ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Έστω έν σωμτίδι μάζς m σε έν δυνμικό της μρφής:, γι < V V, γι > όπυ V κι στθερές με διστάσεις ενέργεις κι μήκυς ντίστιχ. Ν εκτιμήσετε την ενέργει της θεμελιώδυς κτάστσης με χρήση της ρχής της βεβιότητς. Λύση Η ενέργει τυ σωμτιδίυ είνι: V K V m Αλλά σύμφων με την ρχή της βεβιότητς τυ Hisrg ισχύει: Συνεπώς η λόγω της γίνετι: V m Άρ μελετώντς την πρπάνω συνάρτηση Ε, πρσδιρίζετι η θέση πυ κθιστά την ενέργει ελάχιστη, δηλδή την ενέργει της θεμελιώδυς κτάστσης. Οπότε: d d m V m V mv / Επμένως ντικθιστώντς την στην πρκύπτει η ενέργει της θεμελιώδυς κτάστσης ως: / mv V mi m mv / ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Χρησιμπιώντς την ρχή της βεβιότητς εκτιμήστε σε V την τάξη μεγέθυς τυ ελάχιστυ βάθυς Vo πυ θ πρέπει ν έχει έν πηγάδι δυνμικύ πλάτυς =Å= - m ώστε ν κρτάει δέσμι : έν ηλεκτρόνι κι β έν πρωτόνι. 7 Δίνετι:, 5 Joul s, m 9, gr, m, 67 gr Λύση V=V o Η βεβιότητ στη θέση είνι Δ= κι επειδή γι << είνι V= η βεβιότητ στην λική ενέργει είνι: = = V= m m Άρ η ρχή της βεβιότητς τυ Hisrg δίνει: m m Επμένως τ ελάχιστ βάθς τυ δυνμικύ πρέπει ν είνι: V o mi V Αντικθιστώντς τις ριθμητικές τιμές πρκύπτει: o m,5 J s 9, gr m 68 9 V 6,5 Joul V β,5 J s,67 gr m 68 V, Joul V 7 όπυ : 9 V, 6 Joul Δηλδή πρτηρείτι ότι τ ελάχιστ βάθς δυνμικύ πυ πιτείτι γι τ πρωτόνι είνι πλύ μικρότερ πό υτό πυ πιτείτι γι τ ηλεκτρόνι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Σωμτίδι μάζς m κινείτι στ δυνμικά : V κι V m m γι < γι > ντίστιχ. Χρησιμπιώντς τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr ν βρεθύν τ ενεργεικά επίπεδ κι ν συγκριθύν. Λύση Οι γρφικές πρστάσεις των δυνμικών V κι V φίνντι στ κόλυθ σχήμτ. V V Η ρμή τυ σωμτιδίυ πρκύπτει πό την λική ενέργει ως: K V m m m m m m όπυ τ + συμβλίζει την κίνηση πρς τ δεξιά, ενώ τ την κίνηση πρς τ ριστερά. Η γρφική πράστση της στ χώρ των φάσεων είνι η έλλειη τυ κόλυθυ σχήμτς: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Γι = η δίνει m m Γι = η δίνει m m m Σύμφων με τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr είνι: d h όπυ λόγω συμμετρίς τ φσικό λκλήρωμ γι τ δυνμικό V είνι τέσσερις φρές τ λκλήρωμ m d σε κάθε τετρτημόρι. Δηλδή: d m d m m / m d m m / m d m / m m / m 8 m m m / / 8 / m όπυ χρησιμπιήθηκε τ λκλήρωμ : d / Άρ η λόγω της δίνει: 8 m / h h 8 m Ενώ γι τ δυνμικό V τ φσικό λκλήρωμ περιρίζετι στη μισή διδρμή της πρηγύμενης περίπτωσης, λόγω τυ άπειρυ φράγμτς δυνμικύ στ =. / ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συνεπώς η συνθήκη τώρ δίνει: d h m m d h m m / h h m / Η σύγκριση των πρπάνω στθμών φνερώνει ότι ι ενεργεικές στάθμες τυ V είνι υηλότερες των ντιστίχων στθμών τυ V. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Σωμάτι μάζς m πέφτει κτκόρυφ σε ριζόντι δάπεδ κι νπηδά ελστικά. Χρησιμπιήστε τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr γι ν κβντίσετε την κίνηση τυ σωμτίυ κι υπλγίστε τ επιτρεπτά ύη H κι τις ντίστιχες ενεργεικές στάθμες υτύ τυ συστήμτς. Υπλγίστε τ πηλίκ των σχετικών ενεργεικών μετβλών Δ/, στ όρι των μεγάλων ενεργειών κι εξηγείστε τη σημσί τυ. Δίνετι: Λύση d / Η δυνμική ενέργει τυ σωμτίυ σε μι τυχί θέση φείλετι στ βάρς τυ κι είνι V z mgz. Έτσι πό την λική τυ ενέργει πρκύπτει: K V mgz mgz m mgz m m όπυ τ πρόσημ ± συμβλίζυν τη φρά της κίνησης. Η γρφική πράστση της στ χώρ των φάσεων είνι η έλλειη τυ κόλυθυ σχήμτς. Γι z= η δίνει Γι = η δίνει m z / mg m /mg z m Άρ πό τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr πρκύπτει: dz h / mg m mgz dz h / mg m mgz dz h ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ h mg mg mg 8 h mg mgz m mg / / / / h mg 8 / 8 mg h / Τ επιτρεπτά ύη H ντιστιχύν στ σημεί όπυ τ σωμάτι στμτά, δηλδή Κ= κι επμένως: 8 mg h mg H mgh 8 mg h H V / / Τ πηλίκ των σχετικών ενεργεικών μετβλών είνι: 8 mg h 8 mg h / / / / Στ όρι των μεγάλων ενεργειών, δηλδή γι είνι + πότε / / κι η πρηγύμενη δίνει: Η φυσική σημσί τυ τελευτίυ πτελέσμτς έγκειτι στ γεγνός ότι στις μεγάλες ενέργειες, ι ενεργεικές στάθμες είνι δυσδιάκριτες δηλδή πάρ πλύ κντά η μι στην άλλη κι επμένως τ ενεργεικό φάσμ είνι σχεδόν συνεχές.

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Χρησιμπιήστε τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr γι ν υπλγίσετε, ημικλσσικά, τις επιτρεπτές ενεργεικές στάθμες : της μετφρικής κίνησης ενός σωμτιδίυ μάζς m πυ βρίσκετι στ εσωτερικό ενός μνδιάσττυ φρέτς δυνμικύ άπειρυ βάθυς κι πλάτυς. β της περιστρφικής κίνησης ενός μρίυ περί τ κέντρ βάρυς τυ, με ρπή δράνεις Ι ως πρς τν άξν περιστρφής πυ διέρχετι πό τ κέντρ βάρυς τυ. Λύση Η δυνμική ενέργει τυ σωμτιδίυ μέσ στ πειρόβθ φρέρ δυνμικύ είνι V=, πότε πό την λική τυ ενέργει υπλγίζετι η ρμή τυ ως: K V m m όπυ τ πρόσημ ± συμβλίζυν τη φρά της κίνησης. Η γρφική πράστση της στ χώρ των φάσεων φίνετι στ κόλυθ σχήμ. m -/ / m Άρ πό τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr πρκύπτει: d h / m d h m h h m h 8m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β Η δυνμική ενέργει τυ περιστρεφόμενυ μρίυ περί τ κέντρ βάρυς τυ είνι μηδενική V=, ενώ η κινητική τυ ενέργει είνι Κ= /I όπυ η στρφρμή τυ. Επμένως πό την λική τυ ενέργει πρκύπτει: K V I I όπυ τ πρόσημ ± συμβλίζυν τη φρά της περιστρφικής κίνησης. Η γρφική πράστση της στ χώρ των φάσεων φίνετι στ κόλυθ σχήμ. π θ Άρ πό τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr πρκύπτει: dθ h π Idθ h I π h π h I h π I 8I ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Σώμ μάζς m κινείτι σε μνδιάσττ δυνμικό πεδί με συνάρτηση δυνμική ενέργεις V mω, όπυ ω στθερά. Χρησιμπιήστε τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr γι ν υπλγίσετε τις επιτρεπτές μέγιστες πμκρύνσεις κι τις ντίστιχες ενεργεικές στάθμες υτύ τυ συστήμτς. β Αν η κυμτσυνάρτηση της βσικής κτάστσης, όπως πρκύπτει πό την κριβή λύση της εξίσωσης Shrodigr είνι: π / όπυ mω/, ν υπλγίσετε την ιδιτιμή της ενέργεις της βσικής κτάστσης κι ν τη συγκρίνετε με την τιμή πυ πρκύπτει γι την ίδι ενέργει με βάση τ πτελέσμτ τυ ερωτήμτς. Σχλιάστε τη σχέση των δυ πτελεσμάτων. Δίνετι: d r si Λύση Από την λική ενέργει τυ σώμτς πρσδιρίζετι η ρμή τυ ως: K V m mω m mω m mω Η γρφική πράστση της στ χώρ των φάσεων πδίδετι στ κόλυθ σχήμ. Γι = η δίνει : m m Γι = η δίνει : /mω /mω m /mω ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρ πό τη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr πρκύπτει: d h m mω d h / mω / mω m mω d / mω m mω d h mω mω mω mω arsi / mω / mω h Ε mω mω rsi - rsi h mω mω π π h h ω h π ω ω Οι μέγιστες πμκρύνσεις ντιστιχύν στ σημεί όπυ τ σώμ στμτά, δηλδή Κ=. Οπότε: V ω mω mω mω β Η κυμτσυνάρτηση πυ δίνετι επληθεύει την εξίσωση Shrodigr τυ ρμνικύ τλντωτή 8-: mω m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ / / Αλλά είνι: π π πότε: π / π / Αντικθιστώντς την στην κι πλπιώντς στη συνέχει τ εμφνιζόμεν πντύ πρκύπτει: m mω m mω Αλλά: mω/ πότε η τελευτί δίνει: mω mω m mω ω mω mω ω mω mω ω Συγκρίνντς τ πρπάνω πτέλεσμ με υτό τυ ερωτήμτς πρτηρείτι ότι στη βσική κτάστση = η ενέργει είνι Ε= ημικλσσικά, ενώ σύμφων με την εξίσωση τυ Shrodigr κβντμηχνικά είνι ω/. Αυτό φείλετι στην ρχή της βεβιότητς, η πί εισάγει υτή την υσιστική διφρά, πιτώντς μι ελάχιστη ενεργεική στάθμη ίση με ω/. Γι ένν κλσικό τλντωτή, η ελάχιστη ενέργει Ε=, δίνει τις κριβείς κι τυτόχρνες τιμές = κι =, δηλδή μηδενική τλάντωση. Ενώ κβντμηχνικά η ρχή της βεβιότητς τ πγρεύει υτό, επειδή είνι δύντ ν είνι τυτόχρν κριβώς κθρισμένη κι η θέση κι η ρμή τυ σώμτς. Γι τ λόγ υτό κβντμηχνικά η ελάχιστη ενέργει είνι ω/. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Χρησιμπιήστε τη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr πr=h, : κέρις στ πρόβλημ ενός ηλεκτρνίυ μάζς m κι φρτίυ πυ περιφέρετι σε κύκλ κτίνς r περί έν θετικό πυρήν φρτίυ άτμ τυ υδργόνυ κι δείξτε ότι τ ενεργεικό φάσμ τυ m συστήμτς είνι:, όπυ. β Θεωρείστε γνωστά τ ενεργεικά φάσμτ: σωμτιδίυ μάζς m σε μνδιάσττ πηγάδι h/π π δυνμικύ πλάτυς κι άπειρυ ύυς: m κι μνδιάσττυ ρμνικύ τλντωτή συχνότητς ω: / ω Δείξτε ότι στ όρι των μεγάλων ενεργειών, ι σχετικές ενεργεικές μετβλές τείνυν στ ίδι όρι. Εξηγείστε τη σημσί τυ κινύ υτύ ρίυ. Λύση / Η ελκτική δύνμη πυ σκείτι στ ηλεκτρόνι πό τν πυρήν, σύμφων με τ νόμ τυ Coulom είνι: F r Όμως η δύνμη υτή πίζει τ ρόλ της κεντρμόλυ, πότε ισχύει: r υ m υ r mr Επμένως η συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr δίνει: πr h πrmυ h rmυ h π rm mr mr r m r m,,,... Η δίνει τις επιτρεπόμενες τρχιές τυ ηλεκτρνίυ. Η δυνμική ενέργει τυ ηλεκτρνίυ είνι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ r V r dr dv dr dv r dr dv F r V Άρ η λική ενέργει είνι: r r mr m r mυ V K,,..., m 5 β Οι σχετικές ενεργεικές μετβλές των τριών συστημάτων είνι: Άτμ Υδργόνυ : m m Απειρόβθ πηγάδι : m π m π Αρμνικός τλντωτής : ω ω / / / / Στ όρι των μεγάλων ενεργειών, δηλδή γι πλύ μεγάλ είνι + κι +/ +/ πότε κι ι τρεις πρπάνω σχετικές ενεργεικές μετβλές τείνυν στ ίδι όρι /, δηλδή στ μηδέν. Η σημσί τυ κινύ υτύ ρίυ είνι ότι στις μεγάλες ενέργειες, ι ενεργεικές στάθμες γίνντι δυσδιάκριτες, πάρ πλύ κντά η μι στην άλλη κι επμένως τ ενεργεικό φάσμ είνι σχεδόν συνεχές.

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ ΘΕΜΑ 8 Θεωρείστε ηλεκτρόνι με μάζ ηρεμίς m κι φρτί, τ πί επιτχύνετι σε διφρά δυνμικύ V. Υπλγίστε τ μήκς κύμτς d Brogli τυ ηλεκτρνίυ στη σχετικιστική περίπτωση. Δείξτε ότι, στη μη σχετικιστική περίπτωση, τ μήκς κύμτς μις δέσμης ηλεκτρνίων πυ επιτχύνντι σε μι διφρά δυνμικύ V, είνι νάλγ τυ V -/. Δίνετι η σχετικιστική σχέση ρμής ενέργεις: m Λύση Σύμφων με τ θεώρημ έργυ κινητικής ενέργεις ότν τ ηλεκτρόνι επιτχύνετι σε διφρά δυνμικύ V ισχύει: K V K W Σχετικιστικά η ρμή των ηλεκτρνίων υπλγίζετι πό τις σχέσεις: m m K m K K m m Km m K m K K Km K m V V Άρ τ μήκς κύμτς d Brogli των ηλεκτρνίων δίνετι πό τη σχέση: m V V h λ h λ Με χρήση της μη σχετικιστικής μηχνικής κλσσικά πό την κινητική ενέργει των ηλεκτρνίων υπλγίζετι η ρμή τυς ως: V m m V m K

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συνεπώς τ μήκς κύμτς των ηλεκτρνίων μη σχετικιστικά είνι: λ h λ h m V ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Πρσδιρίστε με πι τρόπ μετβάλλντι ι ιδισυνρτήσεις κι ι ιδιτιμές της ενέργεις γι σωμτίδι κινύμεν κβντμηχνικά σε μνδιάσττ δυνμικό V ότν τ δυνμικό υτό μετβληθεί κτά μι στθερή πσότητ V. Λύση Από τη χρννεξάρτητη εξίσωση Shrodigr 8-7 πρκύπτει: m m V V Πρσθέτντς κι στ δυ μέλη της πρπάνω εξίσωσης την πσότητ λμβάνετι: V m V V V Όπως γίνετι άμεσ φνερό, ι ιδισυνρτήσεις επληθεύυν κι τη νέ εξίσωση Shrodigr με τ υξημέν κτά V δυνμικό. Επμένως ι κυμτσυνρτήσεις δεν μετβάλλντι, ενώ ι ιδιτιμές της ενέργεις τυ ρχικύ πρβλήμτς υξάνντι κτά τη στθερή πσότητ V. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Γι έν σωμάτι με ενέργει Ε= η κυμτσυνάρτησή τυ βρέθηκε ότι δίνετι πό τη / σχέση: A Ν πρσδιριστεί η συνάρτηση δυνμικύ V. Λύση Η δσμένη κυμτσυνάρτηση επληθεύει την εξίσωση Shrodigr γι Ε=. Δηλδή: V m Αλλά: A / κι A / / A / Αντικθιστώντς τις εκφράσεις των κι στην εξίσωση πρκύπτει: A m / / V A V m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Έστω σωμτίδι εντός φρέτς δυνμικύ μήκυς βρισκόμεν στην κτάστση. Πι είνι η πιθνότητ ν εντπιστεί τ σωμτίδι στ ριστερό τέτρτ τυ φρέτς; β Πι είνι η τιμή τυ κβντικύ ριθμύ πυ μεγιστπιεί υτή την πιθνότητ; γ Πι τ όρι της πιθνότητς κθώς ; Λύση Οι κυμτσυνρτήσεις τυ σωμτιδίυ στ πειρόβθ πηγάδι δυνμικύ σύμφων με την 8-7 είνι: π si Η πιθνότητ ν εντπιστεί τ σωμτίδι στ ριστερό τέτρτ τυ φρέτς είνι: P / d / si π d / - os π d π si π / π si si π π P si π β Η πρηγύμενη πιθνότητ θ μεγιστπιείτι τπικά εκεί πυ si π/ Δηλδή ότν: si π π π π,,,,... Επμένως η πιθνότητ μεγιστπιείτι γι τυς κβντικύς ριθμύς =,7,,5, π γ Γι όρς si, πότε σύμφων με τη η πιθνότητ είνι π P. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Έστω σωμτίδι εντός πειρόβθυ φρέτς δυνμικύ μήκυς βρισκόμεν στην κτάστση. Ν πρσδιριστεί η πιθνότητ ν εντπιστεί τ σωμτίδι στην περιχή, / /. Πι η πιθνότητ ν βρίσκετι στις υπόλιπες περιχές; β Ν βρεθεί η πι πιθνή θέση στην πί είνι δυντόν ν εντπιστεί τ σωμτίδι. Λύση Η κυμτσυνάρτηση της κτάστσης τυ σωμτιδίυ είνι: π si Επμένως η πιθνότητ ν εντπιστεί τ σωμτίδι στην περιχή /, / είνι: P / / / / π 6π d si d - os d / / / 6π si si π si π 6π 6π / P 6π Σύμφων με τη συνθήκη κννικπίησης η πιθνότητ τυ σωμτιδίυ ν βρίσκετι στις υπόλιπες περιχές P είνι: P P P P P β Η πυκνότητ πιθνότητς ν βρεθεί τ σωμτίδι στη θέση είνι: π si Συνεπώς πρσδιρισμός της πι πιθνής θέσης εντπισμύ τυ σωμτιδίυ έγκειτι στην εύρεση τυ μέγιστυ κρτάτυ της συνάρτησης της πυκνότητ πιθνότητς. Οπότε: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d π π π π π π si os si os d π si 6π 6π si 6π si 6π 6π π Η δεύτερη πράγωγς της είνι: 6 d d d d 6π si 6π 6π 6π 6π 6π os 6π os Στ σημεί τυ κρτάτυ =/ δίνει: d d / 6π 6π osπ Άρ στη θέση =/ η πυκνότητ πιθνότητς είνι μέγιστη, δηλδή η θέση =/ είνι η πι πιθνή θέση εντπισμύ τυ σωμτιδίυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Σωμτίδι κινείτι πάνω στν άξν. Σε κάπι χρνική στιγμή η κυμτσυνάρτησή o / τυ έχει τη μρφή:, όπυ κι > δσμένες πράμετρι με διστάσεις μήκυς. Πι πρέπει ν είνι η πόλυτη τιμή τυ ώστε η ν είνι μι κτνμή πιθνότητς, δηλδή η ν είνι κννικπιημένη; β Υπλγίστε την πιθνότητ ν βρεθεί τ σωμτίδι στ διάστημ -, +. Λύση Γι ν είνι η κννικπιημένη θ πρέπει, σύμφων με τη συνθήκη κννικπίησης, τ λκλήρωμ της πυκνότητς πιθνότητς άξν ν ισύτι με τη μνάδ. Δηλδή: πάνω σε όλ τν d o / d o / o d / o o d β Η ζητύμενη πιθνότητ είνι τ λκλήρωμ της Δηλδή: πό - μέχρι +. P o o d o / o o d / d, 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Μνενεργεική δέσμη σωμτιδίων ενέργεις Ε κι μάζς m πρσπίπτει πό τ ριστερά πάνω σε ρθγώνι φράγμ δυνμικύ μήκυς κι ύυς V. Αν Ε= V ν υπλγίσετε τις κυμτσυνρτήσεις στις διάφρες περιχές. Λύση V=V o =V o I II III = = V= Η χρνικά νεξάρτητη εξίσωση Shrodigr γι κάθε μι πό τις τρεις περιχές δίνει: Γι την περιχή Ι < όπυ V=: m m, όπυ φύ Ε> Η γενική λύση της πρηγύμενης είνι: i i A B Πρτηρείτι ότι πρώτς όρς εκφράζει την πρσπίπτυσ κι δεύτερς την νκλώμενη δέσμη. Γι την περιχή ΙΙ όπυ V=Ε: m V κι η γενική λύση είνι: φύ Ε= V C D ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Γι την περιχή ΙΙΙ > όπυ V=: m m, όπυ κι η γενική της λύση είνι: i i F G Επειδή δεύτερς όρς της σχέσης εκφράζει την νκλώμενη δέσμη κι δεν έχει φυσικό περιεχόμεν, φύ δεν υπάρχει ίτι πυ ν νγκάσει τη δέσμη ν κινηθεί πρς τ ριστερά, πρφνώς είνι G= πότε: i F Οι ρικές συνθήκες συνέχεις, δηλδή ότι ι σημεί = κι = δίνυν: κι πρέπει ν είνι συνεχείς, στ Στ =: A B D i A B C Στ =: C D F i C if i Επιλύντς τ πρπάνω σύστημ πρσδιρίζντι ι στθερές πυ εμφνίζντι στις κυμτσυνρτήσεις. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Ηλεκτρόνι μάζς m είνι εγκλωβισμέν στ πηγάδι τυ σχήμτς. Γράτε τις φυσικά πρδεκτές λύσεις της εξίσωσης Shrodigr. β Απδείξτε ότι η ενέργει ικνπιεί τη σχέση: Λύση V m m ot m V V=V o I II V= = = III Η χρνικά νεξάρτητη εξίσωση τυ Shrodigr γι κάθε μι πό τις τρεις περιχές δίνει: Γι την περιχή Ι < όπυ V= : Πρφνώς επειδή υπάρχει άπειρ φράγμ δυνμικύ πτελεί πγρευμένη περιχή κι είνι: Γι την περιχή ΙΙ << όπυ V=: m m, όπυ κι η γενική της λύση είνι: i i A B ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Γι την περιχή ΙΙΙ > όπυ V=V: m V m όπυ V επειδή Ε<V δηλδή Ε-V< κι η γενική της λύση είνι: C D Επειδή όμως η λύση ότι D=. Άρ: πρέπει ν μην πειρίζετι ότν πρκύπτει C β Οι ρικές συνθήκες πυ ικνπιύν ι κυμτσυνρτήσεις στ σημεί = κι = είνι ι εξής: A B A B A i B i C i i A C 5 i i i A i B C i i i A C Διιρώντς τις σχέσεις 6 κι 5 κτά μέλη πρκύπτει: 6 i i i i i i os i si os si ot m ot m m V m m ot m V ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Σωμάτι μάζς m κι ενέργεις Ε πρσπίπτει πό τ ριστερά στ φράγμ δυνμικύ τυ σχήμτς. Γράτε τις φυσικά πδεκτές λύσεις της εξίσωσης Shrodigr. β Πιες είνι ι συνθήκες πυ ικνπιύν ι συντελεστές των λύσεων υτών; Λύση V=V V=V I II III IV V= V= = = = Η επίλυση της εξίσωσης Shrodigr κτά περιχές δίνει: Γι την περιχή Ι < όπυ V=: m m, όπυ κι η γενική της λύση είνι: i i A B όπυ πρώτς όρς εκφράζει τ πρσπίπτν κι δεύτερς τ νκλώμεν κυμτπκέτ στ σημεί =. Γι την περιχή ΙΙ << όπυ V=V : m V m όπυ V επειδή Ε> V δηλδή Ε- V> κι η γενική της λύση είνι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ i i C D Γι την περιχή ΙΙΙ << όπυ V=V : m V m όπυ V λόγω τυ ότι Ε< V δηλδή Ε- V< κι η γενική της λύση είνι: F G Γι την περιχή ΙV > όπυ V= : m m, όπυ κι η γενική της λύση είνι: H i K i Αλλά είνι Κ= επειδή δεν έχει φυσικό νόημ στην περιχή ΙV κύμ διδιδόμεν πρς τ ριστερά. Άρ: i H β Οι ρικές συνθήκες πυ ικνπιύν ι κυμτσυνρτήσεις στ σημεί =, = κι = είνι ι εξής: A B C D i A B i C D C i i D F G ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ i i G F D C i i H G F i H i G F

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Δέσμη ηλεκτρνίων με λική ενέργει Ε, κινείτι πρς τ δεξιά κι πέφτει σε έν μνδιάσττ φράγμ δυνμικύ όπυ V=V κι V=V στ διστήμτ, κι,+ ντίστιχ. Βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης Shrodigr πυ είνι φυσικά πρδεκτές γι τις διάφρες περιχές κι γράτε τις συνθήκες πυ ικνπιύν τ πλάτη των κυμάτων. Λύση V=V V=V I II III IV V= V= = = =+ Επιλύντς την εξίσωση Shrodigr κτά περιχές πρκύπτει: Γι την περιχή Ι < όπυ V=: m m, όπυ κι η γενική της λύση είνι: i i A B Γι την περιχή ΙΙ << όπυ V=V : m V m όπυ V ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ φύ Ε< V Ε- V< κι η γενική της λύση είνι: Γι την περιχή ΙΙΙ <<+, όπυ V=V : C D m V m όπυ V λόγω τυ ότι Ε< V Ε- V< κι η γενική της λύση είνι: F G Γι την περιχή ΙV >+ όπυ V= : m m, όπυ κι η γενική της λύση είνι: H i K i Επειδή όμως στην περιχή υτή δεν έχει φυσικό νόημ τ διδιδόμεν κύμ πρς τ ριστερά είνι Κ=, πότε τελικά είνι: i H Οι συνθήκες πυ ικνπιύν τ πλάτη των κυμάτων είνι ι εξής: A B C D i A B C D ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ G F D C G F D C i H G F i H i G F

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 Τ κόλυθ σχήμ πριστάνει με ρκετά κλή πρσέγγιση τη μρφή της δυνμικής ενέργεις ηλεκτρνίυ σε σύστημ δυ μετάλλων πυ έχυν μνωθεί με στρώμ ξειδίυ. Έν ηλεκτρόνι με ενέργει =V κινείτι πό τ ριστερά πρς τ δεξιά μέσ στ μέτλλ. Γράτε τις φυσικά πρδεκτές λύσεις της χρνικά νεξάρτητης εξίσωσης τυ Shrodigr σε κάθε περιχή κι εξηγείστε σύντμ τι πριστάνει, πό φυσική άπη, κάθε όρς των λύσεων. Στις περιχές όπυ η λύση έχει τλντύμενη μρφή υπλγίστε τ ντίστιχ μήκη κύμτς. β Υπλγίστε τ πάχς τυ στρώμτς ξειδίυ στην επφή των δύ μετάλλων ώστε η πιθνότητ μετάδσης στ μέτλλ ν είνι της τάξης τυ -. Δεχτείτε ότι συντελεστής διέλευσης είνι κτά πρσέγγιση ίσς με T. Λύση V =6V Ε=V V = I II III Μέτλλ = Οξείδι = Μέτλλ V =-V Η επίλυση της εξίσωσης Shrodigr στις τρεις περιχές δίνει: Γι την περιχή Ι < όπυ V=V=: m m κι η γενική της λύση είνι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ο πρώτς όρς της κύμ στ =. i i A B, όπυ m εκφράζει τ πρσπίπτν κι δεύτερς όρς τ νκλώμεν Γι την περιχή ΙΙ << όπυ V=V=6V: m V m 6 8m κι η γενική της λύση είνι: C D, όπυ 8m Η σχέση πρέχει την κυμτσυνάρτηση εντός τυ ξειδίυ. Γι την περιχή ΙΙΙ >, όπυ V=V=-V: m V m κι η γενική της λύση είνι: i 6m i, όπυ F G 6m Ο πρώτς όρς της εκφράζει τ διερχόμεν κύμ στ μέτλλ, ενώ δεύτερς όρς περιγράφει έν κύμ διδιδόμεν πρς τ ριστερά στην περιχή ΙΙΙ, πίς δεν έχει φυσικό περιεχόμεν κι επμένως G=. Άρ: i F ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οι συντελεστές των πλτών των κυμτσυνρτήσεων ως γνωστό πρσδιρίζντι πό τις συνρικές συνθήκες στ σημεί = κι =. Στις περιχές Ι < κι ΙΙΙ > η λύση έχει τλντύμενη μρφή κι τ ντίστιχ μήκη κύμτς υπλγίζντι πό τυς κυμτάριθμυς ως εξής: π π π : λ λ λ m / π π π : λ λ λ 6m / π m π 6m β Θ πρέπει συντελεστής διέλευσης ν ισύτι με - πότε είνι: 8m 8m T l 8m 5l 8m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

37 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Μικρσκπικό σωμτίδι μάζς m βρίσκετι σε μνδιάσττ δυνμικό:, V, V, γι γι γι κι κι Λύστε την εξίσωση τυ Shrodigr γι την κυμτσυνάρτηση τυ σωμτιδίυ, στις περιχές όπυ υτή είνι μη μηδενική, γι την περίπτωση <Ε<V. Εφρμόστε τις ρικές συνθήκες στ σημεί: =- κι =, όπυ τ δυνμικό πειρίζετι, β =- κι =, όπυ τ δυνμικό πρυσιάζει πεπερσμένες συνέχειες. γ Δώστε τη σχέση πό την πί πρσδιρίζντι ι ιδιενέργειες τυ συστήμτς. δ Στην τελευτί σχέση θεωρείστε την ρική περίπτωση <</ δηλδή, όπυ τ κυμτάνυσμ στ χώρ << κι υπλγίστε τις ιδιενέργειες τυ συστήμτς. Λύση V V V=V Ε Ι ΙΙ ΙΙΙ V= V= =- =- = = Η εξίσωση Shrodigr στις περιχές Ι, ΙΙ κι ΙΙΙ όπυ η κυμτσυνάρτηση είνι μη μηδενική δίνει: Γι την περιχή Ι -<<- όπυ V=: m, όπυ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ κι η γενική της λύση είνι: m i i A B Γι την περιχή ΙΙ -<< όπυ V=V : m V m όπυ V επειδή Ε< V Ε- V< κι η γενική της λύση είνι: C D Γι την περιχή ΙΙΙ <<, όπυ V=: m, όπυ m κι η γενική της λύση είνι: i i F G Οι συνρικές συνθήκες στ σημεί =- κι = ότν τ δυνμικό πειρίζετι κι επμένως η κυμτσυνάρτηση μηδενίζετι δίνυν: A i i i i B B A B A i F i i G F G i ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

39 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρ ι κι γράφντι: A F i i i i A i i i G i i i β Ενώ στ σημεί =- κι = δίνυν: A i i C D i i i C D 5 i i C D G 6 C D i i i G 7 γ Διιρώντς τις σχέσεις, 5 κι 6, 7 κτά μέλη πρκύπτυν: i i i i i C C D D 8 κι i i i i i C D C D 9 Από τις 8, 9 επειδή τ πρώτ τυς μέλη είνι ίσ κι ντίθετ θ ισχύει: C C D D D C C D C D C D ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ C D D C C D Άρ γι C=D η 8 δίνει: i i i i i i i i os sih ot i si osh tah m ot m m tah m V V ot m V th m V δ Στην ρική περίπτωση όπυ <</, δηλδή γι σύμφων με τ πρηγύμεν πρκύπτει: m m ot ot π π m π m,,,,... Σημείωση: Χρησιμπιήθηκν ι σχέσεις: κι osh, sih. i i i i os, i si ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

41 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Έν ηλεκτρόνι πυ πρσπίπτει πό ριστερά στ βήμ δυνμικύ τυ σχήμτς με λική ενέργει Ε<V, περιγράφετι πό τις κυμτσυνρτήσεις: i i [ i i ], γι < κι, γι > Δείξτε ότι συντελεστής νάκλσης είνι μνάδ. Είνι συμβιβστό υτό με τ γεγνός ότι η δεν είνι μηδέν γι >; Εξηγήστε σύντμ. β Πι σχέση πρέπει ν συνδέει τ με τ Ε ώστε η ν είνι λύση της εξίσωσης Shrodigr στην περιχή Ι κι ΙΙ; Τι συμπέρσμ πρκύπτει γι τ λόγ Ε/ V; γ Έστω τ μήκς διείσδυσης / στην κλσσικά πγρευμένη περιχή > ως βεβιότητ θέσης Δ, γι >. Γι ν μπρέσει ν πρτηρηθεί τ ηλεκτρόνι στην περιχή >, πρέπει ν «φωτιστεί» με έν φωτόνι μήκυς κύμτς λ ίδις τάξης μεγέθυς όπως τ Δ, πότε κι διτράσσετι η κτάστση τυ ηλεκτρνίυ. Έστω ότι λ/π=δ. Αν τ ηλεκτρόνι πρρφήσει όλη την ρμή τυ φωτνίυ, υπλγίστε τη μετβλή ΔΕ στην ενέργει Ε τυ ηλεκτρνίυ κι δείξτε ότι η Ε γίνετι συγκρίσιμη με τ V. Τι σημίνει υτό; Λύση Ε V=V o I II V= = Σύμφων με τη δθείσ κυμτσυνάρτηση γι < είνι Α=+i κι Β=-i. Οπότε συντελεστής νάκλσης είνι: R B A i i i i i i i i R Τ πτέλεσμ υτό είνι συμβιβστό με τ γεγνός ότι γι >, πυ περιγράφει την πιθνότητ διείσδυσης στην περιχή ΙΙ κι δεν σημίνει την ριστική ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

42 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ διμνή τυ ηλεκτρνίυ στην περιχή υτή. Αλλά επειδή R= τ ηλεκτρόνι πάνττε νκλάτι κι επιστρέφει στην περιχή Ι. β Η δεύτερη πράγωγς της είνι: i i i i i i κι ] [ i i i i i i i i i i i Άρ η εξίσωση Shrodigr στην περιχή Ι < όπυ V= δίνει: m m m Ενώ στην περιχή ΙΙ > όπυ V=V είνι: κι η εξίσωση Shrodigr δίνει : V m V m V V m m V m V V γ Στην περιχή ΙΙ σύμφων με τ πρηγύμεν είνι:

43 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ m V Θεωρώντς Δ=/ η ρμή τυ φωτνίυ είνι: hv h λ h λ h π / h π Άρ η μετβλή Δ στην ρμή τυ ηλεκτρνίυ ισύτι με την ρμή τυ φωτνίυ πυ πρρόφησε. Δηλδή: 5 Συνεπώς η μετβλή ΔΕ στην ενέργει τυ ηλεκτρνίυ είνι: m 5 / m V m m m V Δηλδή η νέ ενέργει τυ ηλεκτρνίυ μετά την πρρόφηση τυ φωτνίυ είνι: V V Αυτό σημίνει ότι η περιχή ΙΙ πύει ν είνι πγρευμένη. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

44 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Ιόν σε κρυστλλικό πλέγμ έχει δυνμική ενέργει V mω /. Τ ιόν περιγράφετι πό την κυμτσυνάρτηση ενέργει Ε κθώς κι τη στθερά. Λύση / Η δθείσ κυμτσυνάρτηση επληθεύει την εξίσωση Shrodigr:. Υπλγίστε την λική m V όπυ υπλγισμός της δεύτερης πργώγυ έχει ως εξής: / / / κι / / / Αντικθιστώντς την στην κι πλπιώντς τ εμφνιζόμεν πντύ / πρκύπτει: m mω m m ω ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

45 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ m ω m Συνεπώς εξισώνντς κάθε συντελεστή της με τ μηδέν λμβάνετι: mω ω m ω m ω m κι ω m m m