και βρίσκει τη Συνθήκη α' τάξης ενώ ικανοποιείται η Συνθήκη β' τάξης (µέγιστο ως προς Q

Transcript

1 . Με δεδοµένο ότι (α) οι ειχειρήσεις ειλέγουν ταυτόχρονα την οσότητα του ροϊόντος την οοία θα αράγουν και (β) το ροϊόν είναι οµοιογενές, ρόκειται για το υόδειγµα Courot-Nash. Υόθεση συµεριφοράς των ειχειρήσεων στο εν λόγω υόδειγµα: Μεγιστοοίηση κέρδους. Άρα η λύνει το ρόβληµα µεγιστοοίησης max. (, ) = (8 ) = 8 = 0 = 8 = < 0 (µέγιστο ως ρος Άρα η = R ( ) = 8 είναι η συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της ειχείρησης. Αντίστοιχα η ειχείρηση λύνει το ρόβληµα µεγιστοοίησης του κέρδους της max. (, ) = (8 ) = 8 = 0 = 8 = < 0 (µέγιστο ως ρος []

2 Άρα η = R ( ) = 8 είναι η συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της ειχείρησης. Η υόθεση (α) συνεάγεται ότι οι και λύνουν το ακόλουθο γραµµικό (Σ) εξισώσεων 3 N 6 = = + = = N 6 6 = 8 = 8 = 8 = 8 = 6 3 N N 6 6 N 3 Άρα (, ) = (, ) P = 8 = οότε N N N (, ) = P = =, {, } = 8 - (/) 8 6/3 = 8 - (/) 0 6/ Με δεδοµένο ότι (α) οι ειχειρήσεις ειλέγουν ταυτόχρονα την οσότητα του ροϊόντος την οοία θα αράγουν και (β) το ροϊόν είναι οµοιογενές, ρόκειται για το υόδειγµα Courot-Nash και µάλιστα σε ασυµµετρικό ολιγοώλιο µε δεδοµένο ότι c c. Υόθεση συµεριφοράς των ειχειρήσεων στο εν λόγω υόδειγµα: Μεγιστοοίηση κέρδους. Άρα η ειχείρηση λύνει το ρόβληµα max. (, ) = ( A b b ) c []

3 A c = A b b c = 0 = b = b < 0 (µέγιστο ως ρος A c Άρα η = R ( ) = είναι η συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της. Αντίστοιχα η ειχείρηση b λύνει το ρόβληµα µεγιστοοίησης του κέρδους της max. (, ) = ( A b b ) c A c = A b b c = 0 = b = b < 0 (µέγιστο ως ρος A c Άρα η = R ( ) = είναι η συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της. Λύνοντας το γραµµικό (Σ) b εξισώσεων A c = b A c = b [3]

4 N N A c + c A c + c N A + c + c βρίσκουµε (, ) = (, ), P =. 3b 3b 3 3. Με δεδοµένο ότι (α) οι ειχειρήσεις ειλέγουν ταυτόχρονα την οσότητα του ροϊόντος την οοία θα αράγουν και (β) το ροϊόν είναι οµοιογενές, ρόκειται για το υόδειγµα Courot-Nash. Υόθεση συµεριφοράς ειχειρήσεων στο εν λόγω υόδειγµα: Μεγιστοοίηση κέρδους. Άρα η οστή ειχείρηση λύνει το ρόβληµα µεγιστοοίησης = = max. (,,..., ) (0 ) 00 ή max. (,,..., ) = ( ) 00 + = = 0 = j j=, j = 4 < 0 (µέγιστο ως ρος Άρα η = 30 4 είναι η συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της οστής ειχείρησης. j=, j j N Αό συµµετρία συνεάγεται = =... = = (οι ειχειρήσεις µοιράζονται την αγορά σε ισορροία) οότε η = 30 4 γίνεται j=, j j N N N 0 0 N = 30 ( ) = ΣΥΝ. = P = 0 = Με δεδοµένο ότι (α) οι ειχειρήσεις ειλέγουν ετεροχρονισµένα την οσότητα του ροϊόντος την οοία θα αράγουν (η µια µετά την άλλη) και (β) το ροϊόν είναι οµοιογενές ρόκειται για το υόδειγµα Stackelberg- [4]

5 Nash. Υόθεση συµεριφοράς ειχειρήσεων στο εν λόγω υόδειγµα: Μεγιστοοίηση κέρδους. Μεθοδολογία λύσης: Προς τα ίσω εαγωγή. Σύµφωνα µε αυτή τη µεθοδολογία ξεκινάµε αό το ρόβληµα του ακόλουθου, δηλ. της ειχείρησης (ξεκινάµε αό το τέλος ρος την αρχή) max. (, ) = (8 ) το οοίο έχουµε λύσει στο ρώτο θέµα βρίσκοντας τη συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της µε τύο = 8. Η γνωρίζει ότι στο δεύτερο στάδιο η θα ειλέξει οσότητα χρησιµοοιώντας τον κανόνα (αό κοινή γνώση ορθολογικότητας ρώτης τάξης) = 8 οότε λύνει το ρόβληµα µεγιστοοίησης max. ( ) = (8 (8 )) = max. ( ) = (0 ) και βρίσκει N 0 = 0 = 8 = 8 8 = 4. Άρα η τιµή είναι P = 8 = 6 και τα κέρδη είναι = = 3, = = 6. Σχόλιο: Ο ηγέτης έχει µεγαλύτερο µερίδιο αγοράς και µεγαλύτερο κέρδος. Το αοτέλεσµα αυτό ισχύει άντοτε σε συµµετρικό ολιγοώλιο Stackelberg-Nash. 5. Η συνάρτηση κέρδους της οστής ειχείρησης είναι η (,,..., ) = ( A ) c ή = (,,..., ) = ( A ) c. + Η οστή ειχείρηση λύνει το ρόβληµα µεγιστοοίησης (αό υόθεση συµεριφοράς) = A + c max. (,,..., ) ( ) [5]

6 A c = + A c = 0 = + j j=, j = < 0 (µέγιστο ως ρος Άρα η A c = j είναι η συνάρτηση βέλτιστης αόκρισης της οστής ειχείρησης. j=, j N Αό συµµετρία συνεάγεται = =... = = οότε η A c = j γίνεται j=, j N A c N N A c ( A c) N ( A c) = ( ) = ΣΥΝ. = P = A µε N ( A c) lm P = lm ( A ) = A ( A c) lm = A ( A c) lm = ( + ) = A ( A c) lm = A ( A c) = A A + c = c + + (ισχύει το θ. Courot 6 & 7.Υόθεση: Η ειχείρηση ζητάει εκείνη την οσότητα εργασίας, L, η οοία µεγιστοοιεί το κέρδος της ( ( L)) = P( ( L)) ( L) wl, δηλαδή λύνει max. ( ( L)) = P( ( L)) ( L) wl L d dp d d = + P w = 0. dl d dl dl Ισοδύναµα [6]

7 d dp ( P + ) = w ή MR MPL = w µε δεδοµένο ότι dl d '' '' διαβάζεται "ισότητα εξ ορισµού." dp MR = P + και MPL d d (το σύµβολο dl 8. Υόθεση: Η ειχείρηση ζητάει εκείνη την οσότητα εργασίας, L, η οοία µεγιστοοιεί το κέρδος της ( ( L)) = P( L) wl, δηλαδή λύνει max. ( ( L)) = P( L) wl L d d = P w = 0 ή P MP = w. dl dl L Σηµείωση: Με δεδοµένο ότι η αγορά είναι τέλεια ανταγωνιστική κάθε ειχείρηση ουλάει σε µια τιµή οοιαδήοτε οσότητα, δηλ. αοδέχεται την τιµή ως µια αραµετρική σταθερά εάνω στην οοία, εξ ορισµού, δεν έχει είδραση. 9. Με δεδοµένο ότι (α) οι ειχειρήσεις ειλέγουν ταυτόχρονα την τιµή του ροϊόντος την οοία θα χρεώσουν και (β) το ροϊόν είναι ανοµοιογενές, ρόκειται για το υόδειγµα Bertrad-Nash µε διαφοροοιηµένα ροϊόντα. Υόθεση συµεριφοράς ειχειρήσεων στο εν λόγω υόδειγµα: Μεγιστοοίηση κέρδους. Άρα η λύνει το ρόβληµα max. ( P, P ) = (9 P + P ) P (9 P + P ) = max. ( P, P ) = (9 P + P )( P ) P P = ( P ) + 9 P + P = 0 P ή P = 5 + P. Αντίστοιχα η λύνει το ρόβληµα µη δεσµευµένης µεγιστοοίησης του κέρδους της [7]

8 max. ( P, P ) = (9 P + P ) P (9 P + P ) = max. ( P, P ) = (9 P + P )( P ) P P P = ( P ) + 9 P + P = 0 ή P = 5 + P. Λύνοντας το γραµµικό (Σ) εξισώσεων P = 5 + P P = 5 + P N N βρίσκουµε ( P, P ) = (0,0). 0. (α) Η οσότητα αραγωγής η οοία µεγιστοοιεί το κέρδος της δεύτερης ειχείρησης δίνεται αό τη λύση του ροβλήµατος µεγιστοοίησης max. ( ) = ( a b) k. Η ειχείρηση βρίσκει τη a k '( ) = a b k = 0 = b ''( ) = b < 0 (ολικό µέγιστο ως ρος [8]

9 (β) Με δεδοµένο ότι η συνάρτηση αραγωγής της δεύτερης ειχείρησης είναι η µε τύο ( x) ταυτοτική συνάρτηση) τότε η συνάρτηση ζήτησης της εισροής, x, είναι αλά η = x (δηλ. η a k x =. Χρησιµοοιώντας b a k a k αυτή την οσότητα εισροής η ειχείρηση αράγει την οσότητα ( ) = του ερ. (α), δηλ. την b b οσότητα η οοία µεγιστοοιεί το κέρδος της. [9]