουσιάζει στο μέγιστο

31 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) άρα από θεώρημα Frmat Η εφαπτόμενη της C στο Επειδή κυρτή τότε : () - Έχουμε : Για Για () - και () - = στην () : h = - = = Γ, είναι η ευθεία ζ : y = - () = - ΑΤΟΠΟ αφού η είναι κυρτή. Τελικά < = στην () : > 9 συνεχης, < Είναι : ' θεώρημα Bolzano η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο () () () () () >., () > άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και - οπότε η εξίσωση () = Γ. έχει το πολύ μια ρίζα στο [,]. Τελικά, η εξίσωση () = έχει ακριβώς μια ρίζα στο,. () - ()d ( -)d = - < ()d < 4 ()d < ()d + ()d < ()d < ()d Δ. (- ) - () - lim = -lim = - () = () - + () + ln( + ) ln(() + ) ln() ln( + ) ln(() + ) ln() lim (ln( + )) = = + lim (ln()) = = lim + κριτήριο παρεμβολής ln(() + ) ln(() + ) = lim = = (- ) - (- ) lim ln(() + ) = + Ε. Θεωρούμε την συνάρτηση Κ() = () (β) - β

32 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Από το Β ερώτημα υπάρχει ξ, : (ξ) = Κ() = () (ξ) - ξ Κ() = () ξ Κ() = () + - ξ = - ξ > Κ(ξ) = (ξ) + ξ + ξ - ξ = ξ -ξ = ξ(ξ -) < Κ συνεχης [ξ, ] Κ(ξ) Κ() < θεώρημα Bolzano υπάρχει α, έστω ότι το β = ξ Κ(α) = (α) + α + α - (β) - β = (ξ,) : (α) + α + α = (β) + β Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. + - () - () για = από () είναι () = - για = από () είναι () για > από () είναι σιμη θα έχουμε για < από () είναι () - () + () + +,τότε αφού είναι παραγωγί () - () lim( + ) lim '() () - () +, τότε αφού είναι παραγωγίσιμη θα έχουμε - () - () lim( + ) lim '() - κυρτή στο [,] άρα γν.αύξουσα στο [,] και - - έστω, ( ) το σημείο στο οποίο εφάπτεται η y = + λ της όμως ' '() ' - ( ) () () () = = η εφαπτόμενη εφάπτεται στη ( ) = C, τότε C στο σημείο (, -) οπότε - = + λ λ = - - έστω, ( ) το σημείο στο οποίο εφάπτεται η y = +μ της όμως ' ' '() ' - ( ) () () () = = η εφαπτόμενη εφάπτεται στο στη ( ) = C, τότε C στο σημείο (,) οπότε = +μ μ = - B. συνεχής στο, από () για είναι, αν = τότε εφαρμόζοντας ΘΜΤ στα, και, αφού παραγωγίσιμη και συνεχής σε καθένα από αυτά, θα υπάρχουν ξ,, ξ,, ξ < ξ :

33 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) - () - () '(ξ ) = =, '(ξ ) = =,άτοπο ( γν.αύξουσα), συνεπώς - - από () για = είναι > 9, : ( ) =., άρα τώρα αν υπάρχει < < και από Θ.Bolzano υπάρχει [,] με < χ.β.γ : ( ) = τότε από Θ.Roll στο [, ] θα υπάρχει ξ (, ) : (ξ) =, όμως γν.αύξουσα, άρα <ξ () < (ξ) <,άτοπο. Συνεπώς η εξίσωση () = έχει μοναδική ρίζα την (,) Γ. () ()d = ()d + ()d ()d + ( - )d = ()d + - = ()d - < ()d 4 Δ. για, από () είναι u =- (- ) - (u) - (u) - () lim = lim = - lim = - '() = u u - u u < < + + ln + ln + ln () ( ) ( () ) ( ) ln + ln + ln ( ) ( () ) ( ) () ln( + ) + ( + ) lim ln( + ) = lim = lim = - lim = όμως + + DLH ln() lim ln() = lim = lim = - lim =, DLH άρα από κριτήριο παρεμβολής στην () είναι Συνεπώς, lim ln(() + ) = ln(() + ) ln(() + ) + lim = lim + + (- ) - (- ) - = = - Ε. Έστω G() = () + +, [,] και H() = () +, [,] συνεχείς στο [,] ως αθροίσματα συνεχών συναρτήσεων. G() = -,G() = G() G() < H() = -,H() = H() H() <

34 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) από Θ.Bolzano στο [,], υπάρχουν α (,), β (,) ώστε G(α) = και H(β) =, συνεπώς Αν α = β τότε (α) + α + α = (β) + β. (α) + α + α = (α) + α α = ή α = άτοπο άρα α β τελικά υπάρχουν α,β (,) [,] με α β ώστε (α) + α + α = (β) + β

35 Προταθηκε απ τον Βαγγελη Νικολακακη (5//5) + 5 Έστω η συνάρτηση () = ln - + Να βρείτε τα όρια Α. Β. i) lim () + + Λύνει ο : Βαγγέλης Νικολακάκης Α. Για τα όρια έχουμε : + 5 lim (ln) = + και lim = lim = lim =, οπότε lim () = + - = και lim() () lim ημ () ln Γ. i) lim () + () και ii) () και ii) lim () lim + () + συν Στην συνέχεια να βρείτε τον α, ώστε 5 () α α- lim - α + = - () - + συν lim() = lim ln - = lim ln - = (- ) -(+ ) 5 = Β. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε lim () = + lim = + + i) Θα εργαστούμε με δύο τρόπους α τρόπος (αντικατάσταση) Αντικαθιστούμε το = y () = () y Για + είναι και (),οπότε και Το ζητούμενο όριο γράφεται Όμως είναι lim = και + Έτσι από την () παίρνουμε : lim + () y = () () ημ () ημy lim () ημ = lim ημy = lim = = () y y () + y y lim () ημ = = () + β τρόπος (κριτήριο παρεμβολής) Γνωρίζουμε ότι lim () = + + Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ημ. Δηλαδή για τα + είναι και () > () και έχουμε () () ημ = () ημ = () ημ () = () () () () () ()

36 Προταθηκε απ τον Βαγγελη Νικολακακη (5//5) Δηλαδή () () ημ - ημ () () () Όμως, lim - = lim = + + Έτσι από την () λόγω ΚΠ παίρνουμε ii) είναι, lim () ημ = () + () lim = lim = lim = =, αφού () + συν + συν συν + () + () συν συν συν = - () () () () () () με lim - = lim = + () + () και λόγω ΚΠ είναι συν lim = () + ln ln Γ. i) για το όριο lim () + = lim () + () () + (A) + lim () =(- ) = (- )(+ ) = - + ln -() + lim + () = lim( ln) = () - = (+ )(- ) = - + Έτσι λόγω της (4) παίρνουμε (4) έχουμε : ln lim () + = - - = - + () () ii) για το όριο lim παρατηρούμε ότι έχουμε απροσδιοριστία - και για τον λόγο αυτό γράφουμε το πηλίκο σαν γινόμενο. Είναι () () lim = lim () = (+ )(- ) = - +, άρα lim = - α () -+ συν 5 () α- lim - α + = - (5) Όμως 5 () 5 α α 5 () lim = lim = lim α = () + συν - () συν - () συν = α = α = α =

37 Προταθηκε απ τον Βαγγελη Νικολακακη (5//5) και έτσι από την (5) παίρνουμε Θεωρούμε την συνάρτηση α- α- -α + = - + α - = (6) - h() = + - = Αν, με <... h( ) < h( ),οπότε η h είναι γ. αύξουσα στο, άρα και -. Έτσι η εξίσωση (6) γράφεται : - h() = h() = Λύνει ο : Νίκος Αντωνόπουλος (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Β. i) Είναι αφού ημ () () () () lim ημ + = lim = + + ημ () ημu lim = lim = u () + u και lim = + + Γ. i) Είναι ln lim() + = - () αφού lim() = - τότε () u lim = lim = u - και ln τότε lim() = - και lim = lim ln = - () () () ii) Είναι lim = lim () = - Είναι αφού Άρα ισχύει 5 () α lim - α + = - α + () -+ συν () lim = = u lim = lim = + + u + αφού lim() = - και lim () -+ συν = - και α- α- - = - α + + α - = Θεωρούμε τη συνάρτηση Η g είναι παραγωγίσιμη στο - g() = + -, με Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο Είναι α- +α - = g(α) = g() α = - g () = + > αφού η g είναι ως γνησίως μονότονη. lim = + + και limln = -

38 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//5) Δίνονται οι συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο () >, για κάθε () = ln() + - (), για κάθε, για τις οποίες ισχύουν: Η C δέχεται οριζόντια εφαπτομένη την ευθεία ψ = - g() +G() + = G(), για κάθε, όπου G αρχική συνάρτηση της g στο. - Α. Να αποδείξετε ότι g() = ( - ), και - () =,. Β. Να βρείτε λ >, ώστε η εξίσωση: ln( + lnλ) =, να έχει μοναδική λύση, την οποία και να προσδιορίσετε. Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,β ισχύει: (α) (β) (α +β). Δ. Αν μ,ν με μ < ν, αποδείξτε ότι υπάρχει ρ (μ + ν,ν), ώστε: (ρ) = (μ) (ν). Ε. Να υπολογίσετε το όριο : g( ) - g( + ) lim - -. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. - g() + G() + = G(), για κάθε, οπότε για = έχουμε : g() = -. Είναι : - - Έτσι : g() + G() + ' = G() ' g () + g() = g () + g() = = - g() ' = ()' g() = + c c = - g() = ( -),. - G() - G() = -,. () g() = - Επειδή η C δέχεται οριζόντια εφαπτομένη την ευθεία ψ =, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ( ) = και ( ) =. = () = ln() + - () ( ) = ln( ) + - ( ) () = και () =. Έστω h() = ln(),. Είναι () h () =, οπότε () = ln + - = () = ln() + -() () = ln() + - h () = h() + - h () - h() = - () h () - h() = ( -) h() ' = G () h() = G() + c ln() = G() + c c = - G(). Έτσι : ln() = () h() = G() + c h() = G() + - G() h() = - - () =,. - - = h() = G() + c h() = - Β. ln + lnλ = + lnλ = λ = - = (). Για την συνάρτηση έχουμε: -, και () = ( -) -, για κάθε () = ( - + ) > Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο A = (-, ]

39 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//5) και γνησίως αύξουσα στο A = [, + ). Είναι: lim = - Είναι αφού t = - - t lim () = lim = lim = t + και - lim = +. - t = - - t lim () = lim = lim = t + lim = + + και συνεχής lim lim. DLH -, καθώς, καθώς lim ( - ) = + -, αφού lim ( - ) = lim - = συνεχής Έτσι έχουμε: (A ) = [(), lim ()) = [,+ ) και (A ) = [(), lim ()) = [,+ ). Οπότε για : <λ <, η εξίσωση είναι αδύνατη λ =, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την = + λ >, η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες, μία στο A και μία στο A., Γ. Για α = β, έχουμε προφανή ισότητα. Έστω α < β. Για την συνάρτηση h, έχουμε : h() = ln() = -,. h () = -,. h () =,. Η συνάρτηση h ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα [α, α β] και [α β, β], οπότε υπάρχουν ξ (α, α β) και ξ (α β, β), τέτοια ώστε h(α +β) - h(α) h(ξ ) = β - α και Όμως hγν.αύξουσα h(β) - h(α +β) h(ξ ) =. β - α ξ < ξ h (ξ ) < h (ξ ) h(α +β) < h(α) + h(β) ln (α +β) < ln (α) + ln (β) ln (α +β) < ln (α) (β) (α +β) < (α) (β). Ομοίως αποδεικνύουμε για α > β. Δ. Θεωρούμε συνάρτηση u με u() = () - (μ) (ν), [μ + ν, ν]. Η συνάρτηση u είναι προφανώς συνεχής στο [μ + ν, ν] και u(μ + ν) = (μ + ν) - (μ) (ν) <, λόγω Β. u(ν) = (ν) - (μ) (ν) = (ν) [(ν) - (μ)] >, καθώς (ν) > και (ν) - (μ) >, αφού μ < ν και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (μ + ν, ν), τέτοιο ώστε: u(ρ) = (ρ) = (μ) (ν).

40 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//5) Ε. Γνωρίζουμε ότι : +, για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Επομένως για κάθε είναι > +. Για, η συνάρτηση g ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο υπάρχει ξ() ( +, ), τέτοιο ώστε g ξ() = g( ) - g( + ) -ξ() g( ) - g( + ) -ξ() =, καθώς Είναι : + < ξ() < και lim( + ) = lim = οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και g( ) - g( + ) Έτσι έχουμε : lim = lim - - ξ() -ξ() -ξ(), =. [ +, ], επομένως - g () = ( - ). limξ() =. Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Είναι: g() + G() + - = G() G () + G() + G () + G() + = G() (G() - = G() ) =(G() - ) οπότε: G() Για = έχω ρ =. Συνεπώς G() = G() - G() G() - - Επόμενα G () = ( - ) g() = ( - ) = G() - + ρ. Για τη συνάρτηση έχουμε : ( )> και επειδή η C δέχεται οριζόντια εφαπτομένη την ευθεία ψ = υπάρχει ώστε ( ) =, ( ) = οπότε. ( ) = ln( ) + - = + - =. Δηλαδή () =, () =. Επίσης '() '() = ln() + -() = ln() + - (ln())' = ln() + - () ln() = ( -) ( ln())' = (- )' οπότε : Για = έχω c =. Άρα - ln() = - + () =. - - ln() = - + c. B. - - () = () = ( -), () = =, () > >, () < <. Συνεπώς γν. φθίνουσα στο (-, ], γν. αύξουσα στο [, + ). Επίσης lim () = +, () =, lim () = + γιατί - + / lim = lim = + DLH + και lim ( - ) = lim - = Επόμενα (( -, ] = [, + ), ([, + )) = [, + ) δηλαδή ( ) = [, + ) Τώρα η δοσμένη εξίσωση είναι: ln( + lnλ) = lnλ = < λ < η εξίσωση δεν έχει λύση. - λ = -. Συνεπώς αν αν λ > τότε υπάρχει ένα (-, ) και ένα (, + ) ώστε ( ) = ( ) = λ ( θεώρημα μέσης τιμής για τη συνεχή συνάρτηση ).

41 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//5) αν λ = τότε ( ) =() = διότι () = είναι η ελάχιστη τιμή της όπως προκύ- πτει από τα παραπάνω. Άρα λ = και =. Γ. Ισχύει ότι : α β α β α+β α β α+β ( - ) + ( - α) + ( - β) ( -(α + β)) ln(α) + ln(β) ln(α + β) ln (α) (β) ln (α + β) (α) (β) (α + β) γιά κάθε α, β. Προφανώς η ισότητα ισχύει για α = β. Δ. Θέτω h() = () - (μ) (ν). Η h συνεχής στο ως άθροισμα συνεχών. Επειδή μ + ν < ν από (Γ) θα είναι h(μ + ν) <. Επειδή γν. αύξουσα στο [, + ) θα είναι μ < ν και (ν) - (μ) > (ν) (ν) - (μ) > h(ν). Άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει ρ (μ + ν, ν) ώστε h(ρ) = (μ) (ν) = ρ Ε. Είναι: g() = ( - ), g'() = ( - ), g''() = ( - ). Επίσης οι συναρτήσεις g(), g( + ), g( ), g (), g ( + ), g ( ), g ( ), g (), g ( + ) είναι συνεχείς οπότε από διαδοχικές εφαρμογές του κανόνα D L Hospital (διότι έχω μορφές ) προκύπτει : g( ) - g( + ) g'( ) - g'( + ) g'( ) + g''( ) -g''( + ) lim = lim = lim = g'() = Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. () = ln() + - () () Η είναι παραγωγίσιμη στο και η C δέχεται εφαπτόμενη στο, την y = ( ) - ( ) + ( ) που συμπίπτει με την y = αν και μονο αν ( ) = και ( ) = όμως από την ( ) =, ( ) = () ( ) = ln( ) + - =. άρα () = - - Έστω Η() = ln() +, η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. () () ln() H () = - ln() + - = - ln() + - = () () άρα Η σταθερή στο, ας είναι H() = c, c και για = H() = c c = άρα H() = ln() + = () =, - g() + G() + = G() () και για () = g() = -

42 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//5) 'Εστω F() = G() - G() +, η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. F () = [ g() + G() - G() ] + F( ) = ' F () = G () + G() - G() + άρα F σταθερή, ας είναι F() = k, k και για άρα - F() = G() - G() + = G() = - + G() () g() = - = F() = k k = () () g() = ( - ), () g() - + G() + = G() g() = - B. Για > - lnλ είναι - ln( + lnλ) = + lnλ = λ = λ = () Είναι () = ( -) - / lim = lim = + DLH + και, άρα u = - - u lim () = lim = lim = u + lim ( - ) = + - άρα lim ( - ) = lim [ (- )] = u = - - u lim () = lim = lim = u + συνεπώς g((-, )) = (,+ ), g([, + )) = [,+ ) αν λ < τότε η εξίσωση () = λ δεν έχει ρίζες αφού () για κάθε αν λ = τότε η εξίσωση () = λ έχει ακριβώς μια ρίζα την = αν λ > τότε η εξίσωση () = λ έχει ρίζες στα (-, ), (, + ) V min U αντίστοιχα, οπότε η εξίσωση () = λ, > lnλ έχει μοναδική ρίζα για λ = την = Γ. (α) (β) ( α +β ), () > από Β. ερώτημα αν α = β ισχύει προφανώς η ισότητα αν α < β (χ.β.γ) τότε θεωρώ τη συνάρτηση D() = ln(()) στο [α, β] με '() D () = και () ''()() -['()] () D''() = = >, άρα η D' είναι γν. αύξουσα στο. εφαρμόζοντας ΘΜΤ στα [α, α+β] και [α+β, β] (ισχύει α < α+β < β) θα υπάρχουν ξ ( α, α+β ) και ξ (α + β, β) με ξ < ξ ώστε D(α) - D(α +β) D(α +β) - D(β) D(ξ ) = και D (ξ ) = α -β α -β και εφόσον D' γν. αύξουσα θα είναι D(α) - D(α +β) D(α + β) - D(β) D(ξ ) < D (ξ ) < α -β α -β D(α) - D(α +β) > D(α +β) - D(β) D(α) + D(β) > D(α +β) ln((α) + ln(β) > ln (α +β) α < β (α)(β) > (α +β)

43 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//5) άρα (α)(β) (α + β) για κάθε α,β Δ. Έστω L() = () - (ν)(μ), [μ + ν,ν], μ < ν συνεχής. L(μ + ν) = (μ + ν) - (ν)(μ),όμως από τη σχέση του ερωτήματος Γ. για α = μ < ν = β είναι L(μ + ν) < L(ν) = (ν)- (ν)(μ) = (ν) (ν)- (μ), όμως η είναι γν. αύξουσα για άρα (ν) > (μ) και L(ν) > Συνεπώς από Θ.Bolzano υπάρχει ρ (μ + ν, ν) : L(ρ) = (ρ) = (ν)(μ) Ε. ος τρόπος : Η g είναι φορες παραγωγίσιμη με συνεχή η παράγωγο g'() = ( - ), g''() = ( - ) - - g( ) - g( + ) g'( ) - g'( + ) g''( ) + g'( ) - g''( + ) lim = lim = lim = DLH DLH = g''() + g'() - g''() = g'() = ος τρόπος : Ισχύει u = ln -, όπου η ισότητα ισχύει μόνο για = u u +, όπου η ισότητα ισχύει μόνο όταν u = για είναι > + Από ΘΜΤ για την g στο Όμως -, g () = ( - ) κοντά στο για < οπότε [ +, ] υπάρχει ξ ( +, ) : g''() ( - ) για g(ξ) = g( ) - g( + ) - -, άρα η g' είναι γν. φθίνουσα Κ.Π. g( ) - g( + ) + < ξ < g ( + ) g (ξ) > g'( ) g ( + ) > > g'( ) - - g( ) - g( + ) g( ) - g( + ) lim g ( + ) lim lim g ( ) g'() lim g'() άρα lim g( ) - g( + ) - - = g'() =

44 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Έστω : δυο φορές παραγωγισιμη και γνησίως μονότονη. H C έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία : π H C έχει στο - ασύμπτωτη την ευθεία : y = - lnπ Α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα Β. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ώστε (ξ) = Γ. Να δείξετε ότι η C δεν τέμνει τις ασύμπτωτες της Δ. Να δείξετε ότι η '' δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο α y = ln( + α) + -, α (,+ ) Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης Α. Έστω φ() = ln(+ ) + - φ () = - + ( + ) φ''() = - - < φ' γν.φθίνουσα για κάθε > Για Για Άρα φ ( > φ () < φ () φ () < φ γν.φθίνουσα για κάθε > φ ( > φ() < φ() φ() < α lim () = ln(+ α) + - = φ(α) <, αφου α (,+ ) + Έστω h() = ln με h () = ΘΜΤ lnπ - ln h παραγωγισιμη στο [,π] υπάρχει ξ (,π) : = ξ π - () Είναι : Άρα () lnπ - ln π <ξ < π < < < < - lnπ > π ξ π π - π lim () = - lnπ > - Αν γν.αύξουσα ( ) = lim (), lim () = +,- άτοπο, άρα η γν.φθίνουσα. - + π γν.φθίνουσα ( ) = lim (), lim () = φ(α), - lnπ + - Β. Έχουμε ότι η Αφού το ( ) και "-" τότε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ώστε (ξ) = Γ. Έστω y=λ η οριζόντια ασύμπτωτη της C στο - και έστω ότι η y=λ για =. Δηλαδή ( ) = λ. ( συνεχής άρα lim () = λ ) - Τότε το σύνολο τιμών του διαστήματος (-, ) θα ήταν : (-, ) = lim (), lim () - = (λ, λ) το όποιο είναι άτοπο - C τέμνει την

45 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Ομοίως αν y=μ η οριζόντια ασύμπτωτη της Άρα η C δεν τέμνει τις ασύμπτωτες της. C στο +. Δ. A τρόπος : γν.φθίνουσα Είναι : και () παραγωγισιμη. Όποτε υπάρχει : ( ) < περίπτωση : Έστω ''() > κυρτή στο. Εφαπτόμενη της C στο Α, : y Αφού η κυρτή τότε κάθε εφαπτόμενη της () y () ( ) + ( ) - ( ) Είναι : lim () lim ( ) + ( ) - ( ) - - άρα η '' δεν είναι θετική. C είναι κάτω από την π - lnπ + άτοπο, C οποτε : περίπτωση : Έστω ότι η ''() < Αφού η κοίλη τότε κάθε εφαπτόμενη της () y () ( ) + ( ) - ( ) Είναι : lim () lim ( ) + ( ) - ( ) + + C είναι πάνω από την φ(α) - άτοπο, C οποτε : άρα η '' δεν είναι αρνητική. Όποτε η '' δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο. Β τρόπος : / () () + () lim () = λ lim = λ lim = λ + + DLH + lim + () + () = λ Θέτουμε h() = () + () () = h() - () Έχουμε : lim () = lim h() - () = λ - λ = + + () Είναι / () + () lim () = μ lim = μ lim = μ - - DLH - Θέτουμε Κ() = () + () () = Κ() - () lim '() = lim Κ() - () = μ -μ = Έχουμε : - - Τελικά έχουμε lim '() = lim '( ) = - + Αν - + Αν lim - ''() > γν.αύξουσα ( ) = lim '(), lim '() = (, ) άτοπο ''() < γν.φθίνουσα ( ) = lim (), lim () = (, ) άτοπο + - () + () = μ

46 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Θέτω για > g() = ln g () = - ln. g () = =, g () > < oπότε g γν.αύξουσα στο(-, ], g γν.φθίνουσα στο [, + ). Επόμενα η g παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο ίσο με g() =. Συνεπώς g(π) < g() lnπ < π π - lnπ > π - lnπ > Επίσης θέτω h() = ln( + ) + - h () = - +, h () =,. - - < + για > οπότε h' γν.φθίνουσα στο [, + ) δηλαδή > h () < h () = h γν.φθίνουσα στο [, + ). Συνεπώς για α > είναι h(α) < h() ln(α + ) + - Επειδή η lim () + Επειδή η lim () - = α <. C έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία y = ln(α + ) + - α < είναι = ln(α + ) + - α < επόμενα θα υπάρχει > ώστε ( ) <. C έχει στο - ασύμπτωτη την ευθεία y = π - lnπ π - lnπ. > είναι > επόμενα θα υπάρχει < ώστε ( ) >. Δηλαδή είναι γνήσια μονότονη, < και ( ) > (). Άρα η είναι γνήσια φθίνουσα. Β. Η είναι συνεχής ( ως παραγωγίσιμη ) στο [ ] (από ερώτημα Α.), ( )( ) <, άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ ( ) ώστε (ξ) =., Επειδή είναι γνήσια φθίνουσα στο το ξ είναι μοναδικό. Γ. Εχω lim () + = ln(α + ) + - lim () α, - = π - lnπ, συνεχής στο, είναι γνήσια φθίνουσα στο συνεπώς ( ) = (ln(α + ) +- α, π - lnπ ). Όμως ln(α + ) + - α ( ), π - lnπ ( ) άρα η C δεν τέμνει τις ασύμπτωτές της. Δ. Aν η διατηρεί σταθερό πρόσημο και είναι () > για κάθε τότε κυρτή στο οπότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του σκεται "κάτω" από τη γραφική της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Επειδή η είναι γνήσια φθίνουσα () για κάθε. Έστω με ( ) <. Τότε () ( )( - ) + ( ). βρί-

47 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) π l i m ( ) - + ( ) = + lim () = + άτοπο διότι lim () = - lnπ Όμοια αν είναι () < για κάθε τότε κοίλη στο οπότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. βρίσκεται "πάνω" από τη γραφική Επειδή η είναι γνήσια φθίνουσα () για κάθε.έστω με ( ) <. Τότε () ( )( - ) + ( ). α lim ( )( - ) + ( ) = - lim () = - άτοπο διότι lim () = ln α Άρα η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Από τις δεδομένες οριζόντιες ασύμπτωτες, συμπεραίνουμε ότι: π lim () = - lnπ - και lim () = ln(+ α) Από τη γνωστή ανισότητα : ln -, για κάθε >, με την ισότητα να ισχύει μό- νο για =, προκύπτει : ln(+ α) < α, καθώς +α >. Από τη γνωστή ανισότητα : +, για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μό- α νο για =, προκύπτει : >α +, καθώς α >. Έτσι για α >, προκύπτει: Επειδή (λ) <. lim () = + α α α ln(+ α) < α < - ln(+ α) + - <.. α ln(+ α) + - <, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει λ >, τέτοιο ώστε: Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο Είναι - g () = - =, >. g() = - ln, >. Η συνάρτηση g είναι γν.αύξουσα στο [,+ ), επομένως Επειδή - π g(π) > g() = - lnπ >. π lim () = - lnπ >, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει κ <, τέτοιο ώστε: (κ) >. Γνωρίζουμε ότι η είναι γν.μονότονη στο γν.φθίνουσα στο γν.αύξουσα στο Έστω ότι γν.αύξουσα στο. Τότε: κ < λ γν.αύξουσα ή. Επομένως θα είναι: (κ) < (λ), που είναι ΑΤΟΠΟ, καθώς (κ) > και (λ) <. Επομένως γν.φθίνουσα στο.

48 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Β. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [κ, λ] με (κ) > και (λ). Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ξ (κ, λ), τέτοιο ώστε (ξ) = και επει- δή γν.φθίνουσα στο, το ξ είναι μοναδικό. Γ. Επειδή η είναι συνεχής και γν.φθίνουσα στο, θα ισχύει : α π ( ) = lim (), lim () = ln(+ α) + -, - lnπ + -, οπότε για κάθε, ισχύει : α ln(+ α) + - < () < α () = ln(+ α) + - και Επομένως η π - lnπ, οπότε οι εξισώσεις : π () = - lnπ, είναι αδύνατες στο. C, δεν τέμνει τις ασύμπτωτες. Δ. Λήμμα: Αν γν.μονότονη στο και γν.φθίνουσα στο, τότε () <, για κάθε ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω γν.αύξουσα στο και γν.φθίνουσα στο. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει : ( ), τότε κάνοντας χρήση του Θ.Μ.Τ στο [, +] για την, έχου- με : Υπάρχει Όμως ξ (, + ) : ξ = ( + ) - ( ):. γν.αύξουσα <ξ < + (ξ ) > ( ) ( +)- ( ) > ( +) > ( ) που είναι ΑΤΟΠΟ, καθώς γν.φθίνουσα στο. Επομένως () <, για κάθε. Ομοίως εργαζόμαστε αν υποθέσουμε ότι γν.φθίνουσα στο του Θ.Μ.Τ στο [ -, ] για την. Επανερχόμαστε στο ζητούμενο ερώτημα., κάνοντας χρήση Αν υποθέσουμε ότι () >, για κάθε,τότε κυρτή στο, οπότε : () (ξ)( -ξ), για κάθε, αφού η ευθεία με εξίσωση ψ = (ξ)( -ξ) εφάπτε- ται της C στο σημείο (ξ, ) και έτσι : lim () lim (ξ)( -ξ) lim () = +, καθώς (ξ) < και lim ( -ξ) = -. - π Όμως lim () = - lnπ. - Αν υποθέσουμε ότι () <, για κάθε,τότε κοίλη στο, οπότε: () (ξ)( -ξ), για κάθε, αφού η ευθεία με εξίσωση ψ = (ξ)( -ξ) εφάπτεται της C στο σημείο (ξ, ) και έτσι: lim () lim (ξ)( -ξ) lim () = -, καθώς (ξ) < και Όμως lim () = ln(+ α) α. lim ( -ξ) = +. +

49 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Από τον ορισμό των οριζόντιων ασύμπτωτων είναι lim () = ln(+ α) από την ln -, > για =α + είναι ln(+ α) για άρα συνεπώς α π lim () = - lnπ - α με την ισότητα να ισχύει μόνο για α = α α α α = είναι ln - α - με την ισότητα να ισχύει μόνο για α = α ln(+ α) < - για κάθε α (, + ) lim () < + και θα υπάρχει > κοντά στο + ώστε ( ) < ln - ln Εστω η συνάρτηση g() =, συνεχής με g () = < στο (, + ) άρα g ln lnπ π γν. φθίνουσα στο [, + ), συνεπώς <π() > (π) > > lnπ π οπότε lim () και θα υπάρχει < κοντά στο - ώστε ( ) > - Αν υποθέσουμε ότι γν.αύξουσα στο τότε < < ( ) < ( ) < άτοπο άρα γν.φθίνουσα. B. Aπό Θ.Bolzano στο [, ] με ( )( ) < θα υπάρχει ξ (, ) : (ξ) και επειδή γν. φθίνουσα θα είναι μοναδικό. Γ. Eίναι συνεχής στο και γν. φθίνουσα άρα ( ) lim (), lim () + - α π οπότε α π ( ) ln + α + -, - lnπ και κατά συνέπεια δεν τέμνει καμιά από τις ασύμπτωτες ln(+ α) + - < () < - lnπ για κάθε Δ. Στο [ξ +, ξ] από ΘΜΤ θα υπάρχει κ (ξ +,ξ) : (ξ + ) - (ξ) (ξ + ) (κ) = = όμως (ξ + ) > (ξ) = αφού γν.φθίνουσα στο και < άρα '(κ) <. έστω χ.β.γ. ότι ''() > για κάθε τότε κυρτή και βρίσκεται πάνω από κάθε ε- φαπτόμενη της (εκτός του σημείου επαφής). Η εφαπτόμενη της C στο κ,(κ) είναι y = (κ)( - κ) + (κ) άρα () (κ)( - κ) + (κ) όμως lim [ (κ)( - κ) + (κ) ] = +, άρα κοντά στο είναι - () '(κ)( - κ) + (κ) > < και με Κ.Π. είναι () '(κ)( - κ) + (κ) lim = l im () = +, άτοπο. () - - (ομοια αν ''() < ) Άρα η '' δεν διατηρεί σταθερό πρόσιμο.

50 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//5) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (, + ), για την οποία ισχύουν: () + ln - () =, για κάθε (, + ) Η C εφάπτεται στον - ln Α. Να αποδείξετε ότι () = ln( - ln), (, + ). Β. Αν <, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: () - ln() + =, έχει ακριβώς δύο ρίζες. Γ. Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με <, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε: (ξ)+ξ (ξ) =. α Δ. Να βρείτε α,β (, + ), ώστε να ισχύει: (β - lnβ) = α. Ε. Υλικό σημείο Μ ξεκινά την χρονική στιγμή t = από ένα σημείο K(,( )), με και κινείται κατά μήκος της καμπύλης ψ = (),έτσι ώστε:, = (t), ψ = ψ(t) και t. Να αποδείξετε ότι για κάθε t, ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης ψ(t) του ση- μείου Μ, είναι μικρότερος από τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του (t), αν γνωρίζετε ότι (t) >, για κάθε t. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Η C εφάπτεται στον,επομένως υπάρχει ρ>,τέτοιο ώστε: (ρ) = και (ρ) =. Για =ρ, έχουμε: Επομένως: () = () =. Θεωρούμε την συνάρτηση g με (ρ) (ρ) = + lnρ - ρ (ρ) = lnρ = ρ =. ρ - lnρ (ρ) = () g() =, >. - ln Είναι () = g() ( - ln) () = ln g() ( - ln) = lng() + ln( - ln) () () + ln - g () - g() ( - ln) + ln - () = + = - ln g() - ln - ln g () - () = + () g() - ln g () - ln - g () g () + = g() + = g() = - g() - ln - ln g() g () g() ' - ()' g() g() '- ()' = - = - ' = ' g() g() g() g() = +c () c = g() = = - ln () = ln( - ln), >. g() Β. Είναι - - () = =, >. - ln ( - ln) - () = = = ( - ln) και γνησίως αύξουσα στο A = [, + ).

51 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//5) - () > > >. ( - ln) > - () < < < <. ( - ln) Επομένως η συνάρτηση είναι γν.φθίνουσα στο (,] και γν.αύξουσα στο [,+ ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το () =. Δηλαδή ισχύει : (), για κάθε (, + ) με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο A = > / () > = > / = (,) (,+ ) Είναι () = ln() - ln(), A. Αν A = (,), έχουμε: () - ln() + = () - ln() = - ln () - ln() = ln( -) ( Είναι συνεχής + + ( () = () () =. (A ) = lim (), lim () = (, + ), καθώς lim () = lim ln( - ln) = +, αφού lim ln = - και lim =, ενώ lim () = () =. - + συνεχής στο Επειδή (A ), συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μοναδικό A,τέτοιο ώστε ( ) =. Η μοναδικότητα του A, προκύπτει από την μονοτονία της στο A. Αν A = (,+ ), έχουμε : () - ln() + = () - ln() = - ln() - ln() = ln - ' Είναι συνεχής + + (A ) = lim (), lim () = (, + ), καθώς + + ψ + ' () = () () =. ψ = -ln ln lim () = lim ln( - ln) = lim lnψ = +, αφού, lim ( - ln) = lim - = επειδή + / ln συνεχής στο lim = + και lim = lim =,ενώ lim () = () =. + DLH + +, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μοναδικό A,τέτοιο ώστε ( ) =. Επειδή (A ) Η μοναδικότητα του A, προκύπτει από την μονοτονία της στο A. Γ. Θεωρούμε συνάρτηση u με τύπο u() = () -, [, ]. Είναι: u συνεχής στο [, ], ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων u παραγωγίσιμη στο (, ), ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με u () = () - + (). u( ) = u( ) =. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Roll, υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε: u(ξ) = (ξ) - + (ξ) ξ = (ξ) + ξ (ξ) =. ξ

52 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//5) α α Δ. (β - lnβ) = α ln (β - lnβ) = ln( α) α + ln(β - lnβ) = + lnα (β) = + lnα - α. Είνα ι: ln -, για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Επομένως + lnα-α, με την ισότητα να ισχύει μόνο για α. Επίσης (), για κάθε >, με την ισότητα να ισχύει μόνο για. Επομένως (β), με την ισότητα να ισχύει μόνο για β. Έτσι έχουμε : (β) = + lnα - α (β) = και + lnα - α = α = και β =. Ε. Είναι : ψ(t) = (t), με ψ (t) = (t) (t). Έστω ότι υπάρχει >, τέτοιο ώστε ( ) =. Τότε για = προκύπτει: ( - ) = ( ) = = ln = ln ln = ln o - ln - ln - ln - ln o o o ln = ln( -)- ln( - ln ) ( ) = ln( -)- ln <,που είναι ΑΤΟΠΟ, καθώς ( ). Επομένως για κάθε, είναι () και επειδή συνεχής στο [, + ), ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, θα ισχύει : () > ή () < για κάθε. Όμως () = <, οπότε () < για κάθε. (t) > ψ (t) ψ (t) = (t) (t) = (t) < ψ (t) < (t) (t) Έτσι έχουμε :, για κάθε t. Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, : ln - ln -() -() g () = - () - + -, > (-ln + ) () + - ln δοσμένη -() g () = - σχέση -() ln g() = - +, > () -() + ln -+ - ln g () = - = - = g() = c, (, + ), c = σταθερός πραγματικός αριθμός Η C εφάπτεται στον ' στο,( ) τότε ( ) = και '( ) = άρα από την δεδομένη σχέση είναι ( ) + ln - ( ) = ln = = και () = και '() = οπότε - ln () = -() ln g() = c - + = c c =

53 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//5) -() ln Αρα g() = - + Συνεπώς () = ln( - ln), (, + ) -ln > () = - ln () = ln( - ln) B. () = ln( - ln), (, + ) - '() =, (, + ) - ln lim( - ln) = + ln lim ( - ln ) = lim [ (- )] = αφού ln με DLH lim = lim = + + Από τον πίνακα μονοτονίας και αφού συνεχής στο (, + ) έχω (,) = (, + ) και (, + ) = (, + ) άρα υπάρχουν μοναδικά (,), (, + ) ώστε ( ) =, (,) ( ) = (), στο (,) ( ) = () = ln( -) ( ) =, (, + ) ( ) = (), στο (, + ) ( ) = () = ln( -) ln ( ) - ln( ) = ln( -) ( ) - ln( ) = - ln ( ) - ln( ) = ln( -) ( ) - ln( ) = - άρα τα, είναι οι μοναδικές ρίζες της () - ln() + = V min U Γ. Έστω H() = (() - ), [, ] παραγωγίσιμη στο, με () - H () = + '() και υπάρχει ξ (, ) ώστε H() = H() = ( ) = ( ) =. Άρα απο Θ.Roll (ξ) - H(ξ) = + ξ (ξ) = ξ (ξ) + ξ (ξ) = Δ. α α β - lnβ = α ln + ln β - lnβ = ln + lnα (β) = l ( ) ( ) nα - α + όμως η έχει ελάχιστη τιμή () =, άρα β και από τον πίνακα μονοτονίας η τιμή είναι η μοναδική για την οποία μπορεί να ισχύει η ισότητα. Ακόμα ln - για κάθε > άρα lnα - α + με την ισότητα να ισχύει μόνο για Συνεπώς (β) = lnα - α + (β) = και lnα - α + = και σύμφωνα με τα παραπάνω είναι α = και β = Ε. (t) < - < (t) (t),

54 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//5) (t) >, (t) - ln(t) για = (t) είναι B. y = y(t) = (t) y'(t) = '(t)' (t) - (t) (t) y (t) = (t) < (t) < = '(t) (t) - ln(t) (t) - ln(t) άρα y'(t) < '(t). Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου ln - (), για κάθε > άρα ln - < Η C εφάπτεται στον άρα υπάρχει ένα α (, + ) τέτοιο ώστε (α) = (α) = () + ln - () = για - ln ' - ln ln - = = Έχουμε, () + lnα - =α : = lnα = α = α - lnα () + ln - () () = ()( - ln) = + ln - - ln -() -() () ( - ln) -(ln -) = ( - ln) (ln -) -() -() - ' - = -() - ln - ln -() -() ' = ' = + c - ln -() Για = : = + c = + c c = () -() ( - ln ) = + (ln -) -() ( - ln) (ln -) -() () - = - ln - ln -() ' + ' = - - ln -() - ln -() () = + c = = - ln () = ln( - ln) -() B. () - ln() + = () - ln() = - (()) = () - - () = = - ln ( - ln) συνεχής και γν.φθίνουσα στο (,] άρα (,] = [, + ) () = () () = (,] V min U άρα υπάρχει μοναδικό (,] : ( ) = συνεχής και γν.αύξουσα στο [,+ ) άρα [, + ) = [, + )

55 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//5) () = () () = [, + ) υπάρχει μοναδικό [, + ) : ( ) = Γ. θεωρούμε h() = () - με h() παραγωγισιμη στο [, ] h( ) = h( ) = h () = () + () - Roll υπάρχει ξ (, ) : h (ξ) = h(ξ) = ξ (ξ) + (ξ) - = ξ (ξ) + ξ(ξ) = ξ ξ Δ. α = β = Ε. M(t),y(t) = (t),ln((t) - ln(t)) (t) (t) - - : (t) > (t) (t) y (t) < (t) < (t) < (t) - ln(t) (t) - ln(t) - < (t) - ln(t) (t) + ln(t) < που ισχύει * (t) (t) - <, για κάθε (t) ln - ln(t) (t) - ln(t) - (t) +.

56 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Έστω συνάρτηση :, με τύπο ισχύουν : () +, για κάθε F() =, όπου F μια αρχική συνάρτηση της g στο Α. Να αποδείξετε ότι α = και β =. () = α +β + ln( + ), όπου α,β, για την οποία Β. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και στη συνέχεια, να λύσετε την εξίσωση : - ( + ) = (ln). Γ. Να αποδείξετε ότι : F() + F(-) =,. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ, με < ξ ξ <, τέτοια ώστε (ξ ) - (ξ ) =. Γ. Να αποδείξετε ότι : F() < F() + F() < F() +. Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : Δ. Αν κ, λ, να αποδείξετε ότι : Δ. Να λύσετε την εξίσωση : - F()d. κ + ln(λ + ) = λ + ln(κ + ) κ = λ. () + = ( + ). Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Ισχύει Έτσι : () +, για κάθε, οπότε για =, προκύπτει () =. () = α +β + ln( + ) β =. Θεωρούμε συνάρτηση g με τύπο g() = () -,.. Είναι g () = () -, και g() = g(), οπότε σύμφωνα με το Θ. Frmat, θα ισχύει g () = () = α =. Β. Για α = και β = προκύπτει () = + ln( + ),, με ( + ) () = + =,. + + Επειδή : (), για κάθε (-,-) (-,+ ) και συνεχής στο, προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γν.αύξουσα (και -) στο Είναι :, επομένως ορίζεται η ln( + ) lim () = lim [ + ln( + )] = lim + = ln( + ) lim = lim = - DLH - + Επίσης : και - lim () = lim [ + ln( + )] = = ψ lim ln( + ) = lim lnψ = + + ψ + Έτσι Η γν.αύξουσα. συνεχής - + lim = -., καθώς ( ) = ( lim (), lim ()) = (-,+ ). +, καθώς lim = + και -. - έχει πεδίο ορισμού το ( ) = (-,+ ) και σύνολο τιμών το A =, οπότε : ( + ) = (ln) ( + ) = (ln) ( + ) = ln - ( ( + )) = () ( + ) = ln() ( + ) = + ln( + ) = () = () =. -

57 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Γ. Εύκολα βρίσκουμε ότι : () - (-) =,. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με τύπο h() = F() + F(-) -,. h () = F() ' + F(-) ' - = F () - F (-) - = () - (-) - =,. = h () = h() = c h() =, οπότε h() = F() + F(-) =,. Γ. Η F προφανώς ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα [-,] και [,], οπότε υπάρχουν ξ (-,) και ξ (,), τέτοια ώστε: F(ξ ) = (ξ ) = - F(-) και F(ξ ) = (ξ ) = F(), επομένως (ξ ) - (ξ ) = F() + F(-) =, με - < ξ < < ξ <, δηλαδή <ξ ξ <. Γ. Η F προφανώς ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα [,], [,], [-,-] και [-,-], οπότε υπάρχουν (,), (,), (-,-) και (-,-) 4 τέτοια ώστε : F ( ) = ( ) = F() - F(), F ( ) = ( ) = F() - F(), F ( ) = ( ) = F(-)- F(-) και F ( ) = ( ) = F(-) - F(-) 4 4. Όμως : ' < ( ) < ( ) F() - F() < F() - F() F() < F() + F(). ' ( ) ( ) F(-) - F(-) < F(-) - F(-) F(-) < F(-) + F(-) 4 4 [4 - F()] < - F() F() F() F() F(). Γ4. F() + F(-) = [F() + F(-)] d = d , καθώς F() d = 8 F() d = 9 F() d + F(- ) d = = ψ F(-) d = F(ψ)(- dψ) = F(ψ)dψ. Δ. - κ + ln(λ + ) = λ + ln(κ + ) - λ + ln(λ + ) = - κ + ln(κ + ) (- κ) = (- λ) -κ = - λ κ = λ. Δ. () - () + = ( + ) () + = ( + ) ( + ) () + = ( + ) Δ () [ () + ] = ( + ) + ln[ () + ] = () + ln( + ) () = ln( + ) = =. u(ξ) = ((ξ) - ) + (ξ) ξ = (ξ) + ξ (ξ) =. ξ

58 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Είναι οπότε για Έστω () Αρα () +, για κάθε () = είναι () = α +β + ln( + ) = β = g() = () - -, παραγωγίσιμη με g () = α + - -, + = g() g() άρα g() μέγιστο της g και από θ.frmat θα είναι g'() = α = () = + ln( +), B. ( + ) () = + = > για κάθε (-,- ) (,+ ) και εφόσον συνεχής στο + + θα είναι γν.αύξουσα στο και "-" με () = ln ( - ( + ) = ( ln) ( + ) = ln + ) = () ( + ) = ln + ) = + ln( + ) = ( ( ) = ( ) = () = Γ. Έστω G() = F() + F(-) -,,παραγωγίσιμη με G () = () - (-) - = + ln( + ) + - ln( + ) - =, άρα G σταθερή και επειδή G() = F() + F() - = θα είναι G() = Συνεπώς F()+F(-) =, Γ. Η F παραγωγίσιμη στα [-,] και [,] και απο ΘΜΤ υπάρχουν ξ (-,), ξ (,) F() - F(-) F() - F() ώστε F(ξ ) = (ξ ) = - F(-) και F(ξ ) = (ξ ) = F() και + - <ξ <, < ξ < άρα (ξ ) - (ξ ) = F() + F(-)., με <ξ ξ < Γ. Εστω H() = F( +) - F(), [,] παραγωγίσιμη με H'() = ( + ) - (), [,] από ΘΜΤ θα υπάρχει ξ (,) : H() - H() H(ξ) = = F() - F() + F() (ξ + ) - (ξ) = F() - F() + F(), - από ΘΜΤ στο [ξ,ξ + ] για την, υπάρχει k (ξ,ξ + ) : (ξ + ) - (ξ) k k '(k) = + = F() - F() + F(), όμως < + < ξ + -ξ k + k + άρα < F() - F() + F() < F() < F() + F() < F() + () αφου κ > ξ > Γ4. F() + F(-) = F() + F(-) d = d θέτω u = -, τότε F()d + F(-)d = 8 (*) - - (*) F(-)d = -F(u)du = F(u)du F()d = 8 F()d = 9 - -

59 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//5) Δ. κ + ln(λ + ) = λ + ln(κ + ) -λ + ln (-λ) + = - κ + ln (- κ) + "-" (-λ) = (-κ) κ = λ Δ. () + = ( + ) ln( () + ) = ln(( + ) ) ln( () + ) = ln( + ) - () + ln( () + ) = - () + ln( + ) -() + ln( () + ) = - + ln( + ) (-()) = (-) -() = - ln( + ) = =

60 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Δίνονται συναρτήσεις και g για τις οποίες ισχύουν : g συνεχής στο και φορές παραγωγίσιμη στο (t) 4g() = g() + g() +(() - ) dt,() () < ( - ) (), () A. Να αποδείξετε ότι () = Β. Δείξτε ότι γνησίως φθίνουσα στο και να βρείτε την κυρτότητα της στο (,+ ) Γ. Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό (, ) τέτοιο ώστε : (-) () - () + = Δ. Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε : ( ) = Ε. Δείξτε ότι υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε : - ln + ( + 8) = 6 (6 ) ΣΤ. Δείξτε ότι υπάρχει (α, β) με α,β τέτοιο ώστε : ( )( - α)( - β) = α +β Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης Α. g συνεχής στο [, ] άρα από ΘΜΕΤ η g παίρνει μια μεγίστη και ελάχιστη τιμή άρα m < g() < M g() + g() 4m < g() + g() < 4Mnm < < M m < g() < M 4 Όποτε από ΘΕΤ υπάρχει [,]: g( ) = g() + g() 4g( ) = g() + g() 4 t = στην () : 4g( ) = g() + g() + () - dt Για () =, ( (t) (t) > dt > ) (t) () - dt = Β. () < ( -) () () + () - () < ( ) )' < () ' - '() < ( () Άρα η συνάρτηση - ( ())' - () < - h() = () είναι γνησίως φθίνουσα με h() =. Για h ( - < h() > () > () < Για h ( - > h() < () < () < Άρα τελικά γνησίως φθίνουσα στο - Για : ''() ( -)'() ''() () < κοίλη όταν Γ. ( - < (-) > (-) > ( < () > () () - () > (-) () - () Θεωρούμε την συνάρτηση Λ() = + - 6, (,) με - - (-) () - () Λ () = - - < Λ() γν.φθίνουσα, (,) όποτε η εξίσωση Λ() = ( - ) ( - )

61 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) έχει το πολύ μια λύση στο (, ). Θεωρούμε K() = (-)( - ) +( () - ())( - ) - 6( - )( -) K() = - (-) < και K() = ( () - ()) > Κ συνεχης στο [,] Κ() Κ() < Θ.Bolzano Τελικά υπάρχει μοναδικό (, ) τέτοιο ώστε : η Κ() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) (-) () - () + = Δ. Θεωρούμε την συνάρτηση w() = () -, ( < () > () - > - w() > - lim ( - ) = + lim w() = + άρα υπάρχει ξ < : w(ξ ) > - - ( > () < () - < - w() < - lim ( - ) = + lim w() = - άρα υπάρχει ξ > : w(ξ ) < + + w συνεχης στο [ξ,ξ ] w(ξ )w(ξ ) < ( ) = Θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (ξ,ξ ) τέτοιο ώστε : γνησίως φθίνουσα και - είναι γνησίως φθίνουσα με τον ορισμό της μονοτονίας αποδεικνύεται ότι και η w είναι γνησίως φθίνουσα. Τελικά υπάρχει μοναδικό υπάρ- χει μοναδικό τέτοιο ώστε : ( ) = Ε. Αφού συνεχής τότε F() μια αρχική της στο (, + ) - ln + ( + 8) = 6 (6) Θωρούμε την συνάρτηση ln ln Φ() = + F() - F() = αρα Φ() = Φ(4) Θ. Roll - ln + ( + 8) - 6(6) = ln Φ() = + F( + 8) - F(6) ln4 ln Φ(4) = + F(4) - F(4) = 4 ln + F( + 8) - F(6) ' = ΣΤ. (( - α)( -β))' = - α -β ''()( - α)( -β) = α +β - ''()( - α)( -β) - α -β + = '() '() '() ''()( - α)( -β) +(( - α)( -β))' = ''() (-α)( -β) +(( - α)( -β))' = '() '() ( - α)( -β) ' Θωρούμε P() '() ( - α)( -β) με P(α) = P(β) = Θ. Roll

62 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Η συνάρτηση h με τύπο συνάρτηση m με τύπο (t) h() = dt,, είναι παραγωγίσιμη στο, αφού η () m() =,, είναι συνεχής στο, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, οπότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο γωγίσιμων συναρτήσεων, με Για =, προκύπτει : () (() -) g () =,. 4 g() + g() g() =. 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση v με τύπο v() = 4g() - g() - g(), [,]. Είναι : v συνεχής στο [,] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων v() = 4g() - g() - g() = (g() - g()) v() = 4g() - g() - g() = - (g() - g()),οπότε v() v() = - (g() - g())., ως άθροισμα παρα- Έστω v(), για κάθε [, ]. Τότε ως συνεχής συνάρτηση, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, ], που σημαίνει ότι οι αριθμοί v(),v() θα είναι ομόσημοι, δηλαδή v() v() >, που είναι ΑΤΟΠΟ. Επομένως υπάρχει ξ [, ], τέτοιο ώστε g() + g() v(ξ) = 4g(ξ) - g() - g() = g(ξ) =. 4 Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση v ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Roll στο [,ξ], οπότε υπάρχει (,ξ), τέτοιο ώστε ( ) ( ) () - > g ( ) = () - = () =. 4 Β. Θεωρούμε τη συνάρτηση u με τύπο : - u() = (),. - Εύκολα βρίσκουμε ότι Επομένως u γν.φθίνουσα στο, οπότε για : u () = ()-( -) () <, για κάθε. < - < u() > u() () > () < > - > u() < u() () < () < Για κάθε (-, ) (, + ) είναι () < και επειδή συνεχής στο, συμπεραίνου- με ότι γν.φθίνουσα στο. Για > είναι : - >, οπότε - ''() < () <, που σημαίνει ότι κοίλη στο (,+ ) Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση Q με τύπο Q() = (-) ( - ) +( () - ()) ( - ) - 6( - ) ( - ), [,]. Είναι :

63 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Q συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική Q() = () - () >, καθώς () > () αφού γν.φθίνουσα στο (, + ) Q() = -(-) <,καθώς (-) > () = > αφού γν.φθίνουσα στο (-) () - () η συνάρτηση με τύπο R() = + - 6, (, ) είναι γν.φθίνουσα στο - - (-) () - () (, ), καθώς R () = - - <,για κάθε (, ). ( - ) ( - ) Σύμφωνα με το Θ.Bolzano, υπάρχει (,), τέτοιο ώστε Q( ) (-) () - () + = < < (-) ( - ) +( () - ()) ( - ) - 6( - ) ( - ) =. Η μοναδικότητα του (,), είναι αποτέλεσμα της μονοτονίας της συνάρτησης. Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση q με τύπο q() = () -,. Είναι : q γν.φθίνουσα στο γν.φθίνουσα στο ως άθροισμα συναρτήσεων που η καθεμιά από αυτές είναι q συνεχής στο [,], ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων q() () q() = () - = () - () <,καθώς γν.φθίνουσα στο Θ.Bolzano υπάρχει (,),τέτοιο ώστε q( ) = ( ) = μοναδικό λόγω της μονοτονίας της q., οπότε σύμφωνα με το, το οποίο είναι και Ε. Έστω F μια αρχική συνάρτηση της στο. ln Θεωρούμε τη συνάρτηση w με τύπο : w() = F( + 8) - F(6) +, >. Είναι: w συνεχής στο [,4], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων w παραγωγίσιμη στο (,4), ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ln - ln w () = ( + 8)' F ( + 8) -(6)' F (6) + ' = ( + 8) - 6(6) + ln ln w() = F() - F() - = - και ln4 ln ln w(4) = F(4) - F(4) - = - = - = w(), 4 4 οπότε σύμφωνα με το Θ.Roll, υπάρχει (,4), τέτοιο ώστε - ln w ( ) = ( + 8) - 6(6 ) + = - ln + ( + 8) = 6 (6 ).

64 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) () ΣΤ. Θεωρούμε τη συνάρτηση k με τύπο k() = ( - α) ( -β), και α < β. Είναι: k συνεχής στο [α,β], ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων k παραγωγίσιμη στο (α, β), ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () k () = k(α) = και k(β) =, ( - α) +( -β) + ''() ( - α) ( -β) οπότε σύμφωνα με το Θ.Roll, υπάρχει 4 k ( ) = 4 (α, β), τέτοιο ώστε ( 4 ) ( - α) +( -β) + ''( ) ( - α) ( -β) = ''( ) ( - α) ( -β) = α + β Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Για = και = στην σχέση () έχουμε : (t) g() = g() + (() - ) dt (t) και g() = g() + (() - ) dt άρα g() - g() = (t) (- ()) dt (t) και g() - g() = (() - ) dt άρα (t) (() - ) dt (t) +(() - ) dt = άρα (() - )( (t) (t) dt dt) B. Mε Φ() = θετική. με τη η παρένθεση > άρα () = - - () έχουμε Φ () = Άρα με > έχω Φ() < άρα () + ()- () < από τη () δηλ. η Φ είναι - () < άρα () < δηλ. η είναι θετική στο [,+ ). Ομοίως με < η είναι θετική στο (-,] άρα η είναι θετική στο. Από τη () με > έχω ( ) < - () κοίλη στο (, ). και με > έχω () < άρα () < δηλ. η Γ. Mε φ() = ( - )(-) + ( () - ())( - ) - 6( - )( - ), [, ] και Bolzano αφού είναι συνεχής και φ() = - (-) < - <, φ() = () - () > αφού η είναι θετική στο (,+ ). Προφανώς η εξίσωση φ() = για χ, είναι ισοδύναμη με την Με Η() = (-) () - () , (,) έχω (-) () - () (-) () - () Η = - - <. ( - ) ( - ) = 6.

65 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Δ. Θέτω φ() = () -,, και με Bolzano αφού φ() = () = > και φ() = () - = () - () < αφού η είναι θετική, η φ έχει ρίζα στο (,) που είναι μοναδική (άθροισμα θετικών). E. Με φ() = και φ(4) = ln + F( + 8) - F(6), ln4 ln ln + F(4) - F(4) = = 4 4. > και F αρχική της, έχω φ() = ln + F() - F() = ln - ln Aπό Roll για τη φ στο [,4] η φ () = + ( + 8) - 6(6) = - ln + ( + 8) - 6 (6) = έχει ρίζα στο (, 4) άρα θετική. δηλ. η () ΣΤ. Έστω α, β R με α < β και η φ() = ( - α)( -β) που ικανοποιεί το Roll στο [α, β]. () () Άρα η φ έχει ρίζα στο (α, β), με φ () = [ -(α +β)] + ( -(α +β) + αβ) () άρα η εξίσωση έχει ρίζα στο (α,β). - α -β + ( -(α +β) + αβ) () = δηλ. η ( - α)( -β) () = α +β - Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Έχουμε: Για = : Για = : (t) 4g() = g() + g() +(() -) dt (t) (g() - g()) = (() -) dt (). (t) (g() - g()) = (() -) dt οπότε: (t) (t) (t) (() -) dt + (() -) dt = (() -)( dt (t) dt + (t) dt > Β. Εστω L() = L () = - (). + (t) ( ) ) < () + () + ''() = - () - () - ''( Επόμενα η L() είναι γνήσια φθίνουσα στο. dt ) = () = διότι Δηλαδή για είναι L() > L() = - () > () < οπότε () γνήσια φθίνουσα στο, (). Όμοια για > είναι L() L() = - () < () < οπότε () γνήσια φθίνουσα στο [, + ) (). Eπί πλέον συνεχής στο άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο. Για > είναι - ''() < () < διότι - > Επόμενα η κοίλη στο (, + )., () < από ().

66 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) Γ. Θέτω q() = ( - )(-) + ( - )( () ()) - 6 ( - )( - ). Η q() είναι συνεχής ως πολυωνυμική δευτεροβάθμια συνάρτηση. Επίσης q() = -(-) < - < ( γν. φθίνουσα στο, συνεπώς (-) > () = ), q() = () () > ( κοίλη στο (, + ) ). Επόμενα από θεώρημα BOLZANO υπάρχει (, ) ώστε q( ) = (-) () - () + = Tώρα το είναι μοναδική ρίζα της q() = στο (, ) διότι αν η εξίσωση είχε και την άλλη ρίζα της στο (, ) τότε θα ήταν q()q() >. Δ. Η συνάρτηση h() = () - είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Επί πλέον h() = >, h() = () - () = - < (διότι γνήσια φθίνουσα στο.) Άρα από θεώρημα BOLZANO υπάρχει (, ) ώστε h( ) = ( ) =. Eπειδή h () = () < h γνήσια φθίνουσα στο συνεπώς το μοναδικό. Ε. Αν G() = ln + +8 (t)dt є [, 4] 6 η G παραγωγίσιμη με G () =, η G συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Επίσης. - ln + ( + 8) - 6(6) και G() = ln = ln4 = G(4). 4 Οπότε από θεώρημα ROLLE υπάρχει (, 4) (, + ) τέτοιο ώστε G ( ) = - ln + ( + 8) - 6(6 ) = - ln + ( + 8) = 6 (6 ). ΣΤ. Θέτω Φ() = () ( - α)(-β). Είναι '() συνεχής (διότι δύο φορές παραγωγίσιμη ), '() συνεχής ως σύνθεση συνεχών, ( - α)( -β) συνεχής ως πολυωνυμική επόμενα η Φ() συνεχής στο [α, β]. Επίσης η Φ() παραγωγίσιμη στο [α, β] με Φ () = '() ''() ( - α)( -β) + '() ( -α-β) και Φ(α) = Φ(β) =. Συνεπώς από θεώρημα ROLLE υπάρχει (α, β) τέτοιο ώστε 4 Φ ( ) = ''( )( - α)( -β) '( ) 4 ( - α -β) = ''( 4 )( 4 - α)( 4 -β) = α + β - 4 Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. H g είναι συνεχής στο [,] άρα θα παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή Μ, ε τότε ε g() M,για κάθε [,] και ([,]) = [ε,μ] άρα ε g() M και ε g() M και τότε g() + g() ε M,οπότε g() + g() [ε,μ] συνεπώς υπάρχει ξ [,]: 4 4 g() + g() g(ξ) = (*) 4. Από () για = ξ είναι * ξ t 4g(ξ) = g() + g() + (() - ) dt

67 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) ξ t (() -) dt =, όμως (t) >, ξ [,] άρα ξ t dt > οπότε () = B. Εστω - H() = (), παραγωγίσιμη με H () = - () + () + ''() = την (), άρα η H γν. φθίνουσα στο. - < H() > H() () > () < - > H() < H() () < () < - ( ''() -( -)()) <, από - (- () + () + ''( )) = και επειδή συνεχής θα είναι γν. φθίνουσα στο. (είναι προφανές ότι (),αλλιώς θα έπρεπε η να παίρνει και ετικές τιμές γύρω από το,που δε συμβαίνει) για > - > ( - ) () < ''() < ''() < άρα κοίλη στο (,+ ) () Γ. Έστω (-) () - () (-) () - () G() = +, (,) παραγωγίσιμη με G () = - - < - - ( - ) ( - ) ( αφου - < (-) > () = > και limg() = + και limg() = -, άρα G((,)) =. Όμως 6 ' ( < () > (), άρα G γν.φθίνουσα στο (,) και G γν.φθίνουσα, άρα υπάρχει (,) : G( ) = 6 (-) () - () άρα υπάρχει μοναδικό (,) : + = Δ. Εστω W() = () -, [,] συνεχής, παραγωγίσιμη W () = () - <, '(), άρα W γν.φθίνουσα και - τότε W() = >, W() = () - = () - () <, αφου γν.φθίνουσα από Θ.Bolzano υπάρχει μοναδικό (,) : W( ) =. άρα υπάρχει μοναδικό : ( ) = ln Ε. Εστω Z() = P( + 8 ) - P(6) +, [,4] και P παράγουσα της τότε - ln - ln Z () = ( + 8 ) - 6(6) + Z () = P ( + 8 ) - 6P (6) + ln Z() = = Z(4) και Z συνεχής στο [,4] και παραγωγίσιμη στο (,4), άρα από Θ.Roll υπάρχει (,4) (, + ) : Z ( ) = υπάρχει (,+ ) : - ln + ( + 8) = 6 (6 )

68 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (//5) ΣΤ. Εστω () D() = ( -(α +β) + αβ), [α,β] παραγωγίσιμη με () () D () = ( - α -β) + ( -(α +β) + αβ) ''() D(α) = = D(β) άρα από Θ.Roll υπάρχει (α,β) : D ( ) = υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε ( 4) ( 4) ( - α -β) + ( -(α +β) + αβ) ''( ) = ( - α -β) + ( -(α +β) + αβ) ''( ) = ( - α -β) + ( - α)( -β) ''( ) = ( - α)( - β)''( ) = α +β

69 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο,για την οποία ισχύουν: () ( - ) + ( - ) () =,για κάθε F() lim =,όπου F μια αρχική συνάρτηση της στο Α. Να αποδείξετε ότι () =,. - Β. Να λυθεί η εξίσωση : F() = (). Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε (-, ], ισχύει : F() (). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση :F()+() =, έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο (-,). Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε (-, ), ισχύει : Ε. Να αποδείξετε ότι F() >. - - ln F(ln) >. F() Ε. Να λυθεί η εξίσωση : F(() + F()) + F( + ) = F( + F()) + F(() + ). Ζ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο (,()), «διαπερνά» την καμπύλη. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Έστω συνάρτηση u με τύπο οπότε F() u() =,. Είναι F() = u(), και limu() =, F συνεχής limf() = lim( u()) F() = lim limu() = =. F() = F() - F() F() F () = lim = lim =, οπότε () =. Θεωρούμε συνάρτηση k με τύπο k() = ()( - ),. Είναι : k () = () ( - ) + () ( -) = (- ) () + () ( -) = k(),. Έτσι : k () = k() k() = c,. Για () = - k() = () ( - ) =,. = : k() = c c = () =, οπότε Β. - F() = () F() = F() + = (). Θεωρούμε συνάρτηση λ με τύπο λ() = () - F(),. Είναι: (- ) () (- ) () - - λ () = () - F () = () - () = - () =,. λ () = = λ () > < λ () < > Επομένως λ γν.αύξουσα στο (-, ] και λ γν.φθίνουσα στο [, + ). Είναι : λ γν.αύξουσα < λ() < λ() () - F() < λ γν.φθίνουσα > λ() < λ() () - F() < Δηλαδή, για κάθε (-, ) (, + ), ισχύει () F(),ενώ για = έχουμε () - F() =, οπότε: F() + = () =.

70 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Γ. Είναι (- ) () () =,, οπότε: - () = = () > < () < > Επομένως γν.αύξουσα στο (-,] και γν.φθίνουσα στο [, + ) Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. για την F στο [, ], <, έχουμε: Υπάρχει ένα τουλάχιστον Όμως F() ξ (,) : F (ξ) = (ξ) =. γν.αύξουσα στο (-,] F() ξ () (ξ) () F() (). Για = έχουμε προφανή ισότητα, οπότε για κάθε (-, ], ισχύει : F() (), με το = να ισχύει μόνο για =. Γ. Είναι F () = () >, για κάθε, οπότε F γν.αύξουσα στο. Θεωρούμε τη συνάρτηση μ με τύπο μ() () F(),. Είναι: μ () () F () () (),. Για κάθε (, + ) είναι: F() F(), καθώς F γν.αύξουσα στο. () οπότε μ() () F() για κάθε (, + ) και έτσι η εξίσωση μ() είναι αδύνατη στο (, + ). Για κάθε (-, ] είναι : (- ) () () () οπότε μ () () () και επομένως μ γν.αύξουσα στο (-, ]. Έτσι: μ συνεχής στο, μ() () F() ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων μ(-) (-) F(-), αφού από το Γ για = -, προκύπτει: F(-) - (-) F(-) (-). Σύμφωνα με το Θ.Bolzano και επειδή μ γν.αύξουσα στο (-, ]., συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση: F() (), έχει μοναδική ρίζα, η ο- ποία βρίσκεται στο (-,). Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση G με τύπο G () ( -) F() ( - ) (),. Για κάθε (-, ), είναι: - < F() F(), οπότε G (). G() ( - ) F(),. Είναι :

71 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Για κάθε (, + ), είναι : - > F() F(), οπότε G (). Για είναι G () και έτσι G (), για κάθε, οπότε G γν.αύξουσα στο.. Γνωρίζουμε ότι για κάθε, είναι ln, οπότε επειδή G γν.αύξουσα στο., F() - F(ln) θα ισχύει : G() G(ln) ( - ) F() ( - ln) F(ln) >. - ln F() Ε. Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. για την F στο [,], έχουμε : Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) : F ( ) ( ) F(). Όμως γν.αύξουσα στο [,] ( ) () F(). Ε. Έστω συνάρτηση w με τύπο w() F( F()) F( ),. Είναι : w () ( F()) - ( ),. Όμως : F() F() γν.φθίνουσα στο [, + ), οπότε ( F()) ( ) w (), που σημαίνει ότι w γν.φθίνουσα στο [, + ), οπότε w - στο [, + ) και έτσι : F(() F()) F( ) F( F()) F(() ) F(() F()) - F(() ) F( + F()) - F( + ) w - w(()) w( ) () -, καθώς για κάθε, με το = να ισχύει μόνο για., Ζ. Είναι () (), οπότε η εφαπτομένη της C στο σημείο (,()) έχει εξίσωση : ψ. Θεωρούμε τη συνάρτηση Π με τύπο Για κάθε (-, ), είναι : - > - ( - -) - - Π() = () - - = - - =,. - - >, οπότε Π(), που σημαίνει ότι η καμπύλη βρίσκεται πάνω από την ευθεία ψ, όταν (-, ). Για κάθε (, + ), είναι : - < - - >, οπότε Π(), που σημαίνει ότι η καμπύλη βρίσκεται κάτω από την ευθεία ψ, όταν,. Επομένως η εφαπτομένη της C στο σημείο,, «διαπερνά» την καμπύλη.

72 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Λύνει ο : Παύλος Τρύφων (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Ζ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σημείο M(,) είναι σημείο καμπής της γραφικής πα- ράστασης της (γενικότερα θα βρούμε και το πλήθος των σημείων καμπής) Στη γνωστή σχέση lnt t -, πτει : Άρα ln >, για κάθε Οπότε το πεδίο ορισμού της είναι το. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο όπου g() = , για κάθε t > θέτουμε για t το - >, για κάθε Το πρόσημο της καθορίζεται από το πρόσημο της g. Η g είναι συνεχής στο [,] και g() g() = ( -) (-) <. Άρα (Θ. Bolzano) υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε g(ξ) = Βρίσκουμε με ( ) και προκύ- ( ) g() ''() = - = - ( - ) ( - ) g'() = + - -, g''() = - -, g'''() = - ( + ), Οπότε, g'''() = + = = - και g'''() > + < < - Άρα η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο -, δηλαδή - g''() g''(-) = < g γνησίως φθίνουσα στο Επίσης g () = =. Οπότε, για < g () > g () = και για > g () < g () = Η g είναι γν. αύξουσα στο (-, ] και g() = Άρα η ρίζα = της εξίσωσης g() = είναι μοναδική στο (-, ] H g είναι γν. φθίνουσα στο [, + ) και g(ξ) = Άρα η ρίζα =ξ της εξίσωσης g() = είναι μοναδική στο [, + ) + g + - g U ma V - ξ + g + - g U ma V - ξ + g E F F E Άρα η εξίσωση g() = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο. Χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της g και τις δύο ρίζες της, προκύπτει εύκολα ο παραπάνω πίνακας Η είναι κυρτή στα διαστήματα (-, ] και [ξ, + ) και κοίλη στο διάστημα [, ξ]. Η μηδενίζεται στο και δεξιά και αριστερά του αλλάζει πρόσημο.

73 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Άρα (και) το σημείο M(,) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της. Σ χ ό λ ι ο : Σαφώς κομψότερη η λύση του κου Ζωβοΐλη, αφού δε μπαίνει σε διαδικασία εύρεσης σημείων καμπής! Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Βασικές ανισώσεις : >, για κάθε και ln <, > F() A. Θέτουμε g() = F() = g(). H F παραγωγισιμη στο άρα και συνεχής όποτε : F() limf() lim g() F() F () = () = lim = Έχουμε : () () ( - ) + ( -) () =, () ( - ) + ( -) () = () - () + () - () = () = ( () )' - () (())' = ( ())' () = () +c Για = c = αρα - - () = () + () = > () = (())'- () Β. F() = () F() = F() = F() - = Θέτουμε Κ() = F() - = Κ() = F() - - Κ () = F () - ' = = - ( - ) ( με προφανής ρίζα ) Έστω ότι υπάρχει ρίζα ρ< και επειδή η Κ είναι γν.φθίνουσα στο (-, ] θα είναι : K(ρ) > K() > άτοπο. Ομοίως οτι δεν υπάρχει ρίζα ρ>. Τελικά η F() = () έχει μοναδική λύση το. - + Κ - + Κ V U Γ. Θέτουμε h() = F() - (), με h () = ( -) - h ' h() h() F() - () F() (),() - + h h U V U

74 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Γ. Για = - στην () : F(-) < - (-) F(-) + (-) < Θέτουμε την Λ() = F() + (), [-,] με Λ() = > και Λ(-) = F(-) + (-) < Λ συνεχης στο [-,] Λ(-) Λ() < Bolzano ( - + ) Λ () = > ( - ) Λ () = ( - + ( -) η Λ() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,) αφού,, Τελικά υπάρχει μοναδικό (-,) τέτοιο ώστε : Λ() = ) Δ. Είναι () = > F γν.αύξουσα στο. - Επίσης το πρόσημο της F είναι : περίπτωση : F ' ln F(ln) και F() > - - ln F(ln) F() > F()( - ) > F(ln)( - ln) F - + F ' > ln F() > F(ln) () Αρκεί να δείξουμε ότι Θέτουμε την Όποτε - > - ln, Π() = - + ln με Π () = - + >, για κάθε Π ' - + ln - > - > - ln, (4) Από () και (4) έχουμε : περίπτωση : < < F ' F() > F(ln) < ln < F(ln) < < F() - > - ln. Όποτε - - ln - F(ln) F()( - ) > F(ln)( - ln) > - ln F(ln) > F() F() E. Θεωρούμε την συνάρτηση w() = F() -, με w () = - w() w() w() άρα για : w() > F() - > F() > w - + w V U

75 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) ( - ) E. () = < για κάθε άρα "-" όταν ( - ) Είναι Για και το ίσον ισχύει μόνο όταν : > + - > < < () < - - Η εξίσωση : F(() + F()) + F( + ) = F( + F()) + F(() + ) έχει προφανή ρίζα το. Έστω ότι η παραπάνω εξίσωση έχει και το λύση. Επομένως : F(( ) + F()) + F( + ) = F( + F()) + F(( ) + ) ή F(( ) + F()) - F(( ) + ) = F( + F()) - F( + ) (4) ή F( + ) - F(( ) + ) = F( + F()) - F(( ) + F()) (5) Αφού () >, F() > και () < : < ( ) + < ( ) + F() < + F() Και < ( ) + < + < + F() Έστω + ( ) + F() ( ) + < ( ) + F() + < + F() F παραγωγισιμη στο [ ( ) +,( ) + F() ] από ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον F(( ) + F()) - F(( ) + ) ξ ( ) +, ( ) + F : F (ξ )(ξ ) = (ξ ) = F() - F παραγωγισιμη στο [ +, + F()] από ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( +, + F()) : F (ξ ) = (ξ ) = F( + F()) - F( + ) F() - - Λογω της (4) έχουμε : (ξ ) = (ξ ) ξ = ξ Αν + ( ) + F(). ΑΤΟΠΟ Χρησιμοποιούμε την σχέση (5) και όμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο. Ζ. Αρκεί να δείξουμε ότι το (,()) είναι σημείο καμπής. Παραγωγιζουμε την και μετά από πράξεις έχουμε ( - ) ''() = Θέτουμε () ( - ) + ( -) () = Φ() = με Φ'() = ( + ) ( -) Φ ( ( - ) <Φ() > Φ() () > ''() > Φ ( ( - ) < Φ() Φ() ''() ''(). Φ - + Φ V U + - E F

76 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Ισοδύναμα από αρχική έχω: () - () + () - () = ή - '() -( () )' = άρα η φ() = Θέτοντας F() Η() = είναι () - () + () - () = ή - () (- ) Η( όριο που δίνεται είναι το F () = = (). = c. l im ) = και F(χ)=χΗ(χ) με li m F() = = F( ), άρα το Για = στη φ έχω c = = φ() ή = ()( - - ) ή () = -. Β. H δοσμένη είναι ισοδ. με F() = - (προφανής ρίζα ) και θέτοντας Φ() = F() - - ( -) έχω Φ () = με μόνη ρίζα το που για > είναι θετική άρα Φ ' στο [,+) ( - ) και για < αρνητική δηλ. Φ ( στο (-,], άρα Φmin = δηλ. Φ() > στο μόνη ρίζα της Φ. *, και ο - Γ. Για = ισχύει ως ισότητα. Αν < θέτω Κ() = F() - () με Κ () = - > ( - ) δηλ. η Κ' στο (-,] και έχει ma το Κ() =, άρα Κ() < στο (-,). Γ. Με Τ() = F() + (), [-,] είναι Τ(-) = F(-) + (-) < (γιατί από Γ με = - είναι F(-) < -(-)) και Τ() = F() + ()=, άρα εφαρμόζεται το Bolzano για την Τ. Aν η T έχει ρίζες στο (-, ) θα εφαρμόζεται το Roll και η Τ () = + - θα ( - ) έχει ρίζα σ αυτό. Αν όμως θέσω φ() = + - θα είναι φ ()= - < στο (-, ) δηλ. η Τ αδύνατη σ αυτό. Άρα η Τ έχει μοναδική ρίζα στο (-, ). Δ. Είναι F ' αφού () > ( Άρα η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: + > ) δηλ. F() > F() = και - ln > (ln - < ). ln F()( - ) > F(ln)( - ln) = F(ln)( - ln) ή Φ() > Φ(ln) με Φ() = F() ( - ) Είναι Φ () =, >. + F()( -) > με >, άρα Φ 'στο (,+) δηλ. η αποδεικτέα ισχύει. Ε. () = - με μόνη ρίζα το που είναι θετική στο (-,) και ' στο (-,]. ( - ) Από ΘΜΤ για την F στο [, ] υπάρχει ξ στο (, ) με F (ξ) = (ξ) = F() κι επειδή < ξ είναι () < (ξ) ( ')) άρα < F().

77 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Z. H εφαπτομένη της C στο (, ) έχει εξίσωση y = + και () = - ( ). ( - ) Θέτω h() = με h() = και h () = h () > με < δηλ. η h ' στο (-,]. Για < είναι h() < h() = άρα () > και κυρτή στο (-,]. (- ) ( + ) με ρίζα το και Ομοίως με < < είναι h() > h() = άρα () < και κοίλη στο [,]. Δηλ. το (, ) σημείο καμπής της C. Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) F() A. Έστω g() =,, τότε lim g() F() = g() lim F() = lim g() =, όμως F συνεχής άρα F() = F() - F() () = F () = lim = lim g() =, αρα () = - Έστω - H() = (- ) (), παραγωγίσιμη τότε H () = ( -) () + (- ) () = [( -) () + ( - ) () ] = άρα Η σταθερή με Η(), άρα - - () = () = H() = (- ) () = () Β. Έστω G() = F() -, παραγωγίσιμη με (() + ()) - () G () = () - = (- )() + () ()( - ) + () = - = - = - - = - = - = - - ( - ) ( - ) () ( - ) ( -) Από τον πίνακα έχουμε ότι η G έχει μοναδική ρίζα το, άρα και η () F() - = F() = () έχει μοναδική ρίζα το. - + G - + G V U Γ Για < η F είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο [,] οπότε από ΘΜΤ υπάρχει F() - F() F() ξ (,) : F (ξ) = (ξ) = ομως - άρα ' στο [,] άρα ( - ) () = () = > για < - ( - ) F() ξ > (ξ) > () > () F() < () για κάθε < ακόμα F() = = (), συνεπώς για κάθε (-, ] είναι F() ()

78 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Γ. Έστω D() = F() + (), παραγωγίσιμη. Η D ορίζεται και είναι συνεχής στο [-,] D(-) = F(-) + (-) <, από Γ D() = F() + () = > από Θ.Bolzano η D έχει τουλάχιστο μια ρίζα στο (-, ) D () = F () + () = θεωρώ την συνάρτηση ( - + ( - ) ) z() = - + με z () = - - ln + z - + z V U Από τον πίνακα έχουμε z() > άρα D () > D' στο συνεπώς η D έχει μοναδική ρίζα στο άρα και η F() + () = έχει μοναδική ρίζα στο στο (-, ). O.E. z(ln) = -ln > Δ. () >,αφού - και > F () = () > άρα F' στο άρα για > F() > F() = Έστω F() L() =, () παραγωγίσιμη με ( -) F() + () [ F() () - () + ()] () L () = = > για > () () άρα L ' στο (, + ). Όμως ln - < L(ln) < L() ln F(ln) F() F(ln) F() F(ln) F() F(ln) - < < < < (ln) () (ln) () F() - ln - ln - Ε. Έστω W() = F() -, [, + ) παραγωγίσιμη με W () = () - = >, για > - άρα W ' στο [, + ) και > W() W() F() > Ε. () = >, - - >, άρα ( - ) () = (, άρα ( στο (, + ). Είναι () = - ) < () < η = είναι προφανής λύση και έστω ρ μια άλλη λύση, τότε ρ < (ρ) + < + F() και ρ ρ (ρ) + < + < + F() και - <, αφού ρ (ρ) (ρ) F() F() ρ ρ ρ Θέτω α = (ρ) +, δ = + F(), β = min +, (ρ) + F(), τότε <α < β γ < δ και γ = ma +,(ρ) + F(), ρ β - α = δ - γ = - (ρ) > ή β - α = δ - γ = F() - > και τότε F(β) + F(γ) = F(δ) + F(α), όμως από ΘΜΤ στα α, β, γ, δ για την F είναι F(β) - F(α) F(δ) - F(γ) F(ξ ) = (ξ ) =, F (ξ ) = (ξ ) =, ξ (α,β), ξ (γ,δ) β - α δ - γ και επειδή στο (,+ ) ( θα είναι ξ > ξ F(β) - F(α) > F(δ) - F(γ) F(β) + F(γ) > F(δ) + F(α), άτοπο οπότε η = μοναδική λύση

79 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) ( - ) Z. () =, η είναι παραγωγίσιμη στο και δέχεται εφαπτόμενη. ( - ) ''() = έστω ( - ) με ''() = ( -) z() = z ( για < ( - ) + - +, < για < z() < z() = ''() < για < > z() > z() = ''() >, παραγωγίσιμη με,άρα z () = ( + ) ( -) < συνεπώς το = είναι θέση καμπής και η εφαπτόμενη σε αυτή διαπερνά την C.

80 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ),για την οποία ισχύουν: ()+ () = -, > Η C έχει σημείο καμπής το (,()) F()+ F()+, >, όπου F μια αρχική συνάρτηση της στο (, + ) Α. Να αποδείξετε ότι () = ln -, >. Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =, έχει μοναδική θετική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο,. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F έχει μοναδικό ακρότατο, του οποίου να προσδιορίσετε το είδος. Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (,), τέτοια ώστε: (F() ())d = ( ξ ) F (ξ ). Ε. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο είναι γν.φθίνουσα στο [, + ). Ε. Να αποδείξετε ότι: ()d > ()d. F() - F(), > g() = - -, = Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Αφού η C έχει σημείο καμπής το (,()) και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ), θα ισχύει ''(). Έτσι για, έχουμε: () ''() + '() = - '() = -. Θεωρούμε συνάρτηση u με τύπο u() F(),. Είναι u() F(), οπότε: F() F() u() u().για τη συνάρτηση u,ισχύουν: u παραγωγίσιμη στο (, + ),ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων u() u() το είναι εσωτερικό σημείο του (, + ) Επομένως σύμφωνα με το Θ.Frmat, θα είναι u () = F () + = () = -. > () + () = - () + () = - ( ' )' = (ln - )' () = ln - + c. Για, έχουμε : () = ln - + c - = - + c c =, οπότε ln () = ln - () = - () = (ln - ) () = ln - + c Για =,έχουμε: () = ln -,., οπότε () = ln - + c - = - + c c = Β. Για τη συνάρτηση έχουμε:

81 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) ln (ln - ) () = - = <,καθώς για κάθε (, + ) είναι ln. Επομένως γν.φθίνουσα στο A (, + ) και έτσι: γν.φθίνουσα (A) = lim (), lim () (-,+ ), αφού συνεχής + ln lim () lim - = ln ln lim lim lim + DLH DLH + lim () = +, καθώς lim() = αφού lim ln = -., καθώς lim και και lim(ln ) = lim(ln ln) = + - = ln - = - = > () = - < και επειδή συνεχής και γν.φθίνουσα σε συνδυασμό με το Θ. Bolzano, συμ- περαίνουμε ότι η εξίσωση () =, έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο = ln( ) = + ln = Για κάθε [, + ) είναι : + ln >, οπότε : + ln = ln = - ln = - ( ) ln = - ln = () =, (,) < < που σε συνδυασμό με τα προηγούμενα αποδεικνύει το ζητούμενο.,. Γ. Είναι : F () = (), (, + ) και F () = () <, (, + ). Αποδείξαμε ότι υπάρχει μοναδικό,,τέτοιο ώστε ( ) =. Η συνάρτηση F είναι γν.φθίνουσα στο (, + ),οπότε: F γν.φθίνουσα F () F ( ) = ( ) = F γν.φθίνουσα F () < F ( ) = ( ) = και έτσι η συνάρτηση F είναι γν.αύξουσα στο (, ] και γν.φθίνουσα στο [,+ ), που σημαίνει ότι η συνάρτηση F έχει μοναδικό ολικό μέγιστο το F( ). F() + F() F() () d F() F () d = [F ()] = [F () - F ()] = [F() - F()]. Δ. Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. για την F στο [,], συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε F (ξ ) = (ξ ) = F() - F(). Έστω συνάρτηση w με τύπο w() = F() - F() - F(), [, ].

82 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Είναι : w συνεχής στο [,] (προφανώς) w() = F() - F() w() = F() - F() w() w() = -[F() - F()] <, καθώς : γν.φθίνουσα < < ξ ( ) > ( ξ ) > F() - F(). Έτσι σύμφωνα με το Θ. Bolzano, υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε w (ξ ) = F() + F() F (ξ ) = και έτσι : F() () d = (ξ ) F(ξ ),με ξ,ξ,. Ε. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, καθώς: F() - F() lim g() lim = F () = () = - = g(). - F() - F() () - F () ( - ) -[F() - F()] Για κάθε (, ) είναι : g () = = -. ( - ) - Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. για την F στο [, ], >,συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε () - (ξ) g () = <, >. - F() - F() F(ξ) = (ξ) =, με - γν.φθίνουσα <ξ < () < (ξ), οπότε : Επομένως η συνάρτηση g είναι γν.φθίνουσα στο [, + ) g γν.φθίνουσα F() - F() Ε. < g() > g() F() - F() > (F() - F()) > F() - F(). [F()] > [F()] ()d ()d Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Είναι () + () = - για >. Επειδή η C έχει σημείο καμπής το (, ()) και η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, θα είναι ''() = οπότε από την αρχική σχέση προκύπτει '() = -. Θέτω g() = F() +. Ισχύει F() + F() + g() g() επόμενα από θεώρημα FERMAT θα είναι g () = F () + = () = -. Τώρα για > : ( ''() + '() = - ''() + '() = - ( '())' ) = (ln - )' '() = ln - + c, και επειδή '() = - θα είναι c =. Δηλαδή '()= ln - '() = ln - '() = (ln - )' () = ln - + c.

83 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Ομως () = - c =. Αρα ()= ln -. Β. Εχω ln (ln - ) - '() = - = < για διότι ln, για κάθε >. Συνεπώς γνήσια φθίνουσα στο (, + ). Τώρα η συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη. Επί πλέον () = - <, ( ) = -, επόμενα από θεώρημα BOLZANO υπάρχει μοναδικό ρ, (επειδή γνήσια φθίνουσα στο (, + )) ώστε (ρ) = ln ρ - ρ = ln ρ = ρ lnρ = - ρ διότι ρ,. Συνεπώς lnρ + ρ = ρ lnρ+ρ ρ ρ ρ lnρ + ρ = = ρ =. Για < < ρ είναι () > (ρ)() > ln > (ln - ) (ln + ) > ln+ ln + < < <. Όμοια για > ρ είναι Άρα η εξίσωση = >. έχει μοναδική θετική ρίζα ρ στο,. Γ. Είναι F'(ρ) (ρ). Για ρ () > (ρ) F'() >. Για ρ () < (ρ) F'() <. Άρα η F παρουσιάζει στο = ρ ολικό μέγιστο. Δ. Aπό τη σχέση F() + F() + για = έχω F() + 4 F() + F() F() - < F(). Οπότε F() < F() + F() ξ (, ) ώστε F(ξ) = < F() συνεπώς από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει F() + F() (). Eπίσης από θεώρημα Μέσης Τιμής για την F() στο [, ] υπάρχει ξ (, ) ώστε F (ξ) = F() - F() (ξ ) = F() - F() (). Tώρα από τις σχέσεις () και () : (ξ ) F(ξ) = F () - F () = F()F'() d = F()() d. Ε. Η g είναι συνεχής στο (, + ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. F() - F() Επί πλέον lim = F () = () = - = g(). + - Επόμενα η g είναι συνεχής στο [, + ). ()( -) - F() + F() Επίσης για > είναι g παραγωγίσιμη με g'() = < ( -) διότι από

84 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) θεώρημα Μέσης Τιμής για την F() στο [, ] υπάρχει σ (, ) ώστε F ( σ) = (σ ) = F() - F() > () επειδή γνήσια φθίνουσα στο (, + ). - Άρα g γνήσια φθίνουσα στο [, + ). Ε. Από E g γνήσια φθίνουσα στο [, + ) επόμενα g() > g() F() - F() > F() - F() ()d > ()d ()d > ()d + ()d ()d > ()d. Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. H έχει Σ.Κ. το (,()) άρα ''() = από την η δεδομένη σχέση για =: Έστω G() = F() +, > παραγωγίσιμη ''() + '() = - από τη η δεδομένη σχέση είναι F() + F() + G() G() άρα η G έχει μέγιστο το G() στο (,+ ). Τότε από Θ.Frmat είναι G () = F () + = () = - Έστω H() = () - ln +, (, + ) παραγωγίσιμη, τότε F''() + F '() H '() = ''() + '() - + = = = και επειδή H() =, θα είναι '() = -, άρα H σταθερή ln H() = () - ln + = () = - '() = (ln - )' () = ln - + c, c όμως () = - c = άρα () = ln -, (, + ) B. ln ln - '() = - = < αφού ln - <, άρα ( στο (, + ) και - < < < < = ln( ) = + ln = - = ln - = ln < < 4 = ln = ln () =, < < για την έιναι = - > και () = - <. Από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσης () = στο μοναδική ρίζα στο (, + ) άρα και η οποία βρίσκεται στο,., και εφόσον η είναι "-" στο (, + ) έχει έχει μοναδική ρίζα στο (, + ) η =

85 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Γ. Είναι F () = (), >. Στο ερώτημα (Β.) αποδείξαμε ότι η έχει μοναδική ρίζα, έστω ξ, αρα και η F' έχει μοναδική ρίζα με F(ξ) =. Ακόμα ( στο (, + ), οπότε για >ξ() < (ξ) = F () < F ( στο [ξ,+ ) για < < ξ () > (ξ) = F () F ' στο (, ξ] άρα η F έχει μοναδικό ακρότατο (μέγιστο). Δ. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [, ] για την F, υπάρχει ξ (, ) : F() - F() F(ξ ) = (ξ ) = F() - F() - Στο (Γ.) δείξαμε ότι η F είναι ( στο [ξ, + ) με ξ < άρα F ( στο [, ] οπότε F() + F() F() > > F() F() + F() F(ξ ) = Αρα και επειδή F συνεχής στο [, ] από ΘΕΤ θα υπάρχει ξ (, ) : F() + F() F () F () F () F()F'() (ξ )F(ξ ) = (F() - F()) = - = ' d = d = = F()() d. Σχόλιο : Επειδή δε διευκρινίζεται αν ξ ξ στην εκφώνηση μπορούμε να εφαρμόσουμε ΘΜΤ για την G() = F () στο [, ] και να θεωρήσουμε ότι ξ = ξ = ξ οπότε θα προκύπτει πάλι το ζητούμενο. Ε. Είναι F() - F(), > g() = - -, = F() - F() lim g() = lim = F () = () = - = g(), - άρα g συνεχής στο και g συνεχής στο (,+ ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, άρα g συνεχής στο [,+ ). ( -)F () -(F() - F()) g () = για >. ( -) Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [, ] για την F θα υπάρχει ρ (,) : F (ρ) = F''() = '() < (από ερώτημα Β.) άρα F ( στο [, + ), άρα F() - F() - F() - F() ρ < F (ρ) > F () > F () F() - F() > F ()( -) - Συνεπώς g (), και εφόσον g συνεχής στο [, + ) θα είναι g ( στο [, + ).

86 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Ε. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την F στα [, ], [, ] θα υπάρχουν (,), (,) : F() - F() F() - F() F ( ) =, F ( ) = - - F ( στο (, + ) θα είναι F ( ) > F ( ) F() - F() > F() - F() F() - F() > F() - F() F'()d > F'()d ()d > ()d Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Διαιρώντας με τη δοσμένη ισότητα έχω : () + () = - ή ( ()) = (ln - ) ή () = ln - + c (). Eφαρμόζοντας Frmat για τη Φ() = F() +, αφού η δοσμένη ανισότητα γράφεται Φ() Φ() θα είναι Φ () = δηλ. () = - και () = από το Σ.Κ. Για = στην αρχική έχω () = - () και με = στην () έχω c =. H () δίνει () = ln - ή () = ln - = (ln - ) και τελικά () = ln -. B. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την ln( ) = ή + ln = και θέτοντας Φ() = + ln,, με Φ() = >, Φ = - < ( - < με < < ), από το Bolzano η Φ έχει ρίζα στο Είναι Φ () = + ln +,. > για > > δηλ. η ρίζα μοναδική. Γ. F () = () = ln - και () = (ln - ) < αφού ln - < με >. Άρα γν. φθίνουσα στο (,+ ) με lim () = + και ln αφού με DLH li m =. + ln lim () = lim - = Άρα το Σ.Τ. της είναι το δηλ. η F μηδενίζεται σε μοναδικό >. Δηλ. με > είναι () < ( ) = άρα F γν. φθίνουσα στο [,+ ) και όμοια F γν. αύξουσα στο (, ]. Τελικά η F έχει μοναδικό ακρότατο (μέγιστο) στο το F( ).

87 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (//6) Δ. F () F()()d = = F () - F () F() + F(). = (F() - F()) Mε ΘΜΤ για την F στο [, ] υπάρχει ξ στο (, ) με F ( ξ ) = ( ξ ) =F() - F() και από το F() + F() ΘΕΤ για την F στο [, ] υπάρχει ξ στο (, ) με F( ξ ) =, αφού είναι F() < F() (θέτοντας στην αρχική ανισότητα = ) θα ισχύει F() < F() + F() < F(). Ε. F() - F() lim g() = lim = F () = () = - = g() δηλ. g συνεχής στο. - F() - F() () - ()( -) -(F() - F()) () - (ξ) Για > είναι g () = = - = από το ΘΜΤ για την F στο [, ]. Επειδή γν. φθίνουσα θα είναι () <(ξ) δηλ. g γν. φθίνουσα στο [, + ). (Θα μπορούσαμε με Κ() = ()( -) - F() + F(), και Κ () = ()( - ) < δηλ. Κ γν. φθίνουσα να δείξουμε Κ() < Κ() δηλ. ()( -) - F() + F() <.)

88 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση : (, + ) με () = + ln + k, (,) (,+ ) (για κάποιο k ) π () : + συν = α) προσδιορίστε τη συνάρτηση β) μελετήστε την ως προς την κυρτότητα 8 (α +β) γ) αποδείξτε ότι ln 4 4 (α - β), για κάθε α,β με α,β > 56 αβ δ) αποδείξτε ότι ()+( - ) <, για κάθε (,) ε) αν m, αποδείξτε ότι -m ()d < - m m π π στ) αποδείξτε ότι δεν υπάρχει α -,, τέτοιο, ώστε 4 + ln(συν α) 4συνα + ημ α Λύνει ο : Παύλος Τρύφων α) Γνωρίζουμε από τη γενική θεωρία ότι ημ, για κάθε (με την ισότητα να ισχύει μόνο για =) (*) Οπότε, * π π +συν = συν - ( - ) = - ημ( - ) = - - = = Έτσι, π () : + συν = () = Τώρα, από τη συνέχεια της στο (, + ), άρα και στο, προκύπτει ότι lim lim () = () = ( + ln + k) = + k + + Οπότε, + k = k = Τελικά, () = + ln +, (, + ) β) Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ) με - ''() = - =, > Η είναι κοίλη στο (,] και κυρτή στο [,+ ) F E γ) Α τρόπος Για α,β > έχουμε:

89 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) 4 α + β 8 4 (α + β) (α + β) ln (α -β) ln (α -β) ln (α -β) α β 6 α β α β 4 α + β α + β (α -β) ln - ln(αβ) (α - β) 4ln - ln(αβ) α + β α + β 4ln (α + lnα + ) + (β Αρκεί να αποδείξουμε τη σχέση (*) Για α = β η σχέση (*) ισχύει ως ισότητα. α + β + lnβ + ) (α) + (β) (*) α + β α + β Έστω α < β. Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την στα διαστήματα α,,,β α + β α + β Οπότε εξασφαλίζεται η ύπαρξη α,,,β τέτοια, ώστε: α + β α + β α + β α + β - (α) - (α) (β) - (β) - ( ) = =, ( ) = = α + β β - α α + β β - α - α β - Όμως < και η είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), άρα α + β α + β - (α) (β) - β - α > α + β α + β < < - (α) < (β) - β - α β - α α + β < (α) + (β) Για α > β εργαζόμαστε παρόμοια. Β τρόπος Για α = β η ζητούμενη σχέση ισχύει ως ισότητα. Για α β θα αποδείξουμε ότι 4 8 (α + β) (α + β) (α + β) ln < (α -β) ln < (α -β) 4ln < (α -β) αβ 4αβ 4αβ (α + β) (α -β) ln <, 4αβ 4 το τελευταίο όμως ισχύει, διότι από τη γνωστή σχέση ln -, > (με την ισότητα να ισχύει μόνο για = ) έχουμε (α +β) (α +β) (α -β) (α -β) ln < - = < 4αβ 4αβ 4αβ 4 (σχόλιο: αβ > (α +β) (α +β) (α +β) α β α -β ln < -: γνήσια ανισότητα) 4αβ 4αβ 4αβ αφού

90 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) δ) Έστω,, τότε,. Οπότε, ε) Έστω Τότε, m,. Στο ολοκλήρωμα -m ()d θέτουμε ω = -. m δ) -m m -m -m -m ()d = - (- ω)dω = (- ω)dω < ( - (ω)) dω = (- m - m) - (ω)dω m -m m m m -m -m -m -m ()d < (- m) - ()d ()d < (- m) ()d < - m. m m m m π π στ) Έστω ότι υπάρχει α -,, τέτοιο, ώστε 4 + ln(συν α) 4συνα + ημ α 4 + ln(συνα) 4συνα + - συν α συν α + ln(συνα) + 4συνα - (συνα) 4συνα -, το οποίο είναι αδύνατο διότι () < 4 -, για κάθε (,), άρα και (συνα) < 4συνα -, για π π α -,, Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) π π +συν = συν -( - ) = - ημ( - ) = - καθώς γνωρίζουμε ότι : ημ = =. συνεχής στο - = =, Επομένως: () lim () lim( ln k) k και έτσι για τον τύπο της συνάρτησης έχουμε: ln, () () = + ln +,., β) Είναι () = ( + ln + )' = + >, > και έτσι η συνάρτηση είναι γν.αύξου σα στο (, + ). Επίσης ( -) ''() = + ' = - =, >. ''() > ''() > > > ''() < < < Επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ).

91 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) γ) Θα προτιμήσω την ακόλουθη λύση, παρακάμπτοντας τη συνάρτηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο h() = 4ln -, >. Είναι h () = - =, >. h () = = 4 > h () > < < 4 h () < > 4 (α +β) > 4 και 4αβ > 4, καθώς α,β (, + ) h γν.φθίνουσα στο [4,+ ) και επειδή (α +β) 4αβ > 4 h((α +β) ) h(4αβ) (α +β) 4ln(α +β) -(α +β) 4ln(4αβ) - 4αβ 4ln (α +β) - 4αβ 4αβ (α +β) (α +β) ln α +β + αβ - 4αβ ln (α -β) 4αβ 56α β, η ισότητα ισχύει για α = β. δ) Η εφαπτομένη της C στο σημείο της (,), έχει εξίσωση : ψ = 4 -, οπότε εκμεταλλευόμενοι την κυρτότητα της στο (, ], έχουμε : () 4 - για κάθε (, ], με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Άρα για κάθε (, ) ισχύει : () < 4 -. Επίσης για κάθε (, ) είναι < - <, οπότε : (- ) < 4(- ) -. Προσθέτοντας κατά μέλη, προκύπτει : () + (- ) <, (, ). ε) Έστω F μια αρχική συνάρτηση της στο,. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g() = F(- ) - F() + -,,. Είναι : g () = - (- ) - () + >,, και έτσι g γν.αύξουσα στο,, οπότε : g γν.αύξουσα -m < m < g(m) < g F(- m) - F(m) + m - < () d < - m. m στ) π π α -,, συνα αντικαθιστώντας =συνα,προκύπτει: (συνα) < 4συνα - συν α + ln(συνα) + < 4συνα - και επειδή για κάθε (, ) ισχύει :() < 4 -, -ημ α + ln(συνα) + < 4συνα ln(συν α) < 4συνα + ημ α.

92 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) () = lim () = + k H εξίσωση γράφεται : -ημ(- ) = = αφού ημ = =. Άρα () = + k = k = και () = + ln +, >. β) ''() = ( -) ( + ) = = με ''() < (,) και ''() > (, + ) δηλαδή κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ). 8 (α) γ) Για α = β η αποδεικτέα γράφεται : ln = = (α - α) που ισχύει ως ισότητα. 8 56α Χωρίς βλάβη γενικότητας θεωρώ < α < β και από την ανισότητα Jnsn ( ΘΜΤ για την στα α +β α +β [α, ],[,β] και χρήση μονοτονίας στο [, + )), έχω α +β (α) + (β) α +β (α +β) (α +β) ln - 4ln(αβ) < (α -β) ln < (α -β) 4 56α β < (α +β) + 8ln < α + β + 4ln(αβ) δ) Με h() = () + (- ), (,) είναι και για < < < - () > (- ) h' στο h () = () - (- ) = = αφού κοίλη στο (,), και (στο, δηλ. έχει ma στο το = - 4ln + 4 = - 4ln < < 4ln 5 < ln56 < 56 που ε) Με ισχύει αφού 5 5 < = 4 < 56. m, είναι m < - m και ολοκληρώνοντας την ανισότητα του (δ) έχω: -m -m -m ()d + (- )d < d = (- m) και με u = - m m m προκύπτει η αποδεικτέα. -m -m ()d = m m (- )d στ) Θα δείξω ότι π π για κάθε -, - φ() = 4 + ln(συν ) - 4συν - ημ με είναι : 4 + ln(συν ) < 4συν + ημ. Θέτω π π -, και ισχύει φ () = -εφ(συν -) με π ρίζα το και φ 'στο -, ενώ ( στο π, δηλ. έχει ma στο το φ() =. Άρα φ() < με π π -, -.

93 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) π π α) +συν = συν + - = - - ημ( - ) = - ( - ) ημ( - ) = ( - ) Επειδή ημ, για κάθε και το ίσον ισχύει μόνο όταν τότε ημ( - ) = ( - ) =. Άρα () =. Είναι συνεχής (, + ) άρα () = lim() = + k k = () = + ln + β) () = + ln +, () = + και ''() = - = ( -) F E γ) Έστω : 8 (α +β) ln (α -β) ln(α +β) - ln(56) - ln(α β ) (α -β) 56α β 8ln(α +β) - 8ln - 4lnα - 4lnβ α - αβ +β Για α β ισχύει η ισότητα α + β 8ln α - αβ + β + 4lnα + 4lnβ () Για α β : Εφόσον κυρτή στο (, + ) από την ανισότητα Jnsn έχουμε : α + β α + β α + β < (α) + (β) + 4ln < α + lnα + β + lnβ α + β α + β + 4ln < α + lnα + β + lnβ α + β (α + β) + 8ln < α + 4lnα + β + 4lnβ α + β 8ln α - αβ + β + 4lnα + 4lnβ. Όποτε η () ισχύει για α β. δ) Η εφαπτόμενη της C στο είναι y = 4 -. Αφού η κοίλη για τότε () < 4 - () και (- ) < 4(- ) - () για. Προσθέτουμε κατά μέλη () και () και έχουμε : () + (- ) < (- ) - =

94 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) ε) Θεωρούμε την h(m) = F(- m) - F(m) + m -, < m < όπου F μια αρχική της και h (m) = - (m) - (- m) + > h ', < m < -m -m () d < - m F() + m - < m F(- m) - F(m) + m - < h(m) < h m m< που ισχύει. π π στ) Αφού α -,, τότε <συνα <. Η εφαπτόμενη της C στο είναι y = 4 -. Αφού η κοίλη για < < τότε () < 4 - =συνα (συνα) < 4συνα - Έστω 4 + ln(συνα) 4συνα + ημ α (συνα) 4συνα - Άτοπο Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) Έχουμε + συν π = συν π - ( - ) = - ημ( - ) = - = διότι ημ για κάθε (η ισότητα ισχύει μόνο όταν = ) Τώρα ( ) = + ln + k. συνεχής οπότε Συνεπώς () = + ln +, >. lim () = () + k = k =. β) () = + > για κάθε (, + ) δηλαδή γνήσια αύξουσα στο (, + ). Επίσης ( ) = - > >. () < (,). () = =. Άρα κοίλη στο (,], κυρτή στο [, + ). Το σημείο (, ) είναι σημείο καμπής για. γ) Επειδή κυρτή στο [, + ) από ανισότητα JENSEN θα είναι α + β α + β ( η απόδειξη από Θ.Μ.Τ στα α,,, β ) δηλαδή α + β α + β + ln + α + lnα + +β + lnβ + 4ln α + β α + β - αβ - lnα - lnβ 8ln α + β - 4lnα - 4lnβ 8 8 α + β ln - lnα4 - lnβ 4 (α + β) (α -β) ln 4 4 (α -β) 56α β α + β (α -β) (α) + (β)

95 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) 5 5 δ) Ισχύει : < < = 4 < 56 δηλαδή 5 < 56 5 < 8 5 < ln 8 5 < 8ln 5 4 < ln ln < 4 - ln + < < (). Όμως για (,) (- ) (,), κοίλη στο (,] θα είναι από ανισότητα JENSEN () + ( - ) (). Αρα από () και () : () + ( - ) <. -m -m -m ε) Είναι () + ( - ) < ()d + (- )d < d (). Όμως θέτοντας - = u Επόμενα η () γίνεται : m m m - d = du προκύπτει ότι: -m m -m (- )d = - (u)du = (u)du. m -m m -m -m -m -m -m. ()d < d ()d < d ()d < - m m m m m m στ) Αν g() = () - 4 +, (,), g () = () - 4 = + συνεπώς g γνήσια αύξουσα στο (,]. Δηλαδή για < < : g() < g() g() < () < 4 -. π π Τώρα αν α -,, θα είναι < συνα < οπότε (συνα) < 4συνα - συν α + ln(συνα) + < 4συνα = - - ημ α + ln(συνα) + < 4συνα- 4 + ln(συν α) < 4συνα + ημ α. Άρα δεν υπάρχει > για (,) π π α -,, τέτοιο ώστε: 4 + ln(συν α) 4συνα + ημ α. Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) +συν π -6 + = ημ(- ) = - ημ(- ) = - όμως από την ανισότητα ημα α, α η ισότητα ισχύει μόνο για α =, άρα - = = η οποία επαληθεύει την εξίσωση. Άρα π () : + συν = = {} () = Όμως συνεχής στο άρα lim() = () + κ = κ = άρα () = + ln +, (, + )

96 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) β) δυο φορές παραγωγίσιμη με '() = + ''() = F E γ) αν α = β > τότε προφανώς ισχύει η ισότητα. Για α, β > με α < β (χ.β.γ.), η πληροί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στα α + β α + β α + β α + β α,,, β και τότε θα υπάρχουν ξ α,, ξ, β α + β α + β - (α) (β) - '(ξ ) =, '(ξ ) = β - α β - α όμως '' στο (α,β) (, + ) (ερώτημα Β), άρα α + β α < ξ < < ξ < β '(ξ ) < '(ξ ) α + β α + β - (α) (β) - α + β α + β < - (α) < (β) - β - α β - α + ln - α - lnα < β + lnβ - - ln α + β α + β α + β α + β α + β ln 4 α + β α + β α + β - lna - lnβ < α + β - ln < α + β - 6α β 4 8 α + β 4 4 α + β ln < α + β - α + β ln < α -β 6α β 56α β ώστε δ) Έστω g() = () + (- ) -, (,) παραγωγίσιμη με g'() = '() - '(- ), (,). Όμως '(, άρα για > > - '() < '(- ) g'() < g (, για < < < - '() > '(- ) g'() > g ', και g' =. Οπότε η g έχει ολικό μέγιστο με 5 g() g () + (- ) - - = - ln < () + (- ) < 4 ε) m, m < - m. u = - -m m -m (- )d = - (u)du = ()d () m -m m -m -m -m Από ερώτημα Γ είναι () + (- ) < ()d + (- )d < d -m -m ()d < (- m) ()d < - m m m m m m ()

97 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) στ) η εφαπτόμενη της στο είναι η y - () = '()( -) y - = 4( -) y = 4 - η είναι κοίλη στο (,] άρα η γραφική της παράσταση βρίσκεται κάτω από τη εφαπτόμενη εκτός του σημείου επαφής, άρα () < 4 -, για κάθε (,) π π για κάθε α -,,, οπότε (συνα) < 4συνα - συν α + lnσυν α + < 4συνα - -ημ α + lnσυν α + < 4συνα lnσυν α < 4συνα + ημ α άρα δεν υπάρχει π π α -,, : 4 + lnσυν α 4συνα + ημ α

98 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) Έστω συνάρτηση συνεχής στο (, + ), για την οποία ισχύουν: F() + () = +, >, όπου F μια αρχική συνάρτηση της στο (, + ) + ()d = () +F() Α. Να αποδείξετε ότι () = ln +, >. Β. Να εξετάσετε αν οι C και C δέχονται κοινές εφαπτομένες. F Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (, ), τέτοιο ώστε F( ) =. F() Γ. Να λυθεί η εξίσωση : F() =, <. Γ. Να αποδείξετε ότι + - () + + lim =. o F() ( + ) () + F() Δ. Να λυθεί η εξίσωση : ln(()) =, >. () + Ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : (t - ) ((t)) dt =, >, έχει ακριβώς δυο ρίζες. t Ε. Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, με < <, να αποδείξετε ότι υ- πάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε, η εφαπτομένη της C στο σημείο Μ(ξ,(ξ)) να διέρχεται από το σημείο (, ). Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. ()d = () + F() [F()] = () + F() F()- F() = () + F() F() = - (). Για = στην αρχική ισότητα, έχουμε: F() = - () F() + () = () = - () + + () =. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρ- τήσεων, οπότε : F() + () + - () + - () + (() + ) ( + ) - (F() + ) () = - = + - = - = ( + ) = - = -, >. Έτσι : + Για = : () = () = + c c =, οπότε Επίσης προκύπτει : F() = ( +) ln -, >. '() = ln + ' () = ln + + c. () = ln +, >. - () = - =, >. Είναι : () = = () > > () < < < Β. Έτσι : γν.φθίνουσα στο A = (,] και γν.αύξουσα στο A = [, + )

99 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) γν.φθίνουσα (A ) = [(), lim ()) = [, + ), καθώς αφού συνεχής lim = + και + γν.αύξουσα (A ) = [(), lim ()) = [, + ),καθώς + συνεχής + lim ln = + και lim. + lim ln + = lim (+ ln) = + + +, - ln + (ln)' lim ( ln) = lim = lim = lim = lim (- ) = ' - DLH lim ln, αφού Έτσι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το [, + ) και επομένως (), για κά- θε (, + ), με την ισότητα να ισχύει μόνο για, δηλαδή : () = = - Έτσι: F () = (), > και () =, καθώς 4 > - 4( -) 4. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι οι C και συντελεστές δ/νσης των εφαπτομένων της δ/νσης των εφαπτομένων της ( - ) C δεν δέχονται κοινές εφαπτομένες, εφόσον οι F C, για κάθε (, + ). C είναι διαφορετικοί από τους συντελεστές F Γ. Είναι F () = (), >, οπότε η συνάρτηση F είναι γν.αύξουσα και - στο (, + ) και σε συνδυασμό με το Θ.Bolzano καθώς F() = - και F() =, προκύπτει ότι υπάρ- χει μοναδικό (, ) τέτοιο, ώστε F( ) =. Γ. Η συνάρτηση F είναι γν.αύξουσα στο (, + ), οπότε για < < είναι F() < F( ) =, οπότε η εξίσωση είναι ΑΔΥΝΑΤΗ στο (, ). Τώρα για > είναι F() > F( ) =, οπότε η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται : (*) F() ln F() = ln lnf() + = (F()) = F() = F() = F() =. F() F:- Γ. F( ) = ( + ) ln - = ln = = + +. Είναι : ' συνεχής = - ( + ) ( + ) lim = lim = lim = = F() DLH F () () ( ) ( + ) ( + ) = =. Έτσι : ( ) ( )

100 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) + + συνεχής + + () - - ( + ) + + lim = lim () lim = ( ) =. F() F() ( ) ( + ) Δ. () + F() ln(()) = (() + ) ln(()) - () = F() () + F:- F(()) = F() () = () - =. Θεωρούμε συνάρτηση u με τύπο u() = () -, >. Είναι u () = () - = - - = <, οπότε u γν.φθίνουσα στο (, + ) και ε- πομένως u - στο (, + ). Άρα u:- () - = u() = u() =. Ε. (t -) ((t)) dt = (t) F ((t)) dt = [F((t))]' dt = [F((t))] = t () = F() = - F(()) - F(()) = F(()) = + F F(()) = F:- F(()) = F() () =. Επειδή (A ) και γν.φθίνουσα στο A (,], συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μο- ναδικό (,) τέτοιο, ώστε ( ) =. Επειδή (A ) και γν.αύξουσα στο A [, + ), συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μοναδικό (, + ) τέτοιο, ώστε ( ) =. Αποδείξαμε λοιπόν, ότι η αρχική εξίσωση έχει ακριβώς ρίζες τις, με < < <. () - Ε. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g() =, >. () - () + Είναι g () =, >. g συνεχής στο [, ] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων g παραγωγίσιμη στο (, ) ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων g( ) = g( ) =, οπότε σύμφωνα με το Θ. Roll, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε g(ξ) = ξ (ξ) - (ξ) + = ξ (ξ) = (ξ) -. Η εφαπτομένη της C στο σημείο Μ(ξ, (ξ)), έχει εξίσωση: ψ - (ξ) = (ξ) ( -ξ). Για =, προκύπτει : ψ = (ξ) -ξ (ξ) =, που σημαίνει ότι η συγκεκριμένη εφα- πτομένη διέρχεται από το σημείο (, ). Λύνει ο : Παντελής Δέτσιος (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Έστω συνεχής στο (, + ) με (F () = () ) και ()d = () + F() () F() + () = +, > (), F αρχική της +

101 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) = Α. () F() = () -, () : F ()d = () + F() F() = () + F() () + F() =, άρα έχουμε () =, F() = -, η () γίνεται F() + + F () = + F () + - F() + ' = + + F ()( + ) - F()( + )' + + = ( + ) ( + ) F() F() ' = = - = ln + ' = ln + + c + ( + ) ( + ) +, από την οποία + + για = έχουμε c = -, άρα F() = ln + - F() = ( + )ln -, > οπότε + + () = F () = ln + ( + ) - () = ln +, > - () = - =, >, από τον πίνακα Β. μεταβολών η για = έχει ολικό ελάχιστο με () = μόνο για = εφόσον ' ( > () > (), < < () > () Για να έχουν οι C,C κοινή εφαπτομένη πρέπει να υπάρχουν, (, + ) ώστε F F ( ) = ( ) ( ) = ( ), αδύνατο εφόσον - που ισχύει διότι Δ = - < () και () = < < V U Γ. Για την F που είναι συνεχής έχουμε F() = -, F() =, άρα από Θ. Bolzano υπάρχει (,) ώστε F( ) = που είναι και μοναδικό εφόσον F () = () > και άρα F( ') και '-' F() Γ. Έχουμε την εξίσωση F() =, <, αν < < F() < F( ) F() < οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη, ενώ αν > F() > F( ) F() > η εξίσωση γίνεται F( ') F( ') F() ln F() = ln lnf() + = (F()) = F() για =, οπότε F('-') F() = F() = F() = που από Β ισχύει μόνο Γ. Από Γ έχουμε + + () + F( ) = ( + )ln - = ln = + = F συνεχής lim - = - = - =, lim F() = F( ) =, άρα

102 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) ' + () lim = lim = lim = = F() F () () ( ) (DLH) οπότε - ( + ) + + = =, ( ) ( )( + ) lim () = ( ) =. F() ( )( + ) ( + ) Δ. Έχουμε την εξίσωση () > προκύπτει ση γίνεται () + F() ln () =, > () + από τον τύπο της θέτοντας όπου το F(()) + () F(()) = (() + )ln() - () = ln(), οπότε η εξίσω() + F('-') F(()) + () () + F() = F(()) = F() () = που έχει προφανή λύση () + () + την = και θεωρώντας g() = () -, >, έχουμε g( () στο (, + ) και άρα η = μοναδική g () = () - = - = - <, Ε. Έχουμε την εξίσωση t u = (), du = ()d γίνεται (*) (t -) ((t)) dt = (t) ((t))dt =, η οποία θέτοντας () () () (u)du = F (u)du = F(u) = F(()) - F() = F(()) = = F() () () =, από το Β έχουμε + + F('-') A = (,], ()A = [(), lim ()) = [, + ) (*), A = (, + ), (A ) = ((), lim ()) = (, + ) (*), οπότε εφόσον (A ), (A ) υπάρχουν μο- ναδικά, λόγω μονοτονίας, A, A ώστε ( ) =, ( ) = ln (ln)' lim ln = lim lim = lim (-) =, οπότε + + DLH + ' + ln + lim () = lim + + ln + = lim = lim (ln + ) = + + +, lim () = lim ln + = Ε. Η εξίσωση εφαπτομένης σε σημείο (ξ,(ξ)) είναι ε : y - (ξ) = (ξ)( -ξ) η οποία περνάει από το σημείο (,) αν και μόνο αν (ξ) ξ - (ξ) (ξ)' - - (ξ) = (ξ)( - ξ) (ξ)ξ - (ξ) = - = (ξ) ' = ' ξ ξ ξ ξ

103 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) (ξ) - () - ' = ξ, άρα θεωρώντας την h() =, [, ] έχουμε h( ) = h( ) = και από Θ. Roll υπάρχει ξ (, ) ώστε h(ξ) = που δίνει την ζητούμενη ισότητα. Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Η συνάρτηση F είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και η είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Η δοσμένη σχέση γράφεται: + ()( + ) = F() + +, >. Η παραγωγίζεται ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Παραγωγίζοντας έχω: ()( + ) + () = () + - () = - () = ln + () = ln + + c. ()d = () + F()F() - F() = () + F()F() + () = (). Aπό τη δοσμένη σχέση για = προκύπτει : () = F() + (). Έπόμενα από τις σχέσεις () και () έχουμε ότι () =, F() = -. Άρα c = Επί πλέον () = ln + Επίσης και από τη αρχική σχέση της υπόθεσης F() =( + )ln -. - Β. () = - =, () = =, () > >, () < < <. Δηλαδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για =, συνεπώς ( ) ( ) =, γιά > - Επίσης () = - + =, ''() = =, ''() > < <, ''() < >. Δηλαδή η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο =, συνεπώς () () = γιά. 4 Tώρα επειδή, F παραγωγίσιμες αν υπάρχει κοινή εφαπτόμενη των πάρχουν κ, ρ > ώστε F (κ) = (ρ) (κ) = '(ρ) άτοπο διότι Άρα οι C και C δεν δέχονται κοινές εφαπτόμενες. F C και (κ) και '(ρ). 4 C θα υ- F Γ. Προφανώς F συνεχής στο [,] ως παραγωγίσιμη. Επί πλέον F() = -, F() = oπότε από θεώρημα BOLZANO υπάρχει (,) ώστε F( ) =. Επειδή F () = για (,) η F γνήσια αύξουσα στο [,] άρα το είναι μοναδικό. ln + > Γ. Για > έχουμε F () = () = ln + > > συνεπώς η F γνήσια αύξουσα στο (, + ).

104 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) F() Από την εξίσωση F() = προφανώς F() > > >. Συνεπώς ln F() = ln lnf() + = (F()) = () = και επειδή η έχει μοναδικό ολι- F() F() κό ελάχιστο στο = θα είναι F() = F() = F() = διότι η F είναι - στο (,+ ) ως γνήσια αύξουσα. Γ. F( ) = ( + )ln - = ( + )ln = ln = = + + και + + ( ) = ln + = + = + ( + ) - lim F() Αρα + = - lim () F(). Eπόμενα από κανόνα d l' Hospital είναι ( + ) ( + ) lim = lim = =. F () () ( + ) = = ( + ) + ( + ). Δ. Η εξίσωση είναι : ln(()) = () + F() () + (()+)ln(() = F() + () (() + )ln(() - () = F() F(()) = F() και επειδή η F είναι - ως γνήσια αύξουσα προκύπτει ότι () =. Αν h() = () - = ln + -, >, τότε h () = = Δηλαδή h γνήσια φθίνουσα στο (, ) συνεπώς και -. Άρα () = h() = h() = h() =. < για >. Ε. Η εξίσωση είναι (t -) ((t)) dt = (t)f ((t))dt = F((t)) dt = F(()) - F(()) = t F(()) - F() = F(()) + = F(()) = F(()) = F() () = διότι F'() = () > οπότε F γνήσια αύξουσα και ως εκ τούτου -. ln Τώρα lim = + lim = + lim(- ) = οπότε + - ln lim () = lim ln + = lim + =

105 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) lim () = lim ln + = Επειδή συνεχής, : (,] [, + ) και : [, + ) [, + ). Όμως [, + ) άρα υπάρχουν (μοναδικά λόγω μονοτονίας της στα αντίστοιχα διαστήματα) (,] και [, + ) ώστε ( ) = ( ) =. Ε. Θεωρώ τη συνάρτηση φ() = () - στο (, + ). Η φ συνεχής στο [, ] ως πηλίκο συνεχών. () - () Η φ παραγωγίσιμη στο (, ) (πηλίκο παραγωγίσιμων) με φ () = +. Επίσης φ( ) = φ( ) =. Οπότε από το θεώρημα Roll στο [, ] υπάρχει ξ (, ) ώστε φ (ξ) = ξ (ξ) - (ξ) = - (). H εφαπτόμενη της διέρχεται από το σημείο (, ). C στο Μ(ξ, (ξ)) είναι y = (ξ) - ξ (ξ) + (ξ) η οποία λόγω της () Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Mε h() = () - ln - έχω στην (() + )( + ) -(F() + ) () + F() + h () = () - + = - + = = ( + ) () + () = =... = + + Άρα h() = c και με = είναι h() = () - F ()d = F() - F() = F() + () F() = - () () Με = στην αρχική: Άρα h() = = c και () F() + () = + () =, F() = - () = ln + - Β. () = = με ρίζα και F = ( στο (,], 'στο [, ) με F () = () = () - () = = με ρίζα και ' στο (, ], ( στο [, ) με () Άρα οι κλίσεις των εφαπτομένων των C και C έχουν κοινή τιμή το, αλλά σ αυτό F. δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη ( y = + ln -,y = - )

106 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) Γ. Από Bolzano για την F στo [, ] αφού F() = - και F() = και τη μονοτονία της F στο [, ] αφού F'() = ln + > με < < η εξίσωση F() = έχει μία λύση στο (, ). Γ. Αν έχει ρίζα θα είναι F( ) >. Ισοδύναμα γράφεται : min= lnf() + = (F()) = () F() = ( + )ln = + ln = = F() Γ. Ισχύει. + ( + )ln = ln = + = Άρα και χωρίζω σε lim με lim () = ( ), ενώ με L Hospital έχω: + - ' lim = = = () ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + + και πολλ/ντας ΟΕΔ. Δ. Προφανής ρίζα το και ισοδύναμα γράφεται: F- (() + )ln() = () + F() F(()) = F() () = ln + = Eπειδή ( ) για είναι αδύνατη. Για > < - > - > ln δηλ. η εξίσωση αδύνατη. Ε. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: (t)f ((t))dt = (F((t)) dt = F(()) - F(()) = F(()) = = F() () = με λύσεις στο (, ) και (, ) αφού ((,]) = [,+ ) και ([,+ )) = [,+ ) και lim () = lim (ln + ) = Ε. Η y - (ξ) = (ξ)( -ξ) πρέπει να επαληθεύεται από το (, ) δηλ. να ισχύει : - (ξ) = - ξ (ξ). () - Θεωρώ h() =, [, ] όπου, οι ρίζες του προηγούμενου. () - () + Από Roll η hέχει ρίζα στο (, ) με h () = ΟΕΔ FZ

107 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. ()d = () + F() F() - F() = () + F() F() = - () = Þ F() = - F() + () = + () = F() + + F() + Έστω G() = - ln, > + F() + (() + )( + ) - ( + ) (() + )( + ) - (F() + ) G'() = - = + - = ( + ) ( + ) (() + )( + ) -( + ) () - () + - () + = - = - = - = ( + ) + Άρα G σταθερή συνάρτηση και εφόσον F() + G() = - ln = + θα είναι F() + G() = - ln = F() = ( + )ln - F'() = ln + + () = ln +, > Β. () = ln + - '() = - = - ''() = - + = F() = + ln - F'() = () - F''() = '() = U V O.M. () = /4 + F - + F V U O.E. () = άρα '() <, > και F'(), >,οπότε '(κ) F'(λ) για κάθε κ, λ >. 4 Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτόμενων των ίσοι που είναι αναγκαία συνθήκη για να έχουν κοινή εφαπτόμενη. Συνεπώς οι C, C δε δέχονται κοινές εφαπτόμενες F C, C δεν είναι F Γ. Είναι F'() > F' στο (, + ) F "- " στο (, + ) F συνεχής στο [, ], F() = - <, F() = > οπότε από θ. Bolzano υπάρχει (, ) : F( ) = το οποίο είναι και μοναδικό αφού F "-" στο (, + )

108 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) Γ. F' στο (, + ). Για F() F( ) = τότε προφανώς η εξίσωση είναι αδύνατη. Για > F() > F( ) =. F() > F() F() F() = ln F() = ln lnf() + = (F()) = (*) F() όμως η έχει μοναδικό Ο.Ε. () =,που σημαίνει ότι η εξίσωση () = έχει μοναδική λύση = αφού για > () > και για < () > V U O.E. () = Αρα η εξίσωση (*) γίνεται ισοδύναμα F - F() = F() = F() = >. Γ. F( ) = ( + )ln - = ln = = + επίσης ' (,) ( ) > () = και + lim F() = F( ) = και lim () = ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + + lim = lim = = = DLH άρα, F() () ( ) ( ) ( + ) ( ) + + () lim = lim () lim m = ( ) = F() F() ( + ) ( ) ( + ) o Δ. () + F() ln() = () + > () (() + )ln() = () + F() F - (() +)ln() - () = F() F(()) = F() () = (*) Έστω H() = () -, > παραγωγίσιμη με H'() = '() -, > είναι Η' ( ) <,, (, + ) με Η συνεχή στο άρα Η γν. φθίνουσα στο, έτσι (*) H() = H() = H() = μοναδική λύση. Ε. t - ((t))dt = - ((t))dt = '(t)((t))dt = t t t '(t)((t))dt = + (*) du = '(t)dt θέτω u = (t) u = u = () () () (*) (u)du = F'(u)du = F(()) - F() = - + V U O.E. () =

109 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (5//6) F(()) = F(()) = F() () = ln lim () = lim ln + = lim ln + = +, lim ln= lim = DLH άρα ((,]) = [, + ) και (, + )) = (, + ) ((,]) και ((, + )) και η διατηρεί μονοτονία σε καθένα από τα διαστήμα- τα άρα η εξίσωση () = έχει ακριβώς ρίζες, το ίδιο και η ζητούμενη. Ε. Είναι ( ) =, ( ) =. Ακόμα '( ) <, '( ) >. Έστω W() = '() - () +, [, ] W συνεχής στο [, ] W( ) = '( ) - ( ) + = '( ) < W( ) = '( ) - ( ) + = '( ) > αρα από θ.bolzano υπάρχει ξ (, ) : W(ξ) = ξ'(ξ) - (ξ) + = (ξ) -ξ'(ξ) = (*) Η εφαπτόμενη της στο ξ είναι (*) ε : y - (ξ) = '(ξ)( -ξ) y = '(ξ) -ξ'(ξ) + (ξ) y = '(ξ) + η οποία προφανώς διέρχεται από το σημείο (, ).

110 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) -λ Θεωρούμε τον αριθμό λ < και τη συνάρτηση () = α) Αποδείξτε ότι η παρουσιάζει ακρότατο σε σημείο M(,( )). Στη συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ καθώς το λ μεταβάλλεται στο διάστημα (-, ) β) Αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τις ευθείες =, y = και = είναι E=τ.μ., να βρείτε τον αριθμό λ Στη συνέχεια για λ = - : γ) Να αποδείξετε ότι η C έχει μοναδικό κοινό σημείο Α(,( )) με την εφαπτομένη ε της C στο σημείο Β(,()), το οποίο και να βρείτε α + β (α) + (β) δ) Αποδείξτε ότι < ln, με <α < β. α + β Λύνει ο : Μάριος Βώβος α) Είναι -λ -λ -λ -λ '() = ( )' = + (-λ) = (- λ), για κάθε. - λ '() = (- λ) = = λ λ < -λ '() > (- λ) > > λ Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα -, λ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,+ λ. Ετσι, η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, το Μ,, λ λ λ λ. Άρα: = και y = y =. λ λ Δηλαδή, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία ε με εξίσωση y=. Περιοριζόμαστε στην ημιευθεια που βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, διότι λ < άρα = < και y = < λ λ Β. Είναι -λ () > > >. Άρα: -λ -λ -λ -λ -λ -λ E = () d = ()d = d = 'd = - d = - + = - λ -λ -λ λ λ -λ -λ -λ = λ λ λ Όμως, Ε =, επομένως: -λ -λ -λ -λ -λ -λ = -λ - + = λ λ + λ + - = λ λ λ Άρα, λ = - ή -λ = - λ. Από τη γνωστή ανισότητα + και όπου το -, έχουμε: τητα να ισχύει, μόνο όταν =. Επομένως: λ = - ή λ =. -λ (λ + ) = (- λ)(λ + ). - -, με την ισό-

111 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Η δεύτερη λύση απορρίπτεται, αφού λ <, άρα λ = -. γ) Η συνάρτηση για λ = -, γράφεται () =, για κάθε. Η εφαπτομένη της στο σημείο Β(,()) δίνεται από τη σχέση: y - () = '()( -) y - = ( -) y = -. Άρα, ζητούμε η εξίσωση: () = - = =, να έχει μοναδική ρίζα στο. Θεωρούμε, τη συνάρτηση - h() = - +, για κάθε. Η h είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο h'() = + - = ( + ) -, για κάθε. Για > είναι + > και - γνησίως αύξουσα στο (, + ). Για < είναι + < και γνησίως φθίνουσα στο (-, ). >, άρα - < <, άρα - ( + ) > h'() > - ( + ) < h'() < Τελικά, η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το h() =., επομένως η h είναι, επομένως η h είναι Άρα, h() h() h(), για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για =, που είναι και η μοναδική ρίζα της εξίσωσης h() =. Επομένως, το κοινό σημείο της C με την εφαπτομένη ε, είναι το Α(,()) = (,) α + β α < α + β α < β δ) Είναι : α < < β α < α + β < β α < β, που ισχύει. α + β < β α < β Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (και στο διάστημα [α, β]), με '() = ( + ), οπότε ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, σε καθένα από τα α + β α + β διαστήματα α, και, β, επομένως θα υπάρχει, ένα τουλάχιστον: α + β α + β - (α) - (α) α + β ξ α,, ώστε ' ξ = =. α + β - α β - α α + β α + β (β) - (β) - α + β ξ, β, ώστε ' (ξ ) = =. α +β β - α β- Για κάθε >, έχουμε ''() = ( + ) >, άρα κυρτή στο διάστημα (, + ) και ' γνησίως αύξουσα. α + β α + β - (α) (β) - ' ' <ξ < ξ ' (ξ ) < ' (ξ ) < β - α (β - α)

112 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) α + β α + β α + β (α) + (β) - (α) < (β) - < α+β α+β > α+β α + β (α) + (β) (α) + (β) α + β (α) + (β) < < < ln, α + β α + β που είναι το ζητούμενο. Λύνει ο : Δημήτρης Ρουμελιώτης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτή- σεων με -λ -λ -λ -λ -λ -λ '() = ( )' = ' + ( )' = - λ '() = (- λ). '() = - λ = = λ '() > - λ > > λ >, λ < λ Για ' () ( ) λ λ Άρα για κάθε είναι Για - λ με τιμή λ ( ) = = = λ, άρα λ λ Αν M(,y) τότε = λ και σημείων Μ είναι η ημιευθεία ( () ( ) λ λ () λ και η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, λ M, λ λ, λ <. - /λ V U y = y = με,y <, άρα ο γεωμετρικός τόπος των λ ε : y = με,y < χωρίς δηλαδή το σημείο O(,). β. Το δοσμένο εμβαδόν δίνεται από την σχέση αύξουσα στο,+ [, + ) λ άρα για E(Ω) = () d. Όμως η είναι γνησίως - λ () () () () άρα : -λ -λ -λ -λ -λ -λ E(Ω) = ()d = d = - 'd = - + d = = λ λ λ λ λ λ Όμως -λ -λ - + λ - -λ -λ -λ -λ = = =. λ λ λ λ λ λ λ λ -λ -λ -( + λ -) -λ -λ -λ -λ E(Ω) = = -( + λ -) = λ + λ -+ λ = λ -λ (+ λ)( + λ -) = Από όπου παίρνουμε ότι : λ = - ή - g() = + - με παρατηρούμε ότι g() = και ότι Είναι : -λ - g'() = = = και +λ - = (). Θεωρώντας τη συνάρτηση - g'() = - +,. - g'() > < - < >.

113 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ]. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε - < g() > g() + - > άρα και Τελικά από την () παίρνουμε ότι : λ = -. -λ +λ - > για κάθε λ <. γ) Για λ = - είναι : () =, και '() = ( + ),. Η εφαπτόμενη ευθεία (ε) της C στο σημείο της B(,()) είναι η : (ε) : y - () = '()( -) y - = ( -) y = -. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Για κάθε με ''() = ( + ),. > - + > ( + ) > ''() > άρα η είναι κυρτή στο διάστημα [-, + ) και επειδή [-, + ) άρα η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την εφαπτόμενη της (ε) και μοναδικό κοινό σημείο τους στο [-, + ) είναι το B(,()) ως σημείο επαφής. Για το διάστημα (-, - ] τώρα θεωρούμε τη συνάρτηση : h() = () -( - ) = - + = ( - ) +, (-, - ] Η h είναι παραγωγίσιμη στο (-, - ] με Για κάθε. h'() = ( + ) -, (-, - ]. < - + < - ( + ) < - ( + ) - < - - < άρα h'() < για κάθε < - άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστη- μα (-, - ] Έτσι για κάθε - h() h(-) h() > διότι h(-) =. Άρα για κάθε - () -( - ) > () > - άρα η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτόμενη (ε) στο διάστημα (-, - ], άρα δεν έχει κανένα κοινό σημείο με αυτήν στο (-, - ]. Τελικά μοναδικό κοινό σημείο της σημείο B(,()). Άρα Α Β. C με την εφαπτόμενη της (ε) στο B(,()) είναι το α + β δ) Στο διάστημα [α,β] θεωρούμε το σημείο γ=. (β - α) β - α Είναι γ - α = > και β - γ = > άρα πράγματι α < γ < β. Η ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα [α,γ] και [γ, β] αντίστοιχα. Άρα θα υπάρχουν: ξ (α, γ) ώστε (γ) - (α) ((γ) - (α)) '(ξ ) = = γ - α β-α (β) - (γ) ξ (γ, β) ώστε '(ξ ) = = β - γ ((β) - (γ)) β - α () και Όμως στο ερώτημα (γ) αποδείξαμε ότι η είναι κυρτή στο [-, + ), άρα και στο διάστη- μα [α, β] αφού <α < β, άρα η ' είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β], έτσι έχουμε ()

114 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) ((γ) - (α)) ((β) - (γ)) α < ξ < γ < ξ < β '(ξ ) < '(ξ ) < (β - α) β - α β-α > (γ) - (α) α + β < (β) - (γ) (γ) < (α) + (β) < (α) + (β) α+β α+β α+β > α + β < (α) + (β) (α + β) < (α) + (β) α+β > α+β ( α) + (β) (α) + (β) < ln < ln α + β για > α + β άρα τελικά α + β (α) + (β) < ln α + β για κάθε <α < β. Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) Είναι () = -λ. Η συνεχής στο ως γινόμενο συνεχών και παραγωγίσιμη ως γι- νόμενο παραγωγίσιμων, με () = -λ -λ -λ -λ = (- λ). () = = λ, () > > λ, () < < λ. Δηλαδή γνήσια φθίνουσα στο -, λ, γνήσια αύξουσα στο, + λ, και στο = λ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο λ =. Συνεπώς (). λ λ Τωρα για λ < έχουμε y = y =. Aρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ( )) είναι η ευθεία y = για < (ημιευθεία με εξαίρεση το Ο(,)).

115 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) β) Προφανώς για ισχύει ( ). Eπόμενα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: -λ -λ -λ -λ Ε(λ) = ()d = d = - d = - + d = λ λ λ Τώρα -λ -λ -λ -λ -λ - (λ + ) - ] = λ λ λ λ λ = - - = - (λ + ) = - [ λ + Ε(λ) = Αν g(λ) = -λ -λ -λ -λ -(λ + ) -(λ + ) - λ (- λ)(λ + ) -(λ + ) (+ λ)(- λ - ) - = = = λ λ λ λ -λ -λ-, λ τότε g (λ) = -λ - > για λ <. -λ Δηλαδή g γνήσια αύξουσα στο (-, ], επόμενα λ < g(λ) < -λ - <. Άρα για λ <, Ε(λ) = + λ = λ = -.. γ) () =, () = ( ), () =, () =. Συνεπώς η εφαπτόμενη στο Β(, ) είναι y =. Aν h() = ()-y = -( - ) = - + τότε h () = Aν σ() = + - με R, σ () = + Oπότε η σ γνήσια αύξουσα στο. Eπόμενα: > για κάθε. + - και h() =. Για > έχω σ() > σ() + - > + - > h () > δηλαδή h γν. αύξουσα στο [, + ) οπότε > h() >. Ομοια για < έχω σ() < σ() + - < h () < δηλαδή h γν. φθίνουσα στο (-, ] οπότε < h() >. Αρα h( ) = =. δ) Έχουμε () = (+ ), ''() = ( + ) > γιά >. Επόμενα γνήσια αύξουσα στο [, + ). Από θεώρημα Μέσης Τιμής για την στο διαστήματα χουν ξ, ξ με α < ξ < α β ξ < β και α + β α,, α + β, β υπάρ- α + β α + β - (α) (β) - ( ξ )=, ( ξ )= και επειδή ( ξ) < ( ξ) (β - α) (β - α) α + β α + β α + β - (α) < (β) - < (α) + β αβ αβ α β α (β) α β (α) β (α) (β) ln. α β α β

116 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) -λ () = (- λ) με ρίζα το < και λ -, λ, στο,+ λ Με =, y = λ λ, λ < είναι () <, < και λ ' ενώ έχει ολικό min με τιμή y =, < () >, > δηλαδή (στο λ = λ. λ β) Η συνεχής στο [, ] με () και -λ -λ -λ - -λ -λ λ λ λ λ λ λ λ E = d = - 'd = + d = 'd = -λ λ λ -λ λ λ λ λ λ λ λ λ -+ = - + = - - ( -) = - - = = λ λ λ λ λ λ λ λ -λ -+ = λ λ λ Θεωρώ φ(λ) = (λ -) + λ + = (λ + )[(λ -) + ], λ < είναι φ(-) = και λ h(λ) = (λ -) +, λ < είναι - - -λ - -λ λ h(λ) = λ < δηλ. h (και λ - lim h(λ) = lim + = lim =, - h(λ) (, ), άρα ο - μόνη ρίζα της φ. lim h(λ) = λ - δηλαδή γ) Η εφαπτομένη της C στο Β(, ()) : y = -. Η εξίσωση : Θέτω T() = - με T() = - και T () = ( -) = =. Είναι T ( στο (-, ] και Τ ' στο [,+ ) με ΟΕ το -. Άρα T() = - = και Α(, ). = -. δ) Η αποδεικτέα ισοδύναμα γράφεται: α+β α+β (α) + (β) α + β (α) + (β) α + β (α) + (β) < < < α + β α + β α + β Με ΘΜΤ στα α, και,β υπάρχουν α + β α + β ξ α,, ξ,β με α + β (β) - (α + β) - (α) και (ξ ) =. β - α β-α (ξ ) = Είναι ''() = ( + ) = = - και ''() < στο (-, - ), ''() > στο (-, + ), άρα ( στο (-, - ] και ' στο [-, + ). α + β Δηλαδή ισχύει (ξ ) < (ξ ) (β) + (α) > οεδ.

117 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) -λ -λ () =, με () = (- λ), λ < Άρα Θέτουμε - Μ, =, λ λ λ λ = < λ - y = λ - y =, < Οπότε ο γ.τ. των σημείων Μ είναι η ημιευθεια. - y =, <. - /λ V U -λ -λ -λ β) Ε = d = d = - + d = λ λ = - - ( - ) = λ λ λ λ λ -λ -λ -λ -λ -λ -λ -λ - λ - + = λ (λ + )(- + - λ) = -λ λ = - ή λ = Θεωρούμε την - Κ '() = - και Κ() = Έστω ότι Έστω ότι - Κ() = - + -, με κ ' Κ(ρ) = με ρ > Κ(ρ) < Κ() < ατοπο κ ' Κ(ρ) = με ρ < Κ(ρ) < Κ() < ατοπο Τελικά η εξίσωση Κ() επειδή λ < τότε η εξίσωση εχει μοναδικη ριζα το και -λ λ = είναι αδύνατη για λ <. - + Κ + - Κ U V γ) () =, με () = (+ ) και ''() = ( + ) Η εφαπτόμενη της C στο Β είναι ε : y = - ή g() = - η περίπτωση : > - Για > - η C είναι κυρτή άρα () - και το ίσον ισχύει μόνο όταν = η περίπτωση : - (-, - ] (-, - ] = -, συνεχής και ( στο άρα () V U F E g ' -g() g(-) = - 5 g() -5 < - () () > g(), - Επομένως () - και το ίσον ισχύει μόνο όταν =.

118 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) δ) Θεωρούμε την h() = με h''() = >, άρα h' ' α + β h παραγωγισιμη στο α, από ΘΜΤ h παραγωγισιμη στο α + β,β από ΘΜΤ α+β α+β h ' α β α+β α + β - α, : h ( ) = β - α α α+β β α + β -,β : h ( ) = β - α α+β α+β α β - - < h ( ) < h ( ) < - < - β - α β - α α+β α+β α β α - < β - () Έστω ότι < α < β < β α+β α+β α + β (α) + (β) (α) + (β) (α) + (β) < ln ln < ln < α + β α + β α + β α β α+β α+β α+β α β ( α + β ) < α + β α - < β - που ισχύει λογω της (). Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) -λ -λ -λ -λ α) () = '() = - λ = (- λ), - /λ + '() = = - + λ Από τον πίνακα έχουμε ολικό ελάχιστο V U ( λ ) =, άρα M,, λ (-, ) O.E. (/λ) = /λ λ λ λ Για κάθε (-, ) υπάρχει λ (-, ): = <, αφού η ποσότητα,λ (-, ) λ λ παίρνει όλες τις τιμές στο (-, ). Αν y= τότε y =, για κάθε (-, ). λ Άρα ο Γ.Τ. των σημείων Μ(, y) είναι το μέρος της ευθείας ε : y =, < β) -λ () = = =, μοναδικό σημείο τομής με τον. -λ -λ -λ -λ E = () d = d = d = - + d = λ λ -λ -λ -λ -λ λ = = (λ + )[(λ - ) + ] = λ λ λ λ λ λ Θεωρώ τη συνάρτηση g() = ( -) +, ()

119 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) g'() = + ( -) = <,για <, g συνεχής άρα g στο (-, ] Άρα λ (λ -) + > οπότε από () είναι λ = - μοναδική λύση. ( και g() > για <. γ) () =, () = ( ), () =, () =. Συνεπώς η εφαπτόμενη στο Β(, ) είναι y =. Aν h() = ()-y = -( - ) = - + τότε h () = Aν σ() = + - με R, σ () = + > για κάθε. + - και h() =. Oπότε η σ γνήσια αύξουσα στο. Eπόμενα: Για > έχω σ() > σ() + - > + - > h () > δηλαδή h γν. αύξουσα στο [, + ) οπότε > h() >. Ομοια για < έχω σ() < σ() + - < h () < δηλαδή h γν. φθίνουσα στο (-, ] οπότε < h() >. Αρα h( ) = =. δ) Έχουμε () = (+ ), ''() = ( + ) > γιά >. Επόμενα γνήσια αύξουσα στο [, + ). Από θεώρημα Μέσης Τιμής για την στο διαστήματα χουν ξ, ξ με α < ξ < α β ξ < β και α + β α,, α + β, β υπάρ- α + β α + β - (α) (β) - ( ξ ) =, ( ξ ) = και επειδή ( ξ) < ( ξ) (β - α) (β - α) α + β α + β α + β - (α) < (β) - < (α) + β αβ αβ α β α (β) α β (α) β (α) (β) ln. α β α β

120 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (, + ),για την οποία ισχύει: () ()+ = ln +, > Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το. Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και στη συνέχεια να ορίσετε τη συ- - νάρτηση. () Β. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) = ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο (, + ). Γ. Να βρείτε τους α,β,για τους οποίους ισχύει: α (β) ((α) β ). Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε (, + ) ισχύει: ( ) - ( ) - ln( ). ( ) - ( + ) Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim. + () - ( + ) ( + ) Ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: + =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα - - στο (,). () ΣΤ. Να αποδείξετε ότι: d (() - ) 7. Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης Α. Αρκεί και πρέπει να δείξουμε ότι για κάθε y, η εξίσωση y = () έχει λύση ως προς, όπου >. Θεωρούμε τη συνάρτηση g: με τύπο Η g είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και "-" στο. Εύκολα φαίνεται ότι g(()) = ln, >. g() = + -. g () = + >, που σημαίνει ότι η g Για y, και >, έχουμε : Αποδείξαμε λοιπόν ότι για τυχαίο y, υπάρχει y. Επομένως η έχει σύνολο τιμών το. g: - y g(y) +y- () = y g(()) = g(y) ln = g(y) = =. y +y - = > τέτοιο, ώστε Β. Έστω, > με ( ) = ( ). Η g είναι συνάρτηση, άρα g:- g(( )) = g(( )) ln = ln =, που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι "-" στο (, + ), επομένως ορίζεται η αντίστροφη (Σχόλιο : θα μπορούσαμε εναλλακτικά να αποδείξουμε ότι η είναι "-" στο (, + ) κάνοντας χρήση της παραγωγισιμότητας της, καθώς παραγωγίζοντας τη σχέση () () + = ln + προκύπτει () () () (() + )' = (ln + )' () + () = () + = () = > () (+) (+ ) -.

121 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Άρα η είναι "-" στο (, + ), ως γνησίως αύξουσα). Για > και y είναι y +y- - +y- = (από το Α ερώτημα), οπότε (y) =,y. y Β. Για κάθε > έχουμε - : - () - () - () +ln- ( ) = ln (( )) = (ln) = () = + ln - Θεωρούμε συνάρτηση u : (, + ) με τύπο u() = () - - ln + Η u είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, με u () = (() - - ln + )' = () -- <, καθώς () = <, οπότε η u είναι γνησίως φθίνουσα στο () (+ ) "-" στο (, + ). Έτσι (, + ), άρα και u: - - () = + ln - u() = u() = u() =, αφού () = () = u() = Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τήσεων), με (, + ) (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρ- () () () ''() = ' = - [(+ )]' = - (+ + ()) = () () () + (+ ) (+ ) () () () + + () () + + (+ ) () = - = - + <, () () (+ ) (+ ) για κάθε (, + ). Οπότε η είναι κοίλη στο (, + ) Γ. Είναι () = και () = =. () (+ ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(,) έχει εξίσωση y - () = ()( -) y = ( -). Επειδή η είναι κοίλη στο (, + ), θα ισχύει () ( -) () -, > με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Θεωρούμε τη συνάρτηση w : (, + ) με τύπο w() = - (). Είναι w, για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για. Οπότε α + (β) = ((α) + β + ) α - (α) + (β) - β = w(α) + w( (β)) = - α = και (β) = (α = και β = ), καθώς - w(α) και w( (β)), με τις ισότητες να ισχύουν μόνο για - α = (β) =.

122 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Δ. Έστω συνάρτηση h : (, + ) με τύπο Η h είναι παραγωγίσιμη στο γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Όμως για κάθε > ισχύει ότι της h έχουμε () h() = () - ln = -. () () (, + ) με h() = (- )' = - () <, άρα η h είναι > + >, οπότε κάνοντας χρήση της μονοτονίας h( ) < h( + ) ( ) - < ( + ) - ln( + ) ( ) - ( + ) < - ln( + ) Δ. Για κάθε > είναι > + > ( ) > ( + ), οπότε > ( ) - ( + ) - ln( + ) < ( ) - ( + ) < - ln( + ) < <. Όμως, - ln( + ) ( - ln( + ))' lim = lim = lim = DLΗ ' + lim Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει και ' ( ) - ( + ) lim =. + Ε. Θεωρούμε τη συνάρτηση v :[,] με τύπο v() = ( -)(() - ( +)) +( - )( + ). η συνάρτηση v είναι συνεχής στο [,], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων ' v() = - () <, καθώς < () < () < () - () < v() = () - () >, καθώς η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε καθένα από τα διαστήματα [,] και [,], οπότε υπάρχουν ξ (,) τέτοια, ώστε ξ (,) και (ξ ) = () - () = () και (ξ ) = () - () και επειδή η είναι κοίλη στο (, + ), θα ισχύει ( ξ < ξ (ξ ) > ( ξ ) () > () - () () - ( ) > Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση v() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,). Όμως, < < () - ( + ) ( + ) v() = ( -)(() - ( + )) + ( - )( + )( + ) = + = - - ΣΤ. Έχουμε () > () () () + = ln + ()() + () = ()(ln + ), για κάθε >. () Άρα, ( ()() + () )d = ()(ln + ) d () ()()d + () d = ()(ln + ) - ()(ln + )'d () () () + = ()(ln + ) - d

123 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) () d + () + = ()(ln + ) () () d + () + - = () () d + () + (ln + - ()) - = 4() () d + () () - - 4() = () d + () - 6() + 9 = 7 () d + (() - ) = 7. Λύνει ο : Παύλος Τρύφων (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Β τρόπος ερωτήματος Α: Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) [Πράγματι, για τυχαία, > με < αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) < ( ). ( ) ( ) Αν υποθέσουμε ότι ( ) ( ), τότε Άρα, ( ) ( ) (+) υπόθεση ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ln + ln + ln ln, άτοπο. Οπότε, ( ) < ( ) δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + )]. Επιπλέον η είναι και συνεχής (ως παραγωγίσιμη), οπότε το σύνολο τιμών είναι ((, + )) = ( lim (), lim ()) Αν πτει lim () = k, τότε παίρνοντας όρια για k k + = -, άτοπο! Άρα lim () = στη σχέση Αν lim () = m, τότε παίρνοντας όρια για + στη σχέση + m προκύπτει m + = +, άτοπο! Άρα lim () = +. + Τελικά, ((,+ )) = (-,+ ) =. () () + = ln + προκύ- () () + = ln + Β τρόπος ερωτήματος ΣΤ: Η σχέση () () + = ln + για = δίνει () () () + = = - () () () Στο ολοκλήρωμα d κάνουμε την αντικατάσταση d d u u = () du = ()d du = = (+ )du () (+ ) Για να νέα άκρα έχουμε: για = u = () = και για = u = ()

124 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) () () () () () () u u u u d = u(+ )du udu + u du + u - d = () () () = () + () - + = () + () ( - ()) - ( - ()) + = = - () + 6() - () = 7 -(() - ) d + (() - ) = 7. Λύνει η : Δέσπω Πλατώνη (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Είναι Έστω () () + = ln +, > () g() = +, g () = + > για κάθε Άρα g ' στο οπότε και - και αντιστρέφεται. g συνεχής στο άρα g( ) = ( lim g(), lim g()) = (-, + ) = = D - Έστω h() = ln +, > h'() = > h συνεχής οπότε - + για κάθε > άρα h ' στο (, + ) Για κάθε (, + ) λόγω της () άρα h((, + )) = ( lim h(), lim h()) = (-, + ) = - - ((, + )) = g h((, ( )) = g ) = D = - g(()) = h() ( g () = g h ()) g Β. Παραγωγίζουμε την () και έχουμε: (+ ) () () () + () = ()(+ ) = () = > () Άρα ' στο (, + ) οπότε - και αντιστρέφεται και D - = ((, + )) = Θέτουμε στην () () = ψ και έχουμε: ψ ψ ψ ψ +ψ- - +ψ ψ + = ln + ln = + ψ - = ( ψ ) = () =,. Β. () () - () +ln- ( ) = ln = ( ln) = () - - ln + = (). Είναι Είναι ln () +ln- = () = + ln () = = = = () = άρα η () έχει ρίζα το αφού () - ln-+ = () = < για κάθε > (+ () ) Έστω g() = () - - ln +, g () = () - -, > Η g έχει ρίζα το αφού g() =. Έστω ότι έχει και δεύτερη ρίζα >. Από Θ.Roll για την g στο [, ] υπάρχει ξ (, ) : g'(ξ) = '(ξ) - - = '(ξ) = + > άτοπο αφού ξ ξ ξ '(ξ) < ξ

125 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Όμοια αν < <. Άρα το μοναδική ρίζα. Γ. Για κάθε > είναι '() = (+ () ) ' παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με () () () ''() = - [(+ )]' = - [+ + ()] < () () (+ ) (+ ) Άρα κοίλη στο (, + ). Γ. Είναι () = και '() = = = (+ () ) + Η εφαπτομένη ( ε ) της C στο σημείο (, ) έχει εξίσωση: ψ - = ()( -) ψ = ( -) ψ = - κοίλη άρα η C θα βρίσκεται κάτω από την ( ε ) για κάθε (, + ) με εξαίρεση το σημείο επαφής. Οπότε () - () - - () με το ίσον μόνο για =. Για = α έχουμε: α - (α) - () Είναι - () = και ( )'() = ( )' = ( +), άρα - ( )'() = = Η εφαπτομένη ( ε ) της C - στο σημείο (, ) έχει εξίσωση: ψ - = ( - ) ψ = + ) > άρα ( )''() = ( κυρτή στο και η - από την ( ε ) για κάθε με εξαίρεση το σημείο επαφής και με το ίσον να ισχύει μόνο για =. Για = β είναι Ισχύει: - - ( β) β + ( β) - β - (4) - - α + ( β ) = ((α) +β + ) α - (α) -+ ( β) - β - Λόγω των () και (4) το ίσον ισχύει μόνο για α = και β =. C θα βρίσκεται πάνω - () + για κάθε Δ. Για κάθε ισχύει : + το ίσον ισχύει μόνο για = επομένως για κάθε ισχύει : > + Από Θ.Μ.Τ για την στο [ +, ] θα υπάρχει ξ ( +, ) : (ξ ) = Έστω g() = ln Από Θ.Μ.Τ για την g στο [ +, ] θα υπάρχει ξ ( +, ) : g( ) - g( + ) ln - ln( + ) - ln( + ) g (ξ ) = = = Όμως () = < =g () για κάθε (+ () ) ( ) - ( + ) - -

126 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) ( ) - ( + ) - ln( + ) Άρα (ξ ) < g (ξ ) < ( )( + ) - ( + ) < - ln( + ) αφού - - > Δ. Από Δ είναι Όμως Άρα lim = + > ( ) - ( + ) ln( + ) ( ) - ( + ) < - ln( + ) < - ' > + για κάθε ( ) - ( + ) ln( + ) < < - και ln( + ) lim = lim + = - + Από Κ.Π και ( ) > ( + ) ln( + ) lim - = - = + ( ) - ( + ) lim = + ( ) - ( + ) ( ) - ( + ) > n > Ε. Θεωρούμε συνάρτηση h() = ( -)[ () - ( +)]+( - ) ( + ),> h συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχων ' h() = -() < γιατί > () > () () > - () < h() = () - () > (*) h() h() < και από Θ.Bolzano η εξίσωση h() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). (*) Θα δείξουμε ότι () - () > () - ( + ) ( + ) + = - - Από Θ.Μ.Τ για την στα [, ] και [, ] υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, ) ώστε: () - () (ξ ) = = () - Η είναι κοίλη άρα ( () - () και (ξ ) = = () - () - ξ ξ (ξ ) (ξ ) () > () - () () > () () - () > ΣΤ. Για το () d θέτουμε - = (u) τότε Για = - (u) = u = () u = Για = - (u) = Άρα u - +u- +u- u d = ( ) (u) du = ( ) du = ( + )du u

127 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) () d + (() - ) = - () ( ( u )) () u u ( + )du + (() - ) u +u- () u +u- u - ( + ) ( u) du + (() - ) = - ( u) +u- u () u u du + u du + (() - ) = () ()( - ()) () - 6() + 9 = 7 Η σχέση () για = δίνει : = () u u ( + ) du + (() - ) = () () () - ( -) + () + () - 6() + 9 = () () () + = ln + = = - () Λύνει ο : Παντελής Δέτσιος (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (, + ) με () () + = ln +, > () () Α. Με παραγώγιση της () έχουμε () + () = () = > () (+ ) εφόσον είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη θα είναι (A) = lim (), lim () + Από την γνωστή ανισότητα +, έχουμε + () () + () + () + ln + () + () ln () () lim ln = - άρα και + lim () = -, συνεχίζοντας () () ln - () - ln ln - () ln - ln () ln + ln (A) = (-, + ) =, όμως + lim ln+ ln = +, άρα και +, όμως άρα ' κι > () () - ln + ln lim () = +, οπότε + Β. Εφόσον ( ') είναι και - '' άρα αντιστρέψιμη με : (, + ) και από () για () = y έχουμε y y+ - y + = ln + = οπότε y () = Β. Παρατηρούμε ότι () = = () = () - () ln+ - () ( ) = ln (ln) = = ln + - = () () () () = () + - = που επαληθεύεται για κι εφόσον για την () () g() = + -, g () = () + > η g( '), άρα η = μοναδική λύση ln ()

128 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Άρα Γ. Από Α. έχουμε () =, > που είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγίσι() (+ ) μων συναρτήσεων άρα ( ) ( ) ( ) ( ), για ( ) άρα η είναι κοίλη Γ. () =, οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Μ(,()) είναι y - () = ()( -) y = ( -) κάθε με το '' '' να ισχύει μόνο για = - - α + (β) = ((α) +β + ) α - (α) = β - (β) + (), η () για =α δίνει (α) α - α - (α) εφόσον - (β) > από την () έχουμε κι εφόσον είναι κοίλη θα ισχύει () ( -) () για με το '' '' να ισχύει μόνο για α =, ( - (β)) ( - (β) -) β - (β) - β - - (β) - β - - (β) + - ισχύει μόνο για (β) = () = β β = και από () πρέπει - α - (α) = και β - (β) + = άρα α = και β = με το '' '' να Δ. Από την () για + και έχουμε (+) ( ) ( + ) + = ln( + ) + και ( ) + = + οπότε για > έχουμε (' ) (+) ( ) + < ( + ) < ( ) < και αντικαθιστώντας από τις παραπάνω ισότητες προκύπτει ln( +) +- ( +) < +- ( ) ( ) - ( +) < - ln( +) Δ. Από Δ. έχουμε > ( ) - ( + ) - ln( + ) < ( ) - ( + ) < - ln( + ) < < ln( + ) l lim = lim = + DLH οπότε - ln( + ) ln( + ) lim = lim - = - = + + και άρα από κριτήριο παρεμβολής ( ) - ( + ) lim = +

129 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Ε. Θεωρούμε την συνάρτηση h() = ( -)(() - ( +)) +( - )( + ), [,] που είναι συνεχής από πράξεις συνεχών συναρτήσεων, ' h() = -() < εφόσον < () < () < (), h() = () - () > εφόσον () - () > () + () - () > () () - () > () - () () - () () - () > (ξ ) > (ξ ) από Θ.Μ.Τ. με ξ (,), ξ,, όμως κοίλη - - άρα η () και (ξ ) > (ξ ) ξ < ξ που ισχύει διότι <ξ < < ξ <. Έτσι από Θ. Bolzano υπάρχει (,) ώστε h( ) = ( -)( ( )- ( +)) +( - )( + ) = που εφόσον - >, - < ( ) - ( + ) ( + ) γίνεται + = - - ΣΤ. Η ζητούμενη ισότητα γίνεται () () d = - + () - οπότε () () d = (ln)'()d = ln() () - ln ()d = () - (() + -) ()d = u = () du = ()d () u u u () () = () - (u + -)du = () u = () () + = u = () = u = () (*) () () = () () - () + = - + () - () () (*) από την () για = προκύπτει () + = ln + = - (). (u) Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Έστω g() = +, παραγωγίσιμη με g'() = + >,. Αρα g και -. () Τότε () + = ln +,για κάθε (, + ) g(()) = ln +,για κάθε (, + ). Έστω ότι υπάρχει y : () y για κάθε (, + )τότε g(()) g(y) για κάθε (, + ) ln + g(y) για κάθε (, + ) g(y)- ln g(y) - για κάθε (, + ) για κάθε (, + ), άτοπο αν επιλέξου- με g(y)- =. Άρα για κάθε y υπάρχει (, + ) : () = y και τότε (, + ) = B. Στη δεδομένη σχέση τα δυο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις οπότε

130 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) () + () = ln + '() + '() () = '()(+ () ) = > () και + > άρα '() > και τότε η ' και -, άρα αντιστρέψιμη. - Τότε αφού (, + ) = θα είναι : (, + ). Για κάθε - y υπάρχει (, + ) : y = () = (y) ((, + ). - = (y) () - ( (y)) - y - Άρα () + = ln + ( (y)) + = ln (y) + y + = ln (y) y + - = ln (y) (y) = y y+ - y - B. Έστω d() = + -, τότε Από την δεδομένη σχέση για = είναι () () () + = () + - = d(()) = d() () = d'() = + >,άρα d ' και - με d() = Έστω H() = () - ln - +, (, + ) παραγωγίσιμη με () - H'() = '() - -, (, + ) H'() = - - = - <, άρα η Η () () (+ ) (+ ) είναι ' στο (, + ) και -. Είναι Η() =. ln () () - () ln+ - ( ) = ln = (ln) = () = ln + - H - () - ln - + = H() = = d - () () + - () () () + - '() (+ ) Γ. '() = ''() = - ''() = - () () () (+ ) (+ ) (+ ) () () + - () () () (+ ) ( ) + + () ''() = - ''() = - <, (u + u + <,u = ), () () (+ ) (+ ) άρα κοίλη Γ. Από τη σχέση Έστω - α + (β) = ((α) +β + ) αναγκαία είναι α >, β - (β) = γ β = (γ), γ > και η παραπάνω σχέση γίνεται α + γ = (α) + (γ) + (α) - α + + (γ) - γ + = (*) Είναι () =, '() = = (+ () ) η εφαπτόμενη της C στο,() είναι η () ε : y - () = '() ( -) άρα( ε ) : y = -.

131 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Τώρα η είναι κοίλη στο (, + ) άρα () - για κάθε (, + ) με την ισότητα να ισχύει μόνο για το σημείο επαφής (,) της (ε) με τη C. Οπότε για =α είναι (α) α - (α) - α + για =γ είναι (γ) γ - (γ) - γ + Αν (α) - α + < ή (γ) - γ + < τότε δεν θα ισχύει η (*). Συνεπώς (γ) - γ + = και (α) - α + = που όπως προαναφέρθηκε οι ισότητες ισχύουν μόνο - για το σημείο επαφής, άρα α = και γ = (β) = β = () β =. Δ. Έστω g() = () - ln, (, + ) παραγωγίσιμη με () - g'() = '() -, (, + ) g'() = '() - g'() - = < () () (+ ) (+ ) g (, (, + ) > = u >, είναι lnu < u - ln < - > +g( ) < g( +) ( ) - ln < ( + ) - ln( + ) ( ) - ( + ) < - ln( + ) g ( ' Δ. για > > + ( ) > ( + ) ( ) - ( + ) > ( ) - ( + ) - ln( + ) άρα < ( ) - ( + ) < - ln( + ) < < - ln + - lim = lim + = = lim, άρα από Κ.Π είναι DLH ( ) - ( + ) lim = + Ε. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την στα [,], [,] θα υπάρχουν () = k (,),m (,) : '(k) = () - () = (), '(m) = () - (),όμως ' ( άρα k < m '(k) > '(m) () > () - () () - () > Έστω H() = ( -)(() - ( +)) +( - )( + ), [,] συνεχής H() = - () < H()H() <. H() = () - () > Άρα από Θ.Bolzano η Η έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ) συνεπώς () - ( + ) ( + ) H() = ( -)(() - ( + )) + ( - )( + ) = + = - - έχει τουλάχιστον μια ρίζαστο,.

132 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) () () ΣΤ. () + = ln + () + = = () () () '() = = + = ()(+ )'() άρα () (+ ) '() () () Ι = d = ()(+ )'()d θέτω u = () du = '()d για = u = () = για = u = (), συνεπώς (), u u Ι +(() - ) u(+ )du +(() - ) = u(u + )'du +(() - ) = = () u u = u(u + ) - (u + )du + (() - ) = () u u u = u(u + ) (() - ) = () u u = u + u - + (() - ) = () () = () + () () - 6() + 9 = () = () + () - - 6() + 7 = = () + - () () - - 6() + 7 = 7 () () () Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Για > είναι : () + () = ln + () () + () = + () ()( + ) = () = > () Συνεπώς γνήσια αύξουσα στο (, ), και επειδή συνεχής ως παραγωγίσιμη στο (, ), συνολο τιμών θα είναι: ((, )) = ( Όμως () < () + Επίσης αν h() = () ln +,, h () = lim () +, + lim () ). lim (ln + ) = - οπότε lim () = h () = =, h () > >, h () < <. Δηλαδή η h παρουσιάζει ελάχιστο το h() =, επόμενα Οπότε () + Αν θέσω u = ln + Άρα ((, + )) =. ln + < + >. () > ln. () και για > έχω ln +, lim u = +, οπότε lim () =

133 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) B. H αντιστρέφεται ως γνήσια μονότονη. Θέτοντας () = y στην αρχική σχέση έχουμε: y + y = ln + y + y - = ln = y y + -. Αρα () =,. B. Εχουμε - () = () = και () =. Η δοσμένη εξίσωση είναι: ( () ) = ln () = - (ln) () () () = () =. Αν τώρα για > δ() = () + -, δ () = ln () ln+ - () ln+- = = () = ln + - () () + >, δηλαδή δ() γνήσια αύξουσα στο (, + ), οπότε είναι -, και επειδή δ() = θα είναι δ() = δ() = δ() =. Γ. Έίναι () =. Έστω < < > () +. Οι συναρτήσεις και είναι γνήσια αύξουσες και ως εκ τούτου : ( ) < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + < ( ) + > ( ) ( ) < ( ) + ( ) + > ( ) > ( ). ( ) + ( + ( ) ( ) ) Οπότε γνήσια φθίνουσα στο (, + ). Αρα κοίλη στο (, + ). Γ. Η αποδεικτέα σχέση γράφεται: ( α) - α = - ( β) - β -. Προφανώς α >. Έστω d() = - () - -,. + - d () = (+ ) -, d () = (+ ) = ( + Tώρα είναι d () > d γνήσια αύξουσα οπότε : + > d () > d () = συνεπώς d γνήσια αύξουσα στο [, + ), + - ). < d () < d ()= συνεπώς d γνήσια φθίνουσα στο ( -,], και η d παρουσιάζει d. ολικό ελάχιστο στο =. Επόμενα d(β) () Επίσης θέτω ζ() = ζ () =, ζ () > (, + ). Όμοια ζ ( )< >., > τότε () > () > () < (διότι γνήσια φθίνουσα στο Συνεπώς ζ γνήσια αύξουσα στο (, ], γνήσια φθίνουσα στο [, + ), σιάζει ολικό μέγιστο στο =. Επόμενα ζ(α) ζ (α) - α -. () Από τις σχέσεις (), () προκύπτει ότι η αποδεικτέα ισχύει για α = και β =. δηλαδή παρου-

134 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Δ. Θέτω στο (, + ) β() = () - ln, β () = () - < διότι β() γνήσια φθίνουσα στο (, + ). Επειδή για > () = > + (αποδείχτηκε στο Α ερώτημα) θα είναι < οπότε + () β( ) < β( ) ( ) - < ( + ) ln( + ) ( ) - ( + ) < ln( + ) στο (, + ). Δ. Eστω θ() = ( ), φ() = ( + ). Τότε θ () = ( ) θ () = ( ) =, φ () = ( + ) φ () = () =, άρα: ( ) - ( + ) ( ) - () ( + ) - () lim li m - = lm i + + ( ) - () + + θ() - θ() φ() - φ() = lm i lim θ () φ () = + + ( + ) - () lim Ε. Από θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση στα διαστήματα [,], [,] υπάρχουν ξ, ξ με < ξ < < ξ < και (ξ ) = () - (), (ξ ) = () - (), κοίλη στο (, + ) επόμενα (ξ ) > (ξ ) () - () > () - () () > () (διότι () = ). Θεωρώ τη συνάρτηση s() = ( - )() - ( - )( + ) + ( - )( + ). H είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Επίσης s() = - () < διότι γνήσια αύξουσα, < () < () < ( ) s()=. Άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει ρ(,) ώστε s(ρ) = ρ(ρ - )(ρ) - (ρ - )(ρ + ) + (ρ - )(ρ + ) = ρ(ρ -)(ρ) - (ρ -) ρ + + (ρ - )(ρ + ) ρ(ρ) - (ρ + ) (ρ + ) = + =. (ρ -)(ρ - ) ρ - ρ - ΣΤ. Εχουμε: () d = ()(ln) d = [()(ln)] - ln d =() - () ()(() + -)d = = () - ()()d - = () - () () () d + ()d = () - ( () -) +. () Όμως από την αρχική συνθήκη για = προκύπτει ότι: () + () =. - () + () =

135 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Επόμενα () d () - () Αρα () d + ( () -) +() = () - (() - ) = 6 () - () -+ () (- ()) +() = () - () - 6 () + 9 = 7. () -. Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Το σύνολο τιμών της είναι το ΠΟ της -. Για να είναι το ΣΤ της το θα δ.ο. y η εξίσωση y = ()έχει λύση στο (, ). Έστω ότι > : ( ) = y (). Αν = τότε η δεδομένη αρχική σχέση δίνει () y ( ) y y+ - ( ) + = ln + y + = ln + = (μοναδική πιθανή ρίζα). Θα δ.ο. για = y y+ - ισχύει ( ) = y. Λόγω της αρχικής είναι, όπου g() = + -. () = > ' στο (, ) άρα - δηλ. αντιστρέφεται. ( + ) Β. () Αν θέσω - () στο η δοσμένη γίνεται: - - ( ()) ( ()) + = ln () + () =, Β. - () = () = με το λύση της εξίσωσης που ισοδύναμα γράφεται: αρχική ln - () ln+ - ln+- () (ln) = = = () = ln + - Û () - ln = - - = - () + - = με μόνη ρίζα το ως '. Γ. () () ( + ) + ''() = - < () ( + ) δηλ. κοίλη στο (, ). Δ. Η ζητούμενη ισοδύναμα γράφεται: ( ) - ln( ) < ( + ) - ln( + ) g( ) < g( + ) με g(t) = (t) - lnt,t >. Είναι (t) g (t) = - < άρα g ( κι επειδή (t) t(+ ) για > θα είναι g( + ) > g( ) οεδ. + < Δ. Με > κοντά στο είναι > + ' ( ) > ( +) ( ) - ( +) > : ( ) - ( + ) >.

136 Προταθηκε απ τον Ηλια Ζωβοιλη (8//6) Διαιρώντας με την ανισότητα της Δ έχω: και ln( + ) lim (- ) = (d l Hospital), + Τέλος από κρ. παρεμβολής είναι ( ) - ( + ) ln( + ) < - lim =. + ( ) - ( + ) lim =. + Ε. k() = ( -)(() - ( +)) + ( + )( - ), [,] συνεχής με k() = ()(-) < (αφού ' και () = ) Ακόμα h() = () - () = () - () - () - () = (ξ )- (ξ ) > με ΘΜΤ και μονοτονία. Από Bolzano προκύπτει το ζητούμενο. ΣΤ. Είναι ()( + ) = και από την αρχική () () () + = () () () () () () () + d = ()(() + )'d = ()(() + ) - ()(() + )d = () () () () () () () ( ) = ()(() + ) - 'd - ( )'d = () - - = () - - () = () - -. Αν I το πρώτο μέλος της αποδεικτέας τότε έχω: () I = () () - 6() + 9 = 7. () + =

137 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) π π Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, π π,, π - (β) + (α) - (β) + (α) <, < α < β < 4 Α. Να δείξετε ότι (α) < (β) Β. Να βρείτε την μονοτονία της π π Γ. Αν () = και '() = + (), -, (). Να αποδείξετε ότι () = εφ. Αν η είναι συνεχής στο, να δειξετε ότι η η ανίσωση : [( )'()] - [( )'()] - ( ()) - > για την οποία ισχύει : παραγωγισιμη στο και να λυθεί. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα σημεία Μ,y τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις : π 4 και y ln Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης Α. Θεωρούμε την g() = - (β) + (α) g() = - (β) + (α) g = - (β) + (α) 4 Από την υπόθεση g()g < οποτε από Θ.Β. για την g στο, η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Δηλαδή, Δ 4(β) - 4(α) ()β (α) και επειδή η είναι τότε (α) < (β) Β. Βασική Άσκηση Αν η είναι συνεχής και ένα προς ένα στο Δ τότε η είναι και γν. μονότονη στο Δ. Απόδειξη Έστω,,γ Δ με < < γ και θεωρούμε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη οπότε έστω ότι θα ισχύει ( ) < (γ) < ( ). Τότε από ΘΕΤ στο [, ] υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) = (γ) = γ, Άτοπο (, ). Άρα θα ισχύει ότι ( ) < ( ) < (γ) ή (γ) ( ) ( ). - π π παραγωγισιμη άρα συνεχής στο -, και συμφώνα με την παραπάνω βασική άσκηση και γνησίως μονότονη. Επειδή α < β με (α) < (β) η είναι γνησίως αύξουσα.

138 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) Γ. ημ. Θέλω να δείξω ότι () = εφ () = () συν - ημ =. συν Θέτω h() = () συν - ημ () h () = () συν - ()ημ -συν h'() = (+ ()) συν - ()ημ - συν h'() = () συν - ()ημ h'() = () (()nσυν - ημ) h () - () h() = Έστω F μια αρχική της () h()=() συν-ημ h () = () h() Τότε -F() -F() -F() h () - F () h() = h () - F () h() = ( -F() h())' = -F() h() = c. Για = c = Οπότε -F() h() = h() = () συν - ημ = () = εφ. π - - u- () - () lim = lim 4 = lim = = - π π u (u) - u π π 4 4 (u) π u- 4 *θέτουμε = (u) άρα Αφού (A) = τότε π u. Άρα 4 ( ()) Θεωρούμε την συνάρτηση, [( )'()] -[( )()] - ( ()) - > + - ( )'() = h() = -, h() = ln - < h ( > h ( - - > - h( + ) > h() +< < -. π π Για < < : εφ > εφ + > ln(εφ + ) >. Θέτουμε u = -, d = - du 4 4 π π π π -εφu Ε = lnεφ - u + du = ln + du = ln du = 4 + εφu + εφu π π 4 4 = (ln - ln(+ εφu))du = lndu - E π π π 4 Οπότε, Ε = lndu - E Ε = ln Ε = ln τ.μ. 4 8

139 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) Λύνει ο : Ηλίας Ζωβοΐλης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ με τύπο φ() = - (β) + (α). φ συνεχής στο, ως πολυωνυμική φ φ() <, οπότε σύμφωνα με το Θ.Bolzano, η εξίσωση φ() =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,.επειδή όμως πρόκειται για τριωνυμική εξίσωση θα είναι Δ 4 ((β) - (α)) (β) (α). Γνωρίζουμε όμως ότι : - α β (α) (β) και έτσι προκύπτει α β. Β. Η συνάρτηση είναι συνεχής και - στο π π τονη στο -,, δηλ.: ή γν.αύξουσα στο ή γν.φθίνουσα στο π π, π π, Αν υποθέσουμε ότι γν.φθίνουσα στο γν.φθίνουσα α β (α) (β),που είναι ΑΤΟΠΟ. Επομένως γν.αύξουσα στο π π,. π π -,,επομένως θα είναι και γν.μονό- π π,,έχουμε: Γ. Θεωρούμε συνάρτηση συνάρτηση g με τύπο g(), G. και έστω G μια αρχική συνάρτηση της g στο με Είναι G () = g() =, και για κάθε + π π -, ισχύει: γν.αύξουσα π π Γ. Αν Α = -,, τότε (A) = lim (), lim () = (-,+ ) συνεχής + - π π - π π και έτσι για κάθε -, είναι - = (ψ), ψ, οπότε: G(()) = G(( (ψ))) = (ψ) G(ψ) = (ψ), ψ και έτσι αποδείξαμε ότι Επομένως + - ( )'() = G'() =, και - ( )'() =. - G =.

140 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) Σχόλιο: Δεν χρησιμοποιήθηκε το δεδομένο της συνέχειας της - Επειδή ( )'() = και ( ()) - στο!, για κάθε, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: > Θεωρούμε τη συνάρτηση λ με τύπο λ () = - ln <,. Έτσι : λ() = > λ () - λ () - - >, lim (),για την οποία είναι - (λ () - λ () - - ) > (λ () (λ() - ) - ( + )) > () Για -, η () ισοδύναμα γίνεται: λ() - + λ γν.φθίνουσα λ() - > - λ() < λ(-) λ() < < + λ γν.φθίνουσα λ() - < - λ() > λ(-) λ() > < + ( + ) λ () - > Αποδείξαμε λοιπόν ότι για κάθε (-, - ) (-, + ) ισχύει λ() - <, οπότε + και λ() - λ () - < και έτσι () < -. + Για = -, η () είναι προφανώς αδύνατη. Επομένως: > < -. () Γ. Προφανώς το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με Θέτουμε π u = - 4 και έτσι du = - d, οπότε: π π 4 4 ln(+ ()) d = π π π π ln(+ εφ) d π -εφ ln(+ εφ) d = ln(+ εφu) d = ln+ εφ - d = ln+ d = 4 + εφ Επομένως π π π = ln d = ln d - ln(+ εφ) d. +εφ π π 4 4 ln d π ln(+ εφ) d = = ln. 8

141 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Θέτω g() = (α) - (β) +, (α) και 4 g() = (α) - (β) + 4, (α) (β) (α) - (β) + g = - + = Ισχύει g()g < λόγω της δεδομένης ανισότητας. Αν η Δ του g είναι <, τότε το g είναι ομόσημο του (α) για κάθε ομόσημο του (α) δηλαδή >, άτοπο από την υπόθεση., άρα το g()g Αν Δ =, τότε το g είναι ομόσημο του (α) για κάθε, εκτός της ρίζας του, δηλαδή το g()g άτοπο. Άρα Δ > (β) - (α) > οεδ. Aν (α) = τότε από τη αρχική ανισότητα είναι (β) με το = να μην ισχύει λόγω -. Άρα (β) > (α). π π Β. Έστω ότι η δεν είναι γν. μονότονη. Τότε υπάρχουν,, -, με < < και ( ) > ( )και ( ) > ( ). Από το ΘΕΤ, αν u με ( ) < u < min ( ),( ), υπάρχει α (, ),β (, ) με (α) = u = (β). Αλλά η είναι - άρα α = β, άτοπο αφού <α < < β <. Άρα η γν. μονότονη και αν είναι (θα είναι (β) < (α) άτοπο. Άρα '. Γ. Ισχύει - ( ()) = για κάθε στο σύνολο τιμών της. Η - είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (οι C,C - συμμετρικές ως προς y = και παραγωγίσιμη) και πα- ραγωγίζοντας την προηγούμενη ισότητα έχω: ( ())( ) () = ( ) () = = = ( ()) + ( ()) π π Θέτω g() = εφ, -, και έχω (ομοίως με πριν): - (g ) () = = = συν y = =, με - g (g ()) g (y) + εφ y + - ( ) () = Άρα και επειδή (g ) () g () = () + c g () = () y = () (y) = = εφy. - y = g () - - () = = () = g () c =. = g(y) = εφy. Άρα - - () - () Γ. Πρέπει να είναι πραγματικός το lim. - π - π Επειδή - είναι ( ) = () = και το lim θέτοντας u = () = (u) γράφεται:

142 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) π u- lim 4 = lim = =, αφού η εφ είναι παραγωγίσιμη στο π με τιμή π π u (u) - u (u) π π u- συν 4 4 π - παραγώγου και limu =. Άρα ( ) () =. 4 Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: > -( + ) - - > και θέτοντας η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: φ ( φ( +) > φ() + < < -. φ(t) = - t t Γ. Η συνάρτηση ln(+εφ) είναι συνεχής και στο είναι το: π 4 Ι = ln(+ εφ)d που θέτοντας π u = - γράφεται: 4 π, 4, άρα το ζητούμενο εμβαδόν π π π π π -εφu - εφu ln+ du = ln + du = ln du = lnd - ln(+ εφ)du +εφu + εφu + εφu εφα + εφβ (έγινε χρήση του τύπου εφ(α +β) = ). -εφα εφβ Άρα πln πln Ι = I = τμ 4 8 Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. Α. - (β) + (α) - (β) + (α) < 4 είναι (α) (β) αφού -. Aν (α) > (β) τότε - (β) + (α) - (β) - (β) + (α) - (β) < - (β) + (α) - (β) - (β) + (α) - (β) >, άτοπο, άρα (α) < (β) π π Β. Αν η δεν είναι γν. μονότονη τότε θα υπάρχουν,, -, με < < ( ) < ( ) και ( ) < ( ), (οι ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν αφού η είναι - ).Έστω k = ( ), m = ma(( ),( ))

143 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) τότε αφού η είναι συνεχής στα [, ],[, ] και k > m, για κάποιο l (m,k) από ΘΕΤ θα υπάρχουν c (, ), c (, ) : (c ) = l = (c ), άτοπο αφού -. Άρα η γν. μονότονη π π στο -,. αν υποθέσουμε ότι είναι γν. φθίνουσα τότε για α < β (α) > (β) άτοπο άρα η είναι γν. αύξουσα. Γ. ος τρόπος ππ -, '(t) '(t) '(t) = + (t) = dt = dt + (t) + (t) u = (t) '(t) () dt = du = (*) + (t) + u π π Θέτω u = h(θ) = εφθ, θ -,.Είναι γνωστό ότι η h είναι γν. αύξουσα και - με π π h-, = άρα έχει αντίστροφη για u = εφθ = θ =, για - - π π h, με h ( ) = -, - u = () εφθ = () h(θ) = () θ = h (()), άρα - - h (()) h (()) (*) dθ= dθ= +εφ θ συν θ π π - h (()) = () = h() = εφ, -, Γ. ος τρόπος φ(t) =, είναι συνεχής άρα έχει παράγουσα, έστω την t + Η H: με H'(t) = > και H() = οπότε H' και - t + π π τότε για κάθε -, η εφ παίρνει όλες τις τιμές στο και H'(εφ) = = συν H'(εφ) = (εφ)' H'(εφ) = εφ + συν c = (H(εφ))' = H(εφ) = + c H(εφ) =, είναι '() + () = '() = + () =, () π π -, για κάθε t είναι H'(t) = και θέτοντας t = (), για t +,τότε du = dθ, συν θ () π π -, είναι

144 Προταθηκε απ τον Δημητρη Χατζακη (4//6) H'(()) = '() H'(()) = '() () + () + () H - H(()) = H(()) =H(εφ) () = εφ () = H(()) ' = H(()) = + c c = Γ. - π () = u = (u) = εφu = u = 4 λόγω συνέχειας της - στο είναι π - - lim () = () = 4 π π u - u u = - () - () () '() = lim = lim = lim = - π π u (u) - u π 4 4 lim = = π u π π 4 (u) - ( ) '( ) 4 4 π u- 4 (u) - ( ) 4 Γ. Έστω π G() = ln(+ ()),, 4 συνεχής. Στο π, 4 είναι () ln( + ()) G(). Το ζητούμενο χωριό είναι π. Ω = C, ', =, = G 4 π π π π u = π 4 π E = G()d = ln( + ())d = ln( + εφ)d = - ln + εφ( - u) du = 4 π π π -εφu 4 π 4 4 ln + εφ -u du = ln + du = ln du = +εφu 4 + εφu π π πln 4 4 = ln du - ln(+ εφu)du = - Ε 4 Aρα πln πln E = - Ε E = 4 8

145 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει -() -() dt = ''() -, για κάθε ''() t + παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο =, το - α) Να δείξετε ότι η είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο και () = ln +, για κάθε. β) i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της ii) Να βρείτε τα, για τα οποία = 4. γ) i) Να δείξετε ότι () '(), για κάθε. ii) Να βρείτε την εφαπτομένη τής C, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. δ) i) Να αποδείξετε ότι για κάθε α,β με α < β ισχύει η σχέση β α +β ()d α (α) + (β). β - α ii) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ξ ()d ()d ξ = + ξ ξ - ξ - Λύνει ο : Μάριος Βώβος Επειδή η παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο, το προκύπτει ότι () = (Frmat) και επιπλέον δίνεται ότι () = α) Έχουμε: t + ' dt = dt = dt = t + = t + t + t + t t -() -() -() -() ''() ''() ''() ''() -() ( ) + - (''()) + -() -() -() -() ''() - = ( ) + - (''()) + ''() + (''()) + = + ( ) +, (). Θεωρούμε τη συνάρτηση γίσιμη στο, με παράγωγο g Όμως, είναι: g() = + +, για κάθε. Η συνάρτηση g είναι παραγω- ', για κάθε. + > = > g'() >, και επειδή η συνάρ- τηση g είναι συνεχής στο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα και " " g:- -() -() () : g(''()) = g( ) ''() = Προφανώς, αφού η συνάρτηση, για κάθε, σχέση. -() είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγω- γίσιμης συνάρτησης, και η συνάρτηση ''() θα είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως, η συνάρτηση είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο.

146 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) () ''() () () () : -() = ln''() -'() = () + '()''() = = ''() + ()'() = c c = ''() = '() =. Άρα, Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το ''() + ('()) =,. και έχουμε: () () () () () () () () ''() +('()) = ''() + '()( )' = ( )'' =, για κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση () h() =,. Επομένως: h''() = h() h''() + h'() = h() + h'() h''() + h'() = h() + h'() = h'() = h() + c c = - h'() = h() = Άρα: h'() = h() - h'() - h() = - h'() - h() = - Άρα, h() = () = ln, για κάθε. - = - h() = + c c = h() =. βi) Ισχύει: '() = = - +, για κάθε. '() = = = - + '() > > > Επομένως, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Άρα, η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση =, το ( ) = () =. Το σύνολο τιμών της είναι το ( ) = [(), lim ()) [(), lim ()) u = u + lim () = lim ln = lim ln = lim ln = + + u u u = lim(ln(u +)- ln(u)) = -(- ) = + + u u = u + lim () = lim ln = lim ln = lim ln = u u + u + u u = lim ln = lim ln = + u + u u + - (β) + (α) - (β) - (β) + (α) - (β) >. Επομένως, ( ) = [, + )., άτοπο, άρα (α) < (β)

147 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) βii) Έχουμε: = 4 ( + )( + ) = = ln = ln + ln = ( ) + ( ) = Από το ερώτημα (βi), έχουμε ότι (), για κάθε. Για = : ( ), με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Για = : ( ), με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε: ( ) + ( ), με την ισότητα να ισχύει όταν ταυτόχρονα = =. Άρα, αυτές είναι και οι ζητούμενες τιμές των,. γi) Για =, είναι που ισχύει. Για >, η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ), άρα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο εν λόγω διάστημα και () - () () επομένως, υπάρχει : ρ (, ) : '(ρ ) = = - Όμως, 4 ''() = >, επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή στο και άρα η ' ( + ) γνησίως αύξουσα. Άρα: ' ' () <ρ < '() < '(ρ ) < '() < < '() < () < '(), για κάθε >. Για <, η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ), άρα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο εν λόγω διάστημα και () - () () επομένως, υπάρχει : ρ (, ) : '(ρ ) = = - ' ' () <ρ < '() < '(ρ ) < '() '() < < '() > () >, για κάθε. Τελικά, για κάθε, ισχύει () '(), με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. γii) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο Μ(,( )) είναι: y - ( ) = '( )( - ), για να διέρχεται όμως, από το σημείο Ο(,) πρέπει και αρκεί να είνα ι: - ( ) = '( )( - ) ( ) = '( ). Από το ερώτημα (γi) έχουμε ότι () '(), για κάθε, με την ισότητα μόνο για =. Επομένως, θα είναι και =. Άρα, η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) : y - () = '()( - ) y =, δηλαδή ο άξονας '.

148 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) α +β δi) Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό z=. Η συνάρτηση είναι συνεχής στα [α,z], [z,β] και παραγωγίσιμη στα (α,z) και (z,β). Οπότε, η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα εν λόγω διαστήματα και επομένως υπάρχουν y (z) - (α) '(y ) = z-α (β) - (z) και '(y ) =. β - z Όμως, η συνάρτηση είναι κυρτή στο ' ' β - z z-α y < y '(y ) < '(y ) (z) < (α) + (β). β - α β - α (α,z) και y (z,β) τέτοια ώστε:, άρα και η ' είναι γνησίως αύξουσα. Άρα: Η εφαπτομένη της στο σημείο Κ(z,(z)) είναι y - (z) = '(z)( - z). Όμως, αφού η είναι κυρτή, κάθε εφαπτομένη της βρίσκεται «κάτω» από τη Επομένως, ισχύει () (z) + '(z)( - z), για κάθε [α,β]. Άρα: α + β ()d (z)dt + '(z)( - z) = (β - α)(z) + '(z)(β - α) - z = (β - α)(z) β β β α α α Επομένως, α +β ()d α. β - α Για την άλλη ανισότητα, είναι β β - z z-α (z) < (α) + (β), έχουμε: β - α β - α β β β (α) β (α) + (β) (z)dz < (z - α)dz + (β - z)dz = (β - α) α α. α β - α β - α C. Επομένως, β α + β ()d α (α) + (β). β - α Σχόλιο: Η παραπάνω ανισότητα είναι πολύ χρήσιμη στα μαθηματικά και είναι γνωστή ως ανισότητα Hrmit Hadamard. δii) Θεωρώ τη συνάρτηση φ() = ( -) (t)dt + (t)dt -, [,]. Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων., σχέση () φ() = - (t)dt = (t)dt, σχέση (4). φ() = (t)dt - Από την ανισότητα Hadamard στο ερώτημα (δi), για α = και β =, έχουμε: + > ln (t)dt () + () - < (t)dt <

149 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Αφού ln < ln < 8 > ( -)( ) >, που ισχύει. Επομένως, φ() > και φ() <, άρα φ() φ() < και από θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ξ ξ φ(ξ) = (ξ - ) ()d + ξ ()d - = = + ξ ξ ξ ()d ()d ξ ξ - ξ - Λύνει ο : Παύλος Τρύφων (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) ος τρόπος για το βii ερώτημα: (απόδειξη ανεξάρτητη από την υπόλοιπη άσκηση) Από τη βασική σχέση =, έχουμε διαδοχικά: +, για κάθε και με την ισότητα να ισχύει μόνο για () () () (4) Αν κάποια από τις σχέσεις (), (), (), (4) ισχύει ως γνήσια ανισότητα, τότε > 4 Άρα + = = = = = 4 = = - = = -- = = ος τρόπος για το δii ερώτημα: (απόδειξη ανεξάρτητη από το δi ερώτημα) Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() = ( -) (t)dt + (t)dt -, [,]. Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. φ() = - (t)dt = (t)dt > (διότι έχουμε αποδείξει () στο, με την ισότητα να ισχύει μόνο για = Άρα () στο [,], με την ισότητα να ισχύει μόνο για =) Επίσης, φ() = (t)dt - < (διότι από τη βασική σχέση ln -, > για το t -t + >,t [,] παίρνουμε

150 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) t -t t -t + + ln -,t [,], με την ισότητα να ισχύει μόνο για Άρα t -t (t) dt < -dt = <, αφού το οποίο ισχύει αφού < < 9 < 7 >,4 > 4 7 < + < + ) t -t + = t = - - < < +,. Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση φ στο διάστημα [,] Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) Θέτω h() = + +. Tότε h () = + + oπότε h γνήσια αύξουσα στο συνεπώς και - ( - < + ). Η δοσμένη σχέση είναι: () () () ''() t () t dt ''() - ( )dt t + t ''() ''() t t -() h( ) h(''()) και επειδή η h είναι - θα είναι Τώρα η -() ''() =. -() g() = είναι παραγωγίσιμη, συνεπώς υπάρχει η () και είναι -() '''() = - () '''() = - ()''()'''() + (('()) )' = ''() + ('()) = c. Όμως επειδή η παρουσιάζει ακρότατο στο = τo θα είναι () = () =, () = και c =. Επόμενα () () () () () () () () () ''() + ('()) = ''() + ('()) = ( '() )' = ( )'' = ( )'' + ( )'. () () () () = ( )' + ( )' + = Κ Για = προκύπτει Κ = (διότι είναι () () '() + = Κ ). Οπότε () () () () () () +() ( )' + = ( )' + = ( ( ))' = ' ( )' = ' = + β. Για = προκύπτει β = - -. Επόμενα +() + () + + = = () = ln. βi) Εχω: + () = ln - - () = ln( + ) - ln, - - '() =, + - '() = =,'() > >, '() < <.Συνεπώς γνήσια φθίνουσα στο ( -, ], γν. αύξουσα στο [, + ) οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο = το () =. Επειδή lim () lim () + θα είναι πεδίο τιμών ( ) = [, + ). + -

151 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) βii) Εχω: = 4 ( + ) + ( + ) ( )+( ) ( )+( ) ( + )( + ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) = διότι για, () > (από βi). γi) Επειδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο = το () = θα είναι (). Aν g() = () - (), τότε g () = () = -(). Επόμενα g'() = =, g'() > >, g'() < <. Συνεπώς g γνήσια φθίνουσα στο ( -, ], g γνήσια αύξουσα στο [, + ) οπότε παρου- σιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο = το g() =. Δηλ. g() () - () () (). Άρα () (). Η ισότητα ισχύει για =. γii) H εφαπτόμενη της C σε κάθε σημείο της (, ( )) ίναι της μορφής (η): y - ( ) = ( )( - ). Για να διέρχεται η (η) από την αρχή των αξόνων θα πρέπει ( ) = ( ) γi). Αρα η ζητούμενη εφαπτόμενη είναι : y =. δi) Θέτω d() = +α (t)dt -( - α), α [α, + ). +α Tότε d () = () - - -α + α > για > α διότι: () ''() συνεπώς α + α + κυρτή στο οπότε από Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [α, ] υπάρχει ξ α, α + - (α) ώστε (ξ ) = α < -α λόγω κυρτότητας. Επόμενα d γνήσια αύξουσα στο [α, + ) δηλαδή α < β d(α) < d(β) β β β + α β + α (t)dt α < (t)dt -(β - α) < α. β - α () + (α) β Όμοια θέτω φ() = ( - α) - (t)dt, [α, + ). Tότε α () () + (α) () () - (α) - α () - (α) φ () = ( - α) + - () = ( - α) - = [ () - ] > - α ] υπάρχει ξ α, ώστε για > α διότι: από Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [α, (ξ ) = () - (α) < () -α λόγω κυρτότητας της.

152 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Επόμενα φ γνήσια αύξουσα στο [α, + ) δηλαδή α < β (β) + (α) (t)dt (β) + (α). β - α β α φ(α) < φ(β) < β - α - (t)dt < α Αρα β α + β (t)dt α (β) + (α). β - α β δii) Ισχύει ότι: ln - ln ()d - ()d - < ()d διότι ισχύει : - - < < - <. Επόμενα ()d (). Επίσης () και επειδή η δεν είναι παντού μηδέν έχω ότι Τώρα θεωρώ τη συνάρτηση Η() = ( -) (t)dt + (t)dt -. Η Η() είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα συνεχών. Επί πλέον Η() < από τη σχέση (), Η() = (t)dt >. Άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ (,) ώστε + ξ ξ ξ ξ ξ (ξ - ) (t)dt = ξ (t)dt + ξ = ξ ξ ξ - (t)dt >. - d Η(ξ) = (ξ - ) (t)dt + ξ (t)dt - ξ = (ξ - ) (t)dt = - ξ (t)dt + ξ (t)dtt (t)dt ξ ξ = + ξ (ξ - ) (ξ - ) (ξ - ) (t)dt ξ (t)dt + ξ ξ ξ(ξ - ) ξ(ξ - ). Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) Η αρχική ισότητα γράφεται ισοδύναμα: -() -() -() -() t + = () () + = () - () -4() -() -() ισοδύναμα έχω: + + = () + + () και θέτοντας g(t) = g = g( ()) () = -() t + + t () επειδή η g είναι 'αφού ισχύει

153 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) g(t) g (t) = >. Η g είναι > γιατί t + t + > - t,t. Από την () έχω την παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγ/μων. Η () γράφεται ισοδύναμα: και με = έχω c =, άρα -() () = - +. Θέτοντας () g() = () -() -() () () = () () ' = - ' () = - + c έχω - - με g() =, g () = και () g () = () () () -() () -() () + g () = () + () - = = () () -() + () + = = - = g(). Άρα g () + g () = g () + g() g () + g() = c που με = γίνεται c = δηλαδή - που με = γίνεται c =. Άρα g () = - g() g() = c - - () + + g() = = () = ln. βi) - - () = = = και είναι () > >, () < <. - + Άρα ' στο [, + ) και ( στο (-, ] με ΟΕ το για =. lim () = + με Το u = + και το ΣΤ της είναι το [, + ). βii) Η δεδομένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα: + - ( + ) - - (- ) + - ( + ) - - (- ) = ln + ln = ( + ) + ( - ) = κι επειδή () () = θα είναι κατ ανάγκην ( + ) = και ( - ) = δηλαδή θα ισχύει + = και - = = = γi) H ανισότητα () προκύπτει από το ΣΤ της. Για την ανισότητα () (), για = ισχύει η ισότητα και για > με ΘΜΤ για την () στο [, ] υπάρχει ξ (,) : (ξ) =. () Επειδή 'από (), θα είναι (ξ) = < () () < () () () Με < με ΘΜΤ για την στο [, ] προκύπτει η ύπαρξη ξ (,) : (ξ) = κι επειδή () 'θα είναι (ξ) > () > () () < (). Διαφορετικά επειδή άρτια θα είναι

154 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) περιττή και με < - > η () θα γίνει : (-) < - (-) () < (). γii) Σε τυχόν σημείο M(,( ))η εφαπτομένη της ( ) = ( ) (). C για =, y = γράφεται: Στο Γ δείξαμε ότι για κάθε ισχύει () < () ενώ για = ισχύει η ισότητα. Δηλαδή η () επαληθεύεται μόνο από το, άρα =. Άρα η εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι η y =. Εναλλακτικά επειδή () = () = η εξίσωση εφαπτομένης της C στο Ο(,) είναι η y =, κι επειδή κυρτή κάθε άλλη εφαπτομένη της απ το Ο. C C δεν μπορεί να διέρχεται δi) Για τη αριστερή ανισότητα θα δείξω ότι [α, β]. α +β Για = ισχύει η ισότητα. Αν ποιεί το ΘΜΤ στα α + β α + β ξ α + β -,, ξ, α + β () + (α + β - ) α + β,β το α + β α + β α + β -,,,, άρα θα υπάρχουν (4) για κάθε στο α + β α + β - α, και η ικανο- α + β α + β - (α + β - ) () - (ξ ) =, (ξ ) =. α + β α + β - - : ' α + β α + β ξ < ξ (ξ ) < (ξ ) - α + β - < () - Ισχύει α + β () - (α + β - ) <. Ολοκληρώνοντας την (4) έχω: α +β () - (α +β - ) α +β d d β - α ()d + ()d = Για το u=α+β- β β β β α α α α β = ()d α τη δεξιά ανισότητα θα δείξω ότι () + (α + β - ) Θεωρώντας φ() = () + (α +β - )στο [α, β] έχω α +β φ () = () - (α +β - ) = = και για α +β < < α +β - () < (α +β - ) φ () < φ ( στο Όμοια με (α) + (β) (5) για κάθε στο [α, β]. α + β α,.

155 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) α +β > > α +β - () > (α +β - ) φ () > φ ' στο Άρα η φ έχει ΟΜ το φ(α) = φ(β) = (α) + (β) δηλαδή ισχύει φ() (α) + (β) στο [α, β] και ολοκληρώνοντας την (5) έχω: α + β,β. u = α+β- β β β (() + (α +β - ))d (α) + (β) d ()d (α) + (β) β - α a α α Η περίπτωση της δεξιάς ανισότητας θα μπορούσε να δειχθεί και γεωμετρικά, αφού για κυρτές συναρτήσεις το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ C, και = α, = β β ()d είναι μικρότερο του εμβαδού του αντίστοιχου τραπεζίου (ή του τριγώνου α (α) + (β) αν (α) ή (β) = ) ( β - α ). δii) Η δεδομένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα: + - ( + ) - - (- ) + - ( + ) - - (- ) = ln + ln = ( + ) + ( - ) = κι επειδή () () = θα είναι κατ ανάγκην ( + ) = και ( - ) = δηλαδή θα ισχύει + = και - = = = Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) t t t dt = ''() - dt = - dt + dt = t + t + t + -() -() -() -() -() ''() ''() ''() ''() όμως τότε Άρα t t + + >. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει ώστε -() -() ''() t t + dt > ή + dt < ''() t + t + () -() -() ''() < ή ''() > αντίστοιχα, άτοπο από (). -() ''() = για κάθε () από την οποία φαίνεται ότι η είναι φορές παραγωγίσιμη. Από την πολ/ντας με '() την () είναι -() -() -() '()''() = '() '() ' = - ' '() = - + c ( ) η έχει ακρότατο στο () = άρα από θ.frmat '() = και τότε από την () έχω c =. () -() Άρα () Έστω '() = - + '() = -''() + ( 4) (4) () () () () g() =,, τότε g'() = '() g''() = ''() + '() () g''() = g''() = g() είναι () g() = = και () g'() = '() =

156 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Έστω H() = g'()-g(), H'() = g''() - g'() + g'() - g() H'() = g''() - g() = H() = H() = c H() = - g'() - g() = - g() = g'() - g() = - g() ' = ( )' g() = + c - - () - - () - + g() = + = + = + () = ln - βi) '() = για > '() > '[,+ ) -() ''() = > ' ' '() = ( είναι - + lim = +, άρα - + lim () = lim ln = +, + + για < '() < (-, ] - + lim () = lim ln = και με '[,+ ), ( (-, ] είναι ( ) = [, + ) και () = είναι ολικό ελάχιστο, ενώ δεν έχει μέγιστο. βii) ος τρόπος + - έστω k = >, m = > τότε η ζητούμενη γίνεται Όμως k + + m + = 4 k m. k + και m + k + + m + 4, όπου οι ισότητες ισχύουν μόνο k m k m για k = m =. Άρα + - k = = και m = = + = και - = = = ος τρόπος που επαληθεύουν ( + ) (- ) = 4 + = + = όμως η έχει ολικό ελάχιστο το, άρα ( + ) και ( - ) οπότε ( + ) (- ) ( + ) (- ) και ³ + με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν ( + ) = ( - ) = + = - = = = που επαληθεύουν. ος τρόπος k -k m -m k = +, m = - τότε η ζητούμενη γίνεται = 4 έστω όμως k k +, για k = m = -k -k +, προσθέτοντας κατά μέλη είναι m m +, για k = m =, άρα + = - = = = -m -m + με τις ισότητες να ισχύουν μόνο k -k m -m με την ισότητα να ισχύει μόνο

157 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) γi) Από το (βi) είναι () για κάθε, ακόμα '() = από ΘΜΤ στο [, ], > ' ' () - () () ξ (,) : '(ξ) = < '() () < '() - <ξ< από ΘΜΤ στο [, ], < ' ' () - () () ξ (,) : '(ξ) = > '() () < '() - <ξ< Άρα για κάθε, () '() γii) Η εφαπτόμενη στο,( ) είναι η y - ( ) = '( )( - )και διέρχεται από την αρχή των αξόνων αν και μόνο αν -( ) = - '( ) ( ) = '( ) Όμως από το (γi) η ισότητα αυτή ισχύει μόνο όταν =. Η εφαπτόμενη στο είναι η y - () = '()( - ) y =. δi) Για την δεξιά ανισότητα : Έστω (β) - (α) G() = () - ( - α - (α), [α,β] παραγωγίσιμη β - α Είναι G(α) = = G(β) και Από ΘΜΤ στο (β) - (α) G'() = '() -, [α,β] β - α (β) - (α) α, β, ξ (α,β) : '(ξ) = β - α Άρα G'() = '() - '(ξ) με G'(ξ) = Για ' ' α < < ξ '() < '(ξ) G'() < Και για ' ' ξ < < β '() > '(ξ) G'() > άρα G(α) = G(β) = μέγιστο και (β) - (α) G() () ( - α) - (α) β - α β β β α α α β α β ()d - αβ - + α - (α)(β - α) α β α (β) - (α) G() d ()d ( - α) - (α) d β-α (β) - (α) β ()d - αd - (α)(β - α) β-α α (β) - (α) β α β - α (β) + (α) ()d α (β) + (α) ()d (β - α) β - α Για την αριστερή ανισότητα : β α ξ β G - + G V U

158 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Η εφαπτόμενη της στο α + β και η είναι κυρτή στο [α, β] άρα είναι η α + β α + β α + β () ' - + β a β a β a β a β α + β α + β α + β ()d ' - + d a α + β β α + β α + β ()d ' - d + β - α d a β α + β α + β α + β ()d ' - + β-α α + β ()d β-α β α α ()d α + β β - α α + β α + β α + β y = ' - + δii) Έστω H() = ( -) (t)dt - (t)dt -, [,] H() = (t)dt >, αφού ( ) συνεχής με + + δi ln () H() = (t)dt - - = - < - = - < - = 4 4 = - < 8 Από Θ.Bolzano ξ ξ (,) : H(ξ) = (ξ -) (t)dt -ξ (t)dt- ξ= ξ ξ (t)dt (t)dt ξ = + ξ ξ - ξ - Λύνει ο : Παντελής Δέτσιος (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) Εφόσον η παρουσιάζει για = ακρότατο το θα ισχύει () = και αφού είναι πα- ραγωγίσιμη στο από Θ. Frmat () = t t t dt = () - dt = - dt I = + dt = t + t + t + -() -() -() -() -() () () () () t + t + dt =, εφόσον t + -() () t + t + > t + αντίστοιχα Ι > ή Ι <, άτοπο άρα ζοντας το ολοκλήρωμα εφόσον t + ' = αν -() -() ή () > προκύπτει () < -() () = (Μπορεί να προκύψει και υπολογί- t t + ), () > άρα ' και () =

159 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) Η παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με -() () = - () = - () () -() -() -() () () = () () () = () () ' = - ' = - () ' () = - () + c, για προκύπτει c = άρα () = - () + () = - () >, οπότε - < () < () () () = () + = + = - () - () + () - () + () - () ' + () ' - + = -ln- () ' + ln+ () ' = ()' - () + () + () + () ln ' = ()' ln = + κ, - () - () για = προκύπτει κ = άρα () + () ' - ln = = () = = = = - - ln + ' - () - () () = ln + +μ, για = προκύπτει μ = -ln, άρα () = ln ln = ln - βi) - () = = - = = () > >, () < <, + άρα η για = έχει ελάχιστο το () = - + u = g() =, lim g() = lim g() = + άρα lim () = lim lnu = + u οπότε (A) = [, + ) V U βii) από τον τύπο της έχουμε () - = + άρα η ισότητα γίνεται = = κι εφόσον ελαχ = () = έχουμε () () () (), οπότε πρέπει + = + = + = = = + = - = - = γi) εφόσον για = η έχει ελάχιστο () () (), αν h() = () - (), τότε -() h () = () - () - () = - () κι εφόσον () = > το πρόσημο της h διαμορφώνεται όπως φαίνεται στον - + h + - h U V

160 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) πίνακα μεταβολών, άρα η h έχει ολικό μέγιστο το h() = και ισχύει h() h() () (), με το ' ' να ισχύει μόνο για = γii) η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο,( ) είναι ε : y - ( ) = ( )( - ) η οποία για να περνάει από την αρχή των αξόνων πρέπει -( ) = ( )(- ) ( ) = ( ), που από το προηγούμενο ερώτημα ισχύει μόνο για =, άρα ε : y = (άξονας ) δi) αλγεβρική λύση: Για την F() = (t)dt γνωρίζουμε ότι είναι παράγουσα της, δηλαδή F () = () α α+ - α - F() θεωρώντας G() = με [α,β] έχουμε α + () - α + α + - α α + G () = - α + - () = -, -α α + α + α < α < από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ α, ώστε α + α + () - () - ξ = = οπότε α + - α - -α α + G () = - ( ξ) > ' α + α + ξ < (ξ ) < για (α,β), εφόσον, άρα G' στο [α,β] και G' β-α > α +β (t)dt β α +β α α < β G(α) < G(β) < β - α - (t)dt < α β - α θεωρώντας () + (α) Η() = F() -( - α) με [α,β] έχουμε () + (α) () () - (α) () - α () - (α) Η () = () - -( - α) = -( - α) = - () - α () - ( α) από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (α,) ώστε ( ξ ) = οπότε -α ' -α Η( ) = (( ξ )- ()) < για (α,β), εφόσον ξ < ( ξ ) < (), άρα H ( στο [α,β] και β

161 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) H( β-α > β (β) + (α) (β) + (α) (t)dt α α < β H(α) > H(β) > (t)dt - (β - α) > α β-α β Γεωμετρική λύση: ΑΒ: (α) - (β) y - (α) = ( - α) που για α -β α +β = δίνει (α) + (β) y= Ω: η περιοχή που περικλείεται από την C, τις ευθείες =α, = β και τον άξονα με () E(Ω) = β ()d εφόσον α Το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με εμβαδόν (α) + (β) E = (διάμεσος) (ύψος) = (β - α) Τ Εφόσον η περιοχή Ω περιέχεται στο τραπέζιο ισχύει β (α) + (β) Ε(Ω) < Ε ()d < (β - α) Τ α β ()d α (α) + (β) <,β - α > β - α Φέρνουμε την εφαπτομένη στο σημείο α +β α +β Κ, οπότε σχηματίζεται το α + β τραπέζιο ΔΛΝΓ με διάμεσο ΘΚ =, ύψος ΔΓ = β - α, εμβαδόν α + β Ε = (β - α) Τ με την περιοχή Ω να περιέχει τώρα το τραπέζιο, α + β β α +β α Ε < Ε(Ω) (β - α) < ()d Τ ()d <, β - α > α β - α Ανάλογα με την σχετική θέση των σημείων Α και Β το σημείο Λ μπορεί να βρεθεί κά- τω από το σημείο Δ, οπότε δεν σχηματίζεται τραπέζιο. Μετατοπίζοντας τότε κατακό- ρυφα κατά c > ώστε το Λ να βρεθεί πάνω από το Δ έχουμε α + β β Ε < Ε(Ω) Τ β - α + c < () + cd α β

162 Προταθηκε απ τον Μαριο Βωβο (//6) β α +β β α +β α α β - α ()d (β - α) + c(β - α) < ()d + c(β - α) <, β - α > δii) Θεωρούμε την συνάρτηση που είναι Φ() = ( - ) (t)dt + (t)dt -, [,] συνεχής αφού είναι γινόμενο και άθροισμα συνεχών με διότι () Φ() = - (t)dt = (t)dt > και όχι () = για κάθε [,], Φ() = (t)dt - <, διότι από προηγούμενο ερώτημα για α =, β = έχουμε () + () () 4 (t)dt < (t)dt < < () < + < που ισχύει, άρα από Θ. Bolzano υπάρχει ξ (,) ώστε ξ ()d ()d ξ ξ ξ Φ(ξ) = (ξ -) (t)dt + ξ (t)dt - ξ = = + ξ ξ - ξ -

163 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Για μαθητές: Αν : συνεχής συνάρτηση, με την ιδιότητα Α) Προσδιορίστε τη μονοτονία της Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της () Γ) Αποδείξτε ότι lim = Για καθηγητές: - () () + = +, για κάθε () Αν : συνάρτηση, με την ιδιότητα () + = +, για κάθε Α) Αποδείξτε ότι η είναι συνεχής στο Β) Αποδείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Γ) Βρείτε (αν υπάρχει) τη συνάρτηση () () - 6() + 5 Δ) Αποδείξτε ότι d = Ε) Αποδείξτε ότι (t)dt lim = Λύνει ο : Παύλος Τρύφων Για μαθητές : Α) Θα αποδείξουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. Υποθέτουμε ότι δεν είναι γνησίως αύξουσα στο. Τότε υπάρχουν, με < : ( ) ( ) () Επίσης, ' ( ) ( ) ( ) ( ) () Προσθέτουμε κατά μέλη τις (),() και έχουμε: ( ) ( ( ) + ( ) + ) + +. Άτοπο αφού δεχθήκαμε ότι : <. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο. Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g: με τύπο g() = + - Τότε g(()) =, και η g είναι «-», ως γνησίως αύξουσα g () = + > Οπότε, g = lim g(), lim g() = lim ( + -), lim ( + -) = -, + = Το πεδίο ορισμού της Άρα, g () = () = g (), Δηλαδή οι συναρτήσεις - g είναι το σύνολο τιμών της g, δηλαδή το -,g είναι ίσες στο Οπότε, (σύνολο τιμών της ) = (σύνολο τιμών της - g ) = (πεδίο ορισμού της g ) = Γ) Η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής. Άρα το σύνολο τιμών της θα είναι το = lim (), lim () Αποδείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι =. Άρα lim () = - () lim =

164 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Για καθηγητές : Α) Γνωρίζουμε ότι () () + = + για κάθε () Έστω. Θα αποδείξουμε ότι lim () = ( ) ( ) H () για = δίνει ( ) + = + (4) () ( ) Αφαιρούμε κατά μέλη τις (),(4) και : () - ( ) + - = - για κάθε (Α). ' ' (Α) () ( ) () ( ) > () > ( ) > - + () - ( ) > () - ( ) () - ( ) < -. Όμως ()-( ) > όταν >. Άρα < ()-( ) < - για κάθε >.. lim = lim ( - ) =. Aπό το κριτήριο παρεμβολής έχω: lim (() - ( )) = (Β) + + ' ' (Α) () ( ) () ( ) < () < ( ) < - + () - ( ) < () - ( ) + () - ( ) > -.. Όμως ()-( ) < όταν < Άρα > ()-( ) > - για κάθε <. lim = lim ( - ) =. Aπό το κριτήριο παρεμβολής έχω: lim (() - ( )) = (Γ) - - Από τις (Β),(Γ) προκύπτει ότι lim(() - ( )) = lim () = ( ). (Η παραπάνω λύση δόθηκε από τον συνάδελφο Ανδρέα Πάτση) - Β) Έστω και κοντά στο. Είναι () ( ) () - ( ) - () ( ) () - ( ) + - = - + = () ( ) () ( ) () - ( ) - () - ( ) () - ( ) - + = + = * * - () - ( ) - - () - ( ) Κάνουμε την αντικατάσταση u = (). Τότε u ( ) καθώς το (διότι η είναι συνεχής στο ) Άρα, Οπότε, () ( ) u ( ) ( ) - - ( u - )' u ( ) lim = lim = lim = lim = > u ( ) u ( ) u ( ) () - ( ) u - ( ) (u - ( ))' () ( ) - >, για κοντά στο και από τη σχέση ** έχουμε () - ( ) () - ( ) () - ( ) = lim = lim = = ( ) ( ) ( ) lim () - ( ) () - ( ) () - ( ) () () () Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο με ( ) = + ( ) Γ) Αποδείξαμε (βλ. «για μαθητές») ότι Άρα, - () = + -, - = g στο. Οπότε = (g ) = g στο. Δ) Η είναι συνεχής στο άρα και στο [,], οπότε ολοκληρώνοντας τη σχέση () () + = + στο [,] έχουμε

165 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) () d + d = ( + ) d d = - () d (*) () () Αρκεί, λοιπόν, να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Είναι, () d () d = () d = () - () d = () - d + Για το ολοκλήρωμα L κάνω την αντικατάσταση Για = u = () =, ενώ για = u = () L u = () du = ()du du = d u + [Σχόλιο: Το () =, διότι για = η αρχική σχέση της υπόθεσης δίνει και εξίσωση Οπότε, - () = εύκολα δείχνουμε ότι έχει μοναδική ρίζα το ] (u) () () u u () d= () - d = () - (+ ) du = () - (u + - ) du = () u () () () + = () ( =-()) u u () () () = () u = () = () - - Άρα η σχέση(*) γίνεται () d = - () d () () - 6() + 5 = - () -- = Άλλος τρόπος (Ανδρέας Πάτσης): Γνωρίζουμε ότι : Έστω ότι : Έστω ότι : () () + = +,για κάθε (). Για = έχω : ' () () > >. ' () () < <. Άρα Άρα () () + () () + >. Άτοπο. <. Άτοπο () () + =. Aφού η είναι παραγωγίσιμη στο έχουμε: () =, () + Aπό την σχέση αυτή προκύπτει ότι η είναι συνεχής στο ώς αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Παρατηρώ ότι : () ( () - 6() + 5)' = ()() - 6 () + 5 = Άρα () ()( + - ) - 6 () + 5 = () () = () + () - () - 6 () + 5 = () - 4 () - ( )'+ 5. () ( () - 6() + 5)' = () - 4 () - ( )'+ 5. Και επειδή και τα δύο μέλη είναι συνεχείς συναρτήσεις έχω : () ( () - 6() + 5)' d = ( () - 4 () - ( )'+ 5) d () () - 6() + 5 = () d - 4 () () ()d = () - 6() - + () Αφού () =. Όμως () = - (). Άρα η () γίνεται και με την βοήθεια της () : () () Άρα () =. () d = () - 4() + () d = () - 4() + () () - 6() + 5 d =.

166 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Ε) Για κάθε έχουμε () () + = + () () + () Άρα, για ισχύει t (t), για κάθε t [,] Ολοκληρώνοντας στο διάστημα [,] προκύπτει ' (t)dt : < 4 t 4 4 (t)dt 4 (t)dt dt = - (t)dt, < Όμως, ' lim = lim = lim = - άρα ' - (t)dt lim = - Λύνει η : Δέσπω Πλατώνη (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για καθηγητές : Για κάθε ισχύει: A) Θεωρούμε συνάρτηση Για κάθε είναι lim g() = lim ( + ) = lim g() = lim ( + ) = Έστω h() = +, () () + = + () g() = +, g'() = + > άρα g 'στο g( ) = (-, + ) = = D - - Η () g(()) = h() () = g ( h() ) = (g h)() () Η g είναι συνεχής στο σύνθεση συνεχών. άρα η οπότε - και αντιστρέφεται. g - - g συνεχής στο g( ) = και συνεχής στο ως Β) Η είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση παραγωγίσιμων. Γ) Παραγωγίζοντας την () έχουμε: () '() + '() = '() ( +) = '() = > άρα 'στο () + αντιστρέφεται. - - Λόγω της () θα είναι ( ) = g ( h( )) = g ( ) = = D - Θέτουμε στην () - () = ψ = ( ψ) ψ - - ψ ψ + = ψ + ψ = + και έχουμε: ( ) ( ) ψ- - () = χ + -, οπότε - και Δ) Ολοκληρώνοντας την () έχουμε: () ()d + d = ( + )d = d = - ()d Για το ()d - u θέτουμε = ( u ) = + u - ()

167 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Τότε Για Για Άρα u d = ( + )du = ( u ) = ( u ) = () u = - = ( u ) = u = ( ) () () - u u ()d ( ( u ))( + )du = u( + )du = = Για το αποτέλεσμα χρησιμοποιούμε ότι () - 6() + 5 () = - () που προκύπτει από την () για =. Ε) Για < και για κάθε t [,] ' (t) t () (t) = t + - t + Άρα () (t) t + ολοκληρώνοντας έχουμε : ()dt (t)dt (t + )dt -() - (t)dt - - () (t)dt + ' () (t)dt + < + (t)dt + + ( + ) lim = lim = - lim () = - (από μονοτονία και σύνολο τιμών της ) lim () = + - lim () () ( () + '() - - () ) = lim = - αφού Από Κ.Π και - (t)dt lim = - (4) lim () = lim = - - () + Λύνει ο : Δημήτρης Χατζάκης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για καθηγητές : () () + = +,(),, Θεωρούμε την συνάρτηση Άρα () h() = + με h () = + > h ' h (()) = () + ( h )() = + με (h )'() = > h ' h ' < ( h )( ) < ( h )( ) h(( )) < h(( )) ( ) < ( ) ' ( ) = στην () : ( ) + = + () Για ' () ( ) () ( ) Α. Έστω > () > ( ) > - > () ( ) () ( ) () -() () - ( ) + - = - () - ( ) = - - ( - ) < - Όποτε : < ()- ( ) < - lim lim ( - ) κριτηριο παρεμβολης lim( () ( )) h ' lim() = ( )

168 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) ' ( ) ( ) Έστω () () > ( ) > () > - > ( ) () ( ) () () -() ( ) - () + - = - ( ) - () = - - ( - ) < - Όποτε : < ( )- () < - lim lim ( - ) Άρα, κριτηριο - + παρεμβολης lim( ( ) () ) lim() = lim() = ( ) lim() = ( ) Β. Για : : - () ( ) () ( ) () - ( ) - () - ( ) + - = - + = - - () ( ) () - ( ) () - ( ) - + = - () - ( ) - () - ( ) = () ( ) - - Όποτε, + () - ( ) + = - () - ( ) () ( ) () - ( ) - () ( ) lim lim () ( ) ( ) - - * + () - ( ) ( ) ( ) - - () u u lim = lim = lim = () - ( ) u - ( ) u ( ) u ( ) ( ) Γ. Η είναι ' άρα και - με - () = + - Δ. Έχουμε () = + () -() () -() u () - 6() + 5 d = (+ u)du = u + = = () () () () * Θέτουμε u =, du = ()d du = d (+ u)du = d () + Νέα άκρα ολοκλήρωσης : u = () = και () () u = u = - () E. Βασική άσκηση : Αν () g() και lim g() = - τότε lim () = - Απόδειξη : lim g() - άρα κοντά στο g() οπότε και () κοντά στο

169 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) () g() - () - g() - - οπότε - - () g() () g() - με lim = αρα απο το κριτήριο παρεμβολής: g() Γνωρίζουμε ότι t t, t (). Βάζουμε όπου t στην () το (t) : () (t) (t) t (t) + + (t) (t) + t + (t) + (t) Αφού το - τότε < (t)dt : 4 t t (t)dt 4 (t) (t)dt dt = (t)dt 4 4 lim = lim = - όποτε από βασική άσκηση lim = lim () = - () () < - (t) dt lim = - Λύνει ο : Παντελής Δέτσιος (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για καθηγητές : () () + = +, () A) Βρίσκω μονοτονία της, θεωρώντας g με άρα g ' C στο, για g() g() = + -, έχουμε () g () = + > ( ) ( ), με < ( ) + - < ( ) + - g ( ) < g ( ) ( ) < ( ), οπότε () στο ( ) Από την () για = έχουμε ( ) + = + (), οπότε από () () έχουμε () ( ) () ( ) () + - ( ) - = - () - ( ) + - = - η () για () () ( ) ()-( ) > () > ( ) γίνεται () - ( ) + ( -) = - (4) από την γνωστή ανισότητα ()-( ) +, έχουμε () - ( ) + ( ) > ()-( ) ( ) ()-( ) ( ) - () - ( ) ( -) (() - ( )) ( ) ()-( ) ( ) () - ( ) + ( -) () - ( ) + (() - ( )) ( ) + > (() - ( ))( + ) () - ( ) άρα < () - ( ) κι ( ) ( ) εφόσον lim = = από κριτήριο παρεμβολής + ( ) ( ) + + lim (() - ( )) = lim () = ( ) + + η () για ' () ( )-() < () < ( ) γίνεται () - ( ) + (- ) = - (5) (4)

170 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) από την γνωστή ανισότητα ( )-() +, έχουμε ( ) - () + () > ( )-() () ( )-() () - ( ) - (() - ( )) (- ) () () ( )- () - ( ) + (() - ( )) () - ( ) + (- ) () + > () - () - ( ) + (() - ( )) - () - ( ) άρα () + ()+ > - - () - ( ) < - () - ( ) < - () - ( ) < και () - () + < + εφόσον οπότε lim ( - ) = - lim () = lim () = ( ) - + από κριτήριο παρεμβολής και η συνεχής στο (5) lim () - ( ) = lim () = ( ), - - Β. () () - ( ) () - ( ) ( ) = lim = lim = lim = () ( ) () ( ) - () + -- ( ) - + () () - = lim = + () - ( ) νεχής οπότε () ( ) ( ) - + lim () = ( ) u u έχουμε που προκύπτει είτε με ο κανόνα DLH, είτε από u h (u ) = = lim = lim h(u) - h(u ) u - u, εφόσον θέτοντας u = (), u = ( ) και η συ- u u - u - u u u u u () ( ) u u - - lim = lim = = () - ( ) u u u - u h(u) = u u άρα, h (u) = u Γ. από Α) εφόσον η g' είναι ' ' άρα αντιστρέψιμη με g(α) = εφόσον lim g() = lim ( + - ) = (- ) + - = -, - - lim g() = lim ( + - ) = (+ ) + (+ ) - = από () έχουμε A = g(a) = = A θα είναι g - για y = () δίνει () - () + - = g(()) = g () = () κι εφόσον - g y y + - = και άρα =, άρα και - : με - g (A) = (A) (A) = A = g, οπότε η () - () = + - Δ. από () για = έχω () = - (), επίσης - ('-') () = κ (κ) = (κ) = () κ = οπότε () () d = ( + - ())d = + - ()d = - ()'()d = - u = () = (u) = - () + ()d = - () + ()d = du = ()d

171 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) () () - u u u = - () + (u)du = - () + (u + -)du = - () u = () () () () () 5 = - () () - = - () () = - () + = () () - 6() + 5 E. από την ανισότητα οπότε για έχουμε + έχουμε, () () () () () + () (' ) t t (t)dt 4 (t)dt dt (t)dt (t)dt + > (t)dt ( < ) (t)dt > <, όμως lim = άρα και - (t)dt lim = - Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για καθηγητές : A) Υποθέτω ότι, με και ( ) ( ). ( ) ( ) Tότε και ( ) ( ) + ΑΤΟΠΟ. ( ) ( ) Συνεπώς, με ( ) ( ) άρα η γνήσια αύξουσα στο. Εστω. Από υπόθεση είναι: () ( ) () ( ). Γιά ισχύει < ()- ( ) < -. Γιά ισχύει ( )- () -. () () ( ), ( ) οπότε Δηλαδή έχουμε () - ( ) και επειδή lim είναι lim () - ( ). Τώρα - () - ( ) () - ( ) () - ( ) επόμενα από κριτήριο παρεμβολής έχω lim(() ( )) lim () ( ). Αρα η συνεχής στο. Β. H συνάρτηση g() = +, παραγωγίζεται με g () = + > δηλαδή g γν. αύξουσα. Tώρα για, () ( ) (διότι είναι - ως γνήσια αύξουσα), g(()) g(( )) () ( ) () - ( ) () - ( ) = g(()) - g(( )) - () - ( ) ( επίσης g, - ως γνήσια αύξουσα), οπότε: g(()) - g(( )) g(()) - g(( )) () - ( ) = = = - () - ( ) - και επειδή θέτοντας () = u, ( ) = u υπάρχει το

172 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) g((() - g(( )) g(u) - g(u ) = lim uu u - u lim () - ( ) () - ( ) lim = - + ( ) = g'(u )= ( ) g ( ) = +, θα υπάρχει το. Άρα η είναι παραγωγίσιμη με () = () +. Γ. Iσχύει ότι - () () < () + lim + = - θα είναι = + και επειδή lim () = -. - Eπίσης από τη γνωστή ανισότητα () + > > () οπότε () () + = + < () επόμενα για > είναι + () > ln και επειδή lim ln = + θα είναι lim () = Όμως συνεχής στο, γνήσια αύξουσα στο, άρα θα είναι πεδίο τιμών της, ( ) =. Η συνάρτηση είναι - ως γνήσια μονότονη, συνεπώς αντιστρέφεται. Αν στη σχέση της υπόθεσης θέσω όπου την - () προκύπτει: = () + () = + -,. Δ. Από την αρχική σχέση έχω : - () = () =. Θέτω () () + =. () () () y y y y d = ( + ) dy = ( + ) dy = = - () + ( - ()) - - ( ) = y ( y) =d = ( - ( y))'dy. Οπότε: y () () y () () + = -+ ( -) = = () - 4() + () - 6() () + =. Ε. Από τη σχέση (t ) dt > Eπειδή Συνεπώς () () + = + () < + +- () > (t - (t)) (t) dt (t) dt (t + ) dt (t) dt. lim ( + ) = + - (t) dt lim - θα είναι lim ( t) dt = + -. dt > = +, oπότε το ζητούμενο όριο είναι της μορφής + και από - εφαρμογή του κανόνα d L Hospital προκύπτει: (t)dt (t)dt lim lim () (- )( )

173 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Λύνει ο : Ανδρέας Μανώλης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για καθηγητές : A) Θεωρούμε τη συνάρτηση Η σχέση () γίνεται : g(()) = +. g() = +, η οποία είναι γν. αύξουσα για κάθε. Η h() = + είναι γν. αύξουσα στο οπότε και η g(()) είναι γν. αύξουσα στο. Για κάθε, με < έχουμε : g ' g ' < g(( )) < g(( )) ( ) < ( ) Έστω τυχαίο. Βάζουμε όπου το στη σχέση () και έχουμε ( ( ) + ) = + () Αφαιρούμε τις σχέσεις () και () κατά μέλη και παίρνουμε : () ( ) () - ( ) + - = - () Για < έχουμε ' () ( ) () ( ) () ( ) < () < ( ) < - < - + () - ( ) < () - ( ) - < () - ( ) Όμως για ' < () < ( ) () - ( ) <. Έτσι - < ()- ( ) < Ισχύει ότι lim( - ) = lim =, οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής + + lim(() - ( )) = lim () = ( ). + + Όμοια βρίσκουμε ότι Οπότε lim () = ( ). lim () = ( ). - Συνεπώς η συνάρτηση είναι συνεχής σε τυχαίο, οπότε θα είναι συνεχής στο. () Β. Για να δείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη αρκεί να δείξουμε ότι για το όριο () - ( ) lim - υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Θέτουμε στο παραπάνω όριο όπου το Για έχουμε y y yo ( ) (y). Όταν τότε y ( ) = y. () - ( ) y - y y - y y - y lim = lim = lim = lim - - y y y y - y y y y y y (y) - (y ) + y y y - y lim = = y y y - y Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με () =. () + +

174 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Γ) H είναι γνησίως αύξουσα, οπότε θα είναι και άρα αντιστρέφεται. Γνωρίζουμε ότι g(()) = +. Επίσης η g είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε έχουμε + g( + ) = + + η οποία είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο με g(a) = lim g( +), lim g( +) = (-, + ). σύνολο τιμών Το πεδίο ορισμού της Οπότε η Οπότε g ( + ) είναι το σύνολο τιμών της g( + ). - g ( + ) θα έχει πεδίο ορισμού το (-, + ). g(()) = + Οι συναρτήσεις Έτσι (A) = A - = (-, + ). Έστω () = y, - () = + -, - () = g ( +), - g ( + ) και είναι ίσες, συνεπώς θα έχουν και το ίδιο σύνολο τιμών. y y - y () y + = + = y + - (y) = + y - ή Δ. Ψάχνουμε να βρούμε το Θέτουμε - = (y) () d. () = y. Οπότε έχουμε - y y = (y) = + y - d = ( + )dy Όταν = τότε y = () y = Όταν = τότε y = () Έτσι έχουμε () () y () () () y y () y + - d = ( + )dy = + = + - = Όμως για = στην σχέση () παίρνουμε ότι Έτσι το παραπάνω ολοκλήρωμα γίνεται () () () + = = - () () () + () - ( - ()) + ( - ()) - () - 6() + 5 d = = = Ε. Από τη σχέση (t ) dt > Eπειδή Συνεπώς () () + = + () < + +- () > (t - (t)) (t) dt (t) dt (t + ) dt (t) dt. lim ( + ) = + - (t) dt lim - θα είναι - lim ( t) dt = +. dt > = +, oπότε το ζητούμενο όριο είναι της μορφής + και από - εφαρμογή του κανόνα d L Hospital προκύπτει: (t)dt (t)dt lim lim () (- )( )

175 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Μαθητές Α) Έστω, με < και ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( + + ) + + άτοπο, άρα '. Εναλλακτικά δείχνω ότι η είναι -: ( ) ( ), με ( ) = ( ) = και με πρόσθεση κατά μέλη Αν ( ) ( ( ) + = ( ) + ) = άρα -. Μετά δείχνω ότι η ' θεωρώντας < και αντικαθιστώντας στην αρχική ισότητα, και αφού αφαιρέσω κατά μέλη έχω: ( ) ( ) ( ) + - ( ) - = - < ( ) ( ) (αφού -) ( ) ( ) ( - ( ) - ( ) + ( ) - ( ) < ( ) - ( ) ) ( ) - ( ) - ( ) + <. ( ) - ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) Αλλά ισχύει > γιατί ( ) - ( ), - ομόσημα αφού ( ) - ( ) Άρα ( ) - ( ) < δηλαδή '. '. Μαθητές Β) Καθηγητές Γ) y Έστω y. Θα δ.ο. υπάρχει : y = ( ). Θέτω = + y -. Τότε ισχύει: ( ) ( ) y ( ) + = + ( ) + = + y. Η + ως ' είναι -, άρα από την προηγούμε- νη ισότητα ισοδύναμα έχω: y = ( ). Άρα το σύνολο τιμών της είναι το και η αντιστρέφεται με - () = + -,. Μαθητές Γ) Καθηγητές Β) Θα δ.ο. παραγωγίσιμη στο. Έστω. Θέτοντας στην αρχική όπου το έχω: ( ( ) + ) () = + και αφαιρώντας έχω: Με έχω: () - ( ) + - = -. ( ) () ( ) - () - ( ) () - ( ) + () - ( ) = - = και παίρνοντας το όριο () ( ) () - ( ) - - με έχω: + () - ( ) () - ( ) lim = = = () ( ) ( ( ) ()-( ) ) lim + lim () - ( ) () - ( ) αφού με u = ()- ( ) λόγω συνέχειας της στο για έχω ότι uκαι το u u - lim = u. Άρα η παραγωγίσιμη στο με Η είναι παραγωγίσιμη με ( ) =. + ( ) () () () = - < δηλαδή η είναι κοίλη στο. () (+ )

176 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Επίσης () = αφού είναι - () = () =. Σε τυχόν < η εφαπτομένη της C στο,( ) είναι: y = ( ) + ( ) - ( ) με ( ) > () = ( ( ). Επίσης με < είναι και () < ( ) + ( ) - ( ) Θέτοντας u = () έχω Εναλλακτικά για να δ. ο. lim ( ) + ( ) - ( ) = - άρα - () u lim = lim = - - lim () = - -. έχω lim () = lim ()- + = lim = - - δηλ. η y = - είναι ασύμπτωτη της C - στο -, άρα λόγω συμμετρίας η y = + είναι ασύμπτωτη της C στο -, δηλ. lim () = -. - lim () - - = - και θέτοντας g() = () - - () = g() + + έχω Καθηγητές Α) ( ) Θα δ.ο. συνεχής στο. Θέτοντας στην αρχική όπου το έχω: ( ) + = + και αφαιρώντας έχω (με ) : () ( ) - () - ( ) () ( ) () - ( ) + - = - () - ( ) + () - ( ) = - () ( ) - () - ( ) + = -. Επίσης επειδή () - ( ), ' είναι () ( ) - + > () - ( ) < < () - ( ) < - () - ( ) και με κριτήριο παρεμβολής lim () = ( ) () ( ) - () - ( ) > άρα δηλ. συνεχής στο άρα και στο. Καθηγητές Δ) Για - = (u) έχω () αρχική u () = () () () u - u u u () d = ( )'(u)du = ( + )du = + = + - = - () 5-6() + () = + - () - =... =. Καθηγητές Ε) Θέτω - αρχική t = (u) () (t) t (t) u - g() = (t)dt = t + - dt = + t - dt = + - ( ) (u)du = () u () αρχική () u u u () = du = = =

177 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) + - () () = =... = + + () - () () () Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. ος τρόπος (εκτός ύλης) Έστω g() = +, παραγωγίσιμη με Άρα η g ' και - με g( ) = αφού Αρα υπάρχει η g'() = + >. lim g() = -, lim g() = g : τότε η δοσμένη ισότητα γίνεται () - g(()) = () + = + () = g ( + ). Όμως αν g συνεχής και ' στο Άρα συνεχής στο ος τρόπος Είναι τότε - g συνεχής και ' στο. ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. () ( ) ( ) () + = +. Έστω, με < και ( ) ( ) τότε και ( ) ( ) προσθέτοντας κατά μέλη ( ) + + ( ) + +,άτοπο άρα, με < και ( ) < ( ) και ' Έστω τότε ( ) + ( ) = +,τότε () ( o) () ( o) () - ( ) + - = - - = - - () + ( ) o o o o ( o) () -( o) - = - - () + ( ), () ( o )-() - = () - ( )- + από τη σχέση o - έχουμε o o o (),() () o () -( o ) ( o ) -( o ) ( o ) - () - ( ) - () - ( ) o o ( o) ( ) - - () + ( ) () - ( ) - + () - ( ) - o o o o o o () - ( ) o - ( o ) + o () - ( ) > ( o o ) ' για > () > ( ) () - ( ) > o o o από Κ.Π. για είναι o + o lim () - ( ) = o + ( o)-() () o ( o)-() () - ( ) - () - ( )- () o () πάλι από τη σχέση () () - ( )- + ( ) - () - + () - ( ) () o o o o o - () - ( ) για < () < ( ) () - ( ) < o o o o () o + - () - ( ) < o o ' () - έχουμε

178 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) από Κ.Π. για ος τρόπος Έστω τότε - o H() = +, είναι lim () - ( ) = - o o lim ()- ( ) = και συνεχής. άρα H'() = + > άρα H' και - και αντιστρέψιμη με H( ) = αφού lim H() = -, lim H() = + άρα - + Έστω y,y με y o o, : y = H(), y = H( ) o o o Από ΘΜΤ στο - H ( ) = y.τότε αφού H( ) = θα υπάρχουν [,] ή [,] είναι o o = H (y), = H (y ), αφού - - o o o H() - H( ) H() - H( ) y - y H'(ξ) = + = + = - - H (y) - H (y ) o ξ o ξ o - - o o o y - y y - y H (y) - H (y ) H (y) - H (y ) o o - - > > H (y) - H (y ) < y - y o o o o - - y - y < H (y)- H (y ) < y - y o o o o o - H -. η τελευταία ανισότητα ισχύει για κάθε y, y με y y και τότε από ΚΠ για y y o o o - - είναι o Όμως () - H(()) = () + = + () = H ( + ) συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. lim H (y) - H (y ) = y y o. Άρα - H συνεχής στο. B. ος τρόπος (εκτός ύλης) y = H() = +, είναι παραγωγίσιμη και H ' με H( ) = H'() = +,. Άρα και η Τότε και η - () = H ( + ), είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. ος τρόπος - H είναι παραγωγίσιμη με H '(y) =,y. H'(y) () - ( ) H ( + ) - H ( + ) H ( + ) - H ( + ) o o o L = lim = lim = lim - - ( + ) - ( + ) o o o - - θέτω u =H ( + ), H ( + ) = u, αφού Η - και τότε o o H(u) = +, H(u ) = +. Άρα o - Η συνεχής - - lim H ( + ) = H ( + ) = u o L = lim = lim = u u u u H(u) - H(u ) o o o u - u o H(u) - H(u ) o H'(u ) o u - u o o. o άρα παραγίσιμη στο.

179 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Γ. ος τρόπος (για το σύνολο τιμών) Αποδείξαμε ότι - () = H ( + ), Όμως ( +) άρα ( ) =, με - H ( ) =. ος τρόπος (για το σύνολο τιμών) Έστω y : () y για κάθε τότε η συνάρτηση G() = () - y, είναι συνεχής με G(), άρα θα διατηρεί πρόσημο. Εστω G() >, τότε () y () y y y,() > y > () + > y+ + > y+ > y+ - Η τελευταία ανισότητα ισχύει άρα ( ) =. Όμοια αν G() <, θέτοντας άρα και για - () (), στην () + = + είναι y = y+ - τότε y y y+ - > y ( ()) ( ()) + = () + + = () + () = + - Δ. () () + = + (*). () Για = είναι () + = () () αν () < τότε < και () + < άτοπο () () αν () > τότε > και () + > άτοπο εφόσον ( ) = είναι () = συνεχής. () () () + = + '() + '() = '() = + () () () () () () () I = d = + d = + + '()d () = u = = (*) () () Θέτω u = = u = = - () () du = '() d -() -() u () - 6() + 5 I = u + du = + u = Ε. (t) (t) (t) (t) (t) + = t + t + - (t) = t + - (t) dt = dt t + dt - (t)dt = dt < + < (t) (t)dt = dt - (t)dt < < (t)dt < > (t) (t)dt + > > όμως (t) dt + < < (*) (t)dt lim = lim = - + DLH - + +

180 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (8//6) Από Κ.Π. η (*) δίνει οπότε lim = - (t)dt (t)dt lim = lim = (t)dt, (t)dt <

181 Προταθηκε απ τον Θαναση Κοπαδη (8//6) Δίνεται ου βαθμού πολυώνυμο P()το οποίο αν διαιρεθεί με το - αφήνει υπόλοιπο, ενώ αν διαιρεθεί με το αφήνει υπόλοιπο. α) Να βρείτε τις τιμές του πολυωνύμου P() και P() β) Να βρείτε το υπόλοιπο υ() της διαίρεσης του P() με το γ) Να λύσετε την ανίσωση: > υ() ημ(π + θ) + συν(4π - θ) y = δ) Δίνεται το σύστημα: 9π ημ - θ - ημ()θ - π y = (,y) = συνθ - ημθ,συνθ + ημθ i) Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση ii) Να λύσετε την εξίσωση: y + 4P() = 7συνθ - Ρ() ε) Να λύσετε την ανίσωση: loglog( - (P() - ) + ) < στ) Έστω η συνάρτηση () = ln +, > i) Να δείξετε ότι για > η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέ χεια να λύσετε την ανίσωση ( + - ) > + α β γ 8 ii) Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β, γ ισχύει α β γ =, να βρείτε την τι- -lnp() μή της παράστασης Α = (α)+(β)+(γ)- Λύνει ο : Χρήστος Κουστέρης α) Εφόσον το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το ( -) είναι τότε : P() = Εφόσον το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το ( - ) είναι τότε : P() = β) Η ταυτότητα της διαίρεσης του P() με το ( - ) είναι : P() = ( - ) π() + υ() () Το υ() θα είναι πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του και δε μπορεί να είναι σταθερό πολυώνυμο διότι P() = και Επομένως. υ() = κ + λ κ,λ, κ Για = η () γίνεται: Για = η () γίνεται: Άρα υ() = + P() = με βάση το ερώτημα (α). P() = κ + λ = λ λ= P() = κ + λ = κ + λ = κ + κ = γ) Η δοσμένη ανισότητα γίνεται : > ( )( + ) >, με - υ() Έστω Q() = ( )( +)

182 Προταθηκε απ τον Θαναση Κοπαδη (8//6) Mε τη βοήθεια του σχήματος Hornr παραγοντοποιούμε το Αρα : -4 6 ρ = = ( - )( ) = - = = άρα = = ή = - To πρόσημο φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Q Άρα -,- -,, + δ) i) Ισχύει: ημ π + θ = ημ(π + π + θ) = ημ π + θ = -ημθ συν4π -θ = συν 7π -θ = συν-θ = συνθ 9π π π ημ + θ = ημ 4π + -θ = ημ -θ = συνθ ημ(θ-π) = ημ(-(π -θ)) = -ημ(π -θ) = -ημθ Με βάση τα παραπάνω το σύστημα γίνεται -ημθ + συνθy = -ημθ συνθ D = = -ημ θ- συν θ = -ημ θ+ συν θ = - συνθ + ημθy = συνθ ημθ D D y Εφόσον D το σύστημα έχει μοναδική λύση την (,y) =, D D Υπολογίζουμε τα D,D y συνθ D = = ημθ- συνθ ημθ -ημθ D = = -ημθ- συνθ συνθ, y Επομένως D ημθ- συνθ Dy -ημθ- συνθ = = = συνθ- ημθ y = = = συνθ + ημθ D - D - Άρα η λύση του συστήματος είναι (,y) = (συνθ- ημθ, ημθ+ συνθ)

183 Προταθηκε απ τον Θαναση Κοπαδη (8//6) ii) H δοσμένη εξίσωση γίνεται y + 4P() = 7συνθ- P() (συνθ- ημθ) (συνθ+ ημθ) + 4 = 7συνθ- συν θ- ημ θ+ - 7συνθ+ = συν θ-()- συν θ- 7συνθ+ 4 = συν θ- 7συνθ+ = Στην τελευταία εξίσωση θέτουμε συνθ = y με - y οπότε : y = απορρίπτεται 7 ± 5 Δ = (-7) - 4 = 49-4 = 5, y = = 4 y= π θ = κπ + π Επομένως : συνθ = συνθ = συν,κ π θ = κπ - y - 7y + = ε) Η ανίσωση: loglog( - (P() - ) + ) log log( -9 + ) < () H ανίσωση έχει νόημα για : >, η οποία ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό αφού Δ και log( -9 + ) > -9 + > > η οποία ισχύει για κάθε πραγ- ματικό αριθμό αφού Δ Άρα η () γίνεται : log( -9 + ) < -9 + < < Η τελευταία ανίσωση ισχύει για κάθε 9, στ) H συνάρτηση () = ln + ορίζεται για > i) Για οποιαδήποτε, (,+ ) με < ισχύει < ln < ln Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο ανισότητες προκύπτει: ln < ln ( ) < ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Οπότε : ( + -) > + (*) ( + -) > () (*) είναι γνησίως αύξουσα και για > είναι + - > > > > + > > + - > + - > ii) Από την σχέση α β γ 8 α β γ 8 α β γ α β γ = ln(α β γ ) = ln lnα + lnβ + lnγ = 8 ln αlnα +βlnβ + γlnγ = 8 (αlnα + ) +(βlnβ + ) +(γlnγ + ) = (α) + (β) + (γ) = 4 () Επομένως : A = (α) + (β) + (γ) - () -ln -lnp() -(ln-ln) ln ln ln8 = 4 - = 4-8 = 6 = 4 - = 4 - = 4 - = 4 -

184 Προταθηκε απ τον Θαναση Κοπαδη (8//6) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) α) Από θεωρία P() = ( -)π () + και P() = π () +, άρα P() = και P() =. β) Η ταυτότητα της διαίρεσης Για = και = έχω : γ) Ισοδύναμα έχω: P() : ( - )είναι: =α + β α=, άρα = β β= P() = ( - )π() + α +β. υ() = +. ( )( + ) > Hornr ( - )( - )( + ) > - - -,- -, (,+ ) δ) Ισοδύναμα έχω: -ημθ + συνθy = i) με D = -, D = ημθ- συνθ, D = -ημθ- συνθ y συνθ + ημθy = και μοναδική λύση την =συνθ- ημθ,y = συνθ+ ημθ. ii) συν θ- ημ θ+ = 7συνθ- συν θ- 7συνθ+ = συνθ = απορρίπτεται ή με ρίζες π συνθ = θ = κπ ±,κ > ε) Πρέπει Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: log( -9 + ) > = log, Δ < > log( -9 +) < = log < (9,).. στ) i) Έστω < < < ln < ln ln + < ln + ( ) < ( ) 'στο (,+ ). Η ανίσωση ορίζεται στο ' ( + -) > () + - > > >. ii) Λογαριθμίζοντας τη δεδομένη ισότητα έχω: ( + - > ) και ισοδύναμα γράφεται: α β γ α β γ ln(α β γ ) = 8 ln(α ) + ln(β ) + ln(γ ) = 8 αlnα +βlnβ + γlnγ = 8 αlnα + +βlnβ + + γlnγ + = 4 (α) + (β) + (γ) = 4 ' Τότε η ζητούμενη παράσταση Α γράφεται: -ln ln ln Α = 4 - = 4 - = 4 - = 4-8 = 6.

185 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5//6) Για Μαθητές Αν : (,+ ) παραγωγίσιμη συνάρτηση με τις ιδιότητες () () () = -, για κάθε > () lim() = Α) Αποδείξτε ότι () = -ln(ln), > Β) Αποδείξτε ότι () - ln, για κάθε. Πότε ισχύει η ισότητα; Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο καμπής της Δ) Αποδείξτε ότι (t)dt α) () - +, για κάθε β) lim = + Για Καθηγητές Αν : (,+ ) παραγωγίσιμη συνάρτηση με τις ιδιότητες () () () = -, για κάθε > () lim() = η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη Δίχως να βρείτε τον τύπο της : Α) Μελετήστε την ως προς την μονοτονία στο πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε τα σημεία καμπής της και στη συνέχεια αποδείξτε ότι: α) lim () = - β) ((,+ )) = + γ) Εξετάστε αν η C έχει πλάγιες / οριζόντιες ασύμπτωτες στο + Γ) Αποδείξτε ότι lim (( +)- ()) = - + Δ) Για κάθε > αποδείξτε ότι ( + ) < () Λύνει ο : Παύλος Τρύφων Για μαθητές : Α) Η είναι συνεχής στο (, + ), άρα και στο, άρα Θέτουμε Τότε () g() = = () g() =, >. Άρα η σχέση () γίνεται g() + g () = g() Άρα υπάρχει σταθερά Για = προκύπτει Άρα και () = (g())' = g() + g (), > - g() () () = lim() = () =. g() g() -g() - g() - g () = - -g () = ( )' = (ln)', > - g() c : = ln + c, για κάθε > - g() = ln + c = + c c = = ln - g() = ln(ln) - = ln(ln) () = -ln(ln), >

186 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) Β) ος τρόπος Ισχύει η σχέση ln -, για κάθε > (με την ισότητα να ισχύει μόνο για = ). Για το ln ( > ) παίρνουμε ln(ln) ln -, για κάθε (με την ισότητα να ισχύει για =). Πολλαπλασιάζοντας με (με την ισότητα να ισχύει για =). ος τρόπος Έχουμε παίρνουμε -ln(ln) -ln + () - ln, > : > () - ln -ln(ln) - ln - ln(ln) - ln ln - ln(ln) ln ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση m :[, + ) με m() = - ln. - Είναι m () = - =, > Άρα η συνάρτηση m παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το m() = - ln = Άρα, m(), για κάθε > (με την ισότητα να ισχύει για =). Άρα, - ln ln, για κάθε > + m - + m V U Γ) Για > είναι ln >. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ), με () = -[ln(ln)]' = -ln(ln) + (ln)' = - ln(ln) +, > ln ln - ln + ''() = -ln(ln) + ' = - - =, > ln ln ln ln ''() = - ln = = ''() > - ln > < < Σημείο καμπής το σημείο A(,()), δηλαδή το A(,) + - E F ΣΚ Εξίσωση εφαπτομένης : ε : y - = ()( - ) ε : y - = -( - ) ε : y = - + Δ) α) Η είναι κοίλη στο [, + ) άρα η το σημείο επαφής, δηλαδή () - +, για κάθε C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη, με εξαίρεση β) Οπότε (και από το ερώτημα Β) προκύπτει ότι : - ln () - +, για κάθε Δηλαδή για t [,], με >, έχουμε ότι t - tlnt (t) -t + Άρα,

187 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) t t - tlnt dt (t) dt - t + dt tdt - tlntdt (t) dt - + t t t + - 'lntdt (t) dt - - t + - lnt - tdt (t) dt - (t) dt : + ln + ln - - (t) dt , > Όμως, + ln lim - - = - + =, διότι lim - = - = - =. + + Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής, ln (ln)' lim = lim = lim = ()' (t) dt lim =. + και Για Καθηγητές : Α) Ισχύει η σχέση ln -, για κάθε >. Θέτοντας για το ln > >, για κάθε Θέτοντας για το () ( > ) προκύπτει () () () () > - < () <, για κάθε > Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) Β) Αρχικά η είναι συνεχής στο,, άρα και στο, άρα Η είναι παραγωγίσιμη στο,, άρα οι συναρτήσεις ( ) προκύπτει () = lim() = () =. () (), σιμες στο,. Κατά συνέπεια η είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο () () () () () () () ''() = - ' = ' - ' = ' -, > Όμως είναι παραγωγί-

188 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) () () () () - () () = - < () < < () - () () () < ' < ' < Είναι Σημείο καμπής το σημείο A(,()), δηλαδή το A(,) E F ΣΚ α) Εξίσωση εφαπτομένης ε : y - = ()( - ) ε : y - = -( - ) ε : y = - + Η είναι κοίλη στο [, + ) άρα η το σημείο επαφής, δηλαδή () - +, για κάθε Όμως lim (- + ) = -, άρα και + C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη, με εξαίρεση lim () = - + β) Πιθανή κατακόρυφη ασύμπτωτη της C είναι η ευθεία =. Γνωρίζουμε όμως ότι η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Άρα Η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής, άρα ((, + )) = ( lim (), lim()) = (-, lim()) + Άρα υποχρεωτικά, + + lim() = + + και άρα ((, + )) = (-,+ ) = lim() = ± + γ) Υποθέτουμε ότι υπάρχει το lim + Τότε Όμως, () = k. + + lim + () () lim () = lim - = k - lim () = - () και είναι πραγματικός αριθμός k, δηλαδή + DL () k k k lim () = lim = k - k = k - =,άτοπο + + lim + () = k - k Άρα δεν υπάρχει το lim + () στο ες / οριζόντιες ασύμπτωτες στο + k, οπότε η γραφική παράσταση της δεν έχει πλάγι- Γ) Έχουμε ότι lim() = +. Επίσης παραπάνω αποδείξαμε ότι η συνάρτηση + είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) και είναι και συνεχής. Άρα () g() =

189 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) () () () g((, + )) = ( lim g(), limg()) = lim, lim = lim, Αποδείξαμε όμως παραπάνω ότι δεν υπάρχει στο το Άρα, λόγω του συνόλου τιμών της g θα ισχύει Επίσης, () lim =- + lim + () lim = - () + () () () () = - < () < lim () = - + Για > εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την στο διάστημα [, + ], οπότε εξασφαλίζε- ται η ύπαρξη ενός τουλάχιστον ξ (, + ) : (ξ ) = () - ( + ) Όμως ' ( στο [, + ) + () lim () = - < < ξ < + (ξ ) < () () - ( + ) < () lim (() - ( + )) = - + Δ) ος τρόπος Είδαμε παραπάνω (ερώτημα Β) ότι η συνάρτηση () Άρα για είναι γν. φθίνουσα στο (, + ) () ( + ) () < < + > ( + ) > ( + ) > ( + ) - (),για κάθε > () + Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την στο διάστημα [, + ], υπάρχει ξ (, + ) : (ξ ) = ( + ) - () Όμως < < ξ < + και η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) άρα () () (ξ ) > ( + ) ( + ) - () > ( + ) > ( + ) ( + ) < () ος τρόπος () ' ( στο [, + ) () < () Για < < + () > ( + ) > ( + ) ( + ) < () Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για Μαθητές : Α) Επειδή συνεχής ως παραγωγίσιμη, lim(), θα είναι (). Τώρα για > : () () () () () () - () () () = - () - () = - = - = -

190 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) () () () = ln = ln + c Αρα () - () = ln - = ln(ln) () = -ln(ln) και επειδή () = c =. Β) Από τη γνωστή ανισότητα γιά ισχύει : ln -. (Η ισότητα iσχύει μόνο για = ). Για > αν θέσω όπου το ln προκύπτει: ln(ln) ln - ln(ln) ln - -ln(ln) - ln () - ln. Προφανώς η ισότητα ισχύει μόνο για ln = =. Γ) Επίσης από την ανισότητα γιά >, ln - αν θέσω όπου το για κάθε, -. Θέτοντας στην τελευταία όπου το () άρα γνήσια φθίνουσα στο (, + ). Τώρα: Για > : ''() = () ' - () έχω () () - - () - < () () () - () = - = - - () () () () () - () () = - () - () = - = -. Οπότε προκύπτει (), διότι () () ''() = = = () = () = () = διότι : - ως γν. φθίνουσα. Επίσης : () () ''() > < > () > () > () <. () () ''() < > < () < () < () >. Άρα κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και στο (, ) παρουσιάζει σημείο καμπής. Δ) α) Από την αρχική σχέση για = προκύπτει ότι () = -. Η εφαπτόμενη στο σημείο καμπής είναι y - = ()( - ) y = - +. Επειδή κοίλη στο [, + ) για () - +. β) Είναι γνήσια φθίνουσα στο (, + ), οπότε t () (t) () () (t) ()dt (t)dt ()( - ) (t)dt ()( - ) (t)dt ().

191 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) Όμως lim (-+ ) =- οπότε από α) lim () + =-. Τώρα () () - ln(ln) lim = lim = lim - διότι (από κανόνα D L Hospital): ln -ln(ln) l lim = lim - =. ln + + ()( - ) () ( - ) Συνεπώς lim = lim. + + Άρα από τη σχέση () και από κριτήριο παρεμβολής θα είναι (t)dt lim = + Για Καθηγητές : Α) Από τη γνωστή ανισότητα γιά ισχύει : ln -. Aν θέσω όπου το προκύπτει, Θέτοντας στην τελευταία όπου το () φθίνουσα στο (, + ). -. έχω () () - - () - < άρα γνήσια Β) Επειδή συνεχής ως παραγωγίσιμη, lim(), θα είναι (). Τώρα: Για > : ''() = () ' - () () () () () () () - () = - = - - () () - () () = - () - () = - = -. Οπότε (), διότι () () ''() = = = () = () = () = διότι : - ως γν. φθίνουσα. Επίσης : () () ''() > < > () > () > () <. () () ''() < > < () < () < () >. Άρα κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και στο (, ) παρουσιάζει σημείο καμπής. α) Από την αρχική σχέση για = προκύπτει ότι () = -. Η εφαπτόμενη στο σημείο καμπής είναι y - = ()( - ) y = - +. Επειδή κοίλη στο [, + ) για () - +. Όμως lim (-+ ) =- οπότε από α) lim () = β) Επειδή η είναι συνεχής στο (, + ) και η είναι η =. Συνεπώς lim (). + C έχει κατακόρυφη εφαπτόμενη, αυτή θα

192 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) Αν ήταν lim () -, θα υπήρχε με < < ώστε ( ) ( ) () άτοπο + διότι γνήσια φθίνουσα στο (, + ). Επόμενα lim () +. Συνεπώς από α), λόγω της συνέχειας και της μονοτονίας της θα είναι ((, + )) =. γ) Ισχύει ότι lim () + + =-. Οπότε η C δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +. Έχω lim Επόμενα () = lim () + + από κανόνα D L Hospital. () () lim () - = lim - = lim = () () lim = lim ln = lim () = Άρα η C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +. οπότε Γ) Aπό θεώρημα μέσης Τιμής για την στο [, +], > ισχύει ότι ξ (, + ) ώστε (ξ) = ( + ) - (). Όταν + και ξ + Επόμενα lim ( ( + ) - () ) = lim (ξ) = -. + ξ + Δ) Για > ''() < γνήσια φθίνουσα στο (, + ) οπότε ( + ) < (). Επίσης () () () () - = -. Δηλαδή () <. Αρα ( + ) < () ( + ) < (). Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για Μαθητές : Α) Από την αρχική ισοδύναμα έχω: () () - () () - () () () - () = - = - - ' = () - = ln + c, που για =γίνεται : = +c c = () - ' = (ln) αφού λόγω της συνέχειας της στο και του δεδομένου ορίου είναι: () =. Τελικά () - () = ln - = ln(ln) () = - ln(ln). Β) Με h() = -lnln - + ln = (ln - ln(ln) -), > και θέτοντας g() = ln - ln(ln) -, > ln - έχω: g () = - = - = = = ln ln. Για < < είναι g () < g (στο ln (, ] και g ' στο [, + ). Άρα η g έχει min στο το, δηλαδή είναι g() με > και το = να ισχύει για =, συνεπώς h() με > και το = να ισχύει για =.

193 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) Γ) () = - ln(ln) -, ''() = - + = - = = ln ln ln ln ln. Είναι ''() > < άρα κυρτή στο (, ]και κοίλη στο [, + ) με Σ.Κ. το (, ). Η εφαπτομένη της στο Σ.Κ. είναι: y = - +. Δ) α) Επειδή κοίλη στο [,+ ) και η y = - + η εφαπτομένη της στο (,) ισχύει () - + για κάθε. β) Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη ανισότητα ( > ) έχω: : t (t)dt (t)dt (-t + )dt = - + t = () Ολοκληρώνοντας την ανισότητα του Β) ερωτήματος έχω: t t - t lnt t (t)dt t - lnt dt = - 'lntdt = - - dt = : ln (t)dt ln =... = () Από τις (), () παίρνοντας τα όρια στο και το κρ. παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. Για Καθηγητές : Α) Η είναι κυρτή και η y = + η εφαπτομένη της στο (, ). Άρα είναι κάθε Άρα με την ισότητα στο =. () () > για κάθε > και () < (στο (, + ). + > για Β) Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πράξεις παραγωγίσιμων με () () () () - () ''() = (- ) = ( -) με χρήση της αρχικής ισότητας. Η είναι συνεχής στο και από το δεδομένο όριο είναι () = (μοναδική ρίζα). Άρα η '' έχει μοναδική ρίζα το και ισχύει ( ' () () < < () > > > ''() > κυρτή στο (, ] και κοίλη στο [, + ) με ΣΚ το (, ). α) Η εφαπτομένη της C στο Σ.Κ. είναι η y = - +. Άρα από την κυρτότητά της ισχύει () - + για κάθε και είναι lim () - + αφού ισχύει lim (-+ ) =-. +

194 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) β) Από την υπόθεση, το προηγούμενο ερώτημα και τη μονοτονία της είναι lim () + δηλαδή το ΣΤ της είναι το. γ) Έστω y=λ +βασύμπτωτη της στο +. Τότε ισχύει αρχική () () () λ λ λ = lim lim () = lim - = λ - = Άρα η C δεν έχει πλάγιες/οριζόντιες ασύμπτωτες. άτοπο. + Γ) Για > και με ΘΜΤ για την στο [, + ] υπάρχει ξ (, + ) : (ξ) = ( + ) - (). Η είναι ( στο [, + ) και ισχύει: <ξ < + ( +) < (ξ) < (). () Από την αρχική ισότητα ισχύει ' = - < () κάτω φραγμένη αφού το lim. Άρα θα είναι + + () u θέτοντας u= θα έχω lim () = lim (u - ) = - άρα + u - + () δηλ. η () () ( στο (, + ) με όχι () lim = - και από την αρχική lim (( +)- ()) = -. Δ) H είναι (στο (, + ) και ισχύει () () () ( + ) < () = - < ( + ) < (). Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για Καθηγητές : Α) t u =,t () t= () () t () () lnu u - < u,u > > t (,+ ) > - < '() < άρα ( στο (, + ) B) συνεχής lim() = () =. H είναι προφανώς δυο φορές παραγωγίσιμη () () () '() - () '() = - ''() = -, ''() = () () () '() - () '() = - '() - () = - < < () ( () () () για < () > () = > > ''() > ( () () () για > () < () = < < ''() < Άρα η παρουσιάζει Σ.Κ. στο. α) στο άρα () '()( - ) + (), y = '()( - ) + () η εφαπτόμενη της στο.

195 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) + '() < lim ('()( - ) + ()) = -, άρα κοντά στο είναι '()( - ) + () <, συνεπώς Κ.Π > () '()( - ) + () () < lim = lim () = - () + + β) Aφού η είναι συνεχής στο (, + ) και έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τότε αυτή θα είναι η = και lim() = - ή lim() = + Αν lim() = -, κοντά στο θα υπάρχει ρ < ώστε (ρ) <, όμως ρ < (ρ) > () = άτοπο, άρα Άρα lim() = + ( ((, + )) =( lim (), lim()) = + γ) Έστω y=λ + κ πλάγια ασύμπτωτη τότε όμως DLH + + lim + () () () lim = lim '() = lim - = λ - Άρα δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη. () = λ λ, δηλ. ( λ λ λ - = λ - = άτοπο. Γ) Από ΘΜΤ στο [, +], > για την θα υπάρχει ξ (, + ) :'(ξ) = ( + ) - (). Όμως κοίλη στο (, ) άρα ' (και () () <ξ'() > '(ξ) = ( + ) - () - >( + ) - () () () () lim - = -. Και από () είναι < <. + () () ( + ) - () - Από Κ.Π. στην τελευταία είναι lim = lim ( + ) - () = - + ( + ) - () + Δ) Από Γ. ερώτημα είναι ' ( () > () () ξ < + < '(ξ) > '( + ) - >'( + ) >'( + ) () > '( + ) () Λύνει ο : Θανάσης Καραγιάννης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για Καθηγητές : Έχουμε τρεις παραδοχές για τη συνάρτηση : () () () '() = - για κάθε > () H C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη () lim() =. και

196 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, άρα συνεχής, από την () έπεται άμεσα ότι () =. Α) Η λύση θα βασιστεί στη γνωστή ανισότητα, για κάθε. () ' () () () () Πράγματι, τότε έχω: - < () <, για κάθε (, + ). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, + ). Β) Υπολογίζω την η παράγωγο της στο διάστημα (, + ): Είναι ''() () () () - = () - () = - = () - - () () () () () () () - = - = () - = () = () () () - () - () - () - και επειδή () () () - = () - () - () = για κάθε >, προκύπτει ότι: () () () ''() - () > () () () (. Δηλαδή ο πίνακας μεταβολών της είναι ο εξής: + Άρα η συνάρτηση έχει ένα σημείο καμπής, το (, ()) = (, ). + - Επίσης, η παίρνει θετικές τιμές στο διάστημα (,) και αρνητικές στο διάστημα (,+ ) ΣΚ α) Από τον πίνακα μεταβολών της, προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο διά- στημα [,+ ). Χρησιμοποιώ τη γνωστή ανισότητα Jnsn για κοίλες συναρτήσεις και έχω: + y () + (y) για κάθε,y [,+ ). Ειδικότερα για y =, η προηγούμενη + () + () σχέση γράφεται: + () (4) για κάθε [,+ ). Για τη γνησίως φθίνουσα συνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: είτε η είναι κάτω φραγμένη, οπότε υπάρχει στο το lim () και είναι ίσο με το inimum του συνόλου + {() : (, )}, είτε η δεν είναι κάτω φραγμένη, οπότε lim () = -. + Υποθέτω ότι η είναι κάτω φραγμένη (και θα καταλήξω σε άτοπο). Aπό την υπόθεση, υπάρχει το lim () =. Από τη σχέση (4) έχω ότι + + Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι: > lim + lim (). + ( () < () () <

197 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6), και επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής, παίρνουμε ότι lim() = () <. Αλλά τότε, επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα, συνάγεται ότι = lim () Άρα η συνάρτηση δεν είναι κάτω φραγμένη, οπότε lim () = -. + lim () <. β) Από την παραδοχή (), προκύπτει ότι η συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στη θέση =. Άρα, είτε lim() =, είτε τιμές στο διάστημα (, ). Επομένως lim() =. Επιπλέον, η παίρνει θετικές χούς, γνησίως φθίνουσας συνάρτησης έχουμε ότι = lim (), lim () (, ) + =(-, ) =. lim() = και για το σύνολο τιμών της συνε- γ) Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη πλάγιας ασύμπτωτης της C στο +, είναι η ύ- () παρξη του lim = α. Υποθέτω ότι υπάρχει αυτό το όριο και θα καταλήξω σε + άτοπο. Επειδή lim () = - και lim = +, εφαρμόζω τον κανόνα D l Hospital και έχω: + + () () () '() lim = lim = lim '(), + ' + α δηλαδή α = α - α (), άτοπο. Συνεπώς δεν υπάρχει στο το lim + και η συνάρτηση δεν έχει πλάγια, ούτε οριζόντια ασύμπτωτη στο +. + () () () lim - + lim + = lim - + Γ) Για κάθε >, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση στο διάστημα [, + ]. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) ( + ) - () τέτοιο, ώστε (ξ) = =( +) - () (5). + - Επίσης, αν, τότε ξ +. Εξετάζω αν υπάρχει το lim (t). Από τον πίναt κα μεταβολών της, έπεται ότι η παράγωγος συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,+ ). Υποθέτω ότι η συνάρτηση είναι κάτω φραγμένη, άρα υπάρχει στο το lim (t). t (t) (t) Όμως, όπως είδαμε στο (γ), είναι lim = lim (t) και δεν υπάρχει στο το lim, t + t t t t άτοπο. Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα(,+ ) και δεν είναι κάτω φραγμένη, οπότε lim (t) = -. t lim ( ) - () -. Έπεται από τη σχέση (5), ότι Δ) Η αποδεικτέα γράφεται ισοδύναμα: ( ) < () () ( ' ) < () ' ( + ) - () < () () ( ) < (), για >. Αλλά η τελευταία σχέση ισχύει, διότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,+ ), οπότε:

198 Προταθηκε απ τον Παυλο Τρυφων (5///6) είδη η συνάρτηση + > ( ) < () ( + ) - () < < (,+ ). Συνεπώς ισχύει και η αποδεικτέα. (), για κάθε

199 Προταθηκε απ τον Νικο Γαρυφαλλιδη (//6) Ο αστρολάβος των Αντικυθήρων αποτέλεσε τον πρώτο υπολογιστή του ανθρώπινου είδους (Ημερολογιακό και Αστρονομικό). Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το μπροστινό μέρος του μηχανισμού, αν θεωρήσουμε ότι τα σκιαγραφημένα γρανάζια C(Κ,ρ ),C (Κ,ρ ),C (Κ,ρ ), αντιστοιχούν σε εφαπτόμενους κύκλους, να βρεθούν οι εξισώσεις τους όταν γνωρίζουμε: Ο C εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες Ο και Οy. ρ = ρ = και ρ = 6 - Η μεσοκάθετος του διακεντρικού τμήματος ΚΚ έχει εξίσωση y = Λύνει ο : Νίκος Γαρυφαλλίδης

200 Προταθηκε απ τον Νικο Γαρυφαλλιδη (//6 Αφού ο C εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες ισχύει = y = ρ = οπότε C : ( -) +(y -) =. Η μεσοκάθετος του KK είναι η ευθεία ε : y = οπότε KK ε λ λ = - λ (-) = - λ = K K ε K K K K και αφού διέρχεται από το K (,) η ευθεία K K : y = οπότε K (,y ) Το σημείο τομής των ε, KK θα βρεθεί από το σύστημα ε : y = M(4,4) το οποίο είναι μέσο του KK οπότε = 4 = 7 άρα K K : y = C : ( - 7) +(y - 7) = Το κέντρο του C είναι πάνω στην ευθεία ε : y = οπότε θα ισχύει: y = () Οι κύκλοι C, C εφάπτονται εξωτερικά οπότε θα ισχύει : K K = ρ + ρ ( - ) + (y - y ) = ( - ) + (y - ) = 6 () ( - ) + ( ) = 6 ( - ) + (- + 7) = 6 () = y = 6 C : ( - ) + (y - 6) = ( 6 - )... ή () = 6 y = C : ( - 6) + (y - ) = ( 6 - ) Λύνει ο : Δημήτρης Ζαχαριάδης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Αν Κ(,y) το κέντρο το C τότε επειδή ο C εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες O, Oy θα ισχύει : d(k, O)= d(k,oy) = ρ y = = ρ =. Επομένως Κ(, ) και τότε C: ( - ) + (y - ) = Έστω Κ(, y). H ευθεία ε: y = είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΚΚ επομένως: το μέσο Μ του ΚΚ είναι σημείο της ε, + + y + y + M, ε = y = 4 y - KK ε λ λ = - (-) = - ( προφανώς ), y = () - Από (), () έχουμε = y = 7 επομένως Κ(7, 7) και επειδή ρ = C: ( - 7) + (y - 7) =. O C εφάπτεται εξωτερικά στους C, C επομένως: (ΚΚ)=ρ + ρ = 6 () και (ΚΚ) = ρ + ρ = 6 (4) Από (), (4) έχουμε: (ΚΚ) = (ΚΚ) επομένως το Κ σημείο της μεσοκαθέτου ε θα την επαληθεύει: ()

201 Προταθηκε απ τον Νικο Γαρυφαλλιδη (//6 y = (5) και (ΚΚ) = 6 ( - ) + (y - ) = 6 (6) η (6) λόγω της (5) γίνεται: ( - ) + ( - 7) = = και δίνει τελικά δύο λύσεις: =, = 6. Αντικαθιστώντας στην (5) έχουμε τα ζεύγη λύσεων (, y) = (, 6) και (, y) = (6, ). και επομένως δύο λύσεις για τον κύκλο C: ( - ) + (y - 6) = ( 6 - ) ( - 6) + (y - ) = ( 6 - ) Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Έστω K (,y ),K,y,K (,y ) με,y > και ρ = = y = λόγω της επαφής του C με τους ημιάξονες Ο, Oy. Άρα ο Cέχει εξίσωση: ( -) + (y -) =. Το Κ ισαπέχει από τα Κ,Κ με K K = K K = 6, επειδή από την υπόθεση ρ = ρ =, ρ = 6 - και οι κύκλοι C,C και C,C εφάπτονται εξωτερικά. Άρα το κέντρο Κ του C ανήκει στην ευθεία y = δηλαδή ισχύει y = Αντικαθιστώντας το y στη σχέση βρίσκουμε,y = (6,)ή (,6). Άρα ο C έχει εξίσωση: ( - 6) + (y - ) = 7-6 ή ( -) + (y -) = 6 και κάνοντας τις πράξεις ( - ) + (y - 6) = 7-6. Η ευθεία KK είναι κάθετη στην y = και διέρχεται από το K. Άρα έχει εξίσωση y = και κατά συνέπεια y =. + + Το μέσο, + + = = 7. Άρα ο C έχει εξίσωση: ( - 7) + (y - 7) =. του KK ανήκει στην ευθεία y = - + 8, άρα Λύνει ο : Θανάσης Καραγιάννης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Ο κύκλος C, κέντρου Κ, εφάπτεται στους ημιάξονες O και Oy και έχει ακτίνα ρ =. Άρα το τετράπλευρο ΟΓΚΒ είναι τετράγωνο και συνεπώς το κέντρο του C είναι Κ(,). Επομένως C : ( ) (y ) =. Επίσης η διακεντρική ευθεία ΚΚ είναι κάθετη στην ευθεία y = + 8 και περνάει από το σημείο Κ(,), άρα η ΚΚ έχει εξίσωση y= +β και για = y = παίρνουμε ότι β =, ο- πότε ΚΚ : y =. Το σημείο τομής Η των ευθειών y = και y= βρίσκεται από τη λύση του συστήμα- τος:

202 Προταθηκε απ τον Νικο Γαρυφαλλιδη (//6 y = = = 8 = 4, δηλαδή Η(4,4). y = y = y = y = 4 Αλλά το σημείο Η είναι το μέσο του τμήματος ΚΚ, οπότε : + 4= + y + y 8 = + Η = 7 και y, δηλαδή Κ(7,7). Η Επομένως C : Ισχυρισμός: Το κέντρο Κ του κύκλου C ανήκει στη μεσοκάθετο του διακεντρικού τμήματος ΚΚ (δηλαδή στην ευθεία y = - + 8). Απόδειξη: Έστω Δ και Ε τα σημεία επαφής του κύκλου C με τους C και C αντίστοιχα. Τότε από το Δ διέρχεται η κοινή εφαπτομένη ε των C και C, που είναι κάθετη στις ακτίνες ΚΔ και ΚΔ. Δηλαδή τα σημεία Κ, Δ και Κ είναι συνευθειακά και το τμήμα ΚΚ έχει μήκος ρ+ρ. Όμοια έχουμε ότι τα σημεία Κ, Ε και Κ είναι συνευθειακά και το τμήμα ΚΚ έχει μήκος ρ+ρ. Συνεπώς το τρίγωνο ΚΚΚ είναι ισοσκελές με βάση ΚΚ, οπότε η κορυφή Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΚΚ. Από τον ισχυρισμό, έχουμε ότι το Κ είναι σημείο τομής του κύκλου (Κ, ρ + ρ) και της ευθείας y = (οπότε θα προκύψουν δύο λύσεις για το Κ). Λύνω το σύστημα των αν- τίστοιχων εξισώσεων και έχω: ( - ) + (y - ) = (ρ + ρ ) y = Λύνω την () και έχω: - ( ) + ( ) = ( ) () y = () ( - ) + (7 - ) = ( 6) - - που έχει διακρίνουσα Δ = = = = (- 8) - 4 = 64-48=6 και ρίζες

203 Προταθηκε απ τον Νικο Γαρυφαλλιδη (// = ή Για =, η () y = = 6, δηλαδή παίρνουμε το σημείο Κ(, 6) και Για = 6, η () y = =, δηλαδή παίρνουμε το σημείο Κ(6,). Οι αντίστοιχες εξισώσεις κύκλων είναι : C : ( - 6) + (y - ) = 7-6 και C : ( - ) + (y - 6) = 7-6 Σχόλιο: Αν θέλουμε να συμφωνεί το σχήμα μας με το σχήμα του αστρολάβου στην εκφώνηση, θα πρέπει να απορρίψουμε τον κύκλο C (με τη διακεκομμένη γραμμή) και να δεχθούμε ως λύση τον κύκλο C, που βρίσκεται «άνω αριστερά» σε σχέση με τον C, άρα το κέντρο του έχει τη μικρότερη τετμημένη και μεγαλύτερη τεταγμένη. ή

204 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) Για Μαθητές Έστω G: [, + ) δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: G () = G () -, για κάθε (,+ ) G() = G'() = ln, > Α. Αποδείξτε ότι G() =, = B. i. Nα μελετήστε την G ως προς τα ακρότατα ii. Να δείξετε ότι Γ. Δείξτε ότι η εξίσωση G() = G'() -, + ln = ln - ln(ln) έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. Δ. Bρείτε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της συν- άρτησης G και τους άξονες συντεταγμένων. Για Καθηγητές Έστω G: φορές παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση για την οποία ισχύουν: G () = G () -, για κάθε (,+ ) G() = G'() = Α. Βρείτε την G στο και μελετήστε την ως προς τα ακρότατα. B. i. Για κάθε πλάγια ευθεία (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, να βρείτε το πλήθος των σημείων τομής της με τη γραφική παράσταση της G ii. Να δείξετε ότι από τις παραπάνω ευθείες (ε) υπάρχει μόνο μια ευθεία (δ) που σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον και έχει ακριβώς κοινά σημεία με την C και μάλιστα εφάπτεται σε από αυτά. Γ. Bρείτε το εμβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της G, την ευθεία (δ) και τον άξονα y y. Δ. Δείξτε ότι η εξίσωση + ln = ln - ln(ln) έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. - G G c+ c+ Ε. Να δείξετε ότι η εξίσωση G(t)dt - G(t)dt + - =,c > έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης Για Μαθητές : Α) Για > G''() - G'() G'() G'() = G''() - G'() = G''() - = ' = 4 ln ' G'() = ln + c,c, G'() = ln+ c c = G'() Άρα = ln + G'() = ln + G'() = ln + G'() = ( ln)' G() = ln + k, k, G() = k k =. Συνεπώς G() = ln, (, + ) - + ln G() = lim G() = lim() ln = lim = DLH. Άρα G() = ln, >, =

205 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) ln +, > Βi) G'() =, = To πρόσημο φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : / + G - + G V U - / Βii) G'() = ln + G'() = ln + G'() = G() + G() = G'() -, > Και G () =, άρα G() = G'() -, Γ) Για την G στο (, + ) είναι Πρέπει > και ln > > Θα χρησιμοποιήσουμε την ln = - = G'() = ln + > άρα G ' με G((, + )) = (, + ) + ln = ln - ln(ln) + ln = ln - ln(ln) ln(ln) + ln = ln - ln( ln) = ln - lng() = G() - G() = Εφόσον η G ' με G((, + )) = (, + ) η τελευταία εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, + ). Δ) ln, > G() = = = ή =, = την CG είναι τα,. Η G είναι συνεχής με και το ζητούμενο εμβαδό είναι Από το B.ii. είναι G() = G'() - E = - G()d. άρα τα μοναδικά κοινά σημεία του με G = - < άρα G(), [,] G() d = G'() - d G() d = G() - G() d - d -Ε = G() + E - 4E = E = τ.μ Για Καθηγητές : Α) Για > G''() - G'() G'() G'() = G''() - G'() = G''() - = ' = 4 ln ' G'() = ln + c,c, G'() = ln+ c c = Άρα G'() = ln + G'() = ln + G'() = ln + G'() = ( ln)'

206 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) G() = ln+ k, k, G() = k k = Συνεπώς G() = ln, (, + ) ( ) Η συνάρτηση G είναι περιττή στο, οπότε G() = - G(-), Για < - >, τότε Ακόμα G() = αφού G περιττή στο Άρα ln, G( ), - -/ () G() = -G(-) =- ((-) ln(-)) = ln(-) / + G G U V U / - / Βi) Έστω ε : y = λ, λ. Τότε τα σημεία τομής της CG με την (ε) είναι οι λύσεις της εξίσωσης G() = λ,. Προφανής λύση είναι η =,οπότε το Ο(, ) είναι ένα σημείο τομής. Θα μελετήσουμε τα σημεία τομής στο *. G() = λ, G() - -/ / + * = λ, * ln = λ, * () Έστω Η() = ln, * τότε Η'() = ln + = ln + και η εξίσωση () γίνεται ισοδύναμα Η() = λ. Η'() = (ln + ) = ln = - = ± Από τον πίνακα έχουμε ότι η H έχει ολικό ελάχιστο Η = Η- = - ln Τότε Η, = Η-, = -, αφού lim ln = lim = lim = ± ± ± - Η,+ = Η -,- = -,+ αφού lim ( ln ) = + Αν λ < - τότε η εξίσωση Η() = λ δεν έχει λύσεις και η G() = λ, έχει μονα- δική λύση την = Αν λ = - τότε η εξίσωση Η() = λ έχει λύσεις και η G() = λ, έχει λύσεις (μαζί με την = ) Αν >λ > - τότε η εξίσωση Η() = λ έχει 4 λύσεις και η G() = λ, έχει 5 λύ- σεις (μαζί με την = ) Αν λ τότε η εξίσωση Η() = λ έχει λύσεις και η G() = λ, έχει λύσεις (μαζί με την = ). Η Η V U V U - / - /

207 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) Βii) Σύμφωνα με το Β.i. η CG έχει ακριβώς κοινά σημεία με την (ε) και σχηματίζει αμ- βλεία γωνία με (λ < ) μόνο όταν λ = -, άρα (δ): y = -. Και τότε αυτά τα σημεία είναι τα Α-,-, Β,-. G'() = -,άρα η (δ) δεν εφάπτεται στη CG στο. G'(- ) = G'( ) = - = λ άρα η (δ) εφάπτεται στη CG στα Α,Β Γ) Από το Β. για η (δ) έχει μοναδικά κοινά σημεία με την CG τα ζητούμενο εμβαδό είναι E = G() + d G() + = ln + = ln + = H() > ταβολών της Η στο Β. ερώτημα), οπότε Άρα, Για >, I. Όμως για, < < είναι άρα το (όπως φαίνεται από το πίνακα με- G() + στο, E = G() + d = G() d + d = I + 4 G() = G'() -. G'() = ln + G'() = ln + G'() = G() + Ακόμα G() =, άρα. G() = G'() -, I = G() d = G'() - d = G() - G() d - d I = G() - I - d 4I = - - I = Άρα E = = τ.μ. Δ) Για την G στο (, + ) είναι Πρέπει > και ln > > Θα χρησιμοποιήσουμε την ln = - = G'() = ln + > άρα G ' με G((, + )) = (, + ) + ln = ln - ln(ln) + ln = ln - ln(ln) ln(ln) + ln = ln - ln( ln) = ln - lng() = G() - G() = Εφόσον η G ' με G((, + )) = (, + ) η τελευταία εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, + ). F() = G(t)dt - G(t)dt + -,, - G G c+ c+ E) Έστω

208 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) - G G c+ c+ Συνεχής στο [,] με F() F() =- G(t)dt - G(t)dt Αν - G G - G G c+ c+ c+ c+ G(t)dt - G(t)dt Û G(t)dt = G(t)dt θέτω α = G, β = - G β c + c + G(t)dt = α και < < < - < α = G <, > β = - G > c + c + c + c + G περιττή β -β β -β G(t)dt = G(t)dt + G(t)dt = G(t)dt = G(t)dt= α α -β -β α Στο τελευταίο ολοκλήρωμα είναι - < α <, - < - β < και G() >. -β α β - G c+ G(t)dt =, G c+ Αν υποθέσουμε ότι α < - β τότε G(t)dt >, ενώ για α > -β τότε G(t)dt <, άτοπο και στις δυο περιπτώσεις, άρα α = -β -α = β -G = -G G = G c + c + c + c + Όμως G - στο,, c + c + (από τον πίνακα μονοτονίας της G) Και τότε = = c + c +, άτοπο Άρα η σχέση () δεν ισχύει και - G G(t)dt και τότε F()F() < και από θ.bolzano G η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο(,) αφού η F είναι γν. μονότονη. -β α Λύνει ο : Κώστας Δεββές (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για Μαθητές : Α) Η αρχική ισοδύναμα γράφεται: G''() G'() G'() G'() G'() = G''() - - = ' = ln ' = ln + c G'() Για = : c = άρα: = ln + G'() = ln + G'() = ln ' G() = ln +c Για = : c = άρα: G() = ln, >. () ln Επειδή G συνεχής στο είναι: G() = lim G() = lim ln = lim =lim - =. (Αν έχει Π.Ο. το και επειδή είναι περιττή ισχύει: G() = - G(-). Θέτοντας στην () όπου το - > έ χω: G(-) = (-) ln(-) -G() = - ln(-) G() = ln(-), < )

209 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) Βi) Το Ο είναι κέντρο συμμετρίας της C λόγω περιττής. G Αυτό σημαίνει ότι αρκεί η μελέτη των ακροτάτων στο [, + ). - Για > είναι G () = ln + = ()ln + = =. Είναι G () > > - άρα G ' στο -,+ και G (στο Άρα η C έχει Ο.Ε. στο G - το, -. - G( ) = - και τοπικό μέγιστο στο το, αν ορίζεται στο [, + ). Αν ορίζεται στο το - γίνεται τ.ε. και το τ.μ. στο - -. Βii) Eύκολα με D L H. δείχνω ότι G () = οπότε η ζητούμενη ισχύει για =. Για >είναι G () - = ( ln + ) - = ln = G(). Γ) Με >, ισοδύναμα έχω: + ln + ln(ln) - ln = + ln( ln) - ln = lng() - G() + = () Θέτω h() = ln - +, >. Ισχύει ln -, > με την ισότητα να ισχύει στο. Άρα η () γράφεται ισοδύναμα h(g()) = G() = κι επειδή ΣΤ G = -, + αφού είναι lim G() = + +, θα υπάρχει μοναδικό : G( ) = (G 'στο -,+ ) Δ) Για (,) είναι G() <. Το ζητούμενο εμβαδό είναι το Έστω t > και κοντά σ αυτό. Τότε G() d = lim G() d. t t t t t ln t lnt t G() d = G() d = - d = και t Εναλλακτικά με παραγοντική έχω: G() d. L'H lim G() d = τμ t t 6 4 Bii E = () G()d = G() - G ()d = G() + d = -E + = -E E = E = τμ 4 6 Για Καθηγητές : Bi) Λόγω κέντρου συμμετρίας της C θα εργαστούμε στο (, + ), γνωρίζοντας ότι κάθε G πλάγια ευθεία ε: y = λ τέμνει τη C στο Ο(, ). Αν η C τέμνει την (ε) σε σημείο G G M(,y ) με > θα την τέμνει και στο σημείο M (-,-y ). Άρα αρκεί να βρω το πλήθος λύσεων της Mε Φ() = ln έχω G() = λ - - Φ () > > Φ ' στο,+ ln = λ για >. Φ () = (ln + ) = = - και ενώ - - Φ () < < < Φ ( στο (, ].

210 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) Επίσης επειδή Έτσι καταλήγω: Αν λ < - η lim Φ() = +, + - Φ( ) = -, C τέμνει την (ε) μόνο στο Ο. G limφ() = θα είναι ΣΤ Φ -, Αν λ = - η C τέμνει την (ε) σε σημεία στο Ο και στα (,- ),(-, ) G. Αν - <λ η C τέμνει την (ε) σε 5 σημεία μαζί με το Ο. G Αν λ > η C τέμνει την (ε) σε σημεία μαζί με το Ο. G Bii) Aπό τις ευθείες (ε) υπάρχει μία μόνο η δ: y = -, που τέμνει τη C σε σημεία, έχει G αρνητική κλίση και εφάπτεται σε απ αυτά τα - G =... = - ή εναλλακτικά το σύστημα G( ) = - - έχει μοναδική λύση την =. G ( ) = (,- ),(-, ), αφού ισχύει το - E = G() + d. Στο Φ() - στο, -. Άρα, - ισχύει G() -, αφού από Βi) είναι - = I + = I + 4 E Bii όπου - - I = ()'G()d = G() - G ()d = G( ) - G() + d = = - - I - =... = - - I 4I = - I = , άρα E= τμ 8. Δ) Με Βolzano στo [,] δ.ο. η εξίσωση + - = έχει ρίζα στο (,) που είναι μοναδική από τη μονοτονία της. Αρκεί ο συντελεστής της να είναι για να μην είναι ταυτοτική. Έστω ρ = G < c + γιατί G < στο (,) και <. Επίσης αν ρ = -G > c + c + για τον ίδιο λόγο. Ο συντελεστής γράφεται Gπεριττή ρ ρ ρ ρ -ρ ρ G(t)dt = G(t)dt + G(t)dt = - G(t)dt + G(t)dt = - G(t)dt + G(t)dt = ρ ρ ήu = -t αφού ισχύουν: ρ = G(t)dt > -ρ

211 Προταθηκε απ τον Μακη Μαντζαρη (/4/6) - ρ,ρ >, G ( > > > > G < G - ρ > ρ c + c + c + c + G αρνητική στο [ρ,- ρ ]. και

212 Προταθηκε απ τον Κωστα Δεββε (/4/6) Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [α,β] με (α) = (β) =, παραγωγίσιμη στο (α,β) με συνεχή και γνήσια φθίνουσα παράγωγο στο (α,β). Α. Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει ένα μόνο (α,β) στο οποίο η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο. ii) () >, για κάθε (α,β). () Β. Έστω η συνάρτηση g() = με (α,β). Να αποδείξετε ότι: () i) Υπάρχει (α, ) τέτοιο, ώστε o g()d = lng( ) + ln( - α). ii) Η συνάρτηση g έχει σύνολο τιμών το. () - ( ) iii) Υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε -, για κάθε [α,β]. ( ) Λύνει ο : Κώστας Δεββές Α) i) Roll για την στο [α,β]. Υπάρχει Αν (α, ) στο στο (α,β) με ( ) = μοναδικό. () > ( ) = και αν (,β) () < ( ) =, άρα η παρουσιάζει μέγι- (α,β). ii) γνήσια αύξουσα στο [α, ] άρα αν α < () > (α) = και γνήσια φθίνουσα στο [,β] άρα αν < β () > (β) =. Άρα () > για κάθε (α,β). Β) ( ) i) ΘΜΤ για την στο [α, ]. Υπάρχει (α, ) με ( ) =. -α ( ) ( )( - α) o o g()d = ln() = ln( ) - ln( ) = ln = ln = lng( ) + ln( - α) ii) Αρκεί αν c να υπάρχει ξ (α,β) με g(ξ) = c. Έστω ( ) ( ) - c h() = (), [α,β]. Roll για την h στο [α,β]. Υπάρχει ξ (α,β) με. - cξ - cξ h(ξ) = (ξ) - c(ξ) = g(ξ) = iii) Υπάρχει (α,β) με g( ) = ( ) = ( ) >. Η είναι κοίλη στο [α,β] και η εφαπτομένη της y = ( )( - ) + ( ). C στο Α(,( )) είναι () - ( ) Άρα για κάθε [α,β] είναι () ( )( - ) + ( ) - ( ) Λύνει ο : Τάκης Καταραχιάς (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Α. i) Η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες ROLLE στο [α,β] επόμενα υπάρχει (α,β)

213 Προταθηκε απ τον Κωστα Δεββε (/4/6) ώστε ( ) =. Όμως συνεχής και γνήσια φθίνουσα ( και ως εκ τούτου -) στο (α,β), οπότε το μοναδικό. Τώρα: Για α < () > (α) = γνήσια αύξουσα στο [α, ]. Για < β () > (β) = γνήσια φθίνουσα στο [,β]. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο. ii) Από τη συνέχεια και τη μονοτονία της συνάρτησης έχουμε : : (α, ] (, ( )] Άρα () > γιά κάθε (α,β). : [,β) (, ( )] Β. i) Η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [α, ], επό- ( ) μενα υπάρχει (α, ) ώστε ( ) = -α '( )( - α) = ( ) ln ( ) + ln( - α) = ln( ) ln ( ) + ln( - α) - ln( ) = ln( ) - ln( ) lng( ) + ln( - α) = ln( ) - ln( ) (ln())'d = lng( ) + ln( - α) g()d = lng( ) + ln( - α) ii) Έστω k και d() = () k. Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] (ως γινόμενο συνεχών), παραγωγίσιμη στο (α, β) με d () = () -k - k() -k, και επί πλέον d(α) = d(β) =. Επόμενα από θεώρημα ROLLE υπάρχει ξ (α,β) ώστε d ( ξ ) = -kξ -kξ (ξ ) ( ξ ) - k(ξ ) = = k g(ξ ) = k. (ξ ) Άρα η συνάρτηση g έχει σύνολο τιμών το. iii) Επειδή η συνάρτηση g έχει σύνολο τιμών το υπάρχει (α,β) ώστε g( ) ( ) ( ). Aν α από θεώρημα Μέσης Τιμής για τη στο [, ] υπάρχει t (α, ) () - ( ) ώστε = (t ) > ( ) = ( ) οπότε - () - ( ) () - ( ) < ( ) ( - ) ( ) < -. Aν β από θεώρημα Μέσης Τιμής για τη στο [, ] υπάρχει t (,) () - ( ) ώστε = (t ) < ( ) = ( ) οπότε - () - ( ) () - ( ) < ( ) ( - ) ( ) < -. Για = ισχύει η ισότητα στην αποδεικτέα. () - ( ) Άρα [α,β] ισχύει: -. ( )

214 Προταθηκε απ τον Κωστα Δεββε (/4/6) Λύνει ο : Μάκης Μάντζαρης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) A. i) Από Θ.Roll στο [α,β] υπάρχει (α,β) : '( ) =.Όμως ' ( στο (α,β) άρα, ii) συνεχης στο[α,β] α < < '() > '( ) = '() > ' στο [α, ] συνεχης στο[α,β] < < β '() < '( ) = '() < ( στο [,β] άρα στο η έχει ολικό μέγιστο ' α, o για α < () > (α) = () > ( o,β για < < β () > (β) = () > Άρα για κάθε (α,β) () > Β i) Στο (α, ) είναι () >, '() >, g() > Από ΘΜΤ στο [α, ] υπάρχει (α, ) : ii) ( ) - (α) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) = '( ) = ( - α) = g( )( - α) = -α - α ( ) ( ) ( ) ( ) ln(g( )( - α))( - α) = ln lng( ) + ln( - α) = ln( ) - ln( ) ( ) lng( ) + ln( - α) = o g()d= lng( ) + ln( - α) o α β '() (ln())'d lng( ) + ln( - α) = d o () lim () = (α) =, lim () = (β) =, () > κοντά στα α, β ακόμα ' ( στο [α,β], '( ) = '(α) >,'(β) <,', συνεχείς '(α) '(β) '() '() limg() = lim = +, limg() = lim = - α α () β β () Για την μονοτονία της g έχουμε : Έστω, (α,β) με < '( ) > '( ) ' ( '( ) > '( ) '( ) '( ) αν α < < > ' < ( ) < ( ) > > ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) > g( ) g ( στο (α, ] < - '( ) < - '( ) ' ( > '( ) > '( ) - '( ) - '( ) αν < < < β < ' ( ) > ( ) > < < ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) > g( ) > g( ) g στο (,β) ( ) ( ) ( Επιπλέον g συνεχής στο (α,β) άρα g ( στο (α,β) oπότε g((α,β)) = (limg(), limg()) = β α

215 Προταθηκε απ τον Κωστα Δεββε (/4/6) '( ) iii) g((α,β)) = (α,β) : g( ) = = '( ) = ( ) ( ) τώρα ' ( στο (α,β) και συνεχής στο [α,β], άρα κοίλη στο [α,β] Η εφαπτόμενη της C στο είναι '( ) = ( ) y = '( )( - ) + ( ) = ( )( - ) + ( ) Άρα () y, [α,β] () ( )( - ) + ( ), [α,β] () - ( ) -, [α,β] ( )

216 Προταθηκε απ τον Σπυρο Μπρινια (7/4/6) Αποδείξτε ότι για κάθε > ισχύει - ln - > Λύνει ο : Σπύρος Μπρίνιας Θεωρώ την συνάρτηση ορισμού της με > + για κάθε > () h() = - ln -, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο h () = - ln - > (Α) ln - - ln - για κάθε > Προσθέτοντας κατά μέλη τις, προκύπτει ότι h () > για κάθε >. Επειδή προφανώς επιπλέον η h() είναι και συνεχής στο (, + ) το h((, + )) = ( lim h(), lim h()) + + lim h() = lim ( - ln - ) = - - = + + αφού : ln (ln)' lim ln = lim = lim = lim - = ' Άρα h((, + )) = (, lim h()) επομένως + - ln - > και άρα από την (Α) έχω h() > - ln - > για κάθε >. Λύνει ο : Παύλος Τρύφων (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Ισχύει για κάθε > ότι + > > ln > > ln + > + > ln + ln + < + () Θέλουμε να αποδείξουμε ότι - ln - > ln + < - Οπότε λόγω της σχέσης () αρκεί να αποδείξουμε ότι + < -, για κάθε > Πράγματι, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο Άρα για > () > () +> - () = + - +, () = + >, (ως συνεχής στο ) Λύνει ο : Ανδρέας Πάτσης (εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων) Για < < έχω: - ln - > που ισχύει αφού - - > ln - - > (κατόπιν απόδειξης) για κάθε < <