* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν είναι µικρός, εµείς θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της θεωρίας παιγνίων, προκειµένου να αναλύσουµε τη συγκεκριµένη κατάσταση και να βρούµε µια ισορροπία ή µια λύση λογική. Από τα παραδείγµατα που έχουµε κάνει (ολιγοπώλιο, συµπεριφορά Cournot, συµπεριφορά Bertrand) βλέπουµε ότι σε κάθε ένα από τα παίγνια που εξετάζουµε θα πρέπει να λάβουµε υπόψη πως συµπεριφέρονται οι άλλοι όταν παίρνουν τις αποφάσεις τους, αφού η ισορροπία εξαρτάται από τις αποφάσεις όλων µαζί των εταιριών. Πέρα όµως από αυτό υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγµατα από την καθηµερινή µας ζωή, από τις σχέσεις µεταξύ των ατόµων, από τις σχέσεις µεταξύ προϊσταµένων και υφισταµένων, από τις σχέσεις µέσα σε µια οικογένεια κ.λ.π. Οπουδήποτε υπάρχει µικρός αριθ- µός ατόµων χρειάζεται να δούµε πως αντιδρούν αυτά τα άτοµα και τι θα βγει από την αλληλεπίδραση τους. Τώρα, όπως και στη θεωρία των αποφάσεων (η οποία δεν είναι τίποτε άλλο παρά θεωρία παιγνίων, όπου υπάρχει µόνο ένας παίκτης) έτσι και στη θεωρία παιγνίων θα χρησιµοποιήσουµε δύο τρόπους παράστασης των παιγνίων: * το δέντρο και * τη µήτρα Πιο αναλυτικά: - Μορφή κανονική ή στρατηγική ή µήτρας. Είναι η πιο συνηθισµένη µορφή του παιγνίου. Λέγοντας στρατηγική εννοούµε ότι αυτό που περιγράφει το παίγνιο, είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από κάθε συνδυασµό στρατηγικών αυτό µπορεί να γίνει µε τη µορφή µήτρας, όπου σε κάθε γραµµή της υπάρχει η στρατηγική του παίκτη 1, και σε κάθε στήλη της η στρατηγική του παίκτη 2. Στην περίπτωση που έχουµε 3 ή 4 ή 5 παίκτες µπορούµε να πάρουµε µήτρα περισσοτέρων διαστάσεων. Αναλυτική µορφή ή µορφή δέντρου. Σ αυτή τη δεύτερη µορφή εµφανίζονται όλες οι λεπτο- µέρειες της αλληλεπίδρασης των παικτών. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουµε µέσα από παραδείγµατα να επεξηγήσουµε όσο το δυνατόν πληρέστερα τις δυο αυτές µορφές (στρατηγική µορφή και µορφή δέντρου), να περιγράψουµε τα στοιχεία που περιλαµβάνει ένα παίγνιο, καθώς και τις διαφορές που υπάρχουν µεταξύ της παράστασης ενός παιγνίου στην µορφή δέντρου και στη µορφή µήτρας. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν. 1

2 Τι είναι η στρατηγική µορφή; Είναι πολύ απλά µια µήτρα για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι είµαστε σε ένα απλό παιχνίδι µε δύο παίκτες: τους 1 και 2. Ο παίκτης (1) έχει τις στρατηγικές Α και Β ενώ ο παίκτης (2) τις C και D. Στη µήτρα µπαίνουν επίσης τα αποτελέσµατα των στρατηγικών. Σε κάθε κουτάκι χρειαζόµαστε δυο νούµερα: π.χ. το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1) όταν ακολουθεί τη στρατηγική Α, τη στιγµή που ο παίκτης (2) ακολουθεί τη στρατηγική C. Το πρώτο παριστάνει το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1), ενώ το δεύτερο το τι πετυχαίνει ο παίκτης (2). Έτσι για παράδειγµα το (7, 9) µας δίνει το αποτέλεσµα όταν οι στρατηγικές είναι Α και C. Αντίστοιχα έχουµε τα άλλα νούµερα στα υπόλοιπα κουτιά. 2 C D 1 A 7, 9 3, 10 B 9, 19 0, -7 Η ερώτηση βέβαια, σε ένα τέτοιο παίγνιο, είναι τί περιµένουµε να συµβεί. Με άλλα λόγια, τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (1) και τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (2) σε µια λογική κατάσταση, σε µια ισορροπία. Για να µπορέσουµε να δώσουµε απάντηση στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει πρώτα να ορίσουµε κάποιες επιλύσεις των παιγνίων. Τώρα, γιατί λέγεται στρατηγική αυτή η µορφή; Γιατί αυτό που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που πετυχαίνει. Τι δεν εµφανίζεται; εν εµφανίζεται για παράδειγµα η χρονική στιγµή, ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος, αν παίζουνε µαζί.θα δούµε λοιπόν στη συνέχεια της ανάλυσής µας τι χάνεται στην περίπτωση της στρατηγικής µορφής. Ποια είναι τα στοιχεία ενός παιγνίου; (όλα τα παρακάτω στοιχεία εµφανίζονται στην αναλυτική µορφή όχι όµως στην κανονική). (1) Όλοι οι παίκτες (ίσως ένας από αυτούς είναι η τύχη). (2) Τι κινήσεις - επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης κάθε φορά που καλείται να αποφασίσει. (3) Πότε µπορεί να πάρει τις αποφάσεις του, κάθε παίκτης. (4) Τί πληροφόρηση έχει κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του. (5) Τα αποτελέσµατα κάθε «παρτίδας» (payoffs) - κάτι που παίζεται και φτάνει σε ένα σηµείο, τελειώνει και όταν τελειώσει παίρνει ο καθένας το µερίδιο του. 2

3 Στην αναλυτική µορφή - στην µορφή δέντρου εµφανίζονται όλα τα στοιχεία (1) - (5). Στη στρατηγική µορφή λείπουν τα (3) και (4) γιατί προφανώς στη στρατηγική µε τη µορφή µήτρας δεν υπάρχει ο χρόνος (είναι στατικό / άχρονο), και επιπλέον δε γνωρίζουµε τί πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης. Το µόνο που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές, τα αποτελέσµατα (pay off) και οι παίκτες. Στο παράδειγµα της µήτρας οι επιλογές είναι και οι στρατηγικές. Στο δέντρο η στρατηγική είναι κάτι πολύ πιο πολύπλοκο και θα δούµε τώρα ακριβώς τι είναι. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν από το πιο απλό παίγνιο που υπάρχει και το οποίο λέγεται zero-sum game (παιγνίδι µηδενικού αθροίσµατος). Παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος είναι το παίγνιο όπου έ- νας παίκτης κερδίζει και ο άλλος χάνει. Πληρώνει δηλαδή ο ένας τον άλλο. Σε αυτά τα παίγνια όπου το άθροισµα αποτελεσµάτων είναι µηδέν δεν χρειάζεται να έχουµε δύο νούµερα γιατί ότι κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος. Οπότε µπορούµε να το απλοποιήσουµε. (Πάνω σε αυτό το παίγνιο θα δούµε τα διάφορα στοιχεία και έτσι θα αρχίσουµε σιγά - σιγά να βλέπουµε τις πιθανές λύσεις, πριν προχωρήσουµε την ανάλυση µας σε βάθος) Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: τους (I) και (II). Ο παίκτης I παίζει πρώτος και έχει δύο επιλογές στην διάθεση του: l και r κατόπιν, ακολουθεί ο παίκτης II όπου και αυτός έχει δυο επιλογές: R και L. Τα αποτελέσµατα του παιγνίου είναι G (Gain) και L (Lose). Το G (αφού µιλάµε για zero-sum game) σηµαίνει ότι κερδίζει ο πρώτος παίκτης και χάνει ο δεύτερος ενώ το L σηµαίνει ότι ο πρώτος παίκτης χάνει και κερδίζει ο δεύτερος. 3

4 Αν το παιχνίδι πάει προς τα κάτω αποφασίζει ο παίκτης II µεταξύ L και R. Αν αποφασίσει R χάνει αυτός και κερδίζει ο πρώτος, ενώ αν αποφασίζει L ξαναπαίζει ο παίκτης II. Ας προσπαθήσουµε τώρα να βρούµε, στο συγκεκριµένο αυτό παίγνιο το οποίο παριστάνεται σε αυτή την αναλυτική µορφή, ποιοι είναι οι παίκτες, οι επιλογές κ.λ.π.. Εδώ έχουµε δύο παίκτες: I και II. Πρώτα παίζει ο I, µετά o ΙΙ, µετά ξαναπαίζει ο II και στη συνέχεια τελειώνει το παιγνίδι ο I. Τί επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης σε κάθε περίπτωση που µπορεί να κληθεί να αποφασίσει; Όπως βλέπουµε και οι δυο παίκτες έχουν από δυο επιλογές κάθε φορά που παίζουν. Μπορούσαµε για παράδειγµα να προσθέσουµε και µια τρίτη επιλογή ενδιάµεση, όπως φαίνεται στο διάγραµµα 2 που ακολουθεί. Επίσης µπορεί οι επιλογές του παίκτη να είναι τελείως διαφορετικές κάθε φορά που θα παίζει π.χ. (r 1, L 1 ) ή (r 2, L 2 ). [ Tώρα για παράδειγµα υποθέτουµε ότι έχουµε δύο παίχτες µε επιλογές δεξιά και αριστερά. Σηµασία έχει ότι η επιλογή του I θα επηρεάσει και τον I και τον II. Άρα οι στρατηγικές αυτές έχουν διαφορετικό όνοµα, δηλαδή δεν είναι το ίδιο πράγµα ]. 4

5 r R r: στρατηγική παίκτη Ι R: στρατηγική παίκτη II Όπως βλέπουµε σε αυτό το δέντρο, την πρώτη περίοδο αποφασίζει ο παίκτης I, την περίοδο δύο αποφασίζει ο παίκτης II, την περίοδο τρία, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης II και την περίοδο τέσσερα, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης I. Άρα το πότε µπορεί να πάρει αποφάσεις ο κάθε παίκτης φαίνεται καθαρά στο δέντρο. Τι πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του; Στο πιο πάνω δέντρο, ξέρει τα πάντα. ηλαδή αν φτάσουµε στο σηµείο (Α) ο παίκτης II ξέρει ότι ο παίκτης I πήρε απόφαση r και ο ίδιος ο II είχε πάρει προηγουµένως µια απόφαση L. Άρα σ αυτό το παιχνίδι υπάρχει πλήρη πληροφόρηση, γεγονός που σηµαίνει ότι κάθε παίκτης ξέρει όλη την ιστορία του παιχνιδιού. Τα α- ποτελέσµατα βέβαια κάθε «παρτίδας» φαίνονται καθαρά στους τελικούς κλάδους. (Βλέπουµε ότι στην µορφή δέντρου υπάρχουν όλα τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε ένα παίγνιο.) 5

6 Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο ας κάνουµε µια προσπάθεια να λύσουµε αυτό το παίγνιο. Αν δεν ξέραµε τίποτα από θεωρία παιγνίων τι θα λέγαµε; Πως θα λύναµε αυτό το παίγνιο; εδοµένου του δέντρου τι θα προτείναµε σαν λύση αυτού του παιγνίου; Τι σηµαίνει λύση αυτού του παιγνίου; Σηµαίνει τί στρατηγική θα ακολουθήσει κάθε παίκτης σε κάθε στιγµή. Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε αυτό που λέµε: «backward induction» (οπισθογενής επαγωγή). Γιατί; Γιατί αν φτάσει ποτέ το παιγνίδι στο σηµείο (Β) ο παίκτης II θα επιλέξει το R που τον οδηγεί σε σίγουρη νίκη. Άρα προφανώς ο παίκτης I δεν θα παίξει στην στρατηγική l. Η λογική εδώ είναι η εξής: Ο I ξέρει ότι ο παίκτης II είναι ορθολογικός. Στη θεωρία παιγνίων όπως και στα οικονοµικά, υπάρχει µια πολύ ισχυρή υπόθεση που λέγεται ορθολογισµός. ηλαδή ο κάθε παίκτης είναι ορθολογικός και το ίδιο πιστεύει και για τον αντίπαλό του επιπλέον πιστεύει ότι ο αντίπαλος του πιστεύει ότι αυτός ο ίδιος είναι ορθολογικός.. Και είναι αυτό που εµείς λέµε «κοινή γνώση». Άρα δεδοµένης αυτής της υπόθεσης ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός. Ένας ορθολογικός παίκτης αυτό που θα κάνει είναι να προσπαθήσει να κερδίσει. Ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός και ο II ξέρει ότι ο παίκτης I είναι ορθολογικός, οπότε για να δούµε τί θα γίνει αν υπάρχει ένας ορθολογικός παίκτης στην τελευταία κίνηση (c). Ο παίκτης I θα επιλέξει το r. Πάµε ένα βήµα πίσω στην κίνηση (Α). Ο παίκτης II ξέρει ότι ένας ορθολογικός παίκτης I θα επιλέξει r. Οπότε ξέρει ο II ότι αν επιλέξει L θα χάσει. Αν επιλέξει R πάλι έχασε. Ο,τιδήποτε και αν κάνει είναι το ίδιο. Οπότε και οι δυο πράξεις είναι ισοδύναµες. Τώρα πάµε πίσω, στην κίνηση (D). Ο II ξέρει ότι από κει και πέρα το χάνει το παιχνίδι. Αλλά και R να επιλέξει στην κίνηση (D), πάλι χάνει το παιχνίδι. Άρα ο παίκτης I ξέροντας ότι ο παίκτης II ξέρει ότι έχει χάσει το παιχνίδι θα παίξει r.(υποθέτουµε ότι ο II αναγκάζεται να παίξει αυτό το παιγνίδι έστω και αν είναι ορθολογικός). Σε αυτό το παιγνίδι ο παίκτης II είναι χαµένος από χέρι. Και πως το βρήκαµε αυτό; Με τη µέθοδο του backwards induction. Είδαµε λοιπόν ένα τρόπο µε τον οποίο µπορεί να λυθεί ένα παίγνιο όταν είναι στην αναλυτική του µορφή. Τώρα θα δούµε ένα άλλο απλό παράδειγµα που έχει ενδιαφέρον. Είναι η περίπτωση όπου υπάρχει ένας µονοπωλητής στην αγορά και ένας εν δυνάµει εισερχόµενος. Ε είναι η νέα εταιρεία που θέλει να µπει στην αγορά και Μ ο µονοπωλητής. Και τα αποτελέσµατα είναι: 6

7 Αυτή είναι µια αναλυτική µορφή παιγνίου. Οι επιλογές της εν δυνάµει εισερχόµενης εταιρείας είναι να εισέλθει ή όχι ενώ οι επιλογές του µονοπωλητή είναι αποδοχή του δυνάµει εισερχόµενου ή πόλεµος τιµών. Σε αυτή τη µορφή του παιγνίου µπορούµε εύκολα να δούµε: * τους παίκτες * τις επιλογές κάθε παίκτη * πότε παίρνει τις αποφάσεις κάθε παίκτης * η πληροφόρηση είναι πάλι τέλεια πληροφόρηση γιατί ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε στον κλάδο η άλλη εταιρεία ή όχι. * τα αποτελέσµατα τα οποία φαίνονται στους τελικούς κλάδους. Εδώ πάλι τα πράγµατα είναι ξεκάθαρα. Η εν δυνάµει εισερχόµενη εταιρεία ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός ξέρει δηλ. ότι ένας ορθολογικός µονοπωλητής αυτό που θα κάνει είναι να συγκρίνει το 50 µε το 0 και να προτιµήσει το 50. εδοµένου ότι ο εισερχόµενος ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός, αυτό που κάνει είναι να συγκρίνει το 0 µε το 40 και ν αποφασίσει να εισέλθει. Οπότε η είσοδος είναι ελεύθερη. Ας δούµε τώρα πως εισέρχεται στην ιστορία η πληροφόρηση. Θα εξετάσουµε ένα παράδειγµα όπου η πληροφόρηση δεν είναι τέλεια και θα δούµε τι πρέπει να κάνουµε στην περίπτωση αυτή ώστε να παραστήσουµε µια κατάσταση ατελούς πληροφόρησης. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: ο παίκτης Ι µπορεί να πάει είτε δεξιά, είτε αριστερά είτε ευθεία. 7

8 Ο παίκτης I έχει πλήρη πληροφόρηση Αν πάει δεξιά το παιχνίδι τελείωσε και οι δύο παίκτες κερδίζουν από 2. Αν πάει αριστερά ή ευθεία τότε αυτό δεν µπορεί να το ξέρει ο παίκτης ΙΙ, ο οποίος παρόλα αυτά θα πρέπει να αποφασίσει αν θα πάει ο ίδιος αριστερά ή δεξιά χωρίς να ξέρει τι έκανε ο προηγούµενος παίκτης. Ο παίκτης ΙΙ δεν ξέρει τι έκανε ο παίκτης Ι. Αυτό που µπορούµε να κάνουµε στην συγκεκριµένη περίπτωση είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ µέσα σε µια έλλειψη, να τους συνδέσουµε δηλαδή µεταξύ τους µε αυτό τον τρόπο. Τους βάζουµε µέσα στο ίδιο σύνολο κόµβων. Με αυτό τον τρόπο όταν ο II πάρει την απόφασή του ξέρει αν το παιγνίδι έχει πάει προς τα κάτω ή αν έχει πάει προς το Α ή Ε. εν µπορεί όµως να διακρίνει µεταξύ του αριστερά και ευθεία. Οπότε ο παίκτης ΙΙ ξέρει τι έγινε µόνο όταν ο παίκτης Ι αποφασίσει δεξιά. Αν ο παίκτης Ι όµως αποφασίσει µεταξύ αριστερά και ευθεία, ο παίκτης ΙΙ δεν αντιλαµβάνεται τι έχει γίνει και πρέπει να πάρει µια απόφαση χωρίς να το γνωρίζει. Πρέπει όµως να πάρει µια απόφαση και για τους δύο κόµβους έτσι θα αποφασίσει να πάει είτε αριστερά είτε δεξιά, ανεξάρτητα από την απόφαση που έχει πάρει ο παίκτης Ι. Ο τρόπος λοιπόν που µπορούµε να το συµβολίσουµε είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ, µέσα σε ένα σύνολο το οποίο λέγεται ΣΥΝΟΛΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (information set) και µας δείχνει τι πληροφόρηση έχει ο παίκτης τη στιγµή που παίρνει την απόφασή του. Οπότε εδώ βλέπουµε πως εµφανίζεται το στοιχείο νούµερο 4 τί πληροφόρηση, δηλαδή, έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφασή του. Τώρα για να δούµε τι συµβαίνει στα παίγνια όπου υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά τα σύνολα πληροφόρησης έχουν ένα µόνο στοιχείο µέσα. ηλαδή ο παίκτης Ι όταν παίρνει την απόφαση του ξέρει πολύ καλά την ιστορία του παιχνιδιού (δεν υπήρχε προηγουµένως καµία ιστορί- 8

9 α). Οπότε ουσιαστικά ο κόµβος (Α) βρίσκεται σε ένα σύνολο πληροφόρηση που έχει ένα µοναδικό στοιχείο. Οι αποφάσεις πρέπει να παρθούν ανεξάρτητα για τον παίκτη Ι και ΙΙ και µε ένα τρόπο που να είναι λογικός (να έχει δηλαδή λύση). Στο προηγούµενο παράδειγµα που ο µονοπωλητής έχει τέλεια πληροφόρηση µπορούµε να βάλουµε ένα σύνολο γύρω από τον κόµβο (Β) έτσι ώστε αυτό το σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα µόνο στοιχείο µέσα. Και αυτό σηµαίνει ότι ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε ή αν δεν µπήκε στην αγορά η καινούργια εταιρεία. 9

10 ηλαδή αν δε το ήξερε θα είχαµε: Με άλλα λόγια, τέλεια πληροφόρηση σηµαίνει ότι το δέντρο είναι έτσι, ώστε κάθε σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα και µοναδικό στοιχείο µέσα του. Στο παίγνιο που είδαµε ότι ο παίκτης Ι επέλεγε µεταξύ r και l, όλοι οι κόµβοι ανήκαν σε σύνολα πληροφόρησης που είχαν ένα κόµβο µέσα. Άρα είχαµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα κλάδο µε δύο επιχειρήσεις: τις Α και Β. Η επιχείρηση Α έχει τη δυνατότητα να εισάγει ένα καινούργιο προϊόν ή όχι. Κατόπιν η επιχείρηση Α παίρνει απόφαση να λανσάρει ή όχι µια διαφήµιση για το προϊόν. Και αυτή την απόφαση µπορεί να την πάρει είτε εισάγει είτε όχι το καινούριο προϊόν. Μπορεί δηλαδή να κάνει διαφήµιση είτε πάνω στο παλιό, είτε πάνω στο καινούριο (προϊόν). Η επιχείρηση Β ξέρει αν έχει εισαχθεί το καινούριο προϊόν ή όχι, αλλά αυτό που δεν ξέρει είναι αν η Α αποφάσισε να διαφηµίσει το καινούριο προϊόν ή το παλιό. Άρα η επιχείρηση Β ξέρει αν το παιχνίδι έχει πάει προς τα πάνω ή προς τα κάτω (διάγραµµα 9). 10

11 Τώρα µπορεί να έχουµε και άλλες περιπτώσεις αυτού του παιγνίου. Για παράδειγµα αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τίποτα, δεν ξέρει δηλαδή, αν έχει εισαχθεί ή όχι το καινούριο προϊόν ούτε ξέρει αν έχει γίνει η διαφήµιση ή όχι, τότε θα έχουµε όλους τους κόµβους απόφασης της επιχείρησης Β σε ένα σύνολο πληροφόρησης (διάγραµµα 10). Στην περίπτωση αυτή η Β πρέπει να πάρει απόφασή, για το αν θα κάνει ή όχι διαφήµιση, χωρίς να ξέρει τίποτα ουσιαστικά δεν ξέρει που έχει φτάσει το παιγνίδι. Ένα άλλο παράδειγµα ατελούς πληροφόρησης είναι να ξέρει αν θα συµβεί ή όχι διαφήµιση αλλά να µην ξέρει αν έχει γίνει εισαγωγή ή όχι του προϊόντος (διάγραµµα 11). Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο σύνολα πληροφόρησης από τα οποία φαίνεται ότι η επιχείρηση Β µπορεί να διακρίνει µεταξύ διαφήµισης ή όχι αλλά δεν µπορεί να διακρίνει αν έχει εισαχθεί ή όχι το προϊόν. 11

12 Το σύνολο πληροφόρησης ορίζεται για κάθε παίκτη κάθε φορά που παίρνει κάποια απόφαση. Αν είχαµε: 12

13 τότε αυτό θα σήµαινε ότι η ίδια η επιχείρηση δεν ξέρει τι έχει κάνει. Μπορεί δηλ. την απόφασή της να την έχει πάρει στο παρελθόν και στην περίπτωση που έχουµε µεγάλο δέντρο να µην θυµάται τι έπραξε για το λόγο αυτό θα πρέπει να βάλουµε την έλλειψη. Ποιο είναι το νόηµα του να βάζουµε µέσα σε µια έλλειψη τους κόµβους; Το νόηµα είναι ότι σε ένα σύνολο πληροφόρησης ο παίκτης πρέπει να πάρει µια µοναδική απόφαση. Αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τι έχει συµβεί στο παρελθόν, δηλαδή δεν ξέρει αν βρίσκεται στην εισαγωγή ή όχι του νέου προϊόντος, τότε δεν µπορεί να πάρει άλλη απόφαση για την περίπτωση που θα βρισκόταν πάνω και άλλη γι αυτήν που θα βρισκόταν κάτω. Θα πάρει µια µοναδική απόφαση για όλους τους κόµβους που ανήκουν στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης. Τι άλλο στοιχείο µπορούµε να βάλουµε στην περιγραφή των παιγνίων; Στο στοιχείο (1) (βλέπε σελίδα 3) όταν αναφερόµαστε στους παίκτες, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας ότι ένας από αυτούς µπορεί να είναι και η τύχη. Που σηµαίνει ότι µπορεί να έχουµε και αβεβαιότητα. ηλαδή είτε στην αρχή του παιγνίου, είτε στο ενδιάµεσο µπορεί να υπάρχει κάποια κίνηση της ίδιας της τύχης, όπου αποφασίζει µε κάποιες πιθανότητες να γίνει κάτι ή κάτι διαφορετικό. Γενικότερα θα λέγαµε ότι α- ποφάσεις σε ένα παίγνιο παίρνουν τόσο οι ενεργητικοί παίκτες όσο και η τύχη που είναι ο παθητικός παίκτης (πηγαίνει µε κάποιες πιθανότητες µεταξύ των τυχαίων γεγονότων). 13

14 Ας δούµε τώρα ένα πολύ απλό παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο εταιρείες (η 1 και η 2) οι οποίες παράγουν computers και ότι υπάρχουν δύο είδη δισκετών: µεγάλες και µικρές. Αν οι δυο εταιρείες βγάζουνε computers τα οποία είναι συµβατά, τα κέρδη τους θα είναι θετικά, ενώ αν είναι ασύµβατα θα έχουν απώλειες. Αλλά το πόσο µεγάλα θα είναι τα κέρδη τους, εξαρτάται από το αν οι δισκέτες θα είναι µεγάλες ή µικρές. Η επιχείρηση 1 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής δισκέτας. Στη συνέχεια η επιχείρηση 2 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής ξέροντας τι έχει κάνει η επιχείρηση 1. Τώρα αν οι δυο επιχειρήσεις δεν καταφέρουν να συντονιστούν τότε και οι δύο θα έ- χουν απώλειες. Τούτο γίνεται περισσότερο κατανοητό µε τη βοήθεια του ακόλουθου παραδείγµατος. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε µια πόλη στην οποία υπάρχουν 3 τηλέφωνα. Η χρησιµότητα κάθε ενός από τα άτοµα που κατέχει ένα τηλέφωνο είναι µικρή γιατί ο καθένας µπορεί να καλέσει µόνο τους υπολοίπους δύο. Αν στην ίδια πόλη υπάρχουνε τηλέφωνα, τότε η χρησιµότητα του ενός ατόµου είναι πολύ µεγαλύτερη. Αυτό το φαινόµενο λέγεται net-work externalities. Τώρα γιατί έχει σχέση αυτό µε το παράδειγµα µας; Γιατί αν οι δισκέτες είναι µεγάλες ή µικρές επηρεάζουν τη χρησιµότητα των προγραµµάτων των computers. Αν µικρές οι δισκέτες και των δύο είναι τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το software όλων των computers. Αν όµως η µια επιχείρηση έχει µικρές δισκέτες και η άλλη µεγάλες, τότε αυτή που έχει µεγάλες δισκέτες µπορεί να χρησιµοποιήσει το software που έχει µεγάλες δισκέτες και αυτή που έχει µικρές το software µε µικρές δισκέτες. Άρα τα άτοµα θα έχουν µικρότερη ζήτηση και για τα δύο είδη computers. Εδώ έχουµε την τύχη, τον παθητικό παίκτη, να αποφασίζει µεταξύ των κερδών (10, 10) ή (0, 0) µε αντίστοιχες πιθανότητες (0.2) και (0,8). Στον κλάδο της τύχης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη θεωρία του προσδοκώµενου κέρδους έτσι ώστε να βρούµε το προσδοκώµενο κέρδος που είναι (2, 2) και να συνεχίσουµε προκειµένου να λύσουµε το πρόβληµα µε τις κλασικές µεθόδους. Αυτό εδώ το πρόβληµα είναι ένα πρόβληµα απλού συντονισµού (pure coordination problem). Και η λύση βέβαια είναι απλή. Όταν ο 2 ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µεγάλη προφανώς δεν θα επιλέξει µικρή αν πάλι ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µικρή τότε και ο ίδιος θα επιλέξει µικρή. Όπως φαίνεται και από το διάγραµµα ο 1 θα επιλέξει µικρή αφού έτσι πετυχαίνει περισσότερα κέρδη. Φαίνεται λοιπόν ότι οι δυο εταιρείες συντονίζονται, και µάλιστα συντονίζονται στο «καλό» αποτέλεσµα: στο (2, 2) και όχι στο (1, 1). 14

15 Ο τρόπος επίλυσης ενός δέντρου γίνέται µε την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) µόνο στην περίπτωση που έχουµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα το ίδιο παίγνιο όταν η απόφαση είναι ταυτόχρονη. Οι δύο εταιρείες πρέπει να πάρουν την ίδια στιγµή απόφαση για το αν θα παράγουν µεγάλη ή µικρή δισκέτα. Τα πράγµατα εδώ έχουν αλλάξει και έτσι τώρα δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της οπισθογενούς επαγωγής ( backwards induction), αφού δεν έχουµε πλέον τέλεια πληροφόρηση. Έτσι θα πρέπει να βάλουµε τους δύο κόµβους στους οποίους αποφασίζει η εταιρεία 2 µέσα σε µια έλλειψη (διάγραµµα 14) και προφανώς η λύση τώρα δεν θα είναι µόνο το (2, 2). Εδώ το αποτέλεσµα δεν βγαίνει εύκολα και για το λόγο αυτό θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε κάποια άλλη µέθοδο επίλυσης η µέθοδος αυτή είναι η ισορροπία κατά Nash, όπου ο καθένας παίρνει την καλύτερη απόφαση δεδοµένου τι έχει κάνει ο άλλος. Με άλλα λόγια κάθε παίκτης απαντά µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο στο τι έκανε ο άλλος. Το πρόβληµα αυτό είναι ισοδύναµο µε µια ταυτόχρονη απόφαση, διότι όταν ο 1 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 2 - και όταν ο 2 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 1. Το παίγνιο αυτό µπορεί να παρασταθεί µε µια µήτρα. 15

16 Στην περίπτωση αυτή όλα τα στοιχεία των παιγνίων είναι σηµαντικά και µπορούν να αλλάξουν τελείως το αποτέλεσµα του παιγνίου. Βλέπουµε λοιπόν ότι άλλη θα είναι η ισορροπία όταν οι α- ποφάσεις παίρνοντας µε ένα τρόπο διαδοχικό και άλλη όταν οι αποφάσεις παίρνονται ταυτόχρονα. Τι σηµαίνει ταυτόχρονα; Σηµαίνει ότι όταν ο ένας παίκτης παίρνει την απόφαση του δεν ξέρει τι έχει κάνει ο άλλος και αντίστροφα. εν µπορούν να συντονιστούν ταυτόχρονα και να πάρουν µια απόφαση, γιατί είµαστε σε αυτό που λέµε Non - Cooperative Game Theory. Τελειώνοντας το πρώτο αυτό κεφάλαιο θα λέγαµε ότι γενικά η θεωρία παιγνίων διαιρείται σε δύο κατηγορίες παιγνίων: Non-cooperative (µη-συνεργατικά παίγνια) Cooperative (συνεργατικά όπου οι αποφάσεις λαµβάνονται από κοινού). Τα παίγνια που χρησιµοποιούµε πολύ στα οικονοµικά είναι κυρίως µη συνεργατικά (που αναλύουµε εδώ), όπου ο κάθε 16

17 παίκτης είναι ένα άτοµο που ορθολογικά αποφασίζει να µεγιστοποιήσει κάποια συνάρτηση χρησι- µότητας / κέρδους. 17

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3 Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενα Μαθήµατα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαµβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y Κεφάλαιο 1 Το τελευταίο που κάναµε ήταν µια ιαπραγµάτευση στην οποία υπάρχουν ύο παίκτες, κάνει ο ένας µια προσφορά, ο άλλος τη έχεται ή όχι. Αν εν την εχτεί κάνει αντιπροσφορά την οποία ο πρώτο παίχτης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 = 1000 2p1 +p2 και q 2 = 1000 2p2 +p1. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5 Κεφάλαιο 3 Δυναμικά παίγνια 3.1 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε αναλύσει παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Αυτή η υπόθεση όμως δεν είναι πάντα κατάλληλη. Σε πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Παιγνιακά Μοντέλα Σύγκρουσης και Συνεργασίας

Παιγνιακά Μοντέλα Σύγκρουσης και Συνεργασίας Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Παραβάντης Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Μάρτιος 2010 Παιγνιακά Μοντέλα Σύγκρουσης και Συνεργασίας 1. Εισαγωγή Στο παρόν φυλλάδιο παριστάνουµε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

Η παρούσα αξία της επένδυσης αν αυτή υλοποιηθεί άµεσα είναι 0 K 0 1 K

Η παρούσα αξία της επένδυσης αν αυτή υλοποιηθεί άµεσα είναι 0 K 0 1 K 6. Αβεβαιότητα και µη Αναστρέψιµες Επενδύσεις Στην περίπτωση που µία επένδυση δεν µπορεί να αντιστραφεί χωρίς κόστος, δηλαδή αφού έχει πραγµατοποιηθεί η αγορά κεφαλαιακού εξοπλισµού, κατασκευή κτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 5.1 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ Ο κλάδος των Τηλεπικοινωνιών είναι από τους ταχέως αναπτυσσόµενους κλάδους σχεδόν σε κάθε χώρα. Οι υπηρεσίες τέτοιου είδους αποτελούν το πιο απλό

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά].

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά]. 2.2. ΥΟΠΩΛΙΟ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΜΕ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: (pricot), (anana) [ ιαρκή Αγαθά]. Υποθέτουµε µηδενικό κόστος παραγωγής και P, P, οι τιµές για το Α, αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Ολιγοπώλιο και αρχιτεκτονική των επιχειρήσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Ολιγοπώλιο και αρχιτεκτονική των επιχειρήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ολιγοπώλιο και αρχιτεκτονική των επιχειρήσεων Ολιγοπώλιο Υπάρχουν ελάχιστοι πωλητές ενός προϊόντος Ο ανταγωνισµός δεν στηρίζεται µόνο στην τιµή Υπάρχουν εµπόδια εισόδου (στον κλάδο) υοπώλιο:

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot -To υπόδειγμα Cournot έχει υποστεί τρία είδη κριτικής: () Το υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Χρηµατικά µέτρα των ωφελειών από ανταλλαγή. ανταλλαγή. ανταλλαγή. Πλεόνασµα καταναλωτή. Διάλεξη 8

Χρηµατικά µέτρα των ωφελειών από ανταλλαγή. ανταλλαγή. ανταλλαγή. Πλεόνασµα καταναλωτή. Διάλεξη 8 Χρηµατικά µέτρα των ωφελειών από ανταλλαγή Διάλεξη 8 Πλεόνασµα καταναλωτή Μπορείτε να αγοράσετε όσο βενζίνη θέλετε, µε το λίτρο, όταν µπείτε στην αγορά πετρελαιοειδών. Ε: Ποιο είναι το µέγιστο που θα πληρώνατε

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x).

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x). Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άνοιξη 2012 Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης ηµόσια Οικονοµική ΙI Η διαδικασία της ψηφοφορίας Ως µεθόδου παροχής των δηµοσίων αγαθών (για τα ιδιωτικά αγαθά, ο µηχανισµός των τιµών).

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των Spence-Dixit

Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των Spence-Dixit Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των pence-dixit pence, Michael 977, Entry, apacity, Investment and Oligopolisting Pricing Dixit, Avinash 979, A Model of Duopoly uggesting a Theory of Entry Barriers - Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη.

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. 4. Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. Η αγορά ασφαλιστικών συµφωνιών είναι µία ιδιαίτερη περίπτωση αγοράς δικαιωµάτων. Αντικείµενο της αγοράς αυτής είναι να δώσει την ευκαιρία µεταβίβασης εισοδήµατος από

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης - Οι επιχειρήσεις δεν ανταγωνίζονται μόνο ως προς τις τιμές στις οποίες επιλέγουν να πουλήσουν τα προϊόντα τους. - Ο μη-τιμολογιακός ανταγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Εκτεταμένα Παίγνια (Extensive Games)

Εκτεταμένα Παίγνια (Extensive Games) Εκτεταμένα Παίγνια (Extensive Games) Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταμένα Παίγνια Τα στρατηγικά παίγνια δεν

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max.

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max. Για την µελέτη ενός κύµατος Κύµα µε αρχική φάση 1) Χρειαζόµαστε ένα σηµείο αναφοράς δηλ. µία αρχή που συνήθως επιλέγεται το x = 0. Στο x = 0 συνήθως βρίσκεται και η πηγή του κύµατος χωρίς αυτό να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία (balance) Οι ιδιότητες που δημιουργεί η μέθοδος του ακεραίου τοπ.

Ισορροπία (balance) Οι ιδιότητες που δημιουργεί η μέθοδος του ακεραίου τοπ. Ισορροπία (balance) Ένας όρος που χρησιμοποιείται συχνά σε θέματα κινήσεων είναι η ισορροπία (balance). Για να προχωρήσουμε παρακάτω πρέπει να ξέρουμε πως να βγάζουμε αποτελέσματα σε ένα τουρνουά ζευγών

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Μονοπώλιο. Μονοπώλιο. Μονοπώλιο. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 23 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Μονοπώλιο. Μονοπώλιο. Μονοπώλιο. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 23 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 23 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 23 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 26 Ως τώρα, υποθέσαµε ότι οι αγορές είναι ανταγωνιστικές.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 8: Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα