ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές."

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαανειστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετατυχιακών Σουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η Έννοια της Συνάρτησης. Αό την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια ολυώνυµα και τις εφαρµογές. Αγγελική Χόρτη Ειβλέων Καθηγητής Ευστάθιος Γιαννακούλιας Αθήνα Μάρτιος 00

2 Η αρούσα ιλωµατική Εργασία εκονήθηκε στα λαίσια των σουδών για την αόκτηση του Μετατυχιακού ιλώµατο Ειδίκευση ου αονέµει το ιαανειστηµιακό ακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετατυχιακών Σουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την αό Εξεταστική Ειτροή αοτελούµενη αό του : Ονοµατεώνυµο Βαθµίδα Υογραφή ) Ευστάθιο Γιαννακούλια Αναλ. Καθηγητή (Ειβλέων Καθηγητή ) ) ιονύσιο Λάα Αναλ. Καθηγητή 3) Χριστόδουλο Αθανασιάδη Καθηγητή

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η αρούσα διλωµατική εργασία εκονήθηκε στα λαίσια ολοκλήρωσης των σουδών µου στο ιαανειστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετατυχιακών Σουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών». Ευχαριστώ θερµά: Τον Ειβλέοντα της διλωµατικής εργασίας µου, Αναληρωτή Καθηγητή κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια, για την ολύτιµη βοήθεια του στην ειλογή και διαµόρφωση του θέµατος, για το χρόνο ου διέθεσε, καθώς και για την διακριτική είβλεψη του. Τον Αναληρωτή Καθηγητή κ. ιονύσιο Λάα, καθώς και τον Καθηγητή κ. Χριστόδουλο Αθανασιάδη, για τις χρήσιµες υοδείξεις τους σχετικά µε την ολοκλήρωση της αρούσας εργασίας, και για την ευγενή διάθεση τους να συµµετέχουν στην Τριµελή Εξεταστική Ειτροή. Τον φίλο και συνάδελφο κ. Αθανάσιο Τζιώτζιο για τις υοδείξεις και τη βοήθεια του στην κατασκευή των σχηµάτων αυτής της εργασίας. Μάρτιος 00 Αγγελική Χόρτη 3

4 «Αφιερωµένη Στον ατέρα µου» 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κατάλογος σχηµάτων 7 Πρόλογος 8 I. Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εισαγωγή 0 Αρχαιότητα Πινακοοιηµένες Συναρτήσεις «Συµτώµατα» κωνικών τοµών 4 Η γενική έννοια της συνάρτησης στην Αρχαιότητα 6 Μεσαίωνας Κινηµατική και γεωµετρική ανααράσταση συναρτησιακών σχέσεων 0 Νεότερη Περίοδος Το ρόβληµα της µελέτης της κίνησης και της µέτρησης του χρόνου 6 Η µεταβλητή οσότητα του Descartes: Αλγεβρικές συναρτήσεις 30 Η έννοια της συνάρτησης κατά Newto και Leibiz 35 Η συνάρτηση ως αυθαίρετη αναλυτική έκφραση 39 Αναλυτικές συναρτήσεις 46 Συνεχείς και ασυνεχείς συναρτήσεις κατά τον Euler 49 Ο γενικός ορισµός του Euler για τη συνάρτηση 56 Κριτική της έννοιας των µικτών συναρτήσεων και της αναλυτικής ανααράστασης των συναρτήσεων 60 Η αναγνώριση του γενικού ορισµού του Euler 65 Ο ιστορικός ρόλος του γενικού ορισµού του Euler 70 II. ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ Εσωτερικά γινόµενα 73 Μήκος, µέτρο γωνίας, αόσταση 76 Ορθογωνιότητα 80 Ορθογωνιοοίηση 87 Κάθετες ροβολές και αόσταση σε υόχωρο 95 Εφαρµογές 99 5

6 III. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ Εισαγωγικά στοιχεία Χώρος µε εσωτερικό γινόµενο Χώρος Hilbert 3 Ορθογώνιο συµλήρωµα και ευθύ άθροισµα 4 Ορθοκανονικά σύνολα και ακολουθίες 30 Σειρές µε ορθοκανονικές ακολουθίες και σύνολα 40 Ολικά ορθοκανονικά σύνολα και ακολουθίες 49 Πολυώνυµα Legedre, Hermite και Laguerre Ιστορικά στοιχεία 58 Πολυώνυµα Legedre 60 Πολυώνυµα Hermite 68 Πολυώνυµα Laguerre 74 IV. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γραµµική ανεξαρτησία λύσεων οµογενούς γραµµικής.ε. 76 Προβλήµατα συνοριακών τιµών για συνήθεις.ε. δεύτερης τάξης Εισαγωγικές έννοιες 84 Προβλήµατα Sturm Liouville 85 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ξενόγλωσσες 96 Ελληνόγλωσσες 00 6

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ο διαφορικός λογισµός του Leibiz 38. Μήκος διανύσµατος στον 3. Αόσταση δύο διανυσµάτων στον R 76 R Ορθογωνιότητα δύο διανυσµάτων σε ένα Ευκλείδειο χώρο 8 5. Μέθοδος ορθογωνιοοίησης των Gram Schmidt στον 6. Μέθοδος ορθογωνιοοίησης των Gram Schmidt στον 7. Παράδειγµα ορθογωνιοοίησης µιας βάσης του 8. Συντεταγµένες διανύσµατος ως ρος µια ορθοκανονική βάση του 9. Αόσταση διανύσµατος αό ένα υόχωρο του R 88 3 R 89 3 R 90 3 R 94 3 R Κάθετη ροβολή και αόσταση διανύσµατος αό τον υόχωρο W ενός Ευκλείδειου χώρου V 97. Αόσταση διανύσµατος αό τον µονοδιάστατο υόχωρο L ενός Ευκλείδειου χώρου V 99. Παράδειγµα υολογισµού της αόστασης ενός διανύσµατος αό µια γραµµή του R 0 3. Νόµος του αραλληλογράµµου στον 4. Βέλτιστη ροσέγγιση του R αό το R 5 M R 4 5. Ανααράσταση ενός χώρου Hilbert ως ευθύ άθροισµα ενός κλειστού υόχωρου και του ορθογώνιου συµληρώµατος του (Θεώρηµα ροβολής) Ανααράσταση του 7. Πυθαγόρειο Θεώρηµα στον 3 R ως ρος ένα ορθοκανονικό σύνολο του χώρου 3 R 3 8. Μέθοδος ορθοκανονικοοίησης των Gram Schmidt σε ένα Ευκλείδειο χώρο ( ο βήµα) Μέθοδος ορθοκανονικοοίησης των Gram Schmidt σε ένα Ευκλείδειο χώρο (Γενίκευση) Γραφική αράσταση της εριοδικής συνάρτησης µε ερίοδο, όου ( t) = t αν t [, ) και ( t) = t αν t [,3 ) 4. Γραφικές αραστάσεις των έξι ρώτων ολυωνύµων Legedre 6. Γραφικές αραστάσεις των έξι ρώτων ολυωνύµων Hermite Γραφικές αραστάσεις των έξι ρώτων ολυωνύµων Laguerre 75 7

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η έννοια της συνάρτησης εµλέκεται άµεσα ή έµµεσα σε ολλά εδία των Μαθηµατικών και των εφαρµογών τους. Για αράδειγµα, στη Μαθηµατική Ανάλυση εξετάζονται οι ιδιότητες συναρτήσεων µιας ή ολλών µεταβλητών, καθώς και οι ιδιότητες των αραγώγων τους. Οι θεωρίες των διαφορικών και των ολοκληρωτικών εξισώσεων εφαρµόζονται στην είλυση εξισώσεων, όου οι άγνωστοι είναι συναρτήσεις, και στη Συναρτησιακή Ανάλυση µελετώνται χώροι συναρτήσεων (Pote, 99). Ειλέον, τα Αναλυτικά Προγράµµατα ιδασκαλίας των Μαθηµατικών και άλλων µαθηµάτων της ευτεροβάθµιας Εκαίδευσης αναδεικνύουν ολλές µορφές αυτής της θεµελιώδους έννοιας. Σκοός της αρούσας εργασίας είναι να αρουσιαστούν η ορεία και η ιστορική εµειρία ου διαµόρφωσαν την σύγχρονη έννοια της συνάρτησης, να αναδειχθούν µερικές εφαρµογές της θεωρίας των Ευκλείδειων χώρων στην Ανάλυση, καθώς και να µελετηθούν οι ιδιότητες κάοιων ειδικών συναρτήσεων, των ορθογώνιων ολυωνύµων, µέσα αό τη γενίκευση των εννοιών του εσωτερικού γινοµένου και της καθετότητας ου εριλαµβάνονται στο σχολικό εγχειρίδιο των Μαθηµατικών Κατεύθυνσης της Β Λυκείου. Στο ρώτο µέρος της εργασίας αρατίθενται οι αόψεις ολλών συγγραφέων σχετικά µε το ότε εµφανίστηκε για ρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης, η οοία ανατύχθηκε ουσιαστικά µέσα αό την ροσάθεια µαθηµατικής ερµηνείας διάφορων φυσικών ροβληµάτων. Ειλέον, ραγµατοοιείται µια λετοµερής µελέτη της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης, αό τις ινακοοιηµένες συναρτήσεις των Ελλήνων µαθηµατικών της Αρχαιότητας µέχρι το γενικό ορισµό του Euler, ου οδήγησε σταδιακά στην έννοια της συνάρτησης ου διατυώθηκε αό τους Fourier, Lobatchevsy, και Dirichlet στα µέσα του 9 ου αιώνα. Στο δεύτερο µέρος, µε αφετηρία την έννοια του εσωτερικού γινοµένου, εκτίθεται η εέκταση βασικών εννοιών της Ευκλείδειας Γεωµετρίας σε Ευκλείδειους ραγµατικούς χώρους συνεχών συναρτήσεων. Χρησιµοοιώντας τους αντίστοιχους τύους της Αναλυτικής Γεωµετρίας και την ορολογία του εσωτερικού γινοµένου στο δισδιάστατο είεδο R και στον τρισδιάστατο χώρο 3 R, το µήκος διανύσµατος, η αόσταση και η καθετότητα δύο διανυσµάτων, η κάθετη ροβολή διανύσµατος σε είεδο και η αόσταση διανύσµατος αό είεδο, γενικεύονται για αυθαίρετους 8

9 ραγµατικούς διανυσµατικούς χώρους µε εσωτερικό γινόµενο. Η διαδικασία ορθογωνιοοίησης µιας βάσης του R γενικεύεται για ένα τυχαίο σύνολο, εερασµένο ή άειρο, γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων ενός Ευκλείδειου χώρου (µέθοδος ορθογωνιοοίησης των Gram Schmidt). Ως εφαρµογή της θεωρίας των Ευκλείδειων χώρων αρουσιάζεται το ρόβληµα της βέλτιστης ροσέγγισης ραγµατικών συναρτήσεων. Στο τρίτο µέρος ραγµατοοιείται η εραιτέρω εέκταση των ροηγούµενων εννοιών και διαδικασιών σε λήρεις ραγµατικούς ή µιγαδικούς χώρους µε εσωτερικό γινόµενο, δηλαδή σε χώρους Hilbert. Παρουσιάζονται µερικά αό τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα αυτών των χώρων, όως, για αράδειγµα, οι ανααραστάσεις ενός χώρου Hilbert ως ευθύ άθροισµα ενός κλειστού υόχωρου και του ορθογώνιου συµληρώµατος του, τα ολικά ορθοκανονικά σύνολα και ακολουθίες, και οι αντίστοιχες µοναδικές ανααραστάσεις των στοιχείων του χώρου αό τις συντεταγµένες τους ως ρος µια ορθοκανονική ακολουθία. Ως εφαρµογές της θεωρίας των χώρων Hilbert, οι γενικές σειρές Fourier εκφράζονται µε την ορολογία και το φορµαλισµό των ορθοκανονικών ακολουθιών και συνόλων, και µελετώνται µερικές ολικές ορθογώνιες και ορθοκανονικές ακολουθίες, ου κατασκευάζονται µε τη µέθοδο ορθοκανονικοοίησης των Gram Schmidt, και χρησιµοοιούνται συχνά σε ρακτικά ροβλήµατα των Μαθηµατικών και της Φυσικής. Αυτές οι ακολουθίες εµλέκουν τις γνωστές ακολουθίες των ορθογώνιων ολυωνύµων Legedre, Hermite και Laguerre, ου είναι λύσεις των οµώνυµων οµογενών γραµµικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Στο τέταρτο µέρος της εργασίας αρουσιάζονται εφαρµογές της θεωρίας των Ευκλείδειων χώρων στις διαφορικές εξισώσεις. Χρησιµοοιώντας την έννοια του εσωτερικού γινοµένου, αοδεικνύεται η γραµµική ανεξαρτησία των λύσεων µιας οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης νιοστής τάξης µε σταθερούς συντελεστές, στο χώρο των συνεχών ραγµατικών συναρτήσεων σε τυχαίο εερασµένο ή άειρο διάστηµα. Τέλος, ειλύονται ροβλήµατα συνοριακών τιµών τύου Sturm Liouville, δηλαδή.σ.τ. τέτοια ώστε οι ιδιοσυναρτήσεις ου αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές να είναι ορθογώνιες συναρτήσεις. 9

10 I. Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική στην ειστήµη των Μαθηµατικών και ροέρχεται αό τη γενικότερη τάση του ανθρώου να συσχετίζει οσότητες. Αυτή η τάση είναι τόσο αρχαία όσο και τα ίδια τα Μαθηµατικά. Η ιδέα της αλληλεξάρτησης δύο οσοτήτων ξεήδησε, όως ήταν φυσικό, στην ελληνική ειστήµη των κλασικών χρόνων, όου και χρησιµοοιήθηκε στη Γεωµετρία. Ωστόσο, η ορεία ου οδήγησε αό τους αλούς συσχετισµούς οσοτήτων στη σύγχρονη έννοια της συνάρτησης είναι µακρόχρονη και ερίλοκη (Σύρου & Γαγάτσης). Ειλέον, οι αόψεις ολλών συγγραφέων είναι συχνά διαφορετικές µεταξύ τους, και συγκεκριµένα δε συµφωνούν για το ότε εµφανίστηκε για ρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης. Κατά τον Youschevitch (976), η εικρατέστερη άοψη είναι αυτή ου διατυώνει ο Smith (958) στο βιβλίο του «Η Ιστορία των Μαθηµατικών»: «Η ραγµατική ιδέα του συναρτησιακού συσχετισµού(fuctioality), όως φαίνεται µέσα αό τη χρήση των συντεταγµένων, εκφράστηκε για ρώτη φορά καθαρά και δηµόσια αό τον Καρτέσιο». Ωστόσο, η άοψη του Boyer (959), ου διατυώνεται σχετικά µε τις εργασίες του Fermat, σύγχρονου του Καρτέσιου, είναι ότι: «Η έννοια της συνάρτησης και τα σύµβολα ου αριστάνουν µεταβλητές δε φαίνεται να υάρχουν στο έργο κάοιου µαθηµατικού της εοχής αυτής». Αό την άλλη, οι Harter & Schramm (963) υοθέτουν ότι: «Το ερώτηµα της γέννησης και της ανάτυξης της έννοιας της συνάρτησης σχετίζεται, συνήθως και σχεδόν αοκλειστικά, µε την Καρτεσιανή ανάλυση Οι ράξεις µε συναρτήσεις είχαν ήδη φτάσει σε µεγάλο βαθµό τελειότητας, όταν έγιναν οι ρώτες αόειρες για να διαµορφωθεί η γενική έννοια των συναρτήσεων». Οι ίδιοι συγγραφείς υοστηρίζουν ότι ράξεις µε συναρτήσεις υάρχουν σε αστρονοµικούς υολογισµούς µαθηµατικών της αρχαιότητας, όως του Πτολεµαίου, αλλά και σε έργα Αράβων, όως σε εργασίες του Αl Birui. Στο βιβλίο του «Η Ιστορία της Αναλυτικής Γεωµετρίας» (956) ο Boyer δίνει έµφαση σε άλλα ρότυα συναρτήσεων στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά και ισχυρίζεται ότι: «H χρήση των αναλογιών ήταν κατά κάοιο τρόο ισοδύναµη, αν και ιο εριορισµένα, µε τη σύγχρονη χρήση των εξισώσεων ως εκφράσεων συναρτησιακών σχέσεων». Στο ίδιο µήκος κύµατος µε τον Boyer βρίσκονται και οι 0

11 συγγραφείς Hofma (963) και Crombie (959 96), οι οοίοι συσχετίζουν τις γεωµετρικές εκφράσεις των συναρτήσεων και τον υολογισµό των τιµών τους µε τη θεωρία των υολογισµών και µε τη θεωρία του λάτους των µορφών του 4 ου αιώνα. Εντούτοις, ο Wieleiter (9 93) υέθεσε ότι η ιδέα της συνάρτησης στην τελευταία θεωρία δεν εριείχε, ούτε στο ελάχιστο, την έννοια της εξάρτησης ενός µεγέθους αό ένα άλλο. Αντιθέτως, ο Bell (945) διατύωσε τη γνώµη ότι ακόµα και οι Βαβυλώνιοι Μαθηµατικοί είχαν το ένστικτο του συναρτησιακού συσχετισµού (istict for fuctioality), και ο Pederse (974) εξέφρασε την άοψη ότι η ιδέα της συνάρτησης υήρχε στα Μαθηµατικά αό την αρχαιότητα. Βλέουµε λοιόν ότι υάρχει µια µεγάλη οικιλία ίδιων ή διαφορετικών αόψεων. Κάοιες αό αυτές τις αόψεις είναι σωστές, ενώ κάοιες άλλες είναι λανθασµένες ή τουλάχιστον ατελείς. Πάντως τον 9 ο αιώνα, ο κλασικός ορισµός της συνάρτησης ου υήρχε σχεδόν σε κάθε ραγµατεία εί της µαθηµατικής ανάλυσης συνήθως αοδιδόταν είτε στον Dirichlet (837) είτε στον Lobatchevsy (834). Εντούτοις, µιλώντας ιστορικά, αυτή η γενική άοψη είναι ανακριβής γιατί η γενική έννοια της συνάρτησης ως µιας αυθαίρετης σχέσης ανάµεσα σε ζεύγη στοιχείων, το καθένα αό τα οοία αίρνει τιµές αό το δικό του σύνολο, ήρε τη µορφή της ολύ νωρίτερα, στα µέσα του 8 ου αιώνα. Κατά τον Youschevitch (976), τα κύρια στάδια της εξέλιξης της ιδέας της συνάρτησης µέχρι τα µέσα του 9 ου αιώνα είναι: ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ: Σ αυτό το στάδιο η µελέτη συγκεκριµένων σχέσεων εξάρτησης µεταξύ δύο οσοτήτων δεν οδήγησε στη γενική έννοια της µεταβλητής και της συνάρτησης. ΜΕΣΑΙΩΝΑΣ: Αυτό είναι το στάδιο κατά το οοίο, στην ευρωαϊκή ειστήµη του 4 ου αιώνα, η γενική έννοια διατυώθηκε και µε γεωµετρικές και µε µηχανικές εκφράσεις. Αλλά σ αυτό το στάδιο, όως και στην αρχαιότητα, κάθε σχέση εξάρτησης ανάµεσα σε δύο οσότητες ορίστηκε µέσω λεκτικής εριγραφής ή µέσω γραφήµατος και όχι αό ένα τύο. ΝΕΟΤΕΡΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Είναι η ερίοδος ου ξεκινάει στα τέλη του 6 ου αιώνα, και κυρίως, κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα. Στο τέλος του 6 ου αιώνα η ανάτυξη της Αστρονοµίας και της ναυσιλοΐας δηµιούργησε µεγάλες ανάγκες για ακριβείς και σύντοµους αριθµητικούς υολογισµούς µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις και οδήγησε στην ανάτυξη των λογαριθµικών ινάκων, ενώ στις αρχές του 7 ου αιώνα, ο Γαλιλαίος, ο Kepler και άλλοι ειστήµονες άρχισαν ν ανατύσσουν την Κινηµατική,

12 και ο Descartes, εηρεασµένος αό τις εργασίες τους, εισήγαγε στα Μαθηµατικά τη γενική έννοια του µεταβλητού µεγέθους. Σύµφωνα µε τον Klie (97), κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα αρουσιάστηκαν και χρησιµοοιήθηκαν η έννοια της συνάρτησης και οι ιο αλές αλγεβρικές και υερβατικές συναρτήσεις. Καθώς οι Leibiz, James και Joha Beroulli, L Hôpital, Huyges, και Varigo άρχισαν να ασχολούνται µε ροβλήµατα όως η κίνηση ενός εκκρεµούς, το σχήµα µιας χορδής ου είναι στερεωµένη αό δύο σταθερά σηµεία, η κίνηση κατά µήκος καµύλων τροχιών, και οι καµύλες ου αρουσιάζονται στην ανάκλαση και στη διάθλαση του φωτός, όχι µόνο χρησιµοοίησαν τις ήδη γνωστές συναρτήσεις αλλά κατέληξαν σε ιο σύνθετες µορφές των θεµελιωδών συναρτήσεων. Ως συνέεια αυτών των ερευνών και της γενικής εργασίας στο λογισµό, οι στοιχειώδεις συναρτήσεις αναγνωρίστηκαν λήρως και εεκτάθηκαν κατά κάοιο τρόο στη σύγχρονη µορφή τους. Ωστόσο, ριν η έννοια της συνάρτησης καθιερωθεί λήρως, οι ερισσότερες αό τις συναρτήσεις ου αρουσιάστηκαν κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα, για αράδειγµα, οι στοιχειώδεις υερβατικές συναρτήσεις log,si, και a, µελετήθηκαν ρώτα ως καµύλες ου ροσεγγίστηκαν ως γεωµετρικοί τόοι (Klie, 97). Εντούτοις, οι όροι και ο συµβολισµός για τους διάφορους τύους των συναρτήσεων ου αριστάνονται α αυτές τις καµύλες εµφανίστηκαν σταδιακά. Ειλέον, κατά τη διάρκεια του 7 ου αιώνα άρχισαν να εικρατούν οι αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων. Η κλάση των αναλυτικών συναρτήσεων εκφραζόταν µε αθροίσµατα αείρων δυναµοσειρών και σύντοµα έγινε η κύρια κλάση ου χρησιµοοιείτο. Η αναλυτική µέθοδος αρουσίασης των συναρτήσεων έφερε εανάσταση στα Μαθηµατικά και εξασφάλισε για την έννοια της συνάρτησης µια κεντρική θέση σε όλες τις συναφείς ειστήµες. Ωστόσο, αρά την αοδοτικότητά της, κατά τα µέσα του 8 ου αιώνα η ανααράσταση των συναρτήσεων ως αναλυτικών εκφράσεων αοδείχθηκε αό µόνη της ανεαρκής και έτσι ένας νέος γενικός ορισµός της συνάρτησης εµφανίστηκε κατά τη διάρκεια αυτής της εριόδου και αργότερα έγινε αγκόσµια αοδεκτός στη µαθηµατική ανάλυση. Στο δεύτερο µισό του 9 ου αιώνα αυτός ο γενικός ορισµός διεύρυνε τις δυνατότητες για την ανάτυξη της θεωρίας των συναρτήσεων, αλλά αρουσιάστηκαν δυσκολίες στη λογική ενότητα της µαθηµατικής σκέψης, οι οοίες τον 0 ο αιώνα δηµιούργησαν την ανάγκη να αναθεωρηθεί η έννοια της συνάρτησης,

13 όως είχαν αναθεωρηθεί και οι άλλες κύριες έννοιες της µαθηµατικής ανάλυσης. Αυτές οι δύο ερίοδοι συνδέονται µε τη θεωρία των συναρτήσεων και µε τη µαθηµατική λογική αντίστοιχα και χαρακτηρίζονται αό τη συνεχιζόµενη διαµάχη µεταξύ των διαφορετικών αόψεων (Youschevitch, 976). Με τη γενικότερη έννοια η συνάρτηση y της µεταβλητής, y= f ( ), είναι µια σχέση ανάµεσα σε ζεύγη στοιχείων αό δύο αριθµητικά σύνολα, X και Y, έτσι ώστε σε κάθε στοιχείο αό το ρώτο σύνολο X αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y αό το δεύτερο σύνολο Y σύµφωνα µε κάοιο συγκεκριµένο κανόνα. Αό τη φύση του αραάνω ορισµού ροκύτουν αρκετές λογικές δυσκολίες, όµως αυτός ο κανόνας µορεί να δοθεί µε οικίλους τρόους: λεκτικά, µε ίνακα τιµών των και y, µε µια αναλυτική έκφραση (τύο), µε γράφηµα, κλ., έτσι ώστε να είναι ορισµένη και σαφής η κατάσταση ου υοδηλώνεται α αυτό τον κανόνα και να µορεί να βρεθεί το y όταν δίνεται η τιµή του. Η ιδέα της συνάρτησης, όως κατανοείται µε τον ένα ή µε τον άλλο τρόο, εριλαµβάνει κανόνες για τη µέτρηση των ειφανειών των ιο αλών και γνωστών αό αλιά σχηµάτων όως είναι τα ορθογώνια, οι κύκλοι κλ. Η ιδέα αυτή υάρχει και στους ρώτους ίνακες (µερικοί αό τους οοίους είναι ίνακες συναρτήσεων δύο µεταβλητών) ρόσθεσης, ολλαλασιασµού, διαίρεσης, κλ., οι οοίοι χρησιµοοιήθηκαν για να διευκολύνουν τους υολογισµούς. Οι σχέσεις µεταξύ αριθµών ή γενικότερα οι σχέσεις µεταξύ οσοτήτων εµφανίζονται συνεχώς στα στοιχειώδη Μαθηµατικά. Παρόλα αυτά, αυτό το γεγονός δεν αρκεί για να αντιληφθούµε το σχηµατισµό της ιδέας της συνάρτησης, τη γενίκευση της και τη σταδιακή κατανόηση της, καθώς και το σταθερό νόηµα ου αέκτησε µε την ρόοδο της ειστηµονικής και της φιλοσοφικής σκέψης και, τέλος για να αντιληφθούµε το ρόλο ου διαδραµάτισε στα διάφορα στάδια αυτής της εξέλιξης. 3

14 ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ «ΣΥΜΠΤΩΜΑΤΑ» ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Όως αναφέρθηκε αραάνω, το ρώτο στάδιο στη γέννηση της έννοιας της συνάρτησης ήταν αυτό της Αρχαιότητας. Αό το 000 Π.Χ. οι Βαβυλώνιοι µαθηµατικοί χρησιµοοιούσαν ευρέως για τους υολογισµούς τους ολλούς ίνακες, όως, για αράδειγµα, εξηκονταδικούς ίνακες αντίστροφων φυσικών αριθµών, τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών, κύβων και κυβικών ριζών. Πίνακες συναρτήσεων δύο διαφορετικών τύων, των κλιµακωτών συναρτήσεων και των γραµµικών συναρτήσεων (Neugebauer, 957), χρησιµοοιήθηκαν στην Αστρονοµία των Βαβυλωνίων κατά τη διάρκεια της βασιλείας των Σελευκιδών για τη σύνταξη των ηµεροδεικτών του ήλιου, της σελήνης, και των λανητών. Αυτές οι εµειρικές και σε µορφή ίνακα συναρτήσεις αοτέλεσαν το µαθηµατικό υόβαθρο για την µετέειτα ανάτυξη της Αστρονοµίας. Οι νέες ρίζες της έννοιας της συνάρτησης έκαναν την εµφάνιση τους στα Ελληνικά Μαθηµατικά και στις Φυσικές Ειστήµες. Οι ροσάθειες ου αοδίδονται στους ρώτους Πυθαγόρειους να ροσδιορίσουν τους αλούστερους νόµους της ακουστικής είναι χαρακτηριστικές της αναζήτησης οσοτικών αλληλεξαρτήσεων ολλών φυσικών οσοτήτων, όως, για αράδειγµα, η διάρκεια και το ύψος του τόνου για τις νότες ου εκέµονται αό ορχήστρα εγχόρδων του ιδίου είδους, υό ίσες εντάσεις. Αργότερα, κατά τη διάρκεια της Αλεξανδρινής εριόδου, οι αστρονόµοι ανέτυξαν την τριγωνοµετρία των χορδών της εριφέρειας ενός κύκλου και, χρησιµοοιώντας θεωρήµατα της Γεωµετρίας και κανόνες αρεµβολής υολόγισαν ίνακες χορδών ισοδύναµους στην ραγµατικότητα µε ίνακες ηµιτόνων ου χρησιµοοιήθηκαν µερικούς αιώνες αργότερα. Ο ρώτος ίνακας χορδών βρέθηκε στην «Αλµαγέστη» του Πτολεµαίου, όου αρεµβάλλονται αριθµητικοί αστρονοµικοί ίνακες άλλων οσοτήτων, ου ισοδυναµούσαν µε ρητές συναρτήσεις και, είσης, οι ιο αλές άρρητες συναρτήσεις του ηµίτονου. Εντούτοις, οι Έλληνες δεν εριορίστηκαν στη χρήση των ινακοοιηµένων συναρτήσεων. Βασικό ρόλο στη θεωρία των κωνικών τοµών έαιξαν τα συµτώµατα τους, δηλαδή οι βασικές εµβαδοµετρικές ιδιότητες των αντίστοιχων καµυλών ου ροκύτουν αό τον αρχικό ορισµό της Στερεοµετρίας για τις κωνικές τοµές ως τοµές ενός κώνου αό ένα είεδο. Ο Αρχιµήδης και οι ερισσότεροι αρχαίοι συγγραφείς 4

15 εκφράζουν τις κωνικές τοµές µέσω των συµτωµάτων, δηλαδή µέσω εξισώσεων, ου αναφέρονται είτε σε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων είτε σε λαγιογώνιο (Va Der Waerde, 003). Ένας σύγχρονος µαθηµατικός θα έλεγε ότι ένα σύµτωµα µιας κωνικής τοµής αριστάνει, για κάθε σηµείο της δοθείσης καµύλης µια και µοναδική συναρτησιακή εξάρτηση µεταξύ του µισού της χορδής της καµύλης y και του τµήµατος της διαµέτρου ου τέµνει τη χορδή, όου τα άκρα αυτού του τµήµατος είναι το σηµείο τοµής της διαµέτρου µε τη χορδή και η αντίστοιχη κορυφή της καµύλης. Οι αρχαίοι γεωµέτρες εριέγραψαν τα συµτώµατα λεκτικά και, µάλιστα, µε όρους της Γεωµετρικής Άλγεβρας (ο όρος αοδίδεται στον Zeuthe (966)) στην οοία ταυτότητες και εξισώσεις ου και ου βαθµού αριστάνονται µε ισότητες εµβαδών συγκεκριµένων ορθογωνίων. Το νόηµα αυτών των συµτωµάτων, των οοίων αυτή η λεκτική εριγραφή αό τους µαθηµατικούς της αρχαιότητας δεν είναι οικεία σε µας, θα µορούσε να µεταφερθεί µε µεγάλη ακρίβεια στη γλώσσα της Αναλυτικής Γεωµετρίας µε εξισώσεις καµυλών δεύτερης τάξης, p,. a y = p y = p Εντούτοις, οι δυνατότητες ου ροσέφερε η Γεωµετρική Άλγεβρα δεν ήταν εαρκείς για να µεταφερθούν µε αρόµοιο τρόο οι ιδιότητες καµυλών 3 ης και 4 ης τάξης, όως, για αράδειγµα, η κισσοειδής του ιοκλή και η κογχοειδής του Νικοµήδη, καθώς και οι ιδιότητες κάοιων άλλων αλγεβρικών καµυλών ου ήταν γνωστές στους Έλληνες µαθηµατικούς, οι οοίοι έρεε να ορίσουν όλες αυτές τις καµύλες καθώς και συγκεκριµένες υερβατικές (µη αλγεβρικές) καµύλες, µε όρους ειδικών γεωµετρικών ή µηχανικών (κινηµατικών) δοµών. Οι αρχαίοι µαθηµατικοί εισήγαγαν µια ιδιόµορφη ταξινόµηση των καµυλών και των ροβληµάτων ου ειλύονται µε τη βοήθεια αυτών των καµυλών. Πριν αό τον Ευκλείδη ξεχώρισαν 3 είδη γεωµετρικών τόων: είεδοι γεωµετρικοί τόοι ευθείες γραµµές και κύκλοι, στερεοί γεωµετρικοί τόοι κωνικές τοµές, και γραµµικοί τόοι όλες οι άλλες καµύλες. Στην Αρχαία Ελλάδα και στις Ελληνιστικές χώρες οι οοίες αργότερα έγιναν Ρωµαϊκές εαρχίες, συναρτήσεις ου αρουσιάστηκαν για ρώτη φορά µέσω µαθηµατικών και αστρονοµικών ροβληµάτων µελετήθηκαν µε τρόο αρόµοιο µε τον τρόο µε τον οοίο µελετήθηκαν συναρτήσεις ου εµφανίστηκαν στη µαθηµατική ανάλυση των νεότερων χρόνων. Οι συναρτήσεις ταξινοµήθηκαν µέσω γραµµικής αρεµβολής, και, στις αλούστερες εριτώσεις, υολογίστηκαν τα όρια 5

16 των λόγων δύο αείρως µικρών οσοτήτων όως, για αράδειγµα, το όριο του si καθώς 0. Προβλήµατα στις ακρότατες τιµές και στις εφατόµενες ειλύθηκαν µε µεθόδους ισοδύναµες µε τη µέθοδο της διαφόρισης. Εµβαδά, όγκοι, µήκη, και κέντρα βάρους υολογίστηκαν µε µεθόδους ολοκλήρωσης ου ισοδυναµούσαν µε τον υολογισµό ολοκληρωµάτων, όως τα a 0 a d d και. o Τέλος, ροβλήµατα στα οοία έρεε να υολογιστούν ρίζες τριτοβάθµιων ολυωνύµων ειλύθηκαν χρησιµοοιώντας τις κωνικές τοµές (καµύλες δεύτερης τάξης). Με τη σύγχρονη ορολογία και µε συµβολισµό ου δεν υήρχαν στα Μαθηµατικά της αρχαιότητας µορούµε να ούµε ότι για να ειτευχθεί αυτός ο στόχος, οι ρίζες των αντίστοιχων ολυωνυµικών εξισώσεων θεωρήθηκαν ως συντεταγµένες των σηµείων τοµής, ή εαφής, δύο τέτοιων κατάλληλων καµυλών. Μέχρι τον 3 0 Μ.Χ. αιώνα ερίου, οι Έλληνες χρησιµοοιούσαν τα ψηφία και συµβόλιζαν ολλές οσότητες µε διαφορετικά γράµµατα του αλφαβήτου. Ωστόσο, οτέ δεν χρησιµοοιήθηκαν αλγεβρικοί τύοι, ή κάοιο είδος αλγόριθµου, ή αναλυτικές εκφράσεις. Μόνο ο ιόφαντος, ο τελευταίος µαθηµατικός της Αλεξανδρινής εοχής, χρησιµοοίησε στα έργα του κάοια αλγεβρικά σύµβολα, όµως, µε την αρακµή των αρχαίων Ελληνικών Μαθηµατικών, αυτός ο συµβολισµός δεν εξελίχθηκε. Εκτός αό την έλλειψη συµβολισµού, η οοία εµόδισε συνολικά την ρόοδο των Μαθηµατικών, τα ειτεύγµατα των Ελλήνων τόσο στην αύξηση του αριθµού των χρησιµοοιούµενων συναρτησιακών εξαρτήσεων όσο και στην ανακάλυψη νέων τρόων µελέτης τους ήταν ραγµατικά αξιόλογα και έαιξαν ροεξέχοντα ρόλο στη µετέειτα εξέλιξη των Μαθηµατικών µέχρι τη δηµιουργία της νέας Άλγεβρας, της Αναλυτικής Γεωµετρίας και του λογισµού των αειροστών του 6 ου και του 7 ου αιώνα. Η ΓΕΝΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Σύµφωνα µε τον Youschevitch (976), στους αρχαίους χρόνους δεν υήρχε η γενική ιδέα της έννοιας της συνάρτησης. Το θέµα του κατά όσο οι αρχαίοι µαθηµατικοί κατείχαν µια γενική έννοια της συνάρτησης µελετήθηκε µε λετοµέρεια αό τον Pederse (974) στην εργασία του ου είναι αφιερωµένη στην «Αλµαγέστη» 6

17 του Πτολεµαίου. Ο Pederse αρατηρεί ότι, σύµφωνα µε το κατά τον Πτολεµαίο σύστηµα του κόσµου, οι θέσεις του ήλιου, της σελήνης και των λανητών αλλάζουν συνεχώς και εριοδικά µε την άροδο του χρόνου. Ο ροσδιορισµός αυτών των θέσεων ολοκληρώνεται αό τον Πτολεµαίο µε τη βοήθεια κοινώς αοδεκτών µεθόδων, ου µερικές φορές εεξηγούνται αό αριθµητικά αραδείγµατα ή, εναλλακτικά, µορφοοιούνται λεκτικά µ ένα εντελώς γενικό τρόο. Αυτές οι κλασικές διαδικασίες χρησιµοοιούνται για να συνταχθούν ολλοί αστρονοµικοί ίνακες, για αράδειγµα, για να κατασκευαστούν ίνακες µε τις αντίστοιχες συναρτήσεις ου είναι συναρτήσεις µιας, ή ακόµα και δύο, και, σε ολλές εριτώσεις, τριών µεταβλητών. Παρατηρώντας ότι ο όρος συνάρτηση δεν εµφανίστηκε για ρώτη φορά στα έργα των αρχαίων µαθηµατικών αλλά ολύ αργότερα, ο Pederse αναρωτιέται εάν νοµιµοοιούµαστε γι αυτό το λόγο να καταλήξουµε στο συµέρασµα ότι οι αρχαίοι µαθηµατικοί αγνοούσαν τις συναρτησιακές σχέσεις. Κατά τον Pederse, η αάντηση στο ερώτηµα αυτό εξαρτάται αό το τι ράγµατι εννοούµε µε τον όρο συνάρτηση. Αν, όως και ολλοί αλαιότεροι µαθηµατικοί, ερµηνεύσουµε τον όρο συνάρτηση ως µια αναλυτική έκφραση, τότε το συµέρασµα είναι ότι οι αρχαίοι δε γνώριζαν τις συναρτήσεις. «Αλλά αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση, όχι ως ένα τύο, αλλά ως µια ιο γενική σχέση ου συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου αριθµών (όως, οι χρονικές στιγµές t, t, t 3,...) µε τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου ( για αράδειγµα κάοια γωνιακή µεταβλητή σε ένα λανητικό σύστηµα), είναι ροφανές ότι οι συναρτήσεις µ αυτή την έννοια υάρχουν σε αφθονία σε όλη την «Αλµαγέστη». Αυτό ου λείει είναι µόνο ο όρος συνάρτηση: αυτή η οντότητα υάρχει σ αυτό το έργο και ανααρίσταται καθαρά αό τους ολλούς ίνακες των αντίστοιχων στοιχείων τέτοιων συνόλων» (Pederse, 974). Με τον Pederse συµφωνεί και ο Youschevitch. Ο Πτολεµαίος, όως και άλλοι αστρονόµοι εκείνων των χρόνων αλλά και ροηγούµενων, γνώριζαν ότι οι συντεταγµένες των κινούµενων ουράνιων σωµάτων αλλάζουν εριοδικά µε το χρόνο, ή ότι, σε δοθέντα κύκλο, χορδές µε άνισα µήκη συσχετίζονται µε τόξα άνισων µηκών. Είσης, 000 χρόνια ριν αό τον Πτολεµαίο, οι υό µορφή ίνακα σχέσεις ήταν καλά γνωστές στους Βαβυλώνιους. Και όλα αυτά αν και, στην αρχαία µαθηµατική γλώσσα αουσιάζουν όχι µόνο λέξεις ισοδύναµες µε τον όρο συνάρτηση αλλά έστω και µια νύξη σε αυτή την ερισσότερο αφηρηµένη και ερισσότερο γενική ιδέα η 7

18 οοία ενοοιεί ξεχωριστές και συγκεκριµένες σχέσεις εξάρτησης µεταξύ οσοτήτων ή αριθµών σε οοιαδήοτε µορφή (λεκτική εριγραφή, γραφική αράσταση, ίνακας) και αν εξετάστηκαν αυτές οι εξαρτήσεις. Υάρχει µια σηµαντική αόσταση ανάµεσα στο ένστικτο του συναρτησιακού συσχετισµού (Bell) και στην αντίληψη ου έχουµε γι αυτόν, και το ίδιο ισχύει όσον αφορά και ειδικές µορφές συναρτήσεων και την εµφάνιση της έννοιας της συνάρτησης στον ένα ή στον άλλο βαθµό γενικότητας. Η χρήση του ενικού (δηλαδή, αυτή η οντότητα, η συναρτησιακή σχέση ου ανααρίσταται αό διάφορους ίνακες) αό τον Pederse σε συνδυασµό µε την «Αλµαγέστη» δε συµφωνεί µε το ότι οι συναρτήσεις ου αντιστοιχούν σε αυτούς τους ίνακες εξετάζονταν ως ειδικές εριτώσεις µιας γενικής συναρτησιακής σχέσης. Μια αρόµοια κατάσταση βρίσκουµε συνολικά στα Ελληνικά Μαθηµατικά όου οι µέθοδοι υολογισµού ή ροσδιορισµού µεµονωµένων συγκεκριµένων ορίων δεν οδήγησαν οτέ σε µια ρητή διατύωση των γενικών εννοιών της ακολουθίας, της µεταβλητής, του ορίου, της αείρως µικρής οσότητας, του ολοκληρώµατος, ή στη διατύωση γενικών θεωρηµάτων ου έχουν σχέση µε αυτές τις έννοιες. Κατάλληλα αραδείγµατα είναι οι τετραγωνισµοί και οι κυβισµοί του Αρχιµήδη. Ειλύοντας αρκετά ροβλήµατα, όως ροσδιορίζοντας το εµβαδόν της στροφής µιας σείρας, τον όγκο ενός σφαιροειδούς, και το εµβαδόν ενός τµήµατος ενός υερβολοειδούς εκ εριστροφής, στην ραγµατικότητα ο Αρχιµήδης υολόγισε ένα και το αυτό ολοκλήρωµα, το a d ή, αλλιώς, το όριο του αθροίσµατος «Riema Darbou», 0 εκτελώντας στην ραγµατικότητα τις διαδικασίες ου ααιτούνται αό τη µέθοδο της εξάντλησης εκ νέου κάθε φορά. Ο Bourbai, αρατηρώντας ότι κάοια άλλα ροβλήµατα ου ειλύθηκαν αό τον Αρχιµήδη, όως ο τετραγωνισµός της αραβολής και ο ροσδιορισµός του κέντρου βάρους ενός τριγώνου, θα µορούσαν να είχαν αναχθεί στον υολογισµό του ίδιου ολοκληρώµατος, στο έργο του «Στοιχεία της Ιστορίας των Μαθηµατικών» (969) αναφέρει ότι «αγνοούµε µέχρι οιο σηµείο ο Αρχιµήδης χρησιµοοιεί τις σχέσεις ου συνδέουν τα διάφορα ροβλήµατα ου χειρίζεται σχέσεις ου θα εκφράζαµε λέγοντας ότι το ίδιο ολοκλήρωµα χρησιµοοιείται αό διαφορετικές γεωµετρικές όψεις καθώς και τη σηµασία ου µορούµε να τους αοδώσουµε». Ο Αρχιµήδης αρατήρησε ότι οι µέθοδοι υολογισµού στα τρία ρώτα ροβλήµατα ήταν οι ίδιες, χρησιµοοίησε τη 8

19 συνάρτηση y ολοκληρώµατος. =, αλλά δεν εισήγαγε τη γενική έννοια του ορισµένου Μελετώντας τα Μαθηµατικά αυτής της εριόδου, αφενός αντιλαµβανόµαστε τη σηµασία τους για την εραιτέρω εξέλιξη αυτής της ειστήµης και αφετέρου, συχνά µε µη ειτρετό τρόο, διευρύνουµε την ερµηνεία αυτών των ιδεών, συνδέοντας αυτές µε νεότερες, ολύ ιο γενικές, έννοιες και αντιλήψεις. Στην ραγµατικότητα, «ο ιστορικός ταυτίζει το νεύµα των καιρών µε την αντανάκλαση του στο δικό του µυαλό» (Youschevitch, 976). Εντούτοις, οι ιδέες της αλλαγής και της µεταβλητής οσότητας δεν ήταν ξένες ρος τη σκέψη των Ελλήνων. Προβλήµατα κίνησης, συνέχειας, αείρου, εξετάστηκαν αό τα χρόνια του Ηράκλειτου και του Ζήνωνα του Ελεάτη, και στη µελέτη αυτών των εννοιών αφιερώθηκε το µεγαλύτερο µέρος αό τα Φυσικά του Αριστοτέλη ή της φυσικής φιλοσοφίας. Χρησιµοοιώντας τον όρο κίνηση της ύλης µε την ευρεία έννοια της αλλαγής, ο Αριστοτέλης διέκρινε τρεις βασικές µορφές διαδικασιών: εναλλαγή ή αλλαγή της οιότητας, αλλαγή του µεγέθους ή της οσότητας, όως αύξηση ή µείωση, και τοική κίνηση ου είναι η ιο αλή µορφή της κίνησης και συνοδεύει ααραιτήτως τις δύο άλλες ανώτερες µορφές των αλλαγών της ύλης. Η τοική κίνηση υοδιαιρείται στην οµοιόµορφη (οµαλή) κίνηση, κατά την οοία ίσα διαστήµατα (τµήµατα ή τόξα της εριφέρειας ενός κύκλου) διανύονται σε ίσους χρόνους, και στη µη οµαλή κίνηση. Εντούτοις, ούτε η µέση ταχύτητα, δηλαδή ο λόγος s / t, ούτε η στιγµιαία ταχύτητα, εισήχθησαν ως όροι στην αρχαιότητα. Ως εκ τούτου, ούτε η οσοτική αλλαγή ούτε η τοική κίνηση, οι οοίες και οι δύο βρήκαν την ανααράσταση τους στην ιο αφηρηµένη έννοια της µεταβλητής οσότητας, έγιναν αντικείµενο µαθηµατικής µελέτης για τους Έλληνες. Αυτό το γεγονός θα µορούσε εν µέρει να ούµε ότι οφείλεται στην ειρροή των διενέξεων ου ροέκυψαν αό τα αράδοξα του Ζήνωνα. Το γεγονός αυτό συνδέεται µε τη γενική κατεύθυνση της εξέλιξης της Μηχανικής και της Αστρονοµίας των Ελλήνων. Καµία αό αυτές τις ειστήµες δεν ξεέρασε τα όρια της οµοιόµορφης κίνησης, γιατί οι µη οµαλές κινήσεις των ουράνιων σωµάτων είχαν αναχθεί σε συνδυασµούς οµοιόµορφων κυκλικών κινήσεων. Όου ήταν δυνατό, οι κινηµατικές ιδέες εκτοίστηκαν αό τη σφαίρα των καθαρών Μαθηµατικών. Μεµονωµένες ροτάσεις ου υάρχουν στον Ευκλείδη στις οοίες χρησιµοοιούνται η κίνηση και η υέρθεση, όως και µεµονωµένες εριτώσεις κινηµατικών ορισµών των καµυλών, όως, για 9

20 αράδειγµα, της τετραγωνικής ή της ισογώνιας έλικας δεν αλλάζουν τη γενική εικόνα. Όοιες και αν είναι άντως οι ιδεολογικές ή οι κοινωνικές αιτίες και συνθήκες οι οοίες διαµόρφωσαν τα χαρακτηριστικά της ειστήµης στην αρχαιότητα όως αυτά εριγράφονται αραάνω, η µαθηµατική σκέψη αυτής της εριόδου δεν οδήγησε στη γενική έννοια είτε της µεταβλητής οσότητας είτε της συνάρτησης. Οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί δεν είχαν την έννοια της γενικής συνάρτησης ή ισοδύναµα των γενικών γεωµετρικών σχηµάτων. Ασχολήθηκαν µε συγκεκριµένα σχήµατα, όως είναι το τρίγωνο, η σφαίρα, ο κύλινδρος και οι κωνικές τοµές, και όχι µε την αόδειξη ιδιοτήτων για γενικότερα σχήµατα ου θα οδηγούσε στην ανάγκη εισαγωγής µιας ιο γενικής µορφής συνάρτησης. Εξαίρεση στον κανόνα αυτό αοτέλεσε ο Αρχιµήδης ο οοίος στο έργο του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου Α ορίζει τα αξιώµατα κυρτότητας για µια καµύλη και έτσι βρίσκεται ολύ κοντά στο γενικό ορισµό της κυρτής συνάρτησης (Νεγρεόντης, Γιωτόουλος & Γιαννακούλιας, 999). Στο εδίο των εφαρµογών, κυρίως στην Αστρονοµία, όου οι οσοτικές µέθοδοι της έρευνας υφίσταντο τη µεγαλύτερη εξέλιξη, ο κύριος στόχος ήταν η υό µορφή ίνακα ανααράσταση των συναρτήσεων οι οοίες θεωρούνταν ως σχέσεις µεταξύ διακεκριµένων συνόλων δεδοµένων σταθερών οσοτήτων και όχι ως σχέσεις µεταξύ αριθµητικών τιµών οσοτήτων ου συνδέονται συναρτησιακά η µία µε την άλλη. Αό τα αραάνω, διαφαίνεται µια οµοιότητα µε τη στατική αντίληψη της θεωρίας συνόλων του Cator, όου η διαισθητική ιδέα της µεταβλητής οσότητας είχε αναχθεί στην αλοοιηµένη ιδέα ενός συνόλου σταθερών οσοτήτων. Σε κάθε ερίτωση, οι σκέψεις των Ελλήνων µαθηµατικών γενικά αείχαν ολύ αό την κινηµατική αντίληψη µιας ρέουσας οσότητας, η οοία ήταν το χαρακτηριστικό του αειροστικού λογισµού του 7 ου,του 8 ου και του 9 ου αιώνα (Youschevitch, 976). ΜΕΣΑΙΩΝΑΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Αρκετά χρόνια µετά την αρακµή των αρχαίων Μαθηµατικών, αυτή η ειστήµη άνθησε και άλι στις Αραβικές χώρες, χωρίς να ροκαλέσει ουσιώδεις νέες εξελίξεις στην έννοια της συνάρτησης. Εν τούτοις, ο αριθµός των υό εξέταση συναρτήσεων 0

21 αυξήθηκε και οι µέθοδοι µελέτης τους βελτιώθηκαν. Έτσι γίνεται αναφορά σε όλες τις βασικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, οι µέθοδοι ταξινόµησης τους σε κατηγορίες τελειοοιούνται, και συγκεκριµένα, η τετραγωνική αρεµβολή άρχισε να χρησιµοοιείται αράλληλα µε τη γραµµική αρεµβολή, και η µελέτη των θετικών ριζών των τριτοβάθµιων ολυωνύµων µε τη βοήθεια των κωνικών τοµών ροόδευσε ουσιαστικά. Στην Οτική και στην Αστρονοµία έγινε εραιτέρω ρόοδος. Η έννοια της συνάρτησης εµφανίστηκε για ρώτη φορά σε µια ιο γενική µορφή τρεις αιώνες αργότερα στις σχολές της φυσικής φιλοσοφίας στην Οξφόρδη και στο Παρίσι. Ακολουθώντας στοχαστές όως είναι οι Grosseteste και Baco, αυτές οι δύο σχολές, οι οοίες άνθησαν τον 4 ο αιώνα, ανακήρυξαν τα Μαθηµατικά ως το κύριο εργαλείο για τη µελέτη των φυσικών φαινοµένων. Αοµακρύνθηκαν αό το Αριστοτελικό δόγµα της έντασης και της µείωσης των οιοτήτων και των µορφών, και έτσι οδηγήθηκαν στη µαθηµατική µελέτη της µη οµοιόµορφης οσοτικής και τοικής κίνησης. Ο Αριστοτέλης άρχισε να αµφισβητείται για ρώτη φορά αό αρκετούς ερευνητές του κολεγίου Merto της Οξφόρδης και η κίνηση γίνεται για ρώτη φορά αντικείµενο µαθηµατικής εεξεργασίας (Edwards, 979). Οι οιότητες ή µορφές είναι φαινόµενα όως η θερµότητα, το φως, το χρώµα, η υκνότητα, η αόσταση, η ταχύτητα κλ., οι οοίες µορούν να έχουν διάφορους βαθµούς εντάσεων και οι οοίες, γενικά, συνεχώς µεταβάλλονται εντός ορισµένων ορίων. Οι εντάσεις των µορφών ερευνώνται σε σχέση µε τις εκτάσεις τους, δηλαδή σε σχέση µε µια αµετάβλητη µορφή ου λεγόταν έκταση, όως είναι, για αράδειγµα, η οσότητα της ύλης, ο χρόνος, η αόσταση κλ. Κατά τη διάρκεια αυτών των ερευνών εµφανίστηκε µια ολόκληρη σειρά αό τις ιο βασικές έννοιες, όως είναι η στιγµιαία ταχύτητα, η ειτάχυνση, και η µεταβλητή οσότητα, ου θεωρήθηκαν ως βαθµός ή ροή της οιότητας. Μέσα σ όλα αυτά, η σύνθεση της κινηµατικής και της µαθηµατικής σκέψης έαιξε κυρίαρχο ρόλο. Ο Bourbai στα «Στοιχεία της Ιστορίας των Μαθηµατικών» (969) αρατηρεί ότι: «Όλη η κινηµατική στηρίζεται σε µια διαισθητική, και σε κάοιο βαθµό ειραµατική, ιδέα, των µεταβλητών οσοτήτων µε το χρόνο, δηλαδή των συναρτήσεων του χρόνου». Ταυτόχρονα, η ιδέα ότι οι οσοτικοί φυσικοί νόµοι ήταν νόµοι συναρτησιακού τύου ωρίµασε σταδιακά στη φυσική φιλοσοφία. Το δόγµα της έντασης των µορφών, ή, αλλιώς, η θεωρία των «υολογισµών» και το ιο σηµαντικό µέρος της, η κινηµατική, ανατύχθηκε στην Αγγλία αό τους Heytesbury, Swieshead, και άλλους, κυρίως στην κινηµατική αριθµητική

22 κατεύθυνση. Στο κολέγιο Merto της Οξφόρδης, µελετήθηκαν οι µεταβολές της ταχύτητας ή της τοικής κίνησης µε τον ίδιο τρόο, όως και οι µεταβολές της έντασης µιας ιδιότητας, ενώ στη Γαλλία, όου ο κύριος και ιο αντιροσωευτικός εκφραστής αυτής της τάσης ήταν ο Oresme (30-38), η θεωρία των «υολογισµών» ανατύχθηκε στη γεωµετρική όµως κατεύθυνση. Μεγάλο ενδιαφέρον αρουσιάζει και η θεωρία των σχηµατισµών των οιοτήτων, ή, αλλιώς, η θεωρία της οµοιοµορφίας και της µη οµοιοµορφίας των εντάσεων, δηλαδή η θεωρία του λάτους των µορφών, ου ανατύχθηκε αό τον Oresme στα µέσα του 4 ου αιώνα. Ο Oresme στην ραγµατεία του γι αυτή τη θεωρία έγραψε ότι: «Κάθε µετρήσιµο αντικείµενο, εκτός αό τους αριθµούς (τους οοίους ο Oresme, όως και οι αρχαίοι Έλληνες, κατανοούσε ως ένα σύνολο µονάδων) θεωρείται ως συνεχής οσότητα» (Clagett, 968). Εοµένως, σηµεία, γραµµές, και ειφάνειες χρησιµοοιούνται για να µετρήσουν αυτά τα αντικείµενα. Ο Oresme αριστάνει τους βαθµούς της έντασης µε τµήµατα µηκών ου αντιστοιχούν σε αυτούς τους βαθµούς, «τα λάτη» (latitudo) τοοθετούνται κάθετα άνω στη γραµµή των «µηκών» (logitudo), τα τµήµατα των οοίων ανααριστούν εκτάσεις. Ο λόγος δύο εντάσεων κάοιας οιότητας είναι ο ίδιος µε το λόγο ου έχουν τα αντίστοιχα λάτη, έτσι ώστε το λάτος και τα µήκος κάοιας οιότητας να µορούν να λαµβάνονται αντί της έντασης και της έκτασης της οιότητας. Τα άνω άκρα των λατών κάοιας οιότητας δηµιουργούν την «γραµµή της έντασης» (liea itesiois) ή, µε άλλα λόγια, τη «γραµµή της κορυφής» (liea summitatis) ου ανααριστά τη δοθείσα οιότητα και τους «βαθµούς» της. Ο Oresme αρατήρησε ότι οι εντάσεις θα µορούσαν να λέγονται µήκη οότε οι εκτάσεις θα ονοµάζονται λάτη. Σε αυτό το λαίσιο ερευνώνται «γραµµικές» (liearis) οιότητες, οι εντάσεις των οοίων κατανέµονται µεταξύ των σηµείων µιας γραµµής, αλλά υάρχουν είσης «ειφανειακές» (superficialis) και «υλικές» (corporalis) οιότητες. Οι ειφανειακές οιότητες αριστάνονται αό στερεά µε είεδες βάσεις ενώ η γεωµετρική ανααράσταση των υλικών οιοτήτων δυσκόλεψε ολύ τον Oresme. Αυτές οι θεωρίες, οι οοίες ανατύχθηκαν τον 4 ο αιώνα, χρησιµοοιούν συνειδητά τις γενικές ιδέες σχετικά µε τις ανεξάρτητες και τις εξαρτηµένες µεταβλητές οσότητες. Αυτές οι οσότητες δεν ορίζονται άµεσα αλλά καθεµία ροσδιορίζεται αό ένα ειδικό όρο. Το λάτος µιας «οιότητας» ερµηνεύεται γενικά ως µια µεταβλητή οσότητα ου εξαρτάται αό το µήκος της και, αροµοίως, η «γραµµή της κορυφής» γίνεται αντιλητή ως η γραφική ανααράσταση κάοιας

23 συνεχούς συναρτησιακής σχέσης (Crombie, & Clagett, 959). Κατά συνέεια, σε αυτές τις θεωρίες, η συνάρτηση ορίζεται είτε µε λεκτική εριγραφή της συγκεκριµένης ιδιότητας, δηλαδή του συγκεκριµένου χαρακτηριστικού, είτε άµεσα µε µια γραφική αράσταση. Με σύγχρονη ορολογία και συµβολισµό, το λάτος και το µήκος, όως είσης και τα αντίστοιχα µισά των χορδών και τα τµήµατα των διαµέτρων της αρχαίας θεωρίας των κωνικών τοµών, είναι η τεταγµένη και η τετµηµένη αντιστοίχως, µε την αρατήρηση ότι οι συντεταγµένες ου χρησιµοοιούνταν τον 4 ο αιώνα σχετίζονταν άντα µε σηµεία κάοιας καµύλης και όχι µε τυχαία σηµεία του ειέδου ου δεν έχουν καµία σχέση µε κάοια καµύλη. Η θεωρία του λάτους των µορφών διακρίνεται για την αολύτως αφηρηµένη αρχική ερµηνεία της για τα ροβλήµατα, χωρίς να δίνει σηµασία στη συγκεκριµένη µορφή ή οιότητα. Σύµφωνα µε τον Clagett, ο Oresme ταξινοµεί τα κύρια είδη των γραµµικών οιοτήτων ως εξής:. Οµοιόµορφη (οµαλή) οιότητα (qualitas uiformis) µε σταθερό λάτος και µε τη γραµµή της έντασης να είναι αράλληλη στη γραµµή των µηκών. Το αντίστοιχο σχήµα είναι ένα ορθογώνιο.. Οµοιόµορφα (οµαλά) µεταβαλλόµενη (uiformiter difformis) οιότητα ου: «...είναι εκείνη στην οοία αν ληφθούν τρία οοιαδήοτε σηµεία της γραµµής, ο λόγος της αόστασης µεταξύ του ρώτου και του δεύτερου ρος την αόσταση µεταξύ του δεύτερου και του τρίτου ισούται µε το λόγο του λεονάσµατος της έντασης του ρώτου σηµείου αό την ένταση του δεύτερου σηµείου ρος το λεόνασµα της έντασης του δεύτερου σηµείου αό την ένταση του τρίτου σηµείου. Το ρώτο αό αυτά τα τρία σηµεία ονοµάζεται σηµείο της µέγιστης έντασης» (Clagett, 968). Με σύγχρονη ορολογία και συµβολισµό, αυτή η λεκτική εριγραφή αντιστοιχεί στην εξίσωση µιας ευθείας γραµµής η οοία διέρχεται αό δύο δοθέντα σηµεία (, y ) και (, y ) y y =. y y Η γραµµή της έντασης στην ερίτωση αυτή αριστάνεται αό την υοτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου ή, εναλλακτικά, αό την κεκλιµένη άνω λευρά ενός τετραλεύρου ου έχει δύο ορθές γωνίες στη βάση του. Η διαφορά οφείλεται στο 3

24 κατά όσο αυτή η γραµµή συναντά το δοθέν τµήµα της γραµµής των µηκών στο ένα αό τα δύο άκρα του, οότε, µε την ορολογία του Oresme το λάτος είναι µηδέν, ή όχι. 3. Μη οµαλά µεταβαλλόµενες (difformiter difformis) οιότητες, στις οοίες ανήκουν όλες οι άλλες εριτώσεις. Αυτή η ιο εκτενής κλάση οιοτήτων δεν ανήκει ούτε στις οµαλές ούτε στις οµαλά µεταβαλλόµενες οιότητες (Clagett, 968). Εδώ ο Oresme διακρίνει αρχικά τέσσερα αλά (simple) είδη οιοτήτων, αυτά ου είναι κυρτά και κοίλα τόξα ενός κύκλου, όχι µεγαλύτερα αό το ηµικύκλιο, και, είσης, αρόµοια τόξα µιας έλλειψης. Στη συνέχεια ο Oresme χρησιµοοιεί τον όρο mitio (miture) για 63 «σύνθετες» (compositae) µη οµαλές µεταβολές (ανοµοιοµορφίες), των οοίων οι γραµµές της έντασης αοτελούνται αό δύο ή ερισσότερα τόξα των καµυλών ου αναφέρθηκαν αραάνω ή τµηµάτων µιας ευθείας γραµµής. Ένα σηµαντικό στοιχείο της θεωρίας των υολογισµών ή του λάτους των µορφών ήταν η µελέτη των συναρτήσεων του χρόνου χωρίς να έχουν ροηγηθεί µελέτες των αειροστών (Bourbai, 969). Ωστόσο, κατά τον Youschevitch (976), οι µελέτες των αειροστών όχι µόνο υήρχαν σε λανθάνουσα µορφή στις έννοιες της στιγµιαίας ταχύτητας και της ειτάχυνσης αλλά είσης χρησιµοοιήθηκαν ρητά στην είλυση µιας ολόκληρης σειράς ροβληµάτων, όως είναι, για αράδειγµα, τα ροβλήµατα ροσδιορισµού του εµβαδού κάοιων αεριόριστης έκτασης σχηµάτων, ή τα ροβλήµατα ροσδιορισµού της µέσης ταχύτητας σωµάτων των οοίων οι στιγµιαίες ταχύτητες αλλάζουν σταδιακά άειρες φορές σύµφωνα µε κάοιο καθορισµένο νόµο κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήµατος ου διαιρείται σε άειρο αριθµό χρονικών στιγµών. Σε αυτά τα ροβλήµατα η κύρια µέθοδος υολογισµού ήταν η άθροιση των άειρων γεωµετρικών ροόδων. Αργότερα, στα λαίσια της ίδιας θεωρίας, οι µαθηµατικοί υολόγισαν ερισσότερο ερίλοκες σειρές, των οοίων τα αθροίσµατα αριστάνονταν αό άγνωστες υερβατικές οσότητες τις οοίες έρεε να υολογίσουν ροσεγγιστικά και κατ έλλειψη και καθ υεροχή. Ένα είτευγµα, ολύ σηµαντικό για τη Μηχανική αν όχι και για τα Μαθηµατικά ήταν ο ροσδιορισµός της µέσης ταχύτητας της οµαλά ειταχυνόµενης κίνησης, χωρίς σύνδεση αυτού του ροβλήµατος µε το ρόβληµα της ελεύθερης τώσης των σωµάτων. Αυτό το είτευγµα, ου ολοκληρώθηκε ρώτα στο κολέγιο Merto της Οξφόρδης, εριγράφεται σε εργασίες των Heytesbury, Swieshead, και Dumbleto, 4

25 οι οοίοι κατέληξαν στο συµέρασµα ότι η οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση είναι ισοδύναµη µε µια οµαλή κίνηση µε ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα της ειταχυνόµενης κίνησης στο µέσο του χρόνου της οµαλά ειταχυνόµενης κίνησης. Το συµέρασµα αυτό είναι γνωστό ως το «θεώρηµα του Merto» (Clagett, 959). Ο Oresme αέδειξε αυτό το θεώρηµα αριστάνοντας τη διανυόµενη αόσταση ή την ανάλογη οσότητα, την ολική (µέση) ταχύτητα, µε το εµβαδόν ενός τριγώνου ή ενός τραεζίου (Clagett, 968). Σύµφωνα µε τον Busard (96), ο Oresme κατέληξε στο συµέρασµα ότι, για µηδενική αρχική ταχύτητα, η αόσταση αυξάνεται ανάλογα µε το τετράγωνο του χρόνου και, ότι τα διαστήµατα ου διανύονται σε ίσα χρονικά διαστήµατα αυξάνουν ανάλογα ρος τους εριττούς αριθµούς ( :3:5:7: ). Σε αυτά τα συµεράσµατα κατέληξε και ο Γαλιλαίος στη µελέτη του για την ελεύθερη τώση των σωµάτων στο κενό, ου δηµοσιεύτηκε στα έργα του «ιάλογος µεταξύ δύο µεγίστων κοσµοθεωριών», το 63, και «ιάλογοι και µαθηµατικές αοδείξεις για δύο νέες ειστήµες συνδεδεµένες µε τη µηχανική και τις τοικές κινήσεις», το 638. Εντούτοις, η αόδειξη του Γαλιλαίου για το «θεώρηµα του Merto» στηρίζεται στη µέθοδο των αδιαιρέτων, ενώ στην αόδειξη του Oresme οι αειροστικές σκέψεις αλώς υονοούνται (Youschevitch, 976). Τον 5 ο αιώνα καθώς και στο ρώτο µισό του 6 ου αιώνα η θεωρία του λάτους των µορφών και η θεωρία των υολογισµών έγιναν ευρέως αοδεκτές, ιδιαίτερα στην Αγγλία, στη Γαλλία, στην Ιταλία και στην Ισανία. Εντούτοις, οι µέθοδοι αυτών των θεωριών, τη συγκεκριµένη χρονική ερίοδο, εφαρµόστηκαν µόνο σε µεµονωµένα ροβλήµατα της Φυσικής και της Μηχανικής. Όως αναφέρει και ο Crombie (959 96): «Τον 4 ο αιώνα η ιδέα των συναρτησιακών σχέσεων ανατύχθηκε χωρίς ραγµατικές µετρήσεις και µόνο σε γενικές γραµµές». Στην εξέλιξη µερικών βασικών εννοιών των Μαθηµατικών και της Μηχανικής, συµεριλαµβανοµένης και της έννοιας της συνάρτησης, οι φυσικοί φιλόσοφοι του 4 ου αιώνα ροχώρησαν ολύ ιο έρα αό όλους τους ροκατόχους τους, και κατέληξαν σε ιδιαίτερα σηµαντικά αοτελέσµατα. Για αράδειγµα, ο Oresme ανακάλυψε την ύαρξη σχηµάτων αεριόριστης έκτασης αλλά εερασµένου εµβαδού και την αόκλιση των αρµονικών σειρών. Ωστόσο, οι δυνατότητες ου ροσέφεραν οι νέες έννοιες δεν αξιοοιήθηκαν ευρέως ούτε στα Μαθηµατικά ούτε στις εφαρµογές τους. Oι σχολές της φυσικής φιλοσοφίας της Οξφόρδης και του Παρισιού έαιξαν ένα αξιοσηµείωτο ρόλο στη δηµιουργία των Μαθηµατικών των νεότερων χρόνων και, ιδιαίτερα, στην εξέλιξη της γενικής έννοιας της συνάρτησης. Εντούτοις, αυτός ο ρόλος δεν ήταν 5

26 κυρίαρχος, καθώς µια νέα ερµηνεία των συναρτησιακών συσχετισµών ήρθε στο ροσκήνιο τον 7 ο αιώνα (Youschevitch, 976). ΝΕΟΤΕΡΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σηµαντικό ρόλο στην εραιτέρω ανάτυξη της θεωρίας των συναρτήσεων διαδραµάτισαν, αό τη µια, η αότοµη αύξηση των υολογιστικών Μαθηµατικών και, αό την άλλη, η δηµιουργία της συµβολικής Άλγεβρας µαζί µε την αντίστοιχη εέκταση της έννοιας του αριθµού, έτσι ώστε, µε το τέλος του 6 ου αιώνα, η έννοια αυτή να εριλαµβάνει όχι µόνο όλο το εδίο των ραγµατικών αριθµών αλλά είσης και τους φανταστικούς και τους µιγαδικούς αριθµούς. Αυτά ήταν τα ροκαταρκτικά στάδια στα Μαθηµατικά για την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης ως σχέσης ανάµεσα σε σύνολα αριθµών αρά ως σχέσης ανάµεσα σε «οσότητες» και για την αναλυτική ανααράσταση των συναρτήσεων µε τύους. Ενδεικτικά µορούµε να αναφέρουµε την ρόοδο στην τριγωνοµετρία και την ανακάλυψη των λογαρίθµων. Ωστόσο, αυτό στο οοίο ρέει ειδικά να δοθεί έµφαση, είναι η εισαγωγή ολυάριθµων συµβόλων για µαθηµατικές ράξεις και σχέσεις, όως είναι τα σύµβολα της ρόσθεσης, της αφαίρεσης, των δυνάµεων και της ισότητας και, κυρίως, η εισαγωγή συµβόλων για άγνωστες οσότητες και αραµέτρους, τις οοίες ο Γάλλος µαθηµατικός Fracois Viète ( ) συµβόλισε, το 59, µε τα φωνήεντα A, E, I,... και τα σύµφωνα B, G, D,... του Λατινικού αλφαβήτου αντιστοίχως. Η εισαγωγή αυτού του συµβολισµού οδήγησε στη γρατή συµβολική µορφή αλγεβρικών εξισώσεων και εκφράσεων ου εριέχουν άγνωστες οσότητες και τυχαίους συντελεστές. Ο Viète διαχώρισε τις γνωστές αραµέτρους αό τις άγνωστες µεταβλητές σε µια αλγεβρική εξίσωση, και συνέβαλε σε µεγάλο βαθµό στη µετατόιση του ενδιαφέροντος, κατά τον 7 ο αιώνα, αό τη µελέτη ειδικών ροβληµάτων και καταστάσεων στη διερεύνηση των γενικών µεθόδων (Νεγρεόντης, Γιωτόουλος & Γιαννακούλιας, 999). Ωστόσο, ο δηµιουργός της νέας Άλγεβρας δεν χρησιµοοίησε την αξιοσηµείωτη ανακάλυψη του εραιτέρω στην έννοια της συνάρτησης: η «συναρτησιακή σκέψη» δεν ήταν χαρακτηριστική του µυαλού του Viète (Youschevitch, 976). 6

27 Αό τις αρχές του 7 ου αιώνα, η νέα έννοια των οσοτικών νόµων της φύσης ου καθιερώνει συναρτησιακές σχέσεις µεταξύ των αριθµητικών τιµών φυσικών οσοτήτων αοκτούσε δύναµη σε συνεχώς αυξανόµενο βαθµό και γινόταν όλο και ιο ολύ το χαρακτηριστικό γνώρισµα ειστηµών, όως της Μηχανικής και της Αστρονοµίας. Είσης, η µελέτη της κίνησης ήταν ένα αό τα βασικά ροβλήµατα ου αασχόλησαν τους ειστήµονες και τους µαθηµατικούς αυτού του αιώνα. Αν και η Αστρονοµία του Johaes Kepler (57 630) ήταν αοδεκτή στις αρχές του 7 ου αιώνα, ιδιαίτερα µετά αό τις αρατηρήσεις του Γαλιλαίου ου έδωσαν ρόσθετες αοδείξεις για την ηλιοκεντρική θεωρία, ο νόµος του Kepler για την ελλειτική κίνηση αµφισβητήθηκε µε το ειχείρηµα ότι οι διάφοροι λανήτες αρεµοδίζουν την ελλειτική κίνηση ενός οοιουδήοτε λανήτη και ότι ο ήλιος αρεµοδίζει την ελλειτική κίνηση της σελήνης γύρω αό τη γη. Ο Kepler ρότεινε την έννοια της δύναµης της βαρύτητας ου ασκείται µεταξύ δύο οοιονδήοτε σωµάτων, και έτσι ροέκυψε το ρόβληµα της βελτίωσης του υολογισµού των θέσεων των λανητών. Ειλέον, ο Kepler είχε καταλήξει στους νόµους του ουσιαστικά ροσαρµόζοντας καµύλες σε αστρονοµικά δεδοµένα, χωρίς να εξηγήσει (µε την ορολογία των θεµελιωδών νόµων της κίνησης) γιατί οι λανήτες κινούνται σε ελλειτικές τροχιές. Έτσι, το βασικό ρόβληµα της ροέλευσης των νόµων του Kepler αό τους νόµους της κίνησης ήταν καθαρή ρόκληση. Η βελτίωση της αστρονοµικής θεωρίας είχε είσης ένα ρακτικό στόχο (Klie, 97). Οι Ευρωαίοι, για εµορικούς λόγους, είχαν ανατύξει τη ναυσιλοΐα, και κατά συνέεια οι ναυτικοί είχαν ανάγκη ακριβείς µεθόδους ροσδιορισµού του γεωγραφικού λάτους και του γεωγραφικού µήκους. Ο ροσδιορισµός του γεωγραφικού λάτους µορούσε να γίνει µε ευθεία αρατήρηση του ήλιου ή των άστρων, αλλά ο ροσδιορισµός του γεωγραφικού µήκους ήταν ολύ ιο δύσκολος. Οι ειστήµονες του 7 ου αιώνα αντιµετώισαν είσης το ρόβληµα της εξήγησης των κινήσεων της γης. Αό την ηλιοκεντρική θεωρία, σύµφωνα µε την οοία η γη εριστρεφόταν γύρω αό τον ήλιο, ροέκυψαν διάφορα ερωτήµατα σχετικά µε την ελεύθερη τώση των αντικειµένων στη γη. Ειλέον, όλες οι κινήσεις, η κίνηση του βλήµατος για αράδειγµα, φαινόταν ότι ραγµατοοιούνται σαν η γη να ήταν ακίνητη. Αυτές οι ερωτήσεις τράβηξαν την ροσοχή ολλών ειστηµόνων, συµεριλαµβανοµένων των Carda, Tartaglia, Γαλιλαίου, και Newto. Οι τροχιές των βληµάτων, τα ύψη στα οοία θα µορούσαν να φτάσουν, η είδραση της ταχύτητας 7

28 στο ύψος ήταν βασικά ερωτήµατα εκείνης της εοχής και νέοι νόµοι της κίνησης ήταν ααραίτητοι για να εξηγήσουν αυτά τα γήινα φαινόµενα. Αό τη µελέτη των διάφορων ροβληµάτων της κίνησης ροέκυψε το ειδικότερο ρόβληµα του σχεδιασµού ακριβέστερων µεθόδων µέτρησης του χρόνου, γιατί τα µηχανικά ρολόγια, ου χρησιµοοιούνταν αό το 348, δεν ήταν ολύ ακριβή. Ο Φλαµανδός χαρτογράφος Gemma Frisius ( ) είχε ροτείνει τη χρήση ενός ρολογιού για τον ροσδιορισµό του γεωγραφικού µήκους. Το ρολόι ενός λοίου ρυθµιζόταν στην ώρα ενός τόου γνωστού γεωγραφικού µήκους, και εειδή ο ροσδιορισµός της τοικής ώρας αό τη θέση του ήλιου, για αράδειγµα, ήταν σχετικά αλός, οι ναυτικοί έρεε αλά να σηµειώσουν τη διαφορά ώρας και να τη µεταφράσουν άµεσα σε διαφορά στο γεωγραφικό µήκος. Ωστόσο, κανένα ανθεκτικό και ακριβές ρολόι δεν ήταν διαθέσιµο εκείνα τα χρόνια (Klie, 97). Η κίνηση του εκκρεµούς φάνηκε ότι θα δώσει το βασικό µηχανισµό για τη µέτρηση του χρόνου. Ο Γαλιλαίος (Galileo Galilei, ) αρατήρησε ότι ο χρόνος για µια λήρη αιώρηση ενός εκκρεµούς ήταν σταθερός και φαινοµενικά ανεξάρτητος αό το εύρος της ταλάντωσης. Χωρίς να έχει στη διάθεση του ρολόι ακριβείας, χρονοµέτρησε την αιώρηση ενός ολυελαίου, ου ταλαντωνόταν υό την είδραση του αέρα, µε τη µέτρηση των σφυγµών του και «τη στιγµή ου τα δύο ανοµοιογενή µεγέθη χρόνου και µήκους µήκαν σε αναλογία, τα Μαθηµατικά βρήκαν τρόο ν ανααραστήσουν την κίνηση του κόσµου» (Σύρου, 000). Ο Γαλιλαίος µε τις αρατηρήσεις του ροετοίµασε το έδαφος για το σχεδιασµό ενός εκκρεµούς ρολογιού, αλλά οι Robert Hooe και Cristiaa Huyges (69 695), υήρξαν οι ειστήµονες ου έκαναν τη βασική εργασία σ αυτό το θέµα. Ειδικότερα, ο Ολλανδός φυσικός Huyges ροσαθώντας και αυτός να λύσει το ρόβληµα της εύρεσης του γεωγραφικού µήκους, κατασκεύασε το εκκρεµές ρολόι, ου ήταν ααραίτητο για τη µέτρηση του χρόνου. Το εκκρεµές ρολόι αοδείχτηκε ολύτιµο όχι µόνο για τη µέτρηση του χρόνου στα σίτια και στις ειχειρήσεις, αλλά και στις ειστηµονικές εργασίες. Συγκεκριµένα, ο Huyges δηµοσίευσε το «Horologium Oscillatorium» (Εκκρεµές Ωρολόγιο, 673) ου συνέβαλε σηµαντικά στη διατύωση της θεωρίας της βαρύτητας αό τον Newto. Κατά τους ιστορικούς (Strui, 98) το «Horologium Oscillatorium» και το «Arithmetica Ifiitorum» του Wallis ήταν για εκείνη την εοχή η ιο ροχωρηµένη µορφή του αειροστικού λογισµού. Αό τη µελέτη της κίνησης τα Μαθηµατικά άντλησαν µια θεµελιώδη έννοια ου ήταν κεντρική ρακτικά σ όλες τις εργασίες για τα εόµενα διακόσια χρόνια την 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Αριλίου 013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις αό Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 60-61, 2003 Ειµόρφωση ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης ηµήτρης Ντρίζος, Γιάννης Τυρλής Μαθηµατικοί.Ε., Μ..Ε.(M.Ed.) τµ. Μαθ/κών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ

7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ 7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ 7. Γενικά Οι κατεργασίες και οι εκτιμήσεις ου ααιτούνται για το σχεδιασμό κατεργασιών κοίλανσης είναι εκτενείς, καθόσον μάλιστα μορεί να ααιτούνται

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ταλαντώσεις. Ταλαντώσεις - κυμάνσεις. Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός

5 Ταλαντώσεις. Ταλαντώσεις - κυμάνσεις. Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός 5 Ταλαντώσεις Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Αλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός Μαρία Κατσικίνη aii@auh.gr uer.auh.gr/aii Ταλαντώσεις - κυμάνσεις Ταλάντωση είναι μια εριοδική κίνηση, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 6... Πρώτος τρόος γραμμικοοίησης Η μη γραμμικότητα της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΠΑΣΧΑ 2009

ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΠΑΣΧΑ 2009 ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΠΑΣΧΑ 29 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Για να ααντήσετε στις αρακάτω τέσσερις ερωτήσεις ολλαλής ειλογής, αρκεί να γράψετε στο φύλλο ααντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά αό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 η ΕΡΩΤΗΣΗ ΜΗΧΝΙΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ένας µαθητής της Γµνασίο το ρακτικού τµήµατος στη δεκαετία το 7 δεν έχει γεωµετρικά όργανα και στο αιφνίδιο διαγώνισµα Γεωµετρίας χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (κωδικός μαθήματος: 37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμτη, 3

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05-6 - Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 7-0-05 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Κρούσεις - Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2λ 3 Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2λ 3 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ Γραμμική θεωρία υδροτομών Θεωρούμε υδροτομή στο είεδο x,, και ομοιόμορφη ροή με ταχύτητα U. Η ροή είναι αράλληλη ρος τον θετικό

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης γρατή εξέταση στη ΦΥΣΙΗ Γ' κατεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: /04/0 Ύλη: Ονοματεώνυμο: αθηγητές: Όλη η ύλη Αθανασιάδης Φοίβος, Ατρείδης Γιώργος, όζυβα Χρύσα Θ Ε Μ Α ο Στις αρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, ου κρατάς στα χέρια σου ροέκυψε τελικά μέσα αό την εμειρία και διδακτική διαδικασία ολλών χρόνων στον Εκαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αοτέλεσμα συγγραφής ολλών καθηγητών μας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy Ράβδος σε σκαλοάτι Ράβδος μήκους ύψους ακουμά σε σκαλοάτι όως φαίνεται στο σχήμα. Το κάτω άκρο της είναι σε εαφή με λείο κατακόρυφο εμόδιο το οοίο μορεί να κρατείται σταερό σε οοιαδήοτε έση. Μεταξύ ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα.

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα. Ταλάντωση μετά αό κόψιμο του νήματος. Σώματα δεμένα με νήμα σε κατακόρυο ελατήριο. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες = g και Μ = g και συνδέονται με νήμα. Το σώμα μάζας αέχει αό το δάεδο αόσταση H = 7

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x) 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso..

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα