ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)"

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων : + y z - + αy z y + αz Α. Λύστε το σύστηµα για όλες τις τιµές της ραγµατικής αραµέτρου α. Β. Για την τιµή α -/ : (i) Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του ίνακα Α του συστήµατος και διαγωνοοιήστε τον. (ii) Χρησιµοοιώντας την ροηγούµενη διαγωνοοίηση υολογίστε τη -οστή δύναµη Α για κάθε φυσικό αριθµό. Λύση Α. Θεωρούµε τον εαυξηµένο ίνακα του συστήµατος στον οοίο εφαρµόζουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: Γ Γ Γ ΓΓ Γ Γ /( + ) Γ ΓΓ ( ) + + α - 7 Γ ΓΓ /( + ) /( + ) 7 7α α + Στην ερίτωση ου α φανερά το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο µιας και αό τη δεύτερη γραµµή του τρίτου ίνακα έχουµε z. Είσης στην ερίτωση ου α φανερά το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο µιας και αό την τρίτη γραµµή του τελικού ίνακα έχουµε z. Εάν, τότε έχουµε την µοναδική λύση 6 7 y + α + α + α + ( α + ) ( α + ) ( α + ) z T. Β. Για την τιµή α -/ ο ίνακας γίνεται: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

2 A i)το χαρακτηριστικό ολυώνυµο είναι λ 5 9 det( A λι ) det λ ( λ)( λ + )( λ + ) + ( λ + ) + ( λ ) λ 5 5 ( λ)( λ + )( λ + ) (λ + ) ( λ + ) ( λ)( λ + ) ( λ + ) λ λ + ( λ + )( λ + ) λ µε ρίζες -, -/, /. Οότε ο ίνακας έχει τρεις διαφορετικές ιδιοτιµές και συνεώς διαγωνοοιείται. 4 Για την ιδιοτιµή λ, το συστηµα / ισοδυναµεί µε /,, αό όου αίρνουµε το ιδιοδιάνυσµα [ ] T. Για την ιδιοτιµή λ /, το συστηµα /, 4, αό όου αίρνουµε το ιδιοδιάνυσµα [4 ] T. Για την ιδιοτιµή λ /, το συστηµα 5/ 7, 8, αό όου αίρνουµε το ιδιοδιάνυσµα [8 7] T. Αρα ο ίνακας διαγωνοοιείται δηλαδή ισχύει APDP - όου ισοδυναµεί µε ισοδυναµεί µε 4 8 P, D /. 7 / ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

3 Υολογίζουµε τον αντίστροφο του ίνακα Ρ: Γ ΓΓ [ P I] 7 5 Γ ΓΓ Γ Γ Γ / Γ Γ Γ Γ + 5Γ 6 /6 / / 5/ Γ Γ /( 7) /7 /4 5/4 /6 /6 /6 /6 4 4/ 4/ /7 / / Γ 8 /7 /4 5/4 4 /7 /4 5/4 Γ Γ Γ Γ Γ. /6 /6 /6 /6 Άρα /7 / / P /7 /4 5/4 /6 /6 ii) H νιοστή δύναµη του Α ισούται µε A PD P - ( ) A PD P 4 8 /7 / / ( /) /7 /4 5/ ( /) /6 /6 Άσκηση ( µον.) ίνεται η γραµµική αεικόνιση f : R R µε τύο: f ( yz,, ) ( + y, y z, + y z). (i) Βρείτε τον ίνακα της f ως ρος την κανονική βάση του R. (ii) Προσδιορίστε τον υρήνα και την εικόνα της f καθώς και αντίστοιχες βάσεις. Είναι η f -; Είναι εί ; (iii) Υάρχει ο αντίστροφος του ίνακα της f ; Λύση (i) Για να βρούµε τον ίνακα της f ως ρος την κανονική βάση Β του R ου αοτελείται αό τα διανύσµατα e (,,), e (,,), e(,,) (διατεταγµένα µε την σειρά αυτή) ρώτα βρίσκουµε τις εικόνες µέσω της f καθενός αό αυτά ως γραµµικούς συνδυασµούς των στοιχείων της βάσης: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

4 f( e ) f(,, ) ( +,, + ) (,, ) (,, ) + (,, ) + (,,) e + e + e, f( e ) f(,,) (+,, + ) (,,) e e + e, f ( e ) f(,,) ( +,, + ) (,, ) e e e, και σχηµατίζουµε τον ίνακα Α µε στήλες τα [ ( )], [ ( )], [ ( )] ίνακας της f ως ρος την κανονική βάση Β του R A. f e f e f e. ηλαδή ο B B B είναι ο (ii) Εχοντας τον ίνακα της f, για να ροσδιορίσουµε τον υρήνα και την εικόνα της f αρκεί να υολογίσουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Α: Γ Γ Γ A Γ Γ Γ Γ Γ /( ) Γ Γ Γ / / Γ Γ /( ) / A Ετσι το διανυσµα e + y e + z e (, y, z) ανήκει στον υρήνα της f αν και µόνο αν A y z δηλαδή z/ και y + z/. Αρα z/ και y z/ δηλαδή Ker f { (,,), R } και µία βάση του είναι το µονοσύνολο {(,,) }. Συνεώς ο Ker f είναι µονοδιάστατος υόχωρος του R. Αό την κλιµακωτή µορφή του Α συµεραίνουµε ότι µία βάση του χώρου στηλών του αοτελείται αό την ρωτη και δευτερη στήλη και συνεώς µία βάση της εικόνας της f αοτελείται αό τα διανύσµατα e + e + e (,,) και e e + e(,-,) και η διάστασή της είναι. Χρησιµοοιώντας τα αραάνω συµεράσµατα µορούµε να ούµε ότι: Η f δεν είναι - αφού ο υρήνας της δεν είναι ο µηδενικός υόχωρος. Η f δεν είναι εί αφού η εικόνα της δεν συµίτει µε το εδίο τιµών της έχοντας µικρότερη διάσταση αό αυτό. (iii) εδοµένου ότι ο ίνακας ου αντιστοιχεί σε µία γραµµική αεικόνιση είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν το ίδιο συµβαίνει και µε την αντίστοιχη αεικόνιση, ο Α δεν ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 4

5 αντιστρέφεται αφού η f δεν είναι - και εί (εισης αό την κλιµακωτή µορφή του Α εχουµε ότι rk A < και συνεώς ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος). Άσκηση (4 µον.) Α. (6 µον.) Να υολογίσετε τα αρακάτω όρια: l i) lim ( )l ii) ( + ) l lim (χρησιµοοιώντας τα ανατύγµατα αριθµητή και αρονοµαστή σε cos σειρές Tylor). Β. ( 8 µον.) Προσδιορίστε τους ραγµατικούς α, β, γ έτσι ώστε η συνάρτηση : + β +, < f( ), + γ +, > να είναι αραγωγίσιµη στο. Λύση Α. i) l ( l ) lim lim lim lim lim ( )l l+ (( )l) l+ l + ( ) lim lim lim ( l + ) l + l + + ( ) ( ) ii) Χρησιµοοιώντας τα ανατύγµατα των εµλεκόµενων συναρτήσεων σε σειρές Tylor µε κέντρο το, έχουµε : + + ( ) ( ) l( + ), <, cos, R, ( )! έχουµε : + + ( ) ( ) l( + ) ( ) , < 4 ( ) ( )!! 4! 6!! 4! 6! cos ( ) +... Οι τύοι αυτοί ισχύουν στην εριοχή του µηδενός, όου υολογίζεται το ζητούµενο όριο, και άρα µορούµε να αντικαταστήσουµε : ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 5

6 l ( ) lim lim lim cos ! 4! 6! +! 4! 6! lim ! 4! 6!! Β. Για να είναι η f αραγωγίσιµη στο θα ρέει να είναι και συνεχής. Εοµένως: lim f( ) lim f( ) lim( + β + ) lim( + γ + ) β + β + γ γ Αό την άλλη µεριά, και οι λευρικές αράγωγοι της f στο θα ρέει να υάρχουν και να συµίτουν : f( ) f() f( ) f() ( + β+ ) ( + γ+ ) lim lim lim lim + β+ + γ + ( ) + lim lim lim lim + ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim + ( ) ( ) lim lim( ) Οότε και β - α -. Άρα τελικά οι ζητούµενες τιµές είναι : α, β-, γ-. Άσκηση 4 ( µον.) Α. Χρησιµοοιώντας αραγοντική ολοκλήρωση υολογίστε τα ολοκληρώµατα : ( + )si( ) d ( + )cos d, ( ) Β. Να βρεθεί η τριγωνοµετρική σειρά Fourier της f() +, -<<. Γ. Χρησιµοοιώντας το ροηγούµενο ανάτυγµα δείξτε ότι ( ) Χρησιµοοιώντας Mtlb σχεδιάστε την f() + στο διάστηµα (-,) καθώς και τα µερικά αθροίσµατα του ανατύγµατός της σε σειρά Fourier για έναν, τρεις και έντε όρους. Λύση Α. ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 6

7 ( ) cos ( + )si ( ) d si ( ) d + si ( ) d ( )' d cos( ) + C cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) + ( )' d cos( ) C d cos( ) C ( ) si ( ) cos + cos ( ) + C B. Εφόσον Τ και - η σειρά Fourier της f είναι της µορφής: + [ cos() + b si()] Υολογίζουµε τους συντελεστές της σειράς: ( ) + 4 f( ) d ( ) d + 4 f ( )cos( )d ( )cos( )d + si( ) cos( ) si( ) + + b f()si()d ( )si()d + ( ) si( ) cos + cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) + cos ( ) + cos( ) ( ) όου χρησιµοοιήσαµε ότι cos( ) cos( ), si( ) si( ), si( ), cos( ) ( ). ηλαδή, εριττος b, αρτιος Εοµένως η σειρά Fourier της f είναι η ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 7

8 + [ cos() + b si()] + ( ) + si( ) + si si( ) + si( ) si( 4 ) + si( 5 ) Γ. Έχουµε αό τα αραάνω ότι για -<<, + + si si( ) + si( ) si( 4 ) + si( 5 ) και θέτοντας έχουµε 5 si si( ) si( ) si( ) si( ) si( ) , ( ) δηλαδή >> cler ll >> lispce(-pi,pi); >> f+pi; >> fpi+*si(); >> fpi+*(si()-/*si(*)+/*si(*)); >> f5pi+*(si()-/*si(*)+/*si(*)-/4*si(4*)+/5*si(5*)); >>f7pi+*(si()-/*si(*)+/*si(*)-/4*si(4*)+/5*si(5*)- /6*si(6*)+/7*si(7*)); >> plot(,f,,f,,f,,f5,,f7) Το αοτέλεσµα ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 8

9 7 6 5 f f f f5 f µας δείχνει ότι όσο ερισσότερους όρους θεωρήσουµε τόσο καλύτερη ροσέγγιση της συνάρτησης ειτυγχάνουµε. Άσκηση 5 ( 8 µον.) + l Α. ( µον.) ίνεται η συνάρτηση f( ), >. Προσδιορίστε : (i) Τα διαστήµατα στα οοία είναι αύξουσα ή φθίνουσα. (ii) Τα τοικά ακρότατά της. (iii) Τα διαστήµατα στα οοία στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω. (iv) Τα σηµεία καµής (v) Τα σηµεία τοµής µε τους άξονες. + + l Β. (8 µον.) Υολογίστε το γενικευµένο ολοκλήρωµα f ( d ), όου f( ) και το σηµείο τοµής της γραφικής αράστασης της f µε τον άξονα. Λύση Α. (i) Τα διαστήµατα στα οοία είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Η αράγωγος της συνάρτησης είναι ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 9

10 (+ l ) (+ l ) ' (+ l ) ' l f '( ) η δεύτερη αράγωγός της ( l ) ' ( l ) ( )' ( l ) 4l ( ) f ''( ) 4 4 Για την µονοτονία l l / / f '( ) > > l > l < e < e < e e Οότε στο διάστηµα (, e ) είναι αύξουσα και στο διάστηµα (, ) e είναι φθίνουσα. (ii) Τα τοικά ακρότατά της. l l / / f '( ) l l e e e e το σηµείο αυτό είναι ιθανό ακρότατο και εειδή 4 le f ''( e) < e e + l e είναι τοικό µέγιστο µε τιµή f( e) e e Στο ίδιο συµέρασµα καταλήγει κανείς και αό το αοτέλεσµα του ροηγούµενου υοερωτήµατος : Η συνάρτηση στο διάστηµα (, e ) είναι αύξουσα και στο διάστηµα ( e, ) είναι φθίνουσα. Συνεώς, στο e θα έχουµε τοικό µέγιστο. Θα ρέει να εξετάσουµε τη συµεριφορά της συνάρτησης και στα άκρα του εδίου ορισµού της δηλαδή στο + και στο +. + l lim f( ) lim lim + l lim lim + l Είσης + l ( + l ) ' lim f( ) lim lim lim ' + Οότε το σηµείο ( ) ( ) ( + )( ) / e e είναι ολικό µέγιστο. (iii) Τα διαστήµατα στα οοία στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω. Εξετάζουµε: 4l ( ) l f ''( ) > l > e > e > e εφόσον ισχύει ότι >. f ''( ) < < e Οότε στο διάστηµα (,e ) στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω και στο διάστηµα (, ) e στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω. ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

11 (iv) Τα σηµεία καµής f ''( ) e Στο σηµείο αυτό έχουµε σηµείο καµής εφόσον η f '' αλλάζει ρόσηµο δεξιά και αριστερά του. (v) Τα σηµεία τοµής µε τους άξονες. + l l / / f( ) + l l e e e e Η γραφική της αράσταση Β. Το αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης είναι + l l d d d d l (l )' d + + ( l ) ( ) l + + C l + l + C Ζητάµε το γενικευµένο ολοκλήρωµα b + l + l b f ( ) d d lim d lim l ( l ) b + b / e / e / e / e ( ) lim lb lb l/ e l/ e b ( ) ( ) ( ) ηλαδή το γενικευµένο ολοκλήρωµα δεν συγκλίνει. Άσκηση 6 ( µον.) Να µελετήσετε ως ρος τη σύγκλιση τις σειρές: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

12 (i) (ii) (iii) ( )( + ) ( + )! + ( ) ( 4) + 9 Λύση (i) Χρησιµοοιούµε το κριτήριο του λόγου : Έστω + σειρά ραγµατικών αριθµών µε α, για κάθε N µε p, όου p σταθερός φυσικός αριθµός. Υοθέτουµε, µε άλλα λόγια, ότι το µηδέν δεν εριέχεται στους όρους της σειράς αό κάοιον δείκτη και µετά. Τότε: Αν + σειρά συγκλίνει. r <, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν + lim + < ), τότε η Αν +, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν + lim + > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R, οότε είτε θα αειρίζεται είτε θα κυµαίνεται.. Αν + lim +, τότε δεν µορούµε να µορούµενα συµεράνουµε για την σύγκλιση της σειράς µε βάση το Κριτήριο του Λόγου. Στη συγκεκριµένη ερίτωση έχουµε : ( + 4) ( + 4) ( + )! ( + )( + )! ( + 4), ( )( + ) ( )( + ) ( + )( )( + ) ( + )! ( + )! το οοίο συγκλίνει στο αφού ο βαθµός του αρονοµαστή είναι µεγαλύτερος αό αυτόν του αριθµητή. Άρα η σειρά συγκλίνει. (ii) Χρησιµοοιούµε το κριτήριο της ρίζας : Έστω + σειρά ραγµατικών αριθµών. Τότε: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

13 Αν r<, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν lim < ), τότε η σειρά συγκλίνει. + Αν, για άειρο λήθος δεικτών (ή, ειδικότερα, αν lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R. + Αν lim, τότε δεν µορούµε να ααντήσουµε θετικά αν η σειρά + Εδώ έχουµε : συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο της Ρίζας. και άρα η σειρά δεν συγκλίνει. ( ) 9 9> (iii) Χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου έχουµε : + ( ) ( 4) ( 4) ( 4) ( + ) ( ) ( 4) ( 4) Έτσι, Η σειρά συγκλίνει αν 4 < < 4< < < 5 Η σειρά αοκλίνει αν 4 > 4< η -4> < η > 5 Για ή 5 το κριτήριο λόγου δεν µορεί να δώσει συµέρασµα. Ελέγχουµε λοιόν αυτές τις εριτώσεις ξεχωριστά : o Για η σειρά γίνεται : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η τελευταία συγκλίνει αφού είναι µικρότερη αό την p-σειρά Για 5 η σειρά γίνεται : ( ), η οοία είσης συγκλίνει αφού είναι + 9 εναλλάσσουσα σειρά και η ακολουθία είναι µηδενική και φθίνουσα. + 9 (Θυµίζουµε ότι οι σειρές των οοίων οι όροι εναλλάσσουν το ρόσηµό τους συνεχώς ονοµάζονται εναλλάσσουσες. Πρόκειται, δηλαδή, για σειρές της ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

14 µορφής + ( ). Αν σε µια τέτοια σειρά η ακολουθία ( ) N ου την αράγει είναι θετική και φθίνουσα (ισχύει δηλαδή ότι: + για κάθε δεικτη,,, τότε η σειρά συγκλίνει). Άσκηση 7 ( µον.) Υολογίστε τα ολοκληρώµατα : Α. I d (Υόδειξη: Χρησιµοοιήστε ανάλυση σε αλά κλάσµατα) ( ) ( ) Β. I d (Υόδειξη: Χρησιµοοιήστε την αντικατάσταση ωt(/) + si cos t( /) t ( /) καθώς και τους τύους : si, cos ) + t ( /) + t ( /) Λύση Α. Οι ρίζες του αρονοµαστή είναι και µε ολλαλότητα και αντίστοιχα. Εοµένως αναλύουµε σε αλά κλάσµατα ως εξής : A B C ( ) ( ) + ( ) + Ααλείφοντας τους αρονοµαστές έχουµε : A( )( ) + B( ) + C( ) Η ροηγούµενη σχέση ισχύει για κάθε ραγµατικό αριθµό, οότε Για δίνει : -Β, άρα Β -. Για : C, άρα C. Για : Α - Β + C > Α + +, άρα Α -. Εοµένως, το αρχικό κλάσµα αναλύεται σε αλά ως: + ( ) ( ) ( ) και το ζητούµενο ολοκλήρωµα υολογίζεται ως εξής : d d d + d ( ) ( ) ( ) l + + l + c Β. Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση ου ροτείνεται στην υόδειξη έχουµε : ω t( ) rctω d dω d dω + ω + ω Έτσι, το ολοκλήρωµα γίνεται : ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 4

15 I d dω dω + sicos ω ω + ω + ω + ω + ω + ω + + ω + ω + ω dω dω. ω + ω ω + ω Για το τελευταίο δουλεύουµε και άλι µε ανάλυση σε αλά κλάσµατα: Η σχέση αυτή δίνει: Για ω Α Για ω - Β - A A( ) ω + ω ωω ( + ) ω + ω+ + + B ω Bω Εοµένως ω dω ( ) dω dω dω l ω l ω+ l ω + ω ω ω+ ω ω+ ω + Έτσι, το αρχικό ολοκλήρωµα είναι : t( ) I ω d dω l l c + si cos ω + ω ω + + t( ) + Άσκηση 8 ( µον.) Α. (6 µον.) Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα για τα οοία γνωρίζουµε ότι Ρ(Α).7, PA ( B).8, να βρεθεί η P(B) στις εξής εριτώσεις: (i) Όταν A B (ii) Όταν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα, (iii) Όταν Ρ(Α Β).6 Β. ( µον.) Σε µία εξέταση ολλαλής ειλογής δίνονται έντε ααντήσεις σε κάθε ερώτηση µία αό τις οοίες είναι µόνο σωστή. Ο εξεταζόµενος είτε γνωρίζει την αάντηση, µε ιθανότητα.7, είτε ααντά στη τύχη. είξτε ότι αν ο εξεταζόµενος αάντησε σωστά σε µία ερώτηση, η ιθανότητα να την γνώριζε είναι.9. (Υόδειξη : Θεωρήστε τα ενδεχόµενα Α{ο εξεταζόµενος αάντησε σωστά} και Β{ο εξεταζόµενος γνώριζε την αάντηση}. Ζητάµε τότε την Ρ(Β Α) για τον υολογισµό της οοίας ρέει να χρησιµοοιήσετε τον τύο Byes). Γ. ( µον.) Σε µία δίκη ου αφορούσε την ατρότητα ενός αιδιού ο κατηγορούµενος µόρεσε να αοδείξει ότι βρισκόταν εκτός της χώρας για το χρονικό διάστηµα ου άρχιζε 95 ηµέρες ριν τη γέννηση του αιδιού και τελείωνε 4 ηµέρες είσης ριν τη γέννηση. Αν υοθέσουµε ότι η διάρκεια της κύησης ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 7 ηµέρες και τυική αόκλιση ηµέρες, οια είναι η ιθανότητα ο κατηγορούµενος να µην είναι ο ατέρας του αιδιού ; ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 5

16 (Υόδειξη: Μετατρέψτε την κατανοµή σε τυική κανονική Τ και χρησιµοοιήστε ότι και Φ(.5) Ρ(Τ<.5).9798 και Φ() Ρ(Τ<).9987). Λύση Α. (i) Όταν A B, ισχύει ότι PA ( B) PA ( ) + PB ( ). Οότε, Ρ(Β). Συνεώς, Ρ(Β). σε αυτήν την ερίτωση. (ii) Όταν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα ισχύει ότι PA ( B) PAPB ( ) ( ). Οότε: PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PAPB ( ) ( ) PA ( ) + PB ( ) ( PA ( )) Έτσι, PB ( ) (.7).. PB ( ) PB ( ) (iii) Όταν Ρ(Α Β).6, έχουµε : PA ( B) PA ( B) αρα PA ( B).6 PB ( ) PB ( ) Εοµένως, PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) PA ( ) + PB ( ).6 PB ( ) PA ( ) +.4 PB ( ) Χρησιµοοιώντας και άλι τα δεδοµένα της εκφώνησης, έχουµε: PB ( ) δηλαδή..4 PB ( ) και τελικά PB ( ) 4 B. Ακολουθώντας την υόδειξη, ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α{ο εξεταζόµενος αάντησε σωστά}, Β{ο εξεταζόµενος γνώριζε την αάντηση}. Χρησιµοοιώντας τον τύο Byes έχουµε: PA ( B) PB ( ) PB ( A). PA ( B) PB ( ) + PA ( B ) PB ( ) Όµως, Ρ(Α Β) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να αάντησε σωστά δεδοµένου ότι γνώριζε την αάντηση (γνωρίζει την αάντηση άρα ααντάει σίγουρα σωστά) Ρ(Β) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να γνωρίζει την αάντηση.7 (αό την υόθεση) Ρ(Α Β ) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να αάντησε σωστά δεδοµένου ότι δεν γνώριζε την αάντηση η ιθανότητα να ειλέξει την σωστή αάντηση δεδοµένου ότι ααντάει στην τύχη /5. (ηλίκο ευνοϊκών εριτώσεων ρος το σύνολο) Ρ(Β ) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να µην γνωρίζει την αάντηση -Ρ(Β).. Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύο Byes, έχουµε :.7 PB ( A) Γ. ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 6

17 Η τυχαία µεταβλητή Χδιάρκεια κύησης σε ηµέρες, ακολουθεί την κανονική κατανοµή ( X N(7, )) οότε η µεταβλητή κατανοµή ( Z N(,) ). X 7 Z ακολουθεί την τυική κανονική Η ζητούµενη ιθανότητα είναι η ιθανότητα η σύλληψη να έγινε τη χρονική ερίοδο ου ο κατηγορούµενος αουσίαζε, δηλαδή: 4 7 X P[4 < X < 95] P < < P[ < Z <.5] ( ) PZ [ <.5] PZ [ < ] PZ [ <.5] PZ [ < ] Φ[.5] +Φ [], , ,85% ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 7

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 & Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνί Αοστολής στον Φοιτητή: 7 Μρτίου 8 Ηµεροµηνί ράδοσης της Εργσίς: Μϊου 8 Πριν ό την λύση κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα