Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica
|
|
- Ἰσμήνη Αντωνιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica
2 Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap. 17 Giumale Introducere in Analiza Algoritmilor cap 4.4,
3 Programare dinamică Programare dinamică Descriere generală Algoritm generic Caracteristici Exemplificare: Înmulțirea matricilor Exemplificare: Arbori optimi la căutare (AOC) Definiții Construcția AOC
4 Programare dinamica Descriere generală Soluții optime construite iterativ asamblând soluții optime ale unor probleme similare de dimensiuni mai mici. Algoritmi clasici Algoritmul Floyd-Warshall care determină drumurile de cost minim dintre toate perechile de noduri ale unui graf. AOC Înmulţirea unui şir de matrici Numere catalane Viterbi
5 Algoritm generic Programare dinamică (crit_optim, problema) // fie problema 0 problema 1 problema n astfel încât // problema n = problema; problema i mai simpla decât problema i+1 1. Sol = soluții_inițiale(crit_optim, problema 0 ); 2. Pentru i = 1 n Repetă // construcție soluții pentru problema i // folosind soluțiile problemelor precedente 3. Sol i = calcul_soluții(sol, Crit_optim, Problema i ); // determin soluția problemei i 4. Sol = Sol U Sol i ; // noua soluție se adaugă pentru a fi refolosită pe viitor 5. s = soluție_pentru_problema n (Sol); // selecție / construcție soluție finala 6. Întoarce s;
6 Caracteristici O soluție optimă a unei probleme conține soluții optime ale subproblemelor. Decompozabilitatea recursivă a problemei P in subprobleme similare P = P n, P n-1, P 0 care acceptă soluții din ce in ce mai simple. Suprapunerea problemelor (soluția unei probleme P i participă in procesul de construcție a soluțiilor mai multor probleme P k de talie mai mare k > i) memoizare (se foloseşte un tablou pentru salvarea soluţiilor subproblemelor pentru a nu le recalcula) In general se folosește o abordare bottom-up, de la subprobleme la probleme.
7 Diferențe Greedy programare dinamică Programare lacomă Programare dinamică Sunt menținute doar soluțiile parțiale curente din care evoluează soluțiile parțiale următoare Soluțiile parțiale anterioare sunt eliminate Se păstrează toate soluțiile parțiale La construcția unei soluții noi poate contribui orice altă soluție parțială generată anterior Se poate obține o soluție neoptimă. (trebuie demonstrat că se poate aplica) Se obține soluția optimă.
8 Diferenţe divide et impera programare dinamică Divide et impera abordare top-down problema este descompusă în subprobleme care sunt rezolvate independent putem rezolva aceeaşi problemă de mai multe ori (dezavantaj potenţial foarte mare) Programare dinamică abordare bottom-up - se porneşte de la sub-soluţii elementare şi se combină sub-soluţiile mai simple în sub-soluţii mai complicate, pe baza criteriului de optim se evită calculul repetat al aceleiaşi subprobleme prin memorarea rezultatelor intermediare
9 Exemplu: Parantezarea matricilor (Chain Matrix Multiplication) Se dă o şir de matrice: A 1, A 2,..., A n. Care este numărul minim de înmulţiri de scalari pentru a calcula produsul: A 1 x A 2 x... x A n? Să se determine una dintre parantezările care minimizează numărul de înmulţiri de scalari.
10 Înmulţirea matricilor A(p, q) x B (q, r) => pqr înmulţiri de scalari. Dar înmulţirea matricilor este asociativă (deşi nu este comutativă). A(p, q) x B (q, r) x C(r, s) (AB)C => pqr + prs înmulţiri A(BC) => qrs + pqs înmulţiri Ex: p = 5, q = 4, r = 6, s = 2 (AB)C => 180 înmulţiri A(BC) => 88 înmulţiri Concluzie: Parantezarea este foarte importantă!
11 Soluţia banală Matrici: A 1, A 2,..., A n. Vector de dimensiuni: p 0, p 1, p 2,..., p n. A i (p i-1, p i ) A 1 (p 0, p 1 ), A 2 (p 1, p 2 ), Dacă folosim căutare exhaustivă şi vrem să construim toate parantezările posibile pentru a determina minimul: Ω(4 n / n 3/2 ). Vrem o soluţie polinomială folosind P.D.
12 Descompunere în subprobleme Încercăm să definim subprobleme identice cu problema originală, dar de dimensiune mai mică. 1 i j n: Notăm A i, j = A i x x A j. A i,j are p i-1 linii si p j coloane: A i,j (p i-1, p j ) m[i, j] = numărul optim de înmulţiri pentru a rezolva subproblema A i,j s[i, j] = poziţia primei paranteze pentru subproblema A i,j Care e parantezarea optimă pentru A i, j? Problema iniţială: A 1,n
13 Combinarea subproblemelor Pentru a rezolva A i,j trebuie găsit acel indice i k < j care asigură parantezarea optimă: A i, j = (A i x x A k ) x (A k+1 x x A j ) A i, j = A i, k x A k+1, j
14 Alegerea optimală Căutăm optimul dintre toate variantele posibile de alegere (i k < j) Pentru aceasta, trebuie însă ca şi subproblemele folosite să aibă soluţie optimală (adică A i, k şi A k+1, j )
15 Substructura optimală Dacă ştim că alegerea optimală a soluţiei pentru problema A i, j implică folosirea subproblemelor (A i, k şi A k+1, j ) şi soluţia pentru A i, j este optimală, atunci şi soluţiile subproblemelor A i, k şi A k+1, j trebuie să fie optimale! Demonstraţie: Folosind metoda cut-and-paste (metodă standard de demonstrare a substructurii optimale pentru problemele de programare dinamică). Observație: Nu toate problemele de optim posedă această proprietate! Ex: drumul maxim dintr-un graf orientat.
16 Definirea recursivă Folosind descompunerea in subprobleme, combinarea subproblemelor, alegerea optimală şi substructura optimală putem să rezolvăm problema prin programare dinamică. Următorul pas este să definim recursiv soluţia unei subprobleme. Vrem să găsim o formulă recursivă pentru m[i, j] şi s[i, j].
17 Definirea recursivă (II) Cazurile de bază sunt m[i, i] Noi vrem să calculăm m[1, n] Cum alegem s[i, j]? Bottom-up de la cele mai mici subprobleme la cea iniţială
18 Rezolvare bottom-up
19 Rezolvare - iniţializare
20 Rezolvare pas intermediar
21 Rezolvare final
22 Pseudocod
23 Complexitate Spaţială: Θ(n 2 ) Pentru memorarea soluţiilor subproblemelor Temporală: O(n 3 ) Ns: Număr total de subprobleme: O(n 2 ) Na: Număr total de alegeri la fiecare pas: O(n) Complexitatea este de obicei egala cu Ns x Na
24 Arbori optimi la căutare Def 2.1: Fie K o mulțime de chei. Un arbore binar cu cheile K este un graf orientat si aciclic A = (V,E) a.i.: Fiecare nod u V conține o singură cheie k(u) K iar cheile din noduri sunt distincte. Există un nod unic r V a.i. i-grad(r) = 0 si u r, i-grad(u) = 1. u V, e-grad(u) 2; S(u) / D(u) = succesorul stânga / dreapta. Def 2.2: Fie K o mulțime de chei peste care exista o relație de ordine. Un arbore binar de căutare satisface: u,v,w V avem (v S(u) => cheie(v) cheie(u)) (w D(u) => cheie(u) cheie(w))
25 Căutare Caută(elem, Arb) Dacă Arb = null Întoarce null Dacă elem = Arb.val // valoarea din nodul crt. Întoarce Arb Dacă elem Arb.val Întoarce Caută(elem, Arb.st) Întoarce Caută(elem, Arb.dr) Complexitate: Θ(logn)
26 Inserţie în arbore de căutare Inserare(elem, Arb) Dacă Arb = vid // adaug cheia in arbore nod_nou(elem, null, null) Dacă elem = Arb.val // valoarea există deja Întoarce Arb Dacă elem Arb.val Întoarce Inserare(elem, Arb.st) // adaugă in stânga Întoarce Inserare(elem, Arb.dr) // sau in dreapta Complexitate: Θ(logn) nod Stânga nod Dreapta
27 Exemplu de arbori de căutare Cu aceleaşi chei se pot construi arbori distincţi 8 A A A
28 Exemplu (I) presupunem că elementele din A1 şi A2 au probabilităţi de căutare egale: numărul mediu de comparaţii pentru A1 va fi: ( ) / 7 = 2.42 numărul mediu de comparaţii pentru A2 va fi: ( ) / 7 = 2.85 A1 A
29 Exemplu (II) presupunem că elementele au următoarele probabilităţi: 8: 0.2; 15: 0.01; 19: 0.1; 23: 0.02; 28: 0.25; 32: 0.2; 41: 0.22; numărul mediu de comparaţii pentru A1: 0.02*1+0.01*2+0.2*2+0.2*3+0.1*4+0.25*3+0.22*3=2.85 numărul mediu de comparaţii pentru A2: 0.25*1+0.02*2+0.22*2+0.2*3+0.2*3+0.01*4+0.1*5=2.47 A1 A
30 Probleme Costul căutării depinde de frecvenţa cu care este căutat fiecare termen. Ne dorim ca termenii cei mai des căutaţi să fie cât mai aproape de vârful arborelui pentru a micşora numărul de apeluri recursive. Dacă arborele este construit prin sosirea aleatorie a cheilor putem ajunge la o simplă listă cu n elemente
31 Definiţie AOC Definiție: Fie A un arbore binar de căutare cu chei intro mulțime K, fie {x 1, x 2, x n } cheile conținute in A, iar {y 0, y 1, y n } chei reprezentante ale cheilor din K ce nu sunt in A astfel încât: yi 1 xi yi, i 1, n. Fie p i, i = 1,n probabilitatea de a căuta cheia x i si q j, j = 0,n probabilitatea de a căuta o cheie reprezentata de y j. n n Vom avea relația: p i q j 1. Se numește arbore i1 j0 de căutare probabilistică, un arbore cu costul: n Cost ( A) ( nivel( x, A) 1) * p i1 i nivel( y Definiție: Un arbore de căutare probabilistică având cost minim este un arbore optim la căutare (AOC). i n j0 j, A) * q j
32 Algoritm AOC naiv Generarea permutărilor x 1,... x n. Construcţia arborilor de căutare corespunzători. Calcularea costului pentru fiecare arbore. Alegerea arborelui de cost minim. Complexitate: Θ(n!) (deoarece sunt n! permutări). căutăm altă variantă!!!
33 Construcţia AOC Notaţii A i,j desemnează un AOC cu cheile {x i+1, x i+2, x j } in noduri si cu cheile {y i, y i+1, y j } in frunzele fictive. C i,j = Cost (A i,j ). Cost( A ) ij j ki1 ( nivel ( x k, A ) 1)* ij p k j ki nivel ( y k, A )* q ij k R i,j este indicele α al cheii x α din rădăcina arborelui A i,j. wi, j j ki1 p k j ki q k Observație: A 0,n este chiar arborele A, C 0,n = Cost (A) iar w 0,n = 1.
34 Construcţia AOC - Demonstraţie Lemă: Pentru orice 0 i j n există relaţiile: C i,j = 0, daca i = j; (arbore vid) C i, j min{ Ci, 1 C, j} wi, j i j A i, α-1 = S(A i, j ) A i, j x α A α, j = D(A i, j ) Demonstrație: Cost( A ) ij ki1 C i, j Ci, 1 C, j wi, j j ( nivel ( x k, A ) 1)* ij p k x i+1,...x α-1 y i,...y α-1 j ki nivel ( y k, A )* q ij x α+1,...x j y α+1,...y j k C i,j depinde de indicele α al nodului rădăcină. dacă C i,α-1 şi C α,j sunt minime (costurile unor AOC) C i,j este minim.
35 Construcţia AOC 1. In etapa d, d = 1, 2, n se calculează costurile si indicele cheilor din rădăcina arborilor AOC A i, i+d, i = 0, n-d cu d noduri si d + 1 frunze fictive. Arborele A i, i+d conține in noduri cheile {x i+1, x i+2, x i+d }, iar in frunzele fictive sunt cheile {y i, y i+1, y i+d }. Calculul este efectuat pe baza rezultatelor obținute in etapele anterioare. Conform lemei avem C i, id min { Ci, 1 C, id} wi, id i id Rădăcina A i, i+d are indicele R i, j = α care minimizează C i, i+d. 2. Pentru d = n, C 0, n corespunde arborelui AOC A 0, n cu cheile {x 1, x 2, x n } in noduri si cheile {y 0, y 1, y n } in frunzele fictive.
36 Algoritm AOC AOC(x, p, q, n) Pentru i = 0 n {C i, i = 0, R i, i = 0, w i,i = q i } // inițializare costuri AOC vid A i, i Pentru d = 1 n Pentru i = 0 n-d // calcul indice rădăcina si cost pentru A i, i+d j = i + d, C i, j =, w i, j = w i, j-1 + p j + q j Pentru α = i + 1 j // ciclul critic operații intensive Dacă (C i, α-1 + C α, j < C i, j ) // cost mai mic? C i, j = C i, j + w i, j // update { C i, j = C i, α-1 + C α, j ; R i, j = α} // update Întoarce gen_aoc(c, R, x, 0, n) // construcție efectiva arbore A 0, n // cunoscând indicii Complexitate???
37 Exemplu constructie AOC (I) 8: 0.2; 15: 0.01; 19: 0.1; 23: 0.02; 28: 0.25; (58%) [0:8): 0.02; (8:15): 0.07; (15:19): 0.08; (19:23): 0.05; (23:28): 0.05; (28, ): 0.15 (42%) C 01 =p 1 +q 0 +q 1 =0.29 C 12 =p 2 +q 1 +q 2 =0.16 C 23 =p 3 +q 2 +q 3 =0.25 C 34 =p 4 +q 3 +q 4 = =0.12 C 45 =p 5 +q 4 +q 5 = =0.45 w j p j q C min { C C w, i, j k k i id i, 1, id i id ki1 ki i id, }
38 Exemplu constructie AOC (II) A 01 : A 12 : A 23 : A 34 : A 45 : < >28 C 02 = min {(C 00 +C 12 ),(C 01 +C 22 )} + w 02 = min(0.16,0.29) = 0.54 R 02 = 1 (α=1) C 13 = min{c 23,C 12 } + w 13 = min(0.25,0.16) = 0.47 R 13 = 3 C 24 = min{c 34,C 23 } + w 24 = min(0.12,0.25) = 0.42 R 24 = 3 C 35 = min{c 45,C 34 } + w 35 = min(0.45,0.12) = 0.64 R 35 = 5 8 A 02 :0.54 A 13 : A 24 : A 35 : < w j p j q C, min { C C } w, i id i, j k k i id i, 1, id i i ki1 ki d
39 Exemplu constructie AOC (III) C 03 = min(c 00 +C 13, C 01 +C 23, C 02 +C 33 ) + w 03 = min (0.47,0.54, 0.54) + w 03 => R 03 =1 C 14 = min(c 11 +C 24,C 12 +C 34,C 13 +C 44 ) + w 14 = min(0.42,0.28, 0.47) + w 14 => R 14 = 3 C 25 = min(c 22 +C 35,C 23 +C 34, C 24 +C 55 ) + w 25 = min(0.64, 0.37, 0.42) + w 25 => R 25 = 4 8 < >28 w j p j q C, min { C C } w, i id i, j k k i id i, 1, id i id ki1 ki
40 AOC Corectitudine (I) Teoremă: Algoritmul AOC construiește un arbore AOC A cu cheile x = {x 1, x 2, x n } conform probabilităților de căutare p i, i = 1,n si q j, j = 0,n. Demonstrație: prin inducție după etapa de calcul al costurilor arborilor cu d noduri. Caz de baza: d = 0. Costurile C i, i ale arborilor vizi A i, i, i = 0, n sunt 0, așa cum sunt inițializate de algoritm. Pas de inducție: d 1. Ip. ind.: pentru orice d < d, algoritmul AOC calculează costurile C i, i+d si indicii R i, i+d, ai rădăcinilor unor AOC A i, i+d, i = 0, n-d cu cheile {x i+1, x i+2, x i+d }. Trebuie sa arătam ca valorile C i, i+d si R i, i+d corespund unor AOC A i, i+d, i = 0, n-d cu cheile {x i+1, x i+2, x i+d }.
41 AOC Corectitudine (II) Pentru d si i fixate, algoritmul calculează: C i, id min { Ci, 1 C, id} wi, id i id unde costurile C i, α-1 si C α, i+d corespund unor arbori cu un număr de noduri d = α 1 i in cazul C i, α-1 si d = i + d α in cazul C α, i+d. 0 d d 1 aceste valori au fost deja calculate in etapele d < d si conform ipotezei inductive sunt costuri si indici ai rădăcinilor unor AOC. Conform Lemei anterioare, C i, j este costul unui AOC. Conform algoritmului rădăcina acestui arbore are indicele r = R i, j, iar cheile sunt {x i+1, x i+2, x r-1 } {x r } {x r+1, x r+2, x j } = {x i+1, x i+2, x j } Pentru d = n, costul C 0, n corespunde unui AOC A 0, n cu cheile x si cu rădăcina de indice R 0, n.
42 AOC Concluzii Câte subprobleme sunt folosite în soluţia optimală intr-un anumit pas? AOC: 2 subprobleme Câte variante de ales avem de făcut pentru determinarea alegerii optimale intr-un anumit pas? AOC: j i + 1 candidaţi pentru rădăcină Informal, complexitatea = Ns * Na (Ns = număr subprobleme; Na = număr alegeri) Complexitate AOC: O(n 2 ) * O(n) = O(n 3 ) Optimizare Knuth: O(n 2 )
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραProgramarea dinamica I
Programarea dinamica I Principiile programării dinamice Programarea dinamică, ca și metoda divide et impera, rezolvă problemele combinând soluţiile subproblemelor. După cum am văzut, algoritmii de divide
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραchip and be conquered - b subprobleme de dimensiune n-c Exercitiu: Dati exemple de algoritmi care au recurente de tipul celor de mai sus.
\ Determinarea complexitatii algoritmilor numararea este in general simpla pe algoritmi nerecursivi: identificam operatiile (critice) si de cate ori se executa acestea (v. insertion sort in laboratorul
Διαβάστε περισσότεραProiectarea algoritmilor: Programare dinamică
Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1
CURS 11: Programare dinamică - I - Algoritmica - Curs 11 1 Structura Ce este programarea dinamică? Etapele principale în aplicarea programării dinamice Relații de recurență: dezvoltare ascendentă vs.dezvoltare
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi Divide-et-Impera Structura unui algoritm divide-et-impera divide: impera: combina: Utilizarea cea mai frecventa
Algoritmi Divide-et-Impera una din tehnicile de baza pt designul algoritmilor reduce complexitatea: cel mai des de la n la log(n), de la n 2 la n log(n) etc Structura unui algoritm divide-et-impera divide:
Διαβάστε περισσότεραSortare. 29 martie Utilizarea şi programarea calculatoarelor. Curs 16
Sortare 29 martie 2005 Sortare 2 Sortarea. Generalitǎţi Sortarea = aranjarea unei liste de obiecte dupǎ o relaţie de ordine datǎ (ex.: pentru numere, ordine lexicograficǎ pt. şiruri, etc.) una din clasele
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραInteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro Curs nr. 2 Strategii de rezolvare a problemelor
Διαβάστε περισσότεραCursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.
Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραMetode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.
Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
Διαβάστε περισσότεραFLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Διαβάστε περισσότεραSortare şi cǎutare. 8 ianuarie Utilizarea şi programarea calculatoarelor. Curs 11
Sortare şi cǎutare 8 ianuarie 2004 Sortare şi cǎutare 2 Sortarea. Generalitǎţi Sortarea = aranjarea unei liste de obiecte dupǎ o relaţie de ordine datǎ (ex.: pentru numere, ordine lexicograficǎ pt. şiruri,
Διαβάστε περισσότεραEficienta algoritmilor
Eficienta algoritmilor În cursul de introducere am menţionat că, oricât de rapid ar deveni un calculator, sau oricât de mult s-ar ieftini memoria, eficienţa va fi un factor decisiv în alegerea unui algoritm.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραII. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR
Bazele cercetării operaţionale. Noţiuni generale ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie),
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραGrafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.
Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi genetici. 1.1 Generalităţi
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluţionist şi sunt inspiraţi de teoria lui Darwin asupra evoluţiei. Idea calculului evoluţionist a fost introdusă în
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα