ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr."

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

2 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης, Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος, lafkasd Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου Τεύχος 1ο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

3 ΘΕΜΑ 3693 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 9 ), και η διχοτόμος του B. Από το φέρνουμε την κάθετη στην και ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της. Να αποδείξετε ότι: (α) Το τρίγωνο E είναι ισοσκελές. (β) Τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα. (γ) Η ευθεία B είναι μεσοκάθετη των τμημάτων AE και Z. (δ) Το τετράπλευρο AE Z είναι ισοσκελές τραπέζιο. (α) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB και EB έχουν την υποτείνουσα B κοινή και AB EB. Άρα είναι ίσα και άρα θα έχουν και BA BE, δηλαδή το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές. (β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και BEZ έχουν: BA BE (όπως είδαμε στο (α) ερώτημα) και την γωνία ABE κοινή. Άρα είναι ίσα. (γ) Αφού το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές και η B είναι διχοτόμος της γωνίας B, άρα η B είναι μεσοκάθετος του AE, διότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και διάμεσος και ύψος. Επίσης αφού και τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα έχουμε ότι BBZ και άρα και το τρίγωνο BZ είναι ισοσκελές Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

4 με κορυφή το B. Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή B θα είναι η μεσοκάθετος του Z. (δ) Οι ευθείες AE, Z είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία B. Kαι εφόσον οι ευθείες E, ZAτέμνονται (στο ) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο AE Z είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι: BBZ και BE BA. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : E AZ, οπότε το πιο πάνω τραπέζιο είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ 3694 Δίνεται τρίγωνο ( B) και η διχοτόμος. Φέρουμε από το B κάθετη στην που τέμνει την στο E και την πλευρά Aστο H. Αν M είναι το μέσο της πλευράς Bνα αποδείξετε ότι: α)το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) β) EM // H. (Μονάδες 8) γ). (Μονάδες 8) α) Στο τρίγωνο αυτό η AE είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ABHη AE είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του BH. Έτσι, από το τρίγωνο BH προκύπτει ότι EM // H. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

5 γ) Είναι, διότι AH AB, αφού το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα. ΘΕΜΑ 3696 Δίνεται οξεία γωνία xoy ˆ και δύο ομόκεντροι κύκλοι ( O, 1) και ( O, ) με 1, που τέμνουν την x στα σημεία K, A και την y στα,b αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) A BK. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο APB είναι ισοσκελές, όπου P το σημείο τομής των Aκαι BK. (Μονάδες 8) γ) Η O διχοτομεί την γωνία ˆ xoy. (Μονάδες 9) α) Συγκρίνω τα τρίγωνα O K B και OA. Έχουν: (Π-Γ-Π). Άρα, A BK και 1 (1). β) Συγκρίνω τα τρίγωνα KAP και PB. Έχουν: AK B 1 1 KAP PB (Γ-Π-Γ). K11(*) OK O 1 OB OA OKB OA Oˆ Oˆ (*) ισχύει λόγω (1), P 1 P (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου 18 o. Άρα PA PB (), δηλ. PAB ισοσκελές. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

6 γ) Συγκρίνω τα τρίγωνα OAP και OBP. Έχουν: (Π-Π-Π). Άρα, 1 δηλ. ΟΡ διχοτόμος xoy ˆ. OB OA PA PB() OAP OBP OP ΘΕΜΑ 378 Δίνεται τραπέζιο ( // ) με τη γωνία ίση με 3 ο και έστω τα, μέσα των διαγωνίων του. Οι μη παράλληλες πλευρές του και προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδες 1) β) (Μονάδες 1) γ) Σε ποια περίπτωση το είναι παραλληλόγραμμο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 5) Επειδή AB/ / θα είναι ˆ 3. 1 Ας πούμε AB a, b,k x,a y AE u. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB επειδή η κάθετη πλευρά AE βρίσκεται απέναντι των 3 θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή AB AE ή a u (1). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

7 β) Με όμοιο τρόπο από το ορθογώνιο τρίγωνο E προκύπτει : AE ή b ( y u) (). Από τις (1) και () έχουμε : AB ba ( y u) u y (3). Όμως για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγώνιων τραπεζίου ξέρουμε ότι είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την (θετική) ημιδιαφορά τους. Δηλαδή και λόγω της (3), ba y K x y A. γ) Το AB K είναι παραλληλόγραμμο όταν εναλλακτικά : a y δηλαδή όταν. Έστω τώρα ότι το AB K είναι παραλληλόγραμμο. Τότε AB / / K και άρα a x a y ( λόγω του β ερωτήματος). Μα τότε το τρίγωνο AB θα είναι ισοσκελές με κορυφή το A και άρα 4. Όμως 3 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB που τέμνονται από την B. Έτσι και λόγω μεταβατικότητας 3 4. Δηλαδή η Bδιχοτόμος της γωνίας των 6 του ορθογωνίου τριγώνου E. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

8 Κάποιες παρατηρήσεις που προφανώς δεν υποχρεούται ο μαθητής να τις γράψει.η όλη κατασκευή του σχήματος ακολουθεί την παρακάτω πορεία. Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα γράφουμε ημικύκλιο. Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει το ημικύκλιο στο E. Από τυχαίο σημείο B του E φέρνουμε παράλληλη στην και τέμνει την E στο A. Στην περίπτωση που το AB K είναι παραλληλόγραμμο το σημείο B επιλέγεται ως τομή της E με τη μεσοκάθετο του B. ΘΕΜΑ 379 Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB/ /CD και o C 3. Αν KLτα, μέσα των διαγωνίων BD, AC αντίστοιχα και αν οι πλευρές DA, CB προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο E να αποδειχθεί ότι: i). ii) L AD. iii) Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο ABKL είναι παραλληλόγραμμο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. i) DCB ABE 3 ως εντός εναλλάξ. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE η πλευρά AE βρίσκεται απέναντι από γωνία 3 κι έτσι είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας που είναι η AB. AB Τελικά AE AB AE. ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο CDE η πλευρά DE βρίσκεται απέναντι από γωνία CD 3 άρα DE. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

9 Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή ) CD AB CD AB KL i DE AE AD όπως θέλαμε. iii) Η KL γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην AB θα πρέπει όμως να είναι και ίση με αυτήν δηλαδή ii) KL AB AD AB. Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν AD AB. ΘΕΜΑ 376 Δίδεται τετράγωνο. Έστω E το συμμετρικό του Bως προς το και Z είναι το μέσο της A. Να αποδείξετε ότι : α) AB H. (Μονάδες 8) β) τα τρίγωνα AH και Zείναι ίσα. (Μονάδες 9) γ) Η Z είναι κάθετη στην AE. (Μονάδες 8) α) Οι ευθείες H και ABείναι παράλληλες ως κάθετες στην ευθεία Aκαι αφού στο τρίγωνο EBAτο σημείο είναι μέσο της πλευράς EB κι αυτό λόγω συμμετρίας των B,E ως προς το, θα είναι και το H μέσο της πλευράς EA. AB Άμεση συνέπεια H / / (1). A AB β) Επειδή και Z λόγω της (1) θα είναι : H Z (). Τα ορθογώνια τρίγωνα AHκαι Z έχουν : A ως πλευρές του τετραγώνου Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

10 και λόγω της () H Z. Δηλαδή τις κάθετες πλευρές τους ίσες άρα θα είναι ίσα. γ) Επειδή τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα AH Z είναι ίσα θα έχουν και όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ένα προς ένα ίσα και άρα ˆ ˆ (3). Όμως στο ορθογώνιο τρίγωνο AH οι οξείες του γωνίες έχουν άθροισμα 9, δηλαδή ˆ ˆ 9, οπότε λόγω της (3) έχουμε : ˆ ˆ 9 (4). Αν τώρα πούμε T το σημείο τομής της Z με την AE στο τρίγωνο THτο άθροισμα δύο γωνιών του είναι λόγω της (4) 9 και άρα η γωνία του HT 9 και έτσι Z AE. ΘΕΜΑ 3817 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο A και στο εξωτερικό του σχηματίζονται τα τετράγωνα AB E και AZH. Να αποδείξετε ότι: α) EAH AB AB. β) EBH. γ) Η E είναι κάθετη στην BH. α) Έχουμε: EAH 36 o (9 o 9 o Aˆ) 18 o Aˆ B ˆ ˆ β) Τα τρίγωνα EA και HAB έχουν: AB AE, ως πλευρές τετραγώνου AH A, επίσης ως πλευρές τετραγώνου EA HAB 9 o A ˆ Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα θα έχουν και EBH γ) Από το ορθογώνιο τρίγωνο AEK έχουμε : AEK EKA 9 o, (1) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

11 Όμως AEK ABH, (λόγω της ισότητας των τριγώνων του (β) ερωτήματος) και EKA BK, (ως κατακορυφήν). Άρα η σχέση (1) γράφεται: ABH BK 9 o και άρα η E είναι κάθετη στην BH. ΘΕΜΑ 38 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Aμε την γωνία A ορθή και τυχαίο σημείοτης πλευράς AB. Έστω,, τα μέσα των, B, B αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο AKMN είναι ισοσκελές τραπέζιο. γ) Η διάμεσος του τραπεζίου AKMN είναι ίση με AB. α) Στο τρίγωνο B η ενώνει τα μέσα των πλευρών και B. Άρα KM //B. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

12 Επίσης στο ίδιο τρίγωνο, η MN ενώνει τα μέσα των πλευρών B και B και άρα MN //. Συνεπώς το τετράπλευρο KMN είναι παραλληλόγραμμο διότι έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. β) Δείξαμε από το (α) ερώτημα, ότι KM // AN. Για να δείξουμε ότι το τετράπλευρο KMNA είναι τραπέζιο, αρκεί να δείξουμε ότι οι πλευρές AK και MN δεν είναι παράλληλες. Πράγματι αν ήταν AK // MN, τότε από το σημείο K θα είχαμε δύο παράλληλες προς την MN, μία την KA και την άλλη την K (λόγω του παραλληλογράμμου ). Τούτο όμως αντίκειται στο Ευκλείδειο αίτημα. Δείξαμε λοιπόν ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Επίσης έχουμε: MN K (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) και,(διότι η είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα του ορθ. τριγώνου ). Άρα. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι ισοσκελές. AK MN και άρα το τραπέζιο είναι γ) Για την διάμεσο του πιο πάνω τραπεζίου έχουμε: B KM AN AN NB AN AB EZ. ΘΕΜΑ 38 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB με τη γωνία του B να είναι ίση με 7 και το ύψος του A. Έστω Z σημείο της B ώστε BE EZ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AZ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου AZ. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

13 γ) Αν M το μέσο του B να αποδείξετε ότι A EM. (Μονάδες 8) α) Η A είναι μεσοκάθετος του, άρα το τρίγωνο ABZ είναι ισοσκελές AB AZ ). Αλλά AB, από το παραλληλόγραμμο. Οπότε έχουμε AZ, Z A, ενώ οι AZ, δεν είναι παράλληλες, αφού AB. Άρα το AZ είναι ισοσκελές τραπέζιο. β) Είναι B AZB 7 AZ 11. Εξάλλου από το παραλληλόγραμμο AB είναι B ˆ 7. Επομένως οι γωνίες του ισοσκελούς τραπεζίου είναι: ˆ ZA 7, ˆ AZ Z 11. γ) Το M είναι και μέσο της A, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Άρα η είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου AE, A οπότε: EM. ΘΕΜΑ 384 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με A ˆ 9 o και ˆ 3 o. Φέρνουμε το ύψος του A και την διάμεσό του AM. Από το φέρνουμε κάθετη στην ευθεία AM, η οποία την τέμνει στο E. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο AMBείναι ισόπλευρο. β) ME M B. 4 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

14 γ) Το AE είναι ισοσκελές τραπέζιο. α) Αφού ˆ 3 o B, άρα AB BM. Επίσης αφού η AM είναι διάμεσος προς B την υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο AB, έπεται ότι AM BM. Άρα AB AM BM και άρα το τρίγωνο AMB είναι ισόπλευρο. β) Τα ορθογώνια τρίγωνα AM και ME έχουν: AM M (διότι AM B ) και AM ME, ως κατακορυφήν). Άρα τα εν λόγω τρίγωνα είναι ίσα και άρα θα έχουν και ME M. Όμως αφού το τρίγωνο ABM είναι ισόπλευρο, το ύψος του B MB A θα είναι και διάμεσος. Άρα B M. 4 γ) Αφού ˆ 3 o o AM 3, (εφόσον το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές). Άρα o o MA 1 EM 1, (ως κατακορυφήν). Όμως ME M (από την ισότητα των πιο πάνω τριγώνων). Άρα ME ME 3 o. Αφού λοιπόν AE EA ( 3 o ), θα είναι E// A. Θα δείξουμε τώρα ότι οι ευθείες E και A δεν είναι παράλληλες. Έχουμε: AM 3 o, (διότι αφού η A είναι ύψος στο ισόπλευρο τρίγωνο AMB, θα είναι και διχοτόμος.) Επίσης EM 3 o (αφού EM MA λόγω της ισότητας των τριγώνων EM και AM.Έχουμε λοιπόν: EA A EM MAAM MA o o o o o o. Άρα οι ευθείες E και A δεν είναι παράλληλες και άρα το AE είναι τραπέζιο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

15 Επίσης από την ισότητα των τριγώνων EM και το τραπέζιο AE είναι ισοσκελές. MA έπεται ότι EA. Άρα Στο (γ) ερώτημα, μπορούμε και αλλιώς να δείξουμε ότι οι ευθείες και δεν είναι παράλληλες, ως εξής: Αν ήταν // τότε οι γωνίες και ΕΑΔ θα ήταν ίσες, δηλαδή 9 3, που είναι άτοπο. ΘΕΜΑ 385 Δίνεται τρίγωνο AB με AB A. Φέρουμε τη διχοτόμο του AK και σε τυχαίο σημείο της E φέρουμε ευθεία κάθετη στη διχοτόμο AK, η οποία τέμνει τις AB και Aστα σημεία Z και αντίστοιχα και την προέκταση της B στο σημείο H. Να αποδείξετε ότι: α) A Z 9. β) ZK K. γ) Bˆ ZH. α) Η Z είναι εξωτερική του τριγώνου AE, έτσι είναι: A Z 9 AE Z 9. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

16 β) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές αφού η AE είναι διχοτόμος και ύψος, έτσι. AZ A 1 Τα τρίγωνα AZK και AK είναι είσαι αφού έχουν: AZ A κοινή πλευρά και A ZAE AE, άρα και ZK K. από την 1, AK γ) Από το τρίγωνο ΓH είναι: ZH 18 Z ˆ A ˆ ZH 18 9 ˆ 18 B ZH 9 ˆ Bˆ ZH. ΘΕΜΑ 393 Δίνεται τετράπλευρο AB με AB A και B. Αν E είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων των Bκαι και Z είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων των A και B να αποδείξετε ότι: α) Η A είναι διχοτόμος της γωνίας B. (Μονάδες 7 ) β) ZE. (Μονάδες 9) γ) EZ B. (Μονάδες 9) α) Τα τρίγωνα AB, A είναι ίσα επειδή έχουν την A κοινή και AB A, B από την υπόθεση (Π-Π-Π). Οπότε θα είναι, δηλαδή η A είναι διχοτόμος της γωνίας B. β) A1 A ˆ (ως κατακορυφήν). B (ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών, οποίες είναι ίσες από την ισότητα των τριγώνων, ). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

17 Άρα τα τρίγωνα Οπότε ABZ, AE είναι ίσα (Γ-Π-Γ). BZ E και κατά συνέπεια, ZE. γ) Στα ισοσκελή τρίγωνα B, ZE η διχοτόμος της γωνίας ˆ θα είναι μεσοκάθετη στις βάσεις. Άρα B ZE, ως κάθετες στην ίδια ευθεία. ΘΕΜΑ 394 α) Σε ορθογώνιο AB θεωρούμε K,,M, N τα μέσα των πλευρών του AB,B,, A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο K MN είναι ρόμβος. β) Σε ένα τετράπλευρο AB τα μέσα K,,M,N των πλευρών του AB,B,, A αντίστοιχα είναι κορυφές ρόμβου. Το τετράπλευρο AB, πρέπει να είναι απαραίτητα ορθογώνιο; Να τεκμηριώσετε τη θετική ή αρνητική σας απάντηση. α) Το K MN είναι παραλληλόγραμμο αφού ενώνει τα μέσα των πλευρών του ορθογωνίου AB (από εφαρμογή 1 σελ. 16). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

18 B A Είναι KN και K αφού τα τμήματα KN,K ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των τριγώνων AB και AB αντίστοιχα. Όμως B A ως διαγώνιοι ορθογωνίου, έτσι και KN K. Άρα το K MN είναι ρόμβος αφού είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. β) Αν το K MN είναι ρόμβος τότε το τετράπλευρο AB δεν είναι απαραίτητα ορθογώνιο αφού αρκεί οι διαγώνιοι του να είναι ίσοι ώστε να συμβαίνουν όλα τα παραπάνω. ΘΕΜΑ 396 Εκτός τριγώνου AB κατασκευάζουμε τετράγωνα ABE,A ZH. Αν Mτο μέσο του B και σημείο στην προέκταση της AM τέτοιο, ώστε AM M, να αποδείξετε ότι: α) AE. (Μονάδες 1) β) ι γωνίες A,EAH είναι ίσες. (Μονάδες 1) γ) Η προέκταση της MA (προς το A) τέμνει κάθετα την EH. (Μονάδες 5) α) Το AB είναι παραλληλόγραμμο, διότι οι διαγώνιες A,B διχοτομούνται. Επομένως AB AE. β) Οι γωνίες A,EAH είναι ίσες, διότι είναι παραπληρωματικές της γωνίας BA. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

19 γ) Τα τρίγωνα A,AEH είναι ίσα, διότι A AH, AE,A EAH. Επομένως : PAE PEA PAEA PAEBA 9, διότι EAB 9. ΘΕΜΑ 398 Δυο ίσοι κύκλοι O, και K, εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο E. Αν OA και OB είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο O στον κύκλο K, να αποδείξετε ότι: α) AE BE. β) AOK 3. γ) Το τετράπλευρο AKBE είναι ρόμβος. α) Τα τρίγωνα AOK και BOK είναι ίσα αφού έχουν: OK κοινή πλευρά, KA KB και OA OB ως εφαπτόμενα τμήματα. Έτσι AOK BOK 1 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

20 Τα τρίγωνα AOE και BOE είναι ίσα αφού έχουν: OE κοινή πλευρά, AOK BOK από 1 και OA OB ως εφαπτόμενα τμήματα. Άρα και AE BE. β) Είναι KA OA (ακτίνα στο σημείο επαφής), AK και OK. Άρα AOK 3 διότι στο ορθ. τρίγωνο AOK η μία κάθετη πλευρά AK είναι το μισό της υποτείνουσας OK. OK γ) Είναι AE AE αφού η AE είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθ. τριγώνου AOK. Ομοίως είναι και BE AE. Άρα AE BE BK KA δηλαδή το τετράπλευρο AKBE είναι ρόμβος αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες. ΘΕΜΑ 3911 α) Σε ισοσκελές τραπέζιο AB θεωρούμε K,,M, N τα μέσα των πλευρών του AB,B,, A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο K MN είναι ρόμβος. β) Σε ένα τετράπλευρο AB τα μέσα K,,M, N των πλευρών του AB,B,, A αντίστοιχα είναι κορυφές ρόμβου. Για να σχηματίζεται ρόμβος το AB, πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να τεκμηριώσετε τη θετική ή αρνητική σας απάντηση. Η άσκηση είναι παρόμοια με την 394. Τα πρώτα ερωτήματα στηρίζονται στο γεγονός ότι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες, όπως και οι διαγώνιοι του ισοσκελούς τραπεζίου. Στο β) ερώτημα, ακριβώς ίδια αντιμετώπιση όπως και στο 394. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

21 ΘΕΜΑ 3915 α) Σε ρόμβο AB θεωρούμε K,, M, N τα μέσα των πλευρών του AB, B,, A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο KMN είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου. α) Η KN ενώνει τα μέσα των πλευρών AB και A του τριγώνου KN // B. Ομοίως έχουμε ότι: M // B. Άρα συμπεραίνουμε ότι KN //M και άρα το τετράπλευρο KMN είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης αφού είναι KN // B και K// A, (διότι η K ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο AB ), και αφού AOB 9 o (διότι οι διαγώνιοι ρόμβου τέμνονται καθέτως), τότε θα είναι και NK 9 o, εφόσον οι γωνίες AOB και NK έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία. Δείξαμε λοιπόν ότι το παραλληλόγραμμο KMN έχει μία γωνία ορθή, άρα είναι ορθογώνιο. β) Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα AK και BKN, τα οποία έχουν: AK KB (διότι το K είναι μέσον του AB ) και ABN (ως μισά των ίσων τμημάτων A και B ). Άρα τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα και άρα θα έχουν και KKN. Όμως AB. Άρα Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

22 επί πλέον το τετράπλευρο KNM είναι παραλληλόγραμμο (διότι: K // B, (αφού ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου AB ) και MN // B, (αφού ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου B ). Δηλαδή είναι K// MN. Έτσι, αφού το παραλληλόγραμμο KMN έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες, άρα θα είναι ρόμβος. ΘΕΜΑ 3919 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με AB Aκαι A,BE τα ύψη του. Να αποδείξετε ότι: α) B E. β) A BE. γ) Το τετράπλευρο AE B είναι εγγράψιμο. δ) ABE A E. α) Το ύψος A που αντιστοιχεί στη βάση B του ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του B. Στο ορθ. τρίγωνο BE το E είναι διάμεσος στην υποτείνουσα B, έτσι B E B E. β) Το τετράπλευρο AE B είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά του AB φαίνεται από τις απέναντι κορυφές,e υπό ορθή γωνία. Άρα A BE BA BE. (Σημείωση: Μάλλον κάτι άλλο είχε στο μυαλό Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

23 του ο θεματοδότης) γ) Το τετράπλευρο AE B είναι εγγράψιμο από το (β) ερώτημα. δ) Είναι ABE A E αφού το τετράπλευρο AE B είναι εγγράψιμο. Νομίζω ότι στο β ερώτημα μπορούμε να πούμε ότι οι γωνίες EBˆ AE ˆ ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές και επειδή B θα ισχύει για τις γωνίες ˆ BEˆ EBˆ άρα ˆ ˆ A BE AE. ΘΕΜΑ 396 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με AB A, τυχαίο σημείο M της βάσης του B και το ύψος του BH. Από το M φέρουμε κάθετες M,ME και M στις AB,A και BH αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο MEH είναι ορθογώνιο. β) B MΔ. γ) Το άθροισμα M ME BH. α) Είναι ˆ H E 9, δηλαδή το τετράπλευρο MEH είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες. β) Είναι M / / H ως κάθετες στη BH, έτσι MB ˆ ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Τα ορθ. τρίγωνα BM και B M είναι ίσα αφού MB B ˆ έχουν BM κοινή πλευρά και B M 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

24 γ) Είναι ME H από το ορθογώνιο MEH. 1, M ME BH M ME BH. ΘΕΜΑ 393 Δίνεται τρίγωνο AB με AB και,, τα μέσα των πλευρών του B, A, AB αντίστοιχα. Αν η διχοτόμος της γωνίας B τέμνει την στο σημείο και την προέκταση της στο σημείο, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο Bείναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7) β) Τα τρίγωνα B και είναι ισοσκελή. (Μονάδες 1) γ) B (Μονάδες 8) α) Επειδή στο τρίγωνο AB είναι Z μέσο της πλευράς AB και E μέσο της B πλευράς A είναι ZE // B και ZE B αφού μέσο της πλευράς B. Επομένως η πλευρά είναι παράλληλη και ίση με την πλευρά B που σημαίνει ότι το τετράπλευρο ZEBείναι παραλληλόγραμμο. Επομένως ZE B (1) β) Αφού είναι ZM // B τότε είναι Bˆ ˆ 1 M1ως εντός εναλλάξ, και επειδή Bˆ ˆ 1 B αφού διχοτόμος θα είναι και Bˆ ˆ M 1 που σημαίνει ότι το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. Άρα και BZ ZM (). Ομοίως είναι Bˆ N ˆ ως εντός εναλλάξ διότι AB // N αφού το ZEB είναι παραλληλόγραμμο και επειδή Bˆ ˆ 1 B και Mˆ ˆ 1 M ως κατακορυφήν θα είναι και Mˆ N. ˆ Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Επομένως και ME EM (3). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

25 γ) Με τη βοήθεια των ισοτήτων (),(3),(1) έχουμε BZ NE ZM ME ZE B. ΘΕΜΑ 3938 Δίνεται τρίγωνο AB, διάμεσος του και το μέσο του. Αν η προέκταση της τέμνει την στο σημείο, και είναι το μέσο του, να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο είναι μέσο του. (Μονάδες 9) β) = +. (Μονάδες 9) γ) 3. (Μονάδες 7) α) Στο τρίγωνο NBείναι M μέσο της πλευράς B και μέσο της. Τότε είναι M// BN και M BN (1). Επομένως και KN // M. Αντιστρόφως στο τρίγωνο AM αφού είναι K μέσο της και KN // M τότε το N είναι μέσο της πλευράς A και επομένως θα είναι M και KN M KN (). β) Η γωνία KMB ˆ και η KM ˆ είναι παραπληρωματικές. Επομένως είναι ˆ KM 18 KM ˆ(3). Επίσης είναι AKN ˆ BKM ˆ (4) ως κατακορυφήν. Επομένως στο τρίγωνο έχουμε ότι (4) KBM ˆ BKM ˆ KMB ˆ 18 KBM ˆ AKN ˆ 18 KMB ˆ (5) Από τις σχέσεις (3) και (5) προκύπτει το ζητούμενο KMˆ KBM ˆ AKN ˆ Αλλοιώς Η γωνία KMˆ είναι εξωτερική στο τρίγωνο και άρα έχουμε ότι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

26 γ) Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε ότι BN KN BN KN BK KN KN BK KN. ΘΕΜΑ 3945 Δίνεται τρίγωνο AB με B A. Έστω AM διάμεσος του AB και K, τα μέσα των M και AB αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) MA AM β) M MK γ) Η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AK α) Είναι B M αφού το M είναι μέσο της B και B A από υπόθεση. Έτσι M A. Δηλαδή το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές οπότε MA AM. M B A B β) Είναι MK MK και M M αφού το τμήμα M 4 4 A ενώνει τα μέσα των πλευρών AB,B του τριγώνου AB και ισχύει //. Έτσι M MK. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

27 γ) Τα τρίγωνα A Mκαι AMK είναι ίσα αφού έχουν: AM κοινή πλευρά, MMK από (β) ερώτημα και MA AMK αφού MA MA ως εντός εναλλάξ των M/ /A που τέμνονται από την AM και MA AM από (α) ερώτημα. Άρα AM MAK δηλαδή η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AK. Μια εναλλακτική πρόταση για το τρίτο ερώτημα A Αφού από το β) ερώτημα έχουμε M/ / θα είναι ˆ ˆ, ως εντός εναλλάξ των ευθειών M,A τεμνομένων υπό της AM. Όμως από το α) ερώτημα : ˆ ˆ και συνεπώς ˆ ˆ. ΘΕΜΑ 3948 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

28 Δίνεται τετράπλευρο AB με AB και M,N,K τα μέσα των A,B,B αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των AB και τέμνουν την προέκταση της MN στα σημεία E και Z αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: α). β) MEA MZ. AB α) Είναι MK / / 1 και KN/ / γιατί τα τμήματα MK,KN ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των τριγώνων AB και B αντίστοιχα. Όμως είναι AB από την υπόθεση, έτσι από 1, MK KN β) Αφού MK KN Είναι το τρίγωνο MKN είναι ισοσκελές, οπότε KMN KNM 3 MEA KMN 4 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων MK,AB που τέμνονται από την ΜE. MZ KNM 5 ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων KN,A που τέμνονται από την MZ. Από τις 4, 5λόγω της 3 συμπεραίνουμε ότι MEA MZ. ΘΕΜΑ 3954 Δίνεται παραλληλόγραμμο και στην προέκταση της θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ενώ στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε. α) Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

29 i.. ii. τα σημεία,, είναι συνευθειακά. β) Ένας μαθητής για να αποδείξει ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά ανέπτυξε τον παρακάτω συλλογισμό. «Έχουμε: (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων και που τέμνονται από τη και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την ). Όμως 18 (ως άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα: 18. Οπότε τα σημεία,, είναι συνευθειακά.» Όμως ο καθηγητής υπέδειξε ένα λάθος στο συλλογισμό αυτό. Να βρείτε το λάθος στο συγκεκριμένο συλλογισμό. α) i) Είναι ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών, αντίστοιχα του παραλληλογράμμου. Άρα τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουν τις γωνίες των κορυφών τους ίσες, οπότε θα είναι και οι γωνίες των βάσεων ίσες, δηλαδή. ii. 1 ως εντός και εναλλάξ. 1, i 18 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

30 Άρα τα σημεία,, είναι συνευθειακά β) Το λάθος του μαθητή είναι στο κομμάτι: «Έχουμε: (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων και που τέμνονται από τη )» Θεώρησε την ευθεία, πράγμα το οποίο ζητείται να αποδειχθεί. ΘΕΜΑ 3961 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με γωνία A ορθή. Φέρνουμε τη διάμεσο A και σε τυχαίο σημείο Kτην κάθετη στην A η οποία τέμνει τις AB και A στα σημεία και E αντίστοιχα. Αν H είναι το μέσο του E να αποδείξετε ότι: α) B BAM. (Μονάδες 8) β) Aˆ H AH. (Μονάδες 9) γ) Η ευθεία A τέμνει κάθετα τη B. (Μονάδες 8) α) Επειδή η A είναι η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου AB, θα είναι AM MB και κατά συνέπεια B BAM. β) Ομοίως η A είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου AE, οπότε AH H Aˆ H AH. γ) Έστω ότι η A τέμνει τη B στο Z. Είναι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

31 ( ) AM BMAB AM MAB MAB (1) (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο A ). KHZ HA 18 Aˆ 18 KHZ H AH ˆ () (από το ισοσκελές τρίγωνο HA. Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο AK έχουμε: (1),() ˆ ˆ 18 KHZ AM AH AK 9 KA 9 MAB 9 Άρα: KHZ AM, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο(μία γωνία του είναι ίση με την απέναντι εξωτερική. Επειδή όμως K 9, θα είναι και AZ B. ΘΕΜΑ 3966 Δίνονται ορθογώνια τρίγωνα AB και Bμε A 9, ˆ 9 και M, N τα μέσα των B και A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) AM M. (Μονάδες 1) β) Η MN είναι κάθετη στην A. (Μονάδες 1) γ) B A (Μονάδες 5) α) Το τετράπλευρο AB είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού η πλευρά B φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες. Επίσης, επειδή A 9, το κέντρο του κύκλου είναι το μέσον M της B. Κατά συνέπεια AM Mως ακτίνες του κύκλου. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 31

32 β) Εφόσον το N είναι πλέον μέσο χορδής, το MN είναι απόστημα και επομένως είναι κάθετο στην A. γ) B A διότι είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο ίδιο τόξο. ΘΕΜΑ 437 Θεωρούμε κύκλο κέντρου O, με διάμετρο B. Από σημείο A του κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη ( ) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AB. Από τα σημεία B, φέρουμε τα τμήματα B, E κάθετα στην ευθεία (). α) Να αποδείξετε ότι BΑκαι A είναι διχοτόμοι των γωνιών αντίστοιχα. (Μονάδες 8) B και E B β) Αν AE είναι ύψος του τριγώνου AB, να αποδείξετε ότι A AE AZ. (Μονάδες 8) γ) Να αποδείξετε ότι BE B. (Μονάδες 9) α) Είναι B A ως γωνία χορδής εφαπτομένης και : 1 B 9 A1 9 (18 BA A ) A A, Επομένως B1 B,οπότε η BA είναι διχοτόμος. Ομοίως για την A. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

33 β) Το τετράπλευρο B E είναι τραπέζιο αφού B/ / E ως κάθετες στην ίδια ευθεία. Ακόμα OA E,οπότε OA/ / B/ / E κι αφού το O είναι μέσον της B, η OA είναι διάμεσος του τραπεζίου. Επομένως A AE Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων BA,BAZ, έχουμε A AZ και τελικά A AZ=AE. γ) Η AOείναι η διάμεσος του τραπεζίου και ισχύει : B E AO O OB O B. ΘΕΜΑ 4555 Δίνεται τρίγωνο ABC και από το μέσο της M της BC φέρνουμε τμήματα MD ίσο και παράλληλο με το BA και ME ίσο και παράλληλο με το CA (τα DE, βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της BC με το A). Να αποδειχθεί ότι: i) Τα σημεία D, E, A είναι συνευθειακά. ii) Η περίμετρος του τριγώνου MDE ισούται με την περίμετρο του τριγώνου ABC. Στο τρίτο ερώτημα λείπουν πολλά δεδομένα. Θα προσπαθήσω να βγάλω άκρη αλλά δείτε το κι εσείς. Στην εκφώνηση του γ) ερωτήματος λείπουν: 1) Στην 4 σειρά πριν από την παρένθεση, η σχέση: BA AZ (εντός εναλλάξ...) ) Στην 6 σειρά πρέπει να γραφεί: Όμως, Aˆ Z AZAZ 18 (άθροισμα γωνιών...) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 33

34 i) Το τετράπλευρο ABMD είναι παραλληλόγραμμο αφού AB MD επομένως AD BM AD BC. Ομοίως το τετράπλευρο ACME είναι παραλληλόγραμμο κι έτσι AE CM AE BC. Άρα από το σημείο A άγονται δύο ημιευθείες παράλληλες στην BC κι έτσι οι ημιευθείες ανήκουν στην ίδια ευθεία όπως και τα σημεία D, E, A. ii) Από υπόθεση AC ME, AB MD.Ακόμη DE AE AD BM CM BC λόγω των παραλληλογράμμων ABMD, ACME. Έτσι τα τρίγωνα ABC, MDE είναι ίσα άρα έχουν και ίσες περιμέτρους. ΘΕΜΑ 456 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με τη γωνία A ορθή και M τυχαίο σημείο της πλευράς B. Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών BMA και AM οι οποίες τέμνουν τις AB και A στα σημείακαι Eαντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι, η γωνία ME είναι ορθή. β) Αν K το μέσο του E, να αποδείξετε ότι MK KA. α) 'Έστω BM MA και AME EM Τότε 18 9 άρα ME 9 o. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 34

35 β) Το MK είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ME που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα MK E. Όμοια το AK είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου AE που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα MK AK. ΘΕΜΑ 4565 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Από το φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην. Αν, είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α). β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας. AK E. Οπότε AB με τη γωνία ορθή και η διάμεσός του. γ). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 35

36 α) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου. Έτσι το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή. β) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AB. Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο το είναι ύψος στη βάση του άρα είναι και διχοτόμος της γωνίας. γ) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.. ΘΕΜΑ 4567 Δίνεται τετράγωνο AB και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο MB. Αν η προέκταση της AM τέμνει τη B στο σημείο E, να αποδείξετε ότι: α) AE 15 (Μονάδες 8) β) Τα τρίγωνα AE και E είναι ίσα. (Μονάδες 8) γ) Η E είναι διχοτόμος της γωνίας M (Μονάδες 9) α) Επειδή το τρίγωνο MB είναι ισόπλευρο θα είναι AB BM και ABM Άρα: Οπότε: AE 9 75 AE BAM AMB 75. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 36

37 β) Τα τρίγωνα AE και E είναι ίσα, επειδή έχουν: E κοινή πλευρά, A (πλευρές τετραγώνου) και AˆE E ˆ 45 (η διαγώνιος τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες του). γ) Από την ισότητα των τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος προκύπτει ότι ˆ E AE 15 κι επειδή M ˆ 3, θα είναι και Mˆ E 15, δηλαδή η E είναι διχοτόμος της γωνίας M. ΘΕΜΑ 4569 Δίνεται τραπέζιο AB με AB // και AB. Αν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την AB στο σημείο, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο A είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) γ) Η είναι διχοτόμος τις γωνίας του τραπεζίου. (Μονάδες 8) α) Είναι Mˆ ˆ 1 1 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων M. Επίσης ˆ ˆ 1 αφού M διχοτόμος. Επομένως είναι και Mˆ ˆ 1. Συνεπώς το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές και άρα A AM (1). β) Είναι,AB με τέμνουσα την (1) AB AM B B AB AM MB άρα το τρίγωνο MB ισοσκελές και άρα Mˆ ˆ 1 (). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 37

38 γ) Είναι Mˆ ˆ (3) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων,ab με τέμνουσα την M. Από (),(3) είναι ˆ ˆ 1 άρα M διχοτόμος της γωνίας ˆ. ΘΕΜΑ 4571 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με AB και σημείο στην προέκταση της B. Από το φέρουμε κάθετη στην AB και κάθετη στην προέκταση της A. Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην AB και κάθετη στην. Να αποδείξετε ότι: α) H γωνία είναι ίση με τη γωνία B. (Μονάδες 4) β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 4) γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) δ) (Μονάδες 8) α) Έχουμε K AB, H AB, Z K άρα το KH Z είναι ορθογώνιο αφού έχει 3 ορθές γωνίες. Άρα KH // Z AB // Z άρα B Z ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των AB // Z που τέμνονται από την B. β) E A B ως κατακορυφήν BA B αφού το AB τρίγωνο ισοσκελές και B Z από ερώτημα (α). Άρα E Z άρα η διχοτόμος της ZE. γ) Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα Z, E αυτά έχουν: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 38

39 1) κοινή πλευρά ) E Z από ερώτημα (β) Άρα τα τρίγωνα Z, E είναι ίσα άρα έχουν Z E άρα το τρίγωνο ZE είναι ισοσκελές. δ) Από ερώτημα (α) KH Z ορθογώνιο αφού έχει 3 ορθές γωνίες. Άρα KZ H (1) (απέναντι πλευρές ορθογωνίου). Από ερώτημα (γ) Z E (). Έχουμε K Z ZK (1),() K E H K E H. ΘΕΜΑ 4579 Δίνεται τρίγωνο AB με και αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας (, σημεία της ευθείας ). Φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην και θεωρούμε το μέσο του. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο. β) Η γωνία είναι ίση με τη γωνία. γ) Η ευθεία διέρχεται από το. δ) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 39

40 (Υπάρχει τυπογραφικό λάθος, μάλλον στην άσκηση, το είναι μέσο της και όχι της ). α) Το τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ισοσκελές. Είναι ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών. Έτσι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες. β) Αν είναι το κέντρο του τότε ως μισά των ίσων διαγωνίων, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή. γ) Το είναι μέσο της και το της, έτσι από το τρίγωνο είναι //. Από το (β) ερώτημα είναι δηλαδή η είναι παράλληλη στην αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Άρα η διέρχεται από το αφού από το μία μόνο παράλληλη διέρχεται προς την. δ) Είναι:. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

41 ΘΕΜΑ 4583 Δίνεται τρίγωνο AB με AB, η διχοτόμος του A και η ευθεία (ε) παράλληλη από το B προς την A. Από το μέσο της B φέρουμε ευθεία παράλληλη στην A η οποία τέμνει την A στο, την ευθεία ( ) στο σημείο και την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Aκαι B είναι ισοσκελή. (Μονάδες 8) β) B. (Μονάδες 9) γ) A B. (Μονάδες 8) α) A 1 ( A διχοτόμος), 1 1 (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων A, που τέμνονται από την ), 1 (εντός και εναλλάξ των παραλλήλων A, που τέμνονται από την ). A Επομένως 1 1 ισοσκελές. άρα A Επίσης: 1 (κατακορυφήν), 1 (εντός και εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την ). Άρα 1 1 και επομένως 1 1 άρα ισοσκελές. A β) Συγκρίνω τα τρίγωνα και. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 41

42 Έχουν (υπόθεση), 1 (κατακορυφήν, 1 1 (εντός και εναλλάξ των παραλλήλων A, που τέμνονται από την B. Άρα = (Γ-Π-Γ). Επομένως B. γ) Είναι: ( Aισοσκελές) και, επομένως, όμως B, επομένως A B. ΘΕΜΑ 4599 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο AB ( A 9 ) με B και τα, μέσα των B,. Η παράλληλη από το προς την AB τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι: α) B. (Μονάδες 8) β) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες 9) γ) 9. (Μονάδες 8) α) Οι παράλληλες ευθείες AB, και ορίζουν ίσα τμήματα στην ( ). Επομένως θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην, επομένως το είναι μέσο της. Στο ορθογώνιο τρίγωνο, διάμεσος προς την υποτείνουσα, επομένως (1). Είναι AB // (υπόθεση) και AB ( ), άρα AB παραλληλόγραμμο,άρα A B (). Από τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

43 δηλ.. β) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ( // από την υπόθεση και // επειδή ABπαραλληλόγραμμο). Επιπλέον, είναι (μισά των ίσων τμημάτων, ). Άρα το είναι ρόμβος. γ) Είναι ( ρόμβος, επομένως ( μέσο ). Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με 9. ΘΕΜΑ 463 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB, και Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 43 AB, και τυχαίο σημείο M της πλευράς B. Από το σημείο M φέρουμε ευθεία κάθετη στην πλευρά που τέμνει τις ευθείες AB και A στα σημεία E και αντίστοιχα. Αν A και AH τα ύψη των τριγώνων AB και AE αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) AH=9 (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο AE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) γ) M ME A (Μονάδες 9) β και α) Το τετράπλευρο AHM είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές γωνίες. Λόγω της παραλληλίας είναι B A 1, ˆ A κι αφού B ˆ έχουμε ότι η AH είναι διχοτόμος της A E. Αυτό έχει σαν συνέπεια το τρίγωνο A E να είναι ισοσκελές αφού το AH

44 είναι ταυτόχρονα και ύψος. Έτσι AH=9 αφού οι πλευρές της είναι διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. γ) Το AH είναι και διάμεσος του, οπότε EH H. Τότε: M ME M ME MH HE M H (M H) MH A. ΘΕΜΑ 466 Δίνεται κύκλος κέντρου και δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία του και. Φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και οι οποίες τέμνονται στο σημείο. Φέρουμε επίσης και τα ύψη και του τριγώνου τα οποία τέμνονται στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος. γ) Τα σημεία,, είναι συνευθειακά. α) Είναι ως εφαπτόμενα τμήματα, δηλαδή το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές. Τα ορθ. τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν την πλευρά κοινή και ως προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου. Άρα και Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 44

45 οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες. β) Είναι και έτσι / / 1 Ομοίως είναι Επίσης είναι / / ως κάθετες στην. 3 ως ακτίνες του κύκλου. Από τις τρείς παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος. γ) Είναι από το ισοσκελές τρίγωνο AB, από το ισοσκελές τρίγωνο και. Άρα τα σημεία,, ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος δηλαδή ανήκουν στη μεσοκάθετο του, δηλαδή στην ίδια ευθεία. ΘΕΜΑ 4611 Δίνεται τρίγωνο AB και στην προέκταση της B (προς το B) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε B AB ενώ στην προέκταση της B(προς το ) θεωρούμε σημείο E τέτοιο ώστε E A. Αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών B και τέμνουν τις A και A στα σημεία K και αντίστοιχα, και η Kτέμνει τις AB και A στα σημεία M και N αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία K και είναι μέσα των A και A αντίστοιχα. (Μονάδες 8) β) Τα τρίγωνα και AN είναι ισοσκελή. (Μονάδες 9) AB A B γ) K. (Μονάδες 8) α) Επειδή τα τρίγωνα AB, A E είναι ισοσκελή οι διχοτόμοι BK, των γωνιών AB,A ˆE αντίστοιχα, θα είναι και διάμεσοι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 45

46 β) Η K ενώνει τα μέσα των πλευρών A, AE του τριγώνου AE, άρα K E. Οπότε θα είναι K ˆ 1 και ˆ 1 E (ως εντός εκτός και επί τα αυτά) Αλλά από τα ισοσκελή τρίγωνα AB, A E, έχουμε: A ˆ 1 και A E. Άρα: A1 K1 και A ˆ, 1 δηλαδή τα τρίγωνα και AN είναι ισοσκελή. γ) Η K ως παράλληλη στη E θα διέρχεται από τα μέσα των πλευρών AB, A του τριγώνου AB. Άρα τα σημεία, είναι τα μέσα των AB, A αντίστοιχα, οπότε θα είναι: και. AB A B Επομένως: K KM MN N K. ΘΕΜΑ 4616 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB και M το μέσο της πλευράς. Φέρνουμε κάθετη στην στο σημείο της M, η οποία τέμνει την ευθεία A στο σημείο P και την B στο. Να αποδείξετε ότι: α) P. β) Το τρίγωνο AP είναι ισοσκελές. γ) A A. α) Τα τρίγωνα MP και M είναι ίσα γιατί η M M αφού το M είναι το μέσο της και PM ως εντός εναλλάξ και PM M ως κατακορυφήν. Άρα P και PM M Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 46

47 β) Η είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου PA άρα το τρίγωνο AP είναι ισοσκελές. γ) Αφού το τρίγωνο AP είναι ισοσκελές τότε A AP όμως AP AP A. Δηλαδή το ζητούμενο. ΘΕΜΑ 4619 Δίνεται τρίγωνο AB και το μέσο της διαμέσου. Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. γ) Το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου. α) Το σημείο είναι μέσο των και. Άρα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. β) Από το παρ/μο ισχύει / / / / αφού. Έτσι το είναι παραλληλόγραμμο. γ) Έστω το σημείο είναι το κέντρο του, τότε το είναι μέσο της. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 47

48 Στο τρίγωνο οι, είναι διάμεσοι που τέμνονται στο, οπότε το είναι βαρύκεντρο του τριγώνου. Σημείωση: Η εκφώνηση δεν αναφέρει ποιο σημείο είναι το, ευτυχώς υπήρχε το σχήμα. ΘΕΜΑ 46 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB και το ύψος του E. Στην προέκταση της B B (προς το B) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε B. Αν η ευθεία E τέμνει την A στο Z και Z B: α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE είναι ισοσκελές και το τρίγωνο A Z είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 1) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου EZ. (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι AE Z. (Μονάδες 5) δ) Να αποδείξετε ότι 3AB 4 B. (Μονάδες 5) α) Το ύψος E είναι και διάμεσος κι επειδή το τρίγωνο AB Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 48

49 είναι ισόπλευρο θα είναι: ισοσκελές. B BE B, οπότε το τρίγωνο BE είναι Επειδή Z B, το τρίγωνο A Z θα είναι ισογώνιο με το AB, δηλαδή και το A Z είναι ισόπλευρο. β) Eˆ Z 1 (παραπληρωματική της γωνίας Aˆ Z 6 ) ZE B ˆE (ως εντός εναλλάξ). Αλλά AB B ˆE (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο BE). Οπότε ZE 3 και κατά συνέπεια EZ 3 γ) EZ ZE E Z. Οπότε: AE AE AE Z δ) AE 3 3 B E EB AE AE AB 3AB 4 B. 4 ΘΕΜΑ 466 Σε μια ευθεία () θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία AB,, έτσι ώστε AB και στο ίδιο ημιεπίπεδο θεωρούμε ισόπλευρα τρίγωνα ABκαι. Αν H είναι το μέσο του A και η ευθεία E τέμνει την ευθεία () στο σημείο Z να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο BH E είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ZE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο HE A είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) α) Έστω AB x τότε και A B x και B BE E AH H x Το τρίγωνο AB είναι ισόπλευρο άρα AB 6 o και BE 18 o AB EB 18 o 6 o 6 o 6 o, άρα Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 49

50 H// BE αφού σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ ίσες. Οπότε το είναι ορθογώνιο. Το είναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο AB άρα και ύψος όποτε το H BE είναι ορθογώνιο. β) EZ 9 o BE 9 o 6 o 3 o και Zˆ 9 Aˆ Άρα το τρίγωνο ZE είναι ισοσκελές o o o o γ) Το τρίγωνο BZ είναι ισοσκελές και Bείναι ύψος άρα και διάμεσος. Άρα το ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου AZ άρα είναι παράλληλο στην Aδηλαδή το είναι τραπέζιο και επειδή HA E x είναι και ισοσκελές. ΘΕΜΑ 463 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB και K το σημείο τομής των διαγωνίων του. Φέρνουμε την A κάθετη στη B και στην προέκταση της A (προς το ) Θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε AH HE. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο A είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) Το τρίγωνο AE είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο BEείναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

51 α) Το τρίγωνο Aείναι ισοσκελές αφού η είναι μεσοκάθετος της A. β) Επειδή το διχοτομεί τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου και, λόγω του προηγούμενου ερωτήματος, θα είναι K KA KE. Στο τρίγωνο AE λοιπόν, η διάμεσος είναι το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί, άρα θα είναι ορθογώνιο. γ) Φέρνουμε τις E, BE. E B (είναι κάθετες στην ίδια ευθεία A. Η δεν μπορεί να είναι παράλληλη στη B, αφού A B, άρα το τετράπλευρο BEείναι τραπέζιο. Επειδή το Bείναι σημείο της μεσοκαθέτου του Aθα είναι AB BE, οπότε BE. Δηλαδή οι διαγώνιοι του τραπεζίου είναι ίσες που σημαίνει ότι το BEείναι ισοσκελές τραπέζιο. ΘΕΜΑ 4635 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABμε τη γωνία Aορθή και. Φέρουμε το ύψος του Aκαι σημείο στην προέκταση της ABτέτοιο ώστε B. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι: i.. (Μονάδες 8) ii.. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 51

52 α) Το τρίγωνο ABείναι ορθογώνιο και αφού Bˆ ˆ άρα ˆ B 6 και ˆ 3 γωνία EB είναι εξωτερική στο τρίγωνο ABτης ˆB οπότε είναι. Η EB 1. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές (B) οπότε ˆ EB E 3. β) i) Είναι B αφού τρίγωνο ορθογώνιο και BA 3. ii) Είναι 3 και 3, (αφού ˆ 3 ). ΘΕΜΑ 464 Δίνεται τρίγωνο ABμε γωνίες ˆB και ˆοξείες και, και τα μέσα των πλευρών του AB,και B αντίστοιχα. Στις μεσοκάθετες των ABκαι B και εκτός του τριγώνου AB θεωρούμε σημεία και αντίστοιχα, τέτοια ώστε AB B Z και EH. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο B είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

53 ii. Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 1) β) Αν τα σημεία,, είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι η γωνία A 9 o. (Μονάδες 1) α) i.) Γνωρίζουμε ότι,mείναι μέσα των πλευρών ABκαι Aαντίστοιχα άρα: B AB M BE. Ομοίως ME B, συνεπώς δείξαμε ότι το τετράπλευρο MEB έχει τις απέναντι πλευρές ίσες άρα είναι παραλληλόγραμμο. ii.) Στο παραλληλόγραμμο MEB οι γωνίες AM, BE,ME είναι ίσες καθώς είναι εντός εκτός και επί τα αυτά διαδοχικά με την σειρά που δίνονται. Άρα : ZM ZAAM HM M H(1). Γνωρίζουμε ότι: AB Z B ME (). B EH BE M(3). Από τις παραπάνω σχέσεις (1), (), (3) συμπεραίνουμε ότι ισχύει το κριτήριο ισότητας τριγώνων εκείνο των δύο πλευρών και περιεχόμενων αυτών γωνιών, άρα είναι ίσα. β) Αν τα σημεία Z,,E είναι συνευθειακά τότε το ευθύγραμμο τμήμα E που ενώνει τα μέσα των πλευρών είναι παράλληλο προς την πλευρά A, άρα η γωνία BAείναι εντός εναλλάξ της γωνίας Zκαι ορθή αφού το ευθύγραμμο τμήμα Zανήκει στην μεσοκάθετο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 53

54 ΘΕΜΑ 4643 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB( A 9 ). Φέρουμε τη διάμεσό του Aτην οποία προεκτείνουμε προς το κατά τμήμα M AM. Θεωρούμε ευθεία K κάθετη στη B, η οποία τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας B στο E. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ABείναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8) B β) KEB 9. (Μονάδες 8) γ) E B. (Μονάδες 9) α) Οι διαγώνιες του τετραπλεύρου AB διχοτομούνται, οπότε είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή έχει μία γωνία ορθή, θα είναι ορθογώνιο. B B β) Είναι. Στο ορθογώνιο τρίγωνο : KEB 9 KEB 9. B γ) BE 9 EBA 9 BE 9. Άρα: EB BE E B. ΘΕΜΑ 4645 Στο παρακάτω τετράπλευρο AB ισχύουν: A, A B, και AB. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα AOBκαι O είναι ισοσκελή. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 54

55 β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8) γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι 3AB και K, τα μέσα των διαγωνίων B και A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AB K είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) α) Τα τρίγωνα Aκαι B είναι ίσα μεταξύ τους καθώς έχουν τρείς πλευρές ίσες. Τις A B, A B και την πλευρά κοινή. Συνεπώς έχουμε:, άρα το τρίγωνο O είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα AB και ABείναι ίσα μεταξύ τους καθώς έχουν τρείς πλευρές ίσες. Τις A B, A B και την πλευρά ABκοινή. Συνεπώς έχουμε:, άρα το τρίγωνο ΑOB είναι ισοσκελές. β) Οι γωνίες AOBκαι O είναι ίσες ως κατακορυφήν, τα τρίγωνα AOBκαι Oστα οποία περιέχονται είναι ισοσκελή, άρα οι γωνίες των βάσεων τους είναι ίσες. Συνεπώς το οποίο σημαίνει ότι οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες άρα AB/ / και το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. γ) Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα K, των διαγωνίων του είναι παράλληλη με τις βάσεις του και ότι AB 3AB AB K AB. Άρα το τετράπλευρο AB Kείναι παραλληλόγραμμο. Συγκρίνοντας τα τρίγωνα AOBκαι KO διαπιστώνουμε ότι είναι ίσα καθώς AB K, και ως εντός εναλλάξ, είναι ισοσκελή άρα οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου είναι ίσες συνεπώς το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 55

56 ΘΕΜΑ 4646 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB( A 9 ) και 3 με τα, μέσα των πλευρών Bκαι ABαντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της Bτέμνει την A στο σημείο E. α) Να αποδείξετε ότι: i) Η B είναι διχοτόμος της γωνίας B. (Μονάδες 6) ii) E AE. (Μονάδες 6) iii) Η B είναι μεσοκάθετος της διαμέσου A. (Μονάδες 7) β) Αν η A είναι το ύψος του τριγώνου ABπου τέμνει τη Bστο H, να αποδείξετε ότι τα σημεία και, N είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6 ) α) i) B 6. Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές επειδή η είναι μεσοκάθετος της B. Άρα: Eˆ B EB EBA 3 ii) Επειδή το E είναι σημείο της διχοτόμου Bτης γωνίας B θα ισαπέχει από τις πλευρές της, οπότε: AE EM. Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο EM E έχουμε: ˆ E 3 EM. Οπότε: AE. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 56

57 iii) AB BM (η διάμεσος A είναι το μισό της υποτείνουσας B). Άρα στο ισοσκελές τρίγωνο A, η που διχοτομεί τη γωνία B θα είναι μεσοκάθετος της A. β) Έστω ότι η τέμνει την A στο K. Τα A, BK είναι ύψη του τριγώνου A, άρα H είναι το ορθόκεντρο. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου. Πράγματι, MN A 9 MN AB. ΘΕΜΑ 4648 A (ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου) κι επειδή Από εξωτερικό σημείο P ενός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB και τη διακεντρική ευθεία PO που τέμνει τον κύκλο στα, αντίστοιχα. Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις προεκτάσεις των PA, PB στα EZ, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: i) AP BP. ii) EA ZB. iii) Το τετράπλευρο ABZE είναι ισοσκελές τραπέζιο. i) Συγκρίνουμε αρχικά τα τρίγωνα AOP και OP. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 57

58 Αυτά είναι ορθογώνια και επιπλέον έχουν PA PB ως εφαπτόμενα τμήματα και OP κοινή άρα είναι ίσα. Επομένως APO BPO. Θα συγκρίνουμε τώρα τα τρίγωνα AP και BP. Αυτά έχουν PA PB,την P κοινή και όπως δείξαμε στην προηγούμενη σύγκριση AP BP επομένως από Π-Γ-Π είναι ίσα κι έτσι AP PB. ii) Γνωρίζουμε ότι PA PB.Επίσης η P που περνά και από τα O, είναι κάθετη στην EZ επειδή η τελευταία είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο και η P ταυτίζεται με την ακτίνα O στο τμήμα αυτό. Όμως η P είναι και διχοτόμος της γωνίας EPZ όπως δείξαμε παραπάνω άρα το τρίγωνο EPZ είναι ισοσκελές κι έτσι EP ZP.Αφαιρώντας κατά μέλη με την PA PB προκύπτει EA ZB. iii) Οι EA, ZB δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο P. Ακόμη τα τρίγωνα ABP και EPZ είναι ισοσκελή όπως έχουμε δείξει,με κοινή γωνία κορυφής άρα και οι άλλες δύο γωνίες τους θα είναι ίσες. Επομένως για παράδειγμα ABP EZP κι επειδή αυτές οι δύο είναι εντός-εκτός και επί τα αυτά, οι ευθείες AB, EZ θα είναι παράλληλες. Ακόμη όπως δείξαμε στο ii) ισχύει EA ZB άρα το τετράπλευρο ABZE είναι όντως ισοσκελές τραπέζιο. ΘΕΜΑ 4649 Δίνεται τρίγωνο ABμεAB Aκαι η διχοτόμος BEτης γωνίας B. Αν AZ BE όπου Zσημείο της Bκαι Mτο μέσον της A, να αποδείξετε ότι : α) Το τρίγωνο ABZείναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 58

59 β) M/ /Bκαι BAB M. (Μονάδες 1) γ) B EM όπου B η γωνία του τριγώνου AB. (Μονάδες 8) α) Το τρίγωνο ABZείναι ισοσκελές, αφού η BE είναι διχοτόμος και ύψος της γωνίας. β) Στο τρίγωνο AZ τα,mείναι τα μέσα δυο πλευρών, οπότε M/ /Z M/ /B. Ακόμα : Z B BZ B AB M, αφού από το (α) ισχύει AB BZ. B γ) EM B, ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων M/ /B, τεμνομένων υπό της BE!! Σχόλιο : Η άσκηση είναι από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας (αποδεικτική 5 σελ 111 ) ΘΕΜΑ 465 Δίνεται τρίγωνο AB η διχοτόμος Bx της γωνίας B και η διχοτόμος By της εξωτερικής γωνίας B. Αν, E οι προβολές της κορυφής A στις Bx, By αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι: i) Το τετράπλευρο A BE είναι ορθογώνιο, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 59

60 ii) H ευθεία E είναι παράλληλη προς τη B και διέρχεται από το μέσο M της A, iii) Το τετράπλευρο KM B είναι τραπέζιο του οποίου η διάμεσος ισούται με 3a όπου ab. 4 i) Οι γωνίες B και B είναι εφεξής και παραπληρωματικές άρα οι διχοτόμοι τους σχηματίζουν ορθή γωνία. Ακόμη 9 επειδή οι E, είναι προβολές του σημείου A πάνω στις ημιευθείες. Τελικά το τετράπλευρο A BE έχει τρεις ορθές γωνίες άρα είναι ορθογώνιο. ii) Ισχύουν E AB ως διαγώνιοι ορθογωνίου. Ξέρουμε πως αυτές E AB διχοτομούνται άρα EK και BK άρα EK BK κι έτσι το τρίγωνο BKE είναι ισοσκελές. Επομένως z. Άρα z κι επειδή οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ των ευθειών B, E άρα E B. Επιπλέον η E περνά από το μέσο της AB αφού τα δύο αυτά τμήματα είναι διαγώνιοι παραλληλογράμμου.. Η E είναι παράλληλη μίας πλευράς λοιπόν που περνά από το μέσο της άλλης άρα θα περνά από το μέσο και της τρίτης πλευράς το οποίο είναι το σημείο M. iii) Έχουμε δείξει ότι E B κι επιπλέον οι BK, M δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο A. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

61 Άρα το KMB είναι τραπέζιο. Η διάμεσός του είναι ίση με BKM. Όμως η B KM συνδέει μέσα πλευρών άρα θα είναι ίση με. Τελικά η διάμεσος του B B 3 3 τραπεζίου ισούται με B a όπως θέλαμε. 4 4 ΘΕΜΑ 4651 Σε παραλληλόγραμμο AB δίνονται σημεία E, Z, H, στις πλευρές AB, B,, A ώστε AE H και BZ. Να αποδείξετε ότι: i) Το τετράπλευρο AE H είναι παραλληλόγραμμο, ii) Το τετράπλευρο EZH είναι παραλληλόγραμμο, iii) Τα τμήματα A, B, EH, Z διέρχονται από το ίδιο σημείο. i) Από το παραλληλόγραμμο AB παίρνουμε AB AE H αφού τα σημεία EH, βρίσκονται πάνω στα τμήματα AB,. Ακόμη AE AE //H κι έτσι το τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο. H επομένως ii) Αφού A B και BZ με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει A Z. Ομοίως EB H. Τα τρίγωνα AE και έχουν A και H AE. Ακόμη οι γωνίες τους και είναι ίσες ως απέναντι παραλληλογράμμου. Επομένως τα δύο τρίγωνα αυτά είναι ίσα από Π-Γ-Π. Ομοίως είναι ίσα τα τρίγωνα και. Από τις δύο αυτές ισότητες λαμβάνουμε και. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 61

62 Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε 18 και Όμως. Επομένως Ομοίως. Άρα οι απέναντι γωνίες του τετραπλεύρου EZH είναι ίσες έτσι αυτό είναι παραλληλόγραμμο. iii) Από τα τρία παραλληλόγραμμα που υπάρχουν στο σχήμα λαμβάνουμε: Η B περνά από το μέσο της A και μάλιστα το σημείο τομής αυτών των δύο είναι και μέσο της B, Η EH περνά από το μέσο της A και μάλιστα το σημείο τομής των δύο αυτών είναι και μέσο της EH. Η Z περνά από το μέσο της EH άρα και από το μέσο της A. Άρα όλες περνούν από το ίδιο σημείο που είναι το μέσο της A. Υ.Γ. Αν βρεθούν λάθη ας μου το επισημάνει κάποιος. Υ.Γ. Μπορεί και να υπάρχει συντομότερος τρόπος για το ii). ΘΕΜΑ 465 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB και σημεία K, της διαγωνίου του B, τέτοια ώστε να ισχύει BK K. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AK είναι παραλληλόγραμμο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

63 β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο AB είναι ρόμβος, τότε και το AK είναι ρόμβος. γ) Ποια πρέπει να είναι η σχέση των διαγωνίων του αρχικού παραλληλογράμμου AB ώστε το AK να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) Αν Ο είναι το κέντρο του AB τότε OB O 1 1, o. OK OB BK OK O OK O Άρα οι διαγώνιοι του AK διχοτομούνται, οπότε είναι παραλληλόγραμμο. β) Αν το ABείναι ρόμβος τότε A B A K άρα το παραλληλόγραμμο AK είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα. γ) Για να είναι το AK ορθογώνιο πρέπει να έχει ίσες διαγώνιους, δηλαδή B πρέπει: K A A B 3A. 3 ΘΕΜΑ 4653 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB και έστω Oτο σημείο τομής των διαγωνίων A,B. Φέρνουμε την AE κάθετη στη διαγώνιο B. Εάν Zείναι το συμμετρικό του Aως προς τη διαγώνιο B, τότε να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) Z OE. (Μονάδες 9) γ) Το Bείναι Z ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 63

64 α) Επειδή BE AZ, και το Eείναι μέσον της AZ, η BEείναι μεσοκάθετη της AΖ κι αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου, έχουμε ZAάρα το είναι ισοσκελές. ZA β) Στο τρίγωνο Z τα E,O είναι μέσα δυο πλευρών (το O είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου ), οπότε Z EO Z EO. γ) Από το (β) έχουμε EO/ /Z B / /Z άρα το B Z είναι τραπέζιο. Επιπλέον, AB BZ αφού το ABZ είναι ισοσκελές. Άρα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Σχόλιο : Το ερώτημα (γ) πρέπει να διατυπωθεί ως εξής : Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές B, Z,, είναι ισοσκελές τραπέζιο, διότι ανάλογα με την κατασκευή του σχήματος, αλλάζει η διάταξη των γραμμάτων. ΘΕΜΑ 4655 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB. Στην προέκταση της AB παίρνουμε τμήμα BE AB και στην προέκταση της A παίρνουμε τμήμα Z A. Να αποδειχθεί ότι: α) i) Τα τετράπλευρα B E και BZ είναι παραλληλόγραμμα. ii) Τα σημεία E,, είναι συνευθειακά. β) Αν K, τα μέσα των BE, Z αντίστοιχα τότε να αποδειχθεί ότι K B και K 3 B. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 64

65 α) i) Ισχύει BE AB από το παραλληλόγραμμο AB.Ακόμη AB κι επειδή το E βρίσκεται στην ευθεία AB θα είναι BE.Άρα BE κι έτσι το τετράπλευρο B E είναι παραλληλόγραμμο. Ισχύει Z A B από το AB που είναι παραλληλόγραμμο. Ακόμη A κι επειδή το Z βρίσκεται στην ευθεία A θα είναι Z B.Τελικά Z B άρα το τετράπλευρο BZ είναι παραλληλόγραμμο. B ii) Ισχύουν από τα παραλληλόγραμμα που βρήκαμε παραπάνω E Z B.Από το δεν μπορούμε να φέρουμε δύο διαφορετικές ευθείες B και παράλληλες προς την B άρα οι ημιευθείες E και Z ανήκουν στην ίδια ευθεία. Έτσι τα σημεία E,, Z είναι συνευθειακά. β) Ισχύει όπως είδαμε B EZ και οι ευθείες Z και BE δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο A.Άρα το τετράπλευρο B ZE είναι τραπέζιο. Η K είναι EZ διάμεσός του. Έτσι ισούται B.Όμως EZ Z E B.Επομένως EZ B B B K 3 B όπως θέλαμε. ΘΕΜΑ 4731 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABμε AB A και το ύψος του AM. Φέρνουμε M A και θεωρούμε το μέσο H του M.Από το H φέρνουμε παράλληλη στη B η οποία τέμνει τις AM, A στα KZ, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: i) B HZ, 4 ii) MZ B, iii) Η ευθεία AH είναι κάθετη στη B. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 65

66 i) Ισχύει HZ M κι επειδή το H είναι το μέσο της M, το Z είναι το μέσο του και M HZ. Όμως το AM είναι, ως ύψος ισοσκελούς που βαίνει στη βάση, και διάμεσος κι B M έτσι M HZ. 4 ii) Βλέπουμε πως η MZ περνά από τα μέσα των και B οπότε MZ B. iii) Από υπόθεση M A ενώ αφού ZK B και AM B θα είναι ZK AM. Επομένως το H είναι το ορθόκεντρο του AMZ κι έτσι AH MZ. Όμως από το ερώτημα ii) ισχύει MZ ΘΕΜΑ 4735 B άρα AH B. Έστω τρίγωνο AB και A η διχοτόμος της γωνίας A για την οποία ισχύει A. Η E είναι διχοτόμος της γωνίας AB και η Z είναι παράλληλη στην AB. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα E, A είναι παράλληλα. (Μονάδες 9) β) Το τρίγωνο EA είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) γ) Τα τμήματα A, EZ διχοτομούνται. (Μονάδες 8) α) A EˆA EˆB,EA AZ ˆ A Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 66

67 Aˆ B A ˆA (ως εξωτερική στο τρίγωνο A ). Άρα: Eˆ B=A ˆ E / /A (επειδή οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες). β) EA Eˆ A EA E και το τρίγωνο EA είναι ισοσκελές. γ) Το τετράπλευρο AE Z είναι παραλληλόγραμμο, οπότε τα τμήματα A, EZ διχοτομούνται. ΘΕΜΑ 4737 Δίδεται τρίγωνο ABμε γωνία B 6. Φέρνουμε τα ύψη A E που τέμνονται στο H. Φέρνουμε KZ διχοτόμο της γωνίας EHA και κάθετο στο ύψος A. Να αποδείξετε ότι : α) Για το τμήμα ZE ισχύει ZH EZ. (μ 9) β) Το τρίγωνο ZH είναι ισόπλευρο. (μ 8) γ) Το τετράπλευρο HKB είναι ισοσκελές τραπέζιο. (μ 8) H Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 67

68 Επειδή οι H B είναι κάθετες στην A θα είναι μεταξύ τους παράλληλες και άρα ˆ B 6. Στο ορθογώνιο τρίγωνο AB το άθροισμα των οξειών του είναι 9, συνεπώς 1 3. Όμως 1 γιατί έχουν κάθετες πλευρές και άρα και 3. Επειδή όμως το ορθογώνιο τρίγωνο EAH έχει την οξεία του γωνία 1 3 η άλλη οξεία του γωνία θα είναι 6 και συνεπώς κάθε μια από τις ίσες, λόγω διχοτόμου, γωνίες 1 θα είναι από 3, δηλαδή : 1 3. Στο τρίγωνο ZAH η γωνία ˆ είναι εξωτερική του και άρα ˆ Μετά απ αυτά 1 αβίαστα προκύπτουν: α) ZH EZ (η κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με απέναντι γωνία 3 ). β) τα τρίγωνα ZBK Z H είναι ισόπλευρα γιατί έχουν από γωνίες ίσες με 6. γ) Το τραπέζιο HKB είναι ισοσκελές γιατί οι γωνίες της βάσης του BK είναι ίσες, από 6 κάθε μία. ΘΕΜΑ 4756 Δίνεται κύκλοςo, και Aμια διάμετρός του. Θεωρούμε τις χορδές A B. Έστω K και τα μέσα των χορδών και Bαντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδές ABκαι είναι παράλληλες. β) Το τετράπλευρο AB είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο γ) Η B είναι διάμετρος του κύκλου. δ) Το τετράπλευρο O K είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 68

69 α) Είναι AB A ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στα ίσα τόξα B και A (αφού οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες). Έτσι AB/ / αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες από την τέμνουσα τους A. β) Τα τρίγωνα AB και A είναι ίσα αφού έχουν: A κοινή πλευρά, A B από την υπόθεση και AB A 9 ως εγγεγραμμένες σε ημικύκλια. Οπότε και AB. Έτσι το AB είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφού AB/ / και A 9 γ) Αφού το AB είναι ορθογώνιο τότε B 9 και αφού είναι εγγεγραμμένη θα βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η B είναι διάμετρος του κύκλου. δ) Τα τμήματα OK,O είναι αποστήματα των χορδών και B αντίστοιχα επειδή τα K, είναι μέσα των χορδών. Έτσι OK και O B δηλαδή το O K είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες. ΘΕΜΑ 4757 Στις πλευρές Ax και Ax γωνίας x xθεωρούμε σημεία B και ώστε AB A. Οι κάθετες στις Ax και Ax στα σημεία Bκαι αντίστοιχα, τέμνονται στο. Αν οι ημιευθείες Ay και Az χωρίζουν τη γωνία x xσε τρεις ίσες γωνίες και τέμνουν τις B και στα σημεία E και Z αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο EAZ είναι ισοσκελές. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 69

70 β) Το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας x x. γ) Οι γωνίες B και A είναι ίσες. α) Έστω xay yaz zax Τα ορθογώνια τρίγωνα ABE και AZ είναι ίσα επειδή έχουν: AB A από την υπόθεση και xay zax, άρα και AE AZ δηλαδή το τρίγωνο EAZ είναι ισοσκελές. β) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB και A είναι ίσα αφού έχουν: AB A(κάθετες) και A κοινή πλευρά (υποτείνουσα) Έτσι B, οπότε το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας $x'ax επειδή ισαπέχει από τις πλευρές της. γ) Το τετράπλευρο AB είναι εγγράψιμο επειδή Bˆ 9 οπότε B A. Παρατήρηση: Νομίζω η άσκηση έχει πρόβλημα κατασκευής (τριχοτόμηση γωνίας). Μπορούσαν να δώσουν "Δίνονται τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες... Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

71 ΘΕΜΑ 476 Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο EZH είναι ένα τραπέζι μπιλιάρδου. Ένας παίκτης τοποθετεί μία μπάλα στο σημείο A το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετο του H και απέχει από αυτή απόσταση ίση με H. Όταν ο παίκτης χτυπήσει τη μπάλα, αυτή ακολουθεί τη διαδρομή A B A χτυπώντας στους τοίχους του μπιλιάρδου E, H, ZH διαδοχικά. Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης (π.χ η γωνία ABEείναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης (π.χ. η γωνία ) και κάθε μία από αυτές 45 ο. α) Να αποδείξετε ότι: i) Η διαδρομή AB της μπάλας είναι τετράγωνο. (Μονάδες 9) ii) Το σημείο Aισαπέχει από τις κορυφές του, μπιλιάρδου. (Μονάδες 8) β) Αν η Aείναι διπλάσια από την απόσταση του A από τον τοίχο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου A. (Μονάδες 8) α. i) Από το ισοσκελές τρίγωνο A είναι EZA ZEA BEA ZA 9 Εξάλλου είναι EBA Zˆ A 45, οπότε θα είναι και A1 A (άθροισμα γωνιών τριγώνου). Επειδή όμως AE AZ, τα τρίγωνα AEB, AZ θα είναι ίσα. Άρα AB A (1). Επειδή τώρα κάθε γωνία πρόσπτωσης και κάθε γωνία ανάκλασης είναι ίση με 45, προκύπτει άμεσα ότι το AB είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (από την (1) ). Άρα είναι τετράγωνο. α. ii) Οι πλευρές EZ,H του μπιλιάρδου έχουν την ίδια μεσοκάθετο, άρα το A ανήκει και στη μεσοκάθετο του, οπότε AE AZ. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 71

72 β) Έστω M η ορθή προβολή του A πάνω στην. Από την υπόθεση έχουμε AZ AM. Αλλά το τρίγωνο A είναι ορθογώνιο. Οπότε AEZ AZE 3 και κατά συνέπεια EAZ 1. Παρατήρηση Το στοιχείο ότι το σημείο A απέχει από τη H απόσταση ίση με H δεν χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη. Ωστόσο, είναι υποχρεωτικό στην κατασκευή του σχήματος. Θα μπορούσε όμως κάλλιστα, να δοθεί σαν αποδεικτικό ερώτημα. Μια άποψη ( υπάρχουν και άλλες το ίδιο περίπου «επώδυνες» για τους μαθητές λόγω βοηθητικών γραμμών ) α) Πριν χτυπήσουμε την μπάλα φέρνουμε την απόσταση A του A από τη H και τη μεσοκάθετο του A η οποία τέμνει την E σε σημείο B και τη HZ σε σημείο. Έστω δε O, το σημείο τομής των A,B. Στο τετράπλευρο που προέκυψε AB οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα, είναι ίσες (αφού το τετράπλευρο BH είναι ορθογώνιο και έτσι B H A). Τώρα στο ορθογώνιο BHη Aείναι μεσοκάθετος στο H, άρα η μεσοπαράλληλος των E,HZ, δηλαδή είναι μεσοκάθετος και στο B. Δηλαδή στο τετράπλευρο AB οι διαγώνιοι διχοτομούνται και είναι ίσες και κάθετοι. Το τετράπλευρο λοιπόν AB είναι ταυτόχρονα ρόμβος και ορθογώνιο άρα και τετράγωνο. Τώρα στο τετράγωνο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

73 AB οι διαγώνιοι του θα χωρίζουν τις ορθές γωνίες του σε δύο ίσες γωνίες και κάθε μια ίση με 45. Τότε όμως προφανές οι πλευρές του θα σχηματίζουν με τις E, H,HZ γωνίες από 45. Συνεπώς αν χτυπήσουμε την μπάλα, αυτή με την προϋπόθεση ότι η γωνία προσπτώσεως ισούται με τη γωνία ανακλάσεως και ίση με 45 θα ακολουθήση την πορεία A B A β) Έστω Mτο σημείο τομής των A,EZ. Αφού η Aείναι μεσοκάθετος στο H θα είναι μεσοκάθετος και στο EZ και άρα, το A θα ισαπέχει από τα E,Z. γ) Αφού AZ AM, στο ορθογώνιο τρίγωνο MAZ η γωνία ˆ 3 και αφού το AEZ είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι και AEZ 3. Προφανώς δε AEZ 1 ΘΕΜΑ 4767 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο AB με A ˆ 9 o. Στην πλευρά B θεωρούμε τα σημεία KM,, ώστε BK KM M. Αν τα σημεία και E είναι τα μέσα των πλευρών ABκαι A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο E K είναι παραλληλόγραμμο (Μονάδες 13) β) Η διάμεσος του τραπεζίου KAM ισούται με 3 B 8 (Μονάδες 1) α) To E ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου AB άρα E B και B E K, άρα το τετράπλευρο E K είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες. β) Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το ερώτημα πρέπει να αποδείξουμε ότι το KEM είναι παραλληλόγραμμο ή εννοείται άραγε; Τέλος πάντων. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 73

74 Το K ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου AB άρα K AM και K AM. Προφανώς η A δεν είναι παράλληλη στην, άρα το KEM είναι τραπέζιο. Έστω η διάμεσος του τραπεζίου, τότε: AM AM 4 8 K AM 3AM * 3B * αφού A διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AB άρα AM B. ΘΕΜΑ 4769 Έστω ισοσκελές τραπέζιο AB AB/ /με και AB B A. ˆ B Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας B, η οποία τέμνει το στο Kκαι η κάθετη από το Kπρος το Bτο τέμνει στο M. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του AB. β) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ABK είναι ρόμβος. ii. Το σημείο M είναι το μέσο του B. α) Είναι B ˆ και Bˆ 18 ως εντός και επί τα αυτά Έτσι ˆ ˆ 18 ˆ 6 και B ˆ B 1. Οπότε A B 1 και ˆ ˆ 6 αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές και οι γωνίες των βάσεων του είναι ίσες. β) i. Η BK είναι η διχοτόμος της B έτσι B KB 6. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 74

75 Το τρίγωνο BK είναι ισόπλευρο αφού έχει KB ˆ 6, άρα BK K B (από την υπόθεση). Αφού ισχύει K το K είναι μέσο του, έτσι: BK K A AB οπότε το ABK είναι ρόμβος διότι έχει και τις τέσσερεις πλευρές του ίσες. ii) Αφού το τρίγωνο BK είναι ισόπλευρο και το είναι ύψος άρα θα είναι και διάμεσος, οπότε το σημείο είναι μέσον του. ΘΕΜΑ 4771 Έστω τετράγωνο AB και Mτο μέσο της πλευράς A. Προεκτείνουμε το A τμήμα A(προς την πλευρά του A)κατά τμήμα AN. Φέρουμε τα τμήματα M και BN και θεωρούμε τα μέσα τους K και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο MNB είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο AK είναι παραλληλόγραμμο. γ) Το τετράπλευρο AMK είναι ισοσκελές τραπέζιο. α) Αν είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε: MN MA AN MN MN. Άρα το MNB είναι παραλληλόγραμμο αφού MN/ / B. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 75

76 β) Το MN K είναι παραλληλόγραμμο επειδή MK / / N ως μισά των ίσων και παραλλήλων τμημάτων M, NB έτσι MNA K / / MN K / / A οπότε το AKείναι παραλληλόγραμμο. BN BNM M γ) A A A MK ως διάμεσος στην υποτείνουσα BN του ορθ. τριγώνου BAN. Το τετράπλευρο AMK έχει K / /MN K / /AM και MK A οπότε είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Η A τέμνει τη BN άρα τέμνει και την παράλληλη της M, δηλαδή οι ευθείες A και MK τέμνονται). ΘΕΜΑ 4774 Έστω κύκλος με κέντρο και δύο κάθετες ακτίνες του και. Έστω το μέσον του τόξου. Από το φέρω κάθετες στις ακτίνες και που τις τέμνουν στα και αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α). (Μονάδες 4) α) Το είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 7) β) Τα σημεία και είναι αντιδιαμετρικά. (Μονάδες 7) γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7) α) Αφού, απόστημα της χορδής. Άρα μέσο του τόξου. Άρα. Όμοια, δεδομένου ότι μέσο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 76

77 Τότε όμως ως χορδές ίσων τόξων ( ). β) Από υπόθεση, και. Τότε το τετράπλευρο έχει 3ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο. γ) Από το β), έχω 9. Άρα το τόξο είναι ημικύκλιο, επομένως διάμετρος δηλ. αντιδιαμετρικά., δ) Αφού τα τόξα, τότε // και. Αφού , άρα η τέμνει. Συνεπώς είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΘΕΜΑ 4799 Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο με. Φέρνουμε τμήμα κάθετο στην και τμήμα κάθετο στην με. Θεωρούμε τα μέσα και, τα μέσα των, και αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 7) ii. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) iii. Η είναι μεσοκάθετος του. (Μονάδες 7) β) Ένας μαθητής συγκρίνοντας τα τρίγωνα και έγραψε τα εξής: «1. από υπόθεση. πλευρές ισοσκελούς τριγώνου 3. = ως κατακορυφήν Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα έχοντας δύο πλευρές ίσες μια προς μια και την περιεχόμενη γωνία ίση». Ο καθηγητής είπε ότι αυτή η λύση περιέχει λάθος μπορείς να το εντοπίσεις; (Μονάδες 5) α) Πρώτα-πρώτα ˆ ˆ (*) 1 ως προσκείμενες στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου AB Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 77

78 i) Τα ορθογώνια (από την υπόθεση) τρίγωνα AB A E έχουν : AB A (υπόθεση) και A AE (υπόθεση) δηλαδή κάθετες πλευρές ίσες, άρα είναι ίσα. ii) Αφού τώρα AB A E θα έχουν και όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή ˆ E (1) και B E (), και 1 (3). Τα τρίγωνα και έχουν : (υπόθεση), AZ EAH ως κατακορυφήν άρα και λόγω της (1) σύμφωνα με το κριτήριο () είναι ίσα με άμεση συνέπεια: AZ AH (4) Z EH (5), δηλαδή το AZH ισοσκελές με κορυφή το A. iii) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το A και το M είναι μέσο της βάσης του B, η είναι μεσοκάθετος στο B Εξ άλλου αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα και θα έχουν MMB (υπόθεση ) και H BZ ( προκύπτει αν αφαιρέσουμε τις () (5) κατά μέλη) και Hˆ M ZBM (προκύπτει αν προσθέσουμε τις (*) (3) κατά μέλη). Τα τρίγωνα λοιπόν και θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο ( ) και συνεπώς θα έχουν MH MZ. Αλλά λόγω της (4) AH AZ, συνεπώς τα A,M ανήκουν στη μοναδική μεσοκάθετο του ZH. Τέλος για το β) το λάθος εντοπίζεται στην έκφραση : «3. AB EA ως κατακορυφήν» αφού σε τέτοια περίπτωση οι ημιευθείες AE,AB, θα ήταν αντικείμενες και η Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 78

79 γωνία BAE 18 BA AE 18 δηλαδή BA 9 18 BA 9 άτοπο αφού το τρίγωνο AB είναι οξυγώνιο. ΘΕΜΑ 5886 Δίνεται τρίγωνο με και το ύψος του. Αν, E και Z είναι τα μέσα των, A και B αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : α) το τετράπλευρο EZH είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8) β) οι γωνίες H ˆZ και γ) οι γωνίες E ˆZ και ˆ HEZ είναι ίσες. (Μονάδες 8) ˆ EHZ είναι ίσες. (Μονάδες 9) α) Τα, E είναι μέσα των και A αντίστοιχα. Από θεώρημα, Άρα E HZ. Συνεπώς EZH τραπέζιο. B E. Αρκεί να δείξω ότι ZE H. Πράγματι, H διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου AB, άρα H και όμοια με πριν AB ZE. Επομένως EZH ισοσκελές τραπέζιο. β), γ) Λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, HZ HZE. Αφού E HZ, EZ EZH 18 ως εντός και επί τα αυτά (...). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 79

80 Επομένως οι απέναντι γωνίες του τραπεζίου είναι παραπληρωματικές, συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (θεώρημα). Έτσι, 1 1 και 1. ΘΕΜΑ 59 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με. Από το φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας, η οποία τέμνει την στο και την στο. Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε και έστω το μέσο της πλευράς. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες 9) β) το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9) γ) η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με. (Μονάδες 7) 4 α) Στο τρίγωνο το είναι διχοτόμος και ύψος (υπόθεση). Επομένως το τρίγωνο ισοσκελές, με. Επειδή ύψος προς τη βάση του, είναι και διάμεσος. Έτσι μέσο, δηλ.. Από υπόθεση. Άρα, διχοτομούνται και είναι και κάθετα. Συνεπώς ρόμβος. Έτσι και // (1). β) Στο τρίγωνο, τα, είναι μέσα των, αντίστοιχα. Άρα από θεώρημα, // (). Λόγω των (1) και (), //. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

81 Αν η τέμνει την τότε το είναι τραπέζιο. γ) Aπό θεώρημα η διάμεσος του,. 4 4 Παρατήρηση Αν η BH Z τότε HBZ είναι παραλληλόγραμμο και δεν έχει νόημα το γ) ερώτημα. Δες Σχήμα που ακολουθεί ΘΕΜΑ 591 Δίνεται τρίγωνο με, εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο. Θεωρούμε το μέσο του κυρτογώνιου τόξου και το ύψος του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι: α) η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 8) β). (Μονάδες 9) γ). (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 81

82 Φέρνω το απόστημα. Τότε η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τόξου. α) Αφού απόστημα και ύψος: //. Άρα, 3 ως εντός εναλλάξ. Είναι: 1 ως προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου. Συνεπώς 3 1 δηλ. η διχοτόμος β). ως εγγεγραμμένες γωνίες στα ίσα τόξα,. Άρα, Αλλά 3 1, οπότε 1. γ) Στα ορθογώνια τρίγωνα και έχω: 9 και 9. Έτσι, 9 (9 ). ΘΕΜΑ 6875 Σε ορθογώνιο τρίγωνο A Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8 ( A 9 ) φέρουμε τη διχοτόμο του A. Έστω K και P οι προβολές του στις AB και A αντίστοιχα. Η κάθετη της B στο σημείο τέμνει την πλευρά A στο E και την προέκταση της πλευράς AB (προς το B ) στο σημείο Z. α) Να αποδείξετε ότι: i. B E (Μονάδες 8) ii. E B (Μονάδες 8)

83 β) Να υπολογίσετε τη γωνία Z (Μονάδες 9) α) Το τετράπλευρο BAE είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού A ˆ 18 οπότε B E, ως εξωτερική γωνία. β) Πάλι από το εγγράψιμο τετράπλευρο BAE έχουμε EB EA 45 και BE BA 45, αφού μια πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες. Επομένως BE BE 45, οπότε το τρίγωνο B E είναι ισοσκελές και κατά συνέπεια : E B γ) Το τετράπλευρο AZ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού ZA Z 9, οπότε η πλευρά Z φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες. Επομένως Z AB 45 ως εξωτερική γωνία που ισούται με την απέναντι εσωτερική στο AZ. Σχόλιο : Το σημείο P δεν υπήρχε λόγος να είναι εκεί. Ο ρόλος του είναι να μπερδεύει το σχήμα. Αν δεν είναι τυπογραφικό και λειτουργεί σαν υπόδειξη, είναι μια κακή υπόδειξη. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 83

84 ΘΕΜΑ 6879 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο A του τόξου τέτοιο, ώστε. εγγεγραμμένο σε κύκλο(,r). Έστω σημείο α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 8) β) Έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) γ) Αν είναι το μέσον της, να αποδείξετε ότι (Μονάδες 8) α) Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία είναι ορθή, η είναι διάμετρος του κύκλου. Επομένως και η γωνία είναι ορθή, αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Επομένως. β) Επειδή το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου, είναι. Είναι όμως και, οπότε //. Όμοια, είναι και //, οπότε //. Επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 84

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 Έλυσαν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 17 Ιανουαρίου 2015 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 17 Ιανουαρίου 2015 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα