FG. MECANICA CUANTICA

Transcript

1 FG. MECANICA CUANTICA I

2 CUPRINS I Itroducere 5 Capitolul FG.. Bazele experimetale ale mecaicii cuatice 6 FG... Radiatia termica. Ipoteza cuatelor 6 FG... Efectul fotoelectric. Ipoteza fotoilor 5 FG..3. Efectul Compto FG..4. Presiuea lumiii 6 FG..5. Experimetul lui Frack si Hertz 7 FG..6. Modelul atomic al lui Bohr. 9 FG..7. Dualismul uda corpuscul. Ipoteza lui de Broglie. Experimetul Davisso-Germer 39 FG..8. Ecuatia lui Schrodiger. Fuctia de uda (pachetul de ude) 4 FG..9. Relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg 44 Capitolul FG.. Descrierea matematica a mecaicii cuatice 48 FG... Spatii vectoriale 48 FG... Spaţii Hilbert 5 FG..3. Operatori liiari 54 FG..4. Operatori hermitici 55 FG..5. Reprezetarea vectorilor şi a operatorilor 6 Capitolul FG.3. Fudametele mecaicii cuatice 64 FG.3.. Descrierea starii i mecaica cuatica 64 FG.3.. Variabilele diamice i mecaica cuatica 8 FG.3.3. Observabile si reprezetari i mecaica cuatica 87 FG.3.4. Procesul de masura i mecaica cuatica 93 FG.3.5. Postulatele mecaicii cuatice 96 FG.3.6. Reprezetarile Schrodiger si Heiseberg FG.3.7. Descrierea evolutiei cauzale. Ecuatia lui Schrodiger 7 FG.3.8. Alte descreri ale mecaicii cuatice Capitolul FG.4. Sisteme cuatice simple 5 FG.4.. Itroducere 5 FG.4.. Particula i groapa de poteţial uidimesioala 5 FG.4.3. Particula i groapa de potetial tridimesioala 6 FG.4.4. Particula î groapa de poteţial cu pereţi fiiţi 7 FG.4.5. Bariera de poteţial 9 FG.4.6. Efectul tuel FG.4.7. Oscilatorul armoic 3 Capitolul FG.5. Atomul de hidroge 8 FG.5.. Ecuatia lui Schrodiger petru miscarea i camp cetral 8 FG.5.. Rezolvarea ecuatiilor mometului cietic 9 FG.5.3. Solutia ecuatiei Schrödiger petru partea radiala a fuctiei de uda 3 FG.5.4. Orbitali atomici 38 FG.5.5. Proprietăţi magetice ale atomului. Magetoul Procopiu - Bohr 4 FG.5.6. Defiirea cuatica a mometului magetic 43 FG.5.7. Efectul Zeema 44 II Capitolul FG.6. Spiul si mometul magetic de spi 5

3 FG.6.. Mometul cietic de spi 5 FG.6.. Experimetul Ster si Gerlach. Mometul magetic de spi 53 FG.6.3. Teoria lui Pauli a spiului electroic 58 FG.6.4. Modelul vectorial al mometului cietic 63 FG.6.5. Sisteme de particule idetice 64 Capitolul FG.7. Spectre atomice 69 FG.7.. Nivelele de eergie şi stările electroilor î atom 69 FG.7.. Sistemele hidrogeoide 7 FG.7.3. Cosiderarea efectelor relativiste. Structura fiă 74 FG.7.4. Procese radiative. Reguli de selecţie 77 FG.7.5. Clasificarea periodică a elemetelor 86 FG.7.6. Atomii metalelor alcalie 89 Capitolul FG.8. Iformatica cuatica 93 FG.8.. Iformatia cuatica 93 FG.8.. Uitatea de iformatie cuatica. Qubitul 93 FG.8.3. Etaglemetul cuatic 95 FG.8.4. Teleportarea iformatiei cuatice. Modelare fizica 98 FG.8.5. Modelarea matematica a procesului de teleportare cuatica 99 FG.8.6. Experimete de teleportare FG.8.7. Comuicatii cuatice. Criptografia cuatica 6 FG.8.8. Iformatica cuatica. Calculatorul cuatic 7 FG.8.9. Bibliografie specifica iformaticii cuatice 7 Capitolul FG.9. Aplicaţii de laborator şi simulare umerică (ALBSN) FG.9.. Bazele experimetale ale mecaicii cuatice FG.9.. Descrierea matematica a mecaicii cuatice 4 FG.9.3. Fudametele mecaicii cuatice 4 FG.9.4. Sisteme cuatice simple 5 FG.9.5. Atomul de hidroge 6 FG.9.6. Spiul si mometul magetic de spi 6 FG.9.7. Spectre atomice 6 FG.9.8. Iformatica cuatica 6 FG.9.9. Dezvoltari si aplicatii ale mecaicii cuatice 7 Capitolul FG.. Autoevaluare (AEV) Capitolul FG... Bazele experimetale ale mecaicii cuatice Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse.. Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG... Descrierea matematica a mecaicii cuatice Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse.. Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG.3. Fudametele mecaicii cuatice Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG.4. Sisteme cuatice simple Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse... Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG.5.. Atomul de hidroge Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse... Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG.6. Spiul si mometul magetic de spi Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse... 3

4 Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG.7. Spectre atomice Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse.. Îtrebări/ chestiui recapitulative... Capitolul FG.8. Iformatica cuatica Exerciții și probleme rezolvate... Exerciții și probleme propuse... Îtrebări/ chestiui recapitulative... F_Glosar cuvite cheie Cuvât-cheie Cod capitol Aplicatie Atomul de hidroge Bariera de poteţial Boso Calculator cuatic Camp cetral Clasificarea periodică a elemetelor Comuicatie cuatica Criptografie cuatica Distributia cuatica a cheilor Dualismul uda corpuscul Ecuatia radiala Ecuatia Schrodiger Ecuatia Schrodiger atempotala Efect Compto Efect fotoelectric Efect relativist Efectul tuel Efect Zeema Elemet chimic Emisie stimulata Etaglemetul cuatic Evolutie cauzala Experimetul Davisso si Germer Experimetul Frack - Hertz Experimetul Ster - Gerlach Experimet teleportare Fermio Fuctia de uda Groapa de poteţial Holografie Iformatica cuatica Iformatie cuatica Ipoteza-de Broglie Ipoteza cuatelor Ipoteza fotoilor Laser Magetoul Procopiu - Bohr Mecaica cuatica Metal alcali Modelul atomic Bohr, Modelare fizica 4 FG.7 FG. FG.4 FG.6 FG.8 FG.5 FG.7 FG.8 FG.8 FG.8 FG. FG.5 FG. FG.4 FG. FG. FG.7 FG.4 FG.5 FG.7 FG.7 FG.8 FG.3 FG. FG. FG.6 FG.8 FG.6 FG. FG.4 FG.7 FG.8 FG.8 FG. FG. FG. FG.7 FG.5 FG.3 FG.7 FG. FG.8

5 Modelare matematica Model vectorial Momet cietic Momet cietic de spi Momet magetic Momet magetic de spi Nivel eergetc Observabila Operator hermitic Operator liiar Orbital atomic Oscilatorul armoic Pachetul de ude Paradoxul EPR Particule idetice Particula libera Postulatele mecaicii cuatice Perechea EPR Presiuea lumiii Proces de masura cuatic Proces radiativ Proces de teleportare Proprietate magetica Qubit Qubit sursa Qubit tita Qubit auxiliar Radiatie termica Regula de selecţie Relatiile de icertitudie Heiseberg Reprezetarea Heiseberg Reprezetare operator Reprezetarea Schrodiger Reprezetare vector Sistem hidrogeoid Spatiu Hilbert Spatiu vectorial Spectru atomic Spectru eergetic discret Spi electroic Stari Bell Stare cuatica Stare excitata Stare fudametala Stare legata Statistica Bose-Eistei Statistica Fermi-Dirac Structura fiă Teleportare cuatica Teleportare iformatie cuatica Teoria lui Pauli Trasmisia cuatica a iformatiei Uitatea de iformatie Uitatea cuatica de iformatie 5 FG.8 FG.6 FG.6 FG.6 FG.5 FG.6 FG.7 FG.3 FG. FG. FG.5 FG.4 FG. FG.8 FG.6 FG.4 FG.3 FG.8 FG. FG.3 FG.7 FG.8 FG.5 FG.8 FG.8 FG.8 FG.8 FG. FG.7 FG. FG.3 FG.3 FG.3 FG. FG.7 FG. FG. FG. FG.7 FG.6 FG.8 FG.3 FG.7 FG.7 FG.7 FG.6 FG.6 FG.7 FG.8 FG.8 FG.6 FG.8 FG.8 FG.8

6 Variabila diamica Vector de stare FG.3 FG. Bibliografie 67. 6

7 Itroducere Teoria cuatica i fizica urmareste sa modeleze ivelul cuatic de structura si miscare a materiei pritr-o cotiua rezoata cu atura, pri itermediul faptelor experimetale al caror rezultat si suport a fost si este i cotiuare. Acest ivel cuatic se refera la sistemele fizice avâd "acţiuea" de ordiul de mărime al costatei lui Plack ( h 34 = 6,66755(4) J s ). Criteriul de stabilire a aturii cuatice a uui sistem fizic dat este reprezetat de relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg, care descriu implicit, caracterul dual odulatoriu-corpuscular al sistemelor cuatice. Legile de evoluţie ale sistemelor cuatice precum si acelea ale procesului de observare și măsură vor fi evidetiate ca urmare, i lucrare, luad i cosiderare comportarea duala a acestor sisteme ce se maifesta, i geeral la scara atomica sau ucleara, i electroica, fizica solidului, micro si aatehologii, optoelectroica si fotoica, stiita materialelor si igieria cuatica, biologie si medicia modera etc., fiid specifice, geeric vorbid, iteractiilor di lumea "microparticulelor" ude si corpusculi si a campurilor. Aplicarea legilor fizicii clasice petru studiul sistemelor cuatice u mai este posibila itrucat rezultatele obtiute pe baza teoriei clasice sut î cotradicţie cu datele experimetale, studiul fizicii cuatice fiid i cosecita, absolut ecesar. I cursul de fata, prezetarea oilor idei, i cotextul aparitiei acestora, pri evidetierea reala a salturilor i gadire este de prima importata petru u spirit creator, diamic i fizica, dar si i formarea viitorului igier cofrutat cu cele mai diferite probleme de proiectare si realizare a uor materiale si istalatii modere i care fizica cuatica este determiata. Afirmatia lui Dirac cu privire la sistemele cuatice: " sarcia oastra este de o coordoa itr-o teorie coereta legile la care sut supuse", reprezita obiectivul pricipal al acestui curs de mecaica cuatica, care se doreste moder, riguros uitar, orietat ispre studet. Pregatirea acestuia ca igier este complexa si presupue pe laga o gadire creatoare si corecta si competete aplicative privid realizarea si utilizarea uor aparate si istalatii sofisticate i cele mai diferite domeii dar si competitivitate i cotextul provocator la ivel global. Cursul isi propue sa cotribuie la acest proces de formare a viitorului igier fiid dedicat studetilor tuturor facultatilor cu profil tehic si de fizica di tara dar si altor specialisti di cercetarea stiitifica si idustrie precum si doctarazilor si cadrelor didactice. 7

8 Capitolul FG.. Bazele experimetale ale mecaicii cuatice Cuvite-cheie:. radiatia termica, ipoteza cuatelor, efectul fotoelectric, ipoteza fotoilor. efectul Compto, presiuea lumiii, experimetul Frack - Hertz, modelul atomic Bohr, spectru eergetic, atomul de hidroge, dualismul uda-corpuscul, ipoteza-de Broglie,. experimetul Davisso si Germer, ecuatia Schrodiger, fuctia de uda, pachetul de ude, relatiile de icertitudie Heiseberg FG... Radiatia termica. Ipoteza cuatelor Pri radiatie termica se itelege radiatia de atura electromagetica emisa de corpuri datorita agitatiei termice a atomilor si moleculelor. Spectrul acestei radiatii este cotiuu, de la zero la ifiit, fiid depedet de temperatură, udele compoete avad amplitudii, faze şi direcţii de polarizare distribuite haotic. Radiaţia termică aflată îtr-o regiue limitată di spaţiu, de exemplu, o icita ichisa, aflata î echilibru termic cu corpurile îveciate costituie radiatia de echilibru. Este vorba de u echilibru diamic caracterizat de egalitatea fluxurilor eergetice emise si absorbite, itrucat la echilibru schimburile de eergie u iceteaza. La echilibru, radiaţia termică di icită este omogeă, izotropă fiid idepedetă de geometria si atura icitei. Di puct de vedere termodiamic, radiaţia termică costituie u sistem caracterizat de parametrii de stare p, V şi T, icat primele studii asupra radiatiei termice au avut la baza datele experimetale si metodele termodiamicii. Mărimile fizice utilizata i studiul radiaţiei termice su prezetate i tabelul FG... Nr.c rt. Tabelul FG... Marimea Defiitia Relatia de defiitie Observatii Puterea de emisie spectrala, E λ ( emisivitatea sau emitata). Radiaţă itegrală, R Fluxul eergetic emis de uitatea de suprafaţă, îtr-u iterval spectral d λ î jurul lugimii de udă λ. Mărimea E ν reprezită puterea de emisie spectrală depedetă de frecveţa ν a radiaţiei. E d Φ d E = = d S d λ d S d λ dt λ ; E este eergia radiată iar Φ fluxul eergetic emis. R = E λ d λ = Eν d ν c λ = ν E λ d λ = E ν d ν 8

9 3. Desitatea volumică de eergie radiată, ρ E Eergia radiata pe uitatea de volum d E ρ E = ; dv V reprezită volumul icitei. 4. Itesitatea eergetică, I a uei surse puctiforme, îtr-o direcţie dată Fluxul eergetic emis î uitatea de ughi solid î jurul direcţiei cosiderate. d Φ I = ; d Ω d Ω reprezita elemetul de ughi solid. 5. Strălucirea eergetică, B îtr-u puct al uei surse, după o direcţie. Itesitatea eergetică î direcţia cosiderată, pe uitatea di suprafaţa ormală pe direcţia dată. d I B = ; d S cos θ direcţia cosiderata face cu ormala la suprafaţă ughiul θ. Se arata ca: ρ E 4π = B c 6. Presiuea radiaţiei, p asupra suprafeţei pe care este icidetă. -Experieta lui Lebedev,9. -Variaţia impulsului fotoilor icideţi N î uitatea de timp, pe uitatea de arie (teoria cuatica). p = Nhν / c Se arata ca: ρ E p = 3 (Ecuaţia termică de stare a radiaţiei termice; teoria termodiamica). 7. Ecuaţia de bilaţ eergetic a fluxurilor radiate icidet pe o suprafaţă Φ, absorbit Φ A, reflectat Φ R şi Φν dν=φν A dν+φν Rdν+Φν Tdν; ν desemează fluxurile spectrale corespuzatoare. trasmis Φ T. 8. Puterea relativa de absorbţie, A ν ΦνA A ν =. Φν Daca A ν =, corpurile sut absolut egre (absorbate). 9

10 9. Puterea relativa de reflexie:. Puterea relativa trasmisie: ΦνR R ν =. Φν ΦνT T ν =. Φν Daca R ν =, corpurile sut absolut albe (reflectatoare). Daca T ν =, corpurile sut absolut trasparete. Evidet ca: A ν + Rν + Tν =. Corpurile absolut egre prezita o importata deosebita petru studiul radiatiei termice, deoarece di proprietatile geerale de emisie si absorbtie ale corpului egru pot fi deduse proprietatile corespuzatoare si ale altor categorii de corpuri. I atura u exista corpuri absolut egre dar se pot realiza dispozitive care sa se comporte ca u corp egru pe u domeiu de frecveta. De exemplu, fuigiea si egrul de platia se apropie pri proprietatile lor foarte mult de corpul egru. Modelul experimetal de corp egru il costituie o cavitate sferica sau cilidrica icalzita uiform, prevazuta cu o mica deschidere. Itrucat o "raza de lumia " care patrude pri deschidere i cavitate sufera u umar foarte mare de reflexii si absorbtii succesive, aceasta u mai poate parasi cavitatea astfel icat se comporta ca u corp egru. Radiatia de echilibru di iterior are o distributie spectrala asemaatoare cu ceea a corpului egru astfel icat pri deschidere se obtie i exterior radiatie de corp egru. a. Legile radiaţiei termice La sfârşitul secolului al XIX-lea, îţelegerea proprietăţilor radiaţiei termice era esatisfacatoare, curbele experimetale ale emisivităţii spectrale E λ ( λ) eputad fi explicate î mod riguros, pe baza cuoştiţelor existete la acea dată. Adoptarea uui ou mod de abordare de catre Plack, care a itrodus i fizica "ipoteza cuatelor" a codus la clarificarea tuturor problemelor privid radiaţia termică, dar a complicat lucrurile petru fizica clasică ale cărei limite erau evidete. Fizica cuatică explică i prezet î mod atural şi riguros radiaţia termică şi toate feomeele legate de aceasta, isa i dezvoltarea fizicii cuatice au avut u rol determiat legile experimetale ale radiatiei termice.. Legea lui Kirchhoff Studiid pe cale termodiamica radiatia termica de echilibru ditr-o cavitate vidata i care se gaseec mai multe corpuri, Gustav Kirchhoff a stabilit i primul rad ca desitatea spectrala a radiatiei este omogea i iteriorul cavitatii fiid fuctie de temperatura dar idepedeta de atura si proprietatile corpurilor di cavitate, respectiv de peretii acesteia. Totodata, Kirchhoff a formulat urmatoarea lege care-i poarta umele:

11 "Raportul ditre puterea spectrală de emisie Eν şi puterea relativă de absorbţie Aν a oricarui corp aflat la o temperatura data este idepedet de atura şi proprietăţile fizice ale corpului fiid o fucţie uiversală, uivocă, de temperatură şi frecveţa radiaţiei". Sub forma matematica legea lui Kirchhoff se exprima astfel: Eν = f ( ν, T ). (FG...) Aν I cazul corpului egru defiit pri coditia Aν = se obtie: Eν A ν ( ν T ) = Eν = f,, (FG...) rezultat care arata ca fucţia uiversală a lui Kirchhoff f ( ν, T ) reprezită chiar emisivitatea a corpului egru. Studiul radiatiei termice de echilibru presupue cuoasterea fuctiei uiversale f ( ν, T ) de distributie spectrala a emisivitatii corpului egru, avad temperatura ca parametru. E ν Fig. FG... Fig. FG... Curba experimetala calitativa de distributie spectrala a radiatiei de corp egru este prezetata petru diferite temperaturi i figura FG... Se observa cresterea cu temperatura a emisivitatii corpului egru si deplasarea spre lugimi de uda mai mici a maximului corepuzator emisivitatii maxime. I figura FG... se prezita comparativ curbele care dau emisivitatea corpului egru si auui corp oarecare, puadu-se i evideta puterea de emisie mai scazuta a corpurilor cu putere relativa de absorbtie subuitara. Pe baza legii lui Kirchhoff se poate explica, de exemplu, emisia de lumia de catre flacara uei lumaari. Itrucat corpurile cu putere de absorbtie mare au si putere de emisie mare, lumia uei flacari este data de radiatia proutata a particulelor " egre" di zoa de ardere a materialului. Nu acelasi lucru se poate spue despre u bec cu gaz ude are loc o ardere completa. Legea Stefa-Boltzma

12 U pas importat î cuoaşterea fucţiei f( T, ν ) îl costituie legea Stefa-Boltzma care are următorul euţ: adica: ude: "Radiata itegrală a corpului egru este proporţioală cu puterea a patra a temperaturii absolute", R 4 =σ T (FG...3) R = E d ν ν (FG...4) iar σ este costata Stefa-Boltzma şi are valoarea: 8 4 5, 6693 σ= Wm K. (FG...5) Relaţia aterioară a fost găsită î aul 879 de către Jožef Stefa şi demostrată pe cale termodiamică, î aul 884 de către Ludwig Boltzma, care a aplicat radiaţiei termice de echilibru ditr-o cavitate prevăzută cu mic u orificiu (corp egru) ecuaţia fudametală a termodiamicii: TdS = de+ pdv. (FG...6) De asemeea, s-au utilizat relaţiile termodiamice: dp de T = dt dv V T + p (FG...7) ρe p = (FG...8) 3 precum şi relaţiile: 4π 4 ρ E = B = R (FG...9) c c ditre desitatea de eergie ρ E, strălucirea B a pereţilor cavităţii şi radiaţa itegrală R, care se obţi imediat di relaţiile de defiiţie. Rezultă imediat ecuaţia difereţială a desităţii de eergie: dρ E T = 4 ρ E, (FG...) d T care, pri itegrare, poate fi scrisă sub forma (FG...3) a legii Stefa-Boltzma. Legea deplasării a lui Wie Datele experimetale au arătat că există o legătură directă ître distribuţia spectrală a radiaţiei emise de u corp egru şi temperatura acestuia. Astfel, Wilhelm Wie a stabilit (î 893) că există o depedeţă liiară ître frecveţa petru care curba care dă distribuţia spectrală a emisivităţii corpului egru prezită u maxim şi temperatura absolută, coform relaţiei: ν = bt (FG...) max care exprimă legea deplasării a lui Wie, î care b, umeric egală cu,96 c (c este valoarea vitezei lumiii î vid) şi exprimată î Hz K, este o costată a cărei valoare a fost găsită experimetal. O altă formă a legii de deplasare, î fucţie de lugimea de udă emisivităţii, este dată de expresia λ max care corespude maximului

13 λ = A m T (FG...) ude A =,8978 m K este costata lui Wie. Legea lui Wie este î depliă cocordaţă cu datele experimetale. Pri urmare, coform legii deplasării, maximul emisivităţii spectrale se deplasează, cu creşterea temperaturii, spre lugimi de udă mai mici. De exemplu, la temperaturi mici maximul radiaţiei emise se situează î ifraroşu, trecâd succesiv î roşu, galbe, violet, câd temperatura creşte. Legea semiempirică de distribuţie spectrală a lui Wie Tot di cosiderete termodiamice, Wie a arătat (î 893) că distribuţia spectrală a desităţii de eergie are forma geerală 3 ν ρ Eν =ν f T (FG...3) ν adică fucţia f T depide umai de raportul ν, pâă la işte costate. T ν Î aul 896, tot Wie propue petru fucţia forma semiempirică T βν ν T f =α e (FG...4) T (ude α şi β sut işte costate) urmărid să obţiă cea mai buă aproximare a curbei experimetale. O formă echivaletă a expresiei (FG..6.4) a legii lui Wie este dată de relaţia E λ =λ 5 g( λ T ) (FG...5) ude C g( T) C e λt λ = (FG...6) şi are următorul euţ: puterea de emisie a corpului egru la o aumită temperatură este ivers proporţioală cu puterea a cicea a lugimii de udă, C şi C fiid costatele lui Wie (pâă la u factor care depide doar de produsul λt). Observaţie: Se poate arăta că formula lui Wie poate fi privită ca o modificare a legii lui Boltzma petru distribuţia particulelor idepedete aflate î echilibru statistic, observaţie care prezită iteres petru teoria duală, odulatoriu corpusculară a lumiii. Deşi u a căpătat o fudametare teoretică riguroasă şi prezită limitări experimetale pregate la frecveţe mici, ude emisivitatea spectrală trebuie să fie proporţioală cu pătratul frecveţei, legea lui Wie costituie, totuşi, cea mai buă descriere a distribuţiei spectrale a radiaţiei termice. Legea de distribuţie spectrală Rayleigh-Jeas Căutâd o explicaţie teoretică pe baza teoriei odulatorii a lui Fresel şi Youg a radiaţiei corpului egru, lordul Rayleigh (Joh William Strutt) găseşte o formulă petru distribuţia spectrală a radiaţiei termice care este apoi simplificată de J. H. Jeas, fiid astfel cuoscută sub umele de legea Rayleigh-Jeas şi avâd următoarea expresie matematică: 8π ρ Eλ = kt (FG...7) λ 4 3

14 Formula (FG...5) arată că puterea de emisie a corpului egru la o aumită temperatură este ivers proporţioală cu puterea a patra a lugimii de udă. Această formulă, care prezice o creştere parabolică cu frecveţa a emisivităţii î tot spectrul, este î cocordaţă cu experieţa umai petru lugimi de udă mari sau petru temperaturi îalte. Petru lugimi de udă mici, formula duce la o creştere cotiuă, spre ifiit, a emisivităţii spectrale, care, astfel, u mai prezită maximul cuoscut di experieţă (ecocordaţa a fost deumită de P. Ehrefest catastrofa ultravioletă ). Se observă că această lege completează, îtr-u aumit ses, legea lui Wie care, dimpotrivă, modelează bie realitatea petru lugimi de udă mici. Modul de deducere a relaţiei (FG...7), prezetat î cotiuare, suscită îsă u iteres deosebit, deoarece este cel utilizat de Plack la stabilirea formulei corecte de distribuţie spectrală a radiaţiei termice (fiid, de fapt, o combiare a metodei Rayleigh-Jeas şi a celei folosite de Plack petru a regăsi formula Rayleigh-Jeas pe altă cale). Î pricipiu, se cosideră î cocordaţă cu teoria odulatorie a lumiii că radiaţia ditr-o icită la echilibru termic se prezită sub formă de ude staţioare (moduri de vibraţie) ca urmare a suprapuerii udelor directe şi reflectate (se admite că lugimile de udă implicate sut mici î comparaţie cu eregularităţile microscopice ale suprafeţelor reflectătoare). Expresia desităţii spectrale de eergie di cavitate se poate obţie multiplicâd eergia asociată fiecărei astfel de ude (mod de vibraţie) cu desitatea de moduri de vibraţie di cavitate. Asociidu-se oscilatori pereţilor icitei, petru fiecare ditre frecveţele di cavitate, se costată că, odată cu echilibrul radiaţiei termice di icită se atige şi echilibrul statistic al acestor oscilatori. Îtrucât eergia medie a uui astfel de oscilator este kt, coform pricipiului echipartiţiei eergiei pe grade de libertate, se admite că eergia uui mod de vibraţie al cavităţii este, de asemeea, kt. Pri urmare, petru a găsi desitatea de eergie a radiaţiei termice di cavitate trebuie să calculăm desitatea corespuzătoare de moduri, adică umărul modurilor pe uitatea de volum şi pe uitatea de frecveţă (Se ştie că, petru o cavitate ale cărei dimesiui sut mari î comparaţie cu lugimea de udă, modurile ormale ale cavităţii sut idepedete de forma acesteia). S-a obţiut, petru desitatea de moduri pe iterval de frecveţă, expresia fială: dn 8πν Nνdν= = d ν 3 V c astfel îcât desitatea spectrală de eergie a corpului egru va fi dată de relaţia 4 (FG...8) 8πν ρ Eν = kt (FG...9) 3 c formulă î cocordaţă cu forma (FG...5) petru aceasta. Observaţie: Legătura ditre expresiile (FG...7) şi (FG...9) ale desităţii spectrale de eergie c se obţie ţiâd seama de relaţiile ρ dλ=ρ dν şi λ =. ν Legea de distribuţie spectrală a lui Plack. Ipoteza cuatelor Eλ Eν Forma origială a studiilor lui Plack asupra radiaţiei termice cupride două etape: o primă etapă se îcheie cu stabilirea formulei care îi poartă umele, privid distribuţia spectrală a radiaţiei termice î depliă cocordaţă cu faptele experimetale; a doua etapă, dedicată fudametării teoretice a acestei formule, a dus la itroducerea ipotezei cuatelor. Pricipalele elemete teoretice şi experimetale utilizate de Plack î studiile sale au fost următoarele: a) Plack a obţiut mai îtâi, petru eergia medie a oscilatorului o expresie de tipul

15 E( ν, T) = ε ε kt e (FG...) Di legea lui Wie, combiată cu legea Rayleigh-Jeas, rezultă că eergia medie a oscilatorului trebuie să aibă forma 3 c ν E( ν, T) = νf 8π T (FG...) pri urmare, cele două ecuaţii (FG...) şi (FG...) sut compatibile dacă ε= hν (FG...) ude h este o costată de proporţioalitate, astfel îcât legea lui Plack se scrie, sub forma fială, 8πν ε ρe ( ν, T ) = 3 hν c kt e 5 (FG...3) adică desitatea de eergie este dată de produsul ditre desitatea de moduri şi eergia medie a uui mod. Deoarece pri aplicarea codiţiilor ε, hν sau h petru a se trece la catităţile ifiitezimale după metoda lui Boltzma se distruge valabilitatea, demostrată experimetal, a formulei lui Plack, acesta face ipoteza revoluţioară că h are o valoare fiită, iar oscilatorii pierd şi absorb eergie î mod discotiuu, pri cuata de eergie ε = hν. Costata uiversală h, cu dimesiuea de acţiue, umită costata lui Plack, a fost determiată şi 34 are valoarea h = (6,6559 ±,6) J s. h Observaţie: Î uele prezetări teoretice se mai utilizează otaţia h =, astfel îcât eergia cuatei are π expresia ε= hω. Î cele ce urmează, se vor folosi ambele otaţii, î fucţie de situaţie. Ipoteza lui Plack, greu de acceptat î perioada î care a fost făcută (îtrucât pricipiul schimbului de eergie î mod cotiuu era fudametal petru toate teoriile fizice) avea să costituie piatra de temelie a Mecaicii cuatice. Teoria lui Plack a fost structurată, mai târziu, itroducâdu-se ipoteza cuatelor sub forma uui postulat fudametal privid imposibilitatea fragmetării ifiite a spaţiului fazelor. Extizâd la studiul radiaţiei termice cuatificarea oscilatorilor microscopici pri care Plack modelează particulele radiate di cavitatea cu radiaţie termică (şi, î coseciţă, modurile de oscilaţie ale cavităţii) se poate calcula desitatea spectrală de eergie ρ ( ν, T) a radiaţiei termice multiplicâd desitatea de moduri dată de relaţia (FG...8) cu eergia medie a uui mod (oscilator) pe care o vom calcula î cele ce urmează. Fie N umărul oscilatorilor microscopici di cavitate astfel îcât: N = N + N+ N N (FG...4) = ude N este umărul oscilatorilor aflaţi î starea cu cuate de eergie hν. Coform distribuţiei Boltzma, populaţiile stărilor N sut date de relaţii de tipul N hν kt = N'e, (FG...5) costatele N rezultâd di codiţia de ormare: E

16 kt N' e = N, (FG...6) = hν deci N ' = = N e hν kt (FG...7) Eergia totală a celor N oscilatori va fi hν hν kt kt e ( ) e h h ν ν ( kt ) kt = = t = ( ν ) = 'e ( ν ) = = hν hν = = kt kt E N h N h N N e = = e = hν kt e hν ( ) ( ) kt kt = kt e Nhν = N = N =. (FG...8) hν hν kt kt e hν e kt = e Pri urmare, eergia medie a uui oscilator va fi: E Et hν = =, hν N kt e rezultat î cocordaţă cu relaţia origiară (FG...9) a lui Plack. Rezultă, petru desitatea spectrală de eergie a corpului egru şi petru emisivitatea spectrală a acestuia, respectiv, relaţiile: 3 8πν h 8πhc E ( ) 3 hν 5 h c λ kt λkt ρ ν = = e e (FG...9) c şi E ν 3 πν h hν c kt = e (FG...3) sau E λ πhc 5 hc λ λkt =. (FG...3) e care reprezită forme echivalete ale legii lui Plack. Cocluzii privid termodiamica radiaţiei termice obţiute di aaliza formulei lui Plack Aalizâd diferitele forme echivalete ale legii lui Plack, rezultă geeralitatea acestei legi, pri faptul că este î depliă cocordaţă cu datele experimetale şi că di ea pot fi obţiute toate celelalte legi ale radiaţiei termice prezetate. Astfel: - Legea deplasării a lui Wie se obţie aulâd derivata î raport cu lugimea de udă a desităţii spectrale de eergie: hc hc ( λkt ) ( λkt ) hc ( λkt ) 4 5 hc 5λ e + e λ ( ) λ kt d ρe ( ν ) =8π hc = ; (FG...3) d λ λ e 6

17 care reprezită ecuaţia trascedetă hc hc λkt 5 e = 5 kt λmax (FG...33) a cărei soluţie (grafică) are valoarea hc ktλ max = 4,96543, de ude hc λ maxt = =,8978 m K, (FG...34) 4,96543 k adică legea deplasării şi costata lui Wie, A. - Legea Stefa-Boltzma se obţie di calculul itegralei hν hν πh ν dν πh kt ( kt ) d( kt ) π k ν hν (FG...35) hν 3 R = Edν= = = T =σt c kt kt e c h e 5c h (deoarece 3 4 x π d x = ), rezultâd astfel şi costata Stefa-Boltzma: x e π k σ= = 3 5ch 8 5,67 W m K (FG...36) - Legea lui Wie se obţie petru lugimi de udă mici sau petru temperaturi joase, astfel că este hc îdepliită codiţia. Neglijâd uitatea de la umitor î relaţia ( FG...3), obţiem: λkt E λ πhc = e 5 λ hc λ kt adică legea lui Wie exprimată de relaţiile (FG...5, FG...6) şi costatele lui Wie, C 3,7 W C (FG...37) 6 = π hc= m (FG...38) hc = = (FG...39) k,43 m K Observaţie: Îtrucât costata Stefa-Boltzma, σ şi Wie, A di legile corespuzătoare ale radiaţiei termice pot fi determiate experimetal relativ simplu, fiecare ditre relaţiile (FG...34) şi (FG...36) pot fi utilizate petru determiarea costatei lui Plack. Costata lui Plack poate fi, de asemeea, determiată di măsurări spectroscopice şi di măsurări asupra efectului fotoelectric. FG... Efectul fotoelectric. Ipoteza fotoilor Itroducere Pri efect fotoelectric se îţelege eliberarea de electroi de către o substaţă sub acţiuea radiaţiilor electromagetice situate îtr-u aumit domeiu spectral. Efectul poate fi exter (propriu-zis), atuci câd electroii sut eliberaţi di substaţă î afara volumului acesteia fiid caracteristic metalelor, sau iter (fotocoductibilitate), atuci câd sub acţiuea radiaţiei are loc o creştere a umărului de purtători de sarciă î substaţă fiid caracteristic semicoductoarelor şi izolatoarelor. Ca u alt tip de efect fotoelectric poate fi cosiderată şi fotoioizarea, care costă î eliberarea de electroi de către atomii izolaţi sub acţiuea radiaţiei electromagetice (de 7

18 exemplu, vaporii mooatomici). Numeroase lichide sau gaze precum şi umeroşi compuşi orgaici prezită, de asemeea, efect fotoelectric. Î cele ce urmează e vom referi la efectul fotoelectric propriu-zis, studiul acestuia determiâd itroducerea î fizică a ipotezei fotoilor (de către Eistei) ipoteză care, alături de cea a cuatelor (a lui Plack) defiitivează cocepţia duală, de udă-corpuscul, asupra radiaţiei. Efectul fotoelectric a fost descoperit î aul 888 de către Heirich Rudolf Hertz î cursul experimetelor legate de descoperirea udelor radio (descărcările electrice ître doi electrozi erau stimulate de lumia produsă de alte scâtei electrice). Experimete de pioierat asupra efectului fotoelectric au mai efectuat W. L. F. Hallwachs şi A. G. Stoletov. Se pot imagia diferite tipuri de dispozitive experimetale petru puerea î evideţă a efectului fotoelectric. Amitim î acest ses experimetul clasic al lui Hallwachs: sub iflueţa uui fascicul lumios produs de u arc electric, u electroscop (îcărcat egativ) se descarcă şi (descărcat fiid) se îcarcă pozitiv, datorită emisiei de electroi pri efect fotoelectric. Faptul că particulele îcărcate emise pri efect fotoelectric sut electroi, a fost arătat de Philipp Leard î 889, pri determiarea raportului e m (sarcia specifică) petru particulele emise de o suprafaţă metalică sub acţiuea uui flux de radiaţii ultraviolete. Legile experimetale ale efectului fotoelectric Dispozitivul experimetal tipic petru studiul efectului fotoelectric este prezetat schematic î figura FG... Fig. FG... Diodă fotoelectrică petru studiul efectului fotoelectric şi o caracteristică I-U. Doi electrozi metalici sut aşezaţi îtr-u balo vidat prevăzut cu o fereastră petru fluxul de radiaţie icidet pe suprafaţa catodului. Ître aod şi catod se aplică o tesiue reglabilă ca valoare şi ca polaritate. Tesiuea aplicată tubului şi curetul pri circuit pot fi măsurate cu u voltmetru şi, respectiv, cu u ampermetru, motate coveabil î circuit. Ilumiâd catodul K de exemplu cu radiaţie ultravioletă, se costată că î circuit se stabileşte u curet care u poate fi pus decât pe seama fotoelectroilor emişi de catod, care îchid circuitul pri iteriorul tubului vidat. Dacă polaritatea tesiuii exterioare este astfel aleasă îcât se opue deplasării electroilor spre aod, există o valoare a acesteia petru care curetul fotoelectric se aulează; aceasta este umită tesiue de stopare şi satisface ecuaţia: m eu S = v (FG..6.54) (FG...) î care e, m şi v sut, respectiv, sarcia, masa şi viteza fotoelectroilor. 8

19 Dacă polaritatea tesiuii exterioare este astfel aleasă îcât favorizează trecerea electroilor de la catod spre aod, se costată o creştere a curetului fotoelectric cu tesiuea aplicată, pâă la o valoare de saturaţie a acestui curet, valoare petru care toţi electroii emişi de catod sut colectaţi de aod. Studiul efectului fotoelectric a codus la stabilirea următoarelor legi experimetale ale acestuia:. Itesitatea curetului fotoelectric de saturaţie este proporţioală cu fluxul radiaţiei icidete de structură spectrală dată (legea lui Stoletov). Fig. FG.... Eergia cietică a fotoelectroilor emişi depide liiar de frecveţa radiaţiei icidete şi este idepedetă de itesitatea acesteia. Fig. FG...3. Fig. FG Există o frecveţă limită a radiaţiei icidete, umită frecveţă de prag fotoelectric, depedetă de atura suprafeţei iradiate, sub care efectul fotoelectric u se mai produce (pragul fotoelectric se mai umeşte şi pragul roşu, după culoarea radiaţiei de prag utilizate î experimetele care au dus la stabilirea acestei legi). 4. Efectul fotoelectric se produce practic istataeu (sub 9 s). O parte ditre aceste legi au fost stabilite, petru prima dată, îcă di aul 9, de către P. Leard care a costatat următoarele: viteza electroilor emişi u creşte cu creşterea fluxului de radiaţie; timpul de producere al efectului fotoelectric este foarte mic; sub frecveţa de prag, efectul fotoelectric u se mai produce. Aceste observaţii experimetale ale lui Leard veeau î cotradicţie cu teoria odulatorie a lumiii, coform căreia: viteza fotoelectroilor ar fi trebuit să crească odată cu creşterea fluxului de radiaţie şi cu timpul cât acesta acţioează; timpul de producere al efectului fotoelectric ar fi trebuit să fie mult mai mare; efectul ar trebui să aibă loc î prezeţa radiaţiei de orice frecveţă. Pri urmare, teoria odulatorie a lumiii era icapabilă să explice legile experimetale ale efectului fotoelectric. Ipoteza fotoilor şi explicarea efectului fotoelectric Explicaţia corectă a acestui efect î depliă cocordaţă cu legile experimetale prezetate mai sus a fost dată de către A. Eistei, pe baza ipotezei fotoilor, î aul 95. 9

20 Avâd ca puct de plecare ipoteza cuatelor a lui Plack, Eistei că radiaţia trebuie să aibă u caracter dual, odulatoriu-corpuscular, astfel că fasciculul de lumiă se comportă ca u asamblu de corpusculi (umiţi fotoi ), eergia fiecărui foto fiid ε= hν, (FG...) iar impulsul său fiid p f hν =. (FG...3) c fotoii idetificâdu-se pri urmare cu cuatele de eergie ale lui Plack. Observaţii: Alte forme sub care poate fi scrise eergia şi impulsul fotoului sut: c hω ε= h = = hk λ π şi, respectiv, (FG...4) h hk p f = = = λ π hk sau, vectorial, r p f = h k r, (FG...5) ude ω şi k r sut, respectiv, pulsaţia şi vectorul de udă ataşate fotoului. Aceste expresii rezultă ţiâd seama de caracterul odulatoriu al fotoului. Termeul foto a fost itrodus î 96 de G. N. Lewis, fiid sugerat de termeii electro, itrodus de Stoey î 89 şi proto, itrodus de Rutherford î 9. Mecaismul de producere a efectului fotoelectric este, coform ipotezei fotoilor a lui Eistei, următorul: î procesul de iteracţiue foto-electro, care are loc sub suprafaţa metalului, fotoul îi cedează electroului îtreaga sa eergie ε= hν; ca urmare, eergia cietică a electroului devie ude cu T T = T + hν, (FG...6) hν este eergia cietică a electroului îaitea iteracţiuii şi este, coform teoriei clasice, egală 3 kt (sutimi de electrovolt, la temperatura camerei). Î cazul î care u electro a părăsit suprafaţa metalului pri efect fotoelectric, el a pierdut o parte di eergie L c, î iteriorul reţelei cristalie î ciociri ielastice şi o altă parte L ex, sub formă de lucru mecaic de extracţie; ceea ce rămâe se regăseşte sub forma eergiei cietice a fotoelectroilor, astfel îcât se poate scrie ecuaţia de bilaţ eergetic a lui Eistei: m hν+ T = Lc + Lex + v. (FG...7) Neglijâd L c şi T î relaţia de mai sus, se poate scrie legea efectului fotoelectric, sub formă simplificată, astfel: mv sau, echivalet, = hνl ex (FG...8) mv = h( νν ). (FG...9) p

21 sus. Se poate observa că legile efectului fotoelectric capătă o iterpretare simplă pe baza relaţiilor de mai Astfel, curetului fotoelectric de saturaţie I S cu mărimea fluxului Φ este evidetă, umărul fotoelectroilor eliberaţi fiid proporţioal cu umărul fotoilor icideţi. Observaţii: Se costată experimetal că umărul fotoilor care extrag efectiv u electro di metal este mult mai mic decât umărul fotoilor icideţi; difereţa ditre umărul fotoilor icideţi î uitatea de timp, f şi umărul fotoelectroilor emişi î uitatea de timp, N e determiă creşterea eergiei de agitaţie termică a reţelei cristalie. Raportul N e η= (FG...) f se umeşte radamet cuatic şi are valori cuprise ître 4 şi. Relaţiile (FG...) şi (FG...9) pot fi uite îtr-o sigură relaţie: h( νν p ) = eu S, (FG...) reprezetată grafic î figura FG...5. Fig. FG...5. Pe baza acestei relaţii, Robert Millika a determiat costata lui Plack, măsurâd pata dreptei ridicate experimetal (petru sodiu, vezi figura FG...5) şi utilizâd sarcia electrică a electroului măsurată de el îsuşi î alt experimet (referitor la deplasarea î câmpul electric al uui codesator a particulelor de ulei îcărcate experimetul lui Millika, 9). Iterpretarea udelor electromagetice ca u flux de fotoi este î depliă cocordaţă cu existeţa eergiei şi impulsului câmpului electromagetic ca mărimi de stare ale acestuia. Pri urmare, legile geerale de coservare ale eergiei şi impulsului se pot scrie petru sistemele r complexe formate di fotoi (caracterizaţi de eergia ε = h ω şi impulsul p = h k r ) şi microsistemele cu care iteracţioează (electroi, atomi etc.), caracterizate de eergia E şi impulsul P r sub forma: E + hω = E + hω f i i f i i f f (FG...) r r r r P + hk = P + h k (FG...3) u de idicii i şi f specifică stările diaitea iteracţiuii şi, respectiv, după iteracţiue. Observaţie:

22 Î procesul de iteracţiue foto-electro, petru u electro complet liber legile de coservare ale eergiei şi impulsului u pot fi satisfăcute simulta: - cosiderâd m E ci = v ar trebui să avem simulta mv = hν şi hν mv =, adică v = c (!) c - cosiderâd E ci = ( γ ) mc ar trebui să avem simulta ( )mc h şi (ţiâd seama de relaţia γ =γ β + ) γβ =, deci β = (!). hν γ = ν γβ mc =, adică c Î coseciţă, iteracţiuea foto-electro caracteristică efectului fotoelectric implică prezeţa uui sistem exterior (de ex. o reţea cristaliă) care să preia o parte di impulsul electroului. Alte aspecte privid studiul efectului fotoelectric a) Î cazul î care eergia cietică a fotoelectroului este mult mai mare î raport cu eergia de repaus a electroului ( mc,5 MeV ) ca urmare a eergiei ridicate a cuatei icidete (de ex. radiaţii X) fotoelectroul se comportă relativist, astfel îcât î studiul efectului fotoelectric va trebui să utilizăm legile diamicii relativiste. b) Î teoria cuatică a lui Fowler se arată depedeţa de temperatură a efectului fotoelectric, evideţiidu-se variaţia emisiei fotoelectroice cu frecveţa î veciătatea pragului (care este defiit riguros umai petru T K ). c) Măsurările efectuate asupra efectului fotoelectric au permis calculul tesiuilor de prag (deci al frecveţelor de prag sau al lugimilor de udă de prag) petru majoritatea materialelor utilizate î aplicaţii. Petru exemplificare dăm, mai jos, lugimile de udă de prag petru câteva materiale tipice: Metalul Cs K Na Li Ta Hg Au Fe λ prag [m] 59, 55, 54, 5, 35, 73,5 65, 6, De remarcat dificultăţile de măsurare a tesiuilor de prag, ca urmare a două cauze: - efectul fotoelectric parazit de pe aodul colector (poate fi îlăturat pri cofecţioarea aodului ditr-u alt material î raport cu cel al catodului astfel îcât radiaţia icidetă să aibă lugimea de udă situată ître cele două praguri). - difereţa de poteţial de cotact care apare ître aod şi catod î cazul î care acestea sut cofecţioate di materiale diferite (poate fi îlăturat făcâd măsurători succesive cu aozi şi catozi cofecţioaţi di trei metale diferite, după metoda lui Millika). d) U alt aspect iteresat al efectului fotoelectric îl costituie efectul fotoelectric selectiv. Coform celor prezetate mai sus, curetul fotoelectric de saturaţie scade cu lugimea de udă la flux icidet costat, efectul fotoelectric fiid umit ormal. Îsă, î aumite cazuri se costată depedeţa curetului de saturaţie de direcţia de polarizare a lumiii icidete şi de ughiul de icideţă al acesteia şi apariţia uui maxim prouţat petru o aumită lugime de udă (adică efectul fotoelectric este selectiv). O explicaţie parţială a feomeului a fost posibilă folosid teoria odulatorie a lumiii, îsă explicaţia riguroasă se face î teoria cuatică a iteracţiuii cîmp-substaţă. e) Numeroase alte aspecte specifice prezită efectul fotoelectric iter (fotocoductibilitatea) şi fotoioizarea. De exemplu, î cazul fotocoductibilităţii semicoductoarelor, fotoii absorbiţi determiă trecerea electroilor di bada de valeţă (sau de pe ivelele impurităţilor dooare) î bada de coducţie, creâdu-se astfel purtători de sarciă care, î prezeţa uui câmp electric, modifică eseţial proprietăţile coductoare ale materialului. Feomeul se produce umai dacă fotoii icideţi au o eergie mai mare decât lărgimea

23 bezii iterzise a materialului, E g (sau decât E C E d ) petru a face posibilă trecerea electroilor î bada de coducţie. Această frecveţă miimă a fotoilor, sub care aceştia u sut absorbiţi, joacă rolul frecveţei de prag a efectului fotoelectric exter. Fotoioizarea costă î extragerea electroilor di atomii izolaţi sub acţiuea radiaţiei electromagetice. Experimetal, apariţia electroilor şi a ioilor pozitivi î iteriorul uei mase de vapori supuse iradierii poate fi evideţiată pri metodele spectrografiei de masă. Există o eergie miimă de ioizare a atomilor, care determiă o frecveţă de prag de ioizare sub care feomeul u se produce, frecveţa de prag de ioizare corespuzâd frecveţei de prag di cazul efectului fotoelectric exter. Se costată că, petru acelaşi tip de atomi, eergia de ioizare este mai ridicată decât eergia de extracţie a electroilor di reţeaua cristaliă, ude electroii se află aproape liberi, difereţă explicabilă î teoria cuatică. FG..3. Efectul Compto Evideţierea experimetală a efectului Compto Efectul Compto costă î difuzia radiaţiilor X sau γ î procesele de iteracţiue cu diverse substaţe îsoţită de modificarea lugimii de udă a radiaţiei icidete, fucţie de ughiul de difuzie. Feomeul este caracteristic substaţelor care prezită electroi slab legaţi (de ex. grafitul, parafia). Primele experimete de difuziue a razelor X au fost efectuate î aul 95 de către C. G. Barkla, care a iterpretat rezultatele obţiute pe baza teoriei clasice a difuziei a lui J. J. Thomso. Di măsurările de itesitate efectuate, Barkla a făcut primele estimări ale umărului de electroi di atomi, dar u a putut explica difereţele observate î raport cu teoria clasică petru razele X dure, datorită imposibilităţii efectuării de măsurători spectroscopice (primele spectroscoape au apărut după ce Max vo Laue, î 9 şi W. L. Bragg î 94 au efectuat experimetele lor de difracţie pe cristale). Experimetele de difuzie a razelor X au fost reluate î aul 93 de către Arthur H. Compto, care a studiat radiaţia X împrăştiată de u strat subţire de grafit cu ajutorul uui spectrometru Bragg cu cristal. Cofiguraţia experimetală utilizată î acest scop este prezetată î figura FG..3.. Fig. FG..3.. Di măsurările experimetale efectuate asupra fasciculului difuzat se costată că ître lugimile de udă ale radiaţiei X icidete şi cele ale radiaţiei X difuzate sub u ughi θ există relaţia: θ ( cos ) si λλ =Δλ=ΛC θ = Λ C (FG..3.) Λ C ude este o costată ( Λ =, 466 m) umită lugime de udă Compto. C Explicarea efectului Compto pe baza teoriei fotoice Efectul Compto a fost explicat petru prima dată de către A.H. Compto şi P. Debye î aul 93, aplicâd iteracţiuii foto-electro legile clasice ale ciocirii a două corpuri (legea coservării eergiei şi legea coservării impulsului), pe baza ipotezei fotoice a lui Eistei. 3

24 Fig. FG..3.. Iteracţiuea caracteristică efectului Compto este prezetată schematic î figura FG..3., electroul slab legat al substaţei difuzate fiid cosiderat î repaus. Caracteristicile diamice ale fotoului şi electroului care itervi î iteracţiuea studiată sut următoarele: Eergie Foto Electro îaitea iteracţiuii hν mc după iteracţiue hν E = c p + m c Impuls Foto Electro îaitea iteracţiuii hν c după iteracţiue hν c Coform legilor de coservare a eergiei şi a impulsului, pot fi scrise relaţiile: hν + m c = hν+ c p + m c (FG..3.) hν r hν r r k = k + p (FG..3.3) c c r r r ude, şi sut, respectiv, versorul direcţiei de propagare a fotoului icidet, versorul direcţiei de k k p propagare a fotoului difuzat şi impulsul electroului după iteracţiue. Relaţia (FG..3.3) este echivaletă cu două ecuaţii scalare, obţiute pri proiectarea ecuaţiei vectoriale pe două direcţii perpediculare (ua paralelă cu direcţia fotoului icidet şi cealaltă perpediculară pe aceasta) î raport cu care se defiesc ughiurile θ şi ϕ de difuziue ale fotoului şi, respectiv, electroului după iteracţiue: hν hν = cosθ+ pcosϕ c c (FG..3.4) hν = siθ+ psi ϕ c (FG..3.5) Di relaţiile de mai sus se obţie, pri elimiarea ughiului ϕ, expresia impulsului: p h h = ( ν νcos θ ) + ( νsi θ ) (FG..3.6) c c care, itrodusă î relaţia (FG..3.) a legii coservării eergiei, coduce la ecuaţia: p 4

25 h ( cos ν ν = mc θ ) (FG..3.7) care se scrie, î fucţie de lugimile de udă implicate, sub forma stadard: h h θ Δλ = λ λ = θ =, (FG..3.8) mc ( cos ) si mc de ude, pri comparare cu relaţia experimetală (FG..3.), rezultă expresia lugimii de udă Compto: h Λ C =. (FG..3.9) mc Di aaliza relaţiei (FG..3.8) rezultă că ecartul lugimii de udă este o fucţie crescătoare de ughiul de difuziue θ, fiid idepedet de atura substaţei difuzate şi de lugimea de udă a radiaţiei icidete, λ. Totodată, se observă că ecartul Δλ este îtotdeaua pozitiv, îtrucât eergia fotoului scade î urma iteracţiuii, difereţa de eergie fiid preluată de electroul implicat, sub formă de eergie cietică. Ecartul Δλ ca fucţie de ughiul de difuzie θ atige valoarea maximă petru θ = π, câd Δλ = Λ C şi este ul petru θ =. Se costată că lugimea de udă Compto este lugimea de udă petru care eergia fotoului asociat acestei lugimi de udă este egală cu eergia de repaus a electroului: E hc = = mc =,5 MeV ΛC. (FG..3.) Studiile experimetale evideţiază prezeţa î spectrul radiaţiei difuzate şi a lugimii de udă iiţiale. Astfel, odată cu creşterea ughiului de împrăştiere, raportul ditre itesităţile compoetelor cu lugimile de udă λ şi λ se schimbă î favoarea compoetei λ (vezi figura FG..3.3, î care pe ordoată este reprezetată itesitatea fasciculului difuzat; evidet, petru θ = ordoata va idica itesitatea fasciculului icidet). Calculul de mai sus s-a făcut petru iteracţiuea uui foto cu u electro slab legat, dar care a fost cosiderat liber, astfel că pri ciocire fotoul îi cedează eergie electroului. Apariţia compoetei λ se explică pri atura elastică a iteracţiuii ditre foto şi u electro mai strâs legat, situat pe u strat mai profud al atomului, astfel îcât fotoul difuzat u îşi schimbă, practic, lugimea de udă (ciocirea se face î acest caz cu tot atomul, electroul rămâe legat de atom astfel îcât ecartul de frecveţă calculat va depide de masa atomului, deci va fi foarte mic). Fig. FG Î mod asemăător se explică iteracţiuea, fără modificarea lugimii de udă, a fotoului cu reţeaua cristaliă a uui solid. Compoeta cu frecveţa edeplasată di spectrul radiaţiei difuzate se mai umeşte compoetă Thomso; ca urmare a difuziei de tip Thomso care o caracterizează (difuziue fără schimbarea lugimii de udă). 5

26 Studiul electroilor difuzaţi Compto Referitor la electroii difuzaţi Compto (electroii de recul), di legea coservării eergiei rezultă că eergia cietică imprimată acestora este dată de relaţiile: hν ( cos θ) mc T = hδν= c Δ m=. (FG..3.) hν + ( cosθ) mc Valoare ughiului ϕ de recul al electroului se obţie ţiâd seama de relaţia de coservare a impulsului (vezi figura 6.): tgϕ= hν θ ( + ) tg mc (FG..3.) Deoarece θ π, rezultă că ughiul ϕ se va afla îtotdeaua î cadraul al patrulea. Raportul ditre eergia cietică a electroului difuzat şi cea a fotoului icidet este dat de relaţia: T Δλ = hν λ +Δλ ; (FG..3.3) rezultă că, petru acelaşi ughi de difuzie θ, eergia electroului de recul creşte cu creşterea frecveţei fotoului icidet. Verificări experimetale Î aul 95 Compto şi Simo au arătat, cu ajutorul uei camere Wilso că valoarea ughiului ditre direcţia fotoului difuzat şi cea a fotoului icidet este î cocordaţă cu valoarea calculată utilizâd legile de coservare ale eergiei şi impulsului, pe baza ipotezei fotoice. Astfel, electroul de recul şi fotoelectroii produşi de radiaţia difuzată pri efect fotoelectric (fotoii u lasă urme î camera Wilso) sut vizualizaţi pri urmele pe care le produc după direcţii alese î cocordaţă cu relaţia (FG..3.). Alte experimete, realizate de Bethe şi Geiger, au verificat simultaeitatea apariţiei electroului de recul şi a fotoului difuzat. Cofiguraţia experimetală utilizează două cotoare Geiger. U fascicul de raze X produce efect Compto îtr-o atmosferă de H. U cotor, cu fereastră de Pt şi atmosferă de aer absoarbe electroii de recul şi evideţiază fotoii difuzaţi pri itermediul fotoelectroilor produşi de aceştia pri efect fotoelectric; celălalt cotor, cu atmosferă de H, reacţioează la electroii difuzaţi Compto, efiid practic iflueţat de fotoii difuzaţi Compto, slab absorbiţi de hidroge. Motâd cele două cotoare îtr-u laţ de măsură cu coicideţă, umărul mare de coicideţe costatat experimetal cofirmă simultaeitatea apariţiei electroului de recul şi a fotoului difuzat. Pri urmare, explicarea efectului Compto pe baza teoriei fotoice este î depliă cocordaţă cu faptele experimetale. Efectul Compto multiplu Aaliza radiaţiei Compto difuzate pue î evideţă posibilitatea producerii uui efect Compto multiplu, deplasarea lugimii de udă a radiaţiei fiid dată, î acest caz, de relaţia: ( ) h Δλ = ( cos θi ) (FG..3.4) mc i= θ i fiid ughiul de difuziue î etapa i di procesul multiplu, cu etape, cosiderat. 6

27 Petru exemplificare se cosideră efectul Compto dublu. Cosiderâd cazul particular î care fotoul icidet şi cei doi fotoi împrăştiaţi se află î acelaşi pla, relaţia (FG..3.4) devie: ( ) h θ Δλ = cosα cos mc (FG..3.5) θ θ ude α= reprezită ughiul ditre prima direcţie de împrăştiere şi bisectoarea ughiului de observaţie θ (vezi figura FG.3.3.4). Relaţia (FG..3.5) rămâe valabilă şi î cazul geeral, î care cei trei fotoi cosideraţi u mai au impulsurile coplaare. θ θ θ =θ +θ α = Fig. FG ( θ θ ) Calculâdu-se valorile extreme petru ( Δλ ) şi ( Δλ ), pri atribuirea de valori coveabile ughiurilor α şi θ, se pot stabili elemete suficiet de difereţiere experimetală a efectelor Compto simplu şi Compto dublu. Efectul Doppler Se ştie că efectul Doppler costă î variaţia frecveţei radiaţiei recepţioate î raport cu frecveţa radiaţiei emise de către o sursă atuci câd aceasta şi observatorul care o recepţioează se află î mişcare relativă ître ele. Teoria odulatorie a lumiii explică efectul Doppler pri variaţia aparetă a lugimii de udă a radiaţiei datorită mişcării relative. Î aul 9, Schrödiger arată că efectul Doppler poate fi de asemeea explicat utilizâdu-se ipoteza fotoilor a lui Eistei, oferid î acest fel o cofirmare î plus a acestei ipoteze (care statuează caracterul dual al radiaţiei). Cosiderăm u atom de masă m şi viteză r v care emite u foto de impuls h cν după direcţia θ (vezi figura FG..3.5). y hν si θ c hν c Δ r v θ hν cosθ c r v x Δ r v Δ r v r r v+ Δv Fig. FG Petru variaţii mici ale vitezei atomului î urma procesului de emisie, legea coservării impulsului după direcţiile Ox şi Oy se scrie astfel: hν mδ v = cosθ (FG..3.6) c 7

28 hν mδ v = si θ (FG..3.7) c Pri emisia cuatei de eergie hν are loc atât variaţia eergiei cietice a atomului, cât şi o modificare a stării sale itere, pusă î evideţă de eergia Δ E, astfel îcât legea coservării eergiei se va scrie: m hν= ( Δ ) ( Δ ) +ΔE v v v v (FG..3.8) hν Di relaţiile (FG..3.7) şi (FG..3.8), ţiâd seama de iegalitatea, se obţie expresia mc frecveţei cuatei difuzate: pri urmare ΔE ν= h (FG..3.9) v cosθ c Petru v =, relaţia (FG..3.9) reprezită frecveţa cuatei emise de atomul î repaus: ΔE ν = (FG..3.) h ν v cosθ c v cos c ν= ν + θ adică formula cuoscută a efectului Doppler. (FG..3.) Î mod aalog, pe baza ipotezei fotoice se poate obţie formula efectului Doppler relativist (di scrierea corespuzătoare a legilor de coservare ale eergiei şi impulsului, îaite şi după emisia fotoului). Formula (FG..3.) este î depliă cocordaţă şi cu postulatele lui Bohr referitoare la atomul de hidroge. FG..4. Presiuea lumiii Ipoteza ca radiatia exercita o presiue asupra corpurilor pe care cade apartie lui Kepler (i jurul aului 6) care a icercat sa explice pri existeta presiuii exercitate de radiatia emisa de Soare cozile cometelor care sut orietate itotdeaua i directie opusa Soarelui. I termodiamica, i aul 876, Bertoli a facut o experieta i care deplasarea uui pisto itr-o icita vidata u poate fi explicata decat pri ipoteza existetei presiuii radiatiei. ρ E S-a costatat ca presiuea radiatiei poate fi calculata cu formula p = cuoscuta astazi ca fiid ecuatia 3 termica de stare a radiatiei termice. O metoda directa de masurare a presiuii radiatiei a fost propusa i aul 9 de catre Lebedev, cara a efectuat urmatoarea experieta. Itr-o icita vidata a a suspedat cu u fir de cuart, i pozitie orizotala o bara foarte usoara, suspedata cu u fir de cuart. Doua foite de mica, ua argitata cealalta iegrita au fost lipite pe capetele barei, astfel icat cele doua foite se comporta diferit i raport cu lumia icideta de la o sursa puterica. Ca urmare are loc torsioarea firului, care se poate masura cu ajutorul deviatiei spotului lumios icidet pe foite, fiid posibila o masurare catitativa a presiuii radiatiei. Explicarea presiuii radiatiei pe baza teoriilor clasice odulatorie si corpusculara ale lumiii u sut satisfacatoare, fiid i cotradictie si cu alte fapte experimetale privid atura acesteia. Teoria cuatica a facut posibila iterpretarea riguroasa a presiuii radiatiei cu ajutorul ipotezei fotoilor. Coform acestei 8

29 ipoteze, presiuea lumiii este determiată de variaţia impulsului fotoilor icideţi î uitatea de timp, pe uitatea de arie. De exemplu, petru N fotoi icideti, pe o suprafaţă absorbată ( Aν =): p = Nhν / c sau p'= p petru o suprafaţă perfect reflectătoare ( R ν =). I geeral, petru o suprafata vad u factor de reflexie ρ rezulta petru presiuea lumiii expresia cuoscuta: p = p( + ρ). FG..5. Experimetul lui Frack si Hertz Studiul emisiei şi absorbţiei radiaţiei de către atom pe baza modelului stărilor eergetice staţioare l-a făcut pe Bohr să afirme (î aul 93) că, î virtutea caracterului itrisec al acestor stări staţioare, atomului i se poate furiza eergie petru excitare atât pri itermediul radiaţiei extere cât şi pe altă cale, cum ar fi bombardametul electroic. U astfel de experimet de bombardamet electroic al atomului a fost efectuat de James Frack şi Gustav Hertz, care au comuicat rezultatele obţiute î aul 94. Dispozitivul experimetal utilizat de aceştia, de tip triodă (ca şi î experimetul lui Leard) este prezetat î figura FG..5.. Se observă că, ître aod şi catod se aplică u poteţial accelerator, pe câd ître grilă şi aod u poteţial de frâare petru electroi. Î icita de sticlă se află vapori de mercur (sau alte specii de atomi) la o presiue scăzută, ître atomii de mercur şi electroii acceleraţi de grilă avâd loc î mod cotiuu procese de ciocire elastică sau eelastică. Fig. FG..5.. Spre deosebire de experimetul lui Leard (ude se studiau atomii care se ioizau î decursul ciocirilor cu electroii) î acest experimet se urmăreşte comportametul electroilor î iteracţiuile lor cu atomii care pot trece (sau u) î stări eergetice excitate. Cu ajutorul dispozitivului de mai sus sut puşi î evideţă acei electroi care îşi pierd eergia îtr-o ciocire eelastică cu atomii, măsurâdu-se curetul aodic î fucţie de tesiuea de accelerare a grilei (vezi figura FG..5.). Fig. FG

30 Cotribuţia electroilor la curetul aodic va fi dată de acei electroi care au eergia cietică suficiet de mare petru a îvige tesiuea de frâare a aodului. Pe de altă parte, excitarea atomilor de mercur di icită se poate realiza pri ciociri eelastice cu electroii dacă eergia acestora atige valorile ev, r ev, r ev, r, etc. (care caracterizează difereţele eergetice ditre starea fudametală şi diferite stări excitate ale atomului), umite eergii de rezoaţă. Aceste eergii de rezoaţă corespud uor poteţiale de rezoaţă V, r măsurăm cu ajutorul poteţialului de accelerare V GK (vezi figura FG..5.3). V, r V, r, etc., pe care le Observaţie: Fig. FG Excitarea atomilor de mercur se face pri procese de tipul A+ e = A + e Δ T, umite ciociri de speţa îtâi. Iterpretarea caracteristicii experimetale di figura se face î felul următor. Petru eergii cietice ale electroilor T < ev r S, electroii suferă ciociri elastice cu atomii de mercur fără a-şi pierde eergia, astfel îcât are loc o creştere corespuzătoare a curetului aodic. Dacă eergia cietică a electroilor satisface codiţia ev < T < ev atuci, electroii, pri ciocire eelastică, vor ceda eergia ev r r atomilor de Hg, care vor trece î prima stare excitată. Ca urmare, eergiile electroilor care au suferit ciociri eelastice scad brusc, producâd o scădere îsemată a curetului aodic. r Dacă eergia cietică a electroilor creşte şi mai mult, fiid verificată codiţia atuci, electroii, vor ceda atomilor pri ciociri eelastice fie eergia mulţi atomi, fie eergia scăderi importate ale curetului aodic. ev < T < ev r r3 î ciociri succesive cu mai ev r, aceştia putâd trece î prima sau î a doua stare excitată, producâdu-se Raţioametul poate fi cotiuat pâă câd eergia cietică a electroilor atige valoarea eergiei de ioizare. Î cazul studiat al atomilor de mercur, poteţialul de rezoaţă petru această valoare a tesiuii de grilă ( V G r ev r V r este egal cu 4,9 V, astfel îcât = V = 4,9 V ) se produce prima scădere îsemată a curetului aodic (prima ciocire eelastică a electroilor cu atomii de mercur avâd loc î apropierea grilei). Se observă u al doilea miim al curetului pe caracteristica experimetală petru tesiuea de accelerare V = V = 9,8 V ca urmare a faptului că uii electroi efectuează două ciociri eelastice G r succesive, cu doi atomi diferiţi, fiecăruia cedâdu-i o eergie egală cu eergia de rezoaţă ev r (prima ciocire se produce la jumătatea distaţei ditre catod şi grilă, L ). 3

31 V Feomeul se repetă petru valori ale tesiuii de accelerare egale cu V = 3V = 4,7 V, = 4V = 4,7 V, ş.a.m.d. G 4 r G 3 r După apariţia primului puct de miim de pe caracteristica studiată se observă emisia liiei 53,7 m a mercurului, corespuzătoare eergiei de 4,89 ev; itesitatea ei creşte brusc odată cu atigerea uui ou puct de miim, sigura explicaţie fiid dezexcitarea atomilor de mercur excitaţi (pri ciociri eelastice) de electroii acceleraţi. Pri urmare, eergia furizată atomilor pri ciociri este cedată sub formă de radiaţie optică, î depliă cocordaţă cu teoria lui Bohr. Observaţii: Atuci câd au efectuat experimetul, Frack şi Hertz au iterpretat poteţialele de rezoaţă ca fiid poteţiale de ioizare şi au susţiut acest puct de vedere pâă î aul 97, câd au admis explicaţia corectă. Pri experimete mai rafiate, Hertz a putut pue î evideţă î spectru mercurului şi liia cu lugimea de udă de 546, m, î depliă cocordaţă cu teoria poteţialelor de rezoaţă. FG..6. Modelul atomic al lui Bohr a. Seriile spectrale ale atomului de hidroge Studiile spectroscopice au codus la oi rezultate care aveau să evideţieze dificultăţile modelului atomic al lui Rutherford şi să cotribuie la elaborarea uor modele atomice mai perfecţioate. Di astfel de studii a rezultat existeţa liiilor spectrale îguste, faptul că frecveţa radiaţiilor emise sau absorbite variază de la u atom la altul (permiţâd idetificarea uui aumit tip de atomi cu ajutorul spectrului) etc. Pri urmare, spre deosebire de spectrul cotiuu al radiaţiei termice, atomii prezită spectre de liii, care par să coţiă iformaţii suplimetare asupra structurii acestora. U aport importat la elucidarea mecaismului de iteracţiue a atomului cu radiaţia l-a avut Joha Jakob Balmer care (î aul 885) a descoperit că liiile spectrale ale hidrogeului situate î vizibil (otate cu H α, H β, H γ, H δ ) prezită o aumită regularitate, lugimile de udă corespuzătoare acestor patru liii putâd fi calculate cu relaţia: λ=λ 4 (FG..6.) ude este u umăr îtreg care poate lua valorile 3, 4, 5 sau 6, iar λ este o costată avâd valoarea λ = 3645,6 Å = 364,56 m. Cocordaţa depliă ître rezultatele obţiute experimetal şi cele calculate cu formula lui Balmer (FG..6.) sut prezetate î tabelul FG..6.. Tabelul FG..6.. Liia spectrală Lugimea de udă Experimetală Calculată J. J. Balmer, 885 [m] W. E. Curtis, 94 [m] J. J. Balmer, 885 [m] H α 3 656, 656,79 656,8 H β 4 486,7 486,33 486,8 H γ 5 43, 434,47 434, H δ 6 4,3 4,74 4, 3

32 Mai târziu, Johaes (Jae) Robert Rydberg a observat că formula (FG..6.) se poate pue sub o formă simetrică, mult mai geerală, care permite calculul frecveţelor: ν= crh, (FG..6.) ude R H este o costată, umită costata lui Rydberg petru hidroge, avâd valoarea R H =, (55) 7 m Observaţie: Expresia matematică de calcul a costatei Rydberg se va obţie di teoria lui Bohr asupra atomului de hidroge; valoarea ei a fost găsită şi de către Rydberg, î mod empiric. Altă formă utilizată î spectroscopie petru formula lui Rydberg (petru a se lucra cu umere cât mai mici) este dată de expresia: î care ν= % = RH (FG..6.3) λ ν= % se umeşte umăr de udă al liiei spectrale. λ U grup de liii spectrale ale uui spectru, corelate ître ele, alcătuiesc o serie spectrală. Ca urmare, liiile spectrale ale hidrogeului sut situate î vizibil şi corelate pri formulele lui Rydberg (FG..6.) sau (FG..6.3) alcătuiesc o serie umită seria Balmer (după umele descoperitorului ei); umărul îtreg este umărul geerator al seriei spectrale. Ulterior au fost descoperite şi alte serii spectrale ale hidrogeului situate î ultraviolet sau î ifraroşu: Lyma (96), Pasche (98), Brackett (9), Pfudt (94), Humphreys (953), formula lui Rydberg fiid geeralizată petru calculul liiilor spectrale ale acestor serii sub forma: ν= crh m (FG..6.4) cu > m. Particularizâd formula (FG..6.4) petru fiecare ditre aceste serii, se obţi valorile di tabelul. Tabelul FG..6.. Nr. crt. Seria Formula de calcul Numărul geerator al seriei Domeiul spectral. Lyma ν= % RH L =, 3, 4, K L ultravioletul îdepărtat. Balmer ν= % RH B = 3, 4, 5, K vizibil L 3. Pasche ν= % RH P = 4, 5, 6, K ifraroşu L 4. Brackett ν= % RH Br = 5, 6, 7, K ifraroşu L 5. Pfud ν= % RH Pf = 6, 7, 8, K ifraroşu L 6. Humphreys ν= % RH H = 7, 8, 9, K L ifraroşu 3

33 Termeii limită petru fiecare serie spectrală se obţi petru valori ale umărului geerator al seriei tizâd către ifiit. Petru exemplificare, î tabelul 3 se prezită pricipalele liii spectrale ale seriilor Lyma, Balmer şi Pasche. Tabelul FG Seria Liia m λ [m] ν% [ 6 m ] Lyma Balmer Pasche α,53 8,33 β 3,575 9,7544 γ 4 97,8,879 δ 5 94,937,5348 limita 9,67,9737 α 3 656,3,54 β 4 486,9,576 γ 5 433,9367,345 δ 6 4,7,4386 limita 364,568,7434 α 4 874,665,53345 β 5 8,4693,7835 γ ,55,9448 δ 7 4,679,99535 limita 8,44,93 Rezultatele obţiute petru seriile spectrale ale hidrogeului pot fi extise petru studiul tuturor atomilor/ioilor hidrogeoizi (cu u sigur electro), dar spectrul deuteriului, de exemplu, are liiile spectrale deplasate (cu puţi) faţă de cele ale hidrogeului: 656,3 m şi D α = 656,95 m, H β = 486,9 m şi D β = 486,49 m astfel îcât costata Rydberg petru deuteriu va avea valoarea R D =, (9) 7 m. Petru ioul He + se obţie (aproximativ) R + = Z R = R (spectrul avâd o structură He H 4 He H asemăătoare cu cel al hidrogeului), petru ioul de Li + vom avea (aproximativ) R = Z R = R etc. + + Li Li H 9 H b. Formula combiării Ritz-Rydberg O ouă etapă î iterpretarea datelor spectroscopice furizate de seriile spectrale o costituie observaţia lui Walther Ritz (98), care a costatat că formula lui Rydberg (FG..6.4) scrisă sub forma ν= crh cr m H (FG..6.5) exprimă frecveţa liiei spectrale ca difereţă a doi termei, umiţi termei spectrali, şi otaţi cu T m, respectiv T : ν= T T (FG..6.6) m 33

34 ude T m crh = şi T m crh =. Pri urmare există o corelaţie bie stabilită ître diferitele frecveţe ale liiilor spectrale: dacă două liii fac parte di acelaşi spectru, atuci este posibil ca suma sau difereţa lor să facă de asemeea parte di spectrul respectiv. De exemplu, di liiile seriei Balmer Balmer ν H = cr α H 3 şi Balmer ν = cr H H β 4 Pasche Balmer Balmer obţie, pri scădere, prima liie a seriei Pasche: ν H =νh ν H = cr α β α H 3 4 Balmer Pasche Balmer (pri aduare): ν =ν +ν. Hβ Hα Hα 34 se poate şi, evidet, ivers Deci, dacă termeii spectrali ai uui atom sut orgaizaţi îtr-u tablou de umere, fiecare frecveţă a spectrului va fi sigur dată de de difereţa a două astfel de umere, fiid îsă ecesară formularea uor reguli de selecţie petru a îlătura acele combiaţii care u aparţi spectrului. Formula (FG..6.6) exprimă o lege fudametală a emisiei liiilor spectrale, putâdu-se aplica, sub o formă corespuzătoare oricărui sistem atomic. Cotradicţia acestei legi cu teoria clasică a radiaţiei este evidetă. Atomul, privit ca oscilator, u mai emite frecveţa fudametală şi armoicele acesteia, ci u spectru caracteristic de frecveţe, fiecare ditre acestea putâd fi cosiderată o frecveţă proprie, corespuzătoare uui aumit grad de libertate (îsă această iterpretare vie, la râdul său, î cotradicţie cu teoria căldurilor specifice sub prima sa formă elaborată de Eistei. c. Teoria căldurilor specifice ale solidelor Coform teoriei clasice a căldurilor specifice, valoarea capacităţii calorice a uui mol de substaţă la volum costat este idepedetă de temperatură, fiid dată de relaţia C V = 3R, ude R este costata uiversală a gazelor perfecte. Acest rezultat se obţie admiţâd o mişcare de vibraţie a atomilor î solid, fiecărui atom corespuzâdu-i trei astfel de grade de libertate. Căutâd să explice căldurile specifice ale solidelor cu ajutorul teoriei radiaţiei a lui Plack (atomul era privit ca u oscilator care emite frecveţa ν şi armoicele acesteia) Eistei (î aul 97) pe baza uor cosideraţii statistice, elaborează o ouă teorie a căldurilor specifice ale solidelor coform căreia acestea descresc cu temperatura, tizâd către zero. Cauza acestei scăderi s-ar datora descreşterii populaţiilor atomice aflate î stări eergetice cuatificate superioare, astfel că apare petru prima dată ideea ecesităţii cuatificării sistemelor materiale, pe care o va face î mod strălucit teoria lui Bohr, î depliă cocordaţă şi cu teoria seriilor spectrale. De meţioat că teoria lui Eistei a căldurilor specifice a fost cofirmată î pricipiu experimetal de Dewar, Nerst şi Eucke şi completată î aul 9 de lucrările lui Debye. d. Cuatificarea eergiei atomului. Postulatele lui Bohr Neajusurile modelului atomic plaetar al lui Rutherford au fost îlăturate de modelul atomic cu elemete cuatice al lui Bohr, elaborat î 93, cosiderat şi prima teorie catitativă a atomului. Ţiâd seama de faptul că electroii aflaţi î mişcare îtr-u atom u radiază eergie, aşa cum prevăd legile mecaicii şi electrodiamicii clasice, Bohr admite petru prima dată că atomul u se comportă ca u sistem clasic, care poate schimba eergie î mod cotiuu. Petru explicarea comportării electroului î atom, Bohr itroduce două postulate fudametale care costituie elemetele eseţiale ale uui ou model atomic, cu elemete cuatice: postulatul existeţei stărilor staţioare şi postulatul frecveţelor.. Postulatul stărilor staţioare U sistem atomic poate exista î aumite stări staţioare, caracterizate de şirul discret de eergii E, E, E 3, E, î care u emite şi u absoarbe eergie.

35 Aceste stări corespud deplasării electroilor pe orbite staţioare.. Postulatul frecveţelor Traziţiile sistemului atomic ditr-o stare staţioară î altă stare staţioară este îsoţită de emisia sau absorbţia de eergie radiată, frecveţa radiaţiei emise sau absorbite fiid dată de relaţia E E h ν= (FG..6.7) ude E şi E sut eergiile stărilor atomice staţioare implicate î traziţie. Studiid atomul de hidroge, coceput ca fiid format ditr-u ucleu cetral î jurul căruia electroul se mişcă pe orbite circulare staţioare, Bohr a reuşit să dea o explicaţie satisfăcătoare liiilor spectrale emise de acesta coform relaţiei (FG..6.7) umai cu ajutorul uor codiţii suplimetare de cuatificare petru mometul cietic al orbitelor circulare, umite codiţiile de cuatificare ale lui Bohr, care aveau rolul de a stabili orbitele circulare permise petru mişcarea electroului. Coform acestor codiţii de cuatificare, electroul atomului de hidroge u se poate mişca decât pe decât pe aumite orbite staţioare şi aume pe acelea petru care mometul cietic al electroului faţă de ucleu este u multiplu îtreg al costatei lui Plack raţioalizate: L = mv r = h (FG..6.8) O ude este u umăr atural strict pozitiv umit umăr cuatic pricipal. Observaţie: Relaţia (FG..6.8), cosiderată î uele lucrări ca al treilea postulat al lui Bohr rezultă di postulatul imposibilităţii fragmetării idefiite a spaţiului fazelor al lui Plack, deci u reprezită u postulat ou. Pe de altă parte, î aul 95 W. Wilso şi A. Sommerfeld au descoperit, î mod idepedet, o ouă metodă de cuatificare a orbitelor atomice, care costituie geeralizări ale metodei codiţiilor de cuatificare ale lui Bohr. Spre deosebire de codiţiile de cuatificare ale lui Bohr petru orbitele circulare, codiţiile de cuatificare Wilso-Sommerfeld pot fi aplicate petru traiectorii oarecare, î câmpuri de forţe de diferite tipuri. Metoda costă î rezolvarea ecuaţiilor de mişcare clasice sub formă hamiltoiaă, utilizâdu-se coordoatele geeralizate q, q, q 3,, q 3N şi impulsurile geeralizate p, p, p 3,, p 3N privite ca variabile idepedete şi formularea codiţiilor de cuatificare cu ajutorul itegralelor de acţiue, sub forma: pk dqk = kh (FG..6.9) ude k =,, 3,..., 3N şi k sut umere aturale strict pozitive. Calcului itegralelor (FG..6.9) poate fi făcut petru mişcări de tip multiperiodic, adică mişcări petru care coordoata implicată trece pritr-u ciclu, idepedet de celelalte coordoate. e. Studiul atomului de hidroge cu ajutorul modelului atomic al lui Bohr (α) Modelul orbitelor circulare al lui Bohr Primul model catitativ al atomului elaborat pe baza postulatelor lui Bohr î 93 cupride: -calculul orbitelor staţioare î atomul de hidroge, -cosiderarea mişcării simultae a ucleului, 35

36 -iterpretarea seriilor spectrale descoperite aterior. Di codiţia de stabilitate a electroului aflat î mişcare cu frecveţa ughiulară ω pe orbită, sub acţiuea forţei electrostatice a ucleului (mişcare î câmp cetral, ucleul fiid cosiderat imobil) şi a forţei cetrifuge, exprimată de relaţia Ze m r ω = (FG..6.) πε 4 r şi di codiţiile de cuatificare ale lui Bohr (FG..6.8) se obţie petru razele orbitelor circulare ale electroului expresia r 4πε h = Zm e. (FG..6.) Pe de altă parte, ţiâd seama de expresia eergiei cietice al electroului î mişcarea circulară, T m v Ze r = = 8 πε (FG..6.) şi de expresia eergiei poteţiale a sistemului alcătuit di ucleu şi electro, U Ze = 4 πε r (FG..6.3) rezultă petru eergia totală a atomului expresia: Ze E = U + T = (FG..6.4) 8 πε r Semul mius al eergiei arată că este ecesară o eergie exterioară petru separarea electroului de ucleu, atomul fiid, î acest caz, u sistem legat. Itroducâd î expresia (FG..6.4) a eergiei expresia (FG..6.) a razelor orbitelor Bohr, se obţi valori discrete petru eergia atomului, date de relaţia: E Z m e = 3 4 πεh (FG..6.5) Di aaliza relaţiilor (FG..6.) şi (FG..6.5) ale razelor şi, respectiv, eergiei totale a atomului se costată următoarele: -petru Z = se obţie, petru razele electroice î atomul de hidroge expresia: 4πε r (FG..6.6) = = r me ude r se umeşte prima rază Bohr: 4πε r = =,59 m, (FG..6.7) me mărime utilizată adesea ca uitate de măsură petru distaţele atomice. -expresia (FG..6.5) a eergiei mai poate fi scrisă sub forma: πεh Z e Z E = mc = α E 4 c (FG..6.8) 36

37 care evideţiază mărimea adimesioală e α= = 4πε hc 37 (FG..6.9) umită costata structurii fie (utilizată î studiul modelului atomic Bohr-Sommerfeld) şi eergia de repaus a electroului, E mc,5 MeV = =. (FG..6.) Astfel, cu ajutorul expresiei (FG..6.8) se poate calcula eergia ecesară petru a îdepărta di atom electroul de pe cea mai joasă orbită posibilă, = (proces de ioizare), ca fiid de aproximativ 3,6 ev, î depliă cocordaţă cu experieţa. -starea atomului de hidroge care se obţie petru = se umeşte stare fudametală, iar atomul î această stare se umeşte eexcitat; stările cu > sut stări excitate. -petru către zero. se obţie o serie egativă, discretă a valorilor eergiei, al cărei terme geeral tide (β) Atrearea ucleului Dacă se ţie seama şi de mişcarea ucleului, formulele obţiute aterior petru descrierea atomilor/ioilor hidrogeoizi trebuie să fie corectate, deoarece aproximaţia de puct fix a ucleului u este riguros valabilă decât petru o masă ifiită a acestuia (î raport cu masa electroului). Ecuaţiile de mişcare ale asamblului electro-ucleu se scriu, î refereţialul laboratorului, sub forma (vezi figura FG..6.): mr r&& r = f( ρ) (FG..6. ) Z r r M && MR =f( ρ) r (FG..6. ) R C ude: m este masa de repaus a electroului; r ρ r C m M este masa de repaus a ucleului; r, R r şi r r C sut vectorii de poziţie al electroului, al ucleului Y şi, respectiv, al cetrului de masă; f ( ρ ) este forţa de iteracţiue ditre cele două particule; iar r C este versorul direcţiei ρ r ditre cele două particule. X Aduâd cele două relaţii se poate scrie: Fig. FG..6.. d r && ( mr && + r MR ) = (FG..6.) dt r r sau m v + MV = cost., (FG..6.3) adică impulsul total al sistemului ucleu-electro se coservă. Ţiâd seama de raza vectoare a cetrului de ierţie, r r r mr + MR C = m + M (FG..6.4) se obţie: ( r r m ) ( r r C = M R C) r adică paralelismul vectorilor C r r r R C şi, implicit, coliiaritatea puctelor M, m şi C. (FG..6.5) 37

38 De asemeea, di relaţiile (FG..6.) şi (FG..6.3) rezultă (deoarece M + m = cost. ) r & C = cost. (FG..6.6) Relaţia (FG..6.4) exprimă faptul că puctul C (care este cetrul de ierţiei al celor două particule) se mişcă uiform sau este î repaus şi, totodată, reprezită o altă formă a legii coservării impulsului sistemului celor două particule. r Alegâd origiea sistemului de coordoate chiar î cetrul de ierţie C ( = ), cele două particule se mişcă î jurul puctului C pe orbite asemeea, astfel îcât studiul mişcării sistemului poate fi îlocuit cu studiul mişcării uei sigure particule, situată la distaţa ρ faţă de cetrul de ierţie C şi avâd masa (umită masă redusă) C mm μ= = M + m m m + M (FG..6.7) Îtr-adevăr, di ecuaţiile (FG..6. ) şi (FG..6. ), pri scădere, se obţie: r && r && r R = + f( ρ) m M (FG..6.8) sau && r r ρ= f ( ρ) (FG..6.9) μ r r ude ρ= R r, (FG..6.3) adică ecuaţia de mişcare căutată. Pri urmare, petru a se ţie seama de mişcarea proprie a ucleului, î relaţiile catitative care descriu atomii/ioii hidrogeoizi masa electroului î mişcare trebuie îlocuită cu masa redusă μ a celor două particule. Îtrucât m se obţie, petru masa redusă, o valoare cu,7% mai mică decât m. M 836 Acelaşi rezultat se obţie calculâd direct valoarea eergiei sistemului ucleu-electro, ca şi î cazul cosiderării ucleului ca fiid fix. Luâdu-se î cosiderare mişcarea reală cu frecveţa ughiulară ω a celor două mase î jurul cetrului de masă defiit pri expresia: rm şi r m M r cietic total: M = m r (FG..6.3) m fiid razele de giraţie ale celor două particule, se scriu relaţiile de cuatificare petru mometul M ω r + m ω r = h (FG..6.3) M m şi codiţia de echilibru ître forţele cetripetă şi cetrifugă: e M ω r = m ω r = = M m 4 πε ( rm + rm ) m 4πε rm + e M (FG..6.33) astfel îcât petru valoarea eergiei totale a atomului de hidroge E = T+ U se obţie expresia: 38

39 şi, î fial: e E = T + U = ( m ω r + m M ω rm ) (FG..6.34) πε ( r + r ) 8 M m E m 4 = m + M 3π εh e (FG..6.35) adică expresia (FG..6.5), petru Z = şi î care masa electroului a fost îlocuită cu masa redusă μ a sistemului atomic. (γ) Explicarea seriilor spectrale Exprimarea frecveţei liiei spectrale emise de atom pri relaţia (FG..6.6) ca difereţă a doi termei spectrali coform pricipiului de combiare al lui Ritz-Rydberg permite o iterpretare elegată a seriilor spectrale cu ajutorul modelului atomic al lui Bohr. Îtr-adevăr, traziţiile spectrale ître două stări eergetice oarecare E şi E m ale atomului, prezise de teoria lui Bohr şi de formula lui Rydberg au loc coform relaţiilor simultae E E ν = = cr = T T h m m m H m (FG..6.36) care evideţiază o cocordaţă perfectă a celor două teorii ale emisiei şi absorbţiei radiaţiei cuatificate, explicabilă pri faptul că termeii spectrali corespud di puct de vedere fizic uor aumite stări eergetice staţioare bie defiite ale atomului. Rezultatul se poate geeraliza porid de la liiile spectrale arajate î serii petru toate liiile spectrale emise sau absorbite pri traziţii atomice. Reprezetarea grafică a ivelelor de eergie ale atomului de hidroge şi a traziţiilor corespuzătoare seriilor spectrale ale acestuia este cuoscută sub umele de diagrama ivelelor de eergie sau diagrama termeilor spectrali (vezi figura FG..6.). Observaţie: Fig. FG..6.. Diagrama di figura FG..6. este simplificată, ecuprizâd structura fiă a ivelelor eergetice ale atomului de hidroge şi igorâd faptul că u toate traziţiile ître două ivele oarecare sut permise (există reguli de selecţie, a căror iterpretare este posibilă doar î teoria cuatică moderă). Determiarea costatei lui Rydberg petru hidroge di teoria atomică a lui Bohr se face cu ajutorul relaţiilor (FG..6.34) şi (FG..6.35); se obţie relaţia: R H 4 me = 3 m 8πε hc + M (FG..6.37) 39

40 care poate fi extisă uşor petru toţi atomii/ioii hidrogeoizi. Expresia se simplifică î mod corespuzător dacă se eglijează efectul de atreare a ucleului. Teoria lui Bohr a permis u umai justificarea formulei lui Balmer şi calculul costatei lui Rydberg, dar şi prevederea seriilor spectrale Lyma, Pasche, Brackett, Pfud şi Humphreys, esituate î vizibil. De asemeea, cu ajutorul teoriei lui Bohr se pot calcula şi spectrele obţiute experimetal ale atomilor/ioilor hidrogeoizi (D, He +, Li ++ ). Di puct de vedere fizic, traziţiile atomice îsoţesc feomeele de excitare, dezexcitare şi ioizare care au loc î atom sub iflueţa diferiţilor factori, cum ar fi: agitaţie termică, îcălzire, ilumiare, ciociri, prezeţa uor câmpuri electrice sau magetice, prezeţa uor radiaţii ucleare etc. Atuci câd u atom absoarbe u foto cu eergie mai mare decât cea ecesară ioizării sale, electroul eliberat pri efect fotoelectric are o eergie cietică egală cu difereţa hνe i, ude E este eergia de ioizare. Atuci câd are loc feomeul ivers, fiid captat u electro avâd o aumită eergie cietică de către u io, frecveţa fotoului emis este mai mare decât cea corespuzătoare limitei seriei, spectrul de emisie fiid cotiuu. De observat că di relaţiile (FG..6.36) rezultă că eergia ivelelor atomului poate fi pusă direct î hcrh legătură cu formula lui Balmer, astfel îcât termeii spectrali de tipul E = se mai umesc termei Balmer. Dacă se cosideră cuoscut acest terme şi se utilizează formula (FG..6.) a razei celei de a -a orbite a lui Bohr şi expresia vitezei ughiulare pe orbită a electroului 4πcRH Z ω= (FG..6.38) 3 rezultă, petru mometul cietic orbital al electroului aflat pe orbită expresia: LO mr = ω= h (FG..6.39) adică regula de cuatificare a lui Bohr (FG..6.8). Pri urmare, se pot postula codiţiile de cuatificare ale lui Bohr şi di acestea să se obţiă temeii Balmer sau se pot cosidera cuoscuţi termeii Balmer şi atuci rezultă î mod direct codiţiile de cuatificare. Acest raţioamet coduce la cocluzia că î modelul atomic cu elemete cuatice al lui Bohr cuatificarea mometului cietic este eseţială. Observaţie: Se poate arăta că şi î alte cazuri, cum ar fi, de exemplu, cel al moleculei î rotaţie privită ca rotator rigid, di codiţiile de cuatificare a mometului cietic se obţi valori cuatificate petru eergie î cocordaţă cu experieţa, date de formula: E h = 8π I (FG..6.4) umită terme Desladres (după umele fiziciaului fracez Heri-Alexadre Desladres), I fiid mometul de ierţie al moleculei î jurul axei fixe de rotaţie. FG..7. Dualismul uda corpuscul. Ipoteza lui de Broglie. Experimetul Davisso-Germer 4 i

41 a. Teoria udelor asociate de Broglie Dificultăţile de iterpretare ale caracterului dual al radiaţiei, exprimat de relaţiile teoriei fotoice al lui Eistei, E = hν (FG..7.) h p = λ (FG..7.) pe de o parte şi caracterul discotiuu al stărilor staţioare ale electroului î atomul lui Bohr (care cotrazicea legile mecaicii clasice, efiid cuoscute astfel de comportări discrete decât î studiile privid radiaţia: de exemplu, modurile de oscilaţie a radiaţiei ditr-o cavitate sau codiţiile de iterfereţă) pe de altă parte, l-au codus pe Louis de Broglie la observaţia că ici electroii u pot fi priviţi ca simpli corpusculi. Îtrucât î relaţiile (FG..6.) şi (FG..6.) apar î primul membru proprietăţi corpusculare iar î al doilea membru proprietăţi odulatorii ale radiaţiei, de Broglie formulează (î aul 94) ipoteza că u astfel de paralelism ar putea exista şi petru particulele materiale cu masă de repaus foarte mică, astfel îcât acestea ar trebui să aibă uele ditre caracteristicile odulatorii ale cuatelor de lumiă (al căror caracter corpuscular u este îlăturat de faptul că au masa de repaus ulă). Ca urmare, de Broglie admite că fiecărei particule i se asociază u sistem de ude î aşa fel îcât traiectoria particulei coicide cu cea a razei care reprezită sistemul de ude asociat. Pricipalele elemete ale teoriei lui de Broglie sut următoarele: Di teoria lui Eistei rezultă că uei ude plae de frecveţă ughiulară ω, amplitudie A şi vector de udă k r, reprezetată pri expresia i( ) Ae kr r r ω Ψ= t (FG..7.3) r i se asociază o cuată de lumiă de eergie E = h ω şi impuls p= h k r, astfel îcât ecuaţia capătă forma Ψ= Ae i rr ( pr Et) h (FG..7.4) care evideţiază caracteristicile corpusculare ale cuatei: eergia E şi impusul, p r. Di codiţia de ivariaţă relativistă a fazei udei se obţie petru impulsul fotoului expresia E p = (FG..7.5) c Dacă, î cotiuare, se admite ipoteza lui de Broglie a udelor asociate particulelor materiale şi se cosideră, de exemplu, cazul uui electro de eergie E şi impuls p r care, datorită caracteristicilor sale odulatorii se comportă ca o udă î codiţii experimetale corespuzătoare (de exemplu: difracţia), atuci vectorul său de propagare va fi dat de relaţia r r p k = (FG..7.6) h astfel îcât se obţie petru lugimea de udă asociată expresia λ= πh p (FG..7.7) 4

42 Pe de altă parte, ţiâd seama de expresia relativistă a eergiei electroului avâd masa de repaus m E = c p + m c (FG..7.8) rezultă, petru cazul ultrarelativist ( p mc) expresia (FG..6.5) care dă legătura ditre eergie şi impuls petru cuata de lumiă ( m ). Î cazul erelativist se obţie petru eergie expresia aproximativă: E p = mc + m. (FG..7.9) Ţiâd seama de ecuaţiile (FG..6.7) şi (FG..6.9) rezultă, petru electroul accelerat îtr-u câmp de poteţial U, lugimea de udă asociată: λ= πh,5 V m meu U (FG..7.) De exemplu, petru 4 U = V rezultă λ =, pm, adică o lugime de udă situată î domeiul razelor X, astfel îcât e putem aştepta la difracţia pe cristale a electroilor acceleraţi corespuzător, asemăător razelor X. O dezvoltare a teoriei lui de Broglie privid modul de reprezetare a particulelor pritr-u sistem de ude asociate limitat spaţial va fi făcută ulterior, î cadrul prezetării caracterului uiversal al dualismului corpuscul-udă. Petru exemplificare, î tabelul FG..7. se prezită lugimile de udă λ B asociate uor particule materiale de diferite mase şi viteze. Tabelul FG..7.. Nr. crt. Tipul particulei Masa de repaus m [kg] Viteza [m s ] λ B [m]. Electroi leţi 9,3 3, 7,7. Electroi leţi 9,3 3 7, Electroi rapizi 9,3 3 5,94 6, 4. Particule alfa 6,67 7 6,94 4,43 5. Particule alfa 6,67 7 6,94 7 6,56 5 b. Cofirmări experimetale ale aturii odulatorii a particulelor materiale Experieţa de difracţie cu electroi a lui Davisso şi Germer Teoria lui de Broglie privid caracterul dual al particulelor materiale implică schimbări fudametale ale cocepţiei asupra feomeelor şi proceselor di lumea microparticulelor. Era îsă ecesară cofirmarea experimetală a aturii odulatorii a particulelor materiale aşa cum rezultă di teoria lui de Broglie. Imediat după apariţia teoriei, W. Elsasser evideţiază faptul că, dacă teoria lui de Broglie este corectă, diferite particule materiale (cum ar fi, de exemplu, electroii) ar trebui să producă feomee de difracţie. Ţiâd seama că lugimea de udă asociată de Broglie a electroilor, coveabil acceleraţi, se situează î domeiul spectral al razelor X, feomeele de difracţie a electroilor s-ar putea evideţia asemăător difracţiei razelor X pe cristale. 4

43 Fig. FG..7.. U astfel de experimet de difracţie a electroilor a fost efectuat petru prima dată î aul 97 de către Davisso şi Germer. Cofiguraţia experimetală utilizată de aceştia este prezetată î figura 5. Electroii emişi de u filamet icadescet sut acceleraţi şi colimaţi î tuul electroic TE la tesiui de ordiul sutelor de volţi şi dirijaţi către u cristal de Ni fixat îtr-u suport care se poate roti î jurul uei axe paralele cu direcţia de icideţă a fasciculului electroic. Electroii reflectaţi (difractaţi) de cristal au o distribuţie ughiulară care poate fi determiată cu ajutorul uui colector (cilidru Faraday) coectat la u istrumet de măsură (electrometru). Î acest scop, colectorul se poate roti pe u cadra gradat semicircular cu cetrul î puctul de impact al electroilor pe cristal, poziţia fiid dată de ughiul ϕ al razei sale vectoare cu direcţia fasciculului icidet. Dispozitivul poate fi prevăzut şi cu u reglaj petru poziţia azimutală a colectorului, dată de u alt ughi θ, astfel îcât colectorul se poate mişca pe o emisferă (acest reglaj al azimutului poate fi obţiut, petru o tăietură coveabilă a cristalului, pri rotirea suportului său). Modificâd ughiul azimutal θ, se costată o variaţie periodică a curetului pri detector. Petru o valoare fixă a ughiului θ şi cu o tesiue de accelerare costată se pot costrui diagramele polare ale itesităţii fasciculelor electroilor colectaţi. Caracterul selectiv al proceselor de reflexie, evideţiat pri apariţia uor maxime secudare (vezi figura 6) a fost iterpretat admiţâdu-se teoria lui de Broglie privid atura odulatorie a fasciculului de electroi. Ca şi î cazul difracţiei razelor X pe cristale, electroii prezită feomee de difracţie, lugimea de udă asociată de Broglie verificâd legea lui Bragg ( dsi θ = λ, cu atural). Dispozitivul experimetal prezetat poate fi utilizat şi petru determiarea depedeţei itesităţii fasciculului difractat de mărimea impulsului electroilor. Fig. FG

44 a. Istoric FG..8. Ecuaţia lui Schrödiger. Fucţia de udă (Pachetul de ude) Cu peste douazeci si cici de ai iaite ca Plack sa formuleze ipoteza cuatelor William Rowa Hamilto (matematicia si astroom) a fost preocupat de gasirea uei sigure legi de miscare petru particulele materiale si razele de lumia porid de la aaliza pricipiului lui Fermat[9]: B δ dt =, (FG..8.) A ude A si B sut doua pucte pri care trece raza de lumia. I acest scop Hamlito a evidetiat aalogia ditre pricipiul lui Fermat si pricipiul care-i poarta umele, privid miscarea uei particule cu eergia costata: ude T este eergia cietica a particulei. B δ Tdt =, (FG..8.) A Porid de la ideea lui de Broglie coform careia uei particule i se asociaza u grup de ude care se propaga cu viteza particulei de eergie E, Erwi Schrodiger arata ca petru E = hν se obtie formula lui de Broglie h λ =, (FG..8.3) p ude p este impulsul particulei. Pri urmare, traiectoria particulei descrisa de mecaica clasica este asemaatoare razei optice al carei traiect este dat de optica fasciculelor (geometrica). Stiidu-se ca optica geometrica este u caz limita al opticii odulatorii, Schrodiger si-a propus sa gaseasca aalogul opticii odulatorii petru miscarea particulelor, adica o "mecaica odulatorie", i cocordata cu teoria lui de Broglie si cu alte rezultate privid dualismul corpuscul-uda. Aalizad ecuatia fudametala de propagare a udelor: Φ x v Φ =, (FG..8.4) t ude Φ este amplitudie udei iar v viteza de faza a acesteia Schrodiger arata ecesitatea itroducerii uei marimi Ψ petru " amplitudiea" udei asociate particulei, umita "fuctie de uda" care sa verifice o ecuatie asemaatoare ecuatiei (7...4) si i care sa itervia o viteza de faza rezultata pe baza corespodetei ditre ecuatiile si : Cost. v =, (FG..8.5) m( E U ) ude s-a idetificat costata di ecuatia de mai sus cu eergia particulei. S-a obtiut astfel ecuatia uidimesioala: 44

45 Ψ m + ( E U ) Ψ =, (FG..8.6) x h cuoscuta sub umele ecuatia lui Schrodiger atemporala. b. Ecuatia de uda geerala O astfel de ecuatie trebuie sa ideplieasca coditiile: - sa fie liiara astfel icat solutiile sale sa poata fi suprapuse petru a se putea explica feomeele de de iterfereta si difractie; - i coeficietii ecuatiei sa u itervia decat costate ale particulei cum ar fi masa, sarcia electrica sau costate geerale cum ar fi costata lui Plack etc. Itrucat aceasta ecuatie diferetiala trebuie sa fie spatio-temporala si sa admita ca solutii fuctii de uda de forma: e i ( pr Et) h, e i ( pr Et) h, cos ( pr Et ) h, si ( pr Et), (FG..8.7) h se observa ca diferetierea uor astfel de compoete i raport cu timpul are ca efect multiplicarea acestora cu E (sau ω) iar diferetierea acestora i raport cu coordoata spatiala are ca efect multiplicarea lor cu p (sau k). Ca urmare, relatia: p E =, (FG..8.8) m sugereaza faptul ca ecuatia diferetiala de uda trebuie sa fie de ordiul itai i raport cu timpul si de ordiul doi i raport cu coordoatele spatiale. Admitad o ecuatie de uda petru particula libera avad forma geerala: Ψ Ψ = γ t x (FG..8.) si puad coditia ca fuctia de uda a particulei libere de forma: i ( px Et) Ψ = h (FG..8.) e sa fie soluit e a acestei ecuatii, rezulta: ih γ =. (FG..8.) m Pri urmare se ajuge la o ecuatie de uda petru particula libera avad forma geerala: Ψ h Ψ ih = (FG..8.) t m x 45

46 cuoscuta sub umele de ecuatia lui Schrodiger temporala. Forma tridimesioala a acestei ecuatii este urmatoarea: Ψ h ih = ΔΨ. (FG..8.3) t m Se arata usor ca itr-u camp de forte ecuatie de uda Schrodiger petru particula cuatica are forma geerala: Ψ h ih = ( Δ + U ( r, t)) Ψ, (FG..8.4) t m care reprezita ecuatia fudametala a mecaicii cuatice, rezultatele experimetale validad-o si ridicad-o la ragul de pricipiu, dupa cum se va arata i capitolul FG.3. FG..9. Relaţiile de icertitudie ale lui Heiseberg a. Superpozitia udelor. Pachetul de ude. Icercarile de a compatibiliza teoriile odulatorie si corpusculara ale radiatiei, i cocordata cu faptele experimetale trebuia se poreasca de la aaliza ecuatiei de uda: r r r r E = E exp[ i( ωt k )]. (FG..9.) Fiid ifiit extisa i spatiu si timp, uda de lumia reprezetata pri ecuatia (FG..9.) u are iciua ditre proprietatile corpusculilor de lumia care sut bie localizati i spatiu si timp, deci descrierea radiatiei pri astfel de ude, obtiute pri simpla ilocuire i ecuatia (FG..9.) a r r caracteristicilor corpusculare, pe baza relatiilor lui Eistei ε = h ω si p = hk sub forma: r r i rr E = E exp ( Et pr ) h u costituie u model satisfacator de aaliza. (FG..9.) Tiad seama isa de liiaritatea ecuatiilor diferetiale de propagare a udelor electromagetice se pot costrui grupuri de ude sau pachete de ude, pri superpozitia uui umar foarte mare de ude de forma (FG..9.) si ajustarea corespuzatoare a frecvetelor, a vectorilor de uda, a amplitudiilor si fazelor acestora, icat, pri iterfereta costructiva sa dea o rezultata limitata la o regiue redusa a spatiului la u momet dat. Propagare grupului de ude a fost studiata la teoria geerala a udelor [S.5], puadu-se i evideta relatiile de edetermiare: ΔωΔt π (FG..9.3) respectiv Δ Δx π k, (FG..9.4) ude Δt este durata perturbatiei, Δω largimea spectrala a acesteia, Δ k imprastierea vectorilor udelor di pachetul de ude cosiderat iar Δx edetermiarea i localizarea grupului de ude. Se costata ca uui grup de ude i se poate asocia cu o aproximatie destul de bua caracteristicile corpusculare ale udei petru a se recocilia cele doua teorii, odulatorie si corpusculara. 46

47 Relatiile de forma (FG..9.3) si (FG..9.4) care cuprid caracteristicile odulatorii ω si k r ale fotoului pot fi scrise cu ajutorul relatiilor lui Eistei r r ε = h ω si p = hk astfel: Δ EΔt h (FG..9.5) respectiv: Δ pδx h, (FG..9.6) adica fuctie de caracteristicile corpusculare ale acestuia, eergia E si impulsul p r. Relatiile(FG..9.5) si (FG..9.6) poarta umele de relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg si vor fi stabilite si petru particulele substatiale i cele ce urmeaza. b. Experieta de difractie a electroilor pritr-o fata Este o experieta coceptuala privid masurarea "simultaa" a pozitiei si impulsului uui electro la difractia pritr-o fata (Fig. FG..9.). Daca u electro de impuls p r si eergie E care se deplaseaza dupa directia y, italeste i calea sa o fata de deschidere a, prezeta fatei determia difractia electroului. Fig. FG..9.. Admitad ca feomeul de difractie se limiteaza la maximul cetral si tiad seama ca electroul trece pri fata se obtie petru imprecizia pozitiei sale expresia: λ Δx = a =. (FG..9.7) si ϕ De asemeea, di figura rezulta ca, i aceleasi coditii, imprecizia impulsului este: Δp x = psi ϕ (FG..9.8) astfel icat efectuad produsul acestor imprecizii re obtiem relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg: Δ Δx h (FG..9.9) p x cu privire la impulsul si coordoata dupa directia x. De observat ca, petru cresterea preciziei i masurarea pozitiei ar trebui micsorata fata isa acest lucru determia o crestere a impreciziei i determiarea impulsului ca urmare a modificarii figurii de difractie pri largirea maximului cetral, astfel icat se respecta relatiile 3. si reciproc. 47

48 c. Geeralizarea relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg Regasirea relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg pe cale experimetala poate fi geeralizata petru orice tip de masurare, a oricarei perechi de variabile caoic cojugate, sub form uui pricipiu geeral, umit pricipiul de icertitudie al lui Heiseberg, formulat de acesta i aul 97. U eut, geeral admis al acestui pricipiu este urmatorul: " Valoarea produsului impreciziilor care apar la determiarea simultaa a doua variabile caoic cojugate este de ordiul de marime al costatei lui Plack". Pri urmare, acest pricipiu atesta existeta uor variabile diamice "icompatibile" i raport ci procesul de masura, i sesul ca satisfac relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg. Astfel de variabile sut impulsul si pozitia, mometul cietic si pozitia ughiulara, eergia si timpul, umarul de fotoi si faza acestora etc., astfel icat se pot scrie relatiile: h Δx Δpx (FG..9.) h ΔϕΔJ x (FG..9.) h Δt ΔE (FG..9.) h ΔΦΔ (FG..9.3) Trebuie accetuat faptul ca aceste imprecizii u sut datorita impreciziilor aparatelor de masura sau imperfectiuii metodei de masura ci sut legate de perturbarea variabilei masurate la iteractia cu aparatul de masura. Nicio masurare bazata pe pricipii fizice reale u va putea sa evite limitarile date de aceste relatii. I acelasi timp trebuie aratat ca icio descriere fizica u poate fi acceptata fara a fi verificata cel puti i pricipiu experimetal. Pri urmre, acceptarea ideii existetei uei pozitii si a uui impuls bie defiite la u momet dat, petru o particula cuatica, i afara observatiilor experimetale reprezita fapte efizice, fara valoare, deoarece iciodata u vor putea fi verificate experimetal. 48

49 O implicatie majora a pricipiului de icertitudie al lui Heiseberg o costituie idiscerabilitatea particulelor cuatice, ca urmare a faptului ca iciu fel de masurare u poate duce la determiare precisa a caracteristicilor diamice ale acestora, astfel icat trebuie abadoata otiuea de traiectorie petru acestea. Particulele cuatice pot fi idetificate ca specii dar u ca idivizi i cadrul uui asamblu. d. Nivelul cuatic de evolutie a sistemelor fizice Relatiile de icertitudie ale lui Heiseberg e permit sa stabilim petru prima data u criteriu de clasificare a sistemelor fizice i sisteme clasice si sisteme cuatice. Sistemele cuatice se supu altor legi de miscare decat cele clasice, defiid u ivel cuatic de miscare a materiei. Capitolul FG.. Descrierea matematica a mecaicii cuatice Cuvite-cheie: spatiu vectorial, spaţiu Hilbert, operator liiar. operator hermitic, reprezetare vector, reprezetare operator FG... Spatii vectoriale Evideţierea posibilităţilor descrierii stărilor sistemelor cuatice pri vectori î spaţiul Hilbert, la care se adaugă cosideraţiile privid corespodeţa ditre variabilele diamice di Mecaica clasică şi operatorii liiari hermitici ai Mecaicii cuatice, costituie elemete suficiete petru a trage cocluzia că 49

50 aparatul matematic al Mecaicii cuatice trebuie să fie, cel puţi î aumite limite (pe care, deocamdată, u le stabilim) cel al operatorilor hermitici î spaţiul Hilbert. Se impue, deci, o prezetare sistematică a pricipalelor rezultate ale teoriei matematice a spaţiilor Hilbert şi a operatorilor liiari şi hermitici î spaţiul Hilbert care să ofere o bază suficiet de largă şi riguroasă petru trecerea la prezetarea diferitelor sisteme axiomatice ale teoriei cuatice. Defiirea riguroasă a oţiuilor şi prezetarea pricipalelor teoreme u va fi îsoţită de demostraţii matematice, urmâd ca acestea să fie găsite de cititorul iteresat îtr-u volum ulterior (dedicat aparatului matematic al teoriei cuatice î fizică) sau î bibliografia idicată. Fie K uul ditre corpurile ϒ (al umerelor reale) sau (al umerelor complexe): Defiiţia (Spaţiu vectorial) Se umeşte spaţiu vectorial sau liiar o mulţime Epe care este defiită o structură algebrică pri două legi de compoziţie, ua iteră, umită aduare şi ua exteră î raport cu u corp K, umită îmulţire cu elemete di K, avâd următoarele proprietăţi: I. Aduarea determiă pe E o structură de grup abelia, adică oricărei perechi u şi v de elemete di E îi corespude elemetul (u + v) E cu următoarele proprietăţi: I. u + v = v + u (comutativitate) (FG...) I. (u + v) + w = u + (v + w) (asociativitate) (FG...) I 3. Eşi u E, + u = u + = u, ( u elemet eutru la aduare) (FG...3) I 4. u E, atuci (u) E şi u + (u) = (u) + u = ( elemet di E admite u opus) (FG...4) II. Îmulţirea cu u elemet λ di corpul K, pri care fiecărei perechi (λ, u) K E îi corespude elemetul λu E, satisface axiomele: II. λ(u + v) =λu +λv II. (λ+μ) u =λu +μu II 3. λ(μu) =λμ (u) II 4. u = u, K, u E II 5. u =, K, u, E (distributivitate î raport cu îmulţirea cu λ) (FG...5) (FG...6) (FG...7) (FG...8) (FG...9) Corpul K se umeşte corpul scalarilor, iar operaţia II îmulţirea cu scalari. Î relaţia II 5, di membrul stâg reprezită scalarul, pe câd di membrul drept este elemetul eutru faţă de aduare al spaţiului E. Mărimile u, v, w E se umesc vectori, spaţiul vectorial E fiid real sau complex, după cum corpul K este reprezetat de ϒ sau, respectiv, de. Elemetul eutru faţă de aduare, (defiit de I 3 ) se umeşte origiea spaţiului. Î cazul î care corpul Ku este comutativ, spaţiile vectoriale pot fi la stâga î raport cu K sau la dreapta î raport cu K. Exemple de spaţii vectoriale: Corpul K este u spaţiu vectorial î raport cu el îsuşi. 5

51 Mulţimea ϒ (sau ) a tuturor seturilor de umere ξ = (ξ, ξ,, ξ ) di ϒ (sau ) petru care s-au defiit operaţiile de aduare (FG...) şi îmulţire ξ + η = (ξ, ξ,, ξ ) + (η, η,, η ) = (ξ + η, ξ + η,, ξ + η ) (FG...) λξ = λ(ξ, ξ,, ξ ) = (λξ, λξ,, λξ ) costituie u spaţiu vectorial î raport cu ϒ (sau ). Defiiţia (Depedeţă liiară) (FG...) Vectorii euliv, v,, v sut liiar depedeţi dacă există scalari λ, λ,, λ K, astfel îcât, petru cel puţi u scalar λ i eul, se poate scrie relaţia λ kv k = (FG...3) Observaţie: Orice mulţime de vectori care coţie vectorul ul,, este liiar depedetă. k Dacă egalitatea (3) are loc umai petru toţiλ i =, atuci vectorii v, v,, v se umesc liiar idepedeţi. Teorema Vectorii euliv, v,, v E sut liiar depedeţi dacă şi umai dacă cel puţi uul ditre ei poate fi exprimat ca o combiaţie liiară a celorlalţi. Teorema Orice mulţime ifiită de vectori este liiar idepedetă dacă orice submulţime a sa este liiar idepedetă. Defiiţia 3 (Ragul uui sistem de vectori) Se umeşte ragul uui sistem de vectori umărul maxim de vectori liiar idepedeţi pe care îl coţie. Defiiţia 4 (Sistem de vectori geeratori ai spaţiului) Se umeşte sistem de vectori geeratori ai spaţiului E sistemul de vectori{v, v,, v }, cu proprietatea că orice vector v E poate fi exprimat ca o combiaţie liiară a acestor vectori: v= λ v cu λ K, Defiiţia 5 (Baza uui spaţiu vectorial) k k k k v E, k =,,..., (FG...4) Se umeşte bază a spaţiului vectorial E peste corpul K orice sistem de vectori geeratori liiar idepedeţi. Teorema3 U sistem fiit de vectori{e, e,, e } = B E costituie o bază a spaţiului vectorial E dacă şi umai dacă orice vector v E se exprimă î mod uic pritr-o combiaţie liiară a vectorilor e i B. Defiiţia 6 (Spaţiul vectorial-dimesioal) k 5

52 Spaţiul vectorial E este -dimesioal ( ) dacă şi umai dacă există î acest spaţiu o bază formată di vectori. Spaţii vectoriale ormate a) Spaţii metrice Defiiţia 7 (Produs cartezia) Fir E o mulţime oarecare. Se umeşte produs cartezia mulţimea Defiiţia 8 (Distaţa pe mulţimea E) {(, ), } = = v v (FG...5) E E E u u E E Se umeşte distaţă(sau metrică) pe mulţimea E o aplicaţie d a produsului cartezia E E î mulţimea ϒ a umerelor reale, avâd următoarele proprietăţi: metrică). du (, v), u, v E, (u v) (FG...6) du (, v ) =, dacă şi umai dacă u= v (FG...7) 3 du (, v) = d( v, u), u, v E (FG...8) 4 du (, w) du (, v) + d( vw, ), u, vw, E (iegalitatea triughiului)(fg...9) Defiiţia 9 (Spaţiu metric) Se umeşte spaţiu metric şi se otează ( E, d ) o mulţime E pe care s-a defiit o distaţă (sau Defiiţia (Şir Cauchy) Dacă oricare ar fi q> N() ε,atuci d (, ) <ε petru orice şir se mai umesc şiruri fudametale. p q ε>, există u umăr atural N( ε ) şi oricare ar fi umerele aturale p> N( ε) şi v v ( v ) E, şirul ( ) Defiiţia (Spaţiu metric complet) U spaţiu metric (, ) b) Spaţii ormate E d se umeşte complet dacă orice şir Cauchy ( ) Defiiţia (Normă pe spaţiul vectorial E) v se umeşte şir Cauchy. Şirurile Cauchy v E este coverget. Se umeşte ormă pe spaţiul vectorial E o aplicaţie ( : E ) care are proprietăţile: v v a spaţiului E î mulţimea ϒ v v E 5 (este pozitiv defiită) (FG...) v = dacă şi umai dacă v = (FG...) 3 λ v = λ v, v E şi λ K (trasformarea pri omotetii) (FG...) 4 u+v u + v, u, v E (iegalitatea triughiului) (FG...3) Defiiţia 3 (Spaţiu vectorial ormat) U spaţiu vectorial care este îzestrat cu o metrică se umeşte spaţiu vectorial ormat. Teorema4

53 U spaţiu ormat este u spaţiu metric petru distaţa du (, v) = u v. Defiiţia 4 (Spaţiu Baach) U spaţiu ormat complet se umeşte spaţiu Baach. Defiiţia 5 (Spaţiu dual al uui spaţiu vectorial ormat) Spaţiul dual al uui spaţiu vectorial ormat E este spaţiul fucţioalelor liiare, cotiue defiite pe E şi se otează cu E*. 53

54 FG... Spaţii Hilbert Defiiţia 6 (Formă hermitică) Fiid dat u spaţiu vectorial E, o aplicaţie ϕ a lui E E î ϒ (sau î ) cu proprietăţile: ϕ ( u+ vw, ) =ϕ ( u, w) +ϕ( vw, ) (FG...) ϕ ( u, v+ w) =ϕ ( u, v) +ϕ( u, w) (FG...) 3 ϕλ ( u, v) =λϕ( u, v) (FG...3) 4 ϕ( u, λ v) =λϕ( u, v) (FG...4) 5 ϕ ( u, v) =ϕ ( v, u) (FG...5) costituie o formă hermitică pe spaţiul E. Defiiţia 7 (Vectori ortogoali) Perechea de vectori ( u, v) E este ortogoală î raport cu forma hermitică ϕ pe E dacă ϕ ( u, v ) =. Defiiţia 8 (Formă hermitică pozitivă) Forma hermitică ϕestepozitivă pe u spaţiu vectorial E dacă ϕ( u, v ) petru orice u E. Teorema5 O formă hermitică pozitivă ϕ pe E satisface iegalitatea Cauchy-Buiakovski-Schwartz: ϕ( u, v) ϕ( u, u) ϕ( v, v) petru orice u, v E. (FG...6) Defiiţia 9 (Formă hermitică degeerată) Dacă există u vector a ϕ ( au, ) =, u E) forma hermitică ϕ se umeşte degeerată. Defiiţia (Spaţiu prehilbertia) ortogoal spaţiului E î raport cu forma hermitică ϕ (adică: Se umeşte spaţiu prehilbertia u spaţiu vectorial pe care este dată o formă hermitică pozitivă, edegeerată. Defiiţia (Produs scalar) O aplicaţie următoarele proprietăţi: ϕ ( u, v) = ( u, v ) poartă umele de produs scalar pe E; se mai otează u, v şi are u, v = v, u, u, v E (FG...7) u+ vw, = u, w+ vw,, u, vw, E (FG...8) 3 u, λ v =λ u, v, u, v E, λ K (FG...9) 4 u, u >, u E, u (FG...) 5 u, u =, petru u = (FG...) Defiiţia (Normă) Numărul eegativ u = u, u se umeşte orma vectorului u, astfel că iegalitatea Cauchy- Buiakovski-Schwartz se scrie: u, v u v (FG...) Defiiţia 3 (Spaţiu Hilbert) 54

55 a) U spaţiu prehilbertia complet se umeşte spaţiu Hilbert. b) U spaţiu Hilbert este u spaţiu metric complet, cu metrica defiită de orma u = u, u. Defiiţia 4 (Vectori ortogoali) Dacă u, v =, vectorii u şi v sut ortogoali. Defiiţia 5 (Sistem de vectori ortoormal) Mulţimea de vectori ( v i ) formează u sistem ortoormal dacă se poate scrie v, petru, v i j i j =δ ij =, petru i= j (FG...3) Teorema 6 Dacă suma seriei λ ju j este u, atuci scalarii λ j sut daţi de relaţia: j= λ = u, u (FG...4) j j Defiiţia 6 (Seria Fourier a uui vector) Numerele λ = u, u se umesc coeficieţii Fourier ai dezvoltării î serie a vectorului u î raport j j cu şirul (u j ), iar seria λ ju j se umeşte seria Fourier a lui u. Teorema 7 Dacă seria u j= λ ju j este covergetă, atuci are loc egalitatea: j= j (FG...5) j= = λ umită relaţie de îchidere. Defiiţia 7 (Spaţiu Hilbert separabil) Spaţiul Hilbert este separabil dacă există o mulţime umărabilă de elemete di E desă î E. Teorema 8 Orice spaţiu cu u umăr fiit de dimesiui este u spaţiu Hilbert separabil. Teorema 9 Spaţiul Hilbert ifiit dimesioal l, alcătuit di secveţa ifiită ( λ, λ,..., λ k,...) astfel că λk este fiită, este u spaţiu Hilbert separabil. k= Teorema Spaţiul L al fucţiilor de pătrat itegrabil este u spaţiu Hilbert separabil. Defiiţia 8 (Spaţiul produs şi produsul tesorial al vectorilor) Fie u m vectorii care subîtid spaţiul ϒ m cu M dimesiui şi u vectorii care subîtid spaţiul ϒ cu N dimesiui. Spaţiul ϒsubîtis de toate perechile posibile { m u ; u } 55 v de vectori di ϒ m şi ϒ se umeşte spaţiu produs al celor două spaţii ϒ m şi ϒ m, se otează = şi are N M dimesiui. Orice vector v se umeşte produs tesorial al celor doi vectori care alcătuiesc perechea u m, u. Notaţiile Dirac petru spaţiile vectoriale Defiiţia 9 (Vector ket ) U elemet u al uui spaţiu vectorial oarecare E se otează u şi se umeşte vector ket.

56 scrie Observaţie: Proprietăţile spaţiilor vectoriale pot fi trascrise î limbajul vectorilor ket. Defiiţia 3-3 (Descompuerea uui vector î raport cu o bază discretă/cotiuă) a) Petru o bază discretă de vectori u, u,..., u a spaţiului vectorial E, orice vector v se poate v = λ u, ude sut umere complexe. (FG...6) i= i i λ i b) Dacă spaţiu E are o bază cotiuă de vectori η, atuci, petru orice vector w se poate scrie w = λ( η) η dη, ude λ( η ) este o fucţie complexă. (FG...7) Defiiţia 3 (Vector bra ) U elemet u al spaţiului dual î raport cu spaţiul vectorial ormat (î care orma provie ditr-u produs scalar) al vectorilor ket se umeşte vector bra şi se otează u ; î cazul î care corespodeţa ditre vectorii ket şi cei ai spaţiului dual este atiliiară, adică petru u = λ( η) η dη (FG...8) are loc dezvoltarea u = λ ( η) η dη (FG...9) Defiiţia 33 (Produs scalar) Produsul scalar ditre vectorii v şi u se exprimă pri relaţia u v = v u (FG...) Defiiţia 34 (Asamblu de vectori ortoormal) U asamblu discret { u i } sau cotiuu { α } satisfăcute relaţiile: η de vectori se umeşte ortoormal dacă sut ui u i =δ ij (FG...) sau η η =δ( αα) (FG...) orice α α Teorema Dacă asamblul discret { u i } sau cotiuu { α } v E existâd dezvoltările uice i= η costituie o bază a uui spaţiu vectorial E, petru v = ci ui (FG...3) sau v = c( α) η dα (FG...4) α Atuci sut satisfăcute şi relaţiile: ui ui = (FG...5) i= sau, respectiv, ηα ηα dα = (FG...6) umite relaţii de îchidere (vezi Teorema 6). FG..3. Operatori liiari Operatori liiari î spaţiile Hilbert 56

57 A: E Defiiţia 35 (Operator liiar) Fiid date două spaţii Hilbert E şi E peste acelaşi corp K, se umeşte operator liiar o aplicaţie E care are următoarele proprietăţi: a) Au ( + v) = Au ( ) + A( v) (FG..3.) b) A( λ v) =λa( v) (FG..3.) petru orice u, v E şi orice λ K. Dacă A( λ v ) =λ A( v) operatorul se umeşte atiliiar. (FG..3.3 ) avem Defiiţia 36 (Operator liiar mărgiit) U operator liiar A: E Eeste mărgiit dacă există M > astfel îcât petru orice u E să Au M u (FG..3.4) idicii şi referidu-se la spaţiile E şi, respectiv, E, iar otaţiile şi două spaţii cosiderate. Defiiţia 37 (Fucţioale liiare) specificâd ormele pe cele Dacă E = K, atuci L ( E, K) se otează cu E şi se umeşte dualul lui E, iar elemetele sale se umesc fucţioale liiare. Teorema (Teorema de reprezetareriesz-fréchet) Petru orice elemet B L ( E, K) = E există u elemet uic ub E, astfel îcât: a) B( u) = u ub (FG..3.5) b) B = ub (FG..3.6) Defiiţia 38 (Operator adjuct) FieE şi E două spaţii Hilbert peste acelaşi corp K şi A L ( E, E) u operator liiar şi mărgiit. Dacă v E, atuci petru orice u E se poate defii fucţioala liiară şi mărgiită u Au, v ; (FG..3.7) îtrucât, coform teoremei de reprezetare, există u v E uic astfel îcât aplicaţia Au, v = u, v (FG..3.8) + A : E E exprimată pri A + v= v (FG..3.9) defieşte operatorul liiar şi mărgiit avâd aceeaşi ormă cu A, A + L ( E, E) (FG..3.) umit operatorul adjuct al lui A. Observaţie: Defiiţia poate fi reformulată şi petru E = E = E. FG..4. Operatori hermitici Defiiţia 39 (Operator hermitic sau autoadjuct) 57

58 U operator A L ( E) se umeşte hermitic (autoadjuct) dacă A = A + (FG..4.) E fiid u spaţiu Hilbert. Dacă A A + = (FG..4.) operatorul A se umeşte atihermitic. Teorema Operatorul A este hermitic dacă şi umai dacă Au, v = u, Av, u, v E. (FG..4.3) Teorema 3 U operator A este hermitic dacă şi umai dacă, petru orice u E Au, u este real. (FG..4.4) Teorema 4 (Helliger-Toeplitz) Operatorul A L ( E) este pozitiv dacă Au, u, u E (FG..4.5) E fiid u spaţiu Hilbert. Teorema 5 Orice operator A L ( E) se poate descompue sub forma A = A + i A (FG..4.6) A şi A fiid operatori hermitici, iar E u spaţiu Hilbert. Operatori iverşi Defiiţia 4 (Operator idetitate) Operatorul Iu I L ( E) defiit pri relaţia = u (FG..4.7) se umeşte operator idetitate. Defiiţia 4 (Operator ivers) U operator liiar A A A A I I fiid operatorul idetitate. A L ( C) are u ivers, otat A, dacă = =, (FG..4.8) Teorema 6 Orice operator liiar şi mărgiit poate fi reprezetat pritr-o matrice. Dacă A este operatorul cosiderat, iar {u, u,, u } vectorii bazei spaţiului E, astfel îcât A L ( E), combiaţiile liiare Au k = a u defiesc elemetele de matrice a = ( u, Au ). j jk j jk j k Defiiţia 4 (Operator simetric) U operator A se umeşte simetricdacă este egal cu traspusul său: A = A %. Observaţie: Dacă A = A %, operatorul se umeşte atisimetric. Operatori uitari 58

59 Defiiţia 43 (Operator uitar) U operator U L ( E) este uitar pe spaţiul Hilbert E dacă: a) petru orice v E, există u vector u astfel îcât v = Uu ( ) (FG..4.9) b) petru oricare u, v E u, v = Uu, Uv (FG..4.) Defiiţia 44 (Operator uitar) U operator liiar este uitar dacă are u ivers şi dacă U v = v, v E. (FG..4.) Teorema 7 Operatorul U L ( E) este uitar dacă şi umai dacă + + UU= UU = I (FG..4.) Teorema 8 Dacă U este u operator uitar, iar vectorii {v, v,, v } alcătuiesc o bază ortoormală, atuci şi vectorii {Uv, Uv,, Uv } alcătuiesc o bază ortoormală. Defiiţia 45 (Trasformare uitară) Trasformarea uui operator A îtr-u alt operator A coform relaţiei A = U AU + (FG..4.3) se umeşte uitară dacă U este u operator uitar. Observaţie: Se poate arăta că trasformările uitare lasă ivariate toate ecuaţiile ître operatori sau ître operatori şi vectorii de stare. Defiiţia 45 (Operator uitar ifiitezimal) U operator uitar U ( ε), depizâd de o catitate reală care este u ifiit mic, astfel îcât U() ε I câd ε (FG..4.4) se umeşte operator uitar ifiitezimal. Teorema 9 U operator uitar ifiitezimal poate fi scris sub forma U() ε = I iεf (FG..4.5) ude F este u operator hermitic. Teorema i Dacă operatorul A este hermitic, atuci operatorul T = e A i este uitar şi T + = e A. Teorema Produsul a doi operatori uitari este, deasemeea,u operator uitar. Teorema O codiţie ecesară şi suficietă petru ca u operator U să fie uitar este ca trasformarea uei baze ortoormale cu ajutorul lui U să coducă, de asemeea, la o bază ortoormală. Teorema 3 59

60 u Valorile proprii ale uui operator uitar u pot fi decât umere complexe de modul uitar, de forma, cu ϕ real. iϕ = e u u Operatori de proiecţie Defiiţia 46 (Operator de proiecţie) Fiid date subspaţiile P şi P complemetare î raport cu u spaţiu Hilbert separabil ( E = P P ) astfel îcât u = u + u p, se umeşte operator de proiecţie operatorul Π astfel îcât p Π u= u p (FG..4.6) Proprietăţi Operatorul Π este mărgiit. (FG..4.7) Dacă u P, atuci Π u = u. (FG..4.8) Dacă u P, atuci Π u =. (FG..4.9) Dacă Π u= u p atuci ( Ι Π ) u = u. (FG..4.) p Operatorul idetitate este operator de proiecţie pe îtreg spaţiul. Operatorul idetitate este sigurul operator de proiecţie care are u ivers. Operatorul zero este operatorul de proiecţie pe spaţiul care coţie umai vectorul ul. Norma oricărui operator de proiecţie, cu excepţia operatorului zero este uu. Relaţii de comutare petru operatori Defiiţia 47 (Comutatorul a doi operatori) Fiid daţi doi operatori liiari A şi B, expresia [ A, B] = AB BA (FG..4.) se umeşte comutatorul operatorilor A şi B. Observaţie: Expresia A, B = AB + BA (FG..4.) { } se umeşte aticomutatorul operatorilor A şi B. Defiiţia 48 (Operatori comutativi) Doi operatori liiari A şi B sut comutativi dacă şi umai dacă AB=,. [ ] 6 (FG..4.3) Observaţie: AB, = (FG..4.4) Dacă { } atuci operatorii se umesc aticomutativi. Teorema 4 Dacă A, B, C, sut operatori liiari, atuci: [ A, A ] = [ AB, ] = [ BA, ] [ ] [ ] [ ] ] ] (FG..4.5) (FG..4.6) A,( B+ C) = A, B + A, C (FG..4.7) [ ] [ ] [ ( A+ B), C = A, C + B, C (FG..4.8) [ ] [ ] [ ABC, = ABC, + BAC, (FG..4.9)

61 [ ] [ ] [ ] 6 AB, C = A, C B + A B, C (FG..4.3) [ ] [ ] [ ] A, B, C + C, A, B + B, C, A = (FG..4.3) Valori proprii şi vectori proprii petru operatori Defiiţia 49 (Ecuaţia cu valori proprii a uui operator) Fie A u operator liiar. Dacă u este u vector diferit de zeroşi a u scalar, ecuaţia Au = au (FG..4.3) se umeşte ecuaţia cu valori proprii a operatorului A, u se umeşte vector propriu, iar a - valoare proprie a operatorului A. Defiiţia 5 (Spectrul uui operator) Asamblul valorilor proprii ale uui operator costituie spectrul operatorului. Defiiţia 5 (Spectru discret) Dacă mulţimea valorilor proprii ale uui operator este discretă, spectrul se umeşte spectru discret. Defiiţia 5 (Spectru cotiuu) Dacă mulţimea valorilor proprii ale uui operator este cotiuă, spectrul se umeşte spectru cotiuu. Defiiţia 53 (Valoare proprie edegeerată) Valoarea proprie a operatorului A se umeşte edegeerată (sau simplă) dacă îi corespude u vector propriu uic. Defiiţia 54 (Grad de degeerare al uei valori proprii) Dacă uei valori proprii a operatorului A îi corespud mai mulţi vectori proprii liiar a idepedeţi, atuci valoarea proprie se umeşte degeerată, iar umărul vectorilor proprii corespuzători acestei valori proprii determiă gradul de degeerare, care se otează cu g. Vectorii proprii degeeraţi se otează cu u i, ude i=,,... g, astfel îcât: Au i = a u i, i=,,... g (FG..4.33) Teorema 5 Valorile proprii ale uui operator sut rădăciile ecuaţiei sale caracteristice: [ A I] det λ = (FG..4.34) ude A este matricea asociată operatorului A, I este matricea uitate, iar λ este u scalar. Teorema 6 Valorile proprii ale operatorilor hermitici sut reale. Teorema 7 Valorile proprii ale operatorilor uitari sut umere complexe de modul uitate. Teorema 8 Doi vectori proprii ai uui operator hermitic sau uitar sut ortogoali dacă ei corespud la valori proprii diferite. Teorema 9 Petru u spaţiu de dimesiue fiită, vectorii proprii ai uui operator hermitic sau uitar îtid tot spaţiul, alcătuid o bază ortoormală a spaţiului. Teorema 3 Matricea asociată uui operator hermitic sau uitar este, î raport cu vectorii proprii corespuzători, diagoală.

62 Teorema 3 Fiecărui operator liiar A i se poate asocia u operator de proiecţie Π k avâd acelaşi set de vectori proprii cu A, valorile proprii ale celor doi operatori fiid diferite, coform relaţiilor: Π u =δ u, (FG..4.35) k j kj k u j fiid vectorii proprii ai operatorului A. Operatorul Π k se umeşte operator de proiecţie elemetar. Teorema 3 Dacă doi operatori A şi B comută, există u set de vectori proprii comui celor doi operatori. Proprietăţile operatorilor liiari î spaţiile vectorilor bra şi ket Defiiţia 55 (Acţiuea uui operator liiar asupra uui vector ket) Dacă A este u operator liiar şi u este u vector ket, relaţia di acelaşi spaţiu. Defiiţia 56 (Acţiuea uui operator liiar asupra uui vector bra) v = Au defieşte u alt vector ket Ţiâd seama de proprietăţile produsului scalar, rezultă că, fiid dat u vector bra u şi u operator A, vectorul bra v = uaface parte di acelaşi spaţiu cu au; ca urmare, ( ) ( ) v A u = v Au = v Au. (FG..4.36) Teorema 33 (Operator liiar ul) Operatorul liiar A este ul dacă şi umai dacă u Au =, u E. (FG..4.37) Teorema 34 (Egalitatea a doi operatori liiari) Operatorii liiari A şi B sut egali dacă şi umai dacă u Au = u Bu, u E. (FG..4.38) Defiiţia 57 (Operator adjuct sau hermitic cojugat) Operatorul A + se umeşte adjuctul lui A dacă, petru orice vectori u, v E, + u A v = v A u. (FG..4.39) Observaţie: Toate defiiţiile şi teoremele cuoscute de la prezetarea teoriei operatorilor uitari pot fi exprimate cu ajutorul otaţiilor lui Dirac coform exemplelor de mai sus. Operaţiile de cojugare hermitică se efectuează cu ajutorul otaţiilor lui Dirac î orice expresie algebrică î felul următor: a) se îlocuiesc costatele pri cojugatele lor complexe, vectorii ket pri vectorii bra asociaţi şi operatorii pri adjucţii lor; b) se iversează ordiea factorilor. Teorema 35 (Operatori de proiecţie cu otaţiile lui Dirac) Produsul ditre vectorul ket u şi vectorul bra u defiit de relaţia Π = u u (FG..4.4) reprezită u operator de proiecţie elemetar. Teorema 36 6

63 Dacă a sut valorile proprii ale uui operator liiar A, descompuerea spectrală a acestui operator î fucţie de operatorii de proiecţie are expresia: Π Α = a u u = a Π. (FG..4.4) Teorema 37 Dacă u k sut vectorii proprii ai operatorului A, Am = u A um (FG..4.4) reprezită elemetele de matrice ale acestui operator, astfel îcât ude A = A u u = UAU, (FG..4.43) m, m m U = u u. (FG..4.44) Teorema 38 Dacă u k sut vectorii proprii ai operatorului A, a k sut valorile proprii corespuzătoare spectrului discret, atuci: ak = uk A uk. (FG..4.45) Teorema 39 Dacă ηα sut vectorii proprii ai operatorului A, a α sut valorile proprii corespuzătoare spectrului cotiuu, atuci: α aα = ηα A η α α d α. (FG..4.46) Teorema 4 Dacă ηα sut vectorii proprii ai operatorului A, a α sut valorile proprii corespuzătoare spectrului cotiuu, atuci: α A= aα ηα ηα d α. (FG..4.47) α (reprezetarea spectrală a operatorului A), astfel îcât α α A= η A η η η dα d ude α α α α α α. (FG..4.48) α α U = ηα ηα d α. (FG..4.49) α Defiiţia 58 (Urma uui operator) Urma (egl., frac. Trace, germ. Spur) uui operator A este dată de suma elemetelor sale diagoale şi se otează Tr(A) sau Sp(A): a) î cazul uei baze ortoormale u k discrete, Tr( A) = uk A uk (FG..4.5) k b) î cazul uei baze ortoormale u k cotiue, Tr( A) = ηα A ηα dα (FG..4.5) Teorema 4 Sut adevărate relaţiile: Tr( AB) = Tr( B A) (FG..4.5) 63

64 Tr( ABC) = Tr( BC A) = Tr( C AB) (FG..4.53) oricare ar fi operatorii A, B, C. Defiiţia 59 (Derivata uui operator) Dacă A(t) este u operator care depide de variabila t, derivata d A ( t ) este dată de relaţia dt d A( t) A( t+δt) A( t) = lim, (FG..4.54) dt Δ t Δt dacă limita există. Elemetele de matrice ale derivatei sut date de relaţiile: da da da = ui uj = dt dt dt ij ij (FG..4.55) 64

65 FG..5. Reprezetarea vectorilor şi a operatorilor Defiiţia 6 (Reprezetare) Se umeşte reprezetare u procedeu de îlocuire a uui vector sau a uui operator pritr-u asamblu de umere; aceste umere vor reprezeta vectorul sau operatorul. Defiiţia 6 (Reprezetarea uui vector ket) Vectorul ket v se reprezită î baza discretă { u j } pritr-o matrice coloaă formată ditr-o mulţime umărabilă (deci ifiită) de elemete c i cotiuă de elemete c α respectiv, c u v c u v v = M = M, c k u v M M = η α v sub forma: = u i v, iar î baza cotiuă { ηα } pritr-o matrice (FG..5.) M M M M v = c α = η α v. (FG..5.) M M M M α Defiiţia 6 (Reprezetarea uui vector bra) Vectorul bra v se reprezită î baza discretă { u j } pritr-o matrice liie formată ditr-o mulţime umărabilă (deci ifiită) de elemete c i de elemete c α = respectiv, v η α sub forma: k = v u i, iar î baza cotiuă { ηα } pritr-o matrice cotiuă v = v u v u L v u L, (FG..5.3) v = LLLL v η L. (FG..5.4) α Defiiţia 6 (Reprezetarea uui operator) Uui operator liiara i se asociază îtr-o bază discretă { u j } setul de umere A = u A u (FG..5.5) ij i j iar îtr-o bază cotiuă { ηα } setul de umere ( αα, ) =η A η. (FG..5.6) A α α Cele două seturi de umere pot fi arajate sub forma uor matrice pătrate: 65

66 a) avâd u umăr ifiit (dar umărabil) de liii şi coloae î cazul bazei discrete: [ A] A A L A k L A A L A k L M M M M M M M L = M M M M M M M L Aj Aj L A jk L M M M M M M M L matrice umită reprezetatul operatorului A î baza { u i } (FG..5.7) b) avâd mulţimi cotiue de liii şi coloae î cazul bazei cotiue: A M M = LLLL A αα LLLL. M M α (FG..5.8) α [ ] matrice umită reprezetatul operatorului A î baza { η α } Teorema 4 Reprezetatul uui operator hermitic este o matrice hermitică. Teorema 43 Schimbarea reprezetării la schimbarea bazei este defiită de compoetele fiecărui vector al bazei oi î raport cu baza veche. Observaţie: Petru cele aproximativ o sută de defiiţii şi teoreme prezetate î acest capitol se vor utiliza cu predilecţie idicaţiile bibliografice care urmează. 66

67 Capitolul FG.3. Fudametele mecaicii cuatice Cuvite-cheie: stare cuatică, variabilă diamică, observabilă, reprezetarea vectorilor de stare, reprezetarea operatorilor, proces de măsură cuatic, postulatele mecaicii cuatice, reprezetarea Schrödiger, reprezetarea Heiseberg. FG.3.. Descrierea stării î mecaica cuatică a. Starea uui sistem cuatic. Fucţia de udă I paragraful 7..7, dedicat dualismului udă-corpuscul, s-a arătat că expresia Ψ= Ae i rr ( pr Et h ) (FG.3..) este geerală petru evideţierea atât a caracteristicilor odulatorii cât şi a celor corpusculare ale radiaţiei şi r r particulelor materiale pri icluderea relaţiile teoriei fotoice ale lui Eistei ε = hω si p = hk, experimetul Davisso-Germer fiid cocludet petru difracţia microparticulelor. Se poate admite comportarea duală ca fiid o caracteristică geerală a uei îtregi clase de sisteme, astfel îcât se poate vorbi de u caracter uiversal al dualismului corpuscul-udă. Ca urmare se poate postula ca starea uui sistem cuatic este complet determiata de fucţia sa de uda Ψ ( r, t). Proprietăţile pricipale ale fucţiei de uda sut următoarele: este asociata uei sigure particule fiid semificativa î puctele ude poate fi detectata particula dar î acelaşi timp fucţia de uda poate fi utilizata petru a fi aalizate feomeele de iterfereţă şi difracţie ale microparticulelor. Î acest cotext a deveit eseţiala problema uei îţelegeri mai profude a semificaţiei fizice a fucţiei de udă. Iterpretarea coform teoriei corpusculare a experimetelor de iterfereta şi difracţie a sugerat posibilitatea stabilirii uor corelaţii statistice itre itesitatea udei Ψ şi probabilitatea de detecţie a uei microparticule. I aul 96 Max Bor a rezolvat aceasta problema î mod strălucit, atribuid fucţiei de uda semificaţia amplitudiii probabilităţii de localizare a sistemului cuatic, astfel îcât se obţie petru desitatea de probabilitate de localizare a sistemului expresia: * P = Ψ = ΨΨ, (FG.3..) fucţia de uda fiid o mărime complexa. b. Spaţiul fucţiilor de uda. Vectori de stare Petru descrierea stărilor sistemelor cuatice şi a evoluţiei acestora trebuie utilizat u aparat matematic care să ia î cosiderare toate proprietăţile fucţiei de udă prezetate mai sus şi î primul râd să ţiă seama de pricipiul suprapuerii stărilor. Să e referim petru îceput la fucţiile de udă petru care este îdepliită codiţia de ormare a fucţiei de udă. Astfel de fucţii de udă aparţi uui spaţiu al fucţiilor de pătrat itegrabil. Se poate arăta că spaţiul fucţiilor de udă cosiderate mai sus, de pătrat itegrabil, este u spaţiu Hilbert, adică u spaţiu metric, liiar, cu u umăr ifiit de dimesiui, care posedă toate proprietăţile caracteristice ale uui astfel de spaţiu. Aceste proprietăţi sut următoarele: 67

68 a) Este u spaţiu liiar, adică fiid date două fucţii de pătrat itegrabil ψ şi ψ, orice combiaţie liiară de tipul c ψ + cψ (FG.3..3) ude c şi c sut umere complexe arbitrare este o fucţie de pătrat itegrabil, proprietatea da liiaritate fiid o coseciţă a pricipiului suprapuerii stărilor. b) Pe acest spaţiu este defiit produsul scalar a două fucţii de udă ψ şi ψ pri relaţia * ( ψ ψ ) = ψ (, r,..., r ) ψ ( r, r,..., r ) d τ, r N (FG.3..4) astfel că orma uei, fucţii de udă ψ se exprimă pri produsul scalar al acestei fucţii cu ea îsăşi * N ψ = ( ψ, ψ) = ψ ψ d ψ. (FG.3..5) Utilizâd petru produsul scalar a două fucţii de udă ψ şi ψ otaţia prescurtată proprietăţi ale acestuia se exprimă astfel: *, ψ = ( ψ, ψ ψ ) ( ψ, ψ ), pricipalele α) ( ) (FG.3..6) β) (, λ ψ + λ ψ ) = λ ( ψ, ψ ) + λ ( ψ ψ ) ψ 3 3, 3 (FG.3..7) ( ) γ) ψ, ψ (FG.3..8) ψ, ψ = ψ = iar dacă ( ), atuci. (FG.3..9) Coseciţele directe ale acestor proprietăţi sut următoarele. Fie două fucţii de udă ψ şi ψ di acest spaţiu: ( ) α) Dacă ψ, ψ =, ψ şi ψ sut ortogoale (FG.3..) β) Se arată că există relaţia (, ψ ) ( ψ, ψ )( ψ ψ ) ψ,, (FG.3..) umită iegalitatea lui Schwarz. c) Spaţiul fucţiilor de udă de pătrat itegrabil este complet, î sesul strict al cuvâtului, adică orice fucţie de pătrat itegrabil poate fi cosiderată ca limită (î medie pătratică) a uui şir coverget î ses Cauchy de fucţii de pătrat itegrabil (separabilitate). Î geeral, u spaţiu este complet dacă î iteriorul său se poate defii o bază ortoormată, cu ajutorul căreia se poate exprima orice fucţie care aparţie spaţiului, fiid satisfăcută şi relaţia de îchidere. Împreuă cu relaţiile de ortoormare, relaţia de îchidere (relaţia lui Parseval geeralizată) formează u asamblu de codiţii ecesare şi suficiete petru ca sistemul de fucţii ale bazei să fie ortoormat şi complet. (Stabilirea uei baze î spaţiul fucţiilor de udă, se face după cum se va arăta la studiul formalismului operatorial al teoriei cuatice, pri cosiderarea spectrului de fucţii proprii ale uui operator hermitic cu valori proprii reale care operează î acest spaţiu. Acest spectru poate fi complet î ses strict (de pătrat itegrabil), cum se îtâmplă î cazul spectrului discret,complet î ses geeralizat (ormarea fiid posibilă cu ajutorul fucţiei δ a lui Dirac), cum se îtâmplă î cazul spectrului cotiuu sau parţial cotiuu, dar poate şi să u fie complet. Dacă spectrul de fucţii proprii este complet î ses strict, spaţiul subîtis de fucţiile de udă corespuzătoare este u spaţiu Hilbert î ses strict sau î ses matematic. Dacă acest spectru este complet î ses geeralizat, se poate vorbi îcă de u spaţiu Hilbert lărgit. Petru costruirea 68

69 teoriei cuatice, u iteres deosebit îl prezită operatorii hermitici care prezită u spectru complet de fucţii proprii, operatori deumiţi observabile). Defiirea vectorilor de stare Posibilitatea descrierii stărilor uui sistem cuatic pri vectori, rezultă di posibilitatea reprezetării acestor stări pri seturi de umere, cu semificaţii fizice bie stabilite. Vom arăta acest lucru petru dezvoltarea uei fucţii de udă ψ ( x) î serie Fourier îsă tratarea poate fi geeralizată petru orice set de fucţii ortoormate (de exemplu, fucţii Bessel, polioame Hermite etc.). Fie seria ( ) + π i x L (FG.3..) = ψ x = c e ( ) fucţia ψ x fiid periodică, cu perioada L. Setul ifiit de umere c este specific fucţiilor expoeţiale după care se face dezvoltarea fiid diferit petru dezvoltări î serie după alte seturi de fucţii ortoormate. Dacă reprezetăm fucţia de udă pri setul ifiit de umere c, se observă că pri aalogie cu reprezetarea uui vector îtr-u aumit sistem de coordoate pritr-u set de umere, fucţia de udă poate fi privită ca u vector îtr-u spaţiu abstract cu u umăr ifiit de dimesiui, alegerea setului de fucţii, petru dezvoltarea î serie, corespuzâd stabilirii uui aumit sistem de coordoate. Tratarea fucţiilor de udă ca vectori poate fi extisă de la dezvoltările î serie la dezvoltările itegrale ale acestora. Astfel de vectori care descriu starea uui sistem cuatic, vor fi umiţi vectori de stare, şi vor fi desemaţi pri otaţia lui P.A.M. Dirac, care i-a utilizat petru prima dată î formularea sub o formă geerală a mecaicii cuatice [S.4]. Dirac desemează vectorii de stare "a" cu ajutorul otaţiei a, şi îi deumeşte geeric vectori ket, aceştia fiid, ca şi fucţiile de udă pe care le desemează, catităţi complexe. Vectorii de stare ket alcătuiesc pri aalogie cu fucţiile de udă, u spaţiu liiar pe care se poate defii u produs scalar şi care î codiţiile arătate petru fucţiile de udă este complet. (Se are î vedere şi modul î care se defieşte completitudiea petru vectorii ξ de ormă ifiită ai bazei, pri aalogie cu aceeaşi problemă tratată î paragraful aterior petru fucţiile de ormă ifiită, dar care dau produse scalare fiite cu orice vector de ormă fiită al spaţiului.) b) Liiaritatea spaţiului vectorilor de stare Liiaritatea spaţiului vectorilor de stare decurge di liiaritatea spaţiului fucţiilor de udă corespuzătoare şi se exprimă astfel: Fie doi vectori ket, a şi b ai uui spaţiu vectorial liiar, şi două umere complexe c şi c oarecare. Vectorul v obţiut pritr-o combiaţie liiară oarecare a vectorilor a şi b, de forma v = c a + c b aparţie spaţiului vectorial cosiderat. 69

70 Î cazul î care spaţiul este format ditr-u şir cotiuu de stări, defiite de parametrul cotiuu de vectori α se exprimă astfel: α, liiaritatea şirului w α = c( α) α d α (FG.3..3) α vectorul w, defiit astfel, aparţiâd spaţiului la care e reportăm. Ca urmare liiaritatea spaţiului vectorilor de stare se poate exprima, î mod geeral, pri relaţia v = ck ak + c( α) α d α (FG.3..4) k care evideţiază coţiutul pricipiului suprapuerii stărilor. Observaţii O bază a spaţiului vectorilor de stare poate fi costituită de orice asamblu maxim de vectori liiari idepedeţi ai spaţiului. Se spue că N vectori ai spaţiului b, b,..., b M N k = c = (FG.3..5) k b k sut liiar idepedeţi dacă relaţia (FG.3..5) u este satisfăcută decât petru valori simulta ule ale costatelor c k. Î acest caz ei alcătuiesc o bază a spaţiului astfel că orice alt vector v, va putea fi exprimat pritr-o combiaţie liiară a acestor vectori. Numărul vectorilor bazei, petru spaţiul vectorilor de stare cosiderat fiid ifiit, spaţiul vectorial corespuzător are o ifiitate de dimesiui astfel că orice vector al spaţiului se poate exprima pritr-o serie ifiită sau o itegrală a acestor vectori. Defiirea produsului scalar Defiirea produsului scalar î spaţiul vectorilor de stare se face după regulile obişuite ale algebrei vectoriale, ţiâdu-se seama de caracterul complex al acestor vectori, adică cosiderâd complex cojugatul uui vector dat şi multiplicâdu- cu u alt vector. Î otaţia lui Dirac complexul cojugatul uui vector de stare ket, a, se otează simbolic pri a şi se umeşte vector de stare bra, semificaţia fizică a vectorilor bra şi ket fiid aceeaşi. Deşi este imprecisă defiirea complex cojugatului uui vector (sau cel al uui operator), deoarece uitatea imagiară i = u a fost defiită î spaţiul vectorial abstract pe care- formează vectorii de stare, totuşi această tratare este posibilă şi utilă, î sesul că, dacă vectorii ket corespud uor fucţii de udă, vectorii bra corespud cojugatelor complexe ale acestor fucţii. Vectorii "bra" aparţi uui alt spaţiu vectorial care formează spaţiul dual, asociat spaţiului vectorial "ket". 7

71 Di modul de defiire a produsului scalar ditre vectorii a şi b pritr-ua di relaţiile s = a b, (FG.3..6) sau s ' = b a, (FG.3..7) rezultă că acesta stabileşte legătura ître cele două spaţii vectoriale duale, umerele complexe s şi complex cojugate ître ele s' fiid * s ' = s. (FG.3..8) Pri urmare produsului scalar al uui vector bra cu u vector ket, este u umăr complex, avâd proprietatea * a b = b a (FG.3..9) umita "hermiticitatea" produsului scalar. Proprietăţile produsului scalar U alt mod mai geeral de defiire a spaţiului vectorial dual costă î stabilirea uei corespodeţe ître fiecare ditre vectorii de stare v şi corpul umerelor complexe pri itermediul uei fucţii liiare de vectori ket u ( v ). Fucţia u ( v ) desemează o ouă categorie de vectori, umiţi vectori bra, pe care-i otăm simbolic pri u. Numărul complex s, reprezetâd valoarea acestei fucţii este dat de relaţia fucţioală s = u v. (FG.3..) Mulţimea vectorilor u alcătuieşte u ou spaţiu vectorial, umit spaţiul dual al vectorilor v avâd acelaşi umăr de dimesiui cu acesta, ître vectorii celor două spaţii vectoriale duale existâd o corespodeţă biuivocă. Proprietăţi: - dacă u v = (FG.3..) petru orice v atuci u = ; (FG.3..) - dacă petru orice v u v = u v (FG.3..3) atuci u = u ; (FG.3..4) - dacă existeţa relaţiei 7

72 v = c u + c u (FG.3..5) implică relaţia v = c u + c u (FG.3..6) * * atuci corespodeţa biuivocă ditre cele două spaţii este atiliiară. Aalog petru u şir cotiuu de stări α se poate scrie relaţia (FG.3..3) petru vectorii w, astfel: α = * w c ( α) α d α. (FG.3..7) α Relaţiile (FG.3..5) şi (FG.3..6) evideţiază corespodeţa ditre vectorii ket şi bra ca fiid aceea de cojugare complexă reciprocă, ceea ce e permite să asociem vectorii bra fucţiilor, de udă complex cojugate (vectorii ket fiid asociaţi fucţiilor de udă). Î aceste codiţii fucţioale s, are proprietatea (FG.3..9), adică u * v = v u. (FG.3..8) O astfel de fucţioală se umeşte hermitică şi defieşte produsul scalar ditre u vector ket v şi u alt vector bra u. Norma uui vector de stare u se defieşte cu ajutorul produsului scalar astfel: N = vv. (FG.3..9) Îtrucât * vv = vv, (FG.3..3) rezultă că orma este îtotdeaua u umăr real. Codiţia suplimetară N, stabileşte o corespodeţă perfectă ître proprietăţile spaţiului fucţiilor de udă şi cel al spaţiului vectorilor de stare, astfel că se poate trece la descrierea stărilor pri vectori. (Se ştie că orma î spaţiul fucţiilor de udă este corelată cu desitatea de probabilitate de localizare a sistemului cuatic deci este specificată pritr-u umăr real pozitiv). Ca urmare iegalitatea lui Schwarz (FG.3..) se scrie î spaţiul vectorilor de stare sub forma u v u u v v (FG.3..3) Petru a fi u spaţiu Hilbert, spaţiul vectorilor de stare trebuie să fie complet. S-a arătat aterior, petru spaţiul fucţiilor de udă, codiţiile î care acest spaţiu este complet, ce se îţelege pri spaţiu complet î cazul geeral al fucţiilor de stare de ormă ifiită, şi câd u spaţiu complet este u spaţiu Hilbert. Cocluziile pot fi extise î îtregime la spaţiul vectorilor de stare. Î capitolul dedicat formalismului operatorial al mecaicii cuatice, se vor evideţia oi proprietăţi ale spaţiilor vectorilor de stare privid, defiirea stărilor ortogoale, costruirea bazelor de vectori ortoormaţi, studiul subspaţiilor vectorilor de stare, a spaţiilor complemetare, a produsului tesorial al vectorilor de stare etc. 7

73 c. Coservarea ormei. Desitatea fluxului de probabilitate Ecuaţia de defiiţie a desităţii probabilităţii de localizare a sistemului cuatic (????) trebuie completată cu codiţia de ormare N ψ( x, y, z, t) dτ = (FG.3..3) ude itegrala desităţii de probabilitate se cosideră peste tot spaţiul cofiguraţiilor, N fiid o otaţie petru ormă. Această codiţie este impusă de faptul că particula cuatică se află cu certitudie udeva î spaţiul de cofiguraţie, deşi probabilitatea de localizare poate fi diferită de zero î oricare puct şi acestui spaţiu. Normarea fucţiei de udă poate fi făcută îtotdeaua dacă itegrala (FG.3..3) este covergetă. Î cazul î care aceasta itegrala este divergetă, fucţia de udă u poate fi î geeral ormată astfel că u va mai putea fi utilizată petru calculul desităţilor de probabilitate de localizare ci umai petru determiarea ψ A probabilităţii relative de localizare î două pucte diferite A şi B ale spaţiului pri calculul raportului. ψ B Exemple de fucţii de udă care u pot fi ormate î tot spaţiul sut udele plae şi udele sferice, ele corespuzâd uor surse situate la ifiit sau î origiea sistemului de coordoate, după cum se va arăta ulterior. Noţiuea de "ormă" va fi privită îtr-o accepţie mai largă î capitolul următor şi câd se va aborda problema spectrului cotiuu de fucţii proprii ale uei mărimi fizice (care au ormă ifiită dar ale căror difereţiale proprii au ormă fiită). Coservarea î timp a ormei Semificaţia fizică a fucţiei de udă impue ca orma acesteia N ψ( x, y, z, t) dτ = (FG.3..33) să fie costată î timp (se presupue că ormarea este posibilă). Să verificăm acest lucru ţiâd seama de faptul că fucţia de udă este o soluţie a ecuaţiei lui Schrödiger. Pri urmare se pot scrie ecuaţiile N dt = ψ d τ = ψ t ψ + ψ t t d * * ude şi ψ d τ (FG.3..34) h i h ψ= Δ+ V( r) ψ (FG.3..35) t m * h * i h ψ = Δ+ V( r) ψ. (FG.3..36) t m Îlocuid termeii di partea stâgă ai ecuaţiilor (FG.3..35) şi (FG.3..36) î ecuaţia (FG.3..34) se obţie petru variaţia ormei î timp expresia: 73

74 dn ih = ψ( Δψ) ( Δψ) ψ d dt m τ. (FG.3..37) Petru u domeiu fiit V, itegrala (FG.3..37) se trasformă cu ajutorul teoremei lui Gree îtr-o itegrală de suprafaţă. Pri urmare rezultă ecuaţia: d N ih dψ dψ dt m d d Σ * * = ψ ψ d A (FG.3..38) ude d d este derivata după ormala la suprafaţă îdreptată spre exteriorul acesteia. La limită câd Σ tide la ifiit, itegrala de suprafaţă tide către zero [S.5] astfel icat relaţia: d N dt = evideţiază coservarea î timp a ormei. 74 (FG.3..39) (Observaţie: Coservarea î timp a ormei se poate obţie imediat di ecuaţia (FG.3..37) şi di codiţia de h hermiticitate a operatorului hamiltoia H = Δ + V () r m * ( ψ) d τ = ( Hψ) ψ d τ * ψ H, care se va stabili după itroducerea î capitolul următor a limbajului matematic operatorial al mecaicii cuatice). Desitatea fluxului de probabilitate Coservarea ormei fucţiei de udă î timp, poate fi corelată cu ecuaţia de cotiuitate stadard cuoscută di celelalte domeii ale fizicii (electrodiamică, hidrodiamică etc.), scrisă îsă petru desitatea de probabilitate de localizare P ( r, t), sub forma P t ( r, t) + div S ( r, t) = (FG.3..4) ude S ( r, t) este o mărime vectorială, umită desitatea fluxului de probabilitate, avâd o expresie ce urmează a fi determiată. Petru aceasta ţiem seama de expresia (FG.3..38) care poate fi trasformată astfel: t ih * * ( r, t) d τ = div[ ψ grad ψ ( grad ψ ) ψ] d τ P (FG.3..4) m V V de ude cu otaţia S ih * * ( r, t) = [ ψ grad ψ ( grad ψ ) ψ] m rezultă ecuaţia de cotiuitate (FG.3..4). (FG.3..4) Pri urmare desitatea fluxului de probabilitate este dată de relaţia (FG.3..4), sau de relaţia echivaletă

75 S ( r, t) = Re ψ ψ * h m. (FG.3..43) (Relaţia (FG.3..43) coduce la o iterpretare mai sugestivă a desităţii fluxului de probabilitate dacă se h recuoaşte î catitatea operatorul viteză, îsă acest mod de abordare va fi posibil după itroducerea im operatorilor î capitolul următor.) De observat că mărimea S ( r, t) u poate fi susceptibilă de măsurări, î sesul î care poate fi măsurată desitatea de probabilitate P, deoarece măsurarea sa pri fluxul mediu de particule îtr-u puct şi la u momet dat, implică măsurări "simultae" de poziţii şi viteze care sut supuse relaţiilor de icertitudie [S.4]. Di aaliza ecuaţiei de cotiuitate (FG.3..4) rezultă că pri adăugarea la vectorul S ( r, t) a uui alt vector cu divergeţa ulă, forma ei u se schimbă, pri urmare aceasta defieşte vectorul S ( r, t), umai î aceste limite. Se poate admite, de asemeea, caracterul mai geeral al ecuaţiei (FG.3..4) î comparaţie cu proprietatea (FG.3..39) de coservarea ormei. De exemplu, petru soluţii staţioare ale ecuaţiei lui Schrödiger Et i ψ( r, t) = ψ ( r ) e h (FG.3..44) proprietatea de coservare a ormei este evidetă petru stări legate sau lipsită de semificaţia petru stări elegate, pe câd ecuaţia de cotiuitate capătă forma ( r, t) div S = (FG.3..45) iteresată pri idepedeţa sa de eergia poteţială. Calculul valorilor medii ale variabilelor diamice Iterpretarea statistică a fucţiei de udă permite extiderea elemetelor de statistică matematică î studiul variabilelor diamice ale sistemelor cuatice, petru calculul diferitelor mărimi caracteristice ale acestora cum ar fi: valoarea medie, variaţa, etc. Î cele ce urmează e vom limita umai la prezetarea uor idicaţii privid modul de calcul al valorilor medii, u studiu complet al proprietăţilor statistice ale variabilelor diamice fiid posibil umai după itroducerea operatorilor. Coform teoriei probabilităţilor, valoarea medie este valoarea aşteptată a uei sigure măsurări asupra variabilei diamice cosiderate sau este media rezultatelor obţiute pritr-u mare umăr de măsurări asupra uor sisteme idepedete idetice (aflate î această stare) şi poate fi calculată cu o formulă de tipul F = F P d τ (FG.3..46) ude F este mărimea mediată iar P fucţia de distribuţie corespuzătoare mărimii F. Pri urmare, cuoscâd desitatea de probabilitate de localizare P ( r,t) a uei particule cuatice, se poate calcula valoarea medie a coordoatei cu ajutorul relaţiei 75

76 + + * ( r, t) d τ = ψ ( r, t) r ψ( r, t) r = r P d τ. (FG.3..47) Formula de mai sus poate fi extisă petru calculul valorii medii, a oricărei fucţii de coordoata r, F( r, t) (de exemplu, eergia poteţială) sub forma: + * F ( r, t) = ψ ( r, t) F( r, t) ψ( r, t) d τ. (FG.3..48) Î vederea găsirii uor relaţii de calcul al valorilor medii ale variabilelor diamice sub forma cea mai G p, r atât de coordoate cât şi de impulsuri), este ecesară geerală, exprimate pri fucţii de tipul ( ) defiirea fucţiei de udă φ ( p) î spaţiul impulsurilor şi itroducerea aparatului matematic operatorial al mecaicii cuatice, care se va face, după cum s-a mai arătat, ulterior. Î acest stadiu al dezvoltării teoriei cuatice se pot defii aceste valori medii cu ajutorul următorului postulat: Valoarea medie a fucţiei diamice ψ ( x,t) este dată de itegrala: + G( p x, x) petru u sistem cuatic aflat îtr-o stare descrisă de fucţia G( p x, x) = ψ ( x, t) G, x ψ( x, t) d x, (FG.3..49) i x * h î care operatorul ( p x) G x,. G h x i x, se obţie cu ajutorul substituţiei p x h i x î expresia fucţiei (Modul de obţiere a relaţiei (FG.3..49) costă î calculul valorii medii a variabilei ajutorul fucţiei de udă φ ( p) î spaţiul impulsurilor şi utilizarea proprietăţilor trasformatelor Fourier a fucţiilor de pătrat itegrabil care fac trecerea de la spaţiul impulsurilor la spaţiul coordoatelor). p x cu d. Pricipiul suprapuerii stărilor Experieţele coceptuale de iterfereţă cu două fate au fost cele care au sugerat petru prima dată posibilitatea uei iterpretări statistice a feomeelor costatate şi au iflueţat după cum s-a arătat evoluţia gâdirii spre elaborarea formalismului fucţiei de udă cu semificaţia sa fizică profudă. Iterpretarea rezultatelor experieţelor de acest tip cu ajutorul fucţiilor de udă are rolul ca, pe lâgă evideţierea elegaţei şi corectitudiii utilizării acestui formalism să stabilească bazele experimetale ale uui ou pricipiu fudametal al teoriei cuatice, pricipiul suprapuerii stărilor. Î cele ce urmează e vom referi la experieţa de iterfereţă cu două fate cu electroi. Dacă otăm cu ψ fucţia de udă care descrie câmpul de udă asociat trecerii electroului pri ua di fate şi cu ψ fucţia de udă care descrie câmpul de udă asociat trecerii electroului pri cealaltă fată, apariţia frajelor de iterfereţă pe ecra, după scrierea uui mare umăr de electroi, implică cu ecesitate 76

77 existeţa uei stări descrisă de fucţia de udă ψ obţiută pri suprapuerea stărilor descrise cu ajutorul fucţiilor de udă ψ şi ψ, coform relaţiei ψ = ψ + ψ. Îtr-adevăr, fie (FG.3..5) * P = ψψ (FG.3..5) şi * P = ψ ψ (FG.3..5) desităţile de probabilitate de localizare ale electroului descris de fucţia de udă ψ, respectiv ψ. Admiţâd suprapuerea stărilor coform relaţiei (FG.3..5) se obţie petru desitatea de probabilitate rezultată de localizare a electroului pe ecra expresia: * " * ( ψ + ψ ) ( ψ + ψ ) = P + + ψψ + ψ P = P ψ (FG.3..53) deci P P + P î cocordaţă cu observaţiile experimetale. (FG.3..54) Relaţia (FG.3..5) reprezită o primă formă a expresiei matematice a pricipiului suprapuerii stărilor. De observat că dacă fata primară u este simetrică î raport cu fatele secudare, superpoziţia (FG.3..5) a fucţiilor de udă ψ şi ψ trebuie să fie poderată, astfel că starea electroului, atuci câd ambele fate sut deschise, va fi dată de fucţia de udă ( ) = c ψ ( x) c ( r) ψ x + ψ (FG.3..55) ude c şi c sut umere complexe a căror semificaţie se va arăta î paragrafele următoare. Alte cosideraţii care coduc la pricipiul suprapuerii stărilor a) U alt fapt experimetal care determiă admiterea "suprapuerii stărilor", a fost aalizat î paragraful???, câd s-au făcut observaţii asupra evoluţiei uui foto şi a uui asamblu de fotoi polarizaţi liiar la trecerea pritr-u icol. Petru iterpretarea feomeului s-a cosiderat că starea de polarizare a fotoului rezultă di suprapuerea stărilor de polarizare ordiară şi extraordiară, stări î care fotoul este "forţat" să treacă la itersecţia cu aparatul de măsură, astfel că la ieşirea si icol fotoul este polarizat îtr-ua sau alta di cele două stări. b) Di ceriţele de liiaritate impuse ecuaţiei lui Schrödiger odată cu stabilirea acesteia î paragraful???, rezultă direct posibilitatea suprapuerii soluţiilor sale particulare astfel că, î cazul geeral, fucţia de udă se poate exprima pritr-o relaţie de forma: ( x, y, z, t) = c( px. p y, pz ) ψ( x, y, z, t) d px d p y d pz ψ (FG.3..56) 77

78 adică ca o suprapuere a uui umăr foarte mare de fucţii de udă stadard cu valori determiate ale impulsului. Se arată că î relaţia de mai sus coeficieţii c ( p), reprezită, ca şi coeficieţii c,c î relaţia (FG.3..55), poderile stărilor ψ p î compoziţia fucţiei de udă rezultate ψ ( r,t). Formularea geerală a pricipiului suprapuerii stărilor Cosideraţiile experimetale şi "de costrucţie" a ecuaţiei lui Schrödiger prezetate mai sus pot fi structuralizate astfel: dacă petru o măsurare efectuată asupra uui sistem cuatic aflat îtr-o stare descrisă de fucţia de udă ψ( q), ude q este o coordoată î spaţiul cofiguraţiilor, se obţie cu certitudie u rezultat λ, iar o măsurare de acelaşi tip efectuată asupra sistemului cuatic aflat î starea ψ ( q) coduce cu certitudie la rezultatul λ etc., atuci se cosideră că orice combiaţie liiară ψ,,3,..., k ître ψ,...,, ψ, ψ3 ψ k exprimată de relaţia ψ,,3,...,k = c ψ + c ψ + c ψ ψ... (FG.3..57) 3 3 c k k + reprezită, de asemeea, o stare a sistemului petru care aceeaşi măsurare coduce cu certitudie la uul di rezultatele λ, λ, λ3,..., λk,... Aalog, dacă se ştie depedeţa de timp a fucţiilor de udă ψ k ( q, t), atuci se pot costrui cu aceste fucţii expresii de forma (FG.3..57) care, de asemeea, sut descrieri posibile ale stării. O altă formulare geerală echivaletă a pricipiului suprapuerii stărilor este următoarea: Dacă u sistem cuatic se poate găsi îtr-u şir de stări descrise de fucţiile de udă ψ( q), ψ ( q), ψ3( q),..., ψ k ( q),... el se poate găsi, de asemeea, îtr-o stare rezultată obţiută pritr-o combiaţie liiară arbitrară a acestor fucţii de udă, descrisă de fucţia de udă ( q) = c ψ ( q) ψ k k (FG.3..58) k adică îtr-o stare obţiută pri suprapuerea stărilor ( q) ψ k. Relaţia (FG.3..56) exprimă, de asemeea, după cum s-a mai arătat, coţiutul pricipiului suprapuerii stărilor, petru u domeiu cotiuu de existeţă al fucţiilor de udă, ca urmare a variaţiei cotiue a impulsului p. Di puct de vedere matematic, relaţia (FG.3..56) reprezită dezvoltarea fucţiei ψ ( x, y, z, t) î itegrala Fourier, dacă fucţiile de udă ψ p se aleg de forma ψ p = ( πh) 3 / e i h ( p r Et) astfel că î acest caz se poate găsi o semificaţie directă a coeficieţilor c ( p p, p ) x, y z. (FG.3..59) Îtr-adevăr, ţiâd seama de ortogoalitatea fucţiilor egalitatea ψ p î itegrala Fourier (FG.3..56) se obţie ψ d τ = c d p (FG.3..6) 78

79 care permite iterpretare coeficieţilor c ( p) ca expresii ale desităţilor de probabilitate ca particula descrisă de fucţia de udă ψ ( x, y, z, t) să se găsească î ua di stările particulare ψ p ( x, y, z, t) adică cu o valoare a impulsului egală cu p. Evidet că datorită ormării fucţiei de udă ψ ( x, y, z, t), coeficieţii ( p) c sut supuşi codiţiei c d p =. (FG.3..6) Cosideraţiile de mai sus permit găsirea codiţiilor petru care coeficieţii c k î expresia geerală a pricipiului suprapuerii stărilor (FG.3..58) capătă o semificaţie aalogă. Îtr-adevăr, dacă fucţiile ψ k ( q) care alcătuiesc combiaţia liiară (FG.3..58) sut liiar idepedete şi se ortoormează, mărimile c k capătă semificaţia de poderi cu care fucţia de udă ψ ( q) rezultă se află î ua di stările particulare k. (După itroducerea formalismului operatorial se va arăta că fucţiile ψ k q îdepliesc aceste codiţii câd sut fucţiile proprii ale uor mărimi fizice reprezetate pritr-u operator hermitic.) ψ ( ) Aalog di modul de formulare al pricipiului suprapuerii stărilor î mecaica cuatică şi acelaşi pricipiu di mecaica clasică, evideţiată de repetate ori şi ispirată de caracterul odulatoriu al microparticulelor u coduc la idetitatea formelor clasică şi cuatică ale acestui pricipiu, datorită uor particularităţi eseţiale ale comportării sistemelor cuatice, pe care le evideţiem î cele ce urmează: pricipiul super poziţiei î mecaica cuatică este o expresie a dualismului corpuscul - udă al sistemelor cuatice, iacceptabil petru fizica clasică; măsurarea efectuată asupra uui sistem cuatic aflat îtr-o stare obţiută pri suprapuerea mai multor stări ψ k a căror măsurare duce la rezultatele λ k, este de asemeea ua di valorile λ k şi u o valoare oarecare itermediară cum se obţie pri măsurarea sistemelor clasice obţiute pri superpoziţie. Aceste traziţii î salt ale sistemelor cuatice reprezită comportări specifice acestui tip de sisteme care ascultă de pricipiul superpoziţiei î alt mod decât cele clasice, cauza acestor comportări costituid-o iteracţiuea sistemului cuatic cu aparatul de măsură î timpul măsurării; datorită codiţiei de ormare a fucţiei de udă, stările cuatice ψ ( q) şi ( q) cψ ude c este o costată, sut idetice. Nu acelaşi lucru se poate spue despre două stări clasice, exprimate pri fucţii de acelaşi tip care evidet au amplitudii diferite, deci exprimă stări disticte; imagiea ituitivă a suprapuerii stărilor clasice u se mai păstrează petru stările cuatice. Este greu de imagiat, de exemplu, o particulă cuatică, parţial îtr-o stare, parţial î alta, şi aceasta îtr-u umăr oricât de mare de posibilităţi, create de codiţiile de observare. (Cu privire la acest lucru Bohr afirma că aceste stări trebuie cosiderate ca existâd ele îsăşi, ci sut legate de modurile de observare a lor cu istrumete macroscopice.) Alte proprietăţi ale fucţiei de udă Rezultatele obţiute pâă î prezet î defiirea şi iterpretarea fucţiei de udă a uei particule pot fi extise petru sistemele cuatice formate di mai multe particule. Fie, de exemplu, u sistem cuatic format di două părţi astfel îcât fiecare ditre părţi să fie descrisă complet. 79

80 Îtrucât probabilităţile coordoatelor q ale primei părţi sut idepedete de probabilităţile coordoatelor q petru cea de-a doua parte, fucţia de distribuţie a probabilităţii petru îtreg sistemul trebuie să fie egală cu produsul fucţiilor de distribuţie ale probabilităţilor petru fiecare î parte, astfel că î limbajul fucţiilor de udă acest lucru se scrie astfel: ( q q ) ( q ) ( ) ψ = ψ ψ. (FG.3..6), q Dacă cele două părţi ale sistemului u iteracţioează ître ele, atuci relaţia (FG.3..6) rămâe valabilă la orice momet de timp, fapt care se exprimă sub forma: ( q q t ) = ψ ( q, t) ( q, t) ψ,, ψ. (FG.3..63) Î cazul cel mai geeral, fie ψ N ( r, r,..., rk,..., rn ; t) fucţia de udă a uui sistem format di N particule ude idicele k specifică particula cu coordoata r k. Postulâd faptul că descrierea uui sistem de particule trebuie să se facă aalog cu cea a uei sigure particule, atribuim fucţiei de udă a sistemului de N particule ψ N aceeaşi semificaţie fizică. Pri urmare, mărimea ( r, r, r,..., r,..., r t) P N = ψ N 3 k N, (FG.3..64) va reprezeta desitatea de probabilitate ca la u momet dat, prima particulă să fie localizată î puctul r, cea de-a doua particulă î puctul r, etc. Î mod aalog, catitatea ( d N ) = d τ ψ N d τ d τ... d τ 3 N P (FG.3..65) reprezită probabilitatea ca prima particulă să se afle î elemetul de volum d τ, idiferet de localizarea celorlalte particule peste coordoatele cărora se efectuează itegrarea. Calculâd catităţile ( d P N ) k petru fiecare ditre celelalte particule, putem obţie iformaţia maximă despre o cofiguraţie posibilă a sistemului de mai multe particule, î spaţiu. Codiţia de ormare a fucţiei de udă a sistemului de N particule se scrie pri aalogie cu codiţia de ormare a fucţiei de udă petru o sigură particulă, astfel: ψ N d τ d τ d τ3...d τ N =, itegrala calculâdu-se pe spaţiul de cofiguraţie 3N - dimesioal. Dacă fucţia de udă ψ N poate fi pusă sub forma uui produs al fucţiilor de udă petru fiecare particulă, pri aalogia cu relaţia (FG.3..6) se poate scrie N ( r r,..., r,..., r ) = ψ ( r ) ψ ( r ) ψ ( r ) ψ..., k N N (FG.3..66) relaţia păstrâdu-se şi petru fucţiile de distribuţie P k ( r k ): N ( r r,..., r,..., r ) P( r ) P ( r ) P ( r ), k N = N N. (FG.3..67) P... Pri urmare, statisticile măsurătorilor efectuate asupra fiecărei particule sut ecorelate, problema tratării fiecărei particule fiid aceeaşi cu cea a tratării sale î abseţa celorlalte particule. 8

81 De asemeea, î cazul î care particulele u iteracţioează ître ele, proprietatea (FG.3..66) se păstrează î timp, adică: ( r r,..., r,..., r, t) = ψ ( r, t) ( r, t)... ( r t) ψ ψ. (FG.3..68) N, k N ψ N N, Îtr-adevăr puâd hamiltoiaa sistemului sub forma uei sume de N termei, corespuzători celor N particule di sistem, se costată că fucţia de udă pusă sub formă de produs, satisface ecuaţia lui Schrödiger a sistemului, ceea ce îseamă că mişcările fiecărei particule rămâ complet idepedete. (Verificarea acestui lucru pri calcul se face mai elegat şi mai simplu după itroducerea limbajului operatorial, deşi este posibilă şi î acest stadiu.) Fucţia de udă î spaţiul impulsurilor Se poate arăta ecesitatea defiirii fucţiei de udă φ ( p) î spaţiul impulsurilor, petru găsirea formulelor geerale de calcul a valorilor medii, specificâdu-se că aparatul matematic al aalizei Fourier este cel pri care se stabileşte corespodeţa ître spaţiul coordoatelor şi spaţiul impulsurilor. Pe de alta parte, stabilirea relaţiilor de icertitudie pe baza dualismului geeral corpuscul - udă, a ψ r, î spaţiul coordoatelor şi a trasformatelor lor evideţiat faptul că ître "îtiderile" fucţiilor ( ) Fourier, φ ( p), î spaţiul impulsurilor există o corelaţie determiată. După cum di cuoaşterea fucţiei de udă ψ ( r ) u se poate atribui uei particule cuatice o poziţie precisă dar se poate defii probabilitatea de a se localiza particula îtr-o aumită regiue a spaţiului, atuci câd se efectuează o măsurare a poziţiei, extizâd raţioametul la spaţiul impulsurilor, se poate, pri urmare, φ p, care să descrie comportarea particulei î acest spaţiu. defii o fucţie de udă ( ) Aalog, îtrucât coform relaţiilor de icertitudie uei particule cuatice u i se poate atribui u impuls φ p trebuie să defiească probabilitatea de localizare a particulei, îtr-o aumită precis, fucţia de udă ( ) regiue a spaţiului impulsurilor, atuci câd se efectuează o măsurare a impulsului, coform relaţiei ( p) = φ( p) P. (FG.3..69) Admiţâd petru fucţia de udă ψ ( r ) o expresie geerală obţiută pri superpoziţia uor ude elemetare de forma ψ ( r ) = pr i e h, de impuls p bie determiat ( πh) φ 3 / pr i ( p) e h d r ude φ ( p) sut işte fucţii a căror semificaţie urmează a fi stabilită, rezultă că ψ ( r ) şi ( p) trasformate Fourier reciproce, astfel că (FG.3..7) φ sut φ ( p) = ( πh) ψ 3 / pr i ( r ) e h d r (FG.3..7) rezultat î cocordaţă cu afirmaţiile aterioare. 8

82 Comparâd relaţia (FG.3..7) cu (FG.3..7) şi ţiâd seama de semificaţia atribuită coeficieţilor c ( p) rezultă că ( p) φ are semificaţia desităţii de probabilitate ca particula cuatică să aibă impulsul p, astfel că φ ( p) costruită î acest fel reprezită fucţia de udă a particulei î spaţiul impulsurilor. Reciproc pe baza relaţiei (FG.3..7) se poate arăta că ψ ( r ) are semificaţia uei fucţii de udă a particulei î spaţiul coordoator. Fucţia de udă φ ( p) este suficietă, ca şi fucţia de udă ψ ( r ), petru cuoaşterea stării diamice a particulei cuatice, ambele putâd fi cosiderate reprezetări echivalete ale aceleaşi stări. La fel ca şi fucţia de pătrat itegrabil ψ ( r ), fucţia φ ( p), de asemeea, de pătrat itegrabil, poate fi ormată la uitate, satisfăcâd codiţia de coservare î timp a ormei şi ecuaţia de cotiuitate a desităţii de probabilitate. (Se poate arăta că trasformata Fourier a uei fucţii de pătrat itegrabil există îtotdeaua, fiid tot o fucţie de pătrat itegrabil.) Cosisteţa teoriei de mai sus, a fucţiei de udă î spaţiul impulsurilor, rezultă î mod hotărâtor di cofrutarea cu faptele experimetale, calculul abaterilor medii pătratice ale rezultatelor măsurărilor "simultae" ale impulsurilor şi poziţiilor, fiid î cocordaţă cu relaţiile de icertitudie ale lui Heiseberg. Este evidet că relaţiile de calcul ale valorilor medii ale impulsului p, sau ale oricărei fucţii de impuls ( p t) G,, se pot scrie î spaţiul impulsurilor, astfel: + p = p P ( p, t)d τ' (FG.3..7) şi respectiv + G( p, t) = G( p, t) P ( p, t)d τ' (FG.3..73) ude d τ' este elemetul de volum î spaţiul impulsurilor. De asemeea, fucţia de udă a uui sistem de mai multe particule ( p p p t) φ N N, (FG.3..74),,..., este corelată cu fucţia de udă ( r r r t) ψ N,,..., N, (FG.3..75) pri relaţiile de trasformate Fourier reciproce N dimesioale [S.6]. Codiţiile impuse fucţiei de udă Iterpretarea fucţiei de udă presupue îdepliirea a o serie de codiţii de către aceasta, care costau î primul râd î cotiuitatea şi uivocitatea sa, î tot domeiul ude poate evolua particula. Aceste codiţii sut impuse de faptul că proprietatea de localizare a uei particule, îtr-u aumit puct, u poate fi decât uică şi bie defiită, cotiuitatea fiid cerută de abseţa "surselor" pe orice suprafaţă care mărgieşte volumul V ude se calculează probabilitatea de localizare a particulei. I teoria "surselor" se arată 8

83 că prezeţa acestora coduce la apariţia uor termei suplimetari î ecuaţia lui Schrödiger, determiâd discotiuităţi ale fucţiei de udă (surse izotrope) sau ale derivatei ormale a acesteia (sursele dipolare). Codiţia de ormare a fucţiei de udă, şi coservarea ormei î timp coduc la ceriţa ca fucţia de udă să se auleze la ifiit suficiet de repede, astfel îcât itegrala de ormare * ψψ d τ =, (FG.3..76) să fie covergetă. De exemplu, dacă fucţia de udă scade hiperbolic, (ca /r), itegrala (FG.3..76) luată ca o sferă de rază r u este covergetă, astfel că implică prezeţa surselor la ifiit. Petru o fucţie de udă care se aulează expoeţial la ifiit îsă, itegrala (FG.3..76) este covergetă. Udele plae şi udele sferice, de exemplu, implică prezeţa surselor la ifiit şi respectiv î origie. Mai meţioăm de asemee, că existeţa uor discotiuităţi ale eergiei poteţiale U ( x), coduce la discotiuităţi ale derivatelor de ordiul doi ale fucţiilor de udă. Totuşi codiţiile de cotiuitate u sut afectate petru fucţia de udă şi derivatele sale de primul ordi. Aşa cum se arată î teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale, pe de altă parte, ecuaţia lui Schrödiger atemporală este o ecuaţie tipică cu fucţii proprii şi valori proprii, aşa îcât fucţiile de udă care sut soluţiile acestui tip de ecuaţii, satisfac codiţiile stadard de mărgiire, cotiuitate (împreuă cu derivatele lor chiar şi î puctele î care eergia poteţială prezită discotiuităţi) şi uivocitate. Î plus, după formularea operatorială a mecaicii odulatorii, se va arăta că fucţiile de udă proprii, obţiute î acest fel, satisfac şi codiţia de ortoormare ψ * m ( q) ψ ( q) d q = δm (FG.3..77) ude δ m este simbolul lui Kroecker. FG.3.. Variabilele diamice î mecaica cuatică U al doilea cocept fudametal al mecaicii clasice pe lâgă cel de stare a uui sistem este acela de variabilă diamică, pri variabile diamice îţelegâdu-se acele mărimi fizice care caracterizează starea sistemului fizic, de exemplu, coordoatele, impulsurile, mometul cietic, eergia etc. Se ştie, de asemeea, că ître diferitele variabile diamice ale uui sistem clasic există relaţii de legătură bie precizate, uele ditre acestea avâd rolul de a defii oi variabile diamice, ca fucţii de variabilele diamice fudametale, coordoatele şi impulsurile. Problema care se pue, î cotiuare, î costruirea teoriei cuatice, după itroducerea fucţiilor de udă petru descrierea stărilor sistemelor cuatice este de a se stabili ce mărimi corespud variabilelor diamice clasice, î teoria cuatică? Î rezolvarea acestei probleme trebuie să se ţiă seama atât de caracterul diferit, evideţiat pâă î prezet, al legilor de evoluţie ale sistemelor cuatice, î raport cu legile clasice, cât şi de ecesitatea logică de a se coserva pe cât posibil uele elemete de structură ale mecaicii clasice, către care trebuie să tidă, î aumite codiţii, mecaica cuatică. Î cele ce urmează se va arăta că descrierea cea mai potrivită a variabilelor diamice î teoria cuatică o reprezită operatorii liiari hermitici. 83

84 Se ştie di matematică că u operator este o istrucţiue, pri care se asociază uui elemet al uui aumit set de obiecte u alt elemet di acelaşi set de obiecte sau ditr-u alt set. De exemplu, spaţiul fucţiilor de pătrat itegrabil i se poate asocia spaţiul trasformatelor Fourier ale acestor fucţii, pri itermediul operatorului itegral al trasformatei Fourier. Î cazul teoriei cuatice, operatorii corespuzători variabilelor diamice, trebuie să acţioeze î spaţiul fucţiilor de udă sau î cel al vectorilor de stare, î cocordaţă cu legile teoriei cuatice stabilite pâă î prezet, astfel că trebuie formulată o teorie matematică coeretă a acestor operatori. Pricipalele caracteristici ale acestor operatori decurg di îsăşi aaliza spaţiului fucţiilor de stare, astfel că î paragraful următor se va evideţia posibilitatea şi ecesitatea itroducerii operatorilor î acest spaţiu. Notaţia geerală utilizată petru desemarea operatorului corespuzător uei variabile diamice ' va fi Fˆ, coform ecuaţiei de defiiţie ψ = F ˆψ. F Câteva moduri de itroducere a operatorilor cuatici a) Aaliza fucţiei de udă a particulei libere [S.4] Să cosiderăm fucţia de udă a uei particule libere dată pri expresia i ψ = exp ( px Et) h. (FG.3..) Di aaliza derivatelor parţiale ale expresiei (FG.3..78) î raport cu x şi cu t i ψ = p x ψ, (FG.3..) h x respectiv i ψ = Eψ, (FG.3..3 h t rezultă că dacă fucţia ψ este cuoscută, ecuaţiile (FG.3..) şi (FG.3..3) e permit aflarea impulsului după direcţia x sau a coordoatei particulei pri derivarea parţială a fucţiei de udă î raport cu coordoata x, respectiv cu timpul t. Ca urmare, ecuaţiile (FG.3..) şi (FG.3..3) pot fi privite ca işte ecuaţii operatoriale, petru variabilele diamice impuls şi eergie, cărora le corespud astfel operatorii difereţiali: pˆ x = h (FG.3..4) i x respectiv E ˆ = h i t. (FG.3..5) geeralizarea acestor rezultate petru toate variabilele diamice, coduce, după cum se va arăta, la aparatul matematic al operatorilor liiari hermitici ai teoriei cuatice. b) Stabilirea ecuaţiei lui Schrödiger [S.5] Aaliza ceriţelor uei ecuaţii de udă geerale a avut ca puct de plecare relaţia: p E =, (FG.3..6) m astfel că s-a ajus la ecuaţia de udă petru particula liberă, avâd forma: ψ h ψ ih =. (FG.3..7) t m x 84

85 Di compararea celor două relaţii de mai sus, rezultă că eergia şi impulsul pot fi reprezetate pri operatorii difereţiali Eˆ = ih, (FG.3..8) t respectiv p = ih, (FG.3..9) î cocordaţă cu ecuaţiile (FG.3..8), (FG.3..8). Rezultă totodată petru operatorul pătratului impulsului expresia: p = h Δ. (FG.3..) c) Calculul valorilor medii [S.4] Ţiâd seama de fucţiile de udă ψ ( r ) şi ( p) φ sut reprezetări echivalete ale aceleaşi stări cuatice, î spaţiul coordoatelor, respectiv cel al impulsurilor, se poate arăta că defiiţia valorii medii a impulsului: p x + = φ * ( px ) pxφ( px ) d px se poate scrie îlocuid pe + * h x = ϕ ( x) ϕ( x) d x i x φ ( px ), (FG.3..) î ecuaţia de mai sus sub forma: p, (FG.3..) h ceea ce arată posibilitatea reprezetării operatoriale a impulsului p x pri expresia. Totodată formula i x (FG.3..) se poate geeraliza petru calculul valorii medii a oricărui operator. Î plus expresia valorii medii a coordoatei scrise sub forma x + = ψ * ( x) xψ( x) d x evideţiază expresia operatorului coordoată xˆ, (FG.3..3) xˆ x, (FG.3..4) adică aplicarea sa asupra uei fucţii de udă are ca efect obţierea altei fucţii de udă, coform relaţiei ( x) = xψ ( x) = ψ ( x) xˆ ψ. (FG.3..5) i i Aalog, î spaţiul impulsurilor au loc relaţiile: ( p ) = p φ ( p ) j pˆ xφi x x i x (FG.3..6) şi h xˆ ϕ p = ϕ p i p ( ) ( ) i x i x x d) Studiul stărilor. (FG.3..7) 85

86 Coform postulatelor lui Bohr, sistemele atomice aflate î stări staţioare posedă u şir discret de valori E, E, E3,..., Ei,..., petru eergia sistemului, î depliă cocordaţă cu experieţa, după cum s-a arătat î capitolul al doilea al lucrării. Problema determiării acestor stări staţioare ale sistemului atomic este asemăătoare problemei di matematică a rezolvării ecuaţiei cu fucţii proprii şi valori proprii a operatorilor liiari. Acest mod de iterpretare a cuatificării uui sistem atomic aparţie lui Schrödiger care a evideţiat petru prima dată (î 96), că teoria operatorilor liiari corespude cel mai bie descrierii sistemelor cuatice. e) Reprezetarea matricială a lui Heiseberg Î capitolul al cicilea al lucrării s-a arătat că o particularitate eseţială a reprezetării variabilelor cojugate caoic pk şi qk pri matrici o costituie ecomutativitatea produsului matricilor asociate, coform relaţiei pq k k qp k k = h. (FG.3..8) i Dacă cosiderăm operatorii difereţiali pˆ x =ih şi xˆ itroduşi mai sus, costatăm că aceştia satisfac x relaţia de comutare (FG.3..8). Pri urmare, matricile lui Heiseberg sut reprezetări echivalete ale operatorilor liiari pˆ x şi xˆ. Ajugem astfel, la cocluzia importată că, aparatul matematic al mecaicii cuatice matriciale este de asemeea cel operatorial. f) Itroducerea axiomatică a operatorilor Î uele lucrări de mecaică cuatică, operatorii cuatici se itroduc axiomatic, postulâdu-se corespodeţa ditre operatorii liiari hermitici şi variabilele diamice. Ca urmare, îtregul aparat matematic al operatorilor hermitici se utilizează petru evideţierea proprietăţilor şi legilor de mişcare ale sistemelor cuatice, urmâd ca autocosisteţa teoriei să fie evideţiată de cocordaţa cu realitatea fizică a rezultatelor obţiute. Uele proprietăţi ale operatorilor di mecaica cuatică. Ceriţele de ecomutativitate, liiaritate şi hermiticitate petru aceşti operatori Î paragraful aterior s-au arătat mai multe căi echivalete de itroducere a operatorilor î teoria cuatică, găsidu-se formele difereţiale ale operatorilor fudametali, pˆ x şi xˆ precum şi cea a operatorului Ê şi arătâdu-se posibilitatea reprezetării matriciale a acestora. Se poate trece pri urmare, la tratarea geerală a problemei operatorilor corespuzători variabilelor diamice di mecaica clasică şi la studiul proprietăţilor acestor operatori. Relaţia (FG.3..8) arată o proprietate importată a operatorilor cuatici şi aume, ecomutativitatea acestora, exprimabilă pri relaţia dˆ dˆ xˆ xˆ. (FG.3..9) d d x x Geeralizarea relaţiei (FG.3..96) petru doi operatori oarecare Fˆ şi Ĝ, sub forma Fˆ Gˆ GF ˆ ˆ (FG.3..) arată că algebra operatorilor cuatici trebuie să fie ecomutativă, proprietate care aparţie algebrei operatorilor liiari. Relaţia (FG.3..97) reprezită formularea matematică a modului de efectuare a observaţiilor asupra uui sistem cuatic. Fie F o observaţie efectuată asupra uui sistem cuatic î vederea determiării 86

87 variabilei diamice F (pri observaţie se îţelege o măsurare asupra variabilei diamice). Dacă sistemul cuatic se află iiţial î starea u, pri efectuarea observaţiei F asupra sistemului, acesta va trece, datorită perturbaţiei icotrolabile a aparatului î timpul măsurării, î starea de stare di care face parte şi u. Descrierea matematică a observaţiei va face pri itermediul operatorului u F Fˆ, coform ecuaţiei u F aparţiâd spaţiului vectorilor F, asupra variabilei diamice F, se = Fˆ u. (FG.3..) O ouă observaţie ecuaţiei u GF G asupra sistemului aflat î starea u F îl va aduce pe acesta î starea u GF coform = GF ˆ ˆ u (FG.3..) ordiea de aplicare a operatorilor idetificâdu-se cu ordiea de efectuare a observaţiilor. Efectuâd î ordie iversă observaţiile, sistemul trece pe râd î stările u G şi u FG astfel că î geeral u GF u FG, (FG.3..3) şi FG GF, (FG.3..4) datorită perturbaţiilor icotrolabile ale aparatului asupra stării sistemului. Pri urmare, produsul operatorilor cuatici corespuzător variabilelor diamice di mecaica clasică este î geeral, ecomutativ. Proprietatea de liiaritate a operatorilor cuatici impusă de pricipiul suprapuerii stărilor se poate formula matematic astfel ( c u c u c u +...) = c Fˆ u + c Fˆ u c Fˆ u... F ˆ (FG.3..5) + i i i i + h d Se verifică uşor că operatorii coordoată x şi impuls, itroduşi pâă î prezet, sut operatori liiari, i d x proprietatea fiid valabilă petru toţi operatorii care descriu variabile diamice î mecaica cuatică. Se poate arăta că operatorii liiari ai mecaicii cuatice au pe lâgă proprietatea geerală de ecomutativitate şi pe cea de hermiticitate. Caracterul hermitic al operatorilor liiari di mecaica cuatică rezultă di caracterul real al vectorilor pe care le pot lua variabilele diamice care sut mărimi fizice reale. Î mecaica cuatică valorile pe care le poate lua o variabilă diamică se umesc valori proprii, şi se obţi ca rezultat al rezolvării ecuaţiei cu fucţii proprii şi valori proprii a operatorului cuatic corespuzător: F ˆ u = λ u. (FG.3..6) Şirul valorilor pe care le poate lua variabila diamică F, poate fi discret sau cotiuu, astfel că spectrul valorilor proprii ale ecuaţiei operatoriale (FG.3..6) poate fi discret sau cotiuu. Fie u vectorul de stare al sistemului cuatic studiat, petru care variabila diamică F are valoarea λ F. 87

88 Vectorii u se umesc vectori proprii ai operatorului Fˆ, fucţiile de stare corespuzătoare umidu-se de asemeea fucţii proprii. Î geeral, ca şi î cazul valorilor proprii, spectrul fucţiilor proprii poate fi discret sau cotiuu. Dacă spectrul vectorilor proprii al operatorului cosiderat este complet, atuci orice fucţie de stare a sistemului poate fi exprimată, coform pricipiului suprapuerii stărilor, ca o combiaţie liiară a fucţiilor proprii, sub forma ψ = c ψ. (FG.3..7) Î măsura î care spaţiul fucţiilor de stare este u spaţiu Hilbert, fucţiile proprii ale operatorilor cosideraţi, satisfac codiţiile stadard de mărgiire, cotiuitate şi uivocitate impuse fucţiei de stare î tot domeiul de variaţie al variabilelor idepedete, alcătuid u sistem complet. Î cazul î care fucţiile proprii date de ecuaţia (FG.3..) satisfac codiţiile stadard dar u sut pătrat itegrabil, ele se vor umi fucţii proprii geeralizate şi aparţi spectrului cotiuu ale operatorului Fˆ. Trebuie meţioat că dacă soluţiile ecuaţiei (FG.3..3) u satisfac ici codiţiile stadard, ele u vor mai fi ici fucţii proprii geeralizate şi u mai aparţi spectrului operatorului Fˆ. Pri urmare, problema găsirii spectrului uui operator Fˆ (FG.3..6) pe acelea care satisfac codiţiile stadard. ψ costă î a căuta pritre soluţiile ecuaţiei Relaţia (FG.3..7) e permite, ca utilizâd defiiţia produsului scalar să calculăm probabilitatea de a se obţie ua di valorile proprii λ, petru sistemul cuatic cu fucţia de udă ψ. î cotiuare e vom referi umai la cazul spectrului discret de fucţii proprii, particularităţile spectrului cotiuu, fiid arătate î capitolul următor. Dacă setul fucţiilor proprii ψ este complet, codiţia de ortoormare a fucţiilor proprii se exprimă pri relaţia ψ * mψ d q = δm. (FG.3..8) Ca urmare, calculâd produsul scalar = q c *, c ; (FG.3..9) * ( ψ ψ) = ψ ψ d rezultă di codiţia de ormare a fucţiei de udă relaţia de îchidere c =. (FG.3..3) Se observă că mărimea c * = ψ ψ q d, (FG.3..3) reprezită probabilitatea ca pri măsurarea sistemului avâd fucţia de udă ψ să se obţiă valoarea proprie λ. 88

89 Evidet că valoarea medie a variabilei diamice F, petru sistemul cuatic aflat î starea ψ este dată de relaţia λ = λ c (FG.3..3) Exprimâd relaţia (FG.3..9) cu ajutorul fucţiilor de stare şi ţiâd seama de relaţia (???) se obţie: λ = λ c c * = * ψ c λ ψ d q = * ψ Fˆ ψ d q (FG.3..33) ude s-a otat F ˆ ψ = cλψ = λψ. (FG.3..34) Pri urmare formula de calcul a valorii medii a variabilei diamice F, coduce î mecaica cuatică la calculul valorii medii a operatorului cuatic Fˆ. Î geeral, di scrierea relaţiei (FG.3..34) sub forma ( q, q' ) ψ( q' ) d q' Fˆ ψ = K, (FG.3..35) ude K ( q q' ) = λ ψ ( q' ) ψ (q, ), (FG.3..36) rezultă că Fˆ este u operator itegral care determiă valoarea medie a variabilei diamice F şi că î acest fel fiecărei variabile diamice îi corespude î mecaica cuatică u operator. Este evidet că valorile medii λ ale variabilei diamice F sut reale ca şi valorile proprii ale operatorului cuatic corespuzător. + Făcâd să corespudă fiecărui operator liiar Fˆ, u alt operator liiar Fˆ, umit hermitic cojugat cu Fˆ, operaţia de cojugare hermitică fiid defiită de relaţia ( + ) F ψ * * ψ Fˆ ψ d q = ψ d q, (FG.3..37) se poate arata că valorile proprii ale operatorului + F = adică F ( Fˆ ψ ) Fˆ sut reale dacă este îdepliită codiţia: 89 (FG.3..38) * ψ Fˆ * ψ d q = ψ d q. (FG.3..39) Îtr-adevăr, scriid pe baza proprietăţii (FG.3..38) egalităţile: şi ψ Fψ d q = λ * ˆ * ψ ψ d q (FG.3..4)

90 rezultă * * ( Fψ) ψ d q = λ ˆ * ψ ψ d q (FG.3..4) * λ = λ, (FG.3..4) adică valori proprii reale petru operatorul Fˆ. Operatorii care îdepliesc codiţia (FG.3..38) se umesc operatori hermitici sau autoadjucţi, şi ei corespud î aparatul matematic al mecaicii cuatice, mărimilor fizice reale. Formularea pricipiului de corespodeţă Se poate itroduce, î coformitate cu cele arătate mai sus, u postulat fudametal al mecaicii cuatice, care î diferite lucrări de mecaică cuatică este ridicat la ragul de pricipiu, avâd următorul euţ: Fiecărei variabile diamice di mecaica clasică îi corespude î mecaica cuatică u operator liiar hermitic. Acestui postulat i se poate asocia o regulă geerală de corespodeţă privid modul de costruire a operatorilor cuatici asociaţi variabilelor diamice clasice, care are următorul coţiut: Ître operatorii liiari hermitici corespuzători variabilelor diamice di mecaica clasică există aceleaşi relaţii ca şi ître variabilele diamice cărora le sut asociaţi. De exemplu, compoetei după axa x a mometului cietic Lx = y pz z p y (FG.3..43) trebuie să-i corespudă coform regulii de mai sus, operatorul cuatic Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x = y px z p y. (FG.3..44) Valabilitatea regulii de mai sus rezultă di teoria matematică a operatorilor hermitici, care va fi dezvoltată î capitolul următor. FG.3.3. Observabile şi reprezetări î mecaica cuatică a) Noţiuea de observabilă Proprietăţile spaţiilor vectoriale şi ale operatorilor liiari evideţiate î subcapitolele FG.3... şi FG.3... trebuie să fie î aumite limite proprietăţi ale vectorilor de stare şi ale operatorilor cuatici asociaţi variabilelor diamice ale sistemelor cuatice. Se postulează faptul deosebit de importat că operatorii hermitici asociaţi diferitelor mărimi fizice măsurabile experimetal posedă u sistem ortoormat complet de fucţii proprii. Pri defiiţie, operatorul hermitic  este o observabilă dacă sistemul ortoormat de vectori proprii ai lui  formează o bază î spaţiul stărilor, adică este complet. Descrierea mărimilor fizice pri operatori care sut observabile costituie u postulat fudametal al teoriei cuatice, î depliă cocordaţă cu experieţa. 9

91 De exemplu, dacă vectorii proprii soluţii ale ecuaţiei cu valori proprii (r) ψ ai uui operator hermitic  (avâd u spectru discret), obţiuţi ca Aˆ ( r) ( r) ψ = a ψ, (FG.3.3.) r =,,..., g, g fiid gradul de degeerare al vectorilor proprii, alcătuiesc u sistem ortoormat adică ( r) ( r') ψ ψ' = δ' δrr' (FG.3.3.) care este şi complet g ψ = r = ( r) ( r) ψ =, (FG.3.3.3) Operatorul  este o observabilă. Aaliza exigeţei de completitudie petru spaţiul Hilbert î vederea stabilirii operatorilor care pot fi observabile, prezită uele dificultăţi ca urmare a problemelor de covergeţă care apar î acest spaţiu cu dimesiui ifiite. Î cazul uui operator hermitic î spaţiul Hilbert, ortoormalitatea vectorilor proprii u implică şi completitudiea acestora. Î lucrare se arată că u spaţiu care coţie u şir ortoormat complet este u spaţiu Hilbert separabil. Spaţiul fucţiilor de pătrat itegrabil, este u spaţiu Hilbert separabil. De asemeea, orice spaţiu vectorial cu u umăr fiit de dimesiui este u spaţiu Hilbert separabil. Fie î cazul geeral, o observabilă  avâd u spectru parţial discret, parţial cotiuu, fucţiile proprii putâd fi degeerate. Dacă otăm cu ( r a ) ( r) ψ ( x) fucţiile proprii discrete şi cu ψ ( a, x) fucţiile proprii cotiue ale ecuaţiei cu fucţii proprii şi valori proprii ( x) = aψ( x) A ˆ ψ, (FG.3.3.4) ude idicele r idică gradul de degeerare, atuci petru u elemet oarecare al spaţiului Hilbert corespuzător este valabilă dezvoltarea ψ. (FG.3.3.5) a a r r ( ) ( r) ( r ) ( ) ( r ) ( ) ( r x = α ψ x + α a ψ ) ( a, x) d a Codiţia de completitudie a fucţiilor proprii ale observabilei 9  are forma ( r) * ( r ) ( ) ( r ) *( ) ( r α ψ x' + ψ a, x ψ ) ( a, x) d a = δ( x x' ), (FG.3.3.6) a a r orma fucţiei ψ ( x) fiid dată de expresia ( ) ( r) ( r, ψ = α + α ) ( a) d a r a r ψ. (FG.3.3.7) r Î cazul î care baza spaţiului Hilbert u este umărabilă, aplicarea uor operatori ca x şi care sut x emărgiiţi poate coduce la fucţii care u aparţi spaţiului ceea ce costituie o dificultate importată a spaţiului Hilbert corespuzător.

92 ORICARE OBSERVABILĂ OPERATOR HERMITIC NU ORICARE ORICARE VECTOR DE STARE NU VECTOR ÎN SPAŢIUL HILBERT ORICARE Fig. FG Corespodeţa observabilă - operator hermitic şi vector de stare - vector î spaţiul Hilbert este prezetată schematic î figura FG Faptul că uei variabile diamice clasice îi corespude u operator cuatic hermitic î teoria cuatică, coform pricipiului de corespodeţă euţat î subcapitolul FG.3... u este reciproc. Nu rezultă de icăieri că orice operator hermitic este susceptibil de a reprezeta o mărime fizică. + La studiul regulilor de supra selecţie se va arăta, de exemplu, că operatorul aˆ + aˆ este hermitic dar u este observabilă, a ˆ + şi â fiid operatorii de creare şi aihilare. Aalog di faptul că o stare a uui sistem cuatic se poate reprezeta pritr-u vector î spaţiul Hilbert u rezultă că orice vector di spaţiul Hilbert poate reprezeta o stare fizică a uui sistem cuatic. De exemplu, u pot exista suprapueri de stări simetrice şi atisimetrice după cum rezultă di existeţa regulilor de supra selecţie. b) Asambluri complete de observabile comutative U asamblu complet de observabile este determiat de grupul observabilelor care admit o bază ortoormată, uică, de vectori proprii comui. Cazul asamblului complet de observabile comutative prezită iteres deosebit î teoria cuatică a măsurării care va fi prezetată î subcapitolul FG Se pot demostra teoremele: ) Dacă vectorii proprii simultai petru doi operatori  şi Bˆ formează u set complet, operatorii  şi Bˆ comută şi reciproc; ) Dacă doi operatori  şi Bˆ comută, există u set de vectori proprii comui celor doi operatori. Demostraţia celor două teoreme este imediată: ) Fie u λμ u vector propriu simulta al operatorilor  şi Bˆ, astfel că:  uλμ = aλ uλμ (FG.3.3.8) Bˆ uλμ = bμ uλμ, (FG.3.3.9) deci 9

93 ˆ A uλμ = aλ Bˆ uλμ = aλbμ uλμ (FG.3.3.) B ˆ Aˆ Bˆ uλμ = bμ Aˆ uλμ = aλbμ uλμ, (FG.3.3.) pri urmare Bˆ Aˆ uλμ = Aˆ Bˆ u λμ (FG.3.3.) Dacă vectorii proprii simultai spaţiului se poate scrie u λμ alcătuiesc u set complet, atuci petru orice alt vector de stare al u = cλμ uλμ. (FG.3.3.3) λ, μ Dacă seria (FG ) este covergetă atuci coform ecuaţiei (FG.3.3.) rezultă: B ˆ Aˆ Aˆ Bˆ = (FG.3.3.4) sau [ ˆ, Bˆ ] = A. (FG.3.3.5) ) Fie A u λ şi aλ vectorii proprii respectiv valorile proprii ale operatorului Â, iar B u μ şi b μ vectorii proprii respectiv valorile proprii ale operatorului Bˆ. Se pot scrie ecuaţiile: A A uλ = aλ A uλ (FG.3.3.6) şi B B uμ = bμ B uμ. (FG.3.3.7) dacă cosiderăm dezvoltarea A B uλ cμλ uμ, (FG.3.3.8) μ ude B u μ reprezită u set ortoormat complet de vectori proprii ai operatorului Bˆ, se poate scrie ˆ A B B A ˆ uλ = A cμλ uμ = aλ cμλ uμ, (FG.3.3.9) μ μ astfel îcât ( ˆ B A a ) u = c μλ λ μ. (FG.3.3.) μ Îtrucât  şi Bˆ comută: 93

94 B B B B {( Aˆ aλ ) uμ } = ( Aˆ a ) Bˆ λ uμ = ( Aˆ aλ ) bμ uμ = bμ ( Aˆ aλ ) uμ Bˆ. (FG.3.3.) Pri urmare vectorii de stare ( ) B Aˆ aλ uμ sut vectori proprii ai lui Bˆ avâd aceleaşi valori proprii ca şi B u μ adică μ. Petru valori proprii disticte ale vectorilor proprii b ( ) B Aˆ a u aceştia sut liiar idepedeţi. Relaţia de depedeţă liiară (FG.3.3.4) u poate fi satisfăcută decât dacă vectorii proprii B ( A a ) u ˆ λ μ sut uli. Pri urmare vectorii de stare λ μ B u μ sut vectori proprii simultai ai operatorilor  şi Bˆ. Fucţiile de observabile. I paragraful aterior s-a defiit operatorul f ( Aˆ ), ude  este u operator auto adjuct; orice operator mărgiit care comută cu  este fucţie de Â. Rezultatele pot fi extise petru u umăr oarecare de observabile comutative; orice fucţie reală de mai multe observabile comutative este o observabilă care comută cu fiecare ditre aceste observabile, avâd acelaşi sistem de vectori proprii. c) Reprezetarea vectorilor de stare şi a observabilelor Există o corespodeţă directă ître proprietăţile vectorilor şi operatorilor şi proprietăţile matricelor care îi reprezită pe aceştia. Astfel relaţiilor de cojugare ditre vectori (operatori) le corespude relaţia de cojugare hermitică ître matrici: + ˆ ˆ * A ij = ui A u j = u j A ui = * A ji ; (FG.3.3.) operaţiilor algebrice ditre vectori (operatori) le corespud aceleaşi operaţii algebrice ître matrici (de exemplu, produsul scalar ditre doi vectori, produsul a doi operatori etc.). Pri urmare teoria reprezetărilor permite trecerea de la studiul geometric al uei probleme la studiul algebric al acestuia, îtr-o reprezetare coveabil aleasă. Alegerea reprezetării se face î aşa fel îcât reprezetaţii vectorilor de stare şi ai operatorilor să aibă o formă cât mai simplă (problema fiid aaloagă alegerii judicioase a uui sistem de coordoate). Î teoria reprezetărilor o importaţă deosebită o are reprezetarea { Q } a observabilei Qˆ adică reprezetarea avâd ca vectori ai bazei chiar vectorii proprii ai observabilei Qˆ î reprezetarea { Q } este o matrice diagoală. Fie Qˆ o observabilă şi observabile. Elemetele de matrice Q ij au forma u i vectorii proprii ai acestei Q ij ˆ = ui Q u j, (FG.3.3.3) ude ˆ u j Q j u j, (FG.3.3.4) Q = Q j fiid valorile proprii ale observabilei Q ˆ. Rezultă că Q ij = Q j ui u j = Q jδij, (FG.3.3.5) 94

95 * adică matricea Q ij este diagoală, elemetele de matrice Q ij = Q j = Q jj fiid reale. Coform celor prezetate î paragraful aterior rezultă că o fucţie de mai multe observabile comutative cu observabila Qˆ, Q} va fi diagoală î reprezetarea {. Schimbarea reprezetării. Trecerea de la o reprezetare la alta a vectorilor de stare şi a observabilelor se face utilizâdu-se operatorii uitari [S.5]. Petru a exprima acest lucru se cosideră, de exemplu, bazele ortoormate discrete () u i şi () i u corespuzătoare reprezetărilor { } Q, respectiv { Q } astfel că () u i ˆ () = U u i (FG.3.3.6) şi u () j () j = u Uˆ +, (FG.3.3.7) Uˆ şi + Uˆ fiid operatori uitari ale căror elemete de matrice sut date de relaţiile ( ) ˆ () () () U ij = ui U u j = ui u j (FG.3.3.8) respectiv + * () ˆ + () U ij = Uij = u j U ui = () u j () ui. (FG.3.3.9) Pri urmare schimbarea reprezetării este determiată de compoetele vectorilor bazei oi î raport cu baza + veche. De observat că elemetele matricii produs U ( U ( UukU + kj = ui ( ) u ( j ) = δij (FG.3.3.3) k sut cele ale matricii idetitate, deci matricea U ( este uitară. Î cazul uei observabile reprezetarea { } Q elemetele de matrice Â, avâd î ( ) () ˆ ij ui A () j A = u (FG.3.3.3) di calculul produsului Uˆ + AU ˆ ˆ rezultă compoetele ( ) () ˆ () A ij = ui A u j, (FG.3.3.3) adică operatorul U ˆ () defieşte trasformarea cerută a reprezetării. Pri urmare ître matricile A ( şi A ( () există relaţiile () A ( U ( ( ( ( = A ) U (FG ) şi reciproc () A ( (( ( ) ( = UA U. (FG ) Se costată uşor că trasformările uitare lasă ivariate relaţiile de cojugare hermitică şi ecuaţiile ditre vectori şi operatori. Operatorii de forma i f Sˆ = e h, ude f este o fucţie reală, sut umiţi factori de fază. 95

96 Aceştia determiă trasformări uitare care u sut asociate cu schimbarea bazei, deci cu trecerea de la o reprezetare la alta. Rezultă că forma uei observabile este determiată de proprietăţile variabilei diamice pâă la o trasformare uitară. Î urma uei trasformări uitare a uei observabile, se obţie o altă observabilă avâd acelaşi spectru de valori proprii î raport cu oua bază. Petru determiarea valorilor proprii ale uei observabile se alege o reprezetare { u i } şi se proiectează ecuaţia cu valori proprii şi fucţii proprii.  ψ = a ψ (FG ) pe vectorii bazei u i. Rezultă u A ˆ ψ = a u ψ, (FG ) i sau j ude ( aδ ) c = i A ij ij j, (FG ) c u ψ (FG ) şi j = j A uj ˆ = ui A u j. (FG ) Codiţia ca sistemul de ecuaţii (FG ) să admită soluţii ebaale, A ˆ aiˆ =, (FG.3.3.4) reprezită ecuaţia caracteristică sau ecuaţia seculară a sistemului. Spectrul valorilor proprii petru operatorul  este determiat de rădăciile ecuaţiei caracteristice (FG.3.3.6). Studiul poate fi cotiuat cu determiarea vectorilor proprii ai operatorului Â. FG.3.4. Procesul de măsură î mecaica cuatică Schema geerală a teoriei cuatice Problemele pricipale abordate de fizica cuatică după aul 95 au fost î special cele privid axiomatizarea şi iterpretarea teoriei cuatice. Î geeral, se poate admite că teoria cuatică coţie două părţi disticte: teoria observării sistemelor cuatice şi teoria mişcării sistemelor cuatice. Î acest subcapitol destiat "observării" sistemelor cuatice se abordează oţiuile de observabilitate şi măsură î teoria cuatică, urmăridu-se atât evideţierea relaţiei observabilă - observabilitate cât şi aaliza procesului de măsură, pe baza raportării teoriei cuatice umai la mărimi observabile şi a cuoaşterii "legilor fizice" ale aparatelor de măsură. Teoria procesului de măsură, evideţiază posibilităţile cuoaşterii experimetale, costituid u suport importat al axiomatizării teoriei cuatice. 96

97 Teoria mişcării sistemelor cuatice dezvoltă ulterior se referă î special la prezetarea diferitelor posibilităţi de descriere a evoluţiei sistemelor cuatice: descrierea Schrödiger, descrierea Heiseberg sau descrierea de iteracţiue. OBSERVABI LE COMUTATIV E NECOMUTAT IVE SET COMUN DE VECTORI SETURI DIFERITE PROPRII STĂRI PROPRII SETURI DIFERITE COMUNE ORDINEA DE MĂSURĂ NU ESTE IMPORTANTĂ (PROPRIETĂ ORDINEA DE MĂSURĂ NU ESTE IMPORTANTĂ (PROPRIETĂ PROPRIETĂ ŢI DE OBSERVARE (MĂSURARE ) A Fig. FG Faptele experimetale care atestă rolul aparatelor de măsură au fost prezetate î paragraful???, dedicat relaţiilor de icertitudie ale lui Heiseberg. Aparatul de măsură poate fi "potrivit" petru măsurarea proprietăţilor sau evideţiază proprietatea care trebuie măsurată î spaţiul Fourier reciproc. Ca urmare observabilele sistemului care sut fucţii de operatorii asociaţi variabilele cojugate caoic p şi q, reprezită mărimi care pot fi sau u măsurate î orice ordie, adică sut sau u comutative (Fig. FG.3..). Observabilele comutative se mai umesc compatibile î raport cu procesul de măsură, pe câd cele ecomutative se mai umesc icompatibile î raport cu procesul de măsură. Corespuzător, proprietăţile fizice descrise pri observabile compatibile se umesc comesurabile, pe câd cele descrise de observabile icompatibile se umesc icomesurabile. Asamblul complet de observabile comutative determiă o măsurare maximală a sistemului î sesul că îtr-o astfel de măsurare se obţie iformaţia maximă posibilă asupra sistemului cuatic. Specificarea completă a uui sistem cuatic este posibilă umai îtr-o măsurare maximală, adică pri cuoaşterea valorilor proprii ale sistemului de observabile compatibile. Specificarea stării sistemului va fi astfel posibilă utilizâdu-se vectorii proprii ai observabilelor comutative ca bază ortoormată a spaţiului stărilor. Aaliza procesului cuatic de măsură Să presupuem că la u momet dat de timp se efectuează o măsurare ideală a variabilei diamice A, a uui sistem cuatic aflat î starea ψ, adică o măsurare î care "perturbaţia" sistemului î timpul măsurării este specific cuatic. Fie ψ = c i u i (FG.3.4.) i 97

98 vectorul de stare al sistemului, ude u i sut vectorii proprii ai observabilei Â, valorile sale proprii fiid presupuse petru îceput edegeerate. Îtrucât rezultatul măsurării trebuie să fie ua ditre valorile proprii λi, rezultă că probabilitatea de a se găsi valoarea Dacă rezultatul măsurării este λi λ i ca rezultat al măsurării este c i. atuci, imediat după măsurare, sistemul va fi î starea proprie că procesul de măsură poate fi reprezetat schematic astfel: λi ψ ui. (FG.3.4.) Masură Pri urmare efectul procesului de măsură costă î "filtrarea" vectorului de stare ψ, sau echivalet î "reducerea" pachetului de ude. u i, astfel Rezultatul de mai sus poate fi geeralizat şi petru cazul valorilor proprii a i degeerate. Î geeral, se otează cu Pˆ i operatorul de proiecţie al stării ψ pe subspaţiul asociat valorii proprii a i ude = j j Pˆ i ui ui. Starea sistemului după u i va fi dată de proiecţia ormată a lui ψ pe sub j spaţiul E i adică de expresia Pˆ i ψ ψ Pˆ i ψ. (FG.3.4.3) O a doua măsurare efectuată asupra sistemului aflat î starea coduce la acelaşi rezultat 98 u i îaite ca aceasta să evolueze î timp,, deci aparatul de măsură u modifică starea proprie a sistemului. a i Îtrucât u sistem complet de observabile comutative admite acelaşi set comu de vectorii proprii, ordiea de măsură a uor astfel de observabile u este importată, observabilele fiid astfel compatibile î raport cu procesul de măsură. Se spue că aparatul de măsură este potrivit petru măsurarea proprietăţilor corespuzătoare. Pe de altă parte, coform pricipiului de corespodeţă, prezetat î subcapitolului FG.3... orice observabilă se obţie îlocuid î expresia clasică (simetrizată) a mărimii fizice A, variabilele diamice r şi p pri operatorii corespuzători, astfel că se poate costata modul implicit "de trasmitere" a caracteristicilor de "măsură" ale variabilelor r şi p asupra observabilelor compatibile sau icompatibile. Pri urmare, "legile" aparatelor de măsură evideţiate odată cu prezetarea relaţiilor de icertitudie ale lui Heiseberg sut geerale petru măsurarea oricărui asamblu de observabile, compatibile sau icompatibile. Dacă î cazul observabilelor compatibile, măsurarea uei observabile di sistem u determiă pierderea iformaţiei obţiute aterior pri măsurarea altei observabile (ordiea de măsură u cotează), lucrurile sut diferite î cazul observabilelor icompatibile. O problemă deosebit de importată corelată cu procesul de măsură este cea a valorii medii a uei observabile îtr-o stare dată. Ţiâd seama de semificaţia coeficieţilor c i di dezvoltarea (FG.3.4.), rezultă că petru u umăr foarte mare de măsurări N efectuate asupra observabilei Â, a uui sistem cuatic aflat î starea ψ, se obţie expresia

99 ψ Aˆ ψ Aˆ = ai P( ai ) =, (FG.3.4.4) ψ ψ ψ i ( ) ude P a i reprezită probabilitatea de obţiere a valorii proprii ai : P ( a ) i ( a ) N = lim i, (FG.3.4.5) N N N ( a i ) fiid umărul de măsurări î care se obţie valoarea proprie a i. Petru calculul efectiv al valorii cosiderată. FG.3.5. Postulatele mecaicii cuatice  se trascrie expresia de mai sus î reprezetarea particulară ψ Petru costruirea î cotiuare a teoriei cuatice î fizică o importaţă deosebită o prezită stabilirea uui sistem axiomatic al acesteia, care a deveit ecesar şi posibil î acest stadiu al prezetării acestei teorii. Avatajele axiomatizării uei teorii sut cuoscute fiid determiate de posibilităţile privid utilizarea uui limbaj comu cu acelaşi coţiut aţioal al categoriilor, evitarea uor cotradicţii matematice î cazul uor sisteme axiomatice autocosistete, utilizarea axiomelor putâdu-se face fără o justificare a coţiutului lor fizic de fiecare dată. Î dezvoltarea teoriei cuatice sut cuoscute mai multe metode de abordarea axiomatică a acestei teorii: metoda algebrică, dezvoltată de Jorda î 934; metoda logicii cuatice iiţiată de Birkhoff şi vo Neuma î 936; alte tratări axiomatice, cum ar fi cea propusă de Ludwig î 964 etc. Metoda de axiomatizare utilizată î cotiuare va fi cea algebrică, ţiâdu-se seama de particularităţile sistemelor cuatice cu u umăr fiit de grade de libertate aparţiâd mecaicii cuatice puctuale, î raport cu sistemele cu u umăr ifiit de grade de libertate (câmpurile) care aparţi mecaicii cuatice epuctuale. De asemeea, vor apare difereţe î descrierea sistemelor cuatice cu aalog clasic, î raport cu descrierea sistemelor cuatice fără aalog clasic, care posedă şi grade de libertate itriseci (de exemplu, spiul). Astfel, de probleme şi altele especificate mai sus determiă dificultăţi î stabilirea uui sistem axiomatic complet astfel că î diferite lucrări de mecaică cuatică setul de postulate fudametale diferă at6t ca umăr cât şi ca formulare şi coţiut, fucţie î primul râd de puctul de vedere al autorului î abordarea mecaicii cuatice. Totuşi se poate evideţia o echivaleţă a ideilor fudametale pe care le exprimă diferite sisteme axiomatice, î cadrul geeral admis al utilizării algebrei operatorilor hermitici î spaţii Hilbert, ca formalism matematic al metodei algebrice de dezvoltare a teoriei cuatice. Îtrucât u se poate opera cu etităţi matematice fără corespodet î realitate, autocosisteţa teoriei cuatice cere ca axiomele teoriei cuatice să rezulte di teoria procesului de măsură. Ca urmare, stabilirea postulatelor teoriei cuatice, î lucrarea de faţă va fi bazată şi testată utilizâdu-se ideile fudametale desprise di studiul efectuat î capitolul aterior, privid bazele experimetale ale teoriei cuatice. 99

100 Postulatele fudametale ale teoriei cuatice Formularea postulatelor fudametale ale teoriei cuatice trebuie făcută î aşa fel îcât să exprime sistematic şi sitetic ideile fudametale ale teoriei cuatice, deumite aterior î uele cazuri "pricipii" ca urmare a geeralităţii lor. Dacă sistemul postulatelor fudametale este "complet" se poate cosidera că acesta reprezită o "bază" îtr-u "spaţiu axiomatic" al teoriei cuatice. Sistemul axiomatic prezetat î cotiuare cupride următoarele postulate fudametale:. Postulatul descrierii cuatice a stărilor (primul postulat) Stările uui sistem cuatic sut descrise pri vectori de stare ψ aparţiâd spaţiului stărilor u spaţiu Hilbert.. Postulatul reprezetării observabilelor fizice (al doilea postulat) E, care este Observabilele fizice (sau mărimile fizice măsurabile) sut reprezetate pri operatori hermitici acţioează î spaţiul stărilor E asupra vectorilor de stare ψ ai sistemului cuatic. Â, care 3. Postulatul cuatificării (al treilea postulat) Operatorii cojugaţi caoic pˆ i şi qˆ i, satisfac relaţiile de comutare ale lui Heiseberg h ˆ. i [ qi, qˆ k ] = ; [ pˆ i, pˆ k ] = ; [ pˆ i, qˆ k ] = δik 4. Postulatul metodico - euristic de corespodeţă (al patrulea postulat) Mărimile fizice măsurabile pot fi exprimate aalitic fucţie de variabilele cojugate caoic. Operatorii cuatici pri care se reprezită mărimile fizice măsurabile se obţi pri corespodeţă, îlocuid variabilele cojugate caoic pri operatorii cuatici corespuzători. 5. Postulatul preparării stării (al cicilea postulat) Î procesul de măsură al uei observabile Â, sigurele rezultate posibile sut diferitele valori proprii observabilei. Starea sistemului cuatic î urma măsurării va fi descrisă pri vectorul propriu corespuzător valorii proprii măsurate a. 6. Postulatul aturii statistice a predicţiilor î procesul de măsură (al şaselea postulat) u a ale Î procesul de măsură fiecare valoare proprie a se obţie cu o aumită probabilitate P ( a ) = u ψ, (FG.3.5.) astfel că valoarea medie a rezultatului măsurării efectuate asupra observabilei  este dată de expresia ψ Aˆ ψ Aˆ =. (FG.3.5.) ψ ψ 7. Postulatul evoluţiei temporale (al şaptelea postulat) Hamiltoiaul sistemului geerează o familie de operatori liiari uitari de evoluţie cauzală T ˆ( t, t ), astfel că:

101 () t = Tˆ ( t, t ) ψ( t ) ψ. (FG.3.5.3) 8. Postulatul supraselecţiei stărilor sistemelor de particule idetice (al optulea postulat) Stările sistemelor de particule idetice sut descrise pri vectori de stare care sut complet simetrici sau atisimetrici î raport cu operaţia de permutare a particulelor. Î cotiuare, se va discuta pe scurt coţiutul acestor postulate. ) Studiul detaliat al posibilităţii reprezetării stărilor uui sistem cuatic pri vectori î spaţiul Hilbert a fost efectuat î subcapitolul FG.3.. î care s-a defiit mai îtâi coceptul de stare a uui sistem cuatic, şi s-au evideţiat pricipalele proprietăţi ale fucţiei de udă isistâdu-se asupra iterpretării statistice a acesteia, di care rezultă corelaţia vectorilor de stare cu diferite amplitudii de probabilitate. O coseciţă importată a postulatului descrierii cuatice a stărilor pri vectori o reprezită pricipiul suprapuerii stărilor aalizat aterior ude s-a arătat că superpoziţia stărilor rezultă di iterpretarea datelor experimetale, î depliă cocordaţă cu dualismul corpuscul - udă. Pri geeralizare, rezultă că reprezetarea stărilor pri vectori î spaţiul stărilor implică superpozabilitatea liiară a stărilor. De remarcat că î diferite sisteme axiomatice ale teoriei cuatice, pricipiul suprapuerii stărilor face parte di sistemul de axiome fudametale. Evidet că dacă orice stare fizică poate fi cosiderată ca o superpoziţie de stări fizice coveabil alese, u orice superpoziţie de stări fizice determiă o stare fizică. O importaţă deosebită o prezită îţelegerea difereţei ditre superpoziţia liiară a stărilor şi u amestec statistic de stări. Fie de exemplu, starea ψ rezultată pri superpoziţie liiară a stărilor ψ şi ψ astfel că se poate scrie: ψ = c ψ + c ψ, (FG.3.5.4) ude c + c =. (FG.3.5.5) Se poate verifica faptul că expresia (FG.3.5.4) u este echivaletă cu u amestec statistic de stări. Astfel, î cazul superpoziţiei stărilor, atuci câd pri măsurarea observabilei  se obţie rezultatul a se poate scrie * * ( a ) = c P ( a ) + c P ( a ) + Re{ cc ψ ψ ψ ψ } P (FG.3.5.6) pe câd î cazul uui umăr de N sisteme idetice, aflate î stările ψ şi ψ se obţie ( ) c P ( a ) c ( a ) P + a = P (FG.3.5.7) ude N c şi N c sut sistemele di asamblu aflate î stările ψ respectiv ψ. Pri urmare, î cazul superpoziţiei stărilor sut importate efectele de iterfereţă, fazele relative ale coeficieţilor c şi c jucâd u rol importat î predicţiile care se fac î procesul de măsură. ) Aaliza posibilităţii reprezetării observabilelor fizice pri operatori hermitici î spaţiul Hilbert a fost discutată pe larg î paragrafele aterioare ude s-a prezetat câteva moduri de itroducere a operatorilor cuatici şi s-au evideţiat pricipalele proprietăţi ale acestora ditre care ecomutativitatea, liiaritatea şi hermiticitatea sut eseţiale. De asemeea, s-a defiit riguros coceptul de observabilă şi s-au arătat î plus dificultăţile care apar î cazul aplicării uor operatori emărgiiţi, astfel că î cele ce urmează se va presupue îdepliită şi codiţia de mărgiire a operatorilor hermitici utilizaţi.

102 Se ţie seama î acelaşi timp de faptul evideţiat î acelaşi paragraf că u orice operator hermitic este susceptibil de a reprezeta o mărime fizică. Coceptul de observabilă care itervie î acest postulat a fost discutat î subcapitolul FG.3... î strâsă corelaţie cu procesul de măsură, ale cărui postulate vor fi aalizate î cotiuare. 3) Postulatul cuatificării deumit şi postulatul relaţiilor de comutare ale lui Heiseberg se poate aaliza plecâdu-se de la forma origiară a mecaicii matriciale a lui Heiseberg şi de la relaţiile de icertitudie ale lui Heiseberg, pe baza faptelor experimetale şi a ifereţelor teoretice ale acestora. U iteres deosebit îl prezită petru studiul sistemelor cuatice epuctuale, defiirea variaţioală a variabilelor cojugate caoic pri variaţia "completă" a acţiuii sistemului: t f δs = p q H t i i = F( t ) F( t ) δ δ (FG.3.5.8) i= t ude F este fucţia geeratoare a trasformării ifiitezimale care determiă variaţia δs. Pri defiiţie, coeficieţii p i variabilelor q i, respectiv t. şi H î ecuaţia (FG.3.5.8) se umesc variabile cojugate caoic ale Totodată, se remarcă faptul că petru trasformările de simetrie ivariaţa sistemului implică codiţiile F δs = sau =, ceea ce îseamă că fucţia geeratoare a uei trasformări simetrice este corelată t direct cu legile de coservare, fiid o costată a mişcării, petru acest tip de trasformări. Echivaleţa relaţiei de comutare a operatorilor cojugaţi caoic pˆ i şi qˆ i, cu relaţiile de icertitudie ale lui Heiseberg corespuzatoare este uşor de arătat pe baza teoremei: fiid daţi doi operatori hermitici  şi Cˆ = Aˆ, Bˆ se poate demostra relaţia: Bˆ şi comutatorul lor [ ] Δ Aˆ ΔBˆ Cˆ (FG.3.5.9) ude Δ Aˆ = Aˆ Aˆ şi Δ Bˆ = Bˆ Bˆ. (FG.3.5.) 4) Acest postulat a fost itrodus ca o regulă geerată de corespodeţă petru costruirea operatorilor cuatici astfel că are o mare valoare metodică şi euristică. Deşi se deosebeşte pri coţiutul său de pricipiul de corespodeţă al lui Bohr, acesta păstrează totuşi ideea uei "corespodeţe" ître mecaica clasică şi cuatică, idicâd rolul mecaicii clasice î edificarea oii teorii. 5) Necesitatea şi posibilitatea formulării acestui postulat rezultă di aaliza procesului cuatic de măsură efectuată î paragraful FG costituie u elemet eseţial al teoriei, astfel îcât relevarea sa axiomatică este ecesară. Expresia probabilităţii de a se obţie o aumită valoare proprie a î procesul de măsură poate fi geeralizată petru cazul spectrului discret degeerat sub forma: g i P a u ( ) = i= ψ i a { } ude g este gradul de degeerare al valorii proprii, iar vectori proprii asociaţi valorii proprii a. u ( i,,..., ) (FG.3.5.) = g reprezită sistemul de

103 De asemeea, î cazul spectrului cotiuu, edegeerat se poate scrie ( η) = ψ d η d P (FG.3.5.) v ude v este vectorul propriu corespuzător valorii proprii cotiue η. Calculul efectiv al valorii medii presupue utilizarea uei aumite reprezetări petru fucţiile de stare şi operatori. 7) I paragrafele aterioare s-a arătat că î cursul evoluţiei î timp a uui sistem cuatic, ître două procese de măsură, u apare iciu "idetermiism" î descrierea sistemelor cuatice, fapt evideţiat pe postulatul evoluţiei temporare, familia operatorilor T ˆ( t, t ) geeraţi de hamiltoiaul sistemului urmâd a fi determiată. Sub forma prezetată postulatul evoluţiei temporare geeralizează cocluziile obţiute mai sus privid evoluţia diamică a sistemelor cuatice, câd s-a arătat că starea uui sistem cuatic este descrisă, cel mai bie, cu ajutorul fucţiei de udă ψ care satisface ecuaţia lui Schrödiger. 8) Coţiutul fizic al acestui postulat va fi elucidat î paragrafuldedicat sistemelor de particule idetice. De remarcat faptul că acest postulat care u are aplicabilitate decât petru sistemele de particule (u şi petru particule idividuale) exprimă codiţia de stabilire a uei cocordaţe ître situaţiile experimetale idiscerabile obţiute pri permutarea particulelor şi descrierea matematică a acestora pri superpoziţia stărilor idividuale ale particulelor di sistem. O coseciţă importată a acestui postulat este cosiderat î prezet pricipiul de excluziue al lui Pauli aplicabil sistemelor de particule idetice descrise pri vectori de stare atisimetrici. Acest pricipiu afirmă că petru u astfel de sistem, stările idividuale sut ocupate cel mult de câte o particulă. De exemplu, îtr-u atom doi electroi u pot avea iciodată toate umerele cuatice egale. Pricipiul de excluziue al lui Pauli a codus, după cum este ştiut, la îţelegerea mai profudă a sistemului periodic al elemetelor costituid u puct de vedere fudametal petru studiul statisticilor cuatice. Geeralizarea acestui pricipiu sub forma postulatului supraselecţiei stărilor sistemelor de particule idetice, îtregeşte schema de axiomatizare a teoriei cuatice utilizată mai sus, coform căreia postulatele cuatice se obţi pe baza uor idei fudametale rezultate di experieţă sub deumirea geerică de pricipii. FG.3.6. Reprezetările Schrödiger si Heiseberg Corelarea reprezetărilor cu procesul de măsură Î pricipiu, coform celor arătate aterior există o ifiitate de modalităţi de alegere a bazei uui spaţiu vectorial deci sut posibile tot atâtea reprezetări ale teoriei, corelate ître ele pri trasformări uitare. Pe de altă parte îsă, s-a arătat că o măsurare maximală asupra uui sistem cuatic este corelată cu o aumită bază a spaţiului determiată de setul vectorilor proprii ai observabilelor compatibile care defiesc măsurarea maximală. Fie de exemplu, aceste observabile Qˆ Qˆ Qˆ,,..., astfel că ecuaţiile cu valori proprii Q ˆ q q q (FG.3.6.) i = i determiă valorile proprii corespuzătoare q i şi vectorii proprii desemaţi pri otaţia q,..., = q, q q. (FG.3.6.) 3

104 Orice stare a sistemului cuatic se va putea exprima sub forma ψ = cq q q q q q,,...,,,..., (FG.3.6.3) coeficieţii dezvoltării c q, q,..., q ca urmarea a postulatului al şaselea al teoriei cuatice. q fiid corelaţi cu amplitudiile de probabilitate ale stărilor particulare Uei alegeri particulare a setului de observabile compatibile i se poate asocia o reprezetare particulară a vectorilor de stare. De exemplu, reprezetarea Schrodiger poate fi umită reprezetarea { q }. Scriid expresia vectorilor de stare sub forma prescurtată: ψ = ψ ( q)q. (FG.3.6.4) coeficieţii ( ) = q ψ ψ q (FG.3.6.5) care caracterizează complet starea ψ a sistemului se umesc fucţiile de udă ale sistemului î reprezetarea { q }. Î cazul î care spectrul vectorilor proprii ai operatorilor Qˆi este cotiuu, fucţiile de udă sut cotiue. Se poate arăta că schimbarea reprezetării corespude uei corelaţii ître fucţiile de udă î diferite reprezetări pri trasformate Fourier geeralizate, coeficieţii Fourier ai trasformărilor fiid determiaţi de produsele scalare ditre vectorii bazei, petru reprezetările cosiderate. Exemplele tipice de reprezetări utilizate î teoria sistemelor cuatice cu u umăr fiit de grade de libertate sut următoarele: reprezetarea { r }; (corespude uei reprezetări diagoale a operatorului coordoată rˆ, setul de observabile comutative fiid determiat de cele trei compoete ale vectorului r ); reprezetarea { p }; (corespude uei forme diagoale a operatorului pˆ ); reprezetarea "eergetică" î acre operatorul Ĥ are o formă diagoală. De asemeea, mai meţioăm reprezetarea "umăr de particule", care este o reprezetare tipică petru teoria cuatică a câmpului. Defiirea geerală a fucţiei de udă ca reprezetat al vectorului de stare, trebuie completată î cele ce urmează cu reprezetarea explicită a tuturor operatorilor î diferite reprezetări, defiite după cum s-a arătat mai sus, pri setul de vectori proprii ai uei aumite observabile. Există două metode geerale de reprezetare explicită a operatorilor, î cocordaţă cu postulatele teoriei cuatice şi aume: ) Metoda operatorilor difereţiali a lui Schrödiger care utilizează spaţiul Hilbert cotiuu al fucţiilor de udă î diferite reprezetări, î care operatorii se exprimă pri forme difereţiale. Această metodă este specifică mecaicii cuatice odulatorii a lui Schrödiger. ) Metoda operatorilor matriciali a lui Heiseberg, care utilizează spaţiul Hilbert discret, ifiit - dimesioal caracteristic diferitelor reprezetări î acre operatorii se exprimă pri matrici, metodă specifică mecaicii cuatice matriciale a lui Heiseberg. 4

105 Proprietăţile eseţiale ale celor două tipuri de reprezetări explicite ale operatorilor vor fi prezetate î cele ce urmează. Se poate arăta îsă că cele două moduri diferite de tratare a sistemelor cuatice sut echivalete, trecerea de la u mod de tratare la altul fiid î fod o schimbare de reprezetare. Reprezetările difereţiale ale lui Schrödiger a) Reprezetarea Schrödiger î coordoate Î această reprezetare se utilizează spaţiul Hilbert cotiuu al fucţiilor de udă î reprezetarea { r }, adică î reprezetarea î care reprezetatul operatorului rˆ este diagoal, astfel că vectorii bazei rezultă di ecuaţia cu valori proprii: r ˆ r = r r (FG.3.6.6) fiid satisfăcute relaţiile de ortoormare şi îchidere: ( r ) r r' = δ r' (FG.3.6.7) respectiv r r d τ =, (FG.3.6.8) 3 ude d τ = d r = d x d y d z este elemetul de volum al spaţiului fizic. Î relaţiile de mai sus pri r se desemează setul de idici cotiui { x y, z} de operatori compatibili ai sistemului, adică coordoatelor uui puct î spaţiul fizic. Coform defiiţiei (FG.3.6.5), se poate scrie ( ) 5,, care corespud asamblului r ψ = ψ r, (FG.3.6.9) adică fucţiile de udă corespuzătoare vectorilor de stare se obţi pri proiecţia lui ψ pe vectorii bazei r. Fucţia ψ ( r ) se umeşte fucţia de udă a lui Schrödiger, spaţiul Hilbert defiit de fucţiile de udă Schrödiger costituie spaţiul fucţiilor de udă. Î particular, petru ( r ) ψ = r' fucţia de udă corespuzătoare este dată de fucţia δ a lui Dirac r r' = δ r'. (FG.3.6.) Expresia produsului scalar a două fucţii de udă se regăseşte sub forma: ( r ) ψ ( r ) d τ = ( ψ ψ ) * ψ ψ = ψ ψ = ψ r d τ r ψ = ψi, ˆ + ˆ = r r d τ. (FG.3.6.) Î cotiuare, pe baza postulatelor teoriei cuatice se poate stabili semificaţia fizică a fucţiei de udă petru u sistem cuatic fără spi (cu aalog clasic). Fie ψ D ψ D P D = (FG.3.6.) ψ ψ probabilitatea de localizare a sistemului cuatic î domeiul D di spaţiul fizic, ude ψ D este proiecţia vectorului ψ pe subspaţiul subîtis de vectorii proprii corespuzători valorilor proprii di D, domeiul D fiid defiit pri codiţiile:

106 ( x x x ; y y y z z z ) 6 ;. (FG.3.6.3) Dacă este îdepliită codiţia de ormare ψ ψ =, îtrucât ψ ( x y, z) = x, y, z ψ, (FG.3.6.4) se obţie: = * P ψ ψ = ψ ψ τ = D x, y, z d x d y d z x, y, z d P d τ. (FG.3.6.5) D D D Pri urmare P = ψ are semificaţia uei desităţi de probabilitate de localizare a sistemului cuatic î spaţiul fizic. De observat că şi alte proprietăţi ale spaţiului fucţiilor de udă, cum ar fi: ormarea fucţiei de udă, coservarea î timp a ormei, desitatea fluxului de probabilitate, pot fi exprimate î mod asemăător pe baza postulatelor teoriei cuatice. Reprezetarea Schrödiger a observabilelor Utilizâdu-se postulatele teoriei cuatice se pot costrui formele difereţiale ale diferiţilor operatori î reprezetarea Schrödiger, dacă se stabilesc mai îtâi reprezetaţii difereţiali ai operatorilor cuatici cojugaţi caoic xˆ, pˆ x ; yˆ, pˆ y ; zˆ, pˆ z. Ţiâd seama de ecuaţia cu fucţii proprii şi valori proprii petru operatorul xˆ xˆ ψ = x ψ (FG.3.6.6) se poate scrie ( x) x xˆ ψ = x x ψ = xψ. (FG.3.6.7) Pri urmare operatorii coordoată xˆ, yˆ, zˆ î depliă cocordaţă cu ecuaţia de mai sus. sut reprezetaţi pri operatorii de multiplicare cu Î cotiuare, rezultă posibilitatea reprezetării impulsurilor cojugate p i ( i x, y, z) difereţiali de forma: pˆ i = h, qi = x, y, z. i qi De exemplu, se poate scrie x, y, z, rezultat ˆ = pri operatori (FG.3.6.8) h pˆ x ψ( x) = ψ( x). (FG.3.6.9) i x Se poate verifica că operatorii pˆ i şi qˆ i satisfac postulatul cuatificării ceea ce cofirmă corectitudiea raţioametului pri care au fost stabiliţi. (Evidet că relaţiile de cuatificare puteau fi ele îsele utilizate petru stabilirea expresiilor (FG.3.6.8). O altă modalitate pri care se poate ajuge la forma (FG.3.6.8) costă î utilizarea expresiei operatorului uitar de traslaţie cu Δ x : i pˆ xδxˆ i Dˆ ( Δx) = e h pˆ xδxˆ. (FG.3.6.) h Ţiâdu-se seama de expresiile (FG ) se poate scrie pˆ h = (FG.3.6.) i şi î geeral petru o variabilă diamică F( p p, p, x, y z) x, y z, rezultă

107 F ˆ = Fˆ h h h,, ; x, y, z. (FG.3.6.) i x i y i z Extizâd rezultatele de mai sus petru orice pereche de variabile cojugate caoic, se obţi şi expresiile operatorilor corespuzători variabilelor t şi H (defiiţi ca variabile cojugate caoic î mod implicit î reprezetarea Schrödiger: tˆ t (FG.3.6.3) Hˆ h. (FG.3.6.4) i t De exemplu, petru operatorul hamiltoia al uei particule cuatice, î reprezetarea Schrödiger se obţie pri corespodeţa expresiei: H ˆ h = + U m ( r ) ude m este masa particulei, iar ( r ) U descrie câmpul de forţe î care evoluează particula. (FG.3.6.5) Utilizarea corespodeţei qˆ i q i (FG.3.6.6) pˆ i h (FG.3.6.7) i qi î coordoate curbiliii u coduce îtotdeaua la rezultate corecte fără precauţii speciale î scrierea hamiltoiaului clasic. Reprezetarea Schrödiger î impulsuri S-a arătat mai sus că fucţiile de udă ψ ( r ) şi ( p) Φ defiite î spaţiul coordoatelor respectiv cel al impulsurilor pot fi cosiderate reprezetări echivalete ale aceleiaşi stări cuatice fiid corelate pri operaţii de trasformate Fourier reciproce. Această comportare e sugerează faptul că trecerea de la spaţiul fucţiilor r Φ p, costituie o schimbare de reprezetare care se face coform celor de udă ψ ( ) la spaţiul fucţiilor ( ) stabilite aterior. Pri aalogie cu reprezetarea î coordoate { } r, fucţiile de udă ( p) Φ corespud reprezetării î impulsuri {p }, î care reprezetatul operatorului pˆ este diagoal coform ecuaţiei: p ˆ p = p p. (FG.3.6.8) vectorii proprii p satisfac relaţiile de ortoormare şi îchidere p, p' = δ( p p' ) (FG.3.6.9) respectiv p p d τ p = ude δτ p = d px d p y d pz. (FG.3.6.3) Operatorii corespuzători variabilelor cojugate caoic î această reprezetare sut defiiţi pri corespodeţele: pˆ x px; pˆ y p y ; pˆ z pz (FG.3.6.3) h h h xˆ ; yˆ ; zˆ. (FG.3.6.3) i px i p y i pz 7

108 Se poate verifica uşor că aceşti operatori satisfac postulatul cuatificării, toate cocluziile privid reprezetarea { r }, putâd fi extise şi petru reprezetarea { p } impulsurilor Φ ( p) este defiită pri relaţia: Φ ( ) = p ψ 8. Astfel fucţia de udă î spaţiul p, (FG ) proprietăţile acesteia fiid aceleaşi cu cele discutate ale fucţiei ψ ( r ) î spaţiul Hilbert corespuzător. Reprezetările matriciale ale lui Heiseberg Uele trăsături eseţiale ale reprezetării matriciale a lui Heiseberg au fost prezetate atuci câd s-a arătat posibilitatea descrierii observabilelor sistemelor cuatice pri matrici, ca urmare a proprietăţilor acestora rezultate di procesul cuatic de măsură. Pri urmare î reprezetarea matricială a lui Heiseberg, operatorilor liiari ai mecaicii cuatice li se asociază matrici astfel că ecuaţiile cuatice de mişcare se exprimă sub formă matricială. Spaţiul Hilbert potrivit petru reprezetarea matricială a lui Heiseberg este după cum s-a mai arătat u spaţiu discret ifiit dimesioal, astfel că vectorii proprii ai reprezetării u vectorii proprii ai operatorului Fˆ care cosiderate trebuie să subîtidă u astfel de spaţiu. Fie ( r ) defieşte reprezetarea ( Fˆ face parte ditr-u set complet de observabile comutative) şi u alt operator Ĝ care acţioează î spaţiul cosiderat, astfel că ( ) ( ) Gu ˆ r = v r. (FG ) Vectorii v ( r ) se pot exprima fucţie de vectorii bazei ( r ) v ( r ) u ( r ) = m coeficieţii u pri dezvoltări de forma g m (FG ) g m fiid determiaţi de proiecţiile stărilor v ( r ) pe vectorii bazei: * = ( ) ( ) ( ) ˆ = ( ) g u r, v r u r Gu r dr. (FG ) m m m Cu aceşti coeficieţi se poate defii matricea g g ( G = M gm L g g M gm L L L L L L g g M gm L L L L L L { } care costituie reprezetatul operatorului Ĝ î reprezetarea u ( r ). Î particular se costată că matricea asociată operatorului catităţile de pe diagoală fiid valorile proprii ale lui Fˆ. { } (FG ) Fˆ î reprezetarea u ( r ) este diagoală, Pri diagoalizarea matricii G ( dată de relaţia (FG ) se pot obţie valorile proprii ale observabilei Ĝ. ˆ ( r ) Petru evideţierea acţiuii operatorului G asupra uei fucţii de stare oarecare dezvoltarea ( r ) c u ( r ) ψ se cosideră ψ = (FG )

109 9 astfel că pri aplicarea operatorului G se obţie expresia ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ψ = ψ m m r u d r u c g r u c G r G r ˆ ˆ '. (FG ) Rezultă că ( ) r ' ψ este determiată complet de coeficieţii sau. m c g, d Dacă se cosideră, de exemplu, reprezetarea Heiseberg corespuzătoare uei forme diagoale a hamiltoiaului oscilatorului armoic descrisă de matricea (reprezetarea "î eergie") ω + ω ω = h h h ( 3/ / H (FG.3.6.4) se obţi petru reprezetaţii operatorilor şi, expresiile: xˆ x pˆ ( ) + α = / m m x ( (FG.3.6.4) şi, respectiv + α = / m i m i i i i i i p x h ( (FG.3.6.4) ude α este o costată a cărei semificaţie se va evideţia î capitolul???, îtr-u paragraf dedicat studiului cuatic al oscilatorului armoic. Reprezetaţii şi x ( x p ( ai operatorilor şi satisfac postulatul cuatificării. xˆ x pˆ Î dezvoltarea î cotiuare a teoriei cuatice se va evideţia faptul că reprezetările matriciale ale teoriei cuatice sut mai geerale şi mai importate î comparaţie cu reprezetările difereţiale ale lui Schrödiger. FG.3.7. Descrierea evoluţiei cauzale. Ecuaţia lui Schrödiger a) Operatorii de evoluţie cauzală

110 Coform postulatului evoluţiei cauzale, operatorul ˆ( t, t ) () t = Tˆ ( t, t ) ψ( t ) T defiit pri relaţia (FG.3.7.): ψ (FG.3.7.) este u operator uitar, care la mometul t = t se reduce la operatorul idetitate ( t, t ) = ˆ T ˆ. (FG.3.7.) Codiţia ca operatorul ˆ( t, t ) sistemului. Astfel, di ecuaţia: ψ T să fie uitar exprimă coservarea î timp a ormei vectorilor de stare ai () () ( ) ˆ + t ψ t = ψ t T ( t, t ) Tˆ ( t t ) ψ( t ) = ψ( t ) ψ( t ) rezultă, (FG.3.7.3) T ˆ + T ˆ =. (FG.3.7.4) Îtrucât T ˆ = ) ( t, t ) Tˆ ( t, t ) Tˆ ( t, t se obţie petru t = t Tˆ ( ) ˆ t, t T ( t t ) ) (FG.3.7.5) =,, (FG.3.7.6) sau pri multiplicare la stâga cu T ˆ + ( t, t şi ţiâdu-se seama de (FG.3.7.4) rezultă şi ˆ ˆ + T T = ˆ, (FG.3.7.7) adică operatorul Tˆ trebuie să fie uitar. Forma explicită a operatorului Tˆ se obţie cosiderâd dezvoltarea Tˆ ( t, t ) Tˆ ( t, t δt) T ˆ ( t δt, t = ), (FG.3.7.8) ude δt este o variaţie ifiitezimală, astfel că Tˆ i h ( t, t δt) = δthˆ () t, (FG.3.7.9) Ĥ () t d u operator hermitic, care geerează trasformarea uitară ifiitezimală ψ i. (FG.3.7.) h () t = δt Hˆ () t ψ( t δt) Ţiâdu-se seama de dezvoltarea (FG.3.7.9), ecuaţia (FG.3.7.8) se poate scrie sub forma ( ) ˆ( δ ) Tˆ t t T t t t,, = i H ˆ t T ˆ tδ, δt sau la limita câd δt : h () ( t t ) (FG.3.7.)

111 ( ) h Tˆ t, t i t () ( ) + Hˆ t Tˆ t, t = adică ecuaţia difereţială verificată de operatorul de evoluţie ˆ( t, t ) T. (FG.3.7.) Ecuaţia (FG.3.7.) şi codiţia iiţială (FG.3.7.) pot fi îlocuite cu ecuaţia itegrală: t i Tˆ( t, t) = ˆ ( ') ˆ H t T( t', t) dt' h t (FG.3.7.3) care exprimă legea fudametală de evoluţie a sistemelor cuatice. Operatorul Ĥ () t arăta î paragraful următor. defiit de ecuaţia (FG.3.7.3) se idetifică cu hamiltoiaul sistemului, după cum se va Pri urmare, coform postulatului evoluţiei cauzale, operatorii uitari ˆ( t, t ) b) Descrierea evoluţiei cauzale Studiul evoluţiei cauzale a sistemelor cuatice utilizâdu-se operatorul ˆ( t, t ) descrieri echivalete, după cum urmează: T sut geeraţi de hamiltoia. T a codus la mai multe - Descrierea Schrödiger, caracterizată de vectori de stare depedeţi de timp şi operatori care u-şi modifică forma î timp (vectori de stare variabili şi operatori ficşi). - Descrierea Heiseberg, caracterizată de operatori depedeţi de timp şi vectori de stare care u se schimbă î timp (vectori de stare ficşi şi operatori variabili). - Descrierea de iteracţiue, caracterizată atât de vectori de stare cât şi de operatori variabili î timp. Toate aceste tipuri de descrieri pot fi deduse ua di alta pri trasformări uitare, utilizâdu-se operatori avâd forma geerală ((FG.3.7.). De asemeea, oricare ditre descrierile de mai sus, coduce la aceleaşi valori medii ale observabilelor, adică la aceeaşi iterpretare fizică a teoriei, dovedid corectitudiea modelării aturii de către aceasta. c) Ecuaţia lui Schrödiger O reprezetare î care forma matematică a operatorilor u se schimbă î timp, implică cu ecesitate ca stările sistemului să fie descrise de vectorii de stare depedeţi de timp. Depedeţa temporală a vectorilor este descrisă de ecuaţia (FG.3.7.). Aplicâd vectorului de stare ψ ( t ) ecuaţia operatorială (FG.3.7.) se obţie ecuaţia de evoluţie: () t d ψ ih = Hˆ () t ψ() t, (FG.3.7.4) dt umită ecuaţia lui Schrödiger sub formă geerală sau ecuaţia lui Schrödiger depedetă de timp. Ca urmare a corespodeţei (FG.3.6.4) petru operatorul hamiltoia, î reprezetarea Schrödiger î coordoate, rezultă corectitudiea semificaţiei atribuite mai sus operatorului Ĥ () t. Trebuie meţioat că ecuaţia (FG.3.7.4) este aplicabilă atât sistemelor cuatice cu aalog clasic cât şi sistemelor cuatice care posedă grade de libertate itriseci (cum ar fi spiul) care u au aalog clasic. Î reprezetarea Schrödiger î coordoate, ecuaţia Schrödiger (FG.3.7.4) devie ( qt) d ψ, ˆ h i h = H ; q; t ψ( q,t ) (FG.3.7.5) dt i q

112 umită ecuaţia lui Schrödiger petru fucţia de udă ψ ( q,t), fiid stabilită petru prima dată de către Schrödiger. Itr-adevăr se poate scrie: dψ d ˆ = q ψ = q H ψ = q q'd q' q' Hˆ ψ dt dt ih ih = ( ) ˆ h ' d ', ', ( ', ) ˆ h = δ qq q H q t ψ q t = H, q, t ψ( q, t). (FG.3.7.6) i q' i q Forma particulară a operatorului Ĥ petru cazul uei sigure particule cuatice a fost stabilită aterior pri corespodeţă. Dacă hamiltoiaul sistemului este idepedet de timp atuci este posibilă separarea ψ q,t sub forma variabilelor î expresia fucţiei de udă ( ) ( q t) = ψ( q) f (t ψ, ) (FG.3.7.7) ecuaţia (FG.3.7.5) este echivaletă cu ecuaţiile: () ( ) ˆ ψ( ) ψ( ) i d f t H q = = E. (FG.3.7.8) f t dt q E fiid o costată a cărei semificaţie urmează a fi determiată. A doua ecuaţie (FG.3.7.8): ( q) = E ψ( q) H ˆ ψ (FG.3.7.9) reprezită ecuaţia cu valori proprii a hamiltoiaului sistemului sau ecuaţia lui Schrödiger petru stările staţioare (atemporală), astfel că rezultă şi semificaţia costatei E. Ţiâdu-se seama de forma (FG.3.7.7) a hamiltoiaului sistemului cuatic, ecuaţia (FG ) se scrie sub forma: ψ m ( q) + [ E U ( q) ] ψ( q) = h des îtâlită î aplicaţii. (FG.3.7.) Codiţiile stadard de mărgiire, cotiuitate (împreuă cu derivatele lor) şi uivocitate ale fucţiei de udă, stabilite di cosiderete fizice sut regăsite petru soluţiile ecuaţiei (FG.3.7.4) î teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale. Fie, de exemplu, (FG.3.7.9). E valorile proprii discrete şi ψ ( q) fucţiile proprii corespuzătoare ale ecuaţiei Ţiâd seama că prima ecuaţie (FG ) coduce pri itegrare la soluţia () i Et f t = e h (FG.3.7.) soluţia geerală a ecuaţiei (FG ) se scrie sub forma i h t (FG.3.7.) (, ) ( ) ψ qt = cψ q e fiecare terme î suma de mai sus reprezetâd o stare staţioară a sistemului. Î geeral, pri variabila q î expresia fucţiei de udă ψ ( q) s-au otat variabilele carteziee x i, yi, zi ale sistemului cuatic caracterizat pri vectorul de stare r r... ri....

113 Îtrucât rezolvarea ecuaţiei (FG.3.7.9) u se poate face exact decât îtr-u umăr restrâs de cazuri, petru expresii complicate ale poteţialului U q se utilizează metode aproximative sau umerice. ( ) Faptul că hamiltoiaul sistemului u este ivariat scalar face ca descrierea Schrödiger să u fie relativist covariată, ceea ce costituie u eajus importat al acestui mod de abordare a evoluţiei sistemelor cuatice. Cu toate acestea descrierea Schrödiger se utilizează î umeroase cazuri îcât studiul se reduce la itegrarea uor ecuaţii difereţiale relativ simple. FG.3.8. Alte descrieri ale mecaicii cuatice a) Descrierea Heiseberg Descrierea Heiseberg a evoluţiei temporale a sistemelor cuatice este formal asemăătoare mecaicii clasice îtrucât ecuaţiile de mişcare sut scrise petru operatorii corespuzători variabilelor diamice clasice, vectorii de stare fiid idepedeţi î timp. Idepedeţa de timp a vectorilor de stare scrisi i reprezetarea Schrodiger sub forma ψ () t poate fi obţiută pritr-o schimbare de reprezetare "î timp"care să imprime vectorilor de stare Schrödiger o mişcare de asamblu "îapoi" astfel îcât starea sistemului să fie descrisă permaet pri vectorii de stare "staţioari" ψ ( t ) ψ H. Este evidet că o astfel de comportare este asigurată de trasformarea uitară: () ˆ ( ) ( ) ˆ t = T t, t ψ t = T ( t, t ) Tˆ ( t, t ) ψ( t ) = ψ( t ) (FG.3.8.) ude ψ H () t sut vectorii de stare î reprezetarea Heiseberg. Petru a u fi afectat coţiutul fizic al teoriei, operatorii descrierii Schrödiger Aˆ H ( t, t ) Aˆ Tˆ ( t, t ) Â trebuie supuşi aceleiaşi trasformări ˆ = T (FG.3.8.) după regulile cuoscute ale schimbării reprezetărilor. (Pri geeralizare rezultă că orice trasformare uitară Uˆ () t efectuată asupra vectorilor de stare şi operatorilor uui sistem cuatic coduce la descrieri echivalete ale acestuia.) Îtr-adevăr di ecuaţia ψ ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ + A ψ = ψ U U A U Uˆ ψ = ψ' Aˆ' ψ', (FG.3.8.3) rezultă că vectorii de stare şi operatorii defiiţi pri relaţiile ψ' = Uˆ ψ (FG.3.8.4) şi ˆ ˆ ˆ ˆ + (FG.3.8.5) A' = U A U determiă modalităţi echivalete de descriere a sistemului cuatic. Î cazul trecerii de la descrierea Schrödiger la descrierea Heiseberg, se utilizeaza operatorul ˆ ˆ U = T, T ˆ( t, t ) fiid operatorul de evoluţie cauzală. 3

114 Îtrucât relaţia (FG.3.8.4) implică variaţia î timp a operatorilor  H, trebuie stabilită ecuaţia difereţială de mişcare a operatorilor î descrierea Heiseberg. Î acest scop se derivează î raport cu timpul relaţia (FG.3.8.4), admiţâdu-se că operatorul  depide explicit de timp: Rezultă: Aˆ H Tˆ d Aˆ = Aˆ Tˆ + Tˆ Tˆ + Tˆ d t t t Ţiâd seama de ecuaţia (FG.3.8.6) şi de codiţia Aˆ ( Tˆ Hˆ Tˆ Tˆ Aˆ Tˆ Tˆ Aˆ Tˆ Tˆ ) Tˆ + T ˆ d Aˆ H i = dt h sau î fial d Aˆ dt H Tˆ Aˆ. (FG.3.8.6) t + = T T se obţie: t 4 (FG.3.8.7) Aˆ H i = + [ Hˆ H, Aˆ H ], (FG.3.8.8) t h adică ecuaţia Heiseberg de mişcare a operatorilor cuatici, ude Hˆ H Tˆ = Hˆ Tˆ. (FG.3.8.9) Aalogia ditre ecuaţia de mişcare (FG.3.8.8) şi ecuaţia de mişcare clasică a variabilelor diamice d d A t A = + { A, H}, (FG.3.8.) t permite defiirea paratezelor lui Poisso cuatice pri corespodeţa: i { A, H} [ ˆ, ˆ ] H H A H. (FG.3.8.) h Pri urmare relaţiile (FG.3.8.) pot fi stabilite pri corespodeţă ţiâdu-se seama de relaţiile corespuzătoare existete ître variabilele diamice clasice, sub forma: i h { pi, qi} = δij [ pˆ i, qˆ i ] = δij. (FG.3.8.) Î mod asemăător se pot scrie pri aalogie cu ecuaţiile lui Hamilto, ecuaţiile de mişcare petru operatorii pˆ i şi qˆ i : d pˆ i dt i = h şi, respectiv d qˆ i dt i = h [ Hˆ, pˆ ] i [ Hˆ, qˆ ] i Hˆ = qi (FG.3.8.3) Hˆ =. (FG.3.8.4) pi Se poate pue de asemeea î evideţă şi expresia: + Hˆ = ih Tˆ Tˆ (FG.3.8.5) petru operatorul hamiltoia, deosebit de utilă î calcule.

115 Î cocluzie, descrierea Heiseberg poate fi privită ca o succesiue de trasformări uitare ifiitezimale, geerate de hamiltoia. Pe lâgă aalogia evidetă ditre legile de mişcare ale mecaicii clasice, care prezită o importaţă metodico - euristică, descrierea Heiseberg prezită o geeralizare mai mare decât descrierea Schrödiger îtrucât se păstrează covariaţa relativistă a ecuaţiilor de mişcare obţiute pri corespodeţă. Observaţie. Î cazul stărilor staţioare, de exemplu, echivaleţa ditre descrierile Schrödiger şi Heiseberg este evidetă. Fie ψ i Hˆ t h (FG.3.8.6) ( r, t) = e ψ( r,) fucţiile de udă ale lui Schrödiger şi  operatorii corespuzători acestei descrieri. Se poate scrie Aˆ = ψ * Aˆ ψ d τ = e i Hˆ t h ψ ( r,) Aˆ e h ψ( r,) d τ = * i Hˆ t i ˆ i H t Hˆ t * = ψ ( ) ˆ * r, e h A e h ψ( r,) d τ = ψ ( r,) Aˆ H ( t) ψ( r,) d τ (FG.3.8.7) i i Hˆ t Hˆ t ude Aˆ H () t = e h Aˆ e h (FG.3.8.8) este operatorul  î descrierea Heiseberg. b) Descrierea de iteracţiue Descrierea de iteracţiue costituie o descriere itermediară î care atât vectorii de stare cât şi operatorii sut variabili î timp. Ca şi descrierea Heiseberg, descrierea de iteracţiue se poate obţie pritr-o schimbare de reprezetare, pri care se imprimă vectorilor de stare Schrödiger tot o mişcare de asamblu îapoi î timp dar u î suficietă măsură astfel îcât să se compeseze itegral variaţia î timp reală a vectorilor de stare, ci umai parţial îtr-o situaţie itermediară, după u criteriu care să permită utilizarea avatajelor descrierilor Schrödiger şi Heiseberg simulta. U astfel de criteriu îl costituie, de exemplu, petru sistemele cuatice aflate î iteracţiue, cosiderarea variaţiei î timp a vectorilor de stare, caracteristică descrierilor Schrödiger, umai datorită părţii de iteracţiue a hamiltoiaului Ĥ. Se costată că o astfel de trasformare uitară coduce simulta la o variaţie î timp a operatorilor, caracteristică descrierii Heiseberg, umai datorită părţii expresia: Ĥ ecompesate a hamiltoiaului Ĥ, avâd H ˆ = Hˆ ˆ + H. (FG.3.8.9) 5

116 De observat că descompuerea (FG.3.8.9) poate fi oarecare, îsă î aplicaţii prezită iteres descompuerea î care Ĥ reprezită hamiltoiaul eperturbat, iar Ĥ perturbaţia, î acest caz fiid îdepliită codiţia şi H ˆ ˆ << H. Fie Tˆ I operatorul uitar de evoluţie al trasformării descrierii de iteracţiue astfel că () t = Tˆ ( t t) ψ( t) ψ I I, (FG.3.8.) şi Aˆ ( t) Tˆ ( t t) Aˆ Tˆ, ( t t) I = I I,, (FG.3.8.) ude ψ I () t şi A ˆ I () t sut vectorii de stare şi operatorii î descrierea de iteracţiue. Operatorul Tˆ I, de evoluţie, se cosideră de forma: ˆ TI t i h t ( t, t) = + Tˆ ( t, t' ) Petru calculul expresiilor () t = ( Hˆ + Hˆ ) ψ() t I Hˆ d t'. (FG.3.8.) d ψ I d t () t şi d Aˆ I dt ( t) se cosideră ecuaţia Schrödiger: d ψ ih (FG.3.8.3) dt şi se ţie seama de trasformările (FG.3.8.) şi (FG.3.8.). Se obţi ecuaţiile: d ψ I dt sau () t Tˆ = I t () t ψ + Tˆ I ψ t i = Hˆ I h ψ I () t (FG.3.8.4) d ψ ih I = Hˆ I ψ I () t (FG.3.8.5) d t respectiv d Aˆ I d t sau d Aˆ I dt () t Tˆ = I t Aˆ Tˆ I + Tˆ I () t Aˆ I i + [ Hˆ I, Aˆ I Aˆ Tˆ I + Tˆ I t ] Tˆ Aˆ I t (FG.3.8.6) = (FG.3.8.7) t h ude şi Hˆ ˆ I ˆ ˆ ˆ = TI HTI ˆ ˆ ˆ (FG.3.8.8) H I = TI HTI. (FG.3.8.9) Ecuaţiile (FG.3.8.6) şi (FG.3.8.7) reprezită ecuaţiile de mişcare î formalismul de iteracţiue. Ecuaţia (FG.3.8.5) ia î cosiderare pri Hˆ I efectele diamice ale iteracţiuii astfel că reprezită ecuaţia diamică de mişcare a sistemului cuatic, umită şi ecuaţia Tomoaga-Schwiger. 6

117 Ecuaţia (FG.3.8.7) reprezită ecuaţia ciematică de mişcare liberă a sistemului cuatic î abseţa iteracţiuii. Evidet că trecerea de la reprezetarea de iteracţiue la reprezetarea Heiseberg este asigurată de operatorul uitar: Uˆ ( t, t ) = Tˆ (, ) ˆ I t t T ( t, t ). (FG.3.8.3) Se poate costata că descrierea de iteracţiue se pretează la descrierea relativistă covariată a sistemelor cuatice, îtrucât covariaţa ecuaţiilor este asigurată de faptul că Ĥ este petru o largă clasă de sisteme u ivariat scalar, iar ecuaţia este pri atura ei covariată. Î practică, petru evaluarea valorilor medii ale observabilelor A ˆ I = ψ () t Aˆ I I () t ψ I () t t (FG.3.8.3) trebuie rezolvate mai îtâi ecuaţiile (FG.3.8.5) şi (FG.3.8.7). Evoluţia î timp a valorilor medii. Costatele mişcării Ecuaţia de mişcare Heiseberg poate fi utilizată petru evideţierea directă a evoluţiei î timp a valorilor medii ale operatorilor d Aˆ i Aˆ = + [ Hˆ, Aˆ ]. (FG.3.9.) dt t h Se poate arăta că ecuaţia (FG.3..) poate fi obţiută şi î descrierile Schrödiger sau de iteracţiue, utilizâdu-se defiiţia A ˆ = ψ() t Aˆ ψ() t (FG.3.9.) t şi ecuaţia lui Schrödiger verificată de vectorii de stare ai sistemului. Petru ca observabila  să fie o costată a mişcării, trebuie ca aceasta să u depidă explicit de timp, iar valoarea sa medie să u se schimbe î timp, adică Aˆ = t (FG.3.9.3) şi d dt Aˆ =. (FG.3.9.4) Ecuaţiile de mai sus implică relaţia de comutare H ˆ, Aˆ = (FG.3.9.5) [ ] care reprezită codiţia ecesară şi suficietă petru ca observabila Â, care u depide explicit de timp, să fie o costată a mişcării. 7

118 Capitolul FG.4. Sisteme cuatice simple Cuvite-cheie: groapa de poteţial, bariera de poteţial, efectul tuel, oscilatorul armoic, spectru eergetic discret, ecuaţia Schrödiger atemporală, stare legata Capitolul FG.4.. Itroducere Aplicarea teoriei cuatice petru studiul sistemelor erelativiste şi relativiste coduce la rezultate remarcabile privid ivelul cuatic de structură şi mişcare al materiei, î depliă cocordaţă cu faptele experimetale. Î acest subcapitol se vor aaliza uele exemple de sisteme cuatice simple, urmăridu-se atât evideţierea modului de utilizare a teoriei dezvoltate aterior, cât şi studiul uor efecte pur cuatice. Astfel, vor fi studiate: particula î groapa de poteţial uidimesioală, particula î groapa de poteţial tridimesioală, particula î groapa de poteţial cu pereţi fiiţi, bariera de poteţial, efectul tuel si oscilatorul armoic. Se va urmări, î pricipal, determiarea spectrelor eergetice discrete î cazul sistemelor studiate, umite "cu stări legate". Se umesc stări legate ale particulei cuatice stările descrise de fucţii de udă de pătrat itegrabil, care satisfac ecuaţia lui Schrödiger atemporală. Astfel de stări ale particulei cuatice sut staţioare şi apar atuci câd particula este costrâsă pri forţe extere să se mişte îtr-o regiue limitată di spaţiu, fiid caracterizate de valori egative ale eergiei ( U < E<, ude U defieşte groapa de poteţial î care se află particula). De exemplu, ivelurile de eergie ale atomilor, ale ucleelor, ale oscilatorului armoic corespud uor stări legate ale particulelor respective. Spre deosebire de stările legate, stările elegate se obţi petru valori pozitive ale eergiei particulei cuatice, E > şi apar î probleme de ciociri ître o particulă şi u câmp de forţe care, î particular, poate fi o altă particulă cuatică. Deşi metodele de tratare a problemelor de ciociri diferă de cele folosite petru studiul stărilor legate, î ambele situaţii trebuie rezolvată ecuaţia lui Schrödiger petru fucţia de udă. Capitolul FG.4.. Particula î groapa de poteţial uidimesioală Groapa de poteţial evideţiază aumite aspecte cuatice ale mişcării particulei îtr-u poteţial discotiuu, prezetâd u iteres deosebit î studiul solidului şi al ucleului. Î figura FG.4.. se prezită modelul gropii de poteţial cu pereţi ifiiţi, iar î figura FG.4.. este arătat u model de groapă de poteţial cu pereţi fiiţi. Î cele ce urmează se urmăreşte determiarea fucţiilor proprii şi a valorilor proprii (stări legate) ale eergiei uei particule cuatice care se mişcă î ua sau alta di cele două gropi de poteţial arătate. 8

119 U U a a x I II III I II III U a Fig. FG.4... Groapa de poteţial cu pereţii ifiiţi este defiită de relaţia: ( ) U x Fig. FG.4..., x a =. (FG.4..) x <, x > a Scriid ecuaţia lui Schrödiger petru cele trei domeii, se obţie Ψ =Ψ3 (FG.4..) d Ψ me + Ψ = d x h astfel că soluţia pe care o admite este ( x) A ( kx ) (FG.4..3) Ψ = si +ϕ (FG.4..4) ude me k =. (FG.4..5) h Di codiţiile de cotiuitate scrise î puctele x = şi x = a petru fucţie şi prima derivată, se obţi relaţiile: de ude rezultă ( ) Asi ϕ= şi Asi ka+ϕ =, (FG.4..6) ϕ= şi π k = cu =,,... (FG.4..7) a Pri urmare, valorile proprii ale eergiei, date de relaţia E π h = ma alcătuiesc u spectru eergetic discret. Di codiţia de ormare (FG.4..8) rezultă + Ψ dx = (FG.4..9) A =, (FG.4..) a astfel îcât, î fial, se obţie soluţia: 9

120 x < π Ψ ( x) = si x x a a a x> a (FG.4..) Capitolul FG.4.3. Particula î groapa de poteţial tridimesioală Î cazul gropii de poteţial tridimesioale,, x a; y b; z c U =. (FG.4.3.), x <, x > a; y <, y > b; z <, z > c Îtrucât variabilele pot fi separate î ecuaţia lui Schrödiger, după aplicarea codiţiilor la limită şi ormare, se obţi soluţiile: 8 πx πy 3πz Ψ ( ),, xyz,, = si si si 3 abc a b c (FG.4.3.) ude,, 3 sut umere îtregi pozitive. Rezultă, de asemeea, valorile proprii ale eergiei: E π h m a b c 3,, = (FG.4.3.3) Dacă a b c a soluţiile sut edegeerate. Capitolul FG.4.4. Particula î groapa de poteţial cu pereţi fiiţi Groapa de poteţial cu pereţii fiiţi este defiită astfel: U, x< -a U( x) =, -a x a. (FG.4.4.4) U, x> a Scriid ecuaţia lui Schrödiger î domeiile I şi III d Ψ,3 κ Ψ,3 = (FG.4.4.5) d x me ude κ= h (FG.4.4.6) şi î domeiul II d d x Ψ + k Ψ = (FG.4.4.7) ude k me ( U ) = h se obţi soluţiile: Ψ = A e + A e κx κx (FG.4.4.8) (FG.4.4.9) Ψ = B si kx + B coskx (FG.4.4.)

121 κ e x κ Ψ = C + C e x (FG.4.4.) 3 Se observă că Ψ este fiit (petru x ± ) dacă A =, iar Ψ 3 î aceleaşi codiţii dacă C =. Di codiţiile de cotiuitate î puctele x = ± a, petru Ψ şi Ψ rezultă u sistem omoge de ecuaţii algebrice avâd ecuoscutele A, B, B şi C, care admite soluţii ebaale dacă determiatul format di coeficieţii ecuoscuţi este ul. Se obţie ecuaţia κ k + κ kctgka = (FG.4.4.) ale cărei soluţii sut date de ecuaţiile trascedete κ = ktg ka (FG.4.4.3) şi κ =kctg ka. (FG.4.4.4) iar petru κ : Petru κ rezultă, di sistemul ecuoscutelor A, B, B şi C : A κa A = C, B =, B = e (FG.4.4.5) cos ka κa e A = C, B = A, B = (FG.4.4.6) si ka Primul grup de costate corespude fucţiilor pare, Ψ e x = A κ ; κa cos kx Ψ = A e ; Ψ 3 = A coska e κx, (FG.4.4.7) pe câd cel de al doilea grup fucţiilor impare: Ψ e x = A κ ; Di codiţia de ormare κa si kx Ψ = A e ; Ψ 3 = A si ka e κx. (FG.4.4.8) κa A a e a x e d x + cos d d cos ka kx x κ e κx x + + a d = (FG.4.4.9) se obţie petru costata A expresia: κa e = A κ. (FG.4.4.) a κa k a k suma Valorile proprii ale eergiei particulei cuatice se determiă pe cale grafică. Se calculează mai îtâi m k +κ = U h (FG.4.4.) de ude rezultă κ = k mu h k. (FG.4.4.) Ca urmare ecuaţiile trascedete pot fi scrise sub forma:

122 mu tg ka = k h (FG.4.4.3) şi, respectiv, mu ctg ka = k h (FG.4.4.4) şi se rezolvă pe cale grafică. Numărul ivelurilor eergetice va fi determiat de umărul de pucte de itersecţie ale graficelor reprezetate de cei doi membri ai acestor ecuaţii, rezultâd u spectru eergetic discret. Se costată că umărul stărilor legate creşte odată cu produsul umărului de pucte de itersecţie a celor două curbe. au, fapt evideţiat de creşterea Rezultatele pot fi geeralizate petru o groapă de poteţial de o formă oarecare sau petru u poteţial periodic, cum ar fi cel care caracterizează evoluţia electroilor slab legaţi ai reţelei cristalie. Î acest ultim caz, di studiu rezultă structura de bezi eergetice a cristalul. Capitolul FG.4.5. Bariera de poteţial Se studiază mişcarea uidimesioală a uei particule cuatice de eergie E î prezeţa uui poteţial de tip treaptă (vezi figura FG.4.5.), defiit astfel: ( ) U x, x = U, x> U(x) (FG.4.5.) U I II x Fig. FG Ecuaţia lui Schrödiger se scrie, petru domeiile I şi II, sub forma: şi, respectiv, d Ψ m + EΨ = d x h (FG.4.5.) d Ψ m + ( E U ) Ψ d x h Dacă se itroduc otaţiile k = me h şi k = = (FG.4.5.3) ( U ) m E ecuaţiile (FG.4.5.) şi (FG.4.5.3) admit soluţii de forma: h (FG.4.5.4) Ψ = A e + B e i ikx kx (FG.4.5.5)

123 ikx ikx Ψ = Ae + Be (FG.4.5.6) adică fiecare reprezită o superpoziţie de două ude, o udă directă de amplitudie A i şi o udă reflectată de amplitudie B i, A i şi B i fiid amplitudii complexe. Bariera fiid de lărgime semiifiită iar particula fiid icidetă de la x, avem B =. Soluţiile şi Ψ satisfac codiţiile de cotiuitate (petru fucţia de udă şi petru prima Ψ derivată, î puctul x = ). Di aceste codiţii rezultă şi relaţiile ître amplitudii: B k k k A A = A, = k+ k k+ k (FG.4.5.7) Fără a restrâge geeralitatea problemei se poate cosidera de la îceput AA =, astfel îcât di relaţiile (FG.4.5.7) rezultă B şi A. Petru a stabili comportarea particulei cuatice atuci câd îtâleşte poteţialul treaptă, se defiesc factorii de reflexie şi de trasmisie ai barierei de poteţial semiifiite. Astfel, factorul de reflexie R al barierei este defiit pri raportul ditre desitatea fluxului (curetului) de probabilitate reflectat şi cea a fluxului de probabilitate icidet î puctul x = : B k k R = = A k + k (FG.4.5.8) Aalog, factorul de trasmisie T al barierei este defiit pri raportul ditre desitatea fluxului de probabilitate trasmis şi cea a fluxului de probabilitate icidet î puctul x = : 4 A kk T = = (FG.4.5.9) A k k ( + ) Îtrucât R + T =, (FG.4.5.) particula cuatică este fie trasmisă, fie reflectată. Prezită iteres următoarele cazuri: a) E > U (reflexie parţială) - Dacă E U, atuci k k, R şi T : uda este trasmisă total, ca şi î cazul clasic. - Dacă E >% U, atuci k > k şi R : deci, spre deosebire de cazul clasic, particula cuatică are o probabilitate de reflexie diferită de zero, deşi E > U (rezultat pur cuatic). b) E < U (reflexie totală) Î acest caz, k = i κ ( k < ): κ e e x ψ = A + B, (FG.4.5.) κx dar A =, astfel îcât soluţia să fie mărgiită petru x. Rezultă şi 3

124 R ki κ = = k + i κ adică are loc reflexia totală a particulei., (FG.4.5.) Dar faptul că Ψ evideţiază existeţa uei ude evaescete care pătrude î mediul al doilea şi se ateuează expoeţial, avâd desitatea de probabilitate: e x B κ =Ψ =. (FG.4.5.3) De exemplu, petru U E = ev şi x =, m, obţiem = 3%. B Pătruderea udei î al doilea mediu determiă şi defazarea udei reflectate (raportul A este complex). Probabilitatea eulă ca particula să pătrudă î regiuea a doua este, de asemeea, u rezultat pur cuatic. Capitolul FG.4.6. Efectul tuel Se studiază comportarea uei particule cuatice care îtâleşte, î mişcarea sa uidimesioală (de la ) o barieră de poteţial dreptughiulară de lărgime a şi îălţime U (vezi figura FG.4.6.) defiită astfel:, x < U( x) = U, x a (FG.4.6.), x> a. U(x) U I II a III x Fig. FG Ecuaţia lui Schrödiger se scrie, petru cele trei domeii de existeţă ale particulei, sub forma: d Ψ m + EΨ = d x h (FG.4.6.) d Ψ m + ( E U ) Ψ d x h = (FG.4.6.3) d 3 Ψ m + EΨ 3 = d x h Dacă se itroduc otaţiile k = me h şi k = ( U ) m E h (FG.4.6.4) (FG.4.6.5) şi se ţie seama că şi Ψ verifică ecuaţii idetice, se obţi soluţii de forma Ψ 3 4

125 ikx ikx Ψ = Ae + Be (FG.4.6.6) ikx ikx Ψ = Ae + Be (FG.4.6.7) ikx ikx Ψ 3 = A3e + B3e (FG.4.6.7) ude B 3 =, îtrucât particula vie de la. Scriid codiţiile de cotiuitate petru Ψ şi Ψ î puctele x = şi x = a sub forma Ψ = ( Ψ ) ( ) ( ) ( ) x x = = Ψ = Ψ (FG.4.6.8) x= a 3 x= a dψ dψ = dx dx x= x= dψ dψ3 = dx x= a dx x= a (FG.4.6.9) şi admiţâd, ca şi î cazul poteţialului treaptă, că AA =, se obţi următoarele relaţii ître amplitudiile udelor implicate: A+ B = A + B (FG.4.6.) k ( A B) = k ( A B ) (FG.4.6.) A e + B e = A e (FG.4.6.) ika ika ika 3 k ( A e B e ) = k A e (FG.4.6.3) ika ika ika 3 astfel îcât pot fi explicitate expresiile coeficieţilor R şi T de reflexie şi, respectiv, de trasmisie ai barierei: a) Î cazul E > U se obţie: ( ) si ( ) k k ka R = 4kk k k s ka + i (FG.4.6.4) şi, respectiv, 4kk T = 4kk k k s ka + i ( ) (FG.4.6.5) adică există o probabilitate diferită de zero de reflexie a particulei ca şi î cazul poteţialului treaptă. Î plus, se costată că T este o fucţie periodică de lărgimea a barierei, a, valorile T = corespuzâd codiţiilor de rezoaţă ka = π (bariera se comportă ca u iterferometru Fabry-Perot). b) Î cazul E < U, rezultă A 4kk e i ka 3 = ika ika ( k+ k) e ( kk) e (FG.4.6.6) astfel îcât T 6EU a ( E) mu h = e U ( E). (FG.4.6.7) Rezultă că există o probabilitate semificativă ca particula să străbată bariera de poteţial, deşi E < U, comportare cuoscută sub umele de efect tuel. 5

126 De exemplu, petru u electro cu eergia E = ev şi o barieră de poteţial avâd U = ev şi a =, m, rezultă T =,78 deci predicţiile teoriei cuatice diferă eseţial de cele ale teoriei clasice. Dioda tuel, efectul Josephso şi dezitegrarea alfa sut exemple tipice de feomee cuatice explicate cu ajutorul efectului tuel. Petru o barieră de poteţial de formă oarecare (vezi figura FG.4.6.) traspareţa acesteia se obţie pri itegrarea relaţiei (FG.4.5.7): x mu ( E) x x T = Ce h d (FG.4.6.8) cosiderâd că o astfel de barieră de poteţial este formată ditr-u umăr foarte mare de bariere de poteţial dreptughiulare, ifiitezimale. Capitolul FG.4.7. Oscilatorul armoic Fig. FG Modelul oscilatorului armoic, adică al uei particule supuse acţiuii uei forţe proporţioale cu r r distaţa de la o poziţie de echilibru şi orietată spre poziţia de echilibru ( F = kr cu k > sau, î cazul uidimesioal, = kx cu k > ), itervie frecvet î diferite probleme de fizică cuatică. Astfel de Fx probleme sut: oscilaţiile moleculelor, oscilaţiile atomilor şi ioilor î reţeaua cristaliă, cuatificarea câmpurilor echivalete formal cu asambluri de oscilatori armoici, descrierea sistemelor de bosoi etc. Rezolvarea ecuaţiei lui Schrödiger petru oscilatorul armoic cuatic uidimesioal Petru stabilirea fucţiilor proprii şi a valorilor proprii ale eergiei oscilatorului armoic se rezolvă ecuaţia Schrödiger atemporală ţiâdu-se seama de operatorul cuatic: pˆ x Hˆ = + mω ˆ x (FG.4.7.) m obţiut pri corespodeţă cu cazul clasic. Rezultă ecuaţia d dx h Ψ m E m + ω x Ψ =. (FG.4.7.) Petru rezolvarea ecuaţiei (FG.4.7.) este util să se itroducă parametrii adimesioali ξ= x mω h şi E λ= ; (FG.4.7.3) h ω 6

127 astfel, obţiem: d Ψ + ( λξ ) Ψ = dξ (FG.4.7.4) Există mai multe metode petru rezolvarea ecuaţiei (FG.4.7.4). Î cele ce urmează, se va folosi metoda poliomială. Se observă mai îtâi că ecuaţia (FG.4.7.4) admite soluţia asimptotică: ξ Ψ = e (FG.4.7.5) îtrucât petru ξ sut idepliite coditiile: λ şi ξ Ψ. Ţiâdu-se seama că expresiile de forma fiit, se caută petru ecuaţia (FG.4.7.4) o soluţie avâd forma geerală: ude ( ) H ( ) ξ ξ ξ ξ e de pătrat itegrabil se aulează petru ξ şi Ψ ξ = ξ e (FG.4.7.6) H ( ξ) este u poliom de ordi fiit care satisface ecuaţia difereţială: d H dξ dh ξ + ( λ ) H =, (FG.4.7.7) dξ obţiută pri îlocuirea soluţiei (FG.4.7.6) î ecuaţia (FG.4.7.4). Dacă se admite petru H ( ξ ) o expresie de forma: l ( ) ( ) H ξ =ξ a + aξ+ a ξ +..., cu a (FG.4.7.8) se costată că H ( ξ ) verifică ecuaţia (FG.4.7.7) dacă sut satisfăcute relaţiile de recureţă (obţiute pri aularea coeficietului lui ξ ): ( ) a l l =, deci l = sau l = ; ( ) l+ la =, deci l = sau/şi a = ; ( )( ) ( ) l+ l+ a l+ λ a = (FG.4.7.9) M ( )( ) ( ) l+ s+ l+ s+ a l+ s+ λ a = s+ (termeii pari sut corelaţi, la fel şi termeii impari, eexistâd corelaţii par-impar). Îtrucât a s+ = l+ s+ λ ( l+ s+ )( l+ s+ ) H ( ξ ) este fiit ( ) a s s (FG.4.7.) a s+ =, (FG.4.7.) atât dacă l = (cu λ= s + ), cât şi dacă l = (cu λ = s + 3), petru s par ( a = ). Î ambele cazuri rezultă codiţia: λ= +, cu =,, 3,... (FG.4.7.) 7

128 astfel îcât, î cocordaţă cu a doua ecuatie (FG.4.7.3) se obţie, petru valorile proprii ale eergiei oscilatorului armoic cuatic, expresia geerală: E = + ω h, cu =,, 3,... (FG.4.7.3) Pri urmare, spectrul valorilor proprii ale eergiei este discret şi edegeerat, fucţiile proprii corespuzătoare fiid de forma (FG.4.7.6): ( ) AH ( ) ξ Ψ ξ = ξ e (FG.4.7.4) ude A este o costată de ormare. Ţiâdu-se seama de expresia (FG.4.7.3) a valorilor proprii ale eergiei, se poate scrie: E + E = ω h (FG.4.7.5) ω fiid pulsaţia proprie de oscilaţie a oscilatorului armoic clasic. Petru = se obţie eergia de zero a oscilatorului cuatic: E hω = (FG.4.7.6) existeţa sa fiid corelată cu relaţiile de icertitudie. Atât cuatificarea eergiei, cât şi eergia de zero a oscilatorului sut rezultate cuatice, fără aalog clasic şi corespud uor descrieri ale lumii fizice reale. Î figura FG.4.7. sut prezetate schematic ivelurile de eergie ale oscilatorului armoic cuatic. Fig. FG Ca urmare a iteracţiuii cu mediul exterior, oscilatorului cuatic poate suferi traziţii ditr-o stare î alta, cu modificarea corespuzătoare a eergiei sale. Deoarece î relaţia (FG.4.7.), poate fi par sau impar, există două seturi disticte de soluţii, cu paritate diferită. Cu otaţia (FG.4.7.) ecuaţia (FG.4.7.7) se scrie sub forma: d H dξ dh ξ + H =, (FG.4.7.7) dξ care reprezită ecuaţia difereţială a polioamelor Hermite, avâd fucţia geeratoare: ξ ( sξ) H ( ξ) F(, ξ s) = e = s (FG.4.7.8)! astfel îcât, î geeral: = 8

129 ( ) ξ d ( ξ ) = ( ) ( ξ e e ) d ξ H De exemplu, primele polioame Hermite au expresiile: H ξ =,,. 3 H ( ξ ) = ξ H ( ξ ) = + ξ, H ( ξ ) = ξ+ ξ, ( ) Utilizâd relaţiile de recureţă petru polioamele Hermite: ( ) ( ) (FG.4.7.9) 4 H 4 ξ = 48ξ + 6ξ (FG.4.7.) H ξ = H ξ (FG.4.7.) ( ) ( ) ( ) H+ ξ = ξh ξ H ξ (FG.4.7.) şi relaţia itegrală: + ξ ( ) ( ) e H ξ Hm ξ dξ=! πδm (FG.4.7.3) se poate calcula costata de ormare A di codiţia: ( ) ( ) + m d m (FG.4.7.4) Ψ ξ Ψ ξ ξ=δ Rezultă; mω α A = =, (FG.4.7.5)! πh π! mω ude α= h este o costată. Ca urmare, fucţiile proprii (FG.4.7.4) pot fi scrise şi sub forma, cu otaţii (FG.4.7.3): ξ=α x coform primei ( ) α x Ψ x = A H ( α x)e (FG.4.7.6) Î particular se obţie: α x α ( x) e Ψ = π. (FG.4.7.7) Î figura FG.4.7. se prezită calitativ primele trei fucţii proprii ale oscilatorului armoic cuatic. Itervalul (, ) este defiit de puctele de îtoarcere ale oscilatorului clasic (petru care eergia poteţială a sistemului este egală cu eergia totală). 9

130 Î puctele x =± a avem Ψ x = poate găsi şi î regiuile iterzise clasic ( x Fig. FG ( ) (pucte de iflexiue), astfel îcât particula cuatică se x > a ) cu o probabilitate eulă. Ψ 6 Fig. FG a a x FG Î figura FG se prezită, comparativ cu cazul clasic (liia îtreruptă), distribuţia probabilităţii cuatice de localizare petru umere cuatice mari (i figura = 6). Se poate spue că petru foarte mare, difereţele ditre cele două distribuţii se ateuează, î cocordaţă cu pricipiul de corespodeţă. 3

131 CAPITOLUL FG.5. Atomul de hidroge Cuvite-cheie: câmp cetral, momet cietic, fucţie de udă, ecuaţia radială, orbital atomic, magetoul Procopiu-Bohr, momet magetic, efect Zeema FG.5.. Ecuaţia lui Schrödiger petru mişcarea î câmp cetral Studiul mişcării particulei cuatice îtr-u poteţial cetral U = U (r) prezită u iteres deosebit î fizica atomică deoarece problema geerală a uui sistem format di două corpuri a căror eergie de iteracţiue u depide decât de poziţia relativă a acestora poate fi redusă la aceea a mişcării uei sigure particule îtr-u poteţial cetral. La rezolvarea ecuaţiei lui Schrödiger, î cazul uui poteţial cetral, petru aflarea fucţiilor proprii şi a valorilor proprii ale hamiltoiaului Ĥ al sistemului trebuie sa se tia seama de ivariata lui Uˆ ( r ) î raport cu rotaţiile spaţiale astfel îcât hamiltoiaul comuta cu mometele cietice ˆL si ˆ ˆ, L =, Lˆ z, admiţâd acelaşi set de fucţii proprii, fapt ce poate fi demostrat pri calcul direct: H ˆ, Lˆ z = şi ˆ L r, L =. z H r [ ] Î cele ce urmează se vor studia fucţiile proprii şi valorile proprii ale hamiltoiaului petru u poteţial cetral particular, de tip coulombia. U astfel de sistem cuatic tipic îl reprezită atomul de hidroge dar şi izotopii hidrogeului (He +, Li ++ etc.). Trebuie remarcat ca şi studiul atomilor mai complecşi are ca puct de plecare rezultatele teoriei cuatice privid atomul de hidroge, după cum se va arata ulterior. Ca urmare a simetriei cetrale a câmpului de forte î care se mişcă particula cuatică cosiderată, fucţia de uda a acesteia Ψ = Ψ( r, θ, ϕ) verifică ecuaţia lui Schrödiger atemporală, scrisă î coordoate sferice sub forma: r r r Ψ r + r si θ θ Ψ si θ θ + Ψ m + si θ ϕ h [ E U () r ] Ψ = (FG.5..) Petru rezolvarea ecuaţiei (7.5.) se caută o soluţie cu variabilele separabile coform expresiei: (, θ, ϕ) = R( r) Y ( θ ϕ Ψ r, ). (FG.5..) 3

132 Pe de alta parte, î coordoate sferice operatorul ˆ L r are forma: r ˆ L = h si θ + = h Λˆ (FG.5..3) si θ θ θ si θ ϕ ude Λ ˆ este operatorul lui Legedre. Ca urmare, ecuaţia (7.5.) se scrie astfel: r r r Λˆ + r r Ψ + m h ( E U ( r) ) Ψ = (FG.5..4) Soluţia (7.5.) itrodusa î ecuaţia (7.5.4) determia separarea variabilelor sub forma: R m r r + R r r h λ fiid o costată. Λˆ Y Y [ E U ( r) ] = = λ, (FG.5..5) Î cele ce urmează se vor rezolva separat cele două ecuaţii de mai sus, petru partea ughiulara a fucţiei de uda Y ( θ, ϕ), respectiv partea radială a acestei fucţii R ( r). FG.5.. Rezolvarea ecuaţiilor mometului cietic Î rezolvarea ecuaţiilor de tip Schrödiger, trebuie să e limităm la operatorii momet cietic care acţioează î spaţiul coordoatelor carteziee x, y, z. Î cazul î care câmpurile î care are loc mişcarea au simetrie sferică, operatorii momet cietic se vor exprima î fucţie de coordoatele sferice r,θ,ϕ. Îtrucât astfel de operatori ai mometului cietic joacă u rol de primă importaţă î descrierea mişcărilor orbitale atomice sau ucleare, mometele cietice corespuzătoare se umesc orbitale. Se va arăta î cele ce urmează că mometele cietice orbitale sut cuatificate de umere cuatice care pot lua umai valori îtregi. Ulterior, după itroducerea ipotezei spiului, ca momet cietic itrisec al atomului, care poate lua şi valori semiîtregi, studiul compuerii mometelor cietice va coduce la rezultate î depliă cocordaţă cu teoria geerală a mometului cietic prezetată mai sus, coform căreia mometele cietice sut cuatificate atât de valori îtregi cât şi semiîtregi ale umerelor cuatice corespuzătoare. a. Fucţiile proprii şi valorile proprii ale mometului cietic Ecuaţia cu valori proprii a operatorului Lˆ si θ +, si θ θ θ si θ ϕ ( θ,ϕ) = Θ( θ) Φ(ϕ) Y ( θ, ϕ) = λy ( θ ϕ) se poate rezolva pri separarea variabilelor scriid: (FG.5..6) Y. (FG.5..7) Rezultă ecuaţiile: 3

133 d Φ + νφ =, (FG.5..8) d ϕ si θ θ si θ θ ν + λ Θ θ si θ ( ) = ude ν şi λ sut işte costate care urmează a fi determiate. (FG.5..9) Se observă că ecuaţia (7.5.8) este idetică cu ecuaţia cu valori proprii a operatorului Lˆ z scrisă sub forma i h Φ( ϕ) = mhφ( ϕ) (FG.5..) ϕ astfel că soluţiile sale, cu otaţia imϕ ( ) = e Φ ϕ π ν = m (FG.5..) sut fucţiile proprii ale acestui operator. Di codiţia de uiformitate a soluţiei: ( ϕ) = Φ( ϕ + π) Φ (FG.5..) rezultă petru m valorile m =±, ±, ± 3,... (m este u îtreg pozitiv, egativ sau zero). Spre deosebire de teoria geerală a mometului cietic, umărul cuatic magetic m care cuatifică valorile proprii ale mometului cietic orbital ( L z = mh) poate lua umai valori îtregi. Petru rezolvarea ecuaţiei (7.5.9) se face substituţia d P dp ( ) m x + λ P = x = cos θ, astfel că se poate pue sub forma x (FG.5..3) d d x x x umită ecuaţia difereţială a fucţiilor sferice ( θ) = P( x) Θ. Puctele sigulare ale acestei ecuaţii sut ±. Se costată că ecuaţia (7.5.3) admite soluţii fiite î aceste pucte (corespuzător lui = şi ) umai dacă ( l este deci u îtreg pozitiv sau zero). θ π λ este de forma λ = ( l +) l şi m l ude l =,,,... Î acest caz itegralele ecuaţiei (7.5.3) sut fucţiile sferice cuoscute sub umele de polioamele lui Legedre asociate, defiite pri: m m / / l + m d x d l Plm m l l m+ l d x l! dx ude m ( ) ( ) ( ) ( ) x = x P x = ( x ) P l ( x) sut polioamele lui Legedre d Pl l l l! dx ( x) = ( x ) l l, (FG.5..4). (7.5.5) 33

134 Factorul l l! este factor de ormare astfel ales îcât + x= [ P ( x) ] d x = l. (FG.5..6) l d P P l ( x) l fiid u poliom de gradul l, = cost., astfel că rezultă codiţia m l. l d x Di codiţia de ormare: π N lm [ Θ ( cosθ) ] si θd θ = lm (FG.5..7) care se calculează ţiâd seama de egalitatea: + ( l + m ) ( l m )! l = l' Plm ( x) Pl ' m' ( x) d x = l +! (FG.5..8) l l' rezultă ( l m ) ( l + m ) / l +! N lm = (FG.5..9)! astfel că î fial se obţi petru fucţiile proprii ale operatorului Ylm ( θ, ϕ) l + = 4π ( l m ) ( l + m ) /! Plm! imϕ ( cosθ) e ˆ L, expresiile: Evidet că Y lm ( θ, ϕ) sut simulta şi fucţii proprii ale operatorului Lˆ z. valorile proprii ale mometului cietic orbital Λ ˆ L Ylm lm lm, h Rezultă ( θ, ϕ) = Y ( θ, ϕ) = λy ( θ ϕ). (FG.5..) ˆ L se obţi di ecuaţia cu valori proprii. (FG.5..) L = h l( l + ) (FG.5..3) î cocordaţă cu teoria geerală a mometului cietic, cu deosebirea că umărul cuatic orbital l u poate lua valori semiîtregi. FG.5.3. Soluţia ecuaţiei lui Schrödiger petru partea radială a fucţiei de udă Petru rezolvarea ecuaţiei radiale, se cosideră cazul particular al câmpului coulombia al atomului hidrogeoid câd 34

135 Z e U = (FG.5.3.) r urmăridu-se determiarea efectivă a fucţiilor proprii şi a valorilor proprii ale eergiei acestuia, î vederea studiului ulterior al atomului şi moleculei. (Această alegere a poteţialului u afectează eseţial geeralitatea problemei.) Ca urmare, î ecuaţia radială scrisă sub forma: ( l ) d R d R m Z e h l E + R = d d r r r h r m r se poate pue î evideţă poteţialul efectiv: Z e U ' = r h l + m r ( l + ) (FG.5.3.) (FG.5.3.3) reprezetat grafic î figura FG.5.3., r fiid raza primei orbite a lui Bohr. Fig. FG.5.3. Al doilea terme al poteţialului U ' umit poteţialul cetrifugal, devie predomiat petru valori mici ale lui r. Ca urmare a compuerii celor două poteţiale coulombia şi cetrifugal, particula cuatică se află petru valori ale eergiei E < îtr-o groapă de poteţial, astfel că valorile proprii ale eergiei sale cuatificate formează u spectru discret. Spectrul valorilor proprii cotiuu corespuzător valorilor de împrăştiere şi va fi studiat ulterior. E > ale eergiei este caracteristic problemelor Î cele ce urmează se rezolvă ecuaţia radială petru cazul stărilor legate ( E < ). Petru aceasta se itroduce variabila reală m E ρ = r h şi se scrie ecuaţia difereţială asimptotică ( ρ ) corespuzătoare ecuaţiei radiale: (FG.5.3.4) d dρ R as ( ρ) R as ( ρ) = (FG.5.3.5) 4 care admite soluţia particulară: 35

136 36 ρ = e R as. (FG.5.3.6) Dacă se cosideră petru ecuaţia (FG.5.3.) o soluţie geerală de forma: ( ) ρ = f R R as (FG.5.3.7) (ude ( ) ρ f este o fucţie a cărei formă trebuie determiată) şi se calculează derivatele d d d d ρ ρ = ρ e f f R ; 4 d d d d d d ρ + ρ ρ = ρ e f f f R (FG.5.3.8) se obţie ecuaţia difereţială verificată de fucţia ( ) ρ f : ( ) d d d d = ρ + ρ + ρ ρ + ρ f l l E m e Z f f h. (FG.5.3.9) Se caută petru ecuaţia (FG.5.3.9) o soluţie sub forma uei serii de puteri î ρ : ( ) = ρ = ρ ρ k k k i a f (FG.5.3.) şi se itroduce î ecuaţia (FG.5.3.9). Se obţie idetitatea: ( )( ) ( ) [ ] + + ρ + + = ρ k k i k k k i k a E m e Z k i a l l k i k i h. (FG.5.3.) Îtrucât coeficieţii aceloraşi puteri ai lui ρ trebuie să fie egali, petru = k rezultă petru coeficietul lui codiţia: ρ i ( ) ( ) = + + l l i i astfel că l i = sau. ( ) + = l i Petru seria (FG.5.3.) devie ifiită petru ( + = l i ) = ρ, astfel că dacă idetitatea (FG.5.3.) capătă forma: i = l ( )( ) ( ) [ ] + + ρ + + = ρ k k l k k k l k a E m e Z k l a l l k l k l h (FG.5.3.) care coduce la formula de recureţă următoare ître coeficieţii : a k ( ) ( )( ) ( ) k k a l l l k l k E m e Z l k a = + h. (FG.5.3.3)

137 Soluţia (FG.5.3.) rămâe fiită petru poliomială, adică dacă există u umăr îtreg fiid î coseciţă uli). Se obţie codiţia ρ umai dacă fucţia f ( ρ) admite o reprezetare k = r, astfel că a + = r (toţi coeficieţii avâd k > r r Z e + l + h m E = (FG.5.3.4) care pue î evideţă cuatificarea eergiei particulei cuatice, cu ajutorul umărului cuatic r, umit umăr cuatic radial. (Se poate arăta că r determiă umărul de oduri ale părţii radiale a fucţiei de udă petru r fiit.) Petru specificarea valorilor proprii ale eergiei se itroduce de obicei umărul cuatic pricipal defiit pri relaţia = r + l +, =,,3,... (FG.5.3.5) astfel că rezultă petru valorile proprii ale eergiei expresia: E 4 mz e =. (FG.5.3.6) h Di relaţia (FG.5.3.5) se obţie petru r =, l max =, deci umărul cuatic orbital l poate lua valorile: l,,,..., ( ) =. h Dacă se itroduce raza primei orbite a lui Bohr ( r = = 59 pm) se poate scrie: me 4 Z e E = (FG.5.3.7) r are valoarea E = 3, 5 ev. Această valoare coicide cu eergia de ioizare a atomului de hidroge măsurată experimetal. Schematic primele ivele de eergie ale atomului de hidroge sut prezetate î figura FG astfel icat eergia stării fudametale a atomului de hidroge ( =, Z = ) Fig. FG

138 Pri urmare, stările proprii ale atomilor hidrogeoizi vor fi specificate (făcâdu-se abstracţie de spi) de trei umere cuatice, l, m, care corespud celor trei observabile comutative cuatificate ale atomului Lˆ z. Ţiâdu-se seama de relaţiile stabilite ître umerele cuatice şi, adică existeţa a l =,,,...,, rezultă o degeeresceţă de ordiul valori ale lui m petru fiecare ( ) H ˆ ˆ, L şi, l m ( l +) l = l = ( l + ) = (FG.5.3.8) a stărilor proprii î câmp coulombia. Fucţiile de udă radiale şi totale ale atomilor hidrogeoizi Ţiâdu-se seama de expresiile (FG.5.3.) şi (FG.5.3.), fucţiile de udă radiale ale particulei cuatice î câmp coulombia au forma: ρ ( ρ ) = ρ l ρ k Rl e ak. (FG.5.3.9) k Se poate arăta că polioamele asociate, defiite de relaţia a k ρ k k corespud pâă la u factor de ormare polioamelor Laguerre l+ l+ d L m+ l ( ρ) = ( L l+ + l ), (FG.5.3.) dρ ude fucţia L + l d + l ρ + l dρ ρ ρ + l ( ρ) = e e (FG.5.3.) defieşte polioamele Laguerre. Pri urmare se poate scrie ρ ( ρ ) = ρ l l R l Al e L + + l (FG.5.3.) ude petru factorul de ormare A l se obţie cu ajutorul tabelelor de polioame Laguerre expresia: A l 3 m Z e = h ( l )! [ ( + l)!] 3 /. (FG.5.3.3) Petru exemplificare se dau mai jos expresiile aalitice ale celor mai simple fucţii de udă radiale: R Z r 3 / Zr r () r = e 38

139 R R 3 / Z r Z Z r = r r (FG.5.3.4) r () r e r () r e 3 / Z r Z Z r = r etc. 3 r Ţiâdu-se seama de expresia (FG.5.3.) fucţia de udă totală petru particula cuatică î câmp coulombia are forma: ψ lm = N lm ρ l e ρ l + m imϕ L+ l ( ρ) Pl ( cosθ) e (FG.5.3.5) ude ρ este dat de expresia (FG.5.3.4), iar N lm este u factor de ormare. Fucţia de udă (FG.5.3.5) poate fi utilizată petru calculul probabilităţii ca electroul aflat îtr-o stare caracterizată de umerele cuatice, l, m, să fie localizat î elemetul de volum d τ = r d r si θd θd ϕ d P r, θ, ϕ = ψ d τ. (FG.5.3.6) Dacă se itegrează ecuaţia (FG.5.3.5) peste ughiurile θ şi ϕ, se obţie probabilitatea ca electroul să fie localizat î stratul sferic, cupris ître ρ şi ρ + d ρ : ππ m () r r d r N P ( cosθ) si θd θd ϕ d P r lm l (FG.5.3.7) = Rl astfel că desitatea de probabilitate radială are expresia: () r Pr = Nr Rl, (FG.5.3.8) ude N r este o costată de ormare. Ţiâdu-se seama de expresiile primelor fucţii radiale, se pot calcula distribuţiile radiale petru diferite stări. Aceste distribuţii sut reprezetate calitativ î figura FG Fig. FG Se costată că distaţa r petru care probabilitatea este maximă, petru starea fudametală a atomului de hidroge (s) coicide cu prima rază a lui Bohr, r. De asemeea, petru stările p, 3 d, 4 f, p,3 d,4 f, 39

140 etc., maximele desităţilor de probabilitate radială se află la distaţele teoria atomistă cu elemete cuatice a lui Bohr. 4 r,9 r,6r etc., î cocordaţă cu Dacă se itegrează ecuaţia (FG.5.3.7) î raport cu ρ de la la, se obţie probabilitatea de localizare a electroului î ughiul solid d Ω, d P θ, ϕ = Ylm d Ω. (FG.5.3.9) Se costată că lm Y u depide de ughiul ϕ, astfel că desitatea de probabilitate de localizare ughiulară a particulei cuatice este simetrică î raport cu axa z. Diagramele polare corespuzătoare distribuţiei (FG.5.3.7) au fost prezetate grafic calitativ î figura FG.5.3.3, forma lor fiid idepedetă de umărul cuatic. Particularizâd expresia (FG.5.3.5) petru cele mai simple fucţii de udă totale ale atomilor hidrogeoizi rezultă: 3 / ψ =, Z r e π Zr r ψ = Z r 3 / 4 e π Z r r r r, (FG.5.3.3) ψ = Z r 3 / 4 e π Z r r r r cosθ, ψ = Z r 3 / e 8 π Z r r iϕ r e r si θ etc. Atrearea ucleului Dacă se ţie seama că at6t electroul, avâd masa m şi vectorul de poziţie r, cât şi ucleul, avâd masa M şi vectorul de poziţie R se mişcă î jurul cetrului de masă al sistemului, problema mişcării celor două particule aflate î iteracţiue poate fi redusă la problema mişcării î câmp cetral a uei sigure particule, m avâd masa egală cu masa redusă M μ =. m + M Îtr-adevăr, fie r = R r şi mr + MR r c = m + M (FG.5.3.3) vectorul poziţie relativă al celor două particule, respectiv vectorului cetrului de masă al sistemului. Hamiltoiaul sistemului celor două particule 4

141 Hˆ h h = R + U m r c M () r (FG.5.3.3) se scrie î raport cu r şi r c sub forma: Hˆ ' = h h r + U r c μ ( m + M ) () r Separâd variabilele î ecuaţia lui Schrödiger:. (FG ) H ˆ 'ψ = Eψ (FG ) ude se admit dezvoltarile: ψ = ψ r ψ r şi (FG ) c E = E r + E rc se obţi ecuaţiile difereţiale: h ψ = E ψ r ( ) c r c c r m + M r c (FG ) h μ r c ψ r + U () r ψ() r = Erψr. (FG ) Ecuaţia (FG ) descrie mişcarea liberă a uei particule avâd masa pe câd ecuaţia (FG ) descrie mişcarea î câmpul cetral m + M şi eergia cietică E rc, U ( r ) a uei particule de masă μ şi eergie E r. Ca urmare, atrearea ucleului impue corectarea expresiei (FG.5.3.6) a eergiei particulei cuatice, pri îlocuirea lui m şi μ. (Îtrucât M / m 836, μ diferă de m cu aproximativ,7%.) FG.5.4. Orbitali atomici Y lm pot fi obţiute di teoria geerală a mometului cietic direct fără a se rezolva ecuaţia difereţială a fucţiilor sferice. Fucţiile proprii ( θ,ϕ) Astfel, di ecuaţia cu valori proprii a operatorului Lˆ z rezulta că valorile proprii L z au forma L z = mh, urmâd a se determia valorile posibile petru umărul cuatic m. Acestea rezultă di codiţia (???) ca fiid: m =, ±, ±,... adică umere îtregi pozitive, egative sau zero, deci spre deosebire de teoria geerală sut excluse valorile semiîtregi. De asemeea, se admite tot di teoria geerală că valorile proprii ale mometului cietic ˆL sut h l( l + ), ude valorile proprii ale lui l sut limitate de cele ale lui m la l =,,,... (adică, la umere ( ) îtregi). Î cotiuare, trebuie să se găsească fucţiile proprii Y lm θ,ϕ. Se costată că ecuaţiile L ˆ + Yll = şi L ˆ zyll = lyll (FG.5.4.) admit soluţia: ilϕ l Y = N e si θ (FG.5.4.) ll l 4

142 N l fiid o costată care se determiă di codiţia de ormare * llyll Y d Ω =. (FG.5.4.3) Se obţie ( + ) l! Nl =. (FG.5.4.4) l l! 4π Aalog pri aplicarea repetată a operatorului Lˆ fucţiei de stare Y ll rezultă l + Ylm = l l! 4π ( l + m) ( l m) / l m! d! m l m si θ d cosθ l ( si θ) l mϕ e. (FG.5.4.5) De asemeea, dacă se poreşte de la fucţia Yl l, pri aplicarea repetată a operatorului Lˆ +, se obţie Y lm = m ( ) l + ( l + m) l 4π ( l m) l! idetică cu (FG.5.4.8).!! / si m θ d l + m l ( si θ) imϕ d cosθ l + m e (FG.5.4.6) Expresiile (FG.5.4.8) şi (FG.5.4.9) sut, de asemeea, idetice şi cu (FG.5.4.) dacă se ţie seama de defiiţia (FG.5..4) a polioamelor lui Legedre asociate. Dacă se itroduc otaţiile spectroscopice s, p, d, f, g,... petru desemarea armoici sferice corespuzâd valorilor l =,,,... se costată existeţa uei fucţii s, a trei fucţii p, a cici fucţii d etc. m Expresiile fucţiilor proprii Y l se obţi cu ajutorul relaţiei m ( θ, ϕ) = ( ) Y ( θ ϕ Y l, m lm, ). (FG.5.4.7) O problemă importată privid armoicile sferice ( θ,ϕ) sferice, trasformarea r Y lm este studiul parităţii acestora. Î coordoate r corespude schimbării r r, θ π θ, ϕ ϕ + π. (FG.5.4.8) Rezultă lm l ( π θ ϕ + π) = ( ) Y ( θ, ϕ Y ) (FG.5.4.9), lm adică Y lm are paritatea lui l. Petru exemplificare se prezită expresiile primelor armoici sferice, corespuzătoare fucţiilor s, p şi d. Fucţiile s: Y =. / ( 4π) Fucţiile p: 4

143 / / 3 iϕ 3 Y = si θ e ; Y = cosθ ; 8π / 3 iϕ Y, = si θ e. Fucţiile d: 8π 4π (petru m > ) / 5 3 Y = cos θ ; 4π / 5 iϕ Y = si θ cosθ e ; 8π / 5 Y = si θ 8π iϕ e. (FG.5.4.) Î figura FG.5.4. sut reprezetate diagramele polare ale fucţiilor sferice de mai sus, adică mărimea Y lm fucţie de ughiul θ. Fig. FG.5.4. Regulile de selecţie petru umerele cuatice l şi m Îtrucât vectorul de poziţie r itervie î studiul traziţiilor cuatice, u iteres deosebit îl prezită calculul elemetelor matrice Yl m rˆ ' ' Ylm otate prescurtat pri l' m' rˆ lm. Itroducâdu-se mărimea r r ( si θcosϕ, si θsi ϕ, cosθ = u, v, w = ) ( ) (FG.5.4.) se pot calcula elemetele de matrice 43

144 π π ˆ ± ˆ * ± iϕ l ' m' u iv lm = d ϕ Y si θ si θd θ l ' m ' e Ylm (FG.5.4.) şi π π ˆ * ± iϕ l ' m' w lm = d ϕ Y cos θ si θd θ l ' m ' e Ylm (FG.5.4.3) ţiâdu-se seama de relaţiile de recureţă cuoscute ître polioamele lui Legedre. Se costată că sut diferite de zero acele elemete de matrice petru care sut îdepliite codiţiile Δl = l' l = ± (FG.5.4.4) Δm = m' m =, ± (FG.5.4.5) care costituie reguli de selecţie petru umerele cuatice l şi m. O aaliză separată trebuie făcută petru regula de selecţie suplimetară Δl =, care iterzice traziţia l = l' =, ca urmare a simetriei sferice totale a stărilor cu momet cietic ul, evideţiate de ecuaţia rˆ Y Y =. r Noţiuile geerale prezetate î acest paragraf asupra regulilor de selecţie vor fi dezvoltate ulterior la studiul cuatic al atomului şi moleculei. FG.5.5. Proprietăţi magetice ale atomului. Magetoul Procopiu - Bohr Fiid sarcii electrice, î mişcare, electroii suferă î cadrul atomului şi iteracţiuii magetice, astfel că trebuie defiite mărimile magetice care să poată fi utilizate petru descrierea catitativă a acestor iteracţiui. O astfel de mărime o reprezită mometul magetic al acestor sarcii M r qv =. (FG.5.5.) Ţiâd seama de expresia mometului cietic orbital al sistemului atomic corespuzător, pe care-l otăm cu L, L m r v (FG.5.5.) = se poate scrie relaţia M = γ L (FG.5.5.3) ude q γ = (FG.5.5.4) m se umeşte raport mageto-mecaic al sistemului atomic. 44

145 Pri urmare sistemul atomic posedă u momet magetic, paralel cu mometul cietic şi de ses opus ( q = e). Relaţia cuoscută de cuatificare a mometului cietic L = k h (FG.5.5.5) va coduce, cu cosiderarea expresiilor clasice petru mometele magetic şi cietic ale electroului aflat î mişcare pe orbite la relaţia eh μ = k (FG.5.5.6) m ude s-a otat cu μ modulul mometului magetic al atomului. Itroducâd otaţia: eh μ = (FG.5.5.7) m rezultă că mometul magetic al atomului este cuatificat cu umărul cuatic azimutal k, fiid u multiplu îtreg de catităţi μ, care costituie î acest fel momete magetice elemetare, umite magetoi Procopiu-Bohr, după umele descoperitorilor Ştefa Procopiu (9) şi Niels Bohr (93). Valoarea 3 magetoului calculată cu ajutorul expresiei (FG.5.5.7) este μ =,97 J/T. U studiu riguros al cuatificării mometului magetic orbital al atomului va fi posibil î teoria cuatică. Cocluziile pot fi extise petru studiul mometului magetic al atomului situat îtr-u câmp magetic exterior. Ţiâdu-se seama de cuatificarea spaţială a mometului cietic cu ajutorul umărului cuatic magetic m rezultă petru proiecţia mometului magetic μ z după axa z, relaţia de cuatificare; μ z = m μ, (FG.5.5.8) care pue deci î evideţă cuatificarea spaţială a mometului magetic (î câmp magetic, direcţia mometului magetic poate face umai aumite ughiuri cu direcţia câmpului magetic). U alt efect al aplicării câmpului magetic asupra sistemului atomic, îl reprezită după cum se ştie, o mişcare de rotaţie suplimetară a electroilor î atom, î jurul uei axe paralele cu câmpul magetic de iducţie B care trece pri cetrul de greutate al atomului, cu viteza ughiulară Larmor: g ω = B. (FG.5.5.9) m Această mişcare rezultă di teorema lui Larmor coform căreia mişcarea faţă de sistemul de referiţă al lui Larmor (sistemul cetrului de greutate), î prezeţa câmpului magetic, este idetică cu mişcarea existetă î raport cu sistemul de referiţă al laboratorului, î abseţa câmpului magetic. Îtrucât mometul rezultat al forţelor datorită câmpului magetic B are expresia: K = M B (FG.5.5.) di teorema mometului cietic scrisă sub forma: d L = K d t (FG.5.5.) 45

146 rezultă: dm dt = ω M (FG.5.5.) ude ω = γ B, (FG.5.5.3) adică o mişcare de precesie a vectorului M, î jurul lui B (Fig. FG.5.5.) (Precesia Larmor va fi utilizată petru explicarea efectului Zeema). Fig. FG.5.5. FG.5.6. Defiirea cuatica a mometului magetic masă Î paragrafele aterioare s-a defiit desitatea fluxului de probabilitate petru o particulă cuatică de, caracterizată de fucţia de udă ψ r,t pri expresia: m ( ) S ih m * * ( r, t) = [ ψ ψ ψ ψ]. (FG.5.6.) Dacă particula cuatică este îcărcată cu sarcia e (electro) mişcarea sa orbitală este echivaletă cu u curet de desitate J = e S i eh * * = [ ψ ψ ψ ψ]. (FG.5.6.) m Pe de altă parte, di electrodiamică rezultă că acestui curet îi corespude u momet magetic avâd expresia: ( r J ) τ M = d. (FG.5.6.3) V Di ecuaţiile (FG.5.6.) şi (FG.5.6.3) se obţie: M * e e [ L ˆ L ˆ * * ψ ψ ψ ψ ] d τ = ψ L ˆ ψ dv = L ˆ e = (FG.5.6.4) m m m 4 operatorul momet cietic orbital Lˆ fiid hermitic. 46