* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν είναι µικρός, εµείς θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της θεωρίας παιγνίων, προκειµένου να αναλύσουµε τη συγκεκριµένη κατάσταση και να βρούµε µια ισορροπία ή µια λύση λογική. Από τα παραδείγµατα που έχουµε κάνει (ολιγοπώλιο, συµπεριφορά Cournot, συµπεριφορά Bertrand) βλέπουµε ότι σε κάθε ένα από τα παίγνια που εξετάζουµε θα πρέπει να λάβουµε υπόψη πως συµπεριφέρονται οι άλλοι όταν παίρνουν τις αποφάσεις τους, αφού η ισορροπία εξαρτάται από τις αποφάσεις όλων µαζί των εταιριών. Πέρα όµως από αυτό υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγµατα από την καθηµερινή µας ζωή, από τις σχέσεις µεταξύ των ατόµων, από τις σχέσεις µεταξύ προϊσταµένων και υφισταµένων, από τις σχέσεις µέσα σε µια οικογένεια κ.λ.π. Οπουδήποτε υπάρχει µικρός αριθ- µός ατόµων χρειάζεται να δούµε πως αντιδρούν αυτά τα άτοµα και τι θα βγει από την αλληλεπίδραση τους. Τώρα, όπως και στη θεωρία των αποφάσεων (η οποία δεν είναι τίποτε άλλο παρά θεωρία παιγνίων, όπου υπάρχει µόνο ένας παίκτης) έτσι και στη θεωρία παιγνίων θα χρησιµοποιήσουµε δύο τρόπους παράστασης των παιγνίων: * το δέντρο και * τη µήτρα Πιο αναλυτικά: - Μορφή κανονική ή στρατηγική ή µήτρας. Είναι η πιο συνηθισµένη µορφή του παιγνίου. Λέγοντας στρατηγική εννοούµε ότι αυτό που περιγράφει το παίγνιο, είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από κάθε συνδυασµό στρατηγικών αυτό µπορεί να γίνει µε τη µορφή µήτρας, όπου σε κάθε γραµµή της υπάρχει η στρατηγική του παίκτη 1, και σε κάθε στήλη της η στρατηγική του παίκτη 2. Στην περίπτωση που έχουµε 3 ή 4 ή 5 παίκτες µπορούµε να πάρουµε µήτρα περισσοτέρων διαστάσεων. Αναλυτική µορφή ή µορφή δέντρου. Σ αυτή τη δεύτερη µορφή εµφανίζονται όλες οι λεπτο- µέρειες της αλληλεπίδρασης των παικτών. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουµε µέσα από παραδείγµατα να επεξηγήσουµε όσο το δυνατόν πληρέστερα τις δυο αυτές µορφές (στρατηγική µορφή και µορφή δέντρου), να περιγράψουµε τα στοιχεία που περιλαµβάνει ένα παίγνιο, καθώς και τις διαφορές που υπάρχουν µεταξύ της παράστασης ενός παιγνίου στην µορφή δέντρου και στη µορφή µήτρας. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν. 1

2 Τι είναι η στρατηγική µορφή; Είναι πολύ απλά µια µήτρα για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι είµαστε σε ένα απλό παιχνίδι µε δύο παίκτες: τους 1 και 2. Ο παίκτης (1) έχει τις στρατηγικές Α και Β ενώ ο παίκτης (2) τις C και D. Στη µήτρα µπαίνουν επίσης τα αποτελέσµατα των στρατηγικών. Σε κάθε κουτάκι χρειαζόµαστε δυο νούµερα: π.χ. το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1) όταν ακολουθεί τη στρατηγική Α, τη στιγµή που ο παίκτης (2) ακολουθεί τη στρατηγική C. Το πρώτο παριστάνει το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1), ενώ το δεύτερο το τι πετυχαίνει ο παίκτης (2). Έτσι για παράδειγµα το (7, 9) µας δίνει το αποτέλεσµα όταν οι στρατηγικές είναι Α και C. Αντίστοιχα έχουµε τα άλλα νούµερα στα υπόλοιπα κουτιά. 2 C D 1 A 7, 9 3, 10 B 9, 19 0, -7 Η ερώτηση βέβαια, σε ένα τέτοιο παίγνιο, είναι τί περιµένουµε να συµβεί. Με άλλα λόγια, τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (1) και τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (2) σε µια λογική κατάσταση, σε µια ισορροπία. Για να µπορέσουµε να δώσουµε απάντηση στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει πρώτα να ορίσουµε κάποιες επιλύσεις των παιγνίων. Τώρα, γιατί λέγεται στρατηγική αυτή η µορφή; Γιατί αυτό που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που πετυχαίνει. Τι δεν εµφανίζεται; εν εµφανίζεται για παράδειγµα η χρονική στιγµή, ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος, αν παίζουνε µαζί.θα δούµε λοιπόν στη συνέχεια της ανάλυσής µας τι χάνεται στην περίπτωση της στρατηγικής µορφής. Ποια είναι τα στοιχεία ενός παιγνίου; (όλα τα παρακάτω στοιχεία εµφανίζονται στην αναλυτική µορφή όχι όµως στην κανονική). (1) Όλοι οι παίκτες (ίσως ένας από αυτούς είναι η τύχη). (2) Τι κινήσεις - επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης κάθε φορά που καλείται να αποφασίσει. (3) Πότε µπορεί να πάρει τις αποφάσεις του, κάθε παίκτης. (4) Τί πληροφόρηση έχει κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του. (5) Τα αποτελέσµατα κάθε «παρτίδας» (payoffs) - κάτι που παίζεται και φτάνει σε ένα σηµείο, τελειώνει και όταν τελειώσει παίρνει ο καθένας το µερίδιο του. 2

3 Στην αναλυτική µορφή - στην µορφή δέντρου εµφανίζονται όλα τα στοιχεία (1) - (5). Στη στρατηγική µορφή λείπουν τα (3) και (4) γιατί προφανώς στη στρατηγική µε τη µορφή µήτρας δεν υπάρχει ο χρόνος (είναι στατικό / άχρονο), και επιπλέον δε γνωρίζουµε τί πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης. Το µόνο που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές, τα αποτελέσµατα (pay off) και οι παίκτες. Στο παράδειγµα της µήτρας οι επιλογές είναι και οι στρατηγικές. Στο δέντρο η στρατηγική είναι κάτι πολύ πιο πολύπλοκο και θα δούµε τώρα ακριβώς τι είναι. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν από το πιο απλό παίγνιο που υπάρχει και το οποίο λέγεται zero-sum game (παιγνίδι µηδενικού αθροίσµατος). Παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος είναι το παίγνιο όπου έ- νας παίκτης κερδίζει και ο άλλος χάνει. Πληρώνει δηλαδή ο ένας τον άλλο. Σε αυτά τα παίγνια όπου το άθροισµα αποτελεσµάτων είναι µηδέν δεν χρειάζεται να έχουµε δύο νούµερα γιατί ότι κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος. Οπότε µπορούµε να το απλοποιήσουµε. (Πάνω σε αυτό το παίγνιο θα δούµε τα διάφορα στοιχεία και έτσι θα αρχίσουµε σιγά - σιγά να βλέπουµε τις πιθανές λύσεις, πριν προχωρήσουµε την ανάλυση µας σε βάθος) Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: τους (I) και (II). Ο παίκτης I παίζει πρώτος και έχει δύο επιλογές στην διάθεση του: l και r κατόπιν, ακολουθεί ο παίκτης II όπου και αυτός έχει δυο επιλογές: R και L. Τα αποτελέσµατα του παιγνίου είναι G (Gain) και L (Lose). Το G (αφού µιλάµε για zero-sum game) σηµαίνει ότι κερδίζει ο πρώτος παίκτης και χάνει ο δεύτερος ενώ το L σηµαίνει ότι ο πρώτος παίκτης χάνει και κερδίζει ο δεύτερος. 3

4 Αν το παιχνίδι πάει προς τα κάτω αποφασίζει ο παίκτης II µεταξύ L και R. Αν αποφασίσει R χάνει αυτός και κερδίζει ο πρώτος, ενώ αν αποφασίζει L ξαναπαίζει ο παίκτης II. Ας προσπαθήσουµε τώρα να βρούµε, στο συγκεκριµένο αυτό παίγνιο το οποίο παριστάνεται σε αυτή την αναλυτική µορφή, ποιοι είναι οι παίκτες, οι επιλογές κ.λ.π.. Εδώ έχουµε δύο παίκτες: I και II. Πρώτα παίζει ο I, µετά o ΙΙ, µετά ξαναπαίζει ο II και στη συνέχεια τελειώνει το παιγνίδι ο I. Τί επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης σε κάθε περίπτωση που µπορεί να κληθεί να αποφασίσει; Όπως βλέπουµε και οι δυο παίκτες έχουν από δυο επιλογές κάθε φορά που παίζουν. Μπορούσαµε για παράδειγµα να προσθέσουµε και µια τρίτη επιλογή ενδιάµεση, όπως φαίνεται στο διάγραµµα 2 που ακολουθεί. Επίσης µπορεί οι επιλογές του παίκτη να είναι τελείως διαφορετικές κάθε φορά που θα παίζει π.χ. (r 1, L 1 ) ή (r 2, L 2 ). [ Tώρα για παράδειγµα υποθέτουµε ότι έχουµε δύο παίχτες µε επιλογές δεξιά και αριστερά. Σηµασία έχει ότι η επιλογή του I θα επηρεάσει και τον I και τον II. Άρα οι στρατηγικές αυτές έχουν διαφορετικό όνοµα, δηλαδή δεν είναι το ίδιο πράγµα ]. 4

5 r R r: στρατηγική παίκτη Ι R: στρατηγική παίκτη II Όπως βλέπουµε σε αυτό το δέντρο, την πρώτη περίοδο αποφασίζει ο παίκτης I, την περίοδο δύο αποφασίζει ο παίκτης II, την περίοδο τρία, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης II και την περίοδο τέσσερα, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης I. Άρα το πότε µπορεί να πάρει αποφάσεις ο κάθε παίκτης φαίνεται καθαρά στο δέντρο. Τι πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του; Στο πιο πάνω δέντρο, ξέρει τα πάντα. ηλαδή αν φτάσουµε στο σηµείο (Α) ο παίκτης II ξέρει ότι ο παίκτης I πήρε απόφαση r και ο ίδιος ο II είχε πάρει προηγουµένως µια απόφαση L. Άρα σ αυτό το παιχνίδι υπάρχει πλήρη πληροφόρηση, γεγονός που σηµαίνει ότι κάθε παίκτης ξέρει όλη την ιστορία του παιχνιδιού. Τα α- ποτελέσµατα βέβαια κάθε «παρτίδας» φαίνονται καθαρά στους τελικούς κλάδους. (Βλέπουµε ότι στην µορφή δέντρου υπάρχουν όλα τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε ένα παίγνιο.) 5

6 Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο ας κάνουµε µια προσπάθεια να λύσουµε αυτό το παίγνιο. Αν δεν ξέραµε τίποτα από θεωρία παιγνίων τι θα λέγαµε; Πως θα λύναµε αυτό το παίγνιο; εδοµένου του δέντρου τι θα προτείναµε σαν λύση αυτού του παιγνίου; Τι σηµαίνει λύση αυτού του παιγνίου; Σηµαίνει τί στρατηγική θα ακολουθήσει κάθε παίκτης σε κάθε στιγµή. Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε αυτό που λέµε: «backward induction» (οπισθογενής επαγωγή). Γιατί; Γιατί αν φτάσει ποτέ το παιγνίδι στο σηµείο (Β) ο παίκτης II θα επιλέξει το R που τον οδηγεί σε σίγουρη νίκη. Άρα προφανώς ο παίκτης I δεν θα παίξει στην στρατηγική l. Η λογική εδώ είναι η εξής: Ο I ξέρει ότι ο παίκτης II είναι ορθολογικός. Στη θεωρία παιγνίων όπως και στα οικονοµικά, υπάρχει µια πολύ ισχυρή υπόθεση που λέγεται ορθολογισµός. ηλαδή ο κάθε παίκτης είναι ορθολογικός και το ίδιο πιστεύει και για τον αντίπαλό του επιπλέον πιστεύει ότι ο αντίπαλος του πιστεύει ότι αυτός ο ίδιος είναι ορθολογικός.. Και είναι αυτό που εµείς λέµε «κοινή γνώση». Άρα δεδοµένης αυτής της υπόθεσης ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός. Ένας ορθολογικός παίκτης αυτό που θα κάνει είναι να προσπαθήσει να κερδίσει. Ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός και ο II ξέρει ότι ο παίκτης I είναι ορθολογικός, οπότε για να δούµε τί θα γίνει αν υπάρχει ένας ορθολογικός παίκτης στην τελευταία κίνηση (c). Ο παίκτης I θα επιλέξει το r. Πάµε ένα βήµα πίσω στην κίνηση (Α). Ο παίκτης II ξέρει ότι ένας ορθολογικός παίκτης I θα επιλέξει r. Οπότε ξέρει ο II ότι αν επιλέξει L θα χάσει. Αν επιλέξει R πάλι έχασε. Ο,τιδήποτε και αν κάνει είναι το ίδιο. Οπότε και οι δυο πράξεις είναι ισοδύναµες. Τώρα πάµε πίσω, στην κίνηση (D). Ο II ξέρει ότι από κει και πέρα το χάνει το παιχνίδι. Αλλά και R να επιλέξει στην κίνηση (D), πάλι χάνει το παιχνίδι. Άρα ο παίκτης I ξέροντας ότι ο παίκτης II ξέρει ότι έχει χάσει το παιχνίδι θα παίξει r.(υποθέτουµε ότι ο II αναγκάζεται να παίξει αυτό το παιγνίδι έστω και αν είναι ορθολογικός). Σε αυτό το παιγνίδι ο παίκτης II είναι χαµένος από χέρι. Και πως το βρήκαµε αυτό; Με τη µέθοδο του backwards induction. Είδαµε λοιπόν ένα τρόπο µε τον οποίο µπορεί να λυθεί ένα παίγνιο όταν είναι στην αναλυτική του µορφή. Τώρα θα δούµε ένα άλλο απλό παράδειγµα που έχει ενδιαφέρον. Είναι η περίπτωση όπου υπάρχει ένας µονοπωλητής στην αγορά και ένας εν δυνάµει εισερχόµενος. Ε είναι η νέα εταιρεία που θέλει να µπει στην αγορά και Μ ο µονοπωλητής. Και τα αποτελέσµατα είναι: 6

7 Αυτή είναι µια αναλυτική µορφή παιγνίου. Οι επιλογές της εν δυνάµει εισερχόµενης εταιρείας είναι να εισέλθει ή όχι ενώ οι επιλογές του µονοπωλητή είναι αποδοχή του δυνάµει εισερχόµενου ή πόλεµος τιµών. Σε αυτή τη µορφή του παιγνίου µπορούµε εύκολα να δούµε: * τους παίκτες * τις επιλογές κάθε παίκτη * πότε παίρνει τις αποφάσεις κάθε παίκτης * η πληροφόρηση είναι πάλι τέλεια πληροφόρηση γιατί ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε στον κλάδο η άλλη εταιρεία ή όχι. * τα αποτελέσµατα τα οποία φαίνονται στους τελικούς κλάδους. Εδώ πάλι τα πράγµατα είναι ξεκάθαρα. Η εν δυνάµει εισερχόµενη εταιρεία ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός ξέρει δηλ. ότι ένας ορθολογικός µονοπωλητής αυτό που θα κάνει είναι να συγκρίνει το 50 µε το 0 και να προτιµήσει το 50. εδοµένου ότι ο εισερχόµενος ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός, αυτό που κάνει είναι να συγκρίνει το 0 µε το 40 και ν αποφασίσει να εισέλθει. Οπότε η είσοδος είναι ελεύθερη. Ας δούµε τώρα πως εισέρχεται στην ιστορία η πληροφόρηση. Θα εξετάσουµε ένα παράδειγµα όπου η πληροφόρηση δεν είναι τέλεια και θα δούµε τι πρέπει να κάνουµε στην περίπτωση αυτή ώστε να παραστήσουµε µια κατάσταση ατελούς πληροφόρησης. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: ο παίκτης Ι µπορεί να πάει είτε δεξιά, είτε αριστερά είτε ευθεία. 7

8 Ο παίκτης I έχει πλήρη πληροφόρηση Αν πάει δεξιά το παιχνίδι τελείωσε και οι δύο παίκτες κερδίζουν από 2. Αν πάει αριστερά ή ευθεία τότε αυτό δεν µπορεί να το ξέρει ο παίκτης ΙΙ, ο οποίος παρόλα αυτά θα πρέπει να αποφασίσει αν θα πάει ο ίδιος αριστερά ή δεξιά χωρίς να ξέρει τι έκανε ο προηγούµενος παίκτης. Ο παίκτης ΙΙ δεν ξέρει τι έκανε ο παίκτης Ι. Αυτό που µπορούµε να κάνουµε στην συγκεκριµένη περίπτωση είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ µέσα σε µια έλλειψη, να τους συνδέσουµε δηλαδή µεταξύ τους µε αυτό τον τρόπο. Τους βάζουµε µέσα στο ίδιο σύνολο κόµβων. Με αυτό τον τρόπο όταν ο II πάρει την απόφασή του ξέρει αν το παιγνίδι έχει πάει προς τα κάτω ή αν έχει πάει προς το Α ή Ε. εν µπορεί όµως να διακρίνει µεταξύ του αριστερά και ευθεία. Οπότε ο παίκτης ΙΙ ξέρει τι έγινε µόνο όταν ο παίκτης Ι αποφασίσει δεξιά. Αν ο παίκτης Ι όµως αποφασίσει µεταξύ αριστερά και ευθεία, ο παίκτης ΙΙ δεν αντιλαµβάνεται τι έχει γίνει και πρέπει να πάρει µια απόφαση χωρίς να το γνωρίζει. Πρέπει όµως να πάρει µια απόφαση και για τους δύο κόµβους έτσι θα αποφασίσει να πάει είτε αριστερά είτε δεξιά, ανεξάρτητα από την απόφαση που έχει πάρει ο παίκτης Ι. Ο τρόπος λοιπόν που µπορούµε να το συµβολίσουµε είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ, µέσα σε ένα σύνολο το οποίο λέγεται ΣΥΝΟΛΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (information set) και µας δείχνει τι πληροφόρηση έχει ο παίκτης τη στιγµή που παίρνει την απόφασή του. Οπότε εδώ βλέπουµε πως εµφανίζεται το στοιχείο νούµερο 4 τί πληροφόρηση, δηλαδή, έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφασή του. Τώρα για να δούµε τι συµβαίνει στα παίγνια όπου υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά τα σύνολα πληροφόρησης έχουν ένα µόνο στοιχείο µέσα. ηλαδή ο παίκτης Ι όταν παίρνει την απόφαση του ξέρει πολύ καλά την ιστορία του παιχνιδιού (δεν υπήρχε προηγουµένως καµία ιστορί- 8

9 α). Οπότε ουσιαστικά ο κόµβος (Α) βρίσκεται σε ένα σύνολο πληροφόρηση που έχει ένα µοναδικό στοιχείο. Οι αποφάσεις πρέπει να παρθούν ανεξάρτητα για τον παίκτη Ι και ΙΙ και µε ένα τρόπο που να είναι λογικός (να έχει δηλαδή λύση). Στο προηγούµενο παράδειγµα που ο µονοπωλητής έχει τέλεια πληροφόρηση µπορούµε να βάλουµε ένα σύνολο γύρω από τον κόµβο (Β) έτσι ώστε αυτό το σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα µόνο στοιχείο µέσα. Και αυτό σηµαίνει ότι ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε ή αν δεν µπήκε στην αγορά η καινούργια εταιρεία. 9

10 ηλαδή αν δε το ήξερε θα είχαµε: Με άλλα λόγια, τέλεια πληροφόρηση σηµαίνει ότι το δέντρο είναι έτσι, ώστε κάθε σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα και µοναδικό στοιχείο µέσα του. Στο παίγνιο που είδαµε ότι ο παίκτης Ι επέλεγε µεταξύ r και l, όλοι οι κόµβοι ανήκαν σε σύνολα πληροφόρησης που είχαν ένα κόµβο µέσα. Άρα είχαµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα κλάδο µε δύο επιχειρήσεις: τις Α και Β. Η επιχείρηση Α έχει τη δυνατότητα να εισάγει ένα καινούργιο προϊόν ή όχι. Κατόπιν η επιχείρηση Α παίρνει απόφαση να λανσάρει ή όχι µια διαφήµιση για το προϊόν. Και αυτή την απόφαση µπορεί να την πάρει είτε εισάγει είτε όχι το καινούριο προϊόν. Μπορεί δηλαδή να κάνει διαφήµιση είτε πάνω στο παλιό, είτε πάνω στο καινούριο (προϊόν). Η επιχείρηση Β ξέρει αν έχει εισαχθεί το καινούριο προϊόν ή όχι, αλλά αυτό που δεν ξέρει είναι αν η Α αποφάσισε να διαφηµίσει το καινούριο προϊόν ή το παλιό. Άρα η επιχείρηση Β ξέρει αν το παιχνίδι έχει πάει προς τα πάνω ή προς τα κάτω (διάγραµµα 9). 10

11 Τώρα µπορεί να έχουµε και άλλες περιπτώσεις αυτού του παιγνίου. Για παράδειγµα αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τίποτα, δεν ξέρει δηλαδή, αν έχει εισαχθεί ή όχι το καινούριο προϊόν ούτε ξέρει αν έχει γίνει η διαφήµιση ή όχι, τότε θα έχουµε όλους τους κόµβους απόφασης της επιχείρησης Β σε ένα σύνολο πληροφόρησης (διάγραµµα 10). Στην περίπτωση αυτή η Β πρέπει να πάρει απόφασή, για το αν θα κάνει ή όχι διαφήµιση, χωρίς να ξέρει τίποτα ουσιαστικά δεν ξέρει που έχει φτάσει το παιγνίδι. Ένα άλλο παράδειγµα ατελούς πληροφόρησης είναι να ξέρει αν θα συµβεί ή όχι διαφήµιση αλλά να µην ξέρει αν έχει γίνει εισαγωγή ή όχι του προϊόντος (διάγραµµα 11). Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο σύνολα πληροφόρησης από τα οποία φαίνεται ότι η επιχείρηση Β µπορεί να διακρίνει µεταξύ διαφήµισης ή όχι αλλά δεν µπορεί να διακρίνει αν έχει εισαχθεί ή όχι το προϊόν. 11

12 Το σύνολο πληροφόρησης ορίζεται για κάθε παίκτη κάθε φορά που παίρνει κάποια απόφαση. Αν είχαµε: 12

13 τότε αυτό θα σήµαινε ότι η ίδια η επιχείρηση δεν ξέρει τι έχει κάνει. Μπορεί δηλ. την απόφασή της να την έχει πάρει στο παρελθόν και στην περίπτωση που έχουµε µεγάλο δέντρο να µην θυµάται τι έπραξε για το λόγο αυτό θα πρέπει να βάλουµε την έλλειψη. Ποιο είναι το νόηµα του να βάζουµε µέσα σε µια έλλειψη τους κόµβους; Το νόηµα είναι ότι σε ένα σύνολο πληροφόρησης ο παίκτης πρέπει να πάρει µια µοναδική απόφαση. Αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τι έχει συµβεί στο παρελθόν, δηλαδή δεν ξέρει αν βρίσκεται στην εισαγωγή ή όχι του νέου προϊόντος, τότε δεν µπορεί να πάρει άλλη απόφαση για την περίπτωση που θα βρισκόταν πάνω και άλλη γι αυτήν που θα βρισκόταν κάτω. Θα πάρει µια µοναδική απόφαση για όλους τους κόµβους που ανήκουν στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης. Τι άλλο στοιχείο µπορούµε να βάλουµε στην περιγραφή των παιγνίων; Στο στοιχείο (1) (βλέπε σελίδα 3) όταν αναφερόµαστε στους παίκτες, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας ότι ένας από αυτούς µπορεί να είναι και η τύχη. Που σηµαίνει ότι µπορεί να έχουµε και αβεβαιότητα. ηλαδή είτε στην αρχή του παιγνίου, είτε στο ενδιάµεσο µπορεί να υπάρχει κάποια κίνηση της ίδιας της τύχης, όπου αποφασίζει µε κάποιες πιθανότητες να γίνει κάτι ή κάτι διαφορετικό. Γενικότερα θα λέγαµε ότι α- ποφάσεις σε ένα παίγνιο παίρνουν τόσο οι ενεργητικοί παίκτες όσο και η τύχη που είναι ο παθητικός παίκτης (πηγαίνει µε κάποιες πιθανότητες µεταξύ των τυχαίων γεγονότων). 13

14 Ας δούµε τώρα ένα πολύ απλό παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο εταιρείες (η 1 και η 2) οι οποίες παράγουν computers και ότι υπάρχουν δύο είδη δισκετών: µεγάλες και µικρές. Αν οι δυο εταιρείες βγάζουνε computers τα οποία είναι συµβατά, τα κέρδη τους θα είναι θετικά, ενώ αν είναι ασύµβατα θα έχουν απώλειες. Αλλά το πόσο µεγάλα θα είναι τα κέρδη τους, εξαρτάται από το αν οι δισκέτες θα είναι µεγάλες ή µικρές. Η επιχείρηση 1 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής δισκέτας. Στη συνέχεια η επιχείρηση 2 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής ξέροντας τι έχει κάνει η επιχείρηση 1. Τώρα αν οι δυο επιχειρήσεις δεν καταφέρουν να συντονιστούν τότε και οι δύο θα έ- χουν απώλειες. Τούτο γίνεται περισσότερο κατανοητό µε τη βοήθεια του ακόλουθου παραδείγµατος. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε µια πόλη στην οποία υπάρχουν 3 τηλέφωνα. Η χρησιµότητα κάθε ενός από τα άτοµα που κατέχει ένα τηλέφωνο είναι µικρή γιατί ο καθένας µπορεί να καλέσει µόνο τους υπολοίπους δύο. Αν στην ίδια πόλη υπάρχουνε τηλέφωνα, τότε η χρησιµότητα του ενός ατόµου είναι πολύ µεγαλύτερη. Αυτό το φαινόµενο λέγεται net-work externalities. Τώρα γιατί έχει σχέση αυτό µε το παράδειγµα µας; Γιατί αν οι δισκέτες είναι µεγάλες ή µικρές επηρεάζουν τη χρησιµότητα των προγραµµάτων των computers. Αν µικρές οι δισκέτες και των δύο είναι τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το software όλων των computers. Αν όµως η µια επιχείρηση έχει µικρές δισκέτες και η άλλη µεγάλες, τότε αυτή που έχει µεγάλες δισκέτες µπορεί να χρησιµοποιήσει το software που έχει µεγάλες δισκέτες και αυτή που έχει µικρές το software µε µικρές δισκέτες. Άρα τα άτοµα θα έχουν µικρότερη ζήτηση και για τα δύο είδη computers. Εδώ έχουµε την τύχη, τον παθητικό παίκτη, να αποφασίζει µεταξύ των κερδών (10, 10) ή (0, 0) µε αντίστοιχες πιθανότητες (0.2) και (0,8). Στον κλάδο της τύχης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη θεωρία του προσδοκώµενου κέρδους έτσι ώστε να βρούµε το προσδοκώµενο κέρδος που είναι (2, 2) και να συνεχίσουµε προκειµένου να λύσουµε το πρόβληµα µε τις κλασικές µεθόδους. Αυτό εδώ το πρόβληµα είναι ένα πρόβληµα απλού συντονισµού (pure coordination problem). Και η λύση βέβαια είναι απλή. Όταν ο 2 ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µεγάλη προφανώς δεν θα επιλέξει µικρή αν πάλι ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µικρή τότε και ο ίδιος θα επιλέξει µικρή. Όπως φαίνεται και από το διάγραµµα ο 1 θα επιλέξει µικρή αφού έτσι πετυχαίνει περισσότερα κέρδη. Φαίνεται λοιπόν ότι οι δυο εταιρείες συντονίζονται, και µάλιστα συντονίζονται στο «καλό» αποτέλεσµα: στο (2, 2) και όχι στο (1, 1). 14

15 Ο τρόπος επίλυσης ενός δέντρου γίνέται µε την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) µόνο στην περίπτωση που έχουµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα το ίδιο παίγνιο όταν η απόφαση είναι ταυτόχρονη. Οι δύο εταιρείες πρέπει να πάρουν την ίδια στιγµή απόφαση για το αν θα παράγουν µεγάλη ή µικρή δισκέτα. Τα πράγµατα εδώ έχουν αλλάξει και έτσι τώρα δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της οπισθογενούς επαγωγής ( backwards induction), αφού δεν έχουµε πλέον τέλεια πληροφόρηση. Έτσι θα πρέπει να βάλουµε τους δύο κόµβους στους οποίους αποφασίζει η εταιρεία 2 µέσα σε µια έλλειψη (διάγραµµα 14) και προφανώς η λύση τώρα δεν θα είναι µόνο το (2, 2). Εδώ το αποτέλεσµα δεν βγαίνει εύκολα και για το λόγο αυτό θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε κάποια άλλη µέθοδο επίλυσης η µέθοδος αυτή είναι η ισορροπία κατά Nash, όπου ο καθένας παίρνει την καλύτερη απόφαση δεδοµένου τι έχει κάνει ο άλλος. Με άλλα λόγια κάθε παίκτης απαντά µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο στο τι έκανε ο άλλος. Το πρόβληµα αυτό είναι ισοδύναµο µε µια ταυτόχρονη απόφαση, διότι όταν ο 1 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 2 - και όταν ο 2 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 1. Το παίγνιο αυτό µπορεί να παρασταθεί µε µια µήτρα. 15

16 Στην περίπτωση αυτή όλα τα στοιχεία των παιγνίων είναι σηµαντικά και µπορούν να αλλάξουν τελείως το αποτέλεσµα του παιγνίου. Βλέπουµε λοιπόν ότι άλλη θα είναι η ισορροπία όταν οι α- ποφάσεις παίρνοντας µε ένα τρόπο διαδοχικό και άλλη όταν οι αποφάσεις παίρνονται ταυτόχρονα. Τι σηµαίνει ταυτόχρονα; Σηµαίνει ότι όταν ο ένας παίκτης παίρνει την απόφαση του δεν ξέρει τι έχει κάνει ο άλλος και αντίστροφα. εν µπορούν να συντονιστούν ταυτόχρονα και να πάρουν µια απόφαση, γιατί είµαστε σε αυτό που λέµε Non - Cooperative Game Theory. Τελειώνοντας το πρώτο αυτό κεφάλαιο θα λέγαµε ότι γενικά η θεωρία παιγνίων διαιρείται σε δύο κατηγορίες παιγνίων: Non-cooperative (µη-συνεργατικά παίγνια) Cooperative (συνεργατικά όπου οι αποφάσεις λαµβάνονται από κοινού). Τα παίγνια που χρησιµοποιούµε πολύ στα οικονοµικά είναι κυρίως µη συνεργατικά (που αναλύουµε εδώ), όπου ο κάθε 16

17 παίκτης είναι ένα άτοµο που ορθολογικά αποφασίζει να µεγιστοποιήσει κάποια συνάρτηση χρησι- µότητας / κέρδους. 17

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης - Οι επιχειρήσεις δεν ανταγωνίζονται μόνο ως προς τις τιμές στις οποίες επιλέγουν να πουλήσουν τα προϊόντα τους. - Ο μη-τιμολογιακός ανταγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΡ 6 στατιστική έρευνα του cosmicway.net

ΣΚΟΡ 6 στατιστική έρευνα του cosmicway.net ΣΚΟΡ 6 στατιστική έρευνα του cosmicway.net Το σκορ-6 τείνει να γίνει το πιό δηµοφιλές ιπποδροµιακό στοίχηµα. εν είναι υπερβολή ότι το σκορ-6 είναι το µόνο παιχνίδι που µπορεί να σας επιτρέψει να «νικήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Περισσότερες λεπτομέρειες και τρελά βίντεο σας περιμένουν στο: skull-and-roses.com

Περισσότερες λεπτομέρειες και τρελά βίντεο σας περιμένουν στο: skull-and-roses.com Οι συμμορίες τσοπεράδων, επέλεγαν παραδοσιακά τους αρχηγούς τους με έναν διαγωνισμό που ονομάζεται Πίσω στο Πεζοδρόμιο, στον οποίο οι υποψήφιοι προσπαθούσαν να αντέξουν περισσότερο, όσο τους τραβούσε μια

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται

(γ) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται Βασικές Έννοιες Οικονομικών των Επιχειρήσεων - Τα οικονομικά των επιχειρήσεων μελετούν: (α) Τον τρόπο με τον οποίο λαμβάνουν τις αποφάσεις τους οι επιχειρήσεις. (β) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Κεφάλαιο 11 Τα χαρακτηριστικά των ανταγωνιστικών αγορών! Τα κύρια χαρακτηριστικά των ανταγωνιστικών αγορών είναι: " Στην αγορά συµµετέχουν πολλοί αγοραστές και πωλητές

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ισχύος σε ασύρµατα δίκτυα µε εφαρµογή της Θεωρίας Παιγνίων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Έλεγχος Ισχύος σε ασύρµατα δίκτυα µε εφαρµογή της Θεωρίας Παιγνίων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Έλεγχος Ισχύος σε ασύρµατα δίκτυα µε εφαρµογή της Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη Σκοπός του παιχνιδιού Είστε διαβολάκια στην Κόλαση, στο διαλλειμά σας από τα βασανιστήρια των χαμένων ψυχών. Ασφαλώς και έχει πάρα πολύ ζέστη, κι έτσι κάθεστε στο μπαρ του Πανδοχείου Τελική Κρίση.Αποφασίσατε

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 2 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟE- ΟΤΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 29 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 1. Ενηµέρωση. 2. Εκλογή Αναπληρωτή Προέδρου. 3. Κλιµάκωση των απεργιακών κινητοποιήσεων. Ν. Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος

Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος 1.1 Ορισµός του Προβλήµατος Υποθέτουµε ότι έχουµε 1000 δοχεία τα οποία περιέχουν κόκκινες και µαύρες µπάλες µε συγκεκριµένους συνδυασµούς. Ονοµάζουµε: α) τα δοχεία που περιέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Παρατήρηση: Μόνο σε αυτό το μάθημα όταν λέμε κομμάτι εννοούμε κομμάτι ή πιόνι και όταν λέμε κομμάτια εννοούμε κομμάτια

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 1 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Ο εκφωνητής του δελτίου καιρού δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Καλάθι αγαθών. Σχέσεις προτίµησης. Ιδιότητες σχέσεων προτίµησης. Notes. Notes. Notes. Notes

Καλάθι αγαθών. Σχέσεις προτίµησης. Ιδιότητες σχέσεων προτίµησης. Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή-Προτιµήσεις Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή-Προτιµήσεις 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 17 Προτιµήσεις καταναλωτών Θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ 1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό,

Διαβάστε περισσότερα

BRIDGE ÑÉÓÔÉÍÁ ÓÕÑÁÊÏÐÏÕËÏÕ

BRIDGE ÑÉÓÔÉÍÁ ÓÕÑÁÊÏÐÏÕËÏÕ BRIDGE ÃÍÙÑÉÌÉÁ ÌÅ ÔÏ ÁÈËÇÌÁ ÑÉÓÔÉÍÁ ÓÕÑÁÊÏÐÏÕËÏÕ Ξεκινώντας να παίζουμε μπριτζ Γνωριμία με το παιχνίδι Το μπριτζ παίζεται με 4 παίκτες: Τον Βορά, την Ανατολή, το Νότο και τη Δύση! Ο Βοράς είναι συμπαίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ολιγοπώλιο Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ο ατελής ανταγωνισµός αναφέρεται σε εκείνες τις δοµές µ της αγοράς που κυµαίνονται µεταξύ του τέλειου ανταγωνισµού και του µονοπωλίου. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Εισαγωγή: Όπως γνωρίζουµε, το οικονοµικό πρόβληµα εστιάζεται στην αποτελεσµατική κατανοµή των ανεπαρκών οικονοµικών πόρων στις εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ

ΕΠΙΣΗΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΕΠΙΣΗΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ Το SLEUTH είναι ένα φανταστικό παιχνίδι έρευνας για 3 έως 7 παίκτες. Μέσα από έξυπνες ερωτήσεις προς τους αντιπάλους του, κάθε παίκτης συλλέγει στοιχεία και έπειτα, χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ Απρίλιος 2014

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ Απρίλιος 2014 ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ Απρίλιος 2014 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Πλοκή Παιχνιδιού (Story)... 3 2. Χαρακτήρες Παιχνιδιού... 3 3. Level / environment design:... 5 4. Γραφικά... 7 5. Ήχοι... 7 6. Διάδραση και έλεγχος χαρακτήρων...

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 6: Εκτατική μορφή παίγνιων. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 6: Εκτατική μορφή παίγνιων. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 6: Εκτατική μορφή παίγνιων Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόνομοι Πράκτορες. Εργασία εξαμήνου. Value Iteration και Q- Learning για Peg Solitaire

Αυτόνομοι Πράκτορες. Εργασία εξαμήνου. Value Iteration και Q- Learning για Peg Solitaire Αυτόνομοι Πράκτορες Εργασία εξαμήνου Value Iteration και Q- Learning για Peg Solitaire Μαρίνα Μαυρίκου 2007030102 1.Εισαγωγικά για το παιχνίδι Το Peg Solitaire είναι ένα παιχνίδι το οποίο παίζεται με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

3ο Φροντιστηριο ΗΥ217

3ο Φροντιστηριο ΗΥ217 3ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 30 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση 0.1 Εχουµε 3 κέρµατα. Το ένα από αυτά έχει κορώνα και στις δύο πλευρές, το άλλο έχει γράµµατα και στις δύο πλευρές, και το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Τελικός γύρος: C : προπονητή Τ : γυµναστή. AC : βοηθού προπονητή Μ : γιατρού ΣΕΛ. 2 ΑΠΟ 10

Τελικός γύρος: C : προπονητή Τ : γυµναστή. AC : βοηθού προπονητή Μ : γιατρού ΣΕΛ. 2 ΑΠΟ 10 Έκδοση 2009 ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ ΤΗΣ FIVB ΓΙΩΡΓΟΣ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΙΑΙΤΗΣΙΑΣ I. ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΝΑΡΞΗ ΤΟΥ ΑΓΩΝΑ Ο σηµειωτής πρέπει να ελέγξει εάν έχουν συµπληρωθεί κατάλληλα οι γραµµές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί φίλοι, Αρχικά για µια µόνο φορά κάνουµε δύο βήµατα :

Αγαπητοί φίλοι, Αρχικά για µια µόνο φορά κάνουµε δύο βήµατα : Αγαπητοί φίλοι, Στην προσπάθεια εκσυγχρονισµού της Olympic Airways Virtual αλλάζουµε τον τρόπο των pireps, εκµεταλλευόµενοι τα add on προγράµµατα που παρέχουν πλέον πάρα πολλές πληροφορίες για τις πτήσεις

Διαβάστε περισσότερα