Rădăcini primitive modulo n

Transcript

1 Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010

2 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive. Folosind niste rezultate preliminare (date in capitolul 1), vom introduce notiunea de radacina primitiva si o vom studia in mod detaliat. Vom caracteriza numerele care admit radacini primitive si vom da structura generala a grupului unitatilor inelului de resturi modulo n. De asemenea, vom enunta conjectura lui Artin referitoare la radacini primitive si pe baza ei vom formula si demonstra un rezultat oarecum asemanator (dar mult, mult mai slab). In ultimul capitol vom vedea si niste aplicatii diverse ale teoriei prezentate. Astfel, vom avea o aplicatie de natura teoretica (studiul congruentelor binome), aplicatii de natura problemistica (folosirea radacinilor primitive in solutia unor probleme) si chiar si o aplicatie care poate fi considerata curiozitate matematica sau matematica distractiva (numere ciclice si legatura lor cu radacinile primitive). 2

3 Cuprins 1 Rezultate preliminarii Divizibilitate Congruente Resturi patratice Radacini primitive Ordinul unui numar modulo n Radacini primitive Existenta radacinilor primitive modulo numere prime Existenta radacinilor primitive in cazul general Structura grupului U(Z n ) Calculul radacinilor primitive Inegalitati referitoare la radacini primitive. Conjectura lui Artin Exemple si aplicatii Congruente binome Probleme in care apar radacinile primitive Numere ciclice

4 1 Rezultate preliminarii In acest prim capitol vom prezenta niste rezultate generale pe care le vom aplica in cursul acestei lucrari. In mare parte ele vor fi enuntate fara demonstratie, sau va fi data ideea generala a demonstratiei. Pentru demonstratii complete, se pot consulta [2] sau [4]. In prima parte a acestui capitol vom incepe prin a defini relatia de divizibilitate pe Z si prin a enunta teorema fundamentala a aritmeticii. Urmeaza enuntul teoremeii impartirii cu rest, definitia celui mai mare divizor comun, si algoritmul lui Euclid. La finalul primei parti se defineste notiunea de functie aritmetica, si se dau cateva exemple de functii aritmetice clasice (d, σ, µ, ϕ), formulele lor de calcul si cateva proprietati ale lor, alaturi cu teorema de inversiune a lui Möbius. In a doua parte a acestui capitol vom studia relatia de congruenta modulo n pe Z si proprietati ale acesteia. Incepem cu teorema chineza a resturilor si teoremele lui Euler si Fermat. Apoi vom studia ecuatii cu congruente, demonstrand la final teorema lui Lagrange referitoare la numarul solutiilor unei congruente polinomiale modulo un numar prim. In cea de a treia parte a acestui capitol vom trata resturile patratice modulo un numar prim. Incepem prin a defini simbolul lui Legendre si a da niste proprietati ale sale, apoi enuntam criteriul lui Euler, lema lui Gauss, si, in final, enuntam legea de reciprocitate patratica a lui Gauss. 4

5 1.1 Divizibilitate Definitia (Divizibilitate). Fie a si b doua numere intregi. Vom spune ca a divide b, sau, echivalent, b este divizibil cu a daca exista un numar intreg c astfel incat b = ac. Vom nota acest fapt prin a b sau b.a. Definitia (Numere ireductibile). Fie p 2 un numar natural. Spunem ca p este ireductibil daca dintr-o relatie de forma p = ab rezulta a = 1 sau b = 1. Data definitia numerelor ireductibile, putem acum sa enuntam (fara demonstratie) urmatorul rezultat: Teorema (Teorema fundamentala a aritmeticii). Oricare ar fi numarul natural n > 1, exista numarul natural s si numerele ireductibile p 1,..., p s astfel incat n = p 1 p 2... p s. In plus, aceasta scriere este unica pana la o permutare a termenilor, adica daca n = p 1 p 2... p s = q 1 q 2... q t cu (p i ) 1 i s si (q j ) 1 j t sunt numere ireductibile, si in plus p 1 p 2... p s si q 1 q 2... q t, atunci s = t si p i = q i pentru orice 1 i s. Corolarul Oricare ar fi numarul natural n > 1, exista numerele ireductibile p 1,..., p s distincte oricare doua si numerele naturale nenule a 1,... a s astfel incat n = p a 1 1 pa pas s. In plus, aceasta scriere este unica pana la o permutare a indicilor. De fapt, cand ne referim la ultimele doua rezultate, numim numerele ireductibile ce apar in aceste rezultate ca fiind prime. Mai jos vom enunta propozitia ce leaga cele doua notiuni. Definitia (Numere prime). Fie p 2 un numar natural. Spunem ca p este prim daca din p ab rezulta ca p a sau p b. Propozitia Un numar natural este ireductibil daca si numai daca este prim. Vom continua prin a enunta o alta teorema importanta, care sta la baza multor rezultate care vor fi enuntate sau demonstrate pe parcurs. Teorema (Teorema impartirii cu rest). Fie a si b doua numere intregi, iar b nenul. Atunci exista si sunt unice numerele intregi q si r astfel incat a = bq + r si 0 r < b. 5

6 Demonstraţie. Vom da doar ideea demonstratiei: consideram multimea S = { a bk k N, a bk 0 } N. Aceasta multime are un cel mai mic element, iar acela este chiar r. Definitia Numerele q si r din teorema de mai sus se numesc catul respectiv restul impartirii lui a la b. In cele ce urmeaza, vom defini o alta notiune foarte des intalnita, cea de cel mai mare divizor comun, si vom prezenta algoritmul lui Euclid pentru determinarea acestuia, efectiv aplicand teorema anterioara. Definitia (Cel mai mare divizor comun). Fie a si b doua numere intregi. Numarul d se numeste cel mai mare divizor comun al numerelor a si b si se noteaza (a, b) daca satisface urmatoarele proprietati: i) d a si d b ii) Daca d este un numar ce satisface d a si d b, atunci d d. iii) d > 0 Definitia (Numere prime intre ele). Numerele a si b se numesc prime intre ele sau relativ prime daca (a, b) = 1. Existenta, unicitatea si un mod de calcul pentru cel mai mare divizor comun sunt toate date de urmatorul rezultat ce poarta numele de algoritmul lui Euclid. Teorema (Algoritmul lui Euclid). Fie a si b doua numere intregi, iar b nenul. Vom construi sirul r 0, r 1, r 2,..., cu r 0 = a, r 1 = b iar r n+1 va fi restul impartirii lui r n 1 la r n (conform teoremei 1.1.7); evident r n+1 va fi definit doar pentru r n > 0. Atunci ultimul element nenul din sir este chiar (a, b). Demonstraţie. Din nou vom da doar ideea demonstratiei: din vom avea ca r 0 > r 1 >... si cum nu putem avea un sir infinit strict descrescator de numere naturale rezulta ca exista un indice n pentru care r n > 0, r n+1 = 0. Se poate arata ca r n r n 1, r n r n 2, si asa mai departe, urmand ca r n r 1 = b, r n r 0 = a. Apoi daca d a, d b, se poate arata inductiv ca d r 2, d r 3, si asa mai departe, urmand ca d r n. Astfel, r n = (a, b). 6

7 Teorema Fie a si b doua numere intregi si (a, b) = d. numerele intregi x si y astfel incat ax + by = d. Atunci exista Demonstraţie. Ideea demonstratiei este sa luam cel mai mic element al multimii Se arata ca acest element este chiar d. S = {ax + by x, y Z, ax + by > 0} N. Corolarul Fie a si b doua numere intregi. Atunci a si b sunt prime intre ele daca si numai daca exista numerele intregi x si y astfel incat ax + by = 1. In cele ce urmeaza vom defini cateva functii artimetice clasice si formulele lor de calcul, avand la baza scrierea din corolarul Prin functie aritmetica intelegem o functie avand ca domeniu de definitie multimea N a numerelor naturale nenule. Definitia (Numarul divizorilor lui n). Fie n 2 un numar natural. Vom nota cu d(n) numarul divizorilor pozitivi ai lui n. Daca n = p a pa k k, atunci are loc formula d(n) = (a 1 + 1)(a 2 + 1)... (a k + 1). Demonstraţie. Ideea demonstratiei este ca orice divizor pozitiv al lui n se scrie sub forma p b p b k k, cu 0 b i a i pentru orice 1 i k. Definitia (Suma divizorilor lui n). Fie n 2 un numar natural. Vom nota cu σ(n) suma divizorilor pozitivi ai lui n. Daca n = p a pa k k, atunci are loc formula σ(n) = pa p pa k+1 k 1 p k 1. Demonstraţie. Ideea demonstratiei are in vedere calculul sumei tuturor divizorilor lui n scrisi sub forma din demonstratia teoremei anterioare: p b p b k b 1 a 1,...,b k a k k = k i=1 ( 1 + pi p a ) i i, iar membrul drept se poate reduce imediat la forma dorita. Definitia (Functia lui Möbius). Functia lui Möbius se defineste astfel: µ : N Z, unde µ(n) este dat de: 7

8 1, daca n = 1; µ(n) = 0, daca exista p prim astfel incat p 2 n; ( 1) k, daca n = p 1 p 2... p k cu p 1, p 2,..., p k prime distincte. Referitor la functia lui Möbius vom enunta urmatoarea teorema: Teorema (Teorema de inversiune a lui Möbius). Fie f : N C o functie aritmetica. Definim F : N C ca fiind F (n) = f(d). Atunci are loc identitatea d n f(n) = ( n ) F (d) µ = ( n ) µ(d) F. d d d n d n Definitia (Indicatorul lui Euler). Fie n un numar natural nenul. Vom nota cu ϕ(n) numarul numerelor mai mici decat n si relativ prime cu n. Vom da si doua rezultate foarte importante referitoare la functia ϕ: Propozitia Fie n un numar natural nenul. Atunci n = d n ϕ(d). { 1 Demonstraţie. Vom prezenta si o demonstratie aici. Fie A = n, 2 n,..., n } multimea fractiilor mai mici sau egale cu 1, avand numitorul n. Mai departe, vom n nota cu A d multimea fractiilor din A care in forma ireductibila au numitorul d. Are rost sa definim A d doar pentru d n, iar multimile A d cand d parcurge toti divizorii lui n formeaza o partitie a lui A. Cum { k A d = n exista l, cu 1 l d si (l, d = 1) astfel incat k n = l d se poate observa usor ca A d = ϕ(d). Asadar n = A = d n demonstratia se incheie. }, A d = d n ϕ(d), si Propozitia Fie n = p a pa k k un numar natural nenul scris conform corolarului Atunci are loc formula: ) ) ) ϕ(n) = n (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk. Demonstraţie. Ideea demonstratiei aici este sa aplicam teorema de inversiune a lui Möbius (teorema ) pentru f(n) = ϕ(n). Folosind propozitia anterioara, rezulta ca F este functia identitate, deci: 8

9 si mai departe se calculeaza direct. ϕ(n) = d n µ(d) n d, Vom incheia aceasta prima parte cu un rezultat ce caracterizeaza functiile d(n), σ(n), ϕ(n). Definitia O functie aritmetica f se numeste multiplicativa daca pentru orice m, n prime intre ele are loc relatia f(mn) = f(m) f(n). Propozitia Functiile d, σ si ϕ definite anterior sunt functii aritmetice multiplicative. 9

10 1.2 Congruente Fie n un numar natural nenul si a, b doua numere intregi. Vom spune ca a este congruent cu b modulo n daca n a b. Vom nota acest fapt prin a b (mod n). Relatia de congruenta astfel definita este o relatie de echivalenta. Vom nota multimea claselor de echivalenta cu Z n. Clasa de echivalenta corespunzatoare lui a este â = {a + nk k Z}. Vom numi aceasta relatie de echivalenta congruenta modulo n. Definitia (Sistem complet de resturi). Un sistem de reprezentanti pentru relatia de congruenta modulo n se numeste sistem complet de resturi modulo n. Definitia (Sistem redus de resturi). Fie S un sistem complet de resturi modulo n. Vom considera R = {s S (s, n) = 1} corespunzator reprezentantilor care sunt relativ primi cu n. Un astfel de R se numeste sistem redus de resturi modulo n. Teorema (Teorema chineza a resturilor). Fie n 2 un numar natural, m 1, m 2,..., m n numere intregi prime intre ele oricare doua si a 1, a 2,..., a n numere intregi oarecare. Atunci exista o solutie pentru sistemul de congruente: x a 1 (mod x 1 ) x a 2 (mod x 2 ). x a n (mod x n ) Demonstraţie. Ideea demonstratiei este urmatoarea: fie M = m 1 m 2... m n si M i = M/m i pentru orice i. Se arata ca (m i, M i ) = 1, si apoi, conform corolarului exista numerele r i, s i astfel incat r i m i + s i M i = 1. Notand e i = s i M i, se arata ca n x = a i e i este solutie a sistemului de congruente. i=1 Putem observa ca (Z n, +, ) este un inel comutativ, unde operatiile + si sunt cele naturale : â + b = â + b si â b = â b. Folosind notatia standard, fie U(Z n) multimea elementelor inversabile din Z n. Se poate arata (folosind corolarul ) ca, de fapt, clasele din U(Z n ) corespund numerelor ce sunt prime cu n, altfel spus U(Z n ) = {â (a, n) = 1}. Din aceasta scriere rezulta ca U(Z n ) = ϕ(n). Mai mult, U(Z n ) formeaza un grup cu operatia de inmultire. De aici urmeaza o consecinta imediata: 10

11 Teorema (Teorema lui Euler). Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Atunci a ϕ(n) 1 (mod n). Demonstraţie. Ideea demonstratiei are la baza grupul ( U(Z n ), ). Ordinul acestui grup este chiar ϕ(n), deci (â) ϕ(n) = 1. Corolarul (Teorema lui Fermat). Fie p un numar prim si a un numar intreg nedivizibil cu p. Atunci a p 1 1 (mod p). Definitia Fie n 2 un numar natural si a un numar prim cu n. Numim ordinul lui a modulo n cel mai mic numar k ce satisface congruenta a k 1 (mod n). Din teorema lui Euler (1.2.4), astfel de numere exista pentru orice a prim cu n, deci definitia are sens. In capitolul urmator vom relua aceasta notiune si o vom studia in amanunt, aici am dat doar definitia. In continuare, ne vom indrepta atentia acum asupra ecuatiilor de forma f(x) 0 (mod n). Daca vom fixa S ca fiind un sistem complet de resturi modulo n, prin numarul solutiilor ecuatiei f(x) 0 (mod n) ne referim la numarul solutiilor din S ale acestei ecuatii. Acest numar nu depinde de alegerea lui S, deci in general vom considera S = {0, 1,..., n 1}. Propozitia Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Atunci ecuatia ax b (mod n) are o solutie unica modulo n, si aceasta este x = b a ϕ(n) 1. Demonstraţie. Ideea demonstratiei are la baza teorema lui Euler (1.2.4), se poate vedea clar ca ax b (mod n). Apoi se arata ca orice doua solutii x, y satisfac x y (mod n). Corolarul Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg, astfel incat (a, n) = d. Atunci ecuatia ax b (mod n) are solutii daca si numai daca d b, iar numarul solutiilor in acest caz este exact d. Continuam cu un rezultat important in legatura cu numarul solutiilor unei ecuatii polinomiale de forma f(x) 0 (mod p), unde f(x) = a n X n a 1 X + a 0, iar p este un numar prim. 11

12 Teorema (Teorema lui Lagrange). Fie f(x) = a n X n a 1 X + a 0 un polinom si p un numar prim care nu divide a n. Atunci congruenta f(x) 0 (mod p) are cel mult n solutii. Demonstraţie. Vom da si o demonstratie, bazata pe inductie dupa gradul lui f. Pentru n = 1, ajungem la ecuatia a 1 x a 0 (mod p), cu (a 1, p) = 1 (din ipoteza). Conform propozitiei de mai sus, aceasta ecuatie are exact o solutie, deci pasul initial de inductie este demonstrat. Fie acum n 2 si x 0 o solutie a congruentei f(x) 0 (mod p). Atunci putem scrie f(x) = (X x 0 )g(x) + f(x 0 ). Cum f(x 0 ) 0 (mod p), congruenta f(x) 0 (mod p) este echivalenta cu congruenta (x x 0 )g(x) 0 (mod p). Dar p este prim, deci daca x este o solutie a ecuatiei f(x) 0 (mod p), atunci avem ca x x 0 (mod p) sau g(x) 0 (mod p). Avand in vedere sensul numarului de solutii a unei ecuatii (explicat mai sus), solutiile cu x x 0 (mod p) reprezinta de fapt aceeasi solutie. Ramane sa ne uitam la solutiile care satisfac g(x) 0 (mod p); din definitia lui g, acesta are gradul n 1, deci conform ipotezei de inductie, el va avea cel mult n 1 solutii. Deci ecuatia f(x) 0 (mod p) are cel mult n solutii, si astfel demonstratia se incheie. Aplicand aceasta teorema pentru f(x) = X p 1 1 (X 1)(X 2)... (X p + 1), se obtine o alta teorema clasica: Teorema (Wilson). Fie p un numar prim. Atunci (p 1)!+1 0 (mod p). Demonstraţie. Ideea demonstratiei este ca polinomul f(x) amintit mai sus are gradul cel mult p 2, dar are p 1 solutii (toate numerele de la 1 la p 1). Din teorema lui Lagrange va trebui ca toti coeficientii lui f sa fie divizibili cu p, in particular si termenul liber al acestuia. 12

13 1.3 Resturi patratice Fie p un numar prim si a un numar intreg nedivizibil prin p. Spunem ca a este rest patratic modulo p daca congruenta x 2 a (mod p) are solutii. Daca a nu este rest patratic modulo p, atunci il vom numi nerest patratic modulo p. Definitia (Simbolul lui Legendre). Fie p 3 un numar prim, si a un numar intreg nedivizibil prin p. Vom defini simbolul lui Legendre al lui a in raport cu p, ( a ) notat, astfel: b ( ) a = p 1, daca a este rest patratic modulo p; 1, daca a nu este rest patratic modulo p. Se observa ca daca ecuatia x 2 a (mod p) are solutii, atunci ea are exact doua (daca α este solutie, ( atunci ) si α este solutie). Simbolul lui Legendre poate fi a extins la Z definind = 0 pentru acei a divizibili prin p. Se vede imediat ca p ( ) ( ) a b daca a b (mod p), atunci =. p p Propozitia Fie p un numar prim impar. Atunci intr-un sistem redus de resturi modulo p exista exact p 1 2 resturi patratice modulo p si implicit exact p 1 2 neresturi patratice modulo p. ( ) 2 Demonstraţie. Ideea demonstratiei este sa aratam ca 1 2, 2 2,..., p 1 2 sunt resturi patratice distincte modulo p, si ca orice alt rest patratic modulo p se afla printre ele. Pentru a determina daca un numar a este sau nu rest patratic modulo p, este util urmatorul criteriu: Teorema (Criteriul lui Euler). ( ) Fie p un numar prim impar si a un numar a intreg nedivizibil prin p. Atunci a p 1 2 (mod p). p Demonstraţie. Ideea demonstratiei este ca solutiile ecuatiei x p (mod p) sunt chiar resturile patratice modulo p si numai acestea, in numar de exact p 1 2. Corolarul Fie p un numar prim impar. Atunci: 13

14 ( ) 1 1, daca p 1 (mod 4); = p 1, daca p 3 (mod 4). Tot folosind criteriul lui Euler se poate arata si urmatoarea proprietate a simbolului lui Legendre: Propozitia ( ) Fie p( ) 3 un( numar ) prim si a, b doua numere intregi nedivizibile ab a b prin p. Atunci =. p p p Demonstraţie. Demonstratia este imediata: ( ) ab p (ab) p 1 2 a p 1 2 b p 1 2 ( ) a p ( ) b p (mod p), si cum simbolul lui Legendre ia valorile ±1 si p 3, concluzia e evidenta. ( ) a Vom da acum un alt criteriu pentru determinarea lui. Fie p { } p 1 p 1 S =,..., 1, 1,..., 2 2 sistemul celor mai mici resturi modulo p. Se observa ca S este un sistem redus de resturi modulo p. Notam S + si S submultimile lui S formate din elemente pozitive respectiv negative. Fie acum a un numar intreg nedivizibil prin p, si l S +. Atunci exista un unic a l S astfel incat a l a l (mod p). Introducem urmatoarea notatie: Atunci are loc urmatorul rezultat: { }. γ a = l l S + si a l S Lema (Lema lui Gauss). Fie p un numar prim( impar ) si a un numar intreg a nedivizibil prin p. Fie γ a cel definit mai sus. Atunci = ( 1) γa. p Demonstraţie. Ideea demonstratiei aici este sa consideram a 1, a 2,..., a p 1 S + 2 astfel incat a j ±a j (mod p), pentru orice jins +. Numarul congruentelor cu semn minus este chiar γ a. Se poate arata ca definitia are sens, si ca aplicatia j a j este o bijectie de la S + la S +. Astfel, j = a j. Deci: j S + j S + ( ) p 1! = ( ) a j ( 1) γa (a j) ( 1) γa a p 1 p 1 2! (mod p), 2 2 j S + j S + 14

15 si apoi din criteriul lui Euler (1.3.3) rezulta concluzia. Cel mai important rezultat referitor la resturi patratice este legea de reciprocitate patratica a lui Gauss. Vom enunta mai jos teorema, fara demonstratie: Teorema (Legea de reciprocitate patratica). Fie p 3 un numar prim. Atunci sunt adevarate urmatoarele: 1) ( ) 1 = ( 1) p 1 2 ; p 2) ( ) 2 = ( 1) p2 1 8 ; p 3) daca q 3 este un numar prim diferit de p, atunci: ( ) p q ( ) q = ( 1) p 1 2 q 1 2. p 15

16 2 Radacini primitive In acest capitol vom prezenta teoria referitoare la radacini primitive. In prima parte vom studia amanuntit proprietatile ordinului unui numar modulo n, multe din propozitii fiind de baza pentru teoria care urmeaza. In cea de-a doua parte vom introduce notiunea de radacina primitiva si vom vedea cateva exemple pentru numere mici. De asemenea, incepem sa descoperim primele proprietati ale acestora. In partea a treia vom demonstra teorema foarte importanta cum ca orice numar prim admite o radacina primitiva. Mai departe, in partea a patra, vom extinde acest rezultat si vom caracteriza complet toate numerele ce admit radacini primitive, si anume 2, 4, p k si 2p k pentru p prim impar si k natural. In partea a cincea vom analiza ce se intampla modulo 2 k pentru k 3. Vom vedea ca in acest caz nu exista radacini primitive, dar grupul U ( Z 2 k) are ca generatori pe 1 si 5. Stiind acest rezultat vom putea caracteriza structura grupului U(Z n ) pentru orice n natural. In partea a sasea vom discuta despre calculul radacinilor primitive modulo numere prime vazand ca in general determinarea unei radacini primitive modulo p este o problema dificila. De asemenea, vom prezenta un algoritm simplu (dar nu si eficient) pentru determinarea celei mai mici radacini primitive modulo p. In partea a saptea vom prezenta anumite rezultate referitoare la radacini primitive, niste margini inferioare si superioare, si cel mai notabil conjectura lui Artin. Pornind de la enuntul conjecturii, vom formula un rezultat mult mai slab (dar totusi interesant) si il vom demonstra. 16

17 2.1 Ordinul unui numar modulo n In capitolul anterior am definit notiunea de ordin al unui numar intreg modulo un numar dat. Mai jos vom studia pe larg aceasta notiune. Fie n 2 un numar natural fixat si a un numar intreg prim cu n. Sa incepem prin a defini multimea: E = { k N a k 1 (mod n) }. Conform teoremei lui Euler (1.2.4), ϕ(n) E, deci E. In concluzie, E are un cel mai mic element - acela se va numi ordinul lui a modulo n. Astfel, am reluat definitia data in capitolul anterior. Vom nota ordinul lui a modulo n cu ord n (a). Drept exemple, sa luam n = 7 si sa calculam ord 7 (2) si ord 7 (3). Pentru a = 2, avem (mod 7), (mod 7), (mod 7), deci ord 7 (2) = 3. Daca luam a = 3, vom avea (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), asadar ord 7 (3) = 6. Pentru a caracteriza multimea E introdusa mai sus (si implicit toate solutiile congruentei a x 1 (mod n) cu a si n date), vom da urmatoarea teorema: Teorema Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Atunci a k 1 (mod n) daca si numai daca ord n (a) divide k. Demonstraţie. = : Fie k astfel incat a k 1 (mod n). Sa notam o = ord n (a). Conform teoremei impartirii cu rest (1.1.7), exista numerele q si r astfel incat k = qo + r, cu 0 r < o. Vom arata ca a r 1 (mod n). Intr-adevar: 1 a k a qo+r (a o ) q a r a r (mod n), deoarece a o 1 (mod n). In concluzie, a r 1 (mod n). Dar r < o, deci trebuie sa avem r = 0, altfel am contrazice definitia lui o = ord n (a). Asadar o r. = : Din nou notam o = ord n (a) si presupunem ca o k. Atunci k = oq, si rezulta imediat ca a k (a q ) o 1 (mod n). 17

18 Ca sa continuam exemplul de mai sus, sa luam tot n = 7 si a = 2. Am vazut ca ord 7 (2) = 3, asadar putem aplica teorema de mai sus pentru a deduce ca (mod 7), dar (mod 7). O consecinta imediata a teoremei de mai sus este urmatorul rezultat: Corolarul Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Atunci ord n (a) divide ϕ(n). Demonstraţie. Conform teoremei lui Euler (1.2.4), avem ca a ϕ(n) Aplicand teorema de mai sus, rezulta ca ord n (a) divide ϕ(n). 1 (mod n). Putem utiliza acest corolar pentru a calcula valori ale ordinului pentru numere mici. Sa luam spre exemplu n = 17 si a = 5. Cum divizorii lui ϕ(17) = 16 sunt 1, 2, 4, 8 si 16, din corolarul anterior acestea sunt toate valorile posibile ale lui ord 17 (5). Avem (mod 17), (mod 17), (mod 17), (mod 17), (mod 17), deci ord 17 (5) = 16. Vom da acum un alt rezultat important care rezulta imediat din teorema 2.1.1: Teorema Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Atunci a i a j (mod n) daca si numai daca i j (mod ord n (a)). Demonstraţie. Sa presupunem ca i > j. Atunci a i a j (mod n) daca si numai daca a i j a j a j (mod n), daca si numai daca a i j 1 (mod n). Folosind teorema 2.1.1, acest fapt este echivalent cu ord n (a) i j, adica i j (mod ord n (a)). Sa luam un exemplu: fie n = 14 si a = 3. Avem ca ϕ(14) = 6, deci ord 14 (3) poate fi 1, 2, 3 sau 6. Este evident ca ordinul nu poate fi 1, si observam ca (mod 14), (mod 14), (mod 14), deci ord 14 (3) = 6. De aici putem trage concluzia ca (mod 14), deoarece 6 divide De asemenea, putem trage concluzia ca , deoarece 6 nu divide

19 Vom incheia aceasta parte cu o teorema care ne permite sa calculam ordinul puterilor lui a stiind ordinul lui a. Teorema Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Notam t = ord n (a), si fie u un numar natural. Atunci ord n (a u ) = t/(t, u). Demonstraţie. Notam s = ord n (a u ) si d = (t, u). Vom arata ca s si t/d se divid reciproc, si in concluzie ele vor fi egale. Cum (a u ) t/d (a t ) u/d 1 (mod n) (deoarece u/d este un numar intreg), rezulta din teorema ca t/d divide s. Pe de alta parte, a us (a u ) s 1 (mod n), deci tot conform teoremei rezulta ca us divide t. Cum d = (t, u), rezulta ca s divide t/d. Din cele doua relatii de mai sus rezulta ca s = t/d si demonstratia se incheie. 19

20 2.2 Radacini primitive Dupa cum am vazut in capitolul anterior, pentru n 2 natural si a intreg prim cu n, intotdeauna vom avea ord n (a) = ϕ(n). Ne punem acum intrebarea daca exista numere a care sa aiba ordinul modulo n chiar egal cu ϕ(n). Vom vedea ca astfel de numere a exista doar pentru anumite valori ale lui n. De asemenea, intr-o astfel de situatie, primele ϕ(n) puteri ale lui a vor da un sistem redus de resturi modulo n. Sa dam deci definitia: Definitia Fie n 2 un numar natural si a un numar intreg prim cu n. Atunci a se numeste radacina primitiva modulo n daca ord n (a) = ϕ(n). Dupa cum am vazut intr-un exemplu anterior, ord 7 (3) = 6 = ϕ(7). Deci 3 este o radacina primitiva modulo 7. 2 nu este o radacina primitiva modulo 7, deoarece ord 7 (2) = 3 ϕ(7). In paragraful anterior am mentionat ca doar anumite valori ale lui n admit astfel de radacini primitive. In partile cele ce urmeaza, vom caracteriza complet toate numerele n care admit radacini primitive. Pentru moment, sa luam insa exemplul n = 8. Numerele intregi mai mici decat 8 care sunt relativ prime cu acesta sunt 1, 3, 5 si 7. Vedem ca ord 8 (1) = 1 si ord 8 (3) = ord 8 (5) = ord 8 (7) = 2, dar ϕ(8) = 4. Asadar putem concluziona ca nu exista radacini primitive modulo 8. Mai sus am mentionat ca daca r este o radacina primitiva modulo n, atunci primele ϕ(n) puteri ale lui r dau un sistem redus de resturi modulo n. Sa demonstram acest fapt: Teorema Fie n 2 un numar natural care admite radacini primitive si r o radacina primitiva modulo n. Atunci numerele r 1, r 2,..., r ϕ(n) formeaza un sistem redus de resturi modulo n. Demonstraţie. Trebuie sa demonstram doua lucruri: ca fiecare din numerele de mai sus este relativ prim cu n si ca oricare doua sunt necongruente modulo n. Cum (r, n) = 1, rezulta imediat ca (r k, n) = 1 pentru orice k natural, deci toate puterile lui r sunt relativ prime cu n. Sa aratam acum partea a doua, si anume fie 20

21 r i r j (mod n), cu 1 i, j ϕ(n). Din teorema rezulta ca ord n (r) = ϕ(n) divide i j, dar cum i, j sunt intre 1 si ϕ(n), trebuie ca i = j. Asadar oricare doua din puterile lui r din enuntul teoremei sunt necongruente modulo n, si demonstratia se incheie. Sa presupunem in continuare ca n 2 admite radacini primitive. Ne punem acum intrebarea daca exista mai multe radacini primitive, si in caz afirmativ, care este numarul lor (bineinteles, referindu-ne la valori distincte modulo n). Folosind teorema anterioara si teorema din partea precedenta, vom raspunde la aceasta intrebare. Incepem cu urmatorul rezultat: Propozitia Fie n 2 un numar natural si r o radacina primitiva modulo n. Atunci r k este, la randul sau, radacina primitiva modulo n daca si numai daca ( k, ϕ(n) ) = 1. Demonstraţie. Fie k natural. Vom folosi teorema 2.1.4: cum ord n (r) = ϕ(n), ord n (r k ) = ϕ(n)/ ( k, ϕ(n) ). Pentru ca r k sa fie radacina primitiva modulo n, trebuie sa aiba ordinul ϕ(n), si concluzia este clara. Folosind propozitia de mai sus si teorema anterioara (2.2.2), vom putea da urmatorul rezultat: Teorema Fie n 2 un numar natural ce admite cel putin o radacina primitiva. Atunci exista exact ϕ ( ϕ(n) ) radacini primitive modulo n, necongruente oricare doua. Demonstraţie. Fie r o radacina primitiva modulo n. Atunci conform teoremei 2.2.2, rezulta ca numerele r, r 2,..., r ϕ(n) formeaza un sistem redus de resturi modulo n. Din propozitia de mai sus stim ca r k este o radacina primitiva modulo n daca si numai daca ( k, ϕ(n) ) = 1. Cum exista exact ϕ ( ϕ(n) ) astfel de intregi k intre 1 si ϕ(n), concluzia rezulta imediat. Sa luam un exemplu. Se poate verifica usor ca 2 este radacina primitiva modulo 11. Cum ϕ(11) = 10, aplicand teorema anterioara rezulta ca exista exact ϕ(10) = 4 radacini primitive modulo 11, si acestea sunt chiar 2 1, 2 3, 2 7, 2 9, adica 2, 8, 7, 6 respectiv. 21

22 2.3 Existenta radacinilor primitive modulo numere prime Pana acum am dat anumite proprietati ale radacinilor primitive in cazul in care ele exista. Sa analizam acum in ce cazuri exista astfel de radacini primitive. Este natural sa incepem cu numerele prime. Pe parcursul acestei parti vom lucra deci modulo p unde p este un numar prim. Rezultatul fundamental pe care il vom demonstra este ca orice numar prim admite radacini primitive. Vom incepe cu urmatorul rezultat: Teorema Fie p un numar prim si d un divizor al lui p 1. Atunci ecuatia x d 1 (mod p) are exact d solutii necongruente modulo p. Demonstraţie. Notam f(x) = X d 1. Fie p 1 = de. Atunci avem ca ( ) X p 1 1 = X de 1 = f(x) X d(e 1) + X d(e 2) = f(x)g(x), unde deg g = p 1 d. Conform teoremei lui Fermat (1.2.5), polinomul X p 1 are exact p 1 radacini necongruente modulo p. In plus, din descompunerea data mai sus, orice radacina a lui X p 1 este o radacina fie a lui f fie a lui g. Aici va interveni teorema lui Lagrange (1.2.9) demonstrata in capitolul 1: g are cel mult p 1 d radacini necongruente modulo p. In concluzie, trebuie ca f sa aiba cel putin d radacini necongruente modulo p, dar cum deg f = d, rezulta ca ele sunt exact d la numar. Avand acest rezultat, impreuna cu propozitia , putem deduce urmatoarea teorema: Teorema Fie p un numar prim si d un divizor al lui p 1. Atunci exista exact ϕ(d) elemente necongruente modulo p de ordin d. Demonstraţie. Pentru un divizor d al lui p 1, vom nota cu N(d) numarul elementelor necongruente modulo p de ordin d. Deoarece 1, 2,..., p 1 formeaza un sistem redus de resturi modulo p si orice element are ca ordin un divizor al lui p 1, rezulta ca Reamintim propozitia : p 1 = d p 1 N(d). 22

23 p 1 = ϕ(d). d p 1 Vom arata acum ca N(d) ϕ(d) pentru orice divizor d al lui p 1. Datorita egalitatii celor doua sume, va trebui ca N(d) = ϕ(d), si deci va rezulta concluzia. Sa aratam acum ca N(d) ϕ(d). Daca N(d) = 0 atunci nu e nimic de demonstrat, deci sa presupunem ca N(d) > 0. Fie asadar z un element de ordin d. Atunci reiese imediat din teorema ca numerele z, z 2,..., z d sunt oricare doua necongruente modulo p. De asemenea, oricare din aceste numere satisface ecuatia x d 1 (mod p). Intr-adevar: (z k ) d (z d ) k 1 (mod p). Conform teoremei 2.3.1, rezulta ca aceste numere sunt toate radacinile necongruente modulo p ale ecuatiei, altfel spus, daca y satisface y d 1 (mod p) atunci y z k (mod p) pentru un anumit k. Cum orice element de ordin d satisface aceasta ecuatie, rezulta ca toate elementele de ordin d se numara printre primele d puteri ale lui a. Folosim acum teorema 2.1.4: ord p (a k ) = k/(k, d), deci a k are ordin d daca si numai daca (k, d) = 1. Cum exista exact ϕ(d) astfel de valori k, rezulta ca in acest caz avem exact ϕ(d) elemente de ordin d. Asadar, avem ca N(d) {0, ϕ(d)}, deci N(d) ϕ(d). Folosind egalitatea sumelor de mai sus, trebuie ca N(d) = ϕ(d) si deci teorema este demonstrata. O consecinta imediata a acestei teoreme este chiar rezultatul pe care l-am amintit la inceputul acestei parti: Corolarul Orice numar prim admite o radacina primitiva. Mai precis, daca p este prim atunci exista exact ϕ(p 1) radacini primitive modulo p. Demonstraţie. Demonstratia este imediata folosind teorema anterioara. Punand d = p 1, rezulta ca exista ϕ(p 1) elemente de ordin p 1 modulo p, iar acestea sunt radacinile primitive modulo p. 23

24 2.4 Existenta radacinilor primitive in cazul general In sectiunea precedenta am demonstrat existenta radacinilor primitive modulo numere prime. In cele ce urmeaza vom caracteriza toate numerele ce admit radacini primitive. Sa incepem cu studiul puterilor de numere prime impare. Primul rezultat pe care il vom demonstra este referitor la patrate de numere prime: Teorema Fie p 3 un numar prim si r o radacina primitiva modulo p. Atunci putem alege o radacina primitiva modulo p 2 dintre r si r + p. Demonstraţie. Stim ca ord p (r) = p 1, deoarece r este radacina primitiva modulo p. Sa notam n = ord p 2(r). Pentru inceput, din corolarul 2.1.2, avem ca n divide ϕ(p 2 ) = p(p 1). Pe de alta parte, cum r n 1 (mod p 2 ), rezulta ca r n 1 (mod p), si cum p 1 = ord p (r), rezulta din teorema ca p 1 divide n. Asadar n este fie p(p 1), fie p 1. n = ϕ(p 2 ). In primul caz demonstratia se incheie, deoarece obtinem Ramane sa analizam cazul n = p 1. Fie s = r + p. Cum s r (mod p), rezulta ca si s este o radacina primitiva modulo p, si efectuand un rationament analog vom obtine ca ord p 2(s) este fie p 1 fie p(p 1). Vom arata ca ord p 2(s) p 1, si de aici va rezulta concluzia. Vom scrie s = r + p si vom dezvolta binomul s p 1 : p 1 ( ) p 1 s p 1 = (r + p) p 1 = r p 1 + (p 1)pr p 2 + p k r p 1 k. k Cum termenii din ultima suma (situati la dreapta lui ) sunt fiecare divizibili cu p 2, vom obtine: k=2 s p 1 r p 1 + (p 1)pr p 2 (mod p 2 ), si apoi tinand cont ca ord p 2(r) = p 1 (conform celor de mai sus) si (p 1)p = p 2 p p (mod p 2 ), vom obtine ca s p 1 1 pr p 2 (mod p 2 ). De aici putem concluziona ca s p 1 1 (mod p 2 ): intr-adevar, sa presupunem contrariul. Atunci am obtine ca pr p 2 0 (mod p 2 ), adica p 2 divide pr p 2, si de aici am avea ca p divide r p 2, adica p divide r, contradictie cu presupunerea ca r este radacina primitiva modulo p (ceea ce implica imediat (r, p) = 1). Asadar, trebuie 24

25 ca s p 1 1 (mod p 2 ), si deci ord p 2(s) nu poate fi p 1. Conform celor de mai sus, ord p 2(s) trebuie deci sa fie p(p 1), adica s este o radacina primitiva modulo p 2, si demonstratia se incheie. Sa luam doua exemple ce ilustreaza cele doua cazuri. Fie p = 7. Am vazut intr-o sectiune anterioara ca r = 3 este o radacina primitiva modulo 7. Folosind ideea din demonstratia anterioara, avem ca ord 49 (3) {6, 42}. Insa (mod 49), deci trebuie ca ord 49 (3) = 42. In concluzie, 3 este o radacina primitiva si modulo 49. Fie acum p = 487 si r = 10. Se poate verifica ca 10 este radacina primitiva modulo 487, si ca (mod ). Asadar, 10 nu este radacina primitiva modulo 487 2, dar, conform teoremei anterioare, trebuie ca 497 = sa fie radacina primitiva modulo Teorema anterioara (2.4.1) demonstreaza existenta radacinilor primitive modulo p 2 pentru orice numar prim impar p. Vom extinde acest rezultat la orice putere naturala a lui p astfel: Teorema Fie p 3 un numar prim si r o radacina primitiva modulo p 2. Atunci r este radacina primitiva modulo p k pentru orice k natural. Demonstraţie. Existenta lui r este demonstrata de teorema 2.4.1, mai mult, stim ca r este radacina primitiva modulo p (deoarece daca s este radacina primitiva modulo p din care se obtine r conform teoremei 2.4.1, atunci fie s = r fie s = r + p r (mod p)). Cum r este radacina primitiva modulo p 2, stim ca r p 1 1 (mod p 2 ). Ne propunem sa aratam prin inductie ca pentru orice k 2 are loc: r pk 2 (p 1) 1 (mod p k ). Sa presupunem pentru moment ca acest rezultat este adevarat. Vom proceda analog cu demonstratia teoremei Fie n = ord p k(r). Conform corolarului avem ca r divide ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Cum r n 1 (mod p), rezulta conform teoremei ca p 1 = ord p (r) divide n. In concluzie, trebuie ca n = p t (p 1), cu t k 1 numar natural. Daca am avea t k 1, atunci trebuie ca t k 2, si deci: r pk 2 (p 1) (r ) p pt (p 1) k 2 t 1 (mod p k ), contradictie cu afirmatia de mai sus. In concluzie, trebuie ca t = p 1, deci ord p k(r) = p k 1 (p 1) = ϕ(p k ), deci r este radacina primitiva modulo p k. 25

26 Ramane acum sa demonstram prin inductie afirmatia de mai sus. Pasul initial de inductie (k = 2) este dat de r p 1 1 (mod p 2 ), ceea ce rezulta din alegerea lui r. Sa presupunem acum ca r pk 2 (p 1) 1 (mod p k ). pentru un k 2. Cum (r, p k 1 ) = 1, din teorema lui Euler (1.2.4) rezulta ca: r pk 2 (p 1) r ϕ(pk 1) 1 (mod p k 1 ). Asadar r pk 2 (p 1) = 1 + dp k 1 pentru un anumit numar intreg d care este prim cu p (altfel am avea p k 1 divide r pk 2 (p 1) 1, contrazicand ipoteza de inductie). Din nou vom ridica la puterea p: r pk 1 (p 1) = ( 1 + dp k 1) p = 1 + dp k + p j=2 ( ) p ( dp k 1) j. j La fel ca in cursul teoremei 2.4.1, vedem ca suma din partea dreapta (termenii situati la dreapta lui ) sunt divizibili cu p k+1. Intr-adevar, vom avea ca j(k 1) k + 1 pentru orice j, k 2, mai putin pentru j = 2, k = 2. In acest caz, vom folosi faptul ca coeficientul binomial ( p 2) este divizibil cu p. In concluzie, r pk 1 (p 1) 1 + dp k (mod p k+1 ), si, cum (d, p) = 1, rationand analog ca in teorema vom obtine ca r pk 1 (p 1) 1 (mod p k+1 ), acest fapt demonstrand inductia, si, totodata, teorema. Dintr-un exemplu anterior am vazut ca r = 3 este radacina primitiva modulo 7, dar si modulo 7 2. Asadar, conform teoremei anterioare, 3 este radacina primitiva modulo 7 k pentru orice k natural. Pana acum am analizat cazul puterilor de numere prime impare. Sa vedem ce se intampla cu puterile lui 2. Vom observa imediat ca 2 si 4 admit radacini primitive, dar dupa cum am vazut intr-un exemplu anterior, 8 nu admite astfel de radacini. Un rezultat mai general este dat de urmatoarea teorema: 26

27 Teorema Daca a este un numar intreg impar si k 3 este un numar natural, atunci a ϕ(2k )/2 = a 2k 2 1 (mod 2 k ). Demonstraţie. Vom folosi inductia. Pentru k = 3, avem de aratat ca a 2 1 (mod 8). Cum a este impar, exista un numar intreg b astfel incat a = 2b + 1. Atunci a 2 = (2b + 1) 2 = 4b 2 + 4b + 1 = 4b(b + 1) + 1, si din faptul ca 2 divide b(b + 1), obtinem ca 8 divide a 2 1, deci a 2 1 (mod 8). Astfel, pasul initial de inductie este demonstrat. Sa presupunem acum ca a 2k 2 1 (mod 2 k ) pentru un k 3 natural. Atunci exista un numar intreg d astfel incat a 2k 2 = 1 + d 2 k. Ridicand la patrat egalitatea anterioara vom obtine: a 2k 1 = 1 + d 2 k+1 + d 2 2 2k 1 (mod 2 k+1 ), si astfel inductia este demonstrata. Aceasta teorema are o consecinta imediata: Corolarul Fie k 3 natural. Atunci nu exista radacini primitive modulo 2 k. Demonstraţie. Presupunem prin absurd ca ar exista o astfel de radacina r, adica ord 2 k(r) = ϕ(2 k ) = 2 k 1. Conform teoremei anterioare, avem insa ca r ϕ2k /2 1 (mod 2 k ), contradictie cu definitia ordinului. Deci nu pot exista astfel de radacini primitive. Desi ultimul rezultat afirma ca nu exista radacini primitive modulo 2 k, exista insa elemente care au ordinul ϕ(2 k )/2 (care este cel mai mare ordin posibil pe care l-ar putea avea). Acest fapt este dat de teorema urmatoare: Teorema Fie k 3 un numar natural. Atunci are loc urmatoarea egalitate: 27

28 ord 2 k(5) = ϕ(2 k )/2 = 2 k 2. Demonstraţie. Conform teoremei avem ca 5 2k 2 1 (mod 2 k ), deci ord 2 k(5) divide 2 k 2. Daca am arata ca ord 2 k(5) nu divide 2 k 3, atunci am terminat, deoarece ar urma ca ord 2 k(5) = 2 k 2. Pentru aceasta, vom folosi teorema 2.1.1: vom arata ca: 5 2k 3 1 (mod 2 k ). De fapt, vom arata un rezultat mai tare, si anume 5 2k k 1 (mod 2 k ). Vom folosi inductia. Cazul k = 3 se verifica imediat: (mod 8). Presupunem acum relatia de mai sus adevarata pentru un k 3 natural. Atunci exista un numar intreg d astfel incat: 5 2k 3 = (1 + 2 k 1 ) + d 2 k. Ridicand la patrat, vom obtine: 5 2k 2 = (1 + 2 k 1 ) 2 + 2(1 + 2 k 1 )d 2 k + d 2 2 2k. Mai departe 5 2k 2 (1 + 2 k 1 ) k + 2 2k k (mod 2 k+1 ), si pasul de inductie este demonstrat. Astfel, am aratat ca ord 2 k(5) = ϕ(2 k )/2 si demonstratia se incheie. Cu toate rezultatele pana acum am determinat ca orice putere a unui numar prim impar admite o radacina primitiva, in timp ce singurele puteri ale lui 2 ce admit radacini primitive sunt 2 si 4. Acum vom incerca sa vedem ce se intampla in cazul numerelor care sunt produse de cel putin doua numere prime. Vom incepe prin a da un rezultat care caracterizeaza numerele ce nu admit radacini primitive (in afara de puterile lui 2) Teorema Fie n un numar natural care nu este putere a unui numar prim si nici dublul unei puteri a unui numar prim. Atunci n nu admite radacini primitive. 28

29 Demonstraţie. Il vom descompune pe n in factori primi. Fie deci: n = p a 1 1 pa pa k k. Presupunem prin absurd ca n admite o radacina primitiva r. Atunci (r, n) = 1 si ord n (r) = ϕ(n). De aici rezulta ca (r, p a i i ) = 1 pentru orice 1 i k, si conform teoremei lui Euler (1.2.4) rezulta ca r ϕ(pa i i ) 1 (mod p a i i ). Fie U cel mai mic multiplu comun al numerelor ϕ(p a 1 1 ), ϕ(pa 2 2 ),..., ϕ(pa k k ). Cum ϕ(p a i i ) divide U, rezulta conform teoremei ca r U 1 (mod p a i i ), si cum numerele p a i i sunt prime intre ele rezulta ca r U 1 (mod n), si mai departe, din nou aplicand teorema 2.1.1, rezulta ca ϕ(n) divide U. Dar numerele p a i i deci sunt prime intre ele iar ϕ este o functie aritmetica multiplicativa, ϕ(n) = ϕ(p a 1 1 ) ϕ(pa 2 2 )... ϕ(pa k k ), deci produsul numerelor ϕ(p a i i ) divide cel mai mic multiplu comun al lor. Acest lucru este posibil doar cand cele doua valori sunt egale, adica atunci cand toate numerele ϕ(p a i i ) sunt prime intre ele. Dar ϕ(p m ) = p m 1 (m 1), iar acest numar este par pentru orice p 3 prim, sau in cazul p = 2 si m 2. In concluzie, printre p i nu poate aparea decat un singur factor prim impar. Cum am presupus ca n nu este putere a unui numar prim, n are cel putin doi factori primi distincti, deci al doilea factor prim trebuie sa fie 2. Dar exponentul la care apare 2 trebuie sa fie chiar 1 conform celor spuse anterior. In concluzie n = 2p m, si acest fapt contrazice ipoteza ca n sa nu fie dublul unei puteri a unui numar prim. Asadar am obtinut o contradictie, deci nu poate exista o radacina primitiva modulo n, si demonstratia se incheie. Deja am epuizat aproape toate cazurile. Am vazut ca numerele 2, 4, p k cu p 3 prim admit radacini primitive, numerele 2 k pentru k 3 nu admit radacini primitive, si 29

30 orice numar care nu intra in categoria celor deja mentionate si nu este de forma 2p k cu p 3 prim nu admite radacini primitive. Ramane, deci, sa studiam numerele de forma 2p k. Teorema Fie p 3 un numar prim impar si n = 2p k. Atunci n admite radacini primitive. In particular, daca r este o radacina primitiva modulo p k, atunci numarul impar dintre r si r + p t va fi radacina primitiva modulo 2p k. Demonstraţie. Enuntul teoremei ne da forma radacinii primitive pe care o cautam. Fie deci r o radacina primitiva modulo p k. Atunci si r +p k este o radacina primitiva modulo p k, si cum unul din aceste numere este impar, putem presupune, fara a restrange generalitatea, ca r este impar. Cum r este radacina primitiva modulo p k, rezulta ca r ϕ(pk) 1 (mod p k ), si ϕ(p k ) este cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate. Cum ϕ(2p k ) = ϕ(2) ϕ(p k ) = ϕ(p k ), si r este impar, rezulta ca r ϕ(2pk) 1 (mod p k ), si de asemenea r ϕ(2pk) 1 (mod 2). Din cele de mai sus reiese ca r ϕ(2pk) 1 (mod 2p k ), si evident ϕ(2p k ) = ϕ(p k ) este cel mai mic numar cu aceasta proprietate. In concluzie, r este radacina primitiva modulo 2p k, si demonstratia se incheie. Putem strange toate rezultatele de mai sus sub forma urmatoarei teoreme: Teorema Fie n 2 un numar natural. Atunci n admite radacini primitive daca si numai daca n are una din formele 2, 4, p k sau 2p k unde p 3 este un numar prim si k este un numar natural. 30

31 2.5 Structura grupului U(Z n ) In aceasta sectiune vom folosi rezultatele anterioare pentru a caracteriza grupul U(Z n ) pentru n 2 natural. Vom folosi o abordare mai algebrica, deci vom enunta mai jos anumite rezultate pe care le vom folosi. Mai multe detalii pot fi gasite in [1] sau [3]. Propozitia Inelul Z n definit in primul capitol este de fapt inelul factor Z/nZ. Teorema (Teorema fundamentala de izomorfism pentru inele). Fie A si B doua inele si f : A B un morfism de inele. Atunci aplicatia F : A/ ker(f) f(b) este un izomorfism de inele. Asadar A/ ker(f) = Im (f). Vom folosi aceasta teorema cat si teorema chineza a resturilor (1.2.3) pentru a stabili urmatorul rezultat: Teorema Fie n = p a 1 1 pa pa k k primi. Atunci are loc urmatorul izomorfism: Z n = Zp a 1 1 Demonstraţie. Fie functia f : Z Z p a 1 1 Z p a 2 2 Z p a 2 2 un numar intreg descompus in factori... Z a p k. k f(x) = ( x 1, x 2,..., x k ),... Z a p k, data prin: k unde x x i (mod p a i i ) pentru orice 1 i k, iar clasele sunt luate corespunzator. Se poate verifica imediat ca f este un morfism de inele. Sa determinam intai ker(f). { } ker(f) = x Z f(x) = ( 0,..., 0), adica x 0 (mod p a i i ) pentru orice i. Acest lucru este echivalent cu x 0 (mod n), deci ker(f) = nz. Vom arata ca f este surjectiva. Fie deci ( x 1, x 2,..., x k ) un element din codomeniu. Conform teoremei chineze a resturilor (1.2.3), exista un x Z astfel incat x x i (mod p a i i ) pentru orice i. In concluzie f(x) = ( x 1, x 2,..., x k ), 31

32 si acest lucru demonstreaza surjectivitatea lui f. Aplicand acum teorema de izomorfism enuntata mai sus, rezulta concluzia. Corolarul Fie n = p a 1 1 pa pa k k primi. Atunci U(Z n ) ( = U Z p a 1 1 ) ( U Z p a 2 2 un numar intreg descompus in factori ) (... U Cum scopul nostru este sa determinam structura grupului U(Z n ), aceasta ultima teorema arata ca este suficient sa determinam structura grupului U ( Z p k) unde p este prim. Conform sectiunii precedente, pentru p 3 si k natural, exista o radacina primitiva modulo p k. Acest fapt inseamna ca grupul U ( Z p k) este ciclic pentru p 3, generatorii sai fiind chiar radacinile primitive. Ramane deci sa ne indreptam atentia asupra grupului U ( Z 2 k), unde k 3 este numar natural. Pentru inceput, reamintim teorema 2.4.5, care spune ca ord 2 k(5) = 2 k 2. Vom arata acum ca Z p a k k Propozitia Fie k 3 natural. Atunci oricare ar fi s natural: 5 s 1 (mod 2 k ) Demonstraţie. Presupunem prin absurd ca exista un astfel de s. Atunci 2 k divide 5 s + 1, si implicit 4 divide 5 s + 1. Insa 5 1 (mod 4), deci 5 s 1 (mod 4), in conlcuzie 4 divide si 5 s 1. De aici ar rezulta ca 4 divide 2 = (5 s + 1) (5 s 1), evident o contradictie. In concluzie, s nu poate exista. Din aceasta ultima propozitie si din teorema 2.4.5, putem trage urmatoarea concluzie: Teorema Fie k 3 un numar natural. Atunci numerele: ). 5, 5 2,..., 5 2k 2, 5, 5 2,..., 5 2k 2 formeaza un sistem redus de resturi modulo 2 k. Demonstraţie. Se observa imediat ca oricare din numerele mentionate este relativ prim cu 2 k. Numarul lor este 2 k 1 = ϕ(2 k ). Ramane doar sa aratam ca oricare doua sunt necongruente modulo 2 k. Cum ordinul lui 5 este 2 k 2, nu putem avea congruente de forma 5 j 5 l (mod 2 k ) sau 5 j 5 l (mod 2 k ) cu j l. Singura 32

33 posibilitate ar fi 5 j 5 l (mod 2 k ). Presupunem prin absurd ca exista j l cu aceasta proprietate. Avem si ca 5 j 5 l (mod 2 k ), deci putem presupune fara a restrange generalitatea ca j > l. In acest caz: 5 j l 1 (mod 2 k ), contradictie cu propozitia anterioara. In concluzie j si l nu pot exista, si acesta a fost singurul caz ramas. Asadar teorema este demonstrata. Corolarul Fie k 3 un numar natural. Atunci grupul U ( Z 2 k) este generat de 1 si 5. Astfel, am caracterizat si grupurile U ( ) Z 2 k pentru k 3. Vom folosi notatia r n pentru a nota subgrupul lui U(Z n ) generat de r. In cazul in care r este o radacina primitiva, vom avea evident ca r = U(Z n), si conform teoremei anterioare avem n ca U ( Z 2 k) = 1, 5 anterioare in urmatoarea teorema: 2k pentru k 3. Vom pune cap la cap toate rezultatele Teorema (Structura lui U(Z n )). Fie n = 2 e p a 1 1 pa pa k k, unde p i sunt numere prime distincte, a i > 0 si e 0. Fie r i radacini primitive modulo p a i i pentru i k. Atunci are loc urmatorul izomorfism: U(Z n ) = 1, 5 2e r 1 r p a r 1 p a 2 k 2 1, 5 Se observa ca in cazul e {0, 1} grupul coincide cu Demonstraţie. Folosind corolarul avem ca U(Z n ) ( ) ( ) ( = U Z 2 e U U Z p a 1 1 p a k k este trivial, iar in cazul e = 2 el 2e Z p a 2 2 ) (... U Din observatiile anterioare rezulta forma dorita pentru fiecare din grupurile din membrul drept. Z p a k k. ). 33

34 2.6 Calculul radacinilor primitive Pana acum am caracterizat toate numerele n care admit radacini primitive si am dat si structura generala a grupului U(Z n ). Observam, insa, ca demonstratiile pentru existenta acestor radacini nu sunt constructive, ci pur existentiale - nu ni se indica nicio metoda de calcul pentru determinarea acestor radacini. Din pacate, nu este cunoscut un algoritm eficient pentru a determina radacinile primitive. Mai jos, vom prezenta un algoritm destul de simplu pentru a gasi cea mai mica radacina primitiva modulo p unde p 3 este numar prim. Vom da intai rezultatul care sta la baza algoritmului: Propozitia Fie p un numar prim si q 1, q 2,..., q k toti divizorii primi distincti ai lui p 1. Atunci r este radacina primitiva modulo p daca si numai daca r (p 1)/qi 1 (mod p), oricare ar fi 1 i k. Demonstraţie. = : Daca r este radacina primitiva, atunci p 1 este cel mai mic numar pentru care r t 1 (mod p) si rezultatul este evident. = : Fie un astfel de r cu proprietatea ca r (p 1)/qi 1 (mod p), pentru orice i. Notam t = ord p (r). Vom arata ca t = p 1. Este evident ca t divide p 1, asadar putem scrie p 1 = tu, cu u natural. Presupunem prin absurd ca t p 1, si acest fapt implica u > 1. Cum u divide p 1, exista un indice i astfel incat q i divide u. Putem deci scrie u = q i v, si apoi p 1 = tq i v. Asadar t divide (p 1)/q i, si conform teoremei avem ca r (p 1)/q i 1 (mod p) contradictie. Deci trebuie ca t = p 1, asadar r este radacina primitiva modulo p. Folosind acest rezultat, putem determina cea mai mica radacina primitiva modulo p printr-o cautare directa. Incercam, pe rand, numerele 2, 3, 4,... si vedem daca gasim unul care satisface conditia din propozitia anterioara. Primul numar astfel gasit este chiar radacina primitiva cautata. Iata algoritmul mai jos: 34