MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
|
|
- Ἥλιος Αξιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele
2 TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24
3 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II ( YMM374) 1 Õppeaine maht 4 ainepunkti 2 Eeldusaine YMM Õppeaine eesmärk Õppeaine eesmärk: Anda teoreetilised alused mitme muutuja funktsioonide diferentsiaal- ja integraalarvutuse teooriale ning ridade teooriale Õpetada lahendama mainitud teooriaga seotud põhilisi ülesandeid Näidata mitme muutuja funktsioonide diferentsiaal- ja integraalarvutuse ning ridade võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadusharudes Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga 4 Põhiõpik Tammeraid I Matemaatiline analüüs II Tallinn, TTÜ kirjastus, 23 5 Täiendav kirjandus 1 Piskunov N S iferentsiaal- ja integraalarvutus II Tallinn, Valgus, Kangro G Matemaatiline analüüs II Tallinn, Lõhmus A, Petersen I, Roos H Kõrgema matemaatika ülesannete kogu Tallinn, Valgus, 1989
4 4 4 Reimers E Matemaatilise analüüsi praktikum II Tallinn, Valgus, Ruustal E Matemaatiline analüüs II Harjutused Tallinn, TTÜ kirjastus, Berman G N Sbornik zadaq po kursu matematiqeskogo analiza Moskva, Nauka, Puusemp P Lineaaralgebra Tallinn, Avita, 2 6 Õppeaine programm Järgnevalt loetletakse teemad, mis tuleb üliõpilastel omandada Iga teema järel on antud leheküljed põhiõpikust, kus antud teemat käsitletakse 61 Mitme muutuja funktsioon (lk 6 19) Hulgad mitmemõõtmelises ruumis Silindrilised ja sfäärilised koordinaadid Funktsiooni mõiste Nivoojooned ja nivoopinnad Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 62 Osatuletised ja täisdiferentsiaalid (lk 19 36) Osatuletise mõiste Täisdiferentsiaalid ja nende rakendused Liitfunktsiooni osatuletised Ilmutamata funktsiooni osatuletised Pinna puutujatasand ja normaal 63 Taylori valem ja ekstreemumid (lk 37 51) Taylori valem Lokaalne ekstreemum Tinglik ekstreemum Globaalne ekstreemum 64 Väljateooria põhimõisted (lk 51 58) Skalaarväli ja vektorväli Gradient ivergents Rootor Hamiltoni ja Laplace i operaatorid Suunatuletis 65 Arvread (lk 67 87) Arvrea mõiste Rea koonduvuse tarvilik tingimus Positiivsete arvridade võrdlustunnused Alembert i tunnus Cauchy tunnus Integraaltunnus Vahelduvate märkidega read Leibnizi tunnus Rea absoluutne koonduvus Rea tingimisi koonduvus 66 Astmeread (lk ) Funktsionaalrea koonduvus ja ühtlane koonduvus Abeli teoreem Taylori rida ja Maclaurini rida Lihtsamate elementaarfunktsioonide Maclaurini reaksarendused Astmeridade rakendused
5 5 67 Fourier rida (lk ) Ortogonaalsed polünoomid Fourier rida ortogonaalse süsteemi järgi Besseli võrratus Parsevali võrdus Fourier rida trigonomeetrilise süsteemi järgi Koosinusrida ja siinusrida Fourier rea komplekskuju 68 Fourier teisendus (lk ) Fourier integraalvalem Fourier teisendus ja Fourier pöördteisendus Koosinusteisendus ja siinusteisendus 69 Kahekordne integraal (lk ) Kahekordse integraali definitsioon ja omadused Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides Muutujate vahetus kahekordses integraalis Kahekordse integraali rakendused 61 Kolmekordne integraal (lk ) Kolmekordse integraali definitsioon ja omadused Kolmekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides Muutujate vahetus kolmekordses integraalis Kolmekordse integraali rakendused 611 Joonintegraalid (lk ) Esimest liiki joonintegraal Teist liiki joonintegraal Greeni valem Joonintegraalide rakendused 612 Pindintegraalid (lk ) Esimest liiki pindintegraal Teist liiki pindintegraal Gauss-Ostrogradski valem Stokesi valem Pindintegraalide rakendused 7 Tüüpülesanded Üliõpilane peab oskama lahendada järgmisi ülesandeid ja neile sisult lähedasi ülesandeid Soovitav on enamus neist ülesannetest iseseisvalt ära lahendada Kui esitatud ülesandega sarnane ülesanne on lahendatud põhiõpikus näitena (lühend N), siis on sulgudes lisatud viide sellele Kui esitatud ülesandele sarnane ülesanne on lahendatud antud juhendi kaheksandas punktis näiteülesandena (lühend J), siis on sulgudes lisatud viide sellele Jaotises 8 on esitatud Näited, mis ei esine põhiõpikus Näiteülesannete lahendustes esinevad viited on kas põhiõpiku Lausele või valemile 71 Leidke funktsiooni z = y 2 määramispiirkond ja kujutage see graafiliselt (J81, st juhendi Näide 81) 72 Leidke funktsiooni z = + 4 y + arcsin ( y ( 1 + 2)) määramispiirkond ja kujutage see graafiliselt (J81)
6 6 73 Leidke funktsiooni z = 2 /4 + y 2 nivoojooned ja kujutage need graafiliselt (N117, st põhiõpiku punkti 11 Näide 7) 74 Leidke funktsiooni z = min(, y) nivoojooned ja kujutage need graafiliselt (N118) 75 Leidke funktsiooni w = z 2 + y 2 nivoopinnad Skitseerige 76 Näidake, et positiivsete, y, z ja w korral rahuldab ψ (, y) = (ln ) (ln y) seost ψ (y, zw) = ψ (, z) + ψ (, w) + ψ (y, z) + ψ (y, w) (J82) ( ) 77 Leidke f(, y), kui f y, + y = y (J83) 78 Olgu + y + z = 1 pinna võrrand ristkoordinaatides Leidke selle pinna võrrand: 1) silinderkoordinaatides; 2) sfäärkoordinaatides (J84) 79 Olgu 2 + y 2 + z = 1 pinna võrrand ristkoordinaatides Leidke selle pinna võrrand: 1) silinderkoordinaatides; 2) sfäärkoordinaatides (J84) 71 On antud joone võrrand y-tasandil 2 + y 2 = R 2 Leidke selle joone pöörlemisel ümber y-telje tekkiva pöördpinna võrrand Ümber -telje? Skitseerige saadud pind (J85) 711 On antud joone võrrand z-tasandil = 1 Leidke selle joone pöörlemisel ümber z-telje pöörlemisel tekkiva pöördpinna võrrand Skitseerige saadud pind Leidke ümber -telje pöörlemisel tekkiva pöördpinna võrrand (J85)? 4 4 y Leidke piirväärtus lim (,y) (,) 6 + y 6 (N122) 2 y Leidke piirväärtus lim (,y) (,) 2 + y 2 (N121) 714 Uurige funktsiooni f(, y) = 4 3 y y 6, kui 2 + y 2 ; 1, kui 2 + y 2 = pidevust punktis (; ) (N123) y 715 Leidke funktsiooni z = esimest järku osatuletised (N132) 2 y2 ( ) z 716 Leidke funktsiooni w = esimest järku osatuletised (N131) y 717 Leidke funktsiooni z = arctan esimest ja teist järku osatuletised (N133) y 718 Leidke funktsiooni z = arccos esimest ja teist järku osatuleti- 2 + y 2 sed (N133) 719 Leidke funktsiooni z = ln 2 + y 2 esimest ja teist järku osatuletised (N133)
7 7 72 Näidake, et funktsioon z = y y rahuldab seost (J86) z + yz y = ( + y + ln z) z 721 Näidake, et funktsioon z = arctan y rahuldab seost z + z yy = (J86) 722 Näidake, et z = f(y/), kus f(t) on suvaline diferentseeruv funktsioon, rahuldab seost z + yz y = (J87) 723 Näidake, et u = k f(z/; y/), kus f (p, q) on suvaline diferentseeruv kahe muutuja funktsioon, rahuldab seost u + yu y + zu z = ku (J87) 724 Leidke võrrandiga y z = ln z 3 esitatud ilmutamata funktsiooni z = z(, y) esimest ja teist järku osatuletised (J88) 725 Leidke võrrandiga + y + z = ep ( + y + z) esitatud ilmutamata funktsiooni z = z(, y) esimest ja teist järku osatuletised (J88) 726 Leidke z ja z y, kui f( y + z, yz) =, kus f(u, v) on suvaline diferentseeruv kahe muutuja funktsioon (J89) 727 Näidake, et f(, y, z) = y y = 1 y y z z = 1 (J89) 728 Leidke funktsiooni u = ln 2 + y 2 esimest järku täisdiferentsiaal (N141) 729 Leidke funktsiooni u = 2 + y 2 esimest ja teist järku täisdiferentsiaalid (N143) 73 Leidke ligikaudu ln( ), kasutades täisdiferentsiaali (N142) 731 Leidke ligikaudu 13 96, kasutades täisdiferentsiaali (N142) 732 Leidke funktsiooni z = + y esimest järku Taylori arendus punkti (1; 1) ümbruses (J81) ( 733 Leidke punktis 2; 2; π ) pinnale z = arctan y konstrueeritud puutujatasandi ja normaali võrrandid (N171) Leidke ellipsoidi 2 + 2y 2 + z 2 = 1 puutujatasandid, mis on paralleelsed tasandiga y + 2z = (N172) 735 Näidake, et pinnale yz = a 3 suvalises selle pinna punktis konstrueeritud puutujatasand moodustab koos koordinaattasanditega tetraeedri, mille ruumala ei sõltu pinnapunkti valikust (N172) 736 Leidke funktsiooni z = 2 + y + y 2 2 3y statsionaarsed punktid (N191) 737 Leidke võrrandiga y 2 + 5z 2 2y 2z 2yz 72 = esitatud funktsiooni z = z(, y) statsionaarsed punktid (N162 ja N191) 738 Leidke funktsiooni z = 2 + y + y 2 2 3y lokaalsed ekstreemumid (J811) 739 ( Veenduge, et funktsioonil z = 2 + y + y 2 + a 3 / + a 3 /y on punktis a/ 3 3, a/ 3 3 ) lokaalne miinimum (J811) 74 Leidke funktsiooni z = + y 2 2 ln (y) lokaalsed ekstreemumid (J811) 741 Leidke funktsiooni z = ep (y) tinglik ekstreemum lisatingimusel + y = 1 (N111) 742 Leidke funktsiooni z = y tinglik ekstreemum lisatingimusel 2 + y 2 = 1 (N111)
8 8 743 Leidke funktsiooni z = 2y 3 suurim ja vähim väärtus võrratustega, y, + y 1 määratud piirkonnas (N1111) 744 Leidke funktsiooni z = 2 y 2 suurim ja vähim väärtus ringis 2 + y 2 4 (N111) 745 Leidke grad u, kui u = arctan (y/z) (N1121) ( 746 Leidke divf ja rotf, kui F = y, y z, z ) (N1122 ja N1123) 747 Leidke divf ja rotf, kui F = ( ln( 2 y 2 ), arctan (z y), yz ) (N1122 ja N1123) 748 Leidke funktsiooni w = 2 y 2 z 2 suunatuletis punktis A vektori AB suunas, kui A(1; 1; 3) ja B(; 1; 1) (N1124) 749 Leidke funktsiooni z = 2 + y 2 suunatuletis punktis ( 3; 4), seda punkti läbiva funktsiooni nivoojoone normaali suunas (N1124) 75 On antud rea neli esimest liiget 2 3 arctan arctan arctan arctan Leidke nende põhjal rea üldliikme võimalik kuju (J812) 751 Leidke rea 752 Leidke rea S (N214) 753 Uurige rea 1 (k + 1) (k + 3) osasumma S n ja rea summa S (N214) ( k ) k k osasumma S n ja summa 1 koonduvust (N221) (3k 1) 3k 754 Uurige rea 3π sin 4 k koonduvust (N224) 755 Uurige rea (k + 2) (k + 4) koonduvust (N223) (2k + 1) (2k + 3) (2k + 5) 756 Uurige rea 2π tan koonduvust (N224) 5k 757 Uurige rea ( 3 ) 2 k 3 k 1 koonduvust (N226) 758 Uurige rea 759 Uurige rea 76 Uurige rea 3 k koonduvust (N231) (3k + 1)! (2k 1)!! koonduvust (N232) (3k 2)!!! 2 k 761 Uurige rea 2k ( k + 2 k koonduvust (N231) (k + 1) ) k 2 koonduvust (N242) 762 Uurige rea π tank koonduvust (N241) 3k 763 Uurige rea 2k + 3 lnk koonduvust (N241) k Uurige rea 1 k=3 koonduvust (N252) k (ln k) (ln ln k)
9 765 Uurige rea 1 k=2 k ln 1+α (α > ) koonduvust (N252) k 766 Uurige rea ( 1)k k sin π absoluutset ja tingimisi koonduvust 2k (J814) 767 Uurige rea (ln k) (ln (k + 1)) k=2 ( 1)k+1 absoluutset ja tingimisi koonduvust (J814) 1 k Uurige rea cos k k 2 koonduvust (N263) Uurige rea 2k + 1 1k + 2 sin kπ absoluutset ja tingimisi koonduvust 2 (J814) 77 Leidke funktsionaalrea 771 Leidke funktsionaalrea k= k= ( 1)k arcsin k koonduvuspiirkond (J815) sin ( 3 k ) koonduvuspiirkond (J815) k Leidke funktsionaalrea 2 k+1 k= ( 1)k koonduvuspiirkond (J815) k ( + 2) koonduvuspiirkond ja koonduvus- 773 Leidke astmerea 3 k+1 k k= ( 1)k+1 k + 1 raadius (N281) koonduvuspiirkond ja koonduvusraa- 774 Leidke astmerea k= dius (N281) 3 k koonduvuspiirkond ja koonduvus- 775 Leidke astmerea k= raadius (N281) 776 Leidke astmerea k= (N282) 777 Leidke 778 Leidke k k 2 k ( + 3) k k! (k + 1) ( 2) k (k) k k! 9 astmerea summa (N283) kk astmerea summa (N284) koonduvuspiirkond ja koonduvusraadius 779 Leidke funktsiooni f() = cos 2 Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N292) 3 78 Leidke funktsiooni f() = e 3/ 7 Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N292) 781 Leidke funktsiooni f() = Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N294) Leidke funktsiooni f() = 2 ln ( 3 2) Maclaurini rida ja selle koonduvuspiirkond (N293) 783 Leidke funktsiooni f() = cos Taylori rida punkti a = π/2 ümbruses Leidke selle rea koonduvuspiirkond (J816)
10 1 784 Leidke funktsiooni f() = 1 Taylori rida punkti a = 1 ümbruses 1 Leidke selle rea koonduvuspiirkond (N295) 785 Leidke funktsiooni f() = ln Taylori rida punkti a = 1 ümbruses Leidke selle rea koonduvuspiirkond (N295, N293) 786 Leidke integraal 2 d astmerea abil (N212) e Leidke integraal sin d astmerea abil (N213) 788 Leidke integraal ln ( 1 2 2) d astmerea abil (N213) Leidke integraal 1 1 ch (3) 2 2 d astmerea abil (N212) 79 Leidke funktsiooni arctan Maclaurini rida Lähtuge seosest arctan = d ja kasutage astmerea liikmeti integreerimist (J817) Leidke astmerea abil diferentsiaalvõrrandi y + y = algtingimust y( 1) = 1 rahuldav erilahend (N214) 792 Leidke astmerea abil diferentsiaalvõrrandi y y = üldlahend (N215) 793 Leidke astmeridade abil diferentsiaalvõrrandi y + 4y = algtingimusi y() = 1 ja y () = rahuldav erilahend (N215) 794 Leidke e 3 Maclaurini arenduse abil täpsusega 1 4 Millist järku osasumma annab juba sellise täpsuse (N211)? 795 Leidke sin 1 Maclaurini arenduse abil täpsusega 1 4 Millist järku osasumma annab juba sellise täpsuse (N211)? 796 Leidke cos 2 Maclaurini arenduse abil täpsusega 1 4 Millist järku osasumma annab juba sellise täpsuse (N211)? 797 Arendage funktsioon f() = e Fourier ritta vahemikus ( π; π) 2πperioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2141) 798 Arendage funktsioon f() = Fourier ritta vahemikus ( π; π) 2πperioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2141) 799 Arendage funktsioon f() = 1 Fourier ritta vahemikus ( 1; 1) perioodilise trigonomeetrilise süsteemi, perioodiga 2, järgi (N2141) 71 Arendage funktsioon f() = H() 2H( 5) + H( 1) Fourier ritta vahemikus ( 1; 1) perioodilise trigonomeetrilise süsteemi, perioodiga 2, järgi (N2141) Seejuures H() on Heaviside i funktsioon 711 Arendage funktsioon koosinusritta vahemikus (; π) 2π-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2151) 712 Arendage funktsioon cos siinusritta vahemikus (; 1) 2-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi (N2151) 713 Leidke funktsiooni f() = H() H( π) Fourier teisend (N2171) 714 Leidke funktsiooni f() = (1 ) (H( + 1) H( 1)) Fourier teisend (N2171) 715 Leidke funktsiooni g(ω) = H(ω + 2π) H(ω + π) + H(ω π) H(ω 2π) Fourier pöördteisend (N2172)
11 Leidke funktsiooni f() = { 2, kui 1,, kui > 1 Fourier koosinusteisend (N2181) 717 Leidke funktsiooni {, kui [ 2; 2], f() =, kui ( ; 2) (2; + ) Fourier siinusteisend (N2182) 718 Hinnake integraali I = ( + y + 2) ds, kui on võrratustega 1 2 ja y 2 määratud ristkülik (J818) 719 Arvutage kahekordne integraal ddy ( + y + 1) 2, kui : 1 y 1 (N321) 711 Arvutage kahekordne integraal sin( + y)ddy, kui : π y π (N321) 7111 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on rööpkülik külgedega y =, y = 9, y = ( 3) /2, y = ( + 6) /2 (J82) 7112 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on määratud võrratustega y 2, y 2, y 12 (J82) 7113 Muutke avaldises 1 d f(, y)dy integreerimise järjekorda (J821) Muutke avaldises r dy y f(, y)d integreerimise järjekorda r r 2 y2 (J821) 7115 Muutke avaldises 1 dy 3 2y y f(, y)d integreerimise järjekorda (J821) 7116 Arvutage 4 2 y 2 ddy, kui on ringi 2 + y 2 4 teises veerandis paiknev osa (N822) 7117 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kasutades polaarkoordinaate, kui piirkond on määratud ringjoontega 2 + y 2 = 2y, 2 + y 2 = 4y ja sirgetega y = ning y = /2 (J822) 7118 Määrake rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kasutades polaarkoordinaate, kui piirkond on määratud võrratustega, y ja ( 2 + y 2 ) 3 4a 2 2 y 2 (a > ) (J822) 7119 Teisendage integraal R R dy R 2 y 2 f(, y)d polaarkoordinaatidesse (J823) 712 Teisendage integraal R/ 1+R 2 dy Ry f (/y) d + R R/ 1+R 2 dy R 2 y 2 f(/y)d polaarkoordinaatidesse (J823) 7121 Arvutage integraal R dy R 2 y 2 ln( y 2 )dy, teisendades polaarkoordinaatidesse (J823) 7122 Arvutage integraal R2 2 y 2 ddy, kus on ring 2 +y 2 Ry (N331)
12 Arvutage kolmekordne integraal c d 2 dy +y y 22 y 2 zdz (N362) 7124 Arvutage ddydz, kus Ω on määratud tasanditega =, Ω (4 + + y + z) 3 y =, z =, + y + z = 4 (N362) 7125 Ω y sin(z + )ddydz, kus Ω on pindadega y =, y =, z = ja + z = π/2 piiratud piirkond (N363) 7126 Määrake rajad kolmekordses integraalis f(, y, z)ddydz antud Ω Ω korral, kasutades silinderkoordinaate, kui Ω on piirkond, mis on piiratud silindriga 2 + y 2 = 2y, tasandiga z = ja paraboloidiga z = 2 + y 2 (N371) 7127 Määrake rajad kolmekordses integraalis f(, y, z)ddydz antud Ω korral, kasutades silinderkoordinaate, kui Ω on Ω kahe kera 2 + y 2 + z 2 R 2 ja 2 + y 2 + (z R) 2 R 2 ühisosa (N372) 7128 Arvutage 2 2 d dy 4 2 y y y 2 + z 2 dz, kasutades sfäärilisi koordinaate (J824) 7129 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega z = 2 + y 2, =, y =, z =, + y = 2 (N343) 713 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega = y, y = 2 y, z =, y + z = 4 (N343) 7131 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 = R 2, 2 + z 2 = R 2 (N381) 7132 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega z 2 = y, + y = 1, z = (z ) (N381) / Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 = R 2, z = 2 + y 2, z + y = 2R (N381) 7134 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 = R 2, Rz = 2R 2 2 y 2, z = (N381) 7135 Leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud pindadega 2 + y 2 + z 2 = R 2, 2 + y 2 = Ry (N381) 7136 Leidke koonuse z 2 = 2 + y 2 osa, mis ülalpool tasandit z = ja allpool tasandit z = ( ) , pindala (N344) 7137 Leidke koonuse z 2 = 2 +y 2 osa, mis on välja lõigatud silindriga z 2 = 2p, pindala (N344) 7138 Leidke pinna 2 + y 2 + z 2 = R 2 osa, mis on välja lõigatud silindriga 2 + y 2 = Ry, pindala (N344) 7139 Leidke ühtlase pindtihedusega kesknurgaga α ja raadiusega R ringi segmendi raskuskeskme koordinaadid (N347) 714 Leidke (ühtlase pindtihedusega ρ) ringi, raadiusega R, inertsmoment puutuja suhtes (N348) 7141 Leidke pindadega =, y =, z =, = 2, y = 4, + y + z = 8 piiratud, tihedusega ρ (, y, z) = + y + z, keha massikeskme koordinaadid (N382) 7142 Leidke (ühtlase tihedusega γ ) kera, raadiusega R, inertsmoment diameetri suhtes (N382)
13 7143 Arvutage joonintegraal ds Γ + y, kus Γ on sirge y = 2 osa punktide 3 A(; 2) ja B(3; 1) vahel (N391) 7144 Arvutage joonintegraal Γ (2 + y 2 ) n ds, kus Γ on ringjoon = a cos t, y = a sin t (N392) 7145 Arvutage joonintegraal Γ 2yds, kus Γ on tsükloidi = a(t sin t), y = a(1 cos t) esimene kaar (N392) 7146 Γ (3z 2 + y 2 )ds, kus Γ on = t cos t, y = t sin t, z = t ( t 2π) (N392) 7147 Leidke punktide A(; ; ) ja B(3; 3; 2) vahel paikneva kaare = 3t, y = 3t 2 ja z = 2t 3 pikkus (N3121) 7148 Arvutage joone = at, y = at 2 /2, z = at 3 /3 ( t 1) mass, kui joontihedus ρ (, y, z) = 2 2y/a + 12z/a (N3122) 7149 Arvutage ühtlase tihedusega ρ ringjoonekujulise kujundi inertsmoment diameetri suhtes (raadius R) (N3122) 715 Arvutage teist liiki joonintegraal Γ y2 d y dy, kus Γ on sirge a + y b = 1 sirglõik punktist (a; ) punkti (; b) (N312) 7151 Arvutage y 3 d 3 dy Γ ( 2 + y 2 2, kus Γ on poolringjoon = R cos t, y = R sin t ) (t = t = π) (N311) 7152 Arvutage yd + dy + (2 y + z)dz, kus Γ on sirglõik punktist Γ ( 1; 1; 1) punkti (2; ; 3) (N311) 7153 Arvutage Γ yzd + z R 2 y 2 dy + ydz, kus Γ on joone = R cos t, y = R sin t, z = at osa lõikumisest tasandiga z = lõikumiseni tasandiga z = a 2π (N311) 7154 Teisendage joonintegraali Γ (1 3 )yd + (1 + y 3 )dy Greeni valemi abil, kui Γ on kinnine sile joon, mida läbitakse positiivses suunas (N3111) 7155 Teisendage Greeni valemi abil integraali (f( + y) + f( y)) d + (f( + y) f( y)) dy, kui f on suvaline diferentseeruv funktsioon ja Γ on kinnine sile joon, mida läbitakse positiivses suunas Γ (N3112) 7156 Arvutage Greeni valemi abil Γ ey d + e dy, kui Γ on kolmnurga, tippudega A (; ), B (1; ) ja C (1; 1), rajajoon (N3111) 7157 Leidke Greeni valemi abil Γ arctan y dy ln + yd, kui Γ on ringjoon 2 + y 2 = R 2 (N3111) 7158 Arvutage (2;3) yd + dy (N3113) ( 1;2) 7159 Taastage joonintegraali abil kahe muutuja funktsioon u tema täisdiferentsiaali du = 2 d + y 2 dy põhjal (N3128) 716 Leidke joonintegraali abil kinnise joonega = a cos 3 t, y = a sin 3 t ( t 2π) piiratud kujundi pindala (N3126) 7161 Leidke joonintegraali abil kinnise joonega ( 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( 2 y 2 ) piiratud kujundi pindala (N3127) 13
14 Arvutage pindintegraal (z y/3)dσ, kus Σ on tasandi Σ 2 + y 3 + z = 1 osa, mis paikneb esimeses kaheksandikus (N3131) Arvutage pindintegraal ( Σ 2 + y 2) dσ, kus Σ on koonuse z = 2 + y 2 osa, mis rahuldab tingimusi y 2 4 (N3131) 7164 Arvutage pindintegraal Σ dσ, kus Σ on sfääri 2 + y 2 + z 2 = R 2 osa, mis on esimeses kaheksandikus (N3131) 7165 Leidke pindtihedusega ρ(, y, z) = 1 kolmnurkse kooriku + y + z = 1 (, y, z ) inertsmoment koordinaatide alguspunkti suhtes (N3152) 7166 Leidke paraboolse kooriku z = ( 2 + y 2) /2 ( z 1), pindtihedusega ρ(, y, z) = z, mass (N3152) 7167 Arvutage pindintegraal dydz + yddz + zddy, kus Σ on tasandi Σ + y + z = 1 see osa, mis paikneb esimeses oktandis Valige pinnapool, millel normaal moodustab koordinaattelgede suundadega teravnurgad (N3132) 7168 Arvutage Σ yzddy, kus Σ on poolsfääri z = R 2 y 2 alumine pinnapool (N3132) 7169 Leidke vektori F = (y, z, ) voog läbi tasanditega =, y =, z = ja + y + z = 1 määratud püramiidi välise pinnapoole (N3141) 717 Leidke Gauss-Ostrogradski valemi abil yzddy + zdudz + yddz, Σ kus Σ on pindadega 2 + y 2 = R 2, =, y =, z =, z = H esimeses kahesandikus määratud keha välispinna väline pinnapool (N3141) 7171 Leidke Gauss-Ostrogradski valemi abil yz ddy, kus Σ on pindadega Σ z = ja z = R 2 2 y 2 määratud keha väline pinnapool (N3141) 7172 Kasutades Stokesi valemit, teisendage joonintegraali Γ (2 + z 2 )d + ( 2 + z 2 )dy + ( 2 + y 2 )dz (N3144) Vastused 5 y 71 1 y y 1/ ( 1 + 2), 1 y 1 y = 1/ ( 1 + 2) 3 y C = 3 73 Ellipsid 2 /4 + y 2 = C (C = 1; 2; 3),
15 15 C = 1 y C = min(, y) = C 1 (C = 1; 1; 2), Koonused z 2 + y 2 = C (C = ; 1; 2), z 1 C = 2 C = 1 C = 1 C = 2 y 77 f(, y) = y2 ( + 1) 2 78 ρ cos ϕ + ρ sin ϕ + z = 1, ρ sin ψ cos ϕ + ρ sin ψ sin ϕ + ρ cos ψ = 1 79 ρ 2 + z = 1, ρ 2 sin 2 ψ + ρ cos ψ = 1 z 71 Sfäär 2 + y 2 + z 2 = R 2 R 2 + y 2 + z 2 = R 2 R R y 711 Silinderpind 2 + y 2 = 1, tasand = 1 z 2 + y 2 = Sellest funktsioonist ei eksisteeri piirväärtust punktis (; ) 714 Katkev punktis (; ) 715 z = y/ ( 2 y 2 ) 3, z y = 2 / ( 2 y 2 ) 3 y
16 16 ( ) z 716 w = ln z y y, w y = ( ) z, w z = ( ) z y y z y y 717 z = y 2 + 2, z y = y 2 + 2, z = 2y (y ) 2, z y = 2 y 2 (y ) 2, 2y z yy = (y ) z = y y 2 + 2, z y = z yy = 2y (y ) z = y 2 + 2, z y = y 2 + 2, z = z yy = 2 y 2 (y ) 2 z z = (y + z), z y = z y + z, z yy = z2 (y + z) 3, yz 2 z y = (y + z) 3, z = z2 y 2 2 (y + z) z = z y = 1, z = z y = z yy = 2y (y ) 2, z y = y2 2 (y ) 2, y y 2 + 2, z = y2 2 (y ) 2, z y = 2y (y ) 2, 726 z = f u( y + z, yz) + yzf v ( y + z, yz) f u ( y + z, yz) + yf v ( y + z, yz), z y = f u( y + z, yz) zf v ( y + z, yz) f u ( y + z, yz) + yf v ( y + z, yz) 728 du = 729 du = d + y dy 2 + y 2 d + y dy 2 + y 2, d2 u = y2 (d) 2 2y ddy + 2 (dy) 2 ( ( 2 + y 2 ) 3 ) y = y ( 1)2 + 2 ( 1) (y 1) + (y 1) 2 8 (2 + θ ( 1) + θ (y 1)) z + π 4 = 1 4 ( 2) (y + 2), 4 1/4 = y + 2 1/4 = z + π/4 ( ± 2 ) ( y 1 ) ( + 2 z ± 4 ) = (1/3; 4/3) 737 P 1 (1; 1; 4), P 2 ( 1; 1; 4) 738 min z = z (1/3; 4/3) = 7/3 74 min z = z(2; 1) = 3 ln min z = z (1/2; 1/2) = 4 e +y=1
17 min z = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = 1/2, 2 +y 2 =1 ma z = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = z ( 1/ 2; 1/ 2 ) = 1/2 2 +y 2 =1 743 min z = z(; 1) = 5, ma z = z (1; ) = min z = z(; ±2) = 4, ma z = z (±2; ) = 4 ( ) yz 745 z y 2, z z y 2, y z y y + 1 z + 1, ( y/z 2, z/ 2, /y 2) ( ) y z 2 2zy + y 2 + y, 1 z 1 + (z y) 2, yz, 2y 2 y k + 2 arctan k + 1 4k + 1 n (5n + 13) (n 2 + 5n + 6), n + 2 n + 1, Koonduv 754 Koonduv 755 Hajuv 756 Hajuv 757 Koonduv 758 Koonduv 759 Koonduv 76 Hajuv 761 Koonduv 762 Koonduv 763 Koonduv 764 Hajuv 765 Koonduv 766 Tingimisi koonduv 767 Tingimisi koonduv 768 Absoluutselt koonduv 769 Hajuv 77 ( sin 1; sin 1) 771 R 772 ( ; 4) (; + ) 773 ( 1/3; 1/3], 1/3 774 R, ( 1; 5), [ e 1, e 1), e ln (1 ) 778 / ( 1) 2
18 ( 1) k 2 2k 2k k= 3 2k (2k)!, R 3 k k k= 7 k k!, R + (2k 1)!! 2 2 2k+5 k! 2k+1, [ 2; 2 ) ln 3 2k+2 k3 k, ( 3; 3 ) 783 ( 1) k+1 ( π/2) 2k+1, R k= (2k + 1)! 784 ( + 1) k 2 k+1, ( 3; 1) k= 785 ( 1) k+1 ( 1) k, [; 2) k 786 ( 1) k 2 2k+1 k= (2k + 1) k! 787 C + ( 1) k 2k+1 (2k + 1)! (2k + 1) k= 788 C k= 2 k 2k 1 k(2k 1) 3 2k (4k 2) (2k)! ( 1) k 2k+1 2k ( + 1) + 3 ( 1) k ( + 1) k k! k=2 792 C 2 + (C 1 C 2 ) + C ( 1) k 2 2k 2k k= (2k)! , , , e sh π π + 2 sh π π k=2 ( 1) k+1 sin k k π 2 k= ( 1) k k k! ( 1) k (cos k + k sin k) 1 + k2 cos ((2k + 1) π) (2k + 1) 2
19 19 71 f() 1 2 sin kπ 1 + ( 1) k 2 cos kπ 2 =1 cos (kπ) + 2 sin (kπ) π k k 711 π 2 4 cos (2k 1) π (2k 1) 2 ( (; π)) ( ) 712 cos 2π k 1 + ( 1) k+1 cos 1 sin (kπ) ( (; 1)) 713 sin πω ω + i cos πω 1 ω k 2 π (1 cos ω) / ( ω 2) 1 sin 2π sin π 715 π ( ω 2 sin ω 2 sin ω + 2ω cos ω ) / ( πω 3) ( sin ω cos ω 2ω cos 2 ω + ω ) / ( πω 2) I ln d (+6)/2 f(, y)dy d (+6)/2 ( 3)/ d 9 f(, y)dy ( 3)/2 f(, y)dy d 2 f(, y)dy d f(, y)dy + 16 d f(, y)dy dy y f(, y)d y r 7114 d 2r 2 f(, y)dy d 2 f(, y)dy d (3 )/2 f(, y)dy π/ π/4 arctan 5 dϕ 4 sin ϕ ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ 2 sin ϕ π/2 dϕ a sin 2ϕ ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ π π/2 dϕ R ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ π/2 R 2 π/2 712 f (cot ϕ) dϕ 2 arctan(1/r) π [( 7121 ) 1 + R 2 ln ( 1 + R 2) R 2] 4 R 3 [ 7122 π 4 ] c8
20 ln 2 5/ π/4 1/ π dϕ 2 sin ϕ ρdρ ρ 2 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz π dϕ R 3/2 ρdρ R 2 ρ 2 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz R R 2 ρ π / / R 3 / / πR 3 / πR 3 / R 3 (π/2 2/3) / π πp R 2 (π 2) 7139 raskuskese asetseb nurga α poolitajal kaugusel (4R sin (α/2)) / (3α) tsentrist 714 5πR 4 ρ/ (471/344; 81/86; 743/344) πγR 5 / (ln 2) / πa 2n πa a [ (1 2 ) ] + 2π 2 3/2 1 / a ( ) / πρr ab 2 / π/ ( 3 + y 3) ddy e 1/e ( 3 + y 3) /3 + C 716 3πa 2 / a π/ πr 3 / / ( ) π/15
21 / R 2 H ( 2R 3 + πh 8 ) ( y) ddy + (y z) dydz + (z ) ddz Σ 8 Näidisülesanded koos lahendustega 81 Leiame funktsiooni 4 y 2 z = ln (1 2 y 2 ) määramispiirkonna ja kujutame selle graafiliselt Kuna 4 y 2 on määratud, kui 4 y 2, ja ln ( 1 2 y 2) on määratud, kui 1 2 y 2 >, ning jagatis 4 y 2 / ln ( 1 2 y 2) on määratud, kui ln ( 1 2 y 2), st 1 2 y 2 1, siis tingimuste ehk (miks?) { 4 y 2, 1 2 y 2 >, 1 2 y y 2, 1 > 2 + y 2 > abil saame uuritava funktsiooni määramispiirkonna Skitseerime y-tasandil parabooli 4 = y 2 ja ringjoone 2 + y 2 = 1 ning punkti A(; ) : 2 + y 2 = 1 y A 4 = y 2 Nii parabool kui ka ringjoon jaotavad y-tasandi kahte ossa, kusjuures ühes neist on vastav võrratus rahuldatud Viirutame piirkondade (milliste?) ühisosa Noolekesed rõhutavad viirutamisel, et ringjoone punktid ei kuulu määramispiirkonda Samuti ei kuulu määramispiirkonda punkt A 1
22 22 82 Näitame, et funktsioon ϕ (, y) = y rahuldab seost ϕ (a + bz, cy + dw) = acϕ (, y) + bcϕ (z, y) + adϕ (, w) + bdϕ (z, w) Et ϕ (a + bz, cy + dw) = (a + bz) (cy + dw) = ja = acy + adw + bczy + bdzw acϕ (, y) + bcϕ (z, y) + adϕ (, w) + bdϕ (z, w) = = acy + bczy + adw + bdzw, siis seos on rahuldatud 83 Leiame f(, y), kui f ( y, + y) = 2 + y 2 2y Olgu u = y ja v = + y Sellise tähistuse korral = (u + v) /2 ja y = (v u) /2 ning f (u, v) = ((u + v) /2)2 + ((v u) /2) 2 2 ((u + v) /2) ((v u) /2) = u2 + v 2 v 2 u 2 Seega f(, y) = 2 + y 2 y Olgu 2 + y 2 z 2 = pinna võrrand ristkoordinaatides Leiame selle pinna võrrandi: 1) silinderkoordinaatides; 2) sfäärkoordinaatides 1) Et ristkoordinaate, y, z ja silindrilisi koordinaate ρ, ϕ ning z seovad valemid (vt (111), st põhiõpiku valemid (111)) siis ehk = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, (ρ cos ϕ) 2 + (ρ sin ϕ) 2 z 2 = ρ 2 z 2 = on vaadeldava pinna võrrand silinderkoordinaatides Kuna ristkoordinaate, y, z ja sfäärilisi koordinaate ρ, ϕ ning ψ seovad valemid (vt (112)) = ρ sin ψ cos ϕ, y = ρ sin ψ sin ϕ, z = ρ cos ψ, siis ehk või (ρ sin ψ cos ϕ) 2 + (ρ sin ψ sin ϕ) 2 (ρ cos ψ) 2 = ρ 2 sin 2 ψ ρ 2 cos 2 ψ = ρ = tan 2 ψ = 1
23 23 Et ψ [, π], siis tan 2 ψ = 1 ( ψ = π/4 ψ = 3π/4) Seega ρ =, ψ = π/4 ja ψ = 3π/4 on vaadeldava pinna võrrandid sfäärkoordinaatides 85 Olgu + z = joone võrrand z-tasandil Leida selle joone pöörlemisel ümber z-telje tekkiva pöördpinna võrrand Ümber -telje? Skitseerige ümber z-telje pöörlemisel tekkiv pind Kui joon on antud y-tasandil, siis joone pöörlemisel ümber y-telje tuleb: 1 joone võrrandist avaldada ; 2 leida 2 ; 3 asendada saadud esituses 2 suurusega 2 + y 2 Seega + z = 1 = z 2 2 = ( z) y 2 = z 2 Skitseerime tekkiva koonuse z z 2 = 2 + y 2 y Analoogiliselt saame joone + z = ümber -telje pöörlemisel tekkiva pöördpinna võrrandi + z = z = z 2 = ( ) 2 z 2 + y 2 = 2 86 Näitame, et funktsioon z = arctan y rahuldab seost z + z yy = Kuna y z = y 2 + 2, z = 2y (y ) 2, z y = y 2 + 2, z 2y yy = (y ) 2 siis z + z yy = 2y (y ) 2 + 2y (y ) 2 =
24 24 87 Näitame, et z = f( 2 y 2 ), kus f(t) on suvaline diferentseeruv ühe muutuja funktsioon, rahuldab seost Kuna z = z = f(2 y 2 ) z = z y = f(2 y 2 ) y yz + z y = = f(2 y 2 ) ( 2 y 2 ) ( 2 y 2 = f ( 2 y 2 )2, ) = f(2 y 2 ) ( 2 y 2 ) ( 2 y 2 = f ( 2 y 2 ) ( 2y), ) y siis yz + z y = 2yf ( 2 y 2 ) 2yf ( 2 y 2 ) = 88 Leiame võrrandiga 2 y 2 + z 2 = a 2 esitatud ilmutamata funktsiooni z = z(, y) esimest ja teist järku osatuletised Funktsiooni z = z(, y) esimest järku osatuletisted leidmisel rakendame põhiõpiku valemeid (167): z = 2 2z = z, z y = 2y 2z = y z Seega ( ) z=z(,y) ( 1) z ( ) z z = (z ) = = z z 2 = ( z + ) = z z 2 = 2 + z 2 z 3, ( ) z=z(,y) z ( ) z y y z y = (z ) y = = z z 2 = z z 2 ( y ) z yy = (z y ) y = z y y z=z(,y) = 1 z y z y z 2 = = y z 3, z y y z z 2 = z2 y 2 z 3 89 Näitame, et seosest ϕ(c az, cy bz) =, kus ϕ (u, v) on suvaline diferentseeruv kahe muutuja funktsioon ja u = c az ning v = cy bz, järeldub seos az + bz y = c
25 25 Saame Seega z (167) = (ϕ(u, v)) (ϕ(u, v)) z (156) = ϕ u(u, v) u + ϕ v (u, v)v ϕ u (u, v) u z + ϕ v (u, v) v z = ϕ u (u, v) c = ϕ u (u, v) ( a) + ϕ u (u, v) ( b) = cϕ u (u, v) aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v), z y (167) = (ϕ(u, v)) y (ϕ(u, v)) z (156) = ϕ u(u, v) u y + ϕ v (u, v)v y ϕ u (u, v) u z + ϕ v (u, v) v z = ϕ v (u, v) c = ϕ u (u, v) ( a) + ϕ u (u, v) ( b) = cϕ v (u, v) aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v) cϕ u (u, v) az + bz y = a aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v) + b cϕ v (u, v) aϕ u (u, v) + bϕ u (u, v) = c 81 Leiame funktsiooni z = 1 + y (2; 3) ümbruses esimest järku Taylori arenduse punkti siis Kuna 1 z = z y = ( + y) 2, z 2 = z y = z yy = ( + y) 3, z (2; 3) = z y (2; 3) = 1 25, z (2 + θ ( 2) ; 3 + θ (y 3)) = z y (2 + θ ( 2) ; 3 + θ (y 3)) = = z yy (2 + θ ( 2) ; 3 + θ (y 3)) = 2 (5 + θ ( 2) + θ (y 3)) 3 ja valemite (184) ning (185) abil saame 1 + y = y ( 2)2 + 2 ( 2) (y 3) + (y 3) 2 (5 + θ ( 2) + θ (y 3)) Leiame funktsiooni z = y + 2y 2 4 y 4 lokaalsed ekstreemumid Kuna z = 4+4y 4 3 ja z y = 4+4y 4y 3, siis funktsiooni statsionaarsete punktide leidmiseks tuleb lahendada süsteem { 4 + 4y 4 3 = 4 + 4y 4y 3 = Lahutades süsteemi teise võrrandi esimesest, saame 4y = = y
26 26 Seega = 4 ( 2 2) = ja statsionaarseid punkte on kolm: P 1 (, ), P 2 ( 2, 2), P 3 ( 2, 2) Et z = , z y = 4, z yy = 4 12y 2, siis z (P 1 ) = 4, z y (P 1 ) = 4, z yy (P 1 ) = 4, z (P 2 ) = z (P 3 ) = 2, z y (P 2 ) = z y (P 3 ) = 4, z yy (P 2 ) = z yy (P 3 ) = 2 Et (vt Lauset 191 ) z (P 2 ) z yy (P 2 ) (z y (P 2 )) 2 = 384 > z (P 3 ) <, z (P 3 ) z yy (P 3 ) (z y (P 3 )) 2 = 384 > z (P 3 ) <, siis funktsioonil on punktides P 2 ja P 3 lokaalne maksimum, kusjuures z(p 2 ) = z(p 3 ) = 8 Kuna z (P 1 ) z yy (P 1 ) (z y (P 1 )) 2 = =, siis punkti P 1 korral ei ole Lause 191 rakendatav Leiame funktsiooni neljandat järku Taylori arenduse punkti (; ) ümbruses z = 1 ( y + 4y 2) + 1 2! 4! = 2 ( + y) 2 ( 4 + y 4) ( y 4) = Kui = y, siis punkti P 1 (; ) küllalt väikeses ümbruses z > Kui = y, siis z Seega punktis P 1 ei ole funktsioonil lokaalset ekstreemumit 812 On antud rea neli esimest liiget Leiame nende 48 põhjal rea üldliikme võimaliku kuju Rea liikmed on murrud Murdude lugejad on saadavad eelneva murru lugejast nelja liitmisel Lugeja on 4k 1, kus k on rea liikme number Antud murdude nimetajad on saadavad eelneva murru nimetajast kahega korrutamisel Nimetaja on 6 2 k 1 = 3 2 k Rea liikmete märgid vahelduvad Selle kirjeldamiseks korrutame murdu teguriga ( 1) k+1 Astmenäitajaks valime k + 1, et saada k = 1 korral kordajaks pluss üks Järelikult ( 1) k+1 4k 1 on rea üldliikme võimalik 3 2k kuju 813 Uurime rea sin kπ 2 koonduvust Kuna lim sin kπ k 2, siis ei ole täidetud rea a k koonduvuse tarvilik tingimus lim a k =, st uuritav rida on hajuv k 814 Uurime rea 3 k + 2 ( 1)k+1 absoluutset ja tingimisi koonduvust k + 7 Kuna ( 1)k+1 3 k + 2 k + 7 = 3 / k k + 2 lim k + 7 k k k = 1,
27 siis rea 1/ 6 k hajuvusest (vt Näidet 251) järeldub (vt Lauset 224), et rida 3 k + 2 on hajuv Seega uuritav rida ei ole absoluutselt koonduv k + 7 Et lim k ( 1)k+1 3 k + 2 k + 7 = lim 1/ 6 k + 2/ k k ( 1)k / k =, ( ) 3 k + 2 siis on täidetud rea koonduvuse tarvilik tingimus Jada ( k ) ei ole + 7 monotoonselt kahanev k N korral ja Leibnizi ( tunnus ) (Lause ( 261) ei ole vahetult rakendatav Muutuja k funktsioonil 3 k ) k + 2 / + 7 on lõplik arv lokaalseid ekstreemume, st muutuja k teatud väärtusest alates on vaadeldav jada monotoonselt kahanev Rakendame Lauset 212 ja Leibnizi tunnust Seega on uuritav rida tingimisi koonduv 815 Leiame funktsionaalrea k= lnk (e) koonduvuspiirkonna Fikseerime muutuja väärtuse Saame arvrea k= lnk (e) Uurime saadud arvrea absoluutset koonduvust, st uurime arvrea k= ln k (e) koonduvust Kasutame positiivse arvrea k= ln k (e) koonduvuse uurimiseks Cauchy tunnust Kuna ln k (e) k = lim ln (e) = ln (e), k siis lim k ln (e) < 1 1 < ln (e) < 1 e 1 < e < e e 2 < < 1 korral on uuritav arvrida absoluutselt koonduv Kui fikseerisime muutuja väärtuse selliselt, et ( e 2 ; 1 ), siis arvrida k= lnk (e) koondub absoluutselt Seega uuritav funktsionaalrida koondub absoluutselt vahemikus ( e 2 ; 1 ) Et / ( e 2 ; 1 ) ln (e) 1, siis / ( e 2 ; 1 ) korral ei ole täidetud rea koonduvuse tarvilik tingimus ja ( ; e 2 ] [1; + ) on funktsionaalrea hajuvuse piirkond Märgime, et antud ülesande korral funktsionaalrea koonduvuse ja absoluutse koonduvuse piirkonnad ühtivad 816 Leiame funktsiooni f() = sin Taylori rea punkti a = π ümbruses Leiame selle rea koonduvuspiirkonna Kuna sin = sin (( π) + π) = sin ( π) cos π + cos ( π) sin π = sin ( π), 27
28 28 siis sin = [ ] rakendame seost (291), sin ( π) = asendades π = ( 1) k ( π) 2k+1 = ( 1) k+1 ( π) 2k+1 (2k + 1)! (2k + 1)! k= k= π <+ = Saadud reaksarendus koondub, kui π < Leiame funktsiooni arcsin Maclaurini rea Lähtume seosest arcsin = d ja kasutame astmerea liikmeti integreerimist 1 2 Kuna ( 1 + ( 2 )) 1/2 (2914) = 1 + = 1 + ( ) ( ) ( 1 2 k + 1) ( ) 2 k = k! 1 3 (2k 1) 2 k 2k = 1 + k! (2k 1)!! 2 k 2k, k! siis arcsin = = + d = 1 2 ( 1 + (2k 1)!! 2k+1 2 k k! (2k + 1) ) (2k 1)!! 2 k 2k d = k! 818 Hindame integraali (2 + 3y + 4)dS, kui : 42 + y 2 9 Hindamiseks kasutame Lauset 317 Hindame esiteks integreeritava funktsiooni f(, y) = 2 + 3y + 4 väärtusi piirkonnas Uurime funktsiooni f(, y) lokaalseid ekstreemume piirkonnas Selleks leiame funktsiooni f(, y) statsionaarsed punktid võrrandisüsteemist: (2 + 3y + 4) = (2 + 3y + 4) = y { 2 = 3 = funktsioonil f(, y) puuduvad statsionaarsed punktid Kuna f(, y) on diferentseeruv piirkonnas, siis funktsioonil f(, y) puuduvad lokaalsed ekstreemumid selles piirkonnas Uurime funktsiooni f(, y) ekstremaalseid väärtusi piirkonna rajajoonel y 2 = 9, st funktsiooni f(, y) tinglikke ekstreemume lisatingimusel y 2 = 9 Lause 112 põhjal võib funktsiooni f(, y) tinglik ekstreemum olla abifunktsiooni Φ(, y, λ) = 2 + 3y λ ( y 2 9 )
29 29 statsionaarses punktis Saame Φ = Φ y = Φ λ = = 1/ (4λ) y = 3/(2λ) y 2 9 = 2 + 8λ = 3 + 2λy = y 2 9 = λ = ± 1/6 = 3 1/2 y = 9 1/1 ja funktsiooni f(, y) suurima f(3 1/2, 9 1/1) = ning vähima väärtuse f( 3 1/2, 9 1/1) = piirkonnas Kuna S = π 3, siis Lause 317 põhjal 2 3 = 9π 2 ( ) 9π 2 (2 + 3y + 4)dS ( ) 9π Määrame rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on võrratustega 2 + y 2 4 ja y määratud poolring Teeme joonise = 4 y 2 y y = = 4 y 2 Piirkond on normaalne (vt efinitsiooni 322) nii -telje kui ka y-telje suhtes, sest = {(, y) ( 2 2)} ( y ) 4 2, = {(, y) ( y 2)} ( 4 y 2 ) 4 y 2 Lause 322 ja Märkuse 321 abil saame vastavalt f(, y)ddy = f(, y)ddy = d dy y 2 4 y 2 f(, y)dy, f(, y)d
30 3 82 Määrame rajad kahekordses integraalis f(, y)ddy, kui on rööpkülik külgedega y =, y = 9, y = ( 3) /2 ja y = ( + 6) /2 Teeme joonise y y = 9 = 4 y = ( + 6)/2 = 1 y = III y = ( 3)/2 II I Jaotame piirkonna lõikudega, mis on parallelsed y-teljega, kolmeks -telje suhtes normaalseks (vt efinitsiooni 322) osapiirkonnaks I = {(, y) ( 2 1) ( y ( + 6) /2)}, II = {(, y) (1 4) (( 3) /2 y ( + 6) /2)}, III = {(, y) (4 7) (( 3) /2 y 9 )} Kasutame Lauseid 314 ja 322 f(, y)ddy = f(, y)ddy + = 1 2 d (+6)/2 I f(, y)dy + 4 d 1 (+6)/2 ( 3)/2 II f(, y)ddy + f(, y)dy + III f(, y)ddy = 7 d 4 9 ( 3)/2 f(, y)dy 821 Muudame avaldises I = 1 dy integreerimise järjekorda 3+ 1 y y 2 f(, y)d dy 2+ 2y y 2 2 2y y 2 f(, y)d Esimese integraali rajadele vastavad võrrandid y =, y = 1, = 1+ 1 y 2 ja = y 2 ning teisele võrrandid y = 1, y = 2, = 2 2y y 2 ja = 2 + 2y y 2 Teeme integreerimispiirkonna joonise
31 31 y 2 = 2 2y y 2 1 y = 2 2 y = = 2 I II = 3 = 2 + 2y y 2 y = = y = y 2 III Jaotame piirkonna sirgete = 2 ja = 3 abil normaalseteks piirkondadeks (vt efinitsiooni 322) I, II ning III -telje suhtes { ( I = (, y) (1 2) 2 2 y )}, { ( II = (, y) (2 3) y 1 + )} 4 2 3, { ( III = (, y) (3 4) y )} Seega Lause 322 põhjal I = d f(, y)dy + d d f(, y)dy f(, y)dy+ 822 Määrame rajad kahekordses integraalis f(, y)ds, kasutades polaarkoordinaate, kui on Bernoulli lemniskaadi ( 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( 2 y 2 ) (a > ) poolt hõlmatud piirkond Esitame lemniskaadi võrrandi polaarkoordinaatides ((ρ cos ϕ) 2 + (ρ sin ϕ) 2 ) 2 = a 2 ((ρ cos ϕ) 2 (ρ sin ϕ) 2 ) ρ 4 = a 2 ρ 2 cos 2ϕ ρ = a cos 2ϕ Teeme joonise ( [ ϕ π 4, π ] [ 3π 4 4, 5π ]) 4 ϕ = 3π/4 II ϕ = 5π/4 ϕ = π/4 I ϕ = π/4 a
32 32 kusjuures = I II on lemniskaadi poolt piiratud ala Seejuures I = {(ϕ, ρ) ( π/4 ϕ π/4)}, II = {(ϕ, ρ) (3π/4 ϕ 5π/4)} Valemi (334) põhjal saame f(, y)ds = π/4 π/4 + dϕ 5π/4 3π/4 dϕ a cos 2ϕ a cos 2ϕ ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ + ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ 823 Teisendame integraali 2R R/2 d 2R 2 f(, y)d polaarkoordinaatidesse Integraali rajadele vastavad võrrandid = R/2, = 2R, y = ja y = 2R 2 Esitame rajajoonte võrrandid polaarkoordinaatides Teeme joonise ρ cos ϕ = R 2 ρ = R 2 cos ϕ, ρ cos ϕ = 2R ρ = 2R cos ϕ, ρ sin ϕ = ρ = ϕ = ϕ = π, ρ sin ϕ = 2Rρ cos ϕ (ρ cos ϕ) 2 ρ = 2R cos ϕ y = R R y = = 2R 2 2 ρ = 2R cos ϕ 3 ρ = R 2 2 cos ϕ ρ = 2R 2 ϕ = π cos ϕ 3 Valemi (334) põhjal saame R/2 R ϕ = 2R 2R R/2 d 2R 2 f(, y)d = π/3 dϕ 2R cos ϕ R/(2 cos ϕ) ρf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ
33 Arvutame R R dy R 2 y 2 R 2 y 2 dz R 2 y 2 z 2 ( 2 + y 2 )d, kasutades sfäärilisi koordinaate Integraali rajadele vastavad võrrandid y = R, y = R, z = R 2 y 2, z = R 2 y 2, = ja = R 2 y 2 z 2 Teeme joonise y R = R 2 y 2 z 2 ρ = R R z See poolsfäär on sfäärkoordinaatides määratud võrratustega Rakendame valemit (376) = π/2 π/2 = R R π 2 ϕ π, ψ π, ρ R 2 dy R 2 y 2 dz R 2 y 2 R 2 y 2 z 2 ( 2 + y 2 )d = π R dϕ dψ ρ 2 sin ψ ( ρ 2 cos 2 ϕ sin 2 ψ + ρ 2 sin 2 ϕ sin 2 ψ ) dρ = π/2 π/2 π R dϕ sin 3 ψdψ = 4R5 15 ρ 4 dρ = R5 5 π/2 π/2 π/2 π/2 dϕ = 4πR5 15 π dϕ sin 3 ψdψ =
34 34 9 Teadmiste kontroll ja hindamine Käesolev kursus lõpeb eksamiga Eksamil kontrollitakse teadmisi nii teooriast kui ka ülesannete lahendamise oskust Alajaotises 7 on esitatud ülesannete tüübid, mida üliõpilane peab oskama lahendada Semestri jooksul teostatakse kaks kontrolltööd (õppejõu juuresolekul TTÜ ruumes), millede alusel võib üliõpilane saada jooksvalt eksamihinde Kontrolltöödesse lülitatav materjal 1 kontrolltöö: teooria: programmis esitatud teemad ülesanded: tüüpülesanded kontrolltöö: teooria: programmis esitatud teemad ülesanded: tüüpülesanded Mõlemat kontrolltööd hinnatakse 1 punkti süsteemis Eksamihinne h määratakse kahe kontrolltöö hinde aritmeetilise keskmise k alusel järgnevalt: kui k 91, siis h = 5; kui 81 k 9, siis h = 4; kui 71 k 8, siis h = 3; kui 61 k 7, siis h = 2; kui 51 k 6, siis h = 1; kui k 5, siis h = Kui üliõpilane eelistab kontrolltööde asemel oma teadmisi näidata eksamil, siis eksamil tuleb sooritada ülalkirjeldatud kahe kontrolltöö baasil koostatud ühine kontrolltöö, mida hinnatakse samuti 1 punkti süsteemis Eksamihinne h määratakse sellisel juhul saadud kontrolltöö hinde k järgi ülaltoodud tingimustel Eksami-, kontrolltööde- ja konsultatsioonide ajad teatakse õppetöö korraldamise graafikuga jooksval semestril Juhendi koostaja: Ivar Tammeraid TTÜ matemaatikainstituudi matemaatilise analüüsi professor
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραÜlesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραKitsas matemaatika-3 tundi nädalas
Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Õpitulemused I kursus-arvuhulgad. Avaldised. Võrrand, võrratus. 1) eristab ratsionaal-, irratsionaal- ja reaalarve; 2) eristab võrdust, samasust, võrrandit ja võrratust;
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραVektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότερα2.1. Jõud ja pinged 2-2
1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραDeformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
Διαβάστε περισσότεραPinge. 2.1 Jõud ja pinged
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραAinevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava
Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava 1. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused Lai matemaatika koosneb 14 kursusest: 10 klass: 1. Avaldised ja arvuhulgad 2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM
Lea Lepmann Tiit Lepmann MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Ülesanded, lahendused, kommentaarid ja soovitused Kõigi käesolevas kogumikus kasutatud riigi- ja katseeksamite ülesannete autoriõigused
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραDeformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus
Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.
Διαβάστε περισσότερα1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused
Vabariigi Valitsuse 06.01.2011. a määruse nr 2 Gümnaasiumi riiklik õppekava lisa 3 1. Ainevaldkond Matemaatika 1.1. Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότερα5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES
5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,
Διαβάστε περισσότεραAINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED
Matemaatika Gümnaasium 10.-12. klass Kursusi: 14 (lisaks kordamine) Tunde kursuses: 35 Rakendumine: 1. september 2016 Koostamise alus: Gümnaasiumi riiklik õppekava, lisa 3; Koeru Keskkooli õppekava AINE
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραAinevaldkond Matemaatika
Ainevaldkond Matemaatika 1 Matemaatikapädevus Matemaatika õpetamise eesmärk gümnaasiumis on matemaatikapädevuse kujundamine, see tähendab suutlikkust tunda matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemsust;
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότερα3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
ugevusanalüüsi alused. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL 1. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL.1. Varda arvutusskeem väändel Väände puhul on tihtipeale koormusteks detaili otseselt väänavad pöördemomendid või jõupaarid (Joon..1):
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria põhivõrrandid,
Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid
Διαβάστε περισσότεραAnnegrete Peek. Üldistatud aditiivne mudel. Bakalaureusetöö (6 EAP)
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Annegrete Peek Üldistatud aditiivne mudel Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Märt Möls, PhD Tartu 2014 Üldistatud aditiivne
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραREAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραJoonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Διαβάστε περισσότεραStaatika ja kinemaatika
Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.
Διαβάστε περισσότεραIKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel
IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse
Διαβάστε περισσότεραSTM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότερα