ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x"

Λωΐς Σκλαβούνος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια: (α) sin( ) sin 0 4 (β) / / (γ) 0 tan (δ) 0 Υόδειξη: Χρησιµοοιείστε όου χρειάζεται τον κανόνα του L Hospital. Στα (γ) και (δ) βρείτε ρώτα το όριο του λογάριθµου του ζητούµενου ορίου. ΛΥΣΗ α) sin( ) sin 0 4 cos ( ) sin cos cos sin cos sin LH.. LH.. LH.. cos 4 sin cos sin 0 sin 8sin 4 cos 4cos sin 4sin cos 0 4 4sin 8sin 8 cos 8cos sin 0 4 4sin 4cos ( ) 4 cos 8 sin ( ) 8sin 8cos Λύση β) Ο κανόνας ηλίκων οδηγεί σε αροσδιόριστη µορφή 0/0 οότε έχουµε: / 0 εειδή / tan tan ln tan ln Αρκεί να βρω το tan ln 0 Λύση γ)

2 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ln tan sin sin sin sin.. LH Άρα 0 tan ln 0 ln ln 0 Υολογίζω το li m ln Λύση δ) LH.. ( ) 4 ln 4 4 ( ) ( ) 0 Άρα ln 0. (0 µον.) (α) Αν y δείξτε ότι y '' / y όου y' dy/ dδηλώνει την αράγωγο της συνάρτησης y() ως ρος. Λύση α Παραγωγίζοντας ως ρος τη σχέση y (*) έχουµε yy ' 0 y ' / y (**) οότε αραγωγίζοντας και άλι ως ρος αίρνουµε y'' / yy'/ y y'' ( y ) / y όου κάναµε χρήση της σχέσης (**). Τελικά, λόγω της αρχικής σχέσης (*) βρίσκουµε y'' / y (β) Να υολογισθεί η αράγωγος y' dy/ d της συνάρτησης y /

3 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Χρησιµοοιείστε αν θέλετε λογαρίθµους). y, ln ( ) ΛΥΣΗ β y' ' ln ' ln ln ln ln (γ) Aν ρ(θ) cosθ, y ρ(θ) sinθ, δείξτε ότι δηλώνουν αραγώγιση ως ρος θ. p(θ) cosθ, y p(θ) sinθ ΛΥΣΗ γ ' yy ρ, όου οι τόνοι y y' ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ' yy ' pcos θ p'cosθ psinθ psin θ p'sinθ pcosθ y ' y ' p cos θ p 'sinθ p cosθ p sin θ p 'cosu p sinθ pp 'cos θ p 'cosθsin θ pp 'sin θ p cosθsinθ pp 'cosθ p cos θ pp 'cosθsinθ p sin θ ( θ θ) ( cos θ sin θ) pp 'cos sin p ' p p (δ) Aν (y) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της y y(), τότε η εξίσωση y y y'' y' y' 0 µετασχηµατίζεται στην ''. ΛΥΣΗ δ Εειδή y y Παραγωγίζοντας την y ως ρος έχω: (y ) (y ) y 0 y Έτσι η y y (y ) (y ) 0 γίνεται: (y ) y y 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (α ) (5 µον.) Εξετάστε αν η ακόλουθη συνάρτηση, 0 / f( ) 0, 0 είναι αραγωγίσιµη στο 0. ΛΥΣΗ α Eξετάζουµε αν υάρχει το όριο y

4 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ( ) ( ) ( ) f f 0 f ξεχωρίζοντας τις εριτώσεις: 0 u 0 u u 0 u Αφού τα δύο αυτά όρια δεν ισούνται, δεν υάρχει το 0, άρα η f δεν είναι αραγωγίσιµη στο 0 (β) (0 µον.) Βρείτε τις τιµές των α, β και γ ώστε η συνάρτηση sin cos, < 0 f ( ) γ, 0 sin α β, > 0 να είναι συνεχής στο 0. ΛΥΣΗ β Πρέει f () f (0) γ. 0 sin cos L.H. cos (cos sin ) f () sin sin 0 0 εοµένως ρέει γ. Πρέει sin α f () β 0 0 sin α β cos α 9β 9 L.H. 0 0 Αν ο αριθµητής του ορίου τείνει σε οοιοδήοτε ραγµατικό αριθµό εκτός του µηδενός η ισότητα αυτή είναι αδύνατη. Πρέει λοιόν (cos α 9β ) 0 Έτσι 0 0 (cos α β ) 0 α 0 α 4

5 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Οότε cos α β cos β 0 0 sin 6β cos 6β 6 6 L.H. β 0 0 L.H. 4. Χρησιµοοιώντας το Θεώρηµα Μέσης Τιµής: (α) (5 µον.) Θεωρείστε τη συνάρτηση f ( ) ln( ) όου ln( ) δηλώνει τον λογάριθµο µε βάση το και δείξτε ότι για κάθε ζεύγος ραγµατικών αριθµών µε α β ισχύει f(α) - f(β) α - β. ΛΥΣΗ 4α f ln ( ) ( ) f: συνεχής στο [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β) f '( ) Άρα αό το θεώρηµα µέσης τιµής υάρχει f a f β ξ f a f β ξ f a f ξ ( β, a) : f '( ξ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( β ) α β ξ α β ξ α β Αρκεί να δειχτεί ότι ξ ξ ξ ξ 0 ξ ξ ξ το οοίο ισχύει. f ( a) f ( β ) Άρα f ( a) f ( β ) α β α β ξ (β) (5 µον.) Nα δειχθεί ότι n Θεωρώ την f ( ) ( ) ( ) n n n n nβ a β α β na aβ n µε 0 < β <α ΛΥΣΗ 4β ( ) n Αυτή είναι συνεχής στο [β,α] και αραγωγίσιµη στο (β,α) f '( ) n n n f ( a) f ( β ) n a β n Αό το θεώρηµα µέσης τιµής υάρχει ( βα, ): n n α β α β Όµως, εφόσον είναι όλα θετικά, είναι: n n n n n n n n n α β n 0 < β < χ < α β < < a nβ < n < na nβ < < na a β n n n n nβ ( a β) < a β < na ( a β) εφόσον α-β>0 5. (α) (5 µον.) είξτε ότι η συνάρτηση διάστηµα [, ]. g ( ) έχει µια µόνο ρίζα στο 5

6 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΗ 5α Θεωρούµε τη συνάρτηση g( ). Εειδή g()g() - και η g (ως ολυωνυµική) είναι συνεχής, αό το θεώρηµα Bolzano συνεάγεται ότι στο [, ] υάρχει τουλάχιστον ένα 0 τέτοιο ώστε g (.Εειδή στο (,), η g() είναι γνησίως αύξουσα στο (,) οότε η ρίζα είναι 0) 0 g'( ) > 0 µοναδική. (β) (0 µον.) Για να βρείτε τη ρίζα αυτή υολογιστικά γράψτε την εξίσωση g() 0 στη µορφή f(), ειλέγοντας µια κατάλληλη f(), ώστε η ακολουθία{ n }ου ροκύτει αό τη σχέση n f( n ), n 0,,, όου 0 [, ], να συγκλίνει στη ζητούµενη ρίζα. Υόδειξη: οκιµάστε την: n n n f ( n ) (*) 4n µε 0 και βρείτε τη ρίζα µε ακρίβεια ψηφίων. Πόσες εαναλήψεις της (*) χρειαστήκατε; ΛΥΣΗ 5β Η εξίσωση g()0 γράφεται f( ) 4 4 ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) το οοίο ικανοοιεί για κάθε [, ]. 4 Εοµένως η εαναλητική σχέση n f( n ), n 0,,, όου 0 [, ], θα συγκλίνει στη ζητούµενη ρίζα. Για να το δούµε αυτό υολογίζουµε µε 0 : f( 0),5 4 f( ).775, f( ), , 4 f( ),4857, 5 f( 4), f( 9 ),504544,.., 6 f( 5),50, 7 f( 6),5057,.., οότε και οι εαναλήψεις έχουν σταθεροοιήσει τα ρώτα δεκαδικά ψηφία. Η τιµή της ρίζας µε ακρίβεια 9 δεκαδικών ψηφίων είναι ρ (γ) (5 µον.) οκιµάστε τώρα µια εαναλητική σχέση µε f ( ) ( ) / f ( ) (**) n n Ποιά συγκλίνει ιο γρήγορα στη ζητούµενη ρίζα, η (*) ή η (**) και γιατί; ΛΥΣΗ 5γ Αφού n n f( ) ( ) 6 f '( )

7 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι έχουµε: f '( ). 5 στο διάστηµα [, ] και η εαναλητική σχέση (**) θα συγκλίνει αλλά ιο αργά αό την (*) αφού η τιµή της f '( ρ ) στη ρίζα ρ είναι µικρότερη για την (*) αό ότι είναι για την (**). Για να το δούµε αυτό θέτουµε άλι 0 και εαναλαµβάνοντας την (**) αίρνουµε f( ) 0 f( ),50, f( ),760, 4 f( ),87488, 5 f( 4), , 6 f( 5), ,, f( ),540785, 4 f( ),5649, οι δε εαναλήψεις συνεχίζουν να δίνουν αριθµούς εναλλάξ άνω και κάτω αό το όριο µέχρις ότου σταθεροοιήσουν τα ρώτα δεκαδικά ψηφία του ορίου στο 7 ο βήµα: f( ),5756, f( ),50649, 7 6 Εοµένως, η (*) συγκλίνει ιο γρήγορα (α) (5 µον.) Σε ένα είραµα µελέτης της σχέσης µιας µεταβλητής y αό την, καταγράφονται οι αριθµοί (, y) (,.), (,.8), (, 5.8), (4, 8.) και αναζητείται η ευθεία y α ου εριγράφει καλύτερα τη γραφική τους αράσταση. Ένας τρόος να γίνει αυτό είναι να ελαχιστοοιηθεί το συνολικό σφάλµα, f(α), f ( α) (. α) (.8 α) (5.8 α) (8. 4 α) των τετραγωνικών αοστάσεων των σηµείων αό την ευθεία. Βρείτε την τιµή του α ου ελαχιστοοιεί τη συνάρτηση σφάλµατος f(α). ΛΥΣΗ 6α Αφού ζητάµε το ελάχιστο της συνάρτησης σφάλµατος αίρνουµε την αράγωγό της ως ρος την άγνωστη αράµετρο α: f '( a) (. a)( ) (.8 a)( ) (5.8 a)( ) (8. 4 a)( 4) f '( a) 4.4 a 5. 8a 4.8 8a 65.6 a, f '( a) 60a 0 και την θέτουµε ίση µε το µηδέν οότε έχουµε: f '( a) 0 60a 0 0 a f ''( a) 60 f ''() 60 > 0 Άρα η κλίση της γραµµικής ροσέγγισης y α των δεδοµένων ου δίνει την ελάχιστη τιµή του σφάλµατος είναι α. (β) (0 µον.) Ένας κατασκευαστής κώνων µε κοµφετί, θέλει να γεµίσει κώνους µε κυκλική βάση ακτίνας R και ύψος, µε µια οσότητα κοµφετί όγκου V R / / σε κάθε κώνο. Ποιες ρέει να είναι οι διαστάσεις R, του κώνου ώστε να ελαχιστοοιείται η εξωτερική του ειφάνεια S R R, αν ο κώνος είναι ανοικτός (δηλαδή δεν υολογίζουµε την κυκλική βάση); Ποιες είναι οι διαστάσεις αυτές αν ο κώνος είναι κλειστός; Υόδειξη: Μελετήστε καλά τις ασκήσεις των σελ. 0 05, 5. ΛΥΣΗ 6β (β) (0 µον.) Ένας κατασκευαστής κώνων µε κοµφετί, θέλει να γεµίσει κώνους µε κυκλική βάση ακτίνας R και ύψος, µε µια οσότητα κοµφετί όγκου V R / / σε κάθε κώνο. Ποιες ρέει να είναι οι διαστάσεις R, του κώνου ώστε να ελαχιστοοιείται η εξωτερική του ειφάνεια S R R, αν ο κώνος είναι ανοικτός (δηλαδή δεν υολογίζουµε την κυκλική βάση); 7

8 ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ποιες είναι οι διαστάσεις αυτές αν ο κώνος είναι κλειστός; Υόδειξη: Μελετήστε καλά τις ασκήσεις των σελ. 0 05, 5. S R R και εµβαδόν βάσης R. V R R R Αν ο κώνος είναι ανοιχτός, η συνάρτηση ου δίνει το εµβαδόν της αράλευρης ειφάνειας του κώνου είναι: E ( ) Για να βρούµε την τιµή του όου η συνάρτηση αυτή έχει ακρότατο αίρνουµε την αράγωγό της και τη θέτουµε ίση µε το µηδέν: / E ( ) 0 ( ), αό όου αµέσως ροκύτει () και / /6 R ( ) (). Το ότι το ακρότατο αυτό είναι τοικό ελάχιστο διαιστώνεται αίρνοντας τη δεύτερη αράγωγο της συνάρτησης Ε(): E 6 ''( ) (6 8 ) / 4 ( ) / και αρατηρώντας ότι είναι θετική για () Αν θεωρήσουµε όµως ότι ο κώνος είναι κλειστός τότε η συνάρτηση του εµβαδού του και οι αντίστοιχες αράγωγοι αυτού είναι: ( ) ( ) ( ) E E ( ) ( ) ( ) 9 E ( ) 4 Θέτοντας άλι τη ρώτη αράγωγο ίση µε το µηδέν βρίσκουµε: ( ) E ( ) 0 ( ) ( ) 9* E () > 0 4 Άρα έχουµε ελάχιστο για και R

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»