ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Σώμ μάζς κινείτι στο επίπεδο με διάνυσμ θέσης csωtˆ Bsin ωtŷ όπου Α, Β θετικές στθερές. ) Ν δείξετε ότι το σώμ κινείτι σε έλλειψη. β) Ν δείξετε ότι η δύνμη που δρ στο σώμ είνι διτηρητική κι ν σχεδιάσετε την κτεύθυνσή της. γ) Ν υπολογίσετε το έργο που πράγετι πό τη δύνμη κτά την κίνηση του σώμτος πό το Α στο Β, όπου τ Α κι Β είνι τ άκρ των ημιξόνων της έλλειψης. (Τμήμ Μηχνολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Είνι: csωt cs ωt / κι Bsin ωt sin ωt / B Προσθέτοντς τις πρπάνω κτά μέλη κι σύμφων με τη βσική τριγωνομετρική σχέση cs ωt sin ωt προκύπτει:, η οποί ποτελεί την εξίσωση τροχιάς κι πριστάνει έλλειψη. B β) Η δύνμη που δρ στο σώμ είνι : dυ d F ( ω csωtˆ - Bω sin ωtŷ) dt dt ω ( cs ωtˆ Bsin ωt) ˆ F ω ω ( ˆ ˆ) Γι ν είνι η πρπάνω δύνμη διτηρητική θ πρέπει ν είνι στρόβιλη. Άρ ο στροβιλισμός της είνι : F Συνεπώς φού F ˆ / ω Επειδή η δύνμη είνι της μορφής ŷ / ω ẑ / z η F είνι συντηρητική. ˆ ŷ ẑ F F()ˆ ω ˆ είνι κεντρική κι συγκεκριμέν ελκτική φού F() <. Δηλδή η F έχει την διεύθυνση του δινύσμτος θέσης κι ντίθετη φορά πό υτό, όπως φίνετι στο σχήμ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ B O F γ) Η δυνμική ενέργει της δύνμης F υπολογίζετι ως εξής : dv F d V dv Fd V ω d V() ω Άρ το έργο της δύνμης γι μετκίνηση πό το σημείο Α στο Β ισούτι με τη διφορά της δυνμικής ενέργεις στ σημεί υτά. Δηλδή : W V V ω ω W ω ( ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Σώμ μάζς κινείτι ευθύγρμμ με τχύτητ υ c, όπου c στθερά κι η πόστση που δινύει το σώμ. Ν υπολογιστεί το έργο των δυνάμεων συνρτήσει του χρόνου. (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) Από το θεώρημ έργου κινητικής ενέργεις προκύπτει : W τελ ρχ υ υ ο Αλλά επειδή υ c γι = είνι υο = οπότε : W c () Επίσης πό τον ορισμό της τχύτητς προκύπτει : d d d υ c c dt dt dt t c t ct 4 () Άρ η () λόγω της () δίνει : W c c t 4 4 c t W(t) 8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Σώμ κινείτι υπό την επίδρση της δύνμης F ( - )ˆ ŷ. Ν υπολογισθεί το έργο της δύνμης υτής γι μετκίνηση του σώμτος πό το σημείο (,) μέχρι το σημείο (,4) κολουθώντς τις εξής διδρομές: ) Πάνω στον άξον πό το (,) ως το (,) κι πράλληλ προς τον άξον ως το (,4). β) Πάνω στον άξον πό το (,) ως το (,4) κι πράλληλ προς τον άξον ως το (,4). γ) Την ευθεί πό το (,) στο (,4). δ) Την πρβολή =. (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) (β) (,4) (γ) (β) (δ) (,4) () (,) () (,) Γενικά το έργο της δύνμης είνι: W F d (,4) (,) [( - (,4) (,) c ) ˆ ] ˆ ( dˆ d) ˆ ( - )d d () ) Κτά μήκος της διδρομής πό το (,) στο (,) είνι = κι d= ενώ στη διδρομή πό το (,) στο (,4) είνι = κι d=, οπότε διχωρίζοντς το ολοκλήρωμ () προκύπτει : (,) W (,) ( - ) d d (,4) (,) ( - )d d d 6 d Jule β) Ανάλογ κτά μήκος της διδρομής πό το (,) στο (,4) είνι = κι d= ενώ στη διδρομή πό το (,4) στο (,4) είνι =4 κι d=. Επομένως διχωρίζοντς το ολοκλήρωμ () προκύπτει : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (,4) W (,) ( - ) d d (,4) (,4) ( - )d d (4 - )d Jule γ) Η ευθεί που περνά πό τ σημεί (,) κι (,4) περιγράφετι πό την εξίσωση = κι πό υτήν προκύπτει d=d. Συνεπώς ντικθιστώντς τ,d στην () προκύπτει το πλό ολοκλήρωμ ως προς : W ( - )d d ( ) d Jule δ) Στην περίπτωση υτή είνι: = κι d=d, οπότε η () γίνετι: W ( )d d 6 d Jule 5 5 Πρτηρείτι ότι επειδή το έργο είνι διφορετικό στις τέσσερις υτές διδρομές η δοθείσ δύνμη F είνι μη συντηρητική, πράγμ το οποίο ποδεικνύετι εύκολ δείχνοντς ότι F. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 4 Σωμτίδιο κινείτι υπό την επίδρση της δύνμης F ( - z) ˆ ( - z )ŷ ( - 4z)ẑ πάνω στο επίπεδο κι διγράφει περιφέρει κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν. Υπολογίστε το έργο της δύνμης γι πλήρη περιστροφή. (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) Είνι: W F d ( - z)d ( z )d ( - c θ O R= (,) c 4z)dz () Αλλά επειδή το σωμτίδιο κινείτι σε κυκλική τροχιά στο επίπεδο οι πρμετρικές εξισώσεις είνι: cs, sin κι z= με Επίσης πό τις πρπάνω προκύπτει: d=-sinθ dθ, d= csθdθ κι dz= W Αλλά : sinθcsθ= π π Οπότε η () γίνετι: ( 6csθ sinθ )( sinθ ) dθ (csθ sinθ )csθdθ π ( 9sin 9 ( sin sin θ θ 8sin θcsθ 9cs θ cs οπότε : θ) 9sin θcsθ θ 9sin θcsθ) dθ π dθ 9 ( sin θcsθ)dθ cs θ W 9 sin θdθ 9 θ W 8π Jule ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 5 Εξετάστε κτά πόσο το έργο του πεδίου που πράγει την δύνμη: F ( z 6z )ˆ z ŷ ( z 6 z)ẑ που σκείτι σε κάποιο σωμτίδιο πό μι θέση Α ως μι Β θ εξρτάτι πό την κμπύλη που συνδέει τ σημεί Α κι Β. (Τμήμ Μηχνικών Μετλλείων Μετλλουργών Ε.Μ.Π.) Ο στροβιλισμός της F είνι: F ˆ / z 6z ŷ / z ẑ / z z 6 z ˆ ( 6z 6z ) ˆ( z z z z) zˆ( z z ) Άρ φού F η δύνμη F είνι συντηρητική κι επομένως το έργο της γι την μετκίνηση σωμτιδίου μετξύ των σημείων Α κι Β δεν θ εξρτάτι πό την κμπύλη που συνδέει τ σημεί υτά. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 6 ) Βρείτε τη δύνμη F, που προσδιορίζετι πό το διτηρητικό (συντηρητικό) δυνμικό πεδίο: V(,,z) k(cs z e ), όπου k είνι μι στθερά. β) Έν σωμτίδιο μάζς κινείτι με τχύτητ στην περιοχή του δυνμικού πεδίου που ορίστηκε στο σκέλος (). Την χρονική στιγμή t βρίσκετι στο σημείο ŷ κι επιδρά πάνω του μι εξωτερική δύνμη f υ, (όπου είνι μι θετική στθερά, υ η τχύτητ του σωμτιδίου κι μι στθερά δινυσμτική ποσότητ). Την χρονική στιγμή tb το σωμτίδιο βρίσκετι στο σημείο B ˆ (7π/5) ẑ. Υπολογίστε την μετβολή της κινητικής ενέργεις του σωμτιδίου πό το σημείο Α στο σημείο Β. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η ζητούμενη δύνμη F δίνετι πό τη σχέση: V V V F V ˆ ŷ ẑ z ke F ke ˆ k(cs z e ˆ k(cs z )ŷ ksin zẑ e )ŷ ksin zẑ β) Σύμφων με το θεώρημ έργου κινητικής ενέργεις γι την μετκίνηση του σωμτιδίου πό το σημείο Α στο Β ισχύει: W K K W W () B F f Αλλά: W f B f d d (επειδή υ d υdt ) dt Όμως φού το διάνυσμ W f. (υ ) d (υ ) υdt υ είνι κάθετο στο υ είνι υ υ κι επομένως Επίσης επειδή η F είνι συντηρητική το έργο της μετξύ των σημείων Α κι Β θ ισούτι με τη διφορά της δυνμικής της ενέργεις. Δηλδή: W V( ) V( ) V(,,) V(,,7π / 5) k cs k4e k 4k k F B Άρ η () δίνει: K k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 7 Σωμτίδιο μάζς κι ηλεκτρικού φορτίου q κινείτι σε περιοχή του χώρου όπου υπάρχει ηλεκτρικό κι μγνητικό πεδίο. Το μγνητικό πεδίο είνι ομογενές B Bẑ. Η δύνμη που σκείτι πό το ηλεκτρικό πεδίο είνι διτηρητική. Η ντίστοιχη δυνμική ενέργει είνι: V(,,z) b b cz cz όπου,, b, b, c, c είνι στθερές με κτάλληλες διστάσεις. Τη χρονική στιγμή t = το σωμτίδιο βρίσκετι στην ρχή των ξόνων ( = = z = ) με τχύτητ υ υ (ˆ ŷ). ) Βρείτε την ολική δύνμη F F ˆ F ŷ F ẑ που σκείτι στο σωμτίδιο τη χρονική στιγμή t =. β) Τη χρονική στιγμή t το σωμτίδιο βρίσκετι στη θέση ˆ ŷ zẑ. Βρείτε την κινητική του ενέργει τη χρονική υτή στιγμή. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η ηλεκτρική δύνμη F e εφόσον δίνετι η δυνμική της ενέργει είνι: V V V F e V ˆ ŷ ẑ z ( )ˆ (b b)ŷ (c cz)ẑ z Άρ τη χρονική στιγμή t = όπου = = z = είνι: ˆ b ŷ c ẑ Fe Η μγνητική δύνμη F τη χρονική στιγμή t = όπου υ υ ˆ ŷ είνι: F qυ B qυ ˆ ŷ Bẑ qυ Bˆ ẑ ŷ ẑ F qυ Bˆ ŷ Άρ η ολική δύνμη τη χρονική στιγμή t = είνι: F Fe F (qυb )ˆ (qυb b)ŷ cẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ β) Σύμφων με το θεώρημ έργου κινητικής ενέργεις γι τη μετκίνηση του σωμτιδίου πό τη θέση ) (,, ως τη z,, ισχύει: K K W W K W F F e () Αλλά: υdt B) q(υ d B) q(υ d F W F επειδή B υ υ είνι υ B) (υ = κι επειδή η e F είνι συντηρητική: ),z, V( V(,,) ) V( ) V( W F e z c z c b b F z c z c b b W e Επίσης: υ K υ υ υ υ K Άρ η () δίνει γι την κινητική ενέργει του σωμτιδίου τη χρονική στιγμή t: z c z c b b υ K

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 8 Σωμτίδιο μάζς κινείτι στο επίπεδο υπό την επίδρση της δύνμης F (sin tˆ cstŷ). Αν γι t= το σωμτίδιο ηρεμεί στην ρχή των ξόνων O, ν ποδειχθεί ότι το πργόμενο έργο σε χρόνο t είνι: W ω ( csωt). (Τμήμ Τοπογράφων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Από το θεώρημ έργου κινητικής ενέργεις προκύπτει: W F Κ τελ ρχ υ υ () Εφρμόζοντς τον ο νόμο του Newtn στους δύο άξονες της κίνησης ξεχωριστά προκύπτει γι την τχύτητ: F dυ sin ωt dt υ dυ sinω tdt t t υ csωt (cs ωt -) υ ωt) ω ω ( ω cs κι F csωt dυ csωtdt dυ dt υ sin ωt ω υ t Άρ: υ υ υ ( cs ωt - csωt sin ωt) ω υ ( csωt) ω Επομένως η () γίνετι: WF ( csωt) ω ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 9 Δίνετι η δύνμη F ( z)ˆ (b - - z)ŷ (4 c z)ẑ. ) Ν βρεθούν τ a, b, c ώστε η δύνμη ν είνι συντηρητική. β) Ν βρεθεί η δυνμική της ενέργει V(,, z). (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η δύνμη θ είνι συντηρητική εάν: ˆ ŷ ẑ F z F F F z Fz ˆ F Fz ŷ z F z F ẑ F όπου F z, F b - - z κι 4 c z F z Οπότε: F ˆ (c ) - ŷ(4 ) ẑ(b - ) Επομένως γι ν είνι F, δηλδή η δύνμη συντηρητική πρέπει: = 4, b =, κι c = - β) Αφού η δύνμη F ( 4z)ˆ ( - - z)ˆ ( 4 - z) zˆ συντηρητική πορρέει πό δυνμική ενέργει έτσι ώστε: F -V είνι V V V ( 4z)ˆ ( - - z)ˆ ( 4 - z)zˆ - ˆ ˆ zˆ z κι εξισώνοντς τις συνιστώσες των δυο μελών προκύπτουν οι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ V 4z - () - - z V - () V 4 - z - () z Ολοκληρώνοντς την () ως προς κρτώντς τ, z στθερά προκύπτει: dv ( 4z)d V 4z c(, z) (4) όπου η στθερά ολοκλήρωσης c(, z) είνι συνάρτηση των μετβλητών, z. Πργωγίζοντς την (4) ως προς προκύπτει: V ) ( c(, z) c(, - - z z) - z c(, z) ( - z)d c(, z) z c(z) Άρ η (4) γράφετι: V 4z - z c(z) (5) κι πργωγίζοντς την (5) ως προς z προκύπτει : z V ) ( c(z) c(z) z z z c(z) z c, όπου c στθερά. z c(z) zdz Συνεπώς η δυνμική ενέργει είνι: V (,,z) - 4z z - z όπου η στθερά c κθορίζετι πό τη θέση μηδενισμού της δυνμικής ενέργεις. c ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ k Σωμτίδιο κινείτι υπό την επίδρση της ελκτικής δύνμης F - ˆ όπου k στθερά. Η μάζ του σωμτιδίου είνι κι η τροχιά του περιφέρει κύκλου κτίνς. Ζητείτι η δυνμική κι η ολική ενέργει του σωμτιδίου. (Τμήμ Νυπηγών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Αφού η δύνμη F είνι κεντρική θ είνι συντηρητική. Οπότε η F πορρέει πό τη δυνμική ενέργει σύμφων με την σχέση: dv k F d dv d v dv k d V() k Η κινητική ενέργει είνι: Κ υ Αλλά η δύνμη F πίζει τον ρόλο της κεντρομόλου γιτί κτευθύνετι πάντ προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς. Οπότε: F κ κ k υ υ k (το ρνητικό πρόσημο της F εδώ δεν γράφετι επειδή είνι ομόρροπη της κεντρομόλου επιτάχυνσης κι οι δύο είνι στ ρνητικά της κτινικής διεύθυνσης ˆ ). Άρ: k Κ κι η ολική ενέργει είνι: Κ V k k k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Υπολογίστε το ελάχιστο ύψος hin πό το οποίο πρέπει ν φεθεί κάποιο σώμ γι ν κάνει πλήρη περιφορά στον κύκλο του σχήμτος. Οι τριβές γνοούντι. (Τμήμ Χημείς Ε.Κ.Π.Α.) Γ h N g R Γι ν διγράψει το σώμ τον κύκλο του σχήμτος πρέπει ν φτάσει κι ν περάσει το νώττο σημείο Γ του κύκλου. Στο σημείο Γ στο σώμ σκούντι το βάρος του g κι η κάθετη ντίδρση Ν, οι οποίες πίζουν τον ρόλο της κεντρομόλου δύνμης. Δηλδή: g υ R N υ R Γ g () Αλλά πρέπει : () υ N R Γ g υ gr Οπότε : υin gr είνι η ελάχιστη τχύτητ που πρέπει ν έχει το σώμ στο νώττο σημείο Γ γι ν κάνει νκύκλωση (δηλδή ν διγράψει μι πλήρη περιφορά του κύκλου) κι ντιστοιχεί σε Ν= δηλδή ορικά το σώμ ν μην έρχετι σε επφή με την επιφάνει. Άρ πό την ρχή διτήρησης της ενέργεις στις θέσεις Α κι Γ προκύπτει: Κ V gh Κ in Γ V Γ gr gh in gr υin gr 5 gr h in 5 R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Μικρή σφίρ μάζς βρίσκετι ρχικά στο σημείο Α κι μετά ολισθίνει στη λεί κυκλική επιφάνει του σχήμτος. Ν υπολογιστεί η δύνμη που σκεί η επιφάνει πάνω στη σφίρ συνρτήσει της γωνίς θ ότν υτή βρίσκετι στο σημείο C. (Κττκτήριες εξετάσεις γι Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) Α R θ h O φ gsinφ N C g V= gcsφ Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των σημείων Α κι C κι θεωρώντς ως επίπεδο μηδενικής δυνμικής ενέργεις υτό που περνά πό το C υπολογίζετι η τχύτητ της σφίρς στο C. Δηλδή: K V K C V C gh υ υ gh Αλλά: h R cs φ κι cs φ csθ π/ csπ/ θ sin θ Οπότε : h Rsin θ Συνεπώς : υ gr sin θ () Στο σημείο C η κάθετη ντίδρση Ν κι η συνιστώσ του βάρους πίζουν το ρόλο της κεντρομόλου δύνμης. Δηλδή: g csφ g sin θ F κ κ υ N g sin θ R () N g sin θ R gr sin θ N g sin θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Σημεική μάζ κινείτι στο επίπεδο. Η δυνμική της ενέργει είνι: V β όπου, β θετικές στθερές. ) Βρείτε τη δύνμη που δρ πάνω στη μάζ. Είνι διτηρητική; Αν = β είνι η δύνμη κεντρική; β) Αν το σώμ κρτηθεί κίνητο στη θέση =, = κι φεθεί ελεύθερο στο χρόνο t = ν βρεθεί η θέση (t) του σώμτος, η τχύτητά του υ (t), η κινητική ενέργει κι η ολική του ενέργει. (Τμήμ Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Είνι: V V F V ˆ ŷ ˆ βŷ Η δύνμη υτή σφώς κι είνι διτηρητική φού προέρχετι πό τη δυνμική ενέργει V. Γι ν το επιβεβιώσετε ποδείξτε ότι F. Αν = β = k η δύνμη F γίνετι: F k(ˆ ŷ) k kˆ Δηλδή τότε η δύνμη F είνι κεντρική φού είνι της μορφής F F() ˆ β) Από το ο νόμο του Newtn γι τις συνιστώσες της δύνμης προκύπτει: F dυ dt dυ d d dt dυ dt υ υ υ dυ d υ ο υ υ ( ο ) () υ d d dt acsin t dt ο t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ acsin acsin t acsin π t π sin t cs t (t) cs t () d d β κι F β dt dt Η γενική λύση της πρπάνω διφορικής εξίσωσης είνι: β β (t) c cs t c sin t () Άρ: β β β β (t) c sin t c cs t (4) υ Από τις ρχικές συνθήκες έχουμε ότι (t ) κι (t ) οπότε οι () κι (4) δίνουν: υ () c c c β (4) c c c Άρ: (t) = κι υ(t) = Επομένως το διάνυσμ θέσης του σώμτος είνι: () (t) (t)ˆ (t)ŷ (t) cs t ˆ κι η τχύτητά του είνι: υ d (t) υ(t) sin t ˆ dt Η κινητική ενέργει είνι: K υ υ sin t K(t) sin t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η δυνμική ενέργει είνι: V(t) () (t) V(t) cs t Κι επομένως η ολική ενέργει είνι: E K(t) V(t) sin t cs t E ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 4 Υλικό σημείο μάζς κινείτι στον άξον υπό την επίδρση της δύνμης k F() k, όπου k κι θετικές στθερές. ) Ν βρεθεί η συνάρτηση δυνμικής ενέργεις κι ν κθοριστούν οι θέσεις ισορροπίς του υλικού σημείου. β) Αν το υλικό σημείο ξεκινά πό τη θέση = - χωρίς ρχική τχύτητ, ν βρεθεί η τχύτητ με την οποί περνά πό τη θέση όπου η δυνμική ενέργει είνι μέγιστη. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η δυνμική ενέργει υπολογίζετι πό τη δύνμη μέσω της σχέσης : V dv k F dv F()d - - k d d V() k k Γι τον προσδιορισμό των θέσεων ισορροπίς μηδενίζουμε την πρώτη πράγωγο της V(). Δηλδή: dv k k - d k- κι Άρ οι θέσεις ισορροπίς είνι οι = κι =. Γι το χρκτηρισμό υτών ελέγχουμε το πρόσημο της δεύτερης πργώγου της V() στ σημεί = κι =. Δηλδή: d V d k k - d V Οπότε: k d δηλδή η = είνι θέση ευστθούς ισορροπίς d V k κι k k d δηλδή η = είνι θέση στθούς ισορροπίς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Η δυνμική ενέργει είνι μέγιστη στη θέση στθούς ισορροπίς =, φού εκεί προυσιάζει μέγιστο η συνάρτηση V(). Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των θέσεων = - κι = υπολογίζετι η ζητούμενη τχύτητ. Έτσι: V (-) Κ (-) V () Κ () k k k k υ υ k υ 4k υ k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 5 Σώμ μάζς κινείτι σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων μέσ στο οποίο η δυνμική του ενέργει δίνετι πό τη σχέση: V όπου Α κι είνι θετικές στθερές κι η πόστση του σώμτος πό κίνητο σημείο Ο. ) Ν βρεθεί η δύνμη που σκείτι πάνω στο σώμ. β) Δείξτε ότι υπάρχει θέση ευστθούς ισορροπίς του σώμτος κι προσδιορίστε τη θέση υτή. γ) Αν το σώμ φεθεί ελεύθερο με ρχική τχύτητ μηδέν σε άπειρη πόστση πό το Ο, ν βρεθεί η τχύτητά του στην πόστση κι η πόστση στην οποί η τχύτητ του σώμτος θ ξνγίνει μηδέν. (Τμήμ Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η δύνμη που σκείτι στο σώμ είνι: dv 6 F 6 6 F 4 d β) Η θέση ισορροπίς ντιστοιχεί στο σημείο μηδενισμού της πρώτης πργώγου της δυνμικής ενέργεις. Δηλδή: dv d Ο χρκτηρισμός της θέσης ισορροπίς γίνετι με έλεγχο του προσήμου της δεύτερης πργώγου της δυνμικής ενέργεις στο σημείο. Είνι: d V d d V κι d ο Δηλδή στη θέση προυσιάζετι ελάχιστο κι επομένως η θέση υτή είνι θέση ευστθούς ισορροπίς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ γ) Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ του πείρου κι της θέσης προκύπτει: ο ο υ ) V( ) K( ) V( ) ( K υ υ () Ενώ εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των θέσεων κι της θέσης όπου η τχύτητ του σώμτος θ ξνγίνει μηδέν, προκύπτει: () ο ο υ V() K() ) V( ) ( K

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 6 Έν σώμ έχει δυνμική ενέργει που δίνετι πό τις σχέσεις: V() γι κι V() γι ( σε μονάδες S.I.) όπου είνι η πόστση του σώμτος πό έν στθερό κέντρο. ) Ν βρεθεί η δύνμη F που σκεί το πεδίο πάνω στο σώμ. Που είνι ελκτική κι που είνι πωστική η δύνμη; β) Σχεδιάστε τη συνάρτηση V() (νδεικνύοντς μόνο τ κύρι χρκτηριστικά της). γ) Με ποι τχύτητ πρέπει ν εκτοξευθεί το σώμ, πό πόστση προς το κέντρο γι ν μπορέσει ν φθάσει στο σημείο = ; Το σώμ έχει μάζ = kg. δ) Αν σε κάποι στιγμή το σώμ βρίσκετι στο σημείο = κι έχει ολική ενέργει E, σε ποι περιοχή του χώρου μπορεί ν κινηθεί; (Σχολή Εφρμοσμένων Μθημτικών & Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) ) Η δύνμη που σκείτι στο σώμ είνι:, dv F 4 d, Γι ν είνι η δύνμη ελκτική πρέπει: F() Αντίστοιχ η δύνμη είνι πωστική ότν F() δηλδή ότν >4. β) Η δυνμική ενέργει μηδενίζετι ότν: V() Επίσης γι είνι V() κι γι είνι V() Τ σημεί κρόττων της V () (θέσεις ισορροπίς του σώμτος) είνι: d V κι δηλδή : 4 d dv 4 4 d d d V ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρ στο σημείο = 4 η V () προυσιάζει μέγιστο, δηλδή είνι θέση στθούς ισορροπίς. Γι = 4 είνι V( 4) / 8. Η γρφική πράστση της συνάρτησης V () φίνετι στο κόλουθο σχήμ: V /8 O - 4 γ) Γι ν μπορέσει το σώμ ν φθάσει πό το άπειρο στο σημείο = ρκεί ν φτάσει στη θέση μεγίστου = 4, φού μετά θ σκηθεί ελκτική δύνμη σε υτό. Στη θέση = 4 είνι V = a κι επειδή E = K + V = στθ. θ είνι Κ = in =. Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των θέσεων προκύπτει: (kg) K( ) V( ) K(4) V(4) υ υ υ 8 4 / sec κι = 4 δ) Αν το σώμ βρεθεί στη θέση = με ολική ενέργει Ε =, τότε όπως πρτηρείτι πό το πρπάνω διάγρμμ δυνμικής ενέργεις υτό μπορεί ν κινηθεί στην περιοχή. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 7 Η δυνμική ενέργει γι τη δύνμη μετξύ των δύο τόμων Α κι Β ενός διτομικού μορίου δίνετι προσεγγιστικά πό τη σχέση: V () C 6 όπου κι C είνι θετικές στθερές κι είνι η πόστση νάμεσ στ δύο άτομ. Η μάζ του τόμου Α είνι ίση με ενώ το άτομο Β έχει ρκετά μεγλύτερη μάζ ώστε ν μπορεί ν θεωρηθεί κίνητο. Το άτομο Α κινείτι πάνω στον άξον +. ) Σχεδιάστε τη συνάρτηση V(). β) Βρείτε τη δύνμη που σκείτι πάνω στο άτομο Α. γ) Τι είδους κίνηση θ επκολουθήσει ν το άτομο Α είνι ρχικά κίνητο στο σημείο = κι φεθεί ελεύθερο; (Τμήμ Χημικών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Είνι: dv / C d κι d d V C C Άρ: d d V / 6 C 56 4/ / C 7 / 4 4 / C C 5,4 4,5 6,6 C C 4,4 ηλδή η / 6 είνι θέση ευστθούς ισορροπίς. Η V() μηδενίζετι ότν: V() Ενώ γι είνι V () κι γι είνι V(). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η γρφική πράστση της V() φίνετι στο κόλουθο διάγρμμ: V / 6 C 4 β) Η δύνμη που σκείτι πάνω στο άτομο Α είνι: dv F F C 6 d 6 7 γ) Αν το σώμ φεθεί ελεύθερο πό την κινησί στη θέση =, τότε όπως φίνετι κι πό το διάγρμμ δυνμικής ενέργεις υτό θ εκτελέσει μικρές τλντώσεις γύρω πό τη θέση ευστθούς ισορροπίς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 8 Σώμ κινείτι πάνω στον άξον, έχει μάζ = kg κι δυνμική ενέργει που δίνετι πό τη σχέση : V() = ( 4) (σε μονάδες S.I.) ) Ν βρεθεί η δύνμη F() που σκεί το πεδίο στο σώμ. Ν σχεδιστεί πρόχειρ η συνάρτηση V(), φού βρεθούν τ χρκτηριστικά της σημεί. β) Ν βρεθούν τ σημεί ισορροπίς του σώμτος κι ν εξετσθεί ν είνι σημεί ευστθούς ή στθούς ισορροπίς. γ) Αν το σώμ έχει ολική ενέργει Ε = 8, ν σχεδιστούν προσεγγιστικά στο διάγρμμ V() τ όρι των τιμών του νάμεσ στ οποί μπορεί ν κινηθεί το σώμ (δεν χρειάζοντι ριθμητικές τιμές). δ) Αν σε κάποι στιγμή το σώμ βρίσκετι στο σημείο =, ποι είνι η ελάχιστη ρχική τχύτητ που πρέπει ν του δώσουμε ώστε ν περάσει πό το σημείο = 4; (Σχολή Εφρμοσμένων Μθημτικών & Φυσικών Επιστημών E.M.Π.) ) Η δύνμη που σκείτι στο σώμ είνι: Είνι: dv F() F() 4 d 4 dv 4 4 (4 4 ) d,, 4 (κρόττ) d V d V d V κι 48 οπότε:, 6 d d d d V κι d 4 Δηλδή στ σημεί = κι = 4 η συνάρτηση V() προυσιάζει ελάχιστο, ενώ στο σημείο = μέγιστο. Επίσης είνι: V(), 4 Η γρφική πράστση της V() φίνετι στο κόλουθο σχήμ: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ V 6 Ε=8 4 β) Από την πρπάνω νάλυση πρτηρείτι ότι τ σημεί κροτάτων ποτελούν τις θέσεις ισορροπίς του σώμτος κι συγκεκριμέν τ σημεί ελχίστων = κι = 4 είνι σημεί ευστθούς ισορροπίς, ενώ το σημείο μεγίστου = είνι σημείο στθούς ισορροπίς. γ) Η περιοχή κίνησης του σώμτος ότν υτό έχει ολική ενέργει Ε = 8 φίνετι πάνω στο διάγρμμ V(). δ) Αν το σώμ βρίσκετι στο σημείο = γι ν φτάσει στο = 4 ρκεί ν περάσει το σημείο μεγίστου =. Έτσι η ελάχιστη ρχική τχύτητ ντιστοιχεί στο ν φτάσει το σώμ με μηδενική τχύτητ στο =. Εφρμόζοντς λοιπόν την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των σημείων = κι = προκύπτει: () V() () V() υ 6 υ 6 υ 4 / sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 9 Έν σώμ με μάζ = kg κινείτι σε μι διάστση υπό την επίδρση δυνμικής ενέργεις V() k k, όπου k = N/ κι k / N / (βλ. σχήμ). V() O ) Ν βρείτε τ σημεί ισορροπίς της V (), κθώς κι τ σημεί που μηδενίζετι. β) Ν υπολογίσετε κι ν σχεδιάσετε τη δύνμη F (). γ) Το σώμ ξεκινά πό τη θέση = με ρχική τχύτητ υ ˆ/ s. Ν περιγράψετε την κίνησή του. (Τμήμ Μηχνολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) dv d ) Είνι: k k k k, (σημεί ισορροπίς) Όπως φίνετι πό το σχήμ το σημείο = είνι σημείο ευστθούς ισορροπίς κι το = σημείο στθούς ισορροπίς. Αυτό ποδεικνύετι κι σύμφων με το κριτήριο της δεύτερης πργώγου d V/ d. Τ σημεί όπου μηδενίζετι η V () είνι: V() k k k k, β) Η δύνμη που σκείτι στο σώμ είνι: Μελέτη της συνάρτησης F () : dv F k k d df d F() ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d d F δηλδή στο σημείο = η F() προυσιάζει ελάχιστο. F(), Η γρφική πράστση της F () φίνετι στο κόλουθο σχήμ: F O - γ) Όπως φίνετι πό το διάγρμμ της V (), ν το σώμ ξεκινήσει πό το σημείο = με ρχική τχύτητ υ ˆ/ s (δηλδή κινούμενο προς τ ριστερά) τότε υτό θ εκτελέσει μικρές τλντώσεις περί τη θέση ευστθούς ισορροπίς =. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Έν σωμτίδιο μάζς κινείτι σε έν μονοδιάσττο δυνμικό πεδίο. Η δυνμική του ενέργει είνι: V ( ) De e όπου, D κι θετικές ποσότητες. ) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της δυνμικής ενέργεις κι τη θέση που συμβίνει. β) Βρείτε τις ορικές τιμές της V () γι κι κι σχεδιάστε ποιοτικά την V (). γ) Γι ποιες τιμές της ολικής ενέργεις Ε το σωμτίδιο θ πρμένει φργμένο σε μι περιοχή του χώρου; Σχεδιάστε την ντίστοιχη περιοχή σε μι τυπική περίπτωση. δ) Γι ποιες τιμές της ολικής ενέργεις το σωμτίδιο διφεύγει στο άπειρο; Υπολογίστε την ορική τχύτητ (σε άπειρη πόστση) πό το θεώρημ διτήρησης της ενέργεις. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η συνάρτηση V () προυσιάζει ελάχιστο ότν: dv d D ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e ( ) ( ) κι d d V ( ) D 4 e e οπότε: d V D(4 e e ) D(4 ) D d Δηλδή στη θέση (η οποί είνι θέση ευστθούς ισορροπίς) η V () έχει ελάχιστη τιμή η οποί είνι: V( ) D(e e ) D( ) V( ) D ( ) ( ) β) Ότν είνι: e e e οπότε η V (), ενώ ότν ( ) ( ) είνι: e e e ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ οπότε η V(). Η V () μηδενίζετι ότν: V() e ( ) ( ) ( ) e n ( n Κι γι = είνι: V( ) D(e e ) Στο κόλουθο σχήμ δίνετι η γρφική πράστση της V () : ) V V(=) n ο O ο -D E γ) Από το πρπάνω διάγρμμ της δυνμικής ενέργεις συμπερίνετι ότι ν η ολική ενέργει του σωμτιδίου είνι D E τότε η κίνηση του σωμτιδίου θ είνι φργμένη σε μι περιοχή γύρω πό τη θέση ισορροπίς. Μι τυπική περίπτωση φίνετι στο σχήμ όπου γι τη συγκεκριμένη ολική ενέργει Ε το σωμτίδιο δύντι ν κινηθεί στην περιοχή. δ) Γι ν διφύγει το σωμτίδιο στο άπειρο θ πρέπει η ολική του ενέργει ν είνι E. Οπότε η ορική περίπτωση ντιστοιχεί στη θέση όπου είνι Ε =. Άρ εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ της θέσης όπου Ε = κι του πείρου προκύπτει ότι η ορική τχύτητ του σωμτιδίου στο άπειρο είνι: E K( ) V( ) υ ορ υ ορ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ