ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χρησιμοοιώντας τα στοιχεία του αρακάτω ίνακα, να γίνει η γραφική αράσταση της μάζας (Μ), του όγκου (V) και της αραγωγής γλυκόζης (G) σαν συνάρτηση της ηλικίας (α). Για οιες αό αυτές τις συναρτήσεις υάρχει η αντίστροφη συνάρτηση; Ποιες αό αυτές τις μετρήσεις μορούν να χρησιμοοιηθούν για να βρούμε την ηλικία ενός οργανισμού; Ηλικία (μέρες) Μάζα (g) Όγκος ( cm ) Παραγωγή γλυκόζης (mg),5,5 5,,,, 6,,,5, 7, 6,8, 5, 8, 8,,5 5,6 8,9 9,, 5,6 9,6 8,. Να γίνει η σύνθεση (f ο g)(x) και (g ο f)(x) όταν α) f(x)=+x και g(x)=+5x β) f(x)=x και g(x)=x+ β) f(x)=x x και g(x)=x/. Να λυθούν οι αρακάτω εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις ως ρος x. ( x ) = 8 x log ( ) 8 + = ( ) = 6 x x e = 5 log (log x ) = x x = 9 5 ln( x + ) = x e = 5 ln( x ) = ln(ln x ) = x bx e = ce, b, c > ln ln + ln b log x b c = log log. Έστω ότι το μέγεθος ενός οργανισμού αυξάνει σύμφωνα με την εξίσωση,5t S( t) =, α) Να βρείτε το μέγεθος του οργανισμού τη χρονική στιγμή t=. β) Να βρεθεί ο χρόνος διλασιασμού χωρίς να μετατρέψετε την εξίσωση σε εκθετική με βάση e. γ) Να γράψετε την εξίσωση σαν εκθετική συνάρτηση με βάση το e και να βρεθεί ο χρόνος διλασιασμού. 5. Η ραδιενεργός ουσία Strodium 9 έχει χρόνο ημιζωής ερίου 9 χρόνια. Η οσότητα του Strodium, A (t), στο χρόνο t δίνεται αό την εκθετική συνάρτηση A( t) kt = A e όου A = A() η αρχική οσότητα του Strodium. Να βρεθεί η σταθερά k. 6. Η σχέση μήκους-βάρος ενός είδος βακαλάου του Ειρηνικού εριγράφεται αρκετά καλά αό τον τύο: W =,75L, όου W είναι το βάρος σε κιλά και L το μήκος σε μέτρα. α) Το 97, ένας βακαλάος μήκους 67 cm ιάστηκε στις ακτές του Καναδά. Δώστε μια εκτίμηση του βάρους του. β) Ο μεγαλύτερος βακαλάος ου έχει λετομερώς καταγραφεί έχει βάρος κιλά. Δώστε μια εκτίμηση του μήκους του.

2 7. Έρευνα έδειξε ότι ο μέσος αριθμός θηλαστικών ειδών, S, ου υάρχουν σε ένα νησί σχετίζεται με την έκταση, Α, (σε km ) του νησιού σύμφωνα με την εξίσωση S = ca Η σταθερά c εξαρτάται αό την τοοθεσία του νησιού και αό το αν υάρχουν κοντά άλλα νησιά. α) Αν υοθέσουμε ότι αυξάνουμε την έκταση ενός νησιού κατά ένα αράγοντα, όσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών; β) Αν σε ένα νησί έκτασης km υάρχουν 9 διαφορετικά είδη θηλαστικών, όσα διαφορετικά είδη εριμένει κάοιος να βρει σε ένα κοντινό νησί έκτασης, km ; γ) Αν ανακαλύψετε ότι σε ένα άλλο κοντινό νησί υάρχουν διαφορετικά είδη θηλαστικών, οια είναι, βάση του αραάνω τύου, ροσεγγιστικά η έκταση του νησιού; δ) Να γίνει η γραφική αράσταση του αριθμού των θηλαστικών ειδών ως ρος την έκταση του νησιού 8. Μετρήσεις έδειξαν ότι ο χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων (ερυθρά αιμοσφαίρια) στα θηλαστικά είναι μια αλλομετρική συνάρτηση του βάρους. Ο μέσος χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων σε έναν άνδρα 7 kg είναι μέρες. Ο μέσος χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων σε ένα λαγό,5 kg είναι 65 μέρες Χρησιμοοιείστε αυτά τα στοιχεία για να βρείτε την εξίσωση του χρόνου ζωής των ερυθροκυττάρων T σαν συνάρτηση του βάρους W, δηλαδή T = kw Να βρεθούν οι σταθερές k και. Χρησιμοοιείστε το μοντέλο για να βρείτε το μέσο χρόνο ζωής των ερυθροκυττάρων σε ένα σκύλο kg. Είσης, να βρείτε το βάρος ενός ζώου του οοίου τα ερυθροκύτταρα ζουν για μέρες. 9. Ο αρακάτω ίνακας εριέχει δεδομένα για τo βάρος του σώματος (Β) ενός είδους καβουριού χωρίς τις δαγκάνες και για το βάρος της δαγκάνας (C). Να ροσαρμόσετε μια συνάρτηση β C = B στα δεδομένα. Β (gr) C (gr) Ο αρακάτω ίνακας εριέχει δεδομένα για την αύξηση ενός ληθυσμού φασιανών (N) σε μια ροστατευόμενη εριοχή. Να ροσαρμόσετε μια εκθετική συνάρτηση N = cekt στα δεδομένα, όου t= αντιστοιχεί στο χρόνο 99. Έτος Πληθυσμός Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: (α) συνt και συν t, στους ίδιους άξονες. (β) ημt και ημ( t / ), στους ίδιους άξονες. (γ) ημ(t ) +. Βρείτε μια συνάρτηση για τη θερμοκρασία της μορφής T = B + Aημω ( t t ) τέτοια ώστε (α) η μέγιστη θερμοκρασία να είναι 8 C στις : μ.μ. (β) η μέγιστη διαφορά θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της ημέρας να είναι C. (γ) ο χρόνος t= να αντιστοιχεί στις :.μ.

3 Στη συνέχεια () να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης, () να βρεθούν οι ώρες της ημέρας ου η θερμοκρασία είναι 6 C, και () τα διαστήματα της ημέρας ου η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη αό C. x. Η ένταση του ηλιακού φωτός ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύο I( x) = I e, όου I είναι η ένταση του φωτός στην ειφάνεια της λίμνης και I (x) η ένταση του φωτός σε βάθος x. Το α (/m) είναι ο κατακόρυφος συντελεστής θολερότητας της λίμνης (Εδώ υοθέτουμε ότι είναι σταθερός). (α) Έστω ότι σε βάθος μέτρου αορροφάται το % της έντασης του φωτός. Να βρείτε το α. Ποια είναι η μονάδα μέτρησης του α; (β) Τι οσοστό της έντασης ου φτάνει στο m αοροφάται στο εόμενο μέτρο; (γ) Τι οσοστό της αρχικής έντασης φτάνει σε βάθος m, m και m; (δ) Το βάθος στο οοίο φτάνει % της ένταση του φωτός ου έφτει στην ειφάνεια της λίμνης έχει βιολογική σημασία. Προσεγγιστικά, είναι το βάθος στο οοίο σταματάει η ανάτυξη του φυτολαγκτού. Η ζώνη άνω αό αυτό το βάθος ονομάζεται ευφωτική ζώνη (euphotic zone). Υολογίστε το βάθος της ευφωτικής ζώνης ως συνάρτηση του α. Ααντήσεις. α) Εειδή η μάζα είναι η ίδια για τις ηλικίες,5 μέρες και, μέρες, η συνάρτηση ου σχετίζει την ηλικία α με τη μάζα δεν έχει αντίστροφη. Γνωρίζοντας τη μάζα δεν μορούμε να εκτιμήσουμε την ηλικία. β) Ο όγκος δεν αίρνει την ίδια τιμή για διαφορετικές ηλικίες. Μορούμε να εκτιμήσουμε την ηλικία αν γνωρίζουμε τον όγκο. γ) Η αραγωγή γλυκόζης είναι 8, mg για τις ηλικίες και μέρες. Γνωρίζοντας την αραγωγή γλυκόζης δεν μορούμε να εκτιμήσουμε την ηλικία.

4 . (f ο g)(x)= f[g(x)] και (g ο f)(x)= g[f(x)] α) (f ο g)(x)= +x και (g ο f)(x)= 9+x β) (f ο g)(x)= (x+) και (g ο f)(x)= x + γ) (f ο g)(x)= (x/) x/ και (g ο f)(x)= (x x )/. ( x x ) = 8 ( ) = 6 ln,7 =, ln x 5 = log (log x ) = 6 ln(x + ) = e x bx e = ce ln c b b, c > e x = 5 ln5 ln ln + lnb b log 8 ( x + ) = 6 x x = 9 ή ln(x ) = + e log log b c / b log c ( e x ) = ln =,88 x = 5 δεν υάρχει x ου να ικανοοιεί την εξίσωση. ln(ln e = x) ( e ). Έστω ότι το μέγεθος ενός οργανισμού αυξάνει σύμφωνα με την εξίσωση,5 α) S () =, =, β) S( t, t d d,5t ) = S() d,5t = = log() = d =, ln ln =,6 γ),5t ln,5t,5t S( t) =, =,( e ) =,e.ο χρόνος διλασιασμού t d είναι t d =ln()/,5=,67

5 5. Ο χρόνος ημιζωής t h, υολογίζεται αό τη σχέση ln, 5 t h =. Εομένως k=,69/9=, k 6. α) W=97,8 κιλά. β) L=,8 μέτρα. 7. α) Αν Α = Α τότε S =,5 S. β) 9=c /, συνεώς c=,9. Σε κοντινό νησί έκτασης, km υάρχουν S=,9 (,) / = είδη. γ) Η έκταση του νησιού είναι Α=(S/,9) =(/,9) =,777 km δ) 8. k=6,78 και =,6. T=6,78 W,6 Ο μέσος χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων σε ένα σκύλο kg είναι T=6,78,6 = 98,6 μέρες. Το βάρος ενός ζώου του οοίου τα ερυθροκύτταρα ζουν για μέρες είναι W=(T/6,78) /,6 =(/6,78) /,6 =, kg. 9. X=Log(B),76,77,79,,6,9 Y=Log(C),699,89,9,7,888, Η εξίσωση της ευθείας ου ερνάει αό τα σημεία (,76,,699) και (,6,,888) είναι Y =,6 +, 566X. Εομένως, C =,87B, 566 5

6 log(c),5,5,5,5 log(b) C (gr) B (gr). T Y=ln(N),9 5,6 6,6 7,85 Η εξίσωση της ευθείας ου ερνάει αό τα σημεία (,,9) και (, 7,8) είναι Y =,9 +, 897t. Εομένως, N = 8,96e,897t ln(n) t N t. 6

7 (α) cos t cos t - (β) 9 sin t sin (t-/) - (γ),5 +,5 sin( t- ),5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75,5,5,75 7

8 . Η μέγιστη θερμοκρασία B A = 8 C + στις : μ.μ. δηλαδή t=5 (t μετράει ώρες μετά τα μεσάνυχτα). Μέγιστη διαφορά θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της μέρας ( B + A) ( B A) = A = C. Άρα A =,5 C και B = 6,5 C. Η ερίοδος είναι ώρες, εομένως ω = =. Η θερμοκρασία έχει T μέγιστο όταν ημ ω t t ) = t t = 6 ± n, n,, L το μέγιστο συμβαίνει όταν t=5. Άρα ( = t = 9. Η συνάρτηση ου εριγράφει τη θερμοκρασία είναι T = 6,5 +,5ημ ( t 9), και η γραφική αράστασή της φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. Ελάχιστη θερμοκρασία T = 5 C όταν t=, μέγιστο θερμοκρασία T = 8 C όταν t=5, και μέση θερμοκρασία T = 6,5 C όταν t=9 και t=. () 5 θερμοκρασία 5 χρόνος (ώρες) () Για να βρούμε τις ώρες της ημέρας ου η θερμοκρασία είναι 6 C ρέει να λύσουμε την εξίσωση: 6 = 6,5 +,5ημ ( t 9) ή ημ ( t 9) =, 9. Οι λύσεις είναι : ( t 9) = ημ (,9) ± n και ( t 9) = ημ (,9) ± n, n =,,, L.Κάνοντας τις ράξεις βρίσκουμε : t =,6 ± n και t = 5, ± n, n =,,, L. Μας ενδιαφέρουν οι λύσεις στο διάστημα [,]. Οι μόνες λύσεις στο διάστημα [,] είναι t=, και t=,6 ου αντιστοιχούν στις :.μ. και :6.μ.. () Παρόμοια βρίσκουμε ότι το διάστημα της ημέρας ου η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη αό C είναι [,8, 9,8], δηλαδή μεταξύ :.μ. και 7:9 μ.μ.. (α) α= -ln,9 (m - ) (β) % (γ) m : 9%, m :8%, m :7,9% ln, ln, (δ) = m ln,9 8