ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr."

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

2 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης, Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος, lafkasd Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου Τεύχος 1ο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

3 ΘΕΜΑ 787 Στο τρίγωνο AB του παρακάτω σχήματος η κάθετη από το μέσο M της B τέμνει την προέκταση της διχοτόμου A στο σημείο E. Αν, Z είναι οι προβολές του E στις AB, A, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα BE, ZE είναι ίσα. (Μονάδες 8) γ) Aˆ E ABE 18. (Μονάδες 1) α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές, επειδή η είναι μεσοκάθετος του B. β) Τα τρίγωνα BE, ZE είναι ορθογώνια και έχουν EB E και EEZ (κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας). γ) Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων προκύπτει ότι E1 E (1). Είναι ακόμα: ˆ AE 9 E και ABE 9 E1 (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο EB ). Άρα: (1) 1 Aˆ E ABE 9 E 9 E Aˆ E ABE 18. ΘΕΜΑ 788 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB( A 9 ) B 5, το ύψος του A και σημείο E, ώστε E B. Το σημείο Z είναι η προβολή του στην. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

4 α) Να αποδείξετε ότι: i) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii) AE 1. (Μονάδες 1) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. (Μονάδες 9) α.i) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, επειδή η A είναι μεσοκάθετος του. α.ii) B 5, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AB και από το ισοσκελές, έχουμε διαδοχικά: ˆ 4 και AE ˆ5. Αλλά η AE ˆ είναι εξωτερική στο τρίγωνο AE, άρα: AEB ˆ AE AE ˆ 1. β) Είναι ˆ Z 9, EZ ˆ 5 (ως κατακορυφήν της AE ), οπότε, Eˆ Z 4. ΘΕΜΑ 79 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία, ώστε να ισχύει A B. Επίσης θεωρούμε σημείο Oεκτός του ευθυγράμμου τμήματος AB έτσι ώστε να ισχύουν O AΓ και O B. α) Να αποδείξετε ότι: i. η γωνία O 6 (Μονάδες 9) ii. οι γωνίες OA,OB είναι ίσες και κάθε μια ίση με 3. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

5 β) Αν το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος AB, να αποδείξετε ότι OM OA. (Μονάδες 7) α) Το τρίγωνο Oείναι ισόπλευρο εκ κατασκευής και το ζητούμενο έπεται άμεσα β) Τα τρίγωνα OA,OB είναι ισοσκελή, οπότε οι γωνίες που πρόσκεινται σε κάθε βάση είναι ίσες κι αφού οι εξωτερικές τους γωνίες O O 6, το ζητούμενο έπεται άμεσα. γ) Το OMείναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο, άρα και ύψος, οπότε το OA τρίγωνο MOA είναι ορθογώνιο με A 3, άρα OM OA OM. ΘΕΜΑ 794 Σε τραπέζιο AB AB/ / είναι AB. Επίσης τα Z,H,E είναι τα μέσα των A,B και αντίστοιχα. Ακόμη η ZHτέμνει τις AE,BE στα σημεία,i αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο AB Eείναι παραλληλόγραμμο. β) Να δείξετε ότι, τα σημεία,i είναι μέσα των AE,BE αντίστοιχα. γ) Να δείξετε ότι 3 ZH AB. αφού το E είναι μέσο του και α) Είναι E 1 1 AB/ / AB/ / E, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

6 έτσι το AB E είναι παραλληλόγραμμο. β) Το ZHείναι διάμεσος του τραπεζίου AB, οπότε ZH/ /AB/ / και AB ZH. Στο τρίγωνο AE το Z είναι μέσο της A και Z / / E, έτσι το είναι μέσο του AE. Ομοίως, στο τρίγωνο BE είναι H μέσο του B και HI / / E, έτσι το I είναι μέσο του BE. γ) Από ΘΕΜΑ 796 AB AB AB AB 3AB ZH ZH ZH. Δίνεται κύκλος με κέντρο O και έστω AB μία διάμετρός του, το μέσο του ενός ημικυκλίου και τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της B(προς το B) θεωρούμε σημείο E ώστε BE A. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα A, BE είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii) Η είναι κάθετη στηe. (Μονάδες 8) β) Να αιτιολογήσετε γιατί στην περίπτωση που το σημείο είναι αντιδιαμετρικό του, η E είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9) α. i) Επειδή το είναι μέσο του ημικυκλίου, θα είναι A B και Aˆ B 9. Τα τρίγωνα A, BE έχουν: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

7 A B ABE (από υπόθεση) A EB (η γωνία εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι ίση με την απέναντι εξωτερική). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π). α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι. ˆ ˆ E. E AB AB 9 β) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα ˆE 9 και επειδή η είναι διάμετρος του κύκλου, η E θα είναι εφαπτομένη. ΘΕΜΑ 797 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Aˆ B και έστω A ύψος και BE διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο Z. α) Να αποδείξετε ότι: i. B 6 και AZ BZ. (Μονάδες 1) ii. 3 A BZ (Μονάδες 8) β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο AZE είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου AB. (Μονάδες 7) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

8 α) i. Aˆ B ABˆ 3B 3B 18 B 6. Από το ορθογώνιο τρίγωνο AB, έχουμε ότι A 3 κι ακόμα 1 6 B 3 το ABZ είναι ισοσκελές, άρα AZ BZ. 1, οπότε από το BZ με B 3, έχουμε ότι: BZ Z, ii. Αφού AZ BZ και έπεται ότι: BZ 3 A AZ Z BZ BZ. β) Αφού το τρίγωνο ΑZEείναι ισόπλευρο, έχουμε ότι A 6, οπότε A Επίσης B 6, οπότε ˆ 3. ΘΕΜΑ 799 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου A,B, Z, H,ZK,H που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά A,B,,,,E,M,H,K,,Z. Αν το σημείο, είναι μέσο των τμημάτων A και B ενώ το σημείο E είναι μέσο των τμημάτων Z και H, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο. β) Τα σημεία B,,Z είναι συνευθειακά. γ) Το τετράπλευρο AZ είναι παραλληλόγραμμο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

9 α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται στο E και είναι ίσες λόγω της υπόθεσης. β) Για τον ίδιο λόγο και το AB είναι ορθογώνιο, έτσι: B Z άρα τα σημεία B,,Z είναι συνευθειακά. γ) Για τον ίδιο λόγο και τα σημεία A,,H είναι συνευθειακά, οπότε A / / Z 1. Το τετράπλευρο E είναι ρόμβος αφού και οι τέσσερεις πλευρές του είναι ίσες ως μισά ίσων τμημάτων, οπότε E. Τα τρίγωνα A και EZ είναι ίσα από αφού έχουν: A E και ZE ως μισά ίσων τμημάτων και A EZ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών E. Έτσι A Z. Από 1, A / / Z άρα το AZ είναι παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 8 Δίνεται ευθεία ( ) και δυο σημεία εκτός, αυτής έτσι ώστε η ευθεία να μην είναι κάθετη στην ( ). Φέρουμε, κάθετες στην ( ) και μέσα, τωνκαι αντίστοιχα. α) Αν τα είναι, στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ), i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας: 1). (Μονάδες 4) ). (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα σε σχέση με τα τμήματα, στις δυο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

10 προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία( ) τέμνει το τμήμα στο μέσο του να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα ταυτίζονται., Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+) α) i) Στην περίπτωση 1) όπου, έχουμε και //. Όμως οι // δεν είναι παράλληλες διότι αν ήταν το τετράπλευρο θα ήταν παραλληλόγραμμο άρα. Άτοπο. Επομένως το τετράπλευρο θα είναι τραπέζιο. αφού και Στην περίπτωση ) είναι και //, επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης είναι ˆ 9 συνεπώς το είναι ορθογώνιο. ii) Στην περίπτωση 1) όπου το είναι τραπέζιο η είναι διάμεσος και επομένως. Στην περίπτωση ) όπου το είναι ορθογώνιο θα είναι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

11 β) Είναι //. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα,. Είναι 1) ˆ ˆ 9. ) αφού μέσο της. ˆ ˆ ως κατακορυφήν, 3) 1 επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και. Συνεπώς το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι διαγώνιοι του, διχοτομούνται και επομένως είναι. Οπότε το μέσο της είναι το και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το είναι το μέσο της, συμπερασματικά τα σημεία, ταυτίζονται. ΘΕΜΑ 84 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο AB, τα ύψη του B και E που τέμνονται στο σημείο H και το μέσο M της πλευράς B. α) Να αποδείξετε ότι: i) MME. (Μονάδες 1) ii) Η ευθεία τέμνει κάθετα τη B και AH, ˆ όπου ˆ η γωνία του τριγώνου AB. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου. (Μονάδες 1) α.i. Τα ορθογώνια τρίγωνα B, EB έχουν αντίστοιχες διαμέσους M, EM. Άρα: B M ME. α. ii) Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AB, οπότε και το τρίτο ύψος θα διέρχεται από το σημείο H. Δηλαδή, AH B. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

12 Τα τρίγωνα AH, AZ είναι ισογώνια, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία A 1. Άρα: ˆ AH. γ) Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. (Πόρισμα του σχολικού βιβλίου). ΘΕΜΑ 86 Δύο κύκλοι ( K, ),(, R) τέμνονται στα σημεία A, B. Αν και είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του A στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι: α) AB 9 (Μονάδες 5) β) Τα σημεία, B, είναι συνευθειακά. (Μονάδες 1) γ) Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία K,,, είναι τραπέζιο. α) Στον κύκλο (, ) η γωνία είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε 9. β) Ομοίως είναι και AB 9 (ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο του κύκλου ( ). Άρα B 18, δηλαδή τα σημεία, B, είναι συνευθειακά. (Μονάδες 1) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

13 γ) Τα σημεία K, είναι τα μέσα των πλευρών A, A αντίστοιχα, του τριγώνου. Το τετράπλευρο λοιπόν, με κορυφές τα K είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, αφού A. Άρα K και K σημεία,,, K ). ΘΕΜΑ 88 Θεωρούμε παραλληλόγραμμο AB,,, αντίστοιχα, σε μία ευθεία (). AB και τις προβολές AB,,, των κορυφών α) Αν η ευθεία () αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι AA 3, BB, 5, τότε: i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου O του παραλληλογράμμου από την ευθεία () είναι ίση με 4. (Μονάδες 8) ii) Να βρείτε την απόσταση. (Μονάδες 9) β) Αν η ευθεία ( ) διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις AA, BB,, ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) α. i) Έστω ' η προβολή του O στην ευθεία (). Το τετράπλευρο AA είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο γιατί AA ) και είναι η διάμεσός του (Αφού είναι το μέσο του A και AA 35 OO AA ). Άρα: OO OO 4 α. ii) Ομοίως το τετράπλευρο BB είναι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

14 τραπέζιο και OO είναι η διάμεσός του. Άρα: 6. BB OO 4 β) Οι αποστάσεις είναι ίσες. Πράγματι, η ευθεία () διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και έστω ότι είναι παράλληλη στις AB,. Άρα θα είναι η μεσοπαράλληλή τους, οπότε θα ισαπέχει από αυτές, άρα από τις κορυφές του παραλληλογράμμου. και ΘΕΜΑ 81 Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο AB που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα. Τα τμήματα Z και είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία και B αντίστοιχα. Αν το τμήμα H είναι κάθετο στο τμήμα στο Z, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7 ) β) Το τετράπλευρο AZB είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο BH είναι τραπέζιο με BBZ και H B. α) Bˆ Z BZ 6 (είναι γωνίες χορδής και (Μονάδες 1) εφαπτομένης ίσες με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη A 6 ). Επομένως το τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο. β) Τα τρίγωνα AB και ZB είναι ισόπλευρα, οπότε όλες οι πλευρές του τετραπλεύρου AZB είναι ίσες μεταξύ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

15 τους, άρα είναι ρόμβος. γ) AZ B (ως διαγώνιες ρόμβου) και AZ H (από υπόθεση). Άρα B H, δηλαδή το τετράπλευρο BH είναι τραπέζιο, αφού οι B, H τέμνονται στο σημείο A. Αν M είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου AZB, τότε θα είναι το μέσο της B, άρα τα σημεία B, είναι τα μέσα των πλευρών A, AH αντίστοιχα, του τριγώνου AH. Επομένως: H B και B AB A BZ. Σημείωση Το κέντρο O του κύκλου και η ακτίνα που δίνονται στην εκφώνηση, και το σημείο E που δίνεται στο σχήμα, δεν χρησιμεύουν πουθενά. ΘΕΜΑ 3691 Οι κύκλοι ( K, ) και (,3 ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A. Μία ευθεία εφάπτεται εξωτερικά και στους δυο κύκλους στα σημεία B και αντίστοιχα και τέμνει την προέκταση της διακέντρου K στο σημείο E. Φέρουμε από το σημείο K παράλληλο τμήμα στην που τέμνει το τμήμα στο. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BK είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία K ˆ είναι 3 o. (Μονάδες 8) γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα E6, όπου η ακτίνα του κύκλου ( K, ). α) Αφού είναι κοινή εφαπτομένη έχω BK και. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

16 Άρα B και ˆ o B 9 ˆ. Είναι άρα K (υπόθεση )και, K δηλ. ˆ 9 o. Τότε το τετράπλευρο BK είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές γωνίες. β) Λόγω του α) BK ως απέναντι πλευρές ορθογωνίου. Έτσι, 3. Τότε στο ορθογώνιο ( ˆ 9 o ) τρίγωνο K, K από θεώρημα, 1ˆ 3 o.. Άρα γ) Αλλά ˆ ˆ 1 3 o ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, των παραλλήλων K που τέμνονται από E.Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο E, ˆ 3 o E. Επομένως E 6. ΘΕΜΑ 3693 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 9 ), και η διχοτόμος του B. Από το φέρνουμε την κάθετη στην και ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της. Να αποδείξετε ότι: (α) Το τρίγωνο E είναι ισοσκελές. (β) Τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα. (γ) Η ευθεία B είναι μεσοκάθετη των τμημάτων AE και Z. (δ) Το τετράπλευρο AE Z είναι ισοσκελές τραπέζιο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

17 (α) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB και EB έχουν την υποτείνουσα B κοινή και AB EB. Άρα είναι ίσα και άρα θα έχουν και BA BE, δηλαδή το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές. (β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και BEZ έχουν: BA BE (όπως είδαμε στο (α) ερώτημα) και την γωνία ABE κοινή. Άρα είναι ίσα. (γ) Αφού το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές και η B είναι διχοτόμος της γωνίας B, άρα η B είναι μεσοκάθετος του AE, διότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και διάμεσος και ύψος. Επίσης αφού και τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα έχουμε ότι BBZ και άρα και το τρίγωνο BZ είναι ισοσκελές με κορυφή το B. Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή Bθα είναι η μεσοκάθετος του Z. (δ) Οι ευθείες AE, Z είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία B. Kαι εφόσον οι ευθείες E, ZAτέμνονται (στο ) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο AE Z είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι: BBZ και BE BA. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : E AZ, οπότε το πιο πάνω τραπέζιο είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ 3694 Δίνεται τρίγωνο ( B) και η διχοτόμος. Φέρουμε από το B κάθετη στην που τέμνει την στο E και την πλευρά Aστο H. Αν M είναι το μέσο της πλευράς Bνα αποδείξετε ότι: α)το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

18 β) EM // H. (Μονάδες 8) γ). (Μονάδες 8) α) Στο τρίγωνο αυτό η AE είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ABHη AE είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του BH. Έτσι, από το τρίγωνο BH προκύπτει ότι EM // H. γ) Είναι, διότι AH AB, αφού το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα. ΘΕΜΑ 3695 Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του BEκαι που αντιστοιχούν στις πλευρές A και AB αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB=A, τότε τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 1) β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει. (Μονάδες 1) γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

19 (Μονάδες 5) α) Αρκεί να δείξουμε ότι BE. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα Bκαι EB είναι ορθογώνια ˆ E 9 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις γωνίες Bκαι ˆ ίσες (καθώς το ABείναι ισοσκελές με βάση B), συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα BE. β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση B, αν τα ύψη του BE και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες Bκαι ˆίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα B και EB ˆ E 9 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις είναι ορθογώνια πλευρές BE και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες Bκαι ˆίσες μεταξύ τους. γ) Μια διατύπωση: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα. ΘΕΜΑ 3696 Δίνεται οξεία γωνία xoy ˆ και δύο ομόκεντροι κύκλοι ( O, 1) και ( O, ) με, που τέμνουν την x στα σημεία K, A και την y στα,b αντίστοιχα. 1 Να αποδείξετε ότι: α) A BK. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

20 β) Το τρίγωνο APB είναι ισοσκελές, όπου P το σημείο τομής των Aκαι BK. (Μονάδες 8) γ) Η O διχοτομεί την γωνία ˆ xoy. (Μονάδες 9) α) Συγκρίνω τα τρίγωνα O K B και OA. Έχουν: OK O 1 OB OA OKB OA (Π-Γ-Π). Άρα, Oˆ Oˆ A BK και 1 (1). β) Συγκρίνω τα τρίγωνα KAP και PB. Έχουν: AK B 1 1 KAP PB K11(*) (Γ-Π-Γ). (*) ισχύει λόγω (1), P 1 P (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου 18 o. Άρα PA PB (), δηλ. PAB ισοσκελές. γ) Συγκρίνω τα τρίγωνα OAP και OBP. Έχουν: (Π-Π-Π). Άρα, 1 δηλ. ΟΡ διχοτόμος xoy ˆ. OB OA PA PB() OAP OBP OP ΘΕΜΑ 3697 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

21 i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8) ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9) α) Υποθέτουμε ότι,, είναι τα μέσα του ισοσκελούς τριγώνου ( ) τότε: AB EZ/ / E, Z έ A,B,Zέ AB,B AΓ Z/ / ABA EZ Z. Άρα το είναι ισοσκελές. β) i. Υποθέτουμε ότι τα,, είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου, τότε: AB EZ/ / E,Z A,B έ A,Z έ AB,B Z/ /,E έ AB,A B E / / AB A B EZ Z E. Άρα το είναι ισόπλευρο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

22 ii) Υποθέτουμε ότι τα,, είναι τα μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, A 9 o τότε: Γνωρίζουμε ότι το σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι ισοσκελές από το ερώτημα (α), μένει να δείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. o Z AE A9 ZE A A ZE# Z 9 o. ΘΕΜΑ 3698 Δίνεται τραπέζιο AB με O AB, A= ˆ ˆ=9, AB και B ˆ 3ˆ.Από το B φέρνουμε κάθετη στη που τέμνει την A στο σημείο K και την A στο E. Επίσης φέρνουμε την AE που τέμνει τη B στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: O α) ˆ 45. (Μονάδες 8) β) BAE. (Μονάδες 9) γ) 1 K. (Μονάδες 8) 4 α) Αφού AB τότε Bˆ 3ˆ o ˆ ˆ 18 ˆ o B 45 ως εντός και επί τα αυτά μέρη (...). β) Αφού BE, BEA ˆ BE ˆ 9 o. Τότε: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

23 Το τετράπλευρο ABE είναι ορθογώνιο αφού και A ˆ ˆ 9 o (τρεις ορθές). Άρα AE B (διαγώνιες ορθογωνίου ίσες). Ακόμη AE, B διχοτομούνται. Άρα μέσο του $AE$. Λόγω του ορθογωνίου ακόμη, E AB (απέναντι πλευρές ορθογωνίου). Τότε E E. τρίγωνο? BE ορθογώνιο με ˆ 45. Άρα ισοσκελές, με BE E. 1 γ) Έτσι έχουμε AB E. Άρα το τετράπλευρο AB E είναι παραλληλόγραμμο. Έτσι A, BE διχοτομούνται. Άρα K μέσο A. Τότε στο τρίγωνο AE τα K, είναι μέσα, άρα E K. 4 ΘΕΜΑ 3699 Έστω παραλληλόγραμμο AB. Αν τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) AE BZ. (Μονάδες 8) γ) Οι E και τριχοτομούν τη διαγώνιο A του παραλληλογράμμου (Μονάδες 7) AB. α) AB EB Z, οπότε το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. β) Θα δείξω ότι. Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από την E) και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

24 τη. Άρα, δηλαδή AE BZ. γ) Έστω, τα σημεία τομής της A με τις E, ZB αντίστοιχα. Θα δείξω ότι AM MN N. Στο τρίγωνο έχουμε: E είναι το μέσο της και //. Άρα, M είναι το μέσο της. Οπότε: AM MN. Στο τρίγωνο Mέχουμε: Z είναι το μέσο της και το μέσο της M. Οπότε: MN M. Επομένως, AM MN N. ZN M. Άρα, N είναι Β τρόπος Ας πούμε το μήκος της πλευράς AB aa, τότε προφανώς θα είναι : AE EB Z Z. α) το τετράπλευρο EBZ έχει τις απέναντι πλευρές του Z,EB παράλληλες γιατί από την υπόθεση το Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

25 τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης Z EB. Δηλαδή Z / / EB που μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο και άρα : β) E / / ZB, οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες, συνεπώς ZB EB. Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από: ZB EB 18 ZB 18 EB 1. γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην ZBκαι θα κόψει την ευθεία ABστο. Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ZB είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Θα είναι επομένως ίσες, οπότε: Z B. Ας είναι τώρα K, τα σημεία τομής της Aμε τις E,ZB αντίστοιχα. Οι ευθείες E,ZB, είναι παράλληλες και τα τμήματα AE EB B θα είναι λοιπόν και AK K. Αφού ως γνωστόν: Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών είναι ίσα. ΘΕΜΑ 37 Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι 3 και το κέντρο του. Φέρουμε. α) Να αποδείξετε ότι η γωνία χωρίζεται από τη και τη διαγώνιο σε τρείς ίσες γωνίες. (Μονάδες 13) β) Φέρουμε κάθετη στην στο σημείο η οποία τέμνει την προέκταση της στο. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 1) 6 γιατί Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

26 Στο τρίγωνο έχουμε 18 3.Άρα 6. Στο τρίγωνο έχουμε 3. Στο τρίγωνο έχουμε 6. Άρα 6 (ως κατακορυφήν). Στο τρίγωνο έχουμε 3. Στο τρίγωνο έχουμε ( ισοσκελές ) άρα 3. β) Επειδή και 6 τότε ισόπλευρο. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν, Άρα είναι ίσα. ΘΕΜΑ 371. Έστω ότι E,Z είναι τα μέσα των πλευρών AB, παραλληλογράμμου AB αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο AB επιπλέον ισχύει AB A, να εξετάσετε αν είναι αληθείς ή όχι οι ακόλουθοι ισχυρισμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. Ισχυρισμός : AE =BZ Ισχυρισμός 3: Οι E, BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών,b. α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. (Μονάδες 16) β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

27 α) Ισχυρισμός 1: Είναι αληθής αφού : Z/ /EB και Z EB ως μισά ίσων τμημάτων. Άρα τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ένα ζεύγος πλευρές ίσες και παράλληλες. Ισχυρισμός : Είναι αληθής αφού : AE =EBZ (εντός,εκτός και επί τα αυτά των E//BZ ), EBZ=BZ (εντός εναλλάξ των / /AB ). Επομένως : AE =BZ. Ισχυρισμός 3: Οι E, BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών,b. Αν υποτεθεί ότι αυτό συμβαίνει, τότε ˆ ˆ 1 AE,οπότε το τρίγωνο AE θα είναι ισοσκελές, άρα 1 A AE AB. Η τελευταία σχέση, εφόσον A AB μπορεί να είναι είτε αληθής, είτε ψευδής. Άρα ο ισχυρισμός ότι Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών,b είναι άλλοτε αληθής κι άλλοτε ψευδής. Ομοίως για την BZ β) Ισχυρισμός 3: Ο ισχυρισμός είναι αληθής εφόσον, όπως είδαμε στο (α), 1 ισχύει : A AB. ΘΕΜΑ 374 Έστω ( 1),( ) δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες. α) Αν M 1 είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την ( 1) και M το συμμετρικό του M 1 ως προς την i. OM OM 1. ( ), να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

28 ii. Τα σημεία Μ, Ο και M είναι συνευθειακά. iii. Το τρίγωνο MM1M είναι ορθογώνιο. β) Αν M 3 είναι το συμμετρικό σημείο του M ως προς την ( 1), τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το MM1M M 3; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (α) (i) Αφού η ( 1) είναι μεσοκάθετος του MM 1, (λόγω της συμμετρίας), θα έχουμε OM OM. 1 (ii) Αφού και η ( ) είναι μεσοκάθετος της MM 1 άρα και το τρίγωνο OM1M είναι ισοσκελές. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα OMM 1 και OM1M είναι ισοσκελή, άρα τα ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των γωνιών των κορυφών τους. Άρα O1 O και O3 O 4. Όμως 3 9 o o O O O O 3 18 o MOM M OM 18 MOM 18. o 1 1 Άρα τα σημεία M, O, M είναι συνευθειακά. (iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω, είναι MO OM1OM. Άρα στο τρίγωνο MOM η διάμεσος MO 1 ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με MM M. 1 9 o (β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ii) δείχνουμε ότι τα σημεία M3, O, M1είναι επίσης συνευθειακά και ότι το τρίγωνο OM M 3 είναι και αυτό ισοσκελές. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

29 Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα προηγούμενα, θα έχουμε: OM 3 OM OM1 OM. Συνεπώς στο τετράπλευρο MM1M M 3 οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 375 Δίνεται ορθογώνιο AB και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ABE, BZ, H, A. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 15) β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το EZH ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ˆH 15. α) ˆ H 36 ˆ A A ˆ H ˆ Ομοίως αποδεικνύεται ότι: AE ZBE Zˆ H 15. Έχουμε ακόμα: H AE EB H και A BZ Z. Άρα τα τρίγωνα H, AE, BZE, ZH είναι ίσα (Π-Γ-Π). Οπότε, EZ ZH H E. Δηλαδή το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 1) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

30 β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος θα είναι ισοσκελή, οπότε H ˆ AˆE 15. Hˆ E Hˆ ˆ A Aˆ E HˆE 9. Άρα το EZH είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή. ΘΕΜΑ 376 Θεωρούμε ευθεία ( ) και δυο σημεία A και B εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι κάθετη στην (). Έστω και τα συμμετρικά σημεία των A και B αντίστοιχα ως προς την ευθεία (). α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο K, να αποδείξετε ότι το K ανήκει και στη μεσοκάθετο του. (Μονάδες 1) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

31 γ) Να βρείτε την σχέση των ευθειών και της ευθείας () ώστε το τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) α) Τα συμμετρικά των,, ως προς ( ) είναι τα,,. Άρα KA KA KB KB, AB AB. Αλλά ( ) μεσοκάθετος του. Άρα KA KB. Επομένως KA KB. Συνεπώς K ανήκει στη μεσοκάθετο του. β) Από ορισμό συμμετρίας, έχω ότι AA και BB. Άρα AA/ / BB (1). 1η περίπτωση: Αν AB AB τότε εξ ορισμού είναι τραπέζιο. (και μάλιστα ισοσκελές αφού AB AB ). η περίπτωση: Αν AB AB τότε εξ ορισμού είναι παραλληλόγραμμο. AA BB Άρα AA BB.Έτσι AM BN. Συνεπώς το ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι AA. Τότε, AB AA. Επομένως το είναι ορθογώνιο. γ) Όπως προκύπτει από το β), πρέπει A / /( ). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 31

32 Όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση τα ερωτήματα β), γ) δεν είναι σωστά.(ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ). ΘΕΜΑ 378 Δίνεται τραπέζιο ( // ) με τη γωνία ίση με 3 ο και έστω τα, μέσα των διαγωνίων του. Οι μη παράλληλες πλευρές του και προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδες 1) β) (Μονάδες 1) γ) Σε ποια περίπτωση το είναι παραλληλόγραμμο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 5) Επειδή AB/ / θα είναι ˆ 3. 1 Ας πούμε AB a, b,k x,a y AE u. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB επειδή η κάθετη πλευρά AE βρίσκεται απέναντι των 3 θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή AB AE ή a u (1). β) Με όμοιο τρόπο από το ορθογώνιο τρίγωνο E προκύπτει : AE ή b ( y u) (). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

33 Από τις (1) και () έχουμε : AB ba ( y u) u y (3). Όμως για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγώνιων τραπεζίου ξέρουμε ότι είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την (θετική) ημιδιαφορά τους. Δηλαδή και λόγω της (3), ba y K x y A. γ) Το AB K είναι παραλληλόγραμμο όταν εναλλακτικά : a y δηλαδή όταν. Έστω τώρα ότι το AB K είναι παραλληλόγραμμο. Τότε AB / / K και άρα a x a y ( λόγω του β ερωτήματος). Μα τότε το τρίγωνο AB θα είναι ισοσκελές με κορυφή το A και άρα 4. Όμως 3 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB που τέμνονται από την B. Έτσι και λόγω μεταβατικότητας 3 4. Δηλαδή η Bδιχοτόμος της γωνίας των 6 του ορθογωνίου τριγώνου E. Κάποιες παρατηρήσεις που προφανώς δεν υποχρεούται ο μαθητής να τις γράψει.η όλη κατασκευή του σχήματος ακολουθεί την παρακάτω πορεία. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 33

34 Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα γράφουμε ημικύκλιο. Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει το ημικύκλιο στο E. Από τυχαίο σημείο B του E φέρνουμε παράλληλη στην και τέμνει την E στο A. Στην περίπτωση που το AB K είναι παραλληλόγραμμο το σημείο B επιλέγεται ως τομή της E με τη μεσοκάθετο του B. ΘΕΜΑ 379 Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB/ /CD και o C 3. Αν KLτα, μέσα των διαγωνίων BD, AC αντίστοιχα και αν οι πλευρές DA, CB προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο E να αποδειχθεί ότι: i). ii) L AD. iii) Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο ABKL είναι παραλληλόγραμμο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. i) DCB ABE 3 ως εντός εναλλάξ. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE η πλευρά AE βρίσκεται απέναντι από γωνία 3 κι έτσι είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας που είναι η AB. AB Τελικά AE AB AE. ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο CDE η CD πλευρά DE βρίσκεται απέναντι από γωνία 3 άρα DE. Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή ) CD AB CD AB KL i DE AE AD όπως θέλαμε. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 34

35 iii) Η KL γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην AB θα πρέπει όμως να είναι και ίση με αυτήν δηλαδή ii) KL AB AD AB. Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν AD AB. ΘΕΜΑ 3711 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AB, A 9 και το ύψος του. Έστω και E τα συμμετρικά σημεία του H ως προς τις ευθείες και Aαντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ό τι: I. AH A AE. (Μονάδες 6) II. Το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6) III. Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6) β) Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ΣΧΟΛΙΟ Ζητείται πρώτα να δειχτεί ότι το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο και κατόπιν (!) ότι Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. Εδώ, προφανώς είναι λάθος η σειρά των ερωτημάτων. Αν ένας μαθητής δεν αποδείξει πρώτα το (ΙΙΙ), θα έχει κάνει λάθος, αν θεωρήσει (αναπόδεικτα) ότι η E διέρχεται από το A. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 35

36 Αν ένας μαθητής φέρει τη E, δίχως να περνά από το A θα πελαγώσει... Δίνω μια λύση, παρατηρώντας ότι το ερώτημα (β) θα μπορούσε να απαντηθεί ευκολότερα αν χρησιμοποιούνταν ομοιότητα τριγώνων ή Μετρικές σχέσεις (ύλη Β Λυκείου). Αναρωτιέμαι αν υπάρχει λύση δίχως Απαγωγή σε άτοπο. α) Ι)Λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A, B, είναι A AH. Ομοίως, λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A,, είναι AE AH. ΙΙΙ) Λόγω συμμετρίας είναι A1 A, A3 A4 και αφού AA3 9, θα είναι A1 A A3 A4 18, οπότε τα E, A, είναι συνευθειακά. ΙΙ) Αφού στο τρίγωνο EH η διάμεσός του HAείναι το μισό της πλευράς E, θα είναι H 9. β) Για να ήταν με ακρίβεια διατυπωμένη η εκφώνηση, θα έπρεπε να αναφέρεται: "Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι σε κάθε περίπτωση ίσα;" Είναι B ˆ, E ˆ αφού έχουν πλευρές κάθετες. Για να είναι ίσα, αρκεί να έχουν ίσες υποτείνουσες, δηλαδή αρκεί να είναι B AH. B Αν M μέσο της B, διαφορετικό σημείο από το H, είναι AM. Επειδή το είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM, είναι αδύνατο να είναι AH AM. Οπότε, τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα, μόνο όταν το ABείναι και ισοσκελές. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 36

37 ΘΕΜΑ 3713 Δίνεται τρίγωνο με και η διχοτόμος της γωνίας. Από το μέσο M της A φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο B που τέμνει την πλευρά B στο N. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές. (Μονάδες 1) γ) AN B. (Μονάδες 1) α) Bˆ B ˆ, οπότε το τρίγωνο B είναι ισοσκελές με B. β) MN B ˆ, γιατί οι γωνίες MN, B είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων B,. Άρα το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές με. γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε MN M A. ANείναι ορθογώνιο με AN N AN B. Δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου AN ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο ΘΕΜΑ 3714 Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και, το καθένα ίσο με 1. Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 37

38 α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους. γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και. α) Είναι 6 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 1. Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες 6. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν: 3 και 4. Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και Το τρίγωνο έχει και 6 5 ως χορδές με ίσα αντίστοιχα τόξα 6, 3 1 και 3 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 6. Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες με 3 τότε οι τρίτες γωνίες τους είναι: γ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες ίσες (β ερώτημα) έτσι είναι: 4. από το ισόπλευρο τρίγωνο, οπότε άρα το είναι και αυτό ισόπλευρο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 38

39 Έτσι από τις σχέσεις 3, 4, 5 δηλαδή η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και. ΘΕΜΑ 3715 Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις 1 και : 1: Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις 1 και αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5) α) Έστω παραλληλόγραμμο AB και, οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του. 1: Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Τα τρίγωνα ABE, BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, AB B (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και A (απέναντι ˆ γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα BE BZ, οπότε η πρόταση ισχύει. : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου είναι ίσες. Τα τρίγωνα ABE, BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, BE BZ (από υπόθεση) και A (απέναντι ˆ γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα AB B. Δηλαδή το Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 39

40 παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει. β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. ΘΕΜΑ 3717 Δίνεται τρίγωνο και Έστω τα, μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και τα, συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι //. β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς, και τα, συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. α) Αφού τα είναι, τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου θα ισχύει / / 1 και. Τα είναι, και τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου έτσι Από 1, 3 / /.. / / 3 και 4 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

41 β) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε: Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / 5. Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / επειδή το ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου. Άρα. / / 6 Από 5, 6 / / / /. Ομοίως / / / /. Άρα τα σημεία και, είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια παράλληλη διέρχεται προς το. ΘΕΜΑ 3718 Το τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε AZ και AE B. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) β) Η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 9) γ) Αν και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 1) α) Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ZAκαι AEB: Είναι ορθογώνια καθώς Z E 9 o έχουν ίσες υποτείνουσες A,AB (πλευρές ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες ˆ,B(απέναντι παραλληλογράμμου),άρα είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα AZ AE και το τρίγωνο ZAE είναι ισοσκελές. β) Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ZE. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 41

42 Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει Z Z B BE E, άρα το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ZE. Ομοίως το σημείο A ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ZE, άρα τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ZE. γ) Τα σημεία M,N είναι μέσα υποτεινουσών των ίσων τριγώνων ZAκαι AEB, άρα οι διάμεσοι ZM,EN θα είναι ίσες μεταξύ τους. Μένει να δείξουμε ότι MN/ /ZE. Στο τρίγωνο AB: Τα M,N είναι μέσα των πλευρών Aκαι ABαντίστοιχα, συνεπώς: MN/ / B. Από το ερώτημα β) ZE A ZE / / B. A B Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι MN/ /ZE. Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ZM,ENδεν είναι παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες, είναι η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών. Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου; ΘΕΜΑ 37 Δίνεται ρόμβος AB με ˆ 1. Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του σημείου A στις πλευρές και B αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

43 i) Τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. (Μονάδες 8) ii) A EZ. (Μονάδες 8) β) Αν M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) α) i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. Άρα ˆA AˆB 6. Τα τρίγωνα λοιπόν A, AB, ως ισοσκελή με μία γωνία 6, θα είναι ισόπλευρα. Άρα τα ύψη, θα είναι και διάμεσοι. Οπότε, τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. α. ii) EZ B (Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος). Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι A EZ. B β) MN ( M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα). Αλλά και B EZ. Οπότε MN EZ, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως A B, θα είναι και EZ EM. Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 371 Στο ισοσκελές τρίγωνο AB ( AB A ) φέρουμε τις διαμέσους B και E. Μία ευθεία παράλληλη στη βάση B τέμνει τις πλευρές και A στα Z και H αντίστοιχα και τις διαμέσους B και E στα σημεία και K αντίστοιχα. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 43

44 Να αποδείξετε ότι: α) BZ H. (Μονάδες 8) β) τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα. (Μονάδες 9) γ) ZK H. (Μονάδες 8) α) Αφού B και BZ,H τέμνονται στο Α, το τετράπλευρο ZHB είναι τραπέζιο. Αφού τρίγωνο AB ισοσκελές, τότε B ˆ ˆ. Συνεπώς ZHB είναι ισοσκελές τραπέζιο. Επομένως BZ H (1). AE A ˆ ˆ A A β) A AB AE A B 1 ˆ ˆ () Αφού B και B ˆ ˆ τότε Zˆ ˆ 1 H (3) (ως παραπληρώματα ίσων γωνιών-εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες). Από (1),(),(3) και το κριτήριο ( ), τα τρίγωνα γ) Συνεπώς ZKH. Άρα ZK ZK KH K H. ΘΕΜΑ 37 ZB και HK είναι ίσα. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με και. Να αποδείξτε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 44

45 γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του είναι ορθογώνιο. α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή έτσι 1., 1 οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με. β) Επειδή και τα σημεία, ισαπέχουν από τα άκρα της οπότε η είναι η μεσοκάθετος της δηλαδή. γ) Αν,,, τα μέσα των,,, αντίστοιχα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (γνωστή εφαρμογή). Είναι // και // αφού τα, ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των τριγώνων και αντίστοιχα, έτσι 9 ως παράλληλες σε κάθετες ευθείες. Άρα το είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ 373 Στο κυρτό εξάγωνο ABEZ ισχύουν τα εξής: ˆ, ˆ ˆ ˆ και ˆ ˆ. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 45

46 (α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ˆ ˆ ˆ. (8 Μονάδες) (β) Αν οι πλευρές και E προεκτεινόμενες τέμνονται στο H και οι πλευρές και προεκτεινόμενες τέμνονται στο, να αποδείξετε ότι: (i.) Οι γωνίες A και H είναι παραπληρωματικές. (1 Μονάδες) (ii.) Το τετράπλευρο AH είναι παραλληλόγραμμο. (7 Μονάδες) (α) Οι γωνίες κυρτού εξαγώνου έχουν άθροισμα ορθές, δηλ Αφού ˆ, ˆ ˆ ˆ και ˆ ˆ 7, είναι ˆ ˆ ˆ 36. (β) (i) Είναι Aˆ Hˆ ˆ (18 HZE ˆ HEZ ˆ ) ˆ ˆ HEZ ˆ ˆ ˆ (18 ˆ ) ˆ ˆ ˆ 18 ˆ ˆ ˆ ος τρόπος Το κυρτό πεντάγωνο ABH έχει άθροισμα γωνιών ορθές, δηλ Συνεπώς, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H 54, κι άρα ˆ ˆ H 54 ( ˆ ˆ ˆ ) Αφού ˆA, ˆ έπεται ότι και A ˆ H ˆ 18. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 46

47 (ii) Από το προηγούμενο υποερώτημα είναι A// H. Επίσης, ˆ ˆ ˆ ˆ H A H 18, κι άρα AH //. Συνεπώς, οι απέναντι πλευρές του AH είναι παράλληλες, κι άρα είναι παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 374 Δίνεται κύκλος (O, R ) με διάμετρο AB και δυο ευθείες 1, εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της διαμέτρου AB. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία εφάπτεται του κύκλου σε ένα σημείο του Eκαι τέμνει τις 1, στα αντίστοιχα., α) Αν το σημείο Eδεν είναι το μέσο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο. ii. A B. β) Αν το σημείο E βρίσκεται στο μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο A B είναι ορθογώνιο. Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου ABως συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 47

48 α) i) Είναι A / / B ως κάθετες στην AB. Ακόμα η δεν είναι παράλληλη στην AB, διότι σε αντίθετη περίπτωση το AB θα ήταν παραλληλόγραμμο με μία ορθή, άρα ορθογώνιο. Τότε η EO ως κάθετη στην θα είναι κάθετη στην AB. Τότε τα AOE,BOE είναι τετράγωνα, οπότε το E θα ήταν μέσον της, που είναι άτοπο. ii) Αφού τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα, έχουμε: A BE E. β) Απαντήθηκε στο α (i) ότι είναι ορθογώνιο. Η περίμετρός του είναι 6R. ΘΕΜΑ 375 Στο τετράγωνο ονομάζουμε το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο σημείο του τμήματος. Φέρνουμε την κάθετη από το στην, που τέμνει το τμήμα στο. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες και του παρακάτω σχήματος είναι ίσες. β) και. γ) Το τμήμα είναι κάθετο στο. α) Είναι ως οξείες με κάθετες πλευρές,. β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν και ως μισά των ίσων διαγωνίων, του τετραγώνου. Έτσι είναι και. Τα και είναι ίσα από γιατί έχουν : ως πλευρές του τετραγώνου, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 48

49 από (α) ερώτημα και ως αθροίσματα των ίσων γωνιών και με 45. Οπότε. γ) Στο τρίγωνο τα τμήματα, είναι ύψη του που τέμνονται στο, δηλαδή το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα και το είναι το τρίτο ύψος του δηλαδή το είναι κάθετο στο. ΘΕΜΑ 376 Θεωρούμε δύο σημεία A και B τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς / μια ευθεία () τέτοια ώστε η ευθεία AB δεν είναι κάθετη στην (). Έστω A το συμμετρικό του A ως προς την ευθεία (). / (α) Αν η AB τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο O, να αποδείξετε ότι: / (i) Η ευθεία ( ) διχοτομεί την γωνία AOA. (ii) Οι ημιευθείες OA και OB σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία (). (β) Αν K είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία () να αποδείξετε ότι: (i) KA KA. (ii) KA KB AO OB. (α) (i) Αφού το A είναι το συμμετρικό του A ως προς την (), η () είναι μεσοκάθετος του AA και άρα OA OA, οπότε το τρίγωνο AOA είναι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 49

50 ισοσκελές. Άρα το ύψος του OE είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του, δηλαδή η () διχοτομεί την γωνία AOA. (ii) Έχουμε AOE EOA, όπως δείξαμε στο (i) και BOK EOA, ως κατακορυφήν. Άρα EOA BOK. (β) (i) Αφού είδαμε ότι η ευθεία () είναι μεσοκάθετος του AA, θα είναι και KA K. (ii) Έχουμε: KA KB KA KB BA λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο KBA. Συνεπώς: KA KB BA BO OA BO OA. Β τρόπος α) i. Επειδή τα και ' είναι συμμετρικά ως προς την η ευθεία είναι μεσοκάθετος του οπότε το τρίγωνο ισοσκελές. ' ' 1 και ' είναι Έτσι η μεσοκάθετος του τριγώνου είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή της '. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

51 ii. Αν είναι το σημείο τομής του ' με την, η οξεία γωνία που σχηματίζει η ημιευθεία με την και η οξεία γωνία της με την, τότε: ' αφού η μεσοκάθετος του ισοσκελούς τριγώνου ' ' είναι και διχοτόμος. Όμως ' ως κατακορυφήν. β) i. Αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος 3. ii. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ' ισχύει: ' θα ισχύει Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο είναι: Από 4, 5 (μεταβατική ιδιότητα). 5. ΘΕΜΑ 377 Στο τετράγωνο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα και την πλευρά κατά τμήμα. α) Να αποδείξετε ότι: i). ii). β) Αν το συμμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τετράγωνο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 51

52 α) i. Έστω είναι η πλευρά του τετραγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: και. Άρα και, 1. ii. Είναι ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από τη β) Αν είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το τμήμα είναι μεσοκάθετος του, αφού το το συμμετρικό σημείο του ως προς. Άρα 4 και 5 1 4, 5.. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

53 Οπότε το είναι τετράγωνο αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες, κάθετες διαγώνιες και μία ορθή γωνία 9. ΘΕΜΑ 378 Έστω ότι ο κύκλος ( O, ) εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου PE στα σημεία A, και B. α) Να αποδείξετε ότι: i. P AP. (Μονάδες 6) ii. P PE E. (Μονάδες 8) β) Αν ABE, να αποδείξετε ότι i. το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii. Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) α. i) Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο από ένα σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα, θα είναι: PA PB, A και E EB. Οπότε: P PA A PA. α. ii) P AP PB PE BE PE E ABE β. i) P PA A PB BE P PE. Άρα το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. β. ii) Είναι O E (ακτίνα κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής). Επειδή όμως ο κύκλος ( O, ) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου PE και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η διχοτόμος από την κορυφή A διέρχεται από το σημείο O και είναι και ύψος. Δηλαδή, PO E. Από το σημείο όμως, υπάρχει μόνο μία κάθετη στη E. Άρα, τα σημεία και, είναι συνευθειακά. ΘΕΜΑ 379 Θεωρούμε κύκλο κέντρου και εξωτερικό σημείο του. Από το φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήμα και. Η διακεντρική ευθεία τέμνει τον κύκλο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 53

54 στο σημείο. Η εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τα και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 1) β). (Μονάδες 8) γ) η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με. (Μονάδες 7) α) Αρκεί να δείξουμε ότι P P. Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική ευθεία POδιχοτομεί την γωνία APB που σχηματίστηκε από τα εφαπτόμενα τμήματα PAκαι PB. Συνεπώς : APO BPO. Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα P και P διαπιστώνουμε ότι είναι ορθογώνια ˆ 9 o έχουν κοινή κάθετη πλευρά P και όπως δείξαμε πριν έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες APO BPO. Συνεπώς είναι ίσα τρίγωνα, άρα έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα, θα είναι λοιπόν P P. β) Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα PA PB συνεπώς συνδυάζοντας και το συμπέρασμα του προηγούμενου ερωτήματος: A PA P PB P B. γ) Τα σημεία, είναι εξωτερικά του κύκλου και τα τμήματα A, και, B είναι εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από αυτά, άρα ίσα μεταξύ τους. Έχουμε: A, B PP P P PA BP PA PB. ΘΕΜΑ 373 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB και το ύψος του A. Στο A θεωρούμε σημείο H τέτοιο ώστε HA HB.Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της με την A. Φέρνουμε την κάθετη στην, η οποία τέμνει την πλευρά B στο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 54

55 α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα HBκαι είναι ίσα. (Μονάδες 6) ii) Z. (Μονάδες 6) iii) Η ευθεία H είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 6) β)ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) α) i)τα τρίγωνα HB και είναι ίσα, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν (από υπόθεση) και BH AHZ (ως κατακορυφήν). HB HA α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι HHZ. Άρα η H είναι διχοτόμος της γωνίας A ˆ B ( Το σημείο H ισαπέχει από τις πλευρές της). Επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα H και ZH είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και H ˆ H ˆZ). Άρα Z. α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα BAZ. B B AZ Z B A, οπότε το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές. Άρα η H που διχοτομεί τη γωνία A ˆ B, θα είναι μεσοκάθετος της. α) Στο τρίγωνο, τα ύψη AZ, B τέμνονται στο σημείο, που είναι και το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 55

56 ΘΕΜΑ 3734 Σε ισοσκελές τραπέζιο ( // ) είναι. α) Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 7) β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου, ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 1) γ) Αν επιπλέον είναι γωνία 1 και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται στο σημείο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου. (Μονάδες 8) α) Γνωρίζουμε ότι AB A άρα το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές, συνεπώς A BAB. Τα ευθύγραμμα τμήματα AB, είναι παράλληλα και τέμνονται από την B, άρα οι γωνίες AB, B είναι ίσες μεταξύ τους ως εντός εναλλάξ. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι AB B που οδηγεί στο συμπέρασμα. β) Γράφουμε κύκλο με κέντρο το και ακτίνα A, έστω E το σημείο τομής του με την πλευρά, θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο ABEείναι ρόμβος. Το ευθύγραμμα τμήματα AB, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 56

57 είναι παράλληλα (παράλληλες πλευρές τραπεζίου), άρα θα είναι και τα τμήματα AB και E παράλληλα, επιπλέον AB A E,συνεπώς είναι ίσα, δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι πλευρές του A,BE θα είναι ίσες,άρα ισχύει: AB AE BE και το τετράπλευρο είναι ρόμβος. γ) Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο EB είναι ισόπλευρο. Πράγματι είναι ισοσκελές καθώς: B A BE, οι γωνίες AB και EB είναι ίσες ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και η BE είναι παραπληρωματική της EB, άρα ίση με 6 o, συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 6 o είναι ισόπλευρο. Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. Άρα: O 9 o. 1 1 OB ABE EB B E 6 o, o o, 1 1 EO EB BE ΘΕΜΑ 3735 o o o. Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB<ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A. α) Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 57

58 i. A 18, όπου A και παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες των, A, αντίστοιχα. 1) (Μονάδες ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A τέμνει την προέκταση της πλευράς (προς το μέρος του ) σε σημείο. (Μονάδες 8) β) Αν το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο στο A και 15, να αποδείξετε ότι BΓ=ΑΒ. (Μονάδες 7) α) i) A ii) B x AB B B 18 18, Α Z 15 Β 6 3 Γ x γιατί AB<ΑΓ, οπότε αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη των x και που τέμνονται από την έχουν άθροισμα μικρότερο των 18 η x και η θα τέμνονται στο ημιεπίπεδο της που δεν περιέχει το. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 58

59 9 β) Είναι 15 6, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο οπότε 3 και έτσι θα είναι, δηλαδή BΓ=ΑΒ. ΘΕΜΑ 3737 Δίνεται τραπέζιο AB, τέτοιο ώστε A ˆ 9, Επιπλέον φέρνουμε BE. 1 AB και 4 1 AB A. 3 α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABE ορθογώνιο. (Μονάδες 6 ) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Μονάδες 1) γ) Αν K, είναι τα μέσα των και A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η A διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος. (Μονάδες 9) α)το τετράπλευρο ABE είναι ορθογώνιο επειδή έχει τρεις γωνίες ορθές. β) Είναι 4AB, BE A 3AB, AB E. Άρα, E E 3AB. Δηλαδή, BE E, οπότε το τρίγωνο BE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. γ) Το τετράπλευρο AB E είναι τραπέζιο και το τμήμα του. K ενώνει τα μέσα των διαγωνίων Άρα K K AB. AB και E AB 3AB AB K Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 59

60 Επομένως το AB K είναι παραλληλόγραμμο και αν M είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε θα είναι το μέσο του. ΘΕΜΑ 3741 Σε παραλληλόγραμμο AB με γωνία A αμβλεία, ισχύει AB A. Τα σημεία E και Z είναι μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Από το φέρουμε την H κάθετη στην προέκταση της B. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο AEZ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) γ) Το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας ZH. (Μονάδες 8) α) AB A AE A EZ AZ. Άρα το τετράπλευρο ρόμβος. AEZ είναι β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο H η είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, οπότε ZH ZA ZE. Άρα, τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο, έχουμε HEZ EHZ. Αλλά, HEZ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Άρα διχοτόμος της γωνίας ZH., δηλαδή το τμήμα είναι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

61 ΘΕΜΑ 3745 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και το ύψος του στην πλευρά. Στην προέκταση του θεωρούμε τμήμα. Στην προέκταση του προς το μέρος του θεωρούμε τμήμα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ρόμβος. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Το σημείο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. α) Αφού το είναι ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι και διάμεσος. Έτσι το είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και δύο διαδοχικές του πλευρές είναι ίσες β) Το είναι μεσοκάθετος του, έτσι οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Στο τρίγωνο το τμήμα είναι διάμεσός του και ισχύει: οπότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου 3. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 61

62 ΘΕΜΑ 3747 Δίνεται τρίγωνο με γωνία ίση με 1 και γωνία είναι ίση με 45. Στην προέκταση της προς το, παίρνουμε τμήμα. Από το φέρνουμε την κάθετη στην που την τέμνει στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία είναι ίση με 3. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Αν το μέσο της, τότε 9. δ) Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος. α) 6 ως παραπληρωματική της 1. Από το ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι 3. β) Αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι 3 τότε άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Είναι και η διάμεσός του είναι, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αφού η διάμεσος του ισούται με το μισό της αντίστοιχής πλευράς, με υποτείνουσα, οπότε 9. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

63 δ) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: και άρα είναι και δηλαδή το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος αφού ισαπέχει από τα άκρα του. ΘΕΜΑ 3751 Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διάμεσός του. Έστω ότι είναι το μέσο της τέτοιο ώστε και γωνία 1. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6) δ) Αν το σημείο είναι η προβολή του στην, να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 8) ΑΡΧΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ: Η εκφώνηση «τυχαίο τρίγωνο» είναι εντελώς άστοχη και η λέξη τυχαίο πρέπει να παραληφθεί αφού για να ισχύουν όλα τα δεδομένα πρέπει τελικά να είναι ορθογώνιο στο!!! α) 6 ως παραπληρωματική της 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 63

64 , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μια γωνία 6, άρα ισόπλευρο και όλες του οι γωνίες θα είναι 6. β) Η είναι διάμεσος του τριγώνου και ισχύει από (α) οπότε το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο στο. γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν: 1), αφού μέσο της. ), αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο., 3) 1, ως παραπληρωματική της 6 (κριτήριο Π-Γ-Π) δ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι ύψος άρα και διχοτόμος και διάμεσος. Άρα, οπότε. Δούρειος ίππος. Το τρίγωνο AB όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, ( B 9 ) αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις: 3 7,,. Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο (γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;) σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον θεματοδότη από τις ευθύνες του. Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά μας. ΘΕΜΑ 3754 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Από την κορυφή φέρουμε. Έστω, τα μέσα των πλευρών και αντιστοίχως, τότε: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 64

65 α) Να αποδείξετε ότι: i. 9. ii.. γ) Αν 3, να αποδείξετε ότι. α) i. Τα τμήματα, είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων και αντίστοιχα, οπότε: και δηλαδή τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, οπότε: 1 και. 1, 9. ii. Το τμήμα ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, έτσι: 3. β) Αν 3. τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο θα ισχύει: 4 Από 3, 4. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 65

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 Έλυσαν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr. http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 Έλυσαν

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Β τάξης Γενικού Λυκείου Θέμα 4ο. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (16/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Β τάξης Γενικού Λυκείου Θέμα 4ο. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (16/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου Θέμα 4ο Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα