4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА

Transcript

1 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству. април 01. Суботица, СРБИЈА ПРОРАЧУН ПОМЕРАЊА ТАНКОЗИДНИХ НОСАЧА ПРИМЕНОМ МЕТОДА КОНАЧНИХ ТРАКА Смиља Живковић 1 УДК: : DOI: /konferencijaGFS Резиме: У овом раду представљен је прорачун померања и напона танкозидног гредног носача са почетним геометријским имперфекцијама. Нумерички прорачун је спроведен помоћу софтвера MKTVE, специјализованог за вискоеластичу анализу применом методе коначних трака. Резултати прорачуна су упоређени са референтним резултатима из ове области. Прорачун је спроведен на танкозидном носачу I попречног пресека са задатом имперфекцијом у виду померања средине носача. Кључне речи: Танкозидни носач, метод коначних трака, померање, почетна геометријска имперфекција 1. УВОД Први радови о методу коначних трака потичу из 198. и 199., а публиковани су упоредно у Великој Британији и Северној Америци од Cheung-a, те Powell-a и Ogden-a. Нешто касније метод је успешно уведен у проучавање линеарног понашања, вибрација, извијања, као и нелинеарног понашања различитих типова полиедарских конструкција, па и шире. Разлог увођења овог метода је у томе што је за неке класичне проблеме он бржи, односно јефтинији и тачнији, од много обухватнијег и прилагодљивијег метода коначних елемената. То се углавном односи на конструкције које имају правилан геометријски облик и једноставне граничне услове чије је разлагање у много коначних елемената често претјерано скупо, а понекад и немогуће. [1] Добро позната основна процедура метода је у подели полиедарских конструкцја на подужне тракасте елементе. Понашање сваке траке се описује функцијама померања које обезбеђују потпуну компатибилност разложене конструкције дуж чворних линија између трака. Како се метод коначних трака врло интензивно шири у прорачуну танкозидних конструкција, у оквиру овог рада вршена је анализа понашања танкозидног носача помоћу програма МКТVЕ. За носач је усвојен I попречни пресек, при чему оптерећење носача изазива савијање. Програмом добијени резултати упоређени су са вредностима из рада [] у оквиру кога се, измеђуосталог, показује како се 1 Смиља Живковић, маст. инж. грађ., тел: , e mail: zivkovicsmilja@gmail.com ЗБОРНИК РАДОВА МЕЂУНАРОДНЕ КОНФЕРЕНЦИЈЕ (01) 99

2 4 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering. April 01. Subotica, SERBIA понашање танкозидних носача може анализирати на основу приступа заснованог на кривама које дају еластични и круто-пластични одговор на оптерећење.. ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ Приступ заснован на кривама (слика 1) има примену за широк спектар проблема. Криве се састоје од два одвојена графика, еластична линија OAC и крутапластична DAB. Метод обично даје довољно информација за пројектанта, али се избегава анализа у тешкој еласто-пластилној области. Napon s y C D A B O Izvijanje Слика 1. Приближне криве напон-извијаље за меки челик Слика показује како се овај метод може применити код танкозидних носача са задатом имперфекцијом, код којих се савијање одвија око јаче осе. Ради лакжег објашњења уведене су претпоставке да се ни локално и торзионо извијање неће појавити []. Слика. Примена еластичне и круто-пластичне теорије за танкозидни носач 300 CONFERENCE PROCEEDINGS INTERNATIONAL CONFERENCE (01)

3 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству. април 01. Суботица, СРБИЈА Крива O`AE еластична крива, представља асимптоту за Euler-ову силу P E. Добија се на основу импефекције носача, односно на основу израза: a 0 1 P P E 1 (1) Положај тачке А налази се изједначавањем аксијалног напона и напона савијања са граничним напоном носивости: P A + P a 0 W x 1 P P E 1 = σ nos () Круто-пластична линија CD, односно крива лома, добија се из услова равнотеже на основу пластичног зглоба на средини носача [4]. Слика 3. Појава пластичног зглоба на средини носача Како би дошли до криве лома, неопходно је претходно израчунати момент пластичности ( M p ). Ова вредност је добијена на основу метода приказаног у раду [5], за кога важе следећа претпоставка: Слика 4. У случају да се неутрална оса налази у ребру носача, односано када је, полувисина пластичне зоне рачуна се као којој одговара момент пластичности z o = P σ y t (3) M p = BT(D T) + d + z o t (4) ЗБОРНИК РАДОВА МЕЂУНАРОДНЕ КОНФЕРЕНЦИЈЕ (01) 301

4 4 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering. April 01. Subotica, SERBIA Када се неутрална линија налази у фланши, тј. када је случају имамо, у том z o = P σ ytd Bσ y + d (5) којој одговара M p = D z o B σ y () 3. НУМЕРИЧКИ ПРИМЕР У оквиру овог рада анализиран је носач I попречног пресека за димензије и шему оптерећење као на слици 5 (димензије носача су дате у cm), P P Слика 5. Шема оптерећења и димензије носача чије су карактеристике материјала следеће: Поасонов коефицијент: Модул еластичности: Гранични напон носивости: На основу једначине (), израчуната је вредност силе којом се носач оптерећује, P=1.7 kn. При дејству ове силе долази до извијања носача за 8.5mm (3), при чему је уведена претпоставка да је почетна закривљеност носача mm. 30 CONFERENCE PROCEEDINGS INTERNATIONAL CONFERENCE (01)

5 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству. април 01. Суботица, СРБИЈА Да би смо у програму МКТVЕ узели у обзир утицај имперфекције носача неопходно је израчунати силу која одговара датом померању и усвојеној шеми оптерећења додати и ову силу. Слика. Израз за померање носача [3] На слици 7 приказана је мрежа коначних трака која се користила у оквиру овог прорачуна. Свака трака танкозидног носача има 4 степена слободе по чворној линији X Слика 7. Мрежа коначних трака са означеним чворним линијама У оквиру птограма МКТVЕ, прорачун напона и померања носача у чворним линијама вршен је за време t=0. Добијени резултати који су табеларно и графички представљени односе се на попречни пресјек на средини распона носача. ЗБОРНИК РАДОВА МЕЂУНАРОДНЕ КОНФЕРЕНЦИЈЕ (01) 303

6 4 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering. April 01. Subotica, SERBIA [kn/cm ] Слика 8. Графички приказ напона на средини распона носача Табела 1. Напона и померање тачака на средини распона носача Чворна линија MKTVE Напон Померање [mm] Приказани резултати за померање тачака, у правцу Z осе, показују како је програмом узета у обзир и инперфекција носача. Како би смо дошли до извијања 304 CONFERENCE PROCEEDINGS INTERNATIONAL CONFERENCE (01)

7 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству. април 01. Суботица, СРБИЈА носача за 8.5mm (3) услед силе P=1.7 kn (), потребно је извршити редукцију Модула еластичности и Поасоновог коефицијента. Редуковане вредности добијамо на основу критичних својстава попречног пресека на граници еластичности [1]. -површина попречног пресека -момент инерције -полупречник инерције -дужина извијања -модул еластичности -критични напон -специфична тежина Редуковани модул еластичности: Редуковани Поасонов коефицијент: Уносећи нове, редуковане, вредности у МКТVЕ добијени су следећи резултати: Табела. Напона и померање тачака на средини распона носача Чворна линија MKTVE Напон Померање [mm] ЗБОРНИК РАДОВА МЕЂУНАРОДНЕ КОНФЕРЕНЦИЈЕ (01) 305

8 4 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering. April 01. Subotica, SERBIA 4. ЗАКЉУЧАК Упоређујући резултате добијене програмом МКТVЕ са вредностима из рада [], показано је како се методом коначних трака може увести у анализу и инперфекција носача, као и на који начин одређујемо померање танкозидног носача на граници еластичности. Такође, на основу анализе спроведене методом коначних трака се јасно види да задате инперфекције на носачу као последицу имају напоне који заједно са напонима услед силе притиска изазивају неравномерну расподелу напона по попречном пресеку. С обзиром на чињеницу да приказани приступи прорачуну не узимају у обзир овакву расподелу напона а да су разлике у напонима и до 0%, јавља се потреба за корекцијама примењених израза. Ове измене су предмет истраживања која су у току и које ће бити приказане у наредним радовима. ЛИТЕРАТУРА [1] Драган Д. Милашиновић, 1997, The Finite Strip Method in Computational Mechanics, Faculties of Civil Engineering, Subotica, Budapest, Belgrade. [] N. W. Murray, 198, Recent Research into the Behaviour of Thin- Walled Steel Structures, Department of Civil Engineering, Monash University, Clayton, Victoria 318, Australia, pp [3] В. Шимић, 1995, Отпорност материјала II, Школска књига, Загреб. [4] Murray N. W.,1984, Introduction to the theory of thin-walled structures. Oxford University Press, New York. [5] M. Секуловић, M. Нефовска-Даниловић, 004, Static inelastic analysis of steel frames with flexible connections, Theoret. Appl. Mech., Vol.31, No., pp , Belgrade. CALCULATION OF DISPLACEMENTS FOR THIN- PLATE GIRDERS BY FINITE STRIP METHOD Summary: This paper presents an analysis of displacements and stresses of thin plate girders with initial geometric imperfections. Numerical calculations were conducted by means of MKTVE software, specialized for visco-elastic analysis according to Finite Strip Method. Obtained results were compared against referent results within this field. Calculations were conducted on thin plate girder with "I" cross section with geometrical imperfection applied in a form of displacement in the middle of the span. Keywords: Thin plate girder, Finite Strip Method, displacement, geometric imperfection 30 CONFERENCE PROCEEDINGS INTERNATIONAL CONFERENCE (01)