ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης

Transcript

1 ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 60-61, 2003 Ειµόρφωση ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης ηµήτρης Ντρίζος, Γιάννης Τυρλής Μαθηµατικοί.Ε., Μ..Ε.(M.Ed.) τµ. Μαθ/κών Παν. Αθηνών Abstract Th qustion concrning th comparison btwn th numbrs and can b solvd through Analysis, dfining th monotony and th trm valus of a suitabl function. Th crucial point for th solution of this problm is th slction of appropriat function. Looking for th rlativ bibliography w couldn t find th ncssity of th particular slction and morovr w hav th imprssion that two things ar missing: a) planations of how th proposd function was discovrd, b) usually thr is no planation of th discovry of mor than on function doing th job. In this study w ar trying to dal with ths two problms. W prsnt a solution is basd th gomtric point of viw. Περίληψη Το ρόβληµα της σύγκρισης των αριθµών και µορεί να ειλυθεί µε τη βοήθεια της Ανάλυσης, µε τον ροσδιορισµό της µονοτονίας και των ακροτάτων τιµών µιας γνωστής αό την αρχή κατάλληλης συνάρτησης. Το σηµείο εκκίνησης για τη λύση του ροβλήµατος είναι η ειλογή µιας κατάλληλης συνάρτησης. Αναζητώντας τη σχετική βιβλιογραφία δεν µορέσαµε να βρούµε την αναγκαιότητα της συγκεκριµένης ειλογής και, ειλέον, έχουµε την εντύωση ότι λείουν 2 ράγµατα: Α) Εεξηγήσεις για τον τρόο ου η ροτεινόµενη συνάρτηση βρέθηκε. GREEK MATHEMATICAL SOCIETY / EUCLIDES γ vol , 2004 Training

2 48 ηµήτρης Ντρίζος - Γιάννης Τυρλής Β) Το γεγονός ότι δεν υάρχει συνήθως εεξήγηση για την εξεύρεση ερισσότερων της µιας κατάλληλης για την ερίτωση συνάρτησης. Με την εργασία µας αυτή εξετάζουµε αυτά τα δυο ροβλήµατα. Παρουσιάζουµε, τέλος και µια λύση ου ερµηνεύει γεωµετρικά το ρόβληµα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το ρόβληµα της σύγκρισης των αριθµών και αρουσιάζεται σχεδόν σε όλα τα συγγράµµατα ιαφορικού Λογισµού, είτε ως ροτεινόµενη άσκηση για λύση, είτε ως λυµένη εφαρµογή στον ροσδιορισµό των ακροτάτων τιµών µιας συνάρτησης. Οι συναρτήσεις ου συνήθως ροτείνονται ή χρησιµοοιούνται για την αντιµετώιση του συγκεκριµένου ροβλήµατος είναι οι: ln ή µε > 0. (Βλέε.χ. [3], σελ. 150, 208 και [6], σελ. 296). Και βέβαια κάθε µαθηµατικός γνωρίζει ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι ράγµατι κατάλληλες για την ερίτωση. Αουσιάζει όµως η αρουσίαση κάοιας διαδικασίας ου να αναδεικνύει την αναγκαιότητα της ειλογής αυτών των συναρτήσεων. εν ειχειρείται είσης η διερεύνηση της δυνατότητας να υάρχουν και άλλες συναρτήσεις εξίσου κατάλληλες για την ερίτωση. Στη συνέχεια θα ειχειρήσουµε να αντιµετωίσουµε το ρόβληµα δίνοντας, ιστεύουµε, κάοιες ααντήσεις στα ερωτήµατα αυτά. Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ (δ..) ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρώτη δ.. * Μας ενδιαφέρει η σύγκριση των αριθµών και. Το ενδιαφέρον µας ισοδύναµα εστιάζεται στον ροσδιορισµό του ροσήµου της διαφοράς ή στη σύγκριση του ηλίκου µε τον αριθµό 1. Οι ρώτες αυτές σκέψεις αοτελούν το σηµείο εκκίνησης για την αντι µετώιση του ροβλήµατος στα λαίσια της Ανάλυσης: Η διαφορά * Θεωρούµε γνωστό ότι <

3 ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης 49 µας οδηγεί µε φυσικό τρόο στη συνάρτηση ƒ() =, ενώ το ηλίκο στη συνάρτηση g() =. Προβληµατισµός: Είναι κατάλληλες οι ƒ και g, να συµβάλλουν στη λύση του ροβλήµατός µας; Μήως αυτές οι συναρτήσεις, κατά κάοιο τρόο, διασυνδέονται µεταξύ τους; Κρίσιµες αρατηρήσεις: 1. Εειδή: = 1 και > 0, το ρόβληµά µας ανάγεται, τελικά, στη σύγκριση των τιµών της ( ) h = µε το Εειδή h() = 1 και h( ) =, η αάντηση στο ερώτηµά µας ανάγεται λέον στη σύγκριση των τιµών h(), h(). Και, καθώς <, η λύση θα δινόταν αν ροσδιορίζαµε το είδος της µονοτονίας της συνάρτησης h στο διάστηµα [, ]. Έχουµε: ( ) h =, [, ], µε: ( ) ( ) h =... 0 = = <, για κάθε (0, ). 2 Άρα η συνεχής συνάρτηση h είναι γνήσια φθίνουσα στο [, ]. Οότε, εειδή <, διαδοχικά αίρνουµε: h() > h() 1 > > Προτείνουµε να διαιστώσετε ότι η αάντηση στο ρόβληµα δίνεται, µε εντελώς ανάλογη διδακτική διαδικασία και αό τη συνάρτηση µε [, ].

4 50 ηµήτρης Ντρίζος - Γιάννης Τυρλής Μεθοδολογικές αρατηρήσεις Εειδή <, η σύγκριση των και γίνεται µε τη ειλογή συναρτήσεων ου θεωρούµε ότι έχουν το και όχι το, ως ανεξάρτητη µεταβλητή τους για τους αρακάτω λόγους. Α) Είναι καλλίτερη η συµεριφορά του ρος τις αραγώγους. Β) Με τον τρόο αυτό η µεταβλητή () διατρέχει το διάστηµα [, ] αό αριστερά ρος τα δεξιά. Η λειτουργικότητα της ροηγούµενης αρατήρησης διαιστώνεται αν ειχειρήσετε να αντιµετωίσετε το ρόβληµα της σύγκρισης των και µέσω της συνάρτησης, [, ]. ιατύωση του ερωτήµατος: εύτερη δ.. Να τοοθετήσετε το κατάλληλο σύµβολο ( =, <, >) µεταξύ των αριθµών και, αιτιολογώντας λήρως την ειλογή σας. Σκέψεις : ; ln ; ln, ln (> 1) ln ; ln ln ln ; Στο σηµείο αυτό η εµλοκή της συνάρτησης ( ) ln ƒ = είναι εντελώς φανερή και, µέσω αυτής, το ρόβληµά µας ανάγεται στη σύγκριση των τι- µών ƒ() και ƒ(). Καί, καθώς <, η λύση θα δινόταν, αν ροσδιορίζαµε το είδος της µονοτονίας της συνάρτησης ƒ στο διάστηµα [, ]. Είναι ( ) ln 1 ln ƒ = = < 0, αφού 2 > 0 2 και 1 ln = ln ln = ln < 0 για κάθε (, ).

5 ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης 51 Άρα η συνεχής συνάρτηση ƒ είναι γνήσια φθίνουσα στο [, ]. Οότε, εειδή <, διαδοχικά αίρνουµε: ƒ( ) > ƒ( ) ln ln > ln > ln > Στα λαίσια της δεύτερης διδακτικής ροσέγγισης, η αάντηση στο ρόβληµα δίνεται και αό τη συνάρτηση µε [, ]. ln Τρίτη δ.. Το ρόβληµα: "Να αοδειχτεί ότι > ". Ανάλυση της σχέσης ου θέλουµε να αοδείξουµε: > ln > ln > ln ln> 0 Στην τελευταία ισοδύναµη ρος αόδειξη σχέση, αν θεωρήσουµε το (καθώς < ) ως ανεξάρτητη µεταβλητή, η εµλοκή της συνάρτησης ƒ() = ln, µε [, ] είναι λέον φανερή. Είναι ( ) ƒ = 1 = > 0 για κάθε (, ). Άρα η συνεχής συνάρτηση ƒ είναι γνήσια αύξουσα στο [, ]. Οότε, εειδή <, αίρνουµε: ƒ() < ƒ()... >. Στα λαίσια της τρίτης διδακτικής ροσέγγισης, η αάντηση στο ρόβληµα δίνεται και αό τη συνάρτηση: ln, µε [, ]. Τέλος, εισηµαίνουµε ότι σε όλες τις διδακτικές ροσεγγίσεις ου αρουσιάσαµε, η µελέτη των συναρτήσεων εριορίστηκε στον ροσδιορισµό µόνο της µονοτονίας τους στο διάστηµα [, ].

6 52 ηµήτρης Ντρίζος - Γιάννης Τυρλής Γεωµετρική ερµηνεία του ροβλήµατος y y = y = ð 3 Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 3 ð 4 Παρατηρούµε ότι το εµβαδόν της "λωρίδας" ΑΒΓ (: εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης y =, τον άξονα των και τις κατακόρυφες ευθείες = 1 και = ln) είναι µεγαλύτερο αό το εµβαδόν του ορθογωνίου αραλληλογράµµου ΑΒΕ. Οότε διαδοχικά έχουµε: Εµβ.(ΑΒΓ ) > Εµβ.(ΑΒΕ ) 1 ln d> ( ln 1) [ ] ln ln 1 > ln > ln > ln ln > γιατί (> 1) >

7 ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης 53 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Οι ροτάσεις διδασκαλίας ου διατυώσαµε για τη σύγκριση των και, σε αντιδιαστολή µε τη συνήθη αντιµετώιση του θέµατος ως τυικής εφαρµογής συγκεκριµένου θεωρήµατος σε δεδοµένη εξαρχής συνάρτηση, Πρώτον, εντάσσονται στα λαίσια των αόψεων του G. Polya, όου οι µαθητές: (α) ειραµατίζονται και αρατηρούν, (β) εισηµαίνουν έναν τύο (pattrn), (γ) ανατύσσουν µιαν εικασία, και (δ) ελέγχουν - αοδεικνύουν την εικασία αυτή (εγκυροοίηση της εικασίας), (βλέε.χ. [2] και [5]). εύτερον, αναδεικνύουν και την άλλη όψη των µαθηµατικών έραν του "αοδείξτε ότι...", µε µια ροδιεγραµµένη εξαρχής σειρά βηµάτων αλγοριθ- µικού χαρακτήρα. Τρίτον, καταγράφουν τις διαδικασίες της φάσης της εώασης των ιδεών ου, ιστεύουµε ότι, είναι εξίσου σηµαντικές µε την εόµενη φάση της διατύωσης της λύσης µε εαγωγικό τρόο, (βλέε [4]), και Τέταρτον, ειβεβαιώνουν την άοψη ότι η ορεία είλυσης ενός µαθηµατικού ροβλήµατος δεν είναι άντοτε µονόδροµος (βλέε [4]). Στο ρόβληµα ου αναλύσαµε η άοψη αυτή ειβεβαιώνεται µε τον ροσδιορισµό ερισσοτέρων της µιας κατάλληλων συναρτήσεων, των: ln,,,, - ln και ln - ln

8 54 ηµήτρης Ντρίζος - Γιάννης Τυρλής ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Αραχωβίτης, Ι. (2001). Σηµειώσεις στα λαίσια του µαθήµατος της Τεκ- µηρίωσης των Μαθηµατικών. Τµήµα Μαθ/κών Παν. Αθηνών. [2] Κλαουδάτος, Ν. (1996). Σηµειώσεις του µαθήµατος της ιδακτικής των Μαθηµατικών, Τοµέας ιδακτικής των Μαθηµατικών. Τµήµα Μαθ/κών Παν. Αθηνών. [3] Νεγρεόντης, Σ., Γιωτόουλος, Σ., Γιαννακούλιας, Ε. (1993). "Αειροστικός Λογισµός", τοµ. ΙΙ, εκδ. Συµµετρία, Αθήνα. [4] Ντρίζος,. (2002). "Ο ρόλος των γεωµετρικών ανααραστάσεων στη διδασκαλία της Ανάλυσης". ιλωµατική Εργασία για την αόκτηση Μ..Ε. [5] Polya, G. (2001). "Η Μαθηµατική Ανακάλυψη", τοµ. Ι. µτφ. Στεργιάκης, Σ., Τσαακίδης, Γ., εκδ. Κάτοτρο, Αθήνα. [6] Spivak, M. (1991). " ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισµός", µτφ. Γιαννόουλος, Α., Πανειστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.