Nelineárne optimalizačné modely a metódy
|
|
- Θεοφάνης Βυζάντιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská Bratislava
2 Metódy transformujúce úlohu na viazaný extrém na úlohu na voľný extrém Nemálo aplikačných problémov ekonomického rozhodovania vedie, k formulácii úlohy nelineárneho programovania na viazaný extrém. Úloha potom vyzerá tak, že sa hľadá extrém účelovej funkcie, ktorá reprezentuje kvantitatívne formalizovaný cieľ rozhodovania, napr. maximalizácia zisku firmy, pri splnení určitých ohraničujúcich podmienok, napr. podmienky neprekročenia disponibilných zásob výrobných faktorov. Tieto podmienky potom formálne opisujú množinu prípustných riešení úlohy. V najvšeobecnejšom tvare možno takúto úlohu formulovať nasledovne: min { f(x) xdr n } (7.5) V súlade s konkrétnymi vlastnosťami účelovej funkcie a so štruktúrou množiny prípustných riešení D potom skúmame určité typové triedy úloh nelineárneho programovania, pre ktoré sú v mnohých prípadoch k dispozícii aj špecifické algoritmy pre ich riešenie. Zaoberajme sa teraz skúmaním takýchto tried úloh na viazaný extrém a ukážeme si niektoré algoritmy použiteťné pre ich riešenie. Začneme pomerne jednoduchými algoritmami, ktoré sú založené na princípe transformácie úlohy na viazaný extrém na úlohu na voľný extrém. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č.
3 Lagrangeova metóda Lagrangeova metóda Metóda sa používa na riešenie úloh nelineárneho programovania s ohraničeniami v tvare rovníc f(x) min (max) pri ohraničeniach (7.6) h i (x) = 0, i=1,...,m kde funkcie f: R n R, h i : R n R pre i=1,...,m sú spojité a dvakrát spojite diferencovateľné, pričom pre počet premenných a počet ohraničení platí vzťah m<n. Postup riešenia spočíva v tom, že pre úlohu (7.6) sa skonštruuje Lagrangeova funkcia v tvare (7.7) L( x, v )= f( x ) vi hi( x ) kde v i pre i=1,...,m sú tzv. Lagrangeove multiplikátory. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 3 m i=1
4 Lagrangeova metóda Viazaný extrém funkcie f je totožný s voľným extrémom funkcie L. Totiž viazaný extrém úlohy (7.6) x o musí vyhovovať sústave ohraničení h i (x o )=0 pre i=1,...m. Preto v bode x o platí L(x o,u o )=f(x o ). Takže riešenie úlohy na viazaný extrém (7.6) môže byť nahradené riešením úlohy na voľný extrém (7.7), nakoľko na množine prípustných riešení je možné nahradiť funkciu f funkciou L. Pre riešenie úlohy (7.7) využijeme známe poznatky o extrémoch funkcií, ktoré boli uvedené v prednáške č. 3. a 4. Na základe nutných podmienok pre extrém určíme stacionárne body Lagrangeovej funkcie a na základe postačujúcich podmienok overíme charakter identifikovaných stacionárnych bodov. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 4
5 Lagrangeova metóda Nutné podmienky optimálnosti Nutnou podmienkou pre to, aby vektor x o єr n bol riešením úlohy (7.7) je existencia takého vektora Lagrangeových multiplikátorov v i pre i=1,...,m, pre ktoré platí: o L( x,v x j L ( x o v, i o ) f(x = x v o ) = h o j i ) ( x o m i=1 v i )= (7.8) Riešením sústavy rovníc (7.8) vypočítame stacionárne body Lagrangeovej funkcie (x o,v o ). Od stupňa zložitosti funkcií f, h i závisí, samozrejme miera numerickej obtiažnosti riešenia sústavy rovníc nutných podmienok extrému (7.8). h 0, i ( x x j o ) = 0 i=1,,m, j = 1,,n Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 5
6 Lagrangeova metóda - postačujúce podmienky Postačujúce podmienky Vieme, že overenie postačujúcich podmienok sa realizuje na základe určenia typu definitnosti kvadratickej formy Hessovej matice skúmanej funkcie. Nie je ťažké ukázať, že Hessova matica Lagrangeovej funkcie (7.7) má nasledovný tvar H(L(x,v)) = L(x,v) xi x j L(x,v) vl x j L(x,v) xi vl 0, pre i, j = 1,,n; l = 1,,m Hessova matica Larangeovej funkcie má teda rozmer (n+m,n+m) a je to bloková matica pozostávajúca zo 4 blokov. Ľavý horný blok je tvorený maticou druhých parciálnych derivácií Lagrangeovej funkcie podľa premenných x j. Ľavý dolný blok je tvorený maticou, ktorej riadky sú gradienty funkcií sústavy ohraničení s opačným znamienkom a pravý horný blok je transponovanou maticou matice ľavého dolného bloku. Pravý dolný blok je nulovou maticou. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 6
7 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 7 Lagrangeova metóda - postačujúce podmienky Hessovu maticu Lagrengeovej funkcie teda môžeme zapísať aj nasledovne: H(L(x,v)) = L(x,v) x x - h (x) x - h (x) x 0, pre i, j = 1,,n; l = 1,,m i j l i l j
8 Lagrangeova metóda - postačujúce podmienky Označme ďalej jako H k (L(x,v)) submaticu o rozmere (m+k,m+k), ktorú dostaneme z Hessovej matice H(L(x,v)) tak, že z nej vyškrtneme všetky riadky počnúc (k+1)-vým a končiac n-tým a analogicky všetky stĺpce počnúc (k+1)-vým a končiac n-tým. Potom a) postačujúcou podmienkou pre to, aby úloha (7.6) mala viazané maximum v stacionárnom bode (x o,v o ), je platnosť podmienky (-1) k H k (L(x o,v o )) > 0, pre k=m+1,...,n (7.9) b) postačujúcou podmienkou pre to, aby úloha (7.6) mala viazané minimum v stacionárnom bode (x o,v o ), je platnosť podmienky (-1) m H k (L(x o,v o ))> 0, pre k=m+1,...,n (7.10) Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 8
9 Lagrangeova metóda Príklad č.7.5 S použitím Lagrangeovej metódy riešme úlohu nelineárneho programovania f(x 1,x ) = 6-4x 1-3x min pri ohraničení x 1 + x - 1 = 0 Riešenie: Lagrangeova funkcia uvedenej úlohy má tvar L(x 1,x,v) = 6-4x 1-3x - v(x 1 + x - 1) Sformulujme teraz nutné podmienky existencie extrému Lagrangeovej funkcie v tvare (7.8) Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 9
10 Lagrangeova metóda Sformulujme teraz nutné podmienky existencie extrému Lagrangeovej funkcie v tvare (7.8) L(x,v) 1. = - 4 x1v= 0 x1 L(x,v). = - 3 x v= 0 x L(x,v) 3. = x1 + x - 1= 0 v funkcie, Riešenín tejto sústavy rovníc sú dva stacionárne body Lagrangeovej a) (x o1,v o1 ) = (-0.8, -0.6,.5) b) (x o,v o ) = (0.8, 0.6, -.5) Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 10
11 Lagrangeova metóda Preverme platnosť postačujúcich podmienok optimálnosti pre tieto stacionárne body. Vypočítajme Hessovu maticu Lagrangeovej funkcie úlohy a) (x o1,v o1 ) = (-0.8, -0.6,.5) b) (x o,v o ) = (0.8, 0.6, -.5) v H(L(x,v))= 0 - x1 0 v - x - x1 - x 0 a napokon Hessove matice úlohy v jej stacionárnych bodoch. H(L( x,v o o 1-5 ) )= H(L( x,v ) o o 5 )= V súlade s postačujúcimi podmienkami optimálnosti (7.9),(7.10) preskúmame znamienka determinantov matíc H k (L(x o,v o )) pre oba stacionárne body pre všetky k=m+1,...,n. V našom príklade však m=1, n= a preto k==n, takže stačí preskúmať iba determinanty pôvodných Hessových matíc, nakoľko H n =H. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 11
12 Lagrangeova metóda Dostávame det H(L(x o1,v o1 ) = 1.8 det H(L(x o,v o ) = -1.8 Vidíme, že: - determinant Hesovej matice v bode (x o1,v o1 ) = (-0.8, -0.6,.5) vyhovuje postačujúcej podmienke (7.9), pretože (-1) k det H(L(x o1,v o1 ) = (-1) (1.8) > 0, pre k=m+1= a bod (x o1,v o1 ) je teda bodom lokálneho maxima úlohy s hodnotou účelovej funkcie f max =11; - determinent Hessovej matice v bode (x o,v o ) = (0.8, 0.6, -.5) vyhovuje postačujúcej podmienke (7.10), pretože (-1) m det H(L(x o,v o ) = (-1) 1 (-1.8) > 0, a bod (x o,v o ) je bodom lokálneho minima úlohy s hodnotou účelovej funkcie f min =1. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 1
13 Metóda penalizačnej funkcie Metóda penalizačnej funkcie Pre objasnenie podstaty tejto metódy skúmajme najprv úlohu nelineárneho programovania s jedným ohraničením v tvare f(x) min pri ohraničení h(x) = 0 Túto úlohu budeme transformovať na úlohu voľnej optimalizácie f(x) + h (x) min pri ohraničení xr n kde >0 je určité veľké číslo. Intuitívne je zrejmé, že pri optimálnom riešení x o transformovanej úlohy musí byť hodnota h (x o ) blízka k nule, pretože v opačnom prípade je vždy možné nájsť nejaký iný bod x *, v ktorom prírastok f(x) bude pri dostatočne veľkom µ menší ako h (x). Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 13
14 Metóda penalizačnej funkcie Príklad č.7.6 [Bunday] S použitím penalizačnej funkcie riešme nasledovnú úlohu nelineárneho programovania. f(x) = x min pri ohraničení h(x) = x - = 0. Riešenie: Optimálnym riešením úlohy je evidentne bod x o = a hodnota účelovej funkcie f(x o )=4. Skonštruujme penalizačnú funkciu úlohy a riešme zodpovedajúcu úlohu na voľný extrém F F h (x)=(x - x, f(x)+ h (x) min x, x + (x - ) min kde x R 1, > 0. Preverme nutnú podmienku optimálnosti a určme stacionárny bod funkcie F(x,)=f(x)+h(x): df(x, ) = x + (x - 4)= 0 x x 0 x 1 dx x o = 1+ ) Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 14
15 Metóda penalizačnej funkcie Stacionárny bod je však funkciou parametra., ktorý ale v bode minima transformovanej úlohy nadobúda hodnotu a platí o o x = x ( ) =, > o x = lim 1 + = Overme teraz postačujúcu podmienku existencie minima funkcie F(x,) v bode x o d F(x, ) dx = + > 0, pre >0 Funkcia F(x,) je teda rýdzokonvexná na celom obore definície pre >0, takže bod x o = je bodom globálneho minima funkcie F(x,) a je teda aj riešením pôvodnej úlohy na viazaný extrém. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 15
16 Metóda penalizačnej funkcie Uvedený príklad bol, pravdaže, iba ilustratívny a jeho cieľom bolo vysvetliť ídeu penalizačnej funkcie. Úlohy so zložitejšou štruktúrou ohraničení a s väčším počtom premenných sa neriešia jednoduchým overením nutnej a postačujúcej podmienky extrému. Používané algoritmy však z tejto idey vychádzajú. Preskúmajme teraz úlohu s ohraničením-nerovnicou v tvare f(x) min pri ohraničení g(x) 0 Je zrejmé, že v takomto prípade nie je tvar penalizačnej funkcie f(x)+h (x) vhodný, pretože pri výbere bodu, pre ktorý g(x)0 sa uplatní automaticky pokuta bez ohľadu na to, aké je znamienko hodnoty g(x). Pokuta je však želateľná len v prípadoch neprípustnosti bodu x, t.j. ak g(x)>0. Prijateľnou bude teda v tomto prípade nasledujúca transformovaná úloha voľnej minimalizácie F(x,) = f(x) + max{0, g(x)} min pri ohraničení x R n Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 16
17 Metóda penalizačnej funkcie Vidíme, že v prípade, ak skúmame prípustný bod x, a teda platí g(x)0, tak sa penalizačná funkcia neuplatní, naopak, ak skúmame neprípustný bod x, a teda platí g(x)>0, tak sa uplatní pokuta vo výške g(x). V prípade úlohy nelineárneho programovania so zmiešanými typmi ohraničení v tvare f(x) min pri ohraničeniach g i (x) 0, pre i = 1,...,m (7.11) h i (x) = 0, pre i=1,...,l x X R n sa obvykle konštruuje penalizačná funkcia v tvare m p (x) = [ max {0,g (x)} ] + h (x) i=1 i l i=1 i p (7.1) kde p > 0, p Z. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 17
18 Metóda penalizačnej funkcie Potom sa konštruuje tzv. pomocná úloha v tvare () min pri ohraničení 0 kde () = inf { f(x) + (x) xx } pričom (x) je spojitá penalizačná funkcia v tvare (7.1). Dá sa ukázať, že platí inf { f(x) x X, g(x) 0, h(x) = 0 } = sup( ) lim ( ) 0 Z uvedeného vzťahu vyplýva, že kvantifikáciou funkcie θ(µ) pre dostatočne veľkú hodnotu µ sa možno dosť "priblížiť" k optimálnej hodnote účelovej funkcie východiskovej úlohy. Môžu ale vzniknúť určité problémy ak zvolíme dosť veľkú hodnotu µ a pokúsime sa riešiť pomocnú úlohu. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 18
19 Metóda penalizačnej funkcie Pri veľkej hodnote µ sa totiž najväčšia pozornosť venuje prípustnosti aktuálneho skúmaného riešenia a väčšina algoritmov voľnej optimalizácie má potom tendenciu pohybom v smere gradientu pomocnej funkcie identifikovať čo najskôr prípustné riešenie a predčasne zastaviť výpočty. Avšak takto nájdené riešenie môže byť dosť "vzdialené" od optimálneho riešenia východiskovej úlohy. Výpočtové problémy spojené s aplikáciou penalizačného parametra µ veľkej hodnoty sa vo väčšine konkrétnych implementácií algoritmov penalizačných funkcií riešia postupnosťou rastúcich hodnôt penalizačného parametra µ k pre k=1,,... na jednotlivých iteráciách algoritmu. Algoritmus metódy penalizačnej funkcie Inicializačná fáza Zvolíme - konštantu testu ukončenia algoritmu є>0, - východiskový bod x 1, - východiskový penalizačný parameter 1 >0, - koeficient transformácie penalizačného parametra b>0. Položíme k=1 a prejdeme k výpočtovej fáze. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 19
20 Metóda penalizačnej funkcie Výpočtová fáza Krok 1 o. Pri zadanom východiskovom bode x 1 riešime úlohu F(x) = f(x) + k (x) pri ohraničení xx Položíme x k+1 = x k kde x k je optimálne riešenie úlohy v kroku 1 o. Prejdeme na Krok o. Krok o. - ak k α(x k+1 )<ε algoritmus končí a bod x k+1 je optimálnym riešením východiskovej úlohy, - v opačnom prípade - položíme k+1 =b k - zameníme kk+1 a vrátime sa na Krok 1 o výpočtovej fázy. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 0
21 Metóda penalizačnej funkcie Poznámka Algoritmus je formulovaný pre úlohy v tvare (7.11) a penalizačnú funkciu (x) v tvare (7.1). Táto metóda nevyžaduje žiadne špeciálne vlastnosti funkcií f, g i, h i, okrem ich spojitosti. Efektívne použitie algoritmu však predpokladá efektívnu procedúru pre riešenie úlohy voľnej minimalizácie na kroku 1 o výpočtovej fázy algoritmu. Príklad č.7.7 [Bazaraa] S použitím algoritmu penalizačnej funkcie riešme úlohu f(x 1, x ) = (x 1 - ) 4 + (x 1 -x ) min pri ohraničeniach x 1 - x = 0 xxr Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 1
22 Metóda penalizačnej funkcie Riešenie Na každej k-tej iterácii musíme v snahe získať x k riešiť pri zadanej hodnote k úlohu voľnej optimalizácie v tvare F(x 1, x ) = (x 1 - ) 4 + (x 1 -x ) + µ(x 1 - x ) min pri ohraničení x X R V tabuľke č.7.10 sú uvedené výsledky výpočtov pri riešení úlohy metódou penalizačnej funkcie na jednotlivých iteráciách. Na obr. 7.3 je postup výpočtu znázornený graficky. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č.
23 Metóda penalizačnej funkcie Obr.č.7.3: Geometrická interpretácia metódy penalizačnej funkcie 0 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 3
24 Metóda penalizačnej funkcie Inicializačná fáza Zvolíme - východiskový bod x 1 =(,1) T, t.j. neprípustný bod globálneho voľného minima účelovej funkcie úlohy, - penalizačný východiskový parameter 1 =0.1, - transformačný koeficient b= parameter testu konca algoritmu ε = 0,05 Položíme k=1 a prejdeme na výpočtovú fázu Výpočtová fáza Krok 1 o. Riešime úlohu voľnej minimalizácie F(x 1, x ) = (x 1 - ) 4 + (x 1 -x ) + 0.1(x 1 - x ) min pri ohraničení xxr Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 4
25 Metóda penalizačnej funkcie Optimálne riešenie úlohy je x 1 = (1.4539, ) T a ďalšie vypočítané hodnoty sú nasledovné - aktuálny bod po prvej iterácii x = x 1, - hodnota účelovej funkcie východiskovej úlohy: f(x ) = Tab. č.7.10: Riešenie úlohy s metódou penalizačnej funkcie k k x k+1 =x k f(x k+1 ) (x k )=h (x k ) ( k )=F(x k ) k (x k ) (1.45,0.76) (1.17,0.74) (0.99,0.84) (0.95,0.88) (0.94,0.89) Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 5
26 Metóda penalizačnej funkcie Krok o. Overíme podmienku ukončenia algoritmu: 1 (x 1 ) = > Vidíme, že podmienka kritéria nie je splnená, takže bod x nie je optimálnym riešením úlohy. Preto položíme k=k+1=, vypočítame nový penalizačný parameter = b 1 = 10.0x0.1 = 1.0 a vrátime sa na krok 1 o. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 6
27 Metóda penalizačnej funkcie Všimnime si, že po vykonaní štyroch iterácií je podmienka konca algoritmu splnená, platí totiž 4 (x 4 ) = < 0.1 =. Optimálnym riešením východiskovej úlohy je teda bod x 4 = (0.9507, ) T. Piata iterácia bola vykonaná iba preto, aby sme ukázali, že proces riešenia skutočne konverguje k nulovej hodnote 5 (x 5 ) = Môžeme sa ľahko presvedčiť o tom, že v bode x 5 =(0.9461, ) T sú splnené podmienky optimálnosti Kuhna-Tuckera pre Lagrangeov multiplikátor s hodnotou v= Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 7
28 Metódy bariérových funkcií Základná myšlienka metódy bariérových funkcií spočíva v transformácii úlohy hľadania viazaného minima funkcie f(x), t.j. úlohy min f( x ) x D n R na úlohu nájdenia voľného minima funkcie F(x,), t.j. úlohy min n Fx, u f x Bx x R, 0 kde B(x) je tzv. bariérová funkcia. Požaduje sa, aby táto funkcia nadobudla vysokú hodnotu, ak skúmané riešenie je z hľadiska východiskovej úlohy neprípustné, inými slovami sú porušené niektoré ohraničenia úlohy. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 8
29 Metódy bariérových funkcií Skúmajme úlohu nelineárneho programovania s ohraničeniami v tvare nerovníc: pri ohraničeniach (x) g i f( x ) min 0,i = 1,,m Typická bariérová funkcia má tvar B(x) = m i=1-1 g (x) (7.13) i a transformovaná úloha voľnej optimalizácie je potom následovná n min { F(x, ) x R, gi(x) 0,i = 1,,m; >0 } kde m -1 F(x, ) = f(x) + B(x) = f(x) + min g (x) i=1 i Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 9
30 Metódy bariérových funkcií Skúmajme teraz jednoduchý ilustratívny príklad, ktorý však umožní ozrejmiť efekt pôsobenia bariérovej funkcie. Príklad S použitím bariérovej funkcie definovanej riešme nasledovnú úlohu nelineárneho programovania. pri ohraničeniach f 3 x x 1/ 3x 1 x min 1, 1 1 x 1 x 0 0 Riešenie: Bariérová funkcia úlohy je nasledovná B(x) = + +, pre x1, x x1-1 x x1-1 x 0 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 30
31 Metódy bariérových funkcií Riešme ďalej zodpovedajúcu úlohu optimalizácie na voľný extrém F(x, )= f(x)+ B(x)= kde >0. 1 = ( 3 3 x1+1 ) + x + min x1-1 x Preverme nutné podmienky optimálnosti a určme stacionárny bod funkcie F(x, )= f(x)+ B(x) : df(x, ) =( x1+1 ) x1-1 = - 1 x x 1 o 1 = 1+ x 1 - ( x1-1 ) = = 0 ( x1+1 ) ( x1-1 ) = 0 df(x, ) x o = 1 - = 0 x = x = x Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 31
32 Metódy bariérových funkcií Podobne ako v príklade z časti o penalizačnej funkcii, je aj tu stacionárny bod funkciou parametra, ktorý v bode minima transformovanej úlohy nadobúda pri metóde bariérovej funkcie hodnotu 0, takže platí x o 1 o = x1( )= 1+, >0 x o 1 = lim 0 1+ = 1 x = x ( ) =, > 0 o o x = lim = 0 o 0 f 3 x x 1/ 3x 1 x 8/ 3 1, 1 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 3
33 Metódy bariérových funkcií Overme postačujúce podmienky existencie minima v bode (x1,x) o. Vypočítajme Hessovu maticu funkcie F(x,). Dostávame: H(x)= ( x1+1)+ 3 ( x1-1 ) x Určme definitnosť Hessovej matice v stacionárnom bode funkcie F(x,), tj. v bode (x1,x) o =(1,0) T. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 33
34 Metódy bariérových funkcií Vidíme, že druhé parciálne derivácie funkcie F(x,) nie sú v stacionárnom bode spojité. Pre hodnoty súradníc blížiace sa limitne k hodnotám komponent stacionárneho bodu sprava je však Hessova matica H( x 1, x 0, 0 ) = ( x 1+ 1)+ 3 ( x 1-1 ) 0 3 x = a > b > 0 kladne definitná vo vnútorných bodoch množiny prípustných riešení úlohy. Takže funkcia F(x,) je rýdzokonvexná vo vnútri množiny prípustných riešení pre 0 + a bod (x1 o 1 +, x o 0 + ) je bodom globálneho minima funkcie F(x,) s hodnotou funkcie F(x,) 8/3, pre 0 + a je teda aj riešením pôvodnej úlohy na viazaný extrém. Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 34
35 Metódy bariérových funkcií Poznámka: Samozrejme, reálne úlohy so zložitejšou štruktúrou ohraničení a s väčším počtom premenných, sa nedajú riešiť jednoduchým overením nutnej a postačujúcej podmienky extrému. Algoritmus metódy bariérovej funkcie však využíva práve transformačnú funkciu v tvare (7.13) a na hľadanie jej minima sa používa určitá iteračná procedúra (bližšie pozri napr. [Bazaraa, 009], [Elster, 1975]). Prof. Ing. Michal Fendek, CSc.: Modely a metódy nelineárneho programovania Fólia č. 35
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/34 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie p. 2/34 Metódy na riešenie úloh typu min f 0 (x) x K R n (MP) kde K = {x R n f i (x) 0,i I, h
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VLASTNOSTI HODNOTOVEJ FUNKCIE ÚLOHY PARAMETRICKÉHO KVADRATICKÉHO PROGRAMOVANIA A ICH VYUŽITIE V OPTIMALIZÁCII PORTFÓLIA DIPLOMOVÁ
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραFakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Diplomová práca Michal Šoška Bratislava, 2003 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Ekonomická
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Stavebná fakulta Doc.Ing. Roman Vodička, PhD. RNDr. PavolPurcz, PhD.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MINIMAXNÉ OPTIMÁLNE NÁVRHY REGRESNÝCH EXPERIMENTOV DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Gabriel GROMAN UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραLineárne programovanie
Technická univerzita Fakulta elektrotechniky a informatiky Košice Lineárne programovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2012 Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραRiadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Διαβάστε περισσότεραAproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT
R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραHľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραPodmienenost problému a stabilita algoritmu
Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότερα