* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν είναι µικρός, εµείς θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της θεωρίας παιγνίων, προκειµένου να αναλύσουµε τη συγκεκριµένη κατάσταση και να βρούµε µια ισορροπία ή µια λύση λογική. Από τα παραδείγµατα που έχουµε κάνει (ολιγοπώλιο, συµπεριφορά Cournot, συµπεριφορά Bertrand) βλέπουµε ότι σε κάθε ένα από τα παίγνια που εξετάζουµε θα πρέπει να λάβουµε υπόψη πως συµπεριφέρονται οι άλλοι όταν παίρνουν τις αποφάσεις τους, αφού η ισορροπία εξαρτάται από τις αποφάσεις όλων µαζί των εταιριών. Πέρα όµως από αυτό υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγµατα από την καθηµερινή µας ζωή, από τις σχέσεις µεταξύ των ατόµων, από τις σχέσεις µεταξύ προϊσταµένων και υφισταµένων, από τις σχέσεις µέσα σε µια οικογένεια κ.λ.π. Οπουδήποτε υπάρχει µικρός αριθ- µός ατόµων χρειάζεται να δούµε πως αντιδρούν αυτά τα άτοµα και τι θα βγει από την αλληλεπίδραση τους. Τώρα, όπως και στη θεωρία των αποφάσεων (η οποία δεν είναι τίποτε άλλο παρά θεωρία παιγνίων, όπου υπάρχει µόνο ένας παίκτης) έτσι και στη θεωρία παιγνίων θα χρησιµοποιήσουµε δύο τρόπους παράστασης των παιγνίων: * το δέντρο και * τη µήτρα Πιο αναλυτικά: - Μορφή κανονική ή στρατηγική ή µήτρας. Είναι η πιο συνηθισµένη µορφή του παιγνίου. Λέγοντας στρατηγική εννοούµε ότι αυτό που περιγράφει το παίγνιο, είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από κάθε συνδυασµό στρατηγικών αυτό µπορεί να γίνει µε τη µορφή µήτρας, όπου σε κάθε γραµµή της υπάρχει η στρατηγική του παίκτη 1, και σε κάθε στήλη της η στρατηγική του παίκτη 2. Στην περίπτωση που έχουµε 3 ή 4 ή 5 παίκτες µπορούµε να πάρουµε µήτρα περισσοτέρων διαστάσεων. Αναλυτική µορφή ή µορφή δέντρου. Σ αυτή τη δεύτερη µορφή εµφανίζονται όλες οι λεπτο- µέρειες της αλληλεπίδρασης των παικτών. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουµε µέσα από παραδείγµατα να επεξηγήσουµε όσο το δυνατόν πληρέστερα τις δυο αυτές µορφές (στρατηγική µορφή και µορφή δέντρου), να περιγράψουµε τα στοιχεία που περιλαµβάνει ένα παίγνιο, καθώς και τις διαφορές που υπάρχουν µεταξύ της παράστασης ενός παιγνίου στην µορφή δέντρου και στη µορφή µήτρας. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν. 1

2 Τι είναι η στρατηγική µορφή; Είναι πολύ απλά µια µήτρα για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι είµαστε σε ένα απλό παιχνίδι µε δύο παίκτες: τους 1 και 2. Ο παίκτης (1) έχει τις στρατηγικές Α και Β ενώ ο παίκτης (2) τις C και D. Στη µήτρα µπαίνουν επίσης τα αποτελέσµατα των στρατηγικών. Σε κάθε κουτάκι χρειαζόµαστε δυο νούµερα: π.χ. το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1) όταν ακολουθεί τη στρατηγική Α, τη στιγµή που ο παίκτης (2) ακολουθεί τη στρατηγική C. Το πρώτο παριστάνει το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1), ενώ το δεύτερο το τι πετυχαίνει ο παίκτης (2). Έτσι για παράδειγµα το (7, 9) µας δίνει το αποτέλεσµα όταν οι στρατηγικές είναι Α και C. Αντίστοιχα έχουµε τα άλλα νούµερα στα υπόλοιπα κουτιά. 2 C D 1 A 7, 9 3, 10 B 9, 19 0, -7 Η ερώτηση βέβαια, σε ένα τέτοιο παίγνιο, είναι τί περιµένουµε να συµβεί. Με άλλα λόγια, τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (1) και τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (2) σε µια λογική κατάσταση, σε µια ισορροπία. Για να µπορέσουµε να δώσουµε απάντηση στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει πρώτα να ορίσουµε κάποιες επιλύσεις των παιγνίων. Τώρα, γιατί λέγεται στρατηγική αυτή η µορφή; Γιατί αυτό που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που πετυχαίνει. Τι δεν εµφανίζεται; εν εµφανίζεται για παράδειγµα η χρονική στιγµή, ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος, αν παίζουνε µαζί.θα δούµε λοιπόν στη συνέχεια της ανάλυσής µας τι χάνεται στην περίπτωση της στρατηγικής µορφής. Ποια είναι τα στοιχεία ενός παιγνίου; (όλα τα παρακάτω στοιχεία εµφανίζονται στην αναλυτική µορφή όχι όµως στην κανονική). (1) Όλοι οι παίκτες (ίσως ένας από αυτούς είναι η τύχη). (2) Τι κινήσεις - επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης κάθε φορά που καλείται να αποφασίσει. (3) Πότε µπορεί να πάρει τις αποφάσεις του, κάθε παίκτης. (4) Τί πληροφόρηση έχει κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του. (5) Τα αποτελέσµατα κάθε «παρτίδας» (payoffs) - κάτι που παίζεται και φτάνει σε ένα σηµείο, τελειώνει και όταν τελειώσει παίρνει ο καθένας το µερίδιο του. 2

3 Στην αναλυτική µορφή - στην µορφή δέντρου εµφανίζονται όλα τα στοιχεία (1) - (5). Στη στρατηγική µορφή λείπουν τα (3) και (4) γιατί προφανώς στη στρατηγική µε τη µορφή µήτρας δεν υπάρχει ο χρόνος (είναι στατικό / άχρονο), και επιπλέον δε γνωρίζουµε τί πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης. Το µόνο που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές, τα αποτελέσµατα (pay off) και οι παίκτες. Στο παράδειγµα της µήτρας οι επιλογές είναι και οι στρατηγικές. Στο δέντρο η στρατηγική είναι κάτι πολύ πιο πολύπλοκο και θα δούµε τώρα ακριβώς τι είναι. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν από το πιο απλό παίγνιο που υπάρχει και το οποίο λέγεται zero-sum game (παιγνίδι µηδενικού αθροίσµατος). Παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος είναι το παίγνιο όπου έ- νας παίκτης κερδίζει και ο άλλος χάνει. Πληρώνει δηλαδή ο ένας τον άλλο. Σε αυτά τα παίγνια όπου το άθροισµα αποτελεσµάτων είναι µηδέν δεν χρειάζεται να έχουµε δύο νούµερα γιατί ότι κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος. Οπότε µπορούµε να το απλοποιήσουµε. (Πάνω σε αυτό το παίγνιο θα δούµε τα διάφορα στοιχεία και έτσι θα αρχίσουµε σιγά - σιγά να βλέπουµε τις πιθανές λύσεις, πριν προχωρήσουµε την ανάλυση µας σε βάθος) Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: τους (I) και (II). Ο παίκτης I παίζει πρώτος και έχει δύο επιλογές στην διάθεση του: l και r κατόπιν, ακολουθεί ο παίκτης II όπου και αυτός έχει δυο επιλογές: R και L. Τα αποτελέσµατα του παιγνίου είναι G (Gain) και L (Lose). Το G (αφού µιλάµε για zero-sum game) σηµαίνει ότι κερδίζει ο πρώτος παίκτης και χάνει ο δεύτερος ενώ το L σηµαίνει ότι ο πρώτος παίκτης χάνει και κερδίζει ο δεύτερος. 3

4 Αν το παιχνίδι πάει προς τα κάτω αποφασίζει ο παίκτης II µεταξύ L και R. Αν αποφασίσει R χάνει αυτός και κερδίζει ο πρώτος, ενώ αν αποφασίζει L ξαναπαίζει ο παίκτης II. Ας προσπαθήσουµε τώρα να βρούµε, στο συγκεκριµένο αυτό παίγνιο το οποίο παριστάνεται σε αυτή την αναλυτική µορφή, ποιοι είναι οι παίκτες, οι επιλογές κ.λ.π.. Εδώ έχουµε δύο παίκτες: I και II. Πρώτα παίζει ο I, µετά o ΙΙ, µετά ξαναπαίζει ο II και στη συνέχεια τελειώνει το παιγνίδι ο I. Τί επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης σε κάθε περίπτωση που µπορεί να κληθεί να αποφασίσει; Όπως βλέπουµε και οι δυο παίκτες έχουν από δυο επιλογές κάθε φορά που παίζουν. Μπορούσαµε για παράδειγµα να προσθέσουµε και µια τρίτη επιλογή ενδιάµεση, όπως φαίνεται στο διάγραµµα 2 που ακολουθεί. Επίσης µπορεί οι επιλογές του παίκτη να είναι τελείως διαφορετικές κάθε φορά που θα παίζει π.χ. (r 1, L 1 ) ή (r 2, L 2 ). [ Tώρα για παράδειγµα υποθέτουµε ότι έχουµε δύο παίχτες µε επιλογές δεξιά και αριστερά. Σηµασία έχει ότι η επιλογή του I θα επηρεάσει και τον I και τον II. Άρα οι στρατηγικές αυτές έχουν διαφορετικό όνοµα, δηλαδή δεν είναι το ίδιο πράγµα ]. 4

5 r R r: στρατηγική παίκτη Ι R: στρατηγική παίκτη II Όπως βλέπουµε σε αυτό το δέντρο, την πρώτη περίοδο αποφασίζει ο παίκτης I, την περίοδο δύο αποφασίζει ο παίκτης II, την περίοδο τρία, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης II και την περίοδο τέσσερα, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης I. Άρα το πότε µπορεί να πάρει αποφάσεις ο κάθε παίκτης φαίνεται καθαρά στο δέντρο. Τι πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του; Στο πιο πάνω δέντρο, ξέρει τα πάντα. ηλαδή αν φτάσουµε στο σηµείο (Α) ο παίκτης II ξέρει ότι ο παίκτης I πήρε απόφαση r και ο ίδιος ο II είχε πάρει προηγουµένως µια απόφαση L. Άρα σ αυτό το παιχνίδι υπάρχει πλήρη πληροφόρηση, γεγονός που σηµαίνει ότι κάθε παίκτης ξέρει όλη την ιστορία του παιχνιδιού. Τα α- ποτελέσµατα βέβαια κάθε «παρτίδας» φαίνονται καθαρά στους τελικούς κλάδους. (Βλέπουµε ότι στην µορφή δέντρου υπάρχουν όλα τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε ένα παίγνιο.) 5

6 Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο ας κάνουµε µια προσπάθεια να λύσουµε αυτό το παίγνιο. Αν δεν ξέραµε τίποτα από θεωρία παιγνίων τι θα λέγαµε; Πως θα λύναµε αυτό το παίγνιο; εδοµένου του δέντρου τι θα προτείναµε σαν λύση αυτού του παιγνίου; Τι σηµαίνει λύση αυτού του παιγνίου; Σηµαίνει τί στρατηγική θα ακολουθήσει κάθε παίκτης σε κάθε στιγµή. Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε αυτό που λέµε: «backward induction» (οπισθογενής επαγωγή). Γιατί; Γιατί αν φτάσει ποτέ το παιγνίδι στο σηµείο (Β) ο παίκτης II θα επιλέξει το R που τον οδηγεί σε σίγουρη νίκη. Άρα προφανώς ο παίκτης I δεν θα παίξει στην στρατηγική l. Η λογική εδώ είναι η εξής: Ο I ξέρει ότι ο παίκτης II είναι ορθολογικός. Στη θεωρία παιγνίων όπως και στα οικονοµικά, υπάρχει µια πολύ ισχυρή υπόθεση που λέγεται ορθολογισµός. ηλαδή ο κάθε παίκτης είναι ορθολογικός και το ίδιο πιστεύει και για τον αντίπαλό του επιπλέον πιστεύει ότι ο αντίπαλος του πιστεύει ότι αυτός ο ίδιος είναι ορθολογικός.. Και είναι αυτό που εµείς λέµε «κοινή γνώση». Άρα δεδοµένης αυτής της υπόθεσης ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός. Ένας ορθολογικός παίκτης αυτό που θα κάνει είναι να προσπαθήσει να κερδίσει. Ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός και ο II ξέρει ότι ο παίκτης I είναι ορθολογικός, οπότε για να δούµε τί θα γίνει αν υπάρχει ένας ορθολογικός παίκτης στην τελευταία κίνηση (c). Ο παίκτης I θα επιλέξει το r. Πάµε ένα βήµα πίσω στην κίνηση (Α). Ο παίκτης II ξέρει ότι ένας ορθολογικός παίκτης I θα επιλέξει r. Οπότε ξέρει ο II ότι αν επιλέξει L θα χάσει. Αν επιλέξει R πάλι έχασε. Ο,τιδήποτε και αν κάνει είναι το ίδιο. Οπότε και οι δυο πράξεις είναι ισοδύναµες. Τώρα πάµε πίσω, στην κίνηση (D). Ο II ξέρει ότι από κει και πέρα το χάνει το παιχνίδι. Αλλά και R να επιλέξει στην κίνηση (D), πάλι χάνει το παιχνίδι. Άρα ο παίκτης I ξέροντας ότι ο παίκτης II ξέρει ότι έχει χάσει το παιχνίδι θα παίξει r.(υποθέτουµε ότι ο II αναγκάζεται να παίξει αυτό το παιγνίδι έστω και αν είναι ορθολογικός). Σε αυτό το παιγνίδι ο παίκτης II είναι χαµένος από χέρι. Και πως το βρήκαµε αυτό; Με τη µέθοδο του backwards induction. Είδαµε λοιπόν ένα τρόπο µε τον οποίο µπορεί να λυθεί ένα παίγνιο όταν είναι στην αναλυτική του µορφή. Τώρα θα δούµε ένα άλλο απλό παράδειγµα που έχει ενδιαφέρον. Είναι η περίπτωση όπου υπάρχει ένας µονοπωλητής στην αγορά και ένας εν δυνάµει εισερχόµενος. Ε είναι η νέα εταιρεία που θέλει να µπει στην αγορά και Μ ο µονοπωλητής. Και τα αποτελέσµατα είναι: 6

7 Αυτή είναι µια αναλυτική µορφή παιγνίου. Οι επιλογές της εν δυνάµει εισερχόµενης εταιρείας είναι να εισέλθει ή όχι ενώ οι επιλογές του µονοπωλητή είναι αποδοχή του δυνάµει εισερχόµενου ή πόλεµος τιµών. Σε αυτή τη µορφή του παιγνίου µπορούµε εύκολα να δούµε: * τους παίκτες * τις επιλογές κάθε παίκτη * πότε παίρνει τις αποφάσεις κάθε παίκτης * η πληροφόρηση είναι πάλι τέλεια πληροφόρηση γιατί ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε στον κλάδο η άλλη εταιρεία ή όχι. * τα αποτελέσµατα τα οποία φαίνονται στους τελικούς κλάδους. Εδώ πάλι τα πράγµατα είναι ξεκάθαρα. Η εν δυνάµει εισερχόµενη εταιρεία ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός ξέρει δηλ. ότι ένας ορθολογικός µονοπωλητής αυτό που θα κάνει είναι να συγκρίνει το 50 µε το 0 και να προτιµήσει το 50. εδοµένου ότι ο εισερχόµενος ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός, αυτό που κάνει είναι να συγκρίνει το 0 µε το 40 και ν αποφασίσει να εισέλθει. Οπότε η είσοδος είναι ελεύθερη. Ας δούµε τώρα πως εισέρχεται στην ιστορία η πληροφόρηση. Θα εξετάσουµε ένα παράδειγµα όπου η πληροφόρηση δεν είναι τέλεια και θα δούµε τι πρέπει να κάνουµε στην περίπτωση αυτή ώστε να παραστήσουµε µια κατάσταση ατελούς πληροφόρησης. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: ο παίκτης Ι µπορεί να πάει είτε δεξιά, είτε αριστερά είτε ευθεία. 7

8 Ο παίκτης I έχει πλήρη πληροφόρηση Αν πάει δεξιά το παιχνίδι τελείωσε και οι δύο παίκτες κερδίζουν από 2. Αν πάει αριστερά ή ευθεία τότε αυτό δεν µπορεί να το ξέρει ο παίκτης ΙΙ, ο οποίος παρόλα αυτά θα πρέπει να αποφασίσει αν θα πάει ο ίδιος αριστερά ή δεξιά χωρίς να ξέρει τι έκανε ο προηγούµενος παίκτης. Ο παίκτης ΙΙ δεν ξέρει τι έκανε ο παίκτης Ι. Αυτό που µπορούµε να κάνουµε στην συγκεκριµένη περίπτωση είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ µέσα σε µια έλλειψη, να τους συνδέσουµε δηλαδή µεταξύ τους µε αυτό τον τρόπο. Τους βάζουµε µέσα στο ίδιο σύνολο κόµβων. Με αυτό τον τρόπο όταν ο II πάρει την απόφασή του ξέρει αν το παιγνίδι έχει πάει προς τα κάτω ή αν έχει πάει προς το Α ή Ε. εν µπορεί όµως να διακρίνει µεταξύ του αριστερά και ευθεία. Οπότε ο παίκτης ΙΙ ξέρει τι έγινε µόνο όταν ο παίκτης Ι αποφασίσει δεξιά. Αν ο παίκτης Ι όµως αποφασίσει µεταξύ αριστερά και ευθεία, ο παίκτης ΙΙ δεν αντιλαµβάνεται τι έχει γίνει και πρέπει να πάρει µια απόφαση χωρίς να το γνωρίζει. Πρέπει όµως να πάρει µια απόφαση και για τους δύο κόµβους έτσι θα αποφασίσει να πάει είτε αριστερά είτε δεξιά, ανεξάρτητα από την απόφαση που έχει πάρει ο παίκτης Ι. Ο τρόπος λοιπόν που µπορούµε να το συµβολίσουµε είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ, µέσα σε ένα σύνολο το οποίο λέγεται ΣΥΝΟΛΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (information set) και µας δείχνει τι πληροφόρηση έχει ο παίκτης τη στιγµή που παίρνει την απόφασή του. Οπότε εδώ βλέπουµε πως εµφανίζεται το στοιχείο νούµερο 4 τί πληροφόρηση, δηλαδή, έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφασή του. Τώρα για να δούµε τι συµβαίνει στα παίγνια όπου υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά τα σύνολα πληροφόρησης έχουν ένα µόνο στοιχείο µέσα. ηλαδή ο παίκτης Ι όταν παίρνει την απόφαση του ξέρει πολύ καλά την ιστορία του παιχνιδιού (δεν υπήρχε προηγουµένως καµία ιστορί- 8

9 α). Οπότε ουσιαστικά ο κόµβος (Α) βρίσκεται σε ένα σύνολο πληροφόρηση που έχει ένα µοναδικό στοιχείο. Οι αποφάσεις πρέπει να παρθούν ανεξάρτητα για τον παίκτη Ι και ΙΙ και µε ένα τρόπο που να είναι λογικός (να έχει δηλαδή λύση). Στο προηγούµενο παράδειγµα που ο µονοπωλητής έχει τέλεια πληροφόρηση µπορούµε να βάλουµε ένα σύνολο γύρω από τον κόµβο (Β) έτσι ώστε αυτό το σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα µόνο στοιχείο µέσα. Και αυτό σηµαίνει ότι ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε ή αν δεν µπήκε στην αγορά η καινούργια εταιρεία. 9

10 ηλαδή αν δε το ήξερε θα είχαµε: Με άλλα λόγια, τέλεια πληροφόρηση σηµαίνει ότι το δέντρο είναι έτσι, ώστε κάθε σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα και µοναδικό στοιχείο µέσα του. Στο παίγνιο που είδαµε ότι ο παίκτης Ι επέλεγε µεταξύ r και l, όλοι οι κόµβοι ανήκαν σε σύνολα πληροφόρησης που είχαν ένα κόµβο µέσα. Άρα είχαµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα κλάδο µε δύο επιχειρήσεις: τις Α και Β. Η επιχείρηση Α έχει τη δυνατότητα να εισάγει ένα καινούργιο προϊόν ή όχι. Κατόπιν η επιχείρηση Α παίρνει απόφαση να λανσάρει ή όχι µια διαφήµιση για το προϊόν. Και αυτή την απόφαση µπορεί να την πάρει είτε εισάγει είτε όχι το καινούριο προϊόν. Μπορεί δηλαδή να κάνει διαφήµιση είτε πάνω στο παλιό, είτε πάνω στο καινούριο (προϊόν). Η επιχείρηση Β ξέρει αν έχει εισαχθεί το καινούριο προϊόν ή όχι, αλλά αυτό που δεν ξέρει είναι αν η Α αποφάσισε να διαφηµίσει το καινούριο προϊόν ή το παλιό. Άρα η επιχείρηση Β ξέρει αν το παιχνίδι έχει πάει προς τα πάνω ή προς τα κάτω (διάγραµµα 9). 10

11 Τώρα µπορεί να έχουµε και άλλες περιπτώσεις αυτού του παιγνίου. Για παράδειγµα αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τίποτα, δεν ξέρει δηλαδή, αν έχει εισαχθεί ή όχι το καινούριο προϊόν ούτε ξέρει αν έχει γίνει η διαφήµιση ή όχι, τότε θα έχουµε όλους τους κόµβους απόφασης της επιχείρησης Β σε ένα σύνολο πληροφόρησης (διάγραµµα 10). Στην περίπτωση αυτή η Β πρέπει να πάρει απόφασή, για το αν θα κάνει ή όχι διαφήµιση, χωρίς να ξέρει τίποτα ουσιαστικά δεν ξέρει που έχει φτάσει το παιγνίδι. Ένα άλλο παράδειγµα ατελούς πληροφόρησης είναι να ξέρει αν θα συµβεί ή όχι διαφήµιση αλλά να µην ξέρει αν έχει γίνει εισαγωγή ή όχι του προϊόντος (διάγραµµα 11). Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο σύνολα πληροφόρησης από τα οποία φαίνεται ότι η επιχείρηση Β µπορεί να διακρίνει µεταξύ διαφήµισης ή όχι αλλά δεν µπορεί να διακρίνει αν έχει εισαχθεί ή όχι το προϊόν. 11

12 Το σύνολο πληροφόρησης ορίζεται για κάθε παίκτη κάθε φορά που παίρνει κάποια απόφαση. Αν είχαµε: 12

13 τότε αυτό θα σήµαινε ότι η ίδια η επιχείρηση δεν ξέρει τι έχει κάνει. Μπορεί δηλ. την απόφασή της να την έχει πάρει στο παρελθόν και στην περίπτωση που έχουµε µεγάλο δέντρο να µην θυµάται τι έπραξε για το λόγο αυτό θα πρέπει να βάλουµε την έλλειψη. Ποιο είναι το νόηµα του να βάζουµε µέσα σε µια έλλειψη τους κόµβους; Το νόηµα είναι ότι σε ένα σύνολο πληροφόρησης ο παίκτης πρέπει να πάρει µια µοναδική απόφαση. Αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τι έχει συµβεί στο παρελθόν, δηλαδή δεν ξέρει αν βρίσκεται στην εισαγωγή ή όχι του νέου προϊόντος, τότε δεν µπορεί να πάρει άλλη απόφαση για την περίπτωση που θα βρισκόταν πάνω και άλλη γι αυτήν που θα βρισκόταν κάτω. Θα πάρει µια µοναδική απόφαση για όλους τους κόµβους που ανήκουν στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης. Τι άλλο στοιχείο µπορούµε να βάλουµε στην περιγραφή των παιγνίων; Στο στοιχείο (1) (βλέπε σελίδα 3) όταν αναφερόµαστε στους παίκτες, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας ότι ένας από αυτούς µπορεί να είναι και η τύχη. Που σηµαίνει ότι µπορεί να έχουµε και αβεβαιότητα. ηλαδή είτε στην αρχή του παιγνίου, είτε στο ενδιάµεσο µπορεί να υπάρχει κάποια κίνηση της ίδιας της τύχης, όπου αποφασίζει µε κάποιες πιθανότητες να γίνει κάτι ή κάτι διαφορετικό. Γενικότερα θα λέγαµε ότι α- ποφάσεις σε ένα παίγνιο παίρνουν τόσο οι ενεργητικοί παίκτες όσο και η τύχη που είναι ο παθητικός παίκτης (πηγαίνει µε κάποιες πιθανότητες µεταξύ των τυχαίων γεγονότων). 13

14 Ας δούµε τώρα ένα πολύ απλό παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο εταιρείες (η 1 και η 2) οι οποίες παράγουν computers και ότι υπάρχουν δύο είδη δισκετών: µεγάλες και µικρές. Αν οι δυο εταιρείες βγάζουνε computers τα οποία είναι συµβατά, τα κέρδη τους θα είναι θετικά, ενώ αν είναι ασύµβατα θα έχουν απώλειες. Αλλά το πόσο µεγάλα θα είναι τα κέρδη τους, εξαρτάται από το αν οι δισκέτες θα είναι µεγάλες ή µικρές. Η επιχείρηση 1 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής δισκέτας. Στη συνέχεια η επιχείρηση 2 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής ξέροντας τι έχει κάνει η επιχείρηση 1. Τώρα αν οι δυο επιχειρήσεις δεν καταφέρουν να συντονιστούν τότε και οι δύο θα έ- χουν απώλειες. Τούτο γίνεται περισσότερο κατανοητό µε τη βοήθεια του ακόλουθου παραδείγµατος. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε µια πόλη στην οποία υπάρχουν 3 τηλέφωνα. Η χρησιµότητα κάθε ενός από τα άτοµα που κατέχει ένα τηλέφωνο είναι µικρή γιατί ο καθένας µπορεί να καλέσει µόνο τους υπολοίπους δύο. Αν στην ίδια πόλη υπάρχουνε τηλέφωνα, τότε η χρησιµότητα του ενός ατόµου είναι πολύ µεγαλύτερη. Αυτό το φαινόµενο λέγεται net-work externalities. Τώρα γιατί έχει σχέση αυτό µε το παράδειγµα µας; Γιατί αν οι δισκέτες είναι µεγάλες ή µικρές επηρεάζουν τη χρησιµότητα των προγραµµάτων των computers. Αν µικρές οι δισκέτες και των δύο είναι τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το software όλων των computers. Αν όµως η µια επιχείρηση έχει µικρές δισκέτες και η άλλη µεγάλες, τότε αυτή που έχει µεγάλες δισκέτες µπορεί να χρησιµοποιήσει το software που έχει µεγάλες δισκέτες και αυτή που έχει µικρές το software µε µικρές δισκέτες. Άρα τα άτοµα θα έχουν µικρότερη ζήτηση και για τα δύο είδη computers. Εδώ έχουµε την τύχη, τον παθητικό παίκτη, να αποφασίζει µεταξύ των κερδών (10, 10) ή (0, 0) µε αντίστοιχες πιθανότητες (0.2) και (0,8). Στον κλάδο της τύχης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη θεωρία του προσδοκώµενου κέρδους έτσι ώστε να βρούµε το προσδοκώµενο κέρδος που είναι (2, 2) και να συνεχίσουµε προκειµένου να λύσουµε το πρόβληµα µε τις κλασικές µεθόδους. Αυτό εδώ το πρόβληµα είναι ένα πρόβληµα απλού συντονισµού (pure coordination problem). Και η λύση βέβαια είναι απλή. Όταν ο 2 ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µεγάλη προφανώς δεν θα επιλέξει µικρή αν πάλι ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µικρή τότε και ο ίδιος θα επιλέξει µικρή. Όπως φαίνεται και από το διάγραµµα ο 1 θα επιλέξει µικρή αφού έτσι πετυχαίνει περισσότερα κέρδη. Φαίνεται λοιπόν ότι οι δυο εταιρείες συντονίζονται, και µάλιστα συντονίζονται στο «καλό» αποτέλεσµα: στο (2, 2) και όχι στο (1, 1). 14

15 Ο τρόπος επίλυσης ενός δέντρου γίνέται µε την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) µόνο στην περίπτωση που έχουµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα το ίδιο παίγνιο όταν η απόφαση είναι ταυτόχρονη. Οι δύο εταιρείες πρέπει να πάρουν την ίδια στιγµή απόφαση για το αν θα παράγουν µεγάλη ή µικρή δισκέτα. Τα πράγµατα εδώ έχουν αλλάξει και έτσι τώρα δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της οπισθογενούς επαγωγής ( backwards induction), αφού δεν έχουµε πλέον τέλεια πληροφόρηση. Έτσι θα πρέπει να βάλουµε τους δύο κόµβους στους οποίους αποφασίζει η εταιρεία 2 µέσα σε µια έλλειψη (διάγραµµα 14) και προφανώς η λύση τώρα δεν θα είναι µόνο το (2, 2). Εδώ το αποτέλεσµα δεν βγαίνει εύκολα και για το λόγο αυτό θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε κάποια άλλη µέθοδο επίλυσης η µέθοδος αυτή είναι η ισορροπία κατά Nash, όπου ο καθένας παίρνει την καλύτερη απόφαση δεδοµένου τι έχει κάνει ο άλλος. Με άλλα λόγια κάθε παίκτης απαντά µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο στο τι έκανε ο άλλος. Το πρόβληµα αυτό είναι ισοδύναµο µε µια ταυτόχρονη απόφαση, διότι όταν ο 1 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 2 - και όταν ο 2 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 1. Το παίγνιο αυτό µπορεί να παρασταθεί µε µια µήτρα. 15

16 Στην περίπτωση αυτή όλα τα στοιχεία των παιγνίων είναι σηµαντικά και µπορούν να αλλάξουν τελείως το αποτέλεσµα του παιγνίου. Βλέπουµε λοιπόν ότι άλλη θα είναι η ισορροπία όταν οι α- ποφάσεις παίρνοντας µε ένα τρόπο διαδοχικό και άλλη όταν οι αποφάσεις παίρνονται ταυτόχρονα. Τι σηµαίνει ταυτόχρονα; Σηµαίνει ότι όταν ο ένας παίκτης παίρνει την απόφαση του δεν ξέρει τι έχει κάνει ο άλλος και αντίστροφα. εν µπορούν να συντονιστούν ταυτόχρονα και να πάρουν µια απόφαση, γιατί είµαστε σε αυτό που λέµε Non - Cooperative Game Theory. Τελειώνοντας το πρώτο αυτό κεφάλαιο θα λέγαµε ότι γενικά η θεωρία παιγνίων διαιρείται σε δύο κατηγορίες παιγνίων: Non-cooperative (µη-συνεργατικά παίγνια) Cooperative (συνεργατικά όπου οι αποφάσεις λαµβάνονται από κοινού). Τα παίγνια που χρησιµοποιούµε πολύ στα οικονοµικά είναι κυρίως µη συνεργατικά (που αναλύουµε εδώ), όπου ο κάθε 16

17 παίκτης είναι ένα άτοµο που ορθολογικά αποφασίζει να µεγιστοποιήσει κάποια συνάρτηση χρησι- µότητας / κέρδους. 17

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ολιγοπώλιο Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ο ατελής ανταγωνισµός αναφέρεται σε εκείνες τις δοµές µ της αγοράς που κυµαίνονται µεταξύ του τέλειου ανταγωνισµού και του µονοπωλίου. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί φίλοι, Αρχικά για µια µόνο φορά κάνουµε δύο βήµατα :

Αγαπητοί φίλοι, Αρχικά για µια µόνο φορά κάνουµε δύο βήµατα : Αγαπητοί φίλοι, Στην προσπάθεια εκσυγχρονισµού της Olympic Airways Virtual αλλάζουµε τον τρόπο των pireps, εκµεταλλευόµενοι τα add on προγράµµατα που παρέχουν πλέον πάρα πολλές πληροφορίες για τις πτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Παύλος Σ. Εφραιμίδης Περιεχόµενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός µαθηµατικού µοντέλου Το δίληµµα του φυλακισµένου Σηµείο ισορροπίας Nash Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων (game theory) µας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων.

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ν Ι Κ Ο Λ Α Ο Σ Π. Κ Υ Ρ Α Ν Α Κ Ο Σ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. Εργολ. ηµοσίων Eργων ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΛ.ΚΕ.ΠΑ. ΕΠΙΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

Ν Ι Κ Ο Λ Α Ο Σ Π. Κ Υ Ρ Α Ν Α Κ Ο Σ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. Εργολ. ηµοσίων Eργων ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΛ.ΚΕ.ΠΑ. ΕΠΙΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ 7 Ν Ι Κ Ο Λ Α Ο Σ Π. Κ Υ Ρ Α Ν Α Κ Ο Σ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. Εργολ. ηµοσίων Eργων ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΛ.ΚΕ.ΠΑ. ErgoMetr ΕΠΙΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Νέο σύγχρονο πρόγραµµα γενικών επιµετρήσεων σε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΠΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΠΑΝΤΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ Πτυχίο Οικονοµικής Επιστήµης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

οποία ερχόµενη πίσω από τη γραµµή εκκίνησης κτυπήσει την αριθµηµένη µπίλια.

οποία ερχόµενη πίσω από τη γραµµή εκκίνησης κτυπήσει την αριθµηµένη µπίλια. ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΟΚΤΑΜΠΑΛΟ 1. Σκοπός του παιχνιδιού. Το παιγνίδι παίζεται µε δηλωµένα χτυπήµατα και παίζεται µε µια άσπρη µπίλια και δεκαπέντε αριθµηµένες µπίλιες από το 1 ως το 15. Ο ένας παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER

EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER 1. Ανοίξτε από ΟΛΑ ΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ, το Windows movie maker 2. Αυτή είναι η βασική επιφάνεια εργασίας του λογισµικού Το movie maker µας δίνει δύο δυνατότητες. Να κάνουµε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις :

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : Κεφάλαιο 1. ΤΕΛΕΙΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : α) Υπάρχουν πολλές εταιρίες οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θα συµπληρώσετε τα απαραίτητα στοιχεία που βρίσκονται µε έντονα γράµµατα για να δηµιουργήσετε την νέα εταιρεία.

Θα συµπληρώσετε τα απαραίτητα στοιχεία που βρίσκονται µε έντονα γράµµατα για να δηµιουργήσετε την νέα εταιρεία. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Γενική Λογιστική. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ Μία από τις πιο σηµαντικές υπηρεσίες που προσφέρει το διαδίκτυο στην επιστηµονική κοινότητα είναι η αποµακρυσµένη πρόσβαση των χρηστών σε ηλεκτρονικές βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Τα Βασικά Θέματα της Διαιτησίας στο Μπριτζ με τη Μορφή Διαγραμμάτων Ροής

Τα Βασικά Θέματα της Διαιτησίας στο Μπριτζ με τη Μορφή Διαγραμμάτων Ροής Τα Βασικά Θέματα της Διαιτησίας στο Μπριτζ με τη Μορφή Διαγραμμάτων Ροής Επιμέλεια: Κούρτης Δημήτρης Περίπτωση Α: Νόμος 27 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΝΕΠΑΡΚΗ ΑΓΟΡΑ Νόμος 27Α Θέλει ο αντίπαλος αριστερά να

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της προσφοράς προσδιορίζει την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου.

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου. Το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Solow σχεδιάστηκε προκειµένου να δείξει πως η µεγέθυνση του κεφαλαίου, του εργατικού δυναµικού αλλά και οι µεταβολές στην τεχνολογία αλληλεπιδρούν σε µια οικονοµία,

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία κάρτες ξεκινήματος μένουν κλειστές. Κανόνες παιξίματος.

Προετοιμασία κάρτες ξεκινήματος μένουν κλειστές. Κανόνες παιξίματος. Κάπου στο Λονδίνο κρύβεται ο αυτόνομος Χ. Η Σέκλαντ Γιάρντ έχει στη διαθεσή της δύο, τρεις ως πέντε σεκίτες για να τον εντοπίσουν. Κινούνται με ταξί, μετρό ή λεωφορείο κι έχουν στη διάθεση τους ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 26 Συνεχή Ρεύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 26 Συνεχή Ρεύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 26 Συνεχή Ρεύµατα Περιεχόµενα Κεφαλαίου 26 Ηλεκτρεγερτική Δύναµη (ΗΕΔ) Αντιστάσεις σε σειρά και Παράλληλες Νόµοι του Kirchhoff Σειριακά και Παράλληλα EMF-Φόρτιση Μπαταρίας Κυκλώµατα RC Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωµατική Εργασία µε τίτλο: Ακαδηµαϊκό έτος 2007-2008

Διπλωµατική Εργασία µε τίτλο: Ακαδηµαϊκό έτος 2007-2008 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Πληροφορικής Διπλωµατική Εργασία µε τίτλο: Προσεγγιστικές ισορροπίες Nash Πειραµατική και Θεωρητική εργασία για εύρεση αποδοτικών αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Ο τελεστικός ενισχυτής εφευρέθηκε κατά τη διάρκεια του δεύτερου παγκοσµίου πολέµου και. χρησιµοποιήθηκε αρχικά στα συστήµατα σκόπευσης των αντιαεροπορικών πυροβόλων για

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 Διάλεξη 6 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 1 Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέχρι στιγμής το μονοπώλιο έχει θεωρηθεί σαν μια επιχείρηση η οποία πωλεί το προϊόν της σε κάθε πελάτη στην ίδια τιμή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Ειδικά Θέµατα της Θεωρίας της Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Το Συνολικό Αποτέλεσµα. Το Αποτέλεσµα Υποκατάστασης. Το Εισοδηµατικό Αποτέλεσµα. Κανονικά Αγαθά. Κατώτερα Αγαθά. Παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμοί, επίπεδο 2 και άνω. εξερευνώντας τους αριθμούς: Μεγαλύτερο από, Μικρότερο από

Μαθηματικά: Αριθμοί, επίπεδο 2 και άνω. εξερευνώντας τους αριθμούς: Μεγαλύτερο από, Μικρότερο από 8η Δραστηριότητα Νίκησε τον χρόνο Δίκτυα ταξινόμησης Περίληψη Αν και οι υπολογιστές είναι γρήγοροι, υπάρχει ένα όριο στο πόσο γρήγορα μπορούν να επιλύουν τα προβλήματα. Ένας τρόπος για να επιταχύνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!...

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!... Αριθμός Παικτών: 2-4 Χρόνος Παιχνιδιού: 45 λεπτά Ηλικίες: 12 και άνω Περιεχόμενα Εισαγωγή................................... 2 Στόχος..................................... 2 Μέσα στο Κουτί...............................

Διαβάστε περισσότερα

ERGO-FINANCES ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΕΡΓΩΝ

ERGO-FINANCES ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΕΡΓΩΝ ERGO-FINANCES ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Το πρόγραµµα έχει σχεδιαστεί για την οικονοµική παρακολούθηση των Εργων. Ο χρήστης µπορεί, καταχωρώντας µε απλό τρόπο τις πραγµατοποιούµενες κινήσεις (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός

ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Β.1. Το Πλεόνασµα του Καταναλωτή Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός ότι κάποιοι καταναλωτές πληρώνουν για ένα αγαθό λιγότερο από αυτό

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack Χλης Νικόλαος-Κοσμάς Περιγραφή παιχνιδιού Βlackjack: Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Μόχλευση, αντιστάθµιση και απλές στρατηγικές µε παράγωγα

Μόχλευση, αντιστάθµιση και απλές στρατηγικές µε παράγωγα Μόχλευση, αντιστάθµιση και απλές στρατηγικές µε παράγωγα Αγορά Calls για µόχλευση Ητιµή ενός call για 100 µετοχές είναι σηµαντικά χαµηλότερη από το να αγοράσουµε τις 100 µετοχές στη spot αγορά. Παράδειγµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Η προσέγγιση του Smith Καµπύλες χωρικού κόστους

Η προσέγγιση του Smith Καµπύλες χωρικού κόστους Η προσέγγιση του Smith Καµπύλες χωρικού κόστους O Smith (1966, 1981), διατύπωσε ένα άλλο υπόδειγµα, στο οποίο οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν τα κέρδη τους, συνδυάζοντας την καµπύλη των χωρικών εσόδων µε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα