Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A ="

Transcript

1 Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 (1) = λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,, λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = v i = λ 1 λ i v 1 λ 2 λ i v 2 λ 1n λ i v n spunem ca v 1, v 2,, v n sunt liniar dependenti orice set de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent liniar dependent exista un vector care este o combinatie liniara de ceilalti vectori (nu aduce noi informatii ) matricea: A = poate interpretata ca o colectie de vectori linie: (1 2 1) = l 1 A = (0 0 2) = l 2 ( 1 2 3) = l 3 (2 4 0) = l 4 sau de vectori coloana: c 1 c 2 c A = rang(a) = nr de linii liniar independente = nr de coloane liniar independente rang(a) = 2 si se poate verica ca primele doua linii l 1 si l 2 sunt liniar independente iar l 3 = l 1 + l 2 sau l 4 = 2l 2 + l 3

2 oricare trei linii sunt liniar dependente si exista doua linii liniar independente, de exemplu l 1, l 2 acelasi rezultat are loc pentru coloanele c 1, c 2, c 3 Structura matricelor de rang r Daca A M m n (R) are rangul r atunci exista U M m r (R) si V M r n (R) atsfel ca: De ex: A = U V A = = ( 1 2 ) Structura matricelor de rang 1 Daca A M m n (R) are rangul 1 atunci a 1 a 2 exista u = si v = (b 1 b 2 b n ) astfel ca: a n Teorema lui Sylvester: A = u v rang(a) + rang(b) n rang(ab) min{rang(a), rang(b)} deci rangul nu creste prin inmultire cu o alta matrice are loc si inegalitatea: rang(a + B) rang(a) + rang(b) evidenta intrucat prin adunare putem modica fundamental matricea ea putand deveni chiar inversabila Transformari elementare: urmatoarele transformari realizate asupra liniilor( sau coloanelor) unei matrice se numesc transformari elementare pe linii (coloane): inmultirea unei linii ( coloane) cu un numar real nenul: l i cl i schimbarea a doua linii ( coloane) intre ele: l i l j, l j l i adunarea la o linie (coloana) a unei alte linii (coloane) inmultite cu un numar nenul l i l i + cl j Matrice elementare: matricele obtinute din matricea I in urma unei transformari elementare se numesc matrice elementare

3 Retine: daca realizam o transformare elementara pe linii asupra matricei I si rezultatul il notam cu E atunci EA realizeaza aceeasi transformare elementara pe linii asupra matricei A: Exemplu: Fie A = a11 a 12 si I = a 21 a inmultim linia 2 cu c = E = EA = ( c ) a11 a 12 c a 21 c a 22 si observam ca daca realizam o transformare elementara pe coloane asupra matricei I si rezultatul il notam cu E atunci AE realizeaza aceeasi transformare elementara pe coloane asupra matricei A: Exemplu: Fie A = a11 a 12 si I = a 21 a adunam coloanei 2 coloana 1 = E = AE = a11 a 12 + a 11 a 21 a 22 + a si observam ca 0 1 O matrice este inversabila daca si numai daca este un produs de matrice elementare: A = E 1 E 2 E p Determinanti Efectul transformarilor elementare asupra determinantilor: daca in matricea A schimbam intre ele doua linii (coloane) atunci determinantul isi schimba semnul daca inmultim o linie (coloana) cu un numar atunci determinantul se inmulteste cu acel numar daca la o linie (coloana) adaugam o alta linie (coloana) inmultita cu un numar atunci determinantul ramane neschimbat Determinantii testeaza liniar independenta liniilor (coloanelor): = daca o linie (coloana) este o combinatie liniara intre celelalte linii (coloane) atunci det(a) = 0 ( determinantul va nenul doar daca liniile si coloane sunt liniar independente) daca elementele unei linii (coloane) sunt nule = deta = 0 daca matricea are doua linii (coloane) identice = det(a) = 0 daca doua linii (coloane) sunt proportionale = det(a) = 0 Alte proprietati:

4 derivarea unui determinant: d f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) dx f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) = f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) + f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) + f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) se deriveaza pe rand ecare linie ( sau coloana) liniaritatea determinantului: a 11 a 12 a 13 x 21 + y 21 x 22 + y 22 x 23 + y 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 x 21 x 22 x 23 a 31 a 32 a 33 + a 11 a 12 a 13 y 21 y 22 y 23 a 31 a 32 a 33 determinantul este o aplicatie liniara in raport cu ecare linie sau coloana Aplicatii in geometrie: 1 Aria triunghiului format de punctele A(x A, y A ), B(x B, y B ) si C(x C, y C ) este: A ABC = 1 2 det x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 avem nevoie de modul inaintea determinantului pentru a ne asigura ca aria este tot timpul pozitiva Ce "ascunde" liniar dependenta? daca determinantul de mai sus este nul stim ca liniile sunt liniar dependente, asadar va exista o linie care sa e o combinatie liniara de celelalte, sa presupunem de exemplu l 3 = αl 1 + βl 2, adica: (x C y C 1) = α (x A y A 1) + β (x B y B 1) deci 1 = α + β si prin urmare: x C = α x A + (1 α) x B y C = α y A + (1 α) y B care conduce la: x C x A = y C y A = 1 α x B x A y B y A adica punctul C se aa pe dreapta AB = determinatul este nul daca punctele sunt coliniare: x A y A 1 A(x A, y A ), B(x B, y B ), C(x C, y C ) coliniare x B y B 1 x C y C 1 = 0

5 Retine: coordonatele punctelor M situate pe dreapta AB sunt o combinatie ana a coordonatelor punctelor A si B adica: (x M, y M ) = α (x A, y A ) + (1 α)(x B, y B ) α R coordonatele punctelor N situate in interiorul segmentului combinatie convexa a coordonatelor punctelor A si B: AB sunt o (x N, y N ) = α (x A, y A ) + (1 α)(x B, y B ) α > 0 2 Volumul tetraedrului format de punctele A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ), C(x C, y C, z C ) si D(x D, y D, z D ) este dat de formula: V ABCD = 1 x A y A z A 1 6 det x B y B z B 1 x C y C z C 1 x D y D z D 1 printr-un rationament asemanator liniar dependenta liniilor conduce la conditia de coplanaritate a punctelor Liniar independenta functiilor: functiile f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) sunt liniar independente daca si numai daca wronskian-ul lor W (f 1, f 2,, f n ) este nenul: f 1 (x) f 2 (x) f n (x) f 1 (x) f 2 (x) f n(x) W (f 1, f 2,, f n ) = f 1 (x) f 2 (x) f n(x) 0 f (n 1) 1 (x) f (n 1) 2 (x) f n (n 1) (x) Exemplu: stim deja de la cursul de Algebra ca polinoamele f 1 = 1, f 2 = X si f 3 = X 2 sunt liniar independente, putem verica acelasi rezultat si pentru functiile polinomiale atasate f 1 (x) = 1, f 2 (x) = x si f 3 (x) = x 2 : 1 x x 2 W (f 1, f 2, f 3 ) = 0 1 2x = 2 0 Determinanti Vandermonde si formula de interpolare a lui Lagrange: o problema clasica in matematica se refera la aarea polinomului de grad n 1, p = a n 1 X n 1 + a n 2 X n a 1 X + a 0 care satisface relatiile: p(x 1 ) = y 1 p(x 2 ) = y 2 p(x n ) = y n

6 necunoscutele sunt evident a n 1, a n 2,, a 1, a 0 iar daca transformam relatiile anterioare intr-un sistem obtinem un sistem liniar de ecuatii cu determinantul matricei sistemului egal cu: 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n 1 2 = 1 x n x 2 n x n 1 un astfel de determinant se numeste determinant Vandermonde si are loc formula: 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n 1 2 n = = (x j x i ) 1 x n x 2 n x n 1 j>i n Exemplu: cum se aplica formula de mai sus? sa consideram determinantul: 1 a a 2 a 3 = 1 b b 2 b 3 1 c c 2 c 3 1 d d 2 d 3 se stabileste ordinea a, b, c, d si prin asta intelegem o "ordine sociala" crescatoare stabilita intre a, b, c si d In produsul indicat de formula se vor scriu toate diferentele in care primul termen trebuie sa e mai mare in "rang" decat cel de al doilea: 1 a a 2 a 3 1 b b 2 b 3 1 c c 2 c 3 = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c) 1 d d 2 d 3 cu putina rabdare se obtine in cele din urma formula polinomului p numita formula de interpolare a lui Lagrange: p = (X x 2)(X x 3 ) (X x n ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n ) y 1 + (X x 1)(X x 3 ) (X x n ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n ) y 2 + (X x 1)(X x 2 ) (X x n 1 ) (x n x 1 )(x n x 2 ) (x n x n 1 ) y n n Unde este liniar independenta?? Polinoamele: p 1 = (X x 2)(X x 3 ) (X x n ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n )

7 p 2 = (X x 1)(X x 3 ) (X x n ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n ) p n = (X x 1)(X x 2 ) (X x n 1 ) (x n x 1 )(x n x 2 ) (x n x n 1 ) sunt liniar independente si formeaza chiar o baza a spatiului R n 1 [X] al polinoamelor de grad cel mult n 1 cu coecienti reali Determinanti??? Problema 1 Aratati ca (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 apoi argumentati faptul ca pentru orice n N numarul 25 n este o suma de patrate pefecte a b c d Solutie: Considera matricele A = si B = b a d c si observa ca deta = a 2 + b 2 iar det(b) = c 2 + d 2 In plus: Evident: det(ab) = ac bd bc ad ad + bc ac bd = (ac bd)2 + (ad + bc) 2 det(a)det(b) = det(ab) Problema 2 Descompuneti in factori expresia: E = a 3 + b 3 + c 3 3abc Solutie: Considera matricea: A = a b c c a b b c a observa E = det(a) = a 3 + b 3 + c 3 3abc dar putem realiza transformari elementare asupra determinantului matricei A: a b c E = c a b b c a = a b c + a + b c a b + c + a b c a + b + c = a b c + a + b c a a b 0 b a c b 0 = (c + a + b) ( (c a)(c b) + (a b) 2) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc) Problema 3 Aati urmatorul termen al sirului: 1, 4, 3, 8, 9,?

8 Solutie: Genul acesta de probleme sunt frecvente in testele de stabilire a IQ-ului dar nu fac altceva decat sa stabileasca IQ-ul celui care le-a propus! Asadar avem un sir haotic si se presupune ca intre termenii sai exista o relatie care odata descoperita va conduce la aarea termenului urmator De ce nu o relatie polinomiala intre termenii sirului? Am gasit! Toti termenii sunt valori consecutive ale aceluiasi polinom p adica: p(1) = 1, p(2) = 4, p(3) = 3, p(4) = 8, p(5) = 9, p(6) =? si putem sa aam un polinom de grad 4 care satisface aceste proprietati folosind formula de interpolare a lui Lagrange: adica: p = (X 2)(X 3)(X 4)(X 5) (1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 1 (X 1)(X 3)(X 4)(X 5) + 4 (2 1)(2 3)(2 4)(2 5) (X 1)(X 2)(X 4)(X 5) + 3 (3 1)(3 2)(3 4)(3 5) (X 1)(X 2)(X 3)(X 5) + 8 (4 1)(4 2)(4 3)(4 5) (X 1)(X 2)(X 3)(X 4) + 9 (5 1)(5 2)(5 3)(5 4) p = 1 (X 2)(X 3)(X 4)(X 5) 24 2 (X 1)(X 3)(X 4)(X 5) (X 1)(X 2)(X 4)(X 5) 4 4 (X 1)(X 2)(X 3)(X 5) (X 1)(X 2)(X 3)(X 4) 8 deci termenul urmator al sirului este p(6) = = 24 Rezultatul era oricum evident!!

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Για την κωδικοποίηση της αρμανικής Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Τάσεις και περίοδοι στην κωδικοποίηση της αρμανικής 1. Ελληνοποίηση (1700-1840) 2. Ρουμανική προπαγάνδα (1820-1945)

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice Memorii. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice Memorii. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.11. Memorii Copyright Paul GASNER Random Access Memory RAM Toate circuitele secvenţiale depind de memorii un flip-flop poate stoca doar un bit de informaţie un registru poate stoca

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 20 FILTRE DE TIP K-constant

Lucrarea 20 FILTRE DE TIP K-constant Lucrarea 151 Lucrarea FILTRE DE TIP K-contant.A. OBIECTIVE 1. Proiectarea celulelor elementare filtre tip K-contant.. Studiul comportării în frecvenţă a acetor celule. 3. Studiul unui format din mai multe

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE DE REDRESARE ŞI FILTRARE

CIRCUITE DE REDRESARE ŞI FILTRARE LCAEA N.4 CICITE DE EDEAE ŞI FILTAE 1.Introducere edresarea este procesul de transformare a curentului alternativ în curent continuu. edresarea este necesară pentru mulţi consumatori electrici la care

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată [Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată Statistică Aplicată (C1) 1 Elemente de Statistic teoretic (C1) Populaµie statistic O populaµie (colectivitate) statistic este o mulµime de elemente ce posed o trasatur

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice 4 Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ 6.1 Considerații teoretice O instalaţie care asigură transportul şi distribuţia fluidelor (lichide, gaze) între o sursă şi un consumator

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA BN 9 TERMISTORUL 2005 TERMISTORUL. Scopul lucrării a. Verificarea legii dependenţei rezistenţei

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα