1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία)

Transcript

1 1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) ΒΑΘ/ΓΙΑ ΘΕΜΑ 1ο µονάδες 1 Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών στήλη Α συν (y - x) ηµ (x + y) συν (x + y) ηµ (x - y) στήλη Β συνxσυνy - ηµxηµy ηµyσυνx - ηµxσυνy -ηµyσυνx + ηµxσυνy ηµyηµx - συνxσυνy ηµxσυνy + ηµyσυνx συνxσυνy + ηµyηµx µονάδες Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών στήλη Α συν3x ηµ5x συν7x ηµ11x στήλη Β ηµ14xηµ3x - συν14xηµ3x συν3xσυν4x - ηµ3xηµ4x ηµxηµx - συνxσυνx συν3xσυν4x + ηµ3xηµ4x συνxσυνx - ηµxηµx ηµ3xσυνx + ηµxσυν3x συν3xηµ14x - ηµ3xσυν14x 1,5 µονάδες 3 Η παράσταση: y = ηµ ( π 6 - x) συν (π 3 + x) + ηµ (π 3 + x) συν (x - π 6 ) είναι ίση µε: Α συν π Β συν π 6 Γ ηµ π ηµ π 3 Ε ηµ π 6 1

2 1,5 µονάδες 4 Η παράσταση: y = συν ( π 6 + x) συν ( π 3 - x) + ηµ (π 6 + x) ηµ (x - π 3 ) είναι ίση µε: Α συν π 6 Β ηµ π 6 Γ - συν π 6 συν 5π 6 Ε συν π 3 1 µονάδα 1 µονάδα 5 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµασυνβ + ηµβσυνα = 1 τότε το τρίγωνο είναι: Α οξυγώνιο Β αµβλυγώνιο Γ ορθογώνιο οξυγώνιο ισοσκελές Ε ισόπλευρο 6 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµαηµβ - συνασυνβ = 0 τότε για τις γωνίες του τριγώνου είναι: Α Α = 90 Β Β = 90 Γ Γ = 90 Β = Γ Ε Γ > 90 ΒΑΘ/ΓΙΑ µονάδες 4 µονάδες 5 µονάδες ΘΕΜΑ ο 1 Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: συν33 συν1 - συν57 ηµ1 Να αποδείξετε ότι: συνx + συν (10 + x) + συν (40 + x) = 0 3 Να αποδείξετε ότι: συν (α + β) ηµ (α - β) = ηµασυνα - ηµβσυνβ ΒΑΘ/ΓΙΑ 1 µονάδα 1 µονάδα µονάδες ΘΕΜΑ 3ο 1 Το ηµα είναι ίσο µε: Α ηµασυνα Β ηµ α + 1 Γ ηµασυνα 1 - συν α Ε κανένα από τα προηγούµενα Το συνα είναι ίσο µε: Α 1 - συν α Β ηµ α - συν α Γ 1 - ηµα 1 - ηµ α Ε κανένα από τα προηγούµενα 3 Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών

3 στήλη Α ηµ α συν α εφ α στήλη Β 1 + συνα 1 - συνα 1 - συνα 1 - συνα 1 + συνα συνα - 1 συνα µονάδα 4 Η παράσταση ηµα 1 + συνα Α σφα Β είναι ίση µε: συνα 1 + ηµα εφα Ε σφα Γ εφα 1,5 µονάδες 5 Το ηµ 30 είναι ίσο µε: Α 4 συν 30 Β 1 συν 30 Γ 4συν 30 Ε κανένα από τα προηγούµενα 1,5 µονάδες 6 Το συν15 είναι ίσο µε: Α 1 ηµ15 ηµ30 Β 1 4ηµ15 Γ 3 4 συν30 ηµ15 Ε κανένα από τα προηγούµενα ΒΑΘ/ΓΙΑ 3 µονάδες ΘΕΜΑ 4ο 1 Να δειχθεί ότι: συν 4 4α - ηµ 4 4α = συν8α 4 µονάδες Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ηµ3α ηµα - συν3α συνα = 5 µονάδες 3π 3 Αν π < y < και 5ηµ y + 5ηµy - 1 = 0, να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί ηµy και συνy 3

4 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) Θέµα 1 ον Να χαρακτηρίσετε µε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: Σωστό Λάθος 11π 1 Αν µια γωνία έχει µέτρο -, τότε έχει την 6 π ίδια αρχική και τελική πλευρά µε τη γωνία - 6 ηµ π + ηµ 5π = Αν ω + φ = π τότε συνφ = ηµω 4 Αν x + y = 0 τότε ηµx = ηµy 5 Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ έχουµε: α) ηµ (Α + Β + Γ + ) = 1 β) συν (Α + Β + Γ + ) = 0 γ) ηµ (Α + Β) = ηµ (Γ + ) δ) συν (Α + Γ) = συν (Β + ) 6 Υπάρχει τρίγωνο που το ηµίτονο µιας γωνίας του είναι - 1 Θέµα ον 1 Να απλοποιηθεί η κλασµατική παράσταση: Συµπληρώστε τον πίνακα: ηµ ( π+ x) ηµ συν ( x) συν π ( - x) ( π+ x) Γωνία ηµ συν εφ Θέµα 3 ον Να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: α) ηµ 4 x - συν 4 x = ηµ x - συν x 4

5 β) 1-εφ 1+εφ x x = 1 - ηµ x Θέµα 4 ον 1 Η στήλη Α περιέχει τις βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις Γράψτε στη στήλη Β τις λύσεις των εξισώσεων αυτών στήλη Α ηµx = ηµα x = στήλη Β εφx = εφβ γ = συνx = συνγ x = σφx = σφδ x = Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις α) ηµ θ = 3 (1 - συνθ) β) εφ 4 x - 4εφ x + 3 = 0 3 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) ΘΕΜΑ 1 ο 1 Για τα τόξα α, β, α+ β ου το καθένα είναι διάφορο του κπ + π, κ Ÿ, να εφα+εφβ α οδειχθεί ότι εφ( α+β) = 1 εφα εφβ Βαθµός 15 Για τα τόξα α+β, α β, α ου το καθένα είναι διάφορο του κπ + π, κ Ÿ, να εφ( α+β) +εφ( α β) α οδειχθεί ότι =εφα 1 εφ( α+β) εφ( α β) Βαθµός 10 ΘΕΜΑ ο 1 Α οδείξετε ότι ισχύει συν( α+β) συν( α β) =συν α ηµ β, για κάθε α, β Βαθµός 10 Α οδείξτε ότι: 5

6 α συν ( 4x) συνx ηµ ( 4x) ηµ ( x) = συν( 3x) x 3π β 1 ηµ = συνx Βαθµός 7 Βαθµός 8 ΘΕΜΑ 3 ο 1 Να λυθεί η εξίσωση 3ηµ x 3συν x= ηµ x Βαθµός 1 συνα+ηµα συνα ηµα Α οδείξτε ότι = εφα συνα ηµα συνα+ηµα Βαθµός 13 ΘΕΜΑ 4 ο ηµ 4α 1 συνα 1 είξτε ότι = εφα 1 συν4α συνα Βαθµός 10 Είναι γνωστό, (α ό µια εφαρµογή του σχολικού βιβλίου) ότι, για κάθε α, β, ισχύει: ηµ ( α+β) ηµ ( α β) =ηµ α ηµ β, Αν λοι όν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµ ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Α=ηµ Β+ηµ Γ, να δείξετε ότι το τρίγωνο Βαθµός 15 4 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Πολυώνυµα) ΒΑΘ/ΓΙΑ 1 µονάδα 1 µονάδα 1 µονάδα ΘΕΜΑ 1ο 1 Το ολυώνυµο P (x) = (x - 1) 3 + x - 5 είναι: Α µηδενικού βαθµού Β ρώτου βαθµού Γ δευτέρου βαθµού τρίτου βαθµού Ε το µηδενικό ολυώνυµο Το ολυώνυµο P (x) = (λ - 4) x 3 + ( - λ) x + (λ + ) x + λ - 3 είναι σταθερό ολυώνυµο, όταν το λ ισούται µε: Α - Β 0 Γ για κάθε λ R Ε για καµία τιµή του λ R 3 Αν τα ολυώνυµα P (x) = λ ν-1 x (λ + 3) x 5 + x + 1 και Q (x) = λx (λ - 5) x 5 + x - (λ - ), είναι ίσα, τότε ο ραγµατικός αριθµός λ ισούται µε: Α - 1 Β 0 Γ 1 5 Ε 6

7 1 µονάδα 4 Αν η διαίρεση ενός ολυωνύµου P (x) µε το διώνυµο 3x + είναι τέλεια, τότε το Ρ (x) έχει ρίζα τον αριθµό: Α - Β - 3 Γ 3-3 Ε 3 1 µονάδα 5 Το ολυώνυµο P (x) = x 6 + 5x 4 + x + 7 το διαιρούµε µε το διώνυµο x - ρ Αν είναι υ το υ όλοι ο αυτής της διαίρεσης, τότε: Α υ = 0 Β υ > 0 Γ υ < 0 υ 0 Ε κανένα α ό τα ροηγούµενα ΒΑΘ/ΓΙΑ,5 µονάδες ΘΕΜΑ ο 1 Να δειχθεί ότι το ολυώνυµο Ρ (x) = (κ - ) x + (λ + 6) x + κ + λ - 3 είναι διάφορο του µηδενικού για ο οιουσδή οτε ραγµατικούς αριθµούς κ και λ,5 µονάδες Να βρεθεί για τις διάφορες τιµές του λ ο βαθµός του ολυωνύµου Ρ (x) = (1 - λ ) x 3 + (λ + 1) x + x - 3 ΒΑΘ/ΓΙΑ,5 µονάδες ΘΕΜΑ 3 ο 1 ίνεται το ολυώνυµο Ρ (x) = x + x - 3 Να ροσδιοριστεί ο ραγµατικός αριθµός κ, αν ισχύει: Ρ (1 - κ) = 3,5 µονάδες Να βρείτε το ολυώνυµο Ρ (x) το ο οίο όταν διαιρεθεί µε το x - 1, δίνει ηλίκο 3x - 1 και υ όλοι ο x + 5 ΒΑΘ/ΓΙΑ ΘΕΜΑ 4ο 5 µονάδες 1 Να ροσδιοριστούν οι ραγµατικοί αριθµοί κ, λ ώστε το ολυώνυµο Ρ (x) = x 3 - κx + (λ - 1) x + 5 να έχει για αράγοντα το (x - 1) (x + ) 7

8 5 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Πολυωνυµικές εξισώσεις) ΒΑΘ/ΓΙΑ 1 µονάδα 1 µονάδα 1 µονάδα 1 µονάδα ΘΕΜΑ 1ο 1 Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ρίζα πραγµατικό αριθµό; Α x - x + 1 = 0 Β x 5 - x = 0 Γ x 3-5x + 3 = 0 x 4 + 5x + 7 = 0 Ε x 6-1 = 0 Η εξίσωση x 3-6x + κx + 4 = 0, κ Ζ αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθµό: Α -1 Β - Γ 1 Ε 5 3 Για να δεχθούµε το ρ για ρίζα της εξίσωσης 3 - x = x + x + 5 πρέπει: Α ρ (0, + ) Β ρ (3, + ) Γ ρ [3, + ) ρ (-, 3] Ε ρ (-, 3) 4 Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f τουλάχιστον δευτέρου βαθµού διέρχεται από τα σηµεία Α (1, 3) και Β (4, - 8), τότε η εξίσωση f (x) = 0 στο διάστηµα (1, 4) έχει: Α ακριβώς µία ρίζα Β τουλάχιστον µία ρίζα Γ το πολύ δύο ρίζες το πολύ µία ρίζα Ε ακριβώς δύο ρίζες ΒΑΘ/ΓΙΑ,5 µονάδες,5 µονάδες ΘΕΜΑ ο 1 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 4 + x 3 - x - 1 = 0 β) x 3 - x - 5x + 6 = 0 ΒΑΘ/ΓΙΑ,5 µονάδες,5 µονάδες ΘΕΜΑ 3ο 1 Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x 3 + x x + β) x 3 - x 5x - 6 ΒΑΘ/ΓΙΑ ΘΕΜΑ 4ο 1 Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 µονάδες 3 µονάδες α) x - 8 = x - 10 β) + x - 5 = 13 - x 8

9 6 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Αριθµητική Πρόοδος) 1 ο Θέµα Α α) Πότε µια ακολουθία (α ν ) είναι αριθµητική πρόοδος; β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τη σχέση που συνδέει τους αριθµούς α, β, γ ώστε να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου Β α) Από τις παρακάτω ακολουθίες αριθµητική πρόοδος είναι η Α 3, 6, 8, 10, 11, Β, 4, 8, 16, 3, Γ -3, 1, 5, 9, 13, -3, 0, 3, 6, Ε,,,, β) Σε µια αριθµητική πρόοδο είναι α 1 = 11και ω= 3 Τότε οι θετικοί της όροι είναι οι Α Β 3 Γ 4 5 Ε όλοι οι όροι της γ) Ο 15 είναι ο αριθµητικός µέσος των αριθµών Α 5 και 0 Β -5 και -5 Γ -9 και -1 9 και 1 Ε 9 και -1 δ) i) Ένας µαθητής ύψους 1,7 m στέκεται µπροστά σε µια σκάλα, κάθε σκαλοπάτι της οποίας έχει ύψος 18 cm Το πρώτο σκαλοπάτι της σκάλας που βρίσκεται σε µεγαλύτερο ύψος από τον µαθητή είναι το Α όγδοο Β δέκατο Γ ενδέκατο δωδέκατο Ε εικοστό ii) εν υπάρχει σκαλοπάτι που να είναι σε ύψος (πάνω από το έδαφος) Α 36 cm Β 54 cm Γ 7 cm 1,44 m Ε 1,56 m ο Θέµα α) Να βρείτε το πλήθος των διψήφιων αρτίων αριθµών β) Να βρείτε το άθροισµα των διψήφιων αρτίων αριθµών γ) Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 περιέχονται µεταξύ του 15 και του 300 δ) Να βρείτε την αριθµητικό πρόοδο της οποίας το άθροισµα των 3 πρώτων όρων της είναι ίσο µε - 3 και το άθροισµα των 5 όρων της είναι ίσο µε 10 3 ο Θέµα A α) Ποια ακολουθία είναι γεωµετρική πρόοδος; β) Ποια σχέση συνδέει τον α ν µε τον α 1 και τον λ; γ) Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, να διατυπώσετε και να αποδείξετε τη σχέση που τους συνδέει Β α) Σε κάθε γεωµετρική πρόοδο της στήλης Α να αντιστοιχίσετε τους νιοστούς όρους της στήλης Β 9

10 Στήλη Α 1) 3, 1, 48, 5 ) - 10, -5,, 8 3) 4, 8,, 3 Στήλη Β Α) α ν = 4 3 Β) α ν = 3 4 ν-1 Γ) α ν = 4 3 ν-1 1 ν 1 ) α ν = - 10 Ε) α ν = ν 1 1 ν 1 Απάντηση: 1 3 α β) Αν οι, γ, α β είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, τότε β Α γ = β Β γ = β Γ γ = α γ = α Ε γ = α β γ) Για να είναι µία ακολουθία α 1, α, α ν γεωµετρική πρόοδος πρέπει Α η διαφορά δύο διαδοχικών όρων να είναι σταθερή Β το πηλίκο δύο οποιονδήποτε όρων να είναι σταθερό λ R* Γ το πηλίκο των διαδοχικών όρων της να είναι σταθερό λ R* να είναι α 1 + α ν = λ για κάθε ν Ν* Ε να είναι α ν = α 1 λ για κάθε ν Ν* δ) Σε οποιαδήποτε γεωµετρική πρόοδο ισχύει ότι Α το άθροισµα των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι ίσο µε το άθροισµα των άκρων όρων Β το γινόµενο των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι σταθερό και ίσο µε το γινόµενο των άκρων όρων Γ το α 1 α ν = λ ν το γινόµενο δύο οποιονδήποτε όρων της είναι ίσο µε α 1 α ν α Ε το πηλίκο δύο οποιονδήποτε όρων της είναι ίσο µε α ν 1 10

11 1 ο Θέµα 7 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γεωµετρική Πρόοδος) Α α) Σε µια γεωµετρική πρόοδο το άθροισµα S ν των ν πρώτων όρων της είναι ν 1 λ 1 Α α 1 λ 1 α 1 α ν 1 λ 1 λ Β α ν 1 1 λ 1 Ε α1 αν λ 1 β) Να αποδείξετε τον τύπο που επιλέξατε α 1 Γ α 1 ν λ 1 Β Αν σε µία γεωµετρική πρόοδο είναι α 1 = 8 και λ = 4 1, να βρεθεί το άθροισµα S4 των ο Θέµα τεσσάρων πρώτων όρων Σ έναν ουρανοξύστη 17 ορόφων τα γραφεία του ιδίου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο Κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται δρχ το µήνα Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 3500 δρχ το µήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγουµένου ορόφου α) Ποιο είναι το µηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέµπτου ορόφου; β) Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 10ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου; γ) Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις δρχ το µήνα; δ) Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι µικρότερο κατά από το πλήθος των γραφείων του αµέσως προηγουµένου ορόφου και ο 17ος όροφος έχει 1 γραφεία, πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος; 3 ο Θέµα Ένα κερί καίγεται µε σταθερό ρυθµό Στο τέλος της 1ης ώρας είχε ύψος 36 cm, στο τέλος της ης 33 cm, στο τέλος της 3ης 30 cm κλπ I i) Οι τιµές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελούν αριθµητική πρόοδο µε διαφορά ω= 3 ii) Οι τιµές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελούν αριθµητική πρόοδο µε πρώτο όρο α 1 = 36 iii) Το ύψος του κεριού στο τέλος κάθε ώρας θα είναι πολλαπλάσιο του 3 Σ Λ iv) Στο τέλος της 5ης ώρας το ύψος του κεριού θα είναι µικρότερο από 0 µέτρα Σ Λ v) Μετά από 15 ώρες το κερί δεν θα έχει λειώσει τελείως Σ Λ Σ Σ Λ Λ 11

12 II i) Ποια από τις παρακάτω τριάδες είναι ύψη του κεριού στο τέλος τριών διαδοχικών ωρών: Α 1, 3, 5 Β 18, 0, Γ 4, 5, 6 15, 1, 7 Ε 15, 18, 1 ii) Στο τέλος της 6ης ώρας το ύψος του κεριού θα είναι Α 5 cm Β 0 cm Γ 18 cm 1 cm Ε 4 cm iii) Το ύψος του κεριού θα γίνει µικρότερο από 18 cm στο τέλος της Α 4ης ώρας Β 6ης ώρας Γ 8ης ώρας 10ης ώρας Ε 1ης ώρας iv) Το κερί θα λειώσει τελείως µετά από Α 5 ώρες Β 0 ώρες Γ 18 ώρες 15 ώρες Ε 1 ώρες v) Το ύψος που θα έπρεπε να έχει το κερί για να λειώσει τελείως µετά από 4 ώρες είναι Α 59 cm Β 66 cm Γ 68 cm 70 cm Ε 7 cm 4 ο Θέµα ίνεται η ακολουθία µε S ν = (3 ν - 1) α) Να βρεθεί το S ν-1 β) Να βρεθεί ο α ν γ) Να βρεθεί ο α ν+1 δ) Να δειχθεί ότι αυτή είναι γεωµετρική πρόοδος και να βρεθεί ο λ και ο α 1 ε) Πόσους όρους της πρέπει να πάρουµε για να έχουµε άθροισµα 484; Θέµα 1ο 8 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Εκθετική Λογαριθµική συνάρτηση) α) Η εκθετική συνάρτηση µε τύπο f (x) = α x µε 0 < α 1 έχει πεδίο ορισµού Α το διάστηµα [ 0+, ) Β το διάστηµα ( 0+, ) Γ το σύνολο R το σύνολο R - {1} Ε το σύνολο R * β) Η εκθετική συνάρτηση µε τύπο f (x) = α x µε 0 < α 1 έχει σύνολο τιµών Α το διάστηµα [ 0+, ) Β το διάστηµα ( 0, ] Γ το διάστηµα ( 0, ) το διάστηµα ( 0+, ) Ε Το σύνολο R * γ) Το πεδίο ορισµού της λογαριθµικής συνάρτησης µε τύπο f (x) = log α x µε 0<α 1 είναι Α Το διάστηµα [ 0, + ) B Το σύνολο R Γ Το διάστηµα ( 0+, ) Το σύνολο R* E Το σύνολο R-{1} δ) Το σύνολο τιµών της λογαριθµικής συνάρτησης µε τύπο f(x)=log α x µε 0 < α 1 είναι Α Το διάστηµα [ 0, + ) Β Το σύνολο R Γ Το διάστηµα ( 0+, ) Το διάστηµα ( 0, ) Ε Το διάστηµα ( 0, ] 1

13 ε) Η λογαριθµική συνάρτηση µε τύπο f (x) = log α x µε ο< α 1 έχει γραφική παράσταση που τέµνει Α µόνο τον άξονα y y Β τον άξονα x x στο σηµείο (1, 0) Γ τον άξονα x x και τον άξονα y y τον άξονα x x σε δύο σηµεία Ε τίποτα από τα παραπάνω (10 µονάδες) Θέµα ο 1 1 x x+ x 1 Α Να λύσετε την εξίσωση: 4 3 = 3 Β α) Να υπολογίσετε τον αριθµό 100 x β) Να λύσετε την εξίσωση: 3 log x 3 3 log x 100 log = 0 log 3 (4 µονάδες) ( µονάδες) (4 µονάδες) 9 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Εκθετική Λογαριθµική συνάρτηση) Θέµα 1ο Α Αν 0 < α 1 και ϑ, ϑ 1,ϑ θετικοί πραγµατικοί αριθµοί να αποδείξετε ότι: α) log ( ϑ1 ϑ) = logαϑ1 + logαϑ α και β) log ϑ = k log ϑ α k α, k R Β α) Η παράσταση log + log7 είναι ίση µε (4 µονάδες) Α log9 B log14 Γ log 7 log5 E log7 β) Η παράσταση log 3 είναι ίση µε Α log6 B log5 Γ log3 3log E κανένα από τα προηγούµενα γ) Αν log50 + log = logx τότε το x είναι ίσο µε Α 100 B 5 Γ 5 10 Ε δ) Η συνάρτηση f (x) = log (x - 6) + log (x - 7) ορίζεται αν Α x = 6 B x < 6 Γ x > 7 x = 7 E 6 < x < 7 ε) Αν log [log (x - )] = 0 τότε το x είναι ίσο µε A 1 B Γ 3 4 Ε 10 Θέµαο 1 α α) Να βρείτε τo (α 5) ώστε η f ( x)= α 5 x να είναι γνησίως αύξουσα (10 µονάδες) 13

14 β) Να βρείτε το x 0 (που είναι η τετµηµένη του κοινού σηµείου της ευθείας y= e και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x 1 y= ) e (6 µονάδες) Θέµα 1ο 10 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Επαναληπτικό) A α) Τα πολυώνυµα P (x) = α µ x µ + α 1 x + α 0 και q (x) = β ν x ν + + β 1 x + β 0 µε µ ν πότε λέµε ότι είναι ίσα; (,5 µονάδες) β) Αποδείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x - ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ Είναι δηλαδή υ = P (ρ) (5 µονάδες) γ) Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x + α 0 = 0 µε ακεραίους συντελεστές Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε αποδείξτε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 (5 µονάδες) Β α) Τα πολυώνυµα P (x) = x 3 - βx + 5 και q (x) = x 3 + βx β, β R είναι ίσα όταν ο β ισούται µε Α - 1 Β 0 Γ 1 5 Ε - 5 β) Αν τα πολυώνυµα P (x) = λ ν+1 x ν + (λ - 3) x + x - 1 και q (x) = λx x + x - (λ + 1) είναι ίσα, τότε ο πραγµατικός αριθµός λ ισούται µε Α 1 Β - 1 Γ Ε κάθε πραγµατικό αριθµό γ) Το πολυώνυµο Ρ (x) = x 6 + x 4 + x + 5 το διαιρούµε το διώνυµο x - ρ Αν υ το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, τότε ισχύει ότι Α υ > 0 Β υ < 0 Γ υ = 0 υ 0 Ε υ = - 5 δ) Το πολυώνυµο Ρ (x) = (x - 1) x - 3 το διαιρούµε το διώνυµο x - 1 Το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης είναι Α 0 Β - 3 Γ 3 - Ε ε) Η εξίσωση x 3-5x + κx + = 0, κ Ζ, αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθµό Α - 1 Β 1 Γ - Ε 3 (1,5 µονάδες) Θέµα ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 10 α) Να δείξετε ότι α - βγ = β + γ (10 µονάδες) β) Αν α = 3 και β =, να βρείτε τις γωνίες Β και Γ (15 µονάδες) 14

15 Θέµα 3ο 1- x ίνεται η συνάρτηση f (x) = log 1+ x α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της (10 µονάδες) α+ β β) Να αποδείξετε ότι f = f (α) + f (β) (15 µονάδες) 1+ αβ Θέµα 4ο Στο διπλανό σχήµα ο κύκλος c 1 έχει ακτίνα R και κέντρο το σηµείο Κ Οι οµόκεντροί του κύκλοι c R R και c 3 έχουν ακτίνα και αντιστοίχως Αν 4 συνεχίσουµε µε την ίδια διαδικασία να κατασκευάζουµε κύκλους (κάθε επόµενος να είναι οµόκεντρος του προηγούµενου του και να έχει τη µισή ακτίνα απ αυτόν) α) Nα βρείτε, συναρτήσει του R, την ακτίνα των c 5, c 6 β) Να βρείτε το µήκος του κύκλου c 7 γ) Να βρείτε το εµβαδόν του κύκλου c 1 δ) Να βρείτε το άθροισµα των εµβαδών των 5 πρώτων κύκλων ε) Να βρείτε το άθροισµα των εµβαδών των απείρων κύκλων που σχηµατίζονται µε τον παραπάνω τρόπο C 3 C C 1 (5 µονάδες) 11 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Επαναληπτικό) Θέµα 1ο A α) Να συµπληρώσετε τις ισότητες: (0 < α 1 και θ, θ 1, θ > 0) log α α x = log α 1 = log α α = α log α θ = log α (θ 1 θ ) = β) Αν 0 < α 1, θ > 0 και κ R να αποδείξετε την ισότητα: log α θ κ = κ log α θ Β α) Η παράσταση log + log7 είναι ίση µε (5 µονάδες) (7,5 µονάδες) Α log9 B log14 Γ log 7 log5 E log7 β) Η παράσταση log1 - log3 είναι ίση µε Α log9 B log15 Γ log36 1log3 E log4 γ) Η παράσταση log 3 είναι ίση µε Α log6 B log5 Γ log3 3log 15

16 E τίποτα από τα προηγούµενα δ) Η παράσταση 3 log 3 5 είναι ίση µε Α 5 B log5 Γ 3 log3 Ε 0 ε) Η παράσταση 1 log5+ 1 log8είναι ίση µε 3 Α 1 6 Β 1 log 00 Γ 5 log 34 1 Ε log Θέµα ο ίνεται η εξίσωση x 5 + x 4 + κx + λ = 0 α) Να προσδιορίσετε τα κ, λ R ώστε το πολυώνυµο να έχει παράγοντα το (x + 1) β) Για τις τιµές των κ, λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση Θέµα 3ο Ο νιοστός όρος µιας ακολουθίας είναι αν = 3 ν + α) Να βρείτε τον επόµενο όρο α ν+1 β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (α ν ) είναι αριθµητική πρόοδος γ) Να βρείτε το άθροισµα των 30 πρώτων όρων της δ) Να βρείτε την τάξη του όρου της που είναι ίσος µε 6 (1,5 µονάδες) (5 µονάδες) (,5 µονάδες) (7,5 µονάδες) (7,5 µονάδες) (7,5 µονάδες) Θέµα 4ο Ένας φωτογράφος προετοιµάζοντας µια φωτογράφιση µέσα στο στούντιο τοποθέτησε τρεις προβολείς εδάφους στα σηµεία Α, Β και Γ έτσι ώστε: γωνα = 10, ΒΓ = 5,19 m και ΑΒ = 3 m α) Επειδή ο φωτισµός, όταν οι γωνγ και γωνβ είναι µεγαλύτερες από 35 δεν επιτρέπει την σωστή φωτογράφιση, ελέγξτε αν ο φωτογράφος έστησε σωστά τους προβολείς υπολογίζοντας τις γωνίες Β και Γ β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΓ (10 µονάδες) (7,5 µονάδες) γ) Ο φωτογράφος επιλέγει να τοποθετήσει το κέντρο του θέµατος της φωτογράφισης σ ένα σηµείο που δέχεται τον ίδιο φωτισµό και από τους τρεις προβολείς Πόσο θα απέχει το σηµείο αυτό από κάθε προβολέα; (7,5 µονάδες) ( ίνεται 3 = 1,73 και ότι οι προβολείς έχουν την ίδια φωτεινότητα) 16

17 ΘΕΜΑ 1ο 1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) Α Να α οδείξετε ότι ο ν ος όρος µιας αριθµητικής ροόδου µε ρώτο όρο α1 και διαφορά ω είναι αν = α1 + (ν-1)ω Μονάδες 7 Β Γράψτε το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή α άντηση Αν logαθ = x, τότε: α α θ = x β x α = θ γ α x = θ Μονάδες 3 Γ Γράψτε το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή α άντηση Αν Sν συµβολίζει το άθροισµα των ρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής ροόδου αν µε λόγο λ 1 και ρώτο όρο α1, τότε είναι: λ 1 λ α Sν= α1 β Sν= 1 1 λ ν α1 γ Sν= α1 λ 1 λ 1 λ 1 Μονάδες 3 Γράψτε το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή α άντηση Ο τύ ος ου εκφράζει την εφα τοµένη της γωνίας α είναι: εφα εφα εφα α εφα =, β εφα =, γ εφα = 1 εφ α 1+εφ α 1 εφ α Μονάδες 3 Ε Γράψτε στο τετράδιό σας τις αρακάτω ροτάσεις ορθά συµ ληρωµένες: α Ο βαθµός του γινοµένου δύο µη µηδενικών ολυωνύµων είναι ίσος µε το των βαθµών των ολυωνύµων αυτών β Τρεις µη µηδενικοί αριθµοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι ροόδου, αν και µόνο αν ισχύει β = ΑΓ γ Αν α είναι ένας θετικός αριθµός και α 1, τότε η συνάρτηση f(x) = α x έχει σύνολο τιµών το διάστηµα Μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο Α Για κάθε ραγµατικό αριθµό x να α οδείξετε ότι: συνx(ηµx+4ηµx)=(συνx+4συνx+1)ηµx Μονάδες 1 Β Να βρείτε εκείνους τους ραγµατικούς αριθµούς x για τους ο οίους συνx+4συνx+1 = 0 Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η ακολουθία µε γενικό όρο αν = -11+ν µε ρώτο όρο α1 καθώς και το ολυώνυµο P(x) = x 3-3x -x+3 α Να α οδείξετε ότι η ακολουθία αν είναι αριθµητική ρόοδος και έχει ρώτο όρο α1 = -9 και διαφορά ω = Μονάδες 9 β Να βρείτε το άθροισµα S=α1+α13++α1, ό ου α1,α13,,α1 είναι διαδοχικοί όροι της ροόδου αν Μονάδες 7 γ Να α οδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης P(x)=0 είναι διαδοχικοί όροι της αρα άνω ροόδου αν Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e x -e x +3) και g(x) = ln3+ln(e x -1) 17

18 α Να βρείτε τα εδία ορισµού των f(x) και g(x) Μονάδες 6 β Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) > g(x) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 1ο 13 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) Α1 Έστω η ολυωνυµική εξίσωση ανx ν + αν-1 x ν α1 x + α0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να α οδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 Μονάδες 6,5 Α Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή α άντηση Έστω ολυώνυµο Ρ(x) και ρ ένας ραγµατικός αριθµός Αν το Ρ(x) έχει αράγοντα το x ρ και (x) είναι το ηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x ρ, τότε: α Ρ(x) = (x ρ) (x) + 1 β (x) = (x ρ) P(x) γ ο βαθµός του υ ολοί ου της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x-ρ είναι ίσος µε µηδέν δ Ρ(ρ) = 0 Μονάδες 6 Β1 Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δί λα στο γράµµα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση α Η εξίσωση 3x 3 5x + 6 = 0 έχει ρίζα το 4 β Η εξίσωση 4x 4 + 5x + 7x + 4 = 0 έχει ρίζα το γ Η εξίσωση 6x 6 3x 3 + x x + = 0 δεν έχει ρίζα το 3 Μονάδες 6 Β Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή α άντηση Το ολυώνυµο P(x) = (4x + 5) x 001 έχει αράγοντα το: 5 α x + 1 β x 1 γ x δ x + 4 ΘΕΜΑ ο Για τη γωνία α ισχύει ότι 5 συνα 14 συνα 7 = 0 α Να δείξετε ότι συνα = 5 3 Μονάδες 6,5 18

19 3 β Αν ε ι λέον ισχύει α, να υ ολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµα, συνα και εφα Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3ο Ο τρίτος όρος µιας αριθµητικής ροόδου (αν) είναι ίσος µε α3 = log15 και η διαφορά της είναι ίση µε ω = log5 α Να δείξετε ότι ο ρώτος όρος α1 της ροόδου είναι ίσος µε τη διαφορά ω β Να υ ολογίσετε το άθροισµα Α = α1 + α + + α9 γ Έστω (βν) µία γεωµετρική ρόοδος µε β1 = α1 και β = α, ό ου α1 και α ο ρώτος και ο δεύτερος όρος της αρα άνω αριθµητικής ροόδου αντίστοιχα Να υ ολογίσετε το άθροισµα Β = β1 + β3 + β5 + + β β001 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο Έστω Q(t) η τιµή ενός ροϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες δραχµές), t έτη µετά την κυκλοφορία του ροϊόντος στην αγορά Η αρχική τιµή του ροϊόντος ήταν δραχµές, ενώ µετά α ό 6 µήνες η τιµή του είχε µειωθεί στο µισό της αρχικής του τιµής Αν είναι γνωστό ότι ισχύει ln Q(t) = αt + β, t 0, ό ου α, β ΙR, τότε: α να δείξετε ότι Q(t) = 3 4 t, t 0, β να βρείτε σε όσο χρόνο η τιµή του ροϊόντος θα γίνει ίση µε 1/16 της αρχικής του τιµής, γ να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον ο οίο η τιµή του ροϊόντος δεν υ ερβαίνει το 1/9 της αρχικής του τιµής Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 1ο 14 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) Α Να α οδείξετε ότι το υ όλοι ο υ της διαίρεσης ενός ολυωνύµου P(x) µε το x - ρ είναι ίσο µε την τιµή του ολυωνύµου για x = ρ Είναι δηλαδή υ = P(ρ) Μονάδες 9 19

20 Β Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δί λα στο γράµµα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση α e x = θ lnθ = x, θ>0 β Αν α>0 µε α 1, τότε για ο οιουσδή οτε θ1, θ > 0 ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 logαθ εεφ γ εφα = 1+ εφ α 1 -συνα δ ηµ α = εφα+ εφβ ε εφ(α -β) = 1 εφα εφβ Γ Πότε µία ακολουθία λέγεται: α αριθµητική ρόοδος; β γεωµετρική ρόοδος; Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί α1 = συνα, α = συν α, α3 = 1, ό ου η γωνία α ικανο οιεί τη σχέση 0 < α < α Να α οδείξετε ότι αυτοί οι αριθµοί, µε τη σειρά ου δίνονται, α οτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής ροόδου Μονάδες 7 β Να βρείτε τη διαφορά ω αυτής της ροόδου γ Να βρείτε το άθροισµα των έντε ρώτων όρων της ροόδου ΘΕΜΑ 3ο ίνεται το ολυώνυµο P(x) = kx 3 - (k + λ)x + λx + 1 α Αν 1 P - = 7 και P(-1) = 3, να α οδείξετε ότι k = -6 και λ = -5 β Να γίνει η διαίρεση του P(x), για k = -6 και λ = -5, µε το ολυώνυµο x + 1 και να γραφεί το P(x) µε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης γ Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 για k = -6 και λ = -5 Μονάδες 9 0

21 ΘΕΜΑ 4ο x e - 1 ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln x e + 5 α Να βρείτε το εδίο ορισµού της f(x) β Να λύσετε την εξίσωση f(x) = ln γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0 Μονάδες 5 15 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) ΘΕΜΑ 1 ο Α1Να γράψετε τον τύ ο ου δίνει το νιοστό όρο αν µιας αριθµητικής ροόδου (αν), ου έχει ρώτο όρο α1 και διαφορά ω Μονάδες 3 ΑΝα γράψετε τη σχέση µεταξύ των ραγµατικών αριθµών α,β,γ έτσι, ώστε οι αριθµοί αυτοί, µε τη σειρά ου σας δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου Μονάδες 3 A3Nα α οδείξετε ότι το άθροισµα Sν των ρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής λ ν 1 ροόδου (αν), ου έχει ρώτο όρο α1 και λόγο λ 1, είναι: Sν=α1 λ 1 Μονάδες 6,5 Β1Στη Στήλη Α δίνεται ο ρώτος όρος α1 και η διαφορά ω τριών αριθµητικών ροόδων και στη Στήλη Β ο νιοστός όρος αν τεσσάρων αριθµητικών ροόδων Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δί λα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β ου αντιστοιχεί στο σωστό νιοστό όρο Στήλη Α Στήλη Β α α1=1, ω=- 1 αν=-ν β α1=0, ω=3 αν=4ν-3 γ α1=-1,ω=-1 3 αν=3-ν 4 αν=3ν-3 Μονάδες 6 ΒΝα χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δί λα στο γράµµα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση α Oι αριθµοί -5,5,15, µε τη σειρά ου σας δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου β Ο εικοστός όρος της αριθµητικής ροόδου 10, 7, 4, είναι ίσος µε 0 γ Σε κάθε αριθµητική ρόοδο (αν) για τους όρους της α,α4,α6 ισχύει η σχέση α4=α+α6 Μονάδες 4,5 1

22 Β3Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή α άντηση Aν σε µια γεωµετρική ρόοδο ο ρώτος όρος είναι ίσος µε 1 και ο λόγος ίσος µε, τότε το άθροισµα των ρώτων ν όρων της είναι ίσο µε: ν 1 Α, Β ν -1, Γ ν-1, 1- ν, Ε Κανένα α ό τα ροηγούµενα Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται το ολυώνυµο P(x)=αx 3 +(β-1)x -3x-β+6, ό ου α,β ραγµατικοί αριθµοί α)αν ο αριθµός 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου P(x) και το υ όλοι ο της διαίρεσης του P(x) µε το x+1 είναι ίσο µε, τότε να δείξετε ότι α= και β=4 Μονάδες 15 β)για τις τιµές των α και β του ερωτήµατος α), να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f(x)=ηµxσυνx-ηµ x-4συν x, ό ου x ραγµατικός αριθµός α) Να µετατρέψετε τη συνάρτηση f στη µορφή f(x)=ρηµ(x+φ)+k, ό ου ρ,φ,k ραγµατικοί αριθµοί και ρ>0 Μονάδες 9 β) Να βρείτε για οιες τιµές του x η συνάρτηση f αίρνει τη µέγιστη τιµή και οια είναι αυτή Μονάδες 6 γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) - f x+ = στο διάστηµα [0, ] 4 ΘΕΜΑ 4ο Ένας ληθυσµός βακτηριδίων τρι λασιάζεται σε αριθµό κάθε µια ώρα A Αν αρχικά υ άρχουν 10 βακτηρίδια, να βρείτε το λήθος των βακτηριδίων ύστερα α ό 6 ώρες Μονάδες 9 B Στο τέλος της έκτης ώρας ο ληθυσµός των βακτηριδίων ψεκάζεται µε µια ουσία, η ο οία σταµατά τον ολλα λασιασµό τους και συγχρόνως ροκαλεί την καταστροφή βακτηριδίων κάθε ώρα B1Να βρείτε το λήθος των βακτηριδίων ου α οµένουν 0 ώρες µετά τον ψεκασµό BΜετά α ό όσες ώρες α ό τη στιγµή του ψεκασµού θα καταστραφούν όλα τα βακτηρίδια;

23 16 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) Θέµα 1 ον Α Να α οδείξετε ότι ηµ ( α+β) =ηµα συνβ+συνα ηµβ Β Να ε ιλέξετε τη σωστή α άντηση α ό τις αρακάτω ροτάσεις: 1 Η αράσταση ηµ x+ ηµ ( x) ισούται µε: A, B 0, Γ ηµ x, 1, Ε 1 ηµ x Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x) = συνx για να συµ έσει µε την γραφική αράσταση της συνάρτησης g(x) = ηµ x ρέ ει να µετατο ιστεί οριζόντια ρος τα δεξιά κατά: A, B, Γ,, Ε π x 3 Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) = + 3συν είναι: A, B 3 π, Γ 4 3 π, π, Ε 6 π Το µέγιστο της συνάρτησης f(x) = 5 ηµ 3x είναι: A 7, B 3, Γ -3, 5, Ε π π π π 5 Η αράσταση y = ηµ ( x) συν( + x) +συν( x) ηµ ( + x) είναι: π π π π A συν, B συν, Γ ηµ, ηµ, Ε π ηµ 6 Μονάδες 15 Θέµα ον Α Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες ροτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) σηµειώνοντας την αντίστοιχη ένδειξη 1 Αν η γραφική αράσταση µιας ολυωνυµικής συνάρτησης P, βαθµού ν, βρίσκεται κάτω α ό τον άξονα x x, τότε το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το x είναι θετικός αριθµός Μονάδες 5 Αν ένα ολυώνυµο P (x) βαθµού ν, διαιρείται και µε το x και µε το x 3, τότε διαιρείται και α ό το x 5x+ 6 Μονάδες Το ολυώνυµο P(x) = x + 4x + 3x+ 3 έχει ακέραιες ρίζες Μονάδες 5 Β Σε κά οιο είραµα βιολογίας, αρχικά υ άρχουν 3000 µικρόβια Ρίχνουµε µια ουσία και αρατηρούµε ότι σε t 0 ώρες το λήθος τους δίνεται α ό 3 τον τύ ο P(t) = 4t 1t t+ κ, χιλιάδες µικρόβια, ό ου κ Να βρείτε: 3

24 1 Τον ραγµατικό αριθµό κ Μονάδες 4 Σε όσο χρόνο ο αρα άνω ληθυσµός των µικροβίων θα εξαφανιστεί Μονάδες 7 Θέµα 3 ον Α ίνονται οι αριθµοί 1, ηµ x+ 1,ηµx+ 3, ό ου x ραγµατικός αριθµός α Α οδείξτε ότι οι αριθµοί αυτοί, µε τη σειρά ου δίνονται δεν µ ορεί να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου Μονάδες 5 β Αν 0 x και οι αριθµοί 1, ηµ x+ 1,ηµx+ 3, µε τη σειρά ου δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου, τότε: π 1 Να α οδείξετε ότι x= Να βρείτε το λόγο λ της γεωµετρικής ροόδου Μονάδες 4 Β Μεταξύ δυο αριθµών µε άθροισµα 10 αρεµβάλουµε 7 άλλους αριθµούς ώστε όλοι µαζί να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου Να βρεθεί το άθροισµα των όρων ου αρεµβάλλονται Θέµα 4 ον Θέλουµε να κατασκευάσουµε µια υραµίδα χρησιµο οιώντας 375 τσιµεντόλιθους ου έχουν µορφή κύβου µε ακµή α = 4m Η κορυφή θα α οτελείται α ό 1 τσιµεντόλιθο και κάθε ε όµενο στρώµα α ό τρεις ε ι λέον τσιµεντόλιθους Να βρείτε: Α Το µέγιστο ύψος ου θα φτάσει η υραµίδα ( ίνεται ότι 89401= 99 ) Μονάδες 13 Β Το λήθος α ό τσιµεντόλιθους ου θα χρειαζόµαστε ακόµη για να σχηµατίσουµε µια υραµίδα ψηλότερη κατά 8 m Μονάδες 1 17 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) *** Θέµα 1 ον Α Να βρεθούν οι τιµές του ραγµατικού αριθµού x για τις ο οίες οι αριθµοί log( 3x 1),log(4x 1),log(8x ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου Μονάδες 7 Β Αν ο αριθµός log( 3x 1) είναι ο τέταρτος όρος της αριθµητικής ροόδου του ροηγουµένου ερωτήµατος να βρεθεί ο ρώτος όρος της 4

25 Γ Να α οδείξετε ότι το άθροισµα των 10 ρώτων όρων της αριθµητικής ροόδου του ροηγουµένου ερωτήµατος είναι log 3 Θέµα ον 3 ίνεται το ολυώνυµο P(x) = ( α - 7β)x +αx +βx - 6 ό ου α, β Αν ο αριθµός 1 είναι ρίζα του P (x) και το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το x 1 είναι ίσο µε α, τότε: Α Να βρεθούν οι α, β Β Αν log(κ λ 3 ) = α και κ log λ = β Μονάδες 7, ό ου α και β οι τιµές των ου βρήκατε α ό το ροηγούµενο ερώτηµα, να βρείτε τους θετικούς ραγµατικούς αριθµούς κ και λ Γ Να βρεθεί το άθροισµα των 30 ρώτων όρων αριθµητικής ροόδου γ ), ν Õ * αν γνωρίζουµε ότι γ 11 +γ 14+γ 17 +γ 0 = λ, ό ου λ η τιµή ου βρήκατε α ό το ροηγούµενο ερώτηµα Θέµα 3 ον =, α ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) ( 1+ α ) x Α Να βρεθούν οι τιµές του α, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση Μονάδες 4 Β Να δείξετε ότι οι αριθµοί f (x),f(x+ 1),f(x+ ) για κάθε x είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου Γ Να λύσετε την εξίσωση f (x) = f(x+ 1) Να βρεθούν οι τιµές του α αν ισχύει ότι f(1) + f() = 6 f(0) Θέµα 4 ον ίνεται η συνάρτηση f(x) log( x + 3) = Α Να συγκρίνετε τους αριθµούς f () και f (3) Β Να λυθεί η εξίσωση f(x) + log = log 35 f( x) log Γ Να α οδείξετε ότι f(log 5) = log( 5 + 3) ( ν Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 7 5

26 18 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) *** Θέµα 1 ον 3 ίνεται το ολυώνυµο P (x) για το ο οίο ισχύει ότι P(x 1) = 16x βx +γx Αν το P (x) διαιρούµενο µε το x 1 δίνει υ όλοι ο 6 και η γραφική αράσταση της συνάρτησης P (x) τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο A (0,3), τότε: Α Να βρεθούν οι β, γ Β Βρείτε το ολυώνυµο P (x) Μονάδες 4 Μονάδες 5 Γ είξτε ότι η αράσταση 4ηµ x (4ηµ x -ηµ x) + 13συν x - 10 µ ορεί να άρει τη µορφή P( ηµ x) Να λυθεί η εξίσωση 4ηµ x (4ηµ x -ηµ x) + 13συν x - 10= 0 στο [ 0, ] Θέµα ον Οι αριθµοί, 0, είναι αντίστοιχα οι όροι α 10, α11, α1 µιας αριθµητικής ροόδου ( α ν ) µε διαφορά ω Α Να βρείτε τον ρώτο όρο α 1 και τη διαφορά ω της ροόδου Μονάδες Β Αν το ολυώνυµο P(x) = αx + ( β α)x + ( γ β α)x - (β+ γ)x - γ έχει Θέµα 3 ον ω µοναδικές ρίζες τους αριθµούς και 1, τότε: 1 είξτε ότι P(x) = (x x ) ( αx +βx+γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) 0, µε α 0 ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) x+ ln( e x 3) = Α Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f Β είξτε ότι f (ln 4) < f(ln 5) Γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) > ln + ln(e x ) Μονάδες 4 Μονάδες 9 Μονάδες 1 Θέµα 4 ον π ίνονται οι αριθµοί α,, β οι ο οίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής 8 ροόδου και είναι συνα 0 και συνβ 0 6

27 Α είξτε ότι εφ ( α+β) = 1 Β είξτε ότι ( 1+ εφα) (1+εφβ) = Μονάδες 4 Μονάδες 6 Γ 1 Αν εφα = να α οδείξετε ότι: εφ β= 4 Μονάδες 7 π Οι αριθµοί εφα, εφ, εφ( α+ β) 4 είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου 19 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) *** Θέµα 1 ον ίνεται το ολυώνυµο P (x) τρίτου βαθµού για το ο οίο ισχύει η σχέση ( x ) P( συνx) x P( ηµ x) = x π, για κάθε x Α Να υ ολογίσετε τα P (0) και P (1) Β Να βρεθεί το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το x x Μονάδες 7 Γ Αν το ηλίκο της αρα άνω διαίρεσης του P (x) είναι το 3x 1, να λύσετε Θέµα ον την ανίσωση ίνεται η συνάρτηση f µε P(x) < 3x x 5 f (x) =ηµ x+ ηµ x+ 8 8 Α 1 Να α οδείξετε ότι f (x) = ηµ x+ 4 Β Να λυθεί η εξίσωση f (x) = f x+ Μονάδες 7 7

28 f x - 8 Γ Να α οδείξετε ότι π =εφx, όταν x κπ+, µε κ Ÿ 1+ f x+ 8 Θέµα 3 ον ίνεται το ολυώνυµο P (x) µε P (8) = 56 και για το ο οίο ισχύει για κάθε x ότι 8 P(3 x) P(3x 1) = 36x+ 5 Α είξτε ότι ο σταθερός όρος του P (x) είναι ίσος µε 0 Μονάδες 5 Β Α οδείξτε ότι: 1 Το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το x είναι ίσο µε 0 Μονάδες 5 Το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το x είναι ίσο µε Γ Αν το P (x) είναι ου βαθµού, δείξτε ότι: 1 P(x) = x x Μονάδες 5 Μονάδες 5 x Να λυθεί η εξίσωση P ηµ P( συνx - 1) = 0, x [0,π ] Μονάδες 5 Θέµα 4 ον ίνεται το ολυώνυµο P (x) βαθµού ν, για το ο οίο ισχύει για κάθε x ότι (x - 1)P(x) + P(x+ 3) = 19 Αν το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το x 1 είναι 15, τότε: Α Να βρεθεί το υ όλοι ο της διαίρεσης του P (x) µε το ολυώνυµο x 6x+ 5 Β Αν το ηλίκο της διαίρεσης του (x) Π (x) = x+, να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 Μονάδες 5 P µε το ολυώνυµο x 6x+ 5 είναι το Μονάδες 5 Γ Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης P (x) µε τους άξονες x x και y y Μονάδες 5 Να βρείτε τα διαστήµατα για τα ο οία η γραφική αράσταση της συνάρτησης P (x) είναι άνω α ό τον άξονα x x και εκείνα τα διαστήµατα για τα ο οία η γραφική αράσταση της συνάρτησης P (x) είναι κάτω α ό τον άξονα y y Μονάδες 5 8

29 0 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) *** Θέµα 1 ον Για κάθε ραγµατικό αριθµό x να α οδείξετε ότι: 1 συν x( ηµ x+ 4ηµ x) = ( συνx+ 4συνx+ 1) ηµ x Μονάδες 1 Να βρείτε εκείνους τους ραγµατικούς αριθµούς x για τους ο οίους συν x+ 4συνx+ 1= 0 Μονάδες 13 Θέµα ον ίνεται η ακολουθία ( α ν ) µε γενικό όρο α ν = 11+ ν µε ρώτο όρο α 1 καθώς 3 και το ολυώνυµο P(x) = x 3x x+ 3 α Να α οδείξετε ότι η ακολουθία α ν είναι αριθµητική ρόοδος και έχει ρώτο όρο α 1= 9 και διαφορά ω = β Να βρείτε το άθροισµα S= α 1 +α α 1, ό ου α 1, α 13,, α 1, είναι διαδοχικοί όροι της ροόδου α ν Μονάδες 5 γ Να α οδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης P(x)= 0 είναι διαδοχικοί όροι της αρα άνω ροόδου α ν Θέµα 3 ον ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ln(e x -e x +3) και g(x) = ln3+ln(e x -1) α Να βρείτε τα εδία ορισµού των f(x) και g(x) β Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) > g(x) Μονάδες 9 Θέµα 4 ον Για τη γωνία α ισχύει ότι 5 συνα 14 συνα 7 = 0 α Να δείξετε ότι συνα = 5 3 Μονάδες 1 3 β Αν ε ι λέον ισχύει α, να υ ολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµα, συνα και εφα Μονάδες 13 9

30 1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) *** Θέµα 1 ον ίνονται οι αριθµοί α1 = συνα, α = συν α, α3 = 1, ό ου η γωνία α ικανο οιεί τη σχέση 0 < α < α Να α οδείξετε ότι αυτοί οι αριθµοί, µε τη σειρά ου δίνονται, α οτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής ροόδου Μονάδες 7 β Να βρείτε τη διαφορά ω αυτής της ροόδου γ Να βρείτε το άθροισµα των έντε ρώτων όρων της ροόδου Θέµα ον Ο τρίτος όρος µιας αριθµητικής ροόδου (αν) είναι ίσος µε α3 = log15 και η διαφορά της είναι ίση µε ω = log5 α Να δείξετε ότι ο ρώτος όρος α1 της ροόδου είναι ίσος µε τη διαφορά ω Μονάδες 7 β Να υ ολογίσετε το άθροισµα Α = α1 + α + + α9 γ Έστω (βν) µία γεωµετρική ρόοδος µε β1 = α1 και β = α, ό ου α1 και α ο ρώτος και ο δεύτερος όρος της αρα άνω αριθµητικής ροόδου αντίστοιχα Να υ ολογίσετε το άθροισµα Β = β1 + β3 + β5 + + β003 + β005 Θέµα 3 ον ίνεται το ολυώνυµο P(x) = kx 3 - (k + λ)x + λx + 1 α Αν 1 P - = 7 και P(-1) = 3, να α οδείξετε ότι k = -6 και λ = -5 Μονάδες 7 β Να γίνει η διαίρεση του P(x), για k = -6 και λ = -5, µε το ολυώνυµο x + 1 και να γραφεί το P(x) µε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης γ Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 για k = -6 και λ = -5 Θέµα 4 ον x e - 1 ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln x e + 5 α Να βρείτε το εδίο ορισµού της f(x) Μονάδες 7 β Να λύσετε την εξίσωση f(x) = ln γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0 30

31 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Γενικό) *** Θέµα 1 ον ίνεται το ολυώνυµο P(x)=αx 3 +(β-1)x -3x-β+6, ό ου α,β ραγµατικοί αριθµοί Α Αν ο αριθµός 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου P(x) και το υ όλοι ο της διαίρεσης του P(x) µε το x+1 είναι ίσο µε, τότε να δείξετε ότι α= και β=4 Μονάδες 1 Β Για τις τιµές των α και β του ροηγούµενου ερωτήµατος να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 Μονάδες 13 Θέµα ον ίνεται η συνάρτηση f(x)=ηµxσυνx-ηµ x-4συν x, ό ου x ραγµατικός αριθµός Α Να µετατρέψετε τη συνάρτηση f στη µορφή f(x)=ρηµ(x+φ)+k, ό ου ρ, φ, k ραγµατικοί αριθµοί και ρ>0 Β Να βρείτε για οιες τιµές του x η συνάρτηση f αίρνει τη µέγιστη τιµή και οια είναι αυτή Μονάδες 7 Γ Να λύσετε την εξίσωση f(x) - f x+ = στο διάστηµα [0, ] 4 31