Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard."

Transcript

1 Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος των Cauchy, ipschitz και Picard. Κεντρικό ϱόλο τόσο στη διατύπωση του ϑεωρήµατος όσο και στην απόδειξη, έχει η διαφόριση και ολοκλήρωση σε έναν χώρο Banach, για το λόγο αυτό κρίθηκε σκόπιµο να συµπεριληφθεί µια σύντοµη παρουσίαση του εργαλείου µε το οποίο επιτυγχάνεται µια τέτοια ολοκλήρωση, δηλαδή το ολοκλήρωµα Bochner. Η πρώτη ενότητα είναι αφιερωµένη στο ολοκλήρωµα Bochner και κάποια ακόµα ϑεωρήµατα από την πραγµατική ανάλυση που ϑα χρειαστούµε. Στη δεύτερη ενότητα αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα του Picard. 1 Εννοιες που ϑα χρειαστούµε 1.1 Το Ολοκλήρωµα Bochner Το ολοκλήρωµα ebesgue µιας συνάρτησης από έναν χώρο µέτρου στο R οριζόταν αρχικά για τις απλές συναρτήσεις και ύστερα επεκτεινόταν στην κλάση των µετρήσιµων συναρτήσεων, παίρνοντας κατάλληλα remum ολοκληρωµάτων απλών συναρτήσεων. Η ολοκλήρωση διανυσµατικών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων που λαµβάνουν τιµές σε έναν χώρο Banach, επιτυγχάνεται µε παρόµοιο τρόπο όπως και µε το ολοκλήρωµα ebesgue. Καθώς όµως σε έναν τυχαίο χώρο Banach, δεν υπάρχει η έννοια της διάταξης, πόσο µάλλον αυτής του remum, χρειαζόµαστε µια διαφορετική περιγραφή της κλάσης των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Στις επόµενες σελίδες παρουσιάζουµε κάποιες ϐασικές έννοιες της ολοκλήρωσης κατά Bochner και αναφέρουµε τα αποτελέσµατα που ϑα χρειαστούµε στην απόδειξη του ϑεωρήµατος του Picard. Οι περισσότερες αποδείξεις παραλείπονται και ο αναγνώστης µπορεί να τις αναζητήσει στο [Die]. Ορισµός Μια τετράδα (, τ, F, µ, όπου ο (, F, µ είναι χώρος µέτρου, ο (, τ είναι τοπολογικός χώρος και επιπλέον ισχύει ότι τ F, δηλαδή κάθε ανοικτό σύνολο είναι F-µετρήσιµο, ονοµάζεται τοπολογικός χώρος µέτρου. Αν επιπλέον ο (E, είναι χώρος Banach και f : E, τότε η f καλείται F-µετρήσιµη αν f 1 (U F για κάθε U E ανοικτό. Οι F-µετρήσιµες συναρτήσεις δεν είναι αρκετές για να περιγράψουν πλήρως τη ϑεωρία των διανυσµατικών ολοκληρωµάτων και για το λόγο αυτό χρειαζόµαστε την έννοια της µ-µετρησιµότητας : Ορισµός Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E. 1

2 Η f ονοµάζεται απλή αν υπάρχουν x 1,..., x n E και 1,..., n F τέτοια ώστε f(ω = n x i I i (ω, ω, i=1 όπου I i η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου i. Η f ονοµάζεται µ-µετρήσιµη αν υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων (f n n N τέτοια ώστε f n (ω f(ω n, µ-σχεδόν παντού. Το επόµενο Λήµµα συνδέει µεταξύ τους τις δύο έννοιες µετρησιµότητας που ορίσαµε. Λήµµα Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E. Τα επόµενα είναι ισοδύναµα : ( i Η f είναι µ-µετρήσιµη, (ii η f είναι F-µετρήσιµη και επιπλέον υπάρχει E κλειστός και διαχωρίσιµος υπόχωρος του E τέτοιος ώστε το σύνολο f 1 (E \ E να έχει µηδενικό µέτρο. Το ολοκλήρωµα Bochner, όπως και στην περίπτωση του ολοκληρώµατος ebesgue, ορίζεται κατ αρχάς για τις απλές συναρτήσεις και στη συνέχεια επεκτείνεται στην ευρύτερη κλάση των µ- µετρήσιµων συναρτήσεων. Ορισµός Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E. Αν η f είναι απλή, δηλαδή f = Αν η f = n x i I i, τότε ορίζουµε το ολοκλήρωµα της f να είναι : i=1 n x i I i dµ = i=1 n x i µ( i. (1.1.1 n x i I i απλή και F, τότε ορίζουµε το ολοκλήρωµα της f στο ως : i=1 fdµ = i=1 fi dµ. Αν η f είναι µ-µετρήσιµη και (f n n N ακολουθία απλών συναρτήσεων τέτοιες ώστε f n f dµ, n τότε η f καλείται ολοκληρώσιµη κατά Bochner και για κάθε F το στοιχείο fdµ = lim f n dµ, n ονοµάζεται ολοκλήρωµα Bochner της f στο. 2

3 Παρατήρηση Σε αυτό το σηµείο αξίζει να τονιστεί η διαφορά ανάµεσα στις εκφράσεις fdµ και f dµ. Στην πρώτη περίπτωση το fdµ είναι ένα στοιχείο του χώρου Banach και εποµένως η fdµ είναι η νόρµα του στοιχείου αυτού. Στη δεύτερη περίπτωση η f είναι µια πραγµατική συνάρτηση, f : R, για την οποία f (ω = f(ω, για κάθε ω. Εποµένως η έκφραση f dµ δεν είναι άλλη από το ολοκλή- ϱωµα ebesgue της συνάρτησης. Εν γένει δεν περιµένουµε οι δύο αυτές εκφράσεις να είναι ίσες, είναι όµως λογικό να αναζητήσουµε κάποιου είδους σύνδεση ανάµεσα τους. Αποδεικνύεται εύκολα ότι για f απλή συνάρτηση ισχύει ότι fdµ f dµ. Αυτό επεκτείνεται και για µ-ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια. Θεώρηµα Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E Bochner ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε : (i fdµ =, (ii lim µ( fdµ f dµ, για κάθε F, (iii αν ( n n N ακολουθία ξένων ανά δύο στοιχείων του F τότε n=1 n fdµ = n=1 n fdµ. Θεώρηµα Εστω (, F, µ χώρος πεπερασµένου µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E µ-µετρήσιµη συνάρτηση. Η f είναι Bochner ολοκληρώσιµη αν και µόνο αν η f είναι ebesgue ολοκληρώσιµη, δηλαδή f dµ <. Θεώρηµα Θεωρούµε τον χώρο = [, 1] εφοδιασµένο µε την σ-άλγεβρα των Borel και το µέτρο ebesgue. Αν η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner, τότε, σχεδόν για κάθε s [, 1], ισχύει ότι 1 s+h lim f(tdt = f(s. h h s Γνωρίζουµε ότι αν [a, b] διάστηµα του R, τότε κάθε συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R είναι ολοκληρώσιµη κατά ebesgue. Ενα εύλογο ερώτηµα είναι το κατά πόσον ισχύει κάτι αντίστοιχο για το ολοκλήρωµα Bochner αναφορικά µε συνεχείς συναρτήσεις από έναν τοπολογικό χώρο µέτρου σε έναν χώρο Banach. Πιο συγκεκριµένα, έστω (, τ, F, µ τοπολογικός χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E συνεχής. Προφανώς η f είναι F-µετρήσιµη. Μπορούµε, επιπλέον, να συµπεράνουµε ότι η f είναι µ-µετρήσιµη ή ολοκληρώσιµη κατά Bochner; Το επόµενο Λήµµα δίνει ικανές συνθήκες για την µ-µετρησιµότητα. 3

4 Λήµµα Εστω (, F, µ συµπαγής χώρος πεπερασµένου µέτρου, Y µετρικοποιήσιµος χώρος και f : Y F-µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε υπάρχει Y, κλειστός και διαχωρίσιµος υπόχωρος του Y τέτοιος ώστε το f 1 (Y \ Y να έχει µέτρο µηδέν. Απόδειξη. Η πλήρης απόδειξη είναι αρκετά εκτενής και µπορεί να ϐρεθεί στο [Fre], Λήµµα 451Q, σελ Με τη ϐοήθεια του παραπάνω λήµµατος ϑα διατυπώσουµε µια ικανή συνθήκη ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση από έναν κατάλληλα επιλεγµένο τοπολογικό χώρο µέτρου να είναι ολοκλη- ϱώσιµη κατά Bochner. Πόρισµα Εστω (, τ, F, µ τοπολογικός χώρος µέτρου, τέτοιος ώστε ο (, τ συµπαγής τοπολογικός χώρος και ο (, F, µ συµπαγής χώρος µέτρου. Αν (E, χώρος Banach και f : E συνεχής, τότε η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Απόδειξη. Η f είναι συνεχής, εποµένως ϑα είναι και F-µετρήσιµη, ενώ ο E είναι χώρος Banach, εποµένως µετρικοποιήσιµος. Από το Λήµµα (1.1.9, υπάρχει E E κλειστός διαχωρίσιµος υ- πόχωρος τέτοιος ώστε το f 1 (E \ E να έχει µέτρο µηδέν. Από το Λήµµα (1.1.3, η f είναι µ-µετρήσιµη. Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα (1.1.7, αρκεί να δείξουµε ότι f dµ < για να συµπεράνουµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Οµως το συµπαγές σύνολο και η f συνεχής, εποµένως το f( ϑα είναι -ϕραγµένο υποσύνολο του E, έστω από τη σταθερά M >. Επιπλέον το µέτρο µ είναι πεπερασµένο. Εποµένως f dµ µ( M <. Άρα η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Παράδειγµα Εστω t > και ϑεωρούµε τον χώρο ([, t], B([, t], λ, όπου µε B([, t] συµ- ϐολίζουµε τα Borel του [, t] και µε λ το µέτρο ebesgue. Ο χώρος αυτός είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος και, όπως είναι γνωστό, το µέτρο ebesgue είναι εσωτερικά κανονικό ως προς τα συµπαγή. Αφού ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του προηγούµενου Πορίσµατος συµπεραίνουµε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση από τον ([, t], B([, t], λ σε έναν χώρο Banach, (E,, είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Το παράδειγµα αυτό δεν επιλέχθηκε τυχαία. Πρόκειται για τον χώρο στον οποίο ϑα δουλέψουµε στην απόδειξη του Θεωρήµατος του Picard και µόλις εξασφαλίσαµε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση του χώρου αυτού είναι και ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Στην πραγµατικότητα, αυτός ήταν ο απώτερος σκοπός ολόκληρης της ανάλυσης που προηγήθηκε : Να εξασφαλίσουµε ότι το ολοκλήρωµα που ϑα εµφανιστεί στη σχέση (2..2 έχει νόηµα. Θα έλεγε κανείς πως έχουµε ολοκληρώσει τη συζήτησή µας πάνω στην ολοκληρωσιµότητα διανυσµατικών συναρτήσεων και µπορούµε να προχωρήσουµε στην απόδειξη του Θεωρήµατος του Picard. Στην πραγµατικότητα υπάρχει ένα ακόµη λεπτό σηµείο της απόδειξης που ϑα χρειαστεί να αποσαφηνίσουµε από τώρα και αυτό είναι η ισοδυναµία της ύπαρξης λύσης για την ολοκληρωτική έκφραση (2..2, µε αυτήν για το αρχικό πρόβληµα (2..1. Χρειαζόµαστε ένα αποτέλεσµα ανάλογο του Θεµελιώδους Θεωρήµατος του Ολοκληρωτικού Λογισµού, αλλά για διανυσµατικές συναρτήσεις. Υπενθυµίζεται ότι ένας χώρος πεπερασµένου µέτρου (, F, µ ονοµάζεται συµπαγής, εαν υπάρχει οικογένεια F F τέτοια ώστε το µέτρο µ να είναι εσωτερικά κανονικό ως προς τα στοιχεία της F, δηλαδή για κάθε στοιχείο της F, µ( = µ(f : F, F F και, επιπλέον, για κάθε F F µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έπεται ότι F. F F 4

5 Θεώρηµα (Hille. Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, X, Y χώροι Banach, T : X Y κλειστός και γραµµικός τελεστής και f : X και T f ολοκληρώσιµες κατά Bochner. Τότε ( T fdµ = T fdµ, F. (1.1.2 Θεώρηµα Εστω (X, χώρος Banach και f : [, t] (X, συνεχής και διαφορίσιµη συνάρτηση. Τότε για κάθε t [, t] ισχύει ότι : t f(t = f( + f (sds. (1.1.3 Απόδειξη. Εστω x X. Θα δείξουµε πρώτα ότι x f = (x f. Πράγµατι, (x f (x f(s + h (x f(s (s = lim h h x (f(s + h x (f(s = lim h h ( f(s + h f(s = lim x h h = x ( lim h = x (f (s f(s + h f(s h = (x f (s, s [, t]. Με τη ϐοήθεια του x µετατρέψαµε την παραγώγιση της διανυσµατικής συνάρτησης f σε παραγώγιση της x f, η οποία όµως είναι µια πραγµατική συνάρτηση, x f : [, t] R. Πλέον µπορούµε να εφαρµόσουµε το Θεµελιώδες Θεώρηµα Ολοκληρωτικού Λογισµού για την (x f : t Οµως από το Θεώρηµα του Hille, (x f (sds = t t (x f (sds = (x f(t (x f( = x (f(t x (f( = x (f(t f(. (x f (sds = x ( t f (sds, εποµένως ( t x f (sds = x (f(t f(, x X, t [, t]. Επειδή ο X διαχωρίζει τα σηµεία του X, από την παραπάνω σχέση προκύπτει άµεσα ότι t f (sds = f(t f(, t [, t]. 5

6 1.2 Αποτελέσµατα από την Πραγµατική Ανάλυση Θεώρηµα (Σταθερού Σηµείου του Banach. Εστω (X, d πλήρης µετρικός χώρος και F : X X συνάρτηση συστολής. Τότε η F έχει µοναδικό σταθερό σηµείο. Απόδειξη. [li] Θεώρηµα 3.48, σελ. 95. Ορισµός Εστω X σύνολο, (Y, d µετρικός χώρος και f n, f : X Y. Λέµε ότι η ακολουθία f n συγκλίνει οµοιόµορφα στην f (συµβ. f n f, αν για κάθε ɛ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε d(f n (x, f(x < ɛ, για κάθε n n και κάθε x X. Πρόταση Εστω (X, ρ, (Y, d µετρικοί χώροι και f n, f : X Y συναρτήσεις τέτοιες ώστε η f n να είναι συνεχής για κάθε n N και f n f. Τότε η f συνεχής. 2 Το Θεώρηµα του Picard Θεώρηµα (Cauchy, ipschitz, Picard. Εστω (E, χώρος Banach και F : E E απεικόνιση για την οποία υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε F u F v u v, u, v E. Τότε για κάθε u E υπάρχει µοναδικό u C 1 ([,, E τέτοιο ώστε du = F u, στο [,, dt u( = u. (2..1 Απόδειξη. Θα ακολουθήσουµε την απόδειξη όπως αυτή είναι γραµµένη στο [Bre] εξηγώντας αναλυτικά το κάθε ϐήµα. Πρώτα από όλα, παρατηρούµε ότι µια συνάρτηση u C([, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση αποτελεί λύση του (2..1. Πράγµατι, u(t = u + t F (u(sds, (2..2 du dt u(s + h u(s = lim h h = lim h s+h F (u(xdx s F (u(xdx h s+h F (u(xdx s h = lim h = F (u(s, σχεδόν για κάθε s [, t], από το Θεώρηµα ( Επιπλέον η F (u είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών, εποµένως η παραπάνω ισότητα ισχύει για κάθε s [, t]. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν µια συνάρτηση u λύνει το πρόβληµα (2..1, τότε ικανοποιεί και την εξίσωση (2..2. Πρόκειται για άµεση εφαρµογή του Θεωρήµατος (

7 Θα δείξουµε ότι η εξίσωση (2..2 έχει λύση και µάλιστα µοναδική. Για το λόγο αυτό ϑεωρούµε k > το οποίο ϑα προσδιορίσουµε αργότερα και ορίζουµε τον γραµµικό χώρο X = u C([,, E : e kt u(t E <. t Εύκολα επαληθεύουµε ότι ο X είναι γραµµικός υπόχωρος του C([,, E. Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση X : X R για την οποία u X = e kt u(t E, u X, t ορίζει νόρµα. (i Για κάθε t, u(t E, e kt, άρα e kt u(t E, για κάθε t, άρα u X. (ii Αν u X, t αφού η E είναι νόρµα. u X = e kt u(t E = e kt u(t E =, t u(t E =, t u(t =, t, (iii Αν a R, au X = e kt au(t E t = a e kt u(t E t = a u X. (iv Αν u, v X, τότε u + v X = e kt u(t + v(t E t t e kt u(t E + e kt v(t E t = u X + v X. Εποµένως η X ορίζει νόρµα. Θα δείξουµε ότι ο (X, X είναι χώρος Banach. Εστω (u n n N X ακολουθία Cauchy, δηλαδή για κάθε ɛ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε u n u m X < ɛ, για κάθε n, m n. Σταθεροποιούµε t και παρατηρούµε ότι η ακολουθία (u n (t n N είναι µια Cauchy ακολουθία του E. Πράγµατι, για κάθε ɛ > αρκεί να επιλέξουµε δ = ɛ. Τότε για το συγκεκριµένο δ >, kt e υπάρχει n N τέτοιο ώστε e kt u n (t u m (t < δ, n, m n. 7

8 Άρα u n (t u m (t < δe kt = ɛe kt e kt = ɛ, για κάθε n, m n. Αφού η (u n (t n N είναι ακολουθία Cauchy και ο E χώρος Banach, έπεται ότι ϑα συγκλίνει σε κάποιο στοιχείο του E. Συµβολίζουµε µε u(t το όριο αυτό, u(t = lim u n(t. Η u είναι µια n καλά ορισµένη απεικόνιση από το [, στο E. Θα δείξουµε ότι η u είναι στοιχείο του X, δηλαδή ότι είναι συνεχής µε u X < και επιπλέον ότι η ακολουθία u n συγκλίνει στο u ως προς την X νόρµα. Για τη συνέχεια, παρατηρούµε ότι σε κάθε διάστηµα [, t ] η u n συγκλίνει οµοιόµορφα στην u. Πράγµατι, αν ɛ >, τότε για δ = ɛe t έχουµε ότι u n (t u(t e t ɛ e t ɛ = δ, για κάθε t [, t ]. Από την Πρόταση (1.2.3 συµπεραίνουµε ότι η u είναι συνεχής σε κάθε τέτοιο διάστηµα, άρα και σε ολόκληρο το [,. Θα δείξουµε ότι u X <. Εστω M >. Επειδή η (u n n N Cauchy, υπάρχει n N τέτοιο ώστε u n u m X < M για κάθε n, m n. Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε n, m n, e kt u n (t u m (t E < M t e kt u n (t u m (t E < M, t lim m e kt u n (t u m (t E < M, t e kt u n (t u(t E < M, t. Εποµένως u X u u n X + u n X M + u n X <. X Θα δείξουµε ότι u n u. Εστω ɛ >. Υπάρχει n N τέτοιο ώστε t u n u m X < ɛ, n, m n e kt u n (t u m (t E < ɛ, n, m n e kt u n (t u m (t E < ɛ, n, m n, t lim m e kt u n (t u m (t E < ɛ, n n, t e kt u n (t u(t E < ɛ, n n, t t e kt u n (t u(t E < ɛ, n n Ορίζουµε Φ : X X τέτοια ώστε για κάθε u X, u n u X < ɛ, n n X u. u n Φ u (t = u + t F (u(sds. (2..3 Οπως είδαµε στο Παράδειγµα (1.1.11, η u είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner στο διάστηµα [, t] αφού είναι συνεχής. Για τον ίδιο λόγο η F u είναι επίσης ολοκληρώσιµη αφού είναι συνεχής ως t σύνθεση συνεχών. Εποµένως η έκφραση F (u(sds έχει νόηµα. Θα δείξουµε ότι η Φ u όντως ανήκει στον X, για κάθε u X. 8

9 Εστω u X. Τότε t e kt Φ u (t E = t t t F (u(sds E e kt t u E + e kt e kt u + u E e kt + + t t e kt ( t t F (u(s E ds ( F (u(s F (u( E + F (u( E ds u E e kt + F (u E t e kt + t + t t t e kt u(s u( ds e kt t u + 1 ke ( u + F (u + t t Εποµένως αρκεί να ϕράξουµε το g(t = e kt u(s u( ds t kg(t = e kt u(t u X, εποµένως g (se ks + kg(se ks e ks u X, s t (g(se ks e ks u X, s t g(te kt u X t Άρα Φ u X u + 1 ke ( u + F (u + u X k u(s u( ds.. Παρατηρούµε ότι g (t + e ks ds = u X k (1 ekt g(t u X k. (2..4 <. Αποµένει να δείξουµε ότι Φ u Φ v X k u v X, για κάθε u, v X. Πράγµατι t Φ u Φ v X = e kt (F (u(s F (v(sds t E t e kt t t e kt t F (u(s F (v(s E ds u(s v(s E ds. t Εφαρµόζοντας την (2..4 για u v στη ϑέση του u, ϐρίσκουµε ότι e kt u(s v(s E ds u v X, για κάθε t, εποµένως Φ u Φ v X k k u v X. Επιλέγουµε k >, οπότε η Φ : X X είναι συνάρτηση συστολής. Από το Θεώρηµα Σταθερού Σηµείου του Banach, η Φ έχει µοναδικό σταθερό σηµείο το οποίο προφανώς αποτελεί λύση της εξίσωσης (2..2 και κατά συνέπεια του αρχικού προβλήµατος. 9

10 Αποµένει να δειχθεί ότι η λύση του (2..1 είναι µοναδική. Εστω u, v δύο λύσεις του προβλή- µατος και ϑέτουµε φ(t = u(t v(t E. Τότε φ(t t = t t F (u(s F (v(s ds u(s v(s ds φ(sds. Άρα φ(t t φ(s, t. (2..5 Θα αποδείξουµε µε δύο διαφορετικούς τρόπους ότι η συνθήκη αυτή συνεπάγεται ότι η φ µηδενίζεται παντού στο [,. Α Τρόπος : Με τη χρήση επαγωγής. Θα δείξουµε, χρησιµοποιώντας [ ισχυρή επαγωγή, ότι η φ n 1 µηδενίζεται ταυτοτικά σε κάθε διάστηµα της µορφής, n ], για n 1. Από αυτό συµπεραίνουµε άµεσα ότι φ και στην ένωσή τους, δηλαδή σε ολόκληρο το [,. [ Για n = 1 ϑεωρούµε το διάστηµα, 1 και υποθέτουµε προς απαγωγή σε άτοπο ότι υπάρχει t < 1 τέτοιο ώστε φ(t >. Στο συµπαγές διάστηµα [, t ] η συνεχής συνάρτηση φ λαµβάνει µέγιστο, έστω στο σηµείο t 1. Προφανώς t 1, αφού φ( =. Οµως φ(t 1 t1 φ(sds t 1 φ(t = t 1 φ(t 1 και καθώς t 1 t < 1 t [,t 1] έχουµε ότι φ(t 1 < φ(t 1, [ άτοπο. Άρα φ(t =, για κάθε t, 1. Επειδή η φ συνεχής, ϑα µηδενίζεται επιπλέον και στο 1 [, δηλαδή φ(t =, για κάθε t, 1 ]. Για [ το επαγωγικό ϐήµα υποθέτουµε ότι η φ µηδενίζεται σε κάθε διάστηµα της µορφής n 1, n ] [ m, για n m και ϑα δείξουµε ότι µηδενίζεται και στο, m + 1 ]. Οπως και [ m πριν, αν υποθέσουµε ότι υπάρχει t, m + 1 ] τέτοιο ώστε φ(t >, τότε ϑα υπάρχει [ m [ m t 1 ], t στο οποίο η φ να λαµβάνει µέγιστο για το διάστηµα 1], t. Προφανώς t 1 m Εξασφαλίσαµε ότι το πρόβληµα έχει µοναδική λύση σε έναν υπόχωρο του αρχικού χώρου στον οποίο δουλεύαµε. Συγκεκριµένα, περιοριστήκαµε στα στοιχεία του C([,, E τα οποία έχουν πεπερασµένη νόρµα X. Εποµένως, δεν αποκλείεται να υπάρχουν και άλλες λύσεις της (2..2 για τις οποίες η X-νόρµα να µην είναι ϕραγµένη. Για το λόγο αυτό χρειάζεται επιπλέον να δείξουµε ότι η λύση της (2..2 είναι µοναδική σε ολόκληρο τον χώρο C([,, E. 1

11 ( m [ αφού φ =. Επειδή φ στο, m ], ϑα ισχύει ότι άτοπο. Άρα η φ µηδενίζεται στο [ m το, m + 1 ]. t1 φ(t 1 = t1 m φ(sds φ(sds ( t 1 m ( = t 1 m < 1 φ(t 1 = φ(t 1, [ m, m + 1 t [,t 1] φ(t 1 φ(t και λόγω συνέχειας µηδενίζεται σε ολόκληρο Β Τρόπος : Χρησιµοποιώντας την ανισότητα Gronwall. Η απόδειξη αυτή είναι αρκετά συντο- µότερη και η ιδέα της ανήκει στον συνάδελφο Οδυσσέα Μπάκα. Παραγωγίζοντας τη σχέση (2..5 ϐρίσκουµε ότι φ(t t φ(s, t φ (t φ(t, t φ(t φ( e t ds =, t. ====== Ανισότητα ====== Gronwall Άρα φ(t =, για κάθε t και εποµένως u(t = v(t, για κάθε t. Αναφορές [li] liprantis, C. D., Border K. C. Infinite Dimensional nalysis: Hitchhiker s Guide, Springer, 3rd edition, 27. [Bre] Brezis, H. Συναρτησιακή Ανάλυση : Ε.Μ.Π., Θεωρία και εφαρµογές, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις [Die] Diestel, J., Uhl, J.J. Vector Measures, merican Mathematical Society, [Fre] Fremlin, D. H. Measure Theory, vol. 4: Topological Measure Spaces, Torres Fremlin,

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης

ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης 2 Περιεχόµενα Εισαγωγή 5 Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood 7 2 Η weak type ανισότητα 3 Το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα