decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto"

Transcript

1 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016

2 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri V şi o mulţime de muchii E. G este finit dacă V şi E sunt mulţimi finite. În acest curs vom considera doar grafuri finite. Ordinul unui graf este V, numărul de noduri. Mărimea unui graf este E, numărul de muchii. Fie x, y V. Spunem că x este vecinul lui y dacă E conţine o muchie de la x la y: dacă G este orientat, y este destinaţia unui arc cu sursa x. Vecinătatea lui x V este N(x) := {y y este vecin al lui x} Vecinătatea închisă a lui x este N[x] := N(x) {x} Gradul deg(x) lui x este numărul de vecini ai lui x Gradul minim al lui G este δ(g) = min{deg(x) x V } Gradul maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V }

3 Noţiuni fundamentale Exemplu a b c d e f g h G = (V, E) unde V = {a, b, c, d, e, f }, E = {{a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, e}, {b, g}, {c, f }, {d, f }, {d, g}, {g, h}} N(d) = {a, f, g}, N[d] = {a, d, f, g}, (G) = deg(b) = 3, δ(g) = deg(h) = 1,

4 Teorema 1 a Teoriei Grafurilor Teorema 1 Într-un graf neorientat G, suma gradelor nodurilor sale este dublul numărului de muchii. O consecinţă este faptul că numărul nodurilor cu grad impar este par. Demonstraţie combinatorială. Fie S = v V deg(v). Se observă că, deoarece orice muchie are două capete, S este dublul numărului de muchii: deg(v) = 2 E v V Deasemenea S = v V deg(v) par deg(v) + v V deg(v) impar deg(v) şi S este par a doua sumă trebuie să fie pară. Deci, numărul de noduri cu grad impar trebuie să fie par.

5 Alte noţiuni fundamentale O muchie e E este incidentă la un nod x dacă x este un capăt al lui e. O cale de la v 1 la v n este o secvenţă d = (v 1, v 2,..., v n ) de noduri astfel încât v i+1 este vecinul lui v i pentru orice 1 i < n. Lungimea lui d este n 1. d este o cale simplă dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte. d este un ciclu dacă este o cale cu lungime 3 ale cărui capete coincid: v 1 = v n, iar v 1,..., v n 1 sunt distincte. d este un drum elementar dacă muchiile dintre nodurile succesive sunt distincte. d este un circuit dacă este drum elementar cu lungimea 3 şi v 1 = v n.

6 Exemplu ilustrat a c b d e f g (f ) este o cale cu lungimea 0. (a, c, f, c, b, d) este o cale cu lungimea 5. (b, a, c, b, d) este o cale cu lungimea 4 care nu este simplă, dar este drum elementar. (d, g, b, a, c, f, e) este drum elementar cu lungimea 6. (g, d, b, c, a, b, g) este un circuit. (e, d, b, a, c, f, e) şi (d, b, g, d, e, f, d) sunt circuite. Reţineţi că un drum poate avea lungimea 0, dar lungimea minimă a unui ciclu sau circuit este 3.

7 Teorema 2 a Teoriei Grafurilor Teorema 2 Într-un graf G cu nodurile u v, fiecare cale de la un nod u la v conţine o cale simplă de la u la v. Demonstraţie. Fie d o cale de la u la v în G. Teorema se demonstrează prin inducţie după lungimea lui d. Dacă d are lungimea 2 atunci d = (u, v) este o cale simplă. Pentru cazul inductiv, presupunem că teorema are loc pentru toate căile cu lungime < k, şi fie d o cale cu lungimea k, d = (u = w 0, w 1,..., w k 1, w k = v). Dacă toate nodurile sunt distincte, atunci d este o cale simplă de la u la v. În caz contrar, fie j cel mai mic indice a.î. w j = w r pentru un r > j. Fie d 1 calea (u = w 0,..., w j, w r+1..., w k = v). Lungimea lui d 1 este < k, deci d 1 conţine o cale simplă de la u la v, conform ipotezei inductive. Această cale este, evident, conţinută şi în calea d.

8 Operaţii pe grafuri Presupunem că G = (V, E) este un graf simplu, v V, S V, e E, T E Ştergere de noduri: G v este graful care se obţine eliminând din G nodul v şi toate arcele incidente la v. G S este graful care se obţine eliminând din G nodurile din S şi toate arcele incidente la un nod din S. Ştergere de muchii G e este graful care se obţine eliminând din G muchia e. Capetele lui e nu se elimină. G T este graful care se obţine eliminând din G toate muchiile din T. G este conex dacă există o cale între orice două noduri. În caz contrar, G nu este conex. O componentă a lui G este o parte maximală a lui G care este conexă. v este nod de tăiere dacă G v are mai multe componente decât G. e este o punte dacă G e are mai multe componente decât G.

9 Operaţii pe grafuri Example (Ştergere) a a a b c b c b c d d e f e f e f g G d g G g G (c, d) d este nod de tăiere în G. (a, b) este punte în G. a b c d e f g G {(e, g), (f, g)} Example (Grafuri conexe şi neconexe)

10 Mulţime de noduri de tăiere, conectivitate. Grafuri complete Presupunem că G = (V, E) este un graf conex neorientat. S V este o mulţime de noduri de tăiere pentru G dacă G S este neconectat. G este complet dacă orice două noduri sunt învecinate. K n se referă la graful complet cu n noduri. Grafurile K n nu au mulţimi de tăiere deoarece K n S rămâne conex indiferent de submulţimea S V. Conectivitatea κ(g) a lui G este numărul de elemente al unei mulţimi minimale de noduri de tăiere pentru G. Deasemenea, considerăm următoarele cazuri speciale: Dacă G nu este conex, presupunem că κ(g) = 0. Dacă G = K n presupunem că κ(g) = n 1. Pentru orice 0 < k κ(g), spunem că G este k-conex.

11 Subgraf indus al unui graf Presupunem că G = (V, E) este un graf şi S V. Subgraful indus de S în G este graful (S, E ) unde E este mulţimea de muchii din E care au ambele capete în S. Example a x a x b e d b d c G c Subgraf indus de {a, b, c, d, x}

12 Tipuri speciale de grafuri Grafurile complete K n Grafurile cale P n constau din o cale simplă de n noduri Grafurile vide E n au n noduri, şi nu au nici o muchie. Grafurile ciclice C n constau din cicluri de lungime n C 3 C 4 Grafuri bipartite G = (V, E): Grafuri simple neorientate, a.î. V = X Y unde X V şi Y = V \ X Toate muchiile au un capăt în X şi celălalt în Y.

13 Grafuri bipartite Primele 2 grafuri din figura de mai jos sunt bipartite, dar al treilea nu este bipartit. Un graf bipartit complet K m,n este un graf bipartit între X şi Y cu X = m, Y = n, astfel încât există o muchie între orice pereche de noduri (x, y) X Y. Exemple de grafuri bipartite complete

14 Grafuri bipartite Teorema de caracterizare Un graf cu cel puţin 2 noduri este bipartit dacă şi numai dacă nu conţine cicluri de lungime impară. Demonstraţie. : Fie G = (V, E) un graf bipartit între mulţimile X şi Y, şi fie C = (v 1,..., v k, v 1 ) un ciclu în G. Putem presupune că v 1 X. Atunci v i X pentru toţi i pari, şi v j Y pentru toţi j impari. Deoarece (v k, v 1 ) E, k trebuie să fie par nu putem avea în G un ciclu de lungime k impar. : Putem presupune, fără a reduce din generalitate, că G este conex (în caz contrar, putem trata separat componentele conexe ale lui G). Pentru v V definim X = {x V cea mai scurtă cale de la x la v are lungime pară}, Y = V \ X. Se verifică uşor că G este graf bipartit între X şi Y.

15 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf.

16 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf.

17 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf. Ideea de izomorfism formalizează acest fenomen.

18 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a b 1 2 c d 8 3 g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf. Ideea de izomorfism formalizează acest fenomen. Grafuri izomorfe G = (V 1, E 1 ) şi H = (V 2, E 2 ) sunt izomorfe dacă există o funcţie bijectivă f : V 1 V 2 astfel încât (x, y) E 1 dacă şi numai dacă (f (x), f (y)) E 2.

19 Grafuri izomorfe Când 2 grafuri G şi H sunt izomorfe, se obişnuieşte să se spună că G = H sau că G este H. Dacă G şi H sunt izomorfe, atunci au acelaşi ordin şi mărime. Reciproca nu este adevărată, după cum se poate vedea în Figura 1 de mai jos. Figure: Două grafuri G şi H cu acelaşi ordin şi mărime, dar neizomorfe. Dacă G şi H sunt izomorfe atunci secvenţele de grade de noduri ale grefurilor coincid. Reciproca nu este adevărată.

20 Drumuri şi circuite Euleriene Un drum Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un drum ce conţine toate muchiile lui G. Un circuit Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un circuit ce conţine toate muchiile lui G. Un graf Eulerian este un graf simplu ce conţine un circuit Eulerian.

21 Drumuri şi circuite Euleriene Un drum Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un drum ce conţine toate muchiile lui G. Un circuit Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un circuit ce conţine toate muchiile lui G. Un graf Eulerian este un graf simplu ce conţine un circuit Eulerian. Se observă că Ciclurile C n sunt grafuri Euleriene. Căile P n nu conţin circuite nici un P n nu este graf Eulerian.

22 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian?

23 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian? Î: Cum putem recunoaşte grafurile Euleriene?

24 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian? Î: Cum putem recunoaşte grafurile Euleriene? R: Se cunosc două caracterizări importante: 1 bazată pe gradurile nodurilor 2 bazată pe existenţa unei colecţii speciale de cicluri.

25 Circuite Euleriene Teorema de Caracterizare Pentru un graf conectat G, afirmaţiile următoare sunt echivalente: 1 G este Eulerian. 2 Fiecare nod al lui G are grad par. 3 Muchiile lui G pot fi partiţionate în cicluri care nu au muchii în comun. Demonstraţia lui 1 2. Presupunem că G este Eulerian un circuit care conţine toate muchiile lui G De exemplu, v 1, v 3, v 4, v 1, v 2, v 6, v 1 este un circuit al grafului v 2 v 4 v 1 v 5 v 6 v 3 deg(v 2 ) = deg(v 3 ) = deg(v 4 ) = deg(v 6 ) = 2 deg(v 1 ) = 4 deg(v 5 ) = 0 Ori de câte ori circuitul Eulerian intră în un nod v pe o muchie, trebuie să plece din acel nod pe altă muchie. Deoarece nici o muchie nu apare de 2 ori în circuit, nr. de muchii incidente la v este par deg(v) este par.

26 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

27 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

28 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

29 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

30 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example

31 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 3 1. Presupunem că muchiile lui G pot fi partiţionate în k cicluri disjuncte C n1,..., C nk. Deoarece G este conectat, fiecare ciclu este un circuit Eulerian care are un nod comun cu alt ciclu ciclurile pot fi înlănţuite până se obţine un circuit Eulerian care conţine toate muchiile lui G. Example Cicluri: Q 1 = 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 Q 2 = 3, 8, 5, 1, 3 Q 3 = 6, 2, 7, 9, 5, 6 Q 4 = 4, 5, 7, 4 Primele 2 cicluri au nodul comun 3 circuitul R 1 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 R 2 are 6 în comun cu al 3-lea ciclu circuitul R 3 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 Circuitul are 4 în comun cu a 4-lea ciclu circuitul Eulerian R 4 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 5, 7, 4, 9, 3

32 Detectarea circuitelor Euleriene Algoritmul lui Hierholzer Alg. ilustrat de înlănţuite a ciclurilor se numeşte algoritmul lui Hierholzer. Rezolvă problema Se dă: un graf Eulerian G Sa caută un circuit Eulerian al lui G. 1 Se identifică un circuit R 1 al lui G şi se marchează muchiile lui R 1. Fie i = 1. 2 Dacă R i conţine toate muchiile lui G, stop: R i este Eulerian. 3 Dacă R i nu conţine toate muchiile lui G, fie v i un nod al R i incident la o muchie nemarcată e i. 4 Se construieşte un circuit de muchii nemarcate Q i, pornind de la nodul v i de-a lungul muchiei e i. Se marchează muchiile lui Q i. 5 Se crează un circuit nou R i+1 înlănţuind Q i în R i la nodul v i. 6 Se incrementează i cu 1 şi se revine la pasul (2).

33 Algoritmul lui Hierholzer Exemplu ilustrat

34 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian?

35 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian? Răspuns: Se observă că: Un graf Eulerian conţine un drum Eulerian deoarece orice circuit Eulerian este şi drum Eulerian. Există grafuri ne-euleriene ce conţin drumuri Euleriene.

36 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian? Răspuns: Se observă că: Un graf Eulerian conţine un drum Eulerian deoarece orice circuit Eulerian este şi drum Eulerian. Există grafuri ne-euleriene ce conţin drumuri Euleriene. Corolar Un graf conectat G conţine un drum Eulerian dacă şi numai dacă are cel mult 2 noduri cu grad impar.

37 Algoritmul lui Fleury Se dă un graf G cu un drum sau circuit Eulerian Se caută un drum sau circuit corespunzător. Iniţial toate muchiile sunt nemarcate. 1 Se alege un nod v pe care-l numim nod fruntaş. 2 Dacă toate muchiile lui G au fost marcate, stop. Altfel, se trece la pasul 2. 3 Dintre toate muchiile incidente la nodul fruntaş se alege, dacă se poate, o muchie care nu este punte a muchiilor deja marcate. Dacă o astfel de muchie nu există, se alege una la întâmplare. Se marchează muchia aleasă iar capătul opus nodului fruntaş devine noul nod fruntaş. 4 Se revine la pasul (2).

38 Algoritmul lui Fleury Se dă un graf G cu un drum sau circuit Eulerian Se caută un drum sau circuit corespunzător. Iniţial toate muchiile sunt nemarcate. 1 Se alege un nod v pe care-l numim nod fruntaş. 2 Dacă toate muchiile lui G au fost marcate, stop. Altfel, se trece la pasul 2. 3 Dintre toate muchiile incidente la nodul fruntaş se alege, dacă se poate, o muchie care nu este punte a muchiilor deja marcate. Dacă o astfel de muchie nu există, se alege una la întâmplare. Se marchează muchia aleasă iar capătul opus nodului fruntaş devine noul nod fruntaş. 4 Se revine la pasul (2). Observaţii: Pasul 2 se efectuează de E ori, unde E = nr. de muchii ale lui G. În gen., detectarea dacă e E este punte are complexitatea O( E 2 ) alg. lui Fleury are complexitatea O( E 3 ).

39 Cicluri şi căi hamiltoniene O cale hamiltoniană P a unui graf simplu G este o cale simplă care conţine toate nodurile lui G. Un graf traversabil este un graf simplu care conţine o cale hamiltoniană. Un ciclu hamiltonian al unui graf este un ciclu care conţine toate nodurile grafului. Un graf hamiltonian este un graf care conţine un ciclu hamiltonian. Observaţii 1 Toate grafurile hamiltoniene sunt traversabile. 2 Există grafuri traversable care nu sunt hamiltoniene.

40 Detectarea grafurilor hamiltoniene Teorema lui Dirac Teorema lui Dirac Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă δ(g) n/2 atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. Presupunem că G satisface condiţiile date, însă G nu este hamiltonian. Fie P = v 1,..., v p o cale simplă în G de lungime maximală toţi vecinii lui v 1 şi ai lui v p sunt pe P. Deasemenea, v 1 şi v p au cel puţin n/2 vecini pe P fiindcă δ(g) n/2. Demonstrăm că j {1,..., p 1} astfel încât v j N(v p ) şi v j+1 N(v 1 ). Dacă n-ar fi aşa, atunci pentru fiecare vecin v i de pe P al lui v p (reţinem că sunt n/2 astfel de v i ), v i+1 nu este vecin al lui v 1. Ar rezulta că deg(v 1 ) p 1 n 2 < n n 2 = n, contradicţie cu faptul 2 că δ(g) n/2. Deci, există un astfel de j, pentru care avem situaţia ilustrată în figura de mai jos:

41 Detectarea grafurilor hamiltoniene Teorema lui Dirac (continuare) Teorema lui Dirac Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă δ(g) n/2 atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. (continuare) Fie C ciclul v 1, v 2,..., v j, v p, v p 1,..., v j+1, v 1. Presupunând că G nu este hamiltonian, există un nod al lui G care nu este în P. δ(g) n/2 şi n 3 implică δ(g) 2, deci G este conectat G are un nod w care nu-i in P şi este adiacent la un nod v i din P. Dar atunci calea care porneşte cu w, v i şi continuă în jurul ciclului C este mai lungă decât P, contradicţie. În concluzie G trebuie să fie graf hamiltonian.

42 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Teorema lui Dirac generalizată Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă deg(x) + deg(y) n pentru toate perechile de noduri neadiacente x, y, atunci G este hamiltonian.

43 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Teorema lui Dirac generalizată Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă deg(x) + deg(y) n pentru toate perechile de noduri neadiacente x, y, atunci G este hamiltonian. O mulţime de noduri a unui graf G este independentă dacă nu conţine noduri adiacente. Numărul de independenţă α(g) al unui graf G este mărimea cea mai mare posibilă a unei mulţimi independente a lui G. Example Se consideră grafurile Cea mai mare mulţime independentă a lui G 1 este {c, d}, deci α(g 1 ) = 2. Există 2 mulţimi independente cu mărimea 3 în G 2 : {a, c, e} şi {b, d, f }, şi nici una cu mărimea 4, deci α(g 2 ) = 3.

44 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Conectivitatea κ(g) unui graf G este este mărimea minimă a unei mulţimi de tăiere a lui G. Teoremă (Chvátal şi Erdös, 1972) Fie G un graf conectat cu ordinal n 3, conectivitatea κ(g), şi numărul de independenţă α(g). Dacă κ(g) α(g), atunci G este hamiltonian. Exerciţiu (Jocul icosian al lui Hamilton) Să se arate că graful ilustrat în cercul de mai jos este hamiltonian.

45 Grafuri hamiltoniene şi grafuri traversabile Exerciţii 1 Să se demonstreze că dacă G este hamiltonian atunci G este 2-conectat. 2 Să se indice conectivitatea şi numărul de independenţă al grafului Petersen ilustrat mai jos.

46 Grafuri hamiltoniene Două definiţii şi trei grafuri speciale Date fiind două grafuri G şi H, spunem că G este liber de H dacă G nu conţine o copie a lui H ca şi graf indus. Dacă S este o colecţie de grafuri, spunem că G este liber de S dacă G nu conţine nici unul din grafurile lui S ca şi graf indus. Trei grafuri speciale K 1,3 Z 1 N

47 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Theorem (Goodman şi Hedetniemi, 1974) Dacă G este un graf 2-conectat şi liber de {K 1,3, Z 1 } atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. Fie G un astfel de graf, şi fie C un ciclu de lungime maximă în G. Deoarece G este 2-conectat, un astfel de ciclu C există. Demonstrăm că C este ciclu hamiltonian. Dacă G nu ar fi hamiltonian, ar exista un nod v care nu este în C şi care este adiacent la un nod w din C. Fie a şi b succesorul şi predecesorul imediat al lui w în ciclul C. Dacă {a, b} N(v) un ciclu mai lung decât C {a, b} N(v) =. Dacă a, b nu sunt adiacente atunci subgraful indus de {w, v, a, b} este K 1,3, contradicţie cu ipoteza că G este liber de K 1,3 ab trebuie să fie muchie în G. Însă în acest caz subgraful indus de {w, v, a, b} este Z 1, contradicţie cu ipoteza că G este liber de Z 1. C este ciclu hamiltonian.

48 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981) Fie G un graf liber de {K 1,3, N}. 1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil. 2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian.

49 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981) Fie G un graf liber de {K 1,3, N}. 1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil. 2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian. Observaţii. Ultimele 2 teoreme interzic ca graful K 1,3 să apară ca subgraf. De obicei, graful K 1,3 se numeşte gheară, şi este un graf interzis să apară în numeroase teoreme din teoria grafurilor.

50 Bibliografie J. M. Harris, J. L. Hirst, M. J. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Second Edition. Springer Secţiunea 1.4. Trails, Circuits, Paths, and Cycles.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire

4/29/2011. Arbori minimi de acoperire Arbori minimi de acoperire 1 Planul cursului Arbori minimi de acoperire Definitie Utilizare Algoritmi Operatii cu multimi disjuncte Structuri de date pentru reprezentarea multimilor disjuncte Algoritmi

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

GRAFURI ORIENTATE ASPECTE TEORETICE. 1. NoŃiunea de graf orientat

GRAFURI ORIENTATE ASPECTE TEORETICE. 1. NoŃiunea de graf orientat GRAFURI ORIENTATE ASPECTE TEORETICE. NoŃiunea de graf orientat DefiniŃie. Se numeşte graf orientat o pereche ordonată de mulńimi notată G=(V, U), unde: V : este o mulńime, finită şi nevidă, ale cărei elemente

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de logicǎ matematicǎ

Elemente de logicǎ matematicǎ Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică

Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică a cărţii Reţele de calculatoare, publicată la Casa Cărţii de Ştiinţă, în 2008, ISBN: 978-973-133-377-9. Drepturile de autor

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA Prelegerea 10 Sistemul de criptare RSA 10.1 Descrierea sistemului RSA Sistemul de criptare RSA (Rivest - Shamir - Adlema este în acest moment cel mai cunoscut şi uzitat sistem cu cheie publică 1. Aceasta

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica

Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 4. Scheme de algoritmi Programare dinamica Bibliografie Cormen Introducere în Algoritmi cap.

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

页面

页面 订单 - 配售 Εξετάζουμε την αγορά...luăm în considerare posibi 正式, 试探性 Είμαστε στην ευχάριστη Suntem θέση να încântați δώσουμε την să plasăm παραγγελία μας στην εταιρεία comandă σας pentru... για... Θα θέλαμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Coduri detectoare şi corectoare de erori

Coduri detectoare şi corectoare de erori Coduri detectoare şi corectoare de erori Adrian Atanasiu Editura Universităţii BUCUREŞTI Prefaţă Vă uitaţi la televizor care transmite imagini prin satelit? Vorbiţi la telefon (celular)? Folosiţi Internetul?

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI,

TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, Ariadna Lucia Pletea Liliana Popa TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, IAŞI 999 Cuprins Introducere 5 Câmp de probabilitate 7. Câmp finit de evenimente...........................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Seriile de timp stationare intuitiv inseamna medie si deviatie standard constante in timp. In aplicatii insa intalnim de obicei marimi nemarginite

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia

Διαβάστε περισσότερα