Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica"

Transcript

1 Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica

2 Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap. 17 Giumale Introducere in Analiza Algoritmilor cap 4.4,

3 Programare dinamică Programare dinamică Descriere generală Algoritm generic Caracteristici Exemplificare: Înmulțirea matricilor Exemplificare: Arbori optimi la căutare (AOC) Definiții Construcția AOC

4 Programare dinamica Descriere generală Soluții optime construite iterativ asamblând soluții optime ale unor probleme similare de dimensiuni mai mici. Algoritmi clasici Algoritmul Floyd-Warshall care determină drumurile de cost minim dintre toate perechile de noduri ale unui graf. AOC Înmulţirea unui şir de matrici Numere catalane Viterbi

5 Algoritm generic Programare dinamică (crit_optim, problema) // fie problema 0 problema 1 problema n astfel încât // problema n = problema; problema i mai simpla decât problema i+1 1. Sol = soluții_inițiale(crit_optim, problema 0 ); 2. Pentru i = 1 n Repetă // construcție soluții pentru problema i // folosind soluțiile problemelor precedente 3. Sol i = calcul_soluții(sol, Crit_optim, Problema i ); // determin soluția problemei i 4. Sol = Sol U Sol i ; // noua soluție se adaugă pentru a fi refolosită pe viitor 5. s = soluție_pentru_problema n (Sol); // selecție / construcție soluție finala 6. Întoarce s;

6 Caracteristici O soluție optimă a unei probleme conține soluții optime ale subproblemelor. Decompozabilitatea recursivă a problemei P in subprobleme similare P = P n, P n-1, P 0 care acceptă soluții din ce in ce mai simple. Suprapunerea problemelor (soluția unei probleme P i participă in procesul de construcție a soluțiilor mai multor probleme P k de talie mai mare k > i) memoizare (se foloseşte un tablou pentru salvarea soluţiilor subproblemelor pentru a nu le recalcula) In general se folosește o abordare bottom-up, de la subprobleme la probleme.

7 Diferențe Greedy programare dinamică Programare lacomă Programare dinamică Sunt menținute doar soluțiile parțiale curente din care evoluează soluțiile parțiale următoare Soluțiile parțiale anterioare sunt eliminate Se păstrează toate soluțiile parțiale La construcția unei soluții noi poate contribui orice altă soluție parțială generată anterior Se poate obține o soluție neoptimă. (trebuie demonstrat că se poate aplica) Se obține soluția optimă.

8 Diferenţe divide et impera programare dinamică Divide et impera abordare top-down problema este descompusă în subprobleme care sunt rezolvate independent putem rezolva aceeaşi problemă de mai multe ori (dezavantaj potenţial foarte mare) Programare dinamică abordare bottom-up - se porneşte de la sub-soluţii elementare şi se combină sub-soluţiile mai simple în sub-soluţii mai complicate, pe baza criteriului de optim se evită calculul repetat al aceleiaşi subprobleme prin memorarea rezultatelor intermediare

9 Exemplu: Parantezarea matricilor (Chain Matrix Multiplication) Se dă o şir de matrice: A 1, A 2,..., A n. Care este numărul minim de înmulţiri de scalari pentru a calcula produsul: A 1 x A 2 x... x A n? Să se determine una dintre parantezările care minimizează numărul de înmulţiri de scalari.

10 Înmulţirea matricilor A(p, q) x B (q, r) => pqr înmulţiri de scalari. Dar înmulţirea matricilor este asociativă (deşi nu este comutativă). A(p, q) x B (q, r) x C(r, s) (AB)C => pqr + prs înmulţiri A(BC) => qrs + pqs înmulţiri Ex: p = 5, q = 4, r = 6, s = 2 (AB)C => 180 înmulţiri A(BC) => 88 înmulţiri Concluzie: Parantezarea este foarte importantă!

11 Soluţia banală Matrici: A 1, A 2,..., A n. Vector de dimensiuni: p 0, p 1, p 2,..., p n. A i (p i-1, p i ) A 1 (p 0, p 1 ), A 2 (p 1, p 2 ), Dacă folosim căutare exhaustivă şi vrem să construim toate parantezările posibile pentru a determina minimul: Ω(4 n / n 3/2 ). Vrem o soluţie polinomială folosind P.D.

12 Descompunere în subprobleme Încercăm să definim subprobleme identice cu problema originală, dar de dimensiune mai mică. 1 i j n: Notăm A i, j = A i x x A j. A i,j are p i-1 linii si p j coloane: A i,j (p i-1, p j ) m[i, j] = numărul optim de înmulţiri pentru a rezolva subproblema A i,j s[i, j] = poziţia primei paranteze pentru subproblema A i,j Care e parantezarea optimă pentru A i, j? Problema iniţială: A 1,n

13 Combinarea subproblemelor Pentru a rezolva A i,j trebuie găsit acel indice i k < j care asigură parantezarea optimă: A i, j = (A i x x A k ) x (A k+1 x x A j ) A i, j = A i, k x A k+1, j

14 Alegerea optimală Căutăm optimul dintre toate variantele posibile de alegere (i k < j) Pentru aceasta, trebuie însă ca şi subproblemele folosite să aibă soluţie optimală (adică A i, k şi A k+1, j )

15 Substructura optimală Dacă ştim că alegerea optimală a soluţiei pentru problema A i, j implică folosirea subproblemelor (A i, k şi A k+1, j ) şi soluţia pentru A i, j este optimală, atunci şi soluţiile subproblemelor A i, k şi A k+1, j trebuie să fie optimale! Demonstraţie: Folosind metoda cut-and-paste (metodă standard de demonstrare a substructurii optimale pentru problemele de programare dinamică). Observație: Nu toate problemele de optim posedă această proprietate! Ex: drumul maxim dintr-un graf orientat.

16 Definirea recursivă Folosind descompunerea in subprobleme, combinarea subproblemelor, alegerea optimală şi substructura optimală putem să rezolvăm problema prin programare dinamică. Următorul pas este să definim recursiv soluţia unei subprobleme. Vrem să găsim o formulă recursivă pentru m[i, j] şi s[i, j].

17 Definirea recursivă (II) Cazurile de bază sunt m[i, i] Noi vrem să calculăm m[1, n] Cum alegem s[i, j]? Bottom-up de la cele mai mici subprobleme la cea iniţială

18 Rezolvare bottom-up

19 Rezolvare - iniţializare

20 Rezolvare pas intermediar

21 Rezolvare final

22 Pseudocod

23 Complexitate Spaţială: Θ(n 2 ) Pentru memorarea soluţiilor subproblemelor Temporală: O(n 3 ) Ns: Număr total de subprobleme: O(n 2 ) Na: Număr total de alegeri la fiecare pas: O(n) Complexitatea este de obicei egala cu Ns x Na

24 Arbori optimi la căutare Def 2.1: Fie K o mulțime de chei. Un arbore binar cu cheile K este un graf orientat si aciclic A = (V,E) a.i.: Fiecare nod u V conține o singură cheie k(u) K iar cheile din noduri sunt distincte. Există un nod unic r V a.i. i-grad(r) = 0 si u r, i-grad(u) = 1. u V, e-grad(u) 2; S(u) / D(u) = succesorul stânga / dreapta. Def 2.2: Fie K o mulțime de chei peste care exista o relație de ordine. Un arbore binar de căutare satisface: u,v,w V avem (v S(u) => cheie(v) cheie(u)) (w D(u) => cheie(u) cheie(w))

25 Căutare Caută(elem, Arb) Dacă Arb = null Întoarce null Dacă elem = Arb.val // valoarea din nodul crt. Întoarce Arb Dacă elem Arb.val Întoarce Caută(elem, Arb.st) Întoarce Caută(elem, Arb.dr) Complexitate: Θ(logn)

26 Inserţie în arbore de căutare Inserare(elem, Arb) Dacă Arb = vid // adaug cheia in arbore nod_nou(elem, null, null) Dacă elem = Arb.val // valoarea există deja Întoarce Arb Dacă elem Arb.val Întoarce Inserare(elem, Arb.st) // adaugă in stânga Întoarce Inserare(elem, Arb.dr) // sau in dreapta Complexitate: Θ(logn) nod Stânga nod Dreapta

27 Exemplu de arbori de căutare Cu aceleaşi chei se pot construi arbori distincţi 8 A A A

28 Exemplu (I) presupunem că elementele din A1 şi A2 au probabilităţi de căutare egale: numărul mediu de comparaţii pentru A1 va fi: ( ) / 7 = 2.42 numărul mediu de comparaţii pentru A2 va fi: ( ) / 7 = 2.85 A1 A

29 Exemplu (II) presupunem că elementele au următoarele probabilităţi: 8: 0.2; 15: 0.01; 19: 0.1; 23: 0.02; 28: 0.25; 32: 0.2; 41: 0.22; numărul mediu de comparaţii pentru A1: 0.02*1+0.01*2+0.2*2+0.2*3+0.1*4+0.25*3+0.22*3=2.85 numărul mediu de comparaţii pentru A2: 0.25*1+0.02*2+0.22*2+0.2*3+0.2*3+0.01*4+0.1*5=2.47 A1 A

30 Probleme Costul căutării depinde de frecvenţa cu care este căutat fiecare termen. Ne dorim ca termenii cei mai des căutaţi să fie cât mai aproape de vârful arborelui pentru a micşora numărul de apeluri recursive. Dacă arborele este construit prin sosirea aleatorie a cheilor putem ajunge la o simplă listă cu n elemente

31 Definiţie AOC Definiție: Fie A un arbore binar de căutare cu chei intro mulțime K, fie {x 1, x 2, x n } cheile conținute in A, iar {y 0, y 1, y n } chei reprezentante ale cheilor din K ce nu sunt in A astfel încât: yi 1 xi yi, i 1, n. Fie p i, i = 1,n probabilitatea de a căuta cheia x i si q j, j = 0,n probabilitatea de a căuta o cheie reprezentata de y j. n n Vom avea relația: p i q j 1. Se numește arbore i1 j0 de căutare probabilistică, un arbore cu costul: n Cost ( A) ( nivel( x, A) 1) * p i1 i nivel( y Definiție: Un arbore de căutare probabilistică având cost minim este un arbore optim la căutare (AOC). i n j0 j, A) * q j

32 Algoritm AOC naiv Generarea permutărilor x 1,... x n. Construcţia arborilor de căutare corespunzători. Calcularea costului pentru fiecare arbore. Alegerea arborelui de cost minim. Complexitate: Θ(n!) (deoarece sunt n! permutări). căutăm altă variantă!!!

33 Construcţia AOC Notaţii A i,j desemnează un AOC cu cheile {x i+1, x i+2, x j } in noduri si cu cheile {y i, y i+1, y j } in frunzele fictive. C i,j = Cost (A i,j ). Cost( A ) ij j ki1 ( nivel ( x k, A ) 1)* ij p k j ki nivel ( y k, A )* q ij k R i,j este indicele α al cheii x α din rădăcina arborelui A i,j. wi, j j ki1 p k j ki q k Observație: A 0,n este chiar arborele A, C 0,n = Cost (A) iar w 0,n = 1.

34 Construcţia AOC - Demonstraţie Lemă: Pentru orice 0 i j n există relaţiile: C i,j = 0, daca i = j; (arbore vid) C i, j min{ Ci, 1 C, j} wi, j i j A i, α-1 = S(A i, j ) A i, j x α A α, j = D(A i, j ) Demonstrație: Cost( A ) ij ki1 C i, j Ci, 1 C, j wi, j j ( nivel ( x k, A ) 1)* ij p k x i+1,...x α-1 y i,...y α-1 j ki nivel ( y k, A )* q ij x α+1,...x j y α+1,...y j k C i,j depinde de indicele α al nodului rădăcină. dacă C i,α-1 şi C α,j sunt minime (costurile unor AOC) C i,j este minim.

35 Construcţia AOC 1. In etapa d, d = 1, 2, n se calculează costurile si indicele cheilor din rădăcina arborilor AOC A i, i+d, i = 0, n-d cu d noduri si d + 1 frunze fictive. Arborele A i, i+d conține in noduri cheile {x i+1, x i+2, x i+d }, iar in frunzele fictive sunt cheile {y i, y i+1, y i+d }. Calculul este efectuat pe baza rezultatelor obținute in etapele anterioare. Conform lemei avem C i, id min { Ci, 1 C, id} wi, id i id Rădăcina A i, i+d are indicele R i, j = α care minimizează C i, i+d. 2. Pentru d = n, C 0, n corespunde arborelui AOC A 0, n cu cheile {x 1, x 2, x n } in noduri si cheile {y 0, y 1, y n } in frunzele fictive.

36 Algoritm AOC AOC(x, p, q, n) Pentru i = 0 n {C i, i = 0, R i, i = 0, w i,i = q i } // inițializare costuri AOC vid A i, i Pentru d = 1 n Pentru i = 0 n-d // calcul indice rădăcina si cost pentru A i, i+d j = i + d, C i, j =, w i, j = w i, j-1 + p j + q j Pentru α = i + 1 j // ciclul critic operații intensive Dacă (C i, α-1 + C α, j < C i, j ) // cost mai mic? C i, j = C i, j + w i, j // update { C i, j = C i, α-1 + C α, j ; R i, j = α} // update Întoarce gen_aoc(c, R, x, 0, n) // construcție efectiva arbore A 0, n // cunoscând indicii Complexitate???

37 Exemplu constructie AOC (I) 8: 0.2; 15: 0.01; 19: 0.1; 23: 0.02; 28: 0.25; (58%) [0:8): 0.02; (8:15): 0.07; (15:19): 0.08; (19:23): 0.05; (23:28): 0.05; (28, ): 0.15 (42%) C 01 =p 1 +q 0 +q 1 =0.29 C 12 =p 2 +q 1 +q 2 =0.16 C 23 =p 3 +q 2 +q 3 =0.25 C 34 =p 4 +q 3 +q 4 = =0.12 C 45 =p 5 +q 4 +q 5 = =0.45 w j p j q C min { C C w, i, j k k i id i, 1, id i id ki1 ki i id, }

38 Exemplu constructie AOC (II) A 01 : A 12 : A 23 : A 34 : A 45 : < >28 C 02 = min {(C 00 +C 12 ),(C 01 +C 22 )} + w 02 = min(0.16,0.29) = 0.54 R 02 = 1 (α=1) C 13 = min{c 23,C 12 } + w 13 = min(0.25,0.16) = 0.47 R 13 = 3 C 24 = min{c 34,C 23 } + w 24 = min(0.12,0.25) = 0.42 R 24 = 3 C 35 = min{c 45,C 34 } + w 35 = min(0.45,0.12) = 0.64 R 35 = 5 8 A 02 :0.54 A 13 : A 24 : A 35 : < w j p j q C, min { C C } w, i id i, j k k i id i, 1, id i i ki1 ki d

39 Exemplu constructie AOC (III) C 03 = min(c 00 +C 13, C 01 +C 23, C 02 +C 33 ) + w 03 = min (0.47,0.54, 0.54) + w 03 => R 03 =1 C 14 = min(c 11 +C 24,C 12 +C 34,C 13 +C 44 ) + w 14 = min(0.42,0.28, 0.47) + w 14 => R 14 = 3 C 25 = min(c 22 +C 35,C 23 +C 34, C 24 +C 55 ) + w 25 = min(0.64, 0.37, 0.42) + w 25 => R 25 = 4 8 < >28 w j p j q C, min { C C } w, i id i, j k k i id i, 1, id i id ki1 ki

40 AOC Corectitudine (I) Teoremă: Algoritmul AOC construiește un arbore AOC A cu cheile x = {x 1, x 2, x n } conform probabilităților de căutare p i, i = 1,n si q j, j = 0,n. Demonstrație: prin inducție după etapa de calcul al costurilor arborilor cu d noduri. Caz de baza: d = 0. Costurile C i, i ale arborilor vizi A i, i, i = 0, n sunt 0, așa cum sunt inițializate de algoritm. Pas de inducție: d 1. Ip. ind.: pentru orice d < d, algoritmul AOC calculează costurile C i, i+d si indicii R i, i+d, ai rădăcinilor unor AOC A i, i+d, i = 0, n-d cu cheile {x i+1, x i+2, x i+d }. Trebuie sa arătam ca valorile C i, i+d si R i, i+d corespund unor AOC A i, i+d, i = 0, n-d cu cheile {x i+1, x i+2, x i+d }.

41 AOC Corectitudine (II) Pentru d si i fixate, algoritmul calculează: C i, id min { Ci, 1 C, id} wi, id i id unde costurile C i, α-1 si C α, i+d corespund unor arbori cu un număr de noduri d = α 1 i in cazul C i, α-1 si d = i + d α in cazul C α, i+d. 0 d d 1 aceste valori au fost deja calculate in etapele d < d si conform ipotezei inductive sunt costuri si indici ai rădăcinilor unor AOC. Conform Lemei anterioare, C i, j este costul unui AOC. Conform algoritmului rădăcina acestui arbore are indicele r = R i, j, iar cheile sunt {x i+1, x i+2, x r-1 } {x r } {x r+1, x r+2, x j } = {x i+1, x i+2, x j } Pentru d = n, costul C 0, n corespunde unui AOC A 0, n cu cheile x si cu rădăcina de indice R 0, n.

42 AOC Concluzii Câte subprobleme sunt folosite în soluţia optimală intr-un anumit pas? AOC: 2 subprobleme Câte variante de ales avem de făcut pentru determinarea alegerii optimale intr-un anumit pas? AOC: j i + 1 candidaţi pentru rădăcină Informal, complexitatea = Ns * Na (Ns = număr subprobleme; Na = număr alegeri) Complexitate AOC: O(n 2 ) * O(n) = O(n 3 ) Optimizare Knuth: O(n 2 )

Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera

Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

chip and be conquered - b subprobleme de dimensiune n-c Exercitiu: Dati exemple de algoritmi care au recurente de tipul celor de mai sus.

chip and be conquered - b subprobleme de dimensiune n-c Exercitiu: Dati exemple de algoritmi care au recurente de tipul celor de mai sus. \ Determinarea complexitatii algoritmilor numararea este in general simpla pe algoritmi nerecursivi: identificam operatiile (critice) si de cate ori se executa acestea (v. insertion sort in laboratorul

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar

Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro Curs nr. 2 Strategii de rezolvare a problemelor

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi

Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi 1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluţionist şi sunt inspiraţi de teoria lui Darwin asupra evoluţiei. Idea calculului evoluţionist a fost introdusă în

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016. Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Noţiuni introductive

Noţiuni introductive Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire Arbori minimi de acoperire 1 Planul cursului Arbori minimi de acoperire Definitie Utilizare Algoritmi Operatii cu multimi disjuncte Structuri de date pentru reprezentarea multimilor disjuncte Algoritmi

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?

CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă? CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6: Cuantizare

Capitolul 6: Cuantizare Prelucrarea semnalelor Capitolul 6: Cuantizare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PS cap. 6: Cuantizare p. 1/59 Cuprins Cuantizare (scalară)

Διαβάστε περισσότερα

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08. 1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA Prelegerea 10 Sistemul de criptare RSA 10.1 Descrierea sistemului RSA Sistemul de criptare RSA (Rivest - Shamir - Adlema este în acest moment cel mai cunoscut şi uzitat sistem cu cheie publică 1. Aceasta

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică

Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică a cărţii Reţele de calculatoare, publicată la Casa Cărţii de Ştiinţă, în 2008, ISBN: 978-973-133-377-9. Drepturile de autor

Διαβάστε περισσότερα

Programarea Calculatoarelor

Programarea Calculatoarelor Programarea Calculatoarelor Modul 1: Rezolvarea algoritmică a problemelor Introducere în programare Algoritm Obiectele unui algoritm Date Constante Variabile Expresii Operaţii specifice unui algoritm şi

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Analiza complexităţii algoritmilor

Analiza complexităţii algoritmilor Capitolul 3 Analiza complexităţii algoritmilor Analiza complexităţii unui algoritm are ca scop estimarea volumului de resurse de calcul necesare pentru execuţia algoritmului. Prin resurse se înţelege:

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI IAŞI FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ŞI CALCULATOARE. Algoritmi genetici. Inteligenţă artificială - referat -

UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI IAŞI FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ŞI CALCULATOARE. Algoritmi genetici. Inteligenţă artificială - referat - UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI IAŞI FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ŞI CALCULATOARE Algoritmi genetici Inteligenţă artificială - referat - Chelariu Angela, Topolniceanu Irina, Dumitru Alin - 2002/2003 - ALGORITMI

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα