ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА

Transcript

1

2

3 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА Ратко Тошић, Нови Сад Испричајте нам како сте стекли толико богатство. Све је врло једноставно. Почео сам тргујући сулундарима. Купим робу за један динар, продам за два. И цела мудрост је у том једном проценту. (Из интервјуа једног бизнисмена) ШТА ЈЕ ПРОЦЕНАТ? Изучавање сваке теме може се организовати у облику решавања низа типичних задатака различитих нивоа сложености. Тема овог чланка су проценти и њихова примена. Реч проценат долази од латинског pro centum од сто, на сто и означава стоти део неког броја. Први пут се појављује у Старом Риму као финансијско-правни термин који показује колико је био дужан да плати дужник повериоцу за право коришћења његовог новца у датом периоду времена. Данас се тај појам користи не само у банкарству. Свуда где се примењује статистика у економији, физици, хемији, биологији, или друштвеним наукама, појављују се проценти, тако да можемо рећи да живимо у доба процентоманије. Према Марку Твену, постоје три врсте лажи: обична лаж, гнусна лаж и статистика. Такву своју репутацију статистика је стекла највише захваљујући природи процента која пружа огромне могућности манипулисања. Ту чињеницу обилато користе трговци, намерно компликујући текст декларација на разним производима и политичари који оправдавају своје штетне одлуке креативним тумачењем процената. За све то нису криви проценти него чињеница да их већина људи слабо познаје и погрешно примењује. Зато не чуди што често чујемо компетентне изјаве следећег типа: 30% људи не разуме проценте. Одавно је познато да 0% људи обавља 80% посла. Недавно је једна анкета показала да 80% људи мисли да они спадају у тих 0%. Према последњим анкетама, 33% испитаних рекло је да у њима не учествује. У подацима Министарства образовања САД за 006. годину наводе се следећи подаци о проценту неписмених: Број становника: 9 милион. Проценат неписмених: жене - %, мушкарци - 3%, укупно - 5%. p Приметимо да је p% од x једнако x На пример, 5% од x једнако је 0, 05, 00 x= x 300% од x једнако је x= x p p Повећањем x за p% добија се + = ( + ) x x x

4 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА q q Смањењем x за q% добија се = ( ) x x x ЗАДАЦИ. Шта је веће: 8,43% од 6 или 6% од 8,43? Решење. Како је 8, = 8, 43, важи једнакост.. Један бизнисмен каже другом: - Твоје богатство је само 0% мога богатства. Према томе, моје богатство чини 90% твога богатства. Да ли та изјава може бити тачна? Колико процената богатства другог бизнисмена чини богатство првог бизнисмена? Решење. Нека је a богатство првог, а b богатство другог бизнисмена. Тада је b = 0 0%a =, 00 a одакле је a= b= b. Дакле, богатство првог бизнисмена чини 000% другог 0 00 бизнисмена. 3. Како се промени цена неке робе ако се прво повећа за 00%, а затим смањи за 50%? Решење. Нека је c цена робе на почетку. После повећања за 00% и смањења за 50% нова цена ће бити ( 0,5)(+ ) c= c= c; дакле, цена ће остати непромењена. 4. Цена кромпира повећана је за 0%. После извесног времена цена је смањена за исти проценат. Да ли је после тога цена кромпира била иста као и пре повећања? Решење. Ако је пре повећања цена била c, онда је цена после снижења ( 0,)( + 0,)c = 0,8,c = 0,96c. Дакле, мања је за 4% него на почетку. 5. Послодавац је смањио плате запосленима за 0%, а затим повећао за исти проценат. Да ли је плата после тога била иста као пре смањења? А ако је плата прво повећана за 0%, а затим смањена за 0%? Упутство. Задатак је потпуно аналоган претходном. У оба случаја плата је мања за 4% него на почетку.

5 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА 6. Послодавац је смањио плате запосленима за 5%. После протеста синдиката, послодавац је пристао да повећа плате за 30%. Синдикалци су ту одлуку прихватили са одушевљењем и прославили као велику победу у борби за права радника. За колико процената ће плате запослених бити веће него пре смањења? Решење. Нека је a плата пре смањења. После смањења за 5% и повећања за 30%, плата ће бити,3 0,75a = 0,975a, дакле, неће бити већа него мања за,5 %. 7. Једна страница правоугаоника смањена је за 0%, а друга повећана за 0%. За колико се променила површина правоугаоника? Решење. Нека су a и b дужине страница тог правоугаоника. Његова површина је ab. Површина новог правоугаоника је,a 0,8b = 0,96ab. Дакле, површина се смањила за 4%. Читалац треба да уочи сличност овог задатка са претходна два. 8. Перина плата је за 0% мања од Јоцине. За колико је процената Јоцина плата већа од Перине? a Решење. Нека је a Перина, а b Јоцина плата. Тада је a = 0,8b, одакле је b= = 0,8,5а, што значи да је Јоцина плата за 5% већа од Перине. 9. Цене су смањене за 0%. За колико се процената више робе може купити за плату која је остала непромењена? Решење. Нека је c цена робе и r количина робе која се може купити за плату p. Тада cr је p = cr. Нова цена је 0,8c, па се за износ cr може купити количина,5 r. 0, 8c = Дакле, за исту плату се може купити за 5% више робе него пре појефтињења. 0. Због светске економске кризе цене су скочиле за 5%. За колико се процената мање робе може купити за исту плату? Решење. Ако је пре кризе цена била c динара по јединици робе, b јединица робе се плаћало cb динара. После повећања цена је била,5c, а по тој цени за cb динара могло се купити cb :,5c = 0,8b јединица робе, тј. 80% од количине која се могла купити пре кризе. Дакле, куповна моћ је пала за 0%.. У једном тржном центру цене су смањили за 0%, а затим још једном за 0%. У другом су цене одмах снизили за 0%. Шта је повољније за купца? Решење. Како је 0,9 0,9 = 0,8, у првом случају после два узастопна смањења, цена ће бити за 9% мања, па је за купца повољније једнократно смањење за 0%.. У једном тржном центру цене су повећали за 0%, а затим још једном за 30%. У другом су цене одмах повећали за 50%. Шта је повољније за купца? 3

6 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА Решење. Нека је c цена на почетку. После поскупљења, цена у првом тржном центру је,,3c =,56c, а у другом,5c. Дакле, цене су сада мање у другом тржном центру. 3. У једном тржном центру цене су повећали за 40%, а затим још једном за 40%. У другом су цене одмах повећали за 90%. Где су после тога повољније цене за купце? Решење. У другом тржном центру, где је нова цена,9c, док је у првом цена,96c. 4. Компанија Светла будућност је за две године смањила производњу за 5%, при томе сваке године за исти проценат. За колико? Решење. Нека је p тражени проценат. Тада је ( p) = 0,49, одакле је p = 0,7, тј. p = 0,3. Сваке године производња се смањивала за 30%. 5. У посуди је било 0 литара алкохола. Један део су одлили и долили исту количину воде. Затим су промешали течност, одлили исту количину као и први пут и додали исту количину воде. После тога у посуди је било три пута више алкохола него воде. Коју су количину течности доливали оба пута? Упутство. Аналогно претходном задатку. 6. Шта се више исплати: (а) штедети у банци уз годишњу камату од 6%; (б) полугодишњу камату од 3%; (в) тромесечну камату од,5%; (г) месечну камату од %? Решење. Упоредимо прво штедње под (а) и (б). У првом случају, штедиша за уложену суму K, на крају године добија износ,06k. У другом случају, ако после 6 месеци поново стави на штедњу добијену суму, на крају године ће добити,03 K =,0609 K. Дакле, више се исплати начин штедње (б). Слично доказујемо да је од четири предложена начина најповољнија варијанта (г). 7. Кад су Перицу избацили из једне школе, он је прешао у другу, после чега се у одељењу у које је дошао проценат дечака са 50% повећао на 5%. Колико је девојчица у том одељењу? Решење. Ако је x број девојчица у одељењу, онда се после Перичиног доласка укупан број ученика повећао са x на x +. Проценат девојчица је сада 48%, тј. x = 0,48 (x + ), одакле је x =. 8. У парку су расли борови и брезе, при чему су борови чинили 99% свих стабала. Кад је градска управа одлучила да посече известан број стабала, еколози су се побунили. Експерти градске управе су их умирили изјављујући да ће сећи само борове и да ће и после сече борови чинити 98% стабала. Који је проценат од укупног броја стабала у парку посечен? 4

7 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА Решење. Нека је x укупан број стабала на почетку, y укупан број стабала после сече x и b број бреза. Тада је b = 0,0x = 0,0y, одакле је y=. Дакле, на крају је број стабала само половина броја на почетку, тј. посечено је 50% од укупног броја стабала. 9. У складишту је смештено 00 килограма јагода са садржајем воде од 99%. Током складиштења садржај воде се смањио на 98%. Колико је килограма јагода после тога било у складишту? Решење. Садржај суве материје је %, тј. килограм. После сушења, килограм суве материје чини два процента, што значи да укупна маса после сушења износи 50 килограма. Нађи и друго решење, по аналогији са претходним задатком. 0. Перина плата је повећана за p процената, а Јоцина смањена за q процената. После тога је Пера имао плату као раније Јоца, а Јоца као раније Пера. (а) Одреди q ако је познато p. (б) Одреди p ако је познато q. Решење. (а) Нека је на почетку Перина плата a, а Јоцина b. Имамо: ( + p)a = b, ( q)b = a. Множењем добијамо да је b = ( + p)( q)b, тј. ( + p)( q) =. Одавде добијамо да p q је q=. (б) p=. + p q. Природни сок садржи 80% воде. Да би се добио концентрисан сок, треба одстранити 75% воде. Колики је проценат воде у концентрисаном соку? Решење. Сок садржи 80 делова воде и 0 делова плода. Кад се садржај воде смањи за 75% остаје 5% воде, па је после тога у мешавини 0,5 80 = 0 делова воде. Дакле, концентрисан сок садржи 0 делова воде и 0 делова плода, тј. садржај воде је сада 50%.. Пера је имао 0% више новца него Јоца. Пера је потрошио % свог новца, а Јоца % свог. Ко је после тога имао више пара? Решење. Нека је Јоца имао a евра. Тада је Пера имао,a евра. После трошења Јоци је остало 0,98a евра, а Пери 0,89,a = 0,979a евра. Дакле, на крају је више новца имао Јоца. 3. Прешавши половину пута, чамац је повећао брзину за 5% и зато је стигао на циљ пола сата раније. Колико времена се кретао чамац? Решење. Означимо са s дужину половине пута, са v брзину чамца на првој половини пута и t време у сатима за које је чамац прешао прву половину пута. Тада 5

8 је s vt v ( t ) ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА = =,5, одакле је 0,5vt = 0,65v, тј. 0,5t = 0,65, t =,5 сати. Дакле, прву половину пута чамац је прешао за,5 сати, а другу за сата. Чамац се кретао 4,5 сати. 4. Милашин и Радашин су поделили зараду од продаје сулундара. Милашин размишља: Да сам узео 40% више новца, Радашинов део би се смањио за 60%. За колико би се смањио Радашинов део да је Милашин узео за 50% више? Решење. Ако је Милашин узео x, а Радашин y евра, по услову задатка је 0,4x = 0,6y, одакле добијамо да је 0,5x = 0,75y. Дакле, да је Милашинов део повећан за 50%, Радашинов би се смањио за 75%. 5. Једне године број становника села повећао се за n, а следеће године за 300 становника. При томе је повећање прве године износила 300%, а следеће n%. Колико је становника било у селу на крају друге године? Решење. Нека је x број становника на почетку. После прве године било их је x + n = 300 x+ x= 4 x, одакле је n = 3x. После друге године број становника у селу је већ 4x 00 n 4nx x = 4 x+ 4 x, одакле је 300 =. Како је n = 3x, то је 300 =, 4 x = , x = 50. Значи да је сада у селу 4x = 500 становника. 6. Који је најмањи број чланова математичке секције ако је познато да у тој секцији девојчица има мање од 50%, а више од 40%? Решење. Означимо са n укупан број чланова секције, а са m број девојчица. Треба наћи најмањи природан број n за који постоји природан број m такав да је m < <. Проверавајући вредност за n од до 7, налазимо да ту неједнакост 5 n задовољава само број 3. 7 Дакле, тражени број је Марина је члан секције за астрономију у којој су више од 93% чланови дечаци. Који је најмањи могући број чланова те секције? Решење. Означимо са n укупан број чланова секције, а са m број девојчица. Треба наћи најмањи природан број n за који постоји природан број m такав да је m 7 <, тј. 7n > 00m. За m =, такав број је n = 5. Дакле, секција има најмање 5 n 00 чланова. 8. Два саобраћајца заустављају колону аутобуса. Један од њих одређује проценат препуњених аутобуса, а други проценат путника који се возе у препуњеним 6

9 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА аутобусима. Који је проценат већи? Аутобус се сматра препуњеним ако у њему има више од 50 путника. Решење. Нека је p број препуњених, а n број непрепуњених аутобуса у колони. Означимо број путника у препуњеним аутобусима са a, а број осталих путника са b. a b a b Тада је a > 50p, b 50n, тј. > 50, 50, одакле је >. Из те неједнакости p n p n b n a+ b n+ p a p следи: <, <, одакле је 00% > 00%. У последњој a p a p a+ b n+ p неједнакости, на левој страни је проценат путника који се возе у препуњеним аутобусима, а на десној страни проценат препуњених аутобуса. Дакле, већи је проценат путника у препуњеним аутобусима од процента препуњених аутобуса. 9. Пера је ушао у забавни парк са 00 евра у џепу и почео да се забавља гађањем из ваздушне пушке. После сваког поготка његов новац се повећавао за 0%, а после сваког промашаја се смањивао за 0%. Да ли је после неколико хитаца он могао имати 80 евра и 9 центи? Упутство. 809 = Решење. Повећање за 0% значи множење са,; смањење за 0% значи множење са 0,9. Разлажући 809 на факторе, добијамо да се 809 може представити у облику Дакле, после 4 гађања у којима је имао три промашаја и један погодак, Пера ће имати 80 евра и 9 центи. 30. Мама је дала Васи новац за куповину 30 оловки. Десило се да је у трговинском центру била у току рекламна акција: у замену за купон о куповини 0 оловки, на излазу враћају 5% уплаћене суме, а за купон о куповини 5 оловки враћају 0% уплаћене суме. Колико највише оловки може да купи Васа за суму коју је добио за куповину 30 оловки? Решење. Приметимо да је 5% од цене 0 оловки једнако цени 5 оловки, а 0% од цене 5 оловки је половина цене једне оловке. За добијање максималног попуста Васа треба да поступи овако:. Све док је могуће купује 0 оловки и одмах трчи да мења купон на излазу.. Ако недостаје новац за 0 оловки, али доста је за 5 оловки, он купује 5 оловки и одмах мења купон на излазу. 3. После тога купује појединачне оловке. Поступајући тако, Васа прво купује 0 оловки, добија на излазу новац за 5 оловки. Затим купује три пута по 5 оловки и на излазу добија новац вредности,5 оловки. За тај новац купује још једну оловку и још му остаје пара за једна мањи сладолед. Дакле, Васа може да купи 36 оловки. 3. Наћи најмањи природан број већи од који не може да се добије тако што се неки природан број повећа за цео број процената од % до 00%. Решење.. Бројеви од 0 до 00 добијају се кад број 00 повећамо редом за број процената од до 00. Бројеви од 5 до 00 добијају се када се број 50 повећа 7

10 ИГРАНКА СА ПРОЦЕНТИМА редом за паран број процената од до 00. Бројеви од 6 до 50 добијају се кад редом повећавамо број 5 за број процената дељив са 4 (од до 00). Бројеви од до 5 добијају се повећањем броја 0 за 5, 0, 5, 0, 5 процената редом. Бројеви од до 0 добијају се кад број 0 повећамо редом за број процената дељив са 0 (од до 00). Бројеви од 6 до 0 се добијају кад се број 5 повећа за број процената дељив са 0 (од до 00). Број 5 се добија повећањем броја 4 за 5%, број 4 повећањем броја за 00%, број 3 повећањем броја за 50%, број повећањем броја за 00%. Бројеви 0, 04, 06, 08, 0 се добијају повећањем броја 00 за,, 3, 4 и 5 процента редом. Број 0 се добија повећањем броја 34 за 50%, број 03 повећањем броја 45 за 40%, број 05 повећањем броја 64 за 5%, број 07 повећањем броја 80 за 5%, број 09 повећањем броја 90 за 0%. Неки од бројева од до 0 могу се добити и на више начина. Претпоставимо да се може добити повећањем неког природног броја m за n 00+ n процената, где је n природан број, n 00. Тада је m =, тј. m(00 + n) 00 = 00, што је немогуће, јер је прост број, а број на левој страни је производ два броја већа од и мања од (не садржи прост фактор ). 3. На рукометном турниру свака екипа је против сваке одиграла по једну утакмицу. При томе 0% од укупног броја екипа није добило ниједну утакмицу. Колико је екипа учествовало на турниру? Решење. Није могуће да постоје две екипе које нису добиле ниједну утакмицу (нека од њих је победила у међусобном сусрету). Значи да је једна екипа представљала 0% од укупног броја екипа, па је тај број 5. Задаци за самостални рад. Антонијеви кораци су за 0% краћи од корака његовог старијег брата Илије, али он за исто време прави 0% више корака него Илија. Ко је од њих двојице бржи?. При смрзавању вода повећа своју запремину за. За који део своје запремине се смањи лед кад при топљењу поново пређе у воду? 3. Тркачи А, В и С такмичили су се у трци на 00 метара. У тренутку када је А прошао кроз циљ, B је био 0 метара иза њега. Кад је В пролазио кроз циљ, С је био 0 метара иза њега. Колико је C изостајао иза А кад је А пролазио кроз циљ? 4. Из килограма свежих печурки сушењем се добија,5 килограма сувих печурки које садрже % воде. Одреди проценат воде у свежим печуркама. 5. Један пензионер је сваког дана куповао један хлеб и литар млека. Када су цене порасле за 0%, могао је да купи за исти износ само пола хлеба и литар млека. 8

11 ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Да ли ће за исте паре моћи да купи литар млека ако цене још једном порасту за 0%? 6. Перина плата је повећана за p процената, a Јоцина смањена за q процената, после чега су они имали једнаке плате. (а) Познато је p. Одреди q. (б) Познато је q. Одреди p. 7. У току године цена сулундара је повећана два пута по 50%. Пред Нову годину су се сулундари на распродаји продавали у пола цене. За колико су се продавали сулундари пред Нову годину, ако је на почетку године цена била 80 динара? 8. Утврди тачност следећег тврђења: У овој реченици 70% цифара су дељиве са, 60% су дељиве са 3, а 40% су дељиве и са и са 3. СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БР. 68 Десет најуспешнијих решавалаца овог задатка биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. У Верином воћњаку расту мушмуле и оскоруше. Мушмуле су чиниле 60% од укупног броја стабала. На пролеће је Вера засадила још оскориша тако да је удео мушмула пао на 0%. У јесен је Вера засадила још мушмула па су оне опет биле заступљене са 60%. Колико пута се повећао број стабала те године у Верином воћњаку? ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Ратко Тошић, Нови Сад; Вера Јоцковић, Београд Корисније је решити један исти задатак на неколико различитих начина него решити неколико задатака сваки на само један начин. Ако се један исти задатак реши на разне начине, може се упоређивањем решења утврдити које је од њих краће, ефектније, елегантније. На тај начин се стиче и изграђује вештина решавања задатака. W. W. Sawyer, Prelude to Mathematics У оквиру ове рубрике на конкретним примерима указиваћемо на могућностима да се једна исти задатак решава на различите начине. При томе ћемо настојати да се у решавању задатака користе само она знања која су доступна ученицима основне школе, трудећи се да поступци решавања буду елегантни и једноставни, јер у математици је лепо оно што је једноставно. Задатак. У породици су четири члана. Ако Мири удвоструче стипендију, приход породице се повећа за 7%, ако мами удвоструче плату, приход породице се повећава за 0%, ако тати удвоструче плату, приход породице се повећава за 30%. 9

12 РАЧУНАРСТВО За колико процената ће се повећати приход породице ако деди удвоструче пензију? Решење. Обележимо са s, m, t, d и P редом Мирину стипендију, мамину плату, татину плату, дедину пензију и укупни приход породице. Јасно је да је s + m + t + d = P. Према условима задатка је s + m + t + d =,07 P () s + m + t + d =, P () s + m + t + d =,3 P. (3) Сада се задатак своди на налажење вредности x за коју важи s + m + t + d = xp (4) Сабирањем једнакости () (4) добијамо да је 5(s + m + t + d) = (3,57 + x)p, одакле је 5P = (3,57 + x)p, тј. 3,57 + x = 5 и коначно x =,43. Дакле, ако деди удвоструче пензију, приход породице ће се повећати за 43%. Решење. Ако Мири удвоструче стипендију, породични приход се увећава за износ стипендије. Према томе, Мирина стипендија представља 7% породичног прихода. Аналогно, мамина плата чини 0%, а татина 30% породичног прихода. Према томе, дедина пензија чини 43% породичног прихода па ће се удвостручењем његове пензије породични приход повећати за 43%. Решење 3. Ако би сви чланови породице почели добијати двоструко више, приход породице би се повећао за 00%. Од тих 00 процената, 7 отпада на Миру, 0 на маму, 30 на тату, а осталих 43 на деду. Решење 4. Уведимо ознаке као у решењу. Тада је s + m + t + d = P. () Како је s = 0,07P, m = 0,P, t = 0,3P, d = xp, где је x удео дедине пензије у укупном приходу породице, заменом у () добијамо да је 0,07P + 0,P + 0,3P + xp = P, односно (0,07 + 0, + 0,3 + x)p = P, одакле је 0,07 + 0, + 0,3 + x =, тј. x = 0,43. Значи, дедина пензија чини 43% прихода породице, па се њеним удвостручењем породични приход повећава за 43%. РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 60 (ЗА I КАТЕГОРИЈУ) I категорија су ученици петог и шестог разреда Оља за своју маму, која ради у књижари Насмејани црв, прави програм који ће јој помоћи у обрачунавању зараде и пореза који треба платити. Књиге различитих 0

13 РАЧУНАРСТВО типова доносе различите зараде и различит порез. Књижара највећи проценат зарађује од романа (R). За сваки продати роман добављачу се даје /3 цене књиге, порез је /4 цене, остатак је зарада. За продати уџбеник (U) добављачу припада / цене књиге, књижари остаје /0 цене, а остатак је порез. На књигама о туризму (Т) књижара има чист губитак пошто 3/4 цене књиге припада добављачу, а порез је /3 цене, па књижара надокнађује разлику. Ољин програм треба да учита колико је књига продато, а затим се за сваку књигу уноси тип (једно од слова R, U или T) и цена књиге. Програм треба да испише колика је зарада књижаре од тих књига и колики порез треба платити. Пример. Улаз: N = 5 R 350 U 400 U 650 T 670 R 630 Излаз: КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 6 (ЗА II КАТЕГОРИЈУ) II категорија су ученици седмог и осмог разреда У књижару Насмејани црв стигла је нова испорука књига. Књиге су спаковане у пакете. Сваки пакет садржи само једну књигу у више примерака и облежен је шифром књиге и бројем примерака који се налазе унутра. Књига са истом шифром може да се нађе у више пакета. Оља помаже својој мами, која ради у књижари, тако што прави списак књига које су стигле и укупан број примерака те књиге који је стигао. Написати програм који ће да помогне Ољи. У програму се најпре учитава укупан број пакета N ( N 00) који је стигао, а затим за сваки пакет шифра књиге, која ја представљена као позитиван цео број) и број примерака који се налази у том пакету. Програм треба да испише за сваку књигу која је стигла шифру и укупан број примерака који је стигао. Пример. Улаз: N = Излаз: РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 56 Program KonZad58; Var u,k,u,k,u3,k3,p,t:integer; Begin readln(u,k); readln(u,k); readln(u3,k3); if u<u then begin t:=u; u:=u; u:=t; t:=k; k:=k; k:=t; end; if u<u3 then begin t:=u; u:=u3; u3:=t; t:=k; k:=k3; k3:=t; end; if u<u3 then begin t:=u; u:=u3; u3:=t;

14 РАЧУНАРСТВО t:=k; k:=k3; k3:=t; end; if k+k+k3<=5 then p:=u else if k+k<=5 then p:=u+u3 else if (k+k3<=5) or (k+k3<=5) then p:=u+u else p:=u+u+u3; writeln(p:4) End. На почетку програма се уносе удаљености купаца и број књига које им треба доставити. Најбоља стратегија је сортирати купце према удаљености, а затим проверити да ли је могуће понети више испорука одједном. Уколико укупан број књига није већи од 5, Оља ће прећи само пут до најдаљег купца. Ако укупан број књига за најдаљег купца и купца који је други по удаљености не прелази 5, Оља ће прећи само пут до најдаљег и најближег купца. Уколико Оља књиге за најближег купца може да понесе при испоруци књига најдаљем купцу или купцу који је други по удаљености, онда ће прећи само те две удаљености, а ако ни то није могуће, Оља мора до сваког купца да иде посебно. Адиана Васовић, VII, ОШ Свети Сава, Чачак РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 57 Program KonZad59; Var c,d,r:real; k,p:integer; Begin readln(r); p:=0; d:=0; k:=0; while r-d>=0 do begin readln(c); c:=c*(00-p)/00; if d+c<=r then begin d:=d+c; k:=k+; if p<0 then p:=p+trunc(c/000); if p>0 then p:=0; end end; writeln(k:4) End. На почетку програма се уноси количина новца којом Дејан располаже. Током извршавања програма мора да се памти на колики попуст је до сада Дејан остварио право (P), колико новца је до сада потрошио (D) и колико куповна је обавио (K). Све док Дејан има више од 0 динара, уноси се цена књиге коју Дејан жели да купи,

15 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ затим се израчунава колико треба да плати ту књигу, с обзиром на попусте на које је до тада остварио право. Уколико Дејан има довољно новца за ту књигу, он ће је купити, чиме се количина потрошеног новца увећава за плаћену цену књиге, број куповина се увећава за и обрачунава се попуст за наредну куповину. Миленко Гаврић, VII, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Задаци из ове рубрике имају за циљ помоћ како ученицима, тако и наставницима. Разврстани су у три групе у складу са стандардима знања из математике за крај обавезног образовања. Дати су предлози контролних и писмених задатака, при чему је у угластим заградама [ ] дата варијанта за другу групу. III РАЗРЕД МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ. ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ. РАЗЛОМЦИ. ДЕЉЕЊЕ СА ОСТАТКОМ. Основни ниво. Попуни табеле: а) б) : в) Реши једначине: а) 0 x = 0; б) x : 3 = 30; в) 7 x = 770; г) 0 : x = Израчунај: а) производ броја 9 и броја 87; б) количник ако је дељеник 55 а делилац 6. Средњи ниво 4. а) Колика је петина броја 300? б) Колико минута има четвртина часа? в) Колико грама има у четвртини килограма? 5. Ранко, Стеван и Марина плаћају рачун од 500 динара. Ранко је платио, 5 а Стеван рачуна. Колико динара треба да дода Марина да би они платили цео рачун? 3

16 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 6. Које неједнакости одређују бројеве: а) {73, 74, 75,...}; б) {,, 3,...,, 3}; в) {5, 5,..., 647, 648}? 7. Допиши бројеве који недостају: а) 76 = 6 + ; б) = Напредни ниво 8. Растко је купио балон воде од пет литара. Он код куће има празне боце од l 500ml. Колико највише боца од l 500ml може Растко да напуни и колико воде ће остати? 9. а) Који остатак, а који количник даје број 87 подељен са 8? б) Који број подељен са 6 даје количник и остатак 5? 0. Одреди остатак при дељењу 5 броја 755 са бројем 9.. Који број треће десетице четврте стотине даје најмањи остатак при дељењу са бројем 8?. Који део фигуре на слици је обојен? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 5 минута Множење и дељење. Израчунај производе: а) 0 4 = [40 = ]; б) 8 4 = [348 = ].. Израчунај количнике: а) 55 : 5 = [350 : 7 = ]; б) 88 : 7 = [736 : 8 = ]. 3. а) Разлику бројева 37 [4] и 3 [36] помножи њиховим збиром. б) Збир бројева 399 [484] и 396 [480] подели њиховом разликом. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 5 минута Једначине и неједначине. Реши једначине: а) x = 98 [x = 86]; б) 5 x = 85 [5 x = 505]; в) x : 4 = 3 [x : 4 = 64]; г) x : 7 = 85 [x : 7 = 06].. а) Одреди скуп решења неједначине x > 53 [x < 4]. б) Одреди скуп бројева друге стотине који су већи од 50 [треће стотине који су мањи од 70]. 4

17 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 3. Збир три узастопна броја је 47 [6]. Који су то бројеви? 4. Напиши неједначине облика a x < b [a < x b] чији скуп решења су бројеви пете десетице осме стотине [девете десетице четврте стотине]. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 5 минута Разломци. а) Израчунај једну осмину броја 640 [70]. б) Колика је 6 7 броја 480 [490]?. a) Колико килограма има у 5 4 тоне? б) Колико секунди има у 4 од 7 [5] минута? 3. Земљорадник Петроније на својој тезги продаје јабуке и кајсије. Ако на 3 тезге стоје јабуке, колико простора на тезги остаје за кајсије? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 5 минута Дељење са остатком. Допиши бројеве који недостају: а) 56 [69] подељено са 5 [4] је и остатак је ; б) 837 [65] подељено са 8 [6] је и остатак је.. Шта је веће: остатак од 57 : 5 [4 : 3] или остатак од 57 : 9 [687 : 7]? 3. Који број подељен са 8 даје количник 70 [90] и остатак 5 [7]? IV РАЗРЕД БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ. ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ. РАЗЛОМЦИ. Основни ниво. Израчунај: а) 560 : ; б) Упореди: а) 3 4 kg и 800g; б) 3 4 броја 33 и 3 броја Реши једначине: а) 7 x = 33; б) x : 39 = 347. Средњи ниво 4. За које природне бројеве важи: а) x 7 > 55; б) x < 545? 5. Реши једначине: а) (75 : 5) x 60 = 7005; б) (37 x) : 9 = Реши неједначине: а) x : 357 < 785 : 357; б) (x 45) : 77 > 4890 : 36. 5

18 7. Који део фигуре је обојен? ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 8. Када од трећине неког броја одузмемо 75 добијамо 000. Који је то број? 9. Рајко, Зоран и Драгиша бирају бројеве. Рајко је изабрао 5, а Зоран 5. Које бројеве Драгиша може да изабере тако да његов број буде већи од збира 8 Рајковог и 9 Зорановог броја, а мањи од производа 9 Рајковог и 5 Зорановог броја. 0. Реши неједначину 38 < (75 + x) < Допиши заграде тако да једнакости буду тачне: а) 404 : = 39; б) 404 : = 4; в) 404 : = 64.. Деда Митар данима планира да купи нови шешир. Како никако није могао да се определи између црног који кошта 90 и браон који кошта 050 динара, решио је да купи јефтинији. Када је стигао код шеширџије сазнао је да су сви шешири 4 на снижењу. Шешири који су коштали више од 000 динара, сада коштају 7 старе цене док шешири који су коштали мање од 000 динара сада коштају 5 7 старе цене. Који је шешир јефтинији после снижења? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 5 минута РАЗЛОМЦИ. а) Израчунај 3 броја 03 [30]; б) Израчунај броја Милицина соба дугачка је три метра, пет дециметара и четири центиметра, а широка тачно четири метра. Ако се зна да је површина Слађанине собе m, чија је соба већа? 3. Сабери разлике и збира бројева 650 и 430 [790 и 650]. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. Израчунај: а) [ ]; б) : 7 [ : 9]. 6

19 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ. Реши једначину: а) x : 5 = 35 [x : 7 = 40]; б) (x 505) 3 = 848 [( x 7) : 7 = 36]. 3. Реши неједначину: x 3 7 < 03 [x 6 > 4004]. 4. Израчунај: а) 5 6 броја 555 [636]; б) броја 968 [974]. 5. Правоугаоник има једну страница дужине 5cm [5cm]. Ако је 3 5 површине тог правоугаоника је 70cm [450cm ], израчунај обим тог правоугаоника. V РАЗРЕД МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА. ОСНА СИМЕТРИЈА. Основни ниво. Која од једнакости: а) ; ; ; = 4 ; д),04 : 0, =,0; ђ),04 : 0, = 0,; ж),04 : 0, = 0; з),04 : 0, = 0,0 је тачна?. а) Којим бројем треба поделити број да се добије број 5? б) Којим бројем треба помножити број 6 да се добије 3? 8 3. Које тачке су осносиметричне у односу на праву а, а које у односу на праву b? Види слику! Средњи ниво 4. Попуни табелу: B A F H C D M G E b a a 0 (a + ) а : 0,4 0,5 (3,6 : a) 0,, 3 5 7

20 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5. Којим бројем треба поделити збир бројева и, да се добије број? 8 6. У бурету се налази 00 литара воде. Колико пута треба посудом од 3,5 литра захватити и одлити воду из тог бурета да у њему остане литара? 7. Нацртај осносиметричне троуглове троуглу ABC у односу на праве а и b. C B b Напредни ниво 8. Нацртај суседне углове xoy = 60 и yot = 90. Конструиши њихове симетрале Os и Op. Конструиши симетралу Oq угла xot. Колики су углови soq и qop? 0,5 9. Израчунај вредност израза: а) 3 ; б) :, 4 0. У првој корпи има два пута више трешања него у другој. а) Колико килограма трешања има у свакој корпи ако је укупна количина трешања,8kg? б) Колико килограма трешања треба пребацити из прве у другу корпу тако да у првој корпи остане,kg? в) Колико килограма трешања треба пребацити из прве у другу корпу тако да у другој буде три пута више трешања него у првој?. Израчунај површину фигуре на слици. A a,6m,8m 3 m 5 5m 8

21 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ. Конструиши тачку једнако удаљену од правих а, b и c. Види слику! b c КОНТРОЛНА ВЕЖБА. Израчунај: а),0,5; б) 3,4 : 0,6; в) ; г) : [а),,05; б) 5,44 : 0,4; в) ; 3 4 г) :. 8 ]. 5. а) Израчунај трећину [четвртину] броја. 7 7 б) Израчунај 7 9 броја Ако су а = 3 4 и b = израчунај вредност израза a : b 7 a 6 :. 7 7 b a 4. а) Којим бројем треба поделити [помножити] 3 да се добије број 6? б) Који број треба помножити [поделити] са 0,4 да се добије број 8? 5. Од тепиха облика правоугаоника страница 3 m и 4m одрезан је комад облика 8 квадрата странице,5m. Колика је површина преосталог дела тепиха? [Од тепиха облика квадрата странице 4 m одрезан је комад облика правоугаоника страница 3,4m и,5m. Колика је површина преосталог дела тепиха?] ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. Који израз има већу вредност 5,04 :, 3 5 или [40,5 :,5]? Израчунај: а) (,5 4, : ),4; б) + : ;

22 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5 [а) : ; б) (0,4 0 +,5) : 0,3] Реши једначину: а) x : 0,= 3 ; б) + 3 a= 0, 8 [а) 6; 4 x =, б) 3 ( ) : x =. ] Нацртај произвољну дуж AB. Конструиши дуж MN чија је дужина једнака 3 дужине дате дужи AB. 5. Од припремљених 40 литара сока треба трећину [четвртину] разлити у флаше од пола литра [0,3 литра], а остатак у флаше од 0,7 [,5] литара. Колико је за то потребно флаша једне и друге врсте? 3 4 VI РАЗРЕД МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА. ЈЕДНАЧИНЕ, НЕЈЕДНАЧИНЕ, ПРОЦЕНТИ. ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА Основни ниво 4 3 M= ; ; ; 0; 0,7;,5; издвој: 3 5 а) позитивне; б) негативне рационалне бројеве.. Из скупа { }. Попуни празна места у таблици: 3. Израчунај површину: а) квадрата чија је страница,dm; б) правоугаоника чије су странице,5cm и 3,cm; в) троугла чија је једна страница 6cm и одговарајућа висина 5cm. Средњи ниво 4. Попуни празна места у таблици a 3 4 b a b a : b

23 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ a 3 4 b (5% a) b % ( ) a : b 5. За колико процената је број : а) већи од броја ; б) већи од броја 4 ; 5 в) мањи од броја 3; г) мањи од броја,5? 5 5 x ( x ) 6. Реши једначине: а) 3 = 0 6 ; б) 3 = ,5 0,5 7. Површина једнакокраког троугла је cm, основица 6cm и крак 5cm. Израчунај збир дужина висина тог троугла. Напредни ниво 8. Поређај од најмањег до највећег бројеве: a= ( + ) 3 b= ( ) + c= ( + ) d= ( ( ) + ) 4 :,5; 4 :,5; 4 :,5 ; 4 :, Почетком јануара Пера и Мика продају јабуке по цени од 0 динара за килограм. Крајем јануара Пера је повећао цену за 5%, а Мика снизио за 5%. Средином фебруара је Пера снизио цену јабука за 5%, а Пера повећао за 5%. Од тада нису мењали цене. Код кога су сада јабуке скупље и за колико? 0,75+ 3 x 0,75 3 x 0. Реши неједначине: a) 0,3 3 3; б) < 0, : 0,4 5 + : 0,4. У троуглу АВС тежишна дуж АА сече тежишну дуж ВВ у тачки Т. Израчунај површину троугла: а) ВТА; б) АВА; в) АВС ако је површина троугла АТС једнака 3cm.. Oбим правоуглог трапеза је 75cm, а један његов угао је 30. Ако његов краћи крак износи 6% обима израчунај: а) дужину средње линије; б) површину тог трапеза.

24 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ КОНТРОЛНА ВЕЖБА 0 минута 7 6. Упореди a b и a : b ако су а= 8 7 и 5 7 b= Израчунај: Реши једначину: 5 x 5 ( x ) + = + = Реши неједначину: 0, (x 5) <,6 [ 0, x + 5 >,6]. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК Израчунај: ( ) :,5 ( ) : ( ) 0, Израчунај вредност израза (a b)(a + b) [(a + b)(a b)] ако су [a = 0,8] и b = 0,3 b =. 4 a= 3. Прошле године килограм шећера је коштао 85 [05] динара, а килограм брашна 60 [50] динара. Ове године цена шећера је повећана [смањена] за 6%, а брашна смањена [повећана] за 5%. Колико треба платити сада за килограма шећера и 3 килограма брашна? 4. Израчунај површину ромба ако је обим ромба 50cm [60cm], а висина 0cm [8,5cm]. 5. Угао при врху једнакокраког троугла је 30. Израчунај површину тог троугла ако је дужина крака [висине која одговара краку] 0 cm. VII РАЗРЕД КООРДИНАТНА РАВАН. ПРОПОРЦИЈА И ПРОЦЕНАТ. ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ И СЛИЧНОСТ Основни ниво. Прикажи на бројевној правој следеће тачке: A( ), B(3), C( ) 5, D(0).. Запиши координате тачака са следеће бројевне праве: C E A B D Израчунај збир AC + EB + AD.

25 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 3. Oдреди вредности променљивих x и y ако је x најмањи двоцифрени број и ако је (x + 5) : 45 = 30 : y. Средњи ниво 4. Прикажи у координатној равни следеће тачке: 5 A(,3), B(, ), C( 0, ), D(, 0 ), E(, 5), F( 9, 0 ) Графику функције директне пропорционалности припада тачка A(, 5). Које од тачака B(, 5), C(, 5) и D(, 5) припадају истом графику? 6. Одреди вредности променљивих x и y тако да следећи уређени парови буду 3 једнаки: а) (3, y) = (x, 4); б) + x y+, = (5, 4); в) + 3x 4 y, = ( x, y) Дуж АВ је тачком С подељена у односу 3 : 5, а тачком D у односу 5 : 7. Одреди дужину дужи АВ, ако је CD = 7cm. Напредни ниво 8. Израчунај непознати члан следећих пропорција: а) 7,5 : 8 = 3 : x; б) ( x+ ) : ( x+ 3) = : ; в) x + 5 x x 3 = x Ако се ивица коцке повећа за 50% њена запремина ће се повећати за 375cm 3. Колико је површина дате коцке? 0. Награду од 9355 динара деле три радника у односу на време проведено на послу. Први радник је радио 6 дана почињао у 8 часова, завршавао у 4, други је радио 4 дана од 0 до 0 часова, а трећи 3 дана по 9 часова. По колико динара је сваки од њих добио?. Цена једне кошуље је са 888 динара повећана на 0 динара. Колико процената износи то повећање? Колико би била цене те кошуље да је, уместо повећана, за исти проценат снижена?. Странице једног троугла су,m, 40cm и 5dm. Израчунај странице њему сличног троугла ако је: а) коефицијент сличности 3 : 5; б) најдужа страница њему сличног троугла 3dm; в) обим њему сличног троугла је 34cm; г) разлика најдуже и најкраће странице њему сличног троугла је 4,5dm. КОНТРОЛНА ВЕЖБА. Дужи AB и CD су у координатној равни дате координатама својих крајњих тачака A(, 4), B(3, 6), C(5, ), D(, 4) [A(, 4), B(3, 6), C(5, 4), D(, )]. Да ли је тај четвороугао паралелограм? 3

26 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ. Израчунај, приближно на две децимале, обим и површину четвороугла чија су темена дата координатама: A( 5, 0), B(0, 3), C(4, 0), D(0, 6) [A(0, 4), B( 4, 0), C(0, 3), D(5, 0)]. 3. Две тачке на кружници деле ту кружницу на два лука чије се дужине односе као : [7 : 5]. У тим тачкама су конструисане тангенте на кружницу. Израчунај угао који образују те тангенте. 4. Дванаест једнаких трактора преору једно поље за 8 дана. За које време ће исто поље преорати, под једнаким условима, девет истих трактора? [Извесну количину угља прeвезе камиона носивости 5 тона. Колико je потребно камиона носивости 8 тона да би превезли исту количину угља?] 5. Цена једне кошуље је била 900 [900] динара и снижена [повећана] је за 30%. Колико је сада цена тој кошуљи? ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. Зараду од 3300 динара [6400 динара] три радника деле сразмерно времену проведеном на послу. Први је радио [5], други [7], а трећи 5 [9] часова. По колико ће новца сваки радник добити?. Ученик је првог дана прочитао 40% књиге, а другог дана 50% остатка и до краја књиге му је остало још 33 страницe. Израчунај колико страница има цела књига и колико је страница ученик прочитао првог и колико другог дана? [Ученик је првог дана на излету потрошио 40% суме коју је понео, а другог дана 70% остатка и кући је вратио 08 динара. Израчунај колико је ученик новца понео и колико је потрошио првог и колико другог дана?] 3. Странице једног троугла су a = 7cm, b = 54cm и c = 63cm [a = 48cm, b = 36cm и c = 54cm], а збир две дуже [краће] странице њему сличног троугла је 74cm [56cm]. Израчунај дужине страница тог, њему сличног троугла. 4. Дуж MN = 7,cm [MN = 9,6cm] подели двема тачкама на три дужи a, b и c које се односе као 5 : 4 : 3 [4 : 5 : 3]. Покажи да се од добијених делова може конструисати троугао. Да ли је тај троугао правоугли? 5. Да ли је троугао, чија су темена дата координатама, правоугли: A(3, 3), B(7, 3), C( 7, ) [A(, 5), B(5, 3), C(7, 0)]? VIII РАЗРЕД СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ. ВАЉАК. КУПА. Основни ниво. Провери да ли је уређени пар (5, ) решење сваке од једначина: а) x + y = 7 и x y = 3; б) x y = и x + y = 3; в) x 5y = 0 и x + 3y =.. Која од фигура на слици може бити мрежа ваљка? 4

27 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ а) б) в) 3. Купи на слици одреди: а) висину; б) изводницу; в) полупречник основе. cm 3cm Средњи ниво x 4. Реши систем једначина: a) x y= 3 y= 5 ; б) x+ y= 5 ; в). x+ y= y x y= x+ = 0 5. Површина основе ваљка је 00πcm, а висина је двоструко мања од полупречника основе. Површина тог ваљка у cm је: а) 00π; б) 300π; в) 400π; г) 500π. Заокружи слово испред тачног одговора. 6. Осни пресек праве купе је једнакокрако-правоугли троугао чија је хипотенуза 8cm. а) Израчунај полупречнок основе, висину и изводницу те купе. б) Колика је површина, а колика запремина те купе? 7. Маса мермерног ваљка је 0kg. Колика би била маса ваљка, од исте врсте мермера, ако би он био два пута краћи, али и два пута дебљи? Напредни ниво 8. Аца је купио прасе и јагње од фармера Стеве. Убрзо их је продао на вашару за 6 евра. На прасету је изгубио 0%, а на јагњету зарадио 0%. Укупна зарада је износила 8%. Колико је Аца платио Стеви јагње, а колико прасе? 9. Запремина купе 96πcm 3, а висина се према полупречнику основе односи као 4 : 3. Површина те купе (у cm ) је: а) 9π; б) 48π; в) 96π; г) 60π. Заокружи слово испред тачног одговора. 5

28 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 0. Израчунај површину и запремину мањег дела тела које настаје сечењем дрвеног ваљка са равни која је паралелна оси ваљка и удаљена је од осе 5cm. Види слику! Димензије ваљка су r = 0cm и H = 0cm.. Омотач купе је кружни исечак са централним углом од 0 и одговарајућом тетивом t = 9cm. Израчунај површину те купе.. Око ваљка је описана правилна четворострана призма и у ваљак је уписана правилна осмострана призма, као на слици. Како се односе запремине тих призми? КОНТРОЛНА ВЕЖБА. Реши систем једначина: x y= 3 x y= 5. x+ y= 9 3x+ y= 5. Реши системе: y= x+ 5 x= 3y+ а) x y= 0 ; б) 4 x 3y= а) x= y ; б) y= x x y x y 3. = =. 3. У координатном систему нацртај праве одређене једначинама: x+ y= 4 y= x y x= 4 y= x+ и одреди координате пресечне тачке. 4. Реши систем: ( x ) + ( y+ ) = x + y ( x+ ) + ( y ) = x + y. ( x y) ( x+ y) ( x+ 3) = 3 y ( x 3) ( x y) ( x+ y) = 5+ y 5. Збир два броја је 55 [35]. Одреди те бројеве ако се они односе као : 3 [3 : 4]. 6

29 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. Да ли је уређени пар (, ) [(3, 3)] решење система једначина 3x+ y= x y= 6 x+ 3y= 4 x+ 3y= 3?. Марко је одлучио да проведе годишњи одмор у селу. До села је путовао 360km [50km] возом, а затим још 30km [40km] аутобусом. За путовање је укупно потрошио 070 [650] динара. Колико је платио возну, а колико аутобуску карту, ако је вожња аутобусом 4 [5] динара скупља од вожње возом по километру? 3. Правоугаоник чије су странице a = 4cm и b = 6cm ротира око симетрале дуже [краће] странице за 360. Том приликом настаје ваљак. Скицирај га, одреди његове елементе и израчунај му површину. 4. Запремина праве купе је πcm 3 [00πcm 3 ]. Ако је њена висина 4cm [cm] израчунај површину омотача те купе. 5. Из дрвеног ваљка полупречника 6cm [4cm] и висине 5cm [3cm] извађена је највећа могућа купа. Види слику! Одреди запремину тела насталог после вађења купе. ПРИЈЕМНИ ИСПИТИ Пријемни испит за упис у Математичку гимназију године a b a b. Вредност израза x= + : ( + ) за a= + и b= је: b a b a A) x 5; B) 5 < x 0; C) 0 < x 5; D) 5 < x 0; E) 0 < x; N) Не знам.. Нека је скуп правих у равни π. Која од следећих тврђења: (I) Ако је p q, онда је q p. (II) Ако је p q, онда је q p. (III) Ако је p q и q r, онда је p r. (IV) Ако је p q и q r, онда је p r. су тачна у скупу? A) сва; B) ниједно; C) сва осим (I) и (II); D) сва осим (III); E) сва осим (IV); N) Не знам. 3. Написани су природни бројеви,,..., 99, 00. Колико пута је написана цифра? A) ; B) ; C) 0; D) 9; E) ; N) Не знам. 7

30 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 4. Тачка у којој уписана кружница правоуглог троугла додирује хипотенузу, дели ту хипотенузу на одсечке дужина 5cm и cm. Разлика дужина катета тог троугла је [у cm]: A) 4; B) 7; C) 6; D) 5; E) 8; N) Не знам Праве y= x и y= x+ секу се у тачки В. Нека права y= x сече осу Ox у тачки А, а права y= x+ сече осу Oy у тачки С. Ако је О координатни почетак, површина четвороугла је OABC је: A) 7 ; 3 B) 4 ; 3 C) ; D) 5 ; 3 E) 8 ; 3 N) Не знам. 6. Једначина x + = 3 ( x) A) нема решења; B) има тачно четири решења; C) има тачно два решења; D) има тачно једно решење; E) има бесконачно много решења; N) Не знам. 7. За који природан број важи једнакост = 5? n+ + n A) n = 3; B) n = 4; C) n = 0; D) n = 56; E) n = 55; N) Не знам. x 8. Скуп свих решења једначине је: ( x )( x+ ) A) (, ) (, ); B) (, ); C) (, ); D) (, ) (, ) (, ); E) (, ); N) Не знам. 9. Ако једнаким словима одговарају једнаке, а различитим словима различите цифре и ако сугласницима одговарају парне, а самогласници непарне цифре у следећем сабирању M U V A + M U V A S L O N онда за суму s = M + V + S + L + N + A + O + U важи: A) s < 3; B) s = 3; C) s = 33; D) s = 3; E) s > 33; N) Не знам. 0. Површина тростране пирамиде, чије су све бочне ивице једнаке b = 4cm, а ивични углови при врху 45, је [у cm ] A) 9 ( ); B) 4 ( ); C) 4 (3 3 6 ); 4 + D) ( ); E) 4 ( ); N) Не знам. 8

31 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Двоцифрених природних бројева код којих се збир цифара не мења ако их помножимо било којим од бројева, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 има: A) више од 3; B) ; C) ; D) 3; E) 0; N) Не знам.. Дужине катета правоуглог троугла АВС ( АСВ = 90 ) су: BC = 4cm и AC = 3cm. Ако троугао ротира око праве p која садржи тачку С и паралелна је хипотенузи АВ, запремина добијеног ротационог тела је [у cm ]: A) 69 π; 5 B) 96 π; 5 C) 69 π; 4 D) 69 π; 3 E) 44 π; 5 N) Не знам. Решења. ) D, ) E, 3) B, 4) B, 5) D, 6) D, 7) E, 8) A, 9) C, 0) C, ) A, ) B.. Aко је Тест способности из математике за упис у седми разред године 3 5 ( ) ( ) 0,5 :,5 A= 4, 3 5 0,5 : +, онда је 0% апсолутне вредности броја А једнако: A) ; B) ; C) ; D) ; E) 53 ; N) Не знам Колико има шестоцифрених бројева облика a7a6b који су дељиви са 8? A) ; B) ; C) 3; D) 4; E) више од 4; N) Не знам. 3. Средња линија трапеза ABCD (AB CD) је дужине 8,5cm. Права која садржи теме D и паралелна је краку ВС сече основицу АВ у тачки Е. Ако је АЕ = 4cm, онда је дужина основице АВ: A) 6,5cm; B) 8,5cm; C) 0,5cm; D) 0,5cm; E),5cm; N) Не знам За бројеве, x, y и важи да је < x< y<. Разлика свака два 4 4 узастопна од ових бројева (разлика другог и првог, трећег и другог, итд) међу собом су једнаке. Број y је једнак: A) ; B) ; C) ; D) 5 ; E) ; N) Не знам Ако је p највећи прост број који је делилац броја 0, онда је збир свих 0 решења једначине 0 x = једнак: p A) 404; B) 0; C) 406; D) 06; E) 008; N) Не знам. 9

32 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 6. Права паралелна једном пару страница правоугаоника дели га на два дела чији су обими 40cm и 50cm. Друга права, паралелна другом пару страница правоугаоника, дели га на делове који оба имају обим по 60cm. Обим целог правоугаоника је: A) 70cm ; B) 74cm; C) 35cm; D) 84cm; E) 90cm; N) Не знам. 7. Тачка D је на страници ВС троугла АВС и CD = AD, ABC = 45, DAB = 5. Разлика BAC ACB је: A) мања од 30 ; B) 30 ; C) 45 ; D) 60 ; E) већа од 60 ; N) Не знам. 8. На девет цедуља написани су бројеви, 4, 8, 9,, 4, 6, 0, 7 (на свакој цедуљи по један број). Срђан и Зоран одабрали су сваки по 4 цедуље. Утврдили су да је збир бројева на цедуљама које је Срђан одабрао тачно три пута већи од збира бројева на цедуљама које је одабрао Зоран. Који број је написан на цедуљи која је преостала? A) 4; B) 8; C) ; D) 4; E) 6; N) Не знам. Решења. ) C, ) E, 3) D, 4) D, 5) A, 6) A, 7) E, 8) D. ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ З Одабрани задаци служе за вежбу и припрему за такмичења. Препоручују се ученицима као корак који претходи решавању конкурсних задатака. Решења која следе искористити за проверу сопствених. 83. Израчунај ЗА УЧЕНИКЕ III РАЗРЕДА ( ) + ( ) (0 5) + (0 5). 83. Наћи два броја чији је производ 300, а збир 35. ЗА УЧЕНИКЕ IV РАЗРЕДА 833. На једном концерту било је 645 посетилаца, дечака и девојчица. У сваком реду је седело по 8 девојчица и 7 дечака. Колико је на том концерту било дечака, а колико девојчица? 834. Лепљењем 4 једнака дрвена квадра ивица 6cm, 6cm и 4cm састављена је коцка. Израчунај површину тако састављене коцке. ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА 835. Милица је нацртала бројевну полуправу и обележила неке разломке на њој. Њен мали брат Бојан је избрисао почетак полуправе, тако да је остао део од 3 до 7. Како да нађе Милица почетак полуправе, односно број 0, ако још 8 зна да је растојање између 3 и 7 једнако 5 cm? 8 30

33 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 836. У биоскопу, за филм Хари Потер, се сакупило пуно људи. Половина посетилаца и још једна особа је било дете. Мајки је било за више од четвртине посетилаца, а очева је било за 3 више од трећине посетилаца. Других људи није било у биоскопу. Колико мајки, очева и деце је гледало тај филм? 837. Вредност израза ЗА УЧЕНИКЕ VI РАЗРЕДА ( ) ( ) ( ) ( ) n је 03. Колико чинилаца има у датом производу? 838. Дужине страница троугла су три узастопна парна природна броја. Одреди странице троугла ако је површина троугла 4cm и полупречник уписане кружнице cm. ЗА УЧЕНИКЕ VII РАЗРЕДА 839. Израчунај x 03 + y 03, ако је x + y = Ако је x 9xy + y дељиво са, докажи да је и x y дељиво са. ЗА УЧЕНИКЕ VIII РАЗРЕДА 84. Докажи да је A = сложен број. 84. Дат је правилни тетраедар чија ивица има дужину a. Раван δ садржи тачку D и пресеца ивице AB и BC тако да је пресек тетраедра и равни δ троугао. Докажи да је обим пресечног троугла већи од a. РЕШЕЊА ОДАБРАНИХ ЗАДАТАКА Вредност сваког од израза у заградама је 5. Бројева до 000 који су дељиви са 5 има 000 : 5 = 00, а парова таквих бројева који се појављују у заградама има 00. Дакле, вредност тог израза је 00 5 = 500. Значи ( ) + ( ) (0 5) + (0 5) = Како је 300 = 300 = 50 = 3 00 = 4 75 = 5 60 = 6 50 = 0 30 = 5 = 5 0 видимо да су то бројеви 5 и 0 јер је = Како је у сваком реду седeло по = 35 посетилаца, онда је у тој сали било 645 : 35 = 47 редова. Значи, на концерту је било 8 47 = 846 девојчица и 7 47 = 799 дечака Коцку добијамо лепљењем квадaра по странама квадратног облика. Ивица коцке је 6cm, а површина P = 6 6 6cm = 536cm. 3

34 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 835. Разломке 3 и 7 7 доведемо на исте имениоце, па је = и = 6. Разлика између 4 и 6 4 је и једнака је 5cm. Тада износи cm. Дакле, број 4 0 је на продужетку одговарајуће полуправе, лево од броја, на растојању од 3 6cm Означимо са х број посетилаца. Укупно их је било x = x+ 6= x+ 6 особа. Одатле добијемо да је 6 особа од свих посетилаца, па је укупан број био 6 = Имамо да је n n+ ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) = 3 4 n n 3 4 n n 3 4 = 5 n n+ n+ =. 3 4 n n n+ Дакле, = 03, одакле је n = 405. Дакле, у датом изразу је 404 чинилаца Нека су a, b, c странице троугла АВС и r полупречник уписане кружнице. Важи да је a = k, b = k +, c = k + 4, k N. За сваки троугао важи: ar br cr a+ b+ c PABC = PCBO + PACO + PBAO = + + = r (види слику). А b r О r С a В a+ b+ c Сада је = 4, тј. a + b + c = 4. Заменом a, b, c добијамо k + (k + ) + (k + 4) = 4, одакле је k = 3, па је a = 6cm, b = 8cm и c = 0cm Како је x + y = 0, следи да су x и y супротни бројеви, то јест y = x. x 03 + y 03 = x 03 + ( x) 03 = x 03 x 03 = 0. r c 3

35 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 840. Трансформишући израз x 9xy + y добићемо x 9xy + y = x +xy xy + y = (x + y) xy. Ако x 9xy + y онда (x + y) xy. Како xy, то (x + y), па x + y. Како је x y = (x y)(x + y) и x + y, то онда (x y)(x + y), односно, x y. 84. Како је 3 3 = 7 (mod 7), то је 3 03 = (3 3 ) 67 ( ) 67 (mod 7). Слично је и 4 3 = 64 (mod 7), па је 4 03 = (4 3 ) (mod 7). Следи да је (mod 7). То значи да је број A = већи од 7 и дељив са 7, што значи да је А сложен број. 84. Посматрајмо правилни тетраедар ABCD. Нека раван δ пресеца ивице AB и BC редом у тачкама M и N (слика ). Ако развијемо мрежу тетраедра (слика ) онда је јасно да је обим пресечног троугла O = DM + MN + DN = DM + MN + ND3 > DD3 = a, јер је дуж DD3 најкраће растојање између тачака D и D3. D D А M A B M C N N D B C слика слика D3 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Конкурсни задаци намењени су првенствено ученицима који се у већој мери интересују за математику. Истовремено то је својеврсно такмичење које Математички лист организује сваке школске године. Решења задатака са именима решавалаца објављују се у наредним бројевима часописа. Предност имају они решаваоци који у првих 0 дана по изласку броја из штампе пошаљу исправна решења. Имена решавалаца са бар шест тачних решења објављују се у првом броју следеће школске године. За најбоље решаваоце предвиђене су награде. Упутство за слање решења налази се на страни 48. ЗА УЧЕНИКЕ III РАЗРЕДА 389. Израчунај ( ) + (99 988) (6 ) + (8 4) Нађи највећи и најмањи могући збир два броја чији је производ 350. ЗА УЧЕНИКЕ IV РАЗРЕДА 39. На једном екипном такмичењу је учествовало 456 ученика петог, шестог, седмог и осмог разреда. Свака екипа је била састављена од 5 ученика петог разреда, 6 ученика шестог разреда, 7 ученика седмог разреда и 8 ученика 33

36 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ осмог разреда. Колико је на том такмичењу учествовало ученика петог, шестог, седмог и осмог разреда? 39. Лепљењем 6 једнаких дрвених квадaра ивица cm, 6cm и 4cm састављена је коцка. Израчунај површину тако састављене коцке? 393. Одреди место броја ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА 5 на бројевној полуправи, ако знаш где се налазе 7 бројеви 4 7 и 3 5 и да је растојање између њих cm На окружно такмичење из математике пласирало се учесника са 40 општинског такмичења. Од ових такмичара тачно је добио награду или 9 похвалу на окружном такмичењу. Један ученик је добио прву награду, један је добио другу награду, а двоје су добили трећу награду. Похвала је додељена четворици такмичара. Колико ученика је било на општинском такмичењу? ЗА УЧЕНИКЕ VI РАЗРЕДА 395. Израчунај вредност израза ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) Марко је нацртао и обојио 3 квадрата као на слици. Странице квадрата су 8cm, cm и 6cm. За колико процената је већа површина црвеног од површине плавог дела? ЗА УЧЕНИКЕ VII РАЗРЕДА 397. Израчунај x 0 + y 0, ако је x + y = 0 и x + y = Израчунај вредност израза x+ x + x+ 3 4 x, ако је x 4. ЗА УЧЕНИКЕ VIII РАЗРЕДА 399. Дат је број B = 3 03m n, где су m и n непарни природни бројеви. Докажи да је број B дељив са 9. 34

37 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 400. Дат је правилни тетраедар чија ивица има дужину a. Одредити тачку S унутар тетрадра која је једнако удаљена од сва четири темена тетраедра. Докажи да тачка S дели висину тетраедра у односу 3 :, почев од темена пирамиде према подножју висине пирамиде. РЕШЕЊА КОНКУРСНИХ ЗАДАТАКА Јелена може да распреми и почисти стан за 3 сата и 0 минута. Ако јој њена млађа сестра Ленка помогне и ради заједно са њом сата, распремање стана биће завршено за сата и 0 минута. За колико времена би Ленка сама распремила стан? Решење. Оно што Ленка уради за сата, то Јелена уради за сат. Према томе оно што Јелена ради 3 сата и 0 минута, то ће Ленка урадити за 6 сати и 40 минута. Зоран Лунгановић, III3, ОШ Десанка Максимовић, Зајечар 378. За 4 кесице кикирикија и паковања чипса плаћено је 330 динара, а за 3 кесице кикирикија и 3 паковања чипса 300 динара. Колико кошта кесица кикирикија, а колико паковање чипса? Решење. Ако је за 4 кесице кикирикија и паковања чипса плаћено 330 динара, онда би за кесица кикирикија и 6 паковања чипса требало дати 990 динара. С друге стране, ако је за 3 кесице кикирикија и 3 паковања чипса плаћено 300 динара, онда би за 6 кесица кикирикија и 6 паковања чипса требало дати 600 динара. Према томе 6 кесица кикирикија коштају 390 динара. Дакле, кесица кикирикија кошта 65 динара, а паковање чипса 35 динара. Никола Зековић, IIIа, ОШ Јован Поповић, Чока 379. Вредност израза a b : c je 67. Колику ће вредност имати овај израз ако се сваки од бројева a, b, c повећа три пута? Решење. Када се сваки од бројева (чиниоца) a и b повећају 3 пута, производ a b ће се повећати 9 пута. Када се c повећа 3 пута (делилац), количник (a b) : c ће се смањити 3 пута. Према томе вредност овог израза ће бити (67 9) : 3 = 03. Димитрије Доброта, V3, ОШ Свети Сава, Фоча 380. Колико различитих квадара може да се направи од 30 једнаких коцкица ивице cm? Решење. Квадар одређују његове ивице. Од 30 коцкица могу да се направе квадри ивица дужине: 30 (две ивице су дужине cm и једна 30cm); 3 5; 6 5; 3 0 и 5. Анђела Ђорђевић, IV, ОШ Милан Мијалковић, Јагодина 38. Одреди углове х и y на слици. 35

38 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ x y D E Решење. Угао ABC је једнак са BDE (углови 50 x y са паралелним крацима). Слично, y + 50 = 75, па је y = 5. На исти начин, х + y + 50 = 0, па из тога х = = C B 50 A Ива Шћепановић, V, ОШ 3. октобар, Ћуприја 38. На колико начина можемо записати број 30 као производ два или три различита природна броја? Решење. Раставимо број 30 на чиниоце, 30 = Размотримо како се број 30 може написати као производ два чиниоца, тј. 30 = а b. Број а може бити један од бројева,, 3, 5, 7,, а број b производ преосталих пет бројева. То даје 6 могућности: 30, 55, 3 770, 5 46, 7 330, 0. Број а може бити производ два од бројева, 3, 5, 7,, а број b производ преостала три броја. Дакле, то су: 6 385, 0 3, 4 65, 05, 5 54, 0, 33 70, 35 66, 55 4, Даље, размотримо како се број 30 може написати као производ три чиниоца, 30 = c d e. Прво, бројеви c и d узимају вредности по једног од бројева,, 3, 5, 7,, а e је производ преосталих бројева.тада постоје следеће могућности: 55, 3 770, 5 46, 7 330, 0, 3 385, 5 3, 7 65, 05, , 3 7 0, 3 70, , 5 4, Сада број c узима вредност једног од бројева,, 3, 5, 7,, а d и e су производ по два од преосталих бројева. Те могућности су: 6 385, 0 3, 4 65, 05, 5 54, 0, 33 70, 35 66, 55 4, 77 30, 5 77, 55, 33 35, , , 3 35, , , 5, , , 7 5, 6 35, 0, 4 5. Дакле, има 6 начина записивања броја 30 као производа два различита броја и = 40 начина записивања као производа три различита броја, а то је укупно 56. Златан Васовић, V3, ОШ Свети Сава, Чачак 36

39 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 383. Конструиши ромб ABCD чији је један унутрашњи угао 0 и полупречник уписане кружнице cm. Решење. Пречник уписане кружнице једнако је висини ромба, па имамо да је висина ромба 4cm. Ако је један унутрашњи угао ромба 0, онда је њему суседни угао 60. Знајући ово конструкцију радимо на следећи начин: - Конструишемо правоугли троугао ADE у коме су познати оштар угао од 60 и наспрамна катета дужине 4cm. Хипотенуза овог троугла једнака је страници ромба (а); - Из темена А наносимо дужину странице ромба (а) на полуправу АЕ и добијамо теме B; - У пресеку кружница из темена B и D, полупречника а, налази се четврто теме С ромба. D C a h r А B Е a Михаило Милетић, VI, ОШ Јован Поповић, Крагујевац 384. Израчунај вредност израза ако је a= 0,, b= 0, 4, c= 0, 8. a b c 4 8 Решење. a=, b=, c= = = = = = = a a b c Александар Миловановић, VI4, ОШ Стојан Новаковић, Блаце 385. Којом цифром се завршава број 7 n + 8 n + 9 n? Решење. Сваки број n је облика 4k или 4k + или 4k + или 4k + 3, при разматрању дељивости броја n са 4. Ради прегледности користићемо следећу табелу: последња цифра броја 7 n 8 n 9 n 7 n + 8 n + 9 n n = 4k n = 4k n = 4k n = 4k

40 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Закључујемо, ако је n дељиво са 4 онда се 7 n + 8 n + 9 n завршава цифром 8, у осталим случајевима се завршава цифром 4. Ђорђе Радић, VII, ОШ,,Жикица Јовановић Шпанац, Бела Црква 386. Дата је кружница k(о, r). У кружницу су уписани правилни осмоугао и правилни дванаестоугао. Одреди однос површина ових многоуглова. Решење. Правилни осмоугао поделимо на четири подударна делтоида, па ће d d површина осмоугла бити P8 = 4 Pd = 4 = d d, где су d и d дијагонале тих делтоида. Једна дијaгонала једнака је полупречнику описане кружнице око осмоугла, d = OB = r, а друга d= AC= r (централни угао правилног осмоугла је 45, а АОС = 45 = 90 и ОА = ОС(r), троугао АОС је једнакокрако правоугли, половина квадрата, где је АС дијагонала квадрата). P d d r r r 8= = =. d d Слично, површина правилног дванаестоугла је P = 6 Pd = 6 = 3 d d, d = r, d = r (централни угао правилног дванаестоугла је 30, а АОС = 30 = 60 и ОА = ОС (r), троугао АОС је једнакостранични). P = 3d d = 3r r= 3 r. r Однос површина ових многоуглова је P8 : P = =, P 8 : P = : 3. 3r 3 O О C С В A B А Весна Бјелоглав, VIII, ОШ,,Јован Дучић, Касиндо, Република Српска 387. Крава попасе онолико траве колико коза и гуска заједно. Крава и коза заједно попасу траву са ливаде за 45 дана, крава и гуска за 60 дана, а коза и гуска за 90 дана. За колико дана могу крава, коза и гуска заједно да попасу целу ливаду, при чему треба узети у обзир да трава на ливади непрестано и равномерно расте? Решење. Тешкоће при решавању овог проблема чини трава која непрестано расте, тако да је неопходно узети у обзир свакодневни прираст траве. Крава једе исто толико колико коза и гуска заједно. На основу овог следи да ако крава и коза поједу сву траву за 45 дана, узимајући у обзир и прираст траве, то ће две козе и гуска појести исту количину траве за то исто време. Како коза и гуска поједу сву траву за два пута дуже време (90 дана), закључујемо да једна коза може да поједе сву траву са ливаде, ако трава не би расла, за 90 дана, а да 38

41 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ притом гуска једе само прираст траве. На основу овог следи да крава поједе 60 почетне залихе паше за један дан, а коза, што заједно износи 90 + = за један дан. На тај начин, крава и коза могу да поједу првобитну залиху траве за 36 дана, а за то време гуска успева да поједе прираст траве. Према томе, крава коза и гуска могу заједно да попасу траву са целе ливаде за 36 дана. Ана Вилотић, VIII3, ОШ Боривоје Ж. Милојевић, Крупањ 388. Дата је коцка ABCDABCD чија ивица има дужину a. Раван α која садржи дијагоналу коцке AC и средиште B ивице BB, дели дату коцку на два геометријска тела. Израчунати површине и запремине добијених геометријских тела? Решење. Како дата раван садржи темена A и C и средиште ивице BB, то она садржи и тачку D средиште ивице DD, па су добијена два подударна геометријска тела чије су запремине једнаке V = V = 3 a. Површине добијених тела су такође једнаке и садрже по пола омотача коцке и површину ромба ABCD чије су дијагонале AC = a 3 и BD = a. Дакле, тражене a 6 a (6 6) површине су P = P = 3a + a 3 = a 3 + = +. Александар Милосављевић, VIII, ОШ Радоје Домановић, Параћин НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Ова рубрика је, као и конкурсни задаци, позив свим нашим читаоцима за такмичење. У сваком броју нашег листа дајемо један задатак за сваки разред. Из сваког разреда, пет најуспешнијих решавалаца биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. Наградни задатак бр. 387 (за ученике III разреда) У Стојановој улици има 45 кућа са леве и 6 куће са десне стране. Куће на левој страни су нумерисане редом непарним бројевима (почиње се од броја ). Куће на десној страни су нумерисане редом парним бројевима (почиње се од броја ). Колико цифара је употребљено за нумерацију свих кућа у Стојановој улици? Наградни задатак бр. 388 (за ученике IV разреда) Нека је x најмањи, а y највећи број четврте стотине, оба дељива са. Израчунај y x. 39

42 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Наградни задатак бр. 389 (за ученике V разреда) Разломке,,,, 3,,, 5, 7 распореди у табели 3 3 тако да збирови у свакој врсти, свакој колони и на обе дијагонале буду једнаки међусобно. Наградни задатак бр. 390 (за ученике VI разреда) Колико има десетоцифрених природних бројева са различитим цифрама који су дељиви са 9? Наградни задатак бр. 39 (за ученике VII разреда) Одреди све целобројне дужине страница правоугаоника чији је мерни број површине једнак мерном броју обима правоугаоника. Наградни задатак бр. 39 (за ученике VIII разреда) Висине троугла су,4cm, 3cm и 4cm. Израчунај полупречник уписане кружнице тог троугла. РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 38 (МЛ XLVII-) Решење. Треба наћи колико траје зелено, жуто, црвено, жуто, зелено, жуто, црвено, жуто, зелено, жуто и црвено светло. Значи да треба наћи збир: = = 305 Према томе, тражено време је 5 минута и 5 секунди. Награђени Анђела Павловић, III3, ОШ Момчило Живојиновић, Младеновац Урош Недељковић, III, ОШ Димитрије Туцовић, Краљево Михаило Цветић, III, ОШ Карађорђе, Топола Милица Бабић, III, ОШ Миленко Кушић, Ивањица Анастасија Милошевић, III, ОШ Петар Кочић, Темерин 40

43 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 38 (МЛ XLVII-) Решење. Правоугаоник је подељен на квадрата (види слику). Друга страница овог правоугаоника је 6cm, јер је 03 : 33 = 6. Види слику на претходној страни! Награђени Богдан Колић, IV5, ОШ Вук Караџић, Пирот Марко Дивљаковић, IV4, ОШ Никола Тесла, Винча Батавељић Михаило, IV4, ОШ Татомир Анђелић, Мрчајевци Милица Вељковић, IV3, ОШ Вук Караџић, Књажевац Страхиња Драгутиновић, IV, ОШ Алекса Дејовић, Севојно РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 383 (МЛ XLVII-) Решење. Ако збир остатака одузмемо од 03, добићемо број дељив са (5 + 7) = 00. Пошто је 00 : 3 = 87, а количници се разликују за, онда су количници 43 и 44, а тражени бројеви = 994 и = 09, или = 996 и = 07. Награђени Ана Париповић, V3, ОШ Скадарлија, Београд Магдалина Јелић, V, ОШ Бранко Ћопић, Београд Златан Васовић, V3, ОШ Свети Сава, Чачак Јелена Нешковић, V, ОШ Рајак Павићевић, Бајина Башта Данило Бранковић, V3, ОШ Јован Поповић, Београд РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 384 (МЛ XLVII-) Решење. Конструкцију можемо урадити на следећи начин: Прво конструишемо троугао АВС код кога знамо две странице и угао наспрам веће странице; Кроз тачку С конструишемо праву паралелну са АВ; Из тачке С наносимо дужину 3cm и добијамо теме D (B и D су са различитих страна праве АС). D C 60 Награђени Душан Воркапић, VI4, ОШ Доситеј Обрадовић, Сомбор Тијана Ђорђевић, VI, ОШ Сретен Младеновић Мика, Ниш Милан Стојковић, VI5, ОШ Синиша Јанић, Власотинце Емилија Плавић, VI4, ОШ Јован Стерија Поповић, Вршац Миња Јовановић, VI, ОШ Радоје Домановић, Параћин А B 4

44 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 385 (МЛ XLVII-) Решење. Ако се седмоцифрени број abcdefg исто чита с лева у десно и с десна у лево, онда је a = g, b = f и c = e, па се број може записати abcdcba. Цифра a не може бити 0, па преостаје 9 могућности, док b, c и d могу бити било које цифре. Дакле, таквих бројева има = Награђени Катарина Вукосављевић, VII, ОШ Вера Благојевић, Бања Ковиљача Марија Поповић, VII3, ОШ 8. септембар, Пирот Милан Цупаћ, VII5, ОШ Бора Станковић, Београд Милица Матић, VII, ОШ Радоје Домановић, Параћин Милица Теохаревић, VII3, ОШ Доситеј Обрадовић, Умка РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 386 (МЛ XLVII-) Решење. Како је 03 = 3 67 = 3 6 и како су бројеви 3, i 6 прости, то тражени најмањи природан број n може имати највише 3 различита чиниоца (различита од ) и зато има облик n = a 3 b 5 c, при чему је a b c. Како тражени број n = a 3 b 5 c има (a + )(b + )(c + ) = 03 делилаца и како је a + b + c +, то у обзир долазе само следеће комбинације: а + b + c + производ a b c n = a 3 b 5 c Према томе, најмањи такав природан број је n = , јер је = > = > > = > = > Како је n = , то је и други део тврђења доказан. Награђени Анђела Тодоровић, VIII, ОШ Јован Јовановић Змај, Сурдулица Данко Ђорђевић, VIIIсм, Прва крагујавачка гимназија, Крагујевац Иван Пауновић, VIII, ОШ Др Драгиша Мишовић, Чачак Стеван Војиновић, VIII, ОШ Јован Јовановић Змај, Панчево 4

45 ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Колико највише сабирака може бити са леве стране једнакости PI + PI PI = PILE тако да она буде тачна? Различитим словима одговарају различите цифре, једнаким словима једнаке цифре. РЕШЕЊE ЗАДАТКА СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА (МЛ XLVII-3) Нека је abc= x. Онда се решавање ребуса своди на решавање једначине 0x + d + x = 03, па је х + d = 03. С обзиром да су 03 и х дељиви са,то и d мора бити дељиво са. Jедина цифра дељивa са је 0, па је d = 0. Следи да је х = 83. Дакле, тражено решење је: = 03. Награђени Карла Пејић, III, OШ Доситеј Обрадовић, Ћићевац Емилија Николић, III, OШ Вук Караџић, Пирот Тодор Остојић, IV4, OШ Младост, Београд Роско Кликовац, IV3, OШ Дринка Павловић, Београд Божица Мрдаковић, IV, OШ Владимир Перић Валтер, Пријепоље Драгиња Петровић, VI, OШ Здравко Јовановић, Поћута Александар Милосављевић, VIII, OШ Радоје Домановић, Параћин Слободан Радовановић, VII, OШ Херој Иван Мукер, Смедеревска Паланка Јован Торомановић, V, OШ Радојка Лакић, Београд Драган Клафатовић, VII, OШ Ђура Јакшић, Конарево РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БРОЈ 67 (МЛ XLVII-3) Решење. Питагорин троугао са страницама a = 3, b = 4, c = 5 има полупречник уписане кружнице r= =. Множењем чланова Питагорине тројке (3, 4, 5) са 03 добијамо Питагорину тројку (3 03, 4 03, 5 03). Кружница уписана у Питагорин троугао са страницама a = 3 03 = 6039, b = 4 03 = 805, c = 5 03 = 0065 има полупречник (3+ 4 5) r= = = = 03. Награђени Адриана Васовић, VII, ОШ Свети Сава, Чачак Михајло Бранковић, VIIb, Математичка гимназија, Београд Сања Васиљковић, VII5, OШ Владислав Рибникар, Београд Иван Пауновић, VIII, Др Драгиша Мишовић, Чачак Данко Ђорђевић, VIIICM, Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац 43

46 ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ Р36. На једној фарми има коња и гусака. Број глава и крила свих животиња једнак је броју ногу. Ако је укупан број животиња 00, колико је гусака, а колико коња? РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Р35. У стаду има коња, једногрбих камила и двогрбих камила. Ако је укупан број грба једнак 00, а број коња једнак броју двогрбих камила, одреди укупан број грла стоке у стаду. Решење Р35. Нека је k број коња, j број једногрбих камила и d број двогрбих камила. По услову задатка је d + j = 00. Како је k = d, то је d = k + d, одакле је k + d + j = 00, тј. укупан број животиња у стаду једнак је 00. За решење задатка награђена је Бранислава Живадиновић, Колубарска 3, Ниш. Тачно решење послали су још и Мирјана Васовић, Чачак; Марко Павловић, Доњи Добрић; Стеван Богдановић, Доњи Милановац; Миланка Нешић, Краљево; Момир Петровић, Ужице; Душко Галић, Футог; Ивана Миленковић, Осечина; Биљана Марковић Николић, Београд; Владан Васић, Пирот; Ивона Антић Јовановић, Бор; Горан Петровић, Пирот; Весна Тодосијевић, Чачак; Ненад Радосављевић, Младеновац; Виолета Савковић, Александровац; Нада Бојић, Јајинци; Мирослав Цветић, Краљево; Јасмина Мијалковић, Пирот; Драгана Радовановић, Београд. ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ Н36. Познато је да се између 63 наизглед једнаких златника налази 7 фалсификованих. Сви исправни златници су исте масе, сви фалсификовани су такође исте масе, али мало лакши од исправних. Како помоћу три мерења на теразијама без тегова пронаћи 7 исправних златника? РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ ДВА ПРЕТХОДНА БРОЈА Н34. Да ли је број прост или сложен? Решење Н34. Број 04 даје остатак 4 при дељењу са 5. Број 03 даје остатак 3 при дељењу са 5. Како се 03 завршава цифром 3, број 03 4 даје остатак при 44

47 ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ дељењу са 5. Зато број даје остатак 4 + = 5 при дељењу са 5, тј. тај број је дељив са 5, па је према томе сложен. За решење задатка награђен је Слободан Тирнанић, ОШ Доситеј Обрадовић, Пожаревац. Тачно решење послали су још и Стеван Богдановић, ОШ Бранко Перић, Рудна Глава, Владимир Михаиловић, ОШ Николај Велимировић, Шабац; Љиљана Петровић, ОШ Аца Алексић, Александровац; Саша Јовановић, Књажевац; Драгољуб Милошевић, ОШ Краљ Александар I, Горњи Милановац; Бранимир Лапчевић, ОШ Стојан Новаковић, Блаце. Н35. Утврди који је број већи или Решење Н35. Разлагањем на просте чиниоце добијамо да је = 8 3 8, = 3 6, = 3 7. Како је и то је ( ) ( ) = = = ( ) = = (3 ) (3 ) = = = 7 7 (3+ 4) (3 ), = = = ( 3 ) ( 3 ) Дакле, бројеви су једнаки = 3 3 = = ( ) (3 ) = ( 3 ) = За решење задатка награђен је Бранимир Лапчевић, ОШ Стојан Новаковић, Блаце. Тачно решење послали су још и Стеван Богдановић, ОШ Бранко Перић, Рудна Глава, Владимир Михаиловић, ОШ Николај Велимировић, Шабац; Радоје Величковић, ОШ 9. мај, Сутиван, Бијело Поље; Драгољуб Милошевић, ОШ Краљ Александар I, Горњи Милановац; Слободан Тирнанић, ОШ Доситеј Обрадовић, Пожаревац. 45

48 ЕНИГМАТСКА СТРАНА Ратко Тошић, Нови Сад Задаци. Између сваке две суседне цифре у низу упиши знак неке од четири основне операције и по потреби размести заграде тако да вредност добијеног израза буде 03.. Замени слова цифрама (различита слова различитим, а једнака једнаким) тако да у низу АABB, CB, AB, D сваки број, почев од другог, буде једнак производу цифара претходног. 3. Замени слова цифрама (различита слова различитим, а једнака једнаким) тако да у низу АBAB, CCA, CD, D сваки број, почев од другог, буде једнак производу цифара претходног. Решења задатака из прошлог броја. 0. У изразу се појављује десет различитих слова, па се свака цифра појављује бар једанпут. Цифра 0 не може бити у имениоцу разломка, јер онда израз не би имао смисла. Дакле, мора бити у бројиоцу, па је вредност разломка једнака 0.. а) У изразу се појављује девет различитих слова, па та слова представљају све цифре различите од 0 (Цифра 0 не може бити у имениоцу, а не може бити ни у бројиоцу, јер тада вредност разломка није природан број.). После скраћивања T A M K разломак постаје. Да би разломак имао што већу вредност, слова у R H D бројиоцу треба заменити што већим, а слова у имениоцу што мањим цифрама. Највећим цифрама треба заменити слова која се појављују степенована са, тј. слова Т и А. На тај начин закључујемо да је тражена највећа могућа вредност = Дакле, тражена замена може бити: Т = 9, A = 8, M = 7, K = 6, R =, H =, D = 3, E = 4, I = 5. T A M K б) После скраћивања као у случају под (а), заменом слова у изразу R H D 4 9 добијамо најмањи природан број = R H D R H D а) = = ; б) = =. A T M K 3 4 A T M K

49 47

50 УПУТСТВО ЗА РЕШАВАОЦЕ Решења можете слати на два начина: Елекронском поштом на адресу: Откуцана решења (Word 003 или LaTex) морају сaдржати образложење и прецизно нацртане слике. У поруци обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика слати у одвојеним порукама којима у Subject-у стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр. 43. На пример: Као и до сада стандардном поштом. Решења писати читко, сваки задатак на посебном листу уз обавезно образложење и прецизно нацртане слике. На сваком листу обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика стављати у засебне коверте на којима стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр. 43. На пример: To: Subject: Конкурсни задатак бр. 43 Име и презиме, одељење, школа, адреса школе, место, кућна адреса, поштански број, место. Математички лист Задатак са насловне стране Кнез Михаилова 35/IV, п.п Београд Решења која не испуњавају наведене услове неће се узимати у обзир. Решења задатака из овог броја послати најкасније до ВАЖНО ОБАВЕШТЕЊЕ ЗА ТАКМИЧАРЕ И ЊИХОВЕ НАСТАВНИКЕ Друштво математичара Србије, односно Комисија за тамичење из математике ученика основних школа, у припреми задатака за такмичења користи задатке из Математичког листа текуће, као и две претходне школске године (у обзир долазе сви задаци, дакле из чланака, припремни, одабрани, конкурсни, наградни, као и задаци са такмичења), и то по принципу: најмање 3 задатка за школски, најмање задатка за општински и најмање задатак за окружни ниво такмичења. У тим задацима неки од података могу бити промењени. 48