Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων."

Transcript

1 Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό Λύκειο). Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Ευχαριστώ τους μαθητές μου που με βοήθησαν σε όλο αυτό. Επιμέλεια Λαβίδας Κωνσταντίνος Μαθηματικός

2 Πίνακας περιεχομένων Πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών... 3 Διάταξη... 5 Απόλυτα... 8 Ρίζες πραγματικών αριθμών Εξισώσεις 1 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής xν = α Η εξίσωση ax2 + βx + γ = 0, a Άθροισμα και γινόμενο ριζών της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού Προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση εξίσωσης Ανισώσεις 1 ου βαθμού Ανισώσεις 1 ου βαθμού με απόλυτα Μορφές τριωνύμου αx2 + βx + γ, α Ανισώσεις 2 ου βαθμού Ακολουθίες Αριθμητική πρόοδος Γεωμετρική πρόοδος Η Έννοια της συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές Συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Η συνάρτηση (πρώτου βαθμού) f(x) = αx + β Ασκήσεις επανάληψης Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 2

3 Πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α)( 1) ( 5) , β) [ ( 2) 8 ] 10 + ( ) 0, γ) ( 1 2 ) 3, δ) (x2 ) 6 x 4 y 7 : x4 y 5 αν οι αριθμοί y και 1 x, είναι αντίστροφοι, ε) ( 1)ν ( 1) ν+1, ζ) ( 1) ν + ( 1) ν+1, η) ( 1) 3ν+1 ( 1) 4ν Άσκηση βιβλίου σελίδα 52 Α ομάδα, 2 3. Αν οι αριθμοί α 1 2 και β 2, είναι αντίστροφοι να δείξετε ότι: α) 4α+β=2αβ και β) οι αριθμοί α 2 β 4 και α ( 1 β ) + β είναι αντίθετοι Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι των αριθμών 5, 3 και 4 αντίστοιχα και α+2β-5γ=9, να βρείτε τους αριθμούς α, β και γ. 5. Έστω α+β α β = 3 με α 0. α) Να βρείτε το λόγο α β, β) να υπολογίσετε την παράσταση α2 β 2 2αβ. 6. Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει α+2β 3) 4 + ( 2γ+β α 5)3 (7 2α+γ β )3. γ = 2γ+β α 7. Να αποδείξετε ότι η παράσταση ( xa x b)a+b ( xb x c)b+c ( xc = 2α+γ β να υπολογίσετε την παράσταση: ( α+2β x a)c+a για x 0 είναι ανεξάρτητη του x. 8. Α) Να αποδείξετε τις επόμενες προτάσεις: α) α 2 + β 2 = (α + β) 2 2αβ = (α β) 2 + 2αβ, β) α 3 + β 3 = (α + β) 3 3αβ(α + β) και γ) α 4 + β 4 = (α 2 + β 2 ) 2 2α 2 β 2. Β) α) Αν x + 1 = 2, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x x2 + 1 x 2, x3 + 1 και x 3 x4 + 1 β) Αν x 1 = 1, να υπολογίσετε x 4 x τις παραστάσεις: x x 2, x3 1 x 3 και x4 + 1 x 4. γ 9. α) Να παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: Α = x 3 4x, B = x 3 4x 2 + 4x, Γ = 2x 3 + 3x 2 2x. β) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α Β, Γ Β, Γ Β(2x+1) 10. Άσκηση βιβλίου σελίδα 53 Β ομάδα, 3, λαμβάνοντας υπόψη ότι ορίζονται. 11. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α = 5x+10y x y x3 27 x2 2xy+y 2 : 5y 5x 4y 2 x 2 x 2 +3x+9 x 2y, Β = α 3 β 3 (α+β) 2 αβ, Γ = α 2 +β 2 γ 2 +2αβ α 2 β 2 +γ 2 +2αγ λαμβάνοντας υπόψη ότι ορίζονται. 12. Αν οι α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει (β 2 α 2 + γ 2 )(β 2 + α 2 γ 2 ) = 4α 2 γ 2 να αποδείξετε ότι ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα. 13. α) Να δείξετε ότι η παράσταση Α = x 2 + (x + 1) 2 + x 2 (x + 1) 2, είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να δείξετε ότι η παράσταση Β = x 2 (x+1) 2 + 1, είναι επίσης τέλειο τετράγωνο. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 3

4 14. Αν ισχύει α+β-1=αβ, να αποδείξετε ότι: α=1 ή β=1. (Υπόδειξη: σκέψου ότι το συμπέρασμα μετασχηματίζεται σε γινόμενο παραγόντων ίσο με το μηδέν) 15. α) Αν x 2 4x y 2 + 2(3y 10) = 15, να δείξετε ότι y=x+1 ή y=5-x. β) Αν x 2 4x + y 2 2(3y 10) = 7, να βρεθούν τα x και y (Υπόδειξη: σκέψου μήπως το συμπέρασμα μετασχηματίζεται σε άθροισμα τετραγώνων ίσο με το μηδέν). 16. Αν ισχύει α(β 2 + 1) = (α 2 + 1)β, να αποδείξετε ότι οι α και β είναι ίσοι ή αντίστροφοι. 17. Αν είναι α + β + γ = 0 να αποδείξετε ότι (α + β) 3 + (β + γ) 3 + (α + γ) 3 = 3αβγ. 18. Αν ισχύει: (5x 1) (x 1) 3 = (8x 4) 3 να δείξετε ότι x = 1 5 ή x = 1 ή x = Αν για τους θετικούς ακεραίους α, β, γ ισχύει ότι: 3 α3 +β 3 = ( 27αβ 3 γ 2 ) γ να αποδειχτεί ότι α=β=γ. 20. Αν για τους αριθμούς α, β, γ R και ισχύει α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ να δείξετε ότι ισχύει α + β + γ = 0 ή α = β = γ. Αν οι αριθμοί είναι θετικοί πως θα διαμορφωθεί το συμπέρασμα. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 4

5 Διάταξη Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και γράφουμε α> β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός ή η διαφορά β - α είναι αρνητικός αριθμός. Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν. επομένως α > β α β > 0 Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α (ως μεγαλύτερος) είναι δεξιότερα από τον (μικρότερο) β. Το άθροισμα θετικών (αρνητικών) είναι θετικός (αρνητικός): α>0 και β>0 τότε α+β>0 (α<0 και β<0 τότε α+β<0). Δεν ισχύει το αντίστροφο. Το γινόμενο ή το πηλίκο ομοσήμων (ετεροσήμων) είναι θετικό (αρνητικό) και αντίστροφα: α, β ομόσημοι α β > 0 α β > 0 (α, β ετερόσημοι α β < 0 α β < 0) Το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν): α 2 0, η ισότητα (=) ισχύει όταν ο αριθμός είναι μηδέν. Επομένως για τις ταυτότητες ισχύει: α 2 ± 2αβ + β 2 = (α ± β) 2 0 α 2 + β 2 = 0 α = 0 και β = 0 (χρήσιμο για προσδιορισμό δύο ή περισσοτέρων αγνώστων όταν έχουμε μια εξίσωση) α 2 + β 2 0 α 0 ή β 0 Ιδιότητες Μεταβατική ιδιότητα: αν α>β και β>δ τότε και α>δ. Σε μια ανισότητα μπορώ να προσθέσω τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της: α > β α + γ > β + γ. Σε μια ανισότητα αν πολλαπλασιάσω τον ίδιο θετικό αριθμό και στα δύο μέλη της τότε δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας: α > β γ>0 α γ > β γ Σε μια ανισότητα αν πολλαπλασιάσω τον ίδιο αρνητικό αριθμό και στα δύο μέλη της τότε αλλάζει η φορά της ανισότητας: α > β γ<0 α γ < β γ Μπορώ να προσθέσω δύο ή περισσότερες ανισότητες κατά μέλη αρκεί να έχουν την ίδια φορά: α<β και γ<δ τότε α+γ<β+δ Μπορώ να πολλαπλασιάσω δύο ή περισσότερες ανισότητες κατά μέλη αρκεί να έχουν θετικά μέλη και την ίδια φορά: 0<α<β και 0<γ<δ τότε α γ < β δ Σε μια ανισότητα (ισότητα) με θετικά μέλη μπορώ να υψώσω τα μέλη σε κάποιον εκθέτη θετικό ακέραιο (ν Ν ), χωρίς να αλλάξει η φορά και αντίστροφα: 0 < α < β ν Ν α ν < β ν (0 < α = β ν Ν α ν = β ν ). Η ανισότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη στη σύγκριση δυνάμεων με κοινό εκθέτη. Η ανισοτική σχέση δύο ομόσημων αριθμών αλλάζει για τους αντίστροφους αυτών: α < β 1 > 1. α β Το άθροισμα δύο αντιστρόφων αποκλείεται να βρίσκεται μεταξύ του -2 και του 2: για α>0 τότε 1 + α 2, για α α<0 τότε 1 + α 2. α Για να συγκρίνω δύο αριθμούς, ελέγχω το πρόσημο της διαφοράς αυτών. Εναλλακτικά και στην περίπτωση που οι αριθμοί είναι θετικοί μπορώ να συγκρίνω το πηλίκο τους με την μονάδα. Θυμόμαστε: σε ένα κλάσμα, αν ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρανομαστή τότε το κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας και αντίστροφα. Ασκήσεις εμπέδωσης 21. Αν 0<α<1<β<3<γ, να συμπληρώσετε όποια από τα σύμβολα: <, >,, χρειάζονται. α γ γ...β 3-α 0 β-γ.0 β+1 0 (1 β) 4 0 ( β) 4 γ+3 0 α-β.0 α-4 0 (β γ) 2 α+1 0 ( 1 β) 3 0 (2 β) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 5

6 22. α) Να αποδείξετε ότι: i) αν x>y τότε και x+2012>y+2011, ii) αν x>y τότε και x + κ 2 > y, β) Αν x < y τότε x < x+y < y και γ) i)αν x >, y > και z > 9 1, να δείξετε ότι xyz>1, ii) 0 < < (xyz) Αν 0<α<1 να δείξετε ότι ισχύει: α 0 > α > α 2 > α Δίνεται ότι 2 < x < 3, y ( 1, 3) και z ( 7, 1 ). α) να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται 2 2 οι παραστάσεις: A=-2x, B=-3y, Γ=4z, Δ=7-2x-3y+4z, β) αν επιπλέον x>1, να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: Δ = 2x 2 + 6, E= xz + 7 και H = x+z παραστάσεις Δ και H; xz και γ) ποιους ακέραιους υποδεικνύουν οι 25. Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει: α + 1 > β + 2, να αποδείξετε ότι: α) α>β και β) α 2 + α > β 2 + β. 26. i) Αν α>β να συγκρίνετε τους αριθμούς: α-2β και β-2α, ii) αν α>β>0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: α 10 β 11 και α 8 β 13, iii) να συγκρίνετε τους αριθμούς: 2 51, 3 34 και Να αποδείξετε ότι: α) ότι: α+β α+β+1 < α + β α+1 β+1 1 < 1 για α>0, β) 1 < < 1, γ) αν α, β θετικοί να αποδείξετε α+1 α Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί α και β που ικανοποιούν τις σχέσεις: -2<α+β<3 και -1<α-β< Ασκήσεις του βιβλίου: Α ομάδα: 1, 2, 5, 6, 7 και Β ομάδα: 2, 3, α) Να αποδείξετε ότι (α β) 2 + (β γ) 2 + (α γ) 2 0, πότε ισχύει η ισότητα; β) Να αποδείξετε ότι α 2 + β 2 + γ 2 αβ + αγ + βγ και γ) να αποδείξετε οι αριθμοί (α + β + γ) 2 9αβ, (α + β + γ) 2 9γβ και (α + β + γ) 2 9γα, αποκλείεται να είναι όλοι αρνητικοί. 31. Να δείξετε ότι x 2 + x + 1 > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x. Aν επιπλέον ισχύει αx 2 + αx + α = βx 2 + βx + β να δείξετε ότι α=β. 32. Έστω Ω={1,2,3,4,5} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Έστω επίσης Α = {1, α + 1, α 2 + 2) και Β={3, 4}, δύο ενδεχόμενα του Ω όπου α R. Αν ισχύει η σχέση Α Β = {1,2,3,4} να: α) αποδείξετε ότι α + 1 < α 2 + 2, β) α= 1 και γ) βρείτε τις πιθανότητες Α, Β, Α Β Α-Β και Α Β. 33. Α) α) Να αποδείξετε ότι σε κλάσμα μικρότερο της μονάδας με θετικούς όρους αν αυξήσουμε τους όρους τότε το κλάσμα μεγαλώνει. β) Να αποδείξετε ότι σε κλάσμα μεγαλύτερο της μονάδας με θετικούς όρους αν αυξήσουμε τους όρους του τότε το κλάσμα μικραίνει. Β) Να αποδείξετε ότι: α) το άθροισμα δύο αντιστρόφων αποκλείετε να βρίσκεται μεταξύ του -2 και του 2. β) Αν για τον μη μηδενικό πραγματικό αριθμό κ ισχύει: k 2 1 k 2 = α2 2α 1, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α. Γ) Το γινόμενο δύο αριθμών είναι πάντα μικρότερο ή ίσο από το τετράγωνο του μέσου τους. 34. α) Να αποδείξετε ότι α και (β 1) β) Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α και β αν ισχύει (α 2 + 1)[(β 1) 2 + 1] = 1. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 6

7 35. Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες (πολύ χρήσιμες για αποδείξεις ανισοτήτων): α) x 2 + y 2 ±2xy, β) x2 +y 2 ±xy, γ) (x + y) 2 4xy, δ) (x y) 2 4xy, ε) x2 +y Αν α, β θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε 3α+4β=60, να δείξετε ότι 15<α+β<20. 2 ( x+y 2 )2 37. Να δείξετε ότι x 4 x + 1 = 2 (x2 1 2 )2 + (x 1 2 )2. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 2x 4 2x α) Να δείξετε ότι: 3(α 2 + β 2 + γ 2 ) (α + β + γ) 2. β) να δείξετε ότι για τους μη αρνητικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει: α 2 + β 2 + γ 2 (α + β + γ) 2 και γ) αν για τους μη αρνητικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει α + β + γ = 3 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμής της παράστασης α 2 + β 2 + γ Αν οι αριθμοί α, β και γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει: α 2 + β 2 2γ(α + β γ), να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 7

8 Απόλυτα Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού (έστω α) ονομάζουμε την απόσταση της θέσης του αριθμού στον άξονα των πραγματικών αριθμών από τη θέση του μηδέν (αρχή Ο). Συμβολίζεται α και αφού είναι απόσταση είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός, δηλαδή α 0. Γενικότερα για την απόλυτη τιμή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ισχύει: α = { α, α 0 α, α < 0 οπότε: Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός: α = α αν α > 0 Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του: α = α αν α < 0 Η απόλυτη τιμή του μηδέν είναι μηδέν: α = 0 αν α = 0 Απόσταση δύο αριθμών α και β ονομάζουμε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τις θέσεις των δύο αριθμών στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Συμβολίζεται με d(α, β) και ισχύει: d(α, β) = α-β Συνέπειες του ορισμού: α = α 0 α α και α α α α α α 2 = α 2 (χρήσιμο στην απαλοιφή των απολύτων) x + y = 0 x = 0 και y = 0 x + y > 0 x 0 ή y 0 Πολύ χρήσιμα στη λύση εξισώσεων και ανισώσεων (θα τα δούμε διεξοδικά σε επόμενα μαθήματα) Αν θ>0 τότε: x = θ x = θ ή x = θ x = α x = α ή x = α Αν θ>0 τότε: x < θ θ < x < θ Αν θ>0 τότε: x > θ x < θ ή x > θ Ιδιότητες των απολύτων τιμών 1. α β = α β * 2. α = α, β 0 β β 3. α + β α + β *, η ισότητα ισχύει όταν οι α, β είναι ομόσημοι ή τουλάχιστον ένας εκ των δύο είναι μηδέν: α β 0 4. α + β α β, η ισότητα ισχύει όταν οι α, β είναι ετερόσημοι ή τουλάχιστον ένας εκ των δύο είναι μηδέν: α β 0 *οι 1 και 3 ισχύουν και για περισσότερους παράγοντες ( η 1) ή προσθετέους (η 3) Ασκήσεις 40. Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α= α-1-1-β -2 β-α + α -3 3-α + α+β-4, αν 1<α<β<2, Γ = γ 2 1 2γ 2 + 2γ γ 1 3x 2 Β = 2 3x y 3 y z + x 3 y z x + y Δ = x x + x + x Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 8

9 Ε = 2 a 2 a(a + 2) + 1 a 1 2 Z = a 3 a 2 α Ασκήσεις βιβλίου: Α ομάδα: 5, 6, 7 (9 πρώτες γραμμές) 42. α) αν α =2, β =4 και γ =1, να δείξετε ότι α 2β γ 11 β) Αν για τον πραγματικό αριθμό x, ισχύει: -2<x<1, να δείξετε ότι 3x 2 x + 10 <24, γ) αν α 2 2 και β 3 5 τότε α β Να δείξετε ότι 1 α + α Αν ισχύει 7w-1 <d(w,7) τότε w <1 45. Ασκήσεις βιβλίου: Β ομάδα: 3, 4, Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α 1, β 2, γ 3 0, να δείξετε ότι: α) για α 0, β) α 1 α 1 + β 2 β 2 4 γ 3 γ 3 6 α α 1, 47. Αν για τον πραγματικό αριθμό x, ισχύει x+2 <2, α) να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις x-1 και x-2. β) να δείξετε ότι (x-1)(x-2) < Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α,β για τους οποίους ισχύει: β-3α + 2-2α = α-1. α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α και β, β) Για α = 1 και β = 3, να υπολογίσετε τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει: i) d(x,α) < β, ii) d(x,β) > α. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 9

10 Ρίζες πραγματικών αριθμών Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού (α 0) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον α. Η τετραγωνική ρίζα συμβολίζεται με α. Η τετραγωνική ρίζα ( α) για α 0, παριστάνει την μη αρνητική λύση (ρίζα) της εξίσωσης x 2 = α α 2 = α και ( α) 2 = α 2 = α. (Η δεύτερη σχέση χρησιμοποιείται όταν θέλω να απαλείψω τη ρίζα. Υψώνω και τα δύο μέλη, π.χ. της ισότητας, στο τετράγωνο). Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας: α β = α β, με α, β 0. (ισχύει και για περισσότερους παράγοντες) α = α με α 0 και β > 0 β β α β = α 2 β, με α, β 0. (εισάγω την μη αρνητική παράσταση α μέσα στη ρίζα) ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού (α 0) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στην ν δίνει το ν α. Η ν-οστή ρίζα συμβολίζεται με α). (ο ν είναι θετικός ακέραιος) ν Η ν-οστή ρίζα ( α 1 Η ν-οστή ρίζα είναι η γενικευμένη μορφή ριζών οπότε: α ν Αν α 0 τότε α ν ) για α 0, παριστάνει την μη αρνητική λύση (ρίζα) της εξίσωσης x ν = α ν = α και ( α ν Αν α 0 και ν άρτιος τότε α ν ) ν ν ν = α = α = α = α ν Η ν-οστή ρίζα μπορεί να γραφεί ως δύναμη με ρητό εκθέτη: α μ ακέραιος. Επιπλέον αν μ και ν θετικοί ακέραιοι τότε 0 μ ν = 0. 2 και α = α = α μ ν, α>0, όπου μ ακέραιος και ν θετικός α 1 2 = α και α = α. (Η α λέγεται και κυβική ρίζα) Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο που μάθαμε στη σελίδα 47 ισχύουν και με εκθέτες ρητούς αριθμούς. Ιδιότητες ν-οστής ρίζας: ν α β ν = α ν β, με α, β 0 (ισχύει και για περισσότερους παράγοντες) (απλοποιώ τους κοινούς δείκτες ή μεγαλώνω τους δείκτες των ριζών) 0 (τις εμφωλευμένες ρίζες τις μετατρέπω σε μια), 0 (εισάγω την μη αρνητική παράσταση α μέσα στη ν-οστή ρίζα) Ανισωτικές σχέσεις με ρίζες: αν, 0 ό ν Προσοχή για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς α, β δεν ισχύει: α ± β Ασκήσεις ν = α ν ± β. 49. α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 1 είναι τετραγωνική ρίζα του και β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 1 είναι κυβική ρίζα του Ιδιότητες ριζών για υπολογισμό ριζών 50. Ασκήσεις 1, 6,7 Ά ομάδα σελίδα 74 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 10

11 Απλοποίηση ριζών «Αποτετραγωνισμός» 51. Άσκησεις: 2, 3, 4 Α ομάδα σελίδα 74 και 2, 3 Β ομάδα. σελίδα Απλοποιήστε την παράσταση: Απλοποιήστε την παράσταση: Α = Να αποδείξετε ότι: α) (1 + 2) 2 =3 + 8, β) (3 + 8) 2 = και γ) (1 + 2) 100 +(3 + 8) 50 + ( ) 25 > Να αποδείξετε ότι x 3 y + xy 3 = xy x + y 56. Να αποδείξετε ότι: α)α + β 2 αβ, αν α, β 0, β) a2 +4 a 2 +3 > 2 Υπολογισμός αριθμητικής παράστασης με ρίζες την οποία μετασχηματίζω σε παράσταση που μπορώ να πραγματοποιήσω αναγωγή όμοιων «ριζών» Πολλές φορές που δεν είναι εφικτός ο υπολογισμός μιας ρίζας, δηλαδή ο προσδιορισμός του αριθμού που το τετράγωνό του ισούται με την υπόριζο ποσότητα, ίσως είναι εύκολο να γραφτεί η υπόριζος ποσότητα ως γινόμενο ενός τέλειου τετραγώνου και ενός άλλου αριθμού. Για παράδειγμα α) 32 = 16 2 = 16 2 = = 4 2 και β) = 27 3 = Άσκησεις: 5, 9, 11 Α ομάδα σελίδα 74. Ιδιότητες δυνάμεων με ρητό εκθέτη για υπολογισμό ριζών 58. Άσκηση: 8, Α ομάδα σελίδα 74. Ισοδύναμα κλάσματα με ρητό παρανομαστή «Ρητοποίηση παρανομαστή» Α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = α 5 α 4 τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρανομαστή: Α = 2 5, Β = 9 10, Γ = α 3 6 Άσκησεις: 10 Α ομάδα σελίδα 75 και 1, 4 Β ομάδα σελίδα 75 Σύνθετα θέματα και Β = ( α β)( α + β), Β) Να μετατρέψετε 5 ( α+ β) και Δ = και Γ) 60. α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 3 και 2 + 3, β) Αν Α = να βρείτε το Α 2 και γ) να υπολογίσετε το Α. 61. Να υπολογίσετε την παράσταση Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: α + 2β + α + 1=0 να: α) βρείτε τους α, β και β) να υπολογίσετε την παράσταση Α = 2014 α + α 4β Δίνεται ο αριθμός x = 6 2. α) να αποδείξετε ότι x = x, ii) x2 + 1 x 2, iii) x3 + 1 x , β)να υπολογίσετε τις παρατάσεις i) x + = Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 11

12 64. α) Αν x, y 0, να αποδείξετε ότι: 2 xy x + y. Να εξετάσετε ποτέ ισχύει η ισότητα. β) Αν α, β, γ 0 να αποδείξετε ότι: αβ + αγ + βγ α + β + γ, γ) Να δείξετε ότι Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 12

13 Εξισώσεις 1 ου βαθμού Εξίσωση πρώτου βαθμού είναι μια εξίσωση που έχει έναν άγνωστο και μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή αx + β = 0. Η λύση οποιασδήποτε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. Επίλυση εξίσωσης πρώτου βαθμού Αν έχει παρανομαστές: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας δηλαδή και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το ΕΚΠ. Κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις: επιμεριστική ιδιότητα και τελικά αναγωγή ομοίων όρων. Τέλος φέρνουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή αx + β = 0. Για να λύσω την εξίσωση της μορφής αx + β = 0 (1) : αν α 0 τότε η εξίσωση (1) έχει ακριβώς μια λύση την x = β. Ισχύει και το αντίστροφο. α αν α = 0 και β 0 τότε η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Δηλαδή δεν έχει καμία λύση. Ισχύει και το αντίστροφο. αν α = 0 και β = 0 τότε η εξίσωση (1) είναι αόριστη ή ταυτότητα. Δηλαδή αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό και επομένως έχει άπειρες λύσεις. Ισχύει και το αντίστροφο. Επαλήθευση εξίσωσης Αντικαθιστώ την άγνωστη ποσότητα με την λύση (ρίζα). Αν οδηγηθώ σε μια αληθής πρόταση τότε πράγματι η λύση αυτή είναι σωστή. Παραμετρική εξίσωση. Αν οι συντελεστές α και β της εξίσωσης αx + β = 0 δεν εκφράζονται με αριθμούς αλλά με τη βοήθεια γραμμάτων, τότε τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι και η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Η διαδικασία που εφαρμόζουμε για τον προσδιορισμό του πλήθους των ριζών της εξίσωσης λέγεται διερεύνηση: Αρχικά φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή αx = β (1) (χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Άγνωστος είναι ο x) Παραγοντοποιούμε τα α, β. Διακρίνουμε περιπτώσεις για το α σε σχέση με το μηδέν. 1 η περίπτωση: Για α 0 έχουμε μοναδική λύση την x = β και α 2η περίπτωση: Για α = 0 βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου που μηδενίζουν το α και τις αντικαθιστούμε στην (1). Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού 1 η περίπτωση: Εξισώσεις που μπορούν να μετασχηματιστούν σε γινόμενο παραγόντων της μορφής αx + β Αν η εξίσωση έχει παρανομαστές που περιέχουν την άγνωστη ποσότητα x, παίρνουμε περιορισμούς για τις τιμές του x που μηδενίζουν τον παρανομαστή. Απαλείφουμε τους παρανομαστές, κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις και φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή Π 1 (x) Π 2 (x) Π k (x) = 0 όπου Π i (x) παράγοντες της μορφής α x + β. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 13

14 Λύνουμε όλες τις εξισώσεις: Π 1 (x) = 0 ή Π 2 (x) = 0 ή. Αποδεχόμαστε όσες ρίζες ικανοποιούν τους όποιους περιορισμούς έχουμε πάρει. 2 η περίπτωση: Εξισώσεις με απόλυτα Μορφή Π(x) = θ. Αν θ 0 τότε Π(x) = θ Π(x) = θ ή Π(x) = θ Αν θ<0 τότε Π(x) = θ αδύνατη Μορφή Π(x) = Λ(x). Π(x) = Λ(x) Π(x) = Λ(x) ή Π(x) = Λ(x) Μορφή Π(x) =Λ(x) Παίρνουμε τον περιορισμό Λ(x) 0 και αποδεχόμαστε όσες ρίζες των εξισώσεων Π(x) = Λ(x) και Π(x) = Λ(x) ικανοποιούν τον αρχικό περιορισμό. Ασκήσεις 65. Ασκήσεις βιβλίου σελίδα 83: 1ii, iv και 2, 4 και 3 σελίδα Ασκήσεις βιβλίου σελίδα 84: 6 Παραμετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού 67. Ασκήσεις βιβλίου: 3iii, iv σελίδα Να λύσετε τις εξισώσεις: i) λ 2 (x 1) = 5(5x λ), ii) x(λ 2 + 1) = λ 2λx Ασκήσεις βιβλίου: 1, 2, σελίδα Δίνεται η αόριστη εξίσωση (α 2 + 2α 3)x = (α 2 1), α R (1). Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: (α 5 + 4α 5)x = μ + 3, μ R, όπου α η πραγματική τιμή που η εξίσωση (1) είναι αόριστη. Εξισώσεις που μπορούν να μετασχηματιστούν σε γινόμενο παραγόντων της μορφής α x + β 71. Ασκήσεις βιβλίου: 7ii, 8, 9, 10, 13 σελίδα Ασκήσεις βιβλίου: 11, 12ii, iii, iv σελίδα 85 και 6 Β ομάδα σελίδα Ασκήσεις βιβλίου: 5, σελίδα 85 Εξισώσεις με απόλυτα 74. Ασκήσεις βιβλίου: 14 σελίδα 85 και 15, 16 σελίδα 86 και 7,8 Β ομάδα σελίδα Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2x-5 =-1, β) 2x+1 =0 γ) 2x + 1 = 2 δ) x 7 = 2012 ε) x + 3 = x 2, στ) x + 3 = 2x 3, ζ) 5x 3 = 1 x 3 x, η) x 3 + = 1, θ) x x 1 2 = Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 14

15 76. Να προσδιορίσετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x = μ, για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ. 77. Δίνεται η εξίσωση x λx 2 = 2λx 3, λ R. Να βρεθεί η τιμή του λ αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 1. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 15

16 Η εξίσωση της μορφής x ν = α Επίλυση εξίσωσης ν-στου βαθμού της μορφής x ν = α λύνεται ως εξής: Η εξίσωση x ν v = α, με α>0 και ν περιττό θετικό ακέραιο αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την x = α. Η εξίσωση x ν v = α, με α<0 και ν περιττό θετικό ακέραιο αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την x = α. Η εξίσωση x ν v = α, με α>0 και ν άρτιο θετικό ακέραιο αριθμό, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις x = α v α. Η εξίσωση x ν = α, με α<0 και ν άρτιο θετικό ακέραιο αριθμό, είναι αδύνατη. v α > 0, x = ± α ν: άρτιος { α < 0, αδύνατη x ν = α α > 0, x = v α ν: περιττός { v { α < 0, x = α Εξίσωση της μορφής x ν = α ν Αν ο ν περιττός τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει μοναδική λύση, την x = α Αν ο ν άρτιος τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει δύο λύσεις, τις x 1 = α και x 2 = α. Ασκήσεις 78. Ασκήσεις βιβλίου: 1ii, iii, 2i, ii, 3i, 3ii, 4 σελίδα Ασκήσεις 5, 6, σελίδα Δίνεται η εξίσωση x = 0. (1) α) Αν η εξίσωση (1) και η εξίσωση 5α 7 x x = 0 (2), έχουν κοινή ρίζα, να βρείτε το α. και x = β) Να υπολογίσετε την παράσταση Α=(15α 7 x x) x, όπου x,α οι τιμές που βρήκατε στα εξισώσεις (1) και (2). 81. Δίνεται η εξίσωση (x 2) = y(1). Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού y. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 16

17 Η εξίσωση ax 2 + βx + γ = 0, a 0 Η εξίσωση που μπορεί να μετασχηματιστεί στην μορφή αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (1), λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η παράσταση Δ = β 2 4αγ, όπου: β ο συντελεστής του x, α ο συντελεστής του x 2 και γ ο σταθερός όρος (που δεν έχει παράγοντα τον x), λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης (1). Η διακρίνουσα βοηθά και στον προσδιορισμό του πλήθους των ριζών της εξίσωσης: Διακρίνουσα: Δ = β 2 4αγ Δ>0 Δ=0 Εξίσωση: ax 2 + βx + γ = 0, a 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις: x 1 = β+ Δ 2α Έχει μια ρίζα διπλή τη: x = β 2α και x 2 = β Δ 2α Δ<0 Αδύνατη στο R Η εξίσωση (1) έχει μια ή δύο πραγματικές ρίζες, μόνο αν Δ 0. Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (1), τότε ο αριθμός ρ επαληθεύει την (1) και έτσι ισχύει: αρ 2 + βρ + γ = 0. Αν οι αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοι τότε Δ>0 και επομένως η εξίσωση (1) έχει πάντα δύο ρίζες άνισες. Ασκήσεις 82. Να φέρετε τις εξισώσεις 2ου βαθμού που φαίνονται στην πρώτη στήλη στην μορφή αx 2 + βx + γ = 0 και να συμπληρώσετε τον πίνακα Εξίσωση Μορφή: αx 2 + βx + γ = 0 α β γ 2x(x 1) = 3 x 2 + 2x = 3 x + x 2 = 0 kx 2 + kx(x 1) = k(x + 3) mx 2 = x + 2kx 2 x 2 = 2(x + 1) 2 x x 2 = x Ασκήσεις ΣΒ: 1, 2, σελίδα 93, 8 σελίδα 94 και 2 σελίδα 95 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 17

18 84. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x2 3 + x 2 = 1, β) x2 2 x = 1, γ) x 2 ( 2 1)x + 2 = 0, δ) x 2 (1 3)x = 3, ε) x 2 ( 2 5)x = 10, στ) x 2 + 3x 3 = 1 και ζ) x = Να ελέγξετε ποιος από τους αριθμούς είναι ρίζα της εξίσωσης σε κάθε περίπτωση: α) αριθμοί: 0, -1, 1 για την εξίσωση: x 2 + 2x = 1, β) αριθμοί: 0, -1, 1 για την εξίσωση: 2x 2 + 3x = 0 και γ) αριθμοί: -3, 2, -1 για την εξίσωση: x 2 + 2x 3 = Ασκήσεις ΣΒ: 9 σελίδα 94, 1 και 5 σελίδα Προβλήματα ΣΒ: 10 σελίδα 94, 7 σελίδα 95 και 9 σελίδα 96. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού με παράμετρο 88. Δίνονται οι εξισώσεις ax 2 + 2bx + c = 0, bx 2 + 2cx + a = 0 και cx2 + 2ax + b = 0. Αν a, b, c μήκη πλευρών τριγώνου και Δ 1, Δ 2 και Δ 3 οι διακρίνουσες των προηγούμενων εξισώσεων αντίστοιχα με Δ 1 + Δ 2 + Δ 3 = 0 να βρείτε το είδος του τριγώνου. 89. Έστω η εξίσωση κx 2 (κ + 4)x + 4 = 0, κ R α) Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού. β) Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. 90. Δίνεται η εξίσωση (b + 2)x 2 + (b + 1)x b + 1 = 0 (1) η οποία είναι δευτέρου βαθμού. α) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός b β) Να βρεθούν ο b αν η εξίσωση (1) έχει ρίζα τον αριθμό Δίνεται η εξίσωση (α 2 2)x 3 3x 2 5x + β = 0. α) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, έτσι ώστε η εξίσωση, να είναι δευτέρου βαθμού ως προς x. β) Ποιες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο β έτσι ώστε η εξίσωση δευτερού βαθμού να μην έχει πραγματικές ρίζες. 92. Δίνεται η εξίσωση (1 α)x 2 x + 1 = 0. α) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, έτσι ώστε η εξίσωση, να είναι δευτέρου βαθμού ως προς x. β) Ποιες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο α έτσι ώστε η εξίσωση δευτερού βαθμού να έχει πραγματικές ρίζες. 93. Ασκήσεις ΣΒ: 4, σελίδα 93, 3 και 4 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: 3, σελίδα 93, 5 σελίδα 94. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 18

19 Άθροισμα και γινόμενο ριζών της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (1) τότε θα ισχύει 1 : Άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: S=x 1 + x 2 = β α Γινόμενο των ριζών της εξίσωσης: P = x 1 x 2 = γ α Αν S, P είναι το άθροισμα και το γινόμενο δύο ριζών x 1, x 2 μιας εξίσωσης, τότε η εξίσωση x 2 Sx + P = 0 έχει ρίζες τις x 1 και x 2. (πολύ χρήσιμο για την κατασκευή εξίσωσης δευτέρου βαθμού όταν γνωρίζω τις δύο ρίζες) Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες μιας εξίσωσης τότε η εξίσωση (x x 1 )(x x 2 ) = 0 έχει ρίζες τις x 1 και x 2. (πολύ χρήσιμο για την κατασκευή εξίσωσης δευτέρου βαθμού όταν γνωρίζω τις ρίζες) Με τον ίδιο τρόπο μπορώ να κατασκευάσω εξίσωση ν-στου βαθμού αν γνωρίζω τις ν ρίζες του Ταυτότητες σχετικές με άθροισμα και γινόμενο δύο αριθμών: x x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 x x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) Διαφορά ριζών στο τετράγωνο: (x 1 x 2 ) 2 = x x 2 2 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 Συμπεράσματα για τις ρίζες, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο του γινομένου και του αθροίσματος των ριζών. Έστω η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (1), αν Δ>0 δηλαδή η (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τότε: Είναι ετερόσημες αν και μόνο αν P<0 Είναι ομόσημες αν και μόνο αν P>0 Είναι θετικές αν και μόνο αν P>0 και S>0 Είναι αρνητικές αν και μόνο αν P>0 και S<0 Είναι αντίθετες αν και μόνο αν S = 0 β = 0 Είναι αντίστροφες αν και μόνο αν P = 1 a = γ Ασκήσεις 95. Ασκήσεις ΣΒ: 6 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: 7 σελίδα Να ελέγξετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 2 και γινόμενο Αν x 1, x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 2x 2 + 4x 1=0, να υπολογίσετε χωρίς να λύσετε την εξίσωση τις παραστάσεις: 1 Τύποι του Vieta (http://en.wikipedia.org/wiki/fran%c3%a7ois_vi%c3%a8te) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 19

20 α) x 1 + x 2, β) x 1 x 2, γ) 2 x x 2, δ) x x 2 2, ε) x x 2 3 και στ) x 1 x Ασκήσεις ΣΒ: 6 σελίδα Δίνεται η εξίσωση (λ 1)x 2 + 4x λ + 1 = 0. α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ έτσι ώστε η εξίσωση (1) να είναι δευτέρου βαθμού. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) για τις τιμές του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα έχει πάντα ρίζες άνισες. γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) δεν έχει ρίζες αντίστροφες Δίνεται η εξίσωση x 2 + 4x + λx + 2λ = 0. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πάντα ρίζες άνισες. β) Να βρείτε την τιμή του λ R αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες αντίθετες. γ) Να βρείτε την τιμή του λ R αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες αντίστροφες. δ) Σε κάθε περίπτωση από τις β και γ να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1) Δίνεται η εξίσωση (1 κ)x 2 + κ 2 x x κ 2 = 0, κ R (1). α) Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού. β) Αν υποθέσουμε ότι η (1) έχει πραγματικές ρίζες, να βρείτε το κ R, έτσι ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίθετες. γ) Ποιες είναι οι αντίθετες ρίζες Δίδονται τα τριώνυμα f(x) = x 2 + ax + b + 2, με ρίζες x 1, x 2, και g(x) = x 2 + ax + b 2 με ρίζες r 1, r 2. Όπου a, b R, Να: α) Βρεθεί ο b, αν a 0 και b ±2 και ισχύει 1 x x 2 = ( 1 r r 2 ), β) δείξετε ότι g(x 1 ) = Δίνεται η εξίσωση 5x 2 2(5k + 3)x + 5k 2 + 6k + 1 = 0 με k R (1). α) Να δείξετε ότι η διαφορά των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ανεξάρτητη του k. β) Αν ο k είναι ρητός, να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης (1) είναι ρητοί αριθμοί Να βρείτε τις τιμές των α, b ώστε οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x 2 + ax + b = 0, αν ελαττωθούν κατά 2, να γίνουν ρίζες της εξίσωσης x 2 (a 2 + 4α 10)x + 4 α = 0. (Απάντηση: α=1, β=-3, γιατί άραγε απορρίψαμε την άλλη λύση; «α=-6 και β=18» ) 106. Να βρείτε τις τιμές των α, b ώστε οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x 2 + ax + b = 0, αν ελαττωθούν κατά 2, να γίνουν ρίζες της εξίσωσης x 2 (a + b)x + b 2 = 0. (Απάντηση: α=-3, β=2) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 20

21 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού Στην κατηγορία αυτή ανήκουν οι εξισώσεις που δεν είναι μεν 2ου βαθμού αλλά με κατάλληλο μετασχηματισμό, ανάγονται σε εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Δύο περιπτώσεις εξισώσεων: 1 η περίπτωση: Κλασματικές εξισώσεις με παρανομαστές που περιέχουν την άγνωστη ποσότητα x. Παίρνουμε τους όποιους περιορισμούς, απαλείφουμε τους παρανομαστές και οδηγούμαστε σε εξίσωση 2ου βαθμού. Από τις λύσεις που βρίσκουμε αποδεχόμαστε εκείνες που ικανοποιούν τους όποιους περιορισμούς. 2 η περίπτωση: Εξισώσεις της μορφής: α(π(x)) 2 + β(π(x)) 2 + γ = 0, α 0 (1) στις οποίες θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε βοηθητικό άγνωστο. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν και οι διτετράγωνες εξισώσεις. Αυτές είναι της μορφής: αx 4 + βx 2 + γ = 0, α 0. Παίρνουμε τους όποιους περιορισμούς Θέτουμε Π(x) = y και μετασχηματίζουμε την (1) στην εξίσωση: αy 2 + βy + γ = 0, α 0 (2) Λύνουμε την (2) Λύνουμε μετά τις εξισώσεις Π(x) = y 1 και Π(x) = y 2 όπου y 1 και y 2 οι λύσεις της (2) Από τις λύσεις που βρίσκουμε αποδεχόμαστε εκείνες που ικανοποιούν τους όποιους περιορισμούς. Ασκήσεις 107. Ασκήσεις ΣΒ: 14 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: 13 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: 11 και 12 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: 15 σελίδα 94 (διτετράγωνη) Ασκήσεις ΣΒ: 10 σελίδα α) Να δείξετε ότι για κάθε α 0 ισχύει: α α = α 3 4. β) Να λύσετε την εξίσωση: x x x + 4 = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x (x 1) 2 + x 1 = 0, β) (x 2 + 3x 2) 2 + x + 2 = 0 γ) x 2 + 2x x + 1 = 0 δ) (x 2 + 2x) 6 + (2x + 5x 2 ) 8 + x(x 1 = 0 ε) ( x + 1 x )2 + 2 ( x + 1 x ) = 3 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 21

22 Προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση εξίσωσης Ασκήσεις 114. Δυο ανθρακωρυχεία A και B συνδέονται μέσω σιδηροδρομικής γραμμής μήκους 20 km. Η εξαγωγή του άνθρακα στοιχίζει 1 ο τόνος στο Α και 1,2 ο τόνος στο Β, ενώ η μεταφορά κοστίζει 0,02 ο τόνος το χιλιόμετρο. Να βρεθεί πάνω στην σιδηροδρομική γραμμή ΑΒ σημείο στο οποίο ο άνθρακας θα έχει την ίδια τιμή είτε μεταφέρεται από το Α είτε μεταφέρεται από το Β Δύο ευθείες λεωφόροι διασταυρώνονται κάθετα. Αν δύο αυτοκίνητα απομακρύνονται συγχρόνως από την διασταύρωση με ταχύτητες 54 km/h και 72 km/h αντιστοίχως, να βρείτε μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα απέχουν 0,5 km. (Απάντηση 20 sec) 116. Δύο ποδηλάτες διανύουν μια απόσταση 60 km με μέσες ταχύτητες που διαφέρουν κατά 5 km/h. Ο ένας ποδηλάτης χρειάζεται 1 h περισσότερο από τον άλλο. Να βρεθούν οι ταχύτητες. (Απάντηση 20Km/h και 15km/h) 117. Μια τάξη ενοικίασε για εκδρομή ένα πούλμαν 240. Επειδή 2 μαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο αυξήθηκε για τους υπόλοιπους κατά 50 λεπτά στον καθένα. Πόσοι μαθητές πήγαν στην εκδρομή και πόσο πλήρωσε ο καθένας; (Απάντηση 32 μαθητές) 118. Δύο εκσκαφείς χρειάζονται 12 μέρες για ένα έργο, όταν εργάζονται μαζί. Ο ένας μόνος του χρειάζεται 7 μέρες περισσότερο από τον άλλο. Πόσες μέρες χρειάζεται μόνος του ο καθένας για να τελειώσει το έργο; (Απάντηση 21 και 28 αντίστοιχα) 119. Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 930. Να βρείτε του αριθμούς Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 15 και γινόμενο Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 2 και γινόμενο 35. (δύο ζεύγη αριθμών) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 22

23 Ανισώσεις 1 ου βαθμού Ανίσωση πρώτου βαθμού είναι μια ανίσωση που έχει έναν άγνωστο και μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή αx + β > 0 ή αx + β < 0. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθμού Αν έχει παρανομαστές: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας δηλαδή και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ των παρανομαστών. Κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις: επιμεριστική ιδιότητα και τελικά αναγωγή ομοίων όρων. Τέλος φέρνουμε την αρχική ανίσωση στη μορφή αx > β. (το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να είναι: < ή > ή ή ) Για να λύσω την ανίσωση της μορφής αx > β (1) : αν α > 0 τότε η ανίσωση (1) ισοδύναμα έχει λύσεις x > β α ή x (β α, + ). Δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας αν α < 0 τότε η εξίσωση (1) ισοδύναμα έχει λύσεις x < β α ή x (, β α ). Αλλάζει η φορά της ανισότητας αν α = 0 η (1) γίνεται 0x>β (2) η οποία διακρίνεται: αν β < 0 τότε η (2) και επομένως και η αρχική (1) είναι αόριστη, δηλαδή αληθεύει για κάθε x R. αν β 0 τότε η (2) και επομένως και η αρχική (1) είναι αδύνατη. Επαλήθευση λύσεων της ανίσωσης Αντικαθιστώ την άγνωστη ποσότητα με την υπό έλεγχο λύση. Αν οδηγηθώ σε μια αληθής πρόταση τότε πράγματι η λύση αυτή είναι σωστή. Εύρεση κοινών λύσεων ανισώσεων (συναλήθευση ανισώσεων) Βρίσκουμε τις λύσεις σε κάθε ανίσωση ξεχωριστά. Σχεδιάζουμε στον κοινό άξονα των πραγματικών αριθμών, το διάστημα που αντιστοιχεί στην λύση κάθε ανίσωσης τοποθετώντας σε διαφορετικό ύψος τη γραμμή κάθε ανίσωσης. Το κοινό διάστημα είναι το διάστημα που υπάρχουν τόσες κοινές γραμμές όσες και οι διαφορετικές ανισώσεις. Ασκήσεις 122. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x+3>2, ii)x-3>x-2, iii) 2(x-1)>2x-7 β) Για την ανίσωση (i) να βρείτε τρεις οποιεσδήποτε λύσεις. γ) Πόσες λύσεις έχει η κάθε μια από τις παραπάνω ανισώσεις; δ) Να σχεδιάσετε το διάστημα λύσεων της κάθε μιας από τις παραπάνω εξισώσεις. ε) Να ελέγξετε κατά πόσο οι τιμές: , 7 12 και ( 8) 77 είναι λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 23

24 123. Λαμβάνοντας υπόψη το σχήμα δεξιά (σελίδα 58 ΣΒ), να συμπληρώσετε τον πίνακα: Διάστημα Ανισότητα Συμβολισμός 2 < x 3 α 1 [-2,0) x < x > 1 2 β 124. Ασκήσεις ΣΒ: 1, σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: 2,3 και 4 σελίδα 104 (Συναλήθευση) 126. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων σε κάθε περίπτωση: α) 2(x 2) 2 και x 2 3 2x 4 + x + 3, β) 1 x 2x 3 1 και 2x+7<2(x+8) α) Άσκηση ΣΒ Β ομάδα 1 σελίδα 105 και β) Αν x (0, 2π] και x = κπ + π, κ Ζ, να βρείτε τις τιμές του x. 3 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 24

25 Ανισώσεις 1 ου βαθμού με απόλυτα Περιπτώσεις: a) Αν θ>0 τότε: Π(x) < θ θ < Π(x) < θ. b) Αν θ>0 τότε: Π(x) > θ Π(x) < θ ή Π(x) > θ. c) Π(x) < Κ(x), υψώνουμε στο τετράγωνο και λύνουμε την ισοδύναμη: (Π(x)) 2 < (Κ(x)) 2. d) Π(x) < Κ(x), Π(x) Κ(x), Π(x) > Κ(x) και Π(x) Κ(x). Μεθοδολογία της περίπτωσης (d): Αρχικά παίρνουμε περιπτώσεις για την Π(x): 1η περίπτωση) Π(x) < 0 και 2η περίπτωση) Π(x) 0. Ξεχωριστά σε κάθε περίπτωση, αφού λύσουμε την ανίσωση (οι ανισώσεις είναι τώρα χωρίς τα απόλυτα, Ασκήσεις αφού προσδιορίσαμε μέσω των περιπτώσεων το πρόσημο της παράστασης μέσα στο απόλυτο) δεχόμαστε εκείνες τις τιμές που ικανοποιούν την κάθε περίπτωση Ασκήσεις ΣΒ: 5i, 6iii σελίδα 104 και 9 σελίδα α) Άσκηση ΣΒ Α ομάδα 8 σελίδα 105 και β) να λυθεί η ανίσωση: 2x Να λύσετε τις ανισώσεις: 3 + x 1 < 1 1 2x 2 α) 2x-5 <-1, β) 2x+1 <0 γ) 2x δ) x + 4(x 2) > 2012, ε) x + 3 < 5, στ) x + 3 > 1, ζ) x + 3 > 1, η) x + 3 < x 4, θ) 2< x-1 <9, ι) 2x-3 <x, κ) 1-2x >x Άσκηση ΣΒ Β ομάδα 2 σελίδα Α) Να λύσετε τις εξισώσεις με γεωμετρικό τρόπο. Θα πρέπει δηλαδή να σημειώσετε τα σημεία που υποδεικνύουν οι αριθμοί στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να υποδείξετε τις θέσεις που μπορεί να έχει ο x σε κάθε περίπτωση (γεωμετρική επίλυση). α) d(x, 1) = 3, β) d(x, 2) d(x, 1) = 1 γ) d(x, 4) + d(x, 2) = 6 Β) Να λύσετε τις ανισώσεις με γεωμετρικό τρόπο (γεωμετρική επίλυση). α) d(x, 1)<2 β) d(x, -1)>3 γ) d(x, 1) + d(x, 2) 1 δ) d(x, 1)+d(x,2)>1 ε) x-1 - x-2 < α) Να κατασκευάσετε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις: x-1 και 2x+3 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 25

26 β) Να τοποθετήσετε τα πρόσημα των δύο προηγούμενων παραστάσεων σε κοινό πίνακα προσήμων. γ) για τις διαφορετικές περιπτώσεις του x στον κοινό πίνακα προσήμων που κατασκευάσατε να λύσετε την ανίσωση: x-1 + 2x+3 <6 (αλγεβρική επίλυση ανίσωσης με άθροισμα απολύτων) Ασκήσεις ΣΒ: 10, σελίδα Ασκήσεις ΣΒ: Β ομάδα 3, 4 σελίδα Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α, να λύσετε την ανίσωση: α x < Για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: d(5x, 2y) = 2y 5x. α) Να αποδείξετε ότι x 2y και β) Να υπολογίσετε τα x, y, αν επιπλέον ισχύει 2y 5x και 5 x5 = Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 1 2, Ρ(Β) = 2 3 τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Να αποδείξετε ότι: 1 6 Ρ(Α Β) α) Να αποδείξετε ότι 139. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε Ρ(Α) = x2 +1 x R. Να αποδείξετε ότι: α) x=1 και β) Ρ(Β) = Ρ(Α Β). x 2 +2 και Ρ(Α Β) = 2x x 2 +2, όπου 140. Έστω Α και Β συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει 25(P(A)) Ρ(Α) Ρ(Β). Να προσδιοριστούν οι αριθμοί Ρ(Α) και Ρ(Β) Αν για τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: (P(A)) 2 + 2(P(A )) 2 = 3Ρ(Β) και Ρ(Β) 2 9. Να βρείτε: α) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α, β) αν ισχύει επιπλέον P(A Β) = 5, να βρείτε την πιθανότητα: 9 i)να πραγματοποιηθεί μόνο το Β, ii)να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β και iii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α Β) = 1 και Ρ(Α) + Ρ(Β) 1. α) Να δειχθεί ότι Ρ(Α Β) = 0 και β) ότι ισχύει Ρ (Α ) = Ρ(Β). Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 26

27 Μορφές τριωνύμου αx 2 + βx + γ, α 0 H παράσταση της μορφής αx 2 + βx + γ, α 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού. Η διακρίνουσα και οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 λέγονται διακρίνουσα και ρίζες του τριωνύμου αx 2 + βx + γ, α 0. Ισχύει: αx 2 + βx + γ = α[(x + β 2α )2 Δ 4α 2] = α(x + β 2α )2 Δ 4α Αν Δ>0, τότε το τριώνυμο έχει ρίζες τις x 1 και x 2 και γίνεται ισοδύναμα: αx 2 + βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ). Ισχύει και το αντίστροφο. Αν Δ=0, τότε το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα ρ = β και γίνεται ισοδύναμα: 2α αx2 + βx + γ = α(x + β 2α )2 (1). Ισχύει και το αντίστροφο. αν επιπλέον ισχύει α>0 τότε η παράσταση (1) είναι τέλειο τετράγωνο αφού: αx 2 + βx + γ = [ α(x + β 2α )]2 Αν Δ<0, τότε το τριώνυμο δεν έχει καμία πραγματική ρίζα και γίνεται ισοδύναμα: αx 2 + βx + γ = α[(x + β 2α )2 + Δ 4α 2]. Ισχύει και το αντίστροφο. Η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι πάντα θετική και επομένως το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Ασκήσεις 143. Να παραγοντοποιήσετε όσα τριώνυμα μπορούν να παραγοντοποιηθούν α) x 2 + 2x 1, β) 2x 2 + 2x 4, γ) 1 2 x2 2x + 2, δ) 1 2 x2 2x + 12 και ε) x 2 ( 2 + 1)x Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε το τριώνυμο x 2 5x + λ 2 να είναι ίσο με (x-1)(x-4) Ασκήσεις ΣΒ: 2 σελίδα α) Να λύσετε την εξίσωση αβ 2 + (2α 1)β 2 = 0 όπου α 0, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο άγνωστος είναι ο β. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: αβ 2 + (2α 1)β Ασκήσεις ΣΒ Β ομάδα: 1, 2 και 3 σελίδα Α) Να λυθούν οι εξισώσεις: α)w 2 + w 2 = 0 και β)κ 2 κ 2 = 0 Β) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α)(x + y) 2 + x + y 2, β) (2x 3y) 2 2x + 3y Να βρείτε το α R, ώστε το τριώνυμο x 2 + (2α + 1)2x + α 2 + 1: α) Να αναλύεται σε γινόμενο δύο πρωτοβαθμίων παραγόντων. β) Να είναι τέλειο τετράγωνο. γ) Να μην αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 27

28 Ανισώσεις 2 ου βαθμού Πρόσημο των τιμών του τριωνύμου της μορφής αx 2 + βx + γ, α 0 Το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου της μορφής αx 2 + βx + γ, α 0 εξαρτάται από: i)το πρόσημο του α, ii) το πρόσημο του Δ και iii) τη θέση του x ως προς τις δύο ρίζες του τριωνύμου, αν αυτές υπάρχουν. Ομόσημο του α εκτός των ριζών Αν Δ>0, τότε το τριώνυμο είναι: Ετερόσημο του α εντός των ριζών Ίσο με μηδέν για τις τιμές των ριζών Αν Δ=0 τότε το τριώνυμο είναι: Ομόσημο του α εκατέρωθεν της ρίζας Ίσο με μηδέν για την τιμή της ρίζας Αν Δ<0 τότε το τριώνυμο είναι: Ομόσημο του α στο R Παρατηρήσεις: Αν Δ < 0 αx 2 + βx + γ 0, για κάθε x R. Αν Δ < 0 το αx 2 + βx + γ, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Αν Δ < 0 και α < 0 αx 2 + βx + γ < 0, για κάθε x R. Αν Δ < 0 και α > 0 αx 2 + βx + γ > 0, για κάθε x R. Αν Δ 0 και α < 0 αx 2 + βx + γ 0, για κάθε x R. Αν Δ 0 και α > 0 αx 2 + βx + γ 0, για κάθε x R. Ασκήσεις 150. Να βάλετε τα κατάλληλα πρόσημα σε κάθε περίπτωση: α) το τριώνυμο έχει ρίζες τις x 1 και x 2 και α>0 x x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ β) το τριώνυμο έχει ρίζες τις x 1 και x 2 και α<0 x x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 28

29 γ) το τριώνυμο έχει ρίζα ρ και α<0 x ρ + αx 2 + βx + γ δ) το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και α>0 x + αx 2 + βx + γ 151. α) Να κάνετε τον πίνακα προσήμων του τριωνύμου x 2 + x + 2. β) ποιο είναι το πρόσημο του προηγούμενου τριωνύμου για i) x=-10, ii) x = 552, όπου α > a 152. Ασκήσεις ΣΒ: 4 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ Α ομάδα: 5, 6, 7, 8, 9 σελίδα Ασκήσεις ΣΒ Α ομάδα: 10, 11 σελίδα 113. (συναλήθευση) 155. Να λύσετε τις: Α) εξισώσεις: i) x 2 4 = x 2 4 και ii) x 2 3x = 3x x 2 Β) ανισώσεις: i)x 2 5 x + 6 > 0 και ii) (2x 1) 2 3 2x < α) Να προσδιορίσετε το πρόσημο του τριωνύμου x 2 + x 6. β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α = x x 2 + x 6 + x 2 όταν ισχύει x<-3. γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α = x x 2 + x 6 + x 2 όταν ισχύει x> Για τον πραγματικό αριθμό β ισχύει: (β 2)(β + 2)(β 2 + 2β + 10) > 0. α) Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων β-2 και β+2, β) να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η παράσταση 3β+17, γ) να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση Α = β α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, αν οι αριθμοί x 2 + x + 1, 2x + 1, x είναι μήκη πλευρών τριγώνου. β) Για τον πρώτο ακέραιο x που θα βρείτε να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο α)να αποδείξετε ότι α 2 10α + 26 > 0, β 2 2β + 2 > 0 για κάθε α, β R. β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α, β αν ισχύει: (β 1) 4 (α 2 10α + 26) + (β 2 2β + 2)(2α 3) 2 = 0. Ανισώσεις 2 ου βαθμού: Παραμετρικές 160. Δίνεται η εξίσωση (1): (λ + 1) x 2 2λx + 3λ = 0 όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Για τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ που η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. γ) Αν S=P+1, όπου P: το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1) και S: το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης (1) να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 29

30 161. Δίνεται η εξίσωση 2x 2 λx + λ 2 = 0. α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια μόνο τιμή του λ R, για την οποία η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. β) Για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η εξίσωση x(x λ) + λ(1 x) = 1 x 2 + λ 2 με λ R. α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η προηγούμενη εξίσωση έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες. β) Αν x 1, x 2, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και ισχύει 2x 1 2 x 2 + 2x 2 2 x = 0 να βρεθεί ο λ R. γ) Υπάρχουν τιμές του λ R έτσι ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει ρίζες που να είναι αντίστροφοι αριθμοί; δ) Υπάρχουν τιμές του λ R έτσι ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει ρίζες που να είναι αντίθετοι αριθμοί; 163. Δίνεται η εξίσωση 2x 2 (λ + 1)x = 2λ 2 με λ R. α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η προηγούμενη εξίσωση έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες. β) Αν x 1, x 2, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και ισχύει x x 2 2 = 2 να βρεθεί ο λ R Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λx 2 2λx λ + 3 = 0, όπου λ 0, για τις διάφορες τιμές του λ R Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε το τριώνυμο (λ 1)x 2 2(λ 1)x λ, όπου λ 1, να είναι μικρότερο του μηδενός για κάθε x R Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η ανίσωση λx 2 (λ 1)x + λ 1 > 0, όπου λ 0 να αληθεύει για κάθε x R Δίνεται η εξίσωση (λ 2)x 2 2λx + 1 = 0, όπου λ 2, α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Αν x 1, x 2, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το λ R αν ισχύει x 1 +x 2, = λ Δίνεται η εξίσωση x 2 λx + λ 2 1 = 0. Να βρείτε το λ R ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες x 1, x 2, ετερόσημες Δίνεται η εξίσωση x 2 λx (λ + 3) = 0, όπου λ R. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Αν x 1, x 2, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το λ R αν ισχύει 1 x x 2 > Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η εξίσωση (λ 1)x 2 3x λ = 0, όπου λ < 1, να έχει δύο ρίζες ετερόσημες Δίνεται η εξίσωση x 2 (λ 2 3λ)x + λ + 1 = 0. Να βρείτε το λ R ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες x 1, x 2, ετερόσημες και να ισχύει 1 x x 2 < Άσκηση ΣΒ Β ομάδα: 7 σελίδα 114. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 30

31 173. Άσκηση ΣΒ Β ομάδα: 8 σελίδα Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η εξίσωση x 2 2(λ 1)x + 3λ 2 4λ + 1 = 0,, να έχει δύο ρίζες αρνητικές. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 31

32 Ακολουθίες Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,2,3,,ν, στους πραγματικούς αριθμούς. Την ακολουθία με ν όρους τη συμβολίζουμε (α ν ). Κάθε ακολουθία είναι τελείως ορισμένη όταν υπάρχει τύπος με τον οποίο μπορούν να προσδιοριστούν οι όροι της. Για τις ακολουθίες που είναι τέλεια ορισμένες, ο προσδιορισμός των στοιχείων τους μπορεί να γίνει, μέσω: Γενικού όρου (τύπου): Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν, καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και το συμβολίζουμε συνήθως με α ν. Ο γενικός όρος μας επιτρέπει να βρίσκουμε οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Αναδρομικού τύπου: Η ακολουθία (αν) ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα α ν+2 = α ν+1 + α ν λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Όπου α ν : νιοστός όρος, α ν+1 : ο επόμενος του (+1). Για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε: i. Τον αναδρομικό της τύπο και ii. Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους. Προσοχή, υπάρχουν ακολουθίες, για τις οποίες μέχρι τώρα δε γνωρίζουμε ούτε έναν τύπο για το γενικό τους όρο ούτε έναν αναδρομικό τύπο. Μια τέτοια ακολουθία είναι για παράδειγμα η ακολουθία των πρώτων αριθμών: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... Πρώτος είναι ο φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Ασκήσεις 175. Μια διάσημη ακολουθία ακεραίων είναι οι αριθμοί Fibonacci 2 : 0, 1, 1, 2, 3, 5,. α) Να βρείτε τους τρεις επόμενους όρους. β) να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο αλλά και τους αρχικούς όρους που χρειάζεται να ξέρουμε για να υπολογίσουμε οποιονδήποτε όρο αυτής της ακολουθίας Σε κάθε μια από τις επόμενες ακολουθίες να βρείτε τον επόμενο αριθμό που λείπει. α) 1, 4, 7, 10,, β) 2, 4, 8, 16,, γ) 1, 4, 9, 16, 25,, δ) 1, 3, 3, 9, 27, 177. ΣΒ σελίδα 124, 1i, iv, v, xi ΣΒ σελίδα 124, 2i, ii ΣΒ σελίδα 124, 3i, ii, iii (από γενικό όρο σε αναδρομικό τύπο) 180. ΣΒ σελίδα 124, 4 (από αναδρομικό τύπο σε γενικό όρο) 2 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 32

33 Αριθμητική πρόοδος Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Η ακολουθία (α ν ), όπου ν 1, είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει: α ν+1 α ν = ω. Αναδρομικός τύπος της αριθμητικής προόδου: α ν+1 = α ν + ω, πρέπει να δίνεται ο α 1. Γενικός όρος της αριθμητικής προόδου: α ν = α 1 + (ν 1)ω. Άθροισμα πρώτων ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου: S ν = ν (α α ν ) ή S ν = ν [2α (ν 1)ω]. Αν α 1, α 2, α 3,, α ν 3, α ν 2, α ν 1, α ν είναι όροι αριθμητικής προόδου, τότε το άθροισμα δύο όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι ίσο με το άθροισμα των δύο άκρων. Δηλαδή ισχύει: α 1 + α ν = α 2 + α ν 1 = α 3 + α ν 2 = α 4 + α ν 3 =... Χαρακτηριστικό άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου: S = ν = ν(ν+1) 2 Τρεις αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = α+γ 2. Ο β λέγεται στην περίπτωση αυτή αριθμητικός μέσος των α και γ. Αναπαράσταση όρων αριθμητικής προόδου Οι όροι μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι με τη σειρά: α 1, α 1 + ω, α 1 + 2ω, α 1 + 3ω,, α 1 + (ν 1)ω Αν είναι περιττού πλήθους όρων:, x 3ω, x 2ω, x ω, x, x + ω, x + 2ω, x + 3ω, Αν είναι άρτιου πλήθους όρων:, x 5ω, x 3ω, x ω, x + ω, x + 3ω, x + 5ω, Ασκήσεις 181. ΣΒ σελίδα 129: 1iv, v, 2i, v, vi, 182. ΣΒ σελίδα 131: B ομάδα ΣΒ σελίδα 129: 3i, 4ii, 5ii (εύρεση βασικών στοιχείων αριθμητικής προόδου) 184. Στον τετράγωνο οι αριθμοί σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο (όχι υποχρεωτικά με την ίδια διαφορά). Να συμπληρωθεί ο πίνακας. (Στεργίου Μ.) 185. ΣΒ σελίδα 130: 6, 7 (αριθμητικός μέσος) 186. Αν οι αριθμοί 1 α, 1 β, 1 γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι οι αριθμοί 1 β α, 1 β, 1 β γ είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΣΒ σελίδα 130: 8ii, 9ii, 10iii, σελίδα 131: 2i, iii, 6, σελίδα 132: 11 (άθροισμα ορών αριθμητικής προόδου) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 33

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα