Μέρος 1. Προκαταρτικές µαθηµατικές έννοιες 1

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Φεβρουάριος 4 Μέρος. Προκαταρτικές µαθηµατικές έννοιες Για τις σηµειώσεις αυτές θεωρούµε πραγµατικές συναρτήσεις που ορίζονται σε κάποιο σύνολο Ω, πραγµατικών αριθµών. Το Ω θα είναι ένα διάστηµα [, b], < b, στην πραγµατική ευθεία, εκτός από περιπτώσεις που ίσως ορίσουµε κάτι διαφορετικό. Θεωρούµε γνωστές τις έννοιες του ορίου ακολουθίας πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών, του ορίου συνάρτησης σε ένα σηµείο, της συνέχειας και της παραγωγησιµότητας µιας συνάρτησης, σε ένα σηµείο ή σε ένα πεδίο ορισµού της. Για την παράγωγο υπενθυµίζεται ότι ορίζεται ως το όριο, αν υπάρχει, ( y) ( ) () lim y y και ότι το πηλίκο δεξιά έχει συγκεκριµένη γεωµετρική σηµασία που θα λαµβάνεται υπόψιν για τη διαισθητική προσέγγιση σε αρκετά ζητήµατα. Υπενθυµίζεται και ότι αν µια συνάρτηση είναι παραγωγήσιµη σε ένα σηµείο τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Επίσης αν η είναι συνεχής σε κλειστό πεπερασµένο διάστηµα [, b] υπάρχει το µέγιστο και το ελάχιστο της, δηλαδή υπάρχουν και στο [, b] τέτοια ώστε () mi ( ) και () m ( ) [,b] [,b] δηλαδή ( ) ( ) και ( ) ( ), για όλα τα [,b]... Ποιοι είναι οι χώροι συναρτήσεων C κ (Ω) µε κ ακέραιο ;Τι µέτρα χρησιµοποιούµε στους χώρους αυτούς (για να µετράµε µεγέθη των συναρτήσεων); C κ (Ω) µε κ και ακέραιο είναι ο χώρος των συναρτήσεων που είναι ορισµένες στο Ω και οι ίδιες και όλες οι παράγωγοί τους µέχρι τάξης κ υπάρχουν και είναι συνεχείς στο Ω. Για παράδειγµα, αν συνεχής τότε C (Ω), αν επιπλέον και συνεχής τότε C (Ω) κ.ο.κ. Αντίστοιχα, C ( Ω) είναι ο χώρος των συναρτήσεων που είναι ορισµένες στο Ω και των οποίων ( r ) υπάρχει η παράγωγος και είναι συνεχής στο Ω για κάθε φυσικό αριθµό r. Στον C (Ω) χρησιµοποιούµε συνήθως τρία µέτρα sup ( ) ( m ( ) αν υπάρχει το m), () d, Ω Ω Ω (Το Ευκλείδειο µέτρο. Απαντάται και ως () d L -orm, για διαφορετικούς χώρους Ω συναρτήσεων) Εφόσον σας είναι γνωστά, η ανάγνωση του κεφαλαίου µπορεί να παραληφθεί. Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

2 Εάν η δεν ήταν συνάρτηση αλλά διάνυσµα, ποια τα αντίστοιχα µέτρα; Ποια η γεωµετρική τους ερµηνεία στις ή διαστάσεις; Ένα άλλο κοινό µέτρο για τον C κ (Ω) είναι / (κ) [ () +... () ] d Ω που για κ δίνει το προηγούµενο. Σε διάφορες περιπτώσεις το µέτρο αυτό εκπροσωπεί τιµές φυσικών οντοτήτων, π.χ. τιµή ενέργειας ενός συστήµατος. Γιατί ένα µέτρο που ορίζεται στο C κ (Ω) αυτόµατα ορίζεται και ισχύει σε όλους τους χώρους C m (Ω) µε m>κ;.. Ποιο το Θεώρηµα της Ενδιάµεσης Τιµής (ΘΕΤ) για συνεχείς συναρτήσεις; Το ΘΕΤ ισχύει για συνεχείς συναρτήσεις, ορισµένες σε ένα διάστηµα και [, b]: Για οποιοδήποτε αριθµό µ µεταξύ δυο οποιωνδήποτε τιµών ( ) ( ) (εννοείται, [, b] () ξ µ. Γεωµετρική ερµηνεία; ) υπάρχει σηµείο ξ µεταξύ των, τέτοιο ώστε.. Πώς από το ΘΕΤ προκύπτει το παρακάτω Θεώρηµα της Μέσης Τιµής (ΘΜΤ) για αθροίσµατα; Έστω συνεχής στο [, b],,, σηµεία στο [, b] και w,, w πραγµατικοί αριθµοί οµόσηµοι (όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί) Τότε υπάρχει ξ στο [, b] τέτοιο ώστε i ( i ) w i ( ξ) w. Υποθέτουµε ότι οι w i είναι θετικοί (αντίστοιχη θα είναι η απόδειξη για αρνητικά w i ). Ας είναι, δύο σηµεία στο [, b] για τα οποία ( ) mi ( ) και ( ) m ( ) i i i i i (γιατί υπάρχουν τέτοια, ;). Τότε εύκολα βρίσκουµε ότι η τιµή ( ) i ( ) w i και i ( ) w i i i µ i w i βρίσκεται µεταξύ των τιµών. Το ζητούµενο προκύπτει τότε αµέσως από το ΘΕΤ, w i i εφαρµοζόµενο για τη συνεχή συνάρτηση F, όπου ( ) ( ) F..4. Ποιο το ΘΜΤ για ολοκληρώµατα; Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

3 Είναι το «ίδιο» µε αυτό για τα αθροίσµατα µόνο που τα αθροίσµατα γίνονται συνεχή, δηλαδή ολοκληρώµατα: Έστω συνεχής στο [, b] και w συνάρτηση ορισµένη στο [, b] που δεν αλλάζει σηµείο στο [, b] και ολοκληρώσιµη στο [, b]. Τότε υπάρχει ξ στο [, b] τέτοιο ώστε b b ( ) w( ) d ( ξ) w( )d. Εδώ αντί των w,, w έχουµε τα w() και επειδή τα δεν είναι πεπερασµένα σε αριθµό για να αθροίσουµε τις τιµές w() θέλουµε να ξέρουµε ότι το συνεχές άθροισµα b w ( ) d υπάρχει ως πεπερασµένος αριθµός. Για α αυτό υποθέτουµε ότι η w είναι ολοκληρώσιµη. Η απόδειξη είναι αντίστοιχη µε αυτή του ΘΜΤ για αθροίσµατα: Ας είναι, τέτοια ώστε ( ) υπάρχουν αυτά τα σηµεία;). Τότε mi ( ), ( ) [ b], b b b ( ) w( ) d ( ) w( ) d ( ) w( ) b b ( ) w( ) d ( ) w( )d [ b] ( ) m. (Γιατί Εφαρµόζουµε το ΘΕΤ για συνεχείς συναρτήσεις F µε F( ) : ( ) w( )d b και µ ( ) w( )d. Παρατηρείστε και την αντιστοιχία µε F, µ του.., d b.5. Βρείτε ένα παράδειγµα που αποδεικνύει ότι η υπόθεση πως η w δεν αλλάζει σηµείο στο [, b] είναι ουσιώδης για την ισχύ ΘΜΤ για ολοκληρώµατα..6. Ποιo το Θεώρηµα του Rolle, η απόδειξή του και η γεωµετρική του ερµηνεία; Αν η είναι συνεχής στο [, b] και παραγωγήσιµος στο (, b) και αν () (b) τότε υπάρχει ξ στο (, b) τέτοιο ώστε (ξ) Απόδειξη: Θεωρείστε τα σηµεία και που δίνουν αντίστοιχα το ελάχιστο και το µέγιστο της στο [, b]. Αν και τα δύο συµπίπτουν µε τα άκρα, τότε () για όλα τα, σταθερή συνάρτηση, άρα κάθε ξ στο [, b] ικανοποιεί (ξ). Αν δεν συµβαίνει αυτό, τότε τουλάχιστον ένα από τα, είναι στο (, b), έστω το. (Αντίστοιχη απόδειξη και για (,b) ). Αφού ( ) µέγιστο κι εσωτερικό στο διάστηµα ισχύει ( ) αυτό;) Γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος; (πως αποδεικνύεται.7. Πώς γενικεύεται το Θεώρηµα Rolle όταν () (b), όχι όµως κατ ανάγκην ; Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

4 Πάλι υπάρχει ξ (, b) τέτοιο ώστε (ξ). Απόδειξη: η F() () () ικανοποιεί τις υποθέσεις του αρχικού θεωρήµατος ενώ F () ().8. Ποιο το ΘΜΤ για παραγώγους και πως αποδεικνύεται από το Θεώρηµα του Rolle; Γεωµετρική ερµηνεία; Αν η είναι συνεχής στο [, b] και παραγωγίσιµος στο (, b) τότε υπάρχει ξ (, b) τέτοιο ώστε ( b) ( ) () ξ b Απόδειξη: Θεωρείστε κατάλληλη συνάρτηση F για την οποία η σχέση µε την F (ξ), που προκύπτει από την εφαρµογή του θεωρήµατος Rolle, συµπίπτει µε την παραπάνω σχέση..9. Ποιο το Θεµελιώδες Θεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού; Αν C [,b] τότε για κάθε c και [,b] () s ds ( ) () c Απόδειξη; c.. Ποιο το Θεώρηµα του Tylor (ΘΤ) µε υπόλοιπο ολοκλήρωµα; Απόδειξη; Έστω ότι C [,b] και ότι υπάρχει η Τότε για όλα τα [,b] ( ) p ( ) R ( ) ( + ) στο [, b]. Έστω c [,b]. όπου p + είναι το πολυώνυµο βαθµού (µε + συντελεστές) ( ( ) () ()( ) ( c) ) ( ) ( c) ( ) p + c + c c + c c!! και R + είναι το υπόλοιπο ολοκλήρωµα ( + R ( ) ( s) ) + ()ds s! c Σηµείωση: το c θεωρείται ως το «κέντρο» γύρω από το οποίο γίνεται η ανάπτυξη της (πεπερασµένης) σειράς που δίνει το p +. Απόδειξη: Σταθεροποιούµε τα και c και αναζητούµε µια συνάρτηση F τέτοια ώστε το Θεµελιώδες Θεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού να δίνει το ζητούµενο, δηλαδή η σχέση F( ) F( c) + F ( s)ds c να συµπίπτει µε την ( + ( ) p ( ) ( s) ) + ()ds s. c! Η ζητούµενη F ορίζεται από τη σχέση: Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 4/99

5 F () s () s + ()( s s) +! ( + ( s) ) ( ) ( s) ( ) s ! s ( + Ικανοποιεί τις σχέσεις F ( ) ( ), F( c) p ( ) και F () c ( s) ) () s!.. Ποιο το ΘΤ µε υπόλοιπο παραγώγου; Απόδειξη; Το θεώρηµα αυτό είναι ίδιο µε το προηγούµενο µε διαφορετική εµφάνιση του ίδιου υπολοίπου δηλαδή ( ) p + ( ) + R + ( ) όπου p + () και R + () όπως και πριν µόνο που τώρα το R + γράφεται στη µορφή ( + ) + ( ) ( ξ)( c) R +, ( + )! όπου το ξ κείται ανάµεσα στα και c. Για να γίνει αυτό δυνατό υποθέτουµε ότι τώρα η (+) όχι µόνο υπάρχει αλλά είναι και συνεχής. Γιατί τότε, από το ΘΜΤ για ολοκληρώµατα, µε w( ) ( s) (που δεν αλλάζει σηµείο αφού c s ) βρίσκουµε ότι υπάρχει ξ ανάµεσα στα c και για το οποίο R + ( )! ( s) ( ) ( () ) + + s ds () ξ ( s) c!! c ( + ) () ξ Σηµείωση: Εάν C [ α, b] ( s) + + c! ( + ) + ds ()( ) + ξ c, δηλαδή έχει όλες τις παραγώγους (αυτές θα είναι συνεχείς), λέµε και ότι η είναι αναλυτική. Η ορολογία αυτή πάντως C Ω όπου Ω είναι εφαρµόζεται κυρίως στις µιγαδικές συναρτήσεις για ( ) πεδίο στο µιγαδικό επίπεδο. Εάν πάντως C [ α, b] έχουµε και το αντίστοιχο θεώρηµα µε την απειροσειρά (άπειρη δυναµοσειρά) Tylor ( ) ( ) ( c) ( ) ( c) c... ( c) c !! χωρίς υπόλοιπο. Αν το κέντρο είναι το µηδέν (c ) έχουµε δυνάµεις του και αυτή καλείται σειρά McLuri (και πάλι απαντάται κυρίως στη µιγαδική ανάλυση). Αν αποκόψουµε τη δυναµοσειρά και κρατήσουµε ένα πεπερασµένο αριθµό όρων, έστω + όρους, τότε χάνεται η ισότητα και έχουµε ( ) p + ( ) το πολυώνυµο βαθµού του ΘΤ µε υπόλοιπο ολοκλήρωµα ή µε υπόλοιπο παραγώγου. Το σφάλµα προσέγγισης είναι προφανώς ένα µέγεθος (µέτρο) της ποσότητας (συνάρτησης του ) ( ) p + ( ) R + ( ). Το υπόλοιπο R +, σε οποιαδήποτε µορφή του, καλείται και σφάλµα αποκοπής. Όταν προσεγγίζουµε την, όπως εδώ µε το προαναφερόµενο «πολυώνυµο Tylor» p +, µας ενδιαφέρει να εκτιµήσουµε πόσο µεγάλο µπορεί να γίνει αυτό το σφάλµα, δηλαδή να επιτύχουµε άνω φράγµα για τις τιµές ( ) ( ) p ( ) R + + που να ισχύει για κάθε, άρα και για το Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 5/99

6 m R [ α, b] + ( ) επόµενα θέµατα. δηλαδή για το µέτρο R + p +. Αυτό γίνεται σε.. Έστω ( ) ; Γράψτε το ΘΤ µε κέντρο c και µε υπόλοιπο παραγώγου και µε όσο πιο πολλούς όρους µπορείτε. Εδώ µπορούµε να βρούµε ακριβώς το ξ σαν συνάρτηση του, ξ; Επαναλάβατε τα προηγούµενα µε κέντρο c και µε υπόλοιπο ολοκλήρωµα. Τι συµπεραίνετε για τις υποθέσεις συνέχειας παραγώγου της, όπως έχουν διατυπωθεί στα προηγούµενα; κ. Ποιος ο µεγαλύτερος κ για τον οποίο C [,].. Ορίζουµε ότι το r είναι ρίζα πολλαπλότητας κ για την όταν ικανοποιούνται οι κ σχέσεις (r),..., (κ-) (s). Εφαρµόζοντας και για την, κ.λ.π. στη θέση της, βρίσκουµε αµέσως ότι αν r είναι ρίζα πολλαπλότητας κ για την, τότε είναι ρίζα πολλαπλότητας κ- για την, κ- για την κ.λ.π. Το αρχικό θεώρηµα Rolle (βλ..6) δίνει αµέσως ότι ανάµεσα σε δύο ρίζες της υπάρχει µια ρίζα ε της. Βλέπουµε τώρα ότι αυτό ισχύει και αν οι δυο ρίζες της δεν είναι διαφορετικές αλλά συµπίπτουν σε µια διπλή ρίζα b r, αφού τότε ανάµεσά τους υπάρχει µόνο το ξ r και ισχύει (r). Βάσει αυτών δείξτε ότι: Μετρώντας και πολλαπλότητες, ένα πολυώνυµο βαθµού δεν µπορεί να έχει παραπάνω από ρίζες. Απόδειξη: Έστω p το πολυώνυµο, pα +α α, α. Ανάµεσα σε δύο ρίζες του p (ας µην είναι διαφορετικές) υπάρχει µια τρίτη της παραγώγου p, ανάµεσα σε δύο ρίζες του p υπάρχει µια ρίζα του p κ.ο.κ. Καταλήγουµε ότι αν το p είχε πάνω από ρίζες, η p () που είναι σταθερή και ίση µε!α θα έχει τουλάχιστον µια ρίζα. Αλλά α..4. Αποδείξτε ότι αν r είναι ρίζα πολλαπλότητας κ ενός πολυωνύµου p βαθµού, τότε p()(-r) κ r(), όπου r() είναι πολυώνυµο βαθµού προφανώς -κ. Προφανώς κ γιατί δεν µπορούν να υπάρχουν πάνω από ρίζες (βλ..). Απόδειξη: Γράφουµε το p στη µορφή p()α +α (-r)+... +α (-r) Αφού p(r) ισχύει α, άρα p(r)(-r) q () όπου q ()α α (-r) -. Αν κ τελειώσαµε. Αν κ τότε p (r), οπότε από p ()q ()+(-r)q (), βρίσκουµε q (r), άρα q ()(-r) q (), άρα p()(-r) q (). Αν κ τελειώσαµε, διαφορετικά συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο και η διαδικασία ολοκληρώνεται µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων..5. Αν στην.4 αντί πολυωνύµου είχαµε συνάρτηση µε αρκετές παραγώγους συνεχείς, διατυπώστε και αποδείξτε ανάλογη σχέση δηλαδή ότι F()(-r) κ q() Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 6/99

7 όπου όµως ποιες είναι οι απαιτήσεις από την q (ή αντίστοιχα από την (κ) ;). Μπορείτε να εφαρµόσετε το θεώρηµα του Tylor. Εξετάστε και το παράδειγµα στο...6. Πότε λέµε ότι στοιχεία ενός γραµµικού (διανυσµατικού) χώρου Χ είναι γραµµικώς ανεξάρτητα; Ποιος είναι ο υποχώρος S που παράγουν τα αυτά στοιχεία; Τι διάσταση έχει; Γεωµετρική ερµηνεία για,, ; Γιατί όταν µιλάµε για ένα υποχώρο που παράγεται από κάποια στοιχεία θέλουµε αυτά τα στοιχεία να είναι ανεξάρτητα;.7. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις οι συναρτήσεις,,, 4, είναι γραµµικώς ανεξάρτητες; α) (), ()(-5), () +4, 4 () β) ()5, (), ()(-4), 4 () +6+ γ) ()7, ()-, () (-), 4 () (-) Ποια η διάσταση του χώρου που παράγεται από τις,,, 4 σε κάθε περίπτωση; Ποια είναι µια βάση του χώρου σε κάθε περίπτωση;.8. Στο θέµα. γνωρίσαµε µερικούς γραµµικούς χώρους συναρτήσεων, τους C κ (Ω), που είναι εφοδιασµένοι µε µέτρα όπως τα,,. Το πιο γνωστό παράδειγµα είναι βέβαια οι πραγµατικοί ή µιγαδικοί αριθµοί µε µέτρο την απόλυτη τιµή των αριθµών, το επίπεδο και ο τρισδιάστατος χώρος µε το Ευκλείδειο µέτρο των διανυσµάτων (αν π.χ. v[,, ] Τ τότε v ή v + + ) και, γενικότερα, οι χώροι διανυσµάτων διάστασης µε αντίστοιχα µέτρα όπως οι C κ (Ω). Μετρικός χώρος είναι ένας γραµµικός χώρος εξοπλισµένος µε µέτρο. Αλλά πως ορίζεται το µέτρο; ηλαδή ποιες ιδιότητες πρέπει να έχει η ποσότητα v, όπου v στοιχείο του γραµµικού χώρου Χ, ώστε να είναι ένα µέτρο; Τι καλείται «απόσταση» µεταξύ δύο στοιχείων του Χ και τι ιδιότητες έχει που προκύπτουν από τις ιδιότητες του αντίστοιχου µέτρου;.9. Πως ορίζεται το όριο ακολουθίας σε ένα µετρικό χώρο; Πότε ένας µετρικός χώρος είναι πλήρης; Ο χώρος των ρητών αριθµών µε µέτρο την απόλυτη τιµή είναι πλήρης; Ο χώρος των πραγµατικών;.. Πως ορίζεται το όριο συναρτήσεων σε ένα κοινό σηµείο του πεδίου ορισµού τους; Πως ορίζεται η οµαλή σύγκλιση συναρτήσεων σε ένα κοινό πεδίο ορισµού τους;.. Πότε ένας χώρος είναι «πυκνός» µέσα σε ένα µετρικό χώρο; Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 7/99

8 .. Τι λέει το θεώρηµα του Weirestrss για την προσέγγιση συναρτήσεων από πολυώνυµα; Ο χώρος όλων των πολυωνύµων οποιουδήποτε βαθµού είναι πυκνός µέσα στον C[, b]; Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 8/99

9 Μέρος. Προσέγγιση συναρτήσεων και παρεµβολή.. Το πρόβληµα: ίνονται πληροφορίες για µια άγνωστη συνάρτηση. α) Να βρεθεί µια συνάρτηση προσέγγιση για την και β) Να δοθεί εκτίµηση για το σφάλµα προσέγγισης, δηλαδή να βρεθεί άνω φράγµα B τέτοιο ώστε - B για συγκεκριµένο (δοθέν) µέτρο. Υπάρχουν περιπτώσεις που το ζητούµενο είναι µια άλλη πληροφορία για την b, όπως η ( ), το ( )d κ.α. Στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιούµε την στη θέση της, δηλαδή προσεγγίζουµε ( ) ( ) ( ) d ( ) b b, d κ.ο.κ. Τότε χρειάζεται άνω φράγµα για τα αντίστοιχα b σφάλµατα, δηλαδή για τα ( ) ( ), ( ) d b ( ) d κ.λ.π. Γενικός Αλγόριθµος, για τη λύση του µέρους (α) του προβλήµατος, δηλαδή για την εύρεση της. α) Εκφράζουµε την σαν συνάρτηση αγνώστων παραµέτρων. β) Χρησιµοποιούµε τις δοθείσες σχέσεις που δίνουν εξισώσεις για τις άγνωστες παραµέτρους. γ) Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων, βρίσκοντας έτσι τις παραµέτρους, άρα την. Ειδικότερα: Στο Βήµα µια συνήθης επιλογή είναι να αναζητηθεί η στο χώρο S των συναρτήσεων που παράγεται από τις προεπιλεγµένες (γνωστές µας) συναρτήσεις B,, B, δηλαδή να εκφρασθεί η ως γραµµικός συνδυασµός των B i. ( ) B( ) B ( ) όπου B i γνωστές συναρτήσεις και α i άγνωστες παράµετροι,,, d π. Εδώ Παράδειγµα: ίνεται ( ) ( ) ( ) ( ) εποµένως 4 και θα αναζητηθεί µια 4 που θα περιέχει 4 άγνωστες παραµέτρους. Να βρεθεί προσέγγιση για την τιµή ( ) για δύο επιλογές της 4 : () 4( ) α + α + α + α4, δηλαδή B, B, B, B 4, η απλοϊκή έκφραση του πολυωνύµου µε 4 συντελεστές / βαθµού και () 4 ( ) αµ ( kππ) + α συν( m π ), όπου k, m ακέραιοι. Απάντηση: Στην πρώτη επιλογή 8 4() π π 4. που δίνει ( ) ( ) Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 9/99

10 Στη δεύτερη επιλογή 4 () ηµ ( π) που δίνει π ( ) π Το φυσιολογικό ερώτηµα είναι ποια από τις δύο προσεγγίσεις να προτιµηθεί. Αυτό για να επιλυθεί οδηγεί στην απαίτηση της εκτίµησης του σφάλµατος της προσέγγισης που είναι το προαναφερόµενο µέρος (β) του προβλήµατος... Ειδική περίπτωση του προβλήµατος το πρόβληµα της παρεµβολής µε πολυώνυµα. Στην περίπτωση αυτή οι πληροφορίες είναι τιµές της, ίσως και των παραγώγων της σε ένα σύνολο σηµείων. εχόµαστε ότι δεν παραλείπονται παράγωγοι, π.χ. αν δίνεται η () θα δίνονται και οι (), (). ιακρίνονται δυο κύριες περιπτώσεις α) όταν έχουµε διαφορετικά σηµεία, οπότε οι πληροφορίες είναι οι τιµές τις στα σηµεία αυτά. Αυτή είναι η περίπτωση της «απλής παρεµβολής». β) όταν δίνονται και τιµές παραγώγων σε σηµεία, οπότε για να έχουµε σύνολο πληροφοριών τα διαφορετικά σηµεία δεν είναι αλλά λιγότερα. Τα θεωρούµε µετρώντας πολλαπλότητες. Για παράδειγµα, αν οι 5 πληροφορίες είναι οι τιµές ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) έχουµε τα 5 σηµεία τ, τ, τ, τ 4, τ 5. Αυτή είναι γνωστή και ως «παρεµβολή φιλήµατος» (osculltory iterpoltio). Όταν τα σηµεία είναι όλα διπλά, δηλαδή δίνονται οι τιµές (τ ) και (τ ) σε όλα τα σηµεία τ i, τότε άρτιος, το πλήθος των διαφορετικών σηµείων είναι και το πολυώνυµο προσέγγισης p που προκύπτει (βαθµού - ) θα έχει βαθµό περιττό. Η περίπτωση αυτή καλείται και «παρεµβολή Hermite». α) ίνονται ( ) (). Να βρεθεί το πολυώνυµο που παρεµβάλλει την στα αναφερόµενα σηµεία (στα τ, τ ) και µια προσέγγιση της τιµής ( ) για οποιοδήποτε σταθερό στο [, ]. Γεωµετρική ερµηνεία;. Αν είναι. Ποιο το πολυώνυµο της παρεµβολής; Απάντηση: p 4( ) γ) ίνονται τα σηµεία,,,,, και οι αντίστοιχες τιµές 7,,,,,. (Εποµένως εννοείται ότι ( ) 7, ( ) -,, (), (), () ). Να βρεθεί το πολυώνυµο της παρεµβολής. β) ίνονται τα σηµεία,,, οι τιµές των ( ), ( ), ( ), ( ) αυτές ( ), ( ) 7, ( ) -6, ( ) Απάντηση: Πρώτα χρησιµοποιήστε την απλοϊκή έκφραση, δηλαδή p α + α α και βρείτε (µε κόπο) 5 ( ) ( ) p6 +. Συντοµότερος τρόπος: αφού τ είναι τριπλή ρίζα, σύµφωνα µε το.5 p q όπου q έχει βαθµό. Άρα αναζητάµε ισχύει ( ) ( ) ( ) 6 Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

11 ( ) ( α + β + γ)( ) µε τις συνθήκες ( ),p ( ),p ( ) p6 6 p 6 6 ήδη να πληρούνται. Οι τρεις άγνωστοι α, β, γ θα βρεθούν από τις υπόλοιπες τρεις συνθήκες εύκολα, δίνοντας τελικά p ( ) ( )( ) Αυτό p 6 είναι το ίδιο µε το προηγούµενο; δ) Αν όλα τα σηµεία συµπίπτουν σε ένα, δηλαδή τ... τ c τι πληροφορίες δίνονται και ποιο είναι το p ;.. εν έχουµε αποδείξει ότι το πολυώνυµο παρεµβολής πάντα υπάρχει, αλλά αν υπάρχει, να δειχθεί ότι ανεξάρτητα από την µορφή στην οποία το αναζητούµε και το βρίσκουµε, το πολυώνυµο αυτό είναι το ίδιο (ένα και µοναδικό). Απόδειξη: ας είναι τ,..., τ τα σηµεία. Μπορεί και κάποια ή όλα να συµπίπτουν. Ας είναι p και q δυο πολυώνυµα που ικανοποιούν τις ίδιες συνθήκες παρεµβολής. Και τα δύο θα έχουν βαθµό το πολύ -. Έστω r ( ) p ( ) q ( ). Σε οποιοδήποτε τ i, αφού και τα δύο πολυώνυµα ικανοποιούν τις ίδιες συνθήκες παρεµβολής, ισχύει p ( τ i ) ( τ i ) και q ( τ i ) ( τ i ), άρα p ( τ i ) q ( τ i ), άρα r ( τi ). Για πολλαπλά σηµεία θα ( κ έχουµε και ) ( κ ( ) ) κ κ p τi ( τi ) q ( τi ), δηλαδή r ( τi ). Άρα το r έχει ρίζες, µετρώντας πολλαπλότητες, ακριβώς στα σηµεία τ,..., τ. Σύµφωνα µε το. αυτό δεν είναι δυνατόν γιατί το r είναι βαθµού το πολύ -. Άρα «εκ ταυτότητος» r ( ), δηλαδή p ( ) q ( ) για όλα τα..4. Το πολυώνυµο Tylor στη σχέση ( ) p ( ) R ( ) + + +, λύνει το πρόβληµα της πολλαπλής παρεµβολής στο κέντρο c για + σηµεία, δηλαδή ικανοποιεί τις + σχέσεις ( ) ( p () c ( c),p ( c) ( c),...,p ( c) ) ( c). Πως θα βρίσκαµε αυτό το πολυώνυµο αν δεν το γνωρίζαµε ήδη από το ΘΤ µε υπόλοιπο; Μπορούµε να το εκφράσουµε συναρτήσει των + συντελεστών του (που µας είναι άγνωστοι), να εφαρµόσουµε τις παραπάνω απαιτούµενες + σχέσεις, να λύσουµε το σύστηµα των + εξισώσεων που θα προκύψει ως προς τους + αγνώστους συντελεστές και να βρούµε έτσι πολυώνυµο. Αν εκφράσουµε το πολυώνυµο µε το συνήθη απλοϊκό τρόπο, το παράδειγµα αυτό µας δίνει µια «πρώτη γεύση» για τη σηµασία της επιλογής των Β i () στον Γενικό Αλγόριθµο δηλαδή ( ) p + α + α α + οι (+) εξισώσεις, που θα βρούµε από την εφαρµογή των προαναφερόµενων σχέσεων, θα είναι πολύπλοκες και αδύνατον να λυθούν «µε το χέρι». Αν όµως το αναζητήσουµε στη µορφή ( ) α + α ( - c) +... α ( - c) p αφού έτσι µπορεί να γραφτεί κάθε πολυώνυµο βαθµού, τότε οι παραπάνω σχέσεις, εφαρµοζόµενες µία µία, δίνουν εύκολα τις απαντήσεις ( α ( ) ( ) ) c,α c,...,α ( c)! δηλαδή το γνωστό µας p +. Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

12 Άρα γενικώς θα αναζητούµε την εκάστοτε προσέγγιση µας (πολυώνυµο ή οτιδήποτε άλλο) στη µορφή κ ( ) αβ( ) α κβκ ( ), µε κ αγνώστους α,..., α κ (εάν µας δίνουν κ σχέσεις) και µε τις Β i γνωστές µας και της επιλογής µας, αλλά τέτοια ώστε να προκύπτει τουλάχιστον ένα «καλό» σύστηµα που θα λύνεται εύκολα ως προς α,..., α κ. Στην περίπτωση της πολλαπλής παρεµβολής, που λύνεται µε το πολυώνυµο Tylor, πώς µπορούµε να απαλλαγούµε από το άγνωστο σηµείο ξ και να βρούµε ένα καλό άνω φράγµα για το σφάλµα προσέγγισης; Απάντηση: Από το θεώρηµα του Tylor µε υπόλοιπο παραγώγου ότι ισχύει για την απόλυτη τιµή του σφάλµατος ( ( ) ( ) ( ) ) ()( ) ( ) + + p + R + ξ c, +! από το.. Αν τα και c κείνται σε γνωστό διάστηµα [, b], έχουµε ( + ( ) ( ) ) + ( () ) ()( ) ( ) ( ) + p + ξ c ξ b, +! +! µε ξ ανάµεσα στα και c, άρα στο [, b]. Αν µπορούµε να βρούµε ένα φράγµα για την απόλυτη τιµή της παραγώγου (+) σε όλο το [, b], δηλαδή αν γνωρίζαµε ένα Β + (το µικρότερο δυνατό Β + που µπορούµε να βρούµε) τέτοιο ώστε ( + ) ( ) B+ για κάθε [,b] ή ισοδυνάµως, ( + ) + m B, τότε βέβαια [,b] ( ) ( ) + ( + ) () ξ B +, οπότε και ( ) ( ) ( ) ( ) + p + B+ b, [,b] +! Αφού αυτό ισχύει για κάθε στο [, b] ισχύει και για το µέγιστο (αν υπάρχει), άρα και ( ) ( ) + - p + B+ b. +! Ο κανόνας λοιπόν είναι ότι: το µέγιστο σφάλµα για την προσέγγιση µε πολυώνυµο Tylor µε + συντελεστές (βαθµού ), είναι φραγµένο από το ( +) µέγιστο της στο διάστηµα ενδιαφέροντος (ή όποιο άλλο φράγµα για την ποσότητα αυτή στο ίδιο διάστηµα), επί το µήκος του διαστήµατος στη δύναµη (+) δια (+)!. Παράδειγµα : Έστω [, b], και ( ) ηµ ( π). ( + Τότε, αφού ) + ( ) π ( ± ηµπ) ή π + ( ± συνπ), ισχύει ( + ) + + () ξ π ± π, για όλα τα ξ,. π Άρα m ( ) + p + ( ) - p +. + [, ] +! ( ) Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

13 ( ) ( ) ( ) 4 Παράδειγµα : Έστω ότι. Να βρεθεί άνω φράγµα για το σφάλµα προσέγγισης µε πολυώνυµο Tylor βαθµού στο διάστηµα [.5,.], µε κέντρο c στο διάστηµα αυτό. Απάντηση: Αφού [(-) -4] (-) όταν, έχουµε ακρότατο (στη περίπτωσή µας ελάχιστο) στο σηµείο, για τη συνάρτηση δεξιά, µε τιµή ( ) 4 4. Τα άκρα.5 και. δεν δίνουν µεγαλύτερη απόλυτη ( τιµή της. Άρα ) ( ) 4 B και p 4.!.5. Γνωρίζουµε (και µε γεωµετρική ερµηνεία) τρεις προσεγγίσεις για την τιµή (): «εµπρός διαφορά» ή «διαφορά προς τα εµπρός» ( ) ( + ) ( ), >, «πίσω διαφορά» ή «διαφορά προς τα πίσω» ( ) ( ) - ( ), >, ( + ) ( - ) «κεντρική διαφορά» ( ), >, Αφού δεν µεροληπτεί υπέρ της µίας ή της άλλης κατεύθυνσης, η κεντρική διαφορά αναµένεται να έχει καλύτερο σφάλµα. α) Να βρεθεί άνω φράγµα για το µέγιστο σφάλµα, µε χρήση του θεωρήµατος Tylor, και για τις τρεις περιπτώσεις. β) Για τι βαθµού πολυώνυµα στη θέση της είναι οι προσεγγίσεις αυτές ακριβείς; γ) Πως µπορούν να βρεθούν (αν ήταν άγνωστες) οι παραπάνω τρεις προσεγγίσεις; Απαντήσεις Σφάλµα για την εµπρός διαφορά: Με κέντρο το το θεώρηµα του Tylor δίνει ( ) ( ) + ( ) [( + ) ] + ( ξ) [( + ) ] +, όπου ξ µεταξύ και +. Οδηγούµενοι από τον τύπο της εµπρός διαφοράς, βρίσκουµε από τη σχέση αυτή ( + ) ( ) ( ) ( ξ)( ) Άρα για την απόλυτη τιµή του σφάλµατος προσέγγισης βρίσκουµε ( + ) ( ) ( ) () ξ B ( ) O( ),, +, δηλαδή όπου Β είναι ένα άνω φράγµα για την στο διάστηµα [ ] ( ) B, για όλα τα στο διάστηµα αυτό. Αφού η ανισότητα ισχύει για όλα τα ισχύει και για το µέγιστο του σφάλµατος σε κάποιο διάστηµα ενδιαφέροντος. Όµοια απάντηση για την πίσω διαφορά βάσει της σχέσης η +, ( ) ( ) ( )[ ( )] ( )[ ( )] Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

14 όπου η µεταξύ - και. Παρατηρούµε ότι η σχέση αυτή είναι ίδια µε την προηγούµενη µε στη θέση του. Έχουµε και εδώ σφάλµα Ο( ). Μια µατιά στον τύπο της κεντρικής διαφοράς µας οδηγεί στο σχηµατισµό της διαφοράς ( + ) - ( ) άρα σε δύο αναπτύγµατα κατά Tylor, όπως πριν, µόνο που λόγω της διαγραφής κάποιων όρων χρησιµοποιούµε πολυώνυµα Tylor µε ένα παραπάνω όρο. Συγκεκριµένα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ξ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( η) ( ) +, 6 όπου το ξ ανήκει στο [, + ] και το η ανήκει στο [, ]. Αφαιρούµε για να σχηµατίσουµε τον αριθµητή της κεντρικής διαφοράς ( + ) ( ) ( ) + [ () ξ + () η ]( ) 6 ιαιρούµε µε και µεταφέρουµε την () αριστερά για να σχηµατίσουµε το σφάλµα ( + ) ( ) ( ) [ () ξ + () η ]( ). 6 Άρα ( + ) ( ) ( ) [ () ξ + () η ]( ) 6 { () ξ + ( η) }( ) 6 + { B }( ) ( ) ( ) + B B O 6 όπου B και B είναι φράγµατα για την στα δύο αντίστοιχα διαστήµατα + [, ] και [, ] B { B, + } m B + και B φράγµα για την στα [ -, + ] ή. Θεωρούµε ότι <. Παρατηρούµε ότι το σφάλµα της κεντρικής διαφοράς είναι καλύτερο κατά µια τάξη µεγέθους. Τι σηµαίνει πρακτικά αυτό; β) Πώς θα βρίσκαµε την προσέγγιση στην ( ) σε τρεις περιπτώσεις αν µας έδιναν τις τιµές ( ), ( + ) αν µας έδιναν τις τιµές ( ), ( ) αν µας έδιναν τις τιµές ( ), ( + ) µέσω παρεµβολής; Απάντηση. Και στις τρεις περιπτώσεις έχουµε δύο πληροφορίες, δύο τιµές της. Άρα, σύµφωνα και µε το., και αναζητούµε το πολυώνυµο p, βαθµού, που παρεµβάλλει τη στα δύο σηµεία, + ή,, ή -, +, ανάλογα µε την περίπτωση. Στη συνέχεια παραγωγίζουµε το p και προσεγγίζουµε µε τη σχέση ( ) p ( ) βρίσκοντας τις γνωστές µας προσεγγίσεις. Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 4/99

15 .6. Από τον τύπο για το σφάλµα στις τρεις περιπτώσεις προκύπτει ότι το σφάλµα θα ήταν µηδέν (η προσέγγιση ακριβής) αν ( ) για όλα τα στο διάστηµα ενδιαφέροντος, για τις προσεγγίσεις µε την εµπρός ή πίσω διαφορά και αν ( ) για την προσέγγιση µε την κεντρική διαφορά. Αυτό ισχύει όταν η είναι πολυώνυµο βαθµού (για τις εµπρός και πίσω διαφορές) και πολυώνυµο βαθµού για την κεντρική διαφορά. Πώς αλλιώς µπορείτε να βρείτε τους ίδιους τύπους προσέγγισης; Απάντηση: θεωρούµε την προσέγγιση ( ) α ( ) + β ( ) ( ) όπου, + (εµπρός διαφορά),, (πίσω διαφορά) και, + (κεντρική διαφορά). Απαιτούµε η προσέγγιση αυτή να είναι ακριβής για πολυώνυµα όσο το δυνατόν µεγαλύτερου βαθµού. Έτσι, π.χ. για την κεντρική διαφορά: η απάντηση ακρίβειας για () δίνει α + β α+ β ενώ για () δίνει α( ) + β( + ) ( α+ β) + ( )( α β) Από τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκουµε β α και ( ) α ή α ( ), β ( ) οπότε η ( ) δίνει τη γνωστή προσέγγιση της κεντρικής διαφοράς. Στη συνέχεια παρατηρούµε ότι η προσέγγιση αυτή είναι ακριβής και για ( ), κάτι που δεν ισχύει για τις άλλες δύο (εµπρός-πίσω) διαφορές..7. Βάσει των προηγούµενων ποιες από τις παρακάτω προσεγγίσεις θα απορρίπτατε µε την πρώτη µατιά ως απαράδεκτες και γιατί; ( ) ( ) 5 ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) + ( + ) + ( + ) ( ).8. Τρία είναι τα κύρια ζητούµενα στην επιλογή του B i στον Γενικό Αλγόριθµο του.. (Ζ) Οι B i να δίνουν ένα «καλό σύστηµα» στο Βήµα, δηλαδή που να λύνεται γρήγορα στον υπολογιστή (Ζ) Οι B i να έχουν κατάλληλη µορφή ώστε η αύξηση του αριθµού των δοθεισών πληροφοριών (η αύξηση του µεγέθους του προβλήµατος) να δίνει εύκολα τις επιπλέον B i που χρειάζονται και να δίνει στο Βήµα εύκολα τη νέα λύση (µε το νέο µεγαλύτερο ), χωρίς να µένει αναξιοποίητος ο κόπος που είχε καταβληθεί για την εύρεση της προηγούµενης. (Ζ) Η επαναλαµβανόµενη αύξηση του να παράγει (θεωρητικά) µια ακολουθία προσεγγίσεων, όπως. Ζητούµενο είναι οι B i να Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 5/99

16 είναι τέτοιες ώστε η προσέγγιση να πλησιάζει την όσο γίνεται πιο γρήγορα, δηλαδή lim ( ) όσο γίνεται πιο γρήγορα. Με αυτό εννοούµε ότι θα έχει βρεθεί ένα άνω φράγµα Q για το σφάλµα, µετρηµένο µε κάποιο µέτρο του χώρου, το όποιο τουλάχιστον τείνει στο µηδέν µε το. ηλαδή για όλα τα, εκτός ίσως από κάποιες τιµές που δεν υπερβαίνουν ένα πεπερασµένο φυσικό αριθµό να έχουµε Q και lim Q. 6 Αν π.χ. σε µια περίπτωση Q 7 και σε άλλη Q τότε έχουµε αντίστοιχα Q O( ), Q O( ) και στη δεύτερη περίπτωση ταχύτερη σύγκλιση στο µηδέν (ταχύτερα σηµαίνει ότι για κάθε προεπιλεγµένη και οσοδήποτε µικρή τιµή, το σφάλµα γίνεται µικρότερο της τιµής αυτής για µικρότερο απ ότι στην πιο αργή περίπτωση). Ως προς το συµβολισµό, πολύ συχνή είναι η περίπτωση χρήσης ποσοτήτων όπως, h κ.λ.π. που είναι της τάξης (ή γενικότερα, h όταν ) οπότε στη θέση του Q έχουµε φράγµατα Ο( ), Ο( ), κ.ο.κ. βλ. και.5. Ανεξάρτητα από τον συµβολισµό και την ταχύτητα, για να υπάρχει ελπίδα ότι, πρέπει α) η επιλογή των B i να είναι τέτοια ώστε να είναι αυτές γραµµικώς ανεξάρτητες (γιατί;), β) ο χώρος S (πεπερασµένης διάστασης ) που παράγουν να είναι υποχώρος ενός χώρου Χ στον οποίο ξέρουµε ότι «κρύβεται» η και στο όριο, όπως, ο S να γίνεται «πυκνός» µέσα στον Χ. Γνωρίζουµε (βλ..) ότι ο χώρος των πολυωνύµων βαθµού - (διάστασης ) γίνεται πυκνός στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων C [,b], άρα η επιλογή πολυωνύµων αυξανόµενου βαθµού ικανοποιεί και το Ζ. Έχουµε µάλιστα και παραδείγµατα για τον τρόπο ανεύρεσης του σφάλµατος Q (βλ..5 κ.α.), ενώ και άλλα τέτοια παραδείγµατα θα ακολουθήσουν. Επίσης η αύξηση του δίνει εύκολα τις επιπλέον B i (π.χ. τις +, +, ) αλλά χρειάζεται προσοχή ώστε να µη χαθεί η προηγούµενη προσπάθεια (Ζ) και το σύστηµα να είναι καλό (Ζ). Έτσι τα πολυώνυµα φαίνεται να ικανοποιούν τα ζητούµενα, αν και παρουσιάζουν «άσχηµη συµπεριφορά» σε σηµαντικά ζητήµατα όπως θα δούµε αργότερα (βλ..). Επιλέγουµε λοιπόν (κατ αρχήν) πολυώνυµα p, µε συντελεστές, βαθµού -, (οπότε S χώρος διάστασης και το σύστηµα θα έχει αγνώστους). Ας θεωρήσουµε το πρόβληµα της απλής παρεµβολής, όπου δηλαδή τ i,..., τ είναι όλα διαφορετικά και δίνονται οι τιµές της στα σηµεία αυτά. Ζητείται το p. Στη γενική περίπτωση, πριν συγκεκριµενοποιήσουµε τις B i, ποιο είναι το σύστηµα που παράγεται στο Βήµα, συναρτήσει των B i και των δοθεισών τιµών τις και των σηµείων τ i ; Γιατί ο συντελεστής πίνακας είναι αντιστρεπτός (άρα υπάρχει µια και µοναδική λύση) όταν Β i είναι γραµµικώς ανεξάρτητες; Πώς λέγεται αυτός ο πίνακας; Επιλογή. Θεωρούµε την απλοϊκή επιλογή, B ( ), B ( ),..., B, οπότε p ( ) α + α α. ( ) Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 6/99

17 Ποιο το σύστηµα που παράγεται; Πώς λέγεται η ορίζουσά του; Ποια τα προβλήµατα; Αν αυξηθεί ο, χάνεται ο κόπος υπολογισµού του προηγούµενου p ; Επιλογή. Μορφή Lgrge. Επιδιώκουµε να επιτύχουµε τον καλύτερο πίνακα - συντελεστή που υπάρχει, δηλαδή να είναι αυτός ο ταυτοτικός πίνακας Ι. Εξετάζοντας τον πίνακα στη γενική του µορφή, καταλήγουµε ότι αυτό είναι εφικτό αν βρούµε τέτοιες B i, i,,, ώστε B i (τ i ) αλλά B i (τ ) όταν i. Επιπλέον, για να παράγουν πολυώνυµα βαθµού πρέπει οι B i να είναι και αυτές πολυώνυµα βαθµού και τουλάχιστον µια από αυτές να έχει βαθµό ακριβώς. Με τις απαιτήσεις αυτές βρείτε τις B i (είναι όλα πολυώνυµα βαθµού ακριβώς ) που στην περίπτωση αυτή καλούνται «πολυώνυµα Lgrge» L i, Bi ( ) : Li ( ) Τότε ποια είναι η λύση του συστήµατος και ποιο το ζητούµενο πολυώνυµο; Εάν προστεθεί ένα ακόµα σηµείο τ i+ και δοθεί η (τ i+ ) ποιο το νέο πολυώνυµο; Αξιοποιεί τον προηγούµενο κόπο ανεύρεσης του p ή και κάποιο προηγούµενο υπολογισµό της τιµής p ( ) για δοθέν ; Πόσες πράξεις χρειάζονται κάθε φορά; Ισχύει η µορφή Lgrge όταν τα σηµεία δεν είναι όλα διαφορετικά, δηλαδή δεν έχουµε απλή παρεµβολή; Επιλογή. Μορφή Newto. Απορρίπτοντας λοιπόν (την τόσο απλή στην επίλυση του συστήµατος) µορφή Lgrge, αναζητούµε ένα πίνακα συντελεστών, περιορίζοντας την υπερβολική απαίτηση να είναι ταυτοτικός και πηγαίνοντας σε µια άλλη περίπτωση εύκολης επίλυσης του συστήµατος, αυτής του τριγωνικού (ας πούµε κάτω τριγωνικού) συστήµατος. Για να έχουµε µηδενικά στοιχεία πάνω από τη διαγώνιο χρειάζεται να ισχύει B i (τ ) για >i. Αυτό ικανοποιείται για την επιλογή B i () Το σύστηµα λύνεται εύκολα µε αντικατάσταση προς τα εµπρός και δίνει διαδοχικά (για την περίπτωση διαφορετικών σηµείων του) ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) α ( τ ) ( τ ) ( τ ) τ τ τ τ, α, α, κ.ο.κ. τ τ τ τ (Βρείτε τον τύπο για το α 4 ). Οι τιµές αυτές των συντελεστών είναι οι καλούµενες διαιρεµένες διαφορές (δ.δ.) της, τις οποίες θα εξετάσουµε διεξοδικά, όχι µόνο για να επιτύχουµε µια συστηµατική λύση του προβλήµατος αλλά και για την εξαγωγή σηµαντικών συµπερασµάτων και την εκτίµηση του σφάλµατος. Παρατηρούµε ότι οι δ.δ. µπορούν να υπολογισθούν αναδροµικά. Όπως θα δούµε οι απαντήσεις σε όλα τα ερωτήµατα είναι οι επιθυµητές για τη µορφή Newto, δηλαδή δεν χάνεται η προηγούµενη δουλειά αν αυξηθεί ο, ισχύει και για πολλαπλά p υπολογίζεται µε τον ευκολότερο τρόπο σηµεία, µια τιµή ( ) (κανόνας Horer ή πολλαπλασιασµός µε «εµφωλιασµό») είναι δυνατή η εκτίµηση σφάλµατος και µεταφέρονται γενικώς όσα ισχύουν και για το θεώρηµα Tylor, το οποίο θα αποτελεί πλέον ειδική περίπτωση και θα προκύπτει όταν τα τ i συµπίπτουν σε ένα σηµείο c πολλαπλότητας, c τ.... i τ Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 7/99

18 Απαντήσεις στα ερωτήµατα: Το σύστηµα γενικά είναι A b µε B( τ) B( τ) B ( τ) ( τ) ( ) ( ) ( ) B τ B τ B τ A, ( ), τ b. B ( ) ( ) ( ) τ B τ B τ ( τ ) Ο A καλείται πίνακας Grmm, ή «η Grmmi των συναρτήσεων B,, B στα σηµεία τ,, τ». Για την αντιστρεπτότητα του εξετάστε τη βιβλιογραφία (αλλά θα µπορούσατε να βρείτε και µόνοι σας την απόδειξη) Το µόνο καλό της απλοϊκής επιλογής είναι ότι εφαρµόζεται ο πολλαπλασιασµός µε εµφωλιασµό ή «πολλαπλασιασµός φωλιάς» (κανόνας Horer). Αν προστεθεί σηµείο (οπότε + ) προκύπτει νέο σύστηµα που πρέπει να ξαναλυθεί και τα πάντα χρειάζεται να γίνουν από την αρχή. Ο πίνακας συντελεστών έχει πολύ κακή κατάσταση και παρά το γεγονός ότι είναι αντιστρεπτός, στον υπολογιστή µε την περιορισµένη ακρίβεια που χρησιµοποιείται, δύο στήλες του µπορεί να είναι σχεδόν ίδιες για µεγάλα (Σχεδιάστε τις B (),, για µεγάλα. Παρατηρήσατε ότι σχεδόν συµπίπτουν). Η ορίζουσά του είναι γνωστή ως ορίζουσα Vdermode Όχι µόνο ο κόπος επίλυσης του συστήµατος είναι µεγάλος (πλήρης πίνακας) αλλά και η ακριβής επίλυση δυσχερέστατη για µεγάλα. Η επιλογή αυτή είναι σαφώς απορριπτέα. Το µόνο πλεονέκτηµα της µορφής Lgrge είναι ότι το σύστηµα είναι ήδη λυµένο, αφού ΑΙ. Οι απαντήσεις στα υπόλοιπα ερωτήµατα είναι αρνητικές. Ισχύουν: B i ( ) Li( ) ( τ ) ( τi τ ) i i ( τ ),...,α ( ) ( ) ( τ ) L ( ) +... ( τ ) L ( ) α p τ + Για τη µορφή Newto: B ( ), B ( ) τ,, B ( ) ( τ ) ( τ ) Η µορφή Newto θα είναι (παίρνοντας υπόψιν τα λίγα α i που έχουµε βρει προσωρινά) ( ) ( ) ( τ ) ( τ ) p τ + ( τ ) + + α ( τ ) ( τ ) τ τ όπου α θα είναι µια δ.δ. που θα έχει υπολογισθεί µε συστηµατικό τρόπο µέσω αναδροµικών σχέσεων. Οι λεπτοµέρειες θα απαντηθούν στη συνέχεια..9. ίνονται (-), () 5, (½). Να βρεθεί το πολυώνυµο παρεµβολής στις τρεις µορφές του (ότι θα είναι το ίδιο πολυώνυµο ανεξαρτήτως µορφής που γνωρίζουµε από.) Απάντηση. Εδώ τ -, τ, τ ½ και, άρα ζητάµε πολυώνυµο βαθµού. Απλοϊκή µορφή: p ( ) α + α + α. Το σύστηµα είναι Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 8/99

19 α α + α α 5 ή A, b 5. α+ α + α 4 4 Λύνουµε και βρίσκουµε τα α, α, α και το πολυώνυµο p. Μορφή Lgrge. Για παράδειγµα ( ) [ ( ) ]( ) L [ ( ) ][ ] ( + )( ). L ( ) ; L ( ) ; p ( ) ; Μορφή Newto. p ( ) α+ α [ ( ) ] + α[ ( ) ][ ] + α ( + ) + α ( ) α + Το σύστηµα είναι: α α + α 5 ή A, b 5 α+ α + α Λύσατε µε εµπρός αντικατάσταση, ή εφαρµόστε τους αναδροµικούς τύπους που βρήκαµε πριν. Υπολογίστε τη τιµή p (.) µε πολλαπλασιασµό φωλιάς όπου είναι δυνατόν. Τώρα δίνεται επιπλέον και η πληροφορία () 5. Τώρα τ 4, 4 και αναζητείται πολυώνυµο βαθµού. «Επαναλάβατε» τις διαδικασίες και παρατηρήστε τις διαφορές στον κόπο µεταξύ των τριών περιπτώσεων. Ειδικά για τη µορφή Newto παρατηρείστε ότι απλά προστίθεται ένας ακόµα όρος στο πολυώνυµο και, αντίστοιχα, στην προηγούµενη τιµή p (.). Τελικές απαντήσεις: Για την απλοϊκή έκφραση p ( ) 5 4, p ( ) Για τη µορφή Lgrge βρείτε το σωστό πολυώνυµο και επαληθεύστε την απάντηση σας µε δύο τρόπους. Για τη µορφή Newto: p ( ) ( ) ( ) p 4 δηλαδή προστίθεται στο p ένας ακόµα όρος. ( ) + ( + ) 4( + ) + 6( + ).. ίνεται (-), (). Επιλέγουµε B (), B (), που είναι γραµµικώς ανεξάρτητες. Άρα p () α +α. Εφαρµόστε τον Γενικό Αλγόριθµο. Πως εξηγείτε αυτό που συµβαίνει;.. Υπάρχει πάντα το πολυώνυµο p που λύνει το πρόβληµα της παρεµβολής στο τ,, τ ; (αν υπάρχει θα είναι το µόνο από.). Αν τα σηµεία τ,, τ είναι όλα διαφορετικά, τότε έχουµε βρει το πολυώνυµο στη µορφή Lgrge, άρα υπάρχει. Αν όµως έχουµε πολλαπλά σηµεία χρειάζεται απόδειξη (που είναι µεν απλή στη σύλληψη αλλά επίπονη στη διατύπωση). Σε όλες τις περιπτώσεις το πολυώνυµο παρεµβολής υπάρχει και είναι ένα και µοναδικό. Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 9/99

20 .. Αποδείξτε ότι αν η είναι η ίδια πολυώνυµο βαθµού -, τότε συµπίπτει µε το πολυώνυµο p που λύνει το πρόβληµα της απλής ή της πολλαπλής παρεµβολής σε οποιοδήποτε σηµεία... Στο.8 γνωρίσαµε τις διαιρεµένες διαφορές σαν τους συντελεστές του πολυώνυµου στη µορφή Newto και είδαµε ότι υπολογίζονται αναδροµικά µε την «εµπρός αντικατάσταση» για την επίλυση του κάτω τριγωνικού συστήµατος. Για τον τυπικό ορισµό ας είναι τ,, τ σηµεία που µπορεί να µην είναι όλα διαφορετικά και ακόµα, µπορεί και όλα να συµπίπτουν σε ένα σηµείο. Ορίζουµε την «δ.δ. τάξης - της στα σηµεία τ,, τ» ως τον συντελεστή της µεγαλύτερης δύναµης του (δηλαδή τον συντελεστή του - ) στο πολυώνυµο βαθµού - που παρεµβάλλει την στα σηµεία αυτά. Έχουµε αποδείξει ότι το πολυώνυµο αυτό είναι ένα και µοναδικό άρα ο συντελεστής αυτός είναι ένας και µοναδικός και η δ.δ. είναι έτσι καλώς ορισµένη. Συµβολίζουµε τη διαιρεµένη διαφορά της στα σηµεία τ,, τ (δ.δ. τάξης ) µε [τ,, τ ]. Αποδείξτε τα ακόλουθα: α) η [τ, τ κ ] είναι συµµετρική συνάρτηση των τ i, ανεξάρτητη δηλαδή από τη σειρά µε την οποία εµφανίζονται τα τ i. κ κ β) [τ,..., τ κ ] (τ ) Π(τ ι - τ ) ι i i γ) [τ, τ κ ] p() (κ-) /(κ-)! για όλα τα, όπου p το πολυώνυµο παρεµβολής στα τ,..., τ κ. ( κ ) δ) Αν τ τ κ (:c), τότε [ ] ( c) τ,, τ κ. ( κ )! Σηµειώστε έτσι ότι η δ.δ. τάξης - συνδέεται µε την παράγωγο τάξης κ- της. Αποδείξεις α) Αφού ένα είναι το πολυώνυµο p κ που παρεµβάλει την στα τ,, τ κ, δεν αλλάζει µε τη σειρά αναγραφής των τ i, άρα δεν αλλάζει ο συντελεστής του κ- άρα η δ.δ. β) Το δεύτερο µέλος είναι ο συντελεστής του κ- στη µορφή Lgrge, άρα εξ ορισµού η δ.δ. γ) Προφανώς η κ- παράγωγος του p κ (που είναι βαθµού κ-) είναι σταθερή και ίση µε (κ-)! επί τον συντελεστή του κ-. δ) Για την πολλαπλή παρεµβολή όπου όλα τα σηµεία συµπίπτουν σε ένα, έστω c, το πολυώνυµο Tylor λύνει το πρόβληµα (βλ. και.4) άρα αυτό είναι το πολυώνυµο p κ. Ο συντελεστής του κ- στο p κ είναι ο ( κ ) ()( c κ )! από το γνωστό τύπο του p κ (βλ. π.χ.. µε κ-)..4. Ας είναι [, b] ένα διάστηµα που περιέχει τα σηµεία τ,, τ κ+ [ π.χ. mi{τ,, τ κ+ }, bm{ τ,, τ κ+ }] και ε C (κ) [, b]. Nα δειχθεί ότι τότε υπάρχει ξ (, b) τέτοιο ώστε [τ,, τ κ+ ] (κ) (ξ) / κ! Απόδειξη: Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

21 Ας είναι p κ+ το πολυώνυµο που συµφωνεί µε την στα σηµεία τ,, τ κ+. Τότε το σφάλµα ε κ+ : p κ+ έχει τα σηµεία αυτά σαν ρίζες. Ισχύει επίσης ( κ ότι ) ε κ+ C [,b] και βέβαια p κ + C [,b]. Τότε, από το θεώρηµα του Rolle, η ε κ + έχει κ ρίζες στο (, b), ανά µία µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων τ i ή ταυτίζεται µε µια διπλή ρίζα ε κ (βλ. και.) Συνεχίζοντας µε τον ίδιο κ τρόπο, καταλήγουµε ότι η ε + έχει ακριβώς µία ρίζα ξ στο (, b) οπότε κ κ κ κ κ ε κ+ ξ ξ pκ+ ξ ξ κ! ακ+ α κ τ,, τ () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επειδή εξορισµού + [ ] το ζητούµενο αποδείχθηκε..5. είξτε πάλι το (δ) του., χρησιµοποιώντας τώρα το.4. Απόδειξη: [, b] {c}, ένα σηµείο, άρα ξ c..6. είξτε ότι το σφάλµα της παρεµβολής δίνεται από τον τύπο ε () ([τ,, τ, ]) (-τ ) (-τ ) όπου τα τ,, τ δεν είναι κατ ανάγκην όλα διαφορετικά, ανήκουν στο [, b] και C [,b] Απόδειξη: Σταθεροποιούµε το και θεωρούµε σαν σηµεία παρεµβολής τα (τ,,τ, ). Το πολυώνυµο p + που λύνει αυτό το πρόβληµα είναι p+ () t p () t + ([ τ,, τ, ] )( t τ) ( t τ ) Επειδή το p + συµφωνεί µε την και στο t, έχουµε ( ) p+ ( ) p ( ) + ([ τ,, τ, ] )( τ) ( τ ) δηλαδή το ζητούµενο..7. είξτε ότι το σφάλµα της παρεµβολής δίνεται και από τον τύπο ( ) ( ) ( ξ) ε ( τ ) ( τ ), για κάποιο ξ (,b)! Απόδειξη: Από.4 και.6.8. Με τις ίδιες υποθέσεις όπως στο.6, ας είναι Ψ ( ) : ( τ ) ( τ ) ε p ισχύει είξτε ότι για το σφάλµα ( ) ( ) ( ) ε και ότι ε ( )! ( )! Ψ () ( b ) ( ) Απόδειξη: Η (). Χρειάζεται να δείτε τις λεπτοµέρειες. Η ( ) το γεγονός ότι ( τi ) b προκύπτει αµέσως από το.7 και τον ορισµό του µέτρου προκύπτει από την () και, προφανώς αφού και τ i ανήκουν στο [, b]. Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

22 .9. Από τον ορισµό της δ.δ. προκύπτει για τη µορφή Newto, επαγωγικά, ότι P + ( ) P ( ) + ([ τ,, τ, τ + ] )( τ) ( τ ), ανεξάρτητα από το αν τα σηµεία είναι όλα διαφορετικά. Όπως παρατηρήσαµε και κατά την εύρεση του πολυωνύµου στο.8, οι δ.δ. µπορούν να βρεθούν αναδροµικά. Υποθέτοντας πρώτα ότι τ κ+ τ δείξτε την αναδροµική σχέση [τ,..., τ κ+ ] -[τ,..., τ κ ] [τ, τ,..., τ κ, τ κ+ ] τ κ+ - τ Απόδειξη: Θεωρείστε τα πολυώνυµα p κ+ (βαθµού κ), q κ (βαθµού κ-) και r κ (βαθµού κ-) που παρεµβάλλουν την στα σηµεία τ,..., τ κ+ (το Ρ κ+ ), τ,..., τ κ+ (το q κ ) και τ,..., τ κ (το r κ ). Βρείτε µια σχέση µεταξύ των τριών πολυώνυµων και εξισώστε τους συντελεστές του κυρίαρχου όρου, του κ, από τα δύο µέλη της σχέσης αυτής... Καταλήγουµε έτσι σε ένα µηχανισµό για τον υπολογισµό των δ.δ.: Αν όλα τα σηµεία συµπίπτουν εφαρµόζουµε τη σχέση από.(δ). Αν υπάρχουν και διαφορετικά σηµεία µπορούµε να βάλουµε δύο διαφορετικά από αυτά στα άκρα (πρώτο τελευταίο), αφού δεν έχει σηµασία η σειρά αναγραφής τους από.(α), και να εφαρµόσουµε τον αναδροµικό τύπο από.9. Παράδειγµα: Αν σ τ, [ τ,σ,σ, τ, τ ] [ τ, τ, ] Στη συνέχεια, για παράδειγµα τ, τ, τ,σ σ τ τ,σ,σ [ ] {[ τ, τ,σ] [ τ, τ, τ] } τ σ τ σ [ τ, τ,σ,σ] [ τ, τ, ] σ τ ( [ τ,σ] [ τ, τ] ) () τ σ τ ( σ) ( τ) '() τ σ τ σ τ!! ( ) () τ τ,σ... Κατά την κατασκευή του πίνακα των δ.δ σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα (όπως περιγράφεται στη συνέχεια), η πολλαπλότητα σηµείων θα αναδεικνύεται από µόνη της µε την εµφάνιση παρονοµαστή που θα έχει τιµή µηδέν (διαίρεση π.χ. µε τ 4 -τ 4 ) µε τον αριθµητή να είναι επίσης µηδέν. Ο µηχανισµός αυτός παράγει ένα συστηµατικό τρόπο υπολογισµού των δ.δ. από τον καλούµενο «πίνακα των δ.δ.». Οι δύο πρώτες στήλες στον Πίνακα δ.δ. περιέχουν δεδοµένα: στην πρώτη στήλη τοποθετούνται τα σηµεία,, και στην δεύτερη οι τιµές ( ) [ ], δηλαδή οι δ.δ. τάξης µηδέν. Στις υπόλοιπες στήλες αναγράφονται οι δ.δ. Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

23 τάξης ( η στήλη), (4 η στήλη) κ.λ.π., που υπολογίζονται από στοιχεία της προηγούµενης στήλης, σύµφωνα µε τον αναδροµικό τύπο του.9 και µε την τοποθέτηση δύο διαφορετικών σηµείων στα άκρα, αν χρειασθεί και αν υπάρχουν. Αν δεν υπάρχουν χρησιµοποιούµε την παράγωγο, δηλαδή τον τύπο από.(δ). Ο αναδροµικός τύπος δίνει ότι σε µια στήλη, από την η και µετά, η δ.δ. είναι το πηλίκο µε αριθµητή τη διαφορά των δύο στοιχείων που βρίσκονται αριστερά του (στην προηγούµενη στήλη) και παρονοµαστή τη διαφορά δύο σηµείων i, που βρίσκονται ακολουθώντας κατάλληλες γραµµές στον Πίνακα δ.δ. Η κατάσταση φαίνεται καθαρά στην Εικόνα ΙΙ., για 5. δ.δ. τάξης µηδέν δ.δ. τάξης δ.δ. τάξης δ.δ. τάξης δ.δ. τάξης [ ] [, ] [ ] [,, ] [, ] [,,, 4 ] [ ] [,, 4] [,,, 4, 5] [, 4 ] [,, 4, 5] [ 4 ] [, 4, 5] [, ] [ ] Εικόνα ΙΙ. Για παράδειγµα, κατά την εύρεση της [,,, 4 ], ο παρονοµαστής είτε διαβάζεται από τα ακραία σηµεία, δηλαδή είναι 4 -, είτε ανακαλύπτεται ακολουθώντας τις διπλές γραµµές στον Πίνακα, που οδηγούν πάλι στα σηµεία, 4 άρα στη διαφορά 4 -. Ισχύει [ ] [,, 4 ] [,, ],,, 4 4 εφόσον 4. Οι συντελεστές του πολυώνυµου Newto, είναι τα πρώτα (πάνω) στοιχεία κάθε στήλης. Ο Πίνακας δ.δ. δίνει και άλλες πληροφορίες που δεν θα µας απασχολήσουν εδώ. Μερικές πάντως από αυτές θα δούµε στο.. Για επανάληψη, έστω ότι (-) -, () 6, (4) -5. Να βρεθεί το πολυώνυµο παρεµβολής και στις τρεις εκφράσεις του (απλοϊκή, Lgrge, Newto) όπου στη µορφή Newto να χρησιµοποιηθεί ο πίνακας δ.δ. Εδώ έχουµε. Απλοϊκή λύση: p ( ) + 8 p Μορφή Lgrge: ( ) ( )( 4) ( + )( 4) ( + )( ) Μορφή Newto: Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. /99

24 6 ( 6 ( ) ) ( ( ) ) ( 5 6) ( 4 ) 8 7 ( 7 8) ( 4 ( ) ) 4 5 Άρα p ( ) + 8( + ) ( + )( ), που εύκολα µπορούµε να δούµε ότι συµπίπτει µε τα προηγούµενα... Έστω ότι στο προηγούµενο παράδειγµα δίνεται και η νέα πληροφορία (-). Να βρεθεί το νέο πολυώνυµο. Απάντηση για τη µορφή Newto: Επισυνάπτουµε τη νέα πληροφορία στον προηγούµενο πίνακα δ.δ.: γνωστά από πρίν Επισυνάπτουµε και τον νέο όρο στο προηγούµενο πολυώνυµο: p4( ) p( ) ( + )( )( 4) Αυτό επιπλέον σηµαίνει ότι αν προηγουµένως είχαµε υπολογίσει τιµές για το, για δοσµένα, οι υπολογισµοί αυτοί δεν πήγαν χαµένοι για τη µορφή p ( ) Newto. Στις προηγούµενες τιµές p ( ) προσθέτουµε τις αντίστοιχες τιµές του νέου όρου... Να λυθεί το πρόβληµα της παρεµβολής µε τις συνθήκες () (), (), ( ), ( ). Εδώ 6 και τα σηµεία είναι,,,,,. Τότε p +, +,, + 6 ( ) [] ([ ] )( ) ([ ] )( ) ([,,,] )( ) 4 4 ([,,,, ] )( ) + ([,,,,, ] )( ) ( ) Κατασκευάζουµε τον Πίνακα δ.δ., (), + Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 4/99

25 ()! ()! ()! ()! ()! ()! ( 5 ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 4 + 5) ( ) ( ( ) ) ( ) 4 ( )! Άρα p 4 4 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8( ) + ( )( ) 6 κ.λ.π. και µπορεί να επαληθευθεί ότι p 6 ( ), p 6 ( ).. Πώς συγκρίνονται τα προηγούµενα αποτελέσµατα µε τα γνωστά µας από το θεώρηµα Tylor; Απάντηση: α) Το θεώρηµα Tylor αναφέρεται στην ειδική περίπτωση της πολλαπλής παρεµβολής όπου όλα τα σηµεία συµπίπτουν σε ένα. β) Τόσο στην περίπτωση που δεν συµπίπτουν όλα τα σηµεία σε ένα, οπότε έχουµε την µορφή Newto, όσο και στην περίπτωση που όλα συµπίπτουν σε ένα, οπότε έχουµε το θεώρηµα Tylor, η προσθήκη ενός επιπλέον σηµείου απαιτεί απλά την πρόσθεση ενός ακόµα όρου στο προηγούµενο πολυώνυµο, που είναι απλά «ο επόµενος όρος» σύµφωνα µε την ισχύουσα µορφή. γ) Το σφάλµα και στις δύο περιπτώσεις δίνεται από ένα ακόµα «επόµενο όρο», µόνο που εµφανίζεται ένα σηµείο ξ ανάµεσα στα άλλα. δ) Και στις δύο περιπτώσεις για πολυώνυµο παρεµβολής βαθµού -, εµφανίζεται στο σφάλµα η παράγωγος () (ξ), το µήκος ενός διαστήµατος στη γνωστή δύναµη και η διαίρεση µε!, ενώ η προσέγγιση είναι ακριβής για πολυώνυµα βαθµού ( ). Όταν τα σηµεία συµπίπτουν το σφάλµα της µορφής Newto συµπίπτει µε αυτό του Tylor. ε) Και στις δύο περιπτώσεις φράσσεται το µέγεθος ε (το µέγιστο της απολύτου τιµής του σφάλµατος) και είναι δυνατή η απαλλαγή από το ξ, µέσω του µεγίστου της στο διάστηµα ενδιαφέροντος. Χρησιµοποιείται και το µέγιστο της Ψ του.8, για την περίπτωση Newto..4. Γιατί το φράγµα στην ( ) του.8 δεν είναι καλό; Η χρήση του ( τi ) b δίνει Ψ ( b ) αλλά το µέγιστο της Ψ µπορεί να είναι πολύ µικρότερο. Για παράδειγµα, αν Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 5/99

26 Ψ ( ) ( τ )( ) τ, τ [,b] τ, το φράγµα αυτό δίνει Ψ ( b )( b ) ( b ). Όµως µπορούµε εύκολα να δούµε (και µε µια απλή επιθεώρηση και λόγω συµµετρίας ως προς τ, τ ) ότι το µέγιστο της Ψ δίνεται στο µέσο των τ, τ, τ τ. Τότε + δηλαδή στο ( ) h h Ψ Ψ ( τ+ τ ) h 4 όπου h το µήκος τ -τ. Ακόµα και όταν δεν γνωρίζουµε κάτι άλλο και απλά ( b ) θεωρήσουµε ότι h b, βρίσκουµε Ψ δηλαδή το ¼ του 4 προηγούµενου φράγµατος!.5. Για την απλή παρεµβολή σε δύο σηµεία, να βρεθεί ένα «οξύ» φράγµα για το µέγιστο σφάλµα («οξύ» είναι το φράγµα όταν υπάρχουν περιπτώσεις που «πιάνεται», δηλαδή η γίνεται ). Χρησιµοποιούµε h -. ( ) ( ) ( ) > h ( ) ( ) ( ) ( ) p ( ) + (η εξίσωση ευθείας) h Ψ ( ) ( )( ), Ψ h 4 από.4. Άρα µέγιστο σφάλµα ( ) ( ) h ε m ( ) p ( ) h,! 4 8 Για να αποδείξουµε ότι το φράγµα είναι οξύ πρέπει να βρούµε µια περίπτωση µε,, όπου ( ) ε h 8. Τότε βρίσκουµε στη µορφή Newto, µε τον ίδιο τρόπο όπως Έστω ( ). πριν: ( ) ( ) ( ) p + + ( + )( ) Άρα ε p Άρα ( ) ( ) ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) + ( ) ε + m [, ] ε ενώ επίσης ( ) h ( ) m ε( ), ε, ε( ) ε h 4 8 h h 4, Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 6/99

27 .6. Ίδιο πρόβληµα για παρεµβολή Hermite στα, µε <, h -. Απάντηση. Τώρα δίνονται,,, και οι τιµές ( ), ( ), ( ), ( ) ( )( [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) [, ] ( ) ( ) ( ) h + p 4 () ( )+ ( )(- )+ (- ) + (- ) (- ) από.8. Χρησιµοποιούµε τη σχέση ( ) Η ( ) Ψ Ψ 4, όπου ( ) ( ) ( ) 4 διαστήµατος [, ], έχει µέγιστο στο κέντρο του δηλαδή στο +, οπότε h, 4. h και Ψ ( h ) ( h ) h 4 6 Αν η ( 4) υπάρχει και είναι συνεχής στο [, ] µέγιστο ε 4 m σφάλµα [, ] ( ) p ( ) 4 θα έχει µέγιστο ( 4) ( 4) 4 4 h 6 και ( 4) 4 h ( φράγµα για το µέγιστο σφάλµα). 84 Και αυτό το φράγµα είναι οξύ. Απόδειξη;.7. Να βρεθεί προσέγγιση της () συναρτήσει των τιµών ( α), ( β) +, α >, β >. Αφού πρόκειται για προσέγγιση µε χρήση δύο πληροφοριών, δηλαδή των δυο τιµών ( - α) και ( + β), ) βρίσκουµε το p που παρεµβάλλει την στα δυο σηµεία - α και + β, δηλαδή p ( - α) ( - α) και P ( + β) ( + β) και ) προσεγγίζουµε () p (). Το P θα είναι βαθµού, αφού έχουµε δύο πληροφορίες. Τότε, χρησιµοποιώντας αρχικά µεταβλητή t για να µην υπάρξει σύγχυση µε το που χρησιµοποιείται σαν σηµείο υπολογισµού και µε τ α, τ + β, βρίσκουµε (t) p (t) (τ ) + ([τ, τ ])(t - τ ) ( + β) ( α) ( - α) + (t + α). ( + β) ( α) Τότε µε t : Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 7/99

28 ( + β) - ( - α) β () p () ( - α) + α α + β α + β ( - α) + α ( + β) α + β Παρατηρούµε ότι η προσέγγιση αυτή είναι ένας ζυγισµένος µέσος όρος των δύο δοθεισών τιµών µε βάρη β ( α + β) και α ( α + β) (που προφανώς έχουν άθροισµα ). Αν το ήταν στο µέσο των δύο σηµείων -α, +β, (δηλ. βα ) τα βάρη είναι και τα δύο ίσα µε και βρίσκουµε τη γνωστή προσέγγιση µέσου όρου. ( - ) + δ( + ) ()..8. Ποιο το σφάλµα της προσέγγισης, στο προηγούµενο πρόβληµα µε χρήση του.8 και του θεωρήµατος Tylor, για οποιαδήποτε α, β και, ειδικότερα, όταν α β ; Με χρήση του.8 το πρόβληµα απαντήθηκε στο.5 που µε α, ( ) + β και h δίνει άνω φράγµα h 8. Άρα και ( ) p( ) ( ) h 8 για όλα τα µεταξύ,. Εδώ το ( ) ( ) στο [ ] ( ) είναι το µέγιστο της, που έχει µήκος h α + β. Το φράξιµο του σφάλµατος µέσω του θεωρήµατος Tylor επιτυγχάνεται µε το σχηµατισµό του σφάλµατος αυτού. Έτσι στην περίπτωσή µας αφού β α ε ( ) ( ) ( α) + ( + β) α+ β α+ β αναπτύσσουµε κατά Tylor γύρω από το για το ( α) και ( + β) αντίστοιχα, τα πολλαπλασιάζουµε µε τα αντίστοιχα βάρη β ( α+ β) και α β ε : α ( + ), τα προσθέτουµε και σχηµατίζουµε το ( ) α ( α) ( ) α ( ) + () ξ α < ξ < β ( + β) ( ) + β ( ) + ( η) < η < + β Οπότε αντίστοιχα β α αβ α β α + + β + ξ + η α+ β α+ β α+ β ( ) ( ) ( ) () ( ) Τότε ε ( ) () ξ + ( η) αβ α α+ β αβ α α+ β αβ α α+ β αβ α () ξ + ( η) ( ) ( ) α β + + β β β β + ( ) ( ) αβ Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 8/99

29 Όταν α β και επειδή σε σύγκριση µε το προηγούµενο h ισχύει h βρίσκουµε + h ( ) ε ( ) ε, 8 δηλαδή το ίδιο ακριβώς άνω φράγµα όπως και πριν..9. Τρία πάλι σηµεία όπως πριν. Να βρεθεί προσέγγιση της () συναρτήσει των τιµών (-α), (), (+β) και να εξειδικευθεί όταν α β. Φράγµα για το σφάλµα; Αφού πρόκειται να χρησιµοποιήσουµε τρεις πληροφορίες, τις τιµές (-α), () και (+β) βρίσκουµε το p και µετά () p ().Συνεχίστε µε τη µέθοδο αυτή. Συντοµότερος τρόπος όπου βρίσκουµε τη ζητούµενη προσέγγιση απ ευθείας, χωρίς όµως να βρούµε το ίδιο το p : Αφού το p () είναι βαθµού, ισχύει p () * (συντελεστής του ) σταθερός αριθµός για κάθε. Αλλά ο συντελεστής αυτός είναι εξ ορισµού των διαιρεµένων διαφορών (βλ..), η διαιρεµένη διαφορά στα τρία σηµεία, άρα: () p () ([ α,, + β] ) { α( + β) (α + β)() + β( ) } αβ(α + β) Γιατί οι τρεις συντελεστές των τριών δοθεισών τιµών έχουν άθροισµα µηδέν; Έχουµε βρει την προσέγγιση στη γενική περίπτωση όπου τα τρία σηµεία δεν είναι αναγκαστικά ισαπέχοντα. Αν είναι ισαπέχοντα, δηλαδή α β, τότε ( - ) - () + ( + ) () ( ) Τι σφάλµα προσέγγισης δίνει το θεώρηµα του Tylor (για το σφάλµα () p () ); Προκειµένου να σχηµατίσουµε το σφάλµα αναπτύσσουµε 4 β β ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) β ( 4 + β + β + + ( ) + ) () ξ 6 4 < ξ < + β α α 6 4 α 4 α < η < p, πολλαπλασιάζουµε το ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 4 α α + ( ) + ) ( η) Καθοδηγούµενοι από έκφραση για την ( ) πρώτο ανάπτυγµα µε α το δεύτερο µε β και διαιρούµε µε ( α β) βρίσκουµε ε β α ( ( ) ( ) p ( ) ) ( ) + ( 4 ) ( 4 [ β () ξ α ) ( η) ] ( α+ β) + αβ +, οπότε Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Αριθµητικές Μέθοδοι Φεβρουάριος 4 Μέρος Σελ. 9/99