Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri."

Transcript

1 Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016

2 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale M-alternantă, M-cale de creştere Teorema lui Berge. Teorema lui Hall. Sisteme de reprezentanţi distincţi (SRD) Cuplaje bipartite ponderate Algoritmul ungar Arbori de acoperire Algoritmul lui Kruskal Enumerarea tuturor arborilor cu n noduri Secvenţe Prüfer

3 Cuplaje Definiţii (1) Se consideră dat un graf simplu neorientat G = (V, E). Un cuplaj în G este o mulţime de muchii M în care nici o pereche de muchii nu are un nod comun. Nodurile adiacente la muchiile din M se numesc noduri saturate de M (sau M-saturate). Celelalte noduri se numesc M-nesaturate. Exemplu a a b c b c d e f d e f g M 1 = {(a,b),(c,e),(d,f)} Noduri M 1 -saturate: a,b,c,e,d,f g M 2 = {(a,b),(c,d)} Noduri M 2 -saturate: a,b,c,d

4 Definiţii (2) Un cuplaj perfect al lui G este un cuplaj care saturează toate nodurile lui G. Un cuplaj maxim al lui G este un cuplaj care are cel mai mare număr posibil de muchii. Un cuplaj maximal al lui G este un cuplaj care nu poate fi lărgit prin adăugarea unei muchii. Exemplu (Cuplaje maxime şi maximale) a b Cuplaje maxime? c d h e f g i j

5 Definiţii (2) Un cuplaj perfect al lui G este un cuplaj care saturează toate nodurile lui G. Un cuplaj maxim al lui G este un cuplaj care are cel mai mare număr posibil de muchii. Un cuplaj maximal al lui G este un cuplaj care nu poate fi lărgit prin adăugarea unei muchii. Exemplu (Cuplaje maxime şi maximale) a b Cuplaje maxime? c d h M 1 = {(a,e),(b,f),(c,d),(g,h)} e f g i j

6 Definiţii (2) Un cuplaj perfect al lui G este un cuplaj care saturează toate nodurile lui G. Un cuplaj maxim al lui G este un cuplaj care are cel mai mare număr posibil de muchii. Un cuplaj maximal al lui G este un cuplaj care nu poate fi lărgit prin adăugarea unei muchii. Exemplu (Cuplaje maxime şi maximale) a b c d h e f g i Cuplaje maximale? j

7 Definiţii (2) Un cuplaj perfect al lui G este un cuplaj care saturează toate nodurile lui G. Un cuplaj maxim al lui G este un cuplaj care are cel mai mare număr posibil de muchii. Un cuplaj maximal al lui G este un cuplaj care nu poate fi lărgit prin adăugarea unei muchii. Exemplu (Cuplaje maxime şi maximale) a e c b d h f g i Cuplaje maximale? j M 2 = {(d,g),(a,f),(b,c)}

8 Definiţii (3) Definiţie (Cale M-alternantă, M-cale de creştere) Dacă se dă un graf G şi un cuplaj M, o cale M-alternantă este o cale în G în care toate muchiile alternează între M-muchii şi non-m-muchii. O M-cale de creştere este o cale M-alternantă care are ambele capete M-nesaturate.

9 Definiţii (3) Definiţie (Cale M-alternantă, M-cale de creştere) Dacă se dă un graf G şi un cuplaj M, o cale M-alternantă este o cale în G în care toate muchiile alternează între M-muchii şi non-m-muchii. O M-cale de creştere este o cale M-alternantă care are ambele capete M-nesaturate. Exemplu b c g a f d h e i M-cale alternantă: (c,a,d,e,i) M-cale de creştere: (j,g,f,a,c,b) j

10 Teorema lui Berge Teoremă Un cuplaj M al unui graf G este maxim dacă şi numai dacă G nu conţine M-căi de creştere. Demonstraţia lui. Presupunem că M este un cuplaj maxim. Demonstrăm prin contradicţie că G nu are M-căi de creştere. Dacă P : (v 1, v 2,..., v k ) ar fi o M-cale de creştere atunci, conform definiţiei, k ar trebui să fie par astfel încât (v 2, v 3 ), (v 4, v 5 ),..., (v k 2, v k 1 ) sunt muchii din M, iar (v 1, v 2 ), (v 3, v 4 ),..., (v k 1, v k ) nu sunt muchii din M. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v k 2 v k 1 v k În acest caz putem defini următorul cuplaj M 1 al lui G: M 1 = (M \ {(v 2, v 3 ),..., (v k 2, v k 1 )}) {(v 1, v 2 ),..., (v k 1, v k )}. Dar M 1 conţine o muchie mai mult decât M, ceea ce contrazice ipoteza că M este maxim.

11 Teorema lui Berge Demonstraţia lui : Dacă M nu este maxim, există un cuplaj M al lui G cu M > M. Fie H subgraful lui G definit astfel: V (H) = V (G) E(H) =mulţimea muchiilor ce apar exact o dată în M şi M. M > M H are mai multe muchii în M decât în M. Orice nod v al lui H aparţine la cel mult o muchie din M şi la cel mult o muchie din M deg H (v) 2 pentru toţi v V (H) componentele conexe ale lui H cu mai multe M -muchii decât M-muchii sunt căi sau cicluri. Dacă este ciclu, trebuie să fie ciclu par fiindcă muchiile alternează între M-muchii şi M -muchii singurele componente conexe ale lui H care pot conţine mai multe M -muchii decât M-muchii sunt căile. M > M există o cale P în H care începe şi se termină cu o muchie din M P este M-cale de creştere, contradicţie cu ipoteza.

12 Cuplaj în Dacă G este graf bipartit cu mulţimile partite X şi Y, spunem că X poate fi cuplat în Y dacă există un cuplaj al lui G care saturează nodurile din X. Exemplu X Y X Y (a) Primul este un graf bipartit unde X poate fi cuplat în Y. (b) Al doilea este un graf bipartit unde X nu poate fi cuplat în Y. De ce se întâmplă acest lucru?

13 Cuplaj în Teorema lui Hall Fie G un graf bipartit cu mulţimile partite X şi Y. X poate fi cuplat în Y dacă şi numai dacă N(S) S pentru toate submulţimile S ale lui X. Demonstraţie. : fie S X. X poate fi cuplat în Y S poate fi cuplat în Y, deci N(S) S. : Presupunem că ar exista un cuplaj maxim M care nu acoperă un nod u X. Fie A mulţimea nodurilor din G ce pot fi conectate la u cu o cale M-alternantă, S = A X, şi T = A Y.

14 Cuplaj în Teorema lui Hall Fie G un graf bipartit cu mulţimile partite X şi Y. X poate fi cuplat în Y dacă şi numai dacă N(S) S pentru toate submulţimile S ale lui X. Demonstraţie. : fie S X. X poate fi cuplat în Y S poate fi cuplat în Y, deci N(S) S. : Presupunem că ar exista un cuplaj maxim M care nu acoperă un nod u X. Fie A mulţimea nodurilor din G ce pot fi conectate la u cu o cale M-alternantă, S = A X, şi T = A Y.

15 Cuplaj în Teorema lui Hall Fie G un graf bipartit cu mulţimile partite X şi Y. X poate fi cuplat în Y dacă şi numai dacă N(S) S pentru toate submulţimile S ale lui X. Demonstraţie. : fie S X. X poate fi cuplat în Y S poate fi cuplat în Y, deci N(S) S. : Presupunem că ar exista un cuplaj maxim M care nu acoperă un nod u X. Fie A mulţimea nodurilor din G ce pot fi conectate la u cu o cale M-alternantă, S = A X, şi T = A Y. Conform Teoremei lui Berge, toate nodurile din T sunt saturate de M, iar u este singurul nod nesaturat al lui S T = S 1. Din Teorema lui Berge şi definiţia lui T rezultă că N(S) = T. Dar în acest caz avem N(S) = S 1 < S, contradicţie.

16 Sistem de reprezentanţi distincţi (SRD) Definiţie Dacă se dă o familie de mulţimi X = {S 1,..., S n }, un sistem de reprezentanţi distincţi (sau SRD) pentru mulţimile din X este o mulţime de elemente distincte {x 1,..., x n } cu x i S i pentru 1 i n. Exemplu Fie S 1 = {2, 8}, S 2 = {8}, S 3 = {5, 7}, S 4 = {2, 4, 8}, S 5 = {2, 4}. X 1 = {S 1, S 2, S 3, S 4 } are SRD {2, 8, 7, 4} S 1 = {2, 8}, S 2 = {8}, S 3 = {5, 7}, S 4 = {2, 4, 8} X 2 = {S 1, S 2, S 4, S 5 } nu are un SRD. Întrebare. În ce condiţii are o familie finită de mulţimi un SRD?

17 SRD-uri pentru familii finite de mulţimi Teoremă (Teorema lui Hall) Fie S 1, S 2,..., S k o colecţie de mulţimi nevide finite. Colecţia are un SRD dacă şi numai dacă pentru orice t {1,..., k}, reuniunea a t astfel de mulţimi conţine cel puţin t elemente. Demonstraţie. Fie Y = S 1 S 2... S k. Presupunem că Y = {a 1,..., a n } si considerăm graful bipartit cu mulţimile partite X = {S 1,..., S k } şi Y în care există o muchie de la S i la a j dacă şi numai dacă a j S i. Conform teoremei lui Hall, X poate fi cuplat în Y dacă şi numai dacă t = A N(A) pentru toate submulţimile A = {S i1,..., S it } ale lui X.

18 Cuplaje bipartite ponderate O problemă motivantă de optimizare combinatorială Trei muncitori: Ion, Dan şi Doru sunt disponibili pentru a efectua trei lucrări: să spele baia, să măture, şi să spele ferestrele. Fiecare cere un anumit preţ pentru fiecare lucrare, de exemplu: spălat baie (SB) măturat (M) spălat ferestre (SF) Ion w(ion, SB) =20 w(ion, M) =30 w(ion, SF) =30 Dan w(dan, SB) =30 w(dan, M) =20 w(dan, SB) =20 Doru w(doru, SB) =30 w(doru, SB) =30 w(doru, SB) =20 Vrem să alocăm câte o lucrare la fiecare muncitor, a.î. să plătim cel mai puţin posibil dacă G este graful ponderat bipartit complet dintre S = {Ion, Dan, Doru} şi T = {SB, M, SF}, cu ponderile muchiilor ca în tabelul anterior, vrem să găsim un cuplaj perfect minim M în G: w(s, t) este minimă. (s,t) M

19 Cuplaje bipartite ponderate Presupunem că G = K n,n este graf bipartit complet între S = {x 1,..., x n } şi T = {y 1,..., y n }, a.î. fiecare (x, y) E are greutatea w(x, y) 0. Observaţie (König & Egerváry) Găsirea unui cuplaj minim perfect în G se poate reduce la problema găsirii unei acoperiri maxime în G. O acoperire a lui G este o funcţie c : S T R, a.î. c(x) + c(y) w(x, y) pentru toţi (x, y) E. O acoperire maximă a lui G este o acoperire c astfel încât c(x) + c(y) x S y T are valoarea maximă posibilă. Această sumă se numeşte costul acoperirii c.

20 Cuplaje bipartite ponderate Rezultate teoretice Pentru orice cuplaj perfect M dintre S şi T şi acoperire c, are loc inegalitatea c(x) + c(y) w(x, y). x S y T (x,y) M Mai mult: c(x) + c(y) = x S y T w(x, y) (x,y) M dacă şi numai dacă c(x) + c(y) = w(x, y) pentru toate muchiile (x, y) M. În acest caz, M este un cuplaj perfect minim iar c este o acoperire maximă a lui G.

21 Cuplaje bipartite ponderate Algoritmul ungar (1) Calculează o acoperire a unui graf ponderat K n,n în timp polinomial O(n 4 ): Iniţial, c(x) = 0 şi c(y) = max{w(x, y) x S} pentru toţi x S şi y T. (Observaţie: c este acoperire a nodurilor lui G.) Algoritmul efectuează un număr finit de paşi de modificare a lui c, până când c devine acoperire maximă. La fiecare pas, se consideră: 1 graful G c := {(x, y) c(x) + c(y) = w(x, y)} şi un cuplaj M al lui G c. Iniţial, M =. Algoritmul se opreşte când M este cuplaj perfect (are n muchii). 2 R S S sunt nodurile nesaturate de M din S, iar R T T sunt nodurile nesaturate de M din T. 3 Z :=mulţimea de noduri unde se poate ajunge din R S cu o cale M-alternantă: Se disting 2 cazuri: dacă R T Z = sau R T Z

22 Cuplaje bipartite ponderate Algoritmul ungar (2) Dacă R T Z, fie (x i1, y j1, x i2,..., x ip, y jp ) o cale M-alternantă de la x i1 R S la y jp R T. Înseamnă că (x ik+1, y jk ) M pentru 1 k < p şi (x ik, y jk ) M pentru 1 k p. În acest caz, modificăm M să fie M := (M {(x ik+1, y jk ) 1 k < p}) {(x ik, y jk ) 1 k p}. R S S T x i1 y j1 R T Graful G c : x ip. x i2 y jp 1. y j1 Observaţie: M creşte cu 1

23 Cuplaje bipartite ponderate Algoritmul ungar (2) Dacă R T Z, fie (x i1, y j1, x i2,..., x ip, y jp ) o cale M-alternantă de la x i1 R S la y jp R T. Înseamnă că (x ik+1, y jk ) M pentru 1 k < p şi (x ik, y jk ) M pentru 1 k p. În acest caz, modificăm M să fie M := (M {(x ik+1, y jk ) 1 k < p}) {(x ik, y jk ) 1 k p}. R S S T x i1 y j1 R T Graful G c modificat: x ip. x i2 y jp 1. y j1 Observaţie: M creşte cu 1

24 Cuplaje bipartite ponderate Algoritmul ungar (3) Dacă R T Z =, fie δ = min{w(x, y) c(x) c(y) x Z S, y T \ Z} Graful G c : R S S T x i x i1. x ip w(x i, y j ) = c(x i ) + c(y j ) + δ w(x i1, x j1 ) = c(x i1 ) + c(y j1 ) w(x ip, y jp ) = c(x ip ) + c(y jp ) x j y j1. y jp R T Se observă că δ > 0. Modificăm c astfel: c(x) := c(x) + δ pentru x Z S, şi c(y) = c(y) δ pentru toţi y Z T G c se modifică: R T Z creşte, iar M G c continuă să aibe loc

25 Cuplaje bipartite ponderate Algoritmul ungar (3) Dacă R T Z =, fie δ = min{w(x, y) c(x) c(y) x Z S, y T \ Z} Noul graf G c : R S S T x i x i1. x ip w(x i, y j ) = c(x i ) + c(y j ) w(x i1, x j1 ) = c(x i1 ) + c(y j1 ) w(x ip, y jp ) = c(x ip ) + c(y jp ) x j y j1. y jp R T Se observă că δ > 0. Modificăm c astfel: c(x) := c(x) + δ pentru x Z S, şi c(y) = c(y) δ pentru toţi y Z T G c se modifică: R T Z creşte, iar M G c continuă să aibe loc

26 Remarcă Problema motivaţională poate fi rezolvată cu algoritmul ungar: Considerăm graful ponderat complet K 3,3 dintre S = {Ion, Dan,Doru} şi T = {SB,M,SF} unde SB: spălat baie, M: măturat, SF: spălat ferestre. Pentru acest graf, algoritmul ungar calculează un cuplaj perfect M, care indică lucrarea alocată fiecărui muncitor.

27 Arbori de acoperire Problemă motivantă Departamentul de Transporturi din Carolina de Nord (NCDOT) a decis să realizeze o reţea feroviar rapidă între 8 oraşe din vestul statului. Unele oraşe sunt deja conectate cu drumuri, şi se doreşte plasarea de linii ferate de-a lungul drumurilor existente. Formele diferite de teren impun costuri diferite de amplasare a căii ferate. NCDOT a angajat un consultant să calculeze costurile de construire a unei căi ferate de-a lungul fiecărui drum de legătură între 2 oraşe. Consultantul a produs graful ilustrat mai jos, în care sunt marcate costurile de realizare a fiecărei conexiuni. Se doreşte ca reţeaua feroviară să fie realizată cu cost minim şi să asigure legătură între orice 2 oraşe.

28 Arbori de acoperire Problemă motivantă

29 Arbori de acoperire Problemă motivantă Un arbore de acoperire al unui graf G este un arbore care conţine toate nodurile lui G.

30 Arbori de acoperire Problemă motivantă Un arbore de acoperire al unui graf G este un arbore care conţine toate nodurile lui G. Vrem să găsim un arbore de acoperire T al cărui cost total să fie minim, adică un arbore minim de acoperire: Suma costurilor muchiilor lui T suma costurilor muchiilor oricărui alt arbore de acoperire al lui G.

31 Arbori de acoperire Problemă motivantă (continuare)

32 Găsirea unui arbore minim de acoperire Algoritmul lui Kruskal Se dă un graf ponderat şi conectat G (1) Se găseşte o muchie cu pondere minimă şi se marchează. (2) Se iau în considerate muchiile nemarcate care nu formează un ciclu cu cele marcate: se alege o muchie nemarcată care are pondere minimă, şi se marchează. (3) Pasul (2) se repetă până când muchiile marcate formează un arbore de acoperire al lui G.

33 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

34 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

35 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

36 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

37 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

38 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

39 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

40 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat

41 Algoritmul lui Kruskal Paşii algoritmului pentru graful ilustrat Greutate totală: 210

42 Enumerarea arborilor Vrem să enumerăm toţi arborii cu n noduri. Considerăm că poziţiile nodurilor sunt fixate şi considerăm toate variantele de trasat un arbore între nodurile respective. De exemplu, pentru n = 4 avem 16 arbori etichetaţi diferiţi:

43 Enumerarea arborilor Vrem să enumerăm toţi arborii cu n noduri. Considerăm că poziţiile nodurilor sunt fixate şi considerăm toate variantele de trasat un arbore între nodurile respective. De exemplu, pentru n = 4 avem 16 arbori etichetaţi diferiţi:

44 Enumerarea arborilor Teorema lui Cayley. Metoda de enumerare a lui Prüfer Teoremă (Teorema lui Cayley) Există n n 2 arbori distincţi cu n noduri. Prüfer a găsit o metodă de enumerare a tuturor arborilor etichetaţi cu 1,2,..., n prin intermediul unei corespondenţe bijective între aceşti arbori şi mulţimea secvenţelor de numere de n 2 numere între 1 şi n: v 1, v 2,..., v n 2 }{{} n 2 numere unde 1 v i n Observaţie: Există n n 2 astfel de secvenţe.

45 Enumerarea arborilor Calculul secvenţei Prüfer pentru un arbore T cu nodurile 1,2,...,n Se dă un arbore T cu nodurile 1,..., n (1) Iniţial, secvenţa este vidă. Fie i = 0 şi T 0 = T. (2) Se caută frunza lui T i cu cea mai mică etichetă; fie aceasta v. (3) Se adaugă la secvenţă eticheta vecinului lui v. (4) Se şterge nodul v din T i un arbore mai mict i+1. (5) Dacă T i+1 este K 2, ne oprim. Altfel, incrementăm i cu 1 şi revenim la pasul (2).

46 Metoda lui Prüfer Calculul secvenţei Prüfer Arbore curent T = T T T T T T secvenţă curentă 4 4,3 4,3,1 4,3,1,3 4,3,1,3,1

47 Enumerarea arborilor Calculul arborelui T corespunzător unei secvenţe a 1,..., a k Se dă o secvenţă σ = a 1, a 2,..., a k de numere din mulţimea {1,..., k + 2} (1) Se desenează k + 2 noduri care se etichetează cu numerele 1, 2,..., k + 2. Fie S = {1, 2,..., k + 2}. (2) Fie i = 0, σ 0 = σ şi S 0 = S. (3) Fie j cel mai mic număr din S i care nu apare în secvenţa σ i. (4) Se trasează o muchie între nodul j şi primul nod din σ i. (5) Se elimină primul nod din secvenţa σ i secvenţa σ i+1. Se şterge j din S i şi rezultă mulţimea S i+1. (6) Dacă secvenţa σ i+1 este vidă, se trasează o muchie între nodurile rămase în S i+1 iar algoritmul se termină. Altfel, se incrementează i cu 1 şi se revine la pasul (3).

48 Metoda lui Prüfer Construirea unui arbore etichetat (1) σ = σ 0 = 4, 3, 1, 3, 1 S = S 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} σ 1 = 3, 1, 3, 1 S 1 = {1, 3, 4, 5, 6, 7} σ 2 = 1, 3, 1 S 2 = {1, 3, 5, 6, 7} v 3 v 2 v 4 v 1 v 5 v v 7 6 v 3 v 2 v 4 v 1 v 5 v v 7 6 v 3 v 2 v 4 v 1 v 5 v v 7 6

49 Metoda lui Prüfer Construirea unui arbore etichetat (2) σ 3 = 3, 1 S 3 = {1, 3, 6, 7} σ 4 = 1 S 4 = {1, 3, 7} σ 5 este secvenţa vidă S 5 = {1, 7} v 3 v 2 v 4 v 1 v 5 v v 7 6 v 3 v 2 v 4 v 1 v 5 v v 7 6 v 3 v 2 v 4 v 1 v 5 v v 7 6

50 Exerciţii (1) 1. Pentru toate grafurile de mai jos, cu cuplajele M marcate îngroşat, găsiţi (a) o cale M-alternantă care nu este M-cale de creştere; (b) o M-cale de creştere, dacă există, şi în acest caz folosiţi-o pentru a obţine un cuplaj mai mare.

51 Exerciţii (2) (2) Pentru fiecare din familiile următoare de mulţimi să se determine dacă are un sistem de reprezentanţi distincţi (SRD). Dacă nu, să se indice care condiţie a teoremei de existenţă a unui SRD este violată. 1 {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {4, 5}, {1, 2, 5} 2 {1, 2, 4}, {2, 4}, {2, 3}, {1, 2, 3} 3 {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3}, {3, 4} 4 {1, 2, 5}, {1, 5}, {1, 2}, {2, 5}

52 Exerciţii (3) 1. Să se folosească algoritmul lui Kruskal pentru a găsi arbori minimi de acoperire ai următoarelor grafuri 2. Să se determine secvenţa Prüfer a arborilor următori: 3. Să se deseneze un arbore a cărui secvenţă Prüfer este 3,4,5,5,4,8.

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016. Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR Bazele cercetării operaţionale. Noţiuni generale ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie),

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri. Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science

Grafuri. Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science Grafuri Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science Sumar Definiții Reprezentări Parcurgere în lățime Parcurgere în adîncime Drumuri în grafuri. Conexitate Matricea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

7.2 Problema săptămânii Seminar Seminar Seminar Seminar Conexitate Teorie...

7.2 Problema săptămânii Seminar Seminar Seminar Seminar Conexitate Teorie... Cuprins 1 Noţiuni preliminare şi scurt istoric 3 1.1 Scurt istoric......................................... 3 1.2 Structura cursului..................................... 3 1.3 Notaţii generale. Noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Arbori și structuri decizionale

Arbori și structuri decizionale rbori și structuri decizionale Geanina Havârneanu Introducere Teoria grafurilor a apărut din rațiuni pur pragmatice. Un exemplu care ilustrează cea mai simplă modalitate de a utiliza grafurile este următoarea

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire Arbori minimi de acoperire 1 Planul cursului Arbori minimi de acoperire Definitie Utilizare Algoritmi Operatii cu multimi disjuncte Structuri de date pentru reprezentarea multimilor disjuncte Algoritmi

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4 FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Cercetari operationale. O.M. Gurzău

Cercetari operationale. O.M. Gurzău Cercetari operationale O.M. Gurzău 1 1Programare liniară 1.1 Algoritmul Simplex (194, G. Dantzig) Problema: Program liniar sub formă canonică: Săseafle maximul funcţiei (1.1.1) cu condiţiile: f (x 1,...x

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare

Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare Prelegerea 1 Codificare şi decodificare 1.1 Codificare Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare este o aplicaţie injectivă K : A B. Elementele mulţimii

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

Dumitru Fanache TEORIA ALGORITMICĂ A GRAFURILOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE. Volumul I EDITURA PARALELA 45

Dumitru Fanache TEORIA ALGORITMICĂ A GRAFURILOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE. Volumul I EDITURA PARALELA 45 Dumitru Fanache TEORIA ALGORITMICĂ A GRAFURILOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE Volumul I Cuprins Cuvânt-înainte...9 Capitolul I. Noţiuni generale despre grafuri...15 I.1. Scurt istoric al teoriei grafurilor...15

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα