Κεφάλαιο 8. Συνοριακά προβλήµατα. και uy = vx. Αρα. και uyy = vxy. , οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι uxx

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Συνοριακά προβλήµατα 81 Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 81 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών και y Θα λέµε ότι η f είναι αρµονική στο E αν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace f + f = 0 για κάθε (, y) E yy Θεώρηµα 81 Εστω f ( z) = uy (, ) + ivy (, ) είναι ολόµορφη συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο E Τότε οι συναρτήσεις u(, y ) και v(, y ) είναι αρµονικές στο E Απόδειξη Εφόσον η f είναι αναλυτική στο E τότε οι συναρτήσεις u(, y ) και v(, y ) είναι απειροδιαφορίσιµες στο E και ικανοποιούν τις συνθήκες Cauchy-Riemann u = vy και uy = v Αρα u = vy και uyy = vy και εφόσον η v έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης θα ισχύει vy = vy, οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι u + uyy = 0 για κάθε (, y) E Οµοια είναι η απόδειξη για τη v Ορισµός 8 Αν uv, : E είναι πραγµατικές συναρτήσεις f z = u, y + iv, y να σε ανοικτό σύνολο E τέτοιες ώστε η είναι ολόµορφη στο E, τότε οι uv, καλούνται αρµονικές συζυγείς επί του συνόλου E H v καλείται αρµονική συζυγής της u Στο ερώτηµα «αν u είναι αρµονική συνάρτηση σ ένα σύνολο A µπορούµε πάντα να βρούµε µια συζυγή αρµονική της v ώστε η f = u+ iv να είναι αναλυτική στο A» η απάντηση είναι πολύπλοκη και εξαρτάται από τη µορφή του συνόλου A Iσχύει η ακόλουθη 36

2 Πρόταση 81 Αν u είναι αρµονική συνάρτηση σε απλά συνεκτικό τόπο E, τότε υπάρχει µοναδική ολόµορφη συνάρτηση f στο E έτσι ώστε u = Re( f ) Συνεπώς η u έχει µοναδική αρµονική συζυγή v µε προσέγγιση σταθεράς Παράδειγµα Αν u( y) αυτής, = 3yυπολογίστε τις συζυγείς αρµονικές Λύση Από τις συνθήκες Cauchy-Riemmann έχουµε 3 vy u 3y v 3ydy a( = = = + ) v= y + a( ) v = uy = 3 v = 3 v = v= y + a ( ) v= y + a v= y + a 3 v 3 a ( ) 3 a ( ) = = = a( ) = + c 3 v(, y) = ( y ) + c Πρόταση 8 (αρχή µεγίστου για αρµονικές συναρτήσεις) Αν u είναι µια αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E, όπου E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u παίρνει µέγιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Πρόταση 83 Αν u είναι µια αρµονική συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και uy (, ) = cπάνω στο σύνορο E, όπου το E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u(, y) = c παντού στο E Ορισµός 83 Εστω u0, y είναι δοθείσα συνεχής συνάρτηση πάνω στο σύνορο E Το (συνοριακό) πρόβληµα Dirichlet ασχολείται µε την εύρεση u, y τέτοιας ώστε: πραγµατικής συνάρτησης E είναι φραγµένος τόπος και u να είναι αρµονική στο εσωτερικό του E και u, y = u, y στο E 0 Θα λύσουµε το πρόβληµα αυτό σε κάποια χωρία του επιπέδου 37

3 χρησιµοποιώντας µια πολύ χρήσιµη µέθοδο, το χωρισµό µεταβλητών Προηγουµένως όµως ας δώσουµε µερικούς γενικότερους ορισµούς 8 Μια Εισαγωγή στις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ορισµός 84 Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση, ή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους (στο εξής Μ Ε), µια εξίσωση που περιέχει τουλάχιστον µια από τις µερικές παραγώγους (1ης ή ανώτερης τάξης) µιας άγνωστης πραγµατικής συνάρτησης δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Ορισµός 85 Τάξη Μ Ε καλείται η τάξη της µεγαλύτερης µερικής παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση Ορισµός 86 Λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε Γενική λύση Μ Ε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε την τάξη της Ορισµός 87 Μερική λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε και προκύπτει από τη γενική λύση της µε συγκεκριµένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων k n Στο εξής όταν γράφουµε u C εννονούµε ότι η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους k τάξης σε κάθε σηµείο του Παράδειγµα Εστω u C n είναι πραγµατική συνάρτηση µε u = ( + y) y Η γενική λύση αυτής υπολογίζεται µε απευθείας ολοκληρώσεις: uy = ( + y) u = ( + y) dy= y+ y + a ( ) u = y + y + a d = y + y + a d + b y = u y y a1 b y Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες Μ Ε: οι γραµµικές και οι µη 38

4 γραµµικές Για τη διδιάστατη περίπτωση, αν ABΓ,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : άγνωστη συνάρτηση, τότε κάθε Μ Ε της µορφής A, y u + B(, y) u +Γ, y u = 0 καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε 1 ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Ayu (, ) + Byu (, ) y +Γ( yu, ), τότε L au + bv = al u + bl v Υπενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις µιας οµογενούς Μ Ε, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύση της ίδιας Μ Ε Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (, ) (, ) A yu + Byu +Γ yu= f y, y όπου AB,, Γ, f: είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε 1 ης τάξης Στην περίπτωση αυτή, αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς Μ Ε και µια µερική λύση της µη οµογενούς Μ Ε παίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς Μ Ε Επιλύστε τη Μ Ε u + α uy = 0, όπου, α σταθερά 1 Παράδειγµα Εστω u C Λύση Είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε Τότε: u u + α uy = 0 ( 1, α) i( u, uy) = 0 ( 1, α) i u= 0 = 0, a όπου a = ( 1,α ) y Εφόσον η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a ισούται µε µηδέν, η γενική λύση u της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας παράγεται απ το διάνυσµα a, δηλαδή κατά µήκος όλων των ευθειών της µορφής y= α + b, b αυθαίρετη σταθερά 39

5 Αυτές καλούνται χαρακτηριστικές καµπύλες της Μ Ε Ετσι, u(, y) = C πάνω σε κάθε ευθεία y= α + b, όπου C σταθερά κατά µήκος συγκεκριµένης ευθείας που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η ευθεία, δηλαδή εξαρτάται απ το b, συνεπώς το C είναι συνάρτηση του b Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι: (, ) ( α ) u y = C b = C y, όπου C είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση στο µε συνεχή παράγωγο Συχνά θέλουµε να υπολογίσουµε συγκεκριµένες λύσεις Μ Ε που ικανοποιούν επιπλέον συνθήκες Οι συνθήκες αυτές είναι: αρχικές συνθήκες (Cauchy), αν το πρόβληµά µας είναι χρονοεξαρτώµενο (δίνουν πληροφορία στην αρχή του χρόνου), συνοριακές συνθήκες (Dirichlet), αν το πρόβληµα αναφέρεται σ ένα φραγµένο χωρίο (δίνουν πληροφορία για την κατάσταση στο σύνορο), είτε συνδυασµός αυτών Μια Μ Ε µαζί µε τις επιπλέον συνθήκες λέµε ότι αποτελεί ένα πρόβληµα Ενα πρόβληµα είναι καλώς τεθιµένο αν έχει µοναδική και ευσταθή λύση, δηλαδή µικρή µεταβολή των συνθηκών επιφέρει εξίσου µικρή µεταβολή στη λύση Παράδειγµα Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών/συνοριακών συνθηκών ut + u = u(,0) = 0,, t > 0 u( 0, t) = 0 Λύση Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το µετασχηµατισµό Laplace Εστω t (, ) = L u(, t) F s είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της u ως προς t (υπό την 40

6 προϋπόθεση ότι η u (και η u ) είναι εκθετικής τάξης ως προς t ) Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο > 0 και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Laplace L t και στα δυο µέλη της Μ Ε Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace και παίρνουµε: d + = + = d t ( u u ) ( ) sf(, s) u(,0 ) F(, s) t L t L s d s 1 F(, s) + F(, s) = > 0 d s u,0 = 0 Για σταθεροποιηµένο s, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε 1 ης τάξης ως προς > 0 µε γενική λύση: s s d 1 d 1 s s F(, s) = e C( s) e + d= C( s) + d s s Aλλά s+ 1 s C s = C() s + = + s s( s+ 1) s s+ 1 t t u 0, t = 0 L u 0, t = L 0 F 0, s = 0 Πρέπει λοιπόν C( s ) = 0, συνεπώς: Στον t t F(, s) = L ( F(, s) ) = L s( s+ 1) s( s+ 1) 1 t t 1 t 1 u(, t) = L = s( s 1 L L + ) s s+ 1 t = 1 e, t, 0, κάθε Μ Ε της µορφής Ayu, + Byu (, ) +Γ yu, + yu, + Eyu, + Z yu, = 0 y yy y 41

7 καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, ενώ η A yu, + Byu (, ) +Γ yu, + yu, + E yu, + Z yu, = f( y, ) y yy y καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,, Z και f είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Μια διδιάστατη γραµµική Μ Ε ης τάξης καλείται: Ελλειπτική σε σηµείο (, y ), αν ( A B )( y ) Γ, > Υπερβολική σε σηµείο (, y ), αν ( A B )( y ) Γ, < Παραβολική σε σηµείο (, y ), αν ( A B )( y ) Γ, = Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµπύλων στο επίπεδο Αν η Μ Ε είναι πχ ελλειπτική σε κάθε σηµείο χωρίου E, τότε λέµε ότι η Μ Ε είναι ελλειπτική στο E Χαρακτηριστική περίπτωση πχ ελλειπτικής γραµµικής Μ Ε ης τάξης είναι η εξίσωση Laplace Ασκήσεις 1 Υπολογίστε την τάξη των κάτωθι Μ Ε: u 3u u u + + =, 3 y y 3 + =, 6 uz uyz u u u y 3 3 u 3u + u = u, y y uu + uu + uu = 1+ yu y y y Ποιες από τις παρακάτω Μ Ε είναι γραµµικές; u + 3uy zuz = 4u, u yuy = yu, u u + yu = 0, y 6 u + 3u + u = u, u 3u + u u 3 = u y, y y z yz 3 3 u 3u + u = u, y y uu + uu + uu = 1+ yu y y y 4

8 3 Yπολογίστε τη γενική λύση των Μ Ε: u 1 + uy = 1, u + 3uy = 0, u(,0) = Ταξινοµήστε τις γραµµικές Μ Ε ης τάξης: 3u + u + 5u + u = 0, u + u = 0, y yy y yy u = c u c>,, 0 tt u + 4u + 5u + u + u = 0, u 4u + 4u + 3u + 4u = 0, y yy y u u 3u u 6u 0 y yy y y yy y 1+ u + yu y u = =, y yy 43

9 83 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Ενας τρόπος επίλυσης προβληµάτων Dirichlet µας παρέχει η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Εφαρµόζεται σε γραµµικές οµογενείς Μ Ε µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Με αυτή την τεχνική ψάχνουµε για λύσεις ειδικής µορφής εχόµαστε ότι µια λύση µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο αγνώστων συναρτήσεων, η κάθε µια εκ των οποίων εξαρτάται από µια µόνο µεταβλητή Υποθέτοντας ότι µπορούµε να βρούµε µια λύση της Μ Ε αυτής της µορφής αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στη Μ Ε και καταλήγουµε σε σύστηµα συνήθων δε Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα των συνοριακών τιµών u = uy u(0, y) = e Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Υποθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή ut (, ) = X( Yt ) Τότε: u (, ) y = X Y y και u (, ) y y = X Y y Aντικαθιστούµε στη M Ε και παίρνουµε 5 y X ( ) Y( y) = X( ) Y ( y) Για να ισχύει αυτή η σχέση θα πρέπει να έχουµε X ( ) Y ( y) = = λ X( ) Y( y) ( X 0, Y 0) για κάποια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά λ Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια λύση θα πρέπει να ισχύει X ( ) λ X( ) = 0 Y ( y) λy( y) = 0 44

10 Οι παραπάνω είναι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως µε γενική λύση λ X( ) = Ae λ y Y( y) = Be Συνεπώς ( y) uy (, ) = ABe λ + Αλλά από την υπόθεση έχουµε άρα u(0, y) ABe e λ y 5 y = =, AB = λ = 5 Εποµένως η ζητούµενη λύση είναι η uy (, ) e + 5( y) = Παράδειγµα (Το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο) και Εστω u C ( Q) C( Q) : u = u(, y) {(, ) : 0, 0 } Q= y < < L < y< H είναι ανοικτό ορθογώνιο µε πλευρές µήκους L και H αντιστοίχως Θα επιλύσουµε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβληµα Dirichlet: u + uyy = 0, y Q u(,0) = 0 0 L u(, H) = 0 0 L, u( 0, y) = 0 0 y H u( L, y) = g( y) 0 y H όπου g είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση του y στο διάστηµα [ 0, H ], µε g( 0) = g( H) = 0 ώστε να έχουµε συνέχεια της u στο σύνορο Εστω µη µηδενική λύση της µορφής: 45

11 (, ) X( ) Y( y) u y = Αρχικά χρησιµοποιούµε τις (τρεις πρώτες) οµογενείς αρχικές συνθήκες και παίρνουµε u,0 = 0 X Y 0 = 0 u, H = 0 X Y H = 0 X( 0) = Y( 0) = Y( H) = 0 u 0, y 0 = X 0 Y y = 0, (81) αλλιώς X( ) = 0 [ 0, L] ή Y( y) 0 y [ 0, H] =, άρα η λύση µας u είναι η µηδενική Οσον αφορά τη µη οµογενή συνοριακή συνθήκη, έχουµε απλώς (, ) u L y = g y X L Y y = g y (8) Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη συγκεκριµένη µορφή της λύσης στην εξίσωση Laplace και παίρνουµε: X Y y = = λ (83) X Y y για κάποια πραγµατική σταθερά λ Ετσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών γραµµικών δε ης τάξης X ( ) λ X( ) = 0, λ Y ( y) + λy( y) = 0 µαζί µε τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες (81) και (8) Ασχολούµαστε αρχικά µε το απλούστερο (εκ των δυο) πρόβληµα ιδιοτιµών (µε οµογενείς αρχικές συνθήκες) λ Y( H) Y y + Y y = 0, Y 0 = = 0 λ ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: α) λ = 0 Τότε 46

12 Y = 0 Y( y) = Ay+ B, A, B Με χρήση των αρχικών συνθηκών Y( 0) = Y( H) = 0 προκύπτει άµεσα η λύση Y( y ) = 0, άρα και η τετριµµένη λύση u = 0 για κάθε (, y ) εντός του Q, άτοπο β) λ < 0 Τότε λ 0 y λy Y + λy = Y y = Ae + BAe, A, B Πάλι µε χρήση των αρχικών συνθηκών Y Y( H) άµεσα η λύση 0 0 = = 0 προκύπτει Y y =, άρα και η τετριµµένη λύση u = 0, άτοπο γ) λ > 0 Τότε Y + λy = 0 Y( y) = Acos λy + Bηµ λy, A, B Με χρήση των αρχικών συνθηκών Y Y( H) 0 = = 0 προκύπτει A 0 B 0 = A= 0 A = 0 0= Bsin( λh) sin( λh) = 0 λ H = kπ A = 0 kπ λ = H k =, 1,,, όπου θεωρήσαµε B 0 και λ 0, διότι για B = 0 ή λ = 0 πάλι θα παίρναµε Y( y ) = 0 άρα και την τετριµµένη λύση u = 0 Ετσι προκύπτουν οι λύσεις kπ y Yk( y) = Bksin, Bk, k = 1,, H Τελικά, µη τετριµµένες λύσεις Y παίρνουµε για τις ιδιοτιµές 47

13 kπ kπ y λk =, k = 1,,, µε ιδιοδιανύσµατα Bk sin H H Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές του λ στην (83) παίρνουµε µε λύσεις kπ X ( ) = λkx( ), λk =, k = 1,, H λk λk π / π / X = Ae + Be = A e k H + B e k H, A, B k k k k k Μάλιστα, θέτοντας γράφεται ως Ck Ak = Ck Bk = + D D k k, C, D k k, η γενική λύση της X k kπ kπ Xk( ) = Ckcosh + Dksinh, Ck, Dk, k = 1,, H H Λαµβάνοντας υπόψη τώρα την οµογενή συνοριακή συνθήκη (81) για τη X παίρνουµε: Xk( 0) = 0 Ck = 0, άρα k ksinh k π X D =, Dk H κι έτσι οι k(, ) k k ksinh k π u y X Y y D Bksin k π y = = H H kπ kπy = Gksinh sin, Gk= BD k k, k= 1,,, H H είναι λύσεις του προβλήµατος Dirichlet που ικανοποιεί τις τρεις πρώτες οµογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης και η 48

14 kπ kπy u(, y) = u (, ) sinh sin k 1 k y = G = k= 1 k H H (84) αποτελεί λύση υπό την προϋπόθεση ότι η παραπάνω σειρά συναρτήσεων έχει νόηµα (δηλαδή συγκλίνει µε κάποια έννοια) Μένει να ελέγξουµε τη συνθήκη (8): kπl kπy u L y g y G k 1 k g y = H H (, ) = sinh sin = όπου kπ y = k= 1 H M k sin g( y), (85) M k kπ L : = Gksinh H, υπό την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει σηµειακά στα συνοριακά σηµεία ( L, y ) στις τιµές g( y ) Oι συντελεστές M k προσδιορίζονται µε µοναδικό τρόπο από τη θεωρία των σειρών Fourier Η σειρά (85) θυµίζει τη σειρά Fourier ηµιτόνων της συνάρτησης g Με την επιπλέον υπόθεση ότι η g έχει συνεχή g 0 = g H = 0, θεωρώντας την περιττή παράγωγο στο [ 0, H ] και επέκταση της g στο διάστηµα [ H,0] και επεκτείνοντας τη g περιοδικά πάνω στην πραγµατική ευθεία, υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών 1 H kπy H kπy M k : = g( y) sin dy g( y) sin dy H H = H H 0 H τέτοια ώστε kπ y Sg y M k 1 k g y = L = sin = kπ L απόλυτα και οµοιόµορφα στο [ 0, H ] Εφόσον Mk : = Gksinh H, αντικαθιστώντας στην (8) παίρνουµε ότι λύση του προβλήµατος Dirichlet είναι η ακόλουθη: 49

15 H kπω g sin d H ω ω 0 H kπ kπy u(, y) = sinh sin k= 1 kπ L H H sinh H Η παραπάνω ικανοποιεί την αρχική συνθήκη, οπότε αν η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δυο φορές ως προς και ως προς y, τότε αυτή είναι η λύση Πρόταση 81 Εστω Ω είναι ανοικτό, συνεκτικό και φραγµένο n σύνολο του Τότε, αν υπάρχει λύση u C ( Ω) C( Ω) στο πρόβληµα Dirichlet, τότε αυτή η λύση είναι µοναδική Απόδειξη Εστω u, v είναι δύο λύσεις του προβλήµατος Dirichlet Θέτουµε φ = u v Τότε η φ είναι αρµονική στο Ω και φ = 0 πάνω στο σύνορο Ω Τότε, από την αρχή µεγίστου αναγκαστικά φ 0 στο Ω Οµοίως, η φ είναι επίσης αρµονική στο Ω και ισχύει φ = 0 πάνω στο σύνορο Ω Αρα φ 0 στο Ω και τελικά φ = 0 στο Ω Παράδειγµα (Παλλόµενη χορδή) Εστω ότι η συνάρτηση ut (, ) 0, T χορδής τη χρονική στιγµή t δίνει τη µετατόπιση σηµείου [ ] µε ακίνητα άκρα u(0, t) = u( T, t) = 0 Υποθέτουµε ότι η αρχική ταχύτητα σε κάθε σηµείο της χορδής είναι µηδέν, δηλαδή ut (,0) = 0 και τη χρονική στιγµή t =0 η θέση κάθε σηµείου της χορδής περιγράφεται από µια συνάρτηση f ( ), άρα Να υπολογισθεί η ut (, ) u (,0) = f( ) Λύση Η µερική διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση αυτή δίνεται από τη σχέση u = c u, tt 50

16 όπου c σταθερά που σχετίζεται µε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος Υποθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή ut (, ) = X( Yt ) Παραγωγίζοντας έχουµε: u(, t) = X ( ) Y( t) uyy (, t) = X( ) Y ( t) Αντικαθιστώντας στη µδε παίρνουµε οπότε X( ) Y ( t) = c X ( ) Y( t), Y () t X ( ) = () X( ) cy t Για να ισχύει η σχέση αυτή θα πρέπει: Y () t X ( ) = = λ () X( ) cy t για κάποια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια λύση της διαφορικής εξίσωσης θα πρέπει οι συναρτήσεις XY, να ικανοποιούν τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις X ( ) + λ X( ) = 0 Y () t + λc Y() t = 0 Από τις συνοριακές συνθήκες έχουµε και άρα: u(0, t) = X(0) Y( t) = 0, utt (, ) = XTYt = 0, X(0) = X( T) = 0 Ετσι, έχουµε το πρόβληµα αρχικών τιµών: 51

17 X ( ) + λ X( ) = 0 0 X(0) = X( T) = 0 Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι ( < < T ) r + λ = 0 ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (i) Εστω b 0, ( b 0) λ = > > Τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι r =± bi και άρα η γενική λύση δίνεται από τη σχέση X ( ) = Acosb+ Bsinb Από την αρχική συνθήκη X (0) = 0 προκύπτει ότι c =0 1 ενώ από την αρχική συνθήκη XT =0 παίρνουµε και άρα Οι αριθµοί sinbt = 0 nπ b=, n= 1,, T nπ λn = T είναι οι ιδιοτιµές του προβλήµατος συνοριακών τιµών και οι συναρτήσεις nπ Bn sin T είναι οι ιδιοσυναρτήσεις Για την εύρεση της Y (µε τα λ n που ήδη έχουµε υπολογίσει) έχουµε npc npc Yn() t = Cncos t+ Dnsin t T T Αρα από την αρχή της υπέρθεσης και η 5

18 npc npc nπ u(, t) = Cncos t+ Dnsin t Bnsin n= 1 T T T npc npc nπ = Γ ncos t+ nsin t sin n= 1 T T T αποτελεί µια λύση της µδε Παραγωγίζοντας την παραπάνω ως προς t όρο προς όρο παίρνουµε npc npc npc npc nπ ut = Cn sin t+ Dn cos t Bnsin n= 1 T T T T T και επειδή u,0 = 0 έχουµε t npc nπ n sin t sin = 0 n= 1 T T Από τη θεωρία των τριγωνοµετρικών σειρών η παραπάνω υπονοεί ότι npc nsin t = 0 n = 0 t, T άρα npc nπ u(, t) = Γn cos tsin n= 1 T T Τέλος για να ισχύει η συνθήκη u(,0) f ( ) = θα πρέπει npc nπ f ( ) = Γn cos tsin, n= 1 T T συνεπώς από τη θεωρία των σειρών Fourier θα πρέπει οι είναι οι συντελεστές Fourier της f, δηλ nπ Γ n = T T T f sin d 0 (ii) Για λ 0 καταλήγουµε σε τετριµένες λύσεις Γ n να 53

19 Ασκήσεις 1 είξτε ότι η λύση του προβλήµατος διάδοσης θερµότητας ut = u u( 0, t) = u( π, t) = 0, 0 < <, t > 0 u(,0) = f ( ) ( π ) 1 u t = f d + e n f n d π π π π nt είναι η (, ) συν συν 0 0 n= 1 Λύστε την κυµατική εξίσωση utt = u µε αρχικές/συνοριακές συνθήκες u( 0, t) = u( π, t) = 0 u(,0) = ηµ ( ), ( 0 < < π, t > 0) ut (,0) = 0 3 Να επιλυθεί µε τη µέθοδο Laplace το πρόβληµα αρχικώνσυνοριακών τιµών ut u = 0 u(,0 ) =,, t 0 u( 0, t) = t 4 Να επιλυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών u + 3uy = 0,, u(,0) = e ( y ) 5 Eπιλύστε το πρόβληµα Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο: ur 1 urr + + u 0 θθ = r r, u( 1, θ) = f ( θ) όπου u = u(, r θ ) και f είναι συνεχής π-περιοδική συνάρτηση 6 Eπιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Dirichlet: 54

20 { } + u + uyy = 0, στο χωριο Π =, y : y> 0, + u(,0 ) = f ( ), πανω στην πραγµατικη ευθεια (το συνορο του Π ) u y d<, lim u (, ) y = lim u(, y) = 0 και f είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση πάνω στην πραγµατική ευθεία όπου (, ) Υπόδειξη Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο Fourier 7 Εστω u C ( Ω) C( Ω ) : u= u(, y) φραγµένη στο Ω Ω και {( y, ) : 0, 0 y 1} Ω= > < < είναι ανοικτό µη φραγµένο ορθογώνιο Eπιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Dirichlet: u + uyy = 0, y Ω u ( 0, y) = 0 0 y 1 uy (,0) = 0 πανω στην ηµιευθεια 0 u(,1) = f ( ) πανω στην ηµιευθεια y= 1 για 0 8 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichlet: ut u = 0, t > 0, 0 < < L u(,0 ) = φ ( ), 0 L, u( 0, t) = u( L, t) = 0, t 0 όπου φ C[ 0, L] µε φ φ ( L) 0 = = 0 9 Επιλύστε το πρόβληµα ut = 3 u, 0< < 1 u( 0, t) = u( 1, t) = 0, t 0 ut (,0) =,

21 Bιβλιογραφία 1 Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές R Churchill-J Brown Mετάφραση: Καραγιαννάκης, ΠΕΚ (1993) Βασική Μιγαδική Ανάλυση Jerrold Mardsen, Michael Hofmann Mετάφραση: Λ Παπαλουκάς Εκδόσεις Συµµετρία 3 Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές Ε Γ Γαλανής Εκδόσεις Συµεών (1994) 4 Τheory and problems of comple Variables M Spiegel, McGraw-Hill 5 Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις Schaum s series, R Bronson (µετάφραση Σ Περσίδης) 6 ιαφορικές Εξισώσεις Κ Σεραφειµίδης, Εκδ Σοφία Differential equations P Dawkins (007) 8 The Laplace transform Theory and Applications J L Schiff Spinger 9 Elementary differential equations and boundary value problems W E Boyce and R C Diprima John Willey and Sons Inc Real Analysis Walter Rudin (3 rd Edition) 56