Κεφάλαιο 8. Συνοριακά προβλήµατα. και uy = vx. Αρα. και uyy = vxy. , οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι uxx

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8. Συνοριακά προβλήµατα. και uy = vx. Αρα. και uyy = vxy. , οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι uxx"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Συνοριακά προβλήµατα 81 Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 81 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών και y Θα λέµε ότι η f είναι αρµονική στο E αν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace f + f = 0 για κάθε (, y) E yy Θεώρηµα 81 Εστω f ( z) = uy (, ) + ivy (, ) είναι ολόµορφη συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο E Τότε οι συναρτήσεις u(, y ) και v(, y ) είναι αρµονικές στο E Απόδειξη Εφόσον η f είναι αναλυτική στο E τότε οι συναρτήσεις u(, y ) και v(, y ) είναι απειροδιαφορίσιµες στο E και ικανοποιούν τις συνθήκες Cauchy-Riemann u = vy και uy = v Αρα u = vy και uyy = vy και εφόσον η v έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης θα ισχύει vy = vy, οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι u + uyy = 0 για κάθε (, y) E Οµοια είναι η απόδειξη για τη v Ορισµός 8 Αν uv, : E είναι πραγµατικές συναρτήσεις f z = u, y + iv, y να σε ανοικτό σύνολο E τέτοιες ώστε η είναι ολόµορφη στο E, τότε οι uv, καλούνται αρµονικές συζυγείς επί του συνόλου E H v καλείται αρµονική συζυγής της u Στο ερώτηµα «αν u είναι αρµονική συνάρτηση σ ένα σύνολο A µπορούµε πάντα να βρούµε µια συζυγή αρµονική της v ώστε η f = u+ iv να είναι αναλυτική στο A» η απάντηση είναι πολύπλοκη και εξαρτάται από τη µορφή του συνόλου A Iσχύει η ακόλουθη 36

2 Πρόταση 81 Αν u είναι αρµονική συνάρτηση σε απλά συνεκτικό τόπο E, τότε υπάρχει µοναδική ολόµορφη συνάρτηση f στο E έτσι ώστε u = Re( f ) Συνεπώς η u έχει µοναδική αρµονική συζυγή v µε προσέγγιση σταθεράς Παράδειγµα Αν u( y) αυτής, = 3yυπολογίστε τις συζυγείς αρµονικές Λύση Από τις συνθήκες Cauchy-Riemmann έχουµε 3 vy u 3y v 3ydy a( = = = + ) v= y + a( ) v = uy = 3 v = 3 v = v= y + a ( ) v= y + a v= y + a 3 v 3 a ( ) 3 a ( ) = = = a( ) = + c 3 v(, y) = ( y ) + c Πρόταση 8 (αρχή µεγίστου για αρµονικές συναρτήσεις) Αν u είναι µια αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E, όπου E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u παίρνει µέγιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Πρόταση 83 Αν u είναι µια αρµονική συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και uy (, ) = cπάνω στο σύνορο E, όπου το E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u(, y) = c παντού στο E Ορισµός 83 Εστω u0, y είναι δοθείσα συνεχής συνάρτηση πάνω στο σύνορο E Το (συνοριακό) πρόβληµα Dirichlet ασχολείται µε την εύρεση u, y τέτοιας ώστε: πραγµατικής συνάρτησης E είναι φραγµένος τόπος και u να είναι αρµονική στο εσωτερικό του E και u, y = u, y στο E 0 Θα λύσουµε το πρόβληµα αυτό σε κάποια χωρία του επιπέδου 37

3 χρησιµοποιώντας µια πολύ χρήσιµη µέθοδο, το χωρισµό µεταβλητών Προηγουµένως όµως ας δώσουµε µερικούς γενικότερους ορισµούς 8 Μια Εισαγωγή στις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ορισµός 84 Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση, ή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους (στο εξής Μ Ε), µια εξίσωση που περιέχει τουλάχιστον µια από τις µερικές παραγώγους (1ης ή ανώτερης τάξης) µιας άγνωστης πραγµατικής συνάρτησης δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Ορισµός 85 Τάξη Μ Ε καλείται η τάξη της µεγαλύτερης µερικής παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση Ορισµός 86 Λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε Γενική λύση Μ Ε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε την τάξη της Ορισµός 87 Μερική λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε και προκύπτει από τη γενική λύση της µε συγκεκριµένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων k n Στο εξής όταν γράφουµε u C εννονούµε ότι η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους k τάξης σε κάθε σηµείο του Παράδειγµα Εστω u C n είναι πραγµατική συνάρτηση µε u = ( + y) y Η γενική λύση αυτής υπολογίζεται µε απευθείας ολοκληρώσεις: uy = ( + y) u = ( + y) dy= y+ y + a ( ) u = y + y + a d = y + y + a d + b y = u y y a1 b y Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες Μ Ε: οι γραµµικές και οι µη 38

4 γραµµικές Για τη διδιάστατη περίπτωση, αν ABΓ,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : άγνωστη συνάρτηση, τότε κάθε Μ Ε της µορφής A, y u + B(, y) u +Γ, y u = 0 καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε 1 ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Ayu (, ) + Byu (, ) y +Γ( yu, ), τότε L au + bv = al u + bl v Υπενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις µιας οµογενούς Μ Ε, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύση της ίδιας Μ Ε Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (, ) (, ) A yu + Byu +Γ yu= f y, y όπου AB,, Γ, f: είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε 1 ης τάξης Στην περίπτωση αυτή, αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς Μ Ε και µια µερική λύση της µη οµογενούς Μ Ε παίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς Μ Ε Επιλύστε τη Μ Ε u + α uy = 0, όπου, α σταθερά 1 Παράδειγµα Εστω u C Λύση Είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε Τότε: u u + α uy = 0 ( 1, α) i( u, uy) = 0 ( 1, α) i u= 0 = 0, a όπου a = ( 1,α ) y Εφόσον η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a ισούται µε µηδέν, η γενική λύση u της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας παράγεται απ το διάνυσµα a, δηλαδή κατά µήκος όλων των ευθειών της µορφής y= α + b, b αυθαίρετη σταθερά 39

5 Αυτές καλούνται χαρακτηριστικές καµπύλες της Μ Ε Ετσι, u(, y) = C πάνω σε κάθε ευθεία y= α + b, όπου C σταθερά κατά µήκος συγκεκριµένης ευθείας που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η ευθεία, δηλαδή εξαρτάται απ το b, συνεπώς το C είναι συνάρτηση του b Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι: (, ) ( α ) u y = C b = C y, όπου C είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση στο µε συνεχή παράγωγο Συχνά θέλουµε να υπολογίσουµε συγκεκριµένες λύσεις Μ Ε που ικανοποιούν επιπλέον συνθήκες Οι συνθήκες αυτές είναι: αρχικές συνθήκες (Cauchy), αν το πρόβληµά µας είναι χρονοεξαρτώµενο (δίνουν πληροφορία στην αρχή του χρόνου), συνοριακές συνθήκες (Dirichlet), αν το πρόβληµα αναφέρεται σ ένα φραγµένο χωρίο (δίνουν πληροφορία για την κατάσταση στο σύνορο), είτε συνδυασµός αυτών Μια Μ Ε µαζί µε τις επιπλέον συνθήκες λέµε ότι αποτελεί ένα πρόβληµα Ενα πρόβληµα είναι καλώς τεθιµένο αν έχει µοναδική και ευσταθή λύση, δηλαδή µικρή µεταβολή των συνθηκών επιφέρει εξίσου µικρή µεταβολή στη λύση Παράδειγµα Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών/συνοριακών συνθηκών ut + u = u(,0) = 0,, t > 0 u( 0, t) = 0 Λύση Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το µετασχηµατισµό Laplace Εστω t (, ) = L u(, t) F s είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της u ως προς t (υπό την 40

6 προϋπόθεση ότι η u (και η u ) είναι εκθετικής τάξης ως προς t ) Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο > 0 και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Laplace L t και στα δυο µέλη της Μ Ε Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace και παίρνουµε: d + = + = d t ( u u ) ( ) sf(, s) u(,0 ) F(, s) t L t L s d s 1 F(, s) + F(, s) = > 0 d s u,0 = 0 Για σταθεροποιηµένο s, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε 1 ης τάξης ως προς > 0 µε γενική λύση: s s d 1 d 1 s s F(, s) = e C( s) e + d= C( s) + d s s Aλλά s+ 1 s C s = C() s + = + s s( s+ 1) s s+ 1 t t u 0, t = 0 L u 0, t = L 0 F 0, s = 0 Πρέπει λοιπόν C( s ) = 0, συνεπώς: Στον t t F(, s) = L ( F(, s) ) = L s( s+ 1) s( s+ 1) 1 t t 1 t 1 u(, t) = L = s( s 1 L L + ) s s+ 1 t = 1 e, t, 0, κάθε Μ Ε της µορφής Ayu, + Byu (, ) +Γ yu, + yu, + Eyu, + Z yu, = 0 y yy y 41

7 καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, ενώ η A yu, + Byu (, ) +Γ yu, + yu, + E yu, + Z yu, = f( y, ) y yy y καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,, Z και f είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Μια διδιάστατη γραµµική Μ Ε ης τάξης καλείται: Ελλειπτική σε σηµείο (, y ), αν ( A B )( y ) Γ, > Υπερβολική σε σηµείο (, y ), αν ( A B )( y ) Γ, < Παραβολική σε σηµείο (, y ), αν ( A B )( y ) Γ, = Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµπύλων στο επίπεδο Αν η Μ Ε είναι πχ ελλειπτική σε κάθε σηµείο χωρίου E, τότε λέµε ότι η Μ Ε είναι ελλειπτική στο E Χαρακτηριστική περίπτωση πχ ελλειπτικής γραµµικής Μ Ε ης τάξης είναι η εξίσωση Laplace Ασκήσεις 1 Υπολογίστε την τάξη των κάτωθι Μ Ε: u 3u u u + + =, 3 y y 3 + =, 6 uz uyz u u u y 3 3 u 3u + u = u, y y uu + uu + uu = 1+ yu y y y Ποιες από τις παρακάτω Μ Ε είναι γραµµικές; u + 3uy zuz = 4u, u yuy = yu, u u + yu = 0, y 6 u + 3u + u = u, u 3u + u u 3 = u y, y y z yz 3 3 u 3u + u = u, y y uu + uu + uu = 1+ yu y y y 4

8 3 Yπολογίστε τη γενική λύση των Μ Ε: u 1 + uy = 1, u + 3uy = 0, u(,0) = Ταξινοµήστε τις γραµµικές Μ Ε ης τάξης: 3u + u + 5u + u = 0, u + u = 0, y yy y yy u = c u c>,, 0 tt u + 4u + 5u + u + u = 0, u 4u + 4u + 3u + 4u = 0, y yy y u u 3u u 6u 0 y yy y y yy y 1+ u + yu y u = =, y yy 43

9 83 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Ενας τρόπος επίλυσης προβληµάτων Dirichlet µας παρέχει η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Εφαρµόζεται σε γραµµικές οµογενείς Μ Ε µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Με αυτή την τεχνική ψάχνουµε για λύσεις ειδικής µορφής εχόµαστε ότι µια λύση µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο αγνώστων συναρτήσεων, η κάθε µια εκ των οποίων εξαρτάται από µια µόνο µεταβλητή Υποθέτοντας ότι µπορούµε να βρούµε µια λύση της Μ Ε αυτής της µορφής αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στη Μ Ε και καταλήγουµε σε σύστηµα συνήθων δε Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα των συνοριακών τιµών u = uy u(0, y) = e Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Υποθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή ut (, ) = X( Yt ) Τότε: u (, ) y = X Y y και u (, ) y y = X Y y Aντικαθιστούµε στη M Ε και παίρνουµε 5 y X ( ) Y( y) = X( ) Y ( y) Για να ισχύει αυτή η σχέση θα πρέπει να έχουµε X ( ) Y ( y) = = λ X( ) Y( y) ( X 0, Y 0) για κάποια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά λ Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια λύση θα πρέπει να ισχύει X ( ) λ X( ) = 0 Y ( y) λy( y) = 0 44

10 Οι παραπάνω είναι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως µε γενική λύση λ X( ) = Ae λ y Y( y) = Be Συνεπώς ( y) uy (, ) = ABe λ + Αλλά από την υπόθεση έχουµε άρα u(0, y) ABe e λ y 5 y = =, AB = λ = 5 Εποµένως η ζητούµενη λύση είναι η uy (, ) e + 5( y) = Παράδειγµα (Το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο) και Εστω u C ( Q) C( Q) : u = u(, y) {(, ) : 0, 0 } Q= y < < L < y< H είναι ανοικτό ορθογώνιο µε πλευρές µήκους L και H αντιστοίχως Θα επιλύσουµε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβληµα Dirichlet: u + uyy = 0, y Q u(,0) = 0 0 L u(, H) = 0 0 L, u( 0, y) = 0 0 y H u( L, y) = g( y) 0 y H όπου g είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση του y στο διάστηµα [ 0, H ], µε g( 0) = g( H) = 0 ώστε να έχουµε συνέχεια της u στο σύνορο Εστω µη µηδενική λύση της µορφής: 45

11 (, ) X( ) Y( y) u y = Αρχικά χρησιµοποιούµε τις (τρεις πρώτες) οµογενείς αρχικές συνθήκες και παίρνουµε u,0 = 0 X Y 0 = 0 u, H = 0 X Y H = 0 X( 0) = Y( 0) = Y( H) = 0 u 0, y 0 = X 0 Y y = 0, (81) αλλιώς X( ) = 0 [ 0, L] ή Y( y) 0 y [ 0, H] =, άρα η λύση µας u είναι η µηδενική Οσον αφορά τη µη οµογενή συνοριακή συνθήκη, έχουµε απλώς (, ) u L y = g y X L Y y = g y (8) Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη συγκεκριµένη µορφή της λύσης στην εξίσωση Laplace και παίρνουµε: X Y y = = λ (83) X Y y για κάποια πραγµατική σταθερά λ Ετσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών γραµµικών δε ης τάξης X ( ) λ X( ) = 0, λ Y ( y) + λy( y) = 0 µαζί µε τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες (81) και (8) Ασχολούµαστε αρχικά µε το απλούστερο (εκ των δυο) πρόβληµα ιδιοτιµών (µε οµογενείς αρχικές συνθήκες) λ Y( H) Y y + Y y = 0, Y 0 = = 0 λ ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: α) λ = 0 Τότε 46

12 Y = 0 Y( y) = Ay+ B, A, B Με χρήση των αρχικών συνθηκών Y( 0) = Y( H) = 0 προκύπτει άµεσα η λύση Y( y ) = 0, άρα και η τετριµµένη λύση u = 0 για κάθε (, y ) εντός του Q, άτοπο β) λ < 0 Τότε λ 0 y λy Y + λy = Y y = Ae + BAe, A, B Πάλι µε χρήση των αρχικών συνθηκών Y Y( H) άµεσα η λύση 0 0 = = 0 προκύπτει Y y =, άρα και η τετριµµένη λύση u = 0, άτοπο γ) λ > 0 Τότε Y + λy = 0 Y( y) = Acos λy + Bηµ λy, A, B Με χρήση των αρχικών συνθηκών Y Y( H) 0 = = 0 προκύπτει A 0 B 0 = A= 0 A = 0 0= Bsin( λh) sin( λh) = 0 λ H = kπ A = 0 kπ λ = H k =, 1,,, όπου θεωρήσαµε B 0 και λ 0, διότι για B = 0 ή λ = 0 πάλι θα παίρναµε Y( y ) = 0 άρα και την τετριµµένη λύση u = 0 Ετσι προκύπτουν οι λύσεις kπ y Yk( y) = Bksin, Bk, k = 1,, H Τελικά, µη τετριµµένες λύσεις Y παίρνουµε για τις ιδιοτιµές 47

13 kπ kπ y λk =, k = 1,,, µε ιδιοδιανύσµατα Bk sin H H Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές του λ στην (83) παίρνουµε µε λύσεις kπ X ( ) = λkx( ), λk =, k = 1,, H λk λk π / π / X = Ae + Be = A e k H + B e k H, A, B k k k k k Μάλιστα, θέτοντας γράφεται ως Ck Ak = Ck Bk = + D D k k, C, D k k, η γενική λύση της X k kπ kπ Xk( ) = Ckcosh + Dksinh, Ck, Dk, k = 1,, H H Λαµβάνοντας υπόψη τώρα την οµογενή συνοριακή συνθήκη (81) για τη X παίρνουµε: Xk( 0) = 0 Ck = 0, άρα k ksinh k π X D =, Dk H κι έτσι οι k(, ) k k ksinh k π u y X Y y D Bksin k π y = = H H kπ kπy = Gksinh sin, Gk= BD k k, k= 1,,, H H είναι λύσεις του προβλήµατος Dirichlet που ικανοποιεί τις τρεις πρώτες οµογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης και η 48

14 kπ kπy u(, y) = u (, ) sinh sin k 1 k y = G = k= 1 k H H (84) αποτελεί λύση υπό την προϋπόθεση ότι η παραπάνω σειρά συναρτήσεων έχει νόηµα (δηλαδή συγκλίνει µε κάποια έννοια) Μένει να ελέγξουµε τη συνθήκη (8): kπl kπy u L y g y G k 1 k g y = H H (, ) = sinh sin = όπου kπ y = k= 1 H M k sin g( y), (85) M k kπ L : = Gksinh H, υπό την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει σηµειακά στα συνοριακά σηµεία ( L, y ) στις τιµές g( y ) Oι συντελεστές M k προσδιορίζονται µε µοναδικό τρόπο από τη θεωρία των σειρών Fourier Η σειρά (85) θυµίζει τη σειρά Fourier ηµιτόνων της συνάρτησης g Με την επιπλέον υπόθεση ότι η g έχει συνεχή g 0 = g H = 0, θεωρώντας την περιττή παράγωγο στο [ 0, H ] και επέκταση της g στο διάστηµα [ H,0] και επεκτείνοντας τη g περιοδικά πάνω στην πραγµατική ευθεία, υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών 1 H kπy H kπy M k : = g( y) sin dy g( y) sin dy H H = H H 0 H τέτοια ώστε kπ y Sg y M k 1 k g y = L = sin = kπ L απόλυτα και οµοιόµορφα στο [ 0, H ] Εφόσον Mk : = Gksinh H, αντικαθιστώντας στην (8) παίρνουµε ότι λύση του προβλήµατος Dirichlet είναι η ακόλουθη: 49

15 H kπω g sin d H ω ω 0 H kπ kπy u(, y) = sinh sin k= 1 kπ L H H sinh H Η παραπάνω ικανοποιεί την αρχική συνθήκη, οπότε αν η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δυο φορές ως προς και ως προς y, τότε αυτή είναι η λύση Πρόταση 81 Εστω Ω είναι ανοικτό, συνεκτικό και φραγµένο n σύνολο του Τότε, αν υπάρχει λύση u C ( Ω) C( Ω) στο πρόβληµα Dirichlet, τότε αυτή η λύση είναι µοναδική Απόδειξη Εστω u, v είναι δύο λύσεις του προβλήµατος Dirichlet Θέτουµε φ = u v Τότε η φ είναι αρµονική στο Ω και φ = 0 πάνω στο σύνορο Ω Τότε, από την αρχή µεγίστου αναγκαστικά φ 0 στο Ω Οµοίως, η φ είναι επίσης αρµονική στο Ω και ισχύει φ = 0 πάνω στο σύνορο Ω Αρα φ 0 στο Ω και τελικά φ = 0 στο Ω Παράδειγµα (Παλλόµενη χορδή) Εστω ότι η συνάρτηση ut (, ) 0, T χορδής τη χρονική στιγµή t δίνει τη µετατόπιση σηµείου [ ] µε ακίνητα άκρα u(0, t) = u( T, t) = 0 Υποθέτουµε ότι η αρχική ταχύτητα σε κάθε σηµείο της χορδής είναι µηδέν, δηλαδή ut (,0) = 0 και τη χρονική στιγµή t =0 η θέση κάθε σηµείου της χορδής περιγράφεται από µια συνάρτηση f ( ), άρα Να υπολογισθεί η ut (, ) u (,0) = f( ) Λύση Η µερική διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση αυτή δίνεται από τη σχέση u = c u, tt 50

16 όπου c σταθερά που σχετίζεται µε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος Υποθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή ut (, ) = X( Yt ) Παραγωγίζοντας έχουµε: u(, t) = X ( ) Y( t) uyy (, t) = X( ) Y ( t) Αντικαθιστώντας στη µδε παίρνουµε οπότε X( ) Y ( t) = c X ( ) Y( t), Y () t X ( ) = () X( ) cy t Για να ισχύει η σχέση αυτή θα πρέπει: Y () t X ( ) = = λ () X( ) cy t για κάποια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιπόν υπάρχει τέτοια λύση της διαφορικής εξίσωσης θα πρέπει οι συναρτήσεις XY, να ικανοποιούν τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις X ( ) + λ X( ) = 0 Y () t + λc Y() t = 0 Από τις συνοριακές συνθήκες έχουµε και άρα: u(0, t) = X(0) Y( t) = 0, utt (, ) = XTYt = 0, X(0) = X( T) = 0 Ετσι, έχουµε το πρόβληµα αρχικών τιµών: 51

17 X ( ) + λ X( ) = 0 0 X(0) = X( T) = 0 Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι ( < < T ) r + λ = 0 ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (i) Εστω b 0, ( b 0) λ = > > Τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι r =± bi και άρα η γενική λύση δίνεται από τη σχέση X ( ) = Acosb+ Bsinb Από την αρχική συνθήκη X (0) = 0 προκύπτει ότι c =0 1 ενώ από την αρχική συνθήκη XT =0 παίρνουµε και άρα Οι αριθµοί sinbt = 0 nπ b=, n= 1,, T nπ λn = T είναι οι ιδιοτιµές του προβλήµατος συνοριακών τιµών και οι συναρτήσεις nπ Bn sin T είναι οι ιδιοσυναρτήσεις Για την εύρεση της Y (µε τα λ n που ήδη έχουµε υπολογίσει) έχουµε npc npc Yn() t = Cncos t+ Dnsin t T T Αρα από την αρχή της υπέρθεσης και η 5

18 npc npc nπ u(, t) = Cncos t+ Dnsin t Bnsin n= 1 T T T npc npc nπ = Γ ncos t+ nsin t sin n= 1 T T T αποτελεί µια λύση της µδε Παραγωγίζοντας την παραπάνω ως προς t όρο προς όρο παίρνουµε npc npc npc npc nπ ut = Cn sin t+ Dn cos t Bnsin n= 1 T T T T T και επειδή u,0 = 0 έχουµε t npc nπ n sin t sin = 0 n= 1 T T Από τη θεωρία των τριγωνοµετρικών σειρών η παραπάνω υπονοεί ότι npc nsin t = 0 n = 0 t, T άρα npc nπ u(, t) = Γn cos tsin n= 1 T T Τέλος για να ισχύει η συνθήκη u(,0) f ( ) = θα πρέπει npc nπ f ( ) = Γn cos tsin, n= 1 T T συνεπώς από τη θεωρία των σειρών Fourier θα πρέπει οι είναι οι συντελεστές Fourier της f, δηλ nπ Γ n = T T T f sin d 0 (ii) Για λ 0 καταλήγουµε σε τετριµένες λύσεις Γ n να 53

19 Ασκήσεις 1 είξτε ότι η λύση του προβλήµατος διάδοσης θερµότητας ut = u u( 0, t) = u( π, t) = 0, 0 < <, t > 0 u(,0) = f ( ) ( π ) 1 u t = f d + e n f n d π π π π nt είναι η (, ) συν συν 0 0 n= 1 Λύστε την κυµατική εξίσωση utt = u µε αρχικές/συνοριακές συνθήκες u( 0, t) = u( π, t) = 0 u(,0) = ηµ ( ), ( 0 < < π, t > 0) ut (,0) = 0 3 Να επιλυθεί µε τη µέθοδο Laplace το πρόβληµα αρχικώνσυνοριακών τιµών ut u = 0 u(,0 ) =,, t 0 u( 0, t) = t 4 Να επιλυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών u + 3uy = 0,, u(,0) = e ( y ) 5 Eπιλύστε το πρόβληµα Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο: ur 1 urr + + u 0 θθ = r r, u( 1, θ) = f ( θ) όπου u = u(, r θ ) και f είναι συνεχής π-περιοδική συνάρτηση 6 Eπιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Dirichlet: 54

20 { } + u + uyy = 0, στο χωριο Π =, y : y> 0, + u(,0 ) = f ( ), πανω στην πραγµατικη ευθεια (το συνορο του Π ) u y d<, lim u (, ) y = lim u(, y) = 0 και f είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση πάνω στην πραγµατική ευθεία όπου (, ) Υπόδειξη Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο Fourier 7 Εστω u C ( Ω) C( Ω ) : u= u(, y) φραγµένη στο Ω Ω και {( y, ) : 0, 0 y 1} Ω= > < < είναι ανοικτό µη φραγµένο ορθογώνιο Eπιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Dirichlet: u + uyy = 0, y Ω u ( 0, y) = 0 0 y 1 uy (,0) = 0 πανω στην ηµιευθεια 0 u(,1) = f ( ) πανω στην ηµιευθεια y= 1 για 0 8 Επιλύστε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichlet: ut u = 0, t > 0, 0 < < L u(,0 ) = φ ( ), 0 L, u( 0, t) = u( L, t) = 0, t 0 όπου φ C[ 0, L] µε φ φ ( L) 0 = = 0 9 Επιλύστε το πρόβληµα ut = 3 u, 0< < 1 u( 0, t) = u( 1, t) = 0, t 0 ut (,0) =,

21 Bιβλιογραφία 1 Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές R Churchill-J Brown Mετάφραση: Καραγιαννάκης, ΠΕΚ (1993) Βασική Μιγαδική Ανάλυση Jerrold Mardsen, Michael Hofmann Mετάφραση: Λ Παπαλουκάς Εκδόσεις Συµµετρία 3 Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές Ε Γ Γαλανής Εκδόσεις Συµεών (1994) 4 Τheory and problems of comple Variables M Spiegel, McGraw-Hill 5 Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις Schaum s series, R Bronson (µετάφραση Σ Περσίδης) 6 ιαφορικές Εξισώσεις Κ Σεραφειµίδης, Εκδ Σοφία Differential equations P Dawkins (007) 8 The Laplace transform Theory and Applications J L Schiff Spinger 9 Elementary differential equations and boundary value problems W E Boyce and R C Diprima John Willey and Sons Inc Real Analysis Walter Rudin (3 rd Edition) 56

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση. 3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 6 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση f : R καλείται περιοδική µε περίοδο >, αν ισχύει f ( x) = f( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7 Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. x = x, yz, δίνεται από τη σχέση. KqQ x. διότι είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµικού.

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. x = x, yz, δίνεται από τη σχέση. KqQ x. διότι είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµικού. KΕΦΑΛΑΙΟ 1 H Εξίσωση Laplace 11 Eισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναµη Coulomb F που προκαλείται από ακίνητο σηµειακό φορτίο q στην αρχή των αξόνων σε φορτίο Q = z δίνεται από τη σχέση που φέρνουµε σε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6)

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6) 15 Απριλίου 2011 (ΔΕΜΠ) Πολλά σημαντικά επιστημονικά προβλήματα στο χώρο της φυσικής περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ). Συνήθως το φυσικό φαινόμενο που μελετάμε παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης ανώτερου βαθμού, ορθογώνιες τροχιές Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική ια- ϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Μ Ε). Η ιστοσελίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ34 Λύσεις 5 ης Εργασίας

ΦΥΕ34 Λύσεις 5 ης Εργασίας ΦΥΕ3 Λύσεις 5 ης Εργασίας ) Έστω αρµονικό κύµα της (εκθετικής) µορφής: F( x, t) i( kx ωt+ ϕ ) = Ae. Παραγωγίζοντας βρίσκουµε: = iωf( x, t) t = ikf( x, t) x Παραγωγίζοντας αυτές τις δύο σχέσεις µία ακόµη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Η καµπτική επιρροή αναµένεται να φθίνει σε κάποια κοντινή απόσταση από το σύνορο, δηµιουργώντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Κυλινδρικά Κελύφη Καµπτική Θεωρία Οι µεµβρανικές δυνάµεις που προσδιορίζει η µεµβρανική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση

7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση 7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη 18 22 Μαρτίου 215 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση Κυριαζής Χρήστος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 1 Ενότητες παρουσίασης Εισαγωγικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα