Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда

Transcript

1 Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда Основни ниво од до 6 од 5 до 56 од 58 до 59 од 6 до 6 од 65 до од 76 до 00 од 08 до 0 од 6 до 9 Средњи ниво од до 8 40 од 66 до 7 од 7 до 74 9 од 94 до 00 0 од 06 до 0 од 6 до 0 Напредни ниво од до од 7 до 75 од 96 до 0 од 0 до 08 од 6 до 7 од 9 до 0

2 Основни ниво Бројеви и операције са њима Двадесет хиљада дванаест динара, одговор је под в)

3

4 Читање децималних бројева,4 6 9 Цео Део Броја Десети Стоти Хиљадити Део Део Део Пример:,5 читамо: Цела и 5 Десетих,05 читамо: Цела и 5 Стотих,7 читамо: Цела и 7 Стотих,75 читамо: Цела и 75 Хиљадитих,075 читамо: Цела и 75 Хиљадитих Два цела и седамнаест хиљадитих је број под б),07 Тачан одговор записујем цифрама 00m, Одговор је под в)

5 4

6 5 0,5= = 0 0, = = 0 5 5,= = ,5= = 0 5

7 Напомена бр. ) Децимални запис разломака a brojilac или b imenilac Да би разломак записали у децималном запису потребно је да га проширимо одговарајућим бројем, тако да у имениоцу добијемо декадну јединицу ( 0 или 00 или 000 итд ) Пример: = 5 = 75 = 0, Други начин, је да једноставно поделимо бројилац са имениоцем. Пример: : 4 0,75 4 = = а) б) в) г) / 5 5 / 5 0 = = 0,5 / 5 75 / = = 0,75 / / 5 0 = = 0, / 5 5 / = = 0,5 д) 4 0,4 0 = 6

8 а), 0 = б) = 5 = 5 =,5 5 0 в) 0,0 00 = Напомена бр. Децимални број се записује у облику разломака тако што се помножи и подели декадном јединицом ( 0 или 00 или 000 итд ) која има онолико нула колико цифара има децимални број после зареза ( десно од зареза ) : 5 Пример: 0,75= 0,75 = = = : 5 4 :5 75 0,75= = 00 :5 4 Тачан одговор је под в) 7

9 0,= Тачан одговор је под б) 0 Тачан одговор је под а) 8

10 5, 8> 5,8> 5,> 5, 0 Ена Срђан Марко Марија Одговор је под а) Напомена бр. ) Проширавање разломака различитим од нуле. a b је поступак множења и бројиоца и имениоца истим бројем, a a k = b b k Деф.. Од два разломка једнаких именилаца већи је онај чији је бројилац већи, нпр. > 5 5 Деф.. Од два разломка једнаких бројилаца већи је онај чији је именилац мањи, нпр > 5 7 Два разломка различитих именилаца и бројилаца упоређујемо на следећи начин: I начин. Проширујемо разломке тако да имају исте имениоце. II начин. Проширујемо разломке тако да имају исте бројиоце. Пример: Упоредимо разломке 4 и 5 8 I начин = = > или > 5 Због Деф II начин = 5 = = = па је 5 5 > или > Због Деф

11 Најпре доведемо рзломке на исти именилац, а после их поређамо од најмањег до највећег. / 0 / 40 4 = / 0 ; = / ; 0 ; < < < < /:5 /:0 /:0 /: < < < < 0 /:5 /:0 /:0 /: < < < < / 0 0 / 0 ; = 60 / 5 45 / 5 ; = 4 60 б) > јер је > 4 4 0

12 Податке упоређујемо по величини и ређамо их од најмањег до највећег. 087< 49< 450< 694< 9< 77< 74< 9868< 065< 5675 Најудаљенији град је Сиднеј, а најближи град је Атина.,5 89,=,50 89, = 4,8,5 89,,50 89, 4,8

13 а) + = 4 = Тачно б) = = Тачно в) = а није што значи = НИЈЕ ТАЧНО г) : = 8 = Тачно Нетачан задатак је под в) а) 0,+ 0, 0= 0, б) 0,+ 0, 00= 0 в) 0, 0,0= 0,00 г) 0, 0,= 0,0 0,0 је вредност пројзвода под г)

14 од броја 50 рачунамо на следећи начин: = = = 0 или 50 : 5= Петина броја 50 је 0. Тачан одговор је под в) = Нетачно јер је Тачно 8 5 = Тачно = Нетачно јер је = =

15 A= {,, 4,5, 6,8,0,,5, 0,0} Делиоци броја 60 су A= {,, 4,5, 6,0,,5, 0,0} Из скупа А број 8 није делилац броја 60 Напомена број 4) КРИТЕРИЈУМ ДЕЉИВОСТИ СА 5: Број је дељив са 5 ако се број звршава цифром 0 или 5. КРИТЕРИЈУМ ДЕЉИВОСТИ СА 9: Број је дељив са 9 ако је збир његових цифара дељив са 9 59 : 9= Остатак је број 6. Тачан одговор је под а) Број је дељив са 5 ако се број звршава цифром 0 или је дељив са 5. Тачан одговор је под а) 4

16 55 : 7= Тачан одговор је в) : = 6 7 := 79 8 :5= Остатак Нема остатка Остатак 5

17 0 + ( + ( 4)) = + 9= = = + ( ) 5 + (8: ( )) = 5 + ( 9) = 4= ( 9) = + 9= = ( ) ( 5) = ( ) =+ 9= 6+ (7 ) ( + ) = 4 ( ) = 4+ = 5 = ( 5) : ( ) 6

18 4 ( 5) + 0= 0+ 0= 0 Тачан одговор је под б) = = + = Тачан одговор је под г) 7

19 70 00 ЈГ - Јованине Године ЈГ+ = 8 ЈГ = 8 ЈГ = 5 Тачан одговор је под б) 8

20 Основни ниво Алгебра и функције Напомена бр. 5) РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ Линеарну једначину са непознатом x решавамо тако што је доведемо на облик a x= b Где су бројеви a и b дати реални бројеви. b x= ; a b једначина нема решења, кажемо да је немогућа; b= онда је сваки реални број решење једначине и кажемо да је једначина - Ако је a 0, једначина има јединствено решење - Ако је a= 0 и 0 - Ако је a= 0 и 0 неодређена. Примери: ) ) x= 9 9 x= x= x= 4 x= ) 4) x = x x x= / / x / / = x= 6 x= 6 x= 0,5 0, x= 0, x= 0,5 0, x= 0,5 x= 0,5: 0, x=,5

21 x= 8 x= 8: 8 x= x= 6 7 x+ x= x= x= 4 x= 9 x+ x= 9 x= + x= 4 x= 6 x : = 4 x= x= = x= 7

22 а) ( x+ ) = 0 Производ је нула ако је један чинилац нула. како је 0 онда је x+ = 0 x+ = 0 x= б) 4 x= 6 /:6 6 x= или /:6 4 x= 4 4 x= 6 / 4 4 x= x= 4 4 а) б) в) г) x x + = = x : = x x = = x = x x = = x = x x = = x = x x = = x= 4 4 x= x= x = x = : x = x = x = x= 6

23 , 5 x=,5 x=, 5+,5 x= 4 / ( ) x= 4 x + = 8 x = 8 x = 6 / x = 6 x= Тачан одговор је под б) 4

24 Напомена бр. 6) СТЕПЕНОВАЊЕ Производ a a... a, а R, n чинилаца Записује се у облику Најважнија својства су:. m n m n a a = a + m n m n. a : a = a, ( m> n, a 0) m.( ) n m n a = a a 4. a n b n = ( a b) 5. n : n n a b = ( a : b), ( b 0) n n N n a и назива се n ti степен броја a Још је важно знати! - - a 0 a = ( ) n n a a, n Пример: n a = када је n - паран број n = ( a) a, n = када је n непаран број 5 = ; = ; ; ( ) = = 4 = = 8 = ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = 8 5

25 6

26 . : = 6+ 6= = 8 9= = = 8 : = 64 :8= 8 7

27 ( ) = = m ( a ) n = mn a Напомена бр. 7) ПОЛИНОМИ САБИРАЊЕ, ОДУЗИМАЊЕ И МНОЖЕЊЕ - Сабирање полинома: - Сабирамо сличне мономе P= x + x + x Q= x x x+ 7 P+ Q= x + x + x + x x x+ = x + + x + x ( ) (4 7) (5 ) 8 - Одузимање полинома: P Q= x + x + x ( x x x ) = x 4x 5x 8 x 7x x = x + + x + + x + = + 5x x x 5 + = Минус испред заграде мења знак сваког члана у загради ( ) (4 7) (5 ) 8 = x + x + 7x - Множење полинома: P= x Q x x = + + ( )( + + ) = + + = + + = P Q= x x x x x x x x x x x x x x x x A= a B= 5a A+ B= a + 5a = a A B= a 5a = 7a ( ) ( ) A B= a 5a = 0a 4 8

28 а) 7 x+ + 5x= x x= Сабирамо сличне мономе 0 + (5 ) x= 0+ x б) 5 x x x= x 5 x x= x x = x = x + x 0x = Одузимамо сличне мономе ( 0) x = 8x 5 a ( 7 a) = a Није тачно, јер је 5 a ( 7 a) = 5a+ 7a= a 7 a ( 5 a) = 5a Није тачно, јер је 7 a ( 5 a) = (7) ( 5) a a= 5a ( ) a ( ) ( ) 5a 7a = 5 Тачно, јер је 5a 7a = 5 7 a a= 5a ( ) ( ) ( ) 5a+ 7a = a Тачно, јер је 5a+ 7a = 5 + ( 7) a= a 9

29 а) ( ) ( ) x + 7x = + ( 7) x = 4x б) ( ) ( ) x x = x + x = + x = 6x в) ( ) ( ) x x = x x = 6 x 4 x x = x x= x + 4 а) a a ( ) = 5+ 7 a = a б) 9x 4 x = (9 4) x = 5x в) b b = ( ) b b = 6 b n m n+ n b b = b b b = b = b + 0

30 Напомена бр. 8) ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ Линеарна функција је облика: y= kx+ n где је к- коефицијенат, n слободан члан. Вредност функције y израчунавамо замењивањем дате вредности независно променљиве х у формулу којом је дата функција За x= За x= 0,5 ( ) y= 0,5 +, = = 0,5+, =,7 ( ) y= 0,5 0,5 +, = 0,5 0,5 = 0, 5+, =, ,5 За y=, За x= 0,5, = 0,5 x+, 0,5 x=,, 0,5 x= 0 x= 0 y= 0,5 0,5+, = = 0, 5+, = = 0, 5+,0 = 0,95,0 0,5 0,95 0,7,45 0,95

31 y= x+ За x=, заменимо x= y= ( ) + = + = = + = Вредност дате функције за x= је. y= x+ 4 Вредност функције је нула, дакле y= 0 0= x+ 4 x= 4 За 4 x= вредност функције је нула. Одговор је под в)

32 y= x+ Израчунавамо вредност функције yза дату вредност x-а у табели а) б) y= 0 + = y= + = + = y= + = + = y= ( ) + = + = =, 5 y= 0 + = 0 + = y= + = + = в) г) y= 0 + = y= + = + = 0,5+ =, 5 y= + = + = 4 y= ( ) + = + = + = =,5 Тачан одговор је под в)

33 y= x+ За x= y= + / / y= + / / 4 y= y= 6 Тачан одговор је под в) 4

34 Основни ниво Геометрија а) Права б) Полуправа в) Дуж г) Угао 5 Оштар угао је угао који је мањи од правог угла. Оштри углови су: α и γ Одговор је под б) α и γ. α Оштар угао

35 Напомена бр. 9) - Праве су паралелне ако се не секу ни у једној тачки; - Праве су нормалне ако се секу под правим углом. Праве су паралелне на слици, праве су нормалне на слици. HD је паралелна правама АЕ, BF, CG Праве које су нормалне на праву FG: BF, CG, EF, HG Заокружи праве које су паралелне правој HD Заокружи праве које су нормалне на праву FG.

36

37 Напомена бр. 0) Врсте троуглова: ) Према страницама Једнакостранични Једнакокраки Неједнакостранични C а а А а B ) Према угловима: Оштроугли Правоугли Тупоугли. 4

38 Напомена бр. ) ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА: Ако су a и b катете ПРАВОУГЛОГ ТРОУГЛА тада важи питагорина теорема, она гласи: a + b = c Површина правоуглог троугла се израчунава по формули: a b c h P= = c 5

39 AC= 7cm BC= 4cm AB=? Питагорина теорема Одговор је под б) AB = AC + BC AB = 7cm + 4cm AB = 49cm + 576cm AB AB= = 65cm 65cm AB= 5cm AB h P= 0cm 8,4cm P= 84cm P= P= 4cm Тачан одговор је под в) 6

40 Површина правоугаоника: P= a b a=,5m b= m P= a b P=,5m m P= 7m Тачан одговор је под б) a= 6cm b= 8cm Питагорина теорема c = a + b = 6 cm+ 8 cm = 6cm + 64cm = 00cm 00cm c= 0cm Дужина хипотенузе је 0cm c c c c= 7

41 Напомена бр. ) Круг: -Полупречник је дуж која спаја центар круга и било коју тачку на кружници; -Пречник је дуж која спаја две тачке на кружници и пролази кроз центар круга; -Тетива круга је дуж која спаја две тачке на кружници. -Кружни лук је део кружнице између две тачке на кружници, укључујући и те две тачке Кружница Круг- Кружна линија и све тачке унутар ње Само линија (кружна) -r - полупречник круга -Површину круга израчунавамо по формули: P= r π -Обим круга израчунавамо по формули: O= rπ r= 9cm p=? p= r π P= 9 cm π P= 8πcm 8

42 Одговор је под б) АC Тачан одговор је под а) r= 4,5cm O=? O= rπ O 4,5cm O 9 cm O 7cm Тачан одговор је под б) 9

43 Тачан одговор је под а) Напомена бр. ) ПРИЗМА: - Површина сваке призме израчунава се по формули. P= B+ M, B -површина основе (база) M - површина омотача - Запремина сваке призме израчунава се по формули. V = B H - Правилна четворострана призма B= a M = 4a H ( ) D= a + - Коцка P= 6a V = a D= a - Квадар ( ) P= ab+ bc+ ac V = a b c D= a + b + c 0

44 a= 0,5m b= 0,9m H =, m V =? V = a b H V = 0,5m 0,9m,m V = 0, 45m, m V = 0,99m Ормар има запремину 0,99m a= 6cm Површина коцке Pkocke = 6a P= 6 6 cm P= 6 6cm P= 6cm Запремина коцке Vkocke = a V = 6cm V = 6cm

45 Површина квадра Pkvadrata = ( a b+ a c+ b c) ( ) ( ) P= P= P= 4 P= 8cm Запремина квадра Vkvadra = a b c V = 9 6 4cm V = 6cm a= 8cm P a = 6 Површина коцке P= 6 8 cm P= 6 64cm P= 84cm Тачан одговор је под в)

46 a= 6cm H = 0cm P= B+ M P= a + 4a H Површина правилне четворостране призме P= 6cm + 4 6cm 0cm P= 6cm + 40cm P= cm Површина призме је cm

47 Тачан одговор је под г) и 5 Тачан одговор је под г) 4

48 Лопта Ваљак Купа Лопте Ваљак 5

49 Напомена бр. 4) Две фигуре си ПОДУДАРНЕ ако се могу довести кретањем до поклапања. За подударност фигура користимо ознаку: Тачан одговор је под б) 6

50 7

51 Тачан одговор је под в) 8

52 9

53 Напомена бр. 5) Јединице за мерење I Јединице за мерење дужине mm Милиметар km= 000m cm Центиметар m = 0dm Основни ниво Мерење dm Дециметар m = 00cm m Метар m = 000mm km Километар dm= 0cm II Јединице за мерење површине mm Милиметар квадратни cm Центиметар квадратни dm Дециметар квадратни m Метар квадратни а - Ар hа - Хектар cm = 00mm dm = 00cm dm = 00 00mm = 0000mm m = 00dm m = 0 000cm m = mm hа = 00а hа= 0 000m а = 00m Трансформишемо јединице на сличан начин m = m m= = 0dm 0dm= = 00dm = = = = = 00 dm dm= = 00 0cm 0cm= 00 00cm 0000cm = cm cm= = mm 0mm= = mm = = mm

54 m = 00dm = 00 00cm = 0 000cm dm= 0cm dm = 00cm III Јединице за мерење запремине m Метар кубни dm Дециметар кубни cm Центиметар кубни mm Милиметар кубни l Литар l = dm m = 000dm m = cm IV Јединице за мерење масе g Грам kg Килограм t Тона kg = 000g t = 000kg V Јединице за мерење времена s Секунда min Минут h Сат d Дан dan= 4h h= 60 min h = 600s min= 60s

55 Најпре упоредимо мере дате у одговорима под а), б), в), г) Како је одговор под а) 9 mm и под б) cm, ова растојања су врло мала, а одговор под г) km је м,ного велико растојање. Кућа је преко пута школе. Одговарајуће растојање куће од школе било би 5 m. Тачан одговор је под в)

56 P= 400m - Преведемо m у а: 400 P= 400m = =4а m = а 400m = а Одавде видимо одговори под а) и б) нису тачни! -Преведемо m у hа m = а=4а а= hа=0,4 hа 00 а= hа 4а hа Одавде видимо да је тачан одговор под в) Тачан одговор је под б) cm 4

57 Сандра је погрешно употребила мерну јединицу, јер Тачан одговор је под г) Сандра cm јер није мера за масу.,5m =, 5 00cm= 50cm, m= 00cm,5h =,5 60 min= 90min, h= 60 min,5t =,5 000kg= 500g, t = 000kg,5dl =,5 0cl = 5cl, dl = 0cl 5

58 Века = 00 Година, Век = 00 година Године = 70 Дана, Година = 65 Дана Месеца = 9 Дан, Месеца = 60 Дана, Месец = Дан 4 Дана = 96 Часова, Дан = 4 Часова 6

59 а) km= 000m= 000m, km= 000m б) 0m= 0 00cm= 000 cm, m= 00cm в) 4,5t = 4,5 000kg = 4500 kg, t = 000kg г) 4недеље= 4 7дана= 8 дана, недеља= 7дана kg и 0g kg = 000g = 000g, kg = 000g 000g+ 0g = 00g Тачан одговор је под в) 00 грама Четвртина године = месеца 90 дана, месеци = месеца 4 0 недеља = 0 7 дана 70 дана 0 недеља < Три месеца = четвртина године < 00 дана 70 Дана < Три месеца = четвртина године < 00 дана Најдужи временски период је 00 дана. Тачан одговор је под б) 00 дана 7

60 Кусур је : =700 Динара 700= Продавац јој је вратио једну новчаницу од 500 динара и једну новчаницу од 00 динара ( то је најмањи број новчаница ), дакле вратио јој је новчанице. Тачан одговор је под б) 4850 Динара а) 48 00динара= 4800динара Није тачан одговор б) 4 00динара= 4800динара Није тачан одговор в) 9 500динара= 4800динара Није тачан одговор г) 97 50динара= 4850динара Тачан одговор Тачан одговор је под б) 8

61 Марко има: 6 50динара+ 7 0динара= 00динара+ 40динара= 440динара Треба му: 500 Динара = 60 динара Марко треба да уштеди још 60 динара Огњен има ( видимо на слици ): = = 5 Потрошио је : = 9 динара Остало му је : 5 9= 6 динара Тачан одговор је под б) 00 динара= 4 50 динара 00= 4 50 динара 00= 50 динара Добићу новчаница од 50 динара. 9

62 00 колача маса=857g 857 :00= 8,57 грама 9 грама је маса једног колача Тачан одговор је под г) Напомена бр. 6) ЗАОКРУЖИВАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА Када хоћемо да заокружимо број на једну децималу онда посматрамо другу цифру иза зареза; Ако заокружимо број на две децимале посматрамо трећу цифру иза зареза, итд. На децимале посматрамо четврту иза зареза. Цифра коју посматрамо може бити:. Мања од 5 ( 0,,, или 4 ). Већа од 5 ( 6, 7, 8 или 9 ). Једнака 5. Ако је цифра коју посматрамо Мања од 5 ( 0,,, или 4 ) онда само препишемо цео број до те цифре. Пр.. Заокружи на две децимале: 8,467 -Посматрамо трећу цифру иза зареза, она је мања од 5 8,467 8,46 <5. Ако је цифра коју посматрамо већа од 5 ( 6, 7, 8 или 9 ) онда цифру испред цифре коју посматрамо увећамо за. -ПР.. Заокружи на две децимале:,4867. Посматрамо трећу цифру иза зареза.,4867,49 6>5 0

63 -ПР.. Заокружи на једну децималу:,7 -Посматрамо другу цифру иза зареза, већа је од 5,7,4 7>5 +. Ако је цифра коју посматрамо једнака 5 разликујемо два случаја:. Ако иза цифре 5 нема више цифара (све нуле) онда: А) Цифру испред цифре 5 увећамо за, ако је она непарна. Б) Само препишемо све цифре до цифре 5 ако је цифра испред 5 парна. ПР.. Заокружи на једну децималу:,75 Посматрамо другу цифру иза зареза, то је цифра 5,75,8 7neparan broj 7+ Према правилу А) Према правилу Б). Ако иза цифре 5 има још цифара различитих од нуле онда цифру испред цифре 5 увећамо за. ПР.. Заокружимо на две децимале,46587 Посматрамо трећу цифру иза зареза, она је 5 0

64 а) Највеће растојање од земље до сунца је: 0,5 заокружимо 0,5 на једну децималу -Посматрамо другу цифру иза зареза, то је цифра 5 0,5 0, += Према правилу. У напомени бр. 6) б) Најмање растојање од марса до сунца је : 0,05 Заокружимо 0,05 на једну децималу Посматрамо други цифру иза зареза то је 0 0,05 0, 0<5 само препишемо број до нуле Према правилу у напомени бр. 6) а) Највеће растојање од Земље до Сунца је 0, милијарде km. b) Најмање растојање од Марса до Сунца је 0, милијарде km.

65 Маса се изражава у грамима или килограмима па зато одговори в) и г) нису тачни, кесица чија је прилично лака па је њена тежина изражена у грамима. Тачан одговор је под а),75g m= 7,6g Заокружи масу прстена на а) Две децимале Посматрамо трећу цифру иза зареза то је цифра 6 6>5 применимо правило у напомени бр. 6) б) Једну децималу Посматрамо другу цифру иза зареза то је цифра <5 Применимо правило у напомени бр. 6)

66 l km g cm kg 4

67 Основни ниво Обрада података Напомена бр. КООРДИНАТНИ СИСТЕМ У координатном систему свака тачка је одређена координатама x и y A( x, y ) x - број на x - оси -Апциса y - број на y - оси -Ордината D F C E G A B

68 Кординате темена су К, y x L ( 7, ) H ( 7, 5 ) N (, 5 )

69 Кординате тачке А су ( 7, 9 )

70 Кординате тачке А су (, 5 ) 4

71 5

72 Најмање векни продато је у СУБОТУ. У петак је продато 40 векни. 6

73 а) Највећа просечна гледаност научног програма је била на телевизијској станици АА, б) Телевизијске станице СС и ТТ су имале исту просечну гледаност научног програма. в) Најмању просечну гледаност научног програма имала је телевизијска станица ММ. г) Просечна гледаност научног програма на телевизијској сзаници ОО је,80%. Лет Београд - Париз је најдужи. 7

74 Једнострана израда 00 комада Специјал визиткарти кошта 764,00 динара. За 49,00 динара може да се купи највише 400 комада мат белих обостраних визиткарти. Више од 00 откуцаја срца у минути има пиле. Мање од 5 откуцаја у минути има коњ. 8

75 9

76 0

77 8 0 5

78

79

80 Напомена бр. 7) ПРОЦЕНТНИ РАЧУН: Формула: G : P= 00 : p Главница Део Главнице Део главнице извржен у процентима Дате вреднисти у задатку заменимо у формулу и израчунамо оно што се тражи, ( оно што је непознато ) G : P= 00 : p 800 : = 00 : P 00 P= P= 7600 P= P= Породица Петровић за заштиту животне средине месечно издваја 76 динара. G : P= 00 : p 40 : P= 00 : P= P= 600 P= P= Милица је тачно решила 6 задатака. 4

81 G : P= 00 : p 80 : P= 00 :80 00 P= P= 6400 P= P= Број белих оваца у том стаду је 64. G : P= 00 : p 0 : P= 00 :80 00 P= P= 400 P= P= За релацију прославе треба да се пријави најмање 4 ученика. G : P= 00 : p 4000 : P= 00 :0 00 P= P= P= P= Милена је добила попуст 400 динара. 5

82 Напомена бр. 8) Средњи ниво Бројеви и операције са њима Бројевна права. Упоређивање бројева по величини као прво важно је да бројеви који се упоређују буду истог облика, дакле можемо упоређивати разломке или можемо упоређивати децималне бројеве. Да бисмо упоредили два броја посматрамо те бројеве на бројевној правој и при том треба знати - сваки негативан број већи је од позитивног броја. - од два негативна броја већи је онај који је ближи нули на бројевној правој. Супротан број нека су дате две тачке на бројевној бравој тако да су симетричне у односу на тачку О, тада су бројеви претстављени тим тачкама супротни. супротан број броја A је број -A. Апсолутна вредност апсолутна вредност броја је његова удаљеност од нуле на бројевној правој. за апсолутну вредност важи следеће: апсолтна вредност позитивног целог броја једнака је том броју A + = А, када је А > 0 апсолутна вредност целог негативног броја једнака је супротном броју тог броја. A = А, када је А < 0 супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности A = A Реципрочна вредност броја Реципрочна вредност броја А је број који када се помножи бројем А даје произвоид. Бројеви А и A су реципрочни један другом.

83

84 Најпре све бројеве напишемо у облику разломка а затим их упоредимо: 0 0 = = , = = = = = = = < < < < < 0, < 4 0 Тачан одговор је под в) Да бисмо их упоредили доводимо разломке на исти именилац = = = 0, = = = 0, = = = 0, , =

85 Број који задовољава неједнакост 0,54< <0,56 је број 0,55= 0 Одговор је: 0,54< < 0, = = 5 0 0, = 0, = = = = < < < , < < 0,< Највећи број је, најмањи број је, 5 0 ( ),8+ 0,,5, =,8+ 0,,05=,8+ 0, =, 0 Најпре израчунамо вредност у загради, онда множимо и на крају сабирамо. 4

86 8 + : 6 = = 4 + = = = = + = + = = A= A= = a = a, a = a A= = A= 5+ 5= 0 A= 0; A = 0 = 0; A= 0; = A 0 a) = = = = б), ( 4,+ 5,7) =, 0= 5

87 Број х Реципрочна вредност броја х Број супротан броју х 5 5 Број је дељив са ако му је задња цифра 0,, 4, 6, 8 Број је дељив са 9 ако му је збир цифара дељив са 9. Број 86 7 је дељив са и са 9. Јер му је задња цифра и збир његових цифара је дењив са 9: =7 и 7:9= Да би број био дељив са 9 збир цифара мора бити дељив са 9. За 8* самеремо цифре које имамо: ++8= а) += није дељиво са 9 б) += није дељиво са 9 6

88 в) +5=6 6 није дељиво са 9 г) +7=8 8:9=, 8 је дељиво са 9 Тачан одговор је под г) { 48, 45, 9, 760,,, 6 } а) Дељив са 5. Ако се завршавају цифром 0 или 5 Дељиви са 5 су 45, 760 б) Дељив са = и := = 6 и 6 := 6-6+ = 9 и 9 := Дељиви са су 45,, 6 в) Дељив са Ако се завршавају цифром 0,, 4, 6, 8-48, 760, су дељиви са. г) Дељив са 9 Ако им је збир цифара дељив са =9 и 9:9= 6 је дељив са 9 Према критеријумима дељивости са и 5 05, дељив са 5, јер се завршава цифром 5, збир цифара је дељив са = 9 :=, дељив са Тачан одговор је под а) 7

89 Вељко има Марака : албума са по 45 марака 45= 45 албума са по 0 марака 0= 40 5албума са по 88 марака 5 8= 40 албум од 0 марка укојем нема 7 марака 0 7= = 88Марака Вељко има укупно 88 поштанских марака. 8

90 Драгана је освојила: 6 задатка тачно решила 6 0= 60 Бодова задатка није знала 0= 0 Бодова Остало је 0 ( 6+ ) = 0 8= задатка, и они су били нетачни ( ) Саберемо све бодове ( 0) = 60 0= 50 бодова Драгана је освојила 50 бодова. 5 = 0 Једна трећина пута је: 60km= 0km Аутомобил је прешао 0km брзином 60 km / h 0 km h, 60 km / h = пута прешо је за сата. Две трећине пута је 60km= 40km Аутомобил је прешао 40km брзином 80 km / h 40 km h, 80 km / h = пута прешао је за сата, дакле, цео пут је аутомобил прешао за +=5 сати. Аутомобил је прешао цео пут за 5 сати., 0079= Укупана релативна маса два атома водоника 5, 999= 5,999 - Укупана релативна маса два атома кисеоника, ,999= 8, Укупна релативна маса једног молекула воде. Укупна релативна маса једног молекула воде је8,048. 9

91 750 : 5= 0 динара - цена једне свеске Свеска је за 0 динара скупља од оловке, па је цена оловке 0-0=0 динара. 750 :0= 75 Оловака се може купити за 750 динара За 750 динара могло је да се купи 75 оловака. 0

92 Средњи ниво Алгебра и функције Напомена бр. 9) РЕШАВАЊЕ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА Две линеарне једначине са две непознате чине систем једначина. систем има облик : ax + by = s cx + dy = t где су a,b,c,d коефицијенти, а x и y непознате или променљиве. ) МЕТОДА СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА ) Када су кефицијенти уз једну променљиву супротни бројеви тада препишемо једну једначину система а другу једначину добијемо сабирањем једначина полазног система. пример. x + y = 0 x - y = x + y = 0 ову једначину смо преписали из полазног система x = ову једначину смо добили сабирањем једначина ситема x + y = 0 x = + y = 0 y = - ) МЕТОДА ЗАМЕНЕ Овом методом систем решавамо у два корака : прво из једне једначине система изразимо једну непознату, а онда тако изражену непознату заменимо у другу једначину система. добијемо једначину са једном непознатом коју решавамо. пример. x + y = 0 x - y = x = - y изразили смо непознату из друге једначине система ( - y ) + y = 0 заменили смо изражену непознату у прву једначину x = - y 6 y + y = 0 решавамо једначине са једном непознатом x = - y y = 6 x = 6 x = -

93 Систем линеарних једначина решавамо методом супротних коефицијената x+ y= 4 / x+ y= 7 / 6x+ 9y= + 6x+ 4y= 4 y= 6 y= y= 6 Добијену вредност за y заменимо у било коју од једначина полазног система. y= x+ y= 4 x+ = 4 x= 4 6 x= x= Решавање система је уређени пар: ( x, y ) = (, ) Тачан одговор је под г)

94 x+ 7x+ = x 5 Целу једначину множимо најмањим заједничким садржаоцем ( НЗС ) за имениоце и 5 НЗС (,5)=5 x+ x 7x+ = / x+ x 7x+ 5 = ( x ) x ( x ) 5 + = x+ 5= 5x x 6 5x 5x+ x= 6 5 x= x= x= систем. а) x= Можемо да решимо сваки систем али је једноставније да решење које је дато (, ) заменимо у сваки y= x y = 0 y= x ( ) = + 4 = 0 Тачно = Ово није тачно (, ) Није решење овог система

95 б) x y = 0 x+ y= ( ) ( ) = + 4 = Није тачно (, ) Није решење овог система в) x= y y= x ( ) = = = ( ) = 4= 4= 4 Решење(, ) задовољава обе једначине система па је решење система под в) Тачан одговор је под в) m+ m+ = 0,5 4 m+ m+ = / НЗС(,4 ) = 4 4 m+ m+ = ( m+ ) = ( m+ ) 4 m+ 4 4= m m+ m= m= m= 4

96 x 5x 6 = / НЗС(, 6) = 6 6 x 5x 6 = ( ) ( x ) ( x ) 5 6 = 4x 6 5x+ 6= ( ) x= / x= Решење једначине је између бројева 0 и 0 Тачан одговор је под в) Напомена бр. 0) КВАДРАТНИ КОРЕН Квадратни корен ненегативног броја a, у ознаци a, је број чији је квадрат једнак датом броју a. Основна својства кореновања: ) ( ) ) a = a, a 0 a = a ) ab = a b, a, b 0 4) a b = a, b a 0, b >0 5

97 а) ( ) ( ) 0,5 = 8 0, 5 = 7,75 б) ( 5 ) = ( 5 7) = ( ) ( ) n = = 4 a = a, n паран в) = + 9 = + 8 = 9 n ( ) 5 ( ) ( ) = = = = направимо исте основе 4= 8= Тачан одговор је под г) 6 = = 8 5 = = 5 6

98 а) 4 9 = = 6 5 = 4 5 = = = б) 9 : 0,6 = : = : = : = = = 5 7

99 ( ) ( ) 4 9 = = = Тачан одговор је под б) 5 5 = 5 = ( 4 ) 4 4 = = = ( 4 ) : = = = 9+ 6 = + 4= 7 8

100 Напомена бр. ) КВАДРАТ БИНОМА квадрат збира ( A+B) квадрат разлике ( A B) = = A + + AB B A + AB B РАЗЛИКА КВАДРАТА A B = ( B) A ( A+ B) ( ) A+ B = A + AB+ B ( ) x+ 0, = 4x + 0,8x+ 0, 04 КВАДРАТ БИНОМА Одавде видимо да је тачан одговор под в) 9

101 Најпре одредимо квадрат сваког бинома: ( ) А= 0, m+ 0,4n A = 0, m+ 0,4n = 0,04m + 0,6m n+ 0,6n ( ) ( ) B= 0, 4m+ 0,n B = 0, 4m+ 0,n = 0,6m + 0,6m n+ 0,04n C 0,m 0, 4n C 0,m 0, 4n = = = ( 0, m) ( 0,m) 0,4n ( 0,4n) ( ) = + = = 0, 4m + 0,6m n+ 0,6n D= 0, m 0, 4n D = 0, m 0, 4n = 0,04m 0,6m n+ 0,6n Одавде видимо да је: Тачан одговор је под а) A = C K = 0, a+ 0,b S = 0, 4a 0,b а) ( 0, 0, ) ( 0, 4 0, ) K+ S = a+ b + a b б) = 0,a+ 0, 4a+ 0,b 0,b = 0, 6a+ 0,b ( 0, 0, ) ( 0,4 0, ) K S = a+ b a b = 0,a+ 0, 4a 0,b+ 0, b = 0,a 0,4a+ 0,b+ 0, b = 0, a+ 0,5b 0

102 в) ( 0, 0, ) ( 0, 4 0, ) 0, a 0,4a 0, a ( 0, b) 0,b 0,4b 0,b ( 0, b) K S = a+ b a b ( ) = = 0, 08a 0, 04ab+ 0,ab 0, 06b = 0,08a + 0,08ab 0,06b а) ( a+ ) ( 5a+ ) = 0a 9 ( a ) ( a ) a ( a) a ( a) + Није тачно, јер је = = б) ( ) x = = 0a 6a 5a+ 9= = + 0a a 9 4x x+ 9 Тачно, јер је. ( ) x = 4x x+ 9 в) ( a+ ) ( a+ ) = 6a a 6 ( a ) ( a ) a ( a) a ( a) + Тачно, јер је. + + = + + г) ( ) a x = 6a 4a 9a+ 6= = + 6a a 6 + = Није тачно, јер је. ( ) a + = 4x + x+ 9

103 Квадрат бинома: ( ) A B = A AB+ B m n = m m n+ n = m m n+ n 4 4 Тачан одговор је под в) Ако за 4 јаја треба 80g шећера, тада за јаја треба х шећера. Пропорција је: 4 : = 80 : X 4x= x= 4 x= 70 x= 0g шећера За јајета потребно је 0g шећера.

104 480- Девојчица х - Дечака дечаци : девојчице = 7 :8 x : 480= 7 :8 8x= x= 8 x= 7 60 x= 40 Дечаци + Девојчице = =900 У школи " Радост " укупан број ученика је 900

105 y 4 x На графику се види да права пролази кроз тачке ( 0, 0 ) и ( 4, ). Заменимо ове вредности за x и y у функцију и видимо коју функцију задовољава ова тачка са кординатама x и y. x= 4 y= 4 а) y= x = 4 = - Није тачно б) y= x = 4 = - Тачно в) y= x = = 4 - Није тачно г) y= x = 4 = - Није тачно Тачан одговор је под б) 4

106 Означимо х- олово, у- цинк График функције представља зависност између количине олова (х) и цинка (у) у легури. Одредимо облик функције: олово : цинк = : x : y= : x= y y= x Функција Сада утврдимо који график одговара овој функцији, тако што заменимо координате тачке ( х, у ) која припада графику у функцију y= x а) ( x, y ) = (,) = Ово није тачно б) ( x, y ) = (4,) = 4 Ово није тачно в) ( x, y ) = (,) = = Ово је тачно,дакле ( x, y ) = (,) са графика в)задовољава функцију y= x г) ( x, y ) = (, 4) 4= = 4 Ово није тачно. Тачан одговор је под в) 5

107 а) 8метара 400динара метара x : 400= :8 8x= x= 8 x= 00 x= 600 х динара 00 а) m платна кошта 600 динара. б) 8метара 400динара х метара x :8= 750 : x= x= динара x= = 00 0 x=,5 б) За 750 динара може се купити,5 метара платна. 6

108 Поставимо једначину: Ј - цена јагода, Т - цена трешања 5kg J+ kg T = 00 5 J+ T = 00 5 J = 56 динара 56+ T = 00 T = T = T = T = 7 Килограм трешања кошта 7 динара. Реља има: х динара пре 0 дана је имао половину садашње уштеђевине, а то је x Тих 0 дана штедео је по 50 динара, а то је : 0 50= 500 Па је: x x Како је x= + Укупно реља има: x x= x x = 500 x x = 500 x = 500 x= 000 Динара. Реља сада има 000 динара. 7

109 Обим једнакокраког троугла: O= a+ b На слици видимо: a= x b= x+ И обим је O= 4cm O= a+ b ( ) 4= x+ x+ 4= x+ x = x 6= x 6 x= x= Основица једнакокраког троугла. Дужина крака је x+ 6= + = 5cm Продато је: I дан: 75 II дан: 75kg-05kg=70kg III дан: Х 00 kg-57 kg-70kg-х kg =00 kg 555kg Xkg= 00kg Xkg= 555kg 00kg Xkg= 55kg Трећег дана је продато 55 килограма брашна. 8

110 Означимо, Петрова уштеђевина је х динара. Потрошио је трећину, то је: x Остало му је: x x = x Знамо да му је остало 800 динара. па је x = 800 x x x= + x x= x x = 800 x = 800 x= 400 x= 00 Петрова уштеђевина је била 00 динара. 9

111 Напомена бр. ) УГЛОВИ Средњи ниво Геометрија Два угла су комплементна ако је њихов збир прав угао. α +β = 90, α и β су комплементни. Два угла су суплементна ако је њихов збир опружен угао. α +β = 80, α и β су суплементни. Два угла су суседна ако имају заједничко теме и крак, а њихове области немају заједничких тачака. Два угла су упоредна ако су суседни и ако је њихов збир 80. Упоредни углови су суседни суплементни углови. УГЛОВИ ТРОУГЛА Збир унутрашњих углова у троуглу једнак је 80 α + β + γ = 80 Збир спољашњих углова троугла једнак је 60 α + β+ γ = 60 Збир унутрашњег и њему одгварајућег спољашњег угла троугла једнак је 80, јер су то упоредни углови. Наспрам већег угла у троуглу налази се већа страница и обрнуто, наспрам веће странице трогла налази се већи угао.

112 aoc је прав угао aoc= 90 o boc= aoc aob= 90 5 = 55 doc је прав угао doc= 90 bod = doc+ boc= = а) Мера угла boc је б) Мера угла bod је Два угла су комплементна ako je њихов збир једнак а) б) в) г) = 60 Нису комплементни = 90 Комплементни = 00 Нису комплементни = 80 Нису комплементни. Тачан одговор је по б) 0 90

113 Збир унутрашњих углова троугла је угла у правоуглом троуглу мора бити A α 0 80, у правоуглом троуглу један угао је 0 90, та да угла су комплементна. 0 90, па збир друга два C γ β B α+ β+ γ = 80 γ = 90 0 α+ β = α+ β = α и β комплементни углови Тачан одговор је под в) Углови α и су суплементни углови, па је њихов збир једнак α+ 5 = 80 α = 80 5 Углови β и 0 β = 5 0 α = су углови са паралелним крацима, па су једнаки међусобно.

114 4 0 Углови 70, α и α+ 0 = 80 α+ 00 = α = α = образују опружен угао Збир унутрашњих углова троугла једнак је а) б) в) г) = = = 80 Углови = , 0 70 и су унутрашњи углови троугла a - дужина основица b - краћа основица c - крак трапеза

115 5 Посматрамо правоугли троугао A H D Према питагориној теореми: ( ) c = a b + h c c c c ( ) c= = = + 4 = 4+ 6 = 0 0 c= 4 5 c= 5 Дужина крака трапеза је c= 5cm У троуглу наспрам већег угла лежи дужа страница. Прво израчунамо угао код темена В: A+ B+ C = B+ 60 = B= B= 85 B> C > A b> c> a Тачан одговор је под в) 0

116 6 У троуглу је једна страница већа од разлике друге две странице, а мања од њиховог збира. b a< c< b+ a Тања: 50 cm, 60 cm, 90cm 60 50= 0< 90< = 00 Тачна неједнакост Тањиним штаповима може да се направи троугао. Никола: 40 cm, 50 cm, 00cm 50 40= 0< 00< = 90 Нетачна неједнакост Зоран: 40 cm, 0 cm, 0cm 40 0= 0< 0< 40+ 0= 60 Нетачна неједнакост Ђурђа: 0 cm, 0 cm, 0cm 0 0= 0< 40< 0+ 0= 0 Нетачна неједнакост Дакле за дате дужине штапова треба проверити да ли важи неједнакост коју задовољавају странице троугла. Једро је облика правоуглог троугла Хипотенуза: c= m Катета: a= 5m a + b = c Питагорина теорема 5 + b = b b b b= = 5 = 69 5 = b= m

117 7 a b P= Површина правоуглог троугла 5 P= P= 5 6 P= 0m Површина једра је 6 0m PКРУГА r = 5m r= r= 5m = r π 5πm = r π 5m r r = 0m 5m r = 0m r = 5m Површина малог круга: P= r π P 5 = π P= 65 πm Површина празног простора у средини кружног тока је 65 πm

118 8 O= rπ Обим круга rπ = 6πcm r= 6 r= 8cm P= r π Површина круга P= 8 π P= 64πcm Тачан одговор је под б) R= 00cm r= 50cm Точак се окреће једанпут и пређе пут који је једнак обиму круга. Пут који се пређе када се точак окрене пута добијамо када обим круга ( точка ) помножимо са = rπ S Пређени пут OKруга OKруга OKруга = 50 π S = O Kруга 7000 = 00πcm S = 00πcm 7000 S = πcm S cm= cm= 000m= 000 km= km Трактор ће приближно прећи km

119 9 Површину кружног прстена добијамо кад од површине већег круга одузмемо површину мањег круга. O = 6πcm P = r πcm π = π = π r 6 cm P 8 r = 8cm P = 64πcm O = 0πcm P = r πcm π = π = π r 0 cm P 5 r = 5cm P = 5πcm PПрстена = P P ( ) ( r r ) π ( 8 5 ) = r π r π = π = = = π 64 5 = 9πcm Површина кружног прстена је 9π cm Прстена 6π = P 9π ( ) P = P P = r π r π = π r r P = 5πcm r = 5 P = r πcm r = Полупречник већег круга је 5cm 5 r = 5cm

120 0 Напомена бр. ) ПРИЗМА Правилна тространа призма - у оснви једнакостранични троугао. a B= 4 M= ah a P = B + M P= + ah 4 a V = B H V= 4 H Правилна шестострана призма - у оснви правилни шестоугао. B = 6 a 4 M = 6 a H P = B + M P = 6 a a H a V = B H V = 6 H 4 Једнакоивична призма је правилна призма која има све ивице међусобно једнаке, тј. H = a. P= B+ M a P= + a H P= P= P= 8 + 4cm ( ) P= 8 + cm Површина призме је 8( + ) cm

121 Запремина правилне шестостране пирамиде. V = B H a V = 6 4 V = V = a H a H V V V = = 9 = 7 V = 7 8 V = cm V = 40,5cm Површина пирамиде је 40,5cm

122 P= B+ M Код једнакоивичне правилне пирамиде бочне стране су једнакостранични троуглови B= a a M = 4 4 P a 4 = + P= a + a 6 6 P= + a 4 P= 6+ 6 ( ) P= 6 + cm Површина пирамиде је 6( + ) cm Види напомену бр.! a= cm Ивица коцке a = + = 4cm Квадара b= cm c= cm P= ( a b+ b c+ a c) Површина квадра P= ( ) P= ( ) P= 0 P= 40cm Површина квадра је 40cm

123 P= B+ M a a B= M = Једнакоивична пирамида, бочне стране су једнакостранични троуглови. 4 4 a a P= a P= 4 Правилна тространа једнакоивична пирамида састоји се од 4 једнакостранична троугла. 4 P= a P= 8 P= 64 cm Површина пирамиде је 64 cm Напомена бр. 4) ЛОПТА P = 4 r π површина лопте 4 V = r π запремина лопте P 4r π = Површина лопте P= 4 π P= 4 9π P= 6πcm 4 = Запремина лопте V r π

124 4 V V V V 4 = π 4 9 = 7 π = 4 9π = 6πcm Напомена бр. 5) КУПА P = r π + r π s површина купе V = r π H запремина купе r = 5cm V = r π H H= 9cm V = 5 π 9 V 5 9 = π V = 75πcm r = 0cm V = r π H H cm π V = 00πcm = V = 0 75π cm < V < V Тачан одговор је под а) 00π cm

125 5 V = r π H V = H π H Висина купе једнака је полупречнику основе, r= H V = H π V = ( 6 ) π V = 6 π V = 7 π = 44 πcm Запремина купе је Напомена бр. 6) 44 π cm P = r π + r π H површина ваљка ВАЉАК V = r π H запремина ваљка Ваљак А) Ваљак Б) B ( ) ( ) P π( ) PA = r + r H P = r r+ H P = rπ r+ H = + 8 P A A = π 4 P = 6π P = 6πcm P = 66πcm A π π π B B B

126 6 Ваљак В) ( ) ( ) P = rπ r+ H P P P B B B B = 6π 6+ 4 = π 0 = 0πcm Највећу површину има ваљак А) V = r π H V = r π H V = π 4 V = 4 π V = 4 π 4 V = 6π V = 6πcm V = 6πcm V = V Тачан одговор jе под в) Симетрална дуж је права која је нормална на дуж и дели дуж на два једнака дела. Тачан одговор је под в)

127 7 Осна симетрија дели фигуру на две подударне фигуре. На слици се јасно види да квадрат има 4 осе симетрије Тачан одговор је под г) Осу симетрије нема правоугли троугао са катетама различите дужине. Тачан одговор је под б) Права S дели правоугаоник на слици в) на два једнака дела па је S- оса симетрија тог правоугаоника Тачан одговор је под в)

128 8 Осенчимо квадратиће на леву страну

129 Средњи ниво Мерење Прво све тежине изразимо истом јединицом мере да би могли да их упоредимо. а) 0,05kg = 0,05 000g = 05g б) 0,5kg = 0,5 000g = 50g в) 5g г) 0g 0g < 05g < 5g < 50g најмања тежина је 0g Најлакши је предмет под г) 0g Тачан одговор је под г) Прво изразимо истом јединицом мере. m 5dm = 0 dm + 5 dm = 0 dm + 5 dm = 5 dm,5 dm < 5 dm па неједнакост,5 dm > m 5 dm није тачна m = 0 dm = 0 dm 0 dm < dm па неједнакост m > dm није тачна kg = 000 g = 000 g 000 g > 00 g па неједнакост kg < 00 g није тачна t = 000 kg = 000 kg 000 kg > 00 kg па је неједнакост t > 00 kg ТАЧНА

130 Изразимо дужине свих река у километрима ( km ) m = km = 08 km dm = m = m = km = 7 km Јужна Морава 95 km Западна Морава 08 km Тимок 0 km Велика Морава 85 km Ибар 7 km Најкраћа је Велика Морава, а најдужа је Западна Морава. Масу сваког предмета изразимо у грамима. а) kg 0 g = 000 g + 0 g = 00 g б), kg =, 000 g = 00 g в) 0 g г),00 kg =, g = 00 g Поређамо масе од најмање до највеће: 00 g < 00 g < 0 g < 00g Највећу масу има предмет под б). тачан одговор је под б).

131 Претворимо све масе у граме, 5 kg =, g = 50 g kg 90 g = 000 g + 90 g = 90 g 50 g > 40 g > 90 g, 5 kg > 40 g > kg 90 g dolar 0,75 evra 5,99 dolara X evra Пропорција би била : 5,99 = 0,75 : X тачан одговор је под б). фунта 8 динара 47 фунти X динара : 47 = 8 : X X = 8 47 X = МП плејер у Лондону кошта динара, а у Србији динара. Плејер је скупљи у Србији за = 54 динара.

132 долара 7 евра 75 долара X евра 00 : 75 = 7 : X 00 X = X = 00 X = 54 За 75 долара може се купити 54 евра. евро,5 франака 00 евра X франака : 00 =,5 : X X =,5 00 X = 50 франака Сандра је уштедела 00 евра а то је 50 франака. Да би купила 400 франака треба јој још 50 франака. Да видимо колико динара вреди 50 франака., ако знамо да један франак вреди 8 динара. франак 8 динара 50 франака X динара : 50 = 8 : X X = 8 50 X = 00 динара Сандра треба да подигне са рачуна још 00 динара.

133 5 евро 05 динара 0 евра X динара : 0 = 05 : X X = 0 05 X = 050 динара 0 евра вреди 050 динара. норвешка круна,50 динара X норвешка круна 050 динара : X =,50 : 050,50 X = X =, X = 50 X = 84 норвешке круне 0 евра вреди 84 норвешке круне. l = 000 ml 000 трећина литра је: 000 ml = ml =, најприближнији број броју, је 0. тачан одговор је под г).

134 6 Прва реченица није тачна, јер : уочимо два цела броја 0 и 09 и проверимо који од њих је ближи броју 09, 0 09, = 0,8 09, - 09 = 0, одавде видимо да је броју 09, најближи цео број 09, а није број 0. заокружи НЕ. Друга реченица је тачна, јер : уочимо два броја са једном децималом,5 и,4 и проверимо који је ближи броју,4556,5,4556 = 0,0444,4556,4 = 0,0556 одавде видимо да је броју,4556 најближи број са једном децималом број,5. заокружи ДА. Трећа реченица је нетачна, јер : уочимо два цела броја 500 и 499 и проверимо који је ближи броју 499, ,4 = 0,6 499,4 499 = 0,4 одавде видимо да је броју 499,4 најближи цео број је број 499. заокружи НЕ.

135 7 0: 7= 00, :7=00,4 видимо да одговори под в) и г) не долазе у обзир, а одговоре под а) и б) упоредимо : а) 0 00,4 = 0,6 б)00,4 00 = 0,4 па је овај разломак тј. број 00,4 ближи одговору под б) тачан одговор је под б)! ВИДЕТИ НАПОМЕНУ БР. 6). Заокругљивање децималних бројева. а) б) Према правилу. у напомени бр. 6)

136 8 Према правилу у напомени бр. 6) в) г) Према правилу у напомени бр. 6) Према правилу. у напомени бр. 6) Биљка А B C Нова цена 8 9 6

137 Напомена бр. 7) Средњи ниво Обрада података КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Тачка Х је осносиметрична тачки А у односу на у- осу Тачка У је осносиметрична тачки А у односу на х- осу Тачка Z је централно симетрична тачки А у однсу на тачку О A (4,) Тачка В - осно симетрична са тачком А у односу на осу Ох y координата тачке А, y =, је два места изнад Ох осе, па ће y =. A Тачка С - осносиметрична са тачком С у односу на места десно од A OY - осе, па ће OY B XC - координата тачке С бити четири места од B X - координата тачке В, X = 4, је четири OY - осе. B B( 4, ) B : X = 4; Y = B C : X = 4; Y = C B C

138 Координате тачке В су В(,)

139

140 Тачка F (, ) симетрична тачки B(,) у односу на у- осу. Тачка E (,) симетрична тачки C(,) у односу на у- осу. Тачка G(4, ) симетрична тачки A( 4, ) у односу на у- осу. 4

141 5

142 Напомена бр. 8) Аритметичка средина Аритметичка средина n бројева се израчунава као количник збира ти хројева и броја тих бројева. AS = a + a + + a n... n Време очитавамо по Y оси - У Понедељак Радиша је учио 0 минута - У Уторак Радиша је учио 0 минута - У Среда Радиша је учио 5 минута - У Четвртак Радиша је учио 5 минута - У Петак Радиша је учио 5 минута - У Суботу Радиша је учио 45 минута Рачунамо аритметичку средину минута које је Радиша провео учећи математику x= = = Радиша је у просеку дневно провео 0 минута учећи математику. 6

143 Одредимо аритметичку средину дужине трајања дискова: Саберемо све дужине дате у табели и поделимо бројем дискова AS = 8 6 AS = 8 AS = 79 Минута Средња дужина трајања дискова Најближа вредност средњој дужини је 78 а то је дужина трајања диска 4. Диск број 4 има дужину трајања најближу средњој дужини трајања дискова. 7

144 Просечна дужина трајања филмова је. -Збир свих дужина трајања подељен бројем филмова ПД = = = Просечана дужина Број филмова Просечна дужина трајања ових филмова је 9 минута. 8

145 Просечан број сати: - Одредимо аритметичку средину броја сати које је Младен провео за рачунаром за 5 дана,5+ +, ПБС= = = сата 5 5 просечан бр. сати Број Дана У просеку је током тих 5 дана дневно провео сата за рачунаром 9

146 ` a) Растојање између Чачка и Никшића је 95 километара. б) Растојање између Никшића и Новог Сада је исто као и растојање између Никшића и Зрењанина. 0

147 Напомена бр. 9) МЕДИЈАНА Да би одредили медијану прво треба да поређамо бројеве у низ од најмањег до највећег Онда их пребројимо - Ако је непаран број чланова у низу Медијана је средњи члан низа - Ако је паран чланова у низу Медијана је аритметичка средина два члана која се налазе у средини низа. ПР. Одреди медијану низа бројева, 5,, 6, 8, 0, Прво их поређамо од најмањег до највећег -,, 5, 6, 8, 0,, Број чланова низа је непаран па је медијана средњи члан низа - медијана је 6 ПР. Одреди медијану низа бројева -, 4, 64, -, 567, 456 Прво их поређамо од најмањег до највећег -, -. 4, 64, 567, 456 Број чланова низа је паран па је медијана аритметичка средина два средња члана Медијана је = 8 = Избројимо цртице за сваки дан: Понедељак Уторак 9 Среда Четвртак 4 Петак Субота 7 Поређамо податке од најмањег до највећег Паран је број податак, има их 6, па је медијана збир средње две вредности подељен са. + M = = M =,5 Медијана за прикупљене податке је,5

148 Мање од 65cm 64 једна чланица 65cm 68cm три чланице cm 7cm 7 70 четри чланице 7cm 75cm 7 74 две чланице 76cm 78cm 76 једна чланица Више од 78cm 80 једна чланица

149 Ученик Ученик Ученик Ученик 4 Ученик 5 Ученик 6 Ученик 7 Ученик 8 Ученик 9 Ученик 0 Ученик Ученик сата,5 сата сата сат,5 сата сата сат,5 сата 4 сата сата сат 0,5 сата h сата 4 ученика су гледали ТВ. сат <h сата ученика сата < h сата 4 ученика h > сата ученик. Број сати ( h ) h сата сата < h сата сата < h сата h > сата Број ученика 4 4 Број деце поређамо од најмањег до највећег Број података је непаран па је медијана број који је на средини, дакле четврти број у низу, то је: 78 Медијана је 78

150 а) Успех ученика на тесту из математике оцена број ученика

151 б) Средња оцена из математике: рачунамо аритметичку средину оцена. Збир свих оцена СО = = Број ученика= број оцена Средња оцена = = 0 0 СО=, Средња оцена на тесту из математике је, p= 5% G : P= 00 : p G= : P= 00 :5 00 P= P= P= 0 46 P= P= P= 69 Динара Маја би уштедела 69 динара. 5

152 Школа ће купити 5 примерака тог часописа а то је више од 0 примерака, па ће добити попуст од % I начин p= % примерак = 00 динара. 5 примерака = 5 00=5000 динара G= 5000 динара. G : P= 00 : p 5000 : P= 00 : 00 P= P= 00 P= 50 P= Попуст за 5 примерака у динарима =4400 динара треба платити за 5 примерака. Школа ће часописе платити 4400 динара. II начин G= : P= 00 : p= % 00 P= 00 P= P= Динара, Ово је попуст за један примерак у динарима. 00-4=76 динара треба платити за примерак, а за 5 примерака: 5 76=4400 динара треба платити Школа че часописе платити 4400 динара. 6

153 G= 00 P= 48 G : P= 00 : p 00 : 48= 00 : p 00 p= p= p= p= 4% За општинско такмичење из математике пласирало се 4% ученика. G= 60 Евра Остварује се попуст од 0% p= 00 0= 80% G : P= 00 : p 60 : P= 00 :80 00 P= P= P= 5 P= P= 504 Евра Цена са попустом износи 504 евра 7

154 G= 60 P= 6 60 : 6= 00 : p 60 p= p= p= 60 p=0% Тачан одговор је под г) 8

155 Напредни ниво Бројеви и операције са њима A: B=? A= : B= + : A= : = : = = B= + : + = + : + = : = = A: B= : = = = ( 0, 7+ 0, 4 : 0,5 ) :( 0,) +,= ( 0, 7, ) :( 0,), ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = =, 7+, : 0, +,=,5 : 0, +,= = 5 :+,= 5+,= 6, 4 4 : = = 4 : = = = 4 = + = =

156 A= 4 :( 0,85 ) : ( 5,56+ 4, 06) = 4 A= 9 { 4, 5 :( 0,85) 0,5 }: (,5) ( 0,) { 5 0,5 }:{ 0,54} 4, 5: 0,5 9 { } = = = = = + 5 B= + = = = = 6 6 B= A+ B 9+ 0 = = = 5 A B=? : B A= + = A= + = + = = = 6 B= = = = A B= = A=, B=, A B= Број је дељив са 6 ако је дељив са и са. Тражимо најмањи петоцифрен број. Кaко би то био најмањи број логично је да је права цифра. Друга цифра била би 0 Трећа цифра била би Четврта цифра била би дакле имамо прве четири цифре 0 одредимо, пету цифру.

157 да би број био дељив са, задња цифра мора бити парна (4, 6 или 8) Број мора бити дељив са па збир цифара мора бити дељив са. Проверимо збир цифара у случају да је последња 4, 6 или 8. Последња цифара 4 број је 0 4 Збир цифара је: = 0 Збир цифара није дељив са, па задња цифра не може бити 4. Последња цифра 6 број је: 0 6 Због цифара је = Збир цифара је дељив са : = 4 Па је задња цифра 6. Тражени број је: 06 Број је дељив са 8 ако је дељив са и 9 Највећи четвороцифрени број је 9999 али он није дељив са 8. Мора бити дељив са па последња цифра мора бити парна и дељив са 9 па збир цифара мора бити дељив са 9. Прве три цифре су 999, њихов збир је 7. Посматрамо последњу цуфру, она је нека од цифара 0,, 4,6 или 8, па када је саберемо са 7 добијамо број дељив са 9. Видимо да је једино 7+0=7 дељиво са 9. па је последња цифра 0. Највећи четвороцифрен број дељив са 9 је 9990 То је број < број војника < 00 Број војника мора бити дељив и са 4 и са 6 па мора бити дељив са то је НЗС (4,6) Проверићемо за сваки број од 8 до 99 да ли једљив са. То је број 9 јер је 9:=6 Укупно је било 9 војника.

158 Број је дељив са ако је дељив и са и са 4 Тај број мора бити дељив и са и са 4. Највећи троцифрени број је 999, он није дељив са 4 па изаберемо последњу цифру тако да доб ијени број буде дељив и са и са 4 Прве две цифре су 99 и њихов збир је 9+9=8 Због дељивости са задња цифра би могла да буде 0,, 6, или 9 Због дељивости са 4 двоцифрен завршетак овог броја мора бити дељив са 4 Ако изаберемо последњу цифру 6 број је 996 збир цифара му је 9+9+6=4 и дељив је са а двоцифрени завршетак му је 96 и дељив је са 4 па је тражени број 996 дељив и са и са 4 То је број 996 Бројеви пете хиљаде почињу цифром 4, цифра десетица, па су ти бројеви облика 4 _ да би били дељиви са 9 збир цифара мора бити дељив са 9. Имамо збир две цифре: 4+=6 Збир друге две цифре мора бити или, да би збир цифара броја био 6+=9 или 6+=8, дакле дељив са 9. - Ако је збир друге две цифре : x+ y= Могућности за X и Y су: X = 0 и Y = X = и Y = - Ако је збир друге две цифре : X + Y = Могућност за X и Y су: X = и Y = 9 X = 4 и Y = 8 X = 5 и Y = 7 X = 6 и Y = 6 Тражени бројеви су: 40, 40, 4, 4 49, 49, 448, , 475, 466, Од ових изаберите три броја. То су бројеви 4, 49, 475 4

159 Од 60 литара бензина пређе се 600 километара. Аутомобил троши литар на 0 километра = литара, пали се лампица када је у резервару мање од литара бензина. Ако се лампица упали, у резервару има мање од литара бензина и доливено је још 9 литара. Сада је у резервару мање од литара бензина. Аутомобил троши литар на 0 километра. Са мање од литара бензина у резервару можемо прећи око 0 километара. Можемо прећи 0 километара. Т- тачни одговори Н- нетачни одговори T = H T+ H = 0 T = H H+ H = 0 T = H 4H = 0 T = H H = 0 4 T = H H = 5 H = 5 T = 5= 5 Срђан је тачно решио 5 задатака. 5

160 P СПАВАЋА =, 4m P =,4m,m = 9,m ТРЕПЕЗАРИЈЕ P = P : = 9, m : = 4,65m КУХИЊЕ ТРЕПЕЗАРИЈЕ P = P : =,4 m :=,8m ХОДНИКА СПАВАЋА P = 5 P = 5,8m = 9m ДНЕВНА ХОДНИКА P = P : =,4 m : = 5,7m КУПАТИЛО СПАВАЋА и стан има спаваће собе! Саберемо површине свих просторија P = 9,+ 4,65+, ,7+,4 = 65,5 СТАНА Укупна површина стана је 65,5m² P- приход породице Перић P = динара- за одевање. P= = Динара P Приход породице перић месечно. P За стан и храну = 000= за стан и храну За друге потребе им остаје: ( ) = = 0000 Динара За друге потребе породица потроши динара 6

161 Букет: 4 руже по 5 динара 4 5=40 динара беле раде по 5 динара 5=75 динара за прављење букета 60 динара Букет кошта: =75 динара 500:75 5,46 букета Па цвећарка треба да прода најмање 6 букета да би зарадила више од 500 динара Цвећарка треба да прода најмање 6 букета. 7

162 Напредни ниво Алгебра и функције ( x ) ( x )( x ) + 0 Квадрат бинома За ( x) Разлика квадрата x x 4x 4x+ 4x + 0 4x 0 4x x 4 x x разлика датих израза је ненегативна. a+ b= 8 a= b a= b 4 4 b+ b= b= b= 8 = 6 7 a= 8 6 Први број је, други број 6.

163 Ђ= Л ( Ђ 0) = 5( Л 0) -Пре десет година и Лазар и Ђорђе су имали 0 година мање ( Л ) Л 0= 5 0 Л 0= 5Л 50 5Л Л = 50 0 Л = 40 Л = 0 Л = 0 Година Ђ= 0=60 Година Ђорђе сада има 60 година. x x < 4 x + 4x < 4 7x 4 < 4 7x 4< 7x< 6 6 x< = x {, } Вредност за х су само природни бројеви. 7 7 За x {,} разлика датих израза је мањи од.

164 6 x 4 > 4 ( 6 x) > 4 6+ x > 4 6+ x> x> 6 x> Решење је под б)

165 = = = = 7 7 Одговор под в) = = 7 x x 4 прво да упростимо израз : x 0 x 0 : x = : x = : x = x ( ) ( ) 7 x : x = x : x = x : x = x : x = x = 4 5 x x x x x x овде прво морамо да средимо степене у загради, тј. да средимо израз у загради па онда сређени израз степенујемо на квадрат, и све то строго пратећи особине степеновања. x = 5 је : вредност овог израза за ( ) = 4 4 ( 5) 4 4 = [ 5] = [ 5] = 5 = 65 4 ( 6) 0,6 = 9 6 0,6 = 6 0,6 =,6 Вредност израза је -,6 4

166 ( ) : = : ( ) : : + = 4 = + = + = Вредност израза је 7 7 : ( 4 5) = = = 04 a) 0, 4=, б) 0400 = 0 в) 0,0= 0, 5

167 Треба да израчунамо а + б Погледајмо формулу за квадрат бинома ( ) а+ б + а + аб + б Одавде је: ( ) вредности а + б = а+ б аб Изразили смо а+ б= 5, a b= 4 ( ) a + b = a+ b ab a + b = ( 5) 4 a + b = 5 a + b = 4 Тачан одговор је под в) а + б преко а+ б и а б сада заменимо дате 6

168 Применимо формулу за квадрат бинома:( ) a+ b = a + ab+ b ( a ) ( a )( a ) a( 4a) = ( ) = a + a+ a a+ a+ + a a = = a + a+ + a + a a + a a = = + + 5a a 7 Применимо формулу за квадрат бинома:( ) a+ b = a + ab+ b Квадрат збира монома x и 5y је ( x+ 5y) Збир квадрата монома x и 4y је ( x) + ( 4y) { } ( x 5y) ( x) ( 4y) + + = { } = 4x + 0xy+ 5y 9x + 6y = 4x + 0xy+ 5y 9x 6y = = 5x + 0xy+ 9y Применимо формулу за разлику квадрата: a b = ( a b)( a+ b) ( a )( a+ ) ( a 6)( a+ 6) = ( a ) = a + a a 6 = = a a a + 6= = a a+ 5 Тачан одговор је под а) 7

169 7 = 7 7+ = 4 0= 40 а) ( )( ) б) ( ) 7 = = = 6 в) 7 + = 49+ 9= 58 г) ( ) 7+ = = = 00 Да одредимо линеарну функцију y= kx+ n треба да одредимо k и n График ове функције је паралелан графику функције y = x + 99 из услова паралелности k = k Тачка A( 4,8) припада грагику функције, заменимо њене координате у функцију. 8= ( 4) + n 8= + n n= 8 6 n= Одредили смо k и n, сада је функција : y= x+ k = 8

170 5 ученика 8дана 8 ученика х дана /Јер после дана им се прикључило још друга, па су имали још 8 дана да раде Повећава се број ученика који раде Смањује се број дана. 5:8 = x :8 8 x= x= 8 x= 5 Дана Сви заједно завршиће посо за 5 дана али 5 ученика су радили сами два па целокупан рад би био завршен за +5=7 дана Одговор: Фарбање ограде ученици ће завршити за 7 дана., 75h 60 km / h,5 h xkm / h Ако се повећа број сати путовања смањује се брзина.,75:,5 = x : 60,5x =,75 60,75 60 x=,5 x= 70 km / h Аутомобил треба да иде брзином од 70 km / h. 9

171 9другова 4дана х другова дана Повећа се број другова смањи се број дана потребних да се очисти базен. 9 : x= : 4 x= 9 4 x= 9 4 x= 4 x= Другова Значи број другова треба да се повећа за -9= друга, Базен ће бити очишћен за три дана ако им помогну још друга. y= x+ k = График је опадајући па је у питању график под в) или под г) n= График функције сече у- осу у тачки (0,) то је на графику под в) Тачан одговор је под в) 0

172 x видео игрица y филм. x+ y= 600 игрице и филма коштају 600 динара. x= 6y филм 6 пута јефтинији од игрице 6y+ y= 600 Систем решимо методом замене x= 6y 8y+ y= 600 x= 6y 0y= 600 y= 0 x= 6y 600 y= 0 x= 6y x= 6 0= 860 Игрица кошта 860 динара, филм кошта 0 динара. Група горана трећег разреда минут 80КОРАКА 60cm= 4800cm - пређу за минут. 9 минута = 400cm - пређу за 9 минута. Група горана шестог разреда минут 00KORAKA 75cm= 7500cm x= 7500 x 7500 x 4800 x= x= x= 700 x= 6 минута Трећи разред иде 4800cm по минуту и пређе 400cm и тада их стигне шести разред који прелази 7500cm по минуту Друга група горана ће се придружити првој групи за 6 минута.

173 " центар " 5 путника " код моста " ( х) 5 + 4= 56 x Изађе неколико путника Уђе још 4 " Следећа станица " ( х) ( x) = 5 сада је у аутобусу 5 путника Изађе путника Уђе троје = 5 ( 56 x) = 5 56 x= = x / 66= x ( x) ( x) x= 46 x= На станици " код моста " из аутобуса су изашла путника.

174 x y= 4 y x+ = / + ( ) Систем решавамо методом супротним коефицијената. x y= 4 x+ y= y= x 4 x+ y= 4x= 6 x+ y= 6 4 x= = + y= x= y= = x= y= = 4 + = 4 + = 9+ = 0 x y Тачан одговор је под б) ( ) 4

175 х- пријатељи којима је слала писмо у- пријатељи којима је слала разгледницу x+ y= 9 0x+ 5y= 0 x= 9 y 0x+ 5y= 0 x= 9 y ( ) 0 9 y + 5y= 0 x= 9 y 90 0y+ 5y= 0 x= 9 y 5y= 0 x= 9 y y= 4 x= 9 4= 5 y= 4 x= 5 y= 4 Нађа је послала 4 писама и 5 разгледнице 4

176 Напредни ниво Геометрија α α = 80 5α + 60 = α = α = 0 α = SAC= A SAC = SAC= SAC= 5 A= 5 0 A=

177 B+ A+ C = 80 B = B= B= Унутрашњи угао код темена А је и Унутрашњи угао код темена В је α = 44 Једнаки су као унакрсни углови. 0 α = α = 44 Једнаки су као углови са паралелним крацима. 0 Посматрамо осенчени троугао један спољашњи угао је 0 Одговарајући унутрашњи угао је: = 50 β α = 44 У троуглу је један угао једнак углу α ( како углови са паралелним крацима ). Углови осеченог троугла су: α = 44, β, 50 Па је: 44 + β + 50 = β+ 94 = β = β = α = 44 и 0 β = 86

178 o ' β = 5 5 o ' 0 0 ' 0 ' α = 60 5 α = = 9 45 α+ β+ γ = γ = 80 0 ' 0 ' ' 0 ' γ = γ = γ = Уочимо шрафирани троугао из којег можемо израчунати угао α α+ α = 80 0 ' α = 80 0 ' ' α = ' α = 44 0 α = α = 0 ' ' 48 0 α α

179 Троугао ABD је једнакокрако правоугли. па је AD= AB= 6cm BD = AB + AD Питагорина теорема BD BD BD BD= = = 6+ 6 = 7 7 BD= 6 = 6 Сада посматрамо правоугли троугао BCD. Код њега важи да је катета BD наспрам угла од BD= BC BD= BC 6 = BC 0 0 једнака половини хипотенузе, па је: BC= Допунимо троугао ВСD до једнакостраничног троугла, тада је СD висина једнакостраничног троугла. BD CD= CD= BD CD= 6 CD= 6 6 O= AB+ BC+ CD+ AD O= O= ( ) O= cm Посматрамо троугао AMN према питагориној теореми је: ( ) a + a = MN a + 9a = 0 0a = 0 a a 0 = 0 = 0 A M N 4

180 Површина квадрата: P= a a= a = 0cm Површина фигуре је површина 5 квадрата. P= a a= a = 0cm P P P ФИГУРЕ ФИГУРЕ ФИГУРЕ = 5 Р = 5 а КВАДРАТА = 5 0= 50cm Дијагонале трапеза се секу под правим углом, и формирају једнакокрако правоугле троуглове. Шрафирани троуглови су једнакокрако правоугли, па из њих можемо одредити висину трапеза: h= 6+ = 8cm a+ b P= h Површина трапеза b=4cm. cm P= P= 6 4 P= 64cm cm

181 A Прво нацртамо слику: C cm H 5cm 0cm B Посматрамо троугаоahc он је једнакокрако правоугли AH = CH = 5cm Применом питагорине теореме израчунавамо дужину странице AC AC = AH + CH AC AC AC= 50 = = 5+ 5 AC= 50 = 5 AC= 5 cm Посматрамо троугао BHC то је правоугли троугао са оштрим угловима од Важи: Катета наспрам угла од CH = BC CH = BC 5cm= BC BC= 0cm 0 0 једнака је половини хипотенузе 0 60 и 0 0 Путем питагорине теореме израчунавамо дужину BH. BH + CH = BC BH = BC CH BH BH BH = 0 5 = 00 5 = 75 BH = 75= 75 BH = 5 ( ) AB= AH+ BH = 5cm+ 5 cm= 5 + cm. обим је : O= AB+ BC+ AC O= O= ( ) O= cm 6

182 Дужина жице је обим овог трапеза! Одредимо непознату страницу. Посматрамо правоугли троугао: ( ) c = a b + h c ( ) = b=6 c c = 9 + = h= c c = 5 c= 5 c= 5m O= a+ b+ c+ h O= O= 48m a=5 a-b 5-6=9 Потребно је 48m жице. 7

183 rπα Дужина кружног лука: l= π 7 l= 0 80 l= 8πcm Обим круга једнак је дужини кружног лука O= l= 8πcm O = rπ KRUGA 8π = rπ 8π = rπ r= 8 r= 4cm Полупречниг круга Дужина полупречника тог круга је 4cm 8

184 0 0 0 Један спољашњи угао многоугла је: α = 45 n α = 8 α = спољашњи угао многоугла Посматрамо једнакокраки троугао са углом од α + 5 = α = 80 5 α = 45 0 ' α = α+ α= 80 α = = 5 унутрашњи угао многоугла. 0 α = 5 0 5, код њега су углови на основици једнаки, па је: α β α Слика бр. α Посматрамо једнакокраки трапез са два угла од по α + α = 60 α = α = 90 0 α = , код њега су углови на основици једнаки, па је: β Угао β је: 0 α+ β+ α = 5 Слика бр. 0 + β+ 45 = 5 0 ' ' β = ' β = ' β =

185 Крива линија се састоји од три полукруга, па је дужина криве линије збир три полуобима датих кругова. - Први полукруг има пречник r = 6m r = cm Обим је: O = rπ O = π = 6πcm 9 - Други полукруг има пречник r = 9cm r = cm 9 Обим је: O = rπ O = π = 9πcm - Трећи полукруг има пречник r = cm r = cm= 6cm Обим је: O = rπ O = 6π = πcm Дужина криве линије је: O O O O= + + 6π 9π π O= + + 7π O= O=,5πcm Дужина криве линије је,5π cm 0

186 Тетива AB једнака је полупречнику круга AB= OA= OB Троугао AOB је једнакостраничан па су му сви углови по 0 60 Над истом луом, централни угао је два пута већи од периферијског. над кружним луком АВ, централни угао је AOB= ACB 0 60 = ACB= 0 Мера угла АСВ је ACB AOB а периферијски угао је ACB C O 0 60 A B

187 или: r πα l= Површина кружног исечка 0 60 P= r π Површина круга 0 r π 0 l= 0 60 l= r π l= P Површина кружног исечка је пуа мања од површине круга. Како пун круг има Па је: :0 = 0 60 а кружни исечак има централни угао од 0 0. Мањи је пута.

188 Обим великог круга лопте је: O= rπ = 5, 6cm 5,6 r= π 5,6 r=,4 5,6 r= 6,8 r= 0cm Полупречник лопте. Да би лопта стала у кутију облика коцке њен пречник мора бити једнак ивици коцке. Па је: r= a a= 0cm a= 40cm ивица коцке. Тачан одговор је под б)

189 На слици видимо да је троугао AOS једнакокрако правоугли. d H = d = a Дијагонала основе правилне четворостране пирамиде ( дијагонала квадрата странице a ) a H = V = a H a V = a V = a 6 6 = 6 a a = 6 6 a = 6cm a= 6 a= = = = a= 6cm Дужина основне ивице је 6cm A 0 45 D d/. S H O B C P= B+ M a P= + a H = + 8 H = + 4 H 4 56 = H 56 = + 4 H 4 H = 56 4 H = 4 H = 4 4 H = cm Висина ове призме је cm 4

190 a= 7cm b : c= :5 b= k c= 5k V = 40cm P=? ( ) P= ab+ ac+ bc Одредимо ивице квадра b и c. V = a b c 40= 7 k 5k 40= 7 5k 40= 05k k k = = k = b= k = = 6 c= 5k = 5 = 0 ( ) ( ) ( ) P= ab+ bc+ ac P= P= P= 7 P= 44cm Површина квадра је 44cm² 5

191 Посматрамо троугаоsoa Питагорина теорема: a h = H + 69= = H + 69= H + 5 H H H = H = 69 5 = 44 H = 44 V = B H V = a H V V V V 0 = = = 00 4 = 400cm 4 00 Запремина пирамиде је 400cm³ 6

192 Површина основне купе: P = r π O 08π = r π r = 08 r= 08 r= 6 r= 6 cm Погледајмо слику! Допунили смо до једнакостраничног троугла, страница тог троугла је Н а висина је r a h= висина једнакостраничног троугла h= r a= H H 6 = H = 6cm запремина купе V V V КУПЕ КУПЕ КУПЕ = B H = 08 π 6 = 6πcm H H 0 7

193 запремина лопте V 4 V 4 4 V ЛОПТЕ = r π ЛОПТЕ = π ЛОПТЕ ЛОПТЕ ЛОПТЕ = V = 4 9π V = 6πcm 9 7 π Однос запремине купе и лопте: V : V = 6 π : 6π КУПЕ ЛОПТЕ 6 V = 6 V V V КУПЕ КУПЕ КУПЕ 6 = V 6 = 6V ЛОПТЕ ЛОПТЕ ЛОПТЕ Запремина купе је 6 већа од запремине лопте. Површина полукруга : PКРУГА PПОЛУКРУГА = r π 8 π 4π PПОЛУКРУГА = = = = 6πcm Ако се овај полукруг савије у омотач купе, његова површина је површина омотача купе P = M = 6πcm ПОЛУКРУГА M = 6πcm S = 8cm - (полупречник полукруга је изводница купе) M = rπs 6π = rπ 8 6 r= 8 r= 9cm Полупречник основне купе S r H 8

194 Питагорина теорема: S = r + H 8 = 9 + H H H H = 8 9 = 4 8 = 4 H = 4= 8 = 9 cm Запремина купе: V = r πh V V V V 9 π 9 = 7 = 8 π 9 = 7π 9 = 4π cm Прво израчунавамо запремину целе лопте ( целог колача ) колач је лопта полупречника + = 6cm. V Запремина целог колача. Онда израчунавамо запремину унутрашње лопте ( део колача од марципана ), чији је полупречник cm V Запремина дела колача од марципана. Тражену запремину слоја од чоколаде добијамо као разлику 4 V = r π 4 V = rπ 4 V = 6 π 4 V = π 7 4 V = 6 π V = 4 π V = 4 9π V = 4 7π V = 6πcm V = 88πcm V = V V V = V V V = 88πcm 6πcm V = 5πcm Запремина дела колача од чоколаде у овом колачу је 5π cm 9

195 b=cm H=b a=9cm a Из правоуглог троугла применом питагорине теореме нађемо изводницу купе. S = r + H S S = 9 + = S = 5 S = 5 S = 5cm Оснос површине основе и површине омотача: B= r π M = rπ π π B : M = r : r S B : M = r : r S B : M = r r : r S B : M = 9 :5 B : M = :5 Тачан одговор је под в) :5 0

196 Пречник лопте биће једнак ивици коцке r= 0cm r= 0cm Полупречник лопте P 4r π = површина лопте P= 4 0 π P= 4 00π P= 400πcm Површина лопте је 400π cm Површину осенченог дела троугла одредићемо тако што од површине великог троугла одузмемо површину малог троугла. Применом питагорине теореме израчунавамо дужину хипотенузе AB. AB = BC + AC AB AB AB AB= = 5 + = = 69 AB= 69 Велики и мали троугао су слични па су им одговарајуће странице пропорционалне. BC : BC= AB : AB AC : AC= AB : AB BC : 5=, 5: BC =,5 5, 5 5 BC = AC :=, 5: AC =,5, 5 AC = BC =, 5cm AC = cm

197 AC BC PABC = P ABC PABC 6 5 = = 6 5 = 0cm P P P ABC ABC ABC AC BC =, 5 = =,875cm P P = 0,875 = 8,5cm ABC ABC Површина осенченог дела троугла на слици је 8,5 cm Троуглови АВС и BDE су слични. Странице су им пропорционалне. AB : BE= AC : DE ( x ) x ( x ) + 5 : = : = x 9x+ 45= x x 9x= 45 x= 45 EB= 5cm x= 5cm

198 Једнакокраки троугао има обим O= a+ b O= 40cm a = 8cm b= a+ 40= a+ b ( ) 40= a+ a+ 40= a+ a = a 6= a 6 a= a= cm b= + = 4cm За сличне троуглове важи: a : a = O : O :8= 40 : O O = O = O = 60cm Напомена бр. 0) I Став Два троугла ABC и ABC су слична ако и само ако је један пар страница једног троугла пропорционална пару страница другог, а углови за x већи овим страницама једнаки су међу собом. II Став Троуглови одговарајућа угла другог III Став Троуглови пропорционалне. ABC и ABC су слични ако и само ако су два угла једног троугла једнака са два ABC и ABC су слични ако и само ако им све одговарајуће странице IV Став ABA троугла ABC и ABC су слична ако и само ако су две странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог, углови наспрам двеју од тих одговарајућих страница јенаки, а наспрам других двеју одговарајућих страница су оба угла оштра, оба права или оба тупа.

199 C M N A B MN : AB= : CM : MA=? Троуглови CMN и ABC су слични према ставу II. ( MCN = ACB И CMN = CAB) па су им одговарајуће странице пропорционалне тј. MN : AB= CM : AC према ставу III сличности троуглова. MN : AB= CM : AC= : CM : AC= : Па ће бити: CM : MA= : Тачан одговор је под а) 4

200 . Тачно Сви једнакостранични углови су слични јер су им сви углови једнаки (по 0 60 ). Нетачно. Тачно Два једнакокрака троугла са углом при врху од (по 0 7 ) 0 0 су слични, јер су им углови на основици једнаки 4. Нетачно 5

201 Напредни ниво Мерење прво изразимо површину плаца у квадратним метрима : 5,4 ара = 5,4 * 00 m = 54 m ар = 00 m : 54 m = динара цена једног квадратног метра. Квадратни метар плаца из огласа кошта динара. висина целог стуба једнака је збиру висина датих делова стуба S = 9 S 7 + S dm S+ 7S S = dm S = S = 9 S 8 S + 56 dm +56 dm S - S = 56 dm

202 S = 56 dm S = * 56 dm S = dm dm = * m =, m 0 Стуб је висок, m. Једна недеља има 7 дана, ако је данас уторак за седам дана ће опет бити уторак. Проверимо да ли је 0 дељиво са 7 0 дана је 7 недеља и дан. после 7 недеља ће опет бити уторак, а после 0 дана биће среда, јер је то један дан после уторка. За 0 дана биће СРЕДА. Површина земљишта,5 ha a =,5 * 00 a a = 5 a a = 50 a ha = 00 a 50 a = 50 * 00 m = 500 m a = 00 m Радетова њива има 500 m тачан одговор је под в)

203 часа и 5 минута = * 60 минута + 5 минута = 0 минута + 5 минута = 5 минута 5 5 = 0 минута 0 минута = 0 * часа = 0, часа 60 = 0 часа + 0, часа = 0 часа + 0, * 60 минута = 0 часа + 8 минута Никола бадем 59 динара орах 46 динара лешник 64 динара кикирики 4 динара сунцокрет динара сусам 4 динара Никола је израчунао = 7 динара. Касир 58,5 + 6,89 +,0 + 45, , ,5 = 7,9 7 касир је заокружио на цео број динара. Видимо да се њихова израчунавања разликују за 7 7 = динара тачан одговор је под в)

204 заокруглимо све податке: a= 0, 0 m b= 7,9 8 m c=,8 m,0 динара V = abc V = 0 * 8 * = 40 m 4 V = 4 * 40 = * 60 = 80 m 80 m * = динара кошта једно пуњење базена. најближа вредност овој од понуђених била би под в) тачан одговор је под В) 4

205 Лазар грешка је :,5, = 0,05 m = 0,05 00 cm =,5 cm Немања грешка је :, m =, 00 cm = 0 cm 8 cm = cm Андрија грешка је :, dm =, 0 cm = cm ;, m = 0 cm; cm 0 cm = cm Теодор грешка је : 09 mm = 09 cm =0,9 cm 0 cm = 0,9 cm 0 Грешку у мерењу мању од једног центиметра направио је ТЕОДОР. цена једне поруке је,85 динара Мила је заокруглила на најближи цео број,85 цена једног минута је 7, динара - Мила је заокруглила на најближи цео број 7, 7 број порука је 9 Мила је ѕаокружила на најближу десетицу 9 90 број минута је 48 - Мила је ѕаокружила на најближу десетицу динара = 570 динара 50 7 динара = 50 динара Рачун за јул износи : = 90 динара Мила је на тај начин израчунала да ће платити 90 динара. 5

206 Мира : прво је заокруглила податке па их је сабрала 4,6 5 6, 6 5, = 7 Вера : прво је сабрала податке, па је онда заокруглила резултат 4,6 + 6, + 5,6 = 6,4 6 Мира је добила већи број од Вере тачан одговор је под а) 6

207 Напредни ниво Обрада података Прво ћемо решити систем од две једначине, решење система је тачка пресека ових функција. y= x+ x y= 0 y= x+ ( ) ( x ) x + = 0 y= x+ x x = 0 y= x+ 5x 5= 0 y= x+ 5x= 5 y= x+ 5 x= 5 y= x+ x= x= y= + x= y= 0 Тачка A(,0) је тачка пресека ових функција. А(-,0) Напомена бр. СРЕДИШТЕ ДУЖИ Нека су координате крајњих тачака: A( x, y ) (, ) која је средиште дужи АВ, су S( x, y ) x+ x y+ y Где је: xs = и ys = S S Растојање између две тачке A( x, y ) и B( x, y ) (, ) = ( ) + ( ) d AB x x y y B x y, координате тачке С,

208 S( x, y ) средиште дужи АВ; A( x + y ); B( x + y ) x y S S x + x 6+ 8 y + y S = = = = S = = = = Координате тачке S су S ( 4, 4) Одредимо сада средиште дужи BS, (, ) M x y Средиште дужи ВС M M x+ xs xm = = = = y+ ys ym = = = = 5 Координате тачке М су: М(,5) Растојање између тачака М(,5) и О (0,0) (, ) ( 0) ( 5 0) = + 5 = d O M = + = = Средиште дужи BS удаљено је од координатног почетка 4

209 Тачка А има координате А (-, ), два пута веће вредности координата су: ( ) = 4 и = 4 Како у задатку каже да се ради о апсолутним вредностима координата, могућности за координате су: x= 4 и x= 4 y= 4 и y= 4 Па одговарајуће тачке са овим координатама су: 4, 4 (-4,4) (4,4) ( ) ( 4, 4) ( 4, 4) ( 4, 4) i A (-4,-4) (4,-4)

210 Тачка А има координате А(,-) Тачка С има координате С(, 5) Одредимо средиште дужи АС, нека је то тачка S( x, y ) S S xs = = = ; ys = = = S, Дијагонале робма се полове под правим углом Дакле, тачке В и D морају бити на првој у= ( ) у координата тачака В и D једнака је, дата је дужина странице АВ = 5 то је уједно дужина странице АD y= 4

211 (, ) = ( ) + ( ) ( x ) B ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( x ) ( x ) d AB x x y y 5= + 5= = B + 6 5= + 6 / = 5 6 ( ) x = 9 B B A B A B B B / Коренујемо КВАДРИРАМО ( ) x =+ 9 B ( x ) x x B B B =+ 9 = = 5 или x x x D D D = 9 = = Тачка В(5,) Тачка D(-,) Тачка А има координате А(,-) - Тачка А је удаљена од х- осе за па ћемо тражити тачке које су исто удаљене од х- осе за такве су тачке : (, ) x и (,) x... - Тачка А је удаљена од у- осе за а тачке које тражимо треба да буду удаљене од у- осе два пута више тј. удаљене за =4 такве тачке су: ( 4,y) и ( 4,y)... 5

212 Ако прегледамо и све могућности су: ( 4, ); ( 4, ); ( 4, ); ( 4, ) A A A A 4 A A -4 4 A4 A Видимо на графику да је Камион K кренуо у 0h Камино K кренуо у h а Камион K кренуо пре 0h а) Камион K је кренуо пре 0h 6

213 б) Брзина камиона: V S Пређени ПУТ = t Време Камион K : S = 50km ( читамо са графика податке ) t = h ( од 0h до h ) V S 50km km 75 t h h = = = Камион K : S = 0km ( од 60km до 80km то је 80-60=0km ) t = h ( од 0h до h ) V S 0km km 60 t h h = = = Камион K : S = 60km t = h ( од h до h ) V S 60km km 60 t h h = = = Упоредимо брзине V, V, V Највећа брзина је V камиона K б) Најбрже се кретао камион K 7

214 Јоца: У 8h кренуо из места А У место В је стигао у 9h и 40 минута. ( читамо на х- оси ) а) Јоца је стигао у место Б у 9h и 40 минута. Аца и Јоца су се срели у тачки где се секу линије њиховог кретања. б) Аца је срео Јоцу у h и 0 минута. (време читамо на х- оси ) Јоца је до сусрета са Ацом прешо km до места В и плус km (km - 0km ) у повратку у место А то је укупно km + km=44 km в) Јоца је прешо 44 km до сусрета са Ацом. 8

215 На х- оси читамо пређени пут у километрима на у- оси читамо количину горива у литрима. на почетку пута је било 5l горива у резервару.. На 40-ом километру је резервар допуњен од 5l до 40, па је сипано 5l горива.. На 85-ом километру је резервоар допуњен од 5l до 45l, па је сипано 0l горива. Према. и. у резервоар је сипано 5l +0l =65l У резервоар је сипано 65l горива. 9

216 Одељење: VIII : има ученика Одељење: VIII : има 6 ученика Одељење: VIII : има 5 ученика Одељење VIII : 4 има 7 ученика + 4+ = 8 ученика иде на секције -8=4 ученика не иде на секције. +=6 ученика иде на секције 6-6=0 ученика не иде на секције. ++=7 ученика иде на секције 5-7=8 ученика не иде на секције. 5+++= ученика иде на секције 7-=6 ученика не иде на секције Највећи број ученика који не похађају секцију има одељење VIII : то је 0 ученика. Одељење VIII 0

217 а) Крагујевац б) Краљево и Суботица в) 4km су удаљени Јагодина и Крагујевац г) Три града, а то су : Ниш, Нови Пазар и Зајечар. Јер у табели у колони Београд видимо да су ови градови удаљени редом: 9, 7, 6

218 Саберемо број становника у свим градовима = становника у пет највећих градова у Србији. Саберемо проценте: 0% + % +,4% +,6% + %= % % Становника живи у пет највећих градова у Србији. G : P= 00 : p G : 5 000= 00 : G = G= = G= Објашњење: Од података из тебеле израчунали смо да у 5 највећих градова Србије живи становника (сабирамо број становника у тим градовима) и сабирањем процента изачунали смо да % становника живи у тих пет градова у Србији. У формули за процентни рачун G : P= 00 : p заменимо податке Р= и p= % и добијемо укупан број становника у Србији. У Србији је 00 године живело становника.

219 На графику се види да до куће има 9 км, ако иде брзином од 6 km / h требаће му: S V = t S 9km t= = = h= h= h И 0 min V 6 km / h Кренуо је кући у h и 0 min, стићи ће за h и 0 min па ће бити кући у h и 0 min +h и 0 min Петар се вратио кући у h = h

220 количина хлеба у тонама ( t ) 4 I II III IV V VI VIIVIII IX X месец у години б) Пекара "Переца" је у октобру произвела,5 тона хлеба в) Производња хлеба је била испод,5 тоне у јануару и августу. 4

221 Број испитаника је =00 5

222 Од 0 минута до 5 минута маја се кретала костантном брзином. А онада је почела РАВНОМЕРНО да успорава до заустављања Равномерно значи да за минут успори km / h, за минута km / h, итд. 6

223 P= a b површина правоугаоника. P нови правоугаони са страницама a и b Страница a се повећа за 0% 0 a = a+ 0% a= 00% a+ 0% a= 0% a= a=, a 00 страница b се смањи за 0% 80 b = b 0% b= 00% b 0% b= 80% b= b= 0,80b P = a b =, a 0,8b= 0, 96 a b= 0,96 P= P= 96% P P 00 P = 96% P Тачан одговор је под г) I недеља маја кутија кекса II недеља маја 5% мање Рачунамо колико кутија кекса је продато друге недеље маја. G= 880 ( ) p= 00 5 = 85% G : P= 00 : p 880 : P= 00 :85 00P= P= 00 P= 748 Кутија кекса продато II недеље Укупно I и II недеље је продато: =68 Укупан број продатих кутија кекса је 68 7

224 Прво израчунавамо колико је цена рачунара ако је са попустом од 0% цена 4 динара G : P= 00 : p G : 4= 00 :0 0 G= G= 0 0 G= 40 Динара - цена рачунара Цена рачунара је повећана за 4% због промене курса динара: Да видимо колика је цена пре повећања за 4% јер је 4 0 динара цена са повећањем од 4% G : 4 0= 00 :04 04 G= G= 04 G= ДИНАРА Цена рачунара је била динара. Годишнја камата је 0%, Реља има динара, да видимо колико има на крају године када се сума увећа за 0% : P= 00 :0 00 P= P= 00 P= 000 На крају прве године Реља на рачуну има 000 динара, па му се сада на ову суму рачуна 0% повећања за другу годину : P= 00 :0 00 P= P= 00 P= 6 00 Реља на рачуну после две године има 6 00 динара Реља има на рачуну 600 динара. 8