ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου."

Transcript

1 ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή! Θέµα- (.5 µονάδες) (α ). Να υολογίσετε την ηµιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) = στο διάστηµα [, ]. Κατόιν, ϑεωρείστε = και για κατάλληλη ειλογή της µεταβλητής x, δείξτε ότι Αάντηση : b m = 4 = ( m sin x dx =... = [ cos(m)] = m m [ ( )m ] Ετσι, b m = 4/m για m εριττό και b m = για m άρτιο. Άρα, = 4 ( ) (n ) n sin x Θέτουµε τώρα = και ϑεωρούµε την τιµή x = /. Τότε, = 4 n sin[(n )] 4 = n sin[(n )] 4 = Αό τη στιγµή ου σας έδωσα ότι το διάστηµα είναι το [, ] δεν µορώ να καταλάβω για οιο λόγο, ορισµένοι έρεε να ξεκινήσετε αό το [, ]. Γεγονός είναι ότι για να δωθεί σωστή ερµηνεία στην ηµιτονική σειρά ρέει κανείς να ϑεωρήσει την εριττή εέκταση στο διάστηµα [, ], αλλά κάτι τέτοιο δεν είδα να το κάνετε οι ερισσότεροι (κάοιοι το έκαναν). Αντίθετα, οι ερισσότεροι ξεκινήσατε αό το [, ] χωρίς να ϑεωρήσετε την εριττή εέκταση αλλά ϑεωρώντας αλώς την f(x) = στο [, ] και µετά εριορίσατε το ολοκλήρωµα στο [, ] διαλσιάζοντας το, ράγµα το οοίο είναι λάθος διότι στο [, ] η συνάρτηση µας είναι άρτια ενώ το sin είναι εριττό, οότε κανονικά οι συντελεστές ϑα έρεε να σας ϐγουν µηδέν!! (ϐ ). Να λυθεί, µε τη µέθοδο χωριζοµένων µεταβλητών, το ρόβληµα u t c u x = < x <, t > u(, t) = T t u(, t) = T t u(x, ) = f(x) x

2 όου T, T σταθερές. Αάντηση : Η αάντηση (ένας τρόος) ϐρίσκεται στις σηµειώσεις για τα Ανατύγµατα σε Ιδιοσυναρτήσεις (αρχείο 9_Anpt-Idiosyn.pdf) στις σελίδες αό Ε-Ε-5 ως και Ε-Ε-8 ή και ιο µετά ακολουθώντας τη γενική µέθοδο ου ανατύσεται αό τη σελίδα Ε-Ε-9 και µετά (Πιο γενικό ίνακα οµογενοοίησης των συνοριακών συνθηκών έοχυµε δώσει στη σελίδα S--4 των ση- µειώσεων για τη ϑεωρία Sturm-iouville (αρχείο _Sturm-iouville.pdf) ). Θέµα- (.5 µονάδες) Παρόλο ου αυτό ϕαίνεται και αό τη λύση του ροβλήµατος, τονίζουµε για ακόµη µία ϕορά ότι ααραίτητη ρουόθεση για την ειτυχία της ΜΧΜ είναι η ύαρξη οµογενών ΣΣ (Η µέθοδος εφαρµόζεται και για εριοδικές ΣΣ ροφανώς αλλά κάτι τέτοιο δεν είναι σχετικό µε το ρόβληµα ου κληθήκατε να λύσετε). Είναι εύκολο να το διαιστώσετε και µόνοι σας (ϑεωρήστε το ως άσκηση) ότι αν δεν είναι οµογενείς οι ΣΣ δεν µορούµε να άρουµε τις κλασσικές λύσεις όως αυτές σας έχουν δωθεί στις σηµειώσεις. (α ). Να λυθεί το ρόβληµα, µε αρχική ϑέση (να σχεδιαστεί!) u tt c u xx = < x <, t > u(, t) = u(, t) = t (ΣΣ) u t (x, ) = x (ΑΣ) u(x, ) = hx x h( x) ( ) x (ΑΣ) Αάντηση : Το ρόβληµα λύνεται µε τη ΜΧΜ και οι ΣΣ είναι οµογενείς Dirichlet. Το ρόβληµα αυτό έχει λυθεί για γενικές αρχικές συνθήκες στις σηµειώσεις άνω στη µέθοδο χωριζοµένων µεταβλητών (αρχείο 7_Seprtion_of_Vribles.pdf), στην αράγραφο (...i) (σελίδα 4) και η λύση δίνεται αό τις εξισώσεις (..9), (..) και (..). Ετσι, για το ρόβληµα µας, και άρα, A m B m nc = = ( m sin x f(x)dx, m =,,..., ( m sin x g(x)dx =, διότι g(x) = m =,,..., u(x, t) = ( nc ( n cos t sin x Το µόνο το οοίο µένει είναι ο υολογισµός των συντελεστών A m. Για αυτούς ισχύει, A m = hx ( m sin x dx + h( x) ( m ( ) sin x dx Το αοτέλεσµα είναι : h ( m A m = ( ) n sin

3 διότι, [ ( m sin x dx = ( )m ( m ) + cos ( m x sin x dx = [ ( m x sin x dx = ) ] ( m ( m ) [ ( sin m ) cos ( m ) ( )m ( m ) ( m ) ( m ) sin ( m ) cos ( m + ) ) ( m ) ] ( m ] εν ρέει να ξεχνάτε ότι το ρόβληµα ορίζεται στο διάστηµα [, ] και άρα, οι ιδιοσυναρτήσεις ως ρος τις οοίες ανατύσουµε την αρχική συνθήκη είναι αυτές ου σχετίζονται µε αυτό το διάστηµα και µόνο. ηλαδή, οι sin ( n x). Η αρχική συνθήκη είναι συνεχής αντού και µάλιστα µηδενίζεται στα σηµεία και, οότε η ηµιτονική σειρά ως ρος αυτές τις ιδιοσυναρτήσεις δίνει την τιµή της συνάρτησης σε κάθε σηµείο στο [, ]. Το σηµαντικό σε αυτή την άσκηση είναι ότι λόγω της µορφής της αρχικής συνθήκης το ολοκήρωµα... dx ρέει να σάσει στο άθροισµα... dx +... dx και κάθε ϕορά να υολογιστεί το ολοκληρωµα του αντίστοιχου κλάδου της αρχικής συνθήκης. Προσοχή! Το γεγονός ότι το ολοκλήρωµα σάει αυτό δεν σηµαίνει ότι αλλάζει και ο συντελεστής ου το ολλαλασιάζει κάθε ϕορά. Ετσι για να είµαστε ακριβείς, αυτό ου συµβαίνει είναι το εξής :... dx =... dx +... dx το οοίο είναι αλή συνέεια ϐασικής ιδιότητας των ολοκληρωµάτων. Κάοιοι, εξαιτίας της µορφής της αρχικής συνθήκης ϑεώρησαν ότι αυτή ανατύσσεται σε δύο διαφορετικές σειρές Fourier. Μία στο διάστηµα [, ] και µία στο διάστηµα [, ] µε αντίστοιχους συντελεστές, ας τους ονοµάσουµε m, b m m b m = = hx sin ( m x dx h( x) ( ) sin ( m x dx αλλά αυτό δεν είναι σωστό. Η σειρά Fourier είναι µία και αν για ρακτικούς λόγους σάµε τα δύο ολοκληρώµατα, στο τέλος ρέει να αναφερθεί ότι ο συντελεστής της αρχικής συνθήκης στο ηµιτονικό ανάτυγµα κατά Fourier είναι ο A m = m + b m. Εξαιτίας της µορφής της αρχικής συνθήκης έγινε, κάοιες ϕορές, ροσάθεια να ανατυχθεί αυτή στο µεν διάστηµα [, ] ως ρος τις sin ( n x) στο δε διάστηµα [, ] ως ρος ( n τις sin ( ). x Αυτό δεν είναι σωστό. εν σας ααγορεύει κανείς να ανατύξετε ως ρος αυτές τις συναρτήσεις στα αντίστοιχα διαστήµατα αλλά αυτό ου ϑα ροκύψει δεν έχει σχέση µε τη λύση του ροβλήµατος. Είσης µορείτε να αρατηρήσετε και τα εξής : το ανάτυγµα ως ρος sin ( n x) δίνει στο σηµείο x =, το οοίο είναι εσωτερικό του διαστή- µατος [, ], την τιµή (sin(n) = ), ενώ λόγω της συνέχειας της u(x, ( ) ϑα έρεε να δίνει n ότι u(, ) = h. Το ίδιο συµβαίνει και µε το ανάτυγµα ως ρος sin ( ) x στο σηµείο ( n x =. Είσης, το ανάτυγµα ως ρος sin ( ) x στο σηµείο x =, δίνει µία σειρά ( n ως ρος τις sin ( ), οι οοίες όµως δεν είναι µηδενίζονται (διότι ), ράγµα ου δεν είναι σωστό, διότι είναι ροφανές αό τον ορισµό της u(x, ) ότι u(, ) =. (Χωρίς να 3

4 ϑέλω να σας κουράσω άλλο, αναφέρω ότι δεν ααγορεύεται να ανατύξουµε µία συνάρτηση ου δεν µηδενίζεται στα σηµεία και ως ρος τις sin ( n x), αλλά εδώ όµως έχουµε εξ ορισµού ότι η αρχική συνθήκη µηδενίζεται σε αυτά τα σηµεία). Παρόλο ου το ρόβληµα µορεί εί της αρχής να λυθεί και µε τη µέθοδο (τύο) D lembert για να γίνει αυτό χρειάζεται ιδιαίτερη ροσοχή και τρόος λύσης µε τον οοίο δεν ασχοληθήκαµε. Αλή εφαρµογή του τύου δεν µορεί να λύσει το ρόβληµα, δεδοµένου ότι ο τύος όως τον έχουµε αράγει ισχύει για < x <. (ϐ ). Να λυθεί το ρόβληµα µε, u t = u x + sin(5x)e t u(, t) = u(, t) = u(x, ) = t (ΣΣ) t (ΣΣ) x (ΑΣ) Αάντηση : Το ρόβληµα αυτό µορεί να λυθεί µε τη µέθοδο ανατύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις. Η γενική µέθοδος δίνεται στις σηµειώσεις (αρχείο 9_Anpt-Idiosyn.pdf) αό τη σελίδα Ε-Ε-9 και µετά. Μάλιστα υάρχει αρόµοιο αράδειγµα στη σελίδα Ε-Ε-8 των σχετικών σηµειώσεων. Ετσι, σύµφωνα µε τη µέθοδο, ρέει στην αρχή να οµογενοοιήσουµε τις ΣΣ. Η συνάρτηση αναφοράς εύκολα ϐρίσκεται ότι είναι η u r = x και έτσι, οµογενοοιεί τις ΣΣ και λύνει το ρόβληµα w(x, t) = u(x, t) + x µε, w t = w x + sin(5x)e t w(, t) = w(, t) = w(x, ) = x t (ΣΣ) t (ΣΣ) x (ΑΣ) ηλαδή έχουµε να λύσουµε µία µη-οµογενή ΕΜΠ µε οµογενείς ΣΣ. Εειδή οι ΣΣ είναι Dirichlet και =, ανατύσουµε την w(x, t) σε σειρά ηµιτόνων και έτσι w(x, t) = n (t) sin(nx) αντικαθιστούµε στην ΕΜΠ και τότε ( dn (t) dt ) + n n (t) sin(nx) = sin(5x)e t Εξαιτίας της ειδικής µορφής του µη-οµογενούς όρου (εειδή δηλαδή εριλαµβάνει τον όρο sin(5x) ο οοίος είναι όρος ου ροκύτει αό τη σειρά Fourier ως ρος sin(nx) για n = 5) διαβάζουµε αµέσως τους συντελεστές και µορούµε να ούµε ότι d n (t) dt + n n (t) =, n 5 e t, n = 5 4

5 Λύνουµε τις δύο αυτές οµάδες Σ Ε και οι λύσεις είναι n (t) = n ()e nt, n 5 3 e t + [ 5 () 3 ]e 5t, n = 5 όου, n () = [ x ] sin(nx)dx = ( ) n+ n n [ ( )n ] = n ϑεωρώντας την u(x, t) = w(x, t) + u r (x, t) έχει τονιστεί ότι δεν είναι αραίτητο η u r αοτελεί λύση της ΕΜΠ. Κάοιοι ενώ έφθασαν, ολύ σωστά, να ϑεωρήσουν ότι να w(x, t) = n (t) sin(nx) κατόιν ροχώρησαν, για κάοιο ανεξήγητο λόγο, στην εξής ϑεώρηση : [ x ] sin(nx)dx n (t) = sin (nx)dx Θέµα-3 (.5 µονάδες) αυτό είναι λάθος!. Καταρχάς [ αν κάτι έρεε να µει στο ολοκλήρωµα στον αριθµητή x αυτό ϑα έρεε να είναι όχι η ] αλλά [ η w(x, t) την οοία όµως ϑέλουµε να ϐρούµε! x Είσης, είναι κατανοητό ότι ϐάζοντας την ], δηλαδή την αρχική συνθήκη αυτό ου ϑα ροκύψει είναι κάτι ου δεν εξαρτάται αό το χρόνο και αυτό ϑα συνέβαινε για οοιαδήοτε αρχική συνθήκη, διότι αό τον ορισµό της η αρχική συνθήκη δεν εξαρτάται αό το χρόνο. Εοµένως, ϕυσιολογικά, η αντικατάσταση του n ου ϐρήκατε µε αυτή τη διαδικασία, στην d n (t) dt + n n (t) = q n (t) (εδώ αλώς για λόγους οικονοµίας χώρου δεν δίνουµε την ακριβή µορφή των q n (t) την οοία έχουµε δώσει ιο άνω στην αάντηση) σας οδηγεί στη σωστή όντως διαίστωση ότι d n (t) dt =, αλλά δυστυχώς η όλη λογική είναι λάθος. Αυτό ου υολογίζετε µε αυτό τον τρόο δεν είναι τίοτε άλλο αό τον συντελεστή n ()! Είσης (η αρατήρηση τούτη είναι κάως σχετική µε την ροηγούµενη αρατήρηση), ενώ κάοιοι ολύ σωστά ϕθάσατε στην εξίσωση d n (t) dt +n n (t) = q n (t) µετά δώσατε ως λύση την [ n (t) x ] sin(nx)dx (ή οοιαδήοτε άλλη συνάρτηση ϐρήκατε ως αρχική συνθήκη), ράγµα το οοίο είναι και αυτό λάθος! (α ). Θεωρείστε το αρακάτω µη-οµογενές ρόβληµα στο διάστηµα [, ] X + KX = f(x), < x < µε τις εξής οµογενείς Συνοριακές Συνθήκες X() =, X() = Να ροσδιορίσετε τις τιµές του K για τις οοίες υάρχει ϐεβαιότητα ότι το ρόβληµα έχει λύση. Αάντηση : Η αάντηση δίνεται µέσω του Fredholm s Alterntive, το οοίο ϐρίσκεται στο αρχείο _Genik_Provlimt_Idiotimwn.pdf (σηµειώσεις άνω στα Γενικά Προβλήµατα Ιδιοτιµών) στις 5

6 σελίδες αό Γ-Π-Ι-34 ως και Γ-Π-Ι-37. Η ουσία ειναι ότι είµαστε ϐέβαιοι ως το ρόβληµα έχει λύση όταν η K δεν είναι κάοια αό τις ιδιοτιµές του αντίστοιχου ροβλήµατος ιδιοτιµών, δηλαδή όταν το οµογενές ρόβληµα έχει µόνο τις τετριµένες λύσεις. Εδώ το οµογενές ρόβληµα είναι το X = KX, < x < X() =, X() = το οοίο είναι το κλασσικό ρόβληµα ιδιοτιµών µε ΣΣ Dirichlet. Τις µη-τετριµένες λύσεις αυτού του ροβλήµατος τις λαµβάνουµε αν το K άρει τις τιµές K n = ( n ) τις οοίες ως γνωστό ονοµάζουµε ιδιοτιµές. Αρα, για να είµαστε ϐέβαιοι ότι το µη-οµογενές ρόβληµα έχει λύση, αρκεί να ισχύει ότι K n ( n ) Αρκετοί µερδεύτηκαν και ϑεώρησαν ως ρόβληµα ιδιοτιµών της οµογενούς συνάρτησης το εξής ρόβληµα X + (K + λ)x =, X() =, X() = < x < το οοίο είναι λάθος! Το ϑεώρηµα Fredholm s Alterntive είναι σαφές. Σχετίζει τη λύση της µη-οµογενούς µε τη λύση της οµογενούς, η οοία οµογενής, είναι ρόβληµα ιδιοτιµών το οοίο αντιστοιχεί στο ρόβληµα ιδιοτιµών (4) µε p = σ =, q =, της σελίδας Γ-Π-Ι- των σηµειώσεων στο αρχείο _Genik_Provlimt_Idiotimwn.pdf ή εειδή το ρόβληµα µας είναι µονοδιάστατο αντιστοιχεί στο ρόβληµα ιδιοτιµών S- µε p = r =, q = της σελίδας S-- των σηµειώσεων του αρχείου _Sturm-iouville, δηλαδή είναι το κλασικό ρόβληµα ιδιοτιµών Fourier. Η µόνη διαφορά είναι ότι άντί να ονοµάζουµε λ τις ιδιοτιµές, τις ονοµάζουµε K. Κάνοντας την ιο άνω (λάθος) ϑεώρηση λύνετε το ρόβληµα ιδιοτιµών S- µε p = r =, q = K = σταθ. Παρόλα αυτά, εειδή είναι ειδική η ερίτωση και µόνο γι αυτό, αυτό το λάθος δεν κοστίζει ολύ µε την έννοια του ότι, σύµφωνα µε την ερµηνεία ου δόθηκε, ότι δηλαδή µόνο το λ είναι η ιδιοτιµή στο άθροισµα (K + λ) (εφόσον αοτελεί λύση του S- µε p = r =, q = K = σταθ.), η λύση του ροβλήµατος δίνει αλώς τις ιδιοτιµές του κλασσικού ροβλήµατος, µετατοισµένες κατά µία σταθερή οσότητα K. εν αύει όµως να είναι λάθος ερµηνεία του συγκεκριµένου ροβλήµατος. Το οµογενές ρόβληµα έχει συγκεκριµένη λύση, διότι έχουµε δώσει τις ΣΣ και ξέρουµε ότι έχει λύση µόνο για ϑετικές τιµές του K = ( n ). Αρκετοί έκαναν διερεύνηση λέγοντας τι συµβαίνει για κάθε τιµή του K χωρίς να αναφέρουν στο τέλος ότι µόνο η µία ερίτωση εικρατεί στο τέλος. (ϐ ). Να λυθεί η εξίσωση plce σε κυκλικό δακτύλιο µε = < r < = b µε τις εξής Συνοριακές Συνθήκες u(, θ) = sin θ u(b, θ) = Αάντηση : Η αάντηση ϐρίσκεται στο αρχείο 4_plce_Polikes_Syntetgmenes.pdf, στο οοίο µελετάµε την εξίσωση plce σε ολικές συντεταγµένες. Για την ακρίβεια το ρόβληµα έχει µελετηθεί στις σελίδες αό, -ΠΣ- ως και -ΠΣ-5 και ϑα ακολουθήσουµε το συµβολισµό ου χρησιµοοιήσαµε σε αυτές τις σελίδες. Βέβαια στις σηµειώσεις δεν έχουν λυθεί τα συστήµατα και έτσι, στη λύση τους ϑα ροχωρήσουµε τώρα ϑεωρώντας δεδοµένες τις σχέσεις (Συντ-)-(Συντ- 6). Για λόγους ληρότητας δίνουµε τη µορφή της γενικής λύσης Εχουµε ως u(r, θ) = C + D ln r + ( Cn r n + D n r n) ( cos(nθ) + An r n + B n r n) sin(nθ) u(, θ) = g(θ) = sin θ u(, θ) = h(θ) = 6

7 ϑέτωντας =, b = και εφόσον ln =, οι σχέσεις γίνονται, (Συντ-) (Συντ-) (Συντ-3) (Συντ-4) (Συντ-5) (Συντ-6) C = sin θdθ C + D ln = dθ = + D n = sin θ cos(nθ)dθ, n + B n = sin θ sin(nθ)dθ, n n + D n n = cos(nθ)dθ =, n n + B n n = sin(nθ)dθ =, n Υολογίζουµε τα ολοκληρώµατα, και λαµβάνοντας υόψιν µας ότι sin θ = [ cos(θ)] αίρνουµε ότι και ότι sin θ cos(nθ)dθ = cos(nθ)dθ sin θ sin(nθ)dθ = sin(nθ)dθ [ cos(θ)] cos(nθ)dθ = cos(θ) cos(nθ)dθ =, n =, n [ cos(θ)] sin(nθ)dθ = cos(θ) sin(nθ)dθ = = Τα αοτελέσµατα αυτά ροκύτουν αό τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοοίησης των σειρών Fourier. Ετσι, τελικά έχουµε, (Συντ-) (Συντ-) (Συντ-3) (Συντ-4) (Συντ-5) (Συντ-6) C = C + D ln = + D n = + B n = n + D n n = n + B n n =, n =, n 7

8 Θυµηθείτε ότι n. Τότε για n ισχύει ότι = D n =, ενώ για n ισχύει ότι = B n =. Αυτό είναι εύκολο να δειχθεί διότι λύνοντας για αράδειγµα τις (Συντ-4) και (Συντ-6) ροκύτει ότι = B n και µετά ότι ( n n ) = οι οοίες δεδοµένου ότι n έχουν λύση µόνο αν =, άρα και B n =. Αντίστοιχα λύνεται και η ερίτωση για τα, D n, n. Τώρα, για n = εύκολα άλι ροκύτει ότι C = 3, D = 8 5. Τέλος, D = ln. Άρα, η λύση είναι η u(r, θ) = [ ] [ ln r + ( ln 3 )r ( 8 ] 5 )r cos(θ) Εναλλακτικός Τρόος Λύσης : Εξαιτίας της ολύ αλής και ϐολικής (όσον αφορά τις σειρές Fourier) µορφής των συνοριακών συνθηκών µορούµε να ούµε τα εξής, u(r, ) = C + (C n + D n ) cos(nθ) + ( + B n ) sin(nθ) = cos(θ) u(r, ) = C + D ln + ( Cn n + D n n) ( cos(nθ) + An n + B n n) sin(nθ) = Αό τις οοίες χωρίς κανένα υολογισµό ολκληρωµάτων και εξαιτίας του γεγονότος ότι η έκ- ϕραση cos(θ) είναι σε µορφή σειράς Fourier, µορούµε να διαβάσουµε κατευθείαν του συντελεστές και έτσι έχουµε το σύστηµα (Συντ-) (Συντ-3) (Συντ-4) C = + D n = + B n =, n =, n εξαιτίας της ρώτης ΣΣ, ενώ αό τη δεύτερη ΣΣ ροκύτει (Συντ-) (Συντ-5) (Συντ-6) C + D ln = n + D n n = n + B n n = Για το ολοκλήρωµα sin θ sin(nθ)dθ δεν µορείτε να είτε ότι για n είναι ίσο µε µηδέν εικαλλούµενοι ορθογωνιότητα λόγω σειράς Fourier, διότι το sin θ δεν είναι της µορφής όρου ηµιτονικής σειράς Fourier (δηλαδή δεν είναι ροφανώς της µορφής sin(nθ)). Αυτός είναι και ο ϐασικός λόγος για τον οοίο ριν υολογίσουµε οοιοδήοτε ολοκλήρωµα ϑεωρήσαµε την έκφραση sin θ = [ cos(θ)], έτσι ώστε να ϕέρουµε τον όρο σε µορφή όρου σειράς Fourier. Το γεγονός ότι τελικά το συγκεκριµένο ολόκλήρωµα είναι ίσο µε µηδέν, δεν σηµαίνει ως η υόθεση ου έγινε δεν είναι λάθος. Θέµα-4 (.5 µονάδες) Να λυθεί η εξίσωση Η συνάρτηση sin θ είναι σαφέστατα άρτια στο διάστηµα [, ] ενώ η sin(nθ) είναι εριττή στο ίδιο διάστηµα, άρα ϑα µορούστατε να είτε ότι το ολοκλήρωµα Συντ-4 είναι ίσο µε µηδέν µόνο και µόνο εειδή είναι ολκλήρωµα µία εριττής συνάρτησης στο διάστηµα [, ]. Ιδιο ειχείρηµα δεν ισχύει για το ολοκλήρωµα Συντ-3 το οοίο είναι οοκλήρωµα άρτιας συνάρτησης στο [, ] εφόσον η cos(nθ) είναι άρτια στο ίδιο διάστηµα. ψ x + ψ = ψ + 3, < x <, < y < y 8

9 µε ΣΣ ψ(, y) =, x = ψ(, y) =, x = ψ(x, ) =, y = ψ(x, ) =, y = Αάντηση : Το ρόβληµα αυτό λύνεται µε τη µέθοδο ανατύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις. Θα ροτι- µηθεί η Μέθοδος-, όως αυτή αρουσιάζεται στη σελίδα Γ-Π-Ι-43 του αρχείου _Genik_Provlimt_Idiotimwn. Εκ αραδροµής, γράφτηκε στα ϑέµατα ότι αυτή η εξίσωση είναι η Poisson. Στην ραγµατικότητα δεν είναι (στην Poisson όως την έχουµε ορίσει, το δεξί µέλος δεν εξαρτάται αό την άγνωστη συνάρτηση), αλλά αυτό δεν αλλάζει σε τίοτε τη µέθοδο είλυσης. Είσης έχουµε οµογενείς ΣΣ. Για H = =, οι ιδιοσυναρτήσεις και οι ιδιοτιµές της αντίστοιχης Helmholtz, είναι οι Ψ nm = sin(nx) sin(ny) λ nm = (n) + (m) Εοµένως ϑεωρύµε ότι η λύση µας είναι της µορφής Ψ(x, y) = m= sin(nx) sin(ny) και ϑέλουµε αλώς να ροσδιορίσουµε τα. αντικαθιστούµε το ανάτυγµα στην εξίσωση και αίρνουµε : ( ) sin(nx) sin(ny) = sin(nx) sin(ny) + 3 m= m= [sin(nx) sin(ny)] = m= m= sin(nx) sin(ny) + 3 όµως οι sin(nx) sin(ny) είναι ιδιοσυναρτήσεις του µε ιδιοτιµές λ nm ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιµές της Helmholtz) άρα έχουµε (αυτό σηµαίνει ότι είναι οι Εοµένως, m= m= ( + λ nm ) = λ nm [sin(nx) sin(ny)] = m= ( + λ nm ) [sin(nx) sin(ny)] = 3 3 sin(nx) sin(ny)dxdy = 4 sin (nx) sin (ny)dxdy sin(nx) sin(ny) + 3 = + λ nm nm [( )n ][( ) m ], αν κάοιος εκ των m, n, είναι άρτιος = αν και ο m και ο n είναι εριττοί 48 (+λ nm ) mn, 3 sin(nx) sin(ny)dxdy όου ροφανώς λ nm = (n) + (m). Εναλλακτικός Τρόος Λύσης : Μορούµε εναλλακτικά να ακολουθήοσυµε τη Μέθοδο-, όως 9

10 αυτή αρουσιάζεται στη σελίδα Γ-Π-Ι-39 του αρχείου _Genik_Provlimt_Idiotimwn. Με αυτή τη µέθοδο διαλέγουµε µία αό τις δύο οµογενείς διευθύνσεις, έστω την x και τότε ροκύτει οότε ανατύσουµε ως εξής Ψ(x, y) = X n (x) = sin(nx) λ n = (n) b n (y) sin(nx) και µε άµεση αντικατάσταση στη διαφορική εξίσωση [ d b n (y) dy [ d b n (y) Εοµένως, ροκύτει ότι διότι q n = dy ] (n) b n (y) sin(nx) = b n (y) sin(nx) + 3 ] [(n) + ]b n (y) sin(nx) = 3 d b n (y) dy [(n) + ]b n (y) = q n = 6 n [( )n ] 3 sin(nx)dx = 6 n [( )n ], ανεξάρτητα του y Οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες (εειδή οι b n εξαρτούνται αό την y) είναι τώρα οι Ψ(x, ) = Ψ(x, ) = b n () sin(nx) = b n () = b n () sin(nx) = b n () = οι οοίες είναι και αυτές οµογενείς. Η λύση τελικά είναι η [(n) + ]b n (y) = sinh [n( y)] q n sinh(nξ)dξ + + sinh(ny) = q n n sinh [n( y)] [cosh(n) ] q n sinh(ny) sinh(n) n q n sinh [n( ξ)] dξ Μορεί να δειχθεί ότι αρόλο ου ϕαίνονται τόσο διαφορετικές οι δύο εκφράσεις µεταξύ τους το τελικό αοτέλεσµα είναι το ίδιο ανεξάρτητα αό το αν ακολουθήθηκε η Μέθοδος- ή η Μέθοδος-. Κάτι τέτοιο όµως δεν είναι του αρόντος. Πολλοί ου αοφάσισαν να λύσουν το ρόβληµα µε τη Μέθοδο-, δηλαδή την εναλλακτική όως αρουσιάστηκε εδώ, χρησιµοοίησησαν την εξής έκφραση, για την εξίσωση ου ικανοοιεί η b n : d b n (y) dy (n) b n (y) = (ψ + 3) sin(nx)dx = q n (y)

11 δηλαδή χρησιµοοίησαν στη ϑέση της συνάρτησης g(x, y) των σηµειώσεων, την (ψ + 3) εξαιτίας του δεξιού µέλους της εξίσωσης ου σας δόθηκε να λύσετε. Κάτι τέτοιο, ροφανώς δεν είναι σωστό διότι ολύ αλά η ψ είναι η άγνωστη συνάρτηση άρα δεν έχετε τρόο να υολογίσετε τους συντελεστές της στην ηµιτονική σειρά Fourier. Ανακαλέστε ότι η g(x, y) η οοία δίνεται στο δεξί µέλος της Poisson είναι µία συνάρτηση ου ϑεωρείται άντα γνωστή! Υάρχουν εριτώσεις κατά τις οοίες η µορφή του µη-οµογενούς ορου της Poisson είναι τέτοια ώστε να µορούµε να µαντέψουµε µία ειδική λύση της Poisson. Σε αυτή την ερίτωση µορεί να µας συµφέρει να σασουµε την άγνωστη συνάρτηση σε άθροισµα δύο όρων όου ο ένας είναι λύση της plceκαι ο άλλος η ειδική λύση της Poisson. Οµως το ρόβληµα µας, δεν είναι κλασσικό Poisson όως έχουµε ει και κάτι τέτοιο δεν µορεί να γίνει, διότι αν υοθέσουµε ότι ψ(x, y) = v(x, y) + w(x, y), µε τότε µένει η v xx + v yy = w xx + w yy = ψ + 3 = v(x, y) + w(x, y) + 3 αό την οοία δεν µορούµε αοκοµίσουµε κάτι διότι το δεξί µέλος εξαρτάται λέον όχι µόνο αό την w αλλά και αό την v, µε αοτέλεσµα όχι αλώς να µην είναι εύκολο, αλλά να είναι αδύνατον να µαντέψουµε τη µορφή της λύσης. Ακόµη και αν γινόταν η υόθεση ψ(x, y) = v(x, y) + w(x, y), µε v xx + v yy = v(x, y) είναι εύκολο να δει κανείς ότι δεν ϑα µορούσε να αοκοµιστεί κάτι όσο ϐασιζόµαστε στο ότι ρέει να µαντέψουµε µία ειδική λύση για την w διότι εί της ουσίας εανερχόµαστε στο αρχικό ρόβληµα. Οι όοιες αρατηρήσεις είναι ευρόσδεκτες!

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα. ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x) 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso..

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με ειφύλαξη αντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 60-61, 2003 Ειµόρφωση ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης ηµήτρης Ντρίζος, Γιάννης Τυρλής Μαθηµατικοί.Ε., Μ..Ε.(M.Ed.) τµ. Μαθ/κών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση :

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση : Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Στις ερωτήσεις - 5 να ειλέξετε την σωστή αάντηση :. Η ερίοδος µιας γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης α. εξαρτάται άντα αό τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 14 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΜΟΡΦΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΤΙΒΑΚΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Ειβλέων καθηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο, τα οοία αέχουν αόσταση (Ο 1 Ο )=d=4m, ενός άειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υάρχουν δυο ηγές κύματος, οι οοίες αρχίζουν να ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ. Υάρχει συάρτηση f : R R : f ( ) + f( ) =, για άθε. Υάρχει συάρτηση f ορισµέη αι συεχής [,+ ), η οοία δε αρουσιάζει αρότατο στο 3. ίεται συάρτηση f τέτοια ώστε f f = +, R. Υάρχει συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ηµήτρης Αθανασίου Φυσικός ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ερωτήσεις ολλαλής ειλογής.περιοδικά

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3 - 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + )

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

= 2L. Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση En

= 2L. Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση En Πρόβηµα ΑειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Θεωρούµε αειρόβαθο κβαντικό ηγάδι άχους, στο οοίο βρίσκεται εγκωβισµένο ηεκτρόνιο στην θεµειώδη κατάσταση Ε ιασιάζουµε το άχους του σωήνα ού αότοµανα βρεθεί η ιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές.

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα.

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα. Ταλάντωση μετά αό κόψιμο του νήματος. Σώματα δεμένα με νήμα σε κατακόρυο ελατήριο. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες = g και Μ = g και συνδέονται με νήμα. Το σώμα μάζας αέχει αό το δάεδο αόσταση H = 7

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ 2D ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΕΠΙΛΥΣΗ 2D ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ 2D ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1. Εισαγωγή Ο αντικειµενικός σκοός των σηµειώσεων αυτών είναι η ανάτυξη ενός κώδικα ανάλυσης διδιάστατων δικτυωµάτων (2D-trusses) στο υολογιστικό

Διαβάστε περισσότερα

6. Η κβαντική διεμπλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier

6. Η κβαντική διεμπλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier 6. Η κβαντική διεμλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr Σύνοψη Η κβαντική διεμλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr δεν σχετίζονται άμεσα μεταξύ τους, αοτελούν όμως τη βάση ολλών κβαντικών υολογισμών.

Διαβάστε περισσότερα