Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016."

Transcript

1 Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016

2 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile grafului O astfel de desenare se numeşte reprezentare planară a lui G Exemplu (Grafuri planare)

3 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile grafului O astfel de desenare se numeşte reprezentare planară a lui G Exemplu (Grafuri planare)

4 Noţiuni auxiliare Grafuri planare Regiune a unei reprezentări planare a grafului G: porţiune din plan în care orice 2 puncte pot fi unite cu o curbă care nu intersectează G Exemplu determină 7 regiuni

5 Noţiuni auxiliare Grafuri planare Regiune a unei reprezentări planare a grafului G: porţiune din plan în care orice 2 puncte pot fi unite cu o curbă care nu intersectează G Exemplu R 7 R 1 R 2 R 3 R 4 determină 7 regiuni R 7 este regiunea exterioară R 5 R 6

6 Noţiuni auxiliare Grafuri planare Regiune a unei reprezentări planare a grafului G: porţiune din plan în care orice 2 puncte pot fi unite cu o curbă care nu intersectează G Exemplu R 7 R 1 R 2 R 3 R 4 determină 7 regiuni R 7 este regiunea exterioară R 5 R 6 Orice regiune este delimitată de muchii Orice muchie este în contact cu una sau două regiuni O muchie mărgineşte o regiune R dacă este în contact cu R şi cu altă regiune

7 Regiuni şi grade de mărginire S 1 S 2 e 7 e 6 e 1 e 2 e 3 S 3 e 5 e 8 e 4 e 9 e 1 este în contact doar cu S 1 e 2 şi e 3 sunt în contact doar cu S 2 S 1 este mărginită de e 7, e 8, e 9 S 3 este mărginită de e 4, e 5, e 6 S 2 este mărginită de e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9

8 Regiuni şi grade de mărginire S 1 S 2 e 7 e 6 e 1 e 2 e 3 S 3 e 5 e 8 e 4 e 9 e 1 este în contact doar cu S 1 e 2 şi e 3 sunt în contact doar cu S 2 S 1 este mărginită de e 7, e 8, e 9 S 3 este mărginită de e 4, e 5, e 6 S 2 este mărginită de e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 Gradul de mărginire b(s) al unei regiuni S este numărul de muchii care mărginesc S b(s 1 ) = 3, b(s 2 ) = 6, b(s 3 ) = 3

9 Proprietăţi Grafuri planare Fie G un graf conex cu n noduri, q muchii, şi o reprezentare planară a lui G cu r regiuni

10 Proprietăţi Grafuri planare Fie G un graf conex cu n noduri, q muchii, şi o reprezentare planară a lui G cu r regiuni n q + r = 2 în toate cazurile

11 Proprietăţi ale grafurilor planare conexe Teoremă (Formula lui Euler) Dacă G este un graf planar conex cu n noduri, q muchii şi r regiuni, atunci n q + r = 2 Demonstraţie: Inducţie după q Cazul 1: q = 0 G = K 1, pentru care n = 1, q = 0, r = 1, deci n q + r = 2 Cazul 2: G este arbore q = n 1 şi r = 1, deci n q + r = n (n 1) + 1 = 2 Cazul 3: G este arbore conex cu cel puţin 1 ciclu Fie e o muchie din ciclul respectiv, şi G = G e G este conex cu n noduri, q 1 muchii, şi r 1 regiuni conform ipotezei inductive: n (q 1) + (r 1) = 2 Rezultă că n q + r = 2 are loc şi în acest caz

12 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 1 K 3,3 nu este graf planar Demonstraţie: K 3,3 are n = 6 şi q = 9 dacă ar fi planar, ar 5 avea r = q n + 2 = 5 regiuni R i (1 i 5) Fie C = b(r i ) Orice muchie mărgineşte cel mult 2 regiuni C 2 q = 18 K 3,3 este bipartit nu conţine C 3 ca subgraf, deci b(s i ) 4 pentru toţi i, şi prin urmare C 4 5 = 20 contradicţie, deci K 3,3 nu poate fi graf planar i=1

13 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 2 Dacă G este graf planar cu n 3 noduri şi q muchii atunci q 3 n 6 Mai mult, dacă q = 3 n 6 atunci b(s) = 3 pentru orice regiune S din G Demonstraţie Fie R 1,, R r regiunile lui G, şi C = r b(r i ) Ştim că C 2 q şi că C 3r (deoarece b(r i ) 3 pentru toţi i) Deci 3 r 2 q 3 (2 + q n) 2 q q 3n 6 Dacă egalitatea are loc, atunci 3 r = 2 q C = r i=1 b(r i) = 3 r b(r i ) = 3 pt toate regiunile R i i=1

14 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 2 Dacă G este graf planar cu n 3 noduri şi q muchii atunci q 3 n 6 Mai mult, dacă q = 3 n 6 atunci b(s) = 3 pentru orice regiune S din G Demonstraţie Fie R 1,, R r regiunile lui G, şi C = r b(r i ) Ştim că C 2 q şi că C 3r (deoarece b(r i ) 3 pentru toţi i) Deci 3 r 2 q 3 (2 + q n) 2 q q 3n 6 Dacă egalitatea are loc, atunci 3 r = 2 q C = r i=1 b(r i) = 3 r b(r i ) = 3 pt toate regiunile R i Consecinţa 3 K 5 nu este graf planar Demonstraţie: K 5 are n = 5 noduri şi q = 10 muchii 3 n 6 = 9 < 10 = q K 5 nu poate fi planar (cf Consecinţei 2) i=1

15 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 4 δ(g) 5 pentru orice graf planar G Demonstraţie: Presupunem că G este graf planar cu n noduri şi q muchii Cazul 1: n 6 orice nod are grad 5 δ(g) 5 Cazul 2: n > 6 Fie D = deg(v) Rezultă că v V D = 2 q (evident) 2 (3 n 6) (conform Consecinţei 2) = 6 n 12 Dacă δ(g) 6 atunci D = deg(v) 6 = 6 n, contradicţie v V v V Deci δ(g) 5 trebuie să aibă loc

16 Subdiviziuni Grafuri planare Fie G = (V, E) un graf neorientat, şi (x, y) o muchie O subdiviziune a lui (x, y) în G este o înlocuire a lui (x, y) în G cu o cale de la x la y prin puncte intermediare noi Un graf H este o subdiviziune a unui graf G dacă H se poate obţine din G printr-o secvenţă finită de subdiviziuni de muchii Exemplu G : H :

17 Criterii de detecţie a grafurilor planare Spunem că un graf G conţine un graf H dacă H se poate obţine prin eliminarea de noduri şi muchii din G Remarcă Dacă H este subgraf al lui G atunci G conţine H Reciproca este falsă:,,g conţine H nu implică,,h este subgraf al lui G H este subgraf al lui G doar dacă se poate obţine din G prin eliminare de noduri Teoremă (Teorema lui Kuratowski) G este graf planar dacă şi numai dacă nu conţine subdiviziuni ale lui K 3,3 şi ale lui K 5

18 Detecţia grafurilor neplanare Criteriu bazat pe Teorema lui Kuratowski Este G = (V, E) neplanar? 1 Mai întâi verificăm dacă G conţine o subdiviziune a lui K 3,3 : Determinăm mulţimea S de noduri v E cu deg(v) 3 Dacă S < 6, G nu poate conţine o subdiviziune a lui K 3,3 Altfel, verificăm dacă putem alege 6 puncte din S care pot fi capete ale unei subdiviziuni a lui K 3,3 2 Apoi, verificăm dacă G conţine o subdiviziune a lui K 5 : Determinăm mulţimea S de noduri v E cu deg(v) 4 Dacă S < 5, G nu poate conţine o subdiviziune a lui K 5 Altfel, verificăm dacă putem alege 5 puncte din S care pot fi capete ale unei subdiviziuni a lui K 3,3 3 Dacă ambele verificări eşuează G este graf planar

19 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar:

20 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 :

21 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 : Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 :

22 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: a 2 a 1 a 5 5 a 3 a 4 3 4

23 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: 3 Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 5 : a 2 a 1 a 5 5 a 3 a 4 3 4

24 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: 3 Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 5 : a 1 a 2 a 5 a 3 a Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 : 5 a a 3 a 5 a 2 3 a 1 2

25 Problemă motivantă Grafuri planare Adi, Barbu, Călin, Dan, Eugen, Florin, Gelu şi Ion sunt senatori ai unui stat, şi fac parte din 7 comitete: C 1 = {Adi, Barbu, Călin}, C 2 = {Călin, Dan, Eugen}, C 3 = {Dan,Florin}, C 4 = {Adam, Gelu}, C 5 = {Eugen, Ion}, C 6 = {Eugen,Barbu,Gelu}, C 7 = {Ion, Călin, Florin} Fiecare comitet trebuie să fixeze o dată la care să se întâlnească toţi membrii săi Întrebare: Care este numărul minim de date ce trebuiesc fixate pentru întâlniri, dacă se ştie că nici un membru nu poate participa simultan la două întâlniri fixate la aceeaşi dată?

26 Răspuns la problema motivantă Observaţii: Două comitete C i şi C j nu se pot întâlni la aceeaşi dată dacă şi numai dacă au un membru comun (adică C i C j = ) Putem considera graful neorientat G cu noduri = comitetele C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, C 7 muchii (C i, C j ) dacă C i şi C j au un membru comun (adică C i C j = ) Colorăm fiecare nod C i cu o culoare care reprezintă data la care are loc întâlnirea comitetului C i problema se poate reformula astfel: care este numărul minim de culori pentru nodurile lui G, astfel încât nici o muchie să nu aibă capetele colorate la fel?

27 C 5 C 6 C 7 Grafuri planare Răspuns la problema motivantă C 4 C 3 C 2 G : C 1 Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic) O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V, E) este o funcţie K : V {1,, k} astfel încât K(u) K(v) dacă (u, v) E Numărul cromatic χ(g) al unui graf G este valoarea minimă a lui k N pt care există o k-colorare a lui G

28 Răspuns la problema motivantă C 3 C 2 C 4 G : C 1 C 5 C 7 C 6 K(C 1 ) = K(C 3 ) = K(C 5 ) = 1 K(C 2 ) = K(C 4 ) = 2 K(C 6 ) = K(C 7 ) = 3 Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic) O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V, E) este o funcţie K : V {1,, k} astfel încât K(u) K(v) dacă (u, v) E Numărul cromatic χ(g) al unui graf G este valoarea minimă a lui k N pt care există o k-colorare a lui G

29 Răspuns la problema motivantă C 3 C 2 C 4 G : C 1 C 5 C 7 C 6 K(C 1 ) = K(C 3 ) = K(C 5 ) = 1 K(C 2 ) = K(C 4 ) = 2 K(C 6 ) = K(C 7 ) = 3 nr minim de date este 3 (sunt necesare 3 culori) Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic) O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V, E) este o funcţie K : V {1,, k} astfel încât K(u) K(v) dacă (u, v) E Numărul cromatic χ(g) al unui graf G este valoarea minimă a lui k N pt care există o k-colorare a lui G

30 Colorări de noduri Polinoame cromatice Grafuri planare Calculul lui χ(g) este o problemă dificilă (NP-completă) Birkhoff ( 1900) a descoperit o metodă de calcul al unui polinom c G (z) pentru orice graf G, numit polinomul cromatic al lui G, astfel încât c G (k) = nr de k-colorări de noduri a lui G χ(g) = valoarea minimă a lui k pt care c G (k) > 0

31 Colorări de noduri Polinoame cromatice Grafuri planare Calculul lui χ(g) este o problemă dificilă (NP-completă) Birkhoff ( 1900) a descoperit o metodă de calcul al unui polinom c G (z) pentru orice graf G, numit polinomul cromatic al lui G, astfel încât c G (k) = nr de k-colorări de noduri a lui G χ(g) = valoarea minimă a lui k pt care c G (k) > 0 Vom prezenta 1 formule simple de calcul al lui c G (z) pentru grafuri speciale G 2 doi algoritmi recursivi de calcul al lui c G (z) pt orice graf G

32 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1

33 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1 2 Arbore T n cu n noduri: z opţiuni pentru culoarea rădăcinii orice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea a nodului părinte z 1 opţiuni pt colorarea lui { 1 dacă n = 1, c Tn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(t n ) = 2 dacă n > 1

34 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1 2 Arbore T n cu n noduri: z opţiuni pentru culoarea rădăcinii orice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea a nodului părinte z 1 opţiuni pt colorarea lui { 1 dacă n = 1, c Tn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(t n ) = 2 dacă n > 1 3 Caz special: graful P n (cale cu n noduri) este un arbore special cu n noduri: v 1 v 2 v n c Pn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(p n ) = { 1 dacă n = 1, 2 dacă n > 1

35 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1 2 Arbore T n cu n noduri: z opţiuni pentru culoarea rădăcinii orice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea a nodului părinte z 1 opţiuni pt colorarea lui { 1 dacă n = 1, c Tn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(t n ) = 2 dacă n > 1 3 Caz special: graful P n (cale cu n noduri) este un arbore v 1 v 2 v n special cu n noduri: { 1 dacă n = 1, c Pn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(p n ) = 2 dacă n > 1 4 Graful complet K n : c Kn (z) = z (z 1) (z n + 1) şi χ(k n ) = n

36 Calculul polinoamelor cromatice Operaţii speciale asupra unui graf Fie G = (V, E) un graf neorientat şi e = (x, y) o muchie din E G e este graful obţinut din G prin eliminarea muchiei e G/e este graful obţinut din G astfel: Se înlocuiesc nodurile x şi y cu un singur nod, care se învecinează cu vecinii lui x şi ai lui y Exemplu G: w a z b c x y a w z b c G (b, c): x y a w z b&c G/(b, c): x y

37 Calculul polinoamelor cromatice Formule de calcul recursiv Se observă că, pentru orice e E: c G (z) = c G e (z) c G/e (z) doi algoritmi de calcul recursiv al polinomului cromatic: 1 Se reduce G eliminând pe rând câte o muchie e E: c G (z) = c G e (z) c G/e (z) până când se obţin grafuri speciale E n sau T n : Cazuri de bază: c En (z) = z n şi c Tn (z) = z (z 1) n 1 2 Se extinde G adăugând pe rând muchii e care lipsesc din G: c G (z) = cḡ (z) + cḡ/e (z) unde e este o muchie lipsă din G, şi Ḡ = G + e Caz de bază: c Kn (z) = z (z 1) (z n + 1)

38 Calculul polinomului cromatic prin reducere Exemplu ilustrat e G 1 : a d b c G : e a d c G1 (z) = c G11 (z) c G12 (z) unde G 11 = G 1 (b, c) şi G 12 = G 1 /(b, c) b c c G (z) = c G1 (z) c G2 (z), unde e G 2 : d a&b c c G2 (z) = c G21 (z) c G22 (z) unde G 21 = G 2 (a&b, c) şi G 22 = G 2 /(a&b, c)

39 Calculul polinomului cromatic prin reducere Exemplu ilustrat e G 1 : a d b c G : e a d c G1 (z) = c G11 (z) c G12 (z) unde G 11 = G 1 (b, c) şi G 12 = G 1 /(b, c) b c c G (z) = c G1 (z) c G2 (z), unde e G 2 : d a&b c c G2 (z) = c G21 (z) c G22 (z) unde G 21 = G 2 (a&b, c) şi G 22 = G 2 /(a&b, c) G 11 : e d c G 12 : e d G 21 : e d c G 22 : e d a b a b&c a&b a&b&c Grafurile următoare sunt izomorfe: G 12 G 21 şi G 22 = K 3, deci: c G (z) = c G11 (z) 2 c G12 (z) + z(z 1)(z 2) }{{} c K3 (z)

40 Calculul polinomului cromatic prin reducere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G11 (z) 2 c G12 (z) + z(z 1)(z 2) G 11 : e d c G 12 : e d a b a b&c Se observă că c G11 (z) = c T5 (z) c T4 (z) = z(z 1) 4 z(z 1) 3 c G12 (z) = c T4 (z) c T3 (z) = z(z 1) 3 z(z 1 2 ) c G (z) =z(z 1) 4 z(z 1) 3 2(z(z 1) 3 z(z 1) 2 ) + z(z 1)(z 2) = z 5 7 z z 3 20 z z

41 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat d e c G : a b e G 1 = G + (c, e) : a c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z), unde d d c G 2 = G 1 /(c, e) : c&e b a b c G2 (z) = z(z 1)(z 2)(z 3) deoarece G 2 K 4, şi d c G1 (z) = c G11 (z) + c G12 (z) unde G e c 11 : G 12 : c G11 (z) = c G111 (z) + c G112 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) unde G 111 : a e b d c a b G 111 K 5 d c a b&e d e G 112 : a&c b G 112 K 4

42 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z) = (c G11 (z) + c G12 (z)) + c K4 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) + c G12 (z) + c K4 (z) unde G 12 : d c a b&e

43 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z) = (c G11 (z) + c G12 (z)) + c K4 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) + c G12 (z) + c K4 (z) d c unde G 12 : a b&e c G12 (z) = c G121 (z) + c G122 (z) = c K4 (z) + c K3 (z) unde d c unde G 121 : a b&e G 121 K 4 d unde G 122 : a&c b&e G 122 K 3

44 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z) = (c G11 (z) + c G12 (z)) + c K4 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) + c G12 (z) + c K4 (z) d c unde G 12 : a b&e c G12 (z) = c G121 (z) + c G122 (z) = c K4 (z) + c K3 (z) unde d c unde G 121 : a b&e G 121 K 4 d unde G 122 : a&c b&e G 122 K 3 c G (z) = c K5 (z) + 3c K4 (z) + c K3 (z) = z 5 7 z z 3 20 z z

45 Proprietăţi ale polinomului cromatic Dacă G = (V, E) este un graf neorientat cu n noduri şi q muchii atunci polinomul cromatic c G (z) satisface condiţiile următoare: Are gradul n Coeficientul lui z n este 1 Coeficienţii săi au semne alternante Termenul constant este 0 Coeficientul lui z n 1 este q Exemplu G : e a d b c n = 5, q = 7 c G (z) = z 5 7 z z 3 20 z z

46 Rezultate remarcabile Hărţi şi grafuri planare Grafuri planare Fiecare ţară a unei hărţi se reprezintă ca nod al unui graf Două noduri se conectează dacă şi numai dacă ţările respective au o graniţă nebanală (mai mult decât un punct) graf neorientat G H corespunzător unei hărţi H De exemplu: Observaţie: H este hartă dacă şi numai dacă G H este graf planar

47 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel

48 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel Observaţii

49 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel Observaţii 1 Una dintre cele mai faimoase teoreme din Teoria Grafurilor Demonstraţie extrem de lungă şi complexă Problemă propusă in 1858, rezolvată de-abia în 1976 (Appel & Haken) Echivalentă cu faptul că graful planar G H este 4-colorabil

50 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel Observaţii 1 Una dintre cele mai faimoase teoreme din Teoria Grafurilor Demonstraţie extrem de lungă şi complexă Problemă propusă in 1858, rezolvată de-abia în 1976 (Appel & Haken) Echivalentă cu faptul că graful planar G H este 4-colorabil 2 Teorema este echivalentă cu afirmaţia: χ(g) 4 pentru orice graf planar G

51 Colorarea hărţii cu 5 culori Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 5 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel sau, echivalent: χ(g) 5 pentru orice graf planar G Demonstraţie: Inducţie după n = numărul de noduri din G Teorema este evidentă pt n 5, deci considerăm doar n 6 δ(g) 5 datorită consecintȩi 4, deci G are un nod v cu deg(v) 5 Fie G graful obţinut prin eliminarea lui v din G G are n 1 noduri, deci χ(g ) 5 conform ipotezei inductive Deci putem presupune că G are o 5-colorare cu culorile 1,2,3,4,5 Cazul 1: deg(g) = d 4 Fie v 1,, v d vecinii lui v, cu culorile c 1,, c d c 1 v 1 v c 2 2 v c v d d pentru nodul v putem alege orice culoare c {1, 2, 3, 4, 5} {c 1,, c d } G este 5-colorabil

52 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei Cazul 2: deg(v) = 5, deci v are 5 vecini v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 pe care-i presupunem coloraţi cu culorile c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 1 Dacă {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 } {1, 2, 3, 4, 5}, putem să-l colorăm pe v cu orice culoare c {1, 2, 3, 4, 5} {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 } G este 5-colorabil 2 Dacă {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 } = {1, 2, 3, 4, 5}, putem presupune că c 1 = 1, c 2 = 2, c 3, c 4 = 4, c 5 = 5 3 v 3 2 v 2 v v v 4 v 5 5 Idee de bază: Vom rearanja culorile lui G pentru a face disponibilă o culoare pentru v

53 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v

54 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v V [v 3 ] V (H) =, adică nici v 3 şi nici vecinii lui v 3 nu sunt noduri din H

55 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v V [v 3 ] V (H) =, adică nici v 3 şi nici vecinii lui v 3 nu sunt noduri din H Putem interschimba culorile 1 şi 3 în H, iar apoi să atribuim culoarea 1 (roşu) lui v G este 5-colorabil

56 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v interschimbare de culori în H v V [v 3 ] V (H) =, adică nici v 3 şi nici vecinii lui v 3 nu sunt noduri din H Putem interschimba culorile 1 şi 3 în H, iar apoi să atribuim culoarea 1 (roşu) lui v G este 5-colorabil

57 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 v 2 3 v 3 v v v 4 v 5 5 Cazul 22 G are o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu culorile 1 şi cu 3 una din următoarele situaţii are loc: v 2 v 3 v 1 v v 4 v 5 sau v 2 v 3 v 1 v v 4 v 5 În ambele cazuri, nu poate exista o cale de la v 2 la v 4 colorată doar cu culorile 2 şi 4 cazul 21 este aplicabil pentru nodurile v 2 şi v 4 G este 5-colorabil şi în cazul acesta

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

GRAFURI NEORIENTATE. 1. NoŃiunea de graf neorientat

GRAFURI NEORIENTATE. 1. NoŃiunea de graf neorientat . NoŃiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE DefiniŃie. Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de mulńimi notată G=(V, M) unde: V : este o mulńime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMICA GRAFURILOR. C. Croitoru

ALGORITMICA GRAFURILOR. C. Croitoru ALGORITMICA GRAFURILOR C. Croitoru 2015-2016 I. Vocabular al Teoriei grafurilor 1. Definiţia unui graf Un graf este o pereche G = (V (G), E(G)), unde - V (G) este o mulţime finită nevidă, iar - E(G) este

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

Capacitatea electrică se poate exprima în 2 moduri: în funcţie de proprietăţile materialului din care este construit condensatorul (la rece) S d

Capacitatea electrică se poate exprima în 2 moduri: în funcţie de proprietăţile materialului din care este construit condensatorul (la rece) S d 2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE 2.1.1 DEFINIŢIE. CONDENSATORUL este un element de circuit prevăzut cu două conductoare (armături) separate printr-un material izolator(dielectric).

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire Arbori minimi de acoperire 1 Planul cursului Arbori minimi de acoperire Definitie Utilizare Algoritmi Operatii cu multimi disjuncte Structuri de date pentru reprezentarea multimilor disjuncte Algoritmi

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα