41 ГОДИНА ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА СУБОТИЦА

Transcript

1 41 ГОДИНА ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА СУБОТИЦА Међународна конференција Савремена достигнућа у грађевинарству 4. април 15. Суботица, СРБИЈА ЕЛАСТОПЛАСТИЧНА АНАЛИЗА AБ ЗИДА СА ОТВОРИМА Жарко Лазић 1 Joвица Станојевић Марио Бабић 3 УДК: 539.3: DOI: /konferencijGFS 15.4 Резиме: У пракси се свакодневно материјали и конструкције у прорачунима третирају са претпоставком да посједују својство еластичности, што није увијек случај. Постоји мноштво материјала који немају или пак имају својство еластичности само до одређеног нивоа напонског стања, те као такви подлијежу анализи Теорије пластичности. С тога је у раду бачен кценат на еластопластично понашање материјала. Описан је равански случај за дводимензионалну анализу равног стања напона. У програском пакету Софистик анализирани су примјери укљештених армирано-бетонских зидова са отворима, бочно притиснути. Усвојене су карактеристике материјала према европским нормама. Резултати за сваки модел су представљени графички. Кључне речи: Теорија пластичности, еластопластично понашање, равно стање напона, аб зидови са отворима, Софистик 1. УВОД Као што је познато у пракси се материјали и конструкције у свакодневним прорачунима узимају са претпоставком да посједују својство еластичности. Међутим, као што је то добро познато, то није увијек случај. Постоји мноштво материјала који немају својство еластичности или пак својство имају само до одређеног нивоа напонског стања. Појава трајних пластичних деформација карактеристична је за општи вид деформације конструкција изложених дејству спољашњих утицаја. У оквиру Механике деформабилних тијела, област која се бави изучавањем напонско-деформацијских стања материјала са пластичним својствима назива се Теорија пластичности. Њен развој почео је приближно у исто вријеме када и развој Теорије еластичности. Ипак, развој Теорије пластичности ишао је знатно спорије, због сложеније физике самог феномена пластичности, као и због знатно комплекснијег математичког апарата којим се он описује. [3] 1 Жарко Лазић, дипл. инж. грађ., студент докторских студија, Грађевински факултет Универзитета у Београду, e-mil: zrkolzic87@live.com Јовица Станојевић, дипл. инж. грађ., e-mil: stnojevic.j@gmil.com 3 Марио Бабић, дипл. инж. грађ., e-mil: mbbic.milbox@gmil.com 317

2 41 th ANNIVERSARY FACULY OF CIVIL ENGINEERING SUBOICA Interntionl conference Contemporry chievements in civil engineering 4. April 15. Subotic, SERBIA. ОСНОВА ТЕОРИЈЕ ПЛАСТИЧНОСТИ Сам предмет проучавања Теорије пластичности су везе између напона и деформација за материјале који имају својство пластичности. Пластична својства материјала карактеришу се реверзибилним деформацијама, које нису зависне од времена. Поред конститутивних веза којима се описује понашање материјала у домену еластичности, односно до појаве пластичних деформација, за описивање еластопластичног понашања материјала неопходно је да се још зна: 1) Услов течења ( yield conditions) којим се дефинише напонско стање у тренутку почетка пластичних деформација. ) Закон течења ( flow rule) којим се дефинише веза инкременталних деформација и напона за стање које настаје послије појаве пластичних деформација. 3) Закон ојачања ( hredning rule) којим се дефинише начин на који се услов пластичности модификује у току процеса пластичног течења. [1] 3. ДВОДИМЕНЗИОНАЛНИ ПРОБЛЕМИ Општи изрази теорије пластичности који су изведени за потребе тродимензионалне анализе, у случају дводимензионалних проблема се редукују и самим тим постају знатно једноставнији. Модификација општих израза за три основна подручја дводимензионалне анализе (равно стање напона, равно стање деформације, осно-симетрични проблеми) приказана је у табели (Таб.1). Ради једноставније формулације за све три области дводимензионалних проблема, у табели (Таб.1), вектор напона је проширен на четири компоненте, иако се у случају равног стања напона и равног стања деформације појављују само три међусобно независне компоненте. Код рачунања матрице крутости елемента, о овој околности се води рачуна, тако да се матрица крутости у поменутим случајевима редукује на 3х3. Вектор течења у случају дводимензионалних проблема се дефинише као []: df df df df,,, (1) d x d y d xy d z Еласто-пластична модуларна матрица D ep Dep формира се према изразу D D De Dp D. () A D За конститутивну матрицу D треба узети вриједности из (Таб.1), а вектор према изразу (1), тако да се за производ D који се јавља у матрици D добијају експлицитне вриједности: ep 318

3 41 ГОДИНА ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА СУБОТИЦА Међународна конференција Савремена достигнућа у грађевинарству 4. април 15. Суботица, СРБИЈА а) за равно стање напона б) за стање равне деформације или осносиметричне проблеме E E ( ) E E ( ) E E( ( 1 ) E E ; 1 4) D D G3 G 3 E E ( 1 ) E E( 1 4) У изразима (3) и (4), i, i 1,,3, 4 су компоненте вектора. Таб.1 [], ( x, y, xy, z ) z ( x, y, xy, z ) z ( r, z, rz, ) D 1 E 1 D 1 E(1 ) (3,4) 1 4. НУМЕРИЧКИ ПРИМЈЕР Анализирана су армирано-бетонска зидна платна као примјер из домена равног стања напона. На три различита примјера у зависности од положаја и геометрије отвора урађена је параметарска анализа. Прорачун је урађен у програмском пакету SOFISIK. Својства усвојених материјала: Бетон (према DIN/EN 199-4) C 3/37: Модул еластичности E 8613N / mm Поасонов коефицијент. 15 Модул смицања Запреминска тежина Чврстоћа на притисак Чврстоћа на затезање E 144 N / mm 5.kN / m f c 5.5N / mm 3 f t.3n / mm Челик (према DIN/EN 199-4) Y 5: Модул еластичности E 13 N / mm Поасонов коефицијент. 3 Модул смицања E 7743 N / mm Запреминска тежина kN / m Гранична деформација 35o oo Граница развлачења ult / f y 5N / mm 319

4 41 th ANNIVERSARY FACULY OF CIVIL ENGINEERING SUBOICA Interntionl conference Contemporry chievements in civil engineering 4. April 15. Subotic, SERBIA [MP] [MP] σ-m σ-u σ-r σ-u -.. σ-r [o/oo] σ-m [o/oo] 5. Слика 1. Радни дијаграми бетона и арматуре кориштени у анализи [5] sig [MP] Слика. Радни дијаграма бетона у фази затезања [5].4 eps [o/oo] Прорачун у програму SOFISIK се заснива на методи коначних елемената(мке). Базира се на методи деформације, што значи да су непознате величине уствари деформације тачака, односно чворова коначних елемената, и оних тачака које се налазе између њих, а чије вриједности тражимо преко интерполационих функција које могу бити линеарног, квадратног, кубног или вишег реда. У конкретној анализи су кориштени изопараметарски квадратни елементи са линеарном интерполацијом (4 чвора). Одређивање механичких особина засновано је на енергетском принципу (минимуму деформационог рада). Комплетан прорачун према МКЕ се може подијелити у неколико дијелова [5]: 1. Одређивање локалне матрице крутости елемента.. Асемблирање глобалне матрице крутости и дефинисање коначне једначине система. 3. Дефинисање матрице оптерећења и одређивање одговарајућих помјерања. 4. Одређивање напона у елементу и реакција ослонаца на основу срачунатих помјерања. Нелинарни ефекти се анализирају итеративно (модификована Newton-Rphson-ова метода). Кориштени су QUAD-shell елементи који су дефинисани преко lyers-а и као такви су погодни за дефинисање материјала као што је армирани бетон [5]. 3

5 41 ГОДИНА ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА СУБОТИЦА Међународна конференција Савремена достигнућа у грађевинарству 4. април 15. Суботица, СРБИЈА Усвојени типови оптерећења: Actions type prt sup title g-u g-f g- y- y-1 y- y-1' G G perm Ded lod Q Q cond Live lod Усвајање арматуре: Reinforcement prmeter two lyer reinforcement Selection distnce br-dimeter crckwidth steelstress min.feinf. Grp elem d1-u.ly ds-u.ly wk-u.ly sigsu.ly su.ly no. no. d1-l.ly ds-l.ly wk-l.ly sigsl.ly sl.ly [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [MP] [MP] [cm/m] [cm/m] defult Прорачун је рађен према DIN-EuroNorm EN 199(13) Concrete Structures [4]: Nonliner properties concrete lw for shell elements Generl prmeter: mx.sher u- number of lyers ension stiffening ccording to EC of yer 199 Anlysis of crck witdh ccording EN [MP] 1 [-] Габарити свих модела су 15х1 [m] (висина/ширина), величина и распоред оствора је промјенљив што и представља основну разлику између модела. Дебљина зида је. [m]. Мрежа коначних елемената се састоји од правоугаоних 4-nodes елемената са билинеарном интерполацијом. Геометријска толеранција.1 [m]. Број коначних елемената модела А је 1139, а број Gus-ових тачака 56645, модела Б је 1358, а број Gus-ових тачака 6754 и модела Ц је са Gus-ових тачака. Модели су анализирани на бочни притисак вјетра, као равномјерно расподијељено оптереће дуж комплетне висине зида. У анализу је укључена и сопствена тежина зида. Модел А Модел Б Модел Ц Слика 3. Нумерички модели аб зидова 31

6 41 th ANNIVERSARY FACULY OF CIVIL ENGINEERING SUBOICA Interntionl conference Contemporry chievements in civil engineering 4. April 15. Subotic, SERBIA Резултати: Слика 4. Број Gus-oвих тачака обухваћен пластификацијом Слика 5. Број Gus-oвих тачака обухваћен oтварањем прслина Слика 6. Хоризонтално помјерање тачке А Слика 7. Напон смицања у функцији дилатације у XY-равни 3

7 41 ГОДИНА ГРАЂЕВИНСКОГ ФАКУЛТЕТА СУБОТИЦА Међународна конференција Савремена достигнућа у грађевинарству 4. април 15. Суботица, СРБИЈА Слика 8. Анимација развоја зона пластификације Слика 9. Анимација развоја зона прслина 5. ЗАКЉУЧАК Из претходних примјера се може видјети да се при нелинеарној анализи због комплекности једначина у зонама платификације, не може наћи рјешење у затвореном облику, те је с тога потребно прибјећи неким нумеричким методама. Као што је показано, то се данас лако рјешава употребом моћних програмских 33

8 41 th ANNIVERSARY FACULY OF CIVIL ENGINEERING SUBOICA Interntionl conference Contemporry chievements in civil engineering 4. April 15. Subotic, SERBIA пакета. У коначним резултатима се може видјети присуство материјалне нелинеарности узете у обзир према улазним параметрима материјала. Константним повећањем оптерећења, видљива је на Gus-oвим тачкама брзина развоја зона пластификације, као и отварања прслина. У погледу геометрије може се уочити колико и на који начин геометрија отвора у зиду утиче на напонскодеформацијска својства самог зида. Може се јасно уочити развој зона пластификације у одређеним подручјима. Одређени дјелови конструкције су ушли у зону пластификације, док се остали још увијек налазе у зони еластичности, што указује на еластопластично понашање комплетне конструкције. ЛИТЕРАТУРА [1] KJ Bthe, Finite element procedures, Prentice Hll, New Jersey, САД, 1996 [] M Sekulović, Metod končnih element, Grđevinsk knjig, Beogrd, 1988 [3] R De Borst, he zero-norml-stress condition in plne-stress nd shell elstoplsticity, Communictions in pplied numericl methods, Vol. 7, 9-33, Delft, Холандија, 1991 [4] he EU Regultion, EN (4) (English): Eurocode : Design of concrete structures Prt 1-1: Generl rules nd rules for buildings, 4 [5] SOFiSiK AG, SOFISIK Mnuls, Ver.14.3, Oberschleissheim, ГЕР, 13 ELASOPLASIC ANALYSIS ОF REINFORCED CONCREE WALL WIH OPENINGS Summry: In prctice, every dy mterils nd structures in the clcultions re treted with the ssumption tht they possess the property of elsticity, which is not lwys the cse. here re plenty of mterils tht re/or hve the property of elsticity only to certin level of stress stte, nd s such, they re subject to nlysis of the heory of plsticity. herefore, in the work, review is on the elstoplstic mteril behvior. It is described the plne cse for two-dimensionl nlysis of plne stress. In softwre pckge Sofistik it is nlyzed exmples of fixed rc wlls with openings, lterlly press. hey dopted the chrcteristics of the mteril ccording to Europen norms. Results for ech model re presented grphiclly. Keywords: heory of Plsticity, elstoplstic behvior, plne stress stte, rc wlls with openings, Sofistik 34