Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare."

Transcript

1 Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului (sau maximului) este metoda de ordonare prin selectarea unui element şi plasarea lui pe poziţia sa finală direct în tabloul A. De exemplu, în caz de ordonare crescătoare, pornind de la primul element se caută valoarea minimă din tablou. Aceasta se aşează pe prima poziţie printr-o interschimbare între elementul de pe prima poziţie şi elementul minim de pe poziţia k. Apoi, se reia algoritmul, pornind de la a doua poziţie şi se caută minimul între elementele a2,..., an. Acesta se interschimbă cu al doilea dacă este cazul. Procedeul se continuă până la ultimul element. Pseudocodul algoritmului de sortare prin selecţia minimului este: Subalgoritm Selecţie(n,a) 1: pentru i=1,n-1 execută: 2: min = a[i] 3: pentru j=i+1,n execută: 4: dacă min > a[j] atunci 5: min = a[j] 6: k = j Sfd 4: Sfp 3: 7: dacă min <> a[i] atunci 8: aux = a[i] 9: a[i] = a[k] 10: a[k] = aux Sfd 7: Sfp 1: Exemplu Fie tabloul A = (5, 0, 8, 7, 3). Pas Tabloul A Element minim Poziţia minimului Noul tablou A i=1 (5, 0, 8, 7, 3) 0 2 (0, 5, 8, 7, 3) i=2 (0, 5, 8, 7, 3) 3 5 (0, 3, 8, 7, 5) i=3 (0, 3, 8, 7, 5) 5 5 (0, 3, 5, 7, 8) i=4 (0, 3, 5, 7, 8) 7 4 Algoritmul se poate scrie şi prin determinarea valorilor maxime şi mutarea lor în tablou de la dreapta la stânga, astfel rezultând, de asemenea, un şir ordonat crescător. Un astfel de algoritm este des utilizat pentru că este mai simplu de reţinut, în forma următoare: Subalgoritm Selecţie(n,a) 1: pentru i=1,n-1 execută: 2: pentru j=i+1,n execută: 3: dacă a[i] > a[j] atunci 4: aux = a[i] 5: a[i] = a[j] 6: a[j] = aux sfd 3: sfp 2: sfp 1: Complexitatea algoritmului: Pentru acest algoritm de sortare nu putem spune că există caz favorabil, nefavorabil sau mediu, deoarece numărul de paşi efectuaţi este n(n-1)/2 indiferent de structura datelor de intrare. Aşadar, ordinul de complexitate este Θ(n 2 ). Numărul de comparări este tot n(n-1)/2, însă pentru cazul în care şirul este ordonat crescător se vor face doar n atribuiri (se execută doar instrucţiunea de atribuire 2:)

2 2. Sortarea prin inserţie Sortarea prin inserţie, este un algoritm eficient pentru sortarea unui număr mic de obiecte. Sortarea prin inserţie funcţionează în acelaşi fel în care mulţi oameni sortează un pachet de cărţi de joc. Se începe cu pachetul aşezat pe masă cu faţa în jos şi cu mâna stângă goală. Apoi, luăm câte o carte de pe masă şi o inserăm în poziţia corectă în mâna stângă. Pentru a găsi poziţia corectă pentru o carte dată, o comparăm cu fiecare dintre cărţile aflate deja în mâna stângă, de la dreapta la stânga (sau de la stânga la dreapta), aşa cum este ilustrat în Figura 2.1. Figura 2.1 Modul de ordonare a cărţilor, folosind metoda sortării prin inserţie. Pseudocodul pentru sortarea prin inserţie este prezentat ca o procedură numită Sortează-Prin-Inserţie, care are ca parametru un vector A[1..n] conţinând un sir de lungime n care urmează a fi sortat. (Pe parcursul codului, numărul de elemente ale lui A este notat prin lungime[a].) Numerele de intrare sunt sortate pe loc, în cadrul aceluiaşi vector A, cel mult un număr constant dintre acestea sunt memorate în zone de memorie suplimentare. Când Sorteaza-Prin-Inserţie se termină, vectorul iniţial A va conţine elementele şirului de ieşire sortat. Subalgoritm Sorteaza-Prin-Inserţie(A) 1: pentru j 2, lungime[a] executa 2: cheie A[j] 3: i j - 1 4: cât timp i > 0 şi A[i] > cheie executa 5: A[i + 1] A[i] 6: i i 1 sfc 4: 7: A[i + 1] cheie {Insereaza A[j] în sirul sortat A[1..j - 1]} sfp 1: Figura 2.2 ilustrează modul de funcţionare a acestui algoritm pentru A = (5, 2, 4, 6, 1, 3). Indicele j corespunde cărţii care urmează a fi inserată în mâna stânga. Elementele A[1..j - 1] corespund mulţimii de cărţi din mâna, deja sortate, iar elementele A[j + 1..n] corespund pachetului de cărţi aflate încă pe masă. Indicele se deplasează de la stânga la dreapta în interiorul vectorului. La fiecare iteraţie, elementul A[j] este ales din vector (linia 2). Apoi, plecând de la poziţia j - 1, elementele sunt, succesiv, deplasate o poziţie spre dreapta până când este găsita poziţia corecta pentru A[j] (liniile 3 6), moment în care acesta este inserat pe poziţia corectă în vectorul ordonat (linia 7). a1 a2 a3 a4 a5 a Figura 2.2 Modul de operare a procedurii Sorteaza-Prin-Inserţie asupra vectorului A =(5, 2, 4, 6, 1, 3). Poziţia indicelui j este indicată prin colorarea celulei corespunzătoare din tabelul din figură. Complexitatea algoritmului: Sortarea prin inserţie are un timp de execuţie în cazul cel mai defavorabil de Θ(n 2 ) (pronunţat teta de n pătrat).

3 3. Metoda bulelor (bubble-sort) Algoritmul constă în parcurgerea tabloului A de mai multe ori, până când devine ordonat. La fiecare pas se compară două elemente alăturate. Dacă a i > a i + 1, (i = 1, 2,..., n 1), atunci cele două valori se interschimbă între ele. Controlul acţiunii repetitive este dat de variabila booleană ok, care la fiecare reluare a algoritmului primeşte valoarea iniţială adevărat, care se schimbă în fals dacă s-a efectuat o interschimbare de două elemente alăturate. În momentul în care tabloul A s-a parcurs fără să se mai efectueze nici o schimbare, ok rămâne cu valoarea iniţială adevărat şi algoritmul se termină, deoarece tabloul este ordonat. Interschimbarea a două elemente se realizează prin intermediul variabilei auxiliare aux care are acelaşi tip ca şi elementele tabloului. Subalgoritm Metoda_bulelor (A) 1: repetă 2: ok = adevărat 3: pentru i=1,n-1 execută 4: dacă a[i] > a[i+1] atunci 5: ok = fals 6: aux = a[i] 7: a[i] = a[i+1] 8: a[i+1] = aux sfd 4: sfp 3: 9: până când ok Considerăm tabloul A cu 5 elemente numere reale: 0.0, 1.1, 1.0, 1.2 şi I. Prima parcurgere a tabloului (ok este iniţializat cu adevărat): a1 = 0.0 a2 = 1.1 a3 = 1.0 a4 = 1.2 a5 = 0.08 ok fals fals Valorile 0.0 < 1.1, rămân neschimbate, 1.1 > 1.0, le interschimbăm. Deoarece 1.1 < 1.2, avansăm şi constatăm că 1.2 > 0.0.8, deci din nou avem interschimbare. În consecinţă, la ieşire din structura pentru ok este fals. Observăm că 1.2 a ajuns pe locul lui definitiv (elementul maxim). II. Urmează a doua parcurgere a tabloului (ok primeşte din nou valoarea adevărat). a1 = 0.0 a2 = 1.0 a3 = 1.1 a4 = 0.08 a5 = 1.2 ok fals Am avut interschimbare şi de data aceasta, deci ieşim cu ok = fals. La acest pas 1.1 a ajuns pe locul său definitiv. III. A treia parcurgere a tabloului începe cu reiniţializarea lui ok cu valoarea adevărat. a1 = 0.0 a2 = 1.0 a3 = 0.08 a4 = 1.1 a5 = 1.2 ok fals Am interschimbat 0.08 cu 1.0, cel din urmă astfel a ajuns pe locul său în şirul ordonat. A patra parcurgere a tabloului se finalizează cu valoarea ok = adevărat, deoarece nu am efectuat nici o interschimbare, ceea ce înseamnă că procesul de ordonare s-a încheiat. a1 = 0.0 a2 = 0.08 a3 = 1.0 a4 = 1.1 a5 = 1.2 ok adevărat

4 Observaţia cu privire la faptul că la fiecare parcurgere a ajuns cel puţin un element pe locul său definitiv în şirul ordonat poate fi fructificată, deoarece constatăm că astfel, la următorul pas nu mai sunt necesare verificările în care intervine acest element şi cele care se află după el în şir, acestea fiind deja sortate crescător. Rezultă că la fiecare parcurgere am putea micşora cu 1 numărul elementelor verificate. Dar este posibil ca la o parcurgere să ajungă mai multe elemente în locul lor definitiv. Rezultă că vom ţine minte indicele ultimului element care a intervenit în interschimbare şi verificările le vom efectua doar până la acest element. Astfel, ajungem la următorul subalgoritm îmbunătăţit ca performanţă: Subalgoritm Metoda_bulelor (A) 1: k=n {k va fi limita superioară până unde se interschimbă elemente} 2: repetă 3: ok = adevărat 4: pentru i=1,k-1 execută 5: dacă a[i] > a[i+1] atunci 6: ok = fals 7: aux = a[i] 8: a[i] = a[i+1] 9: a[i+1] = aux 10: j=i 11: k=j; {ultimul indice pentru care s-a facut interchimbare} 12: până când ok Complexitatea algoritmului: Metoda bulelor nu este cea mai performantă modalitate de a ordona un şir cu multe elemente, dar în cazul şirurilor aproape ordonate, cu optimizările de mai sus, poate deveni mai eficientă decât alte metode. Pentru a analiza timpul de execuţie al metodei bulelor trebuie să luăm în considerare 3 mărimi: 1. numărul de treceri (parcurgeri) 2. numărul de interschimbări 3. numărul de comparaţii Dacă presupunem că valorile de intrare reprezintă o permutare a mulţimii {1, 2,..., n} putem uşor descrie efectul fiecărei treceri astfel: dacă un element ai nu are nici un precedent mai mare el va rămâne pe loc, iar daca are cel puţin unul mai mare atunci el se va muta cu o poziţie mai în faţă. Reamintesc că elementul maxim de la fiecare parcurgere va ajunge pe poziţia finală. Astfel, eficienţa metodei bulelor depinde de numărul de inversiuni din permutarea iniţială (faţă de permutarea finală, cea identică). Voi defini în continuare inversiunea şi proprietăţile inversiunilor. Definiţie: Fie a1, a2,... an o permutare a mulţimii {1, 2,..., n}. Dacă i<j şi ai>aj, atunci perechea (ai, aj) se numeşte inversiunii a permutării. De exemplu, în permutarea 3,1,4,2 se găsesc 3 inversiuni: (3,1), (3,2) şi (4,2). Observaţie: Singura permutare fără inversiuni este cea ordonată (identică) 1,2,...,n. Cazul cel mai favorabil este acela în care datele iniţiale sunt ordonate crescător, caz în care se face o singură parcurgerea a datelor. Cazul cel mai nefavorabil este cel în care datele sunt sortate descrescător, caz în care se vor face n-1 parcurgeri. La prima parcurgere se vor face n-1 interschimbări, la a doua n-2 şi aşa mai departe. Aşadar numărul de comparaţii şi cel de interschimbări va fi n(n-1)/2. Exemplu în acest caz: a1 a2 a3 a4 Numărul de interschimbări Numărul parcurgerii iniţial Total interschimbări 6 Astfel, vom spune că metoda bulelor are un timp de execuţie în cazul cel mai defavorabil de Θ(n 2 ).

5 4. Sortare prin numărare Această metodă constă în construirea unui nou tablou B care are aceeaşi dimensiune ca şi tabloul A în care vom memora elementele din A, ordonate crescător. Vom lua fiecare element şi îl vom compara cu fiecare alt element din şir pentru a putea reţine în variabila k numărul elementelor care sunt mai mici decât elementul considerat. Astfel, vom afla poziţia pe care trebuie să-l punem pe acesta în şirul B. Dacă în problemă avem nevoie de şirul ordonat tot în tabloul A, vom copia în A întreg tabloul B. Subalgoritm Numărare(n,A) 1: pentru i=1,n execută 2: k = 0 3: pentru j=1,n execută 4: dacă (A[i] > A[j]) atunci 5: k = k + 1 { numărăm câte elemente sunt mai mici decât A[i] } 6: B[k+1] = A[i] { pe A[i] îl punem pe poziţia corespunzătoare din B } sfd 4: sfp 3: 7: A = B { copiem peste şirul A întreg şirul B } Exemplu Fie tabloul A cu 4 elemente: 7, 2, 3, 1. i j Relaţia k bk i = j > > > 1 3 b4 = < i = j < > 1 1 b2 = < > i = j > 1 2 b3 = < < < i = j 0 b1 = 1 Algoritmul funcţionează în această formă dacă elementele tabloului A sunt distincte, altfel în B vor rămâne elemente necopiate din A, deoarece două elemente egale se vor copia în B pe aceeaşi poziţie. De exemplu, pentru un tabloul A cu 4 elemente: 7, 2, 3, 3 se va obţine 2, 3, 0, 7 dacă în B am avut iniţial doar elemente nule. Această situaţie se poate remedia în 2 moduri: 1. mai parcurgem o dată şirul final şi toate elementele care nu respectă relaţia de ordine le modificăm atribuindu-le valoarea din stânga. Astfel, din şirul 2, 3, 0, 7 vom obţine 2, 3, 3, 7. Algoritmul modificat este următorul: Subalgoritm Numărare(n,a) 1: pentru i=1,n execută 2: k = 0 3: pentru j=1,n execută

6 4: dacă (a[i] > a[j]) atunci 5: k = k + 1 6: b[k+1] = a[i] sfd 4: sfp 3: sfp 1: 7: a = b 8: pentru i=1,n-1 execută 9: dacă a[i] >= a[i+1] atunci 10: a[i+1] = a[i] sfd 9: sfp 8Ş 2. înainte de atribuirea b[k+1] = a[i] verificăm dacă b[k+1] = a[i] şi cât timp e fals mărim pe k. Rezultatul este acelaşi. Algoritmul modificat este următorul: Subalgoritm Numărare(n,a) 1: pentru i=1,n execută 2: k = 0 3: pentru j=1,n execută 4: dacă (a[i] > a[j]) şi (i <> j) atunci 5: k = k + 1 6: cât timp b[k+1] = a[i] execută {cat timp în B a fost deja pus un element cu aceeasi valoare} 8: k = k + 1 9: b[k+1] = a[i] 10: a = b Complexitatea algoritmului: Pentru acest algoritm de sortare nu putem spune că există caz favorabil, nefavorabil sau mediu, deoarece numărul de paşi efectuaţi este n 2 indiferent de structura datelor de intrare. Aşadar, ordinul de complexitate este Θ(n 2 ). 5. Algoritmi liniari de sortare 5.1 Sortarea prin numărarea apariţiilor Algoritmii prezentaţi anterior sunt relativ mari consumatori de timp. De exemplu, pentru a ordona un şir de 1000 de elemente, numărul comparaţiilor pe care le va executa oricare dintre algoritmii prezentaţi va fi aproximativ de 1 milion. Un algoritm liniar execută un număr de operaţii proporţional cu numărul elementelor, adică pentru a ordona 1000 de elemente vor fi necesare c < 1000 de operaţii, unde c este o constantă. În anumite condiţii asupra datelor de intrare se pot construi algoritmi liniari pentru sortare. Dacă avem un şir de elemente de tip ordinal care sunt dintr-un interval de cardinalitate nu foarte mare, vom putea realiza o ordonare liniară. Corespunzător fiecărei valori întâlnite în şir în timpul prelucrării mărim cu 1 valoarea elementului având indicele (în acest şir de contoare) egal cu valoarea elementului în şirul de ordonat. În final, vom suprascrie în şirul dat atâtea elemente cu valori ai indicilor elementelor diferite de 0 cât este valoarea elementului în acest şir a numerelor de apariţii. Important este să reţinem particularităţile pe care trebuie să le aibă şirul dat pentru ca această metodă să se poată aplica: valorile elementelor trebuie să fie de tip ordinal (adică numere întregi); numărul elementelor mulţimii din care şirul primeşte valori trebuie să fie relativ mic, astfel încât, în funcţie de limbajul de programare în care vom implementa algoritmul să nu se depăşească memoria maximă alocată unui vector; valorile posibile în şirul de ordonat trebuie să fie din intervalul [x..y], unde y x + 1 va fi dimensiunea şirului de contoare.

7 Exemplu Presupunem că toate valorile din vectorul de sortat sunt numere naturale <=1000. Vom folosi un vector de frecvenţe f. Subalgoritm Ordonare_cu_Şir_de_Frecvenţe(n,a,x,y): 1: x = 0 2: y = : pentru i=x,y execută f[i] = 0 {iniţializează frecvenţele cu 0} sfp 3: 4: pentru i=1,n execută: f[a[i]] = f[a[i]] + 1 {măreşte frecvenţa fiecărui element din A} sfp 4: 5: k = 0 6: pentru i=x,y execută: 7: pentru j=1,f[i] execută: 8: k = k + 1 9: A[k] = i {pune înapoi în A fiecare element de câte ori este frecvenţa lui} sfp 7: sfp 6: Fie şirul (2, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 2). Valorile elementelor sunt numere naturale 0,1,2,3. Şirul de frecvenţe construit de algoritmul de mai sus va fi va fi f=(2, 2, 3, 1), f[0]=2, f[1]=2,f[2]=3,f[3]=1. Corespunzător ultimei secvenţe din algoritm se vor scrie două valori 0 consecutive în a, apoi 2 elemente egal cu 1, urmează trei elemente de 2, urmat de o valoare 3: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3. Deşi este un algoritm liniar, eficienţa lui trebuie bine studiată înainte de a-l aplica. Eficienta depinde atât de numărul de valori din vectorul iniţial, cât şi de valorile propriu-zise. Algoritmul depinde liniar de n, numărul de valori din vector, dar capacitatea de memorie necesară pentru vectorul de frecvenţe şi apoi numărul de paşi ai instrucţiunii 6: depinde de limitele în care se află valorile din şir, iar în funcţie de acestea, algoritmul poate deveni mai puţin eficient decât unul cu ordin ce complexitate Θ(n 2 ). Un exemplu în acest caz, dacă vrem să ordonăm 100 de numere din intervalul [1, ]. O ordonare Θ(n 2 ) ar face maxim de paşi, iar ordonarea cu frecvenţe face , ca să nu mai vorbim de risipa de memorie care se face în cazul folosirii vectorului de frecvenţe. 5.2 Sortarea prin numărarea apariţiilor şi a elementelor mai mici Acest algoritm poate fi privit ca o variantă a algoritmului anterior, obţinută prin numărarea şi a elementelor mai mici, nu doar a frecvenţei de apariţie. Sortarea prin numărare presupune că fiecare dintre cele n elemente ale datelor de intrare este un număr întreg între 1 şi k, pentru un număr întreg k oarecare. Când k = Θ(n), sortarea se executa în timpul Θ(n). Ideea de baza în sortarea prin numărare este de a determina numărul de elemente mai mici decât x, pentru fiecare element x din datele de intrare. Această informaţie poate fi utilizată pentru a poziţiona elementul x direct pe poziţia sa din tabloul de ieşire. De exemplu, dacă există 17 elemente mai mici decât x, atunci x va fi pe poziţia 18 în tabloul de ieşire. Această schemă trebuie uşor modificată în situaţia în care există mai multe elemente având aceeaşi valoare, întrucât nu dorim să le aşezăm pe toate în aceeaşi poziţie. În algoritmul pentru sortarea prin numărare presupunem că datele de intrare formează un tablou A[1..n], şi deci lungime [A] = n. Sunt necesare alte doua tablouri suplimentare, tabloul B [1..n], care cuprinde datele de ieşire sortate, şi tabloul C [1..k], pentru stocarea temporara în timpul lucrului. Subalgoritm Sortare-Prin-Numarare(A,B, k) 1: pentru i 1, k execută 2: C [i] 0 3: pentru j 1, lungime [A] execută 4: C [A[j]] C [A[j]] + 1 5: { C[i] conţine acum numărul elementelor egale cu i.} sfp 3: 6: pentru i 2, k execută 7: C [i] C [i] + C [i - 1]

8 8: { C[i] conţine numărul elementelor mai mici sau egale cu i.} sfp 6: 9: pentru j lungime [A], 1,-1 execută 10: B [C [A[j]]] A[j] 11: C [A[j]] C [A[j]] - 1 Algoritmul de sortare prin numărare este ilustrat în figura După iniţializarea din liniile1 2, în liniile 3 4 se contorizează fiecare element de intrare. Dacă valoarea unui element de intrare este i, se incrementează valoarea lui C [i]. Astfel, după liniile 3 4, C[i] păstrează un număr de elemente de intrare egal cu i pentru fiecare număr întreg i = 1,2,, k. În liniile 6 7 se determină, pentru fiecare i = 1, 2,, k, numărul elementelor de intrare mai mici sau egale decât i, aceasta se realizează prin păstrarea în C[k] a sumei primelor k elemente din tabloul iniţial. În final, în liniile 9 11, fiecare element A[j] se plasează pe poziţia sa corect determinată din tabloul de ieşire B, astfel încât acesta este ordonat. Dacă toate cele n elemente sunt distincte, la prima execuţie a liniei 9, pentru fiecare A[j], valoarea C[A[j]] este poziţia finală corectă a lui A[j] în tabloul de ieşire, întrucât există C [A[j]] elemente mai mici sau egale cu A[j]. Deoarece elementele ar putea să nu fie distincte, decrementăm valoarea C[A[j]] de fiecare dată când plasăm o valoare A[j] în tabloul B, aceasta face ca următorul element de intrare cu o valoare egală cu A[j], dacă există vreunul, să meargă în poziţia imediat dinaintea lui A[j] în tabloul de ieşire. Cât timp necesita sortarea prin numărare? Bucla pentru din liniile 1 2 necesită timpul Θ(k), bucla pentru din liniile 3 4 necesită timpul Θ(n), bucla pentru din liniile 6 7 necesită timpul Θ(k), iar bucla pentru din liniile 9 11 necesită timpul Θ(n). Deci timpul total este Θ(k + n). În practică se utilizează sortarea prin numărare când avem k = Θ(n), caz în care timpul necesar este Θ(n). O proprietate importantă a sortării prin numărare este stabilitatea: numerele cu aceeaşi valoare apar în tabloul de ieşire în aceeaşi ordine în care se găsesc în tabloul de intrare. Adică, legăturile dintre două numere sunt distruse de regula conform căreia oricare număr care apare primul în vectorul de intrare, va apărea primul şi în vectorul de ieşire. Desigur, stabilitatea este importanta numai când datele învecinate sunt deplasate împreuna cu elementul în curs de sortare. Figura Modul de funcţionare al algoritmului Sortare-Prin-Numarare pe un tablou A[1..8] de intrare, unde fiecare element din tabloul A este un număr întreg pozitiv nu mai mare decât k = 6. (a) Tabloul A şi tabloul auxiliar C după executarea liniei 4. (b) Tabloul C după executarea liniei 7. (c)-(e) Tabloul de ieşire B şi tabloul auxiliar C după unul, două, respectiv trei iteraţii ale buclei din liniile Doar elementele haşurate din tabloul B au fost completate. (f) Tabloul B sortat, furnizat la ieşire.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Subiectul III (30 de puncte) - Varianta 001

Subiectul III (30 de puncte) - Varianta 001 (30 de puncte) - Varianta 001 1. Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică cuvintele de câte patru litere din mulţimea A={a,b,c,d,e}, cuvinte care nu conţin două vocale alăturate.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Programarea Calculatoarelor

Programarea Calculatoarelor Programarea Calculatoarelor Modul 1: Rezolvarea algoritmică a problemelor Introducere în programare Algoritm Obiectele unui algoritm Date Constante Variabile Expresii Operaţii specifice unui algoritm şi

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date

Διαβάστε περισσότερα

Analiza complexităţii algoritmilor

Analiza complexităţii algoritmilor Capitolul 3 Analiza complexităţii algoritmilor Analiza complexităţii unui algoritm are ca scop estimarea volumului de resurse de calcul necesare pentru execuţia algoritmului. Prin resurse se înţelege:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Electronică STUDIUL FENOMENULUI DE REDRESARE FILTRE ELECTRICE DE NETEZIRE

Electronică STUDIUL FENOMENULUI DE REDRESARE FILTRE ELECTRICE DE NETEZIRE STDIL FENOMENLI DE REDRESARE FILTRE ELECTRICE DE NETEZIRE Energia electrică este transportată şi distribuită la consumatori sub formă de tensiune alternativă. În multe aplicaţii este însă necesară utilizarea

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA 4. OPERAŢII ARITMETICE IMPLEMENTĂRI

ANEXA 4. OPERAŢII ARITMETICE IMPLEMENTĂRI ANEXA 4. OPERAŢII ARITMETICE IMPLEMENTĂRI ADUNAREA ÎN BINAR: A + B Adunarea a două numere de câte N biţi va furniza un rezultat pe N+1 biţi. Figura1. Anexa4. Sumator binar complet Schema bloc a unui sumator

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor 4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

Dioda Zener şi stabilizatoare de tensiune continuă

Dioda Zener şi stabilizatoare de tensiune continuă Laborator 2 Dioda Zener şi stabilizatoare de tensiune continuă Se vor studia dioda Zener şi stabilizatoarele de tensiune continua cu diodă Zener şi cu diodă Zener si tranzistor serie. Pentru diodă se va

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor proprii

Calculul valorilor proprii Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi

Algoritmi genetici. 1.1 Generalităţi 1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluţionist şi sunt inspiraţi de teoria lui Darwin asupra evoluţiei. Idea calculului evoluţionist a fost introdusă în

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα