Ασκήσεις Ρομποτικής με την χρήση του MATLAB
|
|
- Σαπφώ Στεφανόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ασκήσεις Ρομποτικής με την χρήση του MATLAB Δρ. Φασουλάς Ιωάννης Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Κρήτης Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
2 2
3 ~Μέρος 1 ο ~ Βασικές Δραστηριότητες με το MATLAB Δραστηριότητα 1: Εξοικείωση με την απεικόνιση σημείων στον τρισδιάστατο χώρο Η εντολή Plot3(x,y,z), απεικονίζει ένα σημείο με συντεταγμένες (x,y,z) στον. Παράδειγμα 1 (απεικ. σημείου) plot3(1,2,3, * ) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') Παράδειγμα 2 ( απεικ. έλικας) t = 0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t); Δραστηριότητα 2: Στροφή ανύσματος θέσης με πίνακες στροφής Έστω { A } το πλαίσιο βάσης. Δίνεται το άνυσμα p με συντεταγμένες ( 3, 0, 2) να βρεθούν οι νέες συντεταγμένες αυτού όταν στραφεί κατά γωνία 4 π γύρω από τον άξονα y του πλαισίου βάσης. Υπολογίστε το μέτρο του ανύσματος πριν και μετά την στροφή, τι πρέπει να ισχύει; Δίνονται οι βασικοί πίνακες στροφής: cθ 0 sθ cθ sθ 0 Rot(, x θ) = 0 cθ sθ Rot(, y θ) = 0 1 0Rot(, z θ) = sθ cθ 0 0 sθ cθ sθ 0 cθ Δραστηριότητα 3: Μετασχηματισμός συντεταγμένων με πίνακες στροφής Έστω { A} το πλαίσιο βάσης. Δίνεται πλαίσιο { B} σχέση με το πλαίσιο { A } δίνεται από τον πίνακα στροφής R AB = το σημείο p με συντεταγμένες ( 2, 2, 1) του οποίου ο προσανατολισμός σε ως προς το πλαίσιο { } Δίνεται B. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του p ως προς το πλαίσιο { A }; Έστω τώρα σημείο q με συντεταγμένες ( 4, 2, 2) ως προς το πλαίσιο { A }. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του q ως προς το 3
4 πλαίσιο { B }; Σχεδιάστε τα παραπάνω πλαίσια με βάση τον πίνακα στροφής που δίνεται. Δραστηριότητα 4: Πολλαπλασιασμός πινάκων στροφής Έστω τα πλαίσια συντεταγμένων {A}, {B}, {C} τα οποία συνδέονται με τους πίνακες στροφής R ΑΒ = στροφής R BC με την βοήθεια του MATLAB., R AC = Να βρεθεί ο πίνακας Λύση Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει ως εξής: R BC = R BA R AC = ( R AB ) T R AC = = Δραστηριότητα 5: Ομογενής Μετασχηματισμός α) Ποιος από τους παρακάτω πίνακες είναι ένας ομογενής μετασχηματισμος; A) B) C) D) β) Βρείτε τα στοιχεία που λείπουν από τον παρακάτω ομογενή μετασχηματισμό του πλαισίου {Β} ως προς το πλαίσιο {Α} και σχεδιάστε τα δύο πλαίσια. g ab = ; ; ; ; γ) Να βρεθούν οι ομογενείς μετασχηματισμοί, g 01, g 02, g 12 ανάμεσα στα πλαίσια συντεταγμένων που δίνονται. 4
5 Δραστηριότητα 6: Δημιουργία ομογενών μετασχηματισμών (Ο.Μ) καθαρής στροφής και καθαρής μετατόπισης Να κατασκευαστούν στο Matlab οι παρακάτω συναρτήσεις: trotx(t): Επιστρέφει τον ομογενή μετασχηματισμό ο οποίος αντιστοιχεί σε μία στροφή γύρω από τον άξονα x κατά γωνία t (σε rad). troty(t): Επιστρέφει τον ομογενή μετασχηματισμό ο οποίος αντιστοιχεί σε μία στροφή γύρω από τον άξονα y κατά γωνία t (σε rad). trotz(t): Επιστρέφει τον ομογενή μετασχηματισμό ο οποίος αντιστοιχεί σε μία στροφή γύρω από τον άξονα z κατά γωνία t (σε rad). transl(x,y,z):επιστρέφει τον ομογενή μετασχηματισμό ο οποίος αντιστοιχεί σε μια καθαρή μετατόπιση κατά x,y,z. function r = trotx(t) ct = cos(t); st = sin(t); r = [ ct -st 0 0 st ct ]; function r = troty(t) ct = cos(t); st = sin(t); r = [ct 0 st st 0 ct ]; function r = trotz(t) ct = cos(t); st = sin(t); r = [ ct -st 0 0 st ct ]; function r = transl(x, y, z) t = [x; y; z]; r = [eye(3) t; ]; Δραστηριότητα 7: Εξοικείωση με τους παραπάνω Ο.Μ. Υπολογίστε τους ομογενείς μετασχηματισμούς (i) καθαρής στροφής γύρω από τον x- άξονα κατά 45 μοίρες=. (ii) (iii) (iv) (v) (vi) καθαρής στροφής γύρω από τον y- άξονα κατά 45 μοίρες=. καθαρής στροφής γύρω από τον z- άξονα κατά 45 μοίρες=. καθαρής μετατόπισης κατά τον x- άξονα κατά 4 μονάδες=. καθαρής μετατόπισης κατά τον y- άξονα κατά 4 μονάδες=. καθαρής μετατόπισης κατά τον z- άξονα κατά 4 μονάδες=. Δραστηριότητα 8: Βασικές ιδιότητες για στροφές γύρω από σταθερούς άξονες Α) Θεωρήστε ένα ομογενή μετασχηματισμό βασικής στροφής και διαπιστώστε αριθμητικά (π.χ για θ=π/4) με την βοήθεια του Matlab ότι ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες: 5
6 i) Rot(- θ)=rot - 1 (θ) ii) Rot(θ 1)Rot(θ 2)=Rot(θ 1+θ 2) iii) Rot(θ) 2 =Rot(2θ) όπου Rot ένας ομογενής μετασχηματισμός καθαρής στροφής (π.χ κατά τον y- άξονα). Β) Διαπιστώστε αριθμητικά (π.χ για θ=3π/4) ότι ο αντίστροφος πίνακας ενός Ο.Μ. καθαρής στροφής ισούται με τον ανάστροφο πίνακα του Ο.Μ. Π.χ. για καθαρή στροφή γύρω από τον z- άξονα του πλαισίου βάσης κατά γωνία θ ισχύει 1 Rotz(θ) = Rotz(θ) T Δραστηριότητα 9: Εξοικείωση με την αλληλουχία βασικών στροφών Α) Θεωρήστε την ακόλουθη αλληλουχία βασικών στροφών (i) Στροφή κατά γωνία π 2 γύρω από τον x- άξονα του πλαισίου βάσης. (ii) Στροφή κατά γωνία π γύρω από τον z- άξονα του πλαισίου βάσης. π (iii) Στροφή κατά γωνία γύρω από τον x- άξονα του τρέχον πλαισίου. Υπολογίστε 2 τον ομογενή μετασχηματισμό καθαρής στροφής που αντιστοιχεί στην παραπάνω αλληλουχία βασικών στροφών. Απάντηση Ομογενής μετασχηματισμός (συμβολικά οι πολλαπλασιασμοί πινάκων ) = Ομογενής μετασχηματισμός (αριθμητικά το αποτέλεσμα)=... Β) Θεωρήστε την ακόλουθη αλληλουχία βασικών στροφών (i) Στροφή κατά γωνία 2 π γύρω από τον x- άξονα του πλαισίου βάσης. (ii) Στροφή κατά γωνία π γύρω από τον z- άξονα του τρέχον πλαισίου. π (iii) Στροφή κατά γωνία γύρω από τον x- άξονα του πλαισίου βάσης. Υπολογίστε 2 τον ομογενή μετασχηματισμό καθαρής στροφής που αντιστοιχεί στην παραπάνω αλληλουχία βασικών στροφών. Απάντηση Ομογενής μετασχηματισμός (συμβολικά οι πολλαπλασιασμοί ) = Ομογενής μετασχηματισμός (αριθμητικά το αποτέλεσμα)=... Γ) Θεωρήστε την ακόλουθη αλληλουχία βασικών στροφών (i) Στροφή κατά γωνία π γύρω από τον x- άξονα του πλαισίου βάσης. (ii) Στροφή κατά γωνία + π γύρω από τον z- άξονα του πλαισίου βάσης. 2 6
7 π (iii) Στροφή κατά γωνία + γύρω από τον x- άξονα του τρέχον πλαισίου. 2 (iv) Στροφή κατά γωνία π γύρω από τον y- άξονα του πλαισίου βάσης. Υπολογίστε τον ομογενή μετασχηματισμό καθαρής στροφής που αντιστοιχεί στην παραπάνω αλληλουχία βασικών στροφών. Απάντηση Ομογενής μετασχηματισμός (συμβολικά οι πολλαπλασιασμοί ) = Ομογενής μετασχηματισμός (αριθμητικά το αποτέλεσμα)=... Δραστηριότητα 10: Απεικόνιση ομογενή μετασχηματισμού (Ο.Μ.) σε Figure Κατασκευάστε μια συνάρτηση με το όνομα add_frame(g,n). Η συνάρτηση να λαμβάνει ως ορίσματα i. έναν πίνακα ο οποίος να αντιστοιχεί σε ένα ομογενή μετασχηματισμό ii. τον αριθμό του πλαισίου που θα αντιστοιχεί σε αυτόν τον ομογενή μετασχηματισμό. Η συνάρτηση θα απεικονίζει σε ένα figure το πλαίσιο που αντιστοιχεί στον ομογενή μετασχηματισμό. Η απεικόνιση θα γίνει χρησιμοποιώντας την συνάρτηση line του Matlab. % G: Homogenous transformation matrix % n: Number of frame function add_frame(g,n) line([g(1,4) G(1,4)+G(1,1)],[G(2,4) G(2,4)+G(2,1)],[G(3,4)... G(3,4)+G(3,1)],'color',[1 0 0],'linewidth',3) %x axis line([g(1,4) G(1,4)+G(1,2)],[G(2,4) G(2,4)+G(2,2)],[G(3,4)... G(3,4)+G(3,2)],'color',[0 1 0],'linewidth',3) %y axis line([g(1,4) G(1,4)+G(1,3)],[G(2,4) G(2,4)+G(2,3)],[G(3,4)... G(3,4)+G(3,3)],'color',[0 0 1],'linewidth',3) %z axis text(g(1,4)+g(1,1),g(2,4)+g(2,1),g(3,4)+g(3,1),'x') text(g(1,4)+g(1,2),g(2,4)+g(2,2),g(3,4)+g(3,2),'y') text(g(1,4)+g(1,3),g(2,4)+g(2,3),g(3,4)+g(3,3),'z') text(g(1,4),g(2,4),g(3,4)-0.25,num2str(n),'fontweight','bold') axis equal xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); grid on Δραστηριότητα 11: Αντιμεταθετική ιδιότητα Ο.Μ. καθαρής στροφής και απεικόνιση Κατασκευάσετε τους ομογενείς μετασχηματισμούς που αντιστοιχούν στις ακόλουθες βασικές στροφές: (i) RzRx=rotz(π) rotx(- π/2) Απάντηση: RzRx= (ii) RxRz=rotx(- π/2)*rotz(π) Απάντηση: RxRz= Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για τους πίνακες στροφής; Απάντηση: NAI OXI Χρησιμοποιήστε την συνάρτηση add_frame, την εντολή subplot, και απεικονίστε το πλαίσιο βάσης καθώς και τα πλαίσια που αντιστοιχούν στους παραπάνω ομογενείς μετασχηματισμούς (RzRx, RxRz) σε 3 ξεχωριστές συνιστώσες του figure. Εφαρμόστε grid on και ονομάστε τους άξονες x,y,z. 7
8 %Rotation matrices general not commute Example R=rotz(0); RzRx=rotz(pi)*rotx(-pi/2); RxRz=rotx(-pi/2)*rotz(pi); subplot(131) add_frame(r,0); subplot(132) add_frame(rzrx,1); subplot(133) add_frame(rxrz,2); xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') Δραστηριότητα 12: Κίνηση βίδας Γενικά δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για τους ομογενείς μετασχηματισμούς. Στην περίπτωση όμως που έχουμε ένα Ο.Μ. καθαρής μετατόπισης και ένα Ο.Μ. καθαρής στροφής που σχετίζονται με τον ίδιο άξονα π.χ. τον y τότε ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ τους δηλαδή: roty( π 6 )transl(0,4,0) = transl(0,4,0)roty( π 6 ) Η κίνηση αυτή ονομάζεται κίνηση βίδας. Επαληθεύστε με την βοήθεια του MATLAB την ισχύ της αντιμεταθετικής ιδιότητας για την περίπτωση. Αντί για τον άξονα- y θα μπορούσαμε να επιλέξουμε οποιονδήποτε αυθαίρετο άξονα- k. Δραστηριότητα 13: Ο.Μ. καθαρής μετατόπισης και απεικόνιση σε figure Να κατασκευάσετε ένα m- file το οποίο να απεικονίζει τους παρακάτω τρεις ομογενείς μετασχηματισμούς καθαρής μετατόπισης: Px4=transl(4,0,0) (ομογενής μετασχηματισμός για το πλαίσιο {1}) Py4=transl(0,4,0) (ομογενής μετασχηματισμός για το πλαίσιο {2}) Pz4=transl(0,0,4) (ομογενής μετασχηματισμός για το πλαίσιο {3}) χρησιμοποιήστε την εντολή subplot και απεικονίστε το πλαίσιο βάσης {0} και τα πλαίσια που αντιστοιχούν στους παραπάνω ομογενείς μετασχηματισμούς σε ξεχωριστές 4 συνιστώσες του figure. Δημιουργήστε ένα νέο figure στο οποίο να απεικονίζονται όλα μαζί τα πλαίσια των ομογενών μετασχηματισμών. Εφαρμόστε grid on και ονομάστε τους άξονες x,y,z. R=rotz(0); Px4=transl(4,0,0); Py4=transl(0,4,0); Pz4=transl(0,0,4); subplot(221) add_frame(r,0); subplot(222) add_frame(px4,1); subplot(223) add_frame(py4,2); subplot(224) add_frame(pz4,3); figure hold on add_frame(r,0); add_frame(px4,1); add_frame(py4,2); add_frame(pz4,3); grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') 8
9 Δραστηριότητα 14: Ο.Μ. καθαρής μετατόπισης και καθαρής στροφής Ο πίνακας ομογενούς μετασχηματισμού Η, αναπαριστά μια περιστροφή γύρω από τον x - άξονα κατά α μοίρες, μια μετατόπιση b μονάδες κατά μήκος του τρέχοντος x - άξονα, μια μετατόπιση d μονάδες κατά μήκος του τρέχοντος z - άξονα και μια περιστροφή γύρω από τον τρέχων z - άξονα κατά θ μοίρες: H = Rot x,α Trans x,b Trans z,d Rot z,θ c α s α 0 = 0 s α c α = c θ s θ 0 b c α s θ c α c θ s α s α d s α s θ s α c θ c α c α d b d c θ s θ 0 0 s θ c θ Φτιάξτε μια συνάρτηση που να υλοποιεί τον παραπάνω μετασχηματισμό. Στη συνέχεια o o εισάγεται στην συνάρτηση τις τιμές α= 45, b = 2, d = 4, θ= 180 και απεικονίστε τα πλαίσια συντεταγμένων που αντιστοιχούν στα βήματα κατασκευής του παραπάνω ομογενούς μετασχηματισμού: Απάντηση: H = Rot Trans Trans Rot =... x, α x, b z, d z, θ Rot x, α =... Rot Trans x, α x, b =... Rot Trans Trans x, α x, b z, d =... Rot Trans Trans Rot x, α x, b z, d z, θ =... clc; clear all; close all; Ro=rotx(0); a=pi/4; b=2; d=4; theta=pi; H=rotx(a)*transl(b,0,0)*transl(0,0,d)*rotz(theta); add_frame(ro,0) add_frame(rotx(a),1) add_frame(rotx(a)*transl(b,0,0),2) add_frame(rotx(a)*transl(b,0,0)*transl(0,0,d),3) add_frame(h,4) 9
10 Δραστηριότητα 15: Κατασκευή μοναδιαίου διανύσματος Φτιάξτε την συνάρτηση unit(k) η οποία δέχεται ως είσοδο ένα άνυσμα k και επιστρέφει ένα μοναδιαίο άνυσμα το οποίο είναι ευθυγραμμισμένο με αυτό πού δίνεται ως όρισμα στην παραπάνω συνάρτηση. Ποιες είναι οι συντεταγμένες των μοναδιαίων ανυσμάτων που αντιστοιχούν στα σημεία p = [ 0 4 0] T και p [ 4 4 4] T 1 2 =. Απάντηση: p 1unit=.. P 2unit=.. Δραστηριότητα 16: Στροφή γύρω από μοναδιαίο διάνυσμα (α) Φτιάξτε την συνάρτηση rotvec(k,theta) η οποία δέχεται ως είσοδο δύο ορίσματα. Το πρώτο όρισμα αποτελεί ένα άνυσμα και το δεύτερο μια γωνία. Η συνάρτηση επιστρέφει τον ομογενή μετασχηματισμό που αντιστοιχεί σε μία στροφή γύρω από το άνυσμα k κατά την γωνία theta. function r = rotvec(v, t) v = unit(v); ct = cos(t); st = sin(t); vt = 1-ct; v = v(:); r = [ ct -v(3)*st v(2)*st v(3)*st ct -v(1)*st -v(2)*st v(1)*st ct ]; r = [v*v'*vt+r zeros(3,1); ]; Δραστηριότητα 17: Στροφή γύρω από μοναδιαίο διάνυσμα (β) Να υπολογιστεί ο ομογενής μετασχηματισμός ο οποίος αντιστοιχεί σε μία στροφή γύρω από τον άξονα [1 1 1] κατά μια γωνία 180 μοίρες. Απεικονίστε σε ένα figure το πλαίσιο βάσης {0} και το πλαίσιο που αντιστοιχεί στον παραπάνω Ο.Μ. Απάντηση: Ο.Μ=.. Δραστηριότητα 18: Στροφή γύρω από μοναδιαίο διάνυσμα (γ) Έστω άνυσμα p του χώρου. Ο ομογενής μετασχηματισμός καθαρής στροφής κατά μια γωνία φ γύρω από άξονα k μπορεί να ερμηνευθεί ως ένας τελεστής ο οποίος όταν πολλαπλασιάσει το παραπάνω άνυσμα p προκαλεί την στροφή του κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα k. Παρατηρήστε αυτή την ιδιότητα προκαλώντας πολλαπλασιασμό του ανύσματος p=[4 0 4] με τον Ο.Μ που αντιστοιχεί σε μια στροφή γύρω από τον άξονα z κατά 90 μοίρες. Ποιες είναι οι νέες συντεταγμένες του ανύσματος p μετά την περιστροφή; Σε ένα figure απεικονίστε το άνυσμα p πριν και μετά από τον πολλαπλασιασμό με τον πίνακα ΟΜ. Απάντηση: p new=.. 10
11 clc clear all close all Ro=rotx(0); add_frame(ro,0) px=[ ]'; px_new=rotz(pi/2)*px; line([0 4],[0 0],[0 4],'linewidth',2); line([0 px_new(1)],[0 px_new(2)],[0 px_new(3)],'linewidth',2); hold on plot3(4,0,4,'ro','linewidth',2) plot3(px_new(1),px_new(2),px_new(3),'ko','linewidth',2) Δραστηριότητα 19: Σχεδίαση αντικειμένου με Ο.Μ. (α) Με την βοήθεια του MATLAB να φτιάξετε μια συνάρτηση η οποία να σχεδιάζει στο χώρο το παρακάτω τρισδιάστατο αντικείμενο. Η συνάρτηση που θα κατασκευάσετε να ονομάζετε my_object(g) και θα λαμβάνει ως είσοδο τον ομογενή μετασχηματισμό G ο οποίος περιγράφει την θέση και τον προσανατολισμό του υπο σχεδίαση αντικειμένου ως προς το πλαίσιο βάσης {0}. Η παραπάνω συνάρτηση θα τυπώνει σε ένα figure το αντικείμενο στην θέση και με προσανατολισμό που καθορίζεται από τον ομογενή μετασχηματισμό που δίνει ο χρήστης (δηλαδή, τον G) Δραστηριότητα 20: Σχεδίαση αντικειμένου με Ο.Μ. (β) Σκεφτείτε ένα τρόπο να απεικονίσετε με έναν υπολογιστή έναν κώνο του οποίου η μύτη βρίσκεται στο σημείο (0,0,0), έχει ύψος h = 9 μονάδες στον άξονα z και η ακτίνα της βάσης του είναι 5 μονάδες. Δραστηριότητα 21: περιστροφή τετραγώνου Έστω ένα τετράγωνο το οποίο δομείται από τα σημεία με συντεταγμένες D 1 :(0,0,0), D 2 : (1,0,0), D 3 :(1,1,0) και D 4 :(0,1,0) ως προς το πλαίσιο βάσης { A }. Στο τετράγωνο έχουμε επισυνάψει το πλαίσιο { B } το οποίο αρχικά ταυτίζεται με το { A } και εκφράζει την θέση και τον προσανατολισμό του τετραγώνου. y B y A {A} {B} x A x B 11
12 α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του τετραγώνου όταν αυτό στραφεί γύρω από τον άξονα z του πλαισίου βάσης κατά γωνία 6 π. β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του τετραγώνου όταν αυτό έχει στραφεί πρώτα π π γύρω από τον άξονα z του { A } κατά γωνία και έπειτα κατά γωνία γύρω από τον 6 2 άξονα x του πλαισίου βάσης. γ) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του τετραγώνου όταν αυτό έχει στραφεί πρώτα π π γύρω από τον άξονα z του { A } κατά γωνία και έπειτα κατά γωνία γύρω από τον 6 2 τρέχον άξονα x του πλαισίου { B } του τετραγώνου. Δραστηριότητα 22: Γωνίες EULER Για το παρακάτω σχήμα περιγράψτε τη θέση και τον προσανατολισμό του πλαισίου {B} ως προς το πλαίσιο {A} ως εξής: (α) Με το διάνυσμα P AB για την θέση και τον πίνακα στροφής R AB για τον προσανατολισμό. (β) Με τον ομογενή μετασχηματισμό g AB. (γ) Με το διάνυσμα P AB και τις (X,Y,Z) γωνίες γύρω από τους σταθερούς άξονες του {A}. (δ) Με το διάνυσμα P AB και τις ZYZ γωνίες Euler. Λύση Ερώτημα (α) Από το παραπάνω σχήμα είναι προφανές ότι P AB = T. Για τον υπολογισμό του πίνακα στροφής R AB πρέπει να βρω τις τρις στήλες που απαρτίζουν τον πίνακα. Η πρώτη στήλη εκφράζει την προβολή του μοναδιαίου διανύσματος x του πλαισίου {Β} στα μοναδιαία διανύσματα x, y, z του πλαισίου {Α}. Η δεύτερη στήλη εκφράζει την προβολή του μοναδιαίου διανύσματος y του πλαισίου {Β} στα μοναδιαία διανύσματα x, y, z του πλαισίου {Α} και τέλος η τρίτη στήλη του R AB εκφράζει την προβολή του μοναδιαίου διανύσματος z του πλαισίου {Β} στα μοναδιαία διανύσματα x, y, z του πλαισίου {Α}. Επομένως ο ζητούμενος πίνακας στροφής είναι ο R AB = Ερώτημα (β) R Ο ομογενής μετασχηματισμός είναι g AB = AB P AB. 12
13 Ερώτημα (γ) Οι (X,Y,Z) γωνίες γύρω από τους σταθερούς άξονες x, y, z του {A} είναι (- 90 o, 0 o, 0 o ) και παρουσιάζονται παρακάτω. Ερώτημα (δ) Οι ZYZ γωνίες Euler είναι (90 o, 90 o, - 90 o ) και προκύπτουν όπως στο παρακάτω σχήμα: Δραστηριότητα 23: Γωνίες EULER Έστω τα πλαίσια {Α} και {Β}. Να βρεθεί ο πίνακας στροφής R AB και οι γωνίες Euler ZYX του {Β} ως προς το {Α}. 13
14 ~Μέρος 2 ο ~ Χρήση του MATLAB στην επίλυση προβλημάτων κινηματικής 14
15 Πρόβλημα 1: Έστω {1} το πλαίσιο συντεταγμένων ενός αντικειμένου, το οποίο έχει προέλθει από στροφή του αδρανειακού πλαισίου αναφοράς {0} πρώτα γύρω από τον άξονα των y κατά 45 μοίρες, έπειτα γύρω από τον άξονα των x κατά 30 μοίρες και τέλος γύρω από τον άξονα των z κατά μοίρες (όλες οι στροφές είναι γύρω από το σταθερό πλαίσιο βάσης) Έστω επίσης p b=[ ] Τ ένα σημείο του αντικειμένου εκφρασμένο στο πλαίσιο συντεταγμένων του αντικειμένου {1}. z x z {0} {1} y y z x p b (i) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου ως προς το αδρανειακό πλαίσιο {0}. Απάντηση: Συντεταγμένη x=...,y=...,z=... (ii) Απεικονίστε το σημείο αντικειμένου. p, το αδρανειακό πλαίσιο {0} και το πλαίσιο {1} του b Πρόβλημα 2: Ένα αντικείμενο {Β} τοποθετείται σε μια θέση που περιγράφεται από τον ομογενή μετασχηματισμό g 0B = όπου {0} το πλαίσιο βάσης. Ο ομογενής μετασχηματισμός g 0R = {R} ως προς το {0} περιγράφει το πλαίσιο της βάσης ενός ρομπότ (i) Να βρεθεί ο ομογενής μετασχηματισμός g που επιτρέπει την ταύτιση του RH πλαισίου {H} της αρπάγης του ρομπότ με αυτό του αντικειμένου {Β}. 15
16 z {H} x z z x {0} x {Β} {R} x z Απάντηση (συμβολικό αποτέλεσμα ): g RH Απάντηση (αριθμητικό το αποτέλεσμα): g RH = = (ii) Αναπαραστήστε τα πλαίσια {Β},{U},{R}σε ένα figure του Matlab. Πρόβλημα 3: Έστω αρπάγη κοπής λέιζερ η οποία προσαρμόζεται στο άκρο του ρομπότ PUMA 561. Για να περιγράψουμε την θέση και τον προσανατολισμό της αρπάγης επισυνάπτουμε στη βάση της το πλαίσιο {Η} όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Επίσης, στο άκρο της αρπάγης επισυνάπτουμε το πλαίσιο {Ε}. z Αρπάγη κοπής µε ακτίνα λέιζερ x z Πλαίσιο Βάσης {0} x y {H} x y 0.2 m y {Ε} z (i) Ποιος είναι ο ομογενής μετασχηματισμός (Ο.Μ.) g HE = 16
17 " $ (ii) Αν είναι γνωστός ο Ο.Μ. g 0H = $ $ $ # % ' ' ' ' & που περιγράφει την αρπάγη {Η} ως προς το πλαίσιο βάσης {0} ποια είναι η θέση και ο προσανατολισμός του άκρου της αρπάγης του ρομπότ; Απάντηση: Συντεταγμένη x του άκρου =.. Συντεταγμένη y του άκρου =. Συντεταγμένη z του άκρου =. Πίνακας στροφής που περιγράφει τον προσανατολισμό του άκρου=. (iii) Αν το σημείο κοπής έχει συντεταγμένες E p = [ ] T ως προς το πλαίσιο του άκρου της αρπάγης {Ε}, ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου κοπής ως προς το πλαίσιο βάσης {0} δηλ. 0 p = ; Απάντηση (συμβολικό αποτέλεσμα): 0 p =.. Απάντηση (αριθμητικό αποτέλεσμα): 0 p =.. Πρόβλημα 4: Έστω {U} το πλαίσιο βάσης. Το πλαίσιο {Β} αντιστοιχεί στο αντικείμενο που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Βρείτε την θέση και τον προσανατολισμό του αντικειμένου στο χώρο δηλαδή, τον ομογενή μετασχηματισμό g ub σαν συνάρτηση των παραμέτρων b, r,ϕ,θ που δίνονται στο σχήμα. Πρόβλημα 5: Αποδείξτε αριθμητικά, με την βοήθεια του Matlab, ότι στην περίπτωση του μετασχηματισμού βίδας ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ μεταφοράς και στροφής, δηλαδή ότι g(k,a)g(k, p r θ ) = g(k, r θ )g(k,a) p όπου g(k,a), p g(k, r θ ) ομογενείς μετασχηματισμοί μεταφοράς και στροφής κατά μήκος και γύρω από μοναδιαίο άξονα k σε απόσταση a και γωνία θ. Πρόβλημα 6: α) Έστω {Α} το πλαίσιο συντεταγμένων βάσης. Έστω επίσης πλαίσιο {Β}, το οποίο είναι επισυναπτόμενο στη βάση ενός κώνου όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. 17
18 Ο ομογενής μετασχηματισμός που συνδέει τα δύο πλαίσια είναι ο gab = Φτιάξτε ένα σχέδιο το οποίο να αντιπροσωπεύει την θέση και τον προσανατολισμό του κώνου όπως επιβάλει ο παραπάνω ομογενής μετασχηματισμός. Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής του κώνου; β) Βρείτε τον ομογενή μετασχηματισμό gba που περιγράφει την σχετική θέση του πλαισίου βάσης{α} ως προς το πλαίσιο του κώνου {Β}. Ποιες είναι οι συντεταγμένες της μύτης του κώνου ως προς το πλαίσιο {Α} και ως προς το πλαίσιο {Β}; Πρόβλημα 7: Ένα ρομπότ 6 βαθμών ελευθερίας πρέπει να σηκώσει ένα αντικείμενο με τετραγωνική διατομή από μια συγκεκριμένη θέση και να το τοποθετήσει μέσα στο άνοιγμα μίας τετραγωνικής υποδοχής που βρίσκεται στην ίδια επιφάνεια σε σταθερή θέση. Οι διαστάσεις του αντικειμένου και της υποδοχής και τα πλαίσιά τους {C} και {F} καθώς και η αρχική κατάσταση του χώρου εργασίας φαίνονται στο σχήμα 1. Σαν αδρανειακό σύστημα αναφοράς θεωρείται το πλαίσιο της βάσης του βραχίονα {R}. Επίσης το πλαίσιο {Ο} βρίσκεται στο κέντρο του τετραγωνικού ανοίγματος της υποδοχής στην επάνω επιφάνεια της. Στο σχήμα 2 φαίνεται λεπτομέρεια από το σύστημα συντεταγμένων {Ε} του άκρου της αρπάγης σε σχέση με το πλαίσιο {H} {6}του καρπού του ρομπότ. 18
19 500$ X 100$ {R}$ 150$ 100$ Y 40$ Y" {c}$ X" Z" 40$ 400$ Z" Y" Z$ {O}$ X$ 42" Y$ 42" 10" 38" {F}$ X" 62" σχήμα 1 X E# X 6# Z E# {E}$ Z 6# {6}$={H}$ 40$ 160$ σχήμα 2 Θέση#(2)# #Θέση#(1)# Y# Z E# {E}# X E# Z E# {E}# X E# {C}# X# Z# 20# 40# 100# 19
20 Θέση$(3)$ Θέση$(4)$ X" Z" {c}$ Y" 100$ Z" {Ο}$ {Ο}$ X" Y" X" X" Z" Y" Z" Y" {c}$ σχήμα 3 α) Βρείτε τους πίνακες ομογενούς μετασχηματισμού, g, 6E g, RC g, FO g. RF β) Για να εκτελεστεί η παραπάνω εργασία πρέπει ο βραχίονας να περάσει από 4 βασικές θέσεις που παρουσιάζονται στο σχήμα 3: Η θέση (1) όταν η αρπάγη είναι πλησίον του αντικειμένου. Η θέση (2) όταν η αρπάγη έχει πιάσει το αντικείμενο. Η θέση (3) όταν το αντικείμενο είναι πλησίον του πλαισίου υποδοχής. Η τελική θέση (4) με το αντικείμενο τοποθετημένο στο άνοιγμα της υποδοχής. Για να εκτελεστεί η επιθυμητή εργασία συναρμολόγησης θα δοθούν εντολές κίνησης στον βραχίονα με την μορφή των μετασχηματισμών g RH(i), για τις θέσεις i=1,2,3,4. Για κάθε μια από τις θέσεις αυτές διατυπώστε μία εξίσωση ομογενών μετασχηματισμών που να περιέχει σαν μοναδικό άγνωστο τον ομογενή μετασχηματισμό υπολογίστε τον. g RH(i) και α) Απάντηση: g =.. HE Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: g =.. RC g =.. FO g =.. RF 20
21 β) Απάντηση (συμβολικό αποτέλεσμα): g RH(1)= Απάντηση (αριθμητικό το αποτέλεσμα): g RH(1)= Απάντηση (συμβολικό αποτέλεσμα): g RH(2)= Απάντηση (αριθμητικό το αποτέλεσμα): g RH(2)= Απάντηση (συμβολικό αποτέλεσμα): g RH(3)= Απάντηση (αριθμητικό το αποτέλεσμα): g RH(3)=. Απάντηση (συμβολικό αποτέλεσμα): g RH(4)= Απάντηση (αριθμητικό το αποτέλεσμα): g RH(4)= 21
Τα ρομπότ στην βιομηχανία
Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Δρ. Φασουλάς Γιάννης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία
Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Τα ρομπότ στην
Διαβάστε περισσότεραΡοµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του
Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΘέση και Προσανατολισμός
Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΟµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις
Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΓραφικές παραστάσεις (2ο μέρος)
Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB χρησιμοποιώντας την εντολή plot με πίνακες. Επίσης, θα δείτε επιπλέον εντολές
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί
Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί
Χωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Εισαγωγή Η λειτουργία των ρομποτικών χειριστών είναι συνυφασμένη με τη μετακίνηση υλικών και εργαλείων μέσα στο χώρο με τη βοήθεια κάποιου μηχανισμού
Διαβάστε περισσότεραισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ E MAIL: pasv@uniwa.gr Εφαρμογές ρομποτικής στην Ιατρική Κλασσική χειρουργική Ορθοπεδικές επεμβάσεις Νευροχειρουργική Ακτινοθεραπεία Αποκατάσταση φυσιοθεραπεία 2 Βασικοί
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Π. Ασβεστάς Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π. Ασβεστάς Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής E-mail: pasv@uniwa.gr ΑΣΚΗΣΗ 1 1. Έστω δύο 3Δ καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής (Queuing Systems)
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΑντίστροφη Κινηματική
Αντίστροφη Κινηματική Πώς να τοποθετήσω το χέρι μου εδώ; Αντίστροφη Κινηματική: Επέλεξε αυτές τις γωνίες ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ; Vrml Inverse Kinema9cs - No solu9on Στόχος Για ένα στόχο έξω από τον χώρο εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής
Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής email: dzavanti@cs.uoi.gr Περιεχόμενα Τι είναι η Matlab; Ιστορικά Χρήσεις και στοιχεία της Matlab
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μετασχηματισμών
Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματη προσγείωση τετρακόπτερου με χρήση κάμερας
Διπλωματική εργασία Αυτόματη προσγείωση τετρακόπτερου με χρήση κάμερας Τζιβάρας Βασίλης Επιβλέπων: Κ. Κωνσταντίνος Βλάχος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Ιωάννινα Φεβρουάριος 2018 Περιεχόμενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότερα7 ο Εργαστήριο Θόρυβος 2Δ, Μετακίνηση, Περιστροφή
7 ο Εργαστήριο Θόρυβος 2Δ, Μετακίνηση, Περιστροφή O θόρυβος 2Δ μας δίνει τη δυνατότητα να δημιουργίας υφής 2Δ. Στο παρακάτω παράδειγμα, γίνεται σχεδίαση γραμμών σε πλέγμα 300x300 με μεταβαλόμενη τιμή αδιαφάνειας
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότερα3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ
3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές χρήσεις της Matlab
Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότερα4. Εισαγωγή στο Matlab
ΠΠΜ 500: Εφαρμογές Μηχανικής με Ανάπτυξη Λογισμικού 4. Εισαγωγή στο Matlab Εαρινό εξάμηνο 2006 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www. www.eng. eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στο Matlab
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 3) Σεπτέμβριος 2015
Διαβάστε περισσότεραSˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)
Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότερα1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75
1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 2. Έστω x = [2 5 1 6] α. Προσθέστε το 16 σε κάθε στοιχείο β. Προσθέστε το 3 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται σε μονή θέση.
Διαβάστε περισσότεραΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή
ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραΣύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων
Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού
Διαβάστε περισσότεραΓραφικές παραστάσεις (1ο μέρος)
ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ Τμήμα Ηλεκτρονικής Φυσική των Αισθητήρων Γραφικές παραστάσεις (1ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB, και συγκεκριμένα με τις
Διαβάστε περισσότεραΓια τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε
Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και
Διαβάστε περισσότερα3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΜεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)
Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.
Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΚΗ ΟΡΑΣΗ. 2η ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΟΡΑΣΗ 2η ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ:
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 )
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Ενότητα 5 η Παραδείγµατα µηχανισµών στο χώρο (3 ) Παράδειγµα 1 ο : Ροµποτικός βραχίονας RPPRR R: revolute pair P: prismatic pair Βραχίονας Τηλεσκοπικός βραχίονας
Διαβάστε περισσότεραΚαρακίτσιος Παναγιώτης Θέμα Ι Στατική ΙΙΙ users.ntua.gr/pkarak. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό έτος Σχολή Πολιτικών Μηχανικών
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό έτος 2010-2011 Σχολή Πολιτικών Μηχανικών 6 ο εξάμηνο Τομέας Δομοστατικής Μάθημα: Στατική ΙΙΙ (Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Σύγχρονες Μέθοδοι) Καρακίτσιος Παναγιώτης Υποψήφιος
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο Εργασίας για την y=αx 2
Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Αλληλεπίδρασης με το. Έλεγχος «Συμμόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Compliance Control)
Έλεγχος Αλληλεπίδρασης με το Περιβάλλον Έλεγχος «Συμμόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Compliance Control) Έλεγχος Εμπέδησης (Impeance Control) Αλληλεπίδραση με το περιβάλλον Η αλληλεπίδραση με το περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski
1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική
Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική
3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική Στη δυναµική µας απασχολούν δύο ειδών προβλήµατα, το ευθύ δυναµικό πρόβληµα και το αντίστροφο δυναµικό πρόβληµα. Το αντίστροφο πρόβληµα αφορά στον προσδιορισµό των ροπών
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραHMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Παράρτημα Α Μιγαδικοί Αριμοί Οι μιγαδικοί αριμοί είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στον τομέα της ηλεκτρολογίας. Τι είναι οι μιγαδικοί αριμοί (compl numbrs; Ξέρουμε
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»
Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος 018 19 «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ημερομηνία Παράδοσης : 6/11/018 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σκοπός: Η παρούσα εργασία
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 27/03/2015 1
Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 7/3/5 Σκοπός αυτού του εργαστηρίου είναι να δούμε πως μπορούμε να επιλύσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων, με την χρήση του Matlab. Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μάθηµα 3 ο Αναπαράσταση θέσης στο επίπεδο (2 ) και στο χώρο (3 ) Οµογενής Μετασχηµατισµός Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης Μεταφορά αξόνων σε 2 X Ι Ο Ι Y Ι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 8: Γραφικές παραστάσεις Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t
Διαβάστε περισσότερα9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.
9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB
Διαβάστε περισσότερα0 είναι η παράγωγος v ( t 0
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων
Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5
Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II
Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σήματος
Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Εργαστήριο 3 Εισαγωγή στα Σήματα Αλέξανδρος Μανουσάκης Τι είναι σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων
Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικός Ορισμός Τρισδιάστατου Χώρου
Μαθηματικός Ορισμός Τρισδιάστατου Χώρου (R 3 ), κατ επέκτασιν του διδιάστατου Ο R 3 είναι ένα σύνολο σημείων με συντεταγμένες (x,y,z) Τα x, y και z έχουν τις εξής ιδιότητες: Το καθένα από αυτά διατρέχει
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους
1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους Σκοποί της πέμπτης διάλεξης: 10.11.2011 Εξοικείωση με τους μετασχηματισμούς του Lorentz και τις διάφορες μορφές που μπορούν να πάρουν για την επίλυση
Διαβάστε περισσότερα1 η Εργαστηριακή Άσκηση MATLAB Εισαγωγή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. Εργαστήριο Επεξεργασία Εικόνας & Βίντεο 1 η Εργαστηριακή Άσκηση MATLAB Εισαγωγή Νικόλαος Γιαννακέας Άρτα 2018 1 Εισαγωγή Το Matlab
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Διανύσματα ιανύσματα (ectors Ορισμός: Προσανατολισμένο ευύγραμμο τμήμα που έχω την ελευερία να το μεταφέρω σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Έχουν τρία στοιχεία: Μήκος ιεύυνση
Διαβάστε περισσότεραΜε τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:
Διαβάστε περισσότερα