decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto"

Transcript

1 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016

2 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri V şi o mulţime de muchii E. G este finit dacă V şi E sunt mulţimi finite. În acest curs vom considera doar grafuri finite. Ordinul unui graf este V, numărul de noduri. Mărimea unui graf este E, numărul de muchii. Fie x, y V. Spunem că x este vecinul lui y dacă E conţine o muchie de la x la y: dacă G este orientat, y este destinaţia unui arc cu sursa x. Vecinătatea lui x V este N(x) := {y y este vecin al lui x} Vecinătatea închisă a lui x este N[x] := N(x) {x} Gradul deg(x) lui x este numărul de vecini ai lui x Gradul minim al lui G este δ(g) = min{deg(x) x V } Gradul maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V }

3 Noţiuni fundamentale Exemplu a b c d e f g h G = (V, E) unde V = {a, b, c, d, e, f }, E = {{a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, e}, {b, g}, {c, f }, {d, f }, {d, g}, {g, h}} N(d) = {a, f, g}, N[d] = {a, d, f, g}, (G) = deg(b) = 3, δ(g) = deg(h) = 1,

4 Teorema 1 a Teoriei Grafurilor Teorema 1 Într-un graf neorientat G, suma gradelor nodurilor sale este dublul numărului de muchii. O consecinţă este faptul că numărul nodurilor cu grad impar este par. Demonstraţie combinatorială. Fie S = v V deg(v). Se observă că, deoarece orice muchie are două capete, S este dublul numărului de muchii: deg(v) = 2 E v V Deasemenea S = v V deg(v) par deg(v) + v V deg(v) impar deg(v) şi S este par a doua sumă trebuie să fie pară. Deci, numărul de noduri cu grad impar trebuie să fie par.

5 Alte noţiuni fundamentale O muchie e E este incidentă la un nod x dacă x este un capăt al lui e. O cale de la v 1 la v n este o secvenţă d = (v 1, v 2,..., v n ) de noduri astfel încât v i+1 este vecinul lui v i pentru orice 1 i < n. Lungimea lui d este n 1. d este o cale simplă dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte. d este un ciclu dacă este o cale cu lungime 3 ale cărui capete coincid: v 1 = v n, iar v 1,..., v n 1 sunt distincte. d este un drum elementar dacă muchiile dintre nodurile succesive sunt distincte. d este un circuit dacă este drum elementar cu lungimea 3 şi v 1 = v n.

6 Exemplu ilustrat a c b d e f g (f ) este o cale cu lungimea 0. (a, c, f, c, b, d) este o cale cu lungimea 5. (b, a, c, b, d) este o cale cu lungimea 4 care nu este simplă, dar este drum elementar. (d, g, b, a, c, f, e) este drum elementar cu lungimea 6. (g, d, b, c, a, b, g) este un circuit. (e, d, b, a, c, f, e) şi (d, b, g, d, e, f, d) sunt circuite. Reţineţi că un drum poate avea lungimea 0, dar lungimea minimă a unui ciclu sau circuit este 3.

7 Teorema 2 a Teoriei Grafurilor Teorema 2 Într-un graf G cu nodurile u v, fiecare cale de la un nod u la v conţine o cale simplă de la u la v. Demonstraţie. Fie d o cale de la u la v în G. Teorema se demonstrează prin inducţie după lungimea lui d. Dacă d are lungimea 2 atunci d = (u, v) este o cale simplă. Pentru cazul inductiv, presupunem că teorema are loc pentru toate căile cu lungime < k, şi fie d o cale cu lungimea k, d = (u = w 0, w 1,..., w k 1, w k = v). Dacă toate nodurile sunt distincte, atunci d este o cale simplă de la u la v. În caz contrar, fie j cel mai mic indice a.î. w j = w r pentru un r > j. Fie d 1 calea (u = w 0,..., w j, w r+1..., w k = v). Lungimea lui d 1 este < k, deci d 1 conţine o cale simplă de la u la v, conform ipotezei inductive. Această cale este, evident, conţinută şi în calea d.

8 Operaţii pe grafuri Presupunem că G = (V, E) este un graf simplu, v V, S V, e E, T E Ştergere de noduri: G v este graful care se obţine eliminând din G nodul v şi toate arcele incidente la v. G S este graful care se obţine eliminând din G nodurile din S şi toate arcele incidente la un nod din S. Ştergere de muchii G e este graful care se obţine eliminând din G muchia e. Capetele lui e nu se elimină. G T este graful care se obţine eliminând din G toate muchiile din T. G este conex dacă există o cale între orice două noduri. În caz contrar, G nu este conex. O componentă a lui G este o parte maximală a lui G care este conexă. v este nod de tăiere dacă G v are mai multe componente decât G. e este o punte dacă G e are mai multe componente decât G.

9 Operaţii pe grafuri Example (Ştergere) a a a b c b c b c d d e f e f e f g G d g G g G (c, d) d este nod de tăiere în G. (a, b) este punte în G. a b c d e f g G {(e, g), (f, g)} Example (Grafuri conexe şi neconexe)

10 Mulţime de noduri de tăiere, conectivitate. Grafuri complete Presupunem că G = (V, E) este un graf conex neorientat. S V este o mulţime de noduri de tăiere pentru G dacă G S este neconectat. G este complet dacă orice două noduri sunt învecinate. K n se referă la graful complet cu n noduri. Grafurile K n nu au mulţimi de tăiere deoarece K n S rămâne conex indiferent de submulţimea S V. Conectivitatea κ(g) a lui G este numărul de elemente al unei mulţimi minimale de noduri de tăiere pentru G. Deasemenea, considerăm următoarele cazuri speciale: Dacă G nu este conex, presupunem că κ(g) = 0. Dacă G = K n presupunem că κ(g) = n 1. Pentru orice 0 < k κ(g), spunem că G este k-conex.

11 Subgraf indus al unui graf Presupunem că G = (V, E) este un graf şi S V. Subgraful indus de S în G este graful (S, E ) unde E este mulţimea de muchii din E care au ambele capete în S. Example a x a x b e d b d c G c Subgraf indus de {a, b, c, d, x}

12 Tipuri speciale de grafuri Grafurile complete K n Grafurile cale P n constau din o cale simplă de n noduri Grafurile vide E n au n noduri, şi nu au nici o muchie. Grafurile ciclice C n constau din cicluri de lungime n C 3 C 4 Grafuri bipartite G = (V, E): Grafuri simple neorientate, a.î. V = X Y unde X V şi Y = V \ X Toate muchiile au un capăt în X şi celălalt în Y.

13 Grafuri bipartite Primele 2 grafuri din figura de mai jos sunt bipartite, dar al treilea nu este bipartit. Un graf bipartit complet K m,n este un graf bipartit între X şi Y cu X = m, Y = n, astfel încât există o muchie între orice pereche de noduri (x, y) X Y. Exemple de grafuri bipartite complete

14 Grafuri bipartite Teorema de caracterizare Un graf cu cel puţin 2 noduri este bipartit dacă şi numai dacă nu conţine cicluri de lungime impară. Demonstraţie. : Fie G = (V, E) un graf bipartit între mulţimile X şi Y, şi fie C = (v 1,..., v k, v 1 ) un ciclu în G. Putem presupune că v 1 X. Atunci v i X pentru toţi i pari, şi v j Y pentru toţi j impari. Deoarece (v k, v 1 ) E, k trebuie să fie par nu putem avea în G un ciclu de lungime k impar. : Putem presupune, fără a reduce din generalitate, că G este conex (în caz contrar, putem trata separat componentele conexe ale lui G). Pentru v V definim X = {x V cea mai scurtă cale de la x la v are lungime pară}, Y = V \ X. Se verifică uşor că G este graf bipartit între X şi Y.

15 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf.

16 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf.

17 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf. Ideea de izomorfism formalizează acest fenomen.

18 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a b 1 2 c d 8 3 g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf. Ideea de izomorfism formalizează acest fenomen. Grafuri izomorfe G = (V 1, E 1 ) şi H = (V 2, E 2 ) sunt izomorfe dacă există o funcţie bijectivă f : V 1 V 2 astfel încât (x, y) E 1 dacă şi numai dacă (f (x), f (y)) E 2.

19 Grafuri izomorfe Când 2 grafuri G şi H sunt izomorfe, se obişnuieşte să se spună că G = H sau că G este H. Dacă G şi H sunt izomorfe, atunci au acelaşi ordin şi mărime. Reciproca nu este adevărată, după cum se poate vedea în Figura 1 de mai jos. Figure: Două grafuri G şi H cu acelaşi ordin şi mărime, dar neizomorfe. Dacă G şi H sunt izomorfe atunci secvenţele de grade de noduri ale grefurilor coincid. Reciproca nu este adevărată.

20 Drumuri şi circuite Euleriene Un drum Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un drum ce conţine toate muchiile lui G. Un circuit Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un circuit ce conţine toate muchiile lui G. Un graf Eulerian este un graf simplu ce conţine un circuit Eulerian.

21 Drumuri şi circuite Euleriene Un drum Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un drum ce conţine toate muchiile lui G. Un circuit Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un circuit ce conţine toate muchiile lui G. Un graf Eulerian este un graf simplu ce conţine un circuit Eulerian. Se observă că Ciclurile C n sunt grafuri Euleriene. Căile P n nu conţin circuite nici un P n nu este graf Eulerian.

22 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian?

23 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian? Î: Cum putem recunoaşte grafurile Euleriene?

24 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian? Î: Cum putem recunoaşte grafurile Euleriene? R: Se cunosc două caracterizări importante: 1 bazată pe gradurile nodurilor 2 bazată pe existenţa unei colecţii speciale de cicluri.

25 Circuite Euleriene Teorema de Caracterizare Pentru un graf conectat G, afirmaţiile următoare sunt echivalente: 1 G este Eulerian. 2 Fiecare nod al lui G are grad par. 3 Muchiile lui G pot fi partiţionate în cicluri care nu au muchii în comun. Demonstraţia lui 1 2. Presupunem că G este Eulerian un circuit care conţine toate muchiile lui G De exemplu, v 1, v 3, v 4, v 1, v 2, v 6, v 1 este un circuit al grafului v 2 v 4 v 1 v 5 v 6 v 3 deg(v 2 ) = deg(v 3 ) = deg(v 4 ) = deg(v 6 ) = 2 deg(v 1 ) = 4 deg(v 5 ) = 0 Ori de câte ori circuitul Eulerian intră în un nod v pe o muchie, trebuie să plece din acel nod pe altă muchie. Deoarece nici o muchie nu apare de 2 ori în circuit, nr. de muchii incidente la v este par deg(v) este par.

26 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

27 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

28 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

29 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

30 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

31 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 3 1. Presupunem că muchiile lui G pot fi partiţionate în k cicluri disjuncte C n1,..., C nk. Deoarece G este conectat, fiecare ciclu este un circuit Eulerian care are un nod comun cu alt ciclu ciclurile pot fi înlănţuite până se obţine un circuit Eulerian care conţine toate muchiile lui G. Example Cicluri: Q 1 = 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 Q 2 = 3, 8, 5, 1, 3 Q 3 = 6, 2, 7, 9, 5, 6 Q 4 = 4, 5, 7, 4 Primele 2 cicluri au nodul comun 3 circuitul R 1 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 R 2 are 6 în comun cu al 3-lea ciclu circuitul R 3 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 Circuitul are 4 în comun cu a 4-lea ciclu circuitul Eulerian R 4 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 5, 7, 4, 9, 3

32 Detectarea circuitelor Euleriene Algoritmul lui Hierholzer Alg. ilustrat de înlănţuite a ciclurilor se numeşte algoritmul lui Hierholzer. Rezolvă problema Se dă: un graf Eulerian G Sa caută un circuit Eulerian al lui G. 1 Se identifică un circuit R 1 al lui G şi se marchează muchiile lui R 1. Fie i = 1. 2 Dacă R i conţine toate muchiile lui G, stop: R i este Eulerian. 3 Dacă R i nu conţine toate muchiile lui G, fie v i un nod al R i incident la o muchie nemarcată e i. 4 Se construieşte un circuit de muchii nemarcate Q i, pornind de la nodul v i de-a lungul muchiei e i. Se marchează muchiile lui Q i. 5 Se crează un circuit nou R i+1 înlănţuind Q i în R i la nodul v i. 6 Se incrementează i cu 1 şi se revine la pasul (2).

33 Algoritmul lui Hierholzer Exemplu ilustrat

34 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian?

35 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian? Răspuns: Se observă că: Un graf Eulerian conţine un drum Eulerian deoarece orice circuit Eulerian este şi drum Eulerian. Există grafuri ne-euleriene ce conţin drumuri Euleriene.

36 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian? Răspuns: Se observă că: Un graf Eulerian conţine un drum Eulerian deoarece orice circuit Eulerian este şi drum Eulerian. Există grafuri ne-euleriene ce conţin drumuri Euleriene. Corolar Un graf conectat G conţine un drum Eulerian dacă şi numai dacă are cel mult 2 noduri cu grad impar.

37 Algoritmul lui Fleury Se dă un graf G cu un drum sau circuit Eulerian Se caută un drum sau circuit corespunzător. Iniţial toate muchiile sunt nemarcate. 1 Se alege un nod v pe care-l numim nod fruntaş. 2 Dacă toate muchiile lui G au fost marcate, stop. Altfel, se trece la pasul 2. 3 Dintre toate muchiile incidente la nodul fruntaş se alege, dacă se poate, o muchie care nu este punte a muchiilor deja marcate. Dacă o astfel de muchie nu există, se alege una la întâmplare. Se marchează muchia aleasă iar capătul opus nodului fruntaş devine noul nod fruntaş. 4 Se revine la pasul (2).

38 Algoritmul lui Fleury Se dă un graf G cu un drum sau circuit Eulerian Se caută un drum sau circuit corespunzător. Iniţial toate muchiile sunt nemarcate. 1 Se alege un nod v pe care-l numim nod fruntaş. 2 Dacă toate muchiile lui G au fost marcate, stop. Altfel, se trece la pasul 2. 3 Dintre toate muchiile incidente la nodul fruntaş se alege, dacă se poate, o muchie care nu este punte a muchiilor deja marcate. Dacă o astfel de muchie nu există, se alege una la întâmplare. Se marchează muchia aleasă iar capătul opus nodului fruntaş devine noul nod fruntaş. 4 Se revine la pasul (2). Observaţii: Pasul 2 se efectuează de E ori, unde E = nr. de muchii ale lui G. În gen., detectarea dacă e E este punte are complexitatea O( E 2 ) alg. lui Fleury are complexitatea O( E 3 ).

39 Cicluri şi căi hamiltoniene O cale hamiltoniană P a unui graf simplu G este o cale simplă care conţine toate nodurile lui G. Un graf traversabil este un graf simplu care conţine o cale hamiltoniană. Un ciclu hamiltonian al unui graf este un ciclu care conţine toate nodurile grafului. Un graf hamiltonian este un graf care conţine un ciclu hamiltonian. Observaţii 1 Toate grafurile hamiltoniene sunt traversabile. 2 Există grafuri traversable care nu sunt hamiltoniene.

40 Detectarea grafurilor hamiltoniene Teorema lui Dirac Teorema lui Dirac Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă δ(g) n/2 atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. Presupunem că G satisface condiţiile date, însă G nu este hamiltonian. Fie P = v 1,..., v p o cale simplă în G de lungime maximală toţi vecinii lui v 1 şi ai lui v p sunt pe P. Deasemenea, v 1 şi v p au cel puţin n/2 vecini pe P fiindcă δ(g) n/2. Demonstrăm că j {1,..., p 1} astfel încât v j N(v p ) şi v j+1 N(v 1 ). Dacă n-ar fi aşa, atunci pentru fiecare vecin v i de pe P al lui v p (reţinem că sunt n/2 astfel de v i ), v i+1 nu este vecin al lui v 1. Ar rezulta că deg(v 1 ) p 1 n 2 < n n 2 = n, contradicţie cu faptul 2 că δ(g) n/2. Deci, există un astfel de j, pentru care avem situaţia ilustrată în figura de mai jos:

41 Detectarea grafurilor hamiltoniene Teorema lui Dirac (continuare) Teorema lui Dirac Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă δ(g) n/2 atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. (continuare) Fie C ciclul v 1, v 2,..., v j, v p, v p 1,..., v j+1, v 1. Presupunând că G nu este hamiltonian, există un nod al lui G care nu este în P. δ(g) n/2 şi n 3 implică δ(g) 2, deci G este conectat G are un nod w care nu-i in P şi este adiacent la un nod v i din P. Dar atunci calea care porneşte cu w, v i şi continuă în jurul ciclului C este mai lungă decât P, contradicţie. În concluzie G trebuie să fie graf hamiltonian.

42 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Teorema lui Dirac generalizată Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă deg(x) + deg(y) n pentru toate perechile de noduri neadiacente x, y, atunci G este hamiltonian.

43 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Teorema lui Dirac generalizată Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă deg(x) + deg(y) n pentru toate perechile de noduri neadiacente x, y, atunci G este hamiltonian. O mulţime de noduri a unui graf G este independentă dacă nu conţine noduri adiacente. Numărul de independenţă α(g) al unui graf G este mărimea cea mai mare posibilă a unei mulţimi independente a lui G. Example Se consideră grafurile Cea mai mare mulţime independentă a lui G 1 este {c, d}, deci α(g 1 ) = 2. Există 2 mulţimi independente cu mărimea 3 în G 2 : {a, c, e} şi {b, d, f }, şi nici una cu mărimea 4, deci α(g 2 ) = 3.

44 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Conectivitatea κ(g) unui graf G este este mărimea minimă a unei mulţimi de tăiere a lui G. Teoremă (Chvátal şi Erdös, 1972) Fie G un graf conectat cu ordinal n 3, conectivitatea κ(g), şi numărul de independenţă α(g). Dacă κ(g) α(g), atunci G este hamiltonian. Exerciţiu (Jocul icosian al lui Hamilton) Să se arate că graful ilustrat în cercul de mai jos este hamiltonian.

45 Grafuri hamiltoniene şi grafuri traversabile Exerciţii 1 Să se demonstreze că dacă G este hamiltonian atunci G este 2-conectat. 2 Să se indice conectivitatea şi numărul de independenţă al grafului Petersen ilustrat mai jos.

46 Grafuri hamiltoniene Două definiţii şi trei grafuri speciale Date fiind două grafuri G şi H, spunem că G este liber de H dacă G nu conţine o copie a lui H ca şi graf indus. Dacă S este o colecţie de grafuri, spunem că G este liber de S dacă G nu conţine nici unul din grafurile lui S ca şi graf indus. Trei grafuri speciale K 1,3 Z 1 N

47 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Theorem (Goodman şi Hedetniemi, 1974) Dacă G este un graf 2-conectat şi liber de {K 1,3, Z 1 } atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. Fie G un astfel de graf, şi fie C un ciclu de lungime maximă în G. Deoarece G este 2-conectat, un astfel de ciclu C există. Demonstrăm că C este ciclu hamiltonian. Dacă G nu ar fi hamiltonian, ar exista un nod v care nu este în C şi care este adiacent la un nod w din C. Fie a şi b succesorul şi predecesorul imediat al lui w în ciclul C. Dacă {a, b} N(v) un ciclu mai lung decât C {a, b} N(v) =. Dacă a, b nu sunt adiacente atunci subgraful indus de {w, v, a, b} este K 1,3, contradicţie cu ipoteza că G este liber de K 1,3 ab trebuie să fie muchie în G. Însă în acest caz subgraful indus de {w, v, a, b} este Z 1, contradicţie cu ipoteza că G este liber de Z 1. C este ciclu hamiltonian.

48 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981) Fie G un graf liber de {K 1,3, N}. 1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil. 2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian.

49 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981) Fie G un graf liber de {K 1,3, N}. 1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil. 2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian. Observaţii. Ultimele 2 teoreme interzic ca graful K 1,3 să apară ca subgraf. De obicei, graful K 1,3 se numeşte gheară, şi este un graf interzis să apară în numeroase teoreme din teoria grafurilor.

50 Bibliografie J. M. Harris, J. L. Hirst, M. J. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Second Edition. Springer Secţiunea 1.4. Trails, Circuits, Paths, and Cycles.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016. Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

GRAFURI NEORIENTATE. 1. NoŃiunea de graf neorientat

GRAFURI NEORIENTATE. 1. NoŃiunea de graf neorientat . NoŃiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE DefiniŃie. Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de mulńimi notată G=(V, M) unde: V : este o mulńime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire Arbori minimi de acoperire 1 Planul cursului Arbori minimi de acoperire Definitie Utilizare Algoritmi Operatii cu multimi disjuncte Structuri de date pentru reprezentarea multimilor disjuncte Algoritmi

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMICA GRAFURILOR. C. Croitoru

ALGORITMICA GRAFURILOR. C. Croitoru ALGORITMICA GRAFURILOR C. Croitoru 2015-2016 I. Vocabular al Teoriei grafurilor 1. Definiţia unui graf Un graf este o pereche G = (V (G), E(G)), unde - V (G) este o mulţime finită nevidă, iar - E(G) este

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Διαβάστε περισσότερα

GRAFURI ORIENTATE ASPECTE TEORETICE. 1. NoŃiunea de graf orientat

GRAFURI ORIENTATE ASPECTE TEORETICE. 1. NoŃiunea de graf orientat GRAFURI ORIENTATE ASPECTE TEORETICE. NoŃiunea de graf orientat DefiniŃie. Se numeşte graf orientat o pereche ordonată de mulńimi notată G=(V, U), unde: V : este o mulńime, finită şi nevidă, ale cărei elemente

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de logicǎ matematicǎ

Elemente de logicǎ matematicǎ Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα