Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R"

Transcript

1 Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο αν η f υπάρχει σχεδόν παντού στο [, b], η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, b], και Εισαγωγή f(x) f() = x f (t) dλ(t) ( x b). Το ερώτηµα που ϑα µελετήσουµε σε αυτήν την εργασία είναι να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη που να εξασφαλίζει ότι κάποια συνάρτηση f : [, b] R ικανοποιεί την x (.) f(x) f() = f (t) dλ(t), για κάθε x [, b]. Από τον Απειροστικό Λογισµό γνωρίζουµε ότι αν η f είναι παραγωγίσιµη και η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemnn τότε η (.) ισχύει. Για να επεκτείνουµε αυτό το αποτέλεσµα, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η f να είναι (τουλάχιστον) σχεδόν παντού παραγωγίσιµη. Κατόπιν, ϑα µπορούσαµε να ϑεωρήσουµε το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος ως ολοκλήρωµα Lebesgue και να προσπαθήσουµε να δούµε ποιές είναι οι συνθήκες που εξασφαλίζουν (και είναι απαραίτητες για) την ισότητα. Ο Lebesgue απέδειξε το 904 ότι κάθε συνεχής και µονότονη f : [, b] R είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού. Το 9 ο W. H. Young έδωσε µια απόδειξη αυτού του αποτελέσµατος χωρίς την υπόθεση της συνέχειας. Ωστόσο, το 932 ο Riesz έδωσε µια εντελώς στοιχειώδη απόδειξη αυτού του αποτελέσµατος, χρησιµοποιώντας το λήµµα του Ανατέλλοντος Ηλίου που διατύπωσε ο ίδιος. Παρ όλο που η απόδειξη του Riesz είναι απλή και κοµψή στην περίπτωση των συνεχών συναρτήσεων, ο Rudel και άλλοι συγγραφείς ϐρήκαν την απόδειξη για τις µη συνεχείς συναρτήσεις «προβληµατική και κουραστική» και έγραψαν εργασίες µε µοναδικό σκοπό να την απλουστεύσουν. Παρουσιάζουµε την απόδειξη του Riesz στην Παράγραφο 3. Θεώρηµα.. Αν η f : [, b] R είναι αύξουσα και συνεχής, τότε η f υπάρχει σχεδόν παντού. Επιπλέον, η f είναι µετρήσιµη, µη αρνητική και (.2) b Ειδικότερα, η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. f (x) dx f(b) f().

2 Στην Παράγραφο 4 επεκτείνουµε το Θεώρηµα. στην κλάση των συναρτήσεων ϕραγµένης κύµανσησ: λέµε ότι η f : [, b] R έχει ϕραγµένη κύµανση αν υπάρχει M > 0 τέτοιος ώστε (.3) f(t j ) f(t j ) M j= για κάθε διαµέριση P = { = t 0 < t < < t n = b} του [, b]. Θα δούµε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση ϕργαµένης κύµανσης γράφεται ως διαφορά δύο συνεχών αυξουσών συναρτήσεων. Από το Θεώρηµα. έπεται ότι οι συναρτησεις ϕραγµένης κύµασης είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιµες. Θεώρηµα.2. Εστω f : [, b] R συνεχής συνάρτηση ϕραγµένης κύµανσης. Τότε, η f είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού. Το παράδειγµα της συνάρτησης Cntor-Lebesgue δείχνει ότι (ακόµα και) οι συνεχείς αύξουσες συναρτήσεις δεν ικανοποιούν γενικά την (.). Στην Παράγραφο 5 εισάγουµε την κλάση των απολύτως συνεχών συναρτήσεων, οι οποίες είναι εκείνες ακριβώς οι συναρτήσεις για τις οποίες έχουµε καταφατική απάντηση στο πρόβληµα : λέµε ότι η f : [, b] R είναι απολύτως συνεχής αν αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 µε την εξής ιδιότητα : αν ( k, b k ), k N είναι ξένα ανά δύο υποδιαστήµατα του [, b] µε n k= (b k k ) < δ τότε N k= f(b k) f( k ) < ε. Οπως ϑα δούµε, ισχύει το εξήσ: Θεώρηµα.3. Εστω f : [, b] R απολύτως συνεχής συνάρτηση. Τότε, η f (x) όρίζεται σχεδόν παντού, και η f είναι ολοκληρώσιµη. Επιπλέον, για κάθε x [, b], (.4) f(x) f() = Ειδικότερα, (.5) f(b) f() = x b f (t)dλ(t). f (t)dλ(t). Αντίστροφα, αν η g : [, b] R είναι ολοκληρώσιµη, τότε υπάρχει απολύτως συνεχής συνάρτηση f : [, b] R τέτοια ώστε f (x) = g(x) σχεδόν παντού. Μπορούµε µάλιστα να πάρουµε την f(x) = x g(x)dλ(x). Για την απόδειξη του Θεωρήµατος.3 ϑα χρειαστούµε διάφορα εργαλεία : µεταξύ αυτών είναι το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue, το οποίο περιγράφουµε στην Παράγραφο 2. 2

3 2 Θεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue Εστω f : [, b] R µια Riemnn ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Θεωρούµε το αόριστο ολοκλή- ϱωµα της f: (2.) F (x) = x f(y)dy, x b. Γνωρίζουµε ότι αν x [, b] και η f είναι συνεχής στο x τότε η F είναι παραγωγίσιµη στο x και F (x) = f(x). Γνωρίζουµε επίσης ότι το σύνολο των σηµείων ασυνέχειας της f έχει µηδενικό µέτρο Lebesgue. Σύµφωνα µε τον ορισµό της παραγώγου, η F είναι παραγωγίσιµη στο x αν υπάρχει το όριο F (x + h) F (x) (2.2) lim, h 0 h το οποίο, στην περίπτωσή µας, παίρνει την µορφή x+h (2.3) lim f(y)dy = lim f(y)dy h 0 h x x,h x l( x,h ) x,h αν χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό x,h = (x, x + h) και γράψουµε l() για το µήκος ενός διαστήµατος. Γενικότερα, µπορούµε να ϑεωρήσουµε το (2.4) lim f(y)dy, x l() όπου, πλέον, ϑεωρούµε όλα τα ανοικτά διαστήµατα τα οποία περιέχουν το x και αφήνουµε το µήκος τους να πάει στο µηδέν. Παρατηρήστε ότι η ποσότητα l() f(y)dy είναι η µέση τιµή της f στο διάστηµα. Πάλι, είναι εύκολο να ελέγξουµε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, b], τότε (2.5) lim f(y)dy = f(x) x l() σε κάθε σηµείο συνέχειας της f (άρα, σχεδόν παντού στο [, b]). Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue επεκτείνει αυτό το αποτέλεσµα για Lebesgue ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Εστω E R µετρήσιµο. Θεωρούµε την κλάση L (E) όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων f : E [, ] για τις οποίες (2.6) f(x) dλ(x) <. E Αν ορίσουµε ως σχέση ισοδυναµίας σ αυτό το γραµµικό χώρο την «f g αν f = g σχεδόν παντού στο E», ο χώρος L (E) είναι το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας {[f] : f L (E)}. 3

4 Ορισµός 2.. (α) Μια συνάρτηση f : R R λέγεται τοπικά ολοκληρώσιµη αν είναι ολοκλη- ϱώσιµη σε κάθε (ϕραγµένο) διάστηµα R. (ϐ) Εστω f τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο R. Το x R λέγεται σηµείο Lebesgue της f αν f(x) < και (2.7) f(y) f(x) dλ(y) 0 l() καθώς x. Αυτό σηµαίνει ότι : για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε : αν είναι ανοικτό διάστηµα µε l() < δ και x, τότε (2.8) f(y) f(x) dλ(y) < ε. l() Το σύνολο των σηµείων Lebesgue της f συµβολίζεται µε Leb(f). Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue δείχνει ότι σχεδόν κάθε x R είναι σηµείο Lebesgue της f. Θεώρηµα 2.2 (Lebesgue). Εστω f : R R τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε, (2.9) lim f(y) f(x) dλ(y) = 0 x l() σχεδόν για κάθε x R. ηλαδή, λ(r \ Leb(f)) = 0. Ειδικότερα, (2.0) lim f(y) dλ(y) = f(x) x l() σχεδόν για κάθε x R. Η (2.0) προκύπτει από την (2.9): αν x Leb(f) τότε f(y) dλ(y) f(x) l() = f(y) dλ(y) f(x) dλ(y) l() l() f(y) f(x) dλ(y) 0. l() Παρατήρηση 2.3. Σηµειώνουµε ότι το σύνολο των σηµείων x για τα οποία οι µέσοι όροι στην (2.0) συγκλίνουν σε κάποιο όριο, είναι ανεξάρτητο από τον αντιπρόσωπο f της κλάσης [f], αφού (2.) f(y) dλ(y) = g(y) dλ(y) όταν f = g σχεδόν παντού. Οµως, το σύνολο Lebesgue της f εξαρτάται από τον συγκεκριµένο αντιπρόσωπο της [f] που ϑεωρούµε κάθε ϕορά. 4

5 Θεώρηµα 2.4 (Lebesgue). Εστω f : R R τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε, (2.2) lim h 0 h σχεδόν για κάθε x. x+h x f(y) dλ(y) = f(x) Απόδειξη. Θα δείξουµε ότι η (2.2) ισχύει για κάθε x Leb(f). Εχουµε ότι h x+h x f(y) dλ(y) f(x) = h x+h x x+h h x ( 2 2h f(y) dλ(y) h x+h x f(y) f(x) dλ(y) x+h x h καθώς h 0 + για κάθε x Leb(f), χρησιµοποιώντας την f(x) dλ(y) ) f(y) f(x) dλ(y) 0 (2.3) x+h x f(y) f(x) dλ(y) x+h x h f(y) f(x) dλ(y) και το γεγονός ότι, αφού x (x h, x + h), µπορούµε να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα 2.2. Με ανάλογο τρόπο δείχνουµε την (2.2) καθώς h 0. Ως πόρισµα του Θεωρήµατος 2.4 παίρνουµε το εξήσ: Θεώρηµα 2.5. Εστω f : [, b] R ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε, η F : [, b] R µε x (2.4) F (x) = f(y) dλ(y) είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιµη, και πιο συγκεκριµένα, F (x) = f(x) για κάθε x Leb(f). 3 Παραγωγισιµότητα µονότονων και συνεχών συναρτήσεων Σε αυτήν την Παράγραφο δείχνουµε ότι οι µονότονες και συνεχείς συναρτήσεις είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιµες. Θεώρηµα 3.. Εστω f : [, b] R αύξουσα και συνεχής συνάρτηση. παραγωγίσιµη σχεδόν παντού. Τότε, η f είναι Θα χρησιµοποιήσουµε το ακόλουθο λήµµα του F. Riesz. 5

6 Λήµµα 3.2 (του ανατέλλοντος ηλίου). Εστω f µια πραγµατική και συνεχής συνάρτηση στο R και έστω E το σύνολο των σηµείων x για τα οποία ισχύει (3.) f(x + h) > f(x) για κάποιο h = h x > 0. Αν το E είναι διάφορο του κενού, τότε είναι ανοιχτό και έτσι το E γράφεται ως αριθµήσιµη ένωση, ξένων ανά δύο, ανοιχτών διαστηµάτων. ηλαδή, E = k ( k, b k ). Αν ( k, b k ) είναι ένα πεπερασµένο διάστηµα που ανήκει σ αυτή την ένωση, τότε (3.2) f(b k ) f( k ) = 0. Απόδειξη. Αφού η f είναι συνεχής, τότε το E είναι ανοιχτό, άρα γράφεται ως ένωση αριθµήσιµων ανοιχτών διαστηµάτων, ξένων ανά δύο. Αν ( k, b k ) είναι ένα πεπερασµένο διάστηµα της ανάλυσης του E σε ανοιχτά διαστήµατα, τότε το k / E, άρα δεν µπορούµε να πούµε ότι ισχύει η σχέση f(b k ) > f( k ). Ας υποθέσουµε ότι f(b k ) < f( k ). Από τη συνέχεια της f, υπάρχει k < c < b k ώστε (3.3) f(c) = f( k) + f(b k ), 2 και µπορούµε να επιλέξουµε το c να είναι το µεγαλύτερο σηµείο του ( k, b k ) µε αυτήν την ιδιότητα. Εφόσον c E, υπάρχει d > c ώστε f(d) > f(c). Αφού b k / E, έχουµε f(x) f(b k ) για κάθε x b k, άρα d < b k. Αφού f(d) > f(c), ϑα υπάρχει (από συνέχεια) c > d µε c < b k και f(c ) = f(c), άτοπο, αφού έχουµε επιλέξει το c να είναι να είναι το δεξιότερο τέτοιο σηµείο στο ( k, b k ). Άρα έχουµε f( k ) = f(b k ). Με παρόµοιο επιχείρηµα αποδεικνύουµε το εξήσ: Πόρισµα 3.3. Εστω f µια πραγµατική και συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [, b]. Αν E = {x (, b) ώστε f(x + h) > f(x) για κάποιο h > 0}, τότε το E είναι είτε κενό ή ανοιχτό. Αν είναι ανοιχτό τότε είναι ξένη ένωση αριθµήσιµων το πλήθος διαστηµάτων ( k, b k ) και f( k ) = f(b k ), εκτός αν = k, οπότε έχουµε ότι f( k ) f(b k ). Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 3. ϑα χρειαστούµε την ποσότητα (3.4) h (f)(x) = f(x + h) f(x). h Ορίζουµε επίσης και τους τέσσερις αριθµούς Dini στο x ως εξήσ: D + (f)(x) = lim sup h f(x) h 0 + D + (f)(x) = lim inf hf(x) h 0 + D (f)(x) = lim sup h f(x) h 0 D (f)(x) = lim inf hf(x) h 0 6

7 Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.. Εστω f : [, b] R συνεχής αύξουσα συνάρτηση. Παρατηρούµε ότι D + (f)(x) D + (f)(x) και D (f)(x) D (f)(x) για κάθε x [, b]. Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος αρκεί να δείξουµε τα εξήσ: (α) D + (f)(x) < σχεδόν για κάθε x, και (ϐ) D + (f)(x) D (f)(x) σχεδόν για κάθε x. Εχοντας αποδείξει τα παραπάνω, εφαρµόζοντας το (ϐ) για την αύξουσα συνάρτηση h(x) = f( x) ϐλέπουµε ότι D (f)(x) D + (f)(x) σχεδόν παντού. Άρα, σχεδόν παντού στο [, b] έχουµε (3.5) D + (f)(x) D (f)(x) D (f)(x) D + (f)(x) D + (f)(x) < και έπεται ότι η f (x) υπάρχει σχεδόν παντού. Σταθεροποιούµε s > 0 και ορίζουµε (3.6) E s := {x [, b] : D + (f)(x) > s}. Παρατηρούµε αρχικά ότι το E s είναι µετρήσιµο σύνολο. Εφαρµόζοντας το Πόρισµα 3.3 για την συνάρτηση w(x) = f(x) sx ϐλέπουµε ότι E s k ( k, b k ), όπου f(b k ) f( k ) s(b k k ). Άρα, (3.7) λ(e s ) k (b k k ) (f(b k ) f( k )) (f(b) f()). s s k Επεται ότι lim s λ(e s ) = 0. Αφού {x : D + (f)(x) = } E s για κάθε s > 0, συµπεραίνουµε ότι D + (f)(x) < σχεδόν παντού. Στη συνέχεια σταθεροποιούµε R > r και ορίζουµε (3.8) E r,r = {x [, b] : D + (f)(x) > R και D (f)(x) < r}. Θα δείξουµε ότι λ(e r,r ) = 0. Παρατηρώντας ότι (3.9) {x : D (f)(x) < D + (f)(x)} = r,r Q,r<R ϐλέπουµε µετά ότι λ({x : D (f)(x) < D + (f)(x)}) = 0, δηλαδή D + (f)(x) D (f)(x) σχεδόν παντού, και αυτό αποδεικνύει το (ϐ). Υποθέτουµε ότι λ(e r,r ) > 0. Αφού R > r, µπορούµε να ϐρούµε ανοικτό σύνολο U ώστε E r,r U (, b) και λ(u) < (R/r)λ(E r,r ). Γράφουµε το U σαν ένωση ξένων ανοικτών διαστηµάτων, U = n n. Σταθεροποιούµε κάποιο n και εφαρµόζουµε το Πόρισµα 3.3 για την συνάρτηση l(x) = f( x) +rx στο διάστηµα n. Γυρίζοντας πίσω στο (, b) παίρνουµε µια ξένη ένωση διαστηµάτων k ( k, b k ), η οποία περιέχεται στο n, τέτοια ώστε (3.0) f(b k ) f( k ) r(b k k ). E r,r 7

8 Εφαρµόζοντας όµως το Πόρισµα 3.3 για την m(x) = f(x) Rx στο ( k, b k ), ϐρίσκουµε µια νέα ξένη ένωση διαστηµάτων U n = k,j ( k,j, b k,j ) µε ( k,j, b k,j ) ( k, b k ) για κάθε k και j, ώστε (3.) f(b k,j ) f( k,j ) R(b k,j k,j ). Από τα παραπάνω έπεται ότι λ(u n ) = (b k,j k,j ) (f(b k,j ) f( k,j )) R k,j k j (f(b k ) f( k )) r (b k k ) R R k r R λ( n). Αφού D + (f)(x) > R και D (f)(x) < r για κάθε x E r,r, έχουµε E r,r n U n n. Άρα, λ(e r,r ) = λ(e r,r n ) λ(u n ) n n r λ( n ) = r R R λ(u) < λ(e r,r). n k Αυτό είναι άτοπο, άρα λ(e r,r ) = 0 και η απόδειξη είναι πλήρης. Πόρισµα 3.4. Αν η f είναι αύξουσα και συνεχής, τότε η f υπάρχει σχεδόν παντού. Επιπλέον, η f είναι µετρήσιµη, µη αρνητική και (3.2) b f (x) dx f(b) f(). Ειδικότερα, η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Απόδειξη. Για n, ϑεωρούµε το πηλίκο G n (x) = f(x+/n) f(x) /n. Από τα προηγούµενα έπεται ότι G n (x) f (x) σχεδόν για κάθε x, από το οποίο έπεται ότι η f είναι µετρήσιµη και µη αρνητική. Επεκτείνουµε τώρα την f ως µία συνεχή συνάρτηση πάνω σε όλο το R. Από το Λήµµα του Ftou, ξέρουµε ότι (3.3) b f (x)dx lim inf n b G n (x)dx. 8

9 Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη αρκούν τα επόµενα : b G n (x)dx = /n = /n = /n b f(x + /n)dx /n b+/n +/n n+/n b f(y)dy /n f(x)dx /n b b +/n f(x)dx f(x)dx f(x)dx. Αφού f συνεχής, ο πρώτος κι ο δεύτερος όρος συγκλίνουν αντίστοιχα στα f(b), f() κι αφήνοντας το n να πάει στο άπειρο, έχουµε το Ϲητούµενο. εν µπορούµε να πάρουµε κάτι ισχυρότερο από την ανισότητα στο πόρισµα, αν επιτρέψου- µε όλες τις συνεχείς και αύξουσες συναρτήσεις, όπως ϕαίνεται από το ακόλουθο σηµαντικό παράδειγµα. Παράδειγµα 3.5 (η συνάρτηση Cntor-Lebesgue). Η κατασκευή που ακολουθεί ϑα µας δώσει µια συνεχή συνάρτηση f : [0, ] [0, ] που είναι και αύξουσα µε f(0) = 0 και f() =, αλλά f (x) = 0 σχεδόν παντού. Οθεν η f είναι ϕραγµένης κύµανσης, αλλά (3.4) b f (x)dx f(b) f(). Θεωρούµε το σύνολο Cntor C [0, ], (3.5) C = C k, όπου κάθε C k είναι ξένη ένωση 2 k κλειστών διαστηµάτων. Ορίζουµε f συνεχή συνάρτηση στο [0, ] που ικανοποιεί τα εξής η f είναι αύξουσα k=0 0 αν x = 0 f (x) = 2 αν 3 x 2 3 αν x = η f είναι γραµµική στο C = [0, /3] [2/3, ]. Οµοια, ορίζουµε f 2 συνεχή συνάρτηση στο [0, ] τέτοια ώστε η f 2 είναι αύξουσα 9

10 f 2 (x) = 0 αν x = 0 4 αν 9 x αν 3 x αν 7 9 x 8 9 αν x = η f είναι γραµµική στο C = [0, /3] [2/3, ]. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο. Ετσι προκύπτει µια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων {f n } n= ώστε (3.6) f n+ (x) f n (x) 2 n. Ως εκ τούτου οι {f n } n= συγκλίνουν οµοιόµορφα σε µια συνεχή συνάρτηση f η οποία καλείται συνάρτηση Cntor-Lebesgue. Από την κατασκευή, η f είναι αύξουσα, f(0) = 0, f() = και η f είναι σταθερή σε κάθε διάστηµα του συµπληρώµατος του συνόλου Cntor. Αφού λ(c) = 0, τότε f (x) = 0 σχεδόν παντού. 4 Συναρτήσεις ϕραγµένης κύµανσης Ορισµός 4.. Μια συνάρτηση f : [, b] R λέγεται ϕραγµένης κύµανσης αν τα αθροίσµατα (4.) f(t j ) f(t j ) j= είναι ϕραγµένα. ηλαδή, αν υπάρχει M < ώστε (4.2) f(t j ) f(t j ) j= για κάθε διαµέριση { = t 0 < t < < t N = b}. Ορισµός 4.2. Η ολική κύµανση της f στο [, x] (όπου < x < b) ορίζεται ως εξήσ: (4.3) T f (, x) = sup f(t j ) f(t j ) j= όπου το supremum παίρνεται σε όλες τις διαµερίσεις του [, x]. Ο προηγούµενος ορισµός έχει νόηµα και αν η f παίρνει µιγαδικές τιµές. Η ϑετική κύµανση της f στο [, x] είναι (4.4) P f (, x) = sup (+)(f(t j ) f(t j )) 0

11 όπου το άθροισµα είναι πάνω σε όλα τα j για τα οποία f(t j ) f(t j ), και το supremum παίρνεται πάνω σε όλες τις διαµερίσεις του [, x]. Τέλος, η αρνητική κύµανση της f στο [, x] είναι (4.5) N f (, x) = sup ( ) (f(t j ) f(t j )) όπου το άθροισµα είναι πάνω σε όλα τα j για τα οποία f(t j ) f(t j ), και το supremum παίρνεται πάνω σε όλες τις διαµερίσεις του [, x]. Λήµµα 4.3. Υποθέτουµε ότι η f είναι µία συνάρτηση µε πραγµατικές τιµές και ϕραγµένη κύµανση στο [, b]. Τότε, για όλα τα < x < b ισχύει ότι (4.6) f(x) f() = P f (, x) N f (, x) και (4.7) T f (, x) = P f (, x) + N f (, x). Επίσης, αν η f είναι συνεχής τότε οι P f και N f είναι συνεχείς. Απόδειξη. Εστω ε > 0. Υπάρχει διαµέριση { = t 0 < t < < t N = x} του [, x], τέτοια ώστε (4.8) P f (, x) (+) (f(t j ) f(t j )) < ε και N f (, x) ( ) (f(t j ) f(t j )) < ε (για το αποτέλεσµα αυτό, αρκεί να χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό για να πάρουµε παρόµοια αποτελέσµατα για τις P f (, x) και N f (, x) µε (πιθανώς) διαφορετικές διαµερίσεις και µετά να ϑεωρήσουµε µια κοινή εκλέπτυνση αυτών των δύο διαµερίσεων). Επίσης, σηµειώνουµε ότι (4.9) f(x) f() = (+) (f(t j ) f(t j )) ( ) (f(t j ) f(t j )) και ϐρίσκουµε ότι (4.0) f(x) f() [P f (, x) N f (, x)] < 2ε, το οποίο αποδεικνύει την πρώτη ταυτότητα. Για την δεύτερη ταυτότητα, παρατηρούµε ότι για κάθε διαµέριση { = t 0 < t < < t N = x} του [, x] έχουµε f(t j ) f(t j ) = (f(t j ) f(t j )) + (f(t j ) f(t j )) (+) ( ) j= P f (, x) + N f (, x),

12 έτσι, έχουµε T f (, x) P f (, x) + N f (, x). Επίσης, από το παραπάνω έπεται ότι (4.) j ) f(t j )) + (+)(f(t (f(t j ) f(t j )) T f (, x). ( ) Οπως πριν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κοινή εκλέπτυνση διαµερίσεων στους ορισµούς των P f και N f για να καταλήξουµε στην ανισότητα P f (, x) + N f (, x) T f (, x), και έτσι το λήµµα αποδείχθηκε. Θεώρηµα 4.4. Μία πραγµατική συνάρτηση f στο [, b] είναι συνεχής και ϕραγµένης κύµανσης αν και µόνο αν µπορεί να γραφεί ως η διαφορά δύο αυξουσών συνεχών συναρτήσεων. Απόδειξη. Προφανώς, αν f = f f 2, όπου f, f 2 είναι και οι δύο αύξουσες και συνεχείς, τότε η f είναι ϕραγµένης κύµανσης. Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχής και ϕραγµένης κύµανσης. Τότε, ϑεω- ϱούµε τις (4.2) f (x) = P f (, x) + f() και f 2 (x) = N f (, x). Προφανώς, οι f, f 2 είναι αύξουσες και συνεχείς, και από το προηγούµενο Λήµµα έπεται ότι f(x) = f (x) f 2 (x). Θεώρηµα 4.5. Αν η f είναι συνεχής και ϕραγµένης κύµανσης στο [, b], τότε η f είναι διαφο- ϱίσιµη σχεδόν παντού. ηλαδή, το (4.3) lim h 0 f(x + h) f(x) h υπάρχει σχεδόν παντού στο [, b]. Από τα παραπάνω ϕαίνεται ότι η υπόθεση της ϕραγµένης κύµανσης για µια συνάρτηση µπορεί να εγγυηθεί την ύπαρξη παραγώγου σχεδόν παντού αλλά όχι το ακόλουθο αποτέλεσµα : b (4.4) f (x)dx = f(b) f(). Γι αυτό χρειάζεται να περιορίσουµε την κλάση των συναρτήσεων ϕραγµένης κύµανσης. 5 Απολύτως συνεχείς συναρτήσεις Ορισµός 5. (ε-δ). Μία συνάρτηση f ορισµένη σε κλειστό διάστηµα [, b] λέγεται απολύτως συνεχής αν για δοθέν ε > 0 υπάρχει δ > 0: n (5.) f(x k + h k ) f(x k ) < ε k= για κάθε πεπερσµένο σύνολο διαστηµάτων (x k, x k + h k ): n k= h k < δ. 2

13 Παρατηρήσεις 5.2. (α) Από τον ορισµό, είναι ϕανερό ότι οι απολύτως συνεχείς συναρτήσεις είναι συνεχείς, και ειδικότερα οµοιόµορφα συνεχείς. (ϐ) Αν η f είναι απολύτως συνεχής σε ϕραγµένο διάστηµα, τότε είναι και ϕραγµένης κύ- µανσης σε αυτό. Επίσης, η ολική της κύµανση είναι (απολύτως) συνεχής. (γ) Εστω f : [, b] R µια συνάρτηση για την οποία υπάρχει g ολοκληρώσιµη επί του [, b] και τέτοια ώστε (5.2) f(x) = f() + x g(y)dy για κάθε x [, b]. Τότε, η f είναι απολύτως συνεχής. Απόδειξη. Για κάθε n N ϑεωρούµε την συνάρτηση g n (x) = min{ g(x), n}. Παρατηρήστε ότι g n n. Η {g n } είναι αύξουσα και g n g. Από το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης έχουµε (5.3) lim g n dλ = g dλ. n Εστω ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε n N ώστε (5.4) ( g g n ) dλ = g dλ E E E E g n dλ < ε 2. Επιλέγουµε δ = ε 2n. Εστω E R µε λ(e) < δ. Γράφουµε g dλ = g n dλ + ( g g n ) dλ g n dλ + ( g g n ) dλ nλ(e) + ε 2 < n ε 2n + ε 2 = ε. Εστω τώρα ( k, b k ), k N ξένα ανά δύο υποδιαστήµατα του [, b] µε δ. Γράφουµε f(b k ) f( k ) = k= k= = διότι ( N ) (5.5) λ ( k, b k ) = k= Επεται ότι η f είναι απολύτως συνεχής. bk k N k= ( k,b k ) g dλ N k= g dλ < ε, bk k (b k k ) < δ. k= g dλ n (b k k ) < k= 3

14 Σηµειώνουµε ότι η τελευταία παρατήρηση είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την f για να αποδειχθεί ότι b F (x)dx = F (b) F (). Θεώρηµα 5.3. Μία απολύτως συνεχής συνάρτηση f είναι ϕραγµένης κυµάνσης. Απόδειξη. Αφού η f είναι απολύτως συνεχής, για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0: (5.6) n f(x k + h k ) f(x k ) < ε k= αν n h k < δ k= και τα (x k, x k + h k ) είναι ξένα. Η προηγούµενη σχέση δείχνει ότι η ολική µεταβολή επί ενός διαστήµατος µήκους δ δεν είναι µεγάλυτερη του ε, και έπεται ότι όλα τα αθροίσµατα (5.7) n f(x k ) f(x k ) k= είναι ϕραγµένα για όλες τις διαµερίσεις του [, b], άρα η f είναι ϕραγµένης κυµάνσης. Πόρισµα 5.4. Μία απολύτως συνεχής συνάρτηση έχει παράγωγο (δηλαδή, η παράγωγος υ- πάρχει και είναι πεπερασµένη) σχεδόν παντού. Απόδειξη. Μία απολύτως συνεχής συνάρτηση είναι ϕραγµένης κυµάνσης και µια συνάρτηση ϕραγµένης κυµάνσης έχει παράγωγο σχεδόν παντού. Θα δείξουµε ότι οι απολύτως συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς αυτές που ικανοποιούν την (.). Το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόµαστε είναι το εξής. Θεώρηµα 5.5. Μία απολύτως συνεχής συνάρτηση f έχει πεπερασµένη παράγωγο σχεδόν παντού. Επιπλέον, αν f (x) = 0 σχεδόν για κάθε x, τότε η f είναι σταθερή. Για να δείξουµε ότι η υπόθεση «f (x) = 0 σχεδόν παντού» συνεπάγεται ότι η f είναι σταθερή, ϑα χρειαστούµε κάποια λήµµατα κάλυψης του Vitli. Το πρώτο παίζει ϐασικό ϱόλο στην απόδειξη του ϑεωρήµατος παραγώγισης του Lebesgue (ϐλέπε [2]). Λήµµα 5.6. Εστω A = {, 2,..., N } µια πεπερασµένη οικογένεια από ανοικτά διαστήµατα στο R. Μπορούµε να ϐρούµε i,..., i k N ώστε τα διαστήµατα i,..., ik να είναι ξένα ανά δύο και να ισχύει ( N ) k (5.8) λ l 3 l( ij ). l= Ορισµός 5.7. Λέµε ότι µια οικογένεια A = { j : j J} από ανοικτά διαστήµατα είναι κάλυψη Vitli ενός συνόλου E R αν για κάθε x E και για κάθε η > 0 υπάρχει ένα διάστηµα j A τέτοιο ώστε x j και l( j ) < η. ηλαδή, αν κάθε x E καλύπτεται από διαστήµατα της οικογένειας A µε οσοδήποτε µικρό µέτρο. j= 4

15 Λήµµα 5.8. Εστω E µετρήσιµο υποσύνολο του R µε λ(e) <. Αν A είναι µια Vitli κάλυψη του E τότε, για κάθε δ > 0 µπορούµε να ϐρούµε πεπερασµένα το πλήθος ανοικτά διαστήµατα,..., N στην A τα οποία είναι ξένα ανά δύο και ικανοποιούν την (5.9) l( i ) λ(e) δ. i= Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγικά το Λήµµα 5.6. Θέτουµε γ = /3. Για δοθέν 0 < δ < λ(e), µπορούµε να ϐρούµε συµπαγές E E µε λ(e ) δ. Τότε, το E καλύπτεται από µια πεπερασµένη υποοικογένεια της A, και το Λήµµα 5.6 µας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν ξένα ανά δύο διαστήµατα,..., N A ώστε (5.0) N i= l( i ) γλ(e ) γδ. Κρατάµε τα,..., N και διακρίνουµε δύο περιπτώσεισ:. Αν N i= l( i) λ(e) δ τότε έχουµε ήδη αποδείξει το Ϲητούµενο. 2. Αν N i= l( i) < λ(e) δ, ορίζουµε E 2 = E \ N i= i και, αφού λ(e 2 ) λ(e) N i= l(b i) > δ, ϐρίσκουµε συµπαγές E 2 E 2 µε λ(e 2 ) δ. Αφού η A είναι Vitli κάλυψη του E, εύκολα ελέγχουµε ότι τα διαστήµατα της A που είναι ξένα προς την N i= i εξακολουθούν να καλύπτουν το E 2. Άρα, το E 2 καλύπτεται από µια πεπερασµένη υποοικογένεια της A, και το Λήµµα 5.6 µας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν ξένα ανά δύο διαστήµατα N +,..., N2 A ώστε (5.) N 2 i=n + l( i ) γλ(e 2) γδ. ηλαδή, (5.2) N 2 i= l( i ) 2γδ. Κρατάµε τα,..., N2 και συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο. Αν N 2 i= l( i) λ(e) δ τότε έχουµε ήδη αποδείξει το Ϲητούµενο. Αν N 2 i= l( i) < λ(e) δ, ϐρίσκουµε ξένα διαστήµατα N2 +,..., N3 A ώστε (5.3) N 3 i= l( i ) 3γδ. 5

16 Αν συνεχίσουµε έτσι, και αν έχουµε κάνει k ϐήµατα, έχουµε επιλέξει ξένα διαστήµατα από την A ώστε το άθροισµα των µέτρων τους να είναι µεγαλύτερο ή ίσο από kγδ. Ετσι, είτε ϑα πετύχουµε το Ϲητούµενο διότι N s i= l( i) λ(e) δ στο s-ϐήµα της διαδικασίας, ή κάποια στιγµή ϑα ϕτάσουµε στο k-ϐήµα για τον µικρότερο k που ικανοποιεί την kγδ λ(e) δ, οπότε ϑα έχουµε πάλι το Ϲητούµενο, διότι (5.4) N k l( i ) kγδ λ(e) δ. i= Πόρισµα του Λήµµατος 5.8 είναι το εξής. Λήµµα 5.9. Εστω E µετρήσιµο υποσύνολο του R µε λ(e) <. Αν A είναι µια Vitli κάλυψη του E τότε, για κάθε δ > 0 µπορούµε να ϐρούµε πεπερασµένα το πλήθος ανοικτά διαστήµατα,..., N στην A τα οποία είναι ξένα ανά δύο και ικανοποιούν την (5.5) λ ( E \ ) N i < 2δ. i= Απόδειξη. Θεωρούµε ανοικτό σύνολο G E µε λ(g \ E) < δ. Τα διαστήµατα της A που, επιπλέον, περιέχονται στο G εξακολουθούν να σχηµατίζουν Vitli κάλυψη A του E. Εφαρµόζοντας το Λήµµα 5.8 ϐρίσκουµε πεπερασµένα το πλήθος διαστήµατα,..., N στην A τα οποία είναι ξένα ανά δύο και ικανοποιούν την (5.6) Τότε, (5.7) l( i ) λ(e) δ. i= ( ) ( N N ) E \ i i G, i= i= και τα δύο σύνολα στο αριστερό µέλος είναι ξένα. Συνεπώς, ( ) ( N N ) λ E \ i λ(g) λ i i= i= < λ(e) + δ (λ(e) δ) = 2δ. 6

17 Απόδειξη του Θεωρήµατος 5.5. Μία απολύτως συνεχής συνάρτηση είναι ϕραγµένης κύ- µανσης και µια συνάρτηση ϕραγµένης κύµανσης έχει παράγωγο σχεδόν παντού. Για την απόδειξη του δεύτερου µέρους του ϑεωρήµατος αρκεί να δείξουµε ότι f() = f(b). Εστω E το σύνολο των x (, b) για τα οποία η f (x) υπάρχει και είναι µηδέν. Από την υπόθεση λ(e) = b. Επειτα, σταθεροποιούµε ε > 0. Αφού για κάθε x E έχουµε (5.8) lim f(x + h) f(x) h 0 h = 0, τότε για κάθε η > 0 έχουµε ανοιχτό διάστηµα x = ( x, b x ) [, b] που περιέχει το x, µε (5.9) f(b x ) f( x ) (b x x ) και b x x < η. Το σύνολο των διαστηµάτων x σχηµατίζει µια κάλυψη Vitli του E και έτσι, για τυχόν δ > 0 µπορούµε να επιλέξουµε πεπερασµένα το πλήθος xi, i N, xi = ( i, b i ), τα οποία είναι ξένα και για τα οποία ισχύει (5.20) l( xi ) λ(e) δ = b δ. i= Οµως f(b i ) f( i ) ε(b i i ) και προσθέτοντας αυτές τις ανισότητες παίρνουµε (5.2) f(b i ) f( i ) ε(b ). i= Επειτα ϑεωρούµε το συµπλήρωµα του N i= x i στο [, b]. Αποτελείται από πεπερασµένα και κλειστά διαστήµατα [α k, β k ] συνολικού µήκους δ. Ετσι, από την απόλυτη συνέχεια της f, επιλέγοντας κατάλληλο δ συναρτήσει του ε, παίρνουµε (5.22) f(β k ) f(α k ) ε. k= Συνοψίζοντας, έχουµε (5.23) f(b) f() f(b i ) f( i ) + f(β k ) f(α k ) ε(b ) + ε. i= k= Αφού το ε ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι f(b) f() = 0, από όπου παίρνουµε το Ϲητούµενο. Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Lebesgue: 7

18 Θεώρηµα 5.0. Μια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο αν η f υπάρχει σχεδόν παντού στο [, b], η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, b], και (5.24) f(x) f() = x f (t) dλ(t) ( x b). Απόδειξη. (= ) Γνωρίζουµε ότι αν η f είναι απόλυτα συνεχής συνάρτηση µε πραγµατικές τιµές τότε είναι διαφορά δύο αυξουσών και συνεχών συναρτήσεων, εποµένως η f είναι ο- λοκληρώσιµη σχεόν παντού στο [, b]. Εστω τώρα G(x) = x f (y)dλ(y). Τότε η G είναι απόλυτα συνεχής, και εποµένως και η διαφορά G(x) f(x). Από το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue, ξέρουµε ότι G (x) = f (x) σχεδόν για κάθε x, εποµένως η f G έχει παράγωγο 0 σχεδόν παντού. Επεται (από το προηγούµενο ϑεώρηµα) ότι η f G είναι σταθερή, και ϑέτοντας όπου x =, παίρνουµε το Ϲητούµενο. ( =) Κάθε συνάρτηση της µορφής f(x) = x g, όπου g ολοκληρώσιµη στο [, b], είναι απόλυτα συνεχής στο [, b]. Αναφορές [] Elis M. Stein, Rmi Shkrchi, Rel nlysis, mesure theory, integrtion nd Hilbert spces, Vol.3 (2005). [2] Σηµειώσεις από το µάθηµα Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue, ακ. έτος [3] Εισαγωγή στο ολοκλήρωµα Lebesgue (Σηµειώσεις Παραδόσεων), Γ. Α. Σταύρακας, Αθήνα 999. [4] Michel W. Botsko, An elementry proof of Lebesgue s differentition theorem, The Americn Mthemticl Monthly, Vol. 0, no. 9 (Nov. 2003), pp

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Συναρτησιακές Εξισώσεις Συναρτησιακές Εξισώσεις Για τους µαθητές ϑετικού προσανατολισµού Γ Λυκείου c 2015 Λυγάτσικας Ζ. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 17 Νοεµβρίου 2015 Π. Γ.Ε.Λ. Β.Σ. Ζ. Λυγάτσικας - 17 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Θέµατα σε όλη τη ύλη) Άσκηση 2 η Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν α, β στο (1,

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα