ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές.

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαανειστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετατυχιακών Σουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η Έννοια της Συνάρτησης. Αό την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια ολυώνυµα και τις εφαρµογές. Αγγελική Χόρτη Ειβλέων Καθηγητής Ευστάθιος Γιαννακούλιας Αθήνα Μάρτιος 00

2 Η αρούσα ιλωµατική Εργασία εκονήθηκε στα λαίσια των σουδών για την αόκτηση του Μετατυχιακού ιλώµατο Ειδίκευση ου αονέµει το ιαανειστηµιακό ακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετατυχιακών Σουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την αό Εξεταστική Ειτροή αοτελούµενη αό του : Ονοµατεώνυµο Βαθµίδα Υογραφή ) Ευστάθιο Γιαννακούλια Αναλ. Καθηγητή (Ειβλέων Καθηγητή ) ) ιονύσιο Λάα Αναλ. Καθηγητή 3) Χριστόδουλο Αθανασιάδη Καθηγητή

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η αρούσα διλωµατική εργασία εκονήθηκε στα λαίσια ολοκλήρωσης των σουδών µου στο ιαανειστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετατυχιακών Σουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών». Ευχαριστώ θερµά: Τον Ειβλέοντα της διλωµατικής εργασίας µου, Αναληρωτή Καθηγητή κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια, για την ολύτιµη βοήθεια του στην ειλογή και διαµόρφωση του θέµατος, για το χρόνο ου διέθεσε, καθώς και για την διακριτική είβλεψη του. Τον Αναληρωτή Καθηγητή κ. ιονύσιο Λάα, καθώς και τον Καθηγητή κ. Χριστόδουλο Αθανασιάδη, για τις χρήσιµες υοδείξεις τους σχετικά µε την ολοκλήρωση της αρούσας εργασίας, και για την ευγενή διάθεση τους να συµµετέχουν στην Τριµελή Εξεταστική Ειτροή. Τον φίλο και συνάδελφο κ. Αθανάσιο Τζιώτζιο για τις υοδείξεις και τη βοήθεια του στην κατασκευή των σχηµάτων αυτής της εργασίας. Μάρτιος 00 Αγγελική Χόρτη 3

4 «Αφιερωµένη Στον ατέρα µου» 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κατάλογος σχηµάτων 7 Πρόλογος 8 I. Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εισαγωγή 0 Αρχαιότητα Πινακοοιηµένες Συναρτήσεις «Συµτώµατα» κωνικών τοµών 4 Η γενική έννοια της συνάρτησης στην Αρχαιότητα 6 Μεσαίωνας Κινηµατική και γεωµετρική ανααράσταση συναρτησιακών σχέσεων 0 Νεότερη Περίοδος Το ρόβληµα της µελέτης της κίνησης και της µέτρησης του χρόνου 6 Η µεταβλητή οσότητα του Descartes: Αλγεβρικές συναρτήσεις 30 Η έννοια της συνάρτησης κατά Newto και Leibiz 35 Η συνάρτηση ως αυθαίρετη αναλυτική έκφραση 39 Αναλυτικές συναρτήσεις 46 Συνεχείς και ασυνεχείς συναρτήσεις κατά τον Euler 49 Ο γενικός ορισµός του Euler για τη συνάρτηση 56 Κριτική της έννοιας των µικτών συναρτήσεων και της αναλυτικής ανααράστασης των συναρτήσεων 60 Η αναγνώριση του γενικού ορισµού του Euler 65 Ο ιστορικός ρόλος του γενικού ορισµού του Euler 70 II. ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Εσωτερικά γινόµενα 73 Μήκος, µέτρο γωνίας, αόσταση 76 Ορθογωνιότητα 80 Ορθογωνιοοίηση 87 Κάθετες ροβολές και αόσταση σε υόχωρο 95 Εφαρµογές 99 5

6 III. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ Εισαγωγικά στοιχεία Χώρος µε εσωτερικό γινόµενο Χώρος Hilbert 3 Ορθογώνιο συµλήρωµα και ευθύ άθροισµα 4 Ορθοκανονικά σύνολα και ακολουθίες 30 Σειρές µε ορθοκανονικές ακολουθίες και σύνολα 40 Ολικά ορθοκανονικά σύνολα και ακολουθίες 49 Πολυώνυµα Legedre, Hermite και Laguerre Ιστορικά στοιχεία 58 Πολυώνυµα Legedre 60 Πολυώνυµα Hermite 68 Πολυώνυµα Laguerre 74 IV. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γραµµική ανεξαρτησία λύσεων οµογενούς γραµµικής.ε. 76 Προβλήµατα συνοριακών τιµών για συνήθεις.ε. δεύτερης τάξης Εισαγωγικές έννοιες 84 Προβλήµατα Sturm Liouville 85 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ξενόγλωσσες 96 Ελληνόγλωσσες 00 6

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ο διαφορικός λογισµός του Leibiz 38. Μήκος διανύσµατος στον 3. Αόσταση δύο διανυσµάτων στον R 76 R Ορθογωνιότητα δύο διανυσµάτων σε ένα Ευκλείδειο χώρο 8 5. Μέθοδος ορθογωνιοοίησης των Gram Schmidt στον 6. Μέθοδος ορθογωνιοοίησης των Gram Schmidt στον 7. Παράδειγµα ορθογωνιοοίησης µιας βάσης του 8. Συντεταγµένες διανύσµατος ως ρος µια ορθοκανονική βάση του 9. Αόσταση διανύσµατος αό ένα υόχωρο του R 88 3 R 89 3 R 90 3 R 94 3 R Κάθετη ροβολή και αόσταση διανύσµατος αό τον υόχωρο W ενός Ευκλείδειου χώρου V 97. Αόσταση διανύσµατος αό τον µονοδιάστατο υόχωρο L ενός Ευκλείδειου χώρου V 99. Παράδειγµα υολογισµού της αόστασης ενός διανύσµατος αό µια γραµµή του R 0 3. Νόµος του αραλληλογράµµου στον 4. Βέλτιστη ροσέγγιση του R αό το R 5 M R 4 5. Ανααράσταση ενός χώρου Hilbert ως ευθύ άθροισµα ενός κλειστού υόχωρου και του ορθογώνιου συµληρώµατος του (Θεώρηµα ροβολής) Ανααράσταση του 7. Πυθαγόρειο Θεώρηµα στον 3 R ως ρος ένα ορθοκανονικό σύνολο του χώρου 3 R 3 8. Μέθοδος ορθοκανονικοοίησης των Gram Schmidt σε ένα Ευκλείδειο χώρο ( ο βήµα) Μέθοδος ορθοκανονικοοίησης των Gram Schmidt σε ένα Ευκλείδειο χώρο (Γενίκευση) Γραφική αράσταση της εριοδικής συνάρτησης µε ερίοδο, όου ( t) = t αν t [, ) και ( t) = t αν t [,3 ) 4. Γραφικές αραστάσεις των έξι ρώτων ολυωνύµων Legedre 6. Γραφικές αραστάσεις των έξι ρώτων ολυωνύµων Hermite Γραφικές αραστάσεις των έξι ρώτων ολυωνύµων Laguerre 75 7

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η έννοια της συνάρτησης εµλέκεται άµεσα ή έµµεσα σε ολλά εδία των Μαθηµατικών και των εφαρµογών τους. Για αράδειγµα, στη Μαθηµατική Ανάλυση εξετάζονται οι ιδιότητες συναρτήσεων µιας ή ολλών µεταβλητών, καθώς και οι ιδιότητες των αραγώγων τους. Οι θεωρίες των διαφορικών και των ολοκληρωτικών εξισώσεων εφαρµόζονται στην είλυση εξισώσεων, όου οι άγνωστοι είναι συναρτήσεις, και στη Συναρτησιακή Ανάλυση µελετώνται χώροι συναρτήσεων (Pote, 99). Ειλέον, τα Αναλυτικά Προγράµµατα ιδασκαλίας των Μαθηµατικών και άλλων µαθηµάτων της ευτεροβάθµιας Εκαίδευσης αναδεικνύουν ολλές µορφές αυτής της θεµελιώδους έννοιας. Σκοός της αρούσας εργασίας είναι να αρουσιαστούν η ορεία και η ιστορική εµειρία ου διαµόρφωσαν την σύγχρονη έννοια της συνάρτησης, να αναδειχθούν µερικές εφαρµογές της θεωρίας των Ευκλείδειων χώρων στην Ανάλυση, καθώς και να µελετηθούν οι ιδιότητες κάοιων ειδικών συναρτήσεων, των ορθογώνιων ολυωνύµων, µέσα αό τη γενίκευση των εννοιών του εσωτερικού γινοµένου και της καθετότητας ου εριλαµβάνονται στο σχολικό εγχειρίδιο των Μαθηµατικών Κατεύθυνσης της Β Λυκείου. Στο ρώτο µέρος της εργασίας αρατίθενται οι αόψεις ολλών συγγραφέων σχετικά µε το ότε εµφανίστηκε για ρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης, η οοία ανατύχθηκε ουσιαστικά µέσα αό την ροσάθεια µαθηµατικής ερµηνείας διάφορων φυσικών ροβληµάτων. Ειλέον, ραγµατοοιείται µια λετοµερής µελέτη της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης, αό τις ινακοοιηµένες συναρτήσεις των Ελλήνων µαθηµατικών της Αρχαιότητας µέχρι το γενικό ορισµό του Euler, ου οδήγησε σταδιακά στην έννοια της συνάρτησης ου διατυώθηκε αό τους Fourier, Lobatchevsy, και Dirichlet στα µέσα του 9 ου αιώνα. Στο δεύτερο µέρος, µε αφετηρία την έννοια του εσωτερικού γινοµένου, εκτίθεται η εέκταση βασικών εννοιών της Ευκλείδειας Γεωµετρίας σε Ευκλείδειους ραγµατικούς χώρους συνεχών συναρτήσεων. Χρησιµοοιώντας τους αντίστοιχους τύους της Αναλυτικής Γεωµετρίας και την ορολογία του εσωτερικού γινοµένου στο δισδιάστατο είεδο R και στον τρισδιάστατο χώρο 3 R, το µήκος διανύσµατος, η αόσταση και η καθετότητα δύο διανυσµάτων, η κάθετη ροβολή διανύσµατος σε είεδο και η αόσταση διανύσµατος αό είεδο, γενικεύονται για αυθαίρετους 8

9 ραγµατικούς διανυσµατικούς χώρους µε εσωτερικό γινόµενο. Η διαδικασία ορθογωνιοοίησης µιας βάσης του R γενικεύεται για ένα τυχαίο σύνολο, εερασµένο ή άειρο, γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων ενός Ευκλείδειου χώρου (µέθοδος ορθογωνιοοίησης των Gram Schmidt). Ως εφαρµογή της θεωρίας των Ευκλείδειων χώρων αρουσιάζεται το ρόβληµα της βέλτιστης ροσέγγισης ραγµατικών συναρτήσεων. Στο τρίτο µέρος ραγµατοοιείται η εραιτέρω εέκταση των ροηγούµενων εννοιών και διαδικασιών σε λήρεις ραγµατικούς ή µιγαδικούς χώρους µε εσωτερικό γινόµενο, δηλαδή σε χώρους Hilbert. Παρουσιάζονται µερικά αό τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα αυτών των χώρων, όως, για αράδειγµα, οι ανααραστάσεις ενός χώρου Hilbert ως ευθύ άθροισµα ενός κλειστού υόχωρου και του ορθογώνιου συµληρώµατος του, τα ολικά ορθοκανονικά σύνολα και ακολουθίες, και οι αντίστοιχες µοναδικές ανααραστάσεις των στοιχείων του χώρου αό τις συντεταγµένες τους ως ρος µια ορθοκανονική ακολουθία. Ως εφαρµογές της θεωρίας των χώρων Hilbert, οι γενικές σειρές Fourier εκφράζονται µε την ορολογία και το φορµαλισµό των ορθοκανονικών ακολουθιών και συνόλων, και µελετώνται µερικές ολικές ορθογώνιες και ορθοκανονικές ακολουθίες, ου κατασκευάζονται µε τη µέθοδο ορθοκανονικοοίησης των Gram Schmidt, και χρησιµοοιούνται συχνά σε ρακτικά ροβλήµατα των Μαθηµατικών και της Φυσικής. Αυτές οι ακολουθίες εµλέκουν τις γνωστές ακολουθίες των ορθογώνιων ολυωνύµων Legedre, Hermite και Laguerre, ου είναι λύσεις των οµώνυµων οµογενών γραµµικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Στο τέταρτο µέρος της εργασίας αρουσιάζονται εφαρµογές της θεωρίας των Ευκλείδειων χώρων στις διαφορικές εξισώσεις. Χρησιµοοιώντας την έννοια του εσωτερικού γινοµένου, αοδεικνύεται η γραµµική ανεξαρτησία των λύσεων µιας οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης νιοστής τάξης µε σταθερούς συντελεστές, στο χώρο των συνεχών ραγµατικών συναρτήσεων σε τυχαίο εερασµένο ή άειρο διάστηµα. Τέλος, ειλύονται ροβλήµατα συνοριακών τιµών τύου Sturm Liouville, δηλαδή.σ.τ. τέτοια ώστε οι ιδιοσυναρτήσεις ου αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές να είναι ορθογώνιες συναρτήσεις. 9

10 I. Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική στην ειστήµη των Μαθηµατικών και ροέρχεται αό τη γενικότερη τάση του ανθρώου να συσχετίζει οσότητες. Αυτή η τάση είναι τόσο αρχαία όσο και τα ίδια τα Μαθηµατικά. Η ιδέα της αλληλεξάρτησης δύο οσοτήτων ξεήδησε, όως ήταν φυσικό, στην ελληνική ειστήµη των κλασικών χρόνων, όου και χρησιµοοιήθηκε στη Γεωµετρία. Ωστόσο, η ορεία ου οδήγησε αό τους αλούς συσχετισµούς οσοτήτων στη σύγχρονη έννοια της συνάρτησης είναι µακρόχρονη και ερίλοκη (Σύρου & Γαγάτσης). Ειλέον, οι αόψεις ολλών συγγραφέων είναι συχνά διαφορετικές µεταξύ τους, και συγκεκριµένα δε συµφωνούν για το ότε εµφανίστηκε για ρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης. Κατά τον Youschevitch (976), η εικρατέστερη άοψη είναι αυτή ου διατυώνει ο Smith (958) στο βιβλίο του «Η Ιστορία των Μαθηµατικών»: «Η ραγµατική ιδέα του συναρτησιακού συσχετισµού(fuctioality), όως φαίνεται µέσα αό τη χρήση των συντεταγµένων, εκφράστηκε για ρώτη φορά καθαρά και δηµόσια αό τον Καρτέσιο». Ωστόσο, η άοψη του Boyer (959), ου διατυώνεται σχετικά µε τις εργασίες του Fermat, σύγχρονου του Καρτέσιου, είναι ότι: «Η έννοια της συνάρτησης και τα σύµβολα ου αριστάνουν µεταβλητές δε φαίνεται να υάρχουν στο έργο κάοιου µαθηµατικού της εοχής αυτής». Αό την άλλη, οι Harter & Schramm (963) υοθέτουν ότι: «Το ερώτηµα της γέννησης και της ανάτυξης της έννοιας της συνάρτησης σχετίζεται, συνήθως και σχεδόν αοκλειστικά, µε την Καρτεσιανή ανάλυση Οι ράξεις µε συναρτήσεις είχαν ήδη φτάσει σε µεγάλο βαθµό τελειότητας, όταν έγιναν οι ρώτες αόειρες για να διαµορφωθεί η γενική έννοια των συναρτήσεων». Οι ίδιοι συγγραφείς υοστηρίζουν ότι ράξεις µε συναρτήσεις υάρχουν σε αστρονοµικούς υολογισµούς µαθηµατικών της αρχαιότητας, όως του Πτολεµαίου, αλλά και σε έργα Αράβων, όως σε εργασίες του Αl Birui. Στο βιβλίο του «Η Ιστορία της Αναλυτικής Γεωµετρίας» (956) ο Boyer δίνει έµφαση σε άλλα ρότυα συναρτήσεων στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά και ισχυρίζεται ότι: «H χρήση των αναλογιών ήταν κατά κάοιο τρόο ισοδύναµη, αν και ιο εριορισµένα, µε τη σύγχρονη χρήση των εξισώσεων ως εκφράσεων συναρτησιακών σχέσεων». Στο ίδιο µήκος κύµατος µε τον Boyer βρίσκονται και οι 0

11 συγγραφείς Hofma (963) και Crombie (959 96), οι οοίοι συσχετίζουν τις γεωµετρικές εκφράσεις των συναρτήσεων και τον υολογισµό των τιµών τους µε τη θεωρία των υολογισµών και µε τη θεωρία του λάτους των µορφών του 4 ου αιώνα. Εντούτοις, ο Wieleiter (9 93) υέθεσε ότι η ιδέα της συνάρτησης στην τελευταία θεωρία δεν εριείχε, ούτε στο ελάχιστο, την έννοια της εξάρτησης ενός µεγέθους αό ένα άλλο. Αντιθέτως, ο Bell (945) διατύωσε τη γνώµη ότι ακόµα και οι Βαβυλώνιοι Μαθηµατικοί είχαν το ένστικτο του συναρτησιακού συσχετισµού (istict for fuctioality), και ο Pederse (974) εξέφρασε την άοψη ότι η ιδέα της συνάρτησης υήρχε στα Μαθηµατικά αό την αρχαιότητα. Βλέουµε λοιόν ότι υάρχει µια µεγάλη οικιλία ίδιων ή διαφορετικών αόψεων. Κάοιες αό αυτές τις αόψεις είναι σωστές, ενώ κάοιες άλλες είναι λανθασµένες ή τουλάχιστον ατελείς. Πάντως τον 9 ο αιώνα, ο κλασικός ορισµός της συνάρτησης ου υήρχε σχεδόν σε κάθε ραγµατεία εί της µαθηµατικής ανάλυσης συνήθως αοδιδόταν είτε στον Dirichlet (837) είτε στον Lobatchevsy (834). Εντούτοις, µιλώντας ιστορικά, αυτή η γενική άοψη είναι ανακριβής γιατί η γενική έννοια της συνάρτησης ως µιας αυθαίρετης σχέσης ανάµεσα σε ζεύγη στοιχείων, το καθένα αό τα οοία αίρνει τιµές αό το δικό του σύνολο, ήρε τη µορφή της ολύ νωρίτερα, στα µέσα του 8 ου αιώνα. Κατά τον Youschevitch (976), τα κύρια στάδια της εξέλιξης της ιδέας της συνάρτησης µέχρι τα µέσα του 9 ου αιώνα είναι: ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ: Σ αυτό το στάδιο η µελέτη συγκεκριµένων σχέσεων εξάρτησης µεταξύ δύο οσοτήτων δεν οδήγησε στη γενική έννοια της µεταβλητής και της συνάρτησης. ΜΕΣΑΙΩΝΑΣ: Αυτό είναι το στάδιο κατά το οοίο, στην ευρωαϊκή ειστήµη του 4 ου αιώνα, η γενική έννοια διατυώθηκε και µε γεωµετρικές και µε µηχανικές εκφράσεις. Αλλά σ αυτό το στάδιο, όως και στην αρχαιότητα, κάθε σχέση εξάρτησης ανάµεσα σε δύο οσότητες ορίστηκε µέσω λεκτικής εριγραφής ή µέσω γραφήµατος και όχι αό ένα τύο. ΝΕΟΤΕΡΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Είναι η ερίοδος ου ξεκινάει στα τέλη του 6 ου αιώνα, και κυρίως, κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα. Στο τέλος του 6 ου αιώνα η ανάτυξη της Αστρονοµίας και της ναυσιλοΐας δηµιούργησε µεγάλες ανάγκες για ακριβείς και σύντοµους αριθµητικούς υολογισµούς µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις και οδήγησε στην ανάτυξη των λογαριθµικών ινάκων, ενώ στις αρχές του 7 ου αιώνα, ο Γαλιλαίος, ο Kepler και άλλοι ειστήµονες άρχισαν ν ανατύσσουν την Κινηµατική,

12 και ο Descartes, εηρεασµένος αό τις εργασίες τους, εισήγαγε στα Μαθηµατικά τη γενική έννοια του µεταβλητού µεγέθους. Σύµφωνα µε τον Klie (97), κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα αρουσιάστηκαν και χρησιµοοιήθηκαν η έννοια της συνάρτησης και οι ιο αλές αλγεβρικές και υερβατικές συναρτήσεις. Καθώς οι Leibiz, James και Joha Beroulli, L Hôpital, Huyges, και Varigo άρχισαν να ασχολούνται µε ροβλήµατα όως η κίνηση ενός εκκρεµούς, το σχήµα µιας χορδής ου είναι στερεωµένη αό δύο σταθερά σηµεία, η κίνηση κατά µήκος καµύλων τροχιών, και οι καµύλες ου αρουσιάζονται στην ανάκλαση και στη διάθλαση του φωτός, όχι µόνο χρησιµοοίησαν τις ήδη γνωστές συναρτήσεις αλλά κατέληξαν σε ιο σύνθετες µορφές των θεµελιωδών συναρτήσεων. Ως συνέεια αυτών των ερευνών και της γενικής εργασίας στο λογισµό, οι στοιχειώδεις συναρτήσεις αναγνωρίστηκαν λήρως και εεκτάθηκαν κατά κάοιο τρόο στη σύγχρονη µορφή τους. Ωστόσο, ριν η έννοια της συνάρτησης καθιερωθεί λήρως, οι ερισσότερες αό τις συναρτήσεις ου αρουσιάστηκαν κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα, για αράδειγµα, οι στοιχειώδεις υερβατικές συναρτήσεις log,si, και a, µελετήθηκαν ρώτα ως καµύλες ου ροσεγγίστηκαν ως γεωµετρικοί τόοι (Klie, 97). Εντούτοις, οι όροι και ο συµβολισµός για τους διάφορους τύους των συναρτήσεων ου αριστάνονται α αυτές τις καµύλες εµφανίστηκαν σταδιακά. Ειλέον, κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα άρχισαν να εικρατούν οι αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων. Η κλάση των αναλυτικών συναρτήσεων εκφραζόταν µε αθροίσµατα αείρων δυναµοσειρών και σύντοµα έγινε η κύρια κλάση ου χρησιµοοιείτο. Η αναλυτική µέθοδος αρουσίασης των συναρτήσεων έφερε εανάσταση στα Μαθηµατικά και εξασφάλισε για την έννοια της συνάρτησης µια κεντρική θέση σε όλες τις συναφείς ειστήµες. Ωστόσο, αρά την αοδοτικότητά της, κατά τα µέσα του 8 ου αιώνα η ανααράσταση των συναρτήσεων ως αναλυτικών εκφράσεων αοδείχθηκε αό µόνη της ανεαρκής και έτσι ένας νέος γενικός ορισµός της συνάρτησης εµφανίστηκε κατά τη διάρκεια αυτής της εριόδου και αργότερα έγινε αγκόσµια αοδεκτός στη µαθηµατική ανάλυση. Στο δεύτερο µισό του 9 ου αιώνα αυτός ο γενικός ορισµός διεύρυνε τις δυνατότητες για την ανάτυξη της θεωρίας των συναρτήσεων, αλλά αρουσιάστηκαν δυσκολίες στη λογική ενότητα της µαθηµατικής σκέψης, οι οοίες τον 0 ο αιώνα δηµιούργησαν την ανάγκη να αναθεωρηθεί η έννοια της συνάρτησης,

13 όως είχαν αναθεωρηθεί και οι άλλες κύριες έννοιες της µαθηµατικής ανάλυσης. Αυτές οι δύο ερίοδοι συνδέονται µε τη θεωρία των συναρτήσεων και µε τη µαθηµατική λογική αντίστοιχα και χαρακτηρίζονται αό τη συνεχιζόµενη διαµάχη µεταξύ των διαφορετικών αόψεων (Youschevitch, 976). Με τη γενικότερη έννοια η συνάρτηση y της µεταβλητής, y= f ( ), είναι µια σχέση ανάµεσα σε ζεύγη στοιχείων αό δύο αριθµητικά σύνολα, X και Y, έτσι ώστε σε κάθε στοιχείο αό το ρώτο σύνολο X αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y αό το δεύτερο σύνολο Y σύµφωνα µε κάοιο συγκεκριµένο κανόνα. Αό τη φύση του αραάνω ορισµού ροκύτουν αρκετές λογικές δυσκολίες, όµως αυτός ο κανόνας µορεί να δοθεί µε οικίλους τρόους: λεκτικά, µε ίνακα τιµών των και y, µε µια αναλυτική έκφραση (τύο), µε γράφηµα, κλ., έτσι ώστε να είναι ορισµένη και σαφής η κατάσταση ου υοδηλώνεται α αυτό τον κανόνα και να µορεί να βρεθεί το y όταν δίνεται η τιµή του. Η ιδέα της συνάρτησης, όως κατανοείται µε τον ένα ή µε τον άλλο τρόο, εριλαµβάνει κανόνες για τη µέτρηση των ειφανειών των ιο αλών και γνωστών αό αλιά σχηµάτων όως είναι τα ορθογώνια, οι κύκλοι κλ. Η ιδέα αυτή υάρχει και στους ρώτους ίνακες (µερικοί αό τους οοίους είναι ίνακες συναρτήσεων δύο µεταβλητών) ρόσθεσης, ολλαλασιασµού, διαίρεσης, κλ., οι οοίοι χρησιµοοιήθηκαν για να διευκολύνουν τους υολογισµούς. Οι σχέσεις µεταξύ αριθµών ή γενικότερα οι σχέσεις µεταξύ οσοτήτων εµφανίζονται συνεχώς στα στοιχειώδη Μαθηµατικά. Παρόλα αυτά, αυτό το γεγονός δεν αρκεί για να αντιληφθούµε το σχηµατισµό της ιδέας της συνάρτησης, τη γενίκευση της και τη σταδιακή κατανόηση της, καθώς και το σταθερό νόηµα ου αέκτησε µε την ρόοδο της ειστηµονικής και της φιλοσοφικής σκέψης και, τέλος για να αντιληφθούµε το ρόλο ου διαδραµάτισε στα διάφορα στάδια αυτής της εξέλιξης. 3

14 ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ «ΣΥΜΠΤΩΜΑΤΑ» ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Όως αναφέρθηκε αραάνω, το ρώτο στάδιο στη γέννηση της έννοιας της συνάρτησης ήταν αυτό της Αρχαιότητας. Αό το 000 Π.Χ. οι Βαβυλώνιοι µαθηµατικοί χρησιµοοιούσαν ευρέως για τους υολογισµούς τους ολλούς ίνακες, όως, για αράδειγµα, εξηκονταδικούς ίνακες αντίστροφων φυσικών αριθµών, τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών, κύβων και κυβικών ριζών. Πίνακες συναρτήσεων δύο διαφορετικών τύων, των κλιµακωτών συναρτήσεων και των γραµµικών συναρτήσεων (Neugebauer, 957), χρησιµοοιήθηκαν στην Αστρονοµία των Βαβυλωνίων κατά τη διάρκεια της βασιλείας των Σελευκιδών για τη σύνταξη των ηµεροδεικτών του ήλιου, της σελήνης, και των λανητών. Αυτές οι εµειρικές και σε µορφή ίνακα συναρτήσεις αοτέλεσαν το µαθηµατικό υόβαθρο για την µετέειτα ανάτυξη της Αστρονοµίας. Οι νέες ρίζες της έννοιας της συνάρτησης έκαναν την εµφάνιση τους στα Ελληνικά Μαθηµατικά και στις Φυσικές Ειστήµες. Οι ροσάθειες ου αοδίδονται στους ρώτους Πυθαγόρειους να ροσδιορίσουν τους αλούστερους νόµους της ακουστικής είναι χαρακτηριστικές της αναζήτησης οσοτικών αλληλεξαρτήσεων ολλών φυσικών οσοτήτων, όως, για αράδειγµα, η διάρκεια και το ύψος του τόνου για τις νότες ου εκέµονται αό ορχήστρα εγχόρδων του ιδίου είδους, υό ίσες εντάσεις. Αργότερα, κατά τη διάρκεια της Αλεξανδρινής εριόδου, οι αστρονόµοι ανέτυξαν την τριγωνοµετρία των χορδών της εριφέρειας ενός κύκλου και, χρησιµοοιώντας θεωρήµατα της Γεωµετρίας και κανόνες αρεµβολής υολόγισαν ίνακες χορδών ισοδύναµους στην ραγµατικότητα µε ίνακες ηµιτόνων ου χρησιµοοιήθηκαν µερικούς αιώνες αργότερα. Ο ρώτος ίνακας χορδών βρέθηκε στην «Αλµαγέστη» του Πτολεµαίου, όου αρεµβάλλονται αριθµητικοί αστρονοµικοί ίνακες άλλων οσοτήτων, ου ισοδυναµούσαν µε ρητές συναρτήσεις και, είσης, οι ιο αλές άρρητες συναρτήσεις του ηµίτονου. Εντούτοις, οι Έλληνες δεν εριορίστηκαν στη χρήση των ινακοοιηµένων συναρτήσεων. Βασικό ρόλο στη θεωρία των κωνικών τοµών έαιξαν τα συµτώµατα τους, δηλαδή οι βασικές εµβαδοµετρικές ιδιότητες των αντίστοιχων καµυλών ου ροκύτουν αό τον αρχικό ορισµό της Στερεοµετρίας για τις κωνικές τοµές ως τοµές ενός κώνου αό ένα είεδο. Ο Αρχιµήδης και οι ερισσότεροι αρχαίοι συγγραφείς 4

15 εκφράζουν τις κωνικές τοµές µέσω των συµτωµάτων, δηλαδή µέσω εξισώσεων, ου αναφέρονται είτε σε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων είτε σε λαγιογώνιο (Va Der Waerde, 003). Ένας σύγχρονος µαθηµατικός θα έλεγε ότι ένα σύµτωµα µιας κωνικής τοµής αριστάνει, για κάθε σηµείο της δοθείσης καµύλης µια και µοναδική συναρτησιακή εξάρτηση µεταξύ του µισού της χορδής της καµύλης y και του τµήµατος της διαµέτρου ου τέµνει τη χορδή, όου τα άκρα αυτού του τµήµατος είναι το σηµείο τοµής της διαµέτρου µε τη χορδή και η αντίστοιχη κορυφή της καµύλης. Οι αρχαίοι γεωµέτρες εριέγραψαν τα συµτώµατα λεκτικά και, µάλιστα, µε όρους της Γεωµετρικής Άλγεβρας (ο όρος αοδίδεται στον Zeuthe (966)) στην οοία ταυτότητες και εξισώσεις ου και ου βαθµού αριστάνονται µε ισότητες εµβαδών συγκεκριµένων ορθογωνίων. Το νόηµα αυτών των συµτωµάτων, των οοίων αυτή η λεκτική εριγραφή αό τους µαθηµατικούς της αρχαιότητας δεν είναι οικεία σε µας, θα µορούσε να µεταφερθεί µε µεγάλη ακρίβεια στη γλώσσα της Αναλυτικής Γεωµετρίας µε εξισώσεις καµυλών δεύτερης τάξης, p,. a y = p y = p Εντούτοις, οι δυνατότητες ου ροσέφερε η Γεωµετρική Άλγεβρα δεν ήταν εαρκείς για να µεταφερθούν µε αρόµοιο τρόο οι ιδιότητες καµυλών 3 ης και 4 ης τάξης, όως, για αράδειγµα, η κισσοειδής του ιοκλή και η κογχοειδής του Νικοµήδη, καθώς και οι ιδιότητες κάοιων άλλων αλγεβρικών καµυλών ου ήταν γνωστές στους Έλληνες µαθηµατικούς, οι οοίοι έρεε να ορίσουν όλες αυτές τις καµύλες καθώς και συγκεκριµένες υερβατικές (µη αλγεβρικές) καµύλες, µε όρους ειδικών γεωµετρικών ή µηχανικών (κινηµατικών) δοµών. Οι αρχαίοι µαθηµατικοί εισήγαγαν µια ιδιόµορφη ταξινόµηση των καµυλών και των ροβληµάτων ου ειλύονται µε τη βοήθεια αυτών των καµυλών. Πριν αό τον Ευκλείδη ξεχώρισαν 3 είδη γεωµετρικών τόων: είεδοι γεωµετρικοί τόοι ευθείες γραµµές και κύκλοι, στερεοί γεωµετρικοί τόοι κωνικές τοµές, και γραµµικοί τόοι όλες οι άλλες καµύλες. Στην Αρχαία Ελλάδα και στις Ελληνιστικές χώρες οι οοίες αργότερα έγιναν Ρωµαϊκές εαρχίες, συναρτήσεις ου αρουσιάστηκαν για ρώτη φορά µέσω µαθηµατικών και αστρονοµικών ροβληµάτων µελετήθηκαν µε τρόο αρόµοιο µε τον τρόο µε τον οοίο µελετήθηκαν συναρτήσεις ου εµφανίστηκαν στη µαθηµατική ανάλυση των νεότερων χρόνων. Οι συναρτήσεις ταξινοµήθηκαν µέσω γραµµικής αρεµβολής, και, στις αλούστερες εριτώσεις, υολογίστηκαν τα όρια 5

16 των λόγων δύο αείρως µικρών οσοτήτων όως, για αράδειγµα, το όριο του si καθώς 0. Προβλήµατα στις ακρότατες τιµές και στις εφατόµενες ειλύθηκαν µε µεθόδους ισοδύναµες µε τη µέθοδο της διαφόρισης. Εµβαδά, όγκοι, µήκη, και κέντρα βάρους υολογίστηκαν µε µεθόδους ολοκλήρωσης ου ισοδυναµούσαν µε τον υολογισµό ολοκληρωµάτων, όως τα a 0 a d d και. o Τέλος, ροβλήµατα στα οοία έρεε να υολογιστούν ρίζες τριτοβάθµιων ολυωνύµων ειλύθηκαν χρησιµοοιώντας τις κωνικές τοµές (καµύλες δεύτερης τάξης). Με τη σύγχρονη ορολογία και µε συµβολισµό ου δεν υήρχαν στα Μαθηµατικά της αρχαιότητας µορούµε να ούµε ότι για να ειτευχθεί αυτός ο στόχος, οι ρίζες των αντίστοιχων ολυωνυµικών εξισώσεων θεωρήθηκαν ως συντεταγµένες των σηµείων τοµής, ή εαφής, δύο τέτοιων κατάλληλων καµυλών. Μέχρι τον 3 0 Μ.Χ. αιώνα ερίου, οι Έλληνες χρησιµοοιούσαν τα ψηφία και συµβόλιζαν ολλές οσότητες µε διαφορετικά γράµµατα του αλφαβήτου. Ωστόσο, οτέ δεν χρησιµοοιήθηκαν αλγεβρικοί τύοι, ή κάοιο είδος αλγόριθµου, ή αναλυτικές εκφράσεις. Μόνο ο ιόφαντος, ο τελευταίος µαθηµατικός της Αλεξανδρινής εοχής, χρησιµοοίησε στα έργα του κάοια αλγεβρικά σύµβολα, όµως, µε την αρακµή των αρχαίων Ελληνικών Μαθηµατικών, αυτός ο συµβολισµός δεν εξελίχθηκε. Εκτός αό την έλλειψη συµβολισµού, η οοία εµόδισε συνολικά την ρόοδο των Μαθηµατικών, τα ειτεύγµατα των Ελλήνων τόσο στην αύξηση του αριθµού των χρησιµοοιούµενων συναρτησιακών εξαρτήσεων όσο και στην ανακάλυψη νέων τρόων µελέτης τους ήταν ραγµατικά αξιόλογα και έαιξαν ροεξέχοντα ρόλο στη µετέειτα εξέλιξη των Μαθηµατικών µέχρι τη δηµιουργία της νέας Άλγεβρας, της Αναλυτικής Γεωµετρίας και του λογισµού των αειροστών του 6 ου και του 7 ου αιώνα. Η ΓΕΝΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Σύµφωνα µε τον Youschevitch (976), στους αρχαίους χρόνους δεν υήρχε η γενική ιδέα της έννοιας της συνάρτησης. Το θέµα του κατά όσο οι αρχαίοι µαθηµατικοί κατείχαν µια γενική έννοια της συνάρτησης µελετήθηκε µε λετοµέρεια αό τον Pederse (974) στην εργασία του ου είναι αφιερωµένη στην «Αλµαγέστη» 6

17 του Πτολεµαίου. Ο Pederse αρατηρεί ότι, σύµφωνα µε το κατά τον Πτολεµαίο σύστηµα του κόσµου, οι θέσεις του ήλιου, της σελήνης και των λανητών αλλάζουν συνεχώς και εριοδικά µε την άροδο του χρόνου. Ο ροσδιορισµός αυτών των θέσεων ολοκληρώνεται αό τον Πτολεµαίο µε τη βοήθεια κοινώς αοδεκτών µεθόδων, ου µερικές φορές εεξηγούνται αό αριθµητικά αραδείγµατα ή, εναλλακτικά, µορφοοιούνται λεκτικά µ ένα εντελώς γενικό τρόο. Αυτές οι κλασικές διαδικασίες χρησιµοοιούνται για να συνταχθούν ολλοί αστρονοµικοί ίνακες, για αράδειγµα, για να κατασκευαστούν ίνακες µε τις αντίστοιχες συναρτήσεις ου είναι συναρτήσεις µιας, ή ακόµα και δύο, και, σε ολλές εριτώσεις, τριών µεταβλητών. Παρατηρώντας ότι ο όρος συνάρτηση δεν εµφανίστηκε για ρώτη φορά στα έργα των αρχαίων µαθηµατικών αλλά ολύ αργότερα, ο Pederse αναρωτιέται εάν νοµιµοοιούµαστε γι αυτό το λόγο να καταλήξουµε στο συµέρασµα ότι οι αρχαίοι µαθηµατικοί αγνοούσαν τις συναρτησιακές σχέσεις. Κατά τον Pederse, η αάντηση στο ερώτηµα αυτό εξαρτάται αό το τι ράγµατι εννοούµε µε τον όρο συνάρτηση. Αν, όως και ολλοί αλαιότεροι µαθηµατικοί, ερµηνεύσουµε τον όρο συνάρτηση ως µια αναλυτική έκφραση, τότε το συµέρασµα είναι ότι οι αρχαίοι δε γνώριζαν τις συναρτήσεις. «Αλλά αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση, όχι ως ένα τύο, αλλά ως µια ιο γενική σχέση ου συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου αριθµών (όως, οι χρονικές στιγµές t, t, t 3,...) µε τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου ( για αράδειγµα κάοια γωνιακή µεταβλητή σε ένα λανητικό σύστηµα), είναι ροφανές ότι οι συναρτήσεις µ αυτή την έννοια υάρχουν σε αφθονία σε όλη την «Αλµαγέστη». Αυτό ου λείει είναι µόνο ο όρος συνάρτηση: αυτή η οντότητα υάρχει σ αυτό το έργο και ανααρίσταται καθαρά αό τους ολλούς ίνακες των αντίστοιχων στοιχείων τέτοιων συνόλων» (Pederse, 974). Με τον Pederse συµφωνεί και ο Youschevitch. Ο Πτολεµαίος, όως και άλλοι αστρονόµοι εκείνων των χρόνων αλλά και ροηγούµενων, γνώριζαν ότι οι συντεταγµένες των κινούµενων ουράνιων σωµάτων αλλάζουν εριοδικά µε το χρόνο, ή ότι, σε δοθέντα κύκλο, χορδές µε άνισα µήκη συσχετίζονται µε τόξα άνισων µηκών. Είσης, 000 χρόνια ριν αό τον Πτολεµαίο, οι υό µορφή ίνακα σχέσεις ήταν καλά γνωστές στους Βαβυλώνιους. Και όλα αυτά αν και, στην αρχαία µαθηµατική γλώσσα αουσιάζουν όχι µόνο λέξεις ισοδύναµες µε τον όρο συνάρτηση αλλά έστω και µια νύξη σε αυτή την ερισσότερο αφηρηµένη και ερισσότερο γενική ιδέα η 7

18 οοία ενοοιεί ξεχωριστές και συγκεκριµένες σχέσεις εξάρτησης µεταξύ οσοτήτων ή αριθµών σε οοιαδήοτε µορφή (λεκτική εριγραφή, γραφική αράσταση, ίνακας) και αν εξετάστηκαν αυτές οι εξαρτήσεις. Υάρχει µια σηµαντική αόσταση ανάµεσα στο ένστικτο του συναρτησιακού συσχετισµού (Bell) και στην αντίληψη ου έχουµε γι αυτόν, και το ίδιο ισχύει όσον αφορά και ειδικές µορφές συναρτήσεων και την εµφάνιση της έννοιας της συνάρτησης στον ένα ή στον άλλο βαθµό γενικότητας. Η χρήση του ενικού (δηλαδή, αυτή η οντότητα, η συναρτησιακή σχέση ου ανααρίσταται αό διάφορους ίνακες) αό τον Pederse σε συνδυασµό µε την «Αλµαγέστη» δε συµφωνεί µε το ότι οι συναρτήσεις ου αντιστοιχούν σε αυτούς τους ίνακες εξετάζονταν ως ειδικές εριτώσεις µιας γενικής συναρτησιακής σχέσης. Μια αρόµοια κατάσταση βρίσκουµε συνολικά στα Ελληνικά Μαθηµατικά όου οι µέθοδοι υολογισµού ή ροσδιορισµού µεµονωµένων συγκεκριµένων ορίων δεν οδήγησαν οτέ σε µια ρητή διατύωση των γενικών εννοιών της ακολουθίας, της µεταβλητής, του ορίου, της αείρως µικρής οσότητας, του ολοκληρώµατος, ή στη διατύωση γενικών θεωρηµάτων ου έχουν σχέση µε αυτές τις έννοιες. Κατάλληλα αραδείγµατα είναι οι τετραγωνισµοί και οι κυβισµοί του Αρχιµήδη. Ειλύοντας αρκετά ροβλήµατα, όως ροσδιορίζοντας το εµβαδόν της στροφής µιας σείρας, τον όγκο ενός σφαιροειδούς, και το εµβαδόν ενός τµήµατος ενός υερβολοειδούς εκ εριστροφής, στην ραγµατικότητα ο Αρχιµήδης υολόγισε ένα και το αυτό ολοκλήρωµα, το a d ή, αλλιώς, το όριο του αθροίσµατος «Riema Darbou», 0 εκτελώντας στην ραγµατικότητα τις διαδικασίες ου ααιτούνται αό τη µέθοδο της εξάντλησης εκ νέου κάθε φορά. Ο Bourbai, αρατηρώντας ότι κάοια άλλα ροβλήµατα ου ειλύθηκαν αό τον Αρχιµήδη, όως ο τετραγωνισµός της αραβολής και ο ροσδιορισµός του κέντρου βάρους ενός τριγώνου, θα µορούσαν να είχαν αναχθεί στον υολογισµό του ίδιου ολοκληρώµατος, στο έργο του «Στοιχεία της Ιστορίας των Μαθηµατικών» (969) αναφέρει ότι «αγνοούµε µέχρι οιο σηµείο ο Αρχιµήδης χρησιµοοιεί τις σχέσεις ου συνδέουν τα διάφορα ροβλήµατα ου χειρίζεται σχέσεις ου θα εκφράζαµε λέγοντας ότι το ίδιο ολοκλήρωµα χρησιµοοιείται αό διαφορετικές γεωµετρικές όψεις καθώς και τη σηµασία ου µορούµε να τους αοδώσουµε». Ο Αρχιµήδης αρατήρησε ότι οι µέθοδοι υολογισµού στα τρία ρώτα ροβλήµατα ήταν οι ίδιες, χρησιµοοίησε τη 8

19 συνάρτηση y ολοκληρώµατος. =, αλλά δεν εισήγαγε τη γενική έννοια του ορισµένου Μελετώντας τα Μαθηµατικά αυτής της εριόδου, αφενός αντιλαµβανόµαστε τη σηµασία τους για την εραιτέρω εξέλιξη αυτής της ειστήµης και αφετέρου, συχνά µε µη ειτρετό τρόο, διευρύνουµε την ερµηνεία αυτών των ιδεών, συνδέοντας αυτές µε νεότερες, ολύ ιο γενικές, έννοιες και αντιλήψεις. Στην ραγµατικότητα, «ο ιστορικός ταυτίζει το νεύµα των καιρών µε την αντανάκλαση του στο δικό του µυαλό» (Youschevitch, 976). Εντούτοις, οι ιδέες της αλλαγής και της µεταβλητής οσότητας δεν ήταν ξένες ρος τη σκέψη των Ελλήνων. Προβλήµατα κίνησης, συνέχειας, αείρου, εξετάστηκαν αό τα χρόνια του Ηράκλειτου και του Ζήνωνα του Ελεάτη, και στη µελέτη αυτών των εννοιών αφιερώθηκε το µεγαλύτερο µέρος αό τα Φυσικά του Αριστοτέλη ή της φυσικής φιλοσοφίας. Χρησιµοοιώντας τον όρο κίνηση της ύλης µε την ευρεία έννοια της αλλαγής, ο Αριστοτέλης διέκρινε τρεις βασικές µορφές διαδικασιών: εναλλαγή ή αλλαγή της οιότητας, αλλαγή του µεγέθους ή της οσότητας, όως αύξηση ή µείωση, και τοική κίνηση ου είναι η ιο αλή µορφή της κίνησης και συνοδεύει ααραιτήτως τις δύο άλλες ανώτερες µορφές των αλλαγών της ύλης. Η τοική κίνηση υοδιαιρείται στην οµοιόµορφη (οµαλή) κίνηση, κατά την οοία ίσα διαστήµατα (τµήµατα ή τόξα της εριφέρειας ενός κύκλου) διανύονται σε ίσους χρόνους, και στη µη οµαλή κίνηση. Εντούτοις, ούτε η µέση ταχύτητα, δηλαδή ο λόγος s / t, ούτε η στιγµιαία ταχύτητα, εισήχθησαν ως όροι στην αρχαιότητα. Ως εκ τούτου, ούτε η οσοτική αλλαγή ούτε η τοική κίνηση, οι οοίες και οι δύο βρήκαν την ανααράσταση τους στην ιο αφηρηµένη έννοια της µεταβλητής οσότητας, έγιναν αντικείµενο µαθηµατικής µελέτης για τους Έλληνες. Αυτό το γεγονός θα µορούσε εν µέρει να ούµε ότι οφείλεται στην ειρροή των διενέξεων ου ροέκυψαν αό τα αράδοξα του Ζήνωνα. Το γεγονός αυτό συνδέεται µε τη γενική κατεύθυνση της εξέλιξης της Μηχανικής και της Αστρονοµίας των Ελλήνων. Καµία αό αυτές τις ειστήµες δεν ξεέρασε τα όρια της οµοιόµορφης κίνησης, γιατί οι µη οµαλές κινήσεις των ουράνιων σωµάτων είχαν αναχθεί σε συνδυασµούς οµοιόµορφων κυκλικών κινήσεων. Όου ήταν δυνατό, οι κινηµατικές ιδέες εκτοίστηκαν αό τη σφαίρα των καθαρών Μαθηµατικών. Μεµονωµένες ροτάσεις ου υάρχουν στον Ευκλείδη στις οοίες χρησιµοοιούνται η κίνηση και η υέρθεση, όως και µεµονωµένες εριτώσεις κινηµατικών ορισµών των καµυλών, όως, για 9

20 αράδειγµα, της τετραγωνικής ή της ισογώνιας έλικας δεν αλλάζουν τη γενική εικόνα. Όοιες και αν είναι άντως οι ιδεολογικές ή οι κοινωνικές αιτίες και συνθήκες οι οοίες διαµόρφωσαν τα χαρακτηριστικά της ειστήµης στην αρχαιότητα όως αυτά εριγράφονται αραάνω, η µαθηµατική σκέψη αυτής της εριόδου δεν οδήγησε στη γενική έννοια είτε της µεταβλητής οσότητας είτε της συνάρτησης. Οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί δεν είχαν την έννοια της γενικής συνάρτησης ή ισοδύναµα των γενικών γεωµετρικών σχηµάτων. Ασχολήθηκαν µε συγκεκριµένα σχήµατα, όως είναι το τρίγωνο, η σφαίρα, ο κύλινδρος και οι κωνικές τοµές, και όχι µε την αόδειξη ιδιοτήτων για γενικότερα σχήµατα ου θα οδηγούσε στην ανάγκη εισαγωγής µιας ιο γενικής µορφής συνάρτησης. Εξαίρεση στον κανόνα αυτό αοτέλεσε ο Αρχιµήδης ο οοίος στο έργο του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου Α ορίζει τα αξιώµατα κυρτότητας για µια καµύλη και έτσι βρίσκεται ολύ κοντά στο γενικό ορισµό της κυρτής συνάρτησης (Νεγρεόντης, Γιωτόουλος & Γιαννακούλιας, 999). Στο εδίο των εφαρµογών, κυρίως στην Αστρονοµία, όου οι οσοτικές µέθοδοι της έρευνας υφίσταντο τη µεγαλύτερη εξέλιξη, ο κύριος στόχος ήταν η υό µορφή ίνακα ανααράσταση των συναρτήσεων οι οοίες θεωρούνταν ως σχέσεις µεταξύ διακεκριµένων συνόλων δεδοµένων σταθερών οσοτήτων και όχι ως σχέσεις µεταξύ αριθµητικών τιµών οσοτήτων ου συνδέονται συναρτησιακά η µία µε την άλλη. Αό τα αραάνω, διαφαίνεται µια οµοιότητα µε τη στατική αντίληψη της θεωρίας συνόλων του Cator, όου η διαισθητική ιδέα της µεταβλητής οσότητας είχε αναχθεί στην αλοοιηµένη ιδέα ενός συνόλου σταθερών οσοτήτων. Σε κάθε ερίτωση, οι σκέψεις των Ελλήνων µαθηµατικών γενικά αείχαν ολύ αό την κινηµατική αντίληψη µιας ρέουσας οσότητας, η οοία ήταν το χαρακτηριστικό του αειροστικού λογισµού του 7 ου,του 8 ου και του 9 ου αιώνα (Youschevitch, 976). ΜΕΣΑΙΩΝΑΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Αρκετά χρόνια µετά την αρακµή των αρχαίων Μαθηµατικών, αυτή η ειστήµη άνθησε και άλι στις Αραβικές χώρες, χωρίς να ροκαλέσει ουσιώδεις νέες εξελίξεις στην έννοια της συνάρτησης. Εν τούτοις, ο αριθµός των υό εξέταση συναρτήσεων 0

21 αυξήθηκε και οι µέθοδοι µελέτης τους βελτιώθηκαν. Έτσι γίνεται αναφορά σε όλες τις βασικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, οι µέθοδοι ταξινόµησης τους σε κατηγορίες τελειοοιούνται, και συγκεκριµένα, η τετραγωνική αρεµβολή άρχισε να χρησιµοοιείται αράλληλα µε τη γραµµική αρεµβολή, και η µελέτη των θετικών ριζών των τριτοβάθµιων ολυωνύµων µε τη βοήθεια των κωνικών τοµών ροόδευσε ουσιαστικά. Στην Οτική και στην Αστρονοµία έγινε εραιτέρω ρόοδος. Η έννοια της συνάρτησης εµφανίστηκε για ρώτη φορά σε µια ιο γενική µορφή τρεις αιώνες αργότερα στις σχολές της φυσικής φιλοσοφίας στην Οξφόρδη και στο Παρίσι. Ακολουθώντας στοχαστές όως είναι οι Grosseteste και Baco, αυτές οι δύο σχολές, οι οοίες άνθησαν τον 4 ο αιώνα, ανακήρυξαν τα Μαθηµατικά ως το κύριο εργαλείο για τη µελέτη των φυσικών φαινοµένων. Αοµακρύνθηκαν αό το Αριστοτελικό δόγµα της έντασης και της µείωσης των οιοτήτων και των µορφών, και έτσι οδηγήθηκαν στη µαθηµατική µελέτη της µη οµοιόµορφης οσοτικής και τοικής κίνησης. Ο Αριστοτέλης άρχισε να αµφισβητείται για ρώτη φορά αό αρκετούς ερευνητές του κολεγίου Merto της Οξφόρδης και η κίνηση γίνεται για ρώτη φορά αντικείµενο µαθηµατικής εεξεργασίας (Edwards, 979). Οι οιότητες ή µορφές είναι φαινόµενα όως η θερµότητα, το φως, το χρώµα, η υκνότητα, η αόσταση, η ταχύτητα κλ., οι οοίες µορούν να έχουν διάφορους βαθµούς εντάσεων και οι οοίες, γενικά, συνεχώς µεταβάλλονται εντός ορισµένων ορίων. Οι εντάσεις των µορφών ερευνώνται σε σχέση µε τις εκτάσεις τους, δηλαδή σε σχέση µε µια αµετάβλητη µορφή ου λεγόταν έκταση, όως είναι, για αράδειγµα, η οσότητα της ύλης, ο χρόνος, η αόσταση κλ. Κατά τη διάρκεια αυτών των ερευνών εµφανίστηκε µια ολόκληρη σειρά αό τις ιο βασικές έννοιες, όως είναι η στιγµιαία ταχύτητα, η ειτάχυνση, και η µεταβλητή οσότητα, ου θεωρήθηκαν ως βαθµός ή ροή της οιότητας. Μέσα σ όλα αυτά, η σύνθεση της κινηµατικής και της µαθηµατικής σκέψης έαιξε κυρίαρχο ρόλο. Ο Bourbai στα «Στοιχεία της Ιστορίας των Μαθηµατικών» (969) αρατηρεί ότι: «Όλη η κινηµατική στηρίζεται σε µια διαισθητική, και σε κάοιο βαθµό ειραµατική, ιδέα, των µεταβλητών οσοτήτων µε το χρόνο, δηλαδή των συναρτήσεων του χρόνου». Ταυτόχρονα, η ιδέα ότι οι οσοτικοί φυσικοί νόµοι ήταν νόµοι συναρτησιακού τύου ωρίµασε σταδιακά στη φυσική φιλοσοφία. Το δόγµα της έντασης των µορφών, ή, αλλιώς, η θεωρία των «υολογισµών» και το ιο σηµαντικό µέρος της, η κινηµατική, ανατύχθηκε στην Αγγλία αό τους Heytesbury, Swieshead, και άλλους, κυρίως στην κινηµατική αριθµητική

22 κατεύθυνση. Στο κολέγιο Merto της Οξφόρδης, µελετήθηκαν οι µεταβολές της ταχύτητας ή της τοικής κίνησης µε τον ίδιο τρόο, όως και οι µεταβολές της έντασης µιας ιδιότητας, ενώ στη Γαλλία, όου ο κύριος και ιο αντιροσωευτικός εκφραστής αυτής της τάσης ήταν ο Oresme (30-38), η θεωρία των «υολογισµών» ανατύχθηκε στη γεωµετρική όµως κατεύθυνση. Μεγάλο ενδιαφέρον αρουσιάζει και η θεωρία των σχηµατισµών των οιοτήτων, ή, αλλιώς, η θεωρία της οµοιοµορφίας και της µη οµοιοµορφίας των εντάσεων, δηλαδή η θεωρία του λάτους των µορφών, ου ανατύχθηκε αό τον Oresme στα µέσα του 4 ου αιώνα. Ο Oresme στην ραγµατεία του γι αυτή τη θεωρία έγραψε ότι: «Κάθε µετρήσιµο αντικείµενο, εκτός αό τους αριθµούς (τους οοίους ο Oresme, όως και οι αρχαίοι Έλληνες, κατανοούσε ως ένα σύνολο µονάδων) θεωρείται ως συνεχής οσότητα» (Clagett, 968). Εοµένως, σηµεία, γραµµές, και ειφάνειες χρησιµοοιούνται για να µετρήσουν αυτά τα αντικείµενα. Ο Oresme αριστάνει τους βαθµούς της έντασης µε τµήµατα µηκών ου αντιστοιχούν σε αυτούς τους βαθµούς, «τα λάτη» (latitudo) τοοθετούνται κάθετα άνω στη γραµµή των «µηκών» (logitudo), τα τµήµατα των οοίων ανααριστούν εκτάσεις. Ο λόγος δύο εντάσεων κάοιας οιότητας είναι ο ίδιος µε το λόγο ου έχουν τα αντίστοιχα λάτη, έτσι ώστε το λάτος και τα µήκος κάοιας οιότητας να µορούν να λαµβάνονται αντί της έντασης και της έκτασης της οιότητας. Τα άνω άκρα των λατών κάοιας οιότητας δηµιουργούν την «γραµµή της έντασης» (liea itesiois) ή, µε άλλα λόγια, τη «γραµµή της κορυφής» (liea summitatis) ου ανααριστά τη δοθείσα οιότητα και τους «βαθµούς» της. Ο Oresme αρατήρησε ότι οι εντάσεις θα µορούσαν να λέγονται µήκη οότε οι εκτάσεις θα ονοµάζονται λάτη. Σε αυτό το λαίσιο ερευνώνται «γραµµικές» (liearis) οιότητες, οι εντάσεις των οοίων κατανέµονται µεταξύ των σηµείων µιας γραµµής, αλλά υάρχουν είσης «ειφανειακές» (superficialis) και «υλικές» (corporalis) οιότητες. Οι ειφανειακές οιότητες αριστάνονται αό στερεά µε είεδες βάσεις ενώ η γεωµετρική ανααράσταση των υλικών οιοτήτων δυσκόλεψε ολύ τον Oresme. Αυτές οι θεωρίες, οι οοίες ανατύχθηκαν τον 4 ο αιώνα, χρησιµοοιούν συνειδητά τις γενικές ιδέες σχετικά µε τις ανεξάρτητες και τις εξαρτηµένες µεταβλητές οσότητες. Αυτές οι οσότητες δεν ορίζονται άµεσα αλλά καθεµία ροσδιορίζεται αό ένα ειδικό όρο. Το λάτος µιας «οιότητας» ερµηνεύεται γενικά ως µια µεταβλητή οσότητα ου εξαρτάται αό το µήκος της και, αροµοίως, η «γραµµή της κορυφής» γίνεται αντιλητή ως η γραφική ανααράσταση κάοιας

23 συνεχούς συναρτησιακής σχέσης (Crombie, & Clagett, 959). Κατά συνέεια, σε αυτές τις θεωρίες, η συνάρτηση ορίζεται είτε µε λεκτική εριγραφή της συγκεκριµένης ιδιότητας, δηλαδή του συγκεκριµένου χαρακτηριστικού, είτε άµεσα µε µια γραφική αράσταση. Με σύγχρονη ορολογία και συµβολισµό, το λάτος και το µήκος, όως είσης και τα αντίστοιχα µισά των χορδών και τα τµήµατα των διαµέτρων της αρχαίας θεωρίας των κωνικών τοµών, είναι η τεταγµένη και η τετµηµένη αντιστοίχως, µε την αρατήρηση ότι οι συντεταγµένες ου χρησιµοοιούνταν τον 4 ο αιώνα σχετίζονταν άντα µε σηµεία κάοιας καµύλης και όχι µε τυχαία σηµεία του ειέδου ου δεν έχουν καµία σχέση µε κάοια καµύλη. Η θεωρία του λάτους των µορφών διακρίνεται για την αολύτως αφηρηµένη αρχική ερµηνεία της για τα ροβλήµατα, χωρίς να δίνει σηµασία στη συγκεκριµένη µορφή ή οιότητα. Σύµφωνα µε τον Clagett, ο Oresme ταξινοµεί τα κύρια είδη των γραµµικών οιοτήτων ως εξής:. Οµοιόµορφη (οµαλή) οιότητα (qualitas uiformis) µε σταθερό λάτος και µε τη γραµµή της έντασης να είναι αράλληλη στη γραµµή των µηκών. Το αντίστοιχο σχήµα είναι ένα ορθογώνιο.. Οµοιόµορφα (οµαλά) µεταβαλλόµενη (uiformiter difformis) οιότητα ου: «...είναι εκείνη στην οοία αν ληφθούν τρία οοιαδήοτε σηµεία της γραµµής, ο λόγος της αόστασης µεταξύ του ρώτου και του δεύτερου ρος την αόσταση µεταξύ του δεύτερου και του τρίτου ισούται µε το λόγο του λεονάσµατος της έντασης του ρώτου σηµείου αό την ένταση του δεύτερου σηµείου ρος το λεόνασµα της έντασης του δεύτερου σηµείου αό την ένταση του τρίτου σηµείου. Το ρώτο αό αυτά τα τρία σηµεία ονοµάζεται σηµείο της µέγιστης έντασης» (Clagett, 968). Με σύγχρονη ορολογία και συµβολισµό, αυτή η λεκτική εριγραφή αντιστοιχεί στην εξίσωση µιας ευθείας γραµµής η οοία διέρχεται αό δύο δοθέντα σηµεία (, y ) και (, y ) y y =. y y Η γραµµή της έντασης στην ερίτωση αυτή αριστάνεται αό την υοτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου ή, εναλλακτικά, αό την κεκλιµένη άνω λευρά ενός τετραλεύρου ου έχει δύο ορθές γωνίες στη βάση του. Η διαφορά οφείλεται στο 3

24 κατά όσο αυτή η γραµµή συναντά το δοθέν τµήµα της γραµµής των µηκών στο ένα αό τα δύο άκρα του, οότε, µε την ορολογία του Oresme το λάτος είναι µηδέν, ή όχι. 3. Μη οµαλά µεταβαλλόµενες (difformiter difformis) οιότητες, στις οοίες ανήκουν όλες οι άλλες εριτώσεις. Αυτή η ιο εκτενής κλάση οιοτήτων δεν ανήκει ούτε στις οµαλές ούτε στις οµαλά µεταβαλλόµενες οιότητες (Clagett, 968). Εδώ ο Oresme διακρίνει αρχικά τέσσερα αλά (simple) είδη οιοτήτων, αυτά ου είναι κυρτά και κοίλα τόξα ενός κύκλου, όχι µεγαλύτερα αό το ηµικύκλιο, και, είσης, αρόµοια τόξα µιας έλλειψης. Στη συνέχεια ο Oresme χρησιµοοιεί τον όρο mitio (miture) για 63 «σύνθετες» (compositae) µη οµαλές µεταβολές (ανοµοιοµορφίες), των οοίων οι γραµµές της έντασης αοτελούνται αό δύο ή ερισσότερα τόξα των καµυλών ου αναφέρθηκαν αραάνω ή τµηµάτων µιας ευθείας γραµµής. Ένα σηµαντικό στοιχείο της θεωρίας των υολογισµών ή του λάτους των µορφών ήταν η µελέτη των συναρτήσεων του χρόνου χωρίς να έχουν ροηγηθεί µελέτες των αειροστών (Bourbai, 969). Ωστόσο, κατά τον Youschevitch (976), οι µελέτες των αειροστών όχι µόνο υήρχαν σε λανθάνουσα µορφή στις έννοιες της στιγµιαίας ταχύτητας και της ειτάχυνσης αλλά είσης χρησιµοοιήθηκαν ρητά στην είλυση µιας ολόκληρης σειράς ροβληµάτων, όως είναι, για αράδειγµα, τα ροβλήµατα ροσδιορισµού του εµβαδού κάοιων αεριόριστης έκτασης σχηµάτων, ή τα ροβλήµατα ροσδιορισµού της µέσης ταχύτητας σωµάτων των οοίων οι στιγµιαίες ταχύτητες αλλάζουν σταδιακά άειρες φορές σύµφωνα µε κάοιο καθορισµένο νόµο κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήµατος ου διαιρείται σε άειρο αριθµό χρονικών στιγµών. Σε αυτά τα ροβλήµατα η κύρια µέθοδος υολογισµού ήταν η άθροιση των άειρων γεωµετρικών ροόδων. Αργότερα, στα λαίσια της ίδιας θεωρίας, οι µαθηµατικοί υολόγισαν ερισσότερο ερίλοκες σειρές, των οοίων τα αθροίσµατα αριστάνονταν αό άγνωστες υερβατικές οσότητες τις οοίες έρεε να υολογίσουν ροσεγγιστικά και κατ έλλειψη και καθ υεροχή. Ένα είτευγµα, ολύ σηµαντικό για τη Μηχανική αν όχι και για τα Μαθηµατικά ήταν ο ροσδιορισµός της µέσης ταχύτητας της οµαλά ειταχυνόµενης κίνησης, χωρίς σύνδεση αυτού του ροβλήµατος µε το ρόβληµα της ελεύθερης τώσης των σωµάτων. Αυτό το είτευγµα, ου ολοκληρώθηκε ρώτα στο κολέγιο Merto της Οξφόρδης, εριγράφεται σε εργασίες των Heytesbury, Swieshead, και Dumbleto, 4

25 οι οοίοι κατέληξαν στο συµέρασµα ότι η οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση είναι ισοδύναµη µε µια οµαλή κίνηση µε ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα της ειταχυνόµενης κίνησης στο µέσο του χρόνου της οµαλά ειταχυνόµενης κίνησης. Το συµέρασµα αυτό είναι γνωστό ως το «θεώρηµα του Merto» (Clagett, 959). Ο Oresme αέδειξε αυτό το θεώρηµα αριστάνοντας τη διανυόµενη αόσταση ή την ανάλογη οσότητα, την ολική (µέση) ταχύτητα, µε το εµβαδόν ενός τριγώνου ή ενός τραεζίου (Clagett, 968). Σύµφωνα µε τον Busard (96), ο Oresme κατέληξε στο συµέρασµα ότι, για µηδενική αρχική ταχύτητα, η αόσταση αυξάνεται ανάλογα µε το τετράγωνο του χρόνου και, ότι τα διαστήµατα ου διανύονται σε ίσα χρονικά διαστήµατα αυξάνουν ανάλογα ρος τους εριττούς αριθµούς ( :3:5:7: ). Σε αυτά τα συµεράσµατα κατέληξε και ο Γαλιλαίος στη µελέτη του για την ελεύθερη τώση των σωµάτων στο κενό, ου δηµοσιεύτηκε στα έργα του «ιάλογος µεταξύ δύο µεγίστων κοσµοθεωριών», το 63, και «ιάλογοι και µαθηµατικές αοδείξεις για δύο νέες ειστήµες συνδεδεµένες µε τη µηχανική και τις τοικές κινήσεις», το 638. Εντούτοις, η αόδειξη του Γαλιλαίου για το «θεώρηµα του Merto» στηρίζεται στη µέθοδο των αδιαιρέτων, ενώ στην αόδειξη του Oresme οι αειροστικές σκέψεις αλώς υονοούνται (Youschevitch, 976). Τον 5 ο αιώνα καθώς και στο ρώτο µισό του 6 ου αιώνα η θεωρία του λάτους των µορφών και η θεωρία των υολογισµών έγιναν ευρέως αοδεκτές, ιδιαίτερα στην Αγγλία, στη Γαλλία, στην Ιταλία και στην Ισανία. Εντούτοις, οι µέθοδοι αυτών των θεωριών, τη συγκεκριµένη χρονική ερίοδο, εφαρµόστηκαν µόνο σε µεµονωµένα ροβλήµατα της Φυσικής και της Μηχανικής. Όως αναφέρει και ο Crombie (959 96): «Τον 4 ο αιώνα η ιδέα των συναρτησιακών σχέσεων ανατύχθηκε χωρίς ραγµατικές µετρήσεις και µόνο σε γενικές γραµµές». Στην εξέλιξη µερικών βασικών εννοιών των Μαθηµατικών και της Μηχανικής, συµεριλαµβανοµένης και της έννοιας της συνάρτησης, οι φυσικοί φιλόσοφοι του 4 ου αιώνα ροχώρησαν ολύ ιο έρα αό όλους τους ροκατόχους τους, και κατέληξαν σε ιδιαίτερα σηµαντικά αοτελέσµατα. Για αράδειγµα, ο Oresme ανακάλυψε την ύαρξη σχηµάτων αεριόριστης έκτασης αλλά εερασµένου εµβαδού και την αόκλιση των αρµονικών σειρών. Ωστόσο, οι δυνατότητες ου ροσέφεραν οι νέες έννοιες δεν αξιοοιήθηκαν ευρέως ούτε στα Μαθηµατικά ούτε στις εφαρµογές τους. Oι σχολές της φυσικής φιλοσοφίας της Οξφόρδης και του Παρισιού έαιξαν ένα αξιοσηµείωτο ρόλο στη δηµιουργία των Μαθηµατικών των νεότερων χρόνων και, ιδιαίτερα, στην εξέλιξη της γενικής έννοιας της συνάρτησης. Εντούτοις, αυτός ο ρόλος δεν ήταν 5

26 κυρίαρχος, καθώς µια νέα ερµηνεία των συναρτησιακών συσχετισµών ήρθε στο ροσκήνιο τον 7 ο αιώνα (Youschevitch, 976). ΝΕΟΤΕΡΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σηµαντικό ρόλο στην εραιτέρω ανάτυξη της θεωρίας των συναρτήσεων διαδραµάτισαν, αό τη µια, η αότοµη αύξηση των υολογιστικών Μαθηµατικών και, αό την άλλη, η δηµιουργία της συµβολικής Άλγεβρας µαζί µε την αντίστοιχη εέκταση της έννοιας του αριθµού, έτσι ώστε, µε το τέλος του 6 ου αιώνα, η έννοια αυτή να εριλαµβάνει όχι µόνο όλο το εδίο των ραγµατικών αριθµών αλλά είσης και τους φανταστικούς και τους µιγαδικούς αριθµούς. Αυτά ήταν τα ροκαταρκτικά στάδια στα Μαθηµατικά για την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης ως σχέσης ανάµεσα σε σύνολα αριθµών αρά ως σχέσης ανάµεσα σε «οσότητες» και για την αναλυτική ανααράσταση των συναρτήσεων µε τύους. Ενδεικτικά µορούµε να αναφέρουµε την ρόοδο στην τριγωνοµετρία και την ανακάλυψη των λογαρίθµων. Ωστόσο, αυτό στο οοίο ρέει ειδικά να δοθεί έµφαση, είναι η εισαγωγή ολυάριθµων συµβόλων για µαθηµατικές ράξεις και σχέσεις, όως είναι τα σύµβολα της ρόσθεσης, της αφαίρεσης, των δυνάµεων και της ισότητας και, κυρίως, η εισαγωγή συµβόλων για άγνωστες οσότητες και αραµέτρους, τις οοίες ο Γάλλος µαθηµατικός Fracois Viète ( ) συµβόλισε, το 59, µε τα φωνήεντα A, E, I,... και τα σύµφωνα B, G, D,... του Λατινικού αλφαβήτου αντιστοίχως. Η εισαγωγή αυτού του συµβολισµού οδήγησε στη γρατή συµβολική µορφή αλγεβρικών εξισώσεων και εκφράσεων ου εριέχουν άγνωστες οσότητες και τυχαίους συντελεστές. Ο Viète διαχώρισε τις γνωστές αραµέτρους αό τις άγνωστες µεταβλητές σε µια αλγεβρική εξίσωση, και συνέβαλε σε µεγάλο βαθµό στη µετατόιση του ενδιαφέροντος, κατά τον 7 ο αιώνα, αό τη µελέτη ειδικών ροβληµάτων και καταστάσεων στη διερεύνηση των γενικών µεθόδων (Νεγρεόντης, Γιωτόουλος & Γιαννακούλιας, 999). Ωστόσο, ο δηµιουργός της νέας Άλγεβρας δεν χρησιµοοίησε την αξιοσηµείωτη ανακάλυψη του εραιτέρω στην έννοια της συνάρτησης: η «συναρτησιακή σκέψη» δεν ήταν χαρακτηριστική του µυαλού του Viète (Youschevitch, 976). 6

27 Αό τις αρχές του 7 ου αιώνα, η νέα έννοια των οσοτικών νόµων της φύσης ου καθιερώνει συναρτησιακές σχέσεις µεταξύ των αριθµητικών τιµών φυσικών οσοτήτων αοκτούσε δύναµη σε συνεχώς αυξανόµενο βαθµό και γινόταν όλο και ιο ολύ το χαρακτηριστικό γνώρισµα ειστηµών, όως της Μηχανικής και της Αστρονοµίας. Είσης, η µελέτη της κίνησης ήταν ένα αό τα βασικά ροβλήµατα ου αασχόλησαν τους ειστήµονες και τους µαθηµατικούς αυτού του αιώνα. Αν και η Αστρονοµία του Johaes Kepler (57 630) ήταν αοδεκτή στις αρχές του 7 ου αιώνα, ιδιαίτερα µετά αό τις αρατηρήσεις του Γαλιλαίου ου έδωσαν ρόσθετες αοδείξεις για την ηλιοκεντρική θεωρία, ο νόµος του Kepler για την ελλειτική κίνηση αµφισβητήθηκε µε το ειχείρηµα ότι οι διάφοροι λανήτες αρεµοδίζουν την ελλειτική κίνηση ενός οοιουδήοτε λανήτη και ότι ο ήλιος αρεµοδίζει την ελλειτική κίνηση της σελήνης γύρω αό τη γη. Ο Kepler ρότεινε την έννοια της δύναµης της βαρύτητας ου ασκείται µεταξύ δύο οοιονδήοτε σωµάτων, και έτσι ροέκυψε το ρόβληµα της βελτίωσης του υολογισµού των θέσεων των λανητών. Ειλέον, ο Kepler είχε καταλήξει στους νόµους του ουσιαστικά ροσαρµόζοντας καµύλες σε αστρονοµικά δεδοµένα, χωρίς να εξηγήσει (µε την ορολογία των θεµελιωδών νόµων της κίνησης) γιατί οι λανήτες κινούνται σε ελλειτικές τροχιές. Έτσι, το βασικό ρόβληµα της ροέλευσης των νόµων του Kepler αό τους νόµους της κίνησης ήταν καθαρή ρόκληση. Η βελτίωση της αστρονοµικής θεωρίας είχε είσης ένα ρακτικό στόχο (Klie, 97). Οι Ευρωαίοι, για εµορικούς λόγους, είχαν ανατύξει τη ναυσιλοΐα, και κατά συνέεια οι ναυτικοί είχαν ανάγκη ακριβείς µεθόδους ροσδιορισµού του γεωγραφικού λάτους και του γεωγραφικού µήκους. Ο ροσδιορισµός του γεωγραφικού λάτους µορούσε να γίνει µε ευθεία αρατήρηση του ήλιου ή των άστρων, αλλά ο ροσδιορισµός του γεωγραφικού µήκους ήταν ολύ ιο δύσκολος. Οι ειστήµονες του 7 ου αιώνα αντιµετώισαν είσης το ρόβληµα της εξήγησης των κινήσεων της γης. Αό την ηλιοκεντρική θεωρία, σύµφωνα µε την οοία η γη εριστρεφόταν γύρω αό τον ήλιο, ροέκυψαν διάφορα ερωτήµατα σχετικά µε την ελεύθερη τώση των αντικειµένων στη γη. Ειλέον, όλες οι κινήσεις, η κίνηση του βλήµατος για αράδειγµα, φαινόταν ότι ραγµατοοιούνται σαν η γη να ήταν ακίνητη. Αυτές οι ερωτήσεις τράβηξαν την ροσοχή ολλών ειστηµόνων, συµεριλαµβανοµένων των Carda, Tartaglia, Γαλιλαίου, και Newto. Οι τροχιές των βληµάτων, τα ύψη στα οοία θα µορούσαν να φτάσουν, η είδραση της ταχύτητας 7

28 στο ύψος ήταν βασικά ερωτήµατα εκείνης της εοχής και νέοι νόµοι της κίνησης ήταν ααραίτητοι για να εξηγήσουν αυτά τα γήινα φαινόµενα. Αό τη µελέτη των διάφορων ροβληµάτων της κίνησης ροέκυψε το ειδικότερο ρόβληµα του σχεδιασµού ακριβέστερων µεθόδων µέτρησης του χρόνου, γιατί τα µηχανικά ρολόγια, ου χρησιµοοιούνταν αό το 348, δεν ήταν ολύ ακριβή. Ο Φλαµανδός χαρτογράφος Gemma Frisius ( ) είχε ροτείνει τη χρήση ενός ρολογιού για τον ροσδιορισµό του γεωγραφικού µήκους. Το ρολόι ενός λοίου ρυθµιζόταν στην ώρα ενός τόου γνωστού γεωγραφικού µήκους, και εειδή ο ροσδιορισµός της τοικής ώρας αό τη θέση του ήλιου, για αράδειγµα, ήταν σχετικά αλός, οι ναυτικοί έρεε αλά να σηµειώσουν τη διαφορά ώρας και να τη µεταφράσουν άµεσα σε διαφορά στο γεωγραφικό µήκος. Ωστόσο, κανένα ανθεκτικό και ακριβές ρολόι δεν ήταν διαθέσιµο εκείνα τα χρόνια (Klie, 97). Η κίνηση του εκκρεµούς φάνηκε ότι θα δώσει το βασικό µηχανισµό για τη µέτρηση του χρόνου. Ο Γαλιλαίος (Galileo Galilei, ) αρατήρησε ότι ο χρόνος για µια λήρη αιώρηση ενός εκκρεµούς ήταν σταθερός και φαινοµενικά ανεξάρτητος αό το εύρος της ταλάντωσης. Χωρίς να έχει στη διάθεση του ρολόι ακριβείας, χρονοµέτρησε την αιώρηση ενός ολυελαίου, ου ταλαντωνόταν υό την είδραση του αέρα, µε τη µέτρηση των σφυγµών του και «τη στιγµή ου τα δύο ανοµοιογενή µεγέθη χρόνου και µήκους µήκαν σε αναλογία, τα Μαθηµατικά βρήκαν τρόο ν ανααραστήσουν την κίνηση του κόσµου» (Σύρου, 000). Ο Γαλιλαίος µε τις αρατηρήσεις του ροετοίµασε το έδαφος για το σχεδιασµό ενός εκκρεµούς ρολογιού, αλλά οι Robert Hooe και Cristiaa Huyges (69 695), υήρξαν οι ειστήµονες ου έκαναν τη βασική εργασία σ αυτό το θέµα. Ειδικότερα, ο Ολλανδός φυσικός Huyges ροσαθώντας και αυτός να λύσει το ρόβληµα της εύρεσης του γεωγραφικού µήκους, κατασκεύασε το εκκρεµές ρολόι, ου ήταν ααραίτητο για τη µέτρηση του χρόνου. Το εκκρεµές ρολόι αοδείχτηκε ολύτιµο όχι µόνο για τη µέτρηση του χρόνου στα σίτια και στις ειχειρήσεις, αλλά και στις ειστηµονικές εργασίες. Συγκεκριµένα, ο Huyges δηµοσίευσε το «Horologium Oscillatorium» (Εκκρεµές Ωρολόγιο, 673) ου συνέβαλε σηµαντικά στη διατύωση της θεωρίας της βαρύτητας αό τον Newto. Κατά τους ιστορικούς (Strui, 98) το «Horologium Oscillatorium» και το «Arithmetica Ifiitorum» του Wallis ήταν για εκείνη την εοχή η ιο ροχωρηµένη µορφή του αειροστικού λογισµού. Αό τη µελέτη της κίνησης τα Μαθηµατικά άντλησαν µια θεµελιώδη έννοια ου ήταν κεντρική ρακτικά σ όλες τις εργασίες για τα εόµενα διακόσια χρόνια την 8